Svođenje monoma na standardni oblik, primjeri, rješenja.

Koncept polinoma

Definicija polinoma: Polinom je zbir monoma. Primjer polinoma:

ovdje vidimo zbir dva monoma, a ovo je polinom, tj. zbir monoma.

Pojmovi koji čine polinom nazivaju se pojmovi polinoma.

Da li je razlika monoma polinom? Da, jeste, jer se razlika lako svodi na zbir, na primjer: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Monomi se takođe smatraju polinomima. Ali monom nema zbir, zašto se onda smatra polinomom? I možete mu dodati nulu i dobiti njen zbir sa nultim monomom. Dakle, monom je poseban slučaj polinoma, sastoji se od jednog člana.

Broj nula je nulti polinom.

Standardni oblik polinoma

Šta je polinom standardnog oblika? Polinom je zbir monoma, a ako su svi ovi monomi koji čine polinom napisani u standardnom obliku, a među njima ne bi trebalo biti sličnih, tada se polinom piše u standardnom obliku.

Primjer polinoma u standardnom obliku:

ovdje se polinom sastoji od 2 monoma, od kojih svaki ima standardni oblik među monomima nema sličnih;

Sada primjer polinoma koji nema standardni oblik:

ovdje su dva monoma: 2a i 4a slični. Morate ih sabrati, tada će polinom poprimiti standardni oblik:

Drugi primjer:

Ovaj polinom se svodi na standardni pogled? Ne, njegov drugi mandat nije napisan u standardnom obliku. Pišući ga u standardnom obliku, dobijamo polinom standardnog oblika:

Polinomski stepen

Koliki je stepen polinoma?

Definicija polinomskog stepena:

Stepen polinoma je najviši stepen koji imaju monomi koji čine dati polinom standardnog oblika.

Primjer. Koliki je stepen polinoma 5h? Stepen polinoma 5h jednak je jedan, jer ovaj polinom sadrži samo jedan monom i njegov stepen je jednak jedan.

Još jedan primjer. Koliki je stepen polinoma 5a 2 h 3 s 4 +1? Stepen polinoma 5a 2 h 3 s 4 + 1 jednak je devet, jer ovaj polinom uključuje dva monoma, prvi monom 5a 2 h 3 s 4 ima najveći stepen, a njegov stepen je 9.

Još jedan primjer. Koliki je stepen polinoma 5? Stepen polinoma 5 je nula. Dakle, stepen polinoma koji se sastoji samo od broja, tj. bez slova, jednako je nuli.

Poslednji primer. Koliki je stepen nultog polinoma, tj. nula? Stepen nultog polinoma nije definiran.

U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti osnovnih definicija ove teme i razmotriti neke tipične probleme, naime, svođenje polinoma na standardni oblik i izračunavanje numeričke vrijednosti za date vrijednosti varijabli. Riješit ćemo nekoliko primjera u kojima će se svođenje na standardni oblik koristiti za rješavanje različitih vrsta problema.

Predmet:Polinomi. Aritmetičke operacije nad monomima

lekcija:Redukcija polinoma na standardni oblik. Tipični zadaci

Podsjetimo se osnovne definicije: polinom je zbir monoma. Svaki monom koji je dio polinoma kao pojam naziva se njegov član. Na primjer:

Binom;

Polinom;

Binom;

Pošto se polinom sastoji od monoma, prva radnja s polinomom slijedi odavde - potrebno je sve monome dovesti u standardni oblik. Podsjetimo, da biste to učinili, morate pomnožiti sve numeričke faktore - dobiti numerički koeficijent, i pomnožiti odgovarajuće potencije - dobiti dio slova. Osim toga, obratimo pažnju na teoremu o umnošku potencija: kada se potenci pomnože, njihovi eksponenti se zbrajaju.

Hajde da razmotrimo važna operacija- dovođenje polinoma u standardni oblik. primjer:

Komentar: da biste polinom doveli u standardni oblik, potrebno je sve monome uključene u njegov sastav dovesti u standardni oblik, nakon čega, ako postoje slični monomi - a to su monomi sa istim slovnim dijelom - izvršite radnje s njima .

Dakle, pogledali smo prvi tipični problem - dovođenje polinoma u standardni oblik.

Sljedeći tipičan zadatak- izračunavanje određene vrijednosti polinoma za date numeričke vrijednosti varijabli koje su u njemu uključene. Nastavimo gledati prethodni primjer i postaviti vrijednosti varijabli:

Komentar: prisjetimo se da je jedan na bilo koju prirodnu potenciju jednak jedan, a nula na bilo koju prirodnu snagu jednak je nuli, osim toga, prisjećamo se da kada množimo bilo koji broj sa nulom, dobijamo nulu.

Pogledajmo nekoliko primjera tipičnih operacija dovođenja polinoma u standardni oblik i izračunavanja njegove vrijednosti:

Primjer 1 - dovesti u standardni oblik:

Komentar: prvi korak je dovođenje monoma u standardni oblik, potrebno je dovesti prvi, drugi i šesti; druga radnja - donosimo slične pojmove, odnosno na njima izvršavamo zadate zadatke aritmetičke operacije: prvi dodajemo sa petim, drugi sa trećim, ostali se prepisuju bez izmjena, jer nemaju sličnih.

Primjer 2 - izračunajte vrijednost polinoma iz primjera 1 s obzirom na vrijednosti varijabli:

Komentar: kada računate, treba da imate na umu da je jedinica za bilo koju prirodnu snagu jedan, ako je teško izračunati stepene dva, možete koristiti tabelu stepena.

Primjer 3 - umjesto zvjezdice stavite monom tako da rezultat ne sadrži varijablu:

Komentar: bez obzira na zadatak, prva radnja je uvijek ista - dovesti polinom u standardni oblik. U našem primjeru, ova radnja se svodi na donošenje sličnih pojmova. Nakon ovoga, trebali biste ponovo pažljivo pročitati stanje i razmisliti o tome kako se možemo riješiti monoma. Očigledno, za ovo morate dodati isti monom, ali sa suprotan znak- . Zatim zamjenjujemo zvjezdicu ovim monomom i uvjeravamo se da je naše rješenje ispravno.

U proučavanju teme polinoma, vrijedi posebno spomenuti da se polinomi javljaju u standardnim i nestandardnim oblicima. U ovom slučaju, polinom nestandardnog tipa može se svesti na standardni oblik. Zapravo, ovo pitanje će biti razmotreno u ovom članku. Pojačajmo objašnjenja primjerima s detaljnim opisom korak po korak.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Značenje svođenja polinoma na standardni oblik

Hajdemo malo dublje u sam koncept, radnju - "dovođenje polinoma u standardni oblik."

Polinomi, kao i svaki drugi izrazi, mogu se identično transformirati. Kao rezultat, u ovom slučaju dobijamo izraze koji su identično jednaki originalnom izrazu.

Definicija 1

Reduciraj polinom na standardni oblik– znači zamjenu originalnog polinoma sa jednakim polinomom standardnog oblika, dobijenim iz originalnog polinoma korištenjem identičnih transformacija.

Metoda za svođenje polinoma na standardni oblik

Hajde da spekulišemo na temu koje će tačno transformacije identiteta dovesti polinom do standardnog oblika.

Definicija 2

Prema definiciji, svaki polinom standardnog oblika sastoji se od monoma standardnog oblika i ne sadrži slične pojmove. Polinom nestandardnog oblika može uključivati ​​monome nestandardnog oblika i slične termine. Iz gore navedenog, prirodno se izvodi pravilo o tome kako svesti polinom na standardni oblik:

• pre svega, monomi koji čine dati polinom se svode na standardni oblik;
• tada se vrši redukcija sličnih članova.

Primjeri i rješenja

Pogledajmo detaljno primjere u kojima polinom svodimo na standardni oblik. Pratit ćemo pravilo koje je gore izvedeno.

Imajte na umu da ponekad termini polinoma u početnom stanju već imaju standardni oblik, a sve što preostaje je donijeti slične termine. Dešava se da nakon prvog koraka radnji nema takvih pojmova, onda preskočimo drugi korak. IN opšti slučajevi potrebno je izvršiti obje radnje iz gornjeg pravila.

Primjer 1

Dati su polinomi:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Potrebno ih je dovesti u standardnu ​​formu.

Rješenje

Razmotrimo prvo polinom 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : njegovi članovi imaju standardni oblik, nema sličnih pojmova, što znači da je polinom specificiran u standardnom obliku i nisu potrebne nikakve dodatne akcije.

Pogledajmo sada polinom 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Uključuje nestandardne monome: 2 · a 3 · 0, 6 i − b · a · b 4 · b 5, tj. moramo dovesti polinom u standardni oblik, za koji je prvi korak transformacija monoma u standardni oblik:

2 a 3 0, 6 = 1, 2 a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , tako dobijamo sljedeći polinom:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.

U rezultujućem polinomu, svi pojmovi su standardni, nema sličnih pojmova, što znači da su naše radnje za dovođenje polinoma u standardni oblik završene.

Razmotrimo treći dati polinom: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Dovedemo njegove članove u standardni oblik i dobijemo:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Vidimo da polinom sadrži slične članove, hajde da dovedemo slične članove:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Dakle, dati polinom 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 poprima standardni oblik − x y + 1 .

odgovor:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- polinom je standardno postavljen;

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

U mnogim problemima, akcija svođenja polinoma na standardni oblik je posredna kada se traži odgovor na postavljeno pitanje. Razmotrimo ovaj primjer.

Primjer 2

Dat je polinom 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 · z 2 + z 3 . Potrebno ga je dovesti u standardni oblik, naznačiti njegov stepen i rasporediti članove datog polinoma u opadajućim stepenima varijable.

Rješenje

Svedujmo članove datog polinoma na standardni oblik:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Sljedeći korak Evo nekoliko sličnih pojmova:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Dobili smo polinom standardnog oblika, koji nam omogućava da označimo stepen polinoma (jednak najvećem stepenu njegovih sastavnih monoma). Očigledno, potreban stepen je 5.

Ostaje samo da se termini rasporede u opadajuće snage varijabli. U tu svrhu jednostavno preuređujemo članove u rezultujućem polinomu standardnog oblika, uzimajući u obzir zahtjev. Dakle, dobijamo:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

odgovor:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, dok je stepen polinom - 5 ; kao rezultat raspoređivanja članova polinoma u opadajućim snagama varijabli, polinom će imati oblik: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Bilo koji decimalni razlomak se može zapisati kao ,bc ... · 10 k . Takvi zapisi se često nalaze u naučnim proračunima. Vjeruje se da je rad s njima još praktičniji nego s običnim decimalnim zapisom.

Danas ćemo naučiti kako pretvoriti bilo koji decimalni razlomak u ovaj oblik. Istovremeno ćemo se pobrinuti da takav unos već bude „pretjeran“, a u većini slučajeva ne donosi nikakve prednosti.

Prvo, malo ponavljanja. Kao što znate, decimalni razlomci se mogu množiti ne samo međusobno, već i običnim cijelim brojevima (vidi lekciju “”). Posebno je interesantno množenje sa stepenom desetice. Pogledaj:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: 25,81 10; 0,00005 1000; 8,0034 100.

Množenje se vrši prema standardnoj šemi, pri čemu se za svaki faktor dodjeljuje značajan dio. Hajde da ukratko opišemo ove korake:

Za prvi izraz: 25,81 10.

1. Značajni dijelovi: 25,81 → 2581 (pomak udesno za 2 cifre); 10 → 1 (pomak lijevo za 1 cifru);
2. Pomnožite: 2581 · 1 = 2581;
3. Ukupan pomak: desno za 2 − 1 = 1 znamenku. Izvodimo obrnuti pomak: 2581 → 258.1.

Za drugi izraz: 0,00005 1000.

1. Značajni dijelovi: 0,00005 → 5 (pomak udesno za 5 cifara); 1000 → 1 (pomak lijevo za 3 cifre);
2. Pomnožite: 5 · 1 = 5;
3. Ukupan pomak: desno za 5 − 3 = 2 cifre. Izvodimo obrnuti pomak: 5 → .05 = 0.05.

Zadnji izraz: 8,0034 100.

1. Značajni dijelovi: 8.0034 → 80034 (pomak udesno za 4 cifre); 100 → 1 (pomak lijevo za 2 cifre);
2. Pomnožite: 80,034 · 1 = 80,034;
3. Ukupan pomak: desno za 4 − 2 = 2 cifre. Izvodimo obrnuti pomak: 80.034 → 800.34.

Prepišimo malo originalne primjere i uporedimo ih s odgovorima:

1. 25,81 · 10 1 = 258,1;
2. 0,00005 10 3 = 0,05;
3. 8,0034 · 10 2 = 800,34.

Šta se dešava? Ispostavilo se da je množenje decimalnog razlomka brojem 10 k (gde je k > 0) ekvivalentno pomeranju decimalne tačke udesno za k mesta. Desno - jer se broj povećava.

Slično, množenje sa 10 −k (gdje je k > 0) je ekvivalentno dijeljenju sa 10 k, tj. pomak za k cifara ulijevo, što dovodi do smanjenja broja. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: 2,73 10; 25.008:10; 1.447: 100;

U svim izrazima, drugi broj je stepen desetice, tako da imamo:

1. 2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
2. 25.008: 10 = 25.008: 10 1 = 25.008 · 10 −1 = 2.5008;
3. 1.447: 100 = 1.447: 10 2 = 1.447 10 −2 = .01447 = 0.01447.

Iz toga slijedi da se isti decimalni razlomak može napisati beskonačan broj načine. Na primjer: 137,25 = 13,725 10 1 = 1,3725 10 2 = 0,13725 10 3 = ...

Standardni oblik broja su izrazi oblika a ,bc ... · 10 k , gdje su a , b , c , ... obični brojevi, a a ≠ 0. Broj k je cijeli broj.

1. 8,25 · 10 4 = 82.500;
2. 3,6 10−2 = 0,036;
3. 1.075 · 10 6 = 1.075.000;
4. 9,8 10−6 = 0,0000098.

Za svaki broj napisan u standardnom obliku, pored njega je naznačen odgovarajući decimalni razlomak.

Prebacite se na standardni prikaz

Algoritam za prelazak sa običnog decimalnog razlomka na standardni oblik je vrlo jednostavan. Ali prije nego što ga koristite, provjerite koji je značajan dio broja (pogledajte lekciju “Množenje i dijeljenje decimala”). Dakle, algoritam:

1. Napišite značajan dio originalnog broja i stavite decimalni zarez iza prve značajne cifre;
2. Pronađite rezultujući pomak, tj. Za koliko mjesta se decimalni zarez pomaknuo u odnosu na prvobitni razlomak? Neka je ovo broj k;
3. Uporedite značajan dio koji smo zapisali u prvom koraku s originalnim brojem. Ako je značajni dio (uključujući decimalni zarez) manji od originalnog broja, dodajte faktor 10 k. Ako je više, dodajte faktor 10 −k. Ovaj izraz će biti standardni pogled.

Zadatak. Napišite broj u standardnom obliku:

1. 9280;
2. 125,05;
3. 0,0081;
4. 17 000 000;
5. 1,00005.

1. 9280 → 9.28. Pomaknite decimalni zarez 3 mjesta ulijevo, broj se smanjuje (očigledno 9,28< 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
2. 125.05 → 1.2505. Pomak - 2 cifre ulijevo, broj je smanjen (1.2505< 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
3. 0,0081 → 8,1. Ovoga puta pomak je bio udesno za 3 cifre, pa se broj povećao (8,1 > 0,0081). Rezultat: 8,1 · 10 −3 ;
4. 17000000 → 1.7. Pomak je 7 cifara ulijevo, broj je smanjen. Rezultat: 1.7 · 10 7 ;
5. 1,00005 → 1,00005. Nema pomaka, pa je k = 0. Rezultat: 1,00005 · 10 0 (ovo se dešava!).

Kao što vidite, u standardnom obliku nisu predstavljeni samo decimalni razlomci, već i obični cijeli brojevi. Na primjer: 812 000 = 8,12 · 10 5 ; 6.500.000 = 6,5 10 6.

Kada koristiti standardnu ​​notaciju

U teoriji, standardna notacija brojeva bi trebala učiniti razlomke još lakšim. Ali u praksi, primjetan dobitak se postiže samo kada se izvrši operacija poređenja. Zato što se poređenje brojeva napisanih u standardnom obliku radi ovako:

1. Uporedite stepene desetice. Najveći broj će biti onaj sa ovim stepenom većim;
2. Ako su stepeni isti, počinjemo da upoređujemo značajne figure- kao u običnim decimalnim razlomcima. Poređenje ide s lijeva na desno, od najznačajnijeg do najmanje značajnog. Najveći broj će biti onaj u kojem je sljedeća cifra veća;
3. Ako su stepeni desetice jednaki, a sve cifre iste, onda su i sami razlomci jednaki.

Naravno, sve ovo važi samo za pozitivne brojeve. Za negativne brojeve, svi predznaci su obrnuti.

Izvanredno svojstvo razlomaka napisanih u standardnom obliku je da se bilo koji broj nula može pripisati njihovom značajnom dijelu - i lijevo i desno. Slično pravilo postoji i za druge decimalne razlomke (pogledajte lekciju “Decimale”), ali oni imaju svoja ograničenja.

Zadatak. Uporedite brojeve:

1. 8.0382 10 6 i 1.099 10 25;
2. 1,76 · 10 3 i 2,5 · 10 −4 ;
3. 2.215 · 10 11 i 2.64 · 10 11 ;
4. −1,3975 · 10 3 i −3,28 · 10 4 ;
5. −1,0015 · 10 −8 i −1,001498 · 10 −8 .

1. 8,0382 10 6 i 1,099 10 25. Oba broja su pozitivna, a prvi ima niži stepen desetice od drugog (6< 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
2. 1,76 · 10 3 i 2,5 · 10 −4. Brojevi su opet pozitivni, a stepen deset za prvi od njih je veći nego za drugi (3 > −4). Dakle, 1,76 · 10 3 > 2,5 · 10 −4 ;
3. 2.215 10 11 i 2.64 10 11. Brojevi su pozitivni, stepen desetice je isti. Gledamo značajan dio: prve cifre se također poklapaju (2 = 2). Razlika počinje od druge cifre: 2< 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
4. −1,3975 · 10 3 i −3,28 · 10 4 . Ovo negativni brojevi. Prvi ima stepen za deset manji (3< 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 >−3,28 · 10 4 ;
5. −1,0015 · 10 −8 i −1,001498 · 10 −8 . Opet, negativni brojevi i stepen desetice su isti. Prve 4 cifre značajnog dijela su također iste (1001 = 1001). Od 5. cifre počinje razlika, odnosno: 5 > 4. Pošto su originalni brojevi negativni, zaključujemo: −1,0015 10 −8< −1,001498 · 10 −8 .

Primetili smo da bilo koji monom može biti dovesti u standardni oblik. U ovom članku ćemo razumjeti što se naziva dovođenje monoma u standardni oblik, koje radnje omogućuju da se ovaj proces provede i razmotriti rješenja primjera s detaljnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Šta znači reducirati monom na standardni oblik?

Pogodno je raditi sa monomima kada su napisani u standardnom obliku. Međutim, vrlo često se monomi specificiraju u obliku različitom od standardnog. U ovim slučajevima, uvijek možete prijeći sa originalnog monoma na monom standardnog oblika izvodeći transformacije identiteta. Proces izvođenja takvih transformacija naziva se svođenje monoma na standardni oblik.

Hajde da sumiramo gornje argumente. Reduciraj monom na standardni oblik- to znači izvođenje identičnih transformacija s njim tako da poprimi standardni oblik.

Kako dovesti monom u standardni oblik?

Vrijeme je da shvatimo kako svesti monome na standardni oblik.

Kao što je poznato iz definicije, monomi nestandardnog oblika su proizvodi brojeva, varijabli i njihovih potencija, a moguće i onih koji se ponavljaju. A monom standardnog oblika može sadržavati u svojoj notaciji samo jedan broj i neponavljajuće varijable ili njihove moći. Sada ostaje razumjeti kako dovesti proizvode prve vrste u tip druge?

Da biste to učinili, trebate koristiti sljedeće pravilo za svođenje monoma na standardni oblik koji se sastoji od dva koraka:

• Prvo se vrši grupisanje brojčanih faktora, kao i identičnih varijabli i njihovih snaga;
• Drugo, proizvod brojeva se izračunava i primjenjuje.

Kao rezultat primjene navedenog pravila, svaki monom će se svesti na standardni oblik.

Primjeri, rješenja

Ostaje samo naučiti kako primijeniti pravilo iz prethodnog paragrafa prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Smanjite monom 3 x 2 x 2 na standardni oblik.

Rješenje.

Grupirajmo numeričke faktore i faktore sa promenljivom x. Nakon grupisanja, originalni monom će poprimiti oblik (3·2)·(x·x 2) . Proizvod brojeva u prvim zagradama jednak je 6, a pravilo množenja stepena sa istim osnovama dozvoljava da se izraz u drugim zagradama predstavi kao x 1 +2=x 3. Kao rezultat, dobijamo polinom standardnog oblika 6 x 3.

Evo kratkog sažetka rješenja: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

odgovor:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

Dakle, da biste monom doveli u standardni oblik, morate biti u stanju da grupišete faktore, množite brojeve i radite sa potencijama.

Da bismo konsolidirali gradivo, riješimo još jedan primjer.

Primjer.

Predstavite monom u standardnom obliku i navedite njegov koeficijent.

Rješenje.

Originalni monom ima jedan brojčani faktor u svojoj notaciji −1, pomjerimo ga na početak. Nakon ovoga, mi ćemo posebno grupirati faktore sa varijablom a, posebno sa varijablom b, a varijablu m nema sa čime da grupišemo, ostavićemo je kako jeste, imamo . Nakon izvođenja operacija sa potencijama u zagradama, monom će poprimiti standardni oblik koji nam je potreban, iz kojeg možemo vidjeti koeficijent monoma jednak −1. Minus jedan se može zamijeniti znakom minus: .