En esta lección veremos Funciones trigonométricas básicas, sus propiedades y gráficas., y también enumerar tipos básicos de ecuaciones y sistemas trigonométricos. Además, indicamos soluciones generales de las ecuaciones trigonométricas más simples y sus casos especiales.
Esta lección le ayudará a prepararse para uno de los tipos de tareas. B5 y C1.
Preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
Experimento
Lección 10. Funciones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas y sus sistemas.
Teoría
Resumen de la lección
Ya hemos utilizado muchas veces el término “función trigonométrica”. En la primera lección de este tema, los definimos usando un triángulo rectángulo y un círculo trigonométrico unitario. Usando estos métodos funciones trigonométricas, ya podemos concluir que para ellos un valor del argumento (o ángulo) corresponde exactamente a un valor de la función, es decir tenemos derecho a llamar funciones seno, coseno, tangente y cotangente.
En esta lección, es hora de intentar abstraerse de los métodos discutidos anteriormente para calcular los valores de funciones trigonométricas. Hoy pasaremos al enfoque algebraico habitual para trabajar con funciones, veremos sus propiedades y representaremos gráficas.
En cuanto a las propiedades de las funciones trigonométricas, entonces Atención especial debe tenerse en cuenta:
El dominio de la definición y el rango de valores, porque para seno y coseno existen restricciones en el rango de valores, y para tangente y cotangente hay restricciones en el rango de definición;
La periodicidad de todas las funciones trigonométricas, porque Ya hemos notado la presencia del argumento más pequeño distinto de cero, cuya suma no cambia el valor de la función. Este argumento se llama período de la función y se denota con la letra. Para seno/coseno y tangente/cotangente estos períodos son diferentes.
Considere la función:
1) Alcance de la definición;
2) rango de valores 
;
3) La función es impar 
;
Construyamos una gráfica de la función. En este caso, es conveniente comenzar la construcción con una imagen del área que limita la gráfica desde arriba con el número 1 y desde abajo con el número , el cual está asociado al rango de valores de la función. Además, para la construcción es útil recordar los valores de los senos de varios ángulos principales de la tabla, por ejemplo, que esto le permitirá construir la primera "onda" completa del gráfico y luego volver a dibujarla hacia la derecha y izquierda, aprovechando que la imagen se repetirá con un desplazamiento de un punto, es decir en .
Ahora veamos la función:
Las principales propiedades de esta función:
1) Alcance de la definición;
2) rango de valores ;
3) Función uniforme 
Esto implica que la gráfica de la función es simétrica con respecto a la ordenada;
4) La función no es monótona en todo su dominio de definición;
Construyamos una gráfica de la función. Al igual que cuando se construye un seno, es conveniente comenzar con una imagen del área que limita la gráfica en la parte superior con el número 1 y en la parte inferior con el número , que está asociado al rango de valores de la función. También trazaremos las coordenadas de varios puntos en el gráfico, para lo cual debemos recordar los valores de los cosenos de varios ángulos principales de la tabla, por ejemplo, que con la ayuda de estos puntos podemos construir la primera "onda" completa. ” del gráfico y luego volver a dibujarlo hacia la derecha y hacia la izquierda, aprovechando que la imagen se repetirá con un cambio de período, es decir en .
Pasemos a la función:
Las principales propiedades de esta función:
1) Dominio excepto , donde . Ya hemos indicado en lecciones anteriores que no existe. Esta afirmación se puede generalizar considerando el período tangente;
2) Rango de valores, es decir los valores tangentes no están limitados;
3) La función es impar 
;
4) La función aumenta monótonamente dentro de sus denominadas ramas tangentes, que ahora veremos en la figura;
5) La función es periódica con un punto.
Construyamos una gráfica de la función. En este caso, es conveniente comenzar la construcción representando las asíntotas verticales del gráfico en puntos que no están incluidos en el dominio de definición, es decir, etc. A continuación, representamos las ramas de la tangente dentro de cada una de las franjas formadas por las asíntotas, presionándolas hacia la asíntota izquierda y hacia la derecha. Al mismo tiempo, no olvides que cada rama aumenta de forma monótona. Representamos todas las ramas de la misma manera, porque la función tiene un periodo igual a . Esto se puede ver en el hecho de que cada rama se obtiene desplazando la vecina a lo largo del eje de abscisas.
Y terminamos con un vistazo a la función:
Las principales propiedades de esta función:
1) Dominio excepto , donde . Por la tabla de valores de funciones trigonométricas ya sabemos que no existe. Esta afirmación se puede generalizar considerando el período cotangente;
2) Rango de valores, es decir los valores cotangentes no están limitados;
3) La función es impar 
;
4) La función decrece monótonamente dentro de sus ramas, que son similares a las ramas tangentes;
5) La función es periódica con un punto.
Construyamos una gráfica de la función. En este caso, en cuanto a la tangente, es conveniente comenzar la construcción representando las asíntotas verticales del gráfico en puntos que no están incluidos en el área de definición, es decir etc. A continuación, representamos las ramas de la cotangente dentro de cada una de las franjas formadas por las asíntotas, presionándolas hacia la asíntota izquierda y hacia la derecha. En este caso, tenemos en cuenta que cada rama disminuye monótonamente. Representamos todas las ramas de manera similar a la tangente de la misma manera, porque la función tiene un periodo igual a .
Por otra parte, cabe señalar que las funciones trigonométricas con argumentos complejos pueden tener un período no estándar. Estamos hablando de funciones de la forma:
Su período es igual. Y sobre las funciones:
Su período es igual.
Como puede ver, para calcular un nuevo período, el período estándar simplemente se divide por el factor del argumento. No depende de otras modificaciones de la función.
Puede comprender con más detalle y comprender de dónde provienen estas fórmulas en la lección sobre cómo construir y transformar gráficas de funciones.
Hemos llegado a una de las partes más importantes del tema “Trigonometría”, que dedicaremos a la resolución de ecuaciones trigonométricas. La capacidad de resolver este tipo de ecuaciones es importante, por ejemplo, a la hora de describir procesos oscilatorios en física. Imaginemos que has dado algunas vueltas en un kart de un coche deportivo; resolver una ecuación trigonométrica te ayudará a determinar cuánto tiempo llevas en carrera dependiendo de la posición del coche en la pista.
Escribamos la ecuación trigonométrica más simple:
La solución a tal ecuación son los argumentos cuyo seno es igual a . Pero ya sabemos que debido a la periodicidad del seno, existe un número infinito de tales argumentos. Por tanto, la solución a esta ecuación será, etc. Lo mismo se aplica a la resolución de cualquier otra ecuación trigonométrica simple; habrá un número infinito de ellas.
Las ecuaciones trigonométricas se dividen en varios tipos principales. Por separado, deberíamos detenernos en los más simples, porque todo lo demás depende de ellos. Hay cuatro ecuaciones de este tipo (según el número de funciones trigonométricas básicas). Se conocen soluciones generales para ellos; hay que recordarlas.
Las ecuaciones trigonométricas más simples y sus soluciones generales. se parece a esto:
Tenga en cuenta que los valores de seno y coseno deben tener en cuenta las limitaciones que conocemos. Si, por ejemplo, la ecuación no tiene soluciones y no se debe aplicar la fórmula especificada.
Además, las fórmulas raíz especificadas contienen un parámetro en forma de un número entero arbitrario. EN currículum escolar Este es el único caso en el que la solución de una ecuación sin parámetro contiene un parámetro. Este número entero arbitrario muestra que es posible escribir un número infinito de raíces de cualquiera de las ecuaciones anteriores simplemente sustituyendo todos los números enteros por turno.
Puede familiarizarse con la derivación detallada de estas fórmulas repitiendo el capítulo "Ecuaciones trigonométricas" en el programa de álgebra de décimo grado.
Por otra parte, es necesario prestar atención a la resolución de casos especiales de las ecuaciones más simples con seno y coseno. Estas ecuaciones se ven así:
No se les deben aplicar fórmulas de búsqueda. soluciones generales. La forma más conveniente de resolver estas ecuaciones es utilizando el círculo trigonométrico, que da un resultado más sencillo que las fórmulas de solución generales.
Por ejemplo, la solución de la ecuación es 
. Intenta obtener esta respuesta tú mismo y resuelve las ecuaciones restantes indicadas.
Además del tipo más común de ecuaciones trigonométricas indicadas, existen varias más estándar. Te los enumeramos teniendo en cuenta los que ya te hemos indicado:
1) Protozoos, Por ejemplo, ;
2) Casos especiales de las ecuaciones más simples., Por ejemplo, ;
3) Ecuaciones con argumento complejo, Por ejemplo, 
;
4) Ecuaciones reducidas a su forma más simple quitando un factor común, Por ejemplo, ;
5) Ecuaciones reducidas a su forma más simple transformando funciones trigonométricas., Por ejemplo, ;
6) Ecuaciones reducidas a su forma más simple por sustitución, Por ejemplo, ;
7) Ecuaciones homogéneas , Por ejemplo, ;
8) Ecuaciones que se pueden resolver usando las propiedades de las funciones., Por ejemplo, 
. No se alarme por el hecho de que hay dos variables en esta ecuación; se resuelve sola;
Además de ecuaciones que se pueden resolver usando varios métodos.
Además de resolver ecuaciones trigonométricas, debes poder resolver sus sistemas.
Los tipos de sistemas más comunes son:
1) ¿En cuál de las ecuaciones es potencia?, Por ejemplo, 
;
2) Sistemas de ecuaciones trigonométricas simples., Por ejemplo, 
.
En la lección de hoy analizamos las funciones trigonométricas básicas, sus propiedades y gráficas. También nos conocimos fórmulas generales Las soluciones de las ecuaciones trigonométricas más simples indicaron los principales tipos de tales ecuaciones y sus sistemas.
En la parte práctica de la lección, examinaremos métodos para resolver ecuaciones trigonométricas y sus sistemas.
Cuadro 1.Resolver casos especiales de las ecuaciones trigonométricas más simples..
Como ya hemos dicho en la parte principal de la lección, casos especiales de ecuaciones trigonométricas con seno y coseno de la forma:
ten mas soluciones simples, lo que dan las fórmulas para soluciones generales.
Para ello se utiliza un círculo trigonométrico. Analicemos el método para resolverlos usando el ejemplo de la ecuación.
Representamos en el círculo trigonométrico el punto en el que el valor del coseno es cero, que también es la coordenada a lo largo del eje de abscisas. Como puede ver, hay dos de esos puntos. Nuestra tarea es indicar a qué es igual el ángulo que corresponde a estos puntos del círculo.
 |
Comenzamos a contar desde la dirección positiva del eje de abscisas (eje coseno) y al establecer el ángulo llegamos al primer punto representado, es decir. una solución sería este valor de ángulo. Pero todavía estamos satisfechos con el ángulo que corresponde al segundo punto. ¿Cómo entrar en ello?
En esta lección veremos Funciones trigonométricas básicas, sus propiedades y gráficas., y también enumerar tipos básicos de ecuaciones y sistemas trigonométricos. Además, indicamos soluciones generales de las ecuaciones trigonométricas más simples y sus casos especiales.
Esta lección le ayudará a prepararse para uno de los tipos de tareas. B5 y C1.
Preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas.
Experimento
Lección 10. Funciones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas y sus sistemas.
Teoría
Resumen de la lección
Ya hemos utilizado muchas veces el término “función trigonométrica”. En la primera lección de este tema, los definimos usando un triángulo rectángulo y un círculo trigonométrico unitario. Usando estos métodos para especificar funciones trigonométricas, ya podemos concluir que para ellos un valor del argumento (o ángulo) corresponde exactamente a un valor de la función, es decir tenemos derecho a llamar funciones seno, coseno, tangente y cotangente.
En esta lección, es hora de intentar abstraerse de los métodos discutidos anteriormente para calcular los valores de funciones trigonométricas. Hoy pasaremos al enfoque algebraico habitual para trabajar con funciones, veremos sus propiedades y representaremos gráficas.
En cuanto a las propiedades de las funciones trigonométricas, se debe prestar especial atención a:
El dominio de la definición y el rango de valores, porque para seno y coseno existen restricciones en el rango de valores, y para tangente y cotangente hay restricciones en el rango de definición;
La periodicidad de todas las funciones trigonométricas, porque Ya hemos notado la presencia del argumento más pequeño distinto de cero, cuya suma no cambia el valor de la función. Este argumento se llama período de la función y se denota con la letra. Para seno/coseno y tangente/cotangente estos períodos son diferentes.
Considere la función:
1) Alcance de la definición;
2) rango de valores ;
3) La función es impar ;
Construyamos una gráfica de la función. En este caso, es conveniente comenzar la construcción con una imagen del área que limita la gráfica desde arriba con el número 1 y desde abajo con el número , el cual está asociado al rango de valores de la función. Además, para la construcción es útil recordar los valores de los senos de varios ángulos principales de la tabla, por ejemplo, que esto le permitirá construir la primera "onda" completa del gráfico y luego volver a dibujarla hacia la derecha y izquierda, aprovechando que la imagen se repetirá con un desplazamiento de un punto, es decir en .
Ahora veamos la función:
Las principales propiedades de esta función:
1) Alcance de la definición;
2) rango de valores ;
3) Función uniforme Esto implica que la gráfica de la función es simétrica con respecto a la ordenada;
4) La función no es monótona en todo su dominio de definición;
Construyamos una gráfica de la función. Al igual que cuando se construye un seno, es conveniente comenzar con una imagen del área que limita la gráfica en la parte superior con el número 1 y en la parte inferior con el número , que está asociado al rango de valores de la función. También trazaremos las coordenadas de varios puntos en el gráfico, para lo cual debemos recordar los valores de los cosenos de varios ángulos principales de la tabla, por ejemplo, que con la ayuda de estos puntos podemos construir la primera "onda" completa. ” del gráfico y luego volver a dibujarlo hacia la derecha y hacia la izquierda, aprovechando que la imagen se repetirá con un cambio de período, es decir en .
Pasemos a la función:
Las principales propiedades de esta función:
1) Dominio excepto , donde . Ya hemos indicado en lecciones anteriores que no existe. Esta afirmación se puede generalizar considerando el período tangente;
2) Rango de valores, es decir los valores tangentes no están limitados;
3) La función es impar ;
4) La función aumenta monótonamente dentro de sus denominadas ramas tangentes, que ahora veremos en la figura;
5) La función es periódica con un punto.
Construyamos una gráfica de la función. En este caso, es conveniente comenzar la construcción representando las asíntotas verticales del gráfico en puntos que no están incluidos en el dominio de definición, es decir, etc. A continuación, representamos las ramas de la tangente dentro de cada una de las franjas formadas por las asíntotas, presionándolas hacia la asíntota izquierda y hacia la derecha. Al mismo tiempo, no olvides que cada rama aumenta de forma monótona. Representamos todas las ramas de la misma manera, porque la función tiene un periodo igual a . Esto se puede ver en el hecho de que cada rama se obtiene desplazando la vecina a lo largo del eje de abscisas.
Y terminamos con un vistazo a la función:
Las principales propiedades de esta función:
1) Dominio excepto , donde . Por la tabla de valores de funciones trigonométricas ya sabemos que no existe. Esta afirmación se puede generalizar considerando el período cotangente;
2) Rango de valores, es decir los valores cotangentes no están limitados;
3) La función es impar ;
4) La función decrece monótonamente dentro de sus ramas, que son similares a las ramas tangentes;
5) La función es periódica con un punto.
Construyamos una gráfica de la función. En este caso, en cuanto a la tangente, es conveniente comenzar la construcción representando las asíntotas verticales del gráfico en puntos que no están incluidos en el área de definición, es decir etc. A continuación, representamos las ramas de la cotangente dentro de cada una de las franjas formadas por las asíntotas, presionándolas hacia la asíntota izquierda y hacia la derecha. En este caso, tenemos en cuenta que cada rama disminuye monótonamente. Representamos todas las ramas de manera similar a la tangente de la misma manera, porque la función tiene un periodo igual a .
Por otra parte, cabe señalar que las funciones trigonométricas con argumentos complejos pueden tener un período no estándar. Estamos hablando de funciones de la forma:
Su período es igual. Y sobre las funciones:
Su período es igual.
Como puede ver, para calcular un nuevo período, el período estándar simplemente se divide por el factor del argumento. No depende de otras modificaciones de la función.
Puede comprender con más detalle y comprender de dónde provienen estas fórmulas en la lección sobre cómo construir y transformar gráficas de funciones.
Hemos llegado a una de las partes más importantes del tema “Trigonometría”, que dedicaremos a la resolución de ecuaciones trigonométricas. La capacidad de resolver este tipo de ecuaciones es importante, por ejemplo, a la hora de describir procesos oscilatorios en física. Imaginemos que has dado algunas vueltas en un kart de un coche deportivo; resolver una ecuación trigonométrica te ayudará a determinar cuánto tiempo llevas en carrera dependiendo de la posición del coche en la pista.
Escribamos la ecuación trigonométrica más simple:
La solución a tal ecuación son los argumentos cuyo seno es igual a . Pero ya sabemos que debido a la periodicidad del seno, existe un número infinito de tales argumentos. Por tanto, la solución a esta ecuación será, etc. Lo mismo se aplica a la resolución de cualquier otra ecuación trigonométrica simple; habrá un número infinito de ellas.
Las ecuaciones trigonométricas se dividen en varios tipos principales. Por separado, deberíamos detenernos en los más simples, porque todo lo demás depende de ellos. Hay cuatro ecuaciones de este tipo (según el número de funciones trigonométricas básicas). Se conocen soluciones generales para ellos; hay que recordarlas.
Las ecuaciones trigonométricas más simples y sus soluciones generales. se parece a esto:
Tenga en cuenta que los valores de seno y coseno deben tener en cuenta las limitaciones que conocemos. Si, por ejemplo, la ecuación no tiene soluciones y no se debe aplicar la fórmula especificada.
Además, las fórmulas raíz especificadas contienen un parámetro en forma de un número entero arbitrario. En el plan de estudios escolar, este es el único caso en el que la solución de una ecuación sin parámetro contiene un parámetro. Este número entero arbitrario muestra que es posible escribir un número infinito de raíces de cualquiera de las ecuaciones anteriores simplemente sustituyendo todos los números enteros por turno.
Puede familiarizarse con la derivación detallada de estas fórmulas repitiendo el capítulo "Ecuaciones trigonométricas" en el programa de álgebra de décimo grado.
Por otra parte, es necesario prestar atención a la resolución de casos especiales de las ecuaciones más simples con seno y coseno. Estas ecuaciones se ven así:
No se les deben aplicar fórmulas para encontrar soluciones generales. La forma más conveniente de resolver estas ecuaciones es utilizando el círculo trigonométrico, que da un resultado más sencillo que las fórmulas de solución generales.
Por ejemplo, la solución de la ecuación es . Intenta obtener esta respuesta tú mismo y resuelve las ecuaciones restantes indicadas.
Además del tipo más común de ecuaciones trigonométricas indicadas, existen varias más estándar. Te los enumeramos teniendo en cuenta los que ya te hemos indicado:
1) Protozoos, Por ejemplo, ;
2) Casos especiales de las ecuaciones más simples., Por ejemplo, ;
3) Ecuaciones con argumento complejo, Por ejemplo, ;
4) Ecuaciones reducidas a su forma más simple quitando un factor común, Por ejemplo, ;
5) Ecuaciones reducidas a su forma más simple transformando funciones trigonométricas., Por ejemplo, ;
6) Ecuaciones reducidas a su forma más simple por sustitución, Por ejemplo, ;
7) Ecuaciones homogéneas, Por ejemplo, ;
8) Ecuaciones que se pueden resolver usando las propiedades de las funciones., Por ejemplo, . No se alarme por el hecho de que hay dos variables en esta ecuación; se resuelve sola;
Así como ecuaciones que se resuelven mediante diversos métodos.
Además de resolver ecuaciones trigonométricas, debes poder resolver sus sistemas.
Los tipos de sistemas más comunes son:
1) ¿En cuál de las ecuaciones es potencia?, Por ejemplo, ;
2) Sistemas de ecuaciones trigonométricas simples., Por ejemplo, .
En la lección de hoy analizamos las funciones trigonométricas básicas, sus propiedades y gráficas. También nos familiarizamos con las fórmulas generales para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples, indicamos los principales tipos de dichas ecuaciones y sus sistemas.
En la parte práctica de la lección, examinaremos métodos para resolver ecuaciones trigonométricas y sus sistemas.
Cuadro 1.Resolver casos especiales de las ecuaciones trigonométricas más simples..
Como ya hemos dicho en la parte principal de la lección, casos especiales de ecuaciones trigonométricas con seno y coseno de la forma:
tienen soluciones más simples que las dadas por las fórmulas de solución generales.
Para ello se utiliza un círculo trigonométrico. Analicemos el método para resolverlos usando el ejemplo de la ecuación.
Representamos en el círculo trigonométrico el punto en el que el valor del coseno es cero, que también es la coordenada a lo largo del eje de abscisas. Como puede ver, hay dos de esos puntos. Nuestra tarea es indicar a qué es igual el ángulo que corresponde a estos puntos del círculo.
|
Comenzamos a contar desde la dirección positiva del eje de abscisas (eje coseno) y al establecer el ángulo llegamos al primer punto representado, es decir. una solución sería este valor de ángulo. Pero todavía estamos satisfechos con el ángulo que corresponde al segundo punto. ¿Cómo entrar en ello?
1. Funciones trigonométricas representar funciones elementales, cuyo argumento es esquina. Las funciones trigonométricas describen las relaciones entre los lados y los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Los campos de aplicación de las funciones trigonométricas son extremadamente diversos. Por ejemplo, cualquier proceso periódico se puede representar como una suma de funciones trigonométricas (serie de Fourier). Estas funciones suelen aparecer al resolver ecuaciones diferenciales y funcionales.
2. Las funciones trigonométricas incluyen las siguientes 6 funciones: seno, coseno, tangente,cotangente, secante Y cosecante. Para cada funciones especificadas hay una función trigonométrica inversa.
3. Es conveniente introducir la definición geométrica de funciones trigonométricas utilizando circulo unitario. La siguiente figura muestra un círculo con radio r=1. El punto M(x,y) está marcado en el círculo. El ángulo entre el vector de radio OM y la dirección positiva del eje Ox es igual a α.
4. Seno El ángulo α es la relación entre la ordenada y del punto M(x,y) y el radio r:
senα=y/r.
Como r=1, entonces el seno es igual a la ordenada del punto M(x,y).
5. Coseno El ángulo α es la relación entre la abscisa x del punto M(x,y) y el radio r:
cosα=x/r
6. Tangente El ángulo α es la relación entre la ordenada y de un punto M(x,y) y su abscisa x:
tanα=y/x,x≠0
7. Cotangente El ángulo α es la relación entre la abscisa x de un punto M(x,y) y su ordenada y:
cotα=x/y,y≠0
8. Secante El ángulo α es la relación entre el radio r y la abscisa x del punto M(x,y):
segundoα=r/x=1/x,x≠0
9. Cosecante El ángulo α es la relación entre el radio r y la ordenada y del punto M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. En el círculo unitario, las proyecciones x, y, los puntos M(x,y) y el radio r forman un triángulo rectángulo, en el que x,y son los catetos y r es la hipotenusa. Por lo tanto, las definiciones anteriores de funciones trigonométricas en el apéndice de triángulo rectángulo se formulan de la siguiente manera:
Seno El ángulo α es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno El ángulo α es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente Se llama ángulo α al cateto opuesto al adyacente.
Cotangente El ángulo α se llama lado adyacente al lado opuesto.
Secante El ángulo α es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante El ángulo α es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
11. Gráfica de la función seno
y=sinx, dominio de definición: x∈R, rango de valores: −1≤sinx≤1
12. Gráfica de la función coseno
y=cosx, dominio: x∈R, rango: −1≤cosx≤1
13. Gráfica de la función tangente 14. Gráfica de la función cotangente 15. Gráfica de la función secante
y=tanx, dominio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, rango: −∞ 
y=cotx, dominio: x∈R,x≠kπ, rango: −∞ 
y=secx, dominio: x∈R,x≠(2k+1)π/2, rango: secx∈(−∞,−1]∪∪)
Más popular
