El método de secciones de poliedros en estereometría se utiliza en problemas de construcción. Se basa en la capacidad de construir una sección de un poliedro y determinar el tipo de sección.

Este material se caracteriza por las siguientes características:

1. El método de secciones se utiliza sólo para poliedros, ya que varios tipos complejos (oblicuos) de secciones de cuerpos de revolución no están incluidos en el plan de estudios de la escuela secundaria.
2. Los problemas utilizan principalmente los poliedros más simples.
3. Los problemas se presentan principalmente sin datos numéricos para crear la posibilidad de su uso múltiple.

Para resolver el problema de construir una sección de un poliedro, el estudiante debe saber:

• ¿Qué significa construir una sección de un poliedro con un plano?
• cómo se pueden posicionar un poliedro y un plano entre sí;
• cómo se define el avión;
• cuando se considera resuelto el problema de construir una sección de un poliedro por un plano.

Porque el plano está definido:

• tres puntos;
• recta y punto;
• dos líneas paralelas;
• dos líneas que se cruzan,

La construcción del plano de sección depende de las especificaciones de este plano. Por lo tanto, todos los métodos para construir secciones de poliedros se pueden dividir en métodos.

existe tres métodos principales construir secciones de poliedros:

1. Método de rastreo.
2. Método de secciones auxiliares.
3. Método combinado.

Los dos primeros métodos son variaciones. método axiomático construcción de tramos.

También podemos distinguir los siguientes métodos para construir secciones de poliedros:

• construir una sección de un poliedro con un plano que pasa por punto dado paralelo a un plano dado;
• construir una sección que pase por una línea dada paralela a otra línea dada;
• construir una sección que pase por un punto dado paralelo a dos líneas de intersección dadas;
• construir una sección de un poliedro con un plano que pasa por una línea dada perpendicular a un plano dado;
• construir una sección de un poliedro con un plano que pasa por un punto dado perpendicular a una línea recta dada.

La lista federal de libros de texto sobre geometría para los grados 10-11 incluye libros de texto de los siguientes autores:

• Atanasyan L.S., Butuzova V.F., Kadomtseva S.B. y otros (Geometría, 10-11);
• Pogorelova A.V. (Geometría, 7-11);
• Alexandrova A.D., Vernera A.L., Ryzhik V.I.
• (Geometría, 10-11);
• Smirnova I.M. (Geometría, 10-11);

Sharygina I.F. (Geometría, 10-11).

Echemos un vistazo más de cerca a los libros de texto de L.S., Atanasyan y A.V.

En el libro de texto L.S. A Atanasyan se le asignaron dos horas sobre el tema “Construcción de secciones de poliedros”. En décimo grado, en el tema “Paralelismo de rectas y planos”, después de estudiar el tetraedro y el paralelepípedo, se reserva una hora para presentar el párrafo “Problemas de construcción de secciones”. Se consideran secciones de un tetraedro y un paralelepípedo. Y el tema “Paralelismo de rectas y planos” finaliza con la resolución de problemas en una o dos horas (en total hay ocho problemas para construir secciones en el libro de texto).

En el libro de texto Pogorelov A.V. Se asignan aproximadamente tres horas para construir secciones en el capítulo "Poliedros": una para estudiar el tema "Imagen de un prisma y construir sus secciones", la segunda para estudiar el tema "Construir una pirámide y sus secciones planas" y la tercera. para resolver problemas. En la lista de problemas que figura después del tema, sólo hay unos diez problemas de sección transversal.

Ofrecemos un sistema de lecciones sobre el tema "Construcción de secciones de poliedros" para el libro de texto de Pogorelov A.V.

1. Se propone organizar el material en la secuencia en la que se puede utilizar para enseñar a los estudiantes. De la presentación del tema “Poliedros” se propone excluir los siguientes párrafos: “Construcción de secciones de un prisma” y “Construcción de secciones de una pirámide” con el fin de sistematizar este material al final de este tema “Poliedros” . Se puede clasificar según el tema de las tareas, observando aproximadamente el principio "de simple a complejo", de la siguiente manera:
2. Determinación de la sección de poliedros. Construcción de secciones de un prisma, paralelepípedo, pirámide mediante el método de la traza. (Como regla general, en un curso escolar sobre estereometría, se utilizan problemas para construir secciones de poliedros, resueltos mediante métodos básicos. Otros métodos, debido a su mayor alto nivel
3. complejidad, el profesor puede dejarlo para su consideración en clases optativas o para estudio independiente. En los problemas de construcción, los métodos básicos requieren construir un plano de sección que pase por tres puntos). proyección ortogonal polígono).
4. Encontrar el área de la sección transversal en poliedros (usando el teorema del área de la proyección ortogonal de un polígono).

PROBLEMAS ESTEREOMÉTRICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE SECCIONES DE POLIEDROS Y MÉTODOS PARA SU USO EN LECCIONES DE LOS GRADOS 10-11.

(sistema de lecciones y clases optativas sobre el tema “Construcción de secciones de poliedros”)

LECCIÓN 1.

Tema de la lección: “Construcción de secciones de poliedros”.

Objetivo de la lección: familiarización con métodos para construir secciones de poliedros.

Pasos de la lección:

1. Actualización de conocimientos básicos.
2. Declaración del problema.
3. Aprender material nuevo:

A) Definición de la sección.

B) Métodos de construcción de secciones:

a) método de rastreo;

b) método de secciones auxiliares;

c) método combinado.

1. Fijación del material.

Ejemplos de construcción de secciones utilizando el método de seguimiento.

1. Resumiendo la lección.

Progreso de la lección.

1. Actualización de conocimientos básicos.

Recordemos:
- intersección de una línea recta con un plano;
- intersección de planos;
- propiedades de planos paralelos.

2. Declaración del problema.

Preguntas para la clase:
- ¿Qué significa construir una sección de un poliedro con un plano?
- ¿Cómo se pueden posicionar un poliedro y un plano entre sí?
- ¿Cómo se define el avión?
- ¿Cuándo se considera resuelto el problema de construir una sección de un poliedro por un plano?

3. Aprender material nuevo.

A) Entonces, la tarea es construir la intersección de dos figuras: un poliedro y un plano (Fig. 1). Estos pueden ser: una figura vacía (a), un punto (b), un segmento (c), un polígono (d). Si la intersección de un poliedro y un plano es un polígono, entonces este polígono se llama sección de un poliedro por un plano.

Consideraremos sólo el caso en el que el plano interseca al poliedro a lo largo de su interior. En este caso, la intersección de este plano con cada cara del poliedro será un segmento determinado. Por tanto, el problema se considera resuelto si se encuentran todos los segmentos a lo largo de los cuales el plano intersecta las caras del poliedro.

Examina las secciones del cubo (Fig. 2) y responde las siguientes preguntas:

¿Qué polígonos se obtienen al cortar un cubo por un plano? (El número de lados del polígono es importante);

[Respuestas sugeridas: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono.]

¿Se puede cortar un cubo con un plano en un heptágono? ¿Qué pasa con el octágono, etc.? ¿Por qué?

Veamos el prisma y sus posibles secciones por plano (en el modelo). ¿Qué tipo de polígonos se obtienen?

¿Qué se puede concluir? ¿Cuál es el mayor número de lados de un polígono que se obtiene al cortar un poliedro con un plano?

[El mayor número de lados de un polígono obtenido al cortar un poliedro por un plano es igual al número de caras del poliedro.]

B) a) Método de seguimiento Consiste en construir trazas de un plano de corte sobre el plano de cada cara del poliedro. La construcción de una sección de un poliedro utilizando el método de la traza generalmente comienza con la construcción de la llamada traza principal del plano de corte, es decir, traza del plano de corte sobre el plano de la base del poliedro.

b) Método de secciones auxiliares. La construcción de secciones de poliedros es bastante universal. En los casos en que la traza (o trazas) deseada del plano de corte esté fuera del dibujo, este método incluso tiene ciertas ventajas. Al mismo tiempo, hay que tener en cuenta que las construcciones realizadas con este método suelen resultar "abarrotadas". Sin embargo, en algunos casos el método de las secciones auxiliares resulta el más racional.

El método de la traza y el método de la sección auxiliar son variaciones. método axiomático Construir secciones de poliedros con un plano.

c) La esencia método combinado La construcción de secciones de poliedros consiste en aplicar teoremas sobre el paralelismo de rectas y planos en el espacio en combinación con el método axiomático.

Ahora, usando un ejemplo de resolución de problemas, veamos método de rastreo

4. Fijación del material.

Tarea 1.

Construya una sección del prisma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 con un plano que pase por los puntos P, Q, R (los puntos se indican en el dibujo (Fig. 3)).

Solución.

Arroz. 3

1. Construyamos una traza del plano de corte sobre el plano de la base inferior del prisma. Considere la cara AA 1 B 1 B. Los puntos de sección P y Q se encuentran en esta cara. Dibujemos una línea recta PQ.
2. Continuamos la línea PQ, que pertenece al tramo, hasta cruzar la línea AB. Obtenemos un punto S 1 perteneciente a la traza.
3. De manera similar, obtenemos el punto S 2 por la intersección de las líneas QR y BC.
4. Línea recta S 1 S 2: traza del plano de corte en el plano de la base inferior del prisma.
5. La recta S 1 S 2 corta el lado AD en el punto U, el lado CD en el punto T. Conectemos los puntos P y U, ya que se encuentran en el mismo plano de la cara AA 1 D 1 D. De manera similar obtenemos TU y RT.
6. PQRTU es la sección requerida.

Construya una sección del paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 con un plano que pase por los puntos M, N, P (los puntos se indican en el dibujo (Fig. 4)).

Solución.

1. Los puntos N y P se encuentran en el plano de sección y en el plano de la base inferior del paralelepípedo.
2. Sigamos la línea recta en cuyo lado se encuentra AB del paralelepípedo. Las rectas AB y NP se cruzan en algún punto S. Este punto pertenece al plano de sección.
3. Dado que el punto M también pertenece al plano de sección y cruza la línea AA 1 en algún punto X.
4. Los puntos X y N se encuentran en el mismo plano de la cara AA 1 D 1 D, conéctelos y obtenga una línea recta XN.
5. Dado que los planos de las caras del paralelepípedo son paralelos, entonces a través del punto M podemos trazar una recta en la cara A 1 B 1 C 1 D 1 paralela a la recta NP. Esta línea recta cruzará el lado B 1 C 1 en el punto Y.
6. De manera similar, trazamos la recta YZ, paralela a la recta XN. Conectamos Z con P y obtenemos la sección deseada: MYZPNX.

Problema 3 (para solución independiente).

Construya una sección del tetraedro DACB con un plano que pase por los puntos M, N, P (los puntos se indican en el dibujo (Fig. 5)).

5. Resumiendo la lección.

Responda la pregunta: ¿las figuras sombreadas son secciones de los poliedros representados por el plano PQR? Y complete la construcción correcta (Fig. 6).

Opción 1.

Opción 2.

Tema de la lección: ENCONTRAR ÁREA SECCIONAL.

Propósito de la lección: presentar métodos para encontrar el área de la sección transversal de un poliedro.

Pasos de la lección:

1. Actualización de conocimientos básicos.

Recuerde el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de un polígono.

2. Resolviendo problemas para encontrar el área de la sección transversal:

Sin utilizar el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de un polígono;

Utilizando el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de un polígono.

3. Resumiendo la lección.

Progreso de la lección.

1. Actualización de conocimientos básicos.

recordemos teorema sobre el área de la proyección ortogonal de un polígono: El área de la proyección ortogonal de un polígono sobre un plano es igual al producto de su área por el coseno del ángulo entre el plano del polígono y el plano de proyección.

2. Resolución de problemas.

ABCD-correcto pirámide triangular con el lado de la base AB igual A y altura DH igual h. Construya una sección de la pirámide con un plano que pase por los puntos D, C y M, donde M es la mitad del lado AB, y encuentre su área (Fig. 7).

La sección transversal de la pirámide es el triángulo MCD.

Encontremos su área. =

S = 1/2 DH CM = 1/2 A Encuentre el área de la sección transversal de un cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 con una arista

plano que pasa por el vértice D y los puntos E y F en las aristas A 1 D 1 y C 1 D 1, respectivamente, si A 1 E = k · D 1 E y C 1 F = k · D 1 F.

1. Construcción del tramo:
2. Dado que los puntos E y F pertenecen al plano de sección y al plano de la cara A 1 B 1 C 1 D 1, y los dos planos se cruzan a lo largo de una línea recta, entonces la línea recta EF será una traza del plano de sección al plano. de la cara A 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 8 ).
3. La ED y la FD directas se obtienen de la misma forma.

Problema 3 (para solución independiente).

Construye una sección del cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 con lado A un plano que pasa por los puntos B, M y N, donde L es el centro del borde AA 1 y N es el centro del borde CC 1.

Construimos la sección usando el método de seguimiento.

Encontramos el área de la sección transversal usando el teorema del área de la proyección ortogonal de un polígono. Respuesta: S = 1/2 · un 2.

CONSTRUCCIÓN DE SECCIONES Y SECCIONES SOBRE DIBUJOS

La formación de un dibujo de pieza se realiza sumando secuencialmente los salientes, secciones y secciones necesarias. Inicialmente, se crea una vista personalizada con el modelo especificado por el usuario y se establece la orientación del modelo que sea más adecuada para la vista principal. A continuación, utilizando esta y las siguientes vistas, se crean los cortes y secciones necesarios.

La vista principal (vista frontal) se selecciona para que dé la idea más completa de las formas y dimensiones de la pieza.

Secciones en dibujos

Dependiendo de la posición del plano de corte se distinguen los siguientes tipos de cortes:

A) horizontal, si el plano de corte se ubica paralelo al plano horizontal de proyecciones;

B) vertical, si el plano de corte es perpendicular al plano horizontal de proyecciones;

C) inclinado: el plano de corte está inclinado con respecto a los planos de proyección.

Las secciones verticales se dividen en:

· frontal: el plano de corte es paralelo al plano frontal de proyecciones;

· perfil: el plano de corte es paralelo al plano del perfil de proyecciones.
Dependiendo del número de planos secantes los cortes son:

· simple - con un plano de corte (Fig. 107);

· complejo: con dos o más planos de corte (Fig.108)
La norma prevé los siguientes tipos de cortes complejos:

· escalonado, cuando los planos de corte son paralelos (Fig. 108 a) y rotos: los planos de corte se cruzan (Fig. 108 b)

Fig.107 Sección simple

a)b)

Fig. 108 Cortes complejos

Designación de cortes

En el caso de que en una sección simple el plano secante coincida con el plano de simetría del objeto, no se indica la sección (Fig. 107). En todos los demás casos, las incisiones se designan. en mayúsculas Alfabeto ruso, comenzando con la letra A, por ejemplo A-A.

La posición del plano de corte en el dibujo se indica mediante una línea de sección, una línea abierta gruesa. En caso de un corte complejo, también se realizan trazos en las curvas de la línea de sección. Las flechas deben colocarse en los trazos iniciales y finales, indicando la dirección de visión; las flechas deben estar a una distancia de 2-3 mm de los extremos exteriores de los trazos. En el exterior de cada flecha que indica la dirección de visión, se aplica la misma letra mayúscula.

Para designar cortes y secciones en el sistema KOMPAS se utiliza el mismo botón La línea de corte ubicada en la página Designación (Fig. 109).

Fig. 109 Botón Cortar línea

Conectando media vista con media sección

Si la vista y la sección son figuras simétricas (Fig. 110), entonces puede conectar la mitad de la vista y la mitad de la sección, separándolas con una delgada línea de puntos y guiones, que es el eje de simetría. Parte de la sección suele ubicarse a la derecha del eje de simetría, que separa parte de la vista de la parte de la sección, o debajo del eje de simetría. Por lo general, no se muestran las líneas de contorno ocultas en las partes que conectan una vista y una sección. Si la proyección de cualquier línea, por ejemplo, el borde de una figura facetada, coincide con la línea axial que divide la vista y la sección, entonces la vista y la sección están separadas por una línea continua ondulada trazada a la izquierda del eje de simetría si el borde se encuentra en la superficie interior, o hacia la derecha si el borde es externo.

Arroz. 110 Conectando parte de una vista y una sección

Construcción de secciones

Estudiaremos la construcción de secciones en el sistema KOMPAS usando el ejemplo de construcción de un dibujo de un prisma, cuya tarea se muestra en la Fig. 111.

La secuencia del dibujo es la siguiente:

1. Con base en las dimensiones dadas, construiremos un modelo sólido del prisma (Fig. 109 b). Guardemos el modelo en la memoria de la computadora en un archivo llamado "Prisma".

Fig.112 Panel de líneas

3. Para construir una sección de perfil (Fig. 113) dibujemos una línea sección A-A en la vista principal usando el botón Línea de corte.

Fig. 113 Construcción de una sección de perfil.

La dirección de visión y el texto del símbolo se pueden seleccionar en el panel de control de comandos en la parte inferior de la pantalla (Fig. 114). La construcción de la línea de corte se completa haciendo clic en el botón Crear objeto.

Fig.114 Panel de control para el comando de construcción de tramos y secciones.

4. En el panel Vistas asociativas (Fig. 115), seleccione el botón Línea de corte, luego use la captura que aparece en la pantalla para indicar la línea de corte. Si todo se hace correctamente (la línea de corte debe trazarse en forma activa), la línea de corte se volverá roja. Después de especificar la línea de corte A-A, aparecerá en la pantalla una imagen fantasma en forma de rectángulo general.

Fig. 115 Vistas asociativas del panel

Usando el interruptor Sección/sección en el panel Propiedades, selecciona el tipo de imagen – Sección (Fig. 116) y la escala de la sección mostrada.

Fig.116 Panel de control para el comando de construcción de tramos y secciones.

La sección del perfil se construirá automáticamente en conexión saliente y con designación estándar. Si es necesario, la comunicación de proyección se puede desactivar con un interruptor. Conexión de proyección (Fig. 116). Para configurar los parámetros del sombreado que se utilizará en la sección creada (sección), use los controles en la pestaña Rayado.

Fig. 117 Construcción de una horizontal. sección B-B y secciones B-B

Si el plano de corte seleccionado al construir una sección coincide con el plano de simetría de la pieza, entonces, de acuerdo con la norma, dicha sección no está designada. Pero si simplemente borra la designación de una sección, debido al hecho de que la vista y la sección en la memoria de la computadora están interconectadas, se borrará toda la sección. Por lo tanto, para eliminar una designación, primero debe destruir la conexión entre la vista y la sección. Para hacer esto, haga clic con el botón izquierdo del mouse para seleccionar la sección y luego haga clic con el botón derecho del mouse para abrir el menú contextual, desde el cual seleccione el elemento Destruir vista (Fig. 97). Ahora se puede eliminar el símbolo de corte.

5. Para construir una sección horizontal, dibuje una línea de corte B-B a través del plano inferior del orificio en la vista frontal. Primero debe actualizar la vista frontal haciendo doble clic con el botón izquierdo del mouse. Luego se construye una sección horizontal (Fig. 117).

6. Al construir una sección frontal, combinamos parte de la vista y parte de la sección, porque Estas son figuras simétricas. El borde exterior del prisma se proyecta sobre la línea que divide la vista y la sección, por lo que distinguiremos vista y sección con una línea ondulada delgada y sólida dibujada a la derecha del eje de simetría, porque costilla exterior. Para dibujar una línea ondulada, use el botón Curva Bézier ubicada en el panel Geometría, dibujada con el estilo Para línea de ruptura (Fig. 118). Especifique secuencialmente los puntos por los que debe pasar la curva de Bézier. Puede terminar de ejecutar el comando haciendo clic en el botón Crear objeto.

Fig. 118 Seleccionar un estilo de línea para una ruptura

Construcción de secciones

Una sección es una imagen de un objeto que se obtiene diseccionando mentalmente el objeto con un plano. La sección muestra sólo lo que se encuentra en el plano de corte.

La posición del plano de corte con el que se forma la sección se indica en el dibujo mediante la línea de sección, al igual que en los cortes.

Las secciones, según su ubicación en los dibujos, se dividen en extendidas y superpuestas. Las secciones eliminadas suelen estar ubicadas en el campo libre del dibujo y están delineadas con una línea principal. Las secciones superpuestas se colocan directamente sobre la imagen del objeto y se delinean con líneas finas (Fig. 119).

Fig. 119 Construcción de secciones.

Consideremos la secuencia de construcción de un dibujo de un prisma con una sección inclinada desplazada B-B (Fig. 117).

1. Haga una vista frontal haciendo doble clic activo con el botón izquierdo del mouse en la vista y dibuje una línea de sección usando el botón línea de corte . Seleccione el texto de la inscripción В-В.

2. Usando el botón Cortar línea ubicado en el panel Vistas asociativas (Fig. 115), la trampa que aparece indicará la línea secante avión B-B. Usando el interruptor Sección/Sección en la Barra de propiedades, seleccione el tipo de imagen – Sección (Fig. 116), la escala de la sección mostrada se selecciona desde la ventana Escala.

La sección construida está ubicada en un enlace de proyección, lo que limita su movimiento en el dibujo, pero el enlace de proyección se puede desactivar usando el botón Comunicación de proyección.

En el dibujo terminado se deben dibujar líneas axiales y, si es necesario, agregar dimensiones.

Como sabes, cualquier examen de matemáticas contiene como parte principal la resolución de problemas. La capacidad para resolver problemas es el principal indicador del nivel de desarrollo matemático.

Muy a menudo, en los exámenes escolares, así como en los exámenes realizados en universidades y escuelas técnicas, hay casos en que los estudiantes que muestran buenos resultados en el campo de la teoría, que conocen todas las definiciones y teoremas necesarios, se confunden mucho al resolver. tareas simples.

A lo largo de los años de escolarización, cada alumno resuelve una gran cantidad de problemas, pero al mismo tiempo se ofrecen las mismas tareas a todos los alumnos. Y si algunos estudiantes aprenden reglas generales y métodos para resolver problemas, otros, al encontrarse con un problema de un tipo desconocido, ni siquiera saben cómo abordarlo.

Una de las razones de esta situación es que si algunos estudiantes profundizan en el proceso de resolución de un problema e intentan darse cuenta y comprender técnicas generales y métodos para resolverlos, entonces otros no piensan en ello, intentan resolver los problemas propuestos lo más rápido posible.

Muchos estudiantes no analizan los problemas que se resuelven y no identifican técnicas y métodos generales de solución. En tales casos, los problemas se resuelven únicamente con el fin de obtener la respuesta deseada.

Por ejemplo, muchos estudiantes ni siquiera saben cuál es la esencia de la resolución de problemas de construcción. Pero tareas de construcción Son tareas obligatorias en el curso de estereometría. Estos problemas no sólo son bellos y originales en sus métodos de solución, sino que también tienen un gran valor práctico.

Gracias a las tareas de construcción se desarrolla la capacidad de imaginar mentalmente tal o cual cosa. figura geométrica, se desarrolla el pensamiento espacial, pensamiento lógico, así como la intuición geométrica. Los problemas de construcción desarrollan habilidades prácticas para la resolución de problemas.

Los problemas de construcción no son sencillos, ya que no existe una regla o algoritmo único para resolverlos. Cada nueva tarea es único y requiere enfoque individual a una decisión.

El proceso de resolución de cualquier problema constructivo es una secuencia de algunas construcciones intermedias que conducen a la meta.

La construcción de secciones de poliedros se basa en los siguientes axiomas:

1) Si dos puntos de una recta se encuentran en un determinado plano, entonces toda la recta se encuentra en este plano;

2) Si dos planos tienen un punto común, entonces se cruzan a lo largo de una línea recta que pasa por este punto.

Teorema: Si dos planos paralelos son intersecados por un tercer plano, entonces las rectas de intersección son paralelas.

Construya una sección del poliedro con un plano que pase por los puntos A, B y C. Considere los siguientes ejemplos.

Método de seguimiento

I. Construir sección transversal del prisma un plano que pasa por una recta dada g (traza) en el plano de una de las bases del prisma y el punto A.

Caso 1.

El punto A pertenece a otra base del prisma (o a una cara paralela a la línea g): el plano de corte cruza esta base (cara) a lo largo del segmento BC paralelo a la traza g .

Caso 2.

El punto A pertenece a la cara lateral del prisma:

El segmento BC de la recta AD es la intersección de esta cara con el plano de corte.

Caso 3.

Construir una sección de un prisma cuadrangular con un plano que pasa por la recta g en el plano de la base inferior del prisma y el punto A en uno de los bordes laterales.

II. Construir sección transversal de una pirámide un plano que pasa por una recta dada g (traza) en el plano de la base de la pirámide y el punto A.

Para construir una sección de una pirámide con un plano, basta con construir las intersecciones de sus caras laterales con el plano de corte.

Caso 1.

Si el punto A pertenece a una cara paralela a la recta g, entonces el plano de corte corta esta cara a lo largo del segmento BC paralelo a la traza de g.

Caso 2.

Si el punto A, perteneciente a la sección, se sitúa en una cara no paralela a la cara de la traza g, entonces:

1) se construye el punto D en el que el plano de la cara corta la traza dada g;

2) trazar una línea recta que pase por los puntos A y D.

El segmento BC de la recta AD es la intersección de esta cara con el plano de corte.

Los extremos del segmento BC también pertenecen a caras vecinas. Por tanto, utilizando el método descrito, es posible construir la intersección de estas caras con el plano de corte. Etc.

Caso 3.

Construir una sección de una pirámide cuadrangular con un plano que pasa por el lado de la base y el punto A en uno de los bordes laterales.

Problemas relacionados con la construcción de secciones a través de un punto en una cara.

1. Construya una sección del tetraedro ABCD mediante un plano que pase por el vértice C y los puntos M y N en las caras ACD y ABC, respectivamente.

Los puntos C y M se encuentran en la cara ACD, lo que significa que la recta CM se encuentra en el plano de esta cara. (Figura 1).

Sea P el punto de intersección de las rectas CM y AD. De manera similar, los puntos C y N se encuentran en la cara ACB, lo que significa que la recta CN se encuentra en el plano de esta cara. Sea Q el punto de intersección de las rectas CN y AB. Los puntos P y Q pertenecen tanto al plano de sección como a la cara ABD. Por tanto, el segmento PQ es el lado de la sección. Entonces, el triángulo CPQ es la sección requerida.

2. Construya una sección del tetraedro ABCD por el plano MPN, donde los puntos M, N, P se encuentran respectivamente en la arista AD, en la cara BCD y en la cara ABC, y MN no es paralelo al plano de la cara ABC. (Figura 2).

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Objeto del trabajo:
Desarrollo de conceptos espaciales.
Tareas:
1. Introduzca las reglas para la construcción de secciones.
2. Desarrollar habilidades en la construcción de secciones.
tetraedro y paralelepípedo en diferentes
casos de especificación de un plano de corte.
3. Desarrollar la capacidad de aplicar reglas.
construir secciones al resolver problemas en
temas "Poliedros".

para resolver muchos
geométrico
tareas necesarias
construir secciones
poliedros
varios
aviones.

El concepto de plano de corte.

Secante
avión
paralelepípedo
(tetraedro)
llamado cualquiera
avión, en ambos lados
lados de
que tiene
puntos de un dado
paralelepípedo
(tetraedro).

El concepto de sección de poliedro.

Plano de corte
cruza los bordes
tetraedro
(paralelepípedo) por
segmentos.
polígono, lados
¿Qué datos son?
los segmentos se llaman
sección transversal de un tetraedro
(paralelepípedo).

Trabajando a partir de dibujos

cuantos aviones se pueden dibujar
a través de elementos seleccionados?
¿Qué axiomas y teoremas aplicaste?

Para construir una sección
necesidad de trazar puntos
intersección secante
planos con aristas y
conectarlos con segmentos.

Reglas para construir secciones.

1. Solo puedes conectar dos
puntos que se encuentran en el plano de uno
bordes.
2. El plano de corte se cruza.
caras paralelas a lo largo
segmentos paralelos.

Reglas para construir secciones.

3. Si el plano de la cara está marcado.
solo un punto perteneciente a
plano de sección, entonces es necesario
construir un punto adicional.
Para hacer esto necesitas encontrar puntos.
intersecciones de ya construidas.
líneas rectas con otras líneas rectas,
acostados en los mismos bordes.

10. Construcción de secciones tetraédricas.

11.

Un tetraedro tiene 4 caras.
En secciones puede resultar
Triangulos
Cuadriláteros

12.

Construir una sección transversal de un tetraedro.
Avión DABC pasando
a través de los puntos M,N,K
1. Dibujemos una línea recta que pase
puntos M y K, porque ellos estan mintiendo
en una cara (ADC).
D
METRO
AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO.
norte
k
CAMA Y DESAYUNO
CC
2. Dibujemos una línea recta que pase por
puntos K y N, porque Ellos
acostarse del mismo lado
(BDC).
3. Argumentando de manera similar,
trazar la línea recta MN.
4. Triángulo MNK –
la sección deseada.

13. pasando por el punto M paralelo a ABC.

D
1. Dibujemos por el punto M.
recta paralela
borde AB
2.
METRO
R
A
A
CON
EN
Pasemos por el punto M.
recta paralela
borde CA
3. Dibujemos una línea recta que pase por
puntos K y P, porque ellos yacen en
una cara (DBC)
4. Triángulo MPK –
la sección deseada.

14.

Construya una sección de un tetraedro por un plano,
pasando por los puntos E, F, K.
D
1. Realizamos KF.
2. Realizamos FE.
3. Sigamos
EF, sigamos AC.
F
4.EF CA =M
5. Realizamos
mk.
mi
METRO
AB=L
6.
mk
do
A
7. Realizar EL
l
EFKL – sección requerida
k
B

15.

Construya una sección de un tetraedro por un plano,
pasando por los puntos E, F, K
cuales
que recto
punto,
acostado en
Poder
Conectar
el resultado
Cual
agujas
Poder
inmediatamente
eso
mismo
bordes
Poder
continuar,
a
conseguir
agujas,
mintiendo
V
uno
¿conectar?
conectar
recibió
adicional
¿punto?
bordes,
nombre
sección.
punto extra?
D
C.A.
ELFK
FSEC
y un punto
K y E
y FK
F
l
do
METRO
A
mi
k
B

16.

construir una sección
plano tetraedro,
pasando por puntos
E, F, K.
D
F
l
do
A
mi
k
B
ACERCA DE

17.

Conclusión: no importa el método
Las secciones de construcción son las mismas.

18. Construcción de tramos paralelepípedos.

19.

Un tetraedro tiene 6 caras.
Triangulos
Pentágonos
En sus apartados puede resultar
Cuadriláteros
hexágonos

20. Construya una sección de un paralelepípedo con un plano que pase por el punto X paralelo al plano (OSV)

B1
A1
Y
incógnita
D1
S
EN
A
D
z
1. Vamos a guiarte
C1
punto X recta
paralelo al borde
D1C1
2. Por el punto X
directo
paralelo al borde
D1D
3. Por el punto Z pasa una recta.
paralelo al borde
CON
corriente continua
4. Dibujemos una línea recta que pase por
puntos S e Y, porque ellos yacen en
una cara (BB1C1)
XYSZ – sección requerida

21.

Construir una sección de un paralelepípedo.
plano que pasa por los puntos
ENOJADO
B1
D1
mi
A1
C1
EN
A
1. ANUNCIO
2. médico
3. YO//AD, porque (ABC)//(A1B1C1)
4. A.E.
5. AEMD – sección requerida
METRO
D
CON

22. Construya una sección de un paralelepípedo con un plano que pase por los puntos M, K, T.

norte
METRO
A
R
S
incógnita
t

23. Completa las tareas tú mismo

metro
t
A
metro
D
A
t
Construya una sección de: a) un paralelepípedo;
b) tetraedro
plano que pasa por los puntos M, T, K.

24. Recursos utilizados

Soboleva L. I. Construcción de tramos.
Tkacheva V.V. Construcción de secciones.
tetraedro y paralelepípedo
Gobozova L.V.Problemas de construcción
secciones
DVD. Lecciones de geometría de Kirill y
Metodio. 10mo grado, 2005
Tareas de formación y pruebas.
Geometría. 10mo grado (Cuaderno)/Aleshina
TENNESSE. – M.: Intellect-Center, 1998

Dmítriev Antón, Kireev Alejandro

Esta presentación muestra claramente ejemplos paso a paso de cómo construir secciones desde problemas simples hasta problemas más complejos. La animación te permite ver las etapas de construcción de secciones.

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Títulos de diapositivas:

Construcción de secciones de poliedros utilizando el ejemplo de un prisma ® Creadores: Anton Dmitriev, Alexander Kireev. Con la ayuda de: Olga Viktorovna Gudkova

Plan de lección Algoritmos para la construcción de secciones Autoprueba Tareas de demostración Tareas para consolidar el material

Algoritmos para construir secciones de trazas de líneas paralelas de transferencia paralela del plano de corte de diseño interno, un método combinado para agregar un prisma n-gonal a un prisma triangular Construcción de una sección usando el método:

Construir una sección usando el método de traza Conceptos y habilidades básicos Construir una traza de una línea recta en un plano Construir una traza de un plano de corte Construir una sección

Algoritmo para construir una sección mediante el método de trazado. Descubra si hay dos puntos de la sección en una cara (si es así, puede dibujar el lado de la sección a través de ellos). Construya una traza de sección en el plano de la base del poliedro. Encuentre un punto de sección adicional en el borde del poliedro (extienda el lado base de la cara que contiene el punto de sección hasta que se cruce con la traza). Dibuja una línea recta a través del punto adicional resultante en la traza y el punto de sección en la cara seleccionada, marcando sus puntos de intersección con los bordes de la cara. Complete el paso 1.

Construir una sección de un prisma No existen dos puntos que pertenezcan a la misma cara. El punto R se encuentra en el plano de la base. Encontremos la traza de la recta KQ en el plano base: - KQ ∩K1Q1=T1, T1R es la traza de la sección. 3. T1R ∩CD=E. 4. Hagamos un ecualizador. EQ∩DD1=N. 5. Realicemos NK. NK∩AA1=M. 6. Conecte M y R. Construya una sección por el plano α que pasa por puntos K,Q,R; K = SUMA1, Q = CDD1, R = AB.

Método de rectas paralelas El método se basa en la propiedad de los planos paralelos: “Si dos planos paralelos son intersecados por un tercero, entonces las rectas de su intersección son paralelas. Habilidades y conceptos básicos Construir un plano paralelo a uno dado Construir una línea de intersección de planos Construir una sección

Algoritmo para construir una sección mediante el método de rectas paralelas. Construimos proyecciones de los puntos que definen la sección. A través de dos puntos dados (por ejemplo P y Q) y sus proyecciones dibujamos un plano. A través del tercer punto (por ejemplo R) construimos un plano paralelo a él α. Encontramos las líneas de intersección (por ejemplo m y n) del plano α con las caras del poliedro que contiene los puntos P y Q. Por el punto R trazamos una recta paralela a PQ. Encontramos los puntos de intersección de la línea a con las líneas my n. Encontramos los puntos de intersección con las aristas de la cara correspondiente.

(PRISMA) Construimos proyecciones de los puntos P y Q en el plano de las bases superior e inferior. Dibujamos el avión P1Q1Q2P2. Por la arista que contiene el punto R, trazamos un plano α paralelo a P1Q1Q2. Encontramos las líneas de intersección de los planos ABB1 y CDD1 con el plano α. Por el punto R trazamos una recta a||PQ. a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR es la sección requerida. Construya una sección por el plano α que pasa por puntos P,Q,R; P = ABB1, Q = CDD1, R = EE1.

Método de traslación paralela de un plano de corte Construimos una sección auxiliar de este poliedro que satisface los siguientes requisitos: es paralela al plano de corte; en la intersección con la superficie de un poliedro dado forma un triángulo. Conectamos la proyección del vértice del triángulo con los vértices de la cara del poliedro que cruza la sección auxiliar y encontramos los puntos de intersección con el lado del triángulo que se encuentra en esta cara. Conecta el vértice del triángulo con estos puntos. Por el punto de la sección deseada trazamos líneas rectas paralelas a los segmentos construidos en el párrafo anterior y encontramos los puntos de intersección con las aristas del poliedro.

PRISMA R = AA1, P = EDD1, Q = CDD1. Construyamos la sección auxiliar AMQ1 ||RPQ. Realicemos AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1 - proyección de los puntos P y M sobre ABC. Realicemos P1B y P1C. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Por el punto P trazamos las líneas myn, respectivamente, paralelas a MO1 y MO2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – sección requerida Construya una sección del prisma por el plano α que pasa por los puntos P,Q,R; P = EDD1, Q = CDD1, R = AA1.

Algoritmo para la construcción de una sección mediante el método de diseño interno. Construya secciones auxiliares y encuentre la línea de su intersección. Construya una traza de sección en el borde de un poliedro. Si no hay suficientes puntos de sección para construir la sección en sí, repita los pasos 1 y 2.

Construcción de tramos auxiliares. PRISMA Diseño paralelo.

Construir una traza de sección en un borde

Método combinado. Dibuje un plano β que pase por la segunda línea q y algún punto W de la primera línea p. En el plano β, por el punto W, trazar una recta q' paralela a q. Las líneas que se cruzan p y q' definen el plano α. Construcción directa de una sección de un poliedro por el plano α La esencia del método es la aplicación de teoremas sobre el paralelismo de rectas y planos en el espacio en combinación con el método axiomático. Se utiliza para construir una sección de un poliedro con condición de paralelismo. 1. Construir una sección de un poliedro con un plano α que pasa por una recta p dada paralela a otra recta q dada.

PRISMA Construya una sección de un prisma con un plano α que pase por la línea PQ paralela a AE1; P = SER, Q = E1C1. 1. Trazar un plano que pase por la recta AE1 y el punto P. 2. En el plano AE1P que pasa por el punto P trazar una recta q" paralela a AE1. q"∩E1S’=K. 3. El plano requerido α está determinado por las líneas de intersección PQ y PK. 4. P1 y K1 son proyecciones de los puntos P y K sobre A1B1C1. P1K1∩PK=S.” S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL es la sección requerida.

Método de complementar un prisma n-gonal (pirámide) a un prisma triangular (pirámide). Este prisma (pirámide) se construye hasta formar un prisma triangular (pirámide) a partir de aquellas caras en cuyos bordes laterales o caras hay puntos que definen la sección deseada. Se construye una sección transversal del prisma triangular (pirámide) resultante. La sección deseada se obtiene como parte de la sección de un prisma triangular (pirámide).

Conceptos y habilidades básicos Construcción de secciones auxiliares Construcción de una traza de sección en un borde Construcción de una sección Diseño central Diseño paralelo

PRISMA Q = BB1C1C, P = AA1, R = EDD1E1. Completamos el prisma a uno triangular. Para ello, extienda los lados de la base inferior: AE, BC, ED y la base superior: A 1 E 1, B 1 C 1, E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1 ∩B1C1=K1, E1D1 ∩B1C1=L1. Construimos una sección del prisma resultante KLEK1L1E1 usando el plano PQR usando el método de diseño interno. Esta sección es parte de lo que estamos buscando. Construimos la sección requerida.

Regla de autocontrol Si el poliedro es convexo, entonces la sección es un polígono convexo. Los vértices de un polígono siempre se encuentran en las aristas del poliedro. Si los puntos de la sección se encuentran en las aristas del poliedro, entonces son los vértices del polígono que se obtendrá en la sección. Si los puntos de la sección se encuentran en las caras del poliedro, entonces se encuentran en los lados del polígono que se obtendrá en la sección. Los dos lados del polígono que se obtienen en la sección no pueden pertenecer a la misma cara del poliedro. Si la sección corta dos caras paralelas, entonces los segmentos (los lados del polígono que se obtendrán en la sección) serán paralelos.

Problemas básicos para construir secciones de poliedros Si dos planos tienen dos puntos comunes, entonces una línea recta trazada a través de estos puntos es la línea de intersección de estos planos. M = AD, N = DCC1, D1; ABCDA1B1C1D1 - cubo M = SUMA1, D1 = SUMA1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ CC=Q. M = ABC, Q = ABC, MQ. II. Si dos planos paralelos son intersecados por un tercero, entonces las líneas de su intersección son paralelas. M = CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- cúbico MK||AD1, K є antes de Cristo. M = DCC1, D1 = DCC1, MD1. A = ABC, K = ABC, AK.

III. El punto común de tres planos (el vértice de un ángulo triédrico) es el punto común de las líneas de su intersección pareada (aristas de un ángulo triédrico). M = AB, N = AA1, K = A1D1; ABCDA1B1C1D1- cúbico NK∩AD=F1 - vértice del ángulo triédrico formado por los planos α, ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 - vértice del ángulo triédrico formado por los planos α, ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 - el vértice del ángulo triédrico formado por los planos α, D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Si un plano pasa por una recta paralela a otro plano y lo corta, entonces la recta de intersección es paralela a esta recta. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1 - prisma. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Conecte A1,P y C.

V. Si una recta se encuentra en el plano de sección, entonces el punto de su intersección con el plano de la cara del poliedro es el vértice del ángulo triédrico formado por la sección, la cara y el plano auxiliar que contiene esta recta. M = A1B1C1, K = BCC1, N = ABC; ABCDA1B1C1- paralelepípedo. 1. Plano auxiliar MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S es el vértice del ángulo triédrico formado por los planos: α, ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Tareas. ¿Qué figura muestra una sección de un cubo usando el plano ABC? ¿Cuántos planos se pueden dibujar a través de los elementos seleccionados? ¿Qué axiomas y teoremas aplicaste? ¿Concluir cómo construir una sección en un cubo? Recordemos las etapas de construcción de secciones de un tetraedro (paralelepípedo, cubo). ¿En qué polígonos puede resultar esto?