Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ...las discusiones continúan hasta el día de hoy para llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas. Comunidad cientifica hasta el momento no ha sido posible... estuvimos involucrados en el estudio del tema Análisis matemático, teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.
Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.
Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre con velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:
En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero señalar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
miércoles, 4 de julio de 2018
Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.
Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Aplicable teoría matemática conjuntos para los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...
Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.
Mira aquí. seleccionamos estadios de futbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cual es correcta? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.
3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas En cálculo, la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. CON un número grande 12345 No quiero engañarme, veamos el número 26 del artículo sobre . Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.
El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?
Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.
Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: un signo menos, el número cuatro, una designación de grados). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.
1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.
En este video analizaremos un conjunto completo de ecuaciones lineales que se resuelven usando el mismo algoritmo; por eso se les llama los más simples.
Primero, definamos: ¿qué es? ecuación lineal¿Y cuál de ellos se llama el más simple?
Una ecuación lineal es aquella en la que sólo hay una variable, y sólo de primer grado.
La ecuación más simple significa la construcción:
Todas las demás ecuaciones lineales se reducen a las más simples mediante el algoritmo:
- Amplíe los paréntesis, si los hubiera;
- Mover los términos que contienen una variable a un lado del signo igual y los términos sin variable al otro;
- Dé términos similares a la izquierda y a la derecha del signo igual;
- Divide la ecuación resultante por el coeficiente de la variable $x$.
Por supuesto, este algoritmo no siempre ayuda. El hecho es que a veces después de todas estas maquinaciones el coeficiente de la variable $x$ resulta ser igual a cero. En este caso, son posibles dos opciones:
- La ecuación no tiene ninguna solución. Por ejemplo, cuando resulta algo como $0\cdot x=8$, es decir a la izquierda está el cero y a la derecha un número distinto de cero. En el vídeo a continuación veremos varias razones por las que esta situación es posible.
- La solución son todos los números. El único caso en el que esto es posible es cuando la ecuación se ha reducido a la construcción $0\cdot x=0$. Es bastante lógico que no importa qué $x$ sustituyamos, seguirá resultando “cero es igual a cero”, es decir igualdad numérica correcta.
Ahora veamos cómo funciona todo esto usando ejemplos de la vida real.
Ejemplos de resolución de ecuaciones.
Hoy nos ocupamos de ecuaciones lineales, y solo de las más simples. En general, una ecuación lineal significa cualquier igualdad que contiene exactamente una variable y llega solo al primer grado.
Estas construcciones se resuelven aproximadamente de la misma forma:
- En primer lugar, debe ampliar los paréntesis, si los hay (como en nuestro último ejemplo);
- Luego combine similares
- Finalmente, aísle la variable, es decir mueva todo lo relacionado con la variable (los términos en los que está contenida) a un lado, y mueva todo lo que quede sin ella al otro lado.
Luego, como regla general, es necesario traer iguales a cada lado de la igualdad resultante, y luego solo queda dividir por el coeficiente "x", y obtendremos la respuesta final.
En teoría, esto parece hermoso y simple, pero en la práctica, incluso los estudiantes de secundaria experimentados pueden cometer errores ofensivos en situaciones bastante simples. ecuaciones lineales. Por lo general, se cometen errores al abrir los corchetes o al calcular los "más" y los "menos".
Además, sucede que una ecuación lineal no tiene solución alguna, o que la solución es la recta numérica entera, es decir cualquier número. Consideraremos estas sutilezas en la lección de hoy. Pero comenzaremos, como ya entendiste, con el mismo tareas simples.
Esquema para resolver ecuaciones lineales simples.
Primero, permítanme escribir una vez más el esquema completo para resolver las ecuaciones lineales más simples:
- Amplíe los corchetes, si los hay.
- Aislamos las variables, es decir Movemos todo lo que contiene “X” a un lado y todo lo que no tiene “X” al otro.
- Presentamos términos similares.
- Dividimos todo por el coeficiente de “x”.
Por supuesto, este esquema no siempre funciona, contiene ciertas sutilezas y trucos, y ahora los conoceremos.
Resolver ejemplos reales de ecuaciones lineales simples.
Tarea número 1
El primer paso requiere que abramos los corchetes. Pero no están en este ejemplo, por lo que nos saltamos este paso. En el segundo paso necesitamos aislar las variables. Tenga en cuenta: estamos hablando sólo de términos individuales. Anotémoslo:
Presentamos términos similares a izquierda y derecha, pero esto ya se ha hecho aquí. Por tanto, pasamos al cuarto paso: dividir por el coeficiente:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Entonces obtuvimos la respuesta.
Tarea número 2
Podemos ver los paréntesis en este problema, así que ampliémoslos:
Tanto a la izquierda como a la derecha vemos aproximadamente el mismo diseño, pero actuemos según el algoritmo, es decir. separando las variables:
Aquí hay algunos similares:
¿En qué raíces funciona esto? Respuesta: para cualquiera. Por lo tanto, podemos escribir que $x$ es cualquier número.
Tarea número 3
La tercera ecuación lineal es más interesante:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Aquí hay varios paréntesis, pero no se multiplican por nada, simplemente van precedidos de signos diferentes. Vamos a desglosarlos:
Realizamos el segundo paso que ya conocemos:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hagamos los cálculos:
Realizamos el último paso: dividimos todo por el coeficiente "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Cosas para recordar al resolver ecuaciones lineales
Si ignoramos tareas demasiado simples, me gustaría decir lo siguiente:
- Como dije anteriormente, no todas las ecuaciones lineales tienen solución; a veces simplemente no hay raíces;
- Incluso si hay raíces, puede que no haya ninguna entre ellas; eso no tiene nada de malo.
El cero es el mismo número que los demás; no debes discriminarlo de ninguna manera ni asumir que si obtienes cero, entonces hiciste algo mal.
Otra característica está relacionada con la apertura de corchetes. Tenga en cuenta: cuando hay un "menos" delante de ellos, lo eliminamos, pero entre paréntesis cambiamos los signos a opuesto. Y luego podemos abrirlo usando algoritmos estándar: obtendremos lo que vimos en los cálculos anteriores.
Comprender este simple hecho te ayudará a evitar cometer errores estúpidos e hirientes en la escuela secundaria, cuando hacer esas cosas se da por sentado.
Resolver ecuaciones lineales complejas
Pasemos a ecuaciones más complejas. Ahora las construcciones se volverán más complejas y al realizar diversas transformaciones aparecerá una función cuadrática. Sin embargo, esto no debe tener miedo, porque si, según el plan del autor, resolvemos una ecuación lineal, durante el proceso de transformación todos los monomios que contienen una función cuadrática seguramente se cancelarán.
Ejemplo No. 1
Evidentemente, el primer paso es abrir los corchetes. Hagamos esto con mucho cuidado:
Ahora echemos un vistazo a la privacidad:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Aquí hay algunos similares:
Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, así que escribiremos esto en la respuesta:
\[\varnada\]
o no hay raíces.
Ejemplo No. 2
Realizamos las mismas acciones. Primer paso:
Movamos todo con una variable hacia la izquierda y sin ella, hacia la derecha:
Aquí hay algunos similares:
Obviamente, esta ecuación lineal no tiene solución, así que la escribiremos de esta manera:
\[\varnada\],
o no hay raíces.
Matices de la solución.
Ambas ecuaciones están completamente resueltas. Usando estas dos expresiones como ejemplo, una vez más nos convencimos de que incluso en las ecuaciones lineales más simples, todo puede no ser tan simple: puede haber una, ninguna o infinitas raíces. En nuestro caso, consideramos dos ecuaciones, ambas simplemente no tienen raíces.
Pero me gustaría llamar su atención sobre otro hecho: cómo trabajar con paréntesis y cómo abrirlos si delante de ellos hay un signo menos. Considere esta expresión:
Antes de abrir, debes multiplicar todo por “X”. Tenga en cuenta: se multiplica cada término individual. En el interior hay dos términos, respectivamente, dos términos y multiplicados.
Y solo después de que se hayan completado estas transformaciones aparentemente elementales, pero muy importantes y peligrosas, se puede abrir el paréntesis desde el punto de vista del hecho de que detrás de él hay un signo menos. Sí, sí: solo ahora, cuando se completan las transformaciones, recordamos que delante de los corchetes hay un signo menos, lo que significa que todo lo que está debajo simplemente cambia de signo. Al mismo tiempo, los corchetes desaparecen y, lo más importante, también desaparece el "menos" frontal.
Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:
No es casualidad que preste atención a estos pequeños hechos aparentemente insignificantes. Porque la resolución de ecuaciones es siempre una secuencia de transformaciones elementales, donde la incapacidad de realizar acciones simples de manera clara y competente lleva al hecho de que los estudiantes de secundaria vienen a mí y nuevamente aprenden a resolver ecuaciones tan simples.
Por supuesto, llegará el día en que perfeccionarás estas habilidades hasta el punto de la automaticidad. Ya no tendrás que realizar tantas transformaciones cada vez, escribirás todo en una sola línea. Pero mientras recién estás aprendiendo, debes escribir cada acción por separado.
Resolver ecuaciones lineales aún más complejas
Lo que vamos a resolver ahora difícilmente puede considerarse la tarea más sencilla, pero el significado sigue siendo el mismo.
Tarea número 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Multipliquemos todos los elementos de la primera parte:
Hagamos algo de privacidad:
Aquí hay algunos similares:
Completemos el último paso:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Aquí está nuestra respuesta final. Y, a pesar de que en el proceso de resolución teníamos coeficientes con función cuadrática, se anularon entre sí, lo que hace que la ecuación sea lineal y no cuadrática.
Tarea número 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Realicemos con cuidado el primer paso: multipliquemos cada elemento del primer paréntesis por cada elemento del segundo. Debería haber un total de cuatro términos nuevos después de las transformaciones:
Ahora realicemos cuidadosamente la multiplicación en cada término:
Movamos los términos con "X" hacia la izquierda y los que no la tienen, hacia la derecha:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Aquí hay términos similares:
Una vez más hemos recibido la respuesta final.
Matices de la solución.
La nota más importante sobre estas dos ecuaciones es la siguiente: en cuanto comenzamos a multiplicar paréntesis que contienen más de un término, esto se hace según la siguiente regla: tomamos el primer término del primero y multiplicamos con cada elemento de el segundo; luego tomamos el segundo elemento del primero y lo multiplicamos de manera similar con cada elemento del segundo. Como resultado, tendremos cuatro términos.
Sobre la suma algebraica
Con este último ejemplo, me gustaría recordar a los estudiantes qué es una suma algebraica. En matemáticas clásicas, por $1-7$ nos referimos a una construcción simple: restar siete a uno. En álgebra nos referimos a lo siguiente: al número "uno" le sumamos otro número, es decir, "menos siete". Ésta es la diferencia entre una suma algebraica y una suma aritmética ordinaria.
Tan pronto como, al realizar todas las transformaciones, cada suma y multiplicación, comiences a ver construcciones similares a las descritas anteriormente, simplemente no tendrás ningún problema en álgebra cuando trabajes con polinomios y ecuaciones.
Finalmente, veamos un par de ejemplos más que serán aún más complejos que los que acabamos de ver, y para resolverlos tendremos que expandir ligeramente nuestro algoritmo estándar.
Resolver ecuaciones con fracciones
Para resolver tales tareas, tendremos que agregar un paso más a nuestro algoritmo. Pero primero, déjame recordarte nuestro algoritmo:
- Abrir los soportes.
- Variables separadas.
- Trae unos similares.
- Dividir por la proporción.
Por desgracia, este maravilloso algoritmo, a pesar de su eficacia, resulta no del todo apropiado cuando tenemos fracciones frente a nosotros. Y en lo que veremos a continuación, tenemos una fracción tanto a la izquierda como a la derecha en ambas ecuaciones.
¿Cómo trabajar en este caso? ¡Sí, es muy sencillo! Para hacer esto, debe agregar un paso más al algoritmo, que se puede realizar tanto antes como después de la primera acción, es decir, deshacerse de las fracciones. Entonces el algoritmo será el siguiente:
- Deshazte de las fracciones.
- Abrir los soportes.
- Variables separadas.
- Trae unos similares.
- Dividir por la proporción.
¿Qué significa "deshacerse de las fracciones"? ¿Y por qué se puede hacer esto antes y después del primer paso estándar? De hecho, en nuestro caso, todas las fracciones son numéricas en su denominador, es decir En todas partes el denominador es sólo un número. Por tanto, si multiplicamos ambos lados de la ecuación por este número, nos libraremos de las fracciones.
Ejemplo No. 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Eliminemos las fracciones en esta ecuación:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Tenga en cuenta: todo se multiplica por “cuatro” una vez, es decir Sólo porque tengas dos paréntesis no significa que tengas que multiplicar cada uno por "cuatro". Anotemos:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Ahora ampliemos:
Aislamos la variable:
Realizamos la reducción de términos similares:
\[-4x=-1\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Tenemos decisión definitiva, pasemos a la segunda ecuación.
Ejemplo No. 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Aquí realizamos las mismas acciones:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
El problema esta resuelto.
Eso, de hecho, es todo lo que quería contaros hoy.
Puntos clave
Los hallazgos clave son:
- Conoce el algoritmo para la resolución de ecuaciones lineales.
- Posibilidad de abrir corchetes.
- No te preocupes si ves funciones cuadráticas Lo más probable es que en el proceso de futuras transformaciones disminuyan.
- Hay tres tipos de raíces en las ecuaciones lineales, incluso las más simples: una sola raíz, toda la recta numérica es una raíz y ninguna raíz.
Espero que esta lección te ayude a dominar un tema simple pero muy importante para una mayor comprensión de todas las matemáticas. Si algo no te queda claro, accede al sitio y resuelve los ejemplos allí presentados. ¡Estad atentos que os esperan muchas más cosas interesantes!
Esa parte de la ecuación es la expresión entre paréntesis. Para abrir paréntesis, mire el signo delante del paréntesis. Si hay un signo más, abrir los paréntesis en la expresión no cambiará nada: simplemente elimine los paréntesis. Si hay un signo menos, al abrir los paréntesis se deben cambiar todos los signos que originalmente estaban entre paréntesis por los opuestos. Por ejemplo, -(2x-3)=-2x+3.
Multiplicando dos paréntesis.
Si la ecuación contiene el producto de dos corchetes, abrir los corchetes de acuerdo con regla estándar. Cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo paréntesis. Los números resultantes se resumen. En este caso, el producto de dos “más” o dos “menos” le da al término un signo “más”, y si los factores tienen diferentes signos, luego recibe un signo menos.
Consideremos.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Al abrir paréntesis, a veces elevando una expresión a . Las fórmulas para elevar al cuadrado y al cubo deben saberse de memoria y recordarse.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Las fórmulas para construir una expresión mayor que tres se pueden hacer usando el triángulo de Pascal.
Fuentes:
- fórmula de expansión entre paréntesis
Encerrado entre paréntesis Operaciones matemáticas puede contener variables y expresiones grados variables dificultades. Para multiplicar tales expresiones, tendrás que buscar una solución en vista general, abriendo los paréntesis y simplificando el resultado. Si los corchetes contienen operaciones sin variables, solo con valores numéricos, entonces no es necesario abrir los corchetes, ya que si tiene una computadora, su usuario tiene acceso a recursos informáticos muy importantes; es más fácil usarlos que simplificar la expresión.
Instrucciones
Multiplique secuencialmente cada (o minuendo con) contenido en un paréntesis por el contenido de todos los demás paréntesis si desea obtener el resultado en forma general. Por ejemplo, escribamos la expresión original de la siguiente manera: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Entonces la multiplicación secuencial (es decir, abriendo los paréntesis) dará el siguiente resultado: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Simplifica el resultado acortando las expresiones. Por ejemplo, la expresión obtenida en el paso anterior se puede simplificar de la siguiente manera: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗x² - 8∗x³ - x∗x³.
Usa una calculadora si necesitas multiplicar x es igual a 4,75, es decir (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Para calcular este valor, vaya al sitio web del motor de búsqueda Google o Nigma e ingrese la expresión en el campo de consulta en su forma original (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google mostrará 82.265625 inmediatamente, sin hacer clic en un botón, pero Nigma necesita enviar datos al servidor con solo hacer clic en un botón.
La función principal de los paréntesis es cambiar el orden de las acciones al calcular valores. Por ejemplo, en la expresión numérica \(5·3+7\) se calculará primero la multiplicación, y luego la suma: \(5·3+7 =15+7=22\). Pero en la expresión \(5·(3+7)\) se calculará primero la suma entre paréntesis, y sólo después la multiplicación: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Ejemplo.
Expanda el corchete: \(-(4m+3)\).
Solución
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Ejemplo.
Abra el corchete y proporcione términos similares \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solución
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(5(3-x)\).
Solución
: En el paréntesis tenemos \(3\) y \(-x\), y antes del paréntesis hay un cinco. Esto significa que cada miembro del corchete se multiplica por \(5\) - les recuerdo que El signo de multiplicación entre un número y un paréntesis no está escrito en matemáticas para reducir el tamaño de las entradas..
Ejemplo.
Expanda los corchetes \(-2(-3x+5)\).
Solución
: Como en el ejemplo anterior, \(-3x\) y \(5\) entre paréntesis se multiplican por \(-2\).
Ejemplo.
Simplifica la expresión: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Solución
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Queda por considerar la última situación.
Al multiplicar un paréntesis por un paréntesis, cada término del primer paréntesis se multiplica por cada término del segundo:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Ejemplo.
Expanda los corchetes \((2-x)(3x-1)\).
Solución
: Tenemos un producto de paréntesis y se puede expandir inmediatamente usando la fórmula anterior. Pero para no confundirnos, hagamos todo paso a paso.
Paso 1. Elimine el primer paréntesis; multiplique cada uno de sus términos por el segundo paréntesis:
Paso 2. Expande los productos de los paréntesis y el factor como se describe arriba:
- Lo primero es lo primero...
Luego el segundo.
Paso 3. Ahora multiplicamos y presentamos términos similares:
No es necesario describir todas las transformaciones con tanto detalle, puedes multiplicarlas de inmediato. Pero si recién está aprendiendo a abrir paréntesis y escribir en detalle, habrá menos posibilidades de cometer errores.
Nota para toda la sección. De hecho, no es necesario recordar las cuatro reglas, solo es necesario recordar una, ésta: \(c(a-b)=ca-cb\) . ¿Por qué? Porque si sustituyes uno en lugar de c, obtienes la regla \((a-b)=a-b\) . Y si sustituimos menos uno, obtenemos la regla \(-(a-b)=-a+b\) . Bueno, si sustituyes c por otro corchete, puedes obtener la última regla.
Paréntesis dentro de un paréntesis
A veces, en la práctica, surgen problemas con los corchetes anidados dentro de otros corchetes. Aquí hay un ejemplo de tal tarea: simplifique la expresión \(7x+2(5-(3x+y))\).
Para resolver con éxito tales tareas, necesita:
- comprender cuidadosamente el anidamiento de corchetes: cuál está en cuál;
- abra los corchetes secuencialmente, comenzando, por ejemplo, por el más interno.
Es importante al abrir uno de los corchetes no toques el resto de la expresión, simplemente reescribiéndolo como está.
Veamos la tarea escrita arriba como ejemplo.
Ejemplo.
Abra los corchetes y proporcione términos similares \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solución:
Ejemplo.
Abra los corchetes y proporcione términos similares \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Solución
:
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\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Aquí hay un triple anidamiento de paréntesis. Comencemos con el más interno (resaltado en verde). Delante del soporte hay un plus, por lo que simplemente se desprende. |
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\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Ahora necesitas abrir el segundo soporte, el intermedio. Pero antes de eso, simplificaremos la expresión de los términos fantasmales en este segundo paréntesis. |
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\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Ahora abrimos el segundo corchete (resaltado en azul). Antes del paréntesis hay un factor, por lo que cada término del paréntesis se multiplica por él. |
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\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
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Y abre el último corchete. Hay un signo menos delante del corchete, por lo que todos los signos están invertidos. |
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Ampliar paréntesis es una habilidad básica en matemáticas. Sin esta habilidad, es imposible obtener una calificación superior a C en los grados 8 y 9. Por eso, te recomiendo que comprendas bien este tema.
En este artículo analizaremos detalladamente las reglas básicas de un tema tan importante en un curso de matemáticas como es el paréntesis de apertura. Es necesario conocer las reglas para abrir paréntesis para poder resolver correctamente las ecuaciones en las que se utilizan.
Cómo abrir paréntesis correctamente al sumar
Ampliar los corchetes precedidos por el signo “+”
Este es el caso más simple, porque si hay un signo de suma delante de los corchetes, los signos dentro de ellos no cambian cuando se abren los corchetes. Ejemplo:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Cómo expandir paréntesis precedidos por un signo "-"
EN en este caso debe reescribir todos los términos sin paréntesis, pero al mismo tiempo cambiar todos los signos dentro de ellos por los opuestos. Los signos cambian sólo para los términos entre corchetes que fueron precedidos por el signo “-”. Ejemplo:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Cómo abrir paréntesis al multiplicar
Antes de los paréntesis hay un número multiplicador.
En este caso, debes multiplicar cada término por un factor y abrir los paréntesis sin cambiar los signos. Si el multiplicador tiene un signo "-", durante la multiplicación los signos de los términos se invierten. Ejemplo:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Cómo abrir dos paréntesis con un signo de multiplicación entre ellos
En este caso, debes multiplicar cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis y luego sumar los resultados. Ejemplo:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Cómo abrir paréntesis en un cuadrado
Si la suma o diferencia de dos términos es al cuadrado, se deben abrir los corchetes según la siguiente fórmula:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
En el caso de un signo menos entre paréntesis, la fórmula no cambia. Ejemplo:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Cómo ampliar los paréntesis a otro grado
Si la suma o diferencia de términos se eleva, por ejemplo, a la 3ª o 4ª potencia, entonces basta con dividir la potencia del paréntesis en "cuadrados". Se suman las potencias de factores idénticos y, al dividir, la potencia del divisor se resta de la potencia del dividendo. Ejemplo:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Cómo abrir 3 corchetes
Hay ecuaciones en las que se multiplican 3 paréntesis a la vez. En este caso, primero debes multiplicar los términos de los dos primeros corchetes y luego multiplicar la suma de esta multiplicación por los términos del tercer corchete. Ejemplo:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Estas reglas para abrir paréntesis se aplican igualmente para resolver ecuaciones lineales y trigonométricas.
