روش نیوتن برای حل معادلات غیرخطی ج. حل سیستم های معادلات غیر خطی حالت پایدار با استفاده از روش نیوتن رافسون

روش نیوتن (همچنین به عنوان روش مماس شناخته می شود) یک روش عددی تکراری برای یافتن ریشه (صفر) یک تابع معین است. این روش برای اولین بار توسط فیزیکدان، ریاضیدان و ستاره شناس انگلیسی، ایزاک نیوتن (1643-1727) ارائه شد که به نام او مشهور شد.

این روش توسط اسحاق نیوتن در دستنوشته De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .در بارهتجزیه و تحلیل با معادلات سری بی نهایت)، که در سال 1669 خطاب به بارو، و در اثر De metodis fluxionum et serierum infinitarum (لاتین: روش شار و سری نامتناهی) یا Geometria analytica ( لات.تحلیلیهندسه) در آثار گردآوری شده نیوتن که در سال 1671 نوشته شده است. با این حال، توصیف روش به طور قابل توجهی با ارائه فعلی آن متفاوت بود: نیوتن روش خود را منحصراً برای چند جمله ای ها به کار برد. او تقریب های متوالی x n را محاسبه نکرد، بلکه دنباله ای از چند جمله ای ها را محاسبه کرد و در نتیجه جواب تقریبی x را به دست آورد.

این روش اولین بار در رساله جبر توسط جان والیس در سال 1685 منتشر شد که به درخواست او توسط خود نیوتن به اختصار شرح داده شد. در سال 1690، جوزف رافسون توصیف ساده‌شده‌ای را در کار خود به نام Analysis aequationum universalis منتشر کرد. تحلیل عمومیمعادلات).رافسون روش نیوتن را صرفاً جبری می‌دانست و استفاده از آن را به چند جمله‌ای محدود می‌کرد، اما او این روش را بر حسب تقریب‌های متوالی x n به‌جای درک سخت‌تر دنباله‌های چندجمله‌ای مورد استفاده نیوتن توصیف کرد.

سرانجام، در سال 1740، روش نیوتن توسط توماس سیمپسون به عنوان یک روش تکراری مرتبه اول برای حل توصیف شد. معادلات غیر خطیبا استفاده از مشتق همانطور که در اینجا ارائه شده است. در همین نشریه، سیمپسون این روش را به سیستمی متشکل از دو معادله تعمیم داد و خاطرنشان کرد که روش نیوتن را می‌توان برای حل مسائل بهینه‌سازی با یافتن صفر مشتق یا گرادیان نیز به کار برد.

مطابق با این روش، وظیفه یافتن ریشه یک تابع به یافتن نقطه تقاطع با محور x مماس رسم شده بر نمودار تابع کاهش می یابد.

عکس. 1 . نمودار تغییر تابع

خط مماس رسم شده در هر نقطه روی نمودار یک تابع توسط مشتق این تابع در نقطه مورد نظر تعیین می شود که به نوبه خود توسط مماس زاویه α (() تعیین می شود. نقطه تلاقی مماس با محور آبسیسا بر اساس رابطه زیر در راست گوشه: مماس زاویهدر یک مثلث قائم الزاویه با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور مثلث تعیین می شود. بنابراین، در هر مرحله، یک مماس بر نمودار تابع در نقطه تقریب بعدی ساخته می شود. . نقطه تقاطع مماس با محورگاو نر نقطه رویکرد بعدی خواهد بود. مطابق با روش مورد بررسی، محاسبه مقدار تقریبی ریشه درمن-تکرارها طبق فرمول انجام می شود:

شیب خط مستقیم در هر مرحله به بهترین شکل ممکن تنظیم می شود، اما باید توجه داشته باشید که الگوریتم انحنای نمودار را در نظر نمی گیرد و بنابراین در طول فرآیند محاسبه ناشناخته می ماند. در کدام جهت نمودار ممکن است منحرف شود.

شرط پایان فرآیند تکراری، تحقق شرط زیر است:

جایی که ˗ خطای مجاز در تعیین ریشه.

این روش دارای همگرایی درجه دوم است. نرخ درجه دوم همگرایی به این معنی است که تعداد علائم صحیح در تقریب با هر تکرار دو برابر می شود.

توجیه ریاضی

اجازه دهید یک تابع واقعی داده شود، که در محدوده مورد نظر تعریف و پیوسته است. باید ریشه واقعی تابع مورد نظر را پیدا کرد.

استخراج معادله بر اساس روش است تکرارهای ساده، که طبق آن معادله برای هر تابع به معادله ای معادل تقلیل می یابد. اجازه دهید مفهوم نگاشت انقباض را معرفی کنیم که با رابطه تعریف می شود.

برای بهترین همگرایی روش، شرط باید در نقطه تقریب بعدی برآورده شود. این نیاز به این معنی است که ریشه تابع باید با حداکثر تابع مطابقت داشته باشد.

مشتق از نقشه انقباضبه صورت زیر تعریف می شود:

اجازه دهید متغیر را از این عبارت بیان کنیممشروط به اظهار قبلی پذیرفته شده که در صورت لزوم اطمینان از شرط . در نتیجه یک عبارت برای تعریف متغیر بدست می آوریم:

با در نظر گرفتن این موضوع، عملکرد فشرده سازی به شرح زیر است:

بنابراین، الگوریتم برای یافتن یک راه حل عددی برای معادله به یک روش محاسبه تکراری کاهش می یابد:

الگوریتم یافتن ریشه یک معادله غیرخطی با استفاده از روش

1. نقطه شروع مقدار تقریبی ریشه تابع را تنظیم کنیدو همچنین خطای محاسبه (عدد مثبت کوچک) و مرحله تکرار اولیه ().

2. مقدار تقریبی ریشه تابع را مطابق با فرمول محاسبه کنید:

3. مقدار تقریبی ریشه را برای دقت مشخص شده بررسی می کنیم، در موارد زیر:

اگر اختلاف بین دو تقریب متوالی از دقت مشخص شده کمتر شود، فرآیند تکراری پایان می یابد.

اگر اختلاف بین دو تقریب متوالی به دقت لازم نرسید، باید روند تکراری را ادامه داد و به مرحله 2 الگوریتم مورد بررسی رفت.

نمونه ای از حل معادلات

با روشنیوتن برای معادله ای با یک متغیر

به عنوان مثال، حل یک معادله غیرخطی را با استفاده از روش در نظر بگیریدنیوتن برای معادله ای با یک متغیر. ریشه را باید با دقت به عنوان اولین تقریب یافت.

گزینه ای برای حل یک معادله غیر خطی در یک بسته نرم افزاریMathCADدر شکل 3 ارائه شده است.

نتایج محاسبات، یعنی دینامیک تغییرات در مقدار تقریبی ریشه، و همچنین خطاهای محاسبه بسته به مرحله تکرار، به صورت گرافیکی ارائه شده است (شکل 2 را ببینید).

شکل 2. نتایج محاسبه با استفاده از روش نیوتن برای معادله با یک متغیر

برای اطمینان از دقت مشخص شده هنگام جستجوی مقدار تقریبی ریشه معادله در محدوده، لازم است 4 تکرار انجام شود. در آخرین مرحله تکرار، مقدار تقریبی ریشه معادله غیرخطی با مقدار: .

شکل 3 . لیست برنامه درMathCad

اصلاحات روش نیوتن برای معادله با یک متغیر

تغییرات متعددی در روش نیوتن وجود دارد که با هدف ساده‌سازی فرآیند محاسباتی انجام می‌شود.

روش ساده نیوتن

مطابق با روش نیوتن، لازم است مشتق تابع f(x) در هر مرحله تکرار محاسبه شود که منجر به افزایش هزینه های محاسباتی می شود. برای کاهش هزینه های مربوط به محاسبه مشتق در هر مرحله محاسبه، می توانید مشتق f'(xn) را در نقطه x n در فرمول با مشتق f'(x 0) در نقطه x 0 جایگزین کنید. مطابق با این روش محاسبه، مقدار تقریبی ریشه با فرمول زیر تعیین می شود:روش نیوتن اصلاح شده

روش تفاوت نیوتن

در نتیجه، مقدار تقریبی ریشه تابع f(x) با بیان روش تفاضل نیوتن تعیین می‌شود:

روش دو مرحله ای نیوتن

مطابق با روش نیوتن، محاسبه مشتق تابع f(x) در هر مرحله تکرار ضروری است که همیشه راحت نیست و گاهی عملاً غیرممکن است. این روشاجازه می دهد تا مشتق یک تابع با نسبت تفاوت (مقدار تقریبی) جایگزین شود:

در نتیجه، مقدار تقریبی ریشه تابع f(x) با عبارت زیر تعیین می‌شود:

جایی که

شکل 5 . روش دو مرحله ای نیوتن

روش secant یک روش دو مرحله ای است، یعنی یک تقریب جدیدتوسط دو تکرار قبلی تعیین می شودو . روش باید دو تقریب اولیه را مشخص کندو . نرخ همگرایی روش خطی خواهد بود.

• بازگشت
• رو به جلو

برای افزودن نظر خود به مقاله لطفا در سایت ثبت نام کنید.

2. روش نیوتن برای حل سیستم های معادلات غیرخطی.

این روش همگرایی بسیار سریع تری نسبت به روش تکرار ساده دارد. روش نیوتن برای سیستم معادلات (1.1) مبتنی بر استفاده از بسط تابع است

، جایی که
(2.1)

در سری تیلور، با اصطلاحات حاوی دوم یا بیشتر سفارشات بالامشتقات دور ریخته می شوند. این رویکرد اجازه می دهد تا حل یک سیستم غیر خطی (1.1) با حل تعدادی از سیستم های خطی جایگزین شود.

بنابراین، سیستم (1.1) را با روش نیوتن حل خواهیم کرد. در منطقه D، هر نقطه را انتخاب کنید
و آن را تقریب صفر به جواب دقیق سیستم اصلی بنامیم. اکنون اجازه دهید توابع (2.1) را در یک سری تیلور در همسایگی نقطه گسترش دهیم. خواهد داشت

زیرا سمت چپ (2.2) باید مطابق (1.1) ناپدید شود، سپس ضلع های سمت راست (2.2) نیز باید ناپدید شوند. بنابراین از (2.2) داریم

تمام مشتقات جزئی در (2.3) باید در نقطه محاسبه شوند.

(2.3) یک سیستم خطی است معادلات جبرینسبت به مجهولات این سیستم را می توان با روش کرامر حل کرد اگر تعیین کننده اصلی آن غیر صفر باشد و کمیت ها را بتوان یافت.

اکنون می‌توانیم تقریب صفر را با ساختن اولین تقریب با مختصات اصلاح کنیم

آن ها
. (2.6)

اجازه دهید دریابیم که آیا تقریب (2.6) با درجه دقت کافی به دست آمده است یا خیر. برای انجام این کار، بیایید شرایط را بررسی کنیم

,
(2.7)

جایی که یک عدد مثبت کوچک از پیش تعیین شده (دقت سیستم (1.1) باید حل شود). اگر شرط (2.7) برآورده شد، سپس (2.6) را به عنوان راه حل تقریبی برای سیستم (1.1) انتخاب کرده و محاسبات را تکمیل می کنیم. اگر شرط (2.7) برآورده نشد، عمل زیر را انجام می دهیم. در سیستم (2.3)، به جای
بیایید مقادیر به روز شده را در نظر بگیریم

, (2.8)

آن ها بیایید آن را انجام دهیم اقدامات زیر

. (2.9)

پس از این، سیستم (2.3) یک سیستم معادلات جبری خطی برای کمیت ها خواهد بود، پس از تعیین این مقادیر، تقریب دوم بعدی
به حل سیستم (1.1) با استفاده از فرمول ها می یابیم

حال بیایید شرایط (2.7) را بررسی کنیم

اگر این شرط برقرار باشد، محاسبات را با تقریب دوم به عنوان راه حل تقریبی برای سیستم (1.1) تکمیل می کنیم.
. اگر این شرط برآورده نشد، ما به ساخت تقریب بعدی ادامه می دهیم و (2.3) را در نظر می گیریم.
تا زمانی که شرط برآورده نشود، باید تقریب ایجاد کرد.

فرمول های کاری روش نیوتن برای حل سیستم (1.1) را می توان به شکل نوشت.

توالی را محاسبه کنید

اینجا
راه حل سیستم هستند

اجازه دهید با استفاده از فرمول های (2.11)-(2.13) یک الگوریتم محاسبه را فرموله کنیم.

1. اجازه دهید یک تقریب صفر متعلق به منطقه D را انتخاب کنیم.

2. در سیستم معادلات جبری خطی (2.13) قرار می دهیم
،آ .

3. بیایید سیستم (2.13) را حل کنیم و کمیت ها را پیدا کنیم
.

4. در فرمول های (2.12) قرار دادیم
و مولفه های تقریب بعدی را محاسبه کنید.

5. اجازه دهید شرایط (2.7) را برای: (الگوریتم محاسبه حداکثر چند کمیت را ببینید.)

6. اگر این شرط برقرار باشد، با انتخاب تقریب به عنوان راه حل تقریبی سیستم (1.1) محاسبات را به پایان می بریم. اگر این شرط برآورده نشد، به مرحله 7 بروید.

7. بگذاریم
برای همه .

8. بیایید مرحله 3 را انجام دهیم، قرار دادن
.

از نظر هندسی می توان این الگوریتم را به صورت زیر نوشت:

الگوریتم. محاسبه حداکثر چند کمیت.

مثال. بیایید استفاده از روش نیوتن را برای حل یک سیستم دو معادله در نظر بگیریم.

با استفاده از روش نیوتن تا دقت حل کنید سیستم زیرمعادلات غیر خطی

, (2.14)

اینجا
. بیایید تقریب صفر را انتخاب کنیم
، متعلق به دامنه D. اجازه دهید سیستمی از معادلات جبری خطی بسازیم (2.3). او شبیه خواهد شد

(2.15)

بیایید نشان دهیم

اجازه دهید سیستم (2.15) را با توجه به مجهولات حل کنیم
برای مثال روش کرامر. فرمول های کرامر را در فرم می نویسیم

(2.17)

تعیین کننده اصلی سیستم کجاست (2.15)

(2.18)

و تعیین کننده های کمکی سیستم (2.15) شکل دارند

.

مقادیر یافت شده را با (2.16) جایگزین می کنیم و اجزای تقریب اول را پیدا می کنیم.
به حل سیستم (2.15).

بیایید شرایط را بررسی کنیم

, (2.19)

اگر این شرط برآورده شود، محاسبات را با در نظر گرفتن اولین تقریب به عنوان راه حل تقریبی برای سیستم (2.15) تکمیل می کنیم، یعنی.
. اگر شرط (2.19) برآورده نشد، آنگاه تنظیم می کنیم
,
و ما خواهیم ساخت سیستم جدیدمعادلات جبری خطی (2.15). پس از حل آن، تقریب دوم را پیدا می کنیم
. بیایید آن را بررسی کنیم. اگر این شرط برآورده شود، آنگاه به عنوان یک راه حل تقریبی برای سیستم انتخاب می کنیم (2.15)
. اگر شرط on برآورده نشد، تنظیم می کنیم
,
و سیستم زیر (2.15) را برای پیدا کردن بسازید
و غیره.

وظایف

همه وظایف نیاز به:

با توجه به الگوریتم پیشنهادی برنامه ای برای اجرای عددی روش ترسیم کنید.

نتایج محاسبات را دریافت کنید.

نتایج خود را بررسی کنید

یک سیستم از دو معادله غیر خطی داده شده است.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

فصل 3. روش های عددی برای حل سیستم های معادلات جبری خطی (SLAE).

هدف کار. مقدمه ای بر چند روش تقریبی برای حل SLAE و پیاده سازی عددی آنها در رایانه شخصی.

اظهارات مقدماتیهمه روش های حل SLAE معمولا به دو دسته تقسیم می شوند گروه های بزرگ. گروه اول شامل روش هایی است که معمولاً دقیق نامیده می شوند. این روش ها به ما امکان می دهد برای هر سیستمی پیدا کنیم مقادیر دقیقمجهولات پس از تعداد محدودی از عملیات حسابی که هر کدام دقیقاً انجام می شود.

گروه دوم شامل تمام روش هایی است که دقیق نیستند. آنها را تکراری یا عددی یا تقریبی می نامند. راه حل دقیق، هنگام استفاده از چنین روش هایی، در نتیجه یک فرآیند بی پایان تقریب ها به دست می آید. یکی از ویژگی های جذاب چنین روش هایی، اصلاح خود و سهولت اجرای آنها در رایانه شخصی است.

اجازه دهید چند روش تقریبی برای حل SLAE ها در نظر بگیریم و الگوریتم هایی برای پیاده سازی عددی آنها بسازیم. ما یک جواب تقریبی از SLAE را با دقت بدست می آوریم که در آن عدد مثبت بسیار کوچکی وجود دارد.

1. روش تکرار.

اجازه دهید SLAE در فرم داده شود

(1.1)

این سیستم را می توان به صورت ماتریسی نوشت

, (1.2)

جایی که
- ماتریس ضرایب برای مجهولات در سیستم (1.1)،
- ستون اعضای رایگان،
- ستون مجهولات سیستم (1.1).

. (1.3)

اجازه دهید سیستم (1.1) را با استفاده از روش تکرار حل کنیم. برای این کار مراحل زیر را انجام می دهیم.

اولا بیایید تقریب صفر را انتخاب کنیم

(1.4)

به جواب دقیق (1.3) سیستم (1.1). اجزای تقریب صفر می تواند هر عددی باشد. اما گرفتن هر یک از صفرها برای اجزای تقریب صفر راحت تر است
، یا شرایط رایگان سیستم (1.1)

دوما. مولفه های تقریب صفر را جایگزین می کنیم سمت راستسیستم (1.1) و محاسبه کنید

(1.5)

کمیت های سمت چپ در (1.5) اجزای تقریب اول هستند
اعمالی که منجر به تقریب اول شد، تکرار نامیده می شود.

سوم. بیایید تقریب صفر و اول را بررسی کنیم

(1.6)

اگر تمام شرایط (1.6) برآورده شود، برای حل تقریبی سیستم (1.1) یکی را انتخاب می کنیم، یا مهم نیست، زیرا آنها بیش از این با یکدیگر تفاوت ندارند و بیایید محاسبات را تمام کنیم. اگر حداقل یکی از شروط (1.6) برآورده نشد، به اقدام بعدی می رویم.

چهارم. بیایید تکرار بعدی را انجام دهیم، i.e. در سمت راست سیستم (1.1) اجزای تقریب اول را جایگزین می کنیم و اجزای تقریب دوم را محاسبه می کنیم.
، جایی که

پنجم. بیایید بررسی کنیم
و در , i.e. اجازه دهید شرایط (1.6) را برای این تقریب ها بررسی کنیم. اگر تمام شرایط (1.6) برآورده شود، برای حل تقریبی سیستم (1.1) یکی را انتخاب می کنیم، یا مهم نیست، زیرا تفاوت آنها با یکدیگر بیش از . در غیر این صورت، تکرار بعدی را با جایگزینی اجزای تقریب دوم در سمت راست سیستم (1.1) خواهیم ساخت.

تکرارها باید تا دو تقریب مجاور ساخته شوند
و با یکدیگر بیش از .

فرمول کاری روش تکرار برای حل سیستم (1.1) را می توان به صورت نوشتاری نوشت

الگوریتم اجرای عددی فرمول (1.7) می تواند به صورت زیر باشد.

شرایط کافی برای همگرایی روش تکرار برای سیستم (1.1) شکل دارد

1.
, .

2.
,
.

3.

2. روش تکرار ساده.

اجازه دهید سیستم معادلات جبری خطی (SLAE) به شکل داده شود

(2.1)

برای حل سیستم (2.1) با استفاده از روش تکرار ساده، ابتدا باید آن را به شکل کاهش داد

(2.2)

در سیستم (2.2) معادله -امین معادله سیستم (2.1) است که با توجه به -ام مجهول حل شده است.
).

روش حل سیستم (2.1) که شامل کاهش آن به سیستم (2.2) و سپس حل سیستم (2.2) با استفاده از روش تکرار است، روش تکرار ساده برای سیستم (2.1) نامیده می شود.

بنابراین، فرمول های کاری روش تکرار ساده برای حل سیستم (2.1) شکل خواهد داشت

(2.3)

فرمول های (2.3) را می توان به شکل نوشت

الگوریتم اجرای عددی روش تکرار ساده برای سیستم (2.1) طبق فرمول (2.4) می تواند به شرح زیر باشد.

این الگوریتم را می توان به صورت هندسی نوشت.

شرایط کافی برای همگرایی روش تکرار ساده برای سیستم (2.1) شکل دارد

1.
, .

2.
,
.

3.

3. روش سیدل ثابت.

روش Seidel برای حل SLAEها با روش تکرار متفاوت است زیرا با یافتن تقریبی برای مولفه -ام، بلافاصله از آن برای یافتن مولفه بعدی استفاده می کنیم.
,
, …, جزء -ام. این رویکرد بیشتر اجازه می دهد سرعت بالاهمگرایی روش سیدل در مقایسه با روش تکرار.

اجازه دهید SLAE در فرم داده شود

(3.1)

اجازه دهید
- تقریب صفر به جواب دقیق
سیستم ها (3.1). و بگذار پیدا شود تقریب ام
. بیایید اجزا را تعریف کنیم
تقریب با استفاده از فرمول

(3.2)

فرمول های (3.2) را می توان به صورت فشرده نوشت

,
,
(3.3)

الگوریتم اجرای عددی روش سیدل برای حل سیستم (3.1) با استفاده از فرمول (3.3) می تواند به شرح زیر باشد.

1. برای مثال، بیایید انتخاب کنیم،
,

2. بگذاریم.

3. برای همه حساب کنیم.

4. ما شرایط را برای همه بررسی خواهیم کرد
.

5. اگر تمام شرایط مندرج در بند 4 وجود داشته باشد، آنگاه یکی یا به عنوان راه حل تقریبی سیستم (3.1) را انتخاب کرده و محاسبات را تکمیل می کنیم. اگر حداقل یک شرط در مرحله 4 برآورده نشد، به مرحله 6 بروید.

6. بیایید آن را کنار بگذاریم و به مرحله 3 برویم.

این الگوریتم را می توان به صورت هندسی نوشت.

شرط کافی برای همگرایی روش سیدل برای سیستم (3.1) شکل دارد
, .

4. روش سیدل غیر ساکن.

این روش حل SLAE (3.1) سرعت بیشتری از همگرایی روش سیدل را فراهم می کند.

اجازه دهید به نحوی اجزای تقریب هفتم و تقریب هفتم را برای سیستم (3.1) پیدا کنیم.

بیایید بردار تصحیح را محاسبه کنیم

بیایید مقادیر را محاسبه کنیم

, (4.2)

بیایید مقادیر را مرتب کنیم
، به ترتیب نزولی

به همین ترتیب، معادلات سیستم (3.1) و مجهولات این سیستم را بازنویسی می کنیم: خطیجبرو غیر خطی ... مدیریتبرایآزمایشگاه آثارتوسط ... روش شناختیدستورالعمل ها برایکاربردیآثارتوسط برایدانش آموزان ...

ادبیات آموزشی (علوم طبیعی و فنی) چرخه OP 2000-2011 – سیکل سی دی 10 ساله – 5 سال

ادبیات

... طبیعیعلومبه طور کلی 1. نجوم [متن]: راهنما برای ... عددیمواد و روش ها: خطیجبرو غیر خطی ... مدیریتبرایآزمایشگاه آثارتوسط ... روش شناختیدستورالعمل ها برایکاربردیآثارتوسطرشته "اقتصاد حمل و نقل" برایدانش آموزان ...

- علوم طبیعی (1)

آموزش

... مدیریتبرایدانش آموزانو معلمان، در نظر گرفته شده است برایاستفاده کنید نه تنها برای مطالعه مواد و روش هاکار کردن... تولید کاربردیمهارت های استفاده از داده های واقعی روشمندتوصیه ها توسطانجام آزمون کار کردنتوسطاین...

- علوم طبیعی - علوم فیزیکی و ریاضی - علوم شیمی - علوم زمین (ژئودتیک ژئوفیزیک زمین شناسی و علوم جغرافیایی)

سند

... برایدانش آموزانبه طور طبیعی- ... آثارتوسطرشته "ژنتیک و انتخاب"، اختصاص داده شده به مشکلات فعلیاین علوم. سیستماتیک مستقل کاردانش آموزانتوسطنظری و کاربردی ... خطی, غیر خطی، پویا همه مواد و روش ها ...

- علوم طبیعی - علوم فیزیکی و ریاضی - علوم شیمی - علوم زمین (ژئودتیک ژئوفیزیک زمین شناسی و علوم جغرافیایی) (7)

فهرست کتاب های درسی

تعیین کننده ارمین خطیو غیر خطیجبر : خطیو غیر خطیبرنامه نویسی: جدید روش/ ارمین، میخائیل... برایدانش آموزانو معلمان رشته های زمین شناسی در دانشگاه ها. kh-1 1794549 99. D3 P 693 کاربردیمدیریتتوسط ...



کلید واژه ها:

هدف کار: روش های حل معادلات غیر خطی با یک مجهول را مطالعه کرده و آنها را در کار تجربی آزمایش کنید.

اهداف شغلی:

1. تجزیه و تحلیل ادبیات خاصو منطقی ترین روش ها را برای حل معادلات غیرخطی انتخاب کنید که به شما امکان می دهد عمیقا مطالعه و جذب کنید این موضوعهمه فارغ التحصیلان دبیرستان
2. برخی از جنبه های یک روش برای حل معادلات غیرخطی با استفاده از فناوری اطلاعات و ارتباطات را توسعه دهید.
3. روش های حل معادلات غیرخطی را بررسی کنید:

‒ روش مرحله ای

‒ روش نصف کردن

- روش نیوتن

معرفی.

بدون سواد ریاضی، تسلط موفقیت آمیز بر روش های حل مسائل در فیزیک، شیمی، زیست شناسی و سایر موضوعات غیرممکن است. کل مجموعه علوم طبیعی بر اساس دانش ریاضی ساخته و توسعه یافته است. به عنوان مثال، مطالعه تعدادی از مسائل موضوعی در فیزیک ریاضی منجر به نیاز به حل معادلات غیر خطی می شود. حل معادلات غیرخطی در اپتیک غیرخطی، فیزیک پلاسما، نظریه ابررسانایی و فیزیک دمای پایین ضروری است. ادبیات کافی در مورد این موضوع وجود دارد، اما درک بسیاری از کتاب ها و مقالات برای دانش آموز دبیرستانی دشوار است. این مقاله روش‌هایی را برای حل معادلات غیرخطی که می‌توانند در حل مسائل کاربردی در فیزیک و شیمی مورد استفاده قرار گیرند، مورد بحث قرار می‌دهد. یک جنبه جالب برنامه است فناوری اطلاعاتبرای حل معادلات و مسائل در ریاضیات.

روش مرحله ای

اجازه دهید حل یک معادله غیرخطی به شکل F(x)=0 ضروری باشد. بیایید همچنین فرض کنیم که فاصله جستجوی مشخصی به ما داده شده است. لازم است بازه [a,b] به طول h را که حاوی ریشه اول معادله است، از مرز سمت چپ بازه جستجو پیدا کنید.

برنج. 1. روش مرحله ای

راه های مختلفی برای حل چنین مشکلی وجود دارد. روش گام ساده ترین روش عددی برای حل نامساوی است، اما برای دستیابی به دقت بالا لازم است که به میزان قابل توجهی گام کاهش یابد و این امر زمان محاسبه را بسیار افزایش می دهد. الگوریتم حل معادلات با استفاده از این روششامل دو مرحله است

منصحنه. جداسازی ریشه

در این مرحله مقاطعی تعیین می شوند که هر کدام فقط یک ریشه معادله را شامل می شود. چندین گزینه برای اجرای این مرحله وجود دارد:

• مقادیر X را جایگزین می‌کنیم (ترجیحاً با یک گام نسبتاً کوچک) و می‌بینیم که علامت تغییر تابع کجاست. اگر تابع علامت خود را تغییر داده باشد، به این معنی است که یک ریشه در ناحیه بین مقدار قبلی و فعلی X وجود دارد (اگر تابع ماهیت افزایش/کاهش خود را تغییر ندهد، می‌توان گفت که فقط یک ریشه وجود دارد. ریشه در این فاصله).
• روش گرافیکی ما یک نمودار می سازیم و ارزیابی می کنیم که یک ریشه در کدام فواصل قرار دارد.
• بیایید ویژگی های یک تابع خاص را بررسی کنیم.

IIصحنه. پالایش ریشه ها.

در این مرحله معنای ریشه های معادله ای که قبلا تعیین شده بود روشن می شود. به عنوان یک قاعده، در این مرحله از روش های تکراری استفاده می شود. مثلا روش نیمه تقسیم(دوگانگی) یا روش نیوتن.

روش تقسیم نیمه

یک روش عددی سریع و نسبتاً ساده برای حل معادلات، بر اساس باریک شدن متوالی بازه حاوی تنها ریشه معادله F(x) = 0 تا زمانی که دقت مشخص شده E حاصل شود معادلات درجه دومو معادلات درجات بالاتر با این حال، این روش یک اشکال قابل توجه دارد - اگر بخش [a,b] حاوی بیش از یک ریشه باشد، نمی تواند به نتایج خوبی دست یابد.

برنج. 2. روش دوگانگی

الگوریتم این روش به شرح زیر است:

‒ تقریب جدیدی از ریشه x را در وسط قطعه [a;b] تعیین کنید: x=(a+b)/2.

‒ مقادیر تابع را در نقاط a و x بیابید: F(a) و F(x).

‒ شرط F(a)*F(x) را بررسی کنید

‒ به مرحله 1 بروید و دوباره قسمت را به نصف تقسیم کنید. الگوریتم را تا شرط |F(x)| ادامه دهید

روش نیوتن

دقیق ترین روش حل عددی؛ مناسب برای حل معادلات بسیار پیچیده است، اما به دلیل نیاز به محاسبه مشتقات در هر مرحله پیچیده است. این است که اگر x n تقریبی به ریشه معادله باشد ، سپس تقریب بعدی به عنوان ریشه مماس بر تابع f(x) ترسیم شده در نقطه x n تعریف می شود.

معادله مماس بر تابع f(x) در نقطه x n به شکل زیر است:

در معادله مماس y = 0 و x = x n +1 قرار می دهیم.

سپس الگوریتم محاسبات متوالی در روش نیوتن به صورت زیر است:

همگرایی روش مماس درجه دوم است، ترتیب همگرایی 2 است.

بنابراین، همگرایی روش مماس نیوتن بسیار سریع است.

بدون هیچ تغییری، روش به موارد پیچیده تعمیم می یابد. اگر ریشه x i ریشه ای از کثرت دوم یا بالاتر باشد، ترتیب همگرایی کاهش می یابد و خطی می شود.

معایب روش نیوتن شامل محلی بودن آن است، زیرا تضمین می شود که برای یک تقریب شروع دلخواه فقط در صورتی همگرا شود که شرط در همه جا برآورده شود. ، در وضعیت مخالف، همگرایی فقط در یک همسایگی خاص از ریشه رخ می دهد.

روش نیوتن (روش مماس) معمولاً در هنگام معادله استفاده می شود f(x) = 0دارای ریشه است و شرایط زیر وجود دارد:

1) عملکرد y=f(x)تعریف شده و پیوسته در ;

2) f(a) f(b) (تابع مقادیر علائم مختلف را در انتهای بخش می گیرد [ الف؛ ب]);

3) مشتقات f"(x)و f""(x)حفظ علامت در فاصله [ الف؛ ب] (یعنی تابع f(x)یا در بخش افزایش یا کاهش می یابد [ الف؛ ب]، با حفظ جهت تحدب).

معنای روش به شرح زیر است: در بخش [ الف؛ ب] چنین عددی انتخاب شده است x 0که در آن f (x 0)همان علامت را دارد f""(x 0)یعنی شرط برقرار است f(x 0) f""(x) > 0. بنابراین، نقطه با آبسیسا انتخاب می شود x 0، که در آن مماس بر منحنی است y=f(x)در بخش [ الف؛ ب] محور را قطع می کند گاو نر. در هر نقطه x 0ابتدا، انتخاب یکی از انتهای بخش راحت است.

بیایید این الگوریتم را با استفاده از یک مثال خاص در نظر بگیریم.

اجازه دهید یک تابع افزایشی به ما داده شود y = f(x) =x 2-2،پیوسته بر روی قطعه (0;2)، و داشتن f "(x) =2x>0و f ""(x) = 2> 0.

در مورد ما، معادله مماس به شکل زیر است: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0).که در به عنوان نقطه x 0 نقطه را انتخاب می کنیم B 1 (b؛ f(b)) = (2،2).یک مماس بر تابع رسم کنید y = f(x)در نقطه B 1، و نقطه تقاطع مماس و محور را مشخص کنید گاو نرنقطه x 1. معادله مماس اول را بدست می آوریم: y-2=2·2(x-2)، y=4x-6. گاو: x 1 =

برنج. 3. ساخت اولین مماس بر نمودار تابع f(x)

y=f(x) گاو نراز طریق نقطه x 1، نکته را می فهمیم B 2 = (1.5; 0.25). دوباره یک مماس بر تابع رسم کنید y = f(x)در نقطه B 2، و نقطه تقاطع مماس و را نشان می دهد گاو نرنقطه x 2.

معادله مماس دوم: y-2.25=2*1.5(x-1.5)، y = 3x - 4.25.نقطه تقاطع مماس و محور گاو: x 2 =.

سپس نقطه تقاطع تابع را پیدا می کنیم y=f(x)و یک عمود بر محور کشیده شده است گاو نراز طریق نقطه x 2، نقطه B 3 و غیره را دریافت می کنیم.

برنج. 4. ساخت مماس دوم بر نمودار تابع f(x)

اولین تقریب ریشه با فرمول تعیین می شود:

= 1.5.

تقریب دوم ریشه با فرمول تعیین می شود:

=

سومین تقریب ریشه با فرمول تعیین می شود:

بدین ترتیب ،منتقریباً هفتمین ریشه با فرمول تعیین می شود:

محاسبات تا زمانی انجام می شود که اعداد اعشاری مورد نیاز در پاسخ مطابقت داشته باشند یا دقت مشخص شده به دست آید - تا زمانی که نابرابری برآورده شود. |xi-xi-1|

در مورد ما، بیایید تقریب به دست آمده در مرحله سوم را با پاسخ واقعی مقایسه کنیم. همانطور که می بینید، قبلاً در مرحله سوم خطای کمتر از 0.000002 دریافت کردیم.

حل معادله با استفاده از CADMathCAD

برای ساده ترین معادلات فرم f(ایکس) = 0 راه حل در MathСAD با استفاده از تابع پیدا می شود ریشه.

ریشه (f (ایکس 1 ، ایکس 2 , … ) ، ایکس 1 ، الف، ب ) - ارزش را برمی گرداند ایکس 1 ، متعلق به بخش [ الف، ب ] ، که در آن عبارت یا تابع f (ایکس ) به 0 می رود. هر دو آرگومان این تابع باید اسکالر باشند. تابع یک اسکالر برمی گرداند.

برنج. 5. حل یک معادله غیر خطی در MathCAD (تابع ریشه)

اگر در نتیجه اعمال این تابع خطایی رخ دهد، ممکن است به این معنی باشد که معادله ریشه ندارد، یا ریشه های معادله دور از تقریب اولیه قرار دارند، عبارت محلی دارد. حداکثرو دقیقهبین تقریب اولیه و ریشه ها.

برای تعیین علت خطا، بررسی نمودار تابع ضروری است f(ایکس). این به کشف وجود ریشه های معادله کمک می کند f(ایکس) = 0 و اگر وجود دارند، تقریباً مقادیر آنها را تعیین کنید. هرچه تقریب اولیه ریشه با دقت بیشتری انتخاب شود، مقدار دقیق آن سریعتر پیدا می شود.

اگر تقریب اولیه ناشناخته است، توصیه می شود از تابع استفاده کنید حل . علاوه بر این، اگر معادله شامل چندین متغیر باشد، باید بعد را نشان دهید کلمه کلیدی Sol لیستی از متغیرهایی است که معادله برای آنها حل شده است.

برنج. 6. حل یک معادله غیر خطی در MathCAD (حل تابع)

نتیجه

این مطالعه چگونگی را بررسی کرد روش های ریاضیو حل معادلات با استفاده از برنامه نویسی در سیستم CAD MathCAD. روش های مختلفمزایا و معایب خود را دارند. لازم به ذکر است که استفاده از یک روش خاص به شرایط اولیه معادله داده شده بستگی دارد. معادلاتی که با روش های فاکتورگیری و غیره در مدرسه به خوبی قابل حل هستند، حل بیشتر منطقی نیست. به روش های پیچیده. مسائل ریاضی کاربردی که برای فیزیک و شیمی مهم هستند و به عملیات محاسباتی پیچیده هنگام حل معادلات نیاز دارند، به عنوان مثال با استفاده از برنامه نویسی با موفقیت حل می شوند. خوب است که آنها را با استفاده از روش نیوتن حل کنید.

برای روشن شدن ریشه ها می توانید از چندین روش برای حل یک معادله استفاده کنید. این تحقیق بود که اساس این کار را تشکیل داد. در عین حال به راحتی می توان فهمید که کدام روش در حل هر مرحله از معادله موفق تر است و از کدام روش بهتر است در این مرحله استفاده نکنید.

مطالب مورد مطالعه از یک سو به گسترش و تعمیق دانش ریاضی و القای علاقه به ریاضیات کمک می کند. از سوی دیگر، توانایی حل مسائل ریاضی واقعی برای کسانی که قصد دارند حرفه های فنی و مهندسی را کسب کنند، مهم است. از همین رو این کاربرای تحصیلات عالی(مثلاً در یک موسسه آموزش عالی).

ادبیات:

1. Mityakov S. N. انفورماتیک. مجتمع مواد آموزشی. - N. Novgorod: نیژنی نووگورود. حالت فن آوری دانشگاه، 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. نظریه انشعاب حل معادلات غیر خطی. M.: Nauka، 1969. - 527 p.
3. برونشتاین I. N.، Semendyaev K. A. کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان دانشکده های فنی - M.: Nauka، 1986.
4. Omelchenko V. P.، Kurbatova E. V. ریاضیات: آموزش. - روستوف n/d.: Phoenix، 2005.
5. ساوین A.P. فرهنگ لغت دایره المعارفیریاضیدان جوان - م.: آموزش، 1989.
6. Korn G., Korn T. کتابچه راهنمای ریاضیات برای دانشمندان و مهندسان. - M.: Nauka، 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - سنت پترزبورگ: BHV-Petersburg، 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. دوره عمومی. - سن پترزبورگ: BHV-Petersburg، 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. روشهای عددی مبتنی بر Mathcad. - سنت پترزبورگ: BHV-Petersburg، 2012.

کلید واژه ها: معادلات غیر خطی، ریاضیات کاربردی، CAD MathCAD، روش نیوتن، روش گام، روش دوگانگی..

حاشیه نویسی: این مقاله به مطالعه روش‌های حل معادلات غیرخطی، از جمله استفاده از سیستم طراحی به کمک کامپیوتر MathCAD اختصاص دارد. روش گام، روش های نیمه و نیوتن در نظر گرفته شده، الگوریتم های دقیق برای اعمال این روش ها ارائه شده است، و تحلیل مقایسه ایروش های مشخص شده

مثلا:

بیایید کار را برای پیدا کردن تعیین کنیم معتبرریشه های این معادله

و قطعا وجود دارد! - از مقالات در مورد نمودارهای تابعو معادلات ریاضیات عالیشما به خوبی می دانید که برنامه چیست تابع چندجمله ای درجه عجیب و غریبمحور را حداقل یک بار قطع می کند، بنابراین معادله ما دارد حداقلیک ریشه واقعی یکی یا دو. یا سه.

ابتدا، درخواست می کند در دسترس بودن را بررسی کنید گویاریشه ها مطابق با قضیه مربوطه، فقط اعداد 1، -1، 3، -3 می توانند این "عنوان" را داشته باشند و با جایگزینی مستقیم می توان مطمئن شد که هیچ یک از آنها "مناسب" نیستند. بنابراین، ارزش های غیر منطقی باقی می مانند. ریشه (های) غیر منطقی یک چند جمله ای درجه 3 را می توان یافت دقیقا (از طریق رادیکال ها بیان شود)با استفاده از به اصطلاح فرمول های کاردانو با این حال، این روش کاملاً دست و پا گیر است. اما برای چند جمله ای های درجه 5 و بالاتر اصلاً روش تحلیل کلی وجود ندارد و علاوه بر این، در عمل بسیاری از معادلات دیگر وجود دارد که در آنها مقادیر دقیقبه دست آوردن ریشه های واقعی غیرممکن است (اگر چه وجود دارند).

با این حال، در اعمال (مثلاً مهندسی)مشکلات، استفاده از مقادیر تقریبی محاسبه شده بیش از حد قابل قبول است با دقت خاصی.

بیایید دقت را برای مثال خود تعیین کنیم. چه مفهومی داره؟ این بدان معنی است که ما باید چنین مقدار تقریبی ریشه را پیدا کنیم (ریشه ها)که در آن ما ما تضمین می کنیم که بیش از 0.001 اشتباه نمی کنیم (یک هزارم) .

کاملاً واضح است که راه حل را نمی توان "به طور تصادفی" آغاز کرد و بنابراین در مرحله اول ریشه ها جداگانه، مجزا. جدا کردن یک ریشه به معنای یافتن یک بخش به اندازه کافی کوچک (معمولاً منفرد) است که این ریشه به آن تعلق دارد و هیچ ریشه دیگری روی آن وجود ندارد. ساده ترین و در دسترس ترین روش گرافیکی جداسازی ریشه. بیایید بسازیم نقطه به نقطهنمودار یک تابع :

از رسم به دست می آید که معادله، ظاهراً دارای یک ریشه واقعی است که متعلق به بخش است. در انتهای این بازه تابع مقادیر نشانه های مختلف را می گیرد: , و از واقعیت تداوم تابع در بخشبلافاصله قابل مشاهده است راه ابتداییپالایش ریشه: فاصله را به نصف تقسیم کنید و قسمتی را که در انتهای آن تابع می گیرد انتخاب کنید نشانه های مختلف. که در در این مورداین بدیهی است که یک بخش است. فاصله حاصل را به نصف تقسیم می کنیم و دوباره بخش "علامت متفاوت" را انتخاب می کنیم. و غیره. چنین اقدامات متوالی نامیده می شود تکرارها. در این حالت، آنها باید تا زمانی انجام شوند که طول قطعه کمتر از دو برابر دقت محاسبه شود و وسط آخرین بخش "علائم متفاوت" باید به عنوان مقدار تقریبی ریشه انتخاب شود.

طرح در نظر گرفته شده یک نام طبیعی دریافت کرد - روش تقسیم نیمه. و عیب این روش سرعت است. به آرامی. خیلی کند قبل از اینکه به دقت مورد نیاز دست یابیم، تکرارهای زیادی وجود خواهد داشت. با توسعه فناوری رایانهالبته این یک مشکل نیست، اما ریاضیات برای یافتن منطقی‌ترین راه‌حل‌ها همین است.

و یکی از موارد دیگر راه های موثریافتن مقدار تقریبی ریشه دقیقاً است روش مماس. ماهیت هندسی مختصر روش به شرح زیر است: ابتدا با استفاده از یک معیار خاص. (درباره آن کمی بعد بیشتر)یکی از انتهای بخش انتخاب شده است. این پایان نامیده می شود اولیهتقریب ریشه، در مثال ما: . حالا یک مماس بر نمودار تابع رسم می کنیم در آبسیسا (نقطه آبی و مماس بنفش):

این مماس از محور x در نقطه زرد عبور کرد، و توجه داشته باشید که در مرحله اول تقریباً "با ریشه" برخورد کردیم! خواهد بود اولینرویکرد ریشه سپس عمود زرد را بر نمودار تابع پایین می آوریم و به نقطه نارنجی می رسیم. ما دوباره یک مماس از طریق نقطه نارنجی ترسیم می کنیم، که محور را حتی نزدیکتر به ریشه قطع می کند! و غیره. درک اینکه با استفاده از روش مماس، ما با جهش به هدف نزدیک می شویم، دشوار نیست و برای دستیابی به دقت به معنای واقعی کلمه چندین تکرار لازم است.

از آنجایی که مماس از طریق تعریف می شود مشتق تابع، سپس این درس به عنوان یکی از کاربردهای آن در بخش "مشتقات" قرار گرفت. و بدون پرداختن به جزئیات توجیه نظری روش، جنبه فنی موضوع را در نظر خواهم گرفت. در عمل، مشکلی که در بالا توضیح داده شد تقریباً در فرمول زیر رخ می دهد:

مثال 1

با استفاده از روش گرافیکیفاصله ای که ریشه واقعی معادله در آن قرار دارد را پیدا کنید. با استفاده از روش نیوتن، مقدار تقریبی ریشه را با دقت 0.001 بدست آورید.

در اینجا یک "نسخه صرفه جویی" از کار وجود دارد که در آن وجود یک ریشه معتبر بلافاصله بیان شده است.

راه حل: در اولین پلهریشه باید به صورت گرافیکی جدا شود. این را می توان با ترسیم نقشه انجام داد (به تصاویر بالا مراجعه کنید)، اما این روش دارای معایبی است. اولا، این یک واقعیت نیست که نمودار ساده است (از قبل اطلاعی نداریم)، آ نرم افزار- همیشه در دسترس نیست. و دوما (نتیجه از اول)، با احتمال قابل توجهی نتیجه حتی یک نقشه شماتیک نیست، بلکه یک نقشه خشن خواهد بود که البته خوب نیست.

خوب، چرا به مشکلات غیر ضروری نیاز داریم؟ بیایید تصور کنیم معادلهدر شکل، نمودارها را با دقت بکشید و ریشه را در نقاشی علامت بزنید ( مختصات "X" نقطه تقاطع نمودارها):

مزیت آشکار این روشاین است که نمودارهای این توابع با دست بسیار دقیق تر و بسیار سریعتر ساخته می شوند. به هر حال، توجه داشته باشید که سر راستعبور کرد سهمی مکعبیدر یک نقطه، به این معنی که معادله پیشنهادی در واقع فقط یک ریشه واقعی دارد. اعتماد کنید، اما تأیید کنید ;-)

بنابراین، "مشتری" ما متعلق به بخش است و "با چشم" تقریباً برابر با 0.65-0.7 است.

در پله دومنیاز به انتخاب تقریب اولیهریشه معمولاً این یکی از انتهای بخش است. تقریب اولیه باید برآورده شود شرط بعدی:

بیایید پیدا کنیم اولینو دومینتوابع مشتق شده :

و انتهای سمت چپ بخش را بررسی کنید:

بنابراین، صفر "مناسب نبود."

بررسی انتهای سمت راست بخش:

- همه چیز خوب است! ما به عنوان تقریب اولیه انتخاب می کنیم.

در مرحله سومراه رسیدن به ریشه در انتظار ماست. هر تقریب ریشه بعدی از داده های قبلی با استفاده از موارد زیر محاسبه می شود عود کنندهفرمول ها:

این فرآیند زمانی به پایان می رسد که شرط برآورده شود، جایی که یک دقت محاسبه از پیش تعیین شده است. در نتیجه، تقریب «n» به عنوان مقدار تقریبی ریشه در نظر گرفته می شود: .

در مرحله بعدی محاسبات معمول هستند:

(معمولاً گرد کردن تا 5-6 رقم اعشار انجام می شود)

از آنجایی که مقدار بدست آمده بزرگتر از است، به تقریب اول ریشه می رویم:

محاسبه می کنیم:

، بنابراین نیاز به حرکت به تقریب 2 وجود دارد:

بریم دور بعد:

بنابراین، تکرارها تکمیل می شوند و تقریب دوم باید به عنوان مقدار تقریبی ریشه در نظر گرفته شود که با توجه به دقت داده شده، باید به یک هزارم گرد شود:

در عمل، وارد کردن نتایج محاسبات در جدول به منظور کوتاه کردن ورودی، اغلب با کسری مشخص می شود:

در صورت امکان، بهتر است محاسبات خود را در اکسل انجام دهید - بسیار راحت تر و سریعتر است:

پاسخ: دقیق تا 0.001

یادآوری می کنم که این عبارت بیانگر این واقعیت است که ما در ارزیابی خود اشتباه کرده ایم معنی واقعیریشه با حداکثر 0.001. کسانی که شک دارند می توانند یک ریزماشین حساب را انتخاب کنند و یک بار دیگر مقدار تقریبی 0.674 را جایگزین کنند. سمت چپمعادلات

حالا بیایید ستون سمت راست جدول را از بالا به پایین "اسکن" کنیم و متوجه شویم که مقادیر به طور پیوسته در مقدار مطلق در حال کاهش هستند. این اثر نامیده می شود همگراییروشی که به ما امکان می دهد ریشه را با دقت دلخواه بالا محاسبه کنیم. اما همگرایی همیشه اتفاق نمی افتد - تضمین شده است یکسری شرایط، که در مورد آن سکوت کردم. به ویژه، بخشی که ریشه روی آن جدا شده است باید باشد به اندازه کافی کوچک- در غیر این صورت مقادیر به طور تصادفی تغییر می کنند و ما نمی توانیم الگوریتم را کامل کنیم.

در چنین مواقعی چه باید کرد؟ بررسی کنید که شرایط مشخص شده رعایت شده باشد (به لینک بالا مراجعه کنید)، و در صورت لزوم، بخش را کاهش دهید. بنابراین، به طور نسبی، اگر در مثال مورد تجزیه و تحلیل فاصله برای ما مناسب نبود، باید مثلاً بخش را در نظر بگیریم. در عمل با چنین مواردی مواجه شده ام، و این تکنیک واقعا کمک می کند! اگر هر دو انتهای بخش "عریض" شرط را برآورده نکرد، باید همین کار را انجام داد (یعنی هیچ یک از آنها به عنوان تقریب اولیه مناسب نیستند).

اما معمولاً همه چیز مانند ساعت کار می کند، اگرچه بدون اشکال نیست:

مثال 2

تعداد ریشه های واقعی معادله را به صورت گرافیکی تعیین کنید، این ریشه ها را جدا کنید و با استفاده از روش نیوتن، مقادیر تقریبی ریشه ها را با دقت بیابید.

شرط مسئله به طرز محسوسی سخت‌تر شده است: اولاً، حاوی یک اشاره قوی است که معادله یک ریشه ندارد، ثانیاً نیاز به دقت افزایش یافته است و ثالثاً با نمودار تابع. کنار آمدن با آن بسیار دشوارتر است

و بنابراین راه حلبیایید با یک ترفند ذخیره شروع کنیم: معادله را در شکل تصور کنید و نمودارها را رسم کنید:


از رسم به دست می آید که معادله ما دو ریشه واقعی دارد:

همانطور که می دانید الگوریتم باید دو بار "مرتب" شود. اما این حتی در شدیدترین موارد نیز گاهی اوقات باید 3-4 ریشه را بررسی کنید.

1) استفاده از معیار بیایید دریابیم که کدام انتهای بخش را به عنوان تقریب اولیه ریشه اول انتخاب کنیم. یافتن مشتقات توابع :

تست انتهای سمت چپ بخش:

- اومد بالا!

بنابراین، یک تقریب اولیه است.

ما ریشه را با استفاده از روش نیوتن با استفاده از فرمول مکرر اصلاح می کنیم:
- تا کسر مدولکمتر از دقت لازم نخواهد بود:

و در اینجا کلمه "ماژول" اهمیت غیر توهمی پیدا می کند ، زیرا مقادیر منفی هستند:


به همین دلیل، هنگام حرکت به هر تقریب بعدی باید توجه ویژه ای داشت:

با وجود کافی نیاز بالابرای دقت، فرآیند دوباره در تقریب دوم به پایان رسید:، بنابراین:

دقت 0.0001

2) بیایید مقدار تقریبی ریشه را پیدا کنیم.

انتهای سمت چپ بخش را برای شپش بررسی می کنیم:

بنابراین، به عنوان یک تقریب اولیه مناسب نیست.