मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक। तेल और गैस का महान विश्वकोश

कारक और परिणामी विशेषताओं के मानक विचलन के शेयरों में;

6. यदि प्रतिगमन समीकरण में पैरामीटर a शून्य से अधिक है, तो:

7. कीमतों पर आपूर्ति की निर्भरता को y = 136 x 1.4 के रूप के समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अर्थ क्या है?

कीमतों में 1% की वृद्धि के साथ, आपूर्ति औसतन 1.4% बढ़ जाती है;

8. बी ऊर्जा समीकरणपैरामीटर बी है:

लोच गुणांक;

9. अवशिष्ट मानक विचलन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

10. 15 अवलोकनों से निर्मित प्रतिगमन समीकरण का रूप है: y = 4 + 3x +?6 t - मानदंड मान 3.0 है इस समीकरण के लिए निर्धारण का गुणांक है:

मॉडल निर्माण चरण में, विशेष रूप से कारक स्क्रीनिंग प्रक्रिया में, उनका उपयोग किया जाता है

आंशिक सहसंबंध गुणांक.

12. "संरचनात्मक चर" कहलाते हैं:

डमी चर।

13. युग्म सहसंबंध गुणांकों का एक मैट्रिक्स दिया गया है:

यू एक्सएल एक्स2 एक्स3

यू 1.0 - - -

एक्सएल 0.7 1.0 - -

X2 -0.5 0.4 1.0 -

X3 0.4 0.8 -0.1 1.0

कौन से कारक संरेख हैं?

14. एक समय श्रृंखला का स्वत:सहसंबंध कार्य है:

समय श्रृंखला स्तरों के स्वत: सहसंबंध गुणांक का अनुक्रम;

15. योगात्मक मॉडल में समय श्रृंखला स्तर का पूर्वानुमान मूल्य है:

प्रवृत्ति और मौसमी घटकों का योग.

16. समय श्रृंखला के सह-एकीकरण की परिकल्पना का परीक्षण करने की एक विधि है:

एंगेल-ग्रेंजर मानदंड;

17. समय श्रृंखला सहएकीकरण है:

दो (या अधिक) समय श्रृंखला के स्तरों पर कारण-और-प्रभाव संबंध;

18. समीकरणों की प्रणाली में बहिर्जात चर के गुणांक दर्शाए गए हैं:

19. एक समीकरण अतिपहचान योग्य है यदि:

20.एक मॉडल को अज्ञात माना जाता है यदि:

मॉडल का कम से कम एक समीकरण पहचानने योग्य नहीं है;

विकल्प 13

1. अर्थमितीय अनुसंधान का पहला चरण है:

समस्या का निरूपण.

किस निर्भरता के तहत विभिन्न अर्थक्या एक चर दूसरे चर के मानों के विभिन्न वितरणों से मेल खाता है?

सांख्यिकीय;

3. यदि प्रतिगमन गुणांक शून्य से अधिक है, तो:

सहसंबंध गुणांक शून्य से अधिक है.

4. प्रतिगमन गुणांक का आकलन करने का शास्त्रीय दृष्टिकोण इस पर आधारित है:

तरीका कम से कम वर्गों;

फिशर एफ परीक्षण की विशेषताएँ

स्वतंत्रता की डिग्री के अनुसार कारक और अवशिष्ट भिन्नताओं के अनुपात की गणना की जाती है।

6. मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक है:

एकाधिक सहसंबंध गुणांक;

7. गुणांकों के महत्व का आकलन करने के लिए, मत करो रेखीय प्रतिगमनगणना करें:

एफ - फिशर का परीक्षण;

8. पैरामीटर न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं:

रेखीय प्रतिगमन;

9. सहसंबंध गुणांक की यादृच्छिक त्रुटि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

एम= √(1-आर 2)/(एन-2)

10. दिया गया है: Dfact = 120;Doct = 51. फिशर के F-परीक्षण का वास्तविक मूल्य क्या होगा?

11. फिशर का आंशिक एफ परीक्षण मूल्यांकन करता है:

आंकड़ों की महत्तासमीकरण में संगत कारक की उपस्थिति एकाधिक प्रतिगमन;

12. निष्पक्ष आकलन का अर्थ है:

अपेक्षित मूल्यशेषफल शून्य है.

13. एक्सेल में एकाधिक प्रतिगमन और सहसंबंध मॉडल की गणना करते समय, युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स को प्रदर्शित करने के लिए, निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है:

डेटा विश्लेषण उपकरण सहसंबंध;

14. योगात्मक मॉडल में सभी तिमाहियों के लिए मौसमी घटक के मूल्यों का योग बराबर होना चाहिए:

15. गुणक मॉडल में समय श्रृंखला स्तर का पूर्वानुमानित मान है:

प्रवृत्ति और मौसमी घटकों का उत्पाद;

16. गलत सहसंबंध निम्न की उपस्थिति के कारण होता है:

रुझान.

17. अवशेषों का स्वत: सहसंबंध निर्धारित करने के लिए, इसका उपयोग करें:

मापदंड डर्बिन-वाटसन;

18. समीकरणों की प्रणाली में अंतर्जात चर के गुणांक दर्शाए गए हैं:

19 . शर्त यह है कि एक मैट्रिक्स की रैंक चर के गुणांकों से बनी होती है। अध्ययन के तहत समीकरण से गायब अंतर्जात की संख्या से कम नहीं है सिस्टम चरप्रति इकाई है:

अतिरिक्त शर्तसमीकरणों की एक प्रणाली में एक समीकरण की पहचान करना

20. अप्रत्यक्ष न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग हल करने के लिए किया जाता है:

समीकरणों की एक पहचान योग्य प्रणाली.

विकल्प 14

1. गणितीय और सांख्यिकीय अभिव्यक्तियाँ जो आर्थिक घटनाओं और प्रक्रियाओं को मात्रात्मक रूप से चित्रित करती हैं और जिनमें काफी उच्च स्तर की विश्वसनीयता होती है, कहलाती हैं:

अर्थमितीय मॉडल.

2. प्रतिगमन विश्लेषण का उद्देश्य है:

विशेषताओं के बीच संबंध की निकटता का निर्धारण;

3. प्रतिगमन गुणांक दर्शाता है:

माप की एक इकाई द्वारा कारक में परिवर्तन के साथ परिणाम में औसत परिवर्तन।

4. औसत त्रुटिअनुमान हैं:

वास्तविक विशेषता से परिणामी विशेषता के परिकलित मानों का औसत विचलन;

5. गणितीय फ़ंक्शन का गलत चयन त्रुटियों को संदर्भित करता है:

मॉडल विशिष्टताएँ;

6. यदि प्रतिगमन समीकरण में पैरामीटर a शून्य से अधिक है, तो:

परिणाम की भिन्नता कारक की भिन्नता से कम होती है;

7. कौन सा फ़ंक्शन चर बदलकर रैखिककृत होता है: x=x1, x2=x2

दूसरी डिग्री का बहुपद;

8. कीमतों पर मांग की निर्भरता को y = 98 x - 2.1 के रूप के समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अर्थ क्या है?

कीमतों में 1% की वृद्धि के साथ, मांग औसतन 2.1% कम हो जाती है;

9. औसत पूर्वानुमान त्रुटि सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

- σost=√(∑(у-ỹ) 2 / (n-m-1))

10. मान लीजिए कि एक युग्मित प्रतिगमन समीकरण है: y = 13+6*x, 20 अवलोकनों से निर्मित, r = 0.7 के साथ। सहसंबंध गुणांक के लिए मानक त्रुटि निर्धारित करें:

11. मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक दिखाते हैं:

यदि संबंधित कारक एक सिग्मा से बदलता है और अन्य कारकों का औसत स्तर अपरिवर्तित रहता है तो औसत परिणाम कितने सिग्मा में बदल जाएगा;

12. न्यूनतम वर्ग विधि के पाँच परिसरों में से एक है:

समलैंगिकता;

13. गणना के लिए एकाधिक गुणांकएक्सेल सहसंबंध का उपयोग किया जाता है:

डेटा विश्लेषण उपकरण प्रतिगमन।

14. चक्र में गुणक मॉडल में सभी अवधियों के लिए मौसमी घटक के मूल्यों का योग बराबर होना चाहिए:

चार।

15. किसी समय श्रृंखला को विश्लेषणात्मक रूप से संरेखित करते समय, स्वतंत्र चर है:

16. अवशेषों में स्वत:सहसंबंध ओएलएस धारणा का उल्लंघन है:

प्रतिगमन समीकरण से प्राप्त अवशेषों की यादृच्छिकता;

प्रतिगमन समीकरण के गुणांक, किसी भी निरपेक्ष संकेतक की तरह, तुलनात्मक विश्लेषण में उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि संबंधित चर की माप की इकाइयाँ भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, यदि य – भोजन के लिए परिवार का खर्च, एक्स 1 – परिवार का आकार, और एक्स 2 कुल पारिवारिक आय है, और हम एक रिश्ते को इस प्रकार परिभाषित करते हैं = ए + बी 1 एक्स 1 + बी 2 एक्स 2 और b 2 > b 1 , तो इसका मतलब यह नहीं है एक्स 2 पर अधिक गहरा प्रभाव पड़ता है य , कैसे एक्स 1 , क्योंकि बी 2 जब आय में 1 रूबल का परिवर्तन होता है, तो पारिवारिक खर्चों में परिवर्तन होता है, और बी 1 - जब परिवार का आकार 1 व्यक्ति से बदलता है तो खर्चों में बदलाव।

प्रतिगमन समीकरण गुणांकों की तुलना एक मानकीकृत प्रतिगमन समीकरण पर विचार करके प्राप्त की जाती है:

y 0 =  1 x 1 0 +  2 x 2 0 + … +  m x m 0 + e,

जहाँ y 0 और एक्स 0 क – मानकीकृत परिवर्तनीय मान य और एक्स क :

एस वाई और एस - चर के मानक विचलन य और एक्स क ,

 क (क=) – -प्रतिगमन समीकरण के गुणांक (लेकिन पिछले नोटेशन के विपरीत, प्रतिगमन समीकरण के पैरामीटर नहीं)। -गुणांक दर्शाते हैं कि इसका कौन सा भाग है मानक विचलन(S y) आश्रित चर बदल जाएगा य , यदि स्वतंत्र चर एक्स क इसके मानक विचलन (एस) के मान से बदल जाएगा। निरपेक्ष रूप से प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का अनुमान (बी के) और β-गुणांक संबंध से संबंधित हैं:

मानकीकृत पैमाने पर प्रतिगमन समीकरण के  गुणांक मॉडल किए गए संकेतक पर स्वतंत्र चर के प्रभाव का यथार्थवादी प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं। यदि किसी चर के लिए -गुणांक का मान किसी अन्य चर के लिए संबंधित -गुणांक के मान से अधिक है, तो प्रदर्शन संकेतक में परिवर्तन पर पहले चर के प्रभाव को अधिक महत्वपूर्ण माना जाना चाहिए। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि मानकीकृत प्रतिगमन समीकरण, चर के केंद्रीकरण के कारण, निर्माण द्वारा एक मुक्त पद नहीं है।

सरल प्रतिगमन के लिए, -गुणांक युग्म सहसंबंध गुणांक के साथ मेल खाता है, जिससे युग्म सहसंबंध गुणांक को एक सार्थक अर्थ देना संभव हो जाता है।

प्रतिरूपित विशेषता पर प्रतिगमन समीकरण में शामिल संकेतकों के प्रभाव का विश्लेषण करते समय, -गुणांक के साथ-साथ लोच गुणांक का भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, औसत लोच सूचक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

और दिखाता है कि यदि संबंधित स्वतंत्र चर का औसत मूल्य एक प्रतिशत (अन्य सभी चीजें बराबर होने पर) बदल जाता है, तो आश्रित चर औसतन कितने प्रतिशत बदल जाएगा।

2.2.9. प्रतिगमन विश्लेषण में असतत चर

आमतौर पर, प्रतिगमन मॉडल में चर में भिन्नता की निरंतर श्रेणियां होती हैं। हालाँकि, सिद्धांत ऐसे चर की प्रकृति पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाता है। अक्सर प्रतिगमन विश्लेषण में गुणात्मक विशेषताओं के प्रभाव और विभिन्न कारकों पर उनकी निर्भरता को ध्यान में रखना आवश्यक होता है। इस मामले में, प्रतिगमन मॉडल में अलग-अलग चर पेश करना आवश्यक हो जाता है। असतत चर या तो स्वतंत्र या आश्रित हो सकते हैं। आइए इन मामलों पर अलग से विचार करें। आइए सबसे पहले असतत स्वतंत्र चर के मामले पर विचार करें।

प्रतिगमन विश्लेषण में डमी चर

स्वतंत्र चर के रूप में प्रतिगमन में गुणात्मक विशेषताओं को शामिल करने के लिए, उन्हें डिजिटलीकृत किया जाना चाहिए। उन्हें परिमाणित करने का एक तरीका डमी वेरिएबल्स का उपयोग करना है। नाम पूरी तरह उपयुक्त नहीं है - वे काल्पनिक नहीं हैं, लेकिन इन उद्देश्यों के लिए वेरिएबल का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है जो केवल दो मान लेते हैं - शून्य या एक। इसलिए उन्हें काल्पनिक कहा गया. आमतौर पर, एक गुणात्मक चर कई स्तरों पर मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, लिंग - पुरुष, महिला; योग्यता - उच्च, मध्यम, निम्न; मौसमी - I, II, III और IV तिमाही, आदि। एक नियम है जिसके अनुसार, ऐसे चर को डिजिटाइज़ करने के लिए, आपको डमी चर की संख्या दर्ज करने की आवश्यकता है, जो मॉडल किए गए संकेतक के स्तरों की संख्या से एक कम है। यह आवश्यक है ताकि ऐसे चर रैखिक रूप से निर्भर न हो जाएं।

हमारे उदाहरणों में: लिंग एक चर है, जो पुरुषों के लिए 1 और महिलाओं के लिए 0 के बराबर है। योग्यता के तीन स्तर हैं, जिसका अर्थ है कि दो डमी चर की आवश्यकता है: उदाहरण के लिए, z 1 = 1 के लिए उच्च स्तर, 0 - दूसरों के लिए; औसत स्तर के लिए z 2 = 1, अन्य के लिए 0। एक तीसरा समान चर पेश नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस मामले में वे रैखिक रूप से निर्भर हो जाएंगे (z 1 + z 2 + z 3 = 1), मैट्रिक्स का निर्धारक (एक्स टी एक्स) शून्य हो जाएगा और यह नहीं होगा व्युत्क्रम मैट्रिक्स (X T X) -1 खोजना संभव होगा। जैसा कि ज्ञात है, प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का अनुमान संबंध से निर्धारित किया जाता है: टी एक्स) -1 एक्स टी वाई)।

डमी चर पर गुणांक दर्शाते हैं कि लापता स्तर की तुलना में विश्लेषण किए गए स्तर पर आश्रित चर का मान कितना भिन्न है। उदाहरण के लिए, यदि वेतन स्तर कई विशेषताओं और कौशल स्तर के आधार पर तैयार किया गया था, तो z 1 पर गुणांक दिखाएगा कि उच्च स्तर की योग्यता वाले विशेषज्ञों का वेतन किसी विशेषज्ञ के वेतन से कैसे भिन्न है कम स्तरयोग्यताएं, अन्य चीजें समान होना, और z 2 के लिए गुणांक का औसत स्तर की योग्यता वाले विशेषज्ञों के लिए समान अर्थ है। मौसमी के मामले में, तीन डमी चर दर्ज करने होंगे (यदि त्रैमासिक डेटा पर विचार किया जाता है) और उन पर गुणांक दिखाएगा कि संबंधित तिमाही के लिए निर्भर चर का मूल्य तिमाही के लिए निर्भर चर के स्तर से कैसे भिन्न होता है उन्हें डिजिटाइज़ करते समय दर्ज नहीं किया गया था।

समय श्रृंखला का विश्लेषण करते समय अध्ययन किए गए संकेतकों की गतिशीलता में मॉडल संरचनात्मक परिवर्तनों के लिए डमी चर भी पेश किए जाते हैं।

उदाहरण 4.मानकीकृत प्रतिगमन समीकरण और डमी चर

आइए चर के निम्नलिखित सेट के साथ एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के आधार पर दो कमरे के अपार्टमेंट के लिए बाजार का विश्लेषण करने के उदाहरण का उपयोग करके मानकीकृत गुणांक और डमी चर का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें:

कीमत - कीमत;

टीओटीएसपी - कुल क्षेत्रफल;

LIVSP - रहने की जगह;

KITSP - रसोई क्षेत्र;

DIST - शहर के केंद्र से दूरी;

पैदल चलें - यदि आप मेट्रो स्टेशन तक पैदल जा सकते हैं तो 1 के बराबर और यदि आपको सार्वजनिक परिवहन का उपयोग करने की आवश्यकता है तो 0 के बराबर;

ईंट - यदि घर ईंट का है तो 1 के बराबर और यदि पैनल का है तो 0 के बराबर;

मंजिल - यदि अपार्टमेंट पहली या आखिरी मंजिल पर नहीं है तो 1 के बराबर और अन्यथा 0 के बराबर;

TEL - यदि अपार्टमेंट में टेलीफोन है तो 1 के बराबर और यदि नहीं है तो 1 के बराबर;

यदि बालकनी है तो BAL 1 के बराबर है और यदि बालकनी नहीं है तो 0 के बराबर है।

गणना STATISTICA सॉफ़्टवेयर (चित्र 2.23) का उपयोग करके की गई। -गुणांक की उपस्थिति आपको आश्रित चर पर उनके प्रभाव की डिग्री के अनुसार चर को क्रमबद्ध करने की अनुमति देती है। आइए गणना परिणामों का संक्षिप्त विश्लेषण करें।

फिशर आंकड़ों के आधार पर, हम प्रतिगमन समीकरण (पी-स्तर) के महत्व के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.

चित्र 2.24 - स्टेटिस्टिका पीपीपी पर आधारित अपार्टमेंट बाजार रिपोर्ट

एकाधिक निर्धारण का गुणांक 52% है, इसलिए, प्रतिगमन में शामिल चर 52% मूल्य परिवर्तन निर्धारित करते हैं, और अपार्टमेंट की कीमत में शेष 48% परिवर्तन बेहिसाब कारकों पर निर्भर करता है। यादृच्छिक मूल्य में उतार-चढ़ाव भी शामिल है।

एक चर के लिए प्रत्येक गुणांक दर्शाता है कि यदि यह चर एक से बदलता है तो एक अपार्टमेंट की कीमत कितनी बदल जाएगी (अन्य सभी चीजें समान हैं)। इसलिए, उदाहरण के लिए, जब कुल क्षेत्रफल 1 वर्ग से बदलता है। मी, एक अपार्टमेंट की कीमत में औसतन 0.791 USD का बदलाव आएगा, और यदि अपार्टमेंट शहर के केंद्र से 1 किमी दूर चला जाता है, तो एक अपार्टमेंट की कीमत में औसतन 0.596 USD की कमी आएगी। आदि। डमी वेरिएबल्स (अंतिम 5) दिखाते हैं कि यदि आप इस वेरिएबल के एक स्तर से दूसरे स्तर पर जाते हैं तो एक अपार्टमेंट की औसत कीमत कितनी बदल जाएगी। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि घर ईंट का है, तो उसमें एक अपार्टमेंट की कीमत औसतन 3,104 USD है। यानी, एक पैनल हाउस की तुलना में अधिक महंगा है, और अपार्टमेंट में एक टेलीफोन की उपस्थिति इसकी कीमत औसतन 1,493 USD बढ़ा देती है। ई., आदि

-गुणांक के आधार पर निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। सबसे बड़ा -गुणांक, 0.514 के बराबर, "कुल क्षेत्रफल" चर के लिए गुणांक है, इसलिए, सबसे पहले, एक अपार्टमेंट की कीमत उसके कुल क्षेत्रफल के प्रभाव में बनती है। किसी अपार्टमेंट की कीमत में बदलाव पर प्रभाव के संदर्भ में अगला कारक शहर के केंद्र की दूरी है, फिर वह सामग्री जिससे घर बनाया गया है, फिर रसोई क्षेत्र, आदि।

अर्थमिति में, बहिष्कृत गुणांक के साथ एकाधिक प्रतिगमन (2.13) के मापदंडों को निर्धारित करने के लिए अक्सर एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को समझाए गए चर के मानक विचलन से विभाजित करें एस वाईऔर इसे इस रूप में प्रस्तुत करें:

आइए मानकीकृत (केंद्रित और सामान्यीकृत) चर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पद को संबंधित कारक चर के मानक विचलन से विभाजित और गुणा करें:

जहां नए वेरिएबल्स को इस रूप में दर्शाया गया है

.

सभी मानकीकृत चरों का माध्य शून्य और एक का प्रसरण समान होता है।

मानकीकृत रूप में प्रतिगमन समीकरण है:

कहाँ
- मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक।

मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक गुणांकों से भिन्न है सामान्य, प्राकृतिक रूप जिसमें उनका मूल्य मॉडल के स्पष्ट और व्याख्यात्मक चर के माप के पैमाने पर निर्भर नहीं करता है। इसके अलावा, उनके बीच एक सरल संबंध है:

, (3.2)

जो गुणांकों की गणना करने का एक और तरीका देता है ज्ञात मानों द्वारा , उदाहरण के लिए, दो-कारक के मामले में अधिक सुविधाजनक प्रतिगमन मॉडल.

5.2. मानकीकृत में न्यूनतम वर्ग समीकरणों की सामान्य प्रणाली

चर

यह पता चला है कि मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक की गणना करने के लिए, आपको केवल जोड़ीदार रैखिक सहसंबंध गुणांक जानने की आवश्यकता है। यह कैसे किया जाता है यह दिखाने के लिए, आइए हम अज्ञात को न्यूनतम वर्ग समीकरणों की सामान्य प्रणाली से बाहर कर दें पहले समीकरण का उपयोग करना. पहले समीकरण को (से गुणा करना)
) और इसे दूसरे समीकरण के साथ पद दर पद जोड़ने पर, हमें मिलता है:

कोष्ठकों में भावों को विचरण और सहप्रसरण के संकेतन से प्रतिस्थापित करना

आइए दूसरे समीकरण को आगे सरलीकरण के लिए सुविधाजनक रूप में फिर से लिखें:

आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों को चरों के मानक विचलन से विभाजित करें एस वाईऔर ` एस एक्स 1 , और प्रत्येक पद को विभाजित करें और पद की संख्या के अनुरूप चर के मानक विचलन से गुणा करें:

एक रैखिक सांख्यिकीय संबंध की विशेषताओं का परिचय:

और मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक

,

हम पाते हैं:

अन्य सभी समीकरणों के समान परिवर्तनों के बाद, न्यूनतम वर्गों (2.12) के रैखिक समीकरणों की सामान्य प्रणाली निम्नलिखित, सरल रूप लेती है:

(3.3)

5.3. मानकीकृत प्रतिगमन विकल्प

दो कारकों वाले मॉडल के विशेष मामले में मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक निर्धारित किए जाते हैं अगली प्रणालीसमीकरण:

(3.4)

समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने पर, हम पाते हैं:

, (3.5)

. (3.6)

युग्म सहसंबंध गुणांक के पाए गए मानों को समीकरण (3.4) और (3.5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं और . फिर, सूत्र (3.2) का उपयोग करके, गुणांकों के अनुमान की गणना करना आसान है और , और फिर, यदि आवश्यक हो, अनुमान की गणना करें सूत्र के अनुसार

6. बहुकारक मॉडल पर आधारित आर्थिक विश्लेषण की संभावनाएँ

6.1. मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक

मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक दर्शाते हैं कि कितने मानक विचलन हैं औसत समझाया गया चर बदल जाएगा वाई, यदि संगत व्याख्यात्मक चर एक्स मैं राशि से बदल जाएगा
अन्य सभी कारकों के औसत स्तर को अपरिवर्तित बनाए रखते हुए इसके मानक विचलनों में से एक।

इस तथ्य के कारण कि मानकीकृत प्रतिगमन में सभी चर केंद्रित और सामान्यीकृत यादृच्छिक चर के रूप में निर्दिष्ट होते हैं, गुणांक एक दूसरे से तुलनीय. उनकी एक-दूसरे से तुलना करके, आप उनके अनुरूप कारकों को रैंक कर सकते हैं एक्स मैंसमझाए गए चर पर प्रभाव की ताकत से वाई. यह गुणांकों से मानकीकृत प्रतिगमन गुणांकों का मुख्य लाभ है में प्रतिगमन प्राकृतिक रूप, जो एक दूसरे से अतुलनीय हैं।

मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक की यह सुविधा कम से कम उपयोग करना संभव बनाती है महत्वपूर्ण कारक एक्स मैंउनके नमूना अनुमानों का मान शून्य के करीब है . उन्हें रेखीय प्रतिगमन मॉडल समीकरण से बाहर करने का निर्णय सांख्यिकीय परिकल्पना का परीक्षण करने के बाद किया जाता है कि इसका औसत मूल्य शून्य के बराबर है।

प्रतिगमन समीकरण के अज्ञात मापदंडों का अनुमान न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। हालाँकि, एकाधिक रैखिक प्रतिगमन के मामले में इन गुणांकों का अनुमान लगाने का एक और तरीका है। ऐसा करने के लिए, एक मानकीकृत (सामान्यीकृत) पैमाने पर एक एकाधिक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण किया जाता है। इसका मतलब यह है कि प्रतिगमन मॉडल में शामिल सभी चर विशेष सूत्रों का उपयोग करके मानकीकृत किए जाते हैं। मानकीकरण प्रक्रिया प्रत्येक सामान्यीकृत चर के लिए नमूने के औसत मूल्य के लिए संदर्भ बिंदु निर्धारित करना संभव बनाती है। इस मामले में, मानकीकृत चर की माप की इकाई उसका मानक विचलन बन जाती है। प्रतिगमन समीकरण में मानकीकृत पैमाना:

जहां , मानकीकृत चर हैं;

मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक। वे। मानकीकरण की प्रक्रिया के माध्यम से, प्रत्येक सामान्यीकृत चर के लिए संदर्भ बिंदु उसके औसत मूल्य पर सेट किया जाता है नमूना जनसंख्या. इस मामले में, इसके मानक विचलन को मानकीकृत चर की माप की इकाई के रूप में लिया जाता है σ . β-गुणांक दिखाते हैं, कितने सिग्मा (मानक विचलन) से संबंधित कारक में परिवर्तन के कारण औसत परिणाम बदल जाएगा एक्स मैंएक सिग्मा द्वारा, अन्य कारकों का औसत स्तर स्थिर रहता है। मानकीकृत पैमाने पर एकाधिक प्रतिगमन समीकरण में न्यूनतम वर्ग विधि को लागू करने पर, उचित परिवर्तनों के बाद हमें मानकीकृत गुणांक निर्धारित करने के लिए फॉर्म के सामान्य समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है। प्रतिगमन गुणांक β को निर्धारक विधि का उपयोग करके समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली से कम से कम वर्गों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मात्राएँ r yx 1 और r xixj को युग्म गुणांक कहा जाता है। सहसंबंध और सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं: r yx 1 = yxi औसत - y ср*хiср/ ǪхǪу; r xixj = хixj औसत - xi avg*xjcv/ǪхiǪxj। सिस्टम को हल करते हुए, हम मानकीकृत गुणांक निर्धारित करते हैं। प्रतिगमन. उनकी एक-दूसरे से तुलना करके, आप परिणाम पर उनके प्रभाव की ताकत के अनुसार कारकों को रैंक कर सकते हैं। गुणांकों के विपरीत, मानकीकृत प्रतिगमन गुणांकों का यह मुख्य लाभ है। शुद्ध प्रतिगमन, जो एक दूसरे के साथ अतुलनीय हैं। मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए अरेखीयएकाधिक प्रतिगमन समीकरणों को पहले रैखिक रूप में परिवर्तित किया जाता है (चर को प्रतिस्थापित करके) और मापदंडों को खोजने के लिए कम से कम वर्ग विधि का उपयोग किया जाता है रेखीय समीकरणपरिवर्तित चर पर एकाधिक प्रतिगमन। कब आंतरिक रूप से अरैखिक निर्भरताएँमापदंडों का अनुमान लगाने के लिए गैर-रेखीय अनुकूलन विधियों मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक का उपयोग करना आवश्यक है βiएक-दूसरे से तुलनीय हैं, जो परिणाम पर उनके प्रभाव की ताकत के अनुसार कारकों को क्रमबद्ध करने की अनुमति देता है। परिणाम चर में परिवर्तन पर अधिक सापेक्ष प्रभाव यउस कारक द्वारा लगाया जाता है जो गुणांक के बड़े निरपेक्ष मान से मेल खाता है βi.के कारण से मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक का मुख्य लाभ, "शुद्ध" प्रतिगमन के गुणांकों के विपरीत, जो एक दूसरे के साथ तुलनीय नहीं हैं।"शुद्ध" प्रतिगमन गुणांक द्विबाधाओं के साथ βiअनुपात द्वारा वर्णित है।