व्यायाम।
- किसी दिए गए डेटा सेट के लिए, एक रैखिक मॉडल बनाएं एकाधिक प्रतिगमन. निर्मित प्रतिगमन समीकरण की सटीकता और पर्याप्तता का मूल्यांकन करें।
- मॉडल मापदंडों की आर्थिक व्याख्या दीजिए।
- मॉडल के मानकीकृत गुणांकों की गणना करें और प्रतिगमन समीकरण को मानकीकृत रूप में लिखें। क्या यह सच है कि किसी वस्तु की कीमत उसकी आपूर्ति की मात्रा पर अधिक प्रभाव डालती है? वेतनकर्मचारी?
- परिणामी मॉडल के लिए (में) प्राकृतिक रूप) गोल्डफेल्ड-क्वांड्ट परीक्षण का उपयोग करके अवशेषों के लिए समरूपता स्थिति की संतुष्टि की जांच करें।
- डर्बिन-वाटसन परीक्षण का उपयोग करके अवशेषों के स्वत: सहसंबंध के लिए परिणामी मॉडल का परीक्षण करें।
- जांचें कि क्या प्रतिगमन अर्थ में मूल डेटा की एकरूपता की धारणा पर्याप्त है। क्या दो नमूनों (पहले 8 और शेष 8 अवलोकनों के लिए) को एक में जोड़ना और एक्स पर वाई के एकल प्रतिगमन मॉडल पर विचार करना संभव है?
1. प्रतिगमन समीकरण का अनुमान. आइए एकाधिक प्रतिगमन समीकरण सेवा का उपयोग करके प्रतिगमन गुणांक अनुमानों के वेक्टर का निर्धारण करें। विधि के अनुसार कम से कम वर्गों, वेक्टर एसव्यंजक से प्राप्त: s = (X T X) -1 X T Y
मैट्रिक्स एक्स
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
मैट्रिक्स वाई
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
मैट्रिक्स एक्स टी
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
आव्यूहों को गुणा करें, (एक्स टी एक्स)
हम देखतें है उलटा मैट्रिक्स(एक्स टी एक्स)-1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7.0ई-6 |
| 0.00037 | -7.0ई-6 | 1.0ई-6 |
प्रतिगमन गुणांक अनुमान का वेक्टर बराबर है
| वाई(एक्स)= |
| * |
| = |
|
प्रतिगमन समीकरण (प्रतिगमन समीकरण का अनुमान)
वाई = 0.18 + 0.00297एक्स 1 + 0.00347एक्स 2
2. युग्मित सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स आर। अवलोकनों की संख्या एन = 14. मॉडल में स्वतंत्र चर की संख्या 2 है, और इकाई वेक्टर को ध्यान में रखते हुए प्रतिगामी की संख्या अज्ञात गुणांक की संख्या के बराबर है। चिह्न Y को ध्यान में रखते हुए, मैट्रिक्स का आयाम 4 के बराबर हो जाता है। स्वतंत्र चर X के मैट्रिक्स का एक आयाम (14 x 4) है।
मैट्रिक्स Y और X से बना है
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स।
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
मैट्रिक्स ए टी ए.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
परिणामी मैट्रिक्स में निम्नलिखित पत्राचार है:
| Σn | ∑य | ∑x 1 | ∑x 2 |
| ∑य | ∑य 2 | ∑x 1 y | ∑x 2 y |
| ∑x 1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x 2 x 1 |
| ∑x 2 | ∑yx 2 | ∑x 1 x 2 | ∑x 2 2 |
आइए जोड़ी सहसंबंध गुणांक खोजें।
| विशेषताएं x और y | ∑(xi) | ∑(यी) | ∑(x i y i ) | |||
| Y और x के लिए 1 | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| y और x 2 के लिए | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| x 1 और x 2 के लिए | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| विशेषताएं x और y | ||||
| Y और x के लिए 1 | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| y और x 2 के लिए | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| x 1 और x 2 के लिए | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
जोड़ी सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स आर:
| - | य | एक्स 1 | एक्स 2 |
| य | 1 | 0.558 | 0.984 |
| एक्स 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| एक्स 2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
सबसे अधिक चयन करने के लिए महत्वपूर्ण कारक x i निम्नलिखित शर्तों को ध्यान में रखा गया है:
- परिणामी विशेषता और कारक एक के बीच संबंध इंटरफैक्टर कनेक्शन से अधिक होना चाहिए;
- कारकों के बीच संबंध 0.7 से अधिक नहीं होना चाहिए। यदि मैट्रिक्स में इंटरफैक्टर सहसंबंध गुणांक r xjxi > 0.7 है, तो इस एकाधिक प्रतिगमन मॉडल में बहुसंरेखता है।;
- किसी विशेषता के उच्च इंटरफैक्टर कनेक्शन के साथ, उनके बीच कम सहसंबंध गुणांक वाले कारकों का चयन किया जाता है।
हमारे मामले में, सभी जोड़ीवार सहसंबंध गुणांक |r| एक मानक पैमाने पर प्रतिगमन मॉडल एक मानक पैमाने पर एक प्रतिगमन मॉडल मानता है कि अध्ययन के तहत विशेषताओं के सभी मूल्यों को सूत्रों का उपयोग करके मानकों (मानकीकृत मूल्यों) में परिवर्तित किया जाता है:
जहां x ji i-वें अवलोकन में चर x ji का मान है।
इस प्रकार, प्रत्येक मानकीकृत चर की उत्पत्ति को उसके माध्य मान के साथ जोड़ दिया जाता है, और उसके मानक विचलन को परिवर्तन की इकाई के रूप में लिया जाता है एस.
यदि प्राकृतिक पैमाने पर चरों के बीच संबंध रैखिक है, तो मूल और माप की इकाई को बदलने से इस संपत्ति का उल्लंघन नहीं होगा, इसलिए मानकीकृत चर भी एक रैखिक संबंध से संबंधित होंगे:
टी वाई = ∑β जे टी एक्सजे
β-गुणांक का अनुमान लगाने के लिए, हम OLS का उपयोग करते हैं। इस मामले में, सामान्य समीकरणों की प्रणाली का रूप होगा:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
हमारे डेटा के लिए (हम इसे जोड़ी सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स से लेते हैं):
0.558 = β 1 + 0.508β 2
0.984 = 0.508β 1 + β 2
हम गाऊसी विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करते हैं: β 1 = 0.0789; β 2 = 0.944;
प्रतिगमन समीकरण का मानकीकृत रूप है:
y 0 = 0.0789x 1 + 0.944x 2
इस प्रणाली से पाए गए β-गुणांक सूत्रों का उपयोग करके प्राकृतिक पैमाने पर प्रतिगमन में गुणांक के मूल्यों को निर्धारित करना संभव बनाते हैं:
मानकीकृत आंशिक प्रतिगमन गुणांक. मानकीकृत आंशिक प्रतिगमन गुणांक - β-गुणांक (β j) दिखाता है कि इसके मानक विचलन S(y) के किस भाग से परिणाम बदल जाएगा यअन्य कारकों (समीकरण में शामिल) के निरंतर प्रभाव के साथ इसके मानक विचलन (एस एक्सजे) के मूल्य से संबंधित कारक x j में परिवर्तन के साथ।
अधिकतम β j से कोई यह अनुमान लगा सकता है कि परिणाम Y पर किस कारक का अधिक प्रभाव है।
लोच गुणांक और β-गुणांक विपरीत निष्कर्ष निकाल सकते हैं। इसके कारण हैं: क) एक कारक की भिन्नता बहुत बड़ी है; बी) परिणाम पर कारकों का बहुदिशात्मक प्रभाव।
गुणांक β j की व्याख्या प्रत्यक्ष (तत्काल) प्रभाव के संकेतक के रूप में भी की जा सकती है जेपरिणाम (y) पर -वाँ कारक (x j)। एकाधिक प्रतिगमन में जेवें कारक का न केवल प्रत्यक्ष, बल्कि परिणाम पर अप्रत्यक्ष (अप्रत्यक्ष) प्रभाव भी पड़ता है (यानी, मॉडल के अन्य कारकों के माध्यम से प्रभाव)।
अप्रत्यक्ष प्रभाव को मान द्वारा मापा जाता है: ∑β i r xj,xi , जहां m मॉडल में कारकों की संख्या है। पूर्ण प्रभाव जे.टी.एचपरिणाम पर कारक योग के बराबरप्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष प्रभाव किसी दिए गए कारक के रैखिक युग्म सहसंबंध गुणांक को मापते हैं और परिणाम - r xj,y।
तो हमारे उदाहरण के लिए, प्रतिगमन समीकरण में परिणाम Y पर कारक x 1 का प्रत्यक्ष प्रभाव β j द्वारा मापा जाता है और इसकी मात्रा 0.0789 होती है; परिणाम पर इस कारक का अप्रत्यक्ष (मध्यस्थ) प्रभाव इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
आर x1x2 β 2 = 0.508 * 0.944 = 0.4796
4.2 मानकीकृत पैमाने पर प्रतिगमन समीकरण का निर्माण
एकाधिक प्रतिगमन मापदंडों को दूसरे तरीके से निर्धारित किया जा सकता है, जब एक प्रतिगमन समीकरण युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स के आधार पर मानकीकृत पैमाने पर बनाया जाता है:
मानकीकृत पैमाने पर एकाधिक प्रतिगमन समीकरण में न्यूनतम वर्ग विधि को लागू करने पर, उचित परिवर्तनों के बाद हमें फॉर्म के सामान्य समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:
जहां rух1, rух2 युग्मित सहसंबंध गुणांक हैं।
हम सूत्रों का उपयोग करके युग्मित सहसंबंध गुणांक पाते हैं:
समीकरणों की प्रणाली का रूप है:
निर्धारक विधि का उपयोग करके प्रणाली को हल करने के बाद, हमने सूत्र प्राप्त किए:
मानकीकृत पैमाने पर समीकरण है:
इस प्रकार, जनसंख्या की निरंतर औसत प्रति व्यक्ति आय के साथ, गरीबी स्तर में 1 सिग्मा की वृद्धि के साथ, कुल प्रजनन दर में 0.075 सिग्मा की कमी होगी; और जनसंख्या की औसत प्रति व्यक्ति आय में 1 सिग्मा की वृद्धि के साथ, निरंतर गरीबी स्तर के साथ, कुल प्रजनन दर 0.465 सिग्मा तक बढ़ जाएगी।
एकाधिक प्रतिगमन में, शुद्ध प्रतिगमन गुणांक bi मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक βi से निम्नानुसार संबंधित हैं:
5. आंशिक प्रतिगमन समीकरण
5.1 आंशिक प्रतिगमन समीकरणों का निर्माण
आंशिक प्रतिगमन समीकरण औसत स्तर पर एकाधिक प्रतिगमन में ध्यान में रखे गए अन्य कारकों को ठीक करते हुए प्रभावी विशेषता को संबंधित कारकों x से जोड़ते हैं। आंशिक समीकरणों का रूप है:
जोड़ी प्रतिगमन के विपरीत, आंशिक प्रतिगमन समीकरण परिणाम पर एक कारक के पृथक प्रभाव की विशेषता बताते हैं, क्योंकि अन्य कारक स्थिर स्तर पर स्थिर रहते हैं।
इस समस्या में, आंशिक समीकरणों का रूप है:
5.2 आंशिक लोच गुणांक का निर्धारण
आंशिक प्रतिगमन समीकरणों के आधार पर, सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक क्षेत्र के लिए आंशिक लोच गुणांक निर्धारित किया जा सकता है:
आइए कलिनिनग्राद और लेनिनग्राद क्षेत्रों के लिए आंशिक लोच गुणांक की गणना करें।
के लिए कलिनिनग्राद क्षेत्र x1=11.4, x2=12.4, फिर:
के लिए लेनिनग्राद क्षेत्र x1 =10.6, x2=12.6:
इस प्रकार, कलिनिनग्राद क्षेत्र में, गरीबी स्तर में 1% की वृद्धि के साथ, कुल प्रजनन दर में 0.07% की कमी होगी, और औसत प्रति व्यक्ति आय में 1% की वृद्धि के साथ, कुल प्रजनन दर में 0.148% की वृद्धि होगी। . लेनिनग्राद क्षेत्र में, गरीबी स्तर में 1% की वृद्धि के साथ, कुल प्रजनन दर में 0.065% की कमी होगी, और औसत प्रति व्यक्ति आय में 1% की वृद्धि के साथ, कुल प्रजनन दर में 0.15% की वृद्धि होगी।
5.3 औसत लोच गुणांक का निर्धारण
हम सूत्र का उपयोग करके कुल औसत लोच संकेतक पाते हैं:
इस समस्या के लिए वे समान होंगे:
इस प्रकार, गरीबी के स्तर में 1% की वृद्धि के साथ, प्रति व्यक्ति आय के स्थिर औसत के साथ जनसंख्या में कुल प्रजनन दर में औसतन 0.054% की कमी आएगी। प्रति व्यक्ति आय में 1% की वृद्धि के साथ, निरंतर गरीबी स्तर के साथ अध्ययन के तहत आबादी के लिए कुल प्रजनन दर औसतन 0.209% बढ़ जाएगी।
6. एकाधिक सहसंबंध
6.1 गुणांक एकाधिक सहसंबंध
एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के व्यावहारिक महत्व का मूल्यांकन एकाधिक सहसंबंध संकेतक और उसके वर्ग - निर्धारण के गुणांक का उपयोग करके किया जाता है। एकाधिक सहसंबंध संकेतक अध्ययन की गई विशेषता के साथ कारकों के विचारित सेट के घनिष्ठ संबंध को दर्शाता है, अर्थात। परिणाम पर कारकों के संयुक्त प्रभाव के बीच संबंध की निकटता का मूल्यांकन करता है।
एकाधिक सहसंबंध सूचकांक मान अधिकतम जोड़ीवार सहसंबंध सूचकांक से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। पर रैखिक निर्भरताविशेषताओं, सहसंबंध सूचकांक सूत्र को निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जा सकता है:
तो कनेक्शन सामान्य गुणांकगरीबी स्तर और औसत प्रति व्यक्ति आय के साथ जन्म दर कमजोर है।
और सभी सहसंबंध गुणांक 1 के बराबर हैं, तो ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक 0 के बराबर है:। इंटरफैक्टर सहसंबंध मैट्रिक्स का निर्धारक 0 के जितना करीब होगा, कारकों की बहुसंरेखता उतनी ही मजबूत होगी और एकाधिक प्रतिगमन के परिणाम उतने ही अविश्वसनीय होंगे। और इसके विपरीत, इंटरफैक्टर सहसंबंध मैट्रिक्स का निर्धारक 1 के जितना करीब होगा, कारकों की बहुसंरेखता उतनी ही कम होगी। कारकों की बहुसंरेखता की जाँच की जा सकती है...
प्रतिगमन समीकरण के अज्ञात मापदंडों का अनुमान न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। हालाँकि, एकाधिक के मामले में इन गुणांकों का अनुमान लगाने का एक और तरीका है रेखीय प्रतिगमन. ऐसा करने के लिए, एक मानकीकृत (सामान्यीकृत) पैमाने पर एक एकाधिक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण किया जाता है। इसका मतलब यह है कि इसमें सभी चर शामिल हैं प्रतिगमन मॉडल, विशेष सूत्रों का उपयोग करके मानकीकृत किया जाता है। मानकीकरण प्रक्रिया प्रत्येक सामान्यीकृत चर के लिए नमूने के औसत मूल्य के लिए संदर्भ बिंदु निर्धारित करना संभव बनाती है। इस मामले में, मानकीकृत चर की माप की इकाई उसका मानक विचलन बन जाती है। मानकीकृत पैमाने पर प्रतिगमन समीकरण:
जहां, मानकीकृत चर हैं;
मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक। वे। मानकीकरण की प्रक्रिया के माध्यम से, प्रत्येक सामान्यीकृत चर के लिए संदर्भ बिंदु उसके औसत मूल्य पर सेट किया जाता है नमूना जनसंख्या. इस मामले में, इसके मानक विचलन को मानकीकृत चर की माप की इकाई के रूप में लिया जाता है σ . β-गुणांक दिखाते हैं, कितने सिग्मा (मानक विचलन) से संबंधित कारक में परिवर्तन के कारण औसत परिणाम बदल जाएगा एक्स मैंएक सिग्मा द्वारा, अन्य कारकों का औसत स्तर स्थिर रहता है। मानकीकृत पैमाने पर एकाधिक प्रतिगमन समीकरण में न्यूनतम वर्ग विधि को लागू करने पर, उचित परिवर्तनों के बाद हमें मानकीकृत गुणांक निर्धारित करने के लिए प्रपत्र के सामान्य समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है। प्रतिगमन गुणांक β OLS का उपयोग करके निर्धारित किए जाते हैं अगली प्रणालीनिर्धारक विधि का उपयोग कर समीकरण:
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मात्राएँ r yx 1 और r xixj को युग्म गुणांक कहा जाता है। सहसंबंध और सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं: r yx 1 = yxi औसत - y ср*хiср/ ǪхǪу; r xixj = хixj औसत - xi avg*xjcv/ǪхiǪxj। सिस्टम को हल करते हुए, हम मानकीकृत गुणांक निर्धारित करते हैं। प्रतिगमन. उनकी एक-दूसरे से तुलना करके, आप परिणाम पर उनके प्रभाव की ताकत के अनुसार कारकों को रैंक कर सकते हैं। गुणांकों के विपरीत, मानकीकृत प्रतिगमन गुणांकों का यह मुख्य लाभ है। शुद्ध प्रतिगमन, जो एक दूसरे के साथ अतुलनीय हैं। मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए अरेखीयएकाधिक प्रतिगमन समीकरणों को पहले रैखिक रूप में परिवर्तित किया जाता है (चर को प्रतिस्थापित करके) और मापदंडों को खोजने के लिए कम से कम वर्ग विधि का उपयोग किया जाता है रेखीय समीकरणपरिवर्तित चर पर एकाधिक प्रतिगमन। कब आंतरिक रूप से अरैखिक निर्भरताएँमापदंडों का अनुमान लगाने के लिए गैर-रेखीय अनुकूलन विधियों मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक का उपयोग करना आवश्यक है βiएक-दूसरे से तुलनीय हैं, जो परिणाम पर उनके प्रभाव की ताकत के अनुसार कारकों को क्रमबद्ध करने की अनुमति देता है। परिणाम चर में परिवर्तन पर अधिक सापेक्ष प्रभाव यउस कारक द्वारा लगाया जाता है जो गुणांक के बड़े मापांक मान से मेल खाता है βi.के कारण से मुख्य लाभ मानकीकृत गुणांकप्रतिगमन, "शुद्ध" प्रतिगमन के गुणांकों के विपरीत, जो एक दूसरे के साथ तुलनीय नहीं हैं।"शुद्ध" प्रतिगमन गुणांक द्विबाधाओं के साथ βiअनुपात द्वारा वर्णित है।
मानकीकृत पैमाने पर प्रतिगमन समीकरण मापदंडों का अनुमान
अर्थमिति समस्याओं में एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का अनुमान न्यूनतम वर्ग विधि (ओएलएस) का उपयोग करके युग्मित प्रतिगमन के समान लगाया जाता है। इस पद्धति को लागू करते समय, सामान्य समीकरणों की एक प्रणाली का निर्माण किया जाता है, जिसके समाधान से प्रतिगमन मापदंडों का अनुमान प्राप्त करना संभव हो जाता है।
युग्मित सहसंबंध गुणांक के मैट्रिक्स के आधार पर एकाधिक प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का निर्धारण करते समय, हम एक मानकीकृत पैमाने पर एक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण करते हैं:
समीकरण में मानकीकृत चर
मानकीकृत पैमाने पर कई प्रतिगमन मॉडलों के लिए न्यूनतम वर्ग विधि को लागू करने पर, कुछ परिवर्तनों के बाद हमें प्रपत्र के सामान्य समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है
निर्धारकों की विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करके, हम पैरामीटर - मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक (बीटा - गुणांक) पाते हैं। गुणांकों की एक दूसरे से तुलना करके, आप परिणाम पर उनके प्रभाव की ताकत के अनुसार कारकों को रैंक कर सकते हैं। पारंपरिक प्रतिगमन गुणांकों के विपरीत, यह मानकीकृत गुणांकों का मुख्य लाभ है, जो अतुलनीय हैं।
जोड़ीवार निर्भरता में, मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक निर्भरता द्वारा समीकरण के संबंधित गुणांक से संबंधित होता है
यह किसी को मानकीकृत पैमाने पर एक समीकरण से आगे बढ़ने की अनुमति देता है प्रतिगमन समीकरणचरों के प्राकृतिक पैमाने में:
पैरामीटर a निम्नलिखित समीकरण से निर्धारित होता है
मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक दर्शाते हैं कि यदि संबंधित कारक xj एक सिग्मा से बदलता है, जबकि अन्य कारकों का औसत स्तर अपरिवर्तित रहता है, तो औसत परिणाम कितने सिग्मा में बदल जाएगा। इस तथ्य के कारण कि सभी चर केंद्रित और सामान्यीकृत के रूप में निर्दिष्ट हैं, मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक एक दूसरे से तुलनीय हैं।
मानकीकृत गुणांकों का सुविचारित अर्थ मॉडल से सबसे कम मूल्य वाले कारकों को छोड़कर, कारकों की स्क्रीनिंग करते समय उनका उपयोग करने की अनुमति देता है।
एकाधिक प्रतिगमन समीकरणों के निर्माण के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम आपको मूल डेटा के लिए केवल एक प्रतिगमन समीकरण और एक मानकीकृत पैमाने पर एक प्रतिगमन समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देते हैं।
19. एकाधिक प्रतिगमन मॉडल का उपयोग करके लोच के लक्षण। पृष्ठ 132-136
http://math.semestr.ru/regress/mregres.php
20. मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक और लोच गुणांक के बीच संबंध। पृष्ठ 120-124
21. एकाधिक और आंशिक सहसंबंध के संकेतक। अर्थमितीय मॉडल के निर्माण में उनकी भूमिका
सह - संबंध -यहदो या दो से अधिक के बीच सांख्यिकीय संबंध यादृच्छिक चर(या ऐसी मात्राएँ जिन्हें सटीकता की कुछ स्वीकार्य डिग्री के साथ इस तरह माना जा सकता है)। इसके अलावा, इनमें से एक या अधिक मात्रा में परिवर्तन से दूसरी या अन्य मात्रा में व्यवस्थित परिवर्तन होता है। दो यादृच्छिक चरों के सहसंबंध का गणितीय माप सहसंबंध गुणांक है। अवधारणा सहसंबंध 19वीं शताब्दी के मध्य में अंग्रेजी सांख्यिकीविद् एफ. गैल्टन और के. पियर्सन के कार्यों में दिखाई दिया।
एकाधिक सहसंबंध गुणांक(आर)प्रदर्शन संकेतक और कारक संकेतकों के एक सेट के बीच घनिष्ठ संबंध को दर्शाता है:
जहां σ 2 - अनुभवजन्य श्रृंखला का कुल विचरण, प्रदर्शन संकेतक की कुल भिन्नता को दर्शाता है (वाई)कारकों के कारण;
σ ओस्ट 2 - श्रृंखला में अवशिष्ट विचरण हाँ, x को छोड़कर सभी कारकों के प्रभाव को दर्शाता है;
पर- प्रारंभिक टिप्पणियों से गणना की गई प्रभावी संकेतक का औसत मूल्य;
एस- प्रतिगमन समीकरण का उपयोग करके गणना किए गए प्रदर्शन संकेतक का औसत मूल्य।
एकाधिक सहसंबंध गुणांक 0 से 1. तक की सीमा में केवल सकारात्मक मान लेता है निकट मूल्य 1 का गुणांक, कनेक्शन की निकटता जितनी अधिक होगी। और, इसके विपरीत, 0 के जितना करीब, निर्भरता उतनी ही कम। आर मान पर< 0,3 говорят о малой зависимости между величинами. При значении 0,3 < आर< 0.6 कनेक्शन की औसत निकटता को इंगित करता है। जब R > 0.6, एक महत्वपूर्ण संबंध अस्तित्व में कहा जाता है।
बहु सहसंबंध गुणांक का वर्ग कहलाता है निर्धारण का गुणांक (डी): डी = आर 2।निर्धारण का गुणांक दर्शाता है कि प्रदर्शन संकेतक में भिन्नता का कौन सा अनुपात कारक संकेतकों में भिन्नता से जुड़ा है। निर्धारण के गुणांक और एकाधिक सहसंबंध गुणांक की गणना भिन्नताओं को जोड़ने के नियम पर आधारित है, जिसके अनुसार कुल भिन्नता (σ 2) अंतरसमूह भिन्नता (δ 2) और समूह के औसत के योग के बराबर है प्रसरण σ मैं 2):
σ 2 = δ 2 + σ मैं 2 .
अंतरसमूह फैलाव अध्ययन किए जा रहे कारक के कारण प्रभावी संकेतक की परिवर्तनशीलता को दर्शाता है, और समूह भिन्नता का औसत अध्ययन किए जा रहे कारक को छोड़कर अन्य सभी कारकों के कारण प्रभावी संकेतक के उतार-चढ़ाव को दर्शाता है।
आंशिक सहसंबंध संकेतक.मॉडल में शामिल एक अतिरिक्त कारक के कारण अवशिष्ट भिन्नता में कमी और मॉडल में संबंधित कारक को शामिल करने से पहले अवशिष्ट भिन्नता के अनुपात के आधार पर
विचारित संकेतकों का उपयोग कारकों की तुलना करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। आप कारकों को रैंक कर सकते हैं (अर्थात दूसरा कारक अधिक निकटता से संबंधित है)।
किसी मॉडल का निर्माण करते समय आंशिक गुणांक का उपयोग कारक उन्मूलन प्रक्रिया में किया जा सकता है।
ऊपर चर्चा किए गए संकेतक प्रथम-क्रम सहसंबंध गुणांक हैं, यानी जब एक कारक तय होता है तो वे दो कारकों के बीच संबंध को दर्शाते हैं (yx1) . x2). हालाँकि, दूसरे या अधिक क्रम (yx1.) के गुणांक बनाना संभव है . x2x3, yx1 . x2x3x4).
22. एकाधिक प्रतिगमन परिणामों की विश्वसनीयता का आकलन करना।
संरचनात्मक मॉडल के गुणांकों का अनुमान लगाया जा सकता है विभिन्न तरीकेयुगपत समीकरणों के प्रकार पर निर्भर करता है।
संरचनात्मक मॉडल के गुणांकों का आकलन करने की विधियाँ:
1)अप्रत्यक्ष एमएनसी (सीएमएनसी)
2) दो-चरणीय न्यूनतम वर्ग (डीएमएलएस)
3) तीन-चरणीय ओएलएस (टीएमएनके)
4) एमएनई के साथ पूरी जानकारी
5)एमएनपी सीमित के साथ जानकारी
सीएमएनके का आवेदन:
सीएमएनसी का उपयोग संरचनात्मक मॉडल की सटीक पहचान के मामले में किया जाता है।
सीएमएनसी का उपयोग करने की प्रक्रियाएँ:
1. संरचनात्मक रूपांतरण मॉडल दिए गए में मॉडल आकार.
2. मॉडल के घटे हुए रूप के प्रत्येक समीकरण के लिए, कम किए गए रूप का अनुमान सामान्य न्यूनतम वर्ग विधि का उपयोग करके लगाया जाता है। गुणक
3. मॉडल के घटे हुए रूप के गुणांक संरचनात्मक मॉडल के मापदंडों में बदल जाते हैं।
यदि सिस्टम अतिपहचान योग्य है, तो सीएमएनसी का उपयोग नहीं किया जाता है, क्योंकि यह संरचनात्मक मॉडल के मापदंडों के लिए स्पष्ट अनुमान प्रदान नहीं करता है। इस मामले में, वे उपयोग कर सकते हैं विभिन्न तरीकेआकलन, जिनमें सबसे आम है डीएमएनसी।
उपरोक्त मॉडल पर आधारित DMNC का मुख्य विचार अति-पहचान प्राप्त करना है। समीकरण सिद्धांत. अंतर्जात चर के मूल्य, सामग्री। समीकरण के दाईं ओर. इसके बाद, वास्तविक मूल्यों के बजाय पाए गए मूल्यों में प्रतिस्थापित करते हुए, सामान्य न्यूनतम वर्ग और संरचनात्मक तरीकों का उपयोग किया जाता है। सुपरिडेंट फॉर्म स्तर।
पहला चरण: ड्राइव का निर्धारण करते समय। मॉडल का स्वरूप और उसके आधार पर सैद्धांतिक अनुमान ढूँढना। अंतर्जात चर के मान
चरण 2: अंतर्जात चर के सैद्धांतिक मूल्यों के आधार पर मॉडल के संरचनात्मक गुणांक का निर्धारण करते समय संरचनात्मक अतिपहचान समीकरण के संबंध में।
23. एकाधिक प्रतिगमन परिणामों के विचरण का विश्लेषण।
काम भिन्नता का विश्लेषणस्वतंत्रता आँकड़ा के बारे में परिकल्पना H0 का परीक्षण करने में, प्रतिगमन समीकरण समग्र रूप से और घनिष्ठ संबंध को दर्शाता है। तथ्य की तुलना के आधार पर प्रदर्शन किया गया और एफ-क्रिट बिल्ली के सारणीबद्ध मूल्यों को कारक और अवशिष्ट भिन्नताओं के अनुपात से निर्धारित किया जाता है, जो स्वतंत्रता की एक डिग्री के लिए गणना की जाती है।
| एनोवा टेबल | ||||
| वारु | डीएफ | आरएमएस, एस | एक डीएफ, एस 2 के लिए डिस्प | तथ्य |
| आम तौर पर | एन-1 | डी वाई 2 * एन | - | - |
| तथ्य | एम | d y 2 * n*R 2 yx1x2 | ||
| ओस्ट | एन-एम-1 | d y 2 * n*(1-R 2 yx 1 x 2) = कुल-सफैक्ट | - |
आप एक टेबल भी बना सकते हैं विचरण का आंशिक विश्लेषण, और एक निजी एफ क्रिट ढूंढें जो किसी अन्य चर को शामिल करने के बाद मॉडल में एक कारक को शामिल करने की व्यवहार्यता का मूल्यांकन करता है
24. आंशिक फिशर एफ-टेस्ट, स्टूडेंट टी-टेस्ट। प्रतिगमन मॉडल के निर्माण में उनकी भूमिका।
फिशर का एफ परीक्षण.
प्रतिगमन मॉडल में नए कारकों को जोड़ने की सांख्यिकीय व्यवहार्यता का आकलन करने के लिए, एक विशेष फिशर मानदंड का उपयोग किया जाता है, क्योंकि प्रतिगमन विश्लेषण के परिणाम न केवल कारकों की संरचना से प्रभावित होते हैं, बल्कि कारक को शामिल करने के अनुक्रम से भी प्रभावित होते हैं। नमूना। यह कारकों के बीच संबंध की उपस्थिति से समझाया गया है।
F xj =((R 2 by yx1x2...xm – R 2 by yx1x2...xj-1,хj+1...xm)/(1- R 2 by yx1x2...xm))*(( एन-एम-1) /1)
एफ तालिका (अल्फा,1, एनएम-1) एफ एक्सजे एफ तालिका से अधिक है - कारक एक्स जे को अन्य कारकों के बाद मॉडल में शामिल करने की सलाह दी जाती है।
यदि समीकरण y=a+b1x1+b2+b3x3+e पर विचार किया जाता है, तो एक कारक x1 वाले समीकरण के लिए F-मानदंड क्रमिक रूप से निर्धारित किया जाता है, फिर मॉडल में कारक x2 के अतिरिक्त समावेशन के लिए F-मानदंड, यानी। एकल-कारक प्रतिगमन समीकरण से दो-कारक एक में संक्रमण के लिए, और अंत में, मॉडल में कारक x3 के अतिरिक्त समावेशन के लिए एक एफ-परीक्षण, यानी। मॉडल में कारक x1 और 2 को शामिल करने के बाद कारक x3 के महत्व का आकलन किया जाता है। इस मामले में, X1 के बाद कारक x2 के अतिरिक्त समावेशन के लिए F-मानदंड सुसंगत है, मॉडल में कारक x3 के अतिरिक्त समावेशन के लिए F-मानदंड के विपरीत, जो एक विशेष F-मानदंड है, क्योंकि यह मूल्यांकन करता है इस धारणा के तहत कारक का महत्व कि यह मॉडल में अंतिम रूप से शामिल है। विशेष एफ-परीक्षण छात्र टी-परीक्षण से संबंधित है। मॉडल निर्माण के चरण में अनुक्रमिक एफ-परीक्षण शोधकर्ता के लिए रुचिकर हो सकता है। समीकरण y=a+b1x1+b2+b3x3+e के लिए, प्रतिगमन गुणांक b1, b2, b3 के महत्व का आकलन करने में तीन इंटरफैक्टर निर्धारण गुणांक की गणना शामिल है।
रेट के लिए आंकड़ों की महत्ताप्रतिगमन और सहसंबंध गुणांकगणना की जाती है टी -छात्र का टी-टेस्ट और विश्वास अंतराल प्रत्येक सूचक.
टी-सांख्यिकी और टेबल के वास्तविक और महत्वपूर्ण (सारणीबद्ध) मूल्यों की तुलना करना। - परिकल्पना को स्वीकार या अस्वीकार करें एच0
. के बीच संबंध फिशर का एफ परीक्षणऔर विद्यार्थी का टी-आँकड़ासमानता द्वारा व्यक्त किया गया
अगर टी टेबल< tфакт ।, वह एच0 अस्वीकार कर दिया गया है, अर्थात ए, बीऔर आर xyयह कोई संयोग नहीं है कि वे शून्य से भिन्न हैं और एक व्यवस्थित रूप से कार्य करने वाले कारक के प्रभाव में बने हैं एक्स।
अगर, टी टेबल> टीफैक्ट।फिर परिकल्पना एच0 विचलन नहीं करता है और गठन की यादृच्छिक प्रकृति को पहचानता है ए, बीया आर xy.
25. प्रतिगमन मॉडल की गुणवत्ता का आकलन करना। प्रतिगमन रेखा की मानक त्रुटि.
रैखिक प्रतिगमन की गुणवत्ता का आकलन: निर्धारण का गुणांक आर 2
रैखिक संबंध के कारण, और हम उम्मीद करते हैं कि परिवर्तन इस प्रकार होगा, और हम इसे वह भिन्नता कहते हैं जो प्रतिगमन के कारण होती है या समझाया जाता है। अवशिष्ट भिन्नता यथासंभव छोटी होनी चाहिए।
यदि यह सच है, तो अधिकांश भिन्नता को प्रतिगमन द्वारा समझाया जाएगा, और बिंदु प्रतिगमन रेखा के करीब स्थित होंगे, यानी। लाइन डेटा को अच्छी तरह से फिट करती है।
प्रतिगमन द्वारा समझाए गए कुल विचरण के अनुपात को कहा जाता है निर्धारण का गुणांक, आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है और दर्शाया जाता है आर 2(युग्मित रैखिक प्रतिगमन में यह मात्रा है र 2, सहसंबंध गुणांक का वर्ग), आपको प्रतिगमन समीकरण की गुणवत्ता का व्यक्तिपरक मूल्यांकन करने की अनुमति देता है।
अंतर विचरण के प्रतिशत को दर्शाता है जिसे प्रतिगमन द्वारा समझाया नहीं जा सकता है।
मूल्यांकन करने के लिए कोई औपचारिक परीक्षण नहीं है; हमें प्रतिगमन रेखा के फिट की अच्छाई निर्धारित करने के लिए व्यक्तिपरक निर्णय पर भरोसा करना चाहिए।
पूर्वानुमान के लिए प्रतिगमन रेखा लागू करना
पूर्वानुमान के लिए प्रतिगमन रेखा लागू करना
आप प्रेक्षित सीमा के चरम छोर पर किसी मान से मूल्य की भविष्यवाणी करने के लिए एक प्रतिगमन रेखा का उपयोग कर सकते हैं (इन सीमाओं से परे कभी भी एक्सट्रपलेशन न करें)।
हम उन वेधशालाओं के माध्य की भविष्यवाणी करते हैं जिनका एक विशेष मान होता है, उस मान को प्रतिगमन रेखा के समीकरण में प्लग करके।
इसलिए, यदि हम भविष्यवाणी करते हैं तो हम अनुमान लगाने के लिए इस अनुमानित मूल्य और इसकी मानक त्रुटि का उपयोग करते हैं विश्वास अंतरालसच्ची जनसंख्या के लिए मतलब है.
विभिन्न मानों के लिए इस प्रक्रिया को दोहराने से आप इस पंक्ति के लिए विश्वास सीमाएँ बना सकते हैं। यह वह बैंड या क्षेत्र है जिसमें सच्ची रेखा होती है, उदाहरण के लिए 95% आत्मविश्वास स्तर पर।
26. आंशिक एफ-परीक्षण, छात्र का टी-परीक्षण और आंशिक सहसंबंध गुणांक के बीच संबंध।
एम/वाई कारकों के बीच सहसंबंध के कारण, मॉडल में इसके परिचय के अनुक्रम के आधार पर एक ही कारक का महत्व भिन्न हो सकता है। मॉडल में किसी कारक को शामिल करने का आकलन करने का एक उपाय लगातार एफ-परीक्षण है, यानी। एफएक्स मैं. में सामान्य रूप से देखेंकारक x के लिए मैंबारंबार एफ-परीक्षण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
यदि हम समीकरण पर विचार करें y=a+b 1 x 1 +b 2 +b 3 x 3 +e, फिर एफ-मानदंड एक कारक x 1 के साथ एक समीकरण के लिए क्रमिक रूप से निर्धारित किया जाता है, फिर मॉडल में कारक x 2 के अतिरिक्त समावेशन के लिए एफ-मानदंड, यानी, एक-कारक प्रतिगमन समीकरण से दो में संक्रमण के लिए -कारक एक, और अंत में, मॉडल में कारक x 3 के अतिरिक्त समावेशन के लिए एफ-मानदंड, यानी, मॉडल में कारक x 1 और 2 को शामिल करने के बाद कारक x 3 के महत्व का आकलन दिया जाता है। इस मामले में, X1 के बाद कारक x2 के अतिरिक्त समावेशन के लिए F-परीक्षण है सुसंगतकारक x 3 के मॉडल में अतिरिक्त समावेशन के लिए एफ-परीक्षण के विपरीत, जो है निजीएफ-परीक्षण, क्योंकि यह इस धारणा के तहत एक कारक के महत्व का मूल्यांकन करता है कि यह मॉडल में सबसे अंत में शामिल है। विशेष एफ-परीक्षण छात्र टी-परीक्षण से संबंधित है। मॉडल निर्माण के चरण में अनुक्रमिक एफ-परीक्षण शोधकर्ता के लिए रुचिकर हो सकता है। समीकरण के लिए y=a+b 1 x 1 +b 2 +b 3 x 3 +eप्रतिगमन गुणांक के महत्व का आकलन बी 1, बी 2, बी 3इसमें निर्धारण के तीन इंटरफैक्टर गुणांक की गणना शामिल है, अर्थात्: , , और कोई यह सत्यापित कर सकता है कि बी आई के महत्व का आकलन करने के लिए छात्र के टी-टेस्ट और आंशिक एफ-टेस्ट के बीच एक संबंध है:
संबंध b i के आधार पर हम प्राप्त करते हैं:
27. प्रतिगमन मॉडल के निर्माण के लिए विकल्प। उनका संक्षिप्त विवरण.
28. रैखिक और अरेखीय प्रतिगमन मापदंडों की व्याख्या।
| बी | ए | ||
| भाप से भरा कमरा | रेखीय | प्रतिगमन गुणांकबी इसके माप की प्रति इकाई कारक x के मूल्य में वृद्धि या कमी के साथ प्रभावी संकेतक (माप y की इकाइयों में) में औसत परिवर्तन दिखाता है। Y और x के बीच का संबंध प्रतिगमन गुणांक b का संकेत निर्धारित करता है (यदि > 0 - सीधा संबंध, अन्यथा - उलटा | व्याख्या नहीं की गई, केवल संकेत >0 - परिणाम कारक की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बदलता है,<0 рез-т изм быстрее фактора |
| अरेखीय | शक्ति कानून में - लोच गुणांक, अर्थात्। एसके % परिवर्तन परिणाम पर औसतन जब कारक 1% बदलता है, तो रिवर्स फ़ंक्शन रैखिक के समान होता है, | व्याख्या नहीं की गई | |
| गुणा | रेखीय | रैखिक एकाधिक प्रतिगमन में, xi के गुणांक औसत स्तर पर तय किए गए अन्य कारकों के निरंतर मूल्यों के साथ, संबंधित कारक में एक के परिवर्तन के साथ परिणाम में औसत परिवर्तन को दर्शाते हैं। | व्याख्या नहीं की गई |
29. प्रतिगमन मॉडल का निर्माण करते समय युग्मित और आंशिक सहसंबंध गुणांक का मैट्रिक्स।
30. न्यूनतम वर्ग विधि की पूर्वापेक्षाएँ।
न्यूनतम वर्ग विधि की पूर्वापेक्षाएँ (गॉस-मार्कोव स्थितियाँ)
1. सभी अवलोकनों के लिए यादृच्छिक विचलन की गणितीय अपेक्षा शून्य है।इस स्थिति का मतलब है कि औसतन यादृच्छिक विचलन का आश्रित चर पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। किसी भी अवलोकन में, यादृच्छिक शब्द या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, लेकिन इसे व्यवस्थित रूप से पक्षपाती नहीं होना चाहिए।
2. किसी भी अवलोकन के लिए यादृच्छिक विचलन का प्रसरण स्थिर रहता है. इस शर्त का तात्पर्य यह है कि, हालांकि किसी भी अवलोकन में यादृच्छिक विचलन या तो बड़ा या छोटा हो सकता है, बड़ी त्रुटि (विचलन) का कोई प्राथमिक कारण नहीं होना चाहिए।
इस शर्त की व्यवहार्यता को होमोसेडैस्टिसिटी (विचलन के विचरण की स्थिरता) कहा जाता है। इस पूर्वापेक्षा की असंभवता को विषमलैंगिकता (विचलन के विचरण की अनिश्चितता) कहा जाता है।
3. यादृच्छिक विचलन यू आई और यू जे आई¹जे के लिए एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।इस आधार की व्यवहार्यता यह मानती है कि किसी भी यादृच्छिक विविधता के बीच कोई व्यवस्थित संबंध नहीं है। दूसरे शब्दों में, किसी भी यादृच्छिक विचलन का परिमाण और विशिष्ट चिह्न किसी अन्य विचलन के परिमाण और चिह्न का कारण नहीं होना चाहिए। इस शर्त की व्यवहार्यता में निम्नलिखित संबंध शामिल हैं:
इसलिए, यदि यह शर्त पूरी हो जाती है, तो हम स्वसहसंबंध की अनुपस्थिति की बात करते हैं।
4. यादृच्छिक विचरण व्याख्यात्मक चर से स्वतंत्र होना चाहिए।
आमतौर पर, यदि किसी दिए गए मॉडल में व्याख्यात्मक चर यादृच्छिक नहीं हैं तो यह स्थिति स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाती है। यह शर्त निम्नलिखित रिश्ते की व्यवहार्यता का अनुमान लगाती है:
5. मॉडल मापदंडों के संबंध में रैखिक है।
गॉस-मार्कोव प्रमेय.यदि पूर्वापेक्षाएँ 1-5 पूरी होती हैं, तो ओएलएस का उपयोग करके प्राप्त अनुमानों में निम्नलिखित गुण होते हैं:
- अनुमान निष्पक्ष हैं, अर्थात, M(b 0) = b 0, M(b 1) = b 1, जहां b 0, b 1) अनुभवजन्य प्रतिगमन समीकरण के गुणांक हैं, और b 0, b 1 उनके हैं सैद्धांतिक प्रोटोटाइप. यह पहले आधार से अनुसरण करता है और प्रतिगमन रेखा की स्थिति निर्धारित करने में एक व्यवस्थित त्रुटि की अनुपस्थिति को इंगित करता है।
- अनुमान सुसंगत हैं, क्योंकि प्रेक्षणों की संख्या n बढ़ने पर पैरामीटर अनुमानों का फैलाव शून्य हो जाता है। दूसरे शब्दों में, जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, अनुमानों की विश्वसनीयता बढ़ती है (सैद्धांतिक और अनुभवजन्य प्रतिगमन समीकरणों के गुणांक व्यावहारिक रूप से मेल खाते हैं)।
- अनुमान कुशल हैं, यानी, इन पैरामीटरों के किसी भी अनुमान की तुलना में उनके पास सबसे छोटा भिन्नता है जो y i के मानों के संबंध में रैखिक हैं।
यदि पूर्वापेक्षाएँ 2 और 3 का उल्लंघन किया जाता है, अर्थात, विचलन का विचरण स्थिर नहीं है और (या) यादृच्छिक विचलन के मान एक दूसरे से संबंधित हैं, तो निष्पक्षता और स्थिरता के गुण संरक्षित हैं, लेकिन दक्षता की संपत्ति क्या नहीं है।
निर्दिष्ट पूर्वापेक्षाओं की व्यवहार्यता के साथ-साथ, शास्त्रीय रैखिक प्रतिगमन मॉडल का निर्माण करते समय, कुछ और धारणाएँ बनाई जाती हैं। उदाहरण के लिए:
- व्याख्यात्मक चर एसवी नहीं हैं;
- यादृच्छिक विचलन का सामान्य वितरण होता है;
- अवलोकनों की संख्या व्याख्यात्मक चरों की संख्या से काफी अधिक है।
अन्य टिकट विकल्प 30.
न्यूनतम वर्ग विधि यादृच्छिक त्रुटियों वाले माप परिणामों के आधार पर अज्ञात मात्राओं का अनुमान लगाने के लिए प्रतिगमन विश्लेषण विधियों में से एक है।
एलएसएम का उपयोग अन्य (सरल) कार्यों द्वारा किसी दिए गए फ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व का अनुमान लगाने के लिए भी किया जाता है और अक्सर अवलोकनों को संसाधित करने में उपयोगी होता है।
जब वांछित मात्रा को सीधे मापा जा सकता है, जैसे किसी खंड या कोण की लंबाई, तो सटीकता बढ़ाने के लिए, माप कई बार किया जाता है, और सभी व्यक्तिगत मापों के अंकगणितीय औसत को अंतिम परिणाम के रूप में लिया जाता है। अंकगणितीय माध्य का यह नियम संभाव्यता सिद्धांत के विचारों पर आधारित है; यह दिखाना आसान है कि अंकगणितीय माध्य से व्यक्तिगत मापों के वर्ग विचलन का योग किसी अन्य मान से व्यक्तिगत माप के वर्ग विचलन के योग से कम होगा। इसलिए, अंकगणित माध्य का नियम स्वयं न्यूनतम वर्ग विधि का सबसे सरल मामला दर्शाता है।
न्यूनतम वर्ग विधि हमें बिल्ली के साथ मापदंडों के ऐसे अनुमान प्राप्त करने की अनुमति देती है। वर्गों का योग परिणाम के वास्तविक मूल्यों का विचलन। सैद्धांतिक से संकेत कम से कम।
मॉडल डी.बी. मापदंडों में रैखिक
एक्स - यादृच्छिक चर
त्रुटि मान यादृच्छिक है, उनके परिवर्तन एक विशिष्ट मॉडल (अवशिष्ट मॉडल) नहीं बनाते हैं
लोगों की संख्या d.b. अधिक संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन किए गए पैरामीटर (5-6 रूबल)
वेरिएबल x के मान मान्य नहीं हैं. समान
जनसंख्या सजातीय होनी चाहिए
m/y f-rom x और शेषफल के बीच संबंध का अभाव
प्रतिगमन मॉडल डी.बी. सही ढंग से निर्दिष्ट
मॉडल में नहीं. कारकों के बीच घनिष्ठ संबंध (एकाधिक प्रतिगमन)
बहुराष्ट्रीय कंपनियों की बुनियादी शर्तें:
अवशेषों की यादृच्छिक प्रकृति
अवशिष्टों का शून्य औसत, कारक x से स्वतंत्र
समरूपता (प्रत्येक विचलन का विचरण x के सभी मानों के लिए समान है)
अवशेषों के स्वत: सहसंबंध का अभाव
अवशेषों को सामान्य वितरण का पालन करना चाहिए
यदि प्रतिगमन मॉडल y = a + bx + E गॉस-मार्कोव स्थिति को संतुष्ट करता है, तो a और b के OLS अनुमानों में सभी रैखिक, निष्पक्ष अनुमानों के वर्ग में सबसे अच्छा भिन्नता है।
31. बहुप्रतिगमन समीकरण के अवशेषों का अध्ययन।
निम्नलिखित पांच ओएलएस परिसरों की उपस्थिति के लिए अवशिष्ट अध्ययन परीक्षण:
1) अवशेषों की यादृच्छिक प्रकृति;
2) अवशेषों का शून्य औसत मूल्य, इससे स्वतंत्र;
3) समरूपता - प्रत्येक विचलन का फैलाव सभी मूल्यों के लिए समान है;
4) अवशेषों के स्वत: सहसंबंध की कमी - अवशेषों के मूल्य एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से वितरित होते हैं;
5) अवशेष सामान्य वितरण का अनुसरण करते हैं।
यदि यादृच्छिक अवशेषों का वितरण कुछ ओएलएस मान्यताओं को पूरा नहीं करता है, तो मॉडल को समायोजित किया जाना चाहिए।
सबसे पहले, अवशेषों की यादृच्छिक प्रकृति की जाँच की जाती है - ओएलएस की पहली शर्त। इस प्रयोजन के लिए, परिणामी विशेषता के सैद्धांतिक मूल्यों पर अवशेषों की निर्भरता का एक ग्राफ खींचा गया है (चित्र 2.1)। यदि ग्राफ़ पर एक क्षैतिज पट्टी प्राप्त होती है, तो अवशेष यादृच्छिक चर होते हैं और कम से कम वर्ग विधि सैद्धांतिक मानों को वास्तविक मानों के करीब लाती है;
32. एकाधिक प्रतिगमन मॉडल का निर्माण करते समय विषमलैंगिकता और इसका विचार। विषमलैंगिकता का गुणात्मक मूल्यांकन।
यदि प्रारंभिक डेटा के सेट में शामिल हो तो विषमलैंगिकता स्वयं प्रकट होती है गुणात्मक रूप से विषमक्षेत्र. विषमलैंगिकता का अर्थ है असमान विचरण x के विभिन्न मानों के लिए अवशेष। यदि विषमलैंगिकता होती है, तो:
- ओएलएस का अनुमान होगा अप्रभावी.
- हो सकता है विस्थापितप्रतिगमन गुणांक अनुमान और वे होंगे अप्रभावी.
- मानक त्रुटि सूत्र का उपयोग करना कठिन है, क्योंकि यह अवशिष्टों का एकल विचरण मानता है।
विषमलैंगिकता को दूर करने के उपाय
p अवलोकनों की संख्या में वृद्धि
p मॉडल का कार्यात्मक स्वरूप बदलना
p मूल जनसंख्या को गुणात्मक रूप से सजातीय समूहों में विभाजित करना और प्रत्येक समूह में विश्लेषण करना
p विविधता को ध्यान में रखने के लिए डमी वेरिएबल्स का उपयोग करना
p विविधता देने वाली इकाइयों की समग्रता से बहिष्करण
विषमलैंगिकता का पता लगाने के लिए उपयोग किए जाने वाले परीक्षण
पी गोल्डफेल्ड-क्वांड्ट
पी ग्लेसर
पी स्पीयरमैन का रैंक सहसंबंध
33. अवशेषों का स्वत:सहसंबंध और प्रतिगमन मॉडल के निर्माण में इसकी भूमिका।
क्रमिक समय स्तरों के बीच निर्भरता। पंक्तियाँ कहलाती हैं ऑटो सहसंबंधपंक्ति स्तर. अर्थमिति में शोध में अक्सर ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जब अवशेषों का फैलाव स्थिर होता है, लेकिन उनका सहप्रसरण देखा जाता है। इस घटना को कहा जाता है अवशेषों का स्वत: सहसंबंध।
अवशेषों में स्वत:सहसंबंध निर्धारित करने के लिए सबसे आम तरीकों में से एक है डर्बिन-वाटसन मानदंड:
डी = ;
डी - प्रतिगमन मॉडल के अनुसार क्रमिक मूल्यों के अंतर के वर्गों के योग का वर्गों के अवशिष्ट योग से अनुपात।
एक निशान है. डी-यू मानदंड "डी" और प्रथम क्रम के अवशेषों के ऑटोसहसंबंध गुणांक आर 1 के बीच संबंध:
डी = 2 * (1-आर 1) .
यदि शेष रहे तो पूर्ण हो जायेगा। स्वसहसंबंध और r 1 = 1, फिर d = 0.
यदि शेषफल पूर्णतः ऋणात्मक है। स्वसहसंबंध, फिर r 1 = -1 और d = 4.
यदि कोई स्वसहसंबंध नहीं है, तो r 1 = 0 और d = 2.
वे। 0≤d≤4.
आइए डी-यू मानदंड के आधार पर अवशेषों के स्वत: सहसंबंध की पहचान करने के लिए एक एल्गोरिदम पर विचार करें।
बाहर खींचतान अवशेषों के स्वत: सहसंबंध की अनुपस्थिति के बारे में परिकल्पना एच 0 . वैकल्पिक परिकल्पना एच 1 और एच 1 * अवशेषों में सकारात्मक या नकारात्मक स्वसहसंबंध की उपस्थिति मानते हैं। फिर विशेष के अनुसार तालिकाओं को परिभाषित किया गया है डर्बिन-वॉटसन मानदंड के महत्वपूर्ण मूल्यडी एल और डी यू किसी दिए गए अवलोकनों की संख्या एन के लिए, महत्व स्तर ɑ (आमतौर पर 0.95) पर मॉडल के के स्वतंत्र चर की संख्या। इन मूल्यों के आधार पर, अंतराल को पांच खंडों में विभाजित किया गया है। संभाव्यता (1-ɑ) के साथ प्रत्येक परिकल्पना की स्वीकृति या अस्वीकृति निम्नलिखित चित्र में प्रस्तुत की गई है:
| + हाँ | ? | नहीं | ? | - वहाँ है | ||||||
| डी एल | डी यू | 4- डी यू | 4- डी एल | |||||||
यदि वास्तविक है डर्बिन-वाटसन मानदंड का मान गिर जाता है अनिश्चितता के क्षेत्र में, तो व्यवहार में अवशेषों के स्वसहसंबंध के अस्तित्व को मान लिया जाता है और परिकल्पना H 0 को अस्वीकार कर दिया जाता है।
34. प्रतिगमन मॉडल के लिए सर्वोत्तम विकल्प का चयन करना।
35. अरेखीय एकाधिक प्रतिगमन मॉडल, उनकी सामान्य विशेषताएं।
यदि आर्थिक घटनाओं के बीच गैर-रेखीय संबंध हैं, तो उन्हें संबंधित गैर-रेखीय कार्यों का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है: उदाहरण के लिए, एक समबाहु अतिपरवलय , दूसरी डिग्री के परवलय, आदि।
अरेखीय प्रतिगमन के दो वर्ग हैं:
प्रतिगमन जो विश्लेषण में शामिल व्याख्यात्मक चर के संबंध में गैर-रैखिक हैं, लेकिन अनुमानित मापदंडों के संबंध में रैखिक हैं;
प्रतिगमन जो अनुमानित मापदंडों में अरेखीय हैं।
इसमें शामिल व्याख्यात्मक चर के लिए गैर-रेखीय प्रतिगमन का एक उदाहरण निम्नलिखित कार्य हो सकते हैं:
- विभिन्न डिग्री के बहुपद
- समबाहु अतिपरवलय
अनुमानित मापदंडों के लिए नॉनलाइनियर रिग्रेशन में निम्नलिखित कार्य शामिल हैं:
- शक्ति
- सूचक
- घातीय मैं
36. अतिपरवलयिक प्रकार के मॉडल. एंगेल कर्व्स, फिलिप्स कर्व और इस प्रकार के मॉडल का उपयोग करने के अन्य उदाहरण।
एंगेल वक्र (एंजेल वक्र) माल की खपत की मात्रा के बीच संबंध को स्पष्ट करें ( सी) और उपभोक्ता आय ( मैं) निरंतर कीमतों और प्राथमिकताओं के साथ। इसका नाम जर्मन सांख्यिकीविद् अर्न्स्ट एंगेल के नाम पर रखा गया, जिन्होंने उपभोक्ता खर्च की संरचना पर आय में परिवर्तन के प्रभाव का विश्लेषण किया।
x-अक्ष उपभोक्ता के आय स्तर को दर्शाता है, और y-अक्ष किसी दिए गए सामान के उपभोग की लागत को दर्शाता है।
ग्राफ़ एंगेल वक्रों का अनुमानित स्वरूप दिखाता है:
- ई 1 - सामान्य वस्तुओं के लिए वक्र;
- ई 2 - विलासिता की वस्तुओं के लिए वक्र;
- ई 3 - निम्न गुणवत्ता वाले सामान के लिए वक्र।
फिलिप्स वक्र मुद्रास्फीति की दर और बेरोजगारी के बीच संबंध को दर्शाता है।
अर्थशास्त्र के कीनेसियन मॉडल से पता चलता है कि अर्थव्यवस्था या तो बेरोजगारी (उत्पादन में गिरावट के कारण, इसलिए श्रम की मांग में कमी) या मुद्रास्फीति (यदि अर्थव्यवस्था पूर्ण रोजगार पर चलती है) का अनुभव कर सकती है।
उच्च मुद्रास्फीति और उच्च बेरोजगारी एक ही समय में मौजूद नहीं हो सकती।
फिलिप्स वक्र का निर्माण A.W द्वारा किया गया था। फिलिप्स 1861-1957 के वर्षों के लिए ग्रेट ब्रिटेन में मजदूरी और बेरोजगारी के आंकड़ों पर आधारित है।
फिलिप्स वक्र का अनुसरण करके राज्य अपनी आर्थिक नीति का निर्माण कर सकता है। राज्य, कुल मांग को उत्तेजित करके, मुद्रास्फीति को बढ़ा सकता है और बेरोजगारी को कम कर सकता है और इसके विपरीत।
70 के दशक के मध्य तक फिलिप्स वक्र पूरी तरह से सत्य था। इस अवधि के दौरान, स्थिरता आई (मुद्रास्फीति और बेरोजगारी में एक साथ वृद्धि), जिसे फिलिप्स वक्र समझा नहीं सका।
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पेज निर्माण दिनांक: 2016-02-16
डी. यह सूचक एक मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक है, अर्थात एक गुणांक जो विशेषताओं के माप की पूर्ण इकाइयों में नहीं, बल्कि परिणामी विशेषता के मानक विचलन के अनुपात में व्यक्त किया जाता है
सशर्त शुद्ध प्रतिगमन गुणांक बीएफ को विभिन्न इकाइयों में व्यक्त संख्याओं का नाम दिया गया है और इसलिए वे एक दूसरे से तुलनीय नहीं हैं। उन्हें तुलनीय सापेक्ष संकेतकों में परिवर्तित करने के लिए, जोड़ीवार सहसंबंध गुणांक प्राप्त करने के लिए उसी परिवर्तन का उपयोग किया जाता है। परिणामी मान को मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक या -गुणांक कहा जाता है।
व्यवहार में, जब आश्रित चर को माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, तो आश्रित चर पर विभिन्न व्याख्यात्मक चर के प्रभाव की तुलना करना अक्सर आवश्यक होता है। इस मामले में, मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक b j और लोच गुणांक Ej Q = 1.2,..., p) का उपयोग किया जाता है
मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक b j दिखाता है कि आश्रित चर Y औसतन कितने मान बदलेगा जब केवल jth व्याख्यात्मक चर sx से बढ़ता है, a
समाधान। सूत्र (4.10) का उपयोग करके प्रत्येक व्याख्यात्मक चर के प्रभाव की तुलना करने के लिए, हम मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक की गणना करते हैं
मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक निर्धारित करें।
जोड़ीवार निर्भरता में, मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक एक रैखिक सहसंबंध गुणांक fa से अधिक कुछ नहीं है, जिस प्रकार जोड़ीदार निर्भरता में प्रतिगमन और सहसंबंध गुणांक एक दूसरे से संबंधित होते हैं, उसी प्रकार एकाधिक प्रतिगमन में शुद्ध प्रतिगमन गुणांक मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक से संबंधित होते हैं / , -, अर्थात्
मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक का सुविचारित अर्थ उन्हें कारकों को समाप्त करते समय उपयोग करने की अनुमति देता है - सबसे कम jQy मान वाले कारकों को मॉडल से बाहर रखा गया है।
जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, एकाधिक रैखिक प्रतिगमन में शामिल कारकों की रैंकिंग मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक (/-गुणांक) के माध्यम से की जा सकती है। रैखिक संबंधों के लिए आंशिक सहसंबंध गुणांक का उपयोग करके समान लक्ष्य प्राप्त किया जा सकता है। अध्ययन के तहत विशेषताओं के बीच एक गैर-रेखीय संबंध के मामले में, यह कार्य आंशिक निर्धारण सूचकांकों द्वारा किया जाता है। इसके अलावा, कारक चयन की समस्या को हल करते समय आंशिक सहसंबंध संकेतकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है; मॉडल में किसी विशेष कारक को शामिल करने की उपयुक्तता आंशिक सहसंबंध संकेतक के मूल्य से सिद्ध होती है।
दूसरे शब्दों में, दो-कारक विश्लेषण में, आंशिक सहसंबंध गुणांक मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक होते हैं जो कारक और परिणाम के निश्चित कारक के अवशिष्ट भिन्नता के शेयरों के अनुपात के वर्गमूल से गुणा होते हैं।
हेडकाउंट मानकों को विकसित करने की प्रक्रिया में, चयनित आधार उद्यमों के लिए प्रबंधन कर्मियों की पेरोल संख्या और कारक मूल्यों पर प्रारंभिक डेटा एकत्र किया जाता है। इसके बाद, सहसंबंध विश्लेषण के आधार पर, सहसंबंध गुणांक के मूल्य के आधार पर प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए महत्वपूर्ण कारकों का चयन किया जाता है। फ़ंक्शन और मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक के साथ जोड़ी सहसंबंध गुणांक के उच्चतम मूल्य वाले कारकों का चयन किया जाता है।
सूत्र के अनुसार सभी तर्कों की समग्रता के आधार पर प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक (पी) की गणना की जाती है
फिर भी, आँकड़े उपयोगी अनुशंसाएँ प्रदान करते हैं जो हमें कम से कम इस मामले पर एक अनुमान प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के तौर पर, आइए इन तरीकों में से एक को देखें - मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक की तुलना।
मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक की गणना प्रतिगमन गुणांक bi को मानक विचलन Sn (हमारे -चरों के लिए, आइए इसे Sxk के रूप में निरूपित करें) से गुणा करके और परिणामी उत्पाद को Sy से विभाजित करके की जाती है। इसका मतलब है कि प्रत्येक मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक को मान बी एसएक्सके / के रूप में मापा जाता है, हमारे उदाहरण के संबंध में, हम निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं (तालिका 10)।
मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक
इस प्रकार, मानकीकृत प्रतिगमन गुणांक के पूर्ण मूल्यों की उपरोक्त तुलना हमें विचाराधीन कारकों के महत्व का एक मोटा, लेकिन काफी स्पष्ट विचार प्राप्त करने की अनुमति देती है। हम आपको एक बार फिर याद दिला दें कि ये परिणाम आदर्श नहीं हैं, क्योंकि वे अध्ययन के तहत चर के वास्तविक प्रभाव को पूरी तरह से प्रतिबिंबित नहीं करते हैं (हम इन कारकों की संभावित बातचीत के तथ्य को नजरअंदाज करते हैं, जो मूल तस्वीर को विकृत कर सकते हैं)।
इस समीकरण के गुणांक (बीएलएफ 62, बी3) मानकीकृत प्रतिगमन समीकरण को हल करके निर्धारित किए जाते हैं
ऑपरेटर 5. एक मानकीकृत पैमाने पर -गुणांक - प्रतिगमन गुणांक की गणना।
यह देखना आसान है कि 2 और आगे के सरल परिवर्तनों को प्रतिस्थापित करके कोई मानकीकृत पैमाने पर सामान्य समीकरणों की प्रणाली पर पहुंच सकता है। हम भविष्य में इसी तरह के परिवर्तन का उपयोग करेंगे, क्योंकि सामान्यीकरण, एक ओर, हमें बहुत बड़ी संख्या से बचने की अनुमति देता है और दूसरी ओर, प्रतिगमन गुणांक निर्धारित करते समय कम्प्यूटेशनल योजना स्वयं मानक बन जाती है।
प्रत्यक्ष कनेक्शन के ग्राफ के रूप से पता चलता है कि केवल दो कारकों के आधार पर एक प्रतिगमन समीकरण का निर्माण करते समय - ट्रॉल्स की संख्या और नेट ट्रॉलिंग का समय - अवशिष्ट फैलाव st.34 अवशिष्ट फैलाव a.23456 से भिन्न नहीं होगा। सभी कारकों का उपयोग करके निर्मित प्रतिगमन समीकरण से प्राप्त किया गया। अंतर का आकलन करने के लिए, हम इस मामले में एक नमूना अनुमान की ओर मुड़ते हैं। 1.23456 = 0.907, और 1.34 = 0.877। लेकिन यदि हम गुणांकों को सूत्र (38) के अनुसार समायोजित करें, तो 1.23456 = 0.867, ए/आई.34 = = 0.864। अंतर को शायद ही महत्वपूर्ण माना जा सकता है। इसके अलावा, r14 = 0.870। इससे पता चलता है कि ट्रॉलों की संख्या का पकड़ के आकार पर कोई सीधा प्रभाव नहीं पड़ता है। दरअसल, एक मानकीकृत पैमाने पर 1.34 = 0.891 4 - 0.032 3- यह देखना आसान है कि टी3 पर प्रतिगमन गुणांक बहुत कम आत्मविश्वास अंतराल के साथ भी अविश्वसनीय है।
आरएक्स/. - संगत गुणांक
