प्रतिगमन समीकरण को हमेशा कनेक्शन की निकटता के संकेतक के साथ पूरक किया जाता है। का उपयोग करते हुए रेखीय प्रतिगमनऐसा सूचक रैखिक सहसंबंध गुणांक r yt है। सूत्र में विभिन्न संशोधन हैं रैखिक गुणांकसहसंबंध.

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि रैखिक सहसंबंध गुणांक का मान उसके रैखिक रूप में विचाराधीन विशेषताओं के बीच संबंध की निकटता का आकलन करता है। इसलिए निकटता निरपेक्ष मूल्यरैखिक सहसंबंध गुणांक शून्य होने का मतलब यह नहीं है कि विशेषताओं के बीच कोई संबंध नहीं है।

चयन की गुणवत्ता का आकलन करना रैखिक प्रकार्यरैखिक सहसंबंध गुणांक r yt 2 के वर्ग की गणना की जाती है, जिसे निर्धारण गुणांक कहा जाता है। निर्धारण का गुणांक प्रभावी विशेषता के कुल विचरण में प्रतिगमन द्वारा समझाए गए टी पर प्रभावी विशेषता के विचरण के अनुपात को दर्शाता है।

जैसा कि अरेखीय प्रतिगमन समीकरण में है रैखिक निर्भरता, एक सहसंबंध संकेतक द्वारा पूरक है, अर्थात् सहसंबंध सूचकांक आर।

दूसरे क्रम का एक परवलय, अधिक के बहुपद की तरह उच्च स्तर, जब रैखिककृत किया जाता है, तो समीकरण का रूप ले लेता है एकाधिक प्रतिगमन. यदि व्याख्या के सापेक्ष अरेखीय परिवर्तनशील समीकरणरैखिककरण के दौरान प्रतिगमन युग्मित प्रतिगमन के एक रैखिक समीकरण का रूप लेता है, फिर रिश्ते की निकटता का आकलन करने के लिए, एक रैखिक सहसंबंध गुणांक का उपयोग किया जा सकता है, जिसका मूल्य इस मामले में सहसंबंध सूचकांक के साथ मेल खाएगा।

स्थिति भिन्न होती है जब समीकरण को रैखिक रूप में बदलने पर एक आश्रित चर शामिल होता है। इस मामले में, परिवर्तित सुविधा मूल्यों के आधार पर रैखिक सहसंबंध गुणांक रिश्ते की निकटता का केवल अनुमानित अनुमान देता है और सहसंबंध सूचकांक के साथ संख्यात्मक रूप से मेल नहीं खाता है। इसके लिए हां ऊर्जा समीकरण

लघुगणकीय रूप से रैखिक समीकरण से गुजरने के बाद

एलएनवाई = एलएनए + बीएलएनएक्स

एक रैखिक सहसंबंध गुणांक चर x और y के वास्तविक मानों के लिए नहीं, बल्कि उनके लघुगणक, यानी r lnyllnx के लिए पाया जा सकता है। तदनुसार, इसके मान का वर्ग कुल विचलन के कारक योग के अनुपात को दर्शाएगा, लेकिन y के लिए नहीं, बल्कि इसके लघुगणक के लिए:

इस बीच, सहसंबंध सूचकांक की गणना करते समय, विशेषता y के वर्ग विचलन के योग का उपयोग किया जाता है, न कि उनके लघुगणक का। इस प्रयोजन के लिए, परिणामी विशेषता के सैद्धांतिक मान निर्धारित किए जाते हैं, अर्थात, समीकरण द्वारा गणना किए गए मान के एंटीलोगारिथम और वर्गों के अवशिष्ट योग के रूप में।

गणना के हर R 2 yx में उनके औसत मूल्य से वास्तविक मान y के वर्ग विचलन का कुल योग शामिल होता है, और हर r 2 lnxlny गणना में भाग लेता है। विचाराधीन संकेतकों के अंश और हर तदनुसार भिन्न होते हैं:

• - सहसंबंध सूचकांक में और
• - सहसंबंध गुणांक में.

परिणामों की समानता और कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके गणना की सादगी के कारण, गैर-रेखीय कार्यों के लिए कनेक्शन की निकटता को चिह्नित करने के लिए रैखिक सहसंबंध गुणांक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

विशेषता y के मूल्य के परिवर्तन के साथ गैर-रेखीय कार्यों में आर और आर या आर और आर के मूल्यों की निकटता के बावजूद, यह याद रखना चाहिए कि यदि, विशेषताओं की रैखिक निर्भरता के साथ, समान सहसंबंध गुणांक विशेषता है प्रतिगमन, यह याद रखना चाहिए कि यदि, विशेषताओं की एक रैखिक निर्भरता के साथ, एक और एक ही सहसंबंध गुणांक दोनों प्रतिगमन को दर्शाता है और, तब से, फ़ंक्शन के लिए एक वक्रीय निर्भरता के साथ y=j(x) प्रतिगमन x के बराबर नहीं है =f(y).

चूंकि सहसंबंध सूचकांक की गणना कारक और के अनुपात का उपयोग करती है कुल राशिवर्ग विचलन, तो निर्धारण के गुणांक के समान अर्थ है। विशेष अध्ययनों में, अरेखीय संबंधों के मूल्य को निर्धारण सूचकांक कहा जाता है।

सहसंबंध सूचकांक के महत्व का आकलन उसी तरह किया जाता है जैसे सहसंबंध गुणांक की विश्वसनीयता का आकलन किया जाता है।

सहसंबंध सूचकांक का उपयोग फिशर एफ परीक्षण का उपयोग करके समग्र गैर-रेखीय प्रतिगमन समीकरण के महत्व का परीक्षण करने के लिए किया जाता है।

मान m वर्गों के कारक योग के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को दर्शाता है, और (n - m - 1) - वर्गों के अवशिष्ट योग के लिए स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को दर्शाता है।

एक पावर फ़ंक्शन के लिए एम = 1 और एफ-मानदंड का सूत्र एक रैखिक निर्भरता के समान रूप लेता है:

दूसरी डिग्री के परवलय के लिए

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +em = 2

एफ-मानदंड की गणना तालिका में भी की जा सकती है भिन्नता का विश्लेषणप्रतिगमन परिणाम, जैसा कि रैखिक फ़ंक्शन के लिए दिखाया गया है।

एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करने की संभावना को उचित ठहराने के लिए निर्धारण के सूचकांक की तुलना निर्धारण के गुणांक से की जा सकती है। प्रतिगमन रेखा की वक्रता जितनी अधिक होगी, निर्धारण सूचकांक उतना ही कम होगा। इन संकेतकों की समानता का मतलब है कि प्रतिगमन समीकरण के रूप को जटिल बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है और एक रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग किया जा सकता है।

व्यवहार में, यदि निर्धारण सूचकांक और निर्धारण गुणांक के बीच अंतर 0.1 से अधिक न हो, तो संबंध के रैखिक रूप की धारणा उचित मानी जाती है।

यदि यह तथ्य >टी तालिका है, तो विचारित सहसंबंध संकेतकों के बीच अंतर महत्वपूर्ण हैं और एक रैखिक फ़ंक्शन समीकरण के साथ गैर-रेखीय प्रतिगमन को प्रतिस्थापित करना असंभव है। व्यावहारिक रूप से, यदि मान t< 2, то различия между R yx и r yx несущественны, и, следовательно, возможно применение линейной регрессии, даже если есть предположения о некоторой нелинейности рассматриваемых соотношений признаков фактора и результата.

सहसंबंध विश्लेषण.

युग्मित प्रतिगमन समीकरण.

ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करना.

इस पद्धति का उपयोग अध्ययन किए गए आर्थिक संकेतकों के बीच संबंध के रूप को स्पष्ट रूप से चित्रित करने के लिए किया जाता है। ऐसा करने के लिए, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक ग्राफ खींचा जाता है, परिणामी विशेषता Y के व्यक्तिगत मानों को कोर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है, और कारक विशेषता X के व्यक्तिगत मानों को एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है।

परिणामी एवं कारक विशेषताओं के बिंदुओं के समुच्चय को कहते हैं सहसंबंध क्षेत्र.

सहसंबंध क्षेत्र के आधार पर, एक परिकल्पना को आगे रखा जा सकता है (के लिए)। जनसंख्या) कि X और Y के सभी संभावित मानों के बीच संबंध रैखिक है।

रैखिक प्रतिगमन समीकरण y = bx + a + ε है

यहां ε एक यादृच्छिक त्रुटि (विचलन, गड़बड़ी) है।

यादृच्छिक त्रुटि के अस्तित्व के कारण:

1. प्रतिगमन मॉडल में महत्वपूर्ण व्याख्यात्मक चर शामिल करने में विफलता;

2. चरों का एकत्रीकरण। उदाहरण के लिए, कुल उपभोग फलन एक प्रयास है सामान्य अभिव्यक्तिव्यक्तिगत व्यय निर्णयों का समुच्चय। यह केवल व्यक्तिगत रिश्तों का एक अनुमान है जिनके अलग-अलग पैरामीटर हैं।

3. मॉडल संरचना का गलत विवरण;

4. गलत कार्यात्मक विशिष्टता;

5. माप त्रुटियाँ.

चूँकि प्रत्येक विशिष्ट अवलोकन के लिए विचलन ε i यादृच्छिक हैं और नमूने में उनके मान अज्ञात हैं, तो:

1) अवलोकन x i और y i से कोई केवल पैरामीटर α और β का अनुमान प्राप्त कर सकता है

2) पैरामीटर α और β का अनुमान प्रतिगमन मॉडलक्रमशः a और b के मान हैं, जो प्रकृति में यादृच्छिक हैं, क्योंकि एक यादृच्छिक नमूने के अनुरूप;

तब अनुमानित प्रतिगमन समीकरण (नमूना डेटा से निर्मित) का रूप y = bx + a + ε होगा, जहां e i त्रुटियों ε i के देखे गए मान (अनुमान) हैं, और a और b, क्रमशः, के अनुमान हैं प्रतिगमन मॉडल के पैरामीटर α और β जो पाए जाने चाहिए।

पैरामीटर α और β का अनुमान लगाने के लिए - न्यूनतम वर्ग विधि (न्यूनतम वर्ग विधि) का उपयोग किया जाता है। तरीका कम से कम वर्गोंप्रतिगमन समीकरण के मापदंडों का सर्वोत्तम (सुसंगत, कुशल और निष्पक्ष) अनुमान देता है।

लेकिन केवल तभी जब यादृच्छिक पद (ε) और स्वतंत्र चर (x) के संबंध में कुछ निश्चित आधार पूरे होते हैं।

औपचारिक रूप से, OLS मानदंड इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एस = ∑(वाई आई - वाई * आई) 2 → मिनट

सामान्य समीकरणों की प्रणाली.

a n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x 2 = ∑y x

हमारे डेटा के लिए, समीकरणों की प्रणाली का रूप है

15ए + 186.4 बी = 17.01

186.4 ए + 2360.9 बी = 208.25

पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं एऔर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

हम अनुभवजन्य प्रतिगमन गुणांक प्राप्त करते हैं: b = -0.07024, a = 2.0069

प्रतिगमन समीकरण (अनुभवजन्य प्रतिगमन समीकरण):

y = -0.07024 x + 2.0069

अनुभवजन्य प्रतिगमन गुणांक एऔर बीकेवल सैद्धांतिक गुणांक β i के अनुमान हैं, और समीकरण स्वयं विचाराधीन चर के व्यवहार में केवल सामान्य प्रवृत्ति को दर्शाता है।

प्रतिगमन मापदंडों की गणना करने के लिए, हम एक गणना तालिका बनाएंगे (तालिका 1)

1. प्रतिगमन समीकरण पैरामीटर।

नमूना का मतलब है.

नमूना भिन्नताएँ:

मानक विचलन

1.1. सहसंबंध गुणांक

सहप्रसरण.

हम कनेक्शन निकटता के संकेतक की गणना करते हैं। यह सूचक नमूना रैखिक सहसंबंध गुणांक है, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

रैखिक सहसंबंध गुणांक -1 से +1 तक मान लेता है।

विशेषताओं के बीच संबंध कमजोर और मजबूत (करीबी) हो सकते हैं। उनके मानदंडों का मूल्यांकन चैडॉक पैमाने पर किया जाता है:

0.1 < r xy < 0.3: слабая;

0.3 < r xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r xy < 0.7: заметная;

0.7 < r xy < 0.9: высокая;

0.9 < r xy < 1: весьма высокая;

हमारे उदाहरण में, गुण Y और कारक X के बीच संबंध उच्च और उलटा है।

इसके अलावा, रैखिक जोड़ी सहसंबंध गुणांक को प्रतिगमन गुणांक बी के माध्यम से निर्धारित किया जा सकता है:

1.2. प्रतिगमन समीकरण(प्रतिगमन समीकरण का अनुमान)।

रैखिक प्रतिगमन समीकरण y = -0.0702 x + 2.01 है

एक रेखीय प्रतिगमन समीकरण के गुणांकों को आर्थिक अर्थ दिया जा सकता है।

प्रतिगमन गुणांक b = -0.0702 इसके माप की प्रति इकाई कारक x के मान में वृद्धि या कमी के साथ प्रभावी संकेतक (माप y की इकाइयों में) में औसत परिवर्तन दर्शाता है। इस उदाहरण में, 1 इकाई की वृद्धि के साथ, y औसतन -0.0702 घट जाता है।

गुणांक a = 2.01 औपचारिक रूप से y के अनुमानित स्तर को दर्शाता है, लेकिन केवल तभी जब x = 0 नमूना मानों के करीब हो।

लेकिन यदि x=0, x के नमूना मूल्यों से दूर है, तो शाब्दिक व्याख्या से गलत परिणाम हो सकते हैं, और भले ही प्रतिगमन रेखा देखे गए नमूना मूल्यों का काफी सटीक वर्णन करती है, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि यह भी होगा बाएँ या दाएँ एक्सट्रपलेशन करते समय ऐसा ही हो।

प्रतिगमन समीकरण में उपयुक्त x मानों को प्रतिस्थापित करके, हम प्रत्येक अवलोकन के लिए प्रदर्शन संकेतक y(x) के संरेखित (अनुमानित) मान निर्धारित कर सकते हैं।

Y और x के बीच का संबंध प्रतिगमन गुणांक b का संकेत निर्धारित करता है (यदि > 0 - सीधा संबंध, अन्यथा - उलटा)। हमारे उदाहरण में, कनेक्शन उल्टा है।

1.3. लोच गुणांक.

यदि परिणामी संकेतक y और कारक विशेषता x की माप की इकाइयों में अंतर है, तो परिणामी विशेषता पर कारकों के प्रभाव का सीधे आकलन करने के लिए प्रतिगमन गुणांक (उदाहरण बी में) का उपयोग करना उचित नहीं है।

इन उद्देश्यों के लिए, लोच गुणांक और बीटा गुणांक की गणना की जाती है।

औसत लोच गुणांक ई दर्शाता है कि कुल मिलाकर परिणाम औसतन कितने प्रतिशत बदल जाएगा परजब कारक बदलता है तो उसके औसत मूल्य से एक्सइसके औसत मूल्य का 1% तक।

लोच गुणांक सूत्र द्वारा पाया जाता है:

लोच गुणांक 1 से कम है। इसलिए, यदि X में 1% परिवर्तन होता है, तो Y में 1% से कम परिवर्तन होगा। दूसरे शब्दों में, Y पर X का प्रभाव महत्वपूर्ण नहीं है।

बीटा गुणांक

बीटा गुणांकयह दर्शाता है कि इसके मानक विचलन के मूल्य के किस भाग से परिणामी विशेषता का औसत मूल्य बदल जाएगा जब कारक विशेषता स्थिर स्तर पर तय किए गए शेष स्वतंत्र चर के मूल्य के साथ अपने मानक विचलन के मूल्य से बदल जाती है:

वे। मानक विचलन S x द्वारा x में वृद्धि से Y के औसत मान में 0.82 मानक विचलन S y की कमी हो जाएगी।

1.4. अनुमान लगाने में त्रुटि.

आइए पूर्ण सन्निकटन की त्रुटि का उपयोग करके प्रतिगमन समीकरण की गुणवत्ता का मूल्यांकन करें। औसत सन्निकटन त्रुटि - वास्तविक मानों से परिकलित मानों का औसत विचलन:

5%-7% के भीतर एक सन्निकटन त्रुटि मूल डेटा के प्रतिगमन समीकरण के अच्छे फिट होने का संकेत देती है।

चूँकि त्रुटि 7% से कम है, इस समीकरण का उपयोग प्रतिगमन के रूप में किया जा सकता है।

रेखीय प्रतिगमन प्रपत्र के समीकरण को खोजने के लिए नीचे आता है

पहली अभिव्यक्ति दिए गए कारक मानों की अनुमति देती है एक्सइसमें कारक के वास्तविक मूल्यों को प्रतिस्थापित करके परिणामी विशेषता के सैद्धांतिक मूल्यों की गणना करें एक्स. ग्राफ़ में, सैद्धांतिक मान एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जो प्रतिगमन रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।

रैखिक प्रतिगमन का निर्माण इसके मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए नीचे आता है - एऔर बी. रैखिक प्रतिगमन मापदंडों का आकलन करने के लिए शास्त्रीय दृष्टिकोण पर आधारित है न्यूनतम वर्ग विधि (एलएसएम)।

न्यूनतम ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक पैरामीटर के लिए योग (4) के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है - एऔर बी- और उन्हें शून्य के बराबर करें।

(5)

आइये परिवर्तन करें, हम प्राप्त करें सामान्य समीकरणों की प्रणाली:

(6)

इस व्यवस्था में एन-नमूना आकार, मात्रा की गणना मूल डेटा से आसानी से की जाती है। हम सिस्टम के संबंध में समाधान करते हैं एऔर बी, हम पाते हैं:

(7)

. (8)

अभिव्यक्ति (7) को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है:

(9)

कहाँ गुण सहप्रसरण, कारक फैलाव एक्स।

पैरामीटर बीबुलाया प्रतिगमन गुणांक।इसका मान एक इकाई द्वारा कारक में परिवर्तन के साथ परिणाम में औसत परिवर्तन दर्शाता है। प्रतिगमन गुणांक की स्पष्ट आर्थिक व्याख्या की संभावना बनी है रेखीय समीकरणअर्थमिति अध्ययन में प्रतिगमन काफी आम है।

औपचारिक रूप से ए- अर्थ यपर एक्स=0.अगर एक्सशून्य मान नहीं है और हो भी नहीं सकता, तो मुक्त पद की यह व्याख्या एकोई मतलब नहीं. पैरामीटर एइसमें कोई आर्थिक सामग्री नहीं हो सकती. इसकी आर्थिक रूप से व्याख्या करने का प्रयास बेतुकेपन का कारण बन सकता है, खासकर जब ए< 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре एक।अगर ए> 0, तो परिणाम में सापेक्ष परिवर्तन कारक में परिवर्तन की तुलना में अधिक धीरे-धीरे होता है। आइए इन सापेक्ष परिवर्तनों की तुलना करें:

< при > 0, > 0

कभी-कभी माध्य से विचलन के लिए एक रैखिक जोड़ीवार प्रतिगमन समीकरण लिखा जाता है:

कहाँ , । इस मामले में, मुक्त पद शून्य के बराबर है, जो अभिव्यक्ति (10) में परिलक्षित होता है। यह तथ्य ज्यामितीय विचारों से अनुसरण करता है: वही सीधी रेखा (3) प्रतिगमन समीकरण से मेल खाती है, लेकिन विचलन में प्रतिगमन का अनुमान लगाते समय, निर्देशांक की उत्पत्ति निर्देशांक के साथ बिंदु पर चली जाती है। इस मामले में, अभिव्यक्ति (8) में दोनों योग शून्य के बराबर होंगे, जिससे मुक्त पद की समानता शून्य हो जाएगी।

आइए, एक उदाहरण के रूप में, एक प्रकार के उत्पाद का उत्पादन करने वाले उद्यमों के समूह, लागत फ़ंक्शन पर विचार करें

मेज़ 1.

उत्पाद आउटपुट हजार यूनिट()	उत्पादन लागत, मिलियन रूबल()
					31,1
					67,9
					141,6
					104,7
					178,4
					104,7
					141,6
कुल: 22					770,0

सामान्य समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार दिखेगी:

इसे हल करने पर, हम पाते हैं ए= -5.79, बी=36.84.

प्रतिगमन समीकरण है:

मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करना एक्स, आइए सैद्धांतिक मूल्य खोजें य(तालिका का अंतिम स्तंभ)।

परिमाण एकोई आर्थिक अर्थ नहीं है. यदि चर एक्सऔर यऔसत स्तरों से विचलन के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो ग्राफ़ पर प्रतिगमन रेखा निर्देशांक की उत्पत्ति से होकर गुजरेगी। प्रतिगमन गुणांक अनुमान नहीं बदलेगा:

, कहाँ , ।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, फॉर्म के उपभोग फ़ंक्शन पर विचार करें:

,

जहां C उपभोग है, य-आय, के,एल-विकल्प. यह रैखिक प्रतिगमन समीकरण आमतौर पर बैलेंस शीट समीकरण के साथ प्रयोग किया जाता है:

,

कहाँ मैं- निवेश का आकार, आर- जमा पूंजी।

सरलता के लिए, मान लें कि आय उपभोग और निवेश पर खर्च की जाती है। इस प्रकार, समीकरणों की प्रणाली पर विचार किया जाता है:

बैलेंस शीट समानता की उपस्थिति प्रतिगमन गुणांक के मूल्य पर प्रतिबंध लगाती है, जो एक से अधिक नहीं हो सकती है, अर्थात। .

आइए मान लें कि उपभोग फ़ंक्शन है:

.

प्रतिगमन गुणांक उपभोग करने की प्रवृत्ति को दर्शाता है। इससे पता चलता है कि आय के प्रत्येक हजार रूबल में से औसतन 650 रूबल उपभोग पर और 350 रूबल खर्च किए जाते हैं। निवेश किया। यदि हम आय पर निवेश के आकार के प्रतिगमन की गणना करते हैं, अर्थात। , तो प्रतिगमन समीकरण होगा . इस समीकरण को परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह उपभोग फलन से लिया गया है। इन दोनों समीकरणों के प्रतिगमन गुणांक समानता से संबंधित हैं:

यदि प्रतिगमन गुणांक एक से अधिक हो जाता है, तो न केवल आय, बल्कि बचत भी उपभोग पर खर्च की जाती है।

उपभोग फ़ंक्शन में प्रतिगमन गुणांक का उपयोग गुणक की गणना के लिए किया जाता है:

यहाँ एम≈2.86, इसलिए अतिरिक्त निवेश 1 हजार रूबल है। पर दीर्घकालिकअन्य चीजें समान होने पर, 2.86 हजार रूबल की अतिरिक्त आय होगी।

रैखिक प्रतिगमन में, रैखिक सहसंबंध गुणांक कनेक्शन की निकटता के संकेतक के रूप में कार्य करता है आर:

इसके मान सीमाओं के भीतर हैं: . अगर बी> 0, तो कब बी< 0 . उदाहरण के अनुसार, इसका मतलब उत्पादन की मात्रा पर उत्पादन लागत की बहुत करीबी निर्भरता है।

एक रैखिक फ़ंक्शन को फ़िट करने की गुणवत्ता का आकलन करने के लिए, गणना करें निर्धारण का गुणांकरैखिक सहसंबंध गुणांक के वर्ग के रूप में र 2. यह परिणामी विशेषता के विचरण के हिस्से को दर्शाता है यपरिणामी गुण के कुल विचरण में प्रतिगमन द्वारा समझाया गया:

मूल्य विचरण के हिस्से को दर्शाता है य, मॉडल में ध्यान में नहीं रखे गए अन्य कारकों के प्रभाव के कारण होता है।

उदाहरण में. प्रतिगमन समीकरण 98.2% विचरण की व्याख्या करता है, और अन्य कारक 1.8% के लिए जिम्मेदार हैं, यह अवशिष्ट विचरण है।

ओएलएस की पूर्व शर्तें (गॉस-मार्कोव स्थितियां)

जैसा ऊपर बताया गया है, के बीच संबंध यऔर एक्सजोड़ी में प्रतिगमन कार्यात्मक नहीं है, बल्कि सहसंबद्ध है। इसलिए, पैरामीटर अनुमान एऔर बीहैं यादृच्छिक चर, जिसके गुण महत्वपूर्ण रूप से यादृच्छिक घटक ε के गुणों पर निर्भर करते हैं। न्यूनतम वर्गों का उपयोग करके सर्वोत्तम परिणाम प्राप्त करने के लिए, यादृच्छिक विचलन (गॉस-मार्कोव शर्तों) के संबंध में निम्नलिखित पूर्वापेक्षाएँ पूरी की जानी चाहिए:

1 0 . अपेक्षित मूल्यसभी प्रेक्षणों के लिए यादृच्छिक विचलन शून्य है: .

20 . यादृच्छिक विचलनों का प्रसरण स्थिर है: .

इस शर्त की व्यवहार्यता कहा जाता है समलैंगिकता(विचलन विचरण की स्थिरता)। इस आधार की असंभवता कहलाती है विषमलैंगिकता(विचलन विचरण की अनिश्चितता)

तीस । यादृच्छिक विचलन εiऔर ε जेएक दूसरे से स्वतंत्र हैं:

इस शर्त की व्यवहार्यता कहा जाता है स्वसहसंबंध का अभाव.

4 0 . यादृच्छिक विचरण व्याख्यात्मक चर से स्वतंत्र होना चाहिए।

आमतौर पर, यह स्थिति स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाती है यदि किसी दिए गए मॉडल में व्याख्यात्मक चर यादृच्छिक नहीं हैं। इसके अलावा, अर्थमितीय मॉडल के लिए इस शर्त की व्यवहार्यता पहले तीन की तुलना में उतनी महत्वपूर्ण नहीं है।

यदि निर्दिष्ट पूर्वापेक्षाएँ पूरी हो जाती हैं, तो गॉस का प्रमेय-इरकुत्स्क: ओएलएस का उपयोग करके प्राप्त अनुमान (7) और (8) में सभी रैखिक निष्पक्ष अनुमानों की कक्षा में सबसे छोटा अंतर है .

इस प्रकार, यदि गॉस-मार्कोव शर्तें पूरी होती हैं, तो अनुमान (7) और (8) न केवल प्रतिगमन गुणांक के निष्पक्ष अनुमान हैं, बल्कि सबसे प्रभावी भी हैं, अर्थात। इन मापदंडों के किसी भी अन्य अनुमान की तुलना में सबसे छोटा फैलाव है जो मूल्यों के संबंध में रैखिक हैं यी.

यह गॉस-मार्कोव स्थितियों के महत्व की समझ है जो प्रतिगमन विश्लेषण का उपयोग करने वाले एक सक्षम शोधकर्ता को एक अक्षम शोधकर्ता से अलग करती है। यदि ये शर्तें पूरी नहीं होती हैं, तो शोधकर्ता को इसके बारे में पता होना चाहिए। यदि सुधारात्मक कार्रवाई संभव है, तो विश्लेषक को इसे लेने में सक्षम होना चाहिए। यदि स्थिति को ठीक नहीं किया जा सकता है, तो शोधकर्ता को यह आकलन करने में सक्षम होना चाहिए कि यह परिणामों को कितनी गंभीरता से प्रभावित कर सकता है।

प्रतिगमन समीकरण का उपयोग करके भविष्यवाणी करने के लिए, आपको प्रतिगमन गुणांक और समीकरणों की गणना करने की आवश्यकता है। और यहाँ पूर्वानुमान की सटीकता को प्रभावित करने वाली एक और समस्या है। यह इस तथ्य में निहित है कि आमतौर पर हर कोई नहीं संभावित मानचर X और Y, यानी पूर्वानुमान संबंधी समस्याओं में संयुक्त वितरण की सामान्य जनसंख्या ज्ञात नहीं है, इस सामान्य जनसंख्या से केवल एक नमूना ज्ञात है। परिणामस्वरूप, पूर्वानुमान करते समय, यादृच्छिक घटक के अलावा, त्रुटियों का एक और स्रोत उत्पन्न होता है - सामान्य आबादी के नमूने के अधूरे पत्राचार के कारण होने वाली त्रुटियां और प्रतिगमन समीकरण के गुणांक निर्धारित करने में परिणामी त्रुटियां।

दूसरे शब्दों में, इस तथ्य के कारण कि जनसंख्या अज्ञात है, सटीक मानगुणांक और प्रतिगमन समीकरण निर्धारित नहीं किए जा सकते। इस अज्ञात आबादी से एक नमूने का उपयोग करके, कोई केवल वास्तविक गुणांक का अनुमान प्राप्त कर सकता है।

इस तरह के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप भविष्यवाणी त्रुटियों को न्यूनतम करने के लिए, मूल्यांकन एक ऐसी विधि का उपयोग करके किया जाना चाहिए जो प्राप्त निष्पक्ष और कुशल मूल्यों की गारंटी देता है। यह विधि निष्पक्ष अनुमान प्रदान करती है, यदि एक ही जनसंख्या के नए नमूनों के साथ कई बार दोहराए जाने पर स्थिति संतुष्ट हो जाती है। विधि प्रभावी अनुमान प्रदान करती है यदि, जब एक ही जनसंख्या से नए नमूनों के साथ कई बार दोहराया जाता है, तो गुणांक ए और बी का न्यूनतम फैलाव सुनिश्चित किया जाता है, यानी। शर्तें और पूरी की जाती हैं।

संभाव्यता सिद्धांत में, एक प्रमेय सिद्ध किया गया है जिसके अनुसार नमूना डेटा के आधार पर एक रैखिक प्रतिगमन समीकरण के गुणांकों की दक्षता और निष्पक्ष अनुमान कम से कम वर्ग विधि लागू करके सुनिश्चित किया जाता है।

न्यूनतम वर्ग विधि का सार इस प्रकार है। प्रत्येक नमूना बिंदु के लिए प्रपत्र का एक समीकरण लिखा जाता है . तब परिकलित और वास्तविक मानों के बीच त्रुटि पाई जाती है। ऐसे मानों को खोजने की अनुकूलन समस्या का समाधान और जो सभी n बिंदुओं के लिए वर्ग त्रुटियों का न्यूनतम योग प्रदान करता है, अर्थात। खोज समस्या का समाधान , गुणांकों का निष्पक्ष और कुशल अनुमान देता है और। युग्मित रैखिक प्रतिगमन के मामले में, इस समाधान का रूप है:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक नमूने से इस तरह से प्राप्त सामान्य आबादी के लिए प्रतिगमन गुणांक के वास्तविक मूल्यों के निष्पक्ष और प्रभावी अनुमान एक बार लागू होने पर त्रुटियों के खिलाफ बिल्कुल भी गारंटी नहीं देते हैं। गारंटी यह है कि, एक ही आबादी के अन्य नमूनों के साथ इस ऑपरेशन को बार-बार दोहराने के परिणामस्वरूप, किसी भी अन्य विधि की तुलना में कम मात्रा में त्रुटियां होने की गारंटी है और इन त्रुटियों का प्रसार न्यूनतम होगा।

प्रतिगमन समीकरण के प्राप्त गुणांक प्रतिगमन रेखा की स्थिति निर्धारित करते हैं; यह मूल नमूने के बिंदुओं द्वारा गठित बादल का मुख्य अक्ष है। दोनों गुणांकों का एक बहुत ही निश्चित अर्थ है। गुणांक पर मान दिखाता है, लेकिन कई मामलों में इसका कोई मतलब नहीं होता है; इसके अलावा, इसका अक्सर कोई मतलब नहीं होता है, इसलिए गुणांक की दी गई व्याख्या का सावधानीपूर्वक उपयोग किया जाना चाहिए। अर्थ की अधिक सार्वभौमिक व्याख्या इस प्रकार है। यदि है, तो स्वतंत्र चर में सापेक्ष परिवर्तन (प्रतिशत परिवर्तन) हमेशा आश्रित चर में सापेक्ष परिवर्तन से कम होता है।

गुणांक दर्शाता है कि स्वतंत्र चर में एक इकाई परिवर्तन होने पर आश्रित चर कितनी इकाइयाँ बदलेगा। गुणांक को अक्सर प्रतिगमन गुणांक कहा जाता है, इस बात पर जोर देते हुए कि यह से अधिक महत्वपूर्ण है। विशेष रूप से यदि हम आश्रित एवं स्वतंत्र चरों के मानों के स्थान पर उनके औसत मानों से विचलन लें तो प्रतिगमन समीकरण इस रूप में परिवर्तित हो जाता है . दूसरे शब्दों में, रूपांतरित समन्वय प्रणाली में, कोई भी प्रतिगमन रेखा निर्देशांक के मूल से होकर गुजरती है (चित्र 13) और कोई गुणांक नहीं है।

चित्र 13. परिवर्तित समन्वय प्रणाली में प्रतिगमन निर्भरता की स्थिति।

प्रतिगमन समीकरण के पैरामीटर हमें बताते हैं कि आश्रित और स्वतंत्र चर एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं, लेकिन हमें रिश्ते की निकटता की डिग्री के बारे में कुछ नहीं बताते हैं, यानी। डेटा क्लाउड के मुख्य अक्ष की स्थिति दिखाएं, लेकिन कनेक्शन की जकड़न की डिग्री (क्लाउड कितना संकीर्ण या चौड़ा है) के बारे में कुछ नहीं कहता है।

क्षेत्र के क्षेत्रों के लिए, 200X का डेटा प्रदान किया गया है।

क्षेत्र क्रमांक	एक सक्षम व्यक्ति का प्रति दिन औसत प्रति व्यक्ति निर्वाह वेतन, रगड़, x	औसत दैनिक वेतन, रगड़, वाई
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

व्यायाम:

1. एक सहसंबंध क्षेत्र का निर्माण करें और कनेक्शन के रूप के बारे में एक परिकल्पना तैयार करें।

2. रैखिक प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों की गणना करें

4. औसत (सामान्य) लोच गुणांक का उपयोग करते हुए, कारक और परिणाम के बीच संबंध की ताकत का तुलनात्मक मूल्यांकन दें।

7. यदि कारक का अनुमानित मूल्य उसके औसत स्तर से 10% बढ़ जाता है, तो परिणाम के अनुमानित मूल्य की गणना करें। महत्व स्तर के लिए पूर्वानुमान विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

समाधान:

आइये निर्णय करें इस कार्यएक्सेल का उपयोग करना।

1. उपलब्ध डेटा x और y की तुलना करके, उदाहरण के लिए, उन्हें कारक x के बढ़ते क्रम में रैंकिंग करके, कोई विशेषताओं के बीच सीधे संबंध की उपस्थिति का निरीक्षण कर सकता है, जब औसत प्रति व्यक्ति निर्वाह स्तर में वृद्धि औसत दैनिक बढ़ जाती है वेतन। इसके आधार पर, हम यह धारणा बना सकते हैं कि विशेषताओं के बीच संबंध प्रत्यक्ष है और इसे एक सीधी रेखा समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। चित्रात्मक विश्लेषण के आधार पर भी इसी निष्कर्ष की पुष्टि की जाती है।

सहसंबंध फ़ील्ड बनाने के लिए, आप एक्सेल पीपीपी का उपयोग कर सकते हैं। प्रारंभिक डेटा को क्रम में दर्ज करें: पहले x, फिर y।

उन कक्षों के क्षेत्र का चयन करें जिनमें डेटा है।

उसके बाद चुनो: प्लॉट सम्मिलित करें/स्कैटर करें/मार्कर्स के साथ स्कैटर करेंजैसा कि चित्र एक में दिखाया गया है।

चित्र 1 सहसंबंध क्षेत्र का निर्माण

सहसंबंध क्षेत्र का विश्लेषण रैखिक के करीब निर्भरता की उपस्थिति को दर्शाता है, क्योंकि बिंदु लगभग एक सीधी रेखा में स्थित हैं।

2. रेखीय प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों की गणना करने के लिए
आइए अंतर्निहित सांख्यिकीय फ़ंक्शन का उपयोग करें लाइनेस्ट.

इसके लिए:

1) विश्लेषित डेटा वाली मौजूदा फ़ाइल खोलें;
2) प्रतिगमन आंकड़ों के परिणाम प्रदर्शित करने के लिए खाली कोशिकाओं (5 पंक्तियाँ, 2 कॉलम) का 5x2 क्षेत्र चुनें।
3) सक्रिय करें फ़ंक्शन विज़ार्ड: मुख्य मेनू में चयन करें सूत्र/सम्मिलित फ़ंक्शन.
4)खिड़की में वर्गतुम ले रहे हो सांख्यिकीय, फ़ंक्शन विंडो में - लाइनेस्ट. बटन को क्लिक करे ठीक हैजैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है;

चित्र 2 फ़ंक्शन विज़ार्ड डायलॉग बॉक्स

5) फ़ंक्शन तर्क भरें:

के लिए ज्ञात मान

x के ज्ञात मान

स्थिर - बूलियन मान, जो समीकरण में एक मुक्त पद की उपस्थिति या अनुपस्थिति को इंगित करता है; यदि स्थिरांक = 1, तो मुक्त पद की गणना सामान्य तरीके से की जाती है, यदि स्थिरांक = 0, तो मुक्त पद 0 है;

आंकड़े- एक तार्किक मान जो इंगित करता है कि प्रतिगमन विश्लेषण पर अतिरिक्त जानकारी प्रदर्शित की जानी चाहिए या नहीं। यदि सांख्यिकी = 1, तो अतिरिक्त जानकारीप्रदर्शित किया जाता है, यदि सांख्यिकी = 0, तो केवल समीकरण मापदंडों का अनुमान प्रदर्शित किया जाता है।

बटन को क्लिक करे ठीक है;

चित्र 3 LINEST फ़ंक्शन तर्क संवाद बॉक्स

6) अंतिम तालिका का पहला तत्व चयनित क्षेत्र के ऊपरी बाएँ कक्ष में दिखाई देगा। संपूर्ण तालिका खोलने के लिए, बटन दबाएँ , और फिर कुंजी संयोजन के लिए ++ .

अतिरिक्त प्रतिगमन आँकड़े निम्नलिखित चित्र में दिखाए गए क्रम में आउटपुट होंगे:

गुणांक मान बी	गुणांक एक मान
मानक त्रुटि बी	मानक त्रुटि ए
मानक त्रुटि y
एफ आंकड़ा
वर्गों का प्रतिगमन योग

चित्र 4 LINEST फ़ंक्शन की गणना का परिणाम

हमें प्रतिगमन स्तर मिला:

हम निष्कर्ष निकालते हैं: औसत प्रति व्यक्ति निर्वाह स्तर में 1 रूबल की वृद्धि के साथ। औसत दैनिक वेतन औसतन 0.92 रूबल बढ़ जाता है।

यानी 52% भिन्नता वेतन(y) को कारक x की भिन्नता - औसत प्रति व्यक्ति निर्वाह स्तर, और 48% - मॉडल में शामिल नहीं किए गए अन्य कारकों की कार्रवाई द्वारा समझाया गया है।

निर्धारण के परिकलित गुणांक का उपयोग करके, सहसंबंध गुणांक की गणना की जा सकती है: .

कनेक्शन का मूल्यांकन करीबी के रूप में किया गया है।

4. औसत (सामान्य) लोच गुणांक का उपयोग करके, हम परिणाम पर कारक के प्रभाव की ताकत निर्धारित करते हैं।

एक सीधी रेखा समीकरण के लिए, हम सूत्र का उपयोग करके औसत (कुल) लोच गुणांक निर्धारित करते हैं:

हम x मान वाले कक्षों के क्षेत्र का चयन करके और चयन करके औसत मान ज्ञात करेंगे सूत्र/ऑटोसम/औसत, और हम y के मानों के साथ भी ऐसा ही करेंगे।

चित्र 5 औसत फ़ंक्शन मान और तर्क की गणना

इस प्रकार, यदि औसत प्रति व्यक्ति जीवन यापन की लागत उसके औसत मूल्य से 1% बदलती है, तो औसत दैनिक वेतन औसतन 0.51% बदल जाएगा।

डेटा विश्लेषण उपकरण का उपयोग करना वापसीउपलब्ध:
- प्रतिगमन सांख्यिकी के परिणाम,
- विचरण के विश्लेषण के परिणाम,
- परिणाम विश्वास अंतराल,
- अवशिष्ट और प्रतिगमन रेखा फिटिंग ग्राफ़,
- अवशेष और सामान्य संभावना।

प्रक्रिया निम्नलिखित है:

1) तक पहुंच की जाँच करें विश्लेषण पैकेज. मुख्य मेनू में, चुनें: फ़ाइल/विकल्प/ऐड-ऑन.

2) ड्रॉपडाउन सूची में नियंत्रणवस्तु चुनें एक्सेल ऐड-इन्सऔर बटन दबाएँ जाना।

3)खिड़की में ऐड-ऑनबॉक्स को चेक करें विश्लेषण पैकेज, और फिर बटन पर क्लिक करें ठीक है.

अगर विश्लेषण पैकेजफ़ील्ड सूची में नहीं उपलब्ध ऐड-ऑन, बटन दबाएँ समीक्षाएक खोज करने के लिए.

यदि आपको एक संदेश प्राप्त होता है जो दर्शाता है कि विश्लेषण पैकेज आपके कंप्यूटर पर स्थापित नहीं है, तो क्लिक करें हाँइसे स्थापित करने के लिए.

4) मुख्य मेनू में, चुनें: डेटा/डेटा विश्लेषण/विश्लेषण उपकरण/प्रतिगमन, और फिर बटन पर क्लिक करें ठीक है.

5) डेटा इनपुट और आउटपुट पैरामीटर संवाद बॉक्स भरें:

इनपुट अंतराल Y- परिणामी विशेषता का डेटा युक्त श्रेणी;

इनपुट अंतराल एक्स- कारक विशेषता का डेटा युक्त श्रेणी;

टैग- एक ध्वज जो इंगित करता है कि पहली पंक्ति में कॉलम नाम हैं या नहीं;

स्थिरांक - शून्य- समीकरण में एक मुक्त पद की उपस्थिति या अनुपस्थिति को दर्शाने वाला ध्वज;

आउटपुट अंतराल- यह भविष्य की सीमा के ऊपरी बाएँ कक्ष को इंगित करने के लिए पर्याप्त है;

6) नई वर्कशीट - आप नई शीट के लिए एक मनमाना नाम निर्दिष्ट कर सकते हैं।

फिर बटन पर क्लिक करें ठीक है.

चित्र 6 रिग्रेशन टूल के लिए पैरामीटर दर्ज करने के लिए डायलॉग बॉक्स

समस्या डेटा के प्रतिगमन विश्लेषण के परिणाम चित्र 7 में प्रस्तुत किए गए हैं।

चित्र 7 प्रतिगमन उपकरण का उपयोग करने का परिणाम

5. आइए उपयोग का मूल्यांकन करें औसत त्रुटिसमीकरणों की अनुमानित गुणवत्ता। आइए चित्र 8 में प्रस्तुत प्रतिगमन विश्लेषण के परिणामों का उपयोग करें।

चित्र 8 प्रतिगमन उपकरण "शेष की निकासी" का उपयोग करने का परिणाम

आइए एक नई तालिका बनाएं जैसा कि चित्र 9 में दिखाया गया है। कॉलम सी में हम गणना करते हैं रिश्तेदारों की गलतीसूत्र का उपयोग कर अनुमान:

चित्र 9 औसत सन्निकटन त्रुटि की गणना

औसत सन्निकटन त्रुटि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

निर्मित मॉडल की गुणवत्ता अच्छी आंकी गई है, क्योंकि यह 8-10% से अधिक नहीं है।

6. तालिका सी से प्रतिगमन सांख्यिकी(चित्र 4) हम फिशर के एफ-परीक्षण का वास्तविक मूल्य लिखते हैं:

क्योंकि 5% महत्व स्तर पर, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रतिगमन समीकरण महत्वपूर्ण है (संबंध सिद्ध हो चुका है)।

8. मूल्यांकन आंकड़ों की महत्ताप्रतिगमन पैरामीटर छात्र के टी-सांख्यिकी का उपयोग करके और प्रत्येक संकेतक के आत्मविश्वास अंतराल की गणना करके किया जाएगा।

हमने संकेतकों और शून्य के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन अंतर के बारे में परिकल्पना एच 0 को सामने रखा है:

.

स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या के लिए

चित्र 7 में वास्तविक t-सांख्यिकी मान हैं:

सहसंबंध गुणांक के लिए टी-परीक्षण की गणना दो तरीकों से की जा सकती है:

विधि I:

कहाँ - सहसंबंध गुणांक की यादृच्छिक त्रुटि.

हम गणना के लिए चित्र 7 में दी गई तालिका से डेटा लेंगे।

विधि II:

वास्तविक टी-सांख्यिकी मान तालिका मानों से अधिक हैं:

इसलिए, परिकल्पना H 0 को अस्वीकार कर दिया गया है, अर्थात, प्रतिगमन पैरामीटर और सहसंबंध गुणांक संयोग से शून्य से भिन्न नहीं हैं, लेकिन सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण हैं।

पैरामीटर a के लिए विश्वास अंतराल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

पैरामीटर ए के लिए, चित्र 7 में दर्शाई गई 95% सीमाएँ थीं:

प्रतिगमन गुणांक के लिए विश्वास अंतराल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

प्रतिगमन गुणांक बी के लिए, चित्र 7 में दर्शाई गई 95% सीमाएँ थीं:

आत्मविश्वास अंतराल की ऊपरी और निचली सीमाओं के विश्लेषण से यह निष्कर्ष निकलता है कि संभाव्यता के साथ पैरामीटर ए और बी, निर्दिष्ट सीमा के भीतर होने के कारण, शून्य मान नहीं लेते हैं, अर्थात। सांख्यिकीय रूप से महत्वहीन नहीं हैं और शून्य से काफी भिन्न हैं।

7. प्रतिगमन समीकरण के प्राप्त अनुमान इसे पूर्वानुमान के लिए उपयोग करने की अनुमति देते हैं। यदि जीवन यापन की अनुमानित लागत है:

तब जीवन यापन की लागत का अनुमानित मूल्य होगा:

हम सूत्र का उपयोग करके पूर्वानुमान त्रुटि की गणना करते हैं:

कहाँ

हम एक्सेल पीपीपी का उपयोग करके विचरण की गणना भी करेंगे। इसके लिए:

1) सक्रिय करें फ़ंक्शन विज़ार्ड: मुख्य मेनू में चयन करें सूत्र/सम्मिलित फ़ंक्शन.

3) कारक विशेषता के संख्यात्मक डेटा वाली श्रेणी भरें। क्लिक ठीक है.

चित्र 10 विचरण की गणना

हमें विचरण मान मिल गया

स्वतंत्रता की प्रति डिग्री अवशिष्ट विचरण की गणना करने के लिए, हम विचरण के विश्लेषण के परिणामों का उपयोग करेंगे जैसा कि चित्र 7 में दिखाया गया है।

0.95 की संभावना के साथ y के व्यक्तिगत मूल्यों की भविष्यवाणी के लिए आत्मविश्वास अंतराल अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

अंतराल काफी व्यापक है, मुख्यतः अवलोकनों की छोटी मात्रा के कारण। सामान्य तौर पर, औसत मासिक वेतन का पूर्वानुमान विश्वसनीय निकला।

समस्या कथन यहां से लिया गया है: अर्थमिति पर कार्यशाला: प्रोक। भत्ता / आई.आई. एलिसेवा, एस.वी. कुरीशेवा, एन.एम. गोर्डीन्को और अन्य; ईडी। आई.आई. एलिसेवा। - एम.: वित्त और सांख्यिकी, 2003. - 192 पी.: बीमार।