भौतिकी और अन्य विज्ञानों में, विभिन्न मात्राओं (उदाहरण के लिए, लंबाई, द्रव्यमान, समय, तापमान, आदि) का मापन करना बहुत आम है। विद्युतीय प्रतिरोधवगैरह।)।

माप- कोई मान ज्ञात करने की प्रक्रिया भौतिक मात्राविशेष का उपयोग करना तकनीकी साधन- मापन उपकरण।

उपकरण को मापना एक उपकरण है जिसका उपयोग माप की इकाई के रूप में ली गई उसी प्रकार की भौतिक मात्रा के साथ मापी गई मात्रा की तुलना करने के लिए किया जाता है।

प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष माप विधियाँ हैं।

प्रत्यक्ष माप विधियाँ - वे विधियाँ जिनमें मापी गई वस्तु की माप की इकाई (मानक) के साथ सीधी तुलना करके निर्धारित की जा रही मात्राओं का मान पाया जाता है। उदाहरण के लिए, किसी रूलर द्वारा मापी गई वस्तु की लंबाई की तुलना लंबाई की इकाई - एक मीटर से की जाती है, तराजू द्वारा मापी गई वस्तु के द्रव्यमान की तुलना द्रव्यमान की इकाई - एक किलोग्राम, आदि से की जाती है। इस प्रकार, परिणाम के रूप में प्रत्यक्ष माप, निर्धारित मूल्य तुरंत, सीधे प्राप्त होता है।

अप्रत्यक्ष माप विधियाँ- वे विधियाँ जिनमें निर्धारित की जा रही मात्राओं के मूल्यों की गणना अन्य मात्राओं के प्रत्यक्ष माप के परिणामों से की जाती है जिनके साथ वे एक ज्ञात कार्यात्मक संबंध से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, व्यास को मापने के परिणामों से परिधि का निर्धारण करना या किसी पिंड के रैखिक आयामों को मापने के परिणामों से उसका आयतन निर्धारित करना।

माप उपकरणों की अपूर्णता के कारण, हमारी इंद्रियाँ, प्रभाव बाहरी प्रभावमापने के उपकरण और मापी जा रही वस्तु के साथ-साथ अन्य कारकों पर, सभी माप केवल एक निश्चित डिग्री की सटीकता के साथ ही किए जा सकते हैं; इसलिए, माप परिणाम मापे गए मूल्य का सही मूल्य नहीं देते हैं, बल्कि केवल अनुमानित मूल्य देते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, शरीर का वजन 0.1 मिलीग्राम की सटीकता के साथ निर्धारित किया जाता है, तो इसका मतलब है कि पाया गया वजन वास्तविक शरीर के वजन से 0.1 मिलीग्राम से कम भिन्न होता है।

माप की सटीकता - माप गुणवत्ता की विशेषता, मापी गई मात्रा के वास्तविक मूल्य के साथ माप परिणामों की निकटता को दर्शाती है।

माप त्रुटियां जितनी छोटी होंगी, माप सटीकता उतनी ही अधिक होगी। माप की सटीकता माप में प्रयुक्त उपकरणों आदि पर निर्भर करती है सामान्य तरीकेमाप. इन परिस्थितियों में माप करते समय सटीकता की इस सीमा से आगे जाने का प्रयास करना पूरी तरह से बेकार है। माप की सटीकता को कम करने वाले कारणों के प्रभाव को कम करना संभव है, लेकिन उनसे पूरी तरह छुटकारा पाना असंभव है, यानी माप के दौरान हमेशा कम या ज्यादा महत्वपूर्ण त्रुटियां (त्रुटियां) होती हैं। अंतिम परिणाम की सटीकता बढ़ाने के लिए, कोई भी भौतिक आयामएक बार नहीं, बल्कि समान प्रायोगिक परिस्थितियों में कई बार किया जाना चाहिए।

मान "X" के i-वें माप (i - माप संख्या) के परिणामस्वरूप, एक अनुमानित संख्या X i प्राप्त होती है, जो Xist के वास्तविक मान से एक निश्चित मात्रा ∆X i = |X i - से भिन्न होती है। X|, जो एक त्रुटि है या, दूसरे शब्दों में, त्रुटि। वास्तविक त्रुटि हमें ज्ञात नहीं है, क्योंकि हम मापी गई मात्रा का सही मूल्य नहीं जानते हैं। मापी गई भौतिक मात्रा का सही मूल्य अंतराल में निहित है

Х मैं - ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

जहां X i माप के दौरान प्राप्त X का मान है (अर्थात् मापा गया मान); ∆X - X का मान निर्धारित करने में पूर्ण त्रुटि।

बिल्कुल ग़लती माप की (त्रुटि) ∆Х मापी गई मात्रा हिस्ट के वास्तविक मूल्य और माप परिणाम X i: ∆Х = |Х स्रोत - X i | के बीच अंतर का पूर्ण मूल्य है।

रिश्तेदारों की गलती माप की (त्रुटि) δ (माप की सटीकता को दर्शाती है) संख्यात्मक रूप से पूर्ण माप त्रुटि ∆X के अनुपात के बराबर है और मापा मूल्य X स्रोत का सही मूल्य (अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है): δ = (∆X / एक्स स्रोत) 100%।

त्रुटियों या माप त्रुटियों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: व्यवस्थित, यादृच्छिक और सकल (चूक)।

व्यवस्थितवे ऐसी त्रुटि कहते हैं जो स्थिर रहती है या एक ही मात्रा के बार-बार माप के साथ स्वाभाविक रूप से (कुछ कार्यात्मक निर्भरता के अनुसार) बदलती है। ऐसी त्रुटियाँ माप उपकरणों की डिज़ाइन विशेषताओं, अपनाई गई माप पद्धति की कमियों, प्रयोगकर्ता की किसी चूक, प्रभाव के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं बाहरी स्थितियाँया माप वस्तु में ही कोई दोष है।

किसी भी माप उपकरण में कोई न कोई व्यवस्थित त्रुटि होती है, जिसे समाप्त नहीं किया जा सकता, लेकिन जिसके क्रम को ध्यान में रखा जा सकता है। व्यवस्थित त्रुटियाँ या तो माप परिणामों को बढ़ाती हैं या घटाती हैं, अर्थात, इन त्रुटियों को एक स्थिर संकेत द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि वजन के दौरान किसी एक वजन का द्रव्यमान उस पर दर्शाए गए वजन से 0.01 ग्राम अधिक है, तो शरीर के द्रव्यमान का पाया गया मूल्य इस मात्रा से अधिक आंका जाएगा, चाहे कितने भी माप किए जाएं। कभी-कभी व्यवस्थित त्रुटियों को ध्यान में रखा जा सकता है या समाप्त किया जा सकता है, कभी-कभी ऐसा नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, घातक त्रुटियों में उपकरण त्रुटियाँ शामिल हैं, जिनके बारे में हम केवल यह कह सकते हैं कि वे एक निश्चित मूल्य से अधिक नहीं हैं।

यादृच्छिक त्रुटियाँ वे त्रुटियाँ कहलाती हैं जो प्रयोग दर प्रयोग अप्रत्याशित तरीके से अपना परिमाण और संकेत बदलती हैं। यादृच्छिक त्रुटियों की उपस्थिति कई विविध और अनियंत्रित कारणों से होती है।

उदाहरण के लिए, तराजू से तौलते समय, ये कारण हवा का कंपन, बसे हुए धूल के कण, कप के बाएं और दाएं निलंबन में अलग-अलग घर्षण आदि हो सकते हैं। यादृच्छिक त्रुटियां इस तथ्य में प्रकट होती हैं कि, समान मान X के माप लेने पर समान प्रायोगिक स्थितियों में, हमें कई अलग-अलग मान मिलते हैं: X1, X2, X3,..., Xi,..., Xn, जहां Xi i-वें माप का परिणाम है। परिणामों के बीच कोई पैटर्न स्थापित करना संभव नहीं है, इसलिए X के i-वें माप के परिणाम को एक यादृच्छिक चर माना जाता है। यादृच्छिक त्रुटियाँ एकल माप पर एक निश्चित प्रभाव डाल सकती हैं, लेकिन बार-बार माप के साथ वे सांख्यिकीय कानूनों का पालन करती हैं और माप परिणामों पर उनके प्रभाव को ध्यान में रखा जा सकता है या काफी कम किया जा सकता है।

गलतियाँ और घोर त्रुटियाँ- अत्यधिक बड़ी त्रुटियां जो माप परिणाम को स्पष्ट रूप से विकृत करती हैं। त्रुटियों का यह वर्ग अक्सर प्रयोगकर्ता के गलत कार्यों के कारण होता है (उदाहरण के लिए, असावधानी के कारण, उपकरण द्वारा "212" पढ़ने के बजाय, एक पूरी तरह से अलग संख्या दर्ज की जाती है - "221")। भूलों और भारी त्रुटियों वाले मापों को त्याग दिया जाना चाहिए।

तकनीकी और प्रयोगशाला विधियों का उपयोग करके उनकी सटीकता के संदर्भ में माप किए जा सकते हैं।

तकनीकी तरीकों का उपयोग करते समय, माप एक बार किया जाता है। इस मामले में, वे ऐसी सटीकता से संतुष्ट हैं कि त्रुटि उपयोग किए गए माप उपकरण की त्रुटि द्वारा निर्धारित एक निश्चित, पूर्व निर्धारित मूल्य से अधिक नहीं है।

प्रयोगशाला माप विधियों के साथ, तकनीकी विधि का उपयोग करके इसके एकल माप द्वारा अनुमत मात्रा की तुलना में मापी गई मात्रा के मूल्य को अधिक सटीक रूप से इंगित करना आवश्यक है। इस मामले में, कई माप किए जाते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है, जिसे मापा मूल्य के सबसे विश्वसनीय (सही) मान के रूप में लिया जाता है। फिर माप परिणाम की सटीकता का आकलन किया जाता है (यादृच्छिक त्रुटियों को ध्यान में रखते हुए)।

दो विधियों का उपयोग करके माप करने की संभावना से, यह निष्कर्ष निकलता है कि माप की सटीकता का आकलन करने के लिए दो विधियाँ हैं: तकनीकी और प्रयोगशाला।

रिश्तेदारों की गलती

त्रुटियों का मूल माध्य वर्ग है टी,सत्य A को पूर्ण त्रुटियाँ कहा जाता है।

कुछ मामलों में, विशेष रूप से रैखिक माप के साथ, पूर्ण त्रुटि पर्याप्त रूप से सांकेतिक नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक लाइन को ±5 सेमी की त्रुटि के साथ मापा जाता है। 1 मीटर की लाइन की लंबाई के लिए, यह सटीकता स्पष्ट रूप से कम है, लेकिन 1 किलोमीटर की लाइन की लंबाई के लिए, सटीकता निश्चित रूप से अधिक है। इसलिए, माप सटीकता को मापी गई मात्रा के प्राप्त मूल्य के लिए पूर्ण त्रुटि के अनुपात द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से चित्रित किया जाएगा। इस अनुपात को सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है। सापेक्ष त्रुटि को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, और भिन्न को इस प्रकार रूपांतरित किया जाता है कि उसका अंश एक के बराबर हो।

सापेक्ष त्रुटि संगत निरपेक्ष द्वारा निर्धारित की जाती है

गलती। होने देना एक्स- एक निश्चित मात्रा का प्राप्त मूल्य, फिर - इस मात्रा का माध्य वर्ग सापेक्ष त्रुटि; - सच्ची सापेक्ष त्रुटि।

सापेक्ष त्रुटि के हर को दो तक पूर्णांकित करने की सलाह दी जाती है महत्वपूर्ण लोगशून्य के साथ.

उदाहरण। उपरोक्त स्थिति में रेखा माप की मूल माध्य वर्ग सापेक्ष त्रुटि के बराबर होगी

सीमांत त्रुटि

सीमांत त्रुटि कहलाती है उच्चतम मूल्ययादृच्छिक त्रुटि जो समान परिशुद्धता माप की दी गई शर्तों के तहत प्रकट हो सकती है।

संभाव्यता सिद्धांत ने साबित कर दिया है कि 1000 में से केवल तीन मामलों में यादृच्छिक त्रुटियां मूल्य से अधिक हो सकती हैं Zt; 100 में से 5 गलतियाँ पार कर सकती हैं 2tऔर 100 में से 32 त्रुटियाँ अधिक हो सकती हैं टी।

इसके आधार पर, भूगणितीय अभ्यास में, माप परिणामों में त्रुटियां होती हैं 0>3t, को सकल त्रुटियों वाले माप के रूप में वर्गीकृत किया गया है और प्रसंस्करण के लिए स्वीकार नहीं किया गया है।

त्रुटि मान 0 = 2 टीसंकलन करते समय सीमा के रूप में उपयोग किया जाता है तकनीकी आवश्यकताएंइस प्रकार के कार्य के लिए, अर्थात्, परिमाण में इन मूल्यों से अधिक की सभी यादृच्छिक माप त्रुटियों को अस्वीकार्य माना जाता है। मूल्य से अधिक विसंगतियां प्राप्त होने पर 2टी,माप की स्थितियों में सुधार के लिए उपाय करें, और माप को स्वयं दोहराएं।

परीक्षण प्रश्न और अभ्यास:

• 1. माप के प्रकारों की सूची बनाएं और उनकी परिभाषा दें।
• 2. माप त्रुटियों के प्रकारों की सूची बनाएं और उनकी परिभाषा दें।
• 3. माप की सटीकता का आकलन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मानदंडों की सूची बनाएं।
• 4. कई मापों की मूल माध्य वर्ग त्रुटि ज्ञात करें यदि सबसे संभावित त्रुटियाँ इसके बराबर हैं: - 2.3; + 1.6; - 0.2; + 1.9; - 1.1.
• 5. परिणामों के आधार पर लाइन की लंबाई मापने में सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करें: 487.23 मीटर और 486.91 मीटर।

सबसे ज्यादा महत्वपूर्ण मुद्देसंख्यात्मक विश्लेषण में यह प्रश्न है कि गणना के दौरान एक निश्चित स्थान पर होने वाली त्रुटि आगे कैसे फैलती है, अर्थात, बाद के संचालन के दौरान इसका प्रभाव बड़ा या छोटा हो जाता है। एक चरम मामला दो लगभग समान संख्याओं का घटाव है: इन दोनों संख्याओं में बहुत छोटी त्रुटियों के साथ भी, अंतर की सापेक्ष त्रुटि बहुत बड़ी हो सकती है। यह सापेक्ष त्रुटि बाद की सभी अंकगणितीय संक्रियाओं के दौरान और अधिक फैल जाएगी।

कम्प्यूटेशनल त्रुटियों (त्रुटियों) के स्रोतों में से एक बिट ग्रिड की परिमितता के कारण कंप्यूटर में वास्तविक संख्याओं का अनुमानित प्रतिनिधित्व है। यद्यपि प्रारंभिक डेटा को कंप्यूटर में बड़ी सटीकता के साथ प्रस्तुत किया जाता है, गणना प्रक्रिया के दौरान गोलाई त्रुटियों के संचय से महत्वपूर्ण परिणामी त्रुटि हो सकती है, और कुछ एल्गोरिदम कंप्यूटर पर वास्तविक गणना के लिए पूरी तरह से अनुपयुक्त हो सकते हैं। आप कंप्यूटर में वास्तविक संख्याओं के प्रतिनिधित्व के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

त्रुटियों का प्रसार

त्रुटि प्रसार के मुद्दे पर विचार करने के पहले कदम के रूप में, ऑपरेशन में शामिल मात्राओं और उनकी त्रुटियों के एक फ़ंक्शन के रूप में चार अंकगणितीय परिचालनों में से प्रत्येक के परिणाम की पूर्ण और सापेक्ष त्रुटियों के लिए अभिव्यक्तियां ढूंढना आवश्यक है।

बिल्कुल ग़लती

जोड़ना

दो मात्राओं और के दो सन्निकटन हैं, साथ ही संबंधित निरपेक्ष त्रुटियाँ भी हैं। फिर जोड़ के परिणामस्वरूप हमारे पास है

.

योग की त्रुटि, जिसे हम से दर्शाते हैं, बराबर होगी

.

घटाव

वैसे ही हमें मिलता है

.

गुणा

गुणा करते समय हमारे पास होता है

.

चूँकि त्रुटियाँ आमतौर पर स्वयं की मात्रा से बहुत छोटी होती हैं, हम त्रुटियों के उत्पाद की उपेक्षा करते हैं:

.

उत्पाद त्रुटि के बराबर होगी

.

विभाजन

.

आइए इस अभिव्यक्ति को रूप में परिवर्तित करें

.

कोष्ठक में कारक को एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है

.

उन सभी शब्दों को गुणा करना और उनकी उपेक्षा करना जिनमें त्रुटियों के गुणनफल या त्रुटि की डिग्री पहले की तुलना में अधिक है, हमारे पास है

.

इस तरह,

.

यह स्पष्ट रूप से समझा जाना चाहिए कि त्रुटि चिह्न केवल बहुत ही दुर्लभ मामलों में ही ज्ञात होता है। उदाहरण के लिए, यह तथ्य नहीं है कि जोड़ने पर त्रुटि बढ़ जाती है और घटाने पर घट जाती है, क्योंकि जोड़ के सूत्र में एक प्लस होता है, और घटाने के लिए एक माइनस होता है। यदि, उदाहरण के लिए, दो संख्याओं की त्रुटियाँ हैं विपरीत संकेत, तो स्थिति बिल्कुल विपरीत होगी, यानी इन संख्याओं को जोड़ने पर त्रुटि कम हो जाएगी और घटाने पर त्रुटि बढ़ जाएगी।

रिश्तेदारों की गलती

एक बार जब हम चार अंकगणितीय परिचालनों में पूर्ण त्रुटियों के प्रसार के लिए सूत्र प्राप्त कर लेते हैं, तो सापेक्ष त्रुटियों के लिए संबंधित सूत्र प्राप्त करना काफी आसान हो जाता है। जोड़ और घटाव के लिए, सूत्रों को इस तरह से रूपांतरित किया गया कि उनमें प्रत्येक मूल संख्या की सापेक्ष त्रुटि स्पष्ट रूप से शामिल हो।

जोड़ना

.

घटाव

.

गुणा

.

विभाजन

.

हम दो अनुमानित मानों और संगत त्रुटियों के साथ एक अंकगणितीय ऑपरेशन शुरू करते हैं। ये त्रुटियाँ किसी भी मूल की हो सकती हैं। मात्राएँ और त्रुटियाँ युक्त प्रयोगात्मक परिणाम हो सकते हैं; वे किसी अनंत प्रक्रिया के अनुसार पूर्व-गणना के परिणाम हो सकते हैं और इसलिए उनमें बाधा त्रुटियाँ हो सकती हैं; वे पिछले अंकगणितीय परिचालनों के परिणाम हो सकते हैं और उनमें पूर्णांकन संबंधी त्रुटियां हो सकती हैं। स्वाभाविक रूप से, उनमें विभिन्न संयोजनों में तीनों प्रकार की त्रुटियाँ भी हो सकती हैं।

उपरोक्त सूत्र एक फलन के रूप में चार अंकगणितीय संक्रियाओं में से प्रत्येक के परिणाम की त्रुटि के लिए एक अभिव्यक्ति देते हैं; इसमें पूर्णांकन त्रुटि अंकगणितीय संक्रियाजिसमें ध्यान में नहीं रखा गया. यदि भविष्य में यह गणना करना आवश्यक हो जाता है कि इस परिणाम की त्रुटि बाद के अंकगणितीय कार्यों में कैसे प्रसारित होती है, तो चार सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करके गणना किए गए परिणाम की त्रुटि की गणना करना आवश्यक है पूर्णांकन त्रुटि अलग से जोड़ें.

कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया ग्राफ़

अब किसी भी अंकगणितीय गणना में त्रुटि के प्रसार की गणना करने के एक सुविधाजनक तरीके पर विचार करें। इस प्रयोजन के लिए, हम गणना में संचालन के अनुक्रम का उपयोग करके चित्रित करेंगे ग्राफऔर हम ग्राफ़ के तीरों के पास गुणांक लिखेंगे जो हमें अंतिम परिणाम की सामान्य त्रुटि को अपेक्षाकृत आसानी से निर्धारित करने की अनुमति देगा। यह विधि सुविधाजनक भी है क्योंकि यह आपको गणना प्रक्रिया के दौरान समग्र त्रुटि में उत्पन्न होने वाली किसी भी त्रुटि के योगदान को आसानी से निर्धारित करने की अनुमति देती है।

चित्र .1. कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया ग्राफ

पर चित्र .1एक कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया का एक ग्राफ दर्शाया गया है। ग्राफ़ को तीरों का अनुसरण करते हुए नीचे से ऊपर तक पढ़ा जाना चाहिए। सबसे पहले, कुछ क्षैतिज स्तर पर स्थित ऑपरेशन किए जाते हैं, उसके बाद उच्च स्तर पर स्थित ऑपरेशन किए जाते हैं उच्च स्तरउदाहरण के लिए, चित्र 1 से यह स्पष्ट है एक्सऔर यपहले जोड़ा और फिर गुणा किया जेड. ग्राफ़ में दिखाया गया है चित्र .1, केवल कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया की एक छवि है। परिणाम की कुल त्रुटि की गणना करने के लिए, इस ग्राफ़ को गुणांकों के साथ पूरक करना आवश्यक है, जो निम्नलिखित नियमों के अनुसार तीरों के बगल में लिखे गए हैं।

जोड़ना

मान लीजिए कि अतिरिक्त सर्कल में प्रवेश करने वाले दो तीर मूल्यों के साथ दो सर्कल से बाहर आते हैं। ये मान या तो प्रारंभिक हो सकते हैं या पिछली गणनाओं के परिणाम हो सकते हैं। फिर वृत्त में + चिह्न की ओर जाने वाला तीर गुणांक प्राप्त करता है, जबकि वृत्त में + चिह्न की ओर जाने वाला तीर गुणांक प्राप्त करता है।

घटाव

यदि ऑपरेशन किया जाता है, तो संबंधित तीर गुणांक प्राप्त करते हैं और।

गुणा

गुणन वृत्त में शामिल दोनों तीर +1 का गुणांक प्राप्त करते हैं।

विभाजन

यदि विभाजन किया जाता है, तो सर्कल में स्लैश से तीर तक +1 का गुणांक प्राप्त होता है, और सर्कल में स्लैश से तीर तक -1 का गुणांक प्राप्त होता है।

इन सभी गुणांकों का अर्थ इस प्रकार है: किसी भी ऑपरेशन (सर्कल) के परिणाम की सापेक्ष त्रुटि को इन दो ऑपरेशनों को जोड़ने वाले तीर के गुणांक से गुणा करके अगले ऑपरेशन के परिणाम में शामिल किया जाता है।.

उदाहरण

अंक 2. जोड़ के लिए कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया ग्राफ, और

आइए अब ग्राफ़ तकनीक को उदाहरणों पर लागू करें और बताएं कि व्यावहारिक गणना में त्रुटि प्रसार का क्या अर्थ है।

उदाहरण 1

चार धनात्मक संख्याओं को जोड़ने की समस्या पर विचार करें:

, .

इस प्रक्रिया का ग्राफ़ में दिखाया गया है अंक 2. आइए मान लें कि सभी प्रारंभिक मात्राएं सटीक रूप से निर्दिष्ट हैं और उनमें कोई त्रुटि नहीं है, और प्रत्येक बाद के अतिरिक्त ऑपरेशन के बाद सापेक्ष पूर्णांकन त्रुटियां होंगी। अंतिम परिणाम की कुल त्रुटि की गणना करने के लिए नियम को क्रमिक रूप से लागू करने से सूत्र प्राप्त होता है

.

पहले पद के योग को घटाने और संपूर्ण व्यंजक को से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

.

यह ध्यान में रखते हुए कि पूर्णांकन त्रुटि (इंच) है इस मामले मेंयह माना जाता है कि एक वास्तविक संख्या को कंप्यूटर में फॉर्म में दर्शाया जाता है दशमलवसाथ टीमहत्वपूर्ण आंकड़ों में), अंततः हमारे पास है

निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ

त्रुटियाँ जैसे माध्य (J), मूल माध्य वर्ग ( एम), संभावित ( आर), सच (डी) और सीमा (डी) वगैरह) पूर्ण त्रुटियाँ हैं। वे हमेशा मापी जा रही मात्रा की इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं, अर्थात। मापे गए मान के समान आयाम है।
अक्सर ऐसे मामले सामने आते हैं जब विभिन्न आकार की वस्तुओं को समान पूर्ण त्रुटियों के साथ मापा जाता है। उदाहरण के लिए, लंबाई की रेखाओं को मापने की मूल माध्य वर्ग त्रुटि: एल 1 = 100 मीटर और एल 2 = 1000 मीटर, कुल एम= 5 सेमी. प्रश्न उठता है: कौन सी रेखा अधिक सटीकता से मापी गई? अनिश्चितता से बचने के लिए, कई मात्राओं की माप की सटीकता का मूल्यांकन मापी गई मात्रा के मूल्य की पूर्ण त्रुटि के अनुपात के रूप में किया जाता है। परिणामी अनुपात को सापेक्ष त्रुटि कहा जाता है, जिसे आमतौर पर एक के बराबर अंश वाले भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है।
पूर्ण त्रुटि का नाम संबंधित सापेक्ष माप त्रुटि का नाम निर्धारित करता है [1]।

होने देना एक्स- एक निश्चित मात्रा को मापने का परिणाम। तब
- माध्य वर्ग सापेक्ष त्रुटि;

औसत सापेक्ष त्रुटि;

संभावित सापेक्ष त्रुटि;

सच्ची सापेक्ष त्रुटि;

सापेक्ष त्रुटि सीमित करें.

भाजक एनसापेक्ष त्रुटि को शून्य के साथ दो महत्वपूर्ण अंकों में पूर्णांकित किया जाना चाहिए:

एमएक्स= 0.3 मीटर; एक्स= 152.0 मीटर;

एमएक्स= 0.25 मीटर; एक्स= 643.00 मीटर; .

एमएक्स= 0.033 मीटर; एक्स= 795,000 मी;

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, भिन्न का हर जितना बड़ा होगा, माप उतना ही अधिक सटीक होगा।

पूर्णांकन त्रुटियाँ

माप परिणामों को संसाधित करते समय, गोलाई त्रुटियां एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं, जिन्हें उनके गुणों में यादृच्छिक चर के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है [2]:

1) एक पूर्णांकन की अधिकतम त्रुटि बरकरार चिह्न की 0.5 इकाई है;

2) बड़े और छोटे वाले निरपेक्ष मूल्यपूर्णांकन त्रुटियाँ समान रूप से संभव हैं;
3) सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांकन त्रुटियां समान रूप से संभव हैं;
4) पूर्णांकन त्रुटियों की गणितीय अपेक्षा शून्य है।
ये गुण राउंडिंग त्रुटियों को यादृच्छिक चर के लिए जिम्मेदार बनाना संभव बनाते हैं वर्दी वितरण. निरंतर यादृच्छिक चर एक्सअंतराल पर एक समान वितरण होता है [ ए, बी], यदि इस अंतराल पर वितरण घनत्व है अनियमित परिवर्तनशील वस्तुस्थिर है, और बाहर यह शून्य के बराबर है (चित्र 2), अर्थात।

जे (एक्स) . (1.32)

वितरण समारोह एफ(एक्स)

ए बी एक्स(1.33)

चावल। 2 अपेक्षित मूल्य

(1.34)

फैलाव
(1.35)

मानक विचलन

(1.36)

पूर्णांकन त्रुटियों के लिए

माप त्रुटि- किसी मात्रा के मापे गए मूल्य के उसके वास्तविक मूल्य से विचलन का आकलन। मापन त्रुटि माप सटीकता की एक विशेषता (माप) है।

चूँकि पूर्ण सटीकता के साथ किसी भी मात्रा का सही मूल्य निर्धारित करना असंभव है, इसलिए वास्तविक मूल्य से मापा मूल्य के विचलन की मात्रा को इंगित करना असंभव है। (इस विचलन को आमतौर पर माप त्रुटि कहा जाता है। कई स्रोतों में, उदाहरण के लिए, ग्रेट में सोवियत विश्वकोश, शर्तें माप त्रुटिऔर माप त्रुटिसमानार्थक शब्द के रूप में उपयोग किया जाता है, लेकिन आरएमजी 29-99 के अनुसार यह शब्द है माप त्रुटिकम सफल के रूप में उपयोग के लिए अनुशंसित नहीं)। इस विचलन की भयावहता का अनुमान केवल सांख्यिकीय तरीकों का उपयोग करके ही लगाया जा सकता है। व्यवहार में, वे वास्तविक मूल्य के बजाय उपयोग करते हैं मात्रा का वास्तविक मूल्य xd, अर्थात, प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त भौतिक मात्रा का मान और वास्तविक मान के इतना करीब कि दिए गए माप कार्य में इसके स्थान पर इसका उपयोग किया जा सकता है। इस मान की गणना आमतौर पर मापों की एक श्रृंखला के परिणामों के सांख्यिकीय प्रसंस्करण से प्राप्त औसत मूल्य के रूप में की जाती है। यह प्राप्त मूल्य सटीक नहीं है, बल्कि केवल सबसे संभावित है। इसलिए, माप में यह बताना आवश्यक है कि उनकी सटीकता क्या है। ऐसा करने के लिए, प्राप्त परिणाम के साथ माप त्रुटि का संकेत दिया जाता है। उदाहरण के लिए, रिकार्ड टी=2.8±0.1सी। इसका मतलब है कि मात्रा का सही मूल्य टीकी सीमा में स्थित है 2.7 एस.पहले 2.9 एस.कुछ निर्दिष्ट संभाव्यता के साथ

2004 में, अंतर्राष्ट्रीय स्तर पर एक नया दस्तावेज़ अपनाया गया, जिसमें माप करने की शर्तों को निर्धारित किया गया और राज्य मानकों की तुलना के लिए नए नियम स्थापित किए गए। "त्रुटि" की अवधारणा अप्रचलित हो गई है; इसके बजाय, "माप अनिश्चितता" की अवधारणा पेश की गई थी, हालांकि GOST R 50.2.038-2004 इस शब्द के उपयोग की अनुमति देता है गलतीरूस में प्रयुक्त दस्तावेज़ों के लिए.

निम्न प्रकार की त्रुटियाँ प्रतिष्ठित हैं:

· पूर्ण त्रुटि;

· रिश्तेदारों की गलती;

· त्रुटि में कमी;

· बुनियादी त्रुटि;

· अतिरिक्त त्रुटि;

· सिस्टम में त्रुटि;

· कोई भी त्रुटि;

· वाद्य त्रुटि;

· पद्धतिगत त्रुटि;

· व्यक्तिगत त्रुटि;

· स्थैतिक त्रुटि;

· गतिशील त्रुटि.

मापन त्रुटियों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया गया है।

· गणितीय अभिव्यक्ति की विधि के अनुसार त्रुटियों को पूर्ण त्रुटियों और सापेक्ष त्रुटियों में विभाजित किया जाता है।

· समय में परिवर्तन और इनपुट मान की परस्पर क्रिया के अनुसार त्रुटियों को स्थैतिक त्रुटियों और गतिशील त्रुटियों में विभाजित किया जाता है।

· उनकी घटना की प्रकृति के आधार पर, त्रुटियों को व्यवस्थित त्रुटियों और यादृच्छिक त्रुटियों में विभाजित किया जाता है।

· प्रभावित करने वाली मात्राओं पर त्रुटि की निर्भरता की प्रकृति के अनुसार, त्रुटियों को मूल और अतिरिक्त में विभाजित किया जाता है।

· इनपुट मान पर त्रुटि की निर्भरता की प्रकृति के आधार पर, त्रुटियों को योगात्मक और गुणक में विभाजित किया जाता है।

पूर्ण त्रुटि- यह माप प्रक्रिया के दौरान प्राप्त मात्रा के मूल्य और इस मात्रा के वास्तविक (वास्तविक) मूल्य के बीच अंतर के रूप में गणना किया गया मूल्य है। पूर्ण त्रुटि की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

AQ n =Q n /Q 0, जहां AQ n पूर्ण त्रुटि है; Qn- माप प्रक्रिया के दौरान प्राप्त एक निश्चित मात्रा का मूल्य; प्र0- तुलना के आधार के रूप में ली गई समान मात्रा का मूल्य (वास्तविक मूल्य)।

माप की पूर्ण त्रुटि- यह एक मान है जिसकी गणना संख्या के बीच अंतर के रूप में की जाती है, जो माप का नाममात्र मूल्य है, और माप द्वारा पुनरुत्पादित मात्रा का वास्तविक (वास्तविक) मूल्य है।

रिश्तेदारों की गलतीएक संख्या है जो माप सटीकता की डिग्री को दर्शाती है। सापेक्ष त्रुटि की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जहां ∆Q पूर्ण त्रुटि है; प्र0– मापी गई मात्रा का वास्तविक (वास्तविक) मूल्य। सापेक्ष त्रुटि प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है।

त्रुटि कम हुईएक मान है जिसकी गणना पूर्ण त्रुटि मान और सामान्यीकरण मान के अनुपात के रूप में की जाती है।

मानक मान निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

· उन माप उपकरणों के लिए जिनके लिए नाममात्र मूल्य स्वीकृत है, इस नाममात्र मूल्य को मानक मूल्य के रूप में लिया जाता है;

· उन माप उपकरणों के लिए जिनमें शून्य मान माप पैमाने के किनारे पर या पैमाने के बाहर स्थित होता है, सामान्यीकरण मान को माप सीमा से अंतिम मान के बराबर लिया जाता है। इसका अपवाद काफी असमान माप पैमाने वाले माप उपकरण हैं;

· उन माप उपकरणों के लिए जिनका शून्य चिह्न माप सीमा के अंदर स्थित है, सामान्यीकरण मान स्वीकार किया जाता है राशि के बराबरमाप सीमा के सीमित संख्यात्मक मान;

· माप उपकरणों (माप उपकरणों) के लिए जिसमें पैमाना असमान है, सामान्यीकरण मान को माप पैमाने की पूरी लंबाई या उसके उस हिस्से की लंबाई के बराबर लिया जाता है जो माप सीमा से मेल खाता है। पूर्ण त्रुटि तब लंबाई की इकाइयों में व्यक्त की जाती है।

मापन त्रुटि में वाद्य त्रुटि, विधि त्रुटि और गिनती त्रुटि शामिल है। इसके अलावा, माप पैमाने के विभाजन अंशों को निर्धारित करने में अशुद्धि के कारण गिनती में त्रुटि उत्पन्न होती है।

वाद्य त्रुटि- यह एक त्रुटि है जो माप उपकरणों के कार्यात्मक भागों की निर्माण प्रक्रिया के दौरान हुई त्रुटियों के कारण उत्पन्न होती है।

पद्धतिगत त्रुटिसे उत्पन्न होने वाली त्रुटि है निम्नलिखित कारण:

· मॉडल निर्माण की अशुद्धि भौतिक प्रक्रिया, जिस पर मापने का उपकरण आधारित है;

· माप उपकरणों का गलत उपयोग.

व्यक्तिपरक त्रुटि- यह माप उपकरण के ऑपरेटर की योग्यता की निम्न डिग्री के साथ-साथ त्रुटि के कारण उत्पन्न होने वाली त्रुटि है दृश्य अंगमानव, अर्थात् व्यक्तिपरक त्रुटि का कारण मानवीय कारक है।

समय और इनपुट मात्रा के साथ परिवर्तनों की परस्पर क्रिया में त्रुटियों को स्थिर और गतिशील त्रुटियों में विभाजित किया गया है।

स्थैतिक त्रुटि- यह एक त्रुटि है जो एक स्थिर (समय के साथ नहीं बदलने वाली) मात्रा को मापने की प्रक्रिया में उत्पन्न होती है।

गतिशील त्रुटिएक त्रुटि है, जिसके संख्यात्मक मान की गणना उस त्रुटि के बीच अंतर के रूप में की जाती है जो एक गैर-स्थिर (समय-परिवर्तनीय) मात्रा को मापते समय होती है और स्थैतिक त्रुटि (एक निश्चित बिंदु पर मापी गई मात्रा के मूल्य में त्रुटि) समय)।

प्रभावित करने वाली मात्राओं पर त्रुटि की निर्भरता की प्रकृति के अनुसार, त्रुटियों को मूल और अतिरिक्त में विभाजित किया जाता है।

बुनियादी त्रुटि- यह मापने वाले उपकरण की सामान्य परिचालन स्थितियों (प्रभावकारी मात्राओं के सामान्य मूल्यों पर) के तहत प्राप्त त्रुटि है।

अतिरिक्त त्रुटि- यह एक त्रुटि है जो प्रभावित करने वाली मात्राओं के मूल्यों के बीच विसंगति की स्थिति में उत्पन्न होती है सामान्य मान, या यदि प्रभावित करने वाली मात्रा सामान्य सीमा की सीमाओं से अधिक है।

सामान्य स्थितियाँ - ये ऐसी स्थितियाँ हैं जिनमें प्रभावित करने वाली मात्राओं के सभी मान सामान्य होते हैं या सामान्य सीमा की सीमाओं से आगे नहीं जाते हैं।

काम करने की स्थिति- ये ऐसी स्थितियाँ हैं जिनमें प्रभावित करने वाली मात्राओं में परिवर्तन की व्यापक सीमा होती है (प्रभावकारी मूल्य मूल्यों की कार्यशील सीमा की सीमाओं से आगे नहीं जाते हैं)।

मात्राओं को प्रभावित करने की कार्य सीमा- यह मानों की वह श्रेणी है जिसमें अतिरिक्त त्रुटि के मान सामान्यीकृत होते हैं।

इनपुट मान पर त्रुटि की निर्भरता की प्रकृति के आधार पर, त्रुटियों को योगात्मक और गुणक में विभाजित किया जाता है।

योगात्मक त्रुटि- यह एक त्रुटि है जो संख्यात्मक मूल्यों के योग के कारण उत्पन्न होती है और मापी गई मात्रा मॉड्यूलो (पूर्ण) के मूल्य पर निर्भर नहीं करती है।

गुणात्मक पूर्वाग्रहएक त्रुटि है जो मापी जा रही मात्रा के मूल्यों में परिवर्तन के साथ बदलती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पूर्ण योगात्मक त्रुटि का मूल्य मापी गई मात्रा के मूल्य और मापने वाले उपकरण की संवेदनशीलता से संबंधित नहीं है। संपूर्ण योगात्मक त्रुटियाँ संपूर्ण माप सीमा पर स्थिर रहती हैं।

पूर्ण योगात्मक त्रुटि का मान उस मात्रा का न्यूनतम मान निर्धारित करता है जिसे मापने वाले उपकरण द्वारा मापा जा सकता है।

गुणात्मक त्रुटियों के मान मापी गई मात्रा के मानों में परिवर्तन के अनुपात में बदलते हैं। गुणक त्रुटियों के मान भी मापने वाले उपकरण की संवेदनशीलता के समानुपाती होते हैं। गुणक त्रुटि उपकरण के तत्वों की पैरामीट्रिक विशेषताओं पर मात्राओं को प्रभावित करने के प्रभाव के कारण उत्पन्न होती है।

माप प्रक्रिया के दौरान उत्पन्न होने वाली त्रुटियों को उनकी घटना की प्रकृति के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। प्रमुखता से दिखाना:

· व्यवस्थित त्रुटियाँ;

· यादृच्छिक त्रुटियाँ.

माप प्रक्रिया के दौरान गंभीर त्रुटियाँ और त्रुटियाँ भी हो सकती हैं।

सिस्टम में त्रुटि- यह अवयवमाप परिणाम की संपूर्ण त्रुटि, जो एक ही मात्रा के बार-बार माप से स्वाभाविक रूप से नहीं बदलती या बदलती है। आमतौर पर वे व्यवस्थित त्रुटि को दूर करने का प्रयास करते हैं संभावित तरीके(उदाहरण के लिए, माप विधियों का उपयोग करके जो इसकी घटना की संभावना को कम करते हैं), यदि एक व्यवस्थित त्रुटि को बाहर नहीं किया जा सकता है, तो माप शुरू होने से पहले इसकी गणना की जाती है और माप परिणाम में उचित सुधार किए जाते हैं। व्यवस्थित त्रुटि को सामान्य करने की प्रक्रिया में, इसके अनुमेय मूल्यों की सीमाएँ निर्धारित की जाती हैं। व्यवस्थित त्रुटि माप उपकरणों (मेट्रोलॉजिकल संपत्ति) के माप की सटीकता निर्धारित करती है। कुछ मामलों में व्यवस्थित त्रुटियों को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। फिर सुधार लाकर माप परिणाम को स्पष्ट किया जा सकता है।

व्यवस्थित त्रुटियों को दूर करने की विधियों को चार प्रकारों में विभाजित किया गया है:

· माप शुरू होने से पहले त्रुटियों के कारणों और स्रोतों का उन्मूलन;

· प्रतिस्थापन के माध्यम से पहले से ही शुरू की गई माप की प्रक्रिया में त्रुटियों का उन्मूलन, संकेत, विरोध, सममित अवलोकन द्वारा त्रुटियों का मुआवजा;

· सुधार करके माप परिणामों में सुधार (गणना द्वारा त्रुटियों का उन्मूलन);

· यदि इसे समाप्त नहीं किया जा सकता है तो व्यवस्थित त्रुटि की सीमा का निर्धारण।

माप शुरू करने से पहले त्रुटियों के कारणों और स्रोतों का उन्मूलन। यह विधिसबसे इष्टतम विकल्प है, क्योंकि इसका उपयोग माप के आगे के पाठ्यक्रम को सरल बनाता है (पहले से शुरू की गई माप की प्रक्रिया में त्रुटियों को खत्म करने या प्राप्त परिणाम में सुधार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।

पहले से शुरू की गई माप की प्रक्रिया में व्यवस्थित त्रुटियों को खत्म करने के लिए, विभिन्न तरीके

संशोधन प्रस्तुत करने की विधिव्यवस्थित त्रुटि और उसके परिवर्तन के वर्तमान पैटर्न के ज्ञान पर आधारित है। इस पद्धति का उपयोग करते समय, व्यवस्थित त्रुटियों के साथ प्राप्त माप परिणाम में सुधार किए जाते हैं, इन त्रुटियों के परिमाण के बराबर, लेकिन संकेत में विपरीत।

प्रतिस्थापन विधिइसमें यह तथ्य शामिल है कि मापी गई मात्रा को उसी स्थिति में रखे गए माप से बदल दिया जाता है जिसमें माप की वस्तु स्थित थी। निम्नलिखित विद्युत मापदंडों को मापते समय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग किया जाता है: प्रतिरोध, समाई और अधिष्ठापन।

साइन त्रुटि क्षतिपूर्ति विधिइस तथ्य में शामिल है कि माप दो बार इस तरह से किया जाता है कि अज्ञात परिमाण की त्रुटि विपरीत चिह्न के साथ माप परिणामों में शामिल हो जाती है।

विरोध का तरीकासंकेत क्षतिपूर्ति विधि के समान। इस विधि में दो बार माप लेना शामिल है ताकि पहले माप में त्रुटि के स्रोत का दूसरे माप के परिणाम पर विपरीत प्रभाव पड़े।

कोई भी त्रुटि- यह माप परिणाम की त्रुटि का एक घटक है, जो एक ही मात्रा के बार-बार माप करने पर अनियमित रूप से, अनियमित रूप से बदलता है। किसी यादृच्छिक त्रुटि की घटना की भविष्यवाणी या भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। यादृच्छिक त्रुटि को पूरी तरह से समाप्त नहीं किया जा सकता है; यह हमेशा अंतिम माप परिणामों को कुछ हद तक विकृत कर देता है। लेकिन आप बार-बार माप लेकर माप परिणाम को अधिक सटीक बना सकते हैं। एक यादृच्छिक त्रुटि का कारण, उदाहरण के लिए, एक यादृच्छिक परिवर्तन हो सकता है बाह्य कारक, माप प्रक्रिया को प्रभावित कर रहा है। पर्याप्त उच्च स्तर की सटीकता के साथ बार-बार माप करते समय एक यादृच्छिक त्रुटि के कारण परिणाम बिखर जाते हैं।

गलतियाँ और घोर त्रुटियाँ- ये ऐसी त्रुटियां हैं जो दी गई माप शर्तों के तहत अपेक्षित व्यवस्थित और यादृच्छिक त्रुटियों से कहीं अधिक हैं। माप प्रक्रिया के दौरान सकल त्रुटियों, मापने वाले उपकरण की तकनीकी खराबी, या बाहरी स्थितियों में अप्रत्याशित परिवर्तन के कारण त्रुटियां और सकल त्रुटियां दिखाई दे सकती हैं।