Լուծում.
Հավանականություն, որ որևէ խորհրդանիշ չի գծվել՝ P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P (1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P (2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Երեք զինանշան ստանալու հավանականությունը՝ P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
X պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Պ | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Օրինակ թիվ 2. Մեկ կրակոցի մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը առաջին կրակողի համար 0,8 է, երկրորդ կրակողի համար՝ 0,85։ Կրակողները մեկ կրակոց են արձակել թիրախի ուղղությամբ։ Նպատակին հարվածելը դիտարկելով որպես առանձին հրաձիգների համար անկախ իրադարձություն, գտեք A իրադարձության հավանականությունը՝ ուղիղ մեկ հարված թիրախին:
Լուծում.
Դիտարկենք իրադարձություն A - մեկ հարված թիրախին: Հնարավոր տարբերակներԱյս իրադարձության առաջացումը հետևյալն է.
- Առաջինը հարվածեց, երկրորդը վրիպեց՝ P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Առաջին կրակողը վրիպեց, երկրորդը դիպավ նշանակետին՝ P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- Առաջին և երկրորդ նետերը միմյանցից անկախ դիպչում են թիրախին՝ P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Պատահական փոփոխական փոփոխական է, որը կարող է ընդունել որոշակի արժեքներ՝ կախված տարբեր հանգամանքներից, և իր հերթին՝ պատահական արժեքկանչեց դիսկրետ , եթե նրա արժեքների բազմությունը վերջավոր է կամ հաշվելի։
Բացի դիսկրետ պատահական փոփոխականներից, կան նաև շարունակական պատահական փոփոխականներ։
Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք պատահական փոփոխականի հայեցակարգը: Գործնականում հաճախ լինում են մեծություններ, որոնք կարող են որոշակի արժեքներ ստանալ, սակայն հնարավոր չէ վստահորեն կանխատեսել, թե դրանցից յուրաքանչյուրը ինչ արժեք կընդունի դիտարկվող փորձի, երևույթի կամ դիտարկման մեջ: Օրինակ, տղաների թիվը, ովքեր հաջորդ օրը ծնվելու են Մոսկվայում, կարող են տարբեր լինել։ Այն կարող է հավասար լինել զրոյի (ոչ մի տղա չի ծնվի. բոլոր աղջիկները կծնվեն կամ ընդհանրապես նորածիններ չեն լինի), մեկ, երկու և այլն մինչև որոշակի վերջավոր թիվ։ n. Այդպիսի արժեքները ներառում են՝ տեղում շաքարի ճակնդեղի արմատների զանգվածը, հրետանային արկի թռիչքի տիրույթը, խմբաքանակում թերի մասերի քանակը և այլն: Նման քանակությունները մենք կանվանենք պատահական։ Նրանք բնութագրում են ամեն ինչ հնարավոր արդյունքներըփորձը կամ դիտարկումը քանակական կողմից։
Դիսկրետ պատահական փոփոխականների օրինակներ վերջավոր թվով արժեքներով կարող է լինել օրվա ընթացքում ծնված երեխաների թիվը տեղանք, ավտոբուսի ուղեւորների թիվը, Մոսկվայի մետրոյով օրական տեղափոխվող ուղեւորների թիվը եւ այլն։
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի արժեքների թիվը կարող է լինել անսահման, բայց հաշվելի բազմություն: Բայց ամեն դեպքում, դրանք կարող են համարակալվել ինչ-որ հերթականությամբ, կամ, ավելի ճիշտ, կարելի է մեկ առ մեկ համապատասխանություն հաստատել պատահական փոփոխականի և արժեքների միջև։ բնական թվեր 1, 2, 3, ..., n.
Ուշադրություն. հավանականության տեսության նոր, շատ կարևոր հայեցակարգ. բաշխման օրենքը
. Թող Xկարող է ընդունել nարժեքներ: Ենթադրենք, որ դրանք բոլորը տարբեր են (հակառակ դեպքում նույնը պետք է համադրել) և դասավորված են աճման կարգով։ Համար ամբողջական բնութագրերըդիսկրետ պատահական փոփոխական պետք է նշվեն ոչ միայն դրա բոլոր արժեքները, այլև հավանականությունները
, որի հետ պատահական փոփոխականը վերցնում է արժեքներից յուրաքանչյուրը, այսինքն. 
.
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը ցանկացած կանոն (ֆունկցիա, աղյուսակ) կոչվում է էջ(x), որը թույլ է տալիս գտնել պատահական փոփոխականի հետ կապված բոլոր տեսակի իրադարձությունների հավանականությունները (օրինակ՝ հավանականությունը, որ այն ինչ-որ արժեքի օրինակ է կամ ընկնում է ինչ-որ միջակայքի մեջ):
Առավել պարզ և հարմար է դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը սահմանել հետևյալ աղյուսակի տեսքով.
| Իմաստը | ... | |||
| Հավանականություն | ... |
Այս աղյուսակը կոչվում է դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման մոտ. Բաշխման շարքի վերին տողում նշված են բոլորը աճման կարգով հնարավոր արժեքներդիսկրետ պատահական փոփոխական (x), իսկ ստորին մասում՝ այս արժեքների հավանականությունը ( էջ).
Իրադարձություններ 
անհամատեղելի են և միակ հնարավորները՝ ձևավորում են իրադարձությունների ամբողջական համակարգ։ Հետևաբար, դրանց հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.
.
Օրինակ 1.Ուսանողական խմբում վիճակահանություն է կազմակերպվել. 1000 RUB արժողությամբ երկու ապրանք կա առքուվաճառքի համար: իսկ մեկը՝ 3000 ռուբլի: Կազմեք բաշխման օրենք 100 ռուբլով մեկ տոմս գնած ուսանողի համար զուտ շահումների չափի համար: Ընդհանուր առմամբ վաճառվել է 50 տոմս։
Լուծում. Մեզ հետաքրքրող պատահական փոփոխականն է Xկարող է վերցնել երեք արժեք՝ - 100 ռուբ. (եթե ուսանողը չի հաղթում, բայց իրականում կորցնում է տոմսի համար վճարված 100 ռուբլի), 900 ռուբլի: և 2900 ռուբ. (փաստացի շահումները կրճատվում են 100 ռուբլով` տոմսի արժեքով): Առաջին արդյունքը ձեռնտու է 50-ից 47 անգամ, երկրորդը՝ 2, իսկ երրորդը՝ մեկ։ Այսպիսով, դրանց հավանականությունը հետևյալն է. Պ(X=-100)=47/50=0,94 , Պ(X=900)=2/50=0,04 , Պ(X=2900)=1/50=0,02 .
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը Xնման է
| Շահող գումար | -100 | 900 | 2900 |
| Հավանականություն | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա՝ կառուցում
Բաշխման շարքը կարող է կառուցվել միայն դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար (ոչ դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար այն չի կարող կառուցվել, եթե միայն այն պատճառով, որ նման պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների բազմությունը անհաշվելի է, դրանք չեն կարող թվարկվել վերևում։ սեղանի շարքը):
Մեծ մասը ընդհանուր ձևբաշխման օրենքը, որը հարմար է բոլոր պատահական փոփոխականների համար (ինչպես դիսկրետ, այնպես էլ ոչ դիսկրետ), բաշխման ֆունկցիան է:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիակամ ինտեգրալ ֆունկցիակոչվում է ֆունկցիա 
, որը որոշում է պատահական փոփոխականի արժեքը Xսահմանային արժեքից փոքր կամ հավասար X.
Ցանկացած դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան անդադար քայլային ֆունկցիա է, որի թռիչքները տեղի են ունենում պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքներին համապատասխանող կետերում և հավասար են այդ արժեքների հավանականությանը:
Օրինակ 2.Դիսկրետ պատահական փոփոխական X- մեռել նետելիս ստացված միավորների քանակը. Հաշվեք դրա բաշխման գործառույթը:
Լուծում. Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման շարք Xունի ձև.
| Իմաստը | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Հավանականություն | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Բաշխման գործառույթ Ֆ(x) ունի 6 ցատկ, որը հավասար է 1/6-ի մեծությամբ (ներքևի նկարում):
Օրինակ 3.Կաթսայի մեջ կա 6 սպիտակ և 4 սև գնդակ: Կաթսայից 3 գնդակ է քաշվում։ Նկարված գնդակների մեջ սպիտակ գնդիկների թիվը դիսկրետ պատահական փոփոխական է X. Կազմե՛ք դրան համապատասխան բաշխման օրենք։
Xկարող է վերցնել 0, 1, 2, 3 արժեքները: Համապատասխան հավանականությունները կարելի է ամենահեշտ հաշվարկել՝ օգտագործելով հավանականության բազմապատկման կանոն. Մենք ստանում ենք դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման հետևյալ օրենքը.
| Իմաստը | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Հավանականություն | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Օրինակ 4.Կազմեք բաշխման օրենք դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար՝ չորս կրակոցով թիրախին հարվածների քանակը, եթե մեկ կրակոցով հարվածելու հավանականությունը 0,1 է:
Լուծում. Դիսկրետ պատահական փոփոխական Xկարող է վերցնել հինգ տարբեր արժեքներ՝ 1, 2, 3, 4, 5։ Համապատասխան հավանականությունները գտնում ենք՝ օգտագործելով Բեռնուլիի բանաձեւը
. ժամը
n = 4 ,
էջ = 1,1 ,
ք = 1 - էջ = 0,9 ,
մ = 0, 1, 2, 3, 4
մենք ստանում ենք
Հետևաբար, դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը Xնման է
Եթե դիսկրետ պատահական փոփոխականի արժեքների հավանականությունները կարող են որոշվել Բեռնուլիի բանաձևով, ապա պատահական փոփոխականն ունի. երկանդամ բաշխում .
Եթե փորձարկումների թիվը բավականաչափ մեծ է, ապա հավանականությունը, որ այդ փորձարկումներում տեղի կունենա հետաքրքրություն առաջացնող իրադարձությունը, մեծ է մանգամ, ենթարկվում է օրենքին Պուասոնի բաշխում .
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա՝ հաշվարկ
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան հաշվարկելու համար Ֆ(X), պահանջվում է գումարել բոլոր այն արժեքների հավանականությունները, որոնք փոքր են կամ հավասար են սահմանային արժեքին X.
Օրինակ 5.Աղյուսակում ներկայացված է տարվա ընթացքում լուծարված ամուսնությունների թվի կախվածությունը ամուսնության տևողությունից: Գտեք հավանականությունը, որ հաջորդ ամուսնալուծված ամուսնությունը տևեց 5 տարուց պակաս կամ հավասար:
| Ամուսնության տևողությունը (տարիներ) | Թիվ | Հավանականություն | Ֆ(x) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 կամ ավելի | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Ընդամենը | 6010 | 1 |
Լուծում. Հավանականությունները հաշվարկվում են՝ համապատասխան լուծարված ամուսնությունների թիվը բաժանելով 6010 ընդհանուր թվի վրա։ Հավանականությունը, որ հաջորդ լուծարված ամուսնությունը տևել է 5 տարի, 0,056 է։ Հավանականությունը, որ հաջորդ ամուսնալուծված ամուսնության տևողությունը 5 տարուց պակաս կամ հավասար է, 0,186 է։ Մենք ստացանք այն՝ ավելացնելով արժեքը Ֆ(x) 4 տարի ներառյալ ամուսնությունների համար՝ 5 տարի տեւողությամբ ամուսնությունների հավանականությունը.
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքի և մաթեմատիկական ակնկալիքի և դիսպերսիայի միջև կապը
Հաճախ դիսկրետ պատահական փոփոխականի ոչ բոլոր արժեքներն են հայտնի, սակայն հայտնի են շարքից որոշ արժեքներ կամ հավանականություններ, ինչպես նաև. պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք և (կամ) շեղում, որին հատկացված է առանձին դաս։
Եկեք այստեղ ներկայացնենք այս դասի որոշ բանաձևեր, որոնք կարող են օգնել դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կազմելիս և նայենք նման խնդիրների լուծման օրինակներին:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նրա բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների և այս արժեքների հավանականությունների գումարն է.
(1)
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի շեղման բանաձևը ըստ սահմանման հետևյալն է.
Հաճախ հաշվարկների համար առավել հարմար է դիսպերսիայի հետևյալ բանաձևը.
, (2)
Որտեղ 
.
Օրինակ 6.Դիսկրետ պատահական փոփոխական Xկարող է վերցնել միայն երկու արժեք. Հավանականությամբ ավելի փոքր արժեք է վերցնում էջ= 0,6. Գտեք դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը X, եթե հայտնի է, որ դրա մաթեմատիկական ակնկալիքն ու դիսպերսիան են.
Լուծում. Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականն ավելի մեծ արժեք կստանա x2 , հավասար է 1 − 0,6 = 4-ի։ Օգտագործելով մաթեմատիկական ակնկալիքի բանաձևը (1), մենք ստեղծում ենք հավասարում, որում անհայտները մեր դիսկրետ պատահական փոփոխականի արժեքներն են.
Օգտագործելով ցրման բանաձևը (2), մենք ստեղծում ենք մեկ այլ հավասարում, որում անհայտները նաև դիսկրետ պատահական փոփոխականի արժեքներն են.
Ստացված երկու հավասարումների համակարգ
լուծել փոխարինման մեթոդով. Առաջին հավասարումից մենք ստանում ենք
Այս արտահայտությունը փոխարինելով երկրորդ հավասարման մեջ՝ պարզ փոխակերպումներից հետո ստանում ենք քառակուսի հավասարում
,
որն ունի երկու արմատ՝ 7/5 և −1։ Առաջին արմատը չի համապատասխանում խնդրի պայմաններին, քանի որ x2 < x 1 . Այսպիսով, այն արժեքները, որոնք կարող է վերցնել դիսկրետ պատահական փոփոխականը Xմեր օրինակի պայմանների համաձայն՝ հավասար են x1 = −1 Եվ x2 = 2 .
Այս էջում մենք հավաքել ենք ուսումնական լուծումների օրինակներ Դիսկրետ պատահական փոփոխականների հետ կապված խնդիրներ. Սա բավականին ընդարձակ բաժին է. ուսումնասիրվում են բաշխման տարբեր օրենքներ (երկանդամ, երկրաչափական, հիպերերկրաչափական, Poisson և այլն), հատկություններ և թվային բնութագրեր, յուրաքանչյուր բաշխման շարքի համար կարող են կառուցվել գրաֆիկական պատկերներ. հավանականությունների բազմանկյուն (բազմանկյուն), բաշխման ֆունկցիա:
Ստորև դուք կգտնեք դիսկրետ պատահական փոփոխականների վերաբերյալ որոշումների օրինակներ, որոնցում անհրաժեշտ է կիրառել հավանականությունների տեսության նախորդ բաժիններից ստացված գիտելիքները՝ բաշխման օրենքը կազմելու համար, այնուհետև հաշվարկել մաթեմատիկական ակնկալիքը, դիսպերսիան, ստանդարտ շեղումը, կառուցել բաշխման ֆունկցիա, պատասխանել: հարցեր DSV-ի մասին և այլն: Պ.
Հավանականության բաշխման հանրաճանաչ օրենքների օրինակներ.
Հաշվիչներ DSV բնութագրերի համար
- DSV-ի մաթեմատիկական ակնկալիքի, դիսպերսիայի և ստանդարտ շեղման հաշվարկ:
Լուծված խնդիրներ DSV-ի վերաբերյալ
Երկրաչափականին մոտ բաշխումներ
Առաջադրանք 1.Մեքենայի ճանապարհի երկայնքով տեղադրված են 4 լուսացույց, որոնցից յուրաքանչյուրն արգելում է մեքենայի հետագա տեղաշարժը՝ 0,5 հավանականությամբ։ Գտե՛ք մեքենայի կողքով առաջին կանգառից առաջ անցած լուսացույցների քանակի բաշխման շարքը: Որո՞նք են այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքներն ու շեղումները:
Առաջադրանք 2.Որսորդը կրակում է խաղի վրա մինչև առաջին հարվածը, բայց կարողանում է չորս կրակոցից ոչ ավելի: Կազմե՛ք բաց թողած քանակի բաշխման օրենք, եթե մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,7 է: Գտեք այս պատահական փոփոխականի շեղումը:
Առաջադրանք 3.Կրակողը, ունենալով 3 պարկուճ, կրակում է թիրախի վրա մինչև առաջին հարվածը։ Առաջին, երկրորդ և երրորդ կրակոցների հարվածի հավանականությունը համապատասխանաբար 0,6, 0,5, 0,4 է։ Ս.Վ. $\xi$ - մնացած փամփուշտների քանակը: Կազմել պատահական փոփոխականի բաշխման շարք, գտնել մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը, միջինը ստանդարտ շեղում r.v., կառուցել r.v. բաշխման ֆունկցիան, գտնել $P(|\xi-m| \le \sigma$):
Առաջադրանք 4.Տուփը պարունակում է 7 ստանդարտ և 3 թերի մասեր։ Հերթականորեն հանում են մասերը, մինչև հայտնվի ստանդարտը՝ առանց հետ վերադարձնելու։ $\xi$-ը վերցված թերի մասերի թիվն է:
Դիսկրետ պատահական $\xi$ փոփոխականի համար կազմեք բաշխման օրենքը, հաշվարկեք դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը, ստանդարտ շեղումը, գծեք բաշխման բազմանկյուն և բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկ։
Անկախ իրադարձություններով առաջադրանքներ
Առաջադրանք 5.Հավանականությունների տեսություն առարկայից վերաքննության են ներկայացել 3 ուսանող. Հավանականությունը, որ առաջինը կհանձնի քննությունը 0,8 է, երկրորդը՝ 0,7, երրորդը՝ 0,9։ Գտե՛ք քննությունը հանձնած ուսանողների թվի $\xi$ պատահական փոփոխականի բաշխման շարքը, գծե՛ք բաշխման ֆունկցիան, գտե՛ք $M(\xi), D(\xi)$։
Առաջադրանք 6.Մեկ կրակոցով թիրախին խոցելու հավանականությունը 0,8 է, իսկ յուրաքանչյուր կրակոցի դեպքում նվազում է 0,1-ով։ Կազմեք բաշխման օրենք թիրախին երեք կրակոց արձակելու դեպքում հարվածների քանակի համար: Գտեք ակնկալվող արժեքը, շեղումը և S.K.O. այս պատահական փոփոխականը: Գծե՛ք բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը:
Առաջադրանք 7.Թիրախի ուղղությամբ արձակվում է 4 կրակոց. Հարվածի հավանականությունը մեծանում է հետևյալ կերպ՝ 0.2, 0.4, 0.6, 0.7։ Գտեք $X$ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը՝ հարվածների քանակը: Գտեք հավանականությունը, որ $X \ge 1$:
Առաջադրանք 8.Նետվում են երկու սիմետրիկ մետաղադրամներ և հաշվվում են մետաղադրամների երկու վերևի երեսների զինանշանների թիվը։ Մենք դիտարկում ենք դիսկրետ պատահական փոփոխական $X$՝ երկու մետաղադրամների զինանշանների թիվը: Գրե՛ք $X$ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը, գտե՛ք դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը։
DSV-ի բաշխման այլ խնդիրներ և օրենքներ
Առաջադրանք 9.Երկու բասկետբոլիստներ երեք հարված են կատարում զամբյուղի մեջ: Առաջին բասկետբոլիստի համար հարվածելու հավանականությունը 0,6 է, երկրորդինը՝ 0,7։ Թող X$-ը լինի առաջին և երկրորդ բասկետբոլիստների հաջող հարվածների քանակի տարբերությունը: Գտեք $X$ պատահական փոփոխականի բաշխման շարքը, ռեժիմը և բաշխման ֆունկցիան: Կառուցեք բաշխման բազմանկյուն և բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկ: Հաշվարկել ակնկալվող արժեքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը: Գտեք իրադարձության հավանականությունը $(-2 \lt X \le 1)$:
Խնդիր 10.Ոչ ռեզիդենտ նավերի թիվը, որոնք ամեն օր ժամանում են որոշակի նավահանգիստ բեռնելու համար, պատահական $X$ փոփոխական է՝ տրված հետևյալ կերպ.
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
Ա) համոզվեք, որ բաշխման շարքը նշված է,
Բ) գտեք $X$ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան,
Գ) եթե տվյալ օրը ժամանում են ավելի քան երեք նավ, ապա նավահանգիստն իր վրա է վերցնում ծախսերի պատասխանատվությունը՝ լրացուցիչ վարորդներ և բեռնիչներ վարձելու անհրաժեշտության պատճառով: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նավահանգիստը լրացուցիչ ծախսեր կունենա։
Դ) գտեք $X$ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը:
Խնդիր 11.Նետել 4 զառախաղ. Գտե՛ք բոլոր կողմերից երևացող կետերի գումարի մաթեմատիկական ակնկալիքը:
Խնդիր 12.Երկուսն էլ հերթով մետաղադրամ են նետում, մինչև զինանշանը առաջին անգամ հայտնվի: Զինանշանը ստացած խաղացողը մյուս խաղացողից ստանում է 1 ռուբլի: Գտեք յուրաքանչյուր խաղացողի համար հաղթելու մաթեմատիկական ակնկալիքը:
Ինչպես հայտնի է, պատահական փոփոխական կոչվում է փոփոխական մեծություն, որը կարող է վերցնել որոշակի արժեքներ՝ կախված գործից: Պատահական փոփոխականները նշանակում են մեծատառերով Լատինական այբուբեն(X, Y, Z), և դրանց արժեքները նշված են համապատասխան փոքրատառերով (x, y, z): Պատահական փոփոխականները բաժանվում են ընդհատվող (դիսկրետ) և շարունակական։
Դիսկրետ պատահական փոփոխական պատահական փոփոխական է, որը վերցնում է միայն վերջավոր կամ անվերջ (հաշվելի) արժեքների հավաքածու՝ որոշակի ոչ զրոյական հավանականություններով:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը մի ֆունկցիա է, որը կապում է պատահական փոփոխականի արժեքները դրանց համապատասխան հավանականությունների հետ: Բաշխման օրենքը կարող է սահմանվել հետևյալ եղանակներից մեկով.
1 . Բաշխման օրենքը կարող է տրվել աղյուսակով.
որտեղ λ>0, k = 0, 1, 2, ...:
V)օգտագործելով բաշխման ֆունկցիաներ F(x) , որը յուրաքանչյուր x արժեքի համար որոշում է հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականը x-ից փոքր արժեք կընդունի, այսինքն. F(x) = P(X< x).
F(x) ֆունկցիայի հատկությունները
3 . Բաշխման օրենքը կարելի է հստակեցնել գրաֆիկորեն – բաշխման բազմանկյուն (բազմանկյուն) (տես խնդիրը 3):
Նշենք, որ որոշ խնդիրներ լուծելու համար պարտադիր չէ իմանալ բաշխման օրենքը։ Որոշ դեպքերում բավական է իմանալ մեկ կամ մի քանի թվեր, որոնք ամենաշատն են արտացոլում կարևոր հատկանիշներբաշխման օրենքը. Սա կարող է լինել մի թիվ, որն ունի պատահական փոփոխականի «միջին» նշանակություն, կամ ցույց տվող թիվ. միջին չափըպատահական փոփոխականի շեղումը միջին արժեքից: Այս տեսակի թվերը կոչվում են պատահական փոփոխականի թվային բնութագրեր:
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի հիմնական թվային բնութագրերը :
- Մաթեմատիկական ակնկալիք
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի (միջին արժեքը): M(X)=Σ x i p i.
Երկանդամ բաշխման համար M(X)=np, Պուասոնի բաշխման համար M(X)=λ - Ցրվածություն
դիսկրետ պատահական փոփոխական D(X)=M2կամ D(X) = M(X 2)- 2. X–M(X) տարբերությունը կոչվում է պատահական փոփոխականի շեղում նրա մաթեմատիկական ակնկալիքից։
Երկանդամ բաշխման համար D(X)=npq, Պուասոնի բաշխման համար D(X)=λ - Ստանդարտ շեղում (ստանդարտ շեղում) σ(X)=√D(X).
«Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը» թեմայով խնդիրների լուծման օրինակներ
Առաջադրանք 1.
Թողարկվել է վիճակախաղի 1000 տոմս, որոնցից 5-ը կշահեն 500 ռուբլի, 10-ը՝ 100 ռուբլի, 20-ը՝ 50 ռուբլի, 50-ը՝ 10 ռուբլի։ Որոշեք X պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման օրենքը՝ շահումներ մեկ տոմսի համար:
Լուծում. Ըստ խնդրի պայմանների՝ հնարավոր են X պատահական փոփոխականի հետևյալ արժեքները՝ 0, 10, 50, 100 և 500:
Առանց շահելու տոմսերի քանակը 1000 – (5+10+20+50) = 915, ապա P(X=0) = 915/1000 = 0,915:
Նմանապես, մենք գտնում ենք բոլոր մյուս հավանականությունները՝ P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Ստացված օրենքը ներկայացնենք աղյուսակի տեսքով.
Գտնենք X արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Առաջադրանք 3.
Սարքը բաղկացած է երեք անկախ գործող տարրերից. Մեկ փորձի ժամանակ յուրաքանչյուր տարրի ձախողման հավանականությունը 0,1 է: Կազմեք բաշխման օրենք մեկ փորձի ընթացքում ձախողված տարրերի թվի համար, կառուցեք բաշխման բազմանկյուն: Գտե՛ք F(x) բաշխման ֆունկցիան և գծե՛ք այն: Գտեք դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը:
Լուծում. 1. Դիսկրետ պատահական փոփոխական X = (մեկ փորձի մեջ ձախողված տարրերի թիվը) ունի հետևյալ հնարավոր արժեքները՝ x 1 = 0 (սարքի տարրերից ոչ մեկը ձախողվեց), x 2 = 1 (մեկ տարրը ձախողվեց), x 3 = 2 ( երկու տարր ձախողվեց ) և x 4 =3 (երեք տարր ձախողվեց):
Տարրերի խափանումները միմյանցից անկախ են, յուրաքանչյուր տարրի ձախողման հավանականությունը հավասար է, հետևաբար կիրառելի է. Բեռնուլիի բանաձեւը
. Հաշվի առնելով, որ ըստ n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 պայմանի, որոշում ենք արժեքների հավանականությունները.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0.1 * 0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0.1 2 * 0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0.1 3 = 0.001;
Ստուգեք՝ ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1:
Այսպիսով, X-ի ցանկալի երկանդամ բաշխման օրենքը ունի ձև.
Մենք պատկերում ենք x i-ի հնարավոր արժեքները աբսցիսայի առանցքի երկայնքով, իսկ համապատասխան հավանականությունները p i՝ օրդինատների առանցքի երկայնքով: Կառուցենք M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) կետերը: Այս կետերը միացնելով ուղիղ գծերի հատվածներին՝ ստանում ենք ցանկալի բաշխման բազմանկյունը։
3. Գտնենք բաշխման ֆունկցիան F(x) = Р(Х
x ≤ 0-ի համար ունենք F(x) = Р(Х<0) = 0;0-ի համար< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ի համար< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ի համար< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3-ի համար կլինի F(x) = 1, քանի որ իրադարձությունը հուսալի է.
 |
F(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը
4.
X երկանդամ բաշխման համար.
- մաթեմատիկական ակնկալիք M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- շեղում D (X) = npq = 3 * 0.1 * 0.9 = 0.27;
- ստանդարտ շեղում σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52:
Այս էջում մենք հավաքել ենք կրթական խնդիրների լուծման համառոտ տեսություն և օրինակներ, որոնցում դիսկրետ պատահական փոփոխականն արդեն նշված է իր բաշխման շարքով (աղյուսակային ձևով) և պահանջվում է ուսումնասիրել այն՝ գտնել թվային բնութագրեր, կառուցել գրաֆիկներ և այլն։ Բաշխման հայտնի տեսակների օրինակները կարելի է գտնել հետևյալ հղումներով.
Համառոտ տեսություն DSV-ի մասին
Դիսկրետ պատահական փոփոխականը նշվում է իր բաշխման շարքով՝ $x_i$ արժեքների ցանկ, որը կարող է վերցնել և համապատասխան հավանականություններ $p_i=P(X=x_i)$: Պատահական փոփոխականի արժեքների թիվը կարող է լինել վերջավոր կամ հաշվելի: Որոշակիության համար մենք կդիտարկենք $i=\overline(1,n)$ դեպքը: Այնուհետև դիսկրետ պատահական փոփոխականի աղյուսակային ներկայացումն ունի հետևյալ ձևը.
$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(զանգված) $ $
Այս դեպքում նորմալացման պայմանը բավարարված է՝ բոլոր հավանականությունների գումարը պետք է հավասար լինի մեկի
$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$
Գրաֆիկորեն, բաշխման շարքը կարող է ներկայացվել բաշխման բազմանկյուն(կամ բաշխման բազմանկյուն). Դա անելու համար հարթության վրա գծագրվում են $(x_i,p_i)$ կոորդինատներով կետերը և հերթականությամբ միացված են կտրված գծով։ Դուք կգտնեք մանրամասն օրինակներ:
DSV-ի թվային բնութագրերը
Ակնկալվող արժեքը.
$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
Ցրվածություն:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
Ստանդարտ շեղում.
$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$
Տատանումների գործակիցը.
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$:
Ռեժիմ՝ արժեքը $Mo=x_k$ ամենամեծ հավանականությամբ $p_k=\max_i(p_i)$:
Դուք կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչներ՝ DSV-ի ակնկալվող արժեքը, շեղումը և ստանդարտ շեղումը հաշվարկելու համար:
DSV բաշխման գործառույթ
Բաշխման շարքից կարելի է կազմել բաշխման գործառույթդիսկրետ պատահական փոփոխական $F(x)=P(X\lt x)$: Այս ֆունկցիան սահմանում է հավանականությունը, որ $X$ պատահական փոփոխականը որոշակի $x$ թվից փոքր արժեք կստանա: Ստորև բերված օրինակներում դուք կգտնեք շինարարության օրինակներ՝ մանրամասն հաշվարկներով և գրաֆիկներով:
Լուծված խնդիրների օրինակներ
Առաջադրանք 1.Դիսկրետ պատահական փոփոխականը նշվում է բաշխման շարքով.
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Կառուցեք բաշխման բազմանկյուն և բաշխման ֆունկցիա $F(x)$: Հաշվեք՝ $M[X], D[X], \sigma[X]$, ինչպես նաև փոփոխության գործակիցը, թեքությունը, կտրվածքը, ռեժիմը և միջինը։
Առաջադրանք 2.Տրված է դիսկրետ պատահական X փոփոխականի բաշխման օրենքը: Պահանջվում է.
ա) որոշել X պատահական փոփոխականի M(x) մաթեմատիկական ակնկալիքը, D(x) շեղումը և ստանդարտ շեղումը (x). բ) կառուցեք այս բաշխման գրաֆիկը:
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02
Առաջադրանք 3.Տրված բաշխման շարքով X պատահական փոփոխականի համար
-1 0 1 8
0.2 0.1 $р_1$ $р_2$
Ա) գտեք $p_1$ և $p_2$, որպեսզի $M(X)=0.5$
Բ) դրանից հետո հաշվարկեք $X$ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը և գծեք դրա բաշխման ֆունկցիան
Առաջադրանք 4.Դիսկրետ SV $X$-ը կարող է ընդունել միայն երկու արժեք՝ $x_1$ և $x_2$, և $x_1 \lt x_2$: Հայտնի են հնարավոր արժեքի $P$ հավանականությունը, $M(x)$ մաթեմատիկական ակնկալիքը և $D(x)$ շեղումը։ Գտեք՝ 1) Այս պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը. 2) SV բաշխման ֆունկցիա $X$; 3) Կառուցեք $F(x)$-ի գրաֆիկ:
$P=0.3; M(x)=6.6; D(x)=13.44.$
Առաջադրանք 5.Պատահական X փոփոխականը վերցնում է երեք արժեք՝ 2, 4 և 6: Գտեք այս արժեքների հավանականությունները, եթե $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$:
Առաջադրանք 6.Տրված է դիսկրետ ռ.վ.-ի բաշխման շարք: $ X $. Գտե՛ք ռ.վ.-ի դիրքի և ցրվածության թվային բնութագրերը. $ X $. Գտեք m.o. եւ դիսպերսիա ռ.վ. $Y=X/2-2$, առանց գրելու r.v. բաշխման շարքը: $Y$, ստուգեք արդյունքը՝ օգտագործելով գեներացնող ֆունկցիան:
Կառուցեք r.v. բաշխման գործառույթը: $ X $.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦
Առաջադրանք 7.$X$ դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխումը տրված է հետևյալ աղյուսակով (բաշխման տող).
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Որոշեք բաշխման աղյուսակում բացակայող արժեքը: Հաշվեք բաշխման հիմնական թվային բնութագրերը՝ $M_x, D_x, \sigma_x$։ Գտնել և կառուցել $F(x)$ բաշխման ֆունկցիան։ Որոշեք հավանականությունը, որ $X$ պատահական փոփոխականը կստանա հետևյալ արժեքները.
Ա) ավելի քան 6,
բ) 12-ից պակաս,
գ) ոչ ավելի, քան 9.
Առաջադրանք 8.Խնդիրը պահանջում է գտնել՝ ա) մաթեմատիկական ակնկալիք; բ) դիսպերսիա; գ) X դիսկրետ պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը` համաձայն դրա բաշխման տվյալ օրենքի` տրված աղյուսակում (աղյուսակի առաջին տողը ցույց է տալիս հնարավոր արժեքները, երկրորդ շարքը` հնարավոր արժեքների հավանականությունները):
Առաջադրանք 9.Տրված է $X$ դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը (առաջին տողը ցույց է տալիս $x_i$-ի հնարավոր արժեքները, երկրորդ տողը ցույց է տալիս $p_i$-ի հնարավոր արժեքների հավանականությունները):
Գտնել.
Ա) մաթեմատիկական ակնկալիք $M(X)$, շեղում $D(X)$ և ստանդարտ շեղում $\sigma(X)$;
Բ) կազմել $F(x)$ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան և կառուցել դրա գրաֆիկը.
Գ) հաշվարկել $X$ պատահական փոփոխականի՝ $x_2 \lt X \lt x_4$ միջակայքում ընկնելու հավանականությունը՝ օգտագործելով կազմված բաշխման $F(x)$ ֆունկցիան;
Դ) կազմել բաշխման օրենք $Y=100-2X$ արժեքի համար;
Դ) հաշվարկեք կազմված $Y$ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը երկու եղանակով, այսինքն. օգտվել առավելությունից
մաթեմատիկական ակնկալիքի և ցրման հատկություն, ինչպես նաև անմիջապես $Y$ պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքի համաձայն։
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Խնդիր 10.Դիսկրետ պատահական փոփոխական տրվում է աղյուսակին: Հաշվեք դրա սկզբնական և կենտրոնական պահերը մինչև 4-րդ կարգը ներառյալ: Գտեք իրադարձությունների հավանականությունները $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
