Sin cos ֆունկցիաների գրաֆիկները: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Այս դասում մենք կանդրադառնանք հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները, և նաև ցուցակ եռանկյունաչափական հավասարումների և համակարգերի հիմնական տեսակները. Բացի այդ, մենք նշում ենք պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումները և դրանց հատուկ դեպքերը.

Այս դասը կօգնի ձեզ նախապատրաստվել առաջադրանքների տեսակներից մեկին B5 և C1.

Մաթեմատիկայի պետական ​​միասնական քննության նախապատրաստում

Փորձարկում

Դաս 10. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Եռանկյունաչափական հավասարումներ և դրանց համակարգեր.

Տեսություն

Դասի ամփոփում

Մենք արդեն բազմիցս օգտագործել ենք «եռանկյունաչափական ֆունկցիա» տերմինը։ Դեռ այս թեմայի առաջին դասում մենք դրանք սահմանեցինք՝ օգտագործելով ուղղանկյուն եռանկյունը և միավոր եռանկյունաչափական շրջանագիծը: Օգտագործելով այս մեթոդները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, արդեն կարող ենք եզրակացնել, որ նրանց համար արգումենտի (կամ անկյունի) մեկ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ճիշտ մեկ արժեքին, այսինքն. մենք իրավունք ունենք անվանել սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս ֆունկցիաներ։

Այս դասում ժամանակն է փորձել վերացական լինել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների հաշվարկման նախկինում քննարկված մեթոդներից: Այսօր մենք կանցնենք ֆունկցիաների հետ աշխատելու սովորական հանրահաշվական մոտեցմանը, կդիտարկենք դրանց հատկությունները և կպատկերենք գրաֆիկները։

Ինչ վերաբերում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկություններին, ապա Հատուկ ուշադրությունպետք է նշել.

Սահմանման տիրույթը և արժեքների տիրույթը, քանի որ սինուսի և կոսինուսի համար կան սահմանափակումներ արժեքների միջակայքի վրա, իսկ տանգենսի և կոտանգենսի համար կան սահմանափակումներ սահմանման տիրույթի վրա.

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականությունը, քանի որ Մենք արդեն նշել ենք ամենափոքր ոչ զրոյական արգումենտի առկայությունը, որի գումարումը չի փոխում ֆունկցիայի արժեքը։ Այս արգումենտը կոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան և նշվում է տառով: Սինուսի/կոսինուսի և տանգենսի/կոտանգենսի համար այս ժամանակաշրջանները տարբեր են:

Դիտարկենք գործառույթը.

1) սահմանման շրջանակը.

2) արժեքի միջակայք ;

3) Ֆունկցիան կենտ է ;

Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այս դեպքում հարմար է շինարարությունը սկսել տարածքի պատկերով, որը սահմանափակում է գրաֆիկը վերևից 1-ով, իսկ ներքևից՝ թվով, որը կապված է ֆունկցիայի արժեքների միջակայքի հետ: Բացի այդ, շինարարության համար օգտակար է հիշել մի քանի հիմնական աղյուսակի անկյունների սինուսների արժեքները, օրինակ, որ դա թույլ կտա կառուցել գրաֆիկի առաջին ամբողջական «ալիքը», այնուհետև այն վերագծել դեպի աջ և հեռացել է՝ օգտվելով այն հանգամանքից, որ նկարը կրկնվելու է կետով օֆսեթով, այսինքն. վրա .

Հիմա եկեք նայենք գործառույթին.

Այս ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

1) սահմանման շրջանակը.

2) արժեքի միջակայք ;

3) հավասարաչափ գործառույթ Սա ենթադրում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է օրդինատի նկատմամբ.

4) Ֆունկցիան միապաղաղ չէ իր սահմանման ողջ տիրույթում.

Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Ինչպես սինուս կառուցելիս, հարմար է սկսել այն տարածքի պատկերից, որը վերևում սահմանափակում է գծապատկերը 1-ով, իսկ ներքևում՝ թվով, որը կապված է ֆունկցիայի արժեքների տիրույթի հետ: Մենք նաև գծագրելու ենք մի քանի կետերի կոորդինատները գրաֆիկի վրա, որի համար պետք է հիշել մի քանի հիմնական աղյուսակի անկյունների կոսինուսների արժեքները, օրինակ, որ այդ կետերի օգնությամբ մենք կարող ենք կառուցել առաջին ամբողջական «ալիքը»: » գրաֆիկի վրա և այնուհետև այն նորից գծեք աջ և ձախ՝ օգտվելով այն հանգամանքից, որ նկարը կրկնվելու է կետի հերթափոխով, այսինքն. վրա .

Անցնենք ֆունկցիային.

Այս ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

1) Դոմեն, բացառությամբ, որտեղ . Նախորդ դասերին մենք արդեն նշել ենք, որ այն գոյություն չունի: Այս պնդումը կարելի է ընդհանրացնել՝ հաշվի առնելով շոշափող պարբերությունը.

2) Արժեքների տիրույթ, այսինքն. շոշափող արժեքները սահմանափակված չեն.

3) Ֆունկցիան կենտ է ;

4) Ֆունկցիան միապաղաղորեն մեծանում է իր այսպես կոչված շոշափող ճյուղերում, որը մենք հիմա կտեսնենք նկարում.

5) Ֆունկցիան պարբերական է` կետով

Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այս դեպքում հարմար է սկսել շինարարությունը՝ պատկերելով գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտները այն կետերում, որոնք ներառված չեն սահմանման տիրույթում, այսինքն. և այլն: Հաջորդը, մենք պատկերում ենք շոշափողի ճյուղերը ասիմպտոտներով ձևավորված յուրաքանչյուր ժապավենի ներսում՝ սեղմելով դրանք ձախ ասիմպտոտին և աջին: Միևնույն ժամանակ, մի մոռացեք, որ յուրաքանչյուր ճյուղ միապաղաղ աճում է: Մենք բոլոր ճյուղերը պատկերում ենք նույն կերպ, քանի որ ֆունկցիան ունի ժամանակաշրջան, որը հավասար է . Դա երևում է նրանից, որ յուրաքանչյուր ճյուղ ստացվում է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով հարևանին տեղափոխելով։

Եվ մենք ավարտում ենք գործառույթին նայելով.

Այս ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

1) Դոմեն, բացառությամբ, որտեղ . Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակից մենք արդեն գիտենք, որ այն գոյություն չունի: Այս պնդումը կարելի է ընդհանրացնել՝ հաշվի առնելով կոտանգենսային շրջանը.

2) Արժեքների տիրույթ, այսինքն. Կոտանգենտային արժեքները սահմանափակված չեն.

3) Ֆունկցիան կենտ է ;

4) ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է իր ճյուղերի ներսում, որոնք նման են շոշափող ճյուղերին.

5) Ֆունկցիան պարբերական է` կետով

Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այս դեպքում, ինչ վերաբերում է շոշափողին, հարմար է շինարարությունը սկսել՝ գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտները պատկերելով այն կետերում, որոնք ներառված չեն սահմանման տարածքում, այսինքն. և այլն: Այնուհետև մենք պատկերում ենք կոտանգենսի ճյուղերը ասիմպտոտների կողմից ձևավորված յուրաքանչյուր շերտի ներսում՝ սեղմելով դրանք ձախ ասիմպտոտին և աջին: Այս դեպքում հաշվի ենք առնում, որ յուրաքանչյուր ճյուղ միապաղաղ նվազում է։ Մենք բոլոր ճյուղերը պատկերում ենք շոշափողին նույն կերպ, քանի որ ֆունկցիան ունի ժամանակաշրջան, որը հավասար է .

Առանձին-առանձին պետք է նշել, որ բարդ արգումենտներով եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են ունենալ ոչ ստանդարտ ժամկետ։ Մենք խոսում ենք ձևի գործառույթների մասին.

Նրանց շրջանը հավասար է։ Իսկ գործառույթների մասին.

Նրանց շրջանը հավասար է։

Ինչպես տեսնում եք, նոր ժամանակաշրջան հաշվարկելու համար ստանդարտ ժամկետը պարզապես բաժանվում է փաստարկի գործակցի վրա: Այն կախված չէ ֆունկցիայի այլ փոփոխություններից:

Դուք կարող եք ավելի մանրամասն հասկանալ և հասկանալ, թե որտեղից են գալիս այս բանաձևերը ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցման և փոխակերպման դասում:

Հասանք «Եռանկյունաչափություն» թեմայի ամենակարևոր մասերից մեկին, որը կնվիրենք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը։ Նման հավասարումներ լուծելու ունակությունը կարևոր է, օրինակ, ֆիզիկայում տատանողական գործընթացները նկարագրելիս։ Եկեք պատկերացնենք, որ դուք սպորտային մեքենայով մի քանի պտույտ եք վարել գո-քարտով, եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելը կօգնի ձեզ որոշել, թե որքան ժամանակ եք եղել մրցավազքում՝ կախված մեքենայի դիրքից ուղու վրա:

Գրենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Նման հավասարման լուծումը այն փաստարկներն են, որոնց սինուսը հավասար է . Բայց մենք արդեն գիտենք, որ սինուսի պարբերականության պատճառով անսահման թվով նման փաստարկներ կան։ Այսպիսով, այս հավասարման լուծումը կլինի և այլն: Նույնը վերաբերում է ցանկացած այլ պարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը, դրանք կլինեն անսահման թվով:

Եռանկյունաչափական հավասարումները բաժանվում են մի քանի հիմնական տեսակների. Առանձին-առանձին պետք է կանգ առնել ամենապարզների վրա, քանի որ մնացած ամեն ինչ իրենց է հասնում: Կան չորս նման հավասարումներ (ըստ հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների թվի). Նրանց համար հայտնի են ընդհանուր լուծումներ, դրանք պետք է հիշել։

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները և դրանց ընդհանուր լուծումներընայեք այսպես.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ սինուսի և կոսինուսի արժեքները պետք է հաշվի առնեն մեզ հայտնի սահմանափակումները: Եթե, օրինակ, ապա հավասարումը լուծումներ չունի, և նշված բանաձևը չպետք է կիրառվի։

Բացի այդ, նշված արմատային բանաձևերը պարունակում են պարամետր կամայական ամբողջ թվի տեսքով: IN դպրոցական ծրագիրՍա միակ դեպքն է, երբ առանց պարամետրի հավասարման լուծումը պարամետր է պարունակում։ Այս կամայական ամբողջ թիվը ցույց է տալիս, որ հնարավոր է գրել վերը նշված հավասարումներից որևէ մեկի անվերջ թվով արմատներ՝ պարզապես հերթով փոխարինելով բոլոր ամբողջ թվերը։

Այս բանաձեւերի մանրամասն ածանցմանը կարող եք ծանոթանալ 10-րդ դասարանի հանրահաշիվ ծրագրի «Եռանկյունաչափական հավասարումներ» գլուխը կրկնելով։

Առանձին-առանձին պետք է ուշադրություն դարձնել ամենապարզ հավասարումների հատուկ դեպքերի լուծմանը սինուսով և կոսինուսով։ Այս հավասարումները նման են.

Բանաձևեր գտնելը չպետք է կիրառվի նրանց նկատմամբ ընդհանուր լուծումներ. Նման հավասարումները առավել հարմար լուծվում են եռանկյունաչափական շրջանակի միջոցով, որն ավելի պարզ արդյունք է տալիս, քան ընդհանուր լուծման բանաձևերը։

Օրինակ, հավասարման լուծումն է . Փորձեք ինքներդ ստանալ այս պատասխանը և լուծեք նշված մնացած հավասարումները:

Բացի նշված եռանկյունաչափական հավասարումների ամենատարածված տեսակից, կան ևս մի քանի ստանդարտ: Մենք թվարկում ենք դրանք՝ հաշվի առնելով դրանք, որոնք մենք արդեն նշել ենք.

1) Նախակենդանիներ, Օրինակ, ;

2) Ամենապարզ հավասարումների հատուկ դեպքեր, Օրինակ, ;

3) Հավասարումներ բարդ փաստարկով, Օրինակ, ;

4) Հավասարումները հասցվել են իրենց ամենապարզին` հանելով ընդհանուր գործակիցը, Օրինակ, ;

5) Հավասարումները հասցվել են իրենց ամենապարզին եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխակերպմամբ, Օրինակ, ;

6) Փոխարինման միջոցով հավասարումները հասցվել են իրենց ամենապարզին, Օրինակ, ;

7) Միատարր հավասարումներ , Օրինակ, ;

8) Հավասարումներ, որոնք կարելի է լուծել՝ օգտագործելով ֆունկցիաների հատկությունները, Օրինակ, . Մի անհանգստացեք այն փաստից, որ այս հավասարման մեջ կա երկու փոփոխական՝ այն ինքն իրեն լուծում է.

Ինչպես նաև հավասարումներ, որոնք կարելի է լուծել օգտագործելով տարբեր մեթոդներ.

Բացի եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելուց, դուք պետք է կարողանաք լուծել դրանց համակարգերը:

Համակարգերի ամենատարածված տեսակներն են.

1) Որում հավասարումներից մեկը հզորությունն է, Օրինակ, ;

2) Պարզ եռանկյունաչափական հավասարումների համակարգեր, Օրինակ, .

Այսօրվա դասին մենք դիտեցինք հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները: Մենք էլ հանդիպեցինք ընդհանուր բանաձևերպարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները, ցույց են տվել նման հավասարումների հիմնական տեսակները և դրանց համակարգերը:

Դասի գործնական մասում կուսումնասիրենք եռանկյունաչափական հավասարումների և դրանց համակարգերի լուծման մեթոդները։

Տուփ 1.Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների հատուկ դեպքերի լուծում.

Ինչպես արդեն ասացինք դասի հիմնական մասում, ձևի սինուսով և կոսինուսով եռանկյունաչափական հավասարումների հատուկ դեպքեր.

ավելի շատ ունենալ պարզ լուծումներ, ինչ են տալիս ընդհանուր լուծումների բանաձեւերը։

Դրա համար օգտագործվում է եռանկյունաչափական շրջան: Եկեք վերլուծենք դրանց լուծման մեթոդը՝ օգտագործելով հավասարման օրինակը:

Եկեք եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա պատկերենք այն կետը, որտեղ կոսինուսի արժեքը զրո է, որը նաև կոորդինատ է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով: Ինչպես տեսնում եք, այդպիսի երկու կետ կա. Մեր խնդիրն է նշել, թե ինչի է հավասար այն անկյունը, որը համապատասխանում է շրջանագծի այս կետերին:

Մենք սկսում ենք հաշվել աբսցիսային առանցքի (կոսինուսի առանցքի) դրական ուղղությամբ և անկյունը դնելիս հասնում ենք առաջին պատկերված կետին, այսինքն. լուծումներից մեկը կլինի այս անկյան արժեքը: Բայց մեզ դեռ բավարարում է այն անկյունը, որը համապատասխանում է երկրորդ կետին։ Ինչպե՞ս մտնել դրա մեջ:

Այս դասում մենք կանդրադառնանք հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները, և նաև ցուցակ եռանկյունաչափական հավասարումների և համակարգերի հիմնական տեսակները. Բացի այդ, մենք նշում ենք պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների ընդհանուր լուծումները և դրանց հատուկ դեպքերը.

Այս դասը կօգնի ձեզ նախապատրաստվել առաջադրանքների տեսակներից մեկին B5 և C1.

Մաթեմատիկայի պետական ​​միասնական քննության նախապատրաստում

Փորձարկում

Դաս 10. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Եռանկյունաչափական հավասարումներ և դրանց համակարգեր.

Տեսություն

Դասի ամփոփում

Մենք արդեն բազմիցս օգտագործել ենք «եռանկյունաչափական ֆունկցիա» տերմինը։ Դեռ այս թեմայի առաջին դասում մենք դրանք սահմանեցինք՝ օգտագործելով ուղղանկյուն եռանկյունը և միավոր եռանկյունաչափական շրջանագիծը: Օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ճշտելու այս մեթոդները, մենք արդեն կարող ենք եզրակացնել, որ նրանց համար փաստարկի (կամ անկյունի) մեկ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի հենց մեկ արժեքին, այսինքն. մենք իրավունք ունենք անվանել սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս ֆունկցիաներ։

Այս դասում ժամանակն է փորձել վերացական լինել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների հաշվարկման նախկինում քննարկված մեթոդներից: Այսօր մենք կանցնենք ֆունկցիաների հետ աշխատելու սովորական հանրահաշվական մոտեցմանը, կդիտարկենք դրանց հատկությունները և կպատկերենք գրաֆիկները։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների վերաբերյալ հատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել.

Սահմանման տիրույթը և արժեքների տիրույթը, քանի որ սինուսի և կոսինուսի համար կան սահմանափակումներ արժեքների միջակայքի վրա, իսկ տանգենսի և կոտանգենսի համար կան սահմանափակումներ սահմանման տիրույթի վրա.

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականությունը, քանի որ Մենք արդեն նշել ենք ամենափոքր ոչ զրոյական արգումենտի առկայությունը, որի գումարումը չի փոխում ֆունկցիայի արժեքը։ Այս արգումենտը կոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան և նշվում է տառով: Սինուսի/կոսինուսի և տանգենսի/կոտանգենսի համար այս ժամանակաշրջանները տարբեր են:

Դիտարկենք գործառույթը.

1) սահմանման շրջանակը.

2) արժեքի միջակայք ;

3) Ֆունկցիան կենտ է ;

Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այս դեպքում հարմար է շինարարությունը սկսել տարածքի պատկերով, որը սահմանափակում է գրաֆիկը վերևից 1-ով, իսկ ներքևից՝ թվով, որը կապված է ֆունկցիայի արժեքների միջակայքի հետ: Բացի այդ, շինարարության համար օգտակար է հիշել մի քանի հիմնական աղյուսակի անկյունների սինուսների արժեքները, օրինակ, որ դա թույլ կտա կառուցել գրաֆիկի առաջին ամբողջական «ալիքը», այնուհետև այն վերագծել դեպի աջ և հեռացել է՝ օգտվելով այն հանգամանքից, որ նկարը կրկնվելու է կետով օֆսեթով, այսինքն. վրա .

Հիմա եկեք նայենք գործառույթին.

Այս ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

1) սահմանման շրջանակը.

2) արժեքի միջակայք ;

3) հավասարաչափ գործառույթ Սա ենթադրում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է օրդինատի նկատմամբ.

4) Ֆունկցիան միապաղաղ չէ իր սահմանման ողջ տիրույթում.

Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Ինչպես սինուս կառուցելիս, հարմար է սկսել այն տարածքի պատկերից, որը վերևում սահմանափակում է գծապատկերը 1-ով, իսկ ներքևում՝ թվով, որը կապված է ֆունկցիայի արժեքների տիրույթի հետ: Մենք նաև գծագրելու ենք մի քանի կետերի կոորդինատները գրաֆիկի վրա, որի համար պետք է հիշել մի քանի հիմնական աղյուսակի անկյունների կոսինուսների արժեքները, օրինակ, որ այդ կետերի օգնությամբ մենք կարող ենք կառուցել առաջին ամբողջական «ալիքը»: » գրաֆիկի վրա և այնուհետև այն նորից գծեք աջ և ձախ՝ օգտվելով այն հանգամանքից, որ նկարը կրկնվելու է կետի հերթափոխով, այսինքն. վրա .

Անցնենք ֆունկցիային.

Այս ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

1) Դոմեն, բացառությամբ, որտեղ . Նախորդ դասերին մենք արդեն նշել ենք, որ այն գոյություն չունի: Այս պնդումը կարելի է ընդհանրացնել՝ հաշվի առնելով շոշափող պարբերությունը.

2) Արժեքների տիրույթ, այսինքն. շոշափող արժեքները սահմանափակված չեն.

3) Ֆունկցիան կենտ է ;

4) Ֆունկցիան միապաղաղորեն մեծանում է իր այսպես կոչված շոշափող ճյուղերում, որը մենք հիմա կտեսնենք նկարում.

5) Ֆունկցիան պարբերական է` կետով

Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այս դեպքում հարմար է սկսել շինարարությունը՝ պատկերելով գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտները այն կետերում, որոնք ներառված չեն սահմանման տիրույթում, այսինքն. և այլն: Հաջորդը, մենք պատկերում ենք շոշափողի ճյուղերը ասիմպտոտներով ձևավորված յուրաքանչյուր ժապավենի ներսում՝ սեղմելով դրանք ձախ ասիմպտոտին և աջին: Միևնույն ժամանակ, մի մոռացեք, որ յուրաքանչյուր ճյուղ միապաղաղ աճում է: Մենք բոլոր ճյուղերը պատկերում ենք նույն կերպ, քանի որ ֆունկցիան ունի ժամանակաշրջան, որը հավասար է . Դա երևում է նրանից, որ յուրաքանչյուր ճյուղ ստացվում է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով հարևանին տեղափոխելով։

Եվ մենք ավարտում ենք գործառույթին նայելով.

Այս ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

1) Դոմեն, բացառությամբ, որտեղ . Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակից մենք արդեն գիտենք, որ այն գոյություն չունի: Այս պնդումը կարելի է ընդհանրացնել՝ հաշվի առնելով կոտանգենսային շրջանը.

2) Արժեքների տիրույթ, այսինքն. Կոտանգենտային արժեքները սահմանափակված չեն.

3) Ֆունկցիան կենտ է ;

4) ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է իր ճյուղերի ներսում, որոնք նման են շոշափող ճյուղերին.

5) Ֆունկցիան պարբերական է` կետով

Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Այս դեպքում, ինչ վերաբերում է շոշափողին, հարմար է շինարարությունը սկսել՝ գրաֆիկի ուղղահայաց ասիմպտոտները պատկերելով այն կետերում, որոնք ներառված չեն սահմանման տարածքում, այսինքն. և այլն: Այնուհետև մենք պատկերում ենք կոտանգենսի ճյուղերը ասիմպտոտների կողմից ձևավորված յուրաքանչյուր շերտի ներսում՝ սեղմելով դրանք ձախ ասիմպտոտին և աջին: Այս դեպքում հաշվի ենք առնում, որ յուրաքանչյուր ճյուղ միապաղաղ նվազում է։ Մենք բոլոր ճյուղերը պատկերում ենք շոշափողին նույն կերպ, քանի որ ֆունկցիան ունի ժամանակաշրջան, որը հավասար է .

Առանձին-առանձին պետք է նշել, որ բարդ արգումենտներով եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են ունենալ ոչ ստանդարտ ժամկետ։ Մենք խոսում ենք ձևի գործառույթների մասին.

Նրանց շրջանը հավասար է։ Իսկ գործառույթների մասին.

Նրանց շրջանը հավասար է։

Ինչպես տեսնում եք, նոր ժամանակաշրջան հաշվարկելու համար ստանդարտ ժամկետը պարզապես բաժանվում է փաստարկի գործակցի վրա: Այն կախված չէ ֆունկցիայի այլ փոփոխություններից:

Դուք կարող եք ավելի մանրամասն հասկանալ և հասկանալ, թե որտեղից են գալիս այս բանաձևերը ֆունկցիաների գրաֆիկների կառուցման և փոխակերպման դասում:

Հասանք «Եռանկյունաչափություն» թեմայի ամենակարևոր մասերից մեկին, որը կնվիրենք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը։ Նման հավասարումներ լուծելու ունակությունը կարևոր է, օրինակ, ֆիզիկայում տատանողական գործընթացները նկարագրելիս։ Եկեք պատկերացնենք, որ դուք սպորտային մեքենայով մի քանի պտույտ եք վարել գո-քարտով, եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելը կօգնի ձեզ որոշել, թե որքան ժամանակ եք եղել մրցավազքում՝ կախված մեքենայի դիրքից ուղու վրա:

Գրենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Նման հավասարման լուծումը այն փաստարկներն են, որոնց սինուսը հավասար է . Բայց մենք արդեն գիտենք, որ սինուսի պարբերականության պատճառով անսահման թվով նման փաստարկներ կան։ Այսպիսով, այս հավասարման լուծումը կլինի և այլն: Նույնը վերաբերում է ցանկացած այլ պարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը, դրանք կլինեն անսահման թվով:

Եռանկյունաչափական հավասարումները բաժանվում են մի քանի հիմնական տեսակների. Առանձին-առանձին պետք է կանգ առնել ամենապարզների վրա, քանի որ մնացած ամեն ինչ իրենց է հասնում: Կան չորս նման հավասարումներ (ըստ հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների թվի). Նրանց համար հայտնի են ընդհանուր լուծումներ, դրանք պետք է հիշել։

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները և դրանց ընդհանուր լուծումներընայեք այսպես.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ սինուսի և կոսինուսի արժեքները պետք է հաշվի առնեն մեզ հայտնի սահմանափակումները: Եթե, օրինակ, ապա հավասարումը լուծումներ չունի, և նշված բանաձևը չպետք է կիրառվի։

Բացի այդ, նշված արմատային բանաձևերը պարունակում են պարամետր կամայական ամբողջ թվի տեսքով: Դպրոցական ծրագրում սա միակ դեպքն է, երբ առանց պարամետրի հավասարման լուծումը պարամետր է պարունակում։ Այս կամայական ամբողջ թիվը ցույց է տալիս, որ հնարավոր է գրել վերը նշված հավասարումներից որևէ մեկի անվերջ թվով արմատներ՝ պարզապես հերթով փոխարինելով բոլոր ամբողջ թվերը։

Այս բանաձեւերի մանրամասն ածանցմանը կարող եք ծանոթանալ 10-րդ դասարանի հանրահաշիվ ծրագրի «Եռանկյունաչափական հավասարումներ» գլուխը կրկնելով։

Առանձին-առանձին պետք է ուշադրություն դարձնել ամենապարզ հավասարումների հատուկ դեպքերի լուծմանը սինուսով և կոսինուսով։ Այս հավասարումները նման են.

Նրանց նկատմամբ չպետք է կիրառվեն ընդհանուր լուծումներ գտնելու բանաձևեր։ Նման հավասարումները առավել հարմար լուծվում են եռանկյունաչափական շրջանակի միջոցով, որն ավելի պարզ արդյունք է տալիս, քան ընդհանուր լուծման բանաձևերը։

Օրինակ, հավասարման լուծումն է . Փորձեք ինքներդ ստանալ այս պատասխանը և լուծեք նշված մնացած հավասարումները:

Բացի նշված եռանկյունաչափական հավասարումների ամենատարածված տեսակից, կան ևս մի քանի ստանդարտ: Մենք թվարկում ենք դրանք՝ հաշվի առնելով դրանք, որոնք մենք արդեն նշել ենք.

1) Նախակենդանիներ, Օրինակ, ;

2) Ամենապարզ հավասարումների հատուկ դեպքեր, Օրինակ, ;

3) Հավասարումներ բարդ փաստարկով, Օրինակ, ;

4) Հավասարումները հասցվել են իրենց ամենապարզին` հանելով ընդհանուր գործակիցը, Օրինակ, ;

5) Հավասարումները հասցվել են իրենց ամենապարզին եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխակերպմամբ, Օրինակ, ;

6) Փոխարինման միջոցով հավասարումները հասցվել են իրենց ամենապարզին, Օրինակ, ;

7) Միատարր հավասարումներ, Օրինակ, ;

8) Հավասարումներ, որոնք կարելի է լուծել՝ օգտագործելով ֆունկցիաների հատկությունները, Օրինակ, . Մի անհանգստացեք այն փաստից, որ այս հավասարման մեջ կա երկու փոփոխական՝ այն ինքն իրեն լուծում է.

Ինչպես նաև հավասարումներ, որոնք լուծվում են տարբեր մեթոդներով։

Բացի եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելուց, դուք պետք է կարողանաք լուծել դրանց համակարգերը:

Համակարգերի ամենատարածված տեսակներն են.

1) Որում հավասարումներից մեկը հզորությունն է, Օրինակ, ;

2) Պարզ եռանկյունաչափական հավասարումների համակարգեր, Օրինակ, .

Այսօրվա դասին մենք դիտեցինք հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները: Ծանոթացանք նաև ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր բանաձևերին և նշեցինք նման հավասարումների հիմնական տեսակները և դրանց համակարգերը։

Դասի գործնական մասում կուսումնասիրենք եռանկյունաչափական հավասարումների և դրանց համակարգերի լուծման մեթոդները։

Տուփ 1.Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների հատուկ դեպքերի լուծում.

Ինչպես արդեն ասացինք դասի հիմնական մասում, ձևի սինուսով և կոսինուսով եռանկյունաչափական հավասարումների հատուկ դեպքեր.

ունեն ավելի պարզ լուծումներ, քան դրանք տրված են ընդհանուր լուծման բանաձևերով:

Դրա համար օգտագործվում է եռանկյունաչափական շրջան: Եկեք վերլուծենք դրանց լուծման մեթոդը՝ օգտագործելով հավասարման օրինակը:

Եկեք եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա պատկերենք այն կետը, որտեղ կոսինուսի արժեքը զրո է, որը նաև կոորդինատ է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով: Ինչպես տեսնում եք, այդպիսի երկու կետ կա. Մեր խնդիրն է նշել, թե ինչի է հավասար այն անկյունը, որը համապատասխանում է շրջանագծի այս կետերին:

Մենք սկսում ենք հաշվել աբսցիսային առանցքի (կոսինուսի առանցքի) դրական ուղղությամբ և անկյունը դնելիս հասնում ենք առաջին պատկերված կետին, այսինքն. լուծումներից մեկը կլինի այս անկյան արժեքը: Բայց մեզ դեռ բավարարում է այն անկյունը, որը համապատասխանում է երկրորդ կետին։ Ինչպե՞ս մտնել դրա մեջ:

1. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներներկայացնել տարրական գործառույթներ, որի փաստարկն է անկյուն. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները նկարագրում են կողմերի և սուր անկյունների միջև փոխհարաբերությունները ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման ոլորտները չափազանց բազմազան են։ Օրինակ, ցանկացած պարբերական գործընթաց կարող է ներկայացվել որպես եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումար (Ֆուրիեի շարք): Այս ֆունկցիաները հաճախ հայտնվում են դիֆերենցիալ և ֆունկցիոնալ հավասարումներ լուծելիս։

2. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներառում են հետևյալ 6 ֆունկցիաները. սինուս, կոսինուս, շոշափող,կոտանգենս, հատվածԵվ զուգորդող. Յուրաքանչյուրի համար նշված գործառույթներըկա հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիա։

3. Հարմար է ներկայացնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երկրաչափական սահմանումը օգտագործելով միավոր շրջան. Ստորև բերված նկարում պատկերված է r=1 շառավղով շրջան: Շրջանակի վրա նշվում է M(x,y) կետը։ Շառավիղի OM վեկտորի և Ox առանցքի դրական ուղղության միջև անկյունը հավասար է α-ի:

4. Սինուսα անկյունը M(x,y) կետի y օրդինատի հարաբերությունն է r շառավղին.
sinα=y/r.
Քանի որ r=1, ուրեմն սինուսը հավասար է M(x,y) կետի օրդինատին։

5. Կոսինուսα անկյունը M(x,y) կետի աբսցիսայի x-ի հարաբերակցությունն է r շառավղին.
cosα=x/r

6. Շոշափողα անկյունը M(x,y) կետի y օրդինատի հարաբերությունն է նրա աբսցիսային x-ին.
tanα=y/x,x≠0

7. Կոտանգենսα անկյունը M(x,y) կետի x աբսցիսայի հարաբերությունն է նրա y օրդինատին.
cotα=x/y,y≠0

8. Սեկանտα անկյունը r շառավիղի հարաբերակցությունն է M(x,y) կետի x աբսցիսային:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecantα անկյունը r շառավիղի հարաբերությունն է M(x,y) կետի y օրդինատին:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Միավոր շրջանագծի մեջ x, y պրոյեկցիաները, M(x,y) կետերը և r շառավիղը կազմում են ուղղանկյուն եռանկյուն, որի x,y-ը ոտքերն են, իսկ r-ը հիպոթենուսն է: Հետևաբար, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերը նշված սահմանումները հավելվածում ուղղանկյուն եռանկյունձևակերպվում են հետևյալ կերպ.
Սինուսα անկյունը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:
Կոսինուսα անկյունը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է:
Շոշափողα անկյունը կոչվում է հարակից ոտքի հակառակ ոտքը:
Կոտանգենսα անկյունը կոչվում է հակառակ կողմի կից կողմը:
Սեկանտα անկյունը հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է հարակից ոտքին:
Cosecantα անկյունը հիպոթենուսի և հակառակ ոտքի հարաբերությունն է:

11. Սինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը
y=sinx, սահմանման տիրույթ՝ x∈R, արժեքների միջակայք՝ −1≤sinx≤1

12. Կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ
y=cosx, տիրույթ՝ x∈R, միջակայք՝ −1≤cosx≤1

13. Շոշափող ֆունկցիայի գրաֆիկը
y=tanx, սահմանման միջակայք՝ x∈R,x≠(2k+1)π/2, արժեքների միջակայք՝ −∞

14. Կոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը
y=cotx, տիրույթ՝ x∈R,x≠kπ, միջակայք՝ −∞

15. Սեկենտային ֆունկցիայի գրաֆիկ
y=secx, տիրույթ՝ x∈R,x≠(2k+1)π/2, միջակայք՝ secx∈(−∞,−1]∪∪)