Կոորդինատներից հատվածի երկարության հաշվարկը: Գտնելով հատվածի միջնակետի կոորդինատները՝ օրինակներ, լուծումներ

Կոորդինատային հարթության հետ կապված առաջադրանքների մի ամբողջ խումբ կա (ներառված է քննական խնդիրների տեսակներում): Սրանք խնդիրներ են՝ սկսած ամենահիմնականներից, որոնք լուծվում են բանավոր (տվյալ կետի օրդինատի կամ աբսցիսայի որոշում, կամ տվյալ կետի սիմետրիկ կետը և այլն), վերջացրած առաջադրանքներով, որոնք պահանջում են բարձրորակ գիտելիքներ, ըմբռնում և լավ հմտություններ (ուղիղ գծի անկյունային գործակցի հետ կապված խնդիրներ):

Աստիճանաբար մենք կքննարկենք դրանք բոլորը: Այս հոդվածում մենք կսկսենք հիմունքներից: Սա պարզ առաջադրանքներորոշել՝ կետի աբսցիսա և օրդինատ, հատվածի երկարություն, հատվածի միջնակետ, ուղիղ գծի թեքության անկյան սինուս կամ կոսինուս:Մարդկանց մեծամասնությանը չեն հետաքրքրի այս առաջադրանքները: Բայց հարկ եմ համարում ներկայացնել դրանք։

Փաստն այն է, որ ոչ բոլորն են դպրոց հաճախում։ Շատերը միասնական պետական ​​քննություն են հանձնում ուսումն ավարտելուց 3-4 և ավելի տարի անց, և նրանք աղոտ հիշում են, թե ինչ է աբսցիսա և օրդինատ: Մենք նաև կվերլուծենք կոորդինատային հարթության հետ կապված այլ առաջադրանքներ, մի կարոտեք այն, բաժանորդագրվեք բլոգի թարմացումներին: Այժմ nմի փոքր տեսություն.

Կառուցենք A կետը կոորդինատային հարթության վրա x=6, y=3 կոորդինատներով։

Ասում են՝ Ա կետի աբսցիսան հավասար է վեցի, Ա կետի օրդինատը՝ երեքի։

Պարզ ասած, ox առանցքը աբսցիսային առանցքն է, y առանցքը օրդինատների առանցքն է։

Այսինքն՝ աբսցիսան x առանցքի մի կետ է, որի մեջ նախագծված է կոորդինատային հարթության վրա տրված կետը. Օրդինատը y առանցքի այն կետն է, որի վրա նախագծված է նշված կետը:

Կոորդինատային հարթության վրա հատվածի երկարությունը

Հատվածի երկարությունը որոշելու բանաձևը, եթե հայտնի են նրա ծայրերի կոորդինատները.

Ինչպես տեսնում եք, հատվածի երկարությունը հավասար ոտքեր ունեցող ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի երկարությունն է

X B - X A և U B - U A

* * *

Սեգմենտի կեսը. Նրա կոորդինատները.

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները գտնելու բանաձևը.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղի հավասարումը

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարման բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

որտեղ (x 1;y 1) և (x 2;y 2 ) կոորդինատներ տրված միավորներ.

Փոխարինելով կոորդինատային արժեքները բանաձևի մեջ, այն վերածվում է ձևի.

y = kx + b, որտեղ k-ը գծի թեքությունն է

Այս տեղեկատվությունը մեզ անհրաժեշտ կլինի կոորդինատային հարթության հետ կապված խնդիրների մեկ այլ խումբ լուծելիս։ Այս մասին հոդված կլինի, բաց մի՛ թողեք:

Էլ ի՞նչ կարող եք ավելացնել:

Ուղիղ գծի (կամ հատվածի) թեքության անկյունը oX առանցքի և այս ուղիղ գծի միջև ընկած անկյունն է, որը տատանվում է 0-ից մինչև 180 աստիճան:

Դիտարկենք առաջադրանքները.

(6;8) կետից ուղղահայաց է գցվում օրդինատների առանցքի վրա։ Գտե՛ք ուղղահայաց հիմքի օրդինատը:

Օրդինատների առանցքի վրա իջեցված ուղղահայաց հիմքը կունենա կոորդինատներ (0;8): Օրդինատը հավասար է ութի։

Պատասխան՝ 8

Գտեք հեռավորությունը կետից Ակոորդինատներով (6;8) օրդինատով։

A կետից մինչև օրդինատների առանցքը հեռավորությունը հավասար է A կետի աբսցիսային:

Պատասխան՝ 6.

Ա(6;8) առանցքի նկատմամբ Եզ.

Կետ սիմետրիկ կետԻսկ oX առանցքի նկատմամբ ունի կոորդինատներ (6;– 8):

Օրդինատը հավասար է մինուս ութի։

Պատասխան՝ - 8

Գտի՛ր կետի նկատմամբ սիմետրիկ կետի օրդինատը Ա(6;8) ծագման համեմատ:

A կետին սիմետրիկ կետը ծագման հետ ունի կոորդինատներ (– 6;– 8):

Նրա օրդինատն է – 8։

Պատասխան՝ -8

Գտե՛ք կետերը միացնող հատվածի միջնակետի աբսցիսանՕ(0;0) և Ա(6;8).

Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել հատվածի միջնամասի կոորդինատները։ Մեր հատվածի ծայրերի կոորդինատներն են (0;0) և (6;8):

Մենք հաշվարկում ենք բանաձևով.

Մենք ստացանք (3;4): Աբսցիսան հավասար է երեքի։

Պատասխան՝ 3

*Հատվածի միջնամասի աբսցիսան կարող է որոշվել առանց հաշվարկի՝ օգտագործելով բանաձև՝ այս հատվածը կոորդինատային հարթության վրա կառուցելով քառակուսի թղթի թերթիկի վրա: Հատվածի կեսը հեշտ կլինի որոշել բջիջներով:

Գտե՛ք կետերը միացնող հատվածի միջնակետի աբսցիսան Ա(6;8) և Բ(–2;2).

Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել հատվածի միջնամասի կոորդինատները։ Մեր հատվածի ծայրերի կոորդինատներն են (–2;2) և (6;8):

Մենք հաշվարկում ենք բանաձևով.

Մենք ստացանք (2;5): Աբսցիսան հավասար է երկուսի։

Պատասխան՝ 2

*Հատվածի միջնամասի աբսցիսան կարող է որոշվել առանց հաշվարկի՝ օգտագործելով բանաձև՝ այս հատվածը կոորդինատային հարթության վրա կառուցելով քառակուսի թղթի թերթիկի վրա:

Գտե՛ք (0;0) և (6;8) կետերը միացնող հատվածի երկարությունը։

Հատվածի երկարությունը նրա ծայրերի տրված կոորդինատներում հաշվարկվում է բանաձևով.

մեր դեպքում ունենք O(0;0) և A(6;8): Նշանակում է,

*Կորդինատների հերթականությունը հանելիս նշանակություն չունի: Դուք կարող եք հանել A կետի աբսցիսան և օրդինատը O կետի աբսցիսայից և օրդինատից.

Պատասխան՝ 10

Գտե՛ք կետերը միացնող հատվածի լանջի կոսինուսը Օ(0;0) և Ա(6;8), x առանցքով:

Հատվածի թեքության անկյունը այս հատվածի և oX առանցքի միջև եղած անկյունն է:

A կետից իջեցնում ենք oX առանցքին ուղղահայաց.

Այսինքն՝ հատվածի թեքության անկյունը անկյունն էSAIABO ուղղանկյուն եռանկյունում:

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան կոսինուսն է

հարակից ոտքի և հիպոթենուզայի հարաբերակցությունը

Մենք պետք է գտնենք հիպոթենուսըՕԱ.

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.Ուղղանկյուն եռանկյունում՝ հիպոթենուսի քառակուսին գումարին հավասարոտքերի քառակուսիներ.

Այսպիսով, լանջի անկյան կոսինուսը 0,6 է

Պատասխան՝ 0.6

(6;8) կետից աբսցիսայի առանցքի վրա ուղղահայաց է ընկնում: Գտե՛ք ուղղահայաց հիմքի աբսցիսսը:

(6;8) կետով գծվում է աբսցիսայի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ։ Գտի՛ր առանցքի հետ նրա հատման կետի օրդինատը OU.

Գտեք հեռավորությունը կետից Ակոորդինատներով (6;8) դեպի աբսցիսային առանցքը:

Գտեք հեռավորությունը կետից Ասկզբնակետին (6;8) կոորդինատներով։

Հնարավոր է որոշել հատվածի երկարությունը տարբեր ճանապարհներ. Որպեսզի պարզեք, թե ինչպես կարելի է գտնել հատվածի երկարությունը, բավական է ունենալ քանոն կամ իմանալ հաշվարկի հատուկ բանաձևեր։

Քանոնի օգտագործմամբ հատվածի երկարությունը

Դա անելու համար հարթության վրա կառուցված հատվածին միլիմետրային բաժանումներով քանոն ենք կիրառում, և ելակետը պետք է համապատասխանեցվի քանոնի սանդղակի զրոյին։ Այնուհետև այս սանդղակի վրա պետք է նշեք այս հատվածի վերջնակետի գտնվելու վայրը: Ստացված ամբողջ մասշտաբային բաժանումների թիվը կլինի հատվածի երկարությունը՝ արտահայտված սմ-ով և մմ-ով:

Հարթ կոորդինատների մեթոդ

Եթե ​​(x1;y1) և (x2;y2) հատվածի կոորդինատները հայտնի են, ապա դրա երկարությունը պետք է հաշվարկել հետևյալ կերպ. Առաջին կետի կոորդինատները պետք է հանել երկրորդ կետի հարթության կոորդինատներից: Արդյունքը պետք է լինի երկու թիվ: Այս թվերից յուրաքանչյուրը պետք է քառակուսի դրվի, այնուհետև պետք է գտնել այս քառակուսիների գումարը: Ստացված թվից դուք պետք է հանեք Քառակուսի արմատ, որը կլինի կետերի միջև հեռավորությունը: Քանի որ այս կետերը հատվածի ծայրերն են, այս արժեքը կլինի դրա երկարությունը:

Դիտարկենք մի օրինակ, թե ինչպես կարելի է գտնել հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով կոորդինատները: Կան երկու կետերի կոորդինատներ (-1;2) և (4;7): Կետերի կոորդինատների տարբերությունը գտնելիս ստանում ենք հետևյալ արժեքները՝ x = 5, y = 5։ Ստացված թվերը կլինեն հատվածի կոորդինատները: Այնուհետև յուրաքանչյուր թիվը քառակուսի ենք դնում և գտնում արդյունքների գումարը, այն հավասար է 50-ի։ Վերցնում ենք այս թվի քառակուսի արմատը։ Արդյունքը 2-ի 5 արմատն է: Սա հատվածի երկարությունն է:

Կոորդինատների մեթոդը տարածության մեջ

Դա անելու համար հարկավոր է հաշվի առնել, թե ինչպես կարելի է գտնել վեկտորի երկարությունը: Հենց սա կլինի հատված Էվկլիդեսյան տարածության մեջ։ Այն հանդիպում է գրեթե նույն կերպ, ինչ հարթության վրա հատվածի երկարությունը։ Վեկտորը կառուցված է տարբեր հարթություններում. Ինչպե՞ս գտնել վեկտորի երկարությունը:

1. Գտեք վեկտորի կոորդինատները, դա անելու համար հարկավոր է նրա ելակետի կոորդինատները հանել վերջին կետի կոորդինատներից:
2. Դրանից հետո դուք պետք է քառակուսի դարձնեք յուրաքանչյուր վեկտորի կոորդինատը:
3. Այնուհետև մենք գումարում ենք քառակուսի կոորդինատները:
4. Վեկտորի երկարությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերցնել կոորդինատների քառակուսիների գումարի քառակուսի արմատը:

Եկեք նայենք հաշվարկի ալգորիթմին՝ օգտագործելով օրինակ: Անհրաժեշտ է գտնել AB վեկտորի կոորդինատները։ A և B կետերն ունեն հետևյալ կոորդինատները՝ A (1;6;3) և B (3;-1;7): Վեկտորի սկիզբը գտնվում է A կետում, վերջը գտնվում է B կետում: Այսպիսով, նրա կոորդինատները գտնելու համար անհրաժեշտ է B կետի կոորդինատներից հանել A կետի կոորդինատները. (3 - 1; -1 -): 6;7 - 3) = (2;- 7:4):

Այժմ յուրաքանչյուր կոորդինատը քառակուսի ենք դնում և ավելացնում՝ 4+49+16=69: Վերջապես վերցնում է տրված թվի քառակուսի արմատը։ Դժվար է հանել, ուստի արդյունքը գրում ենք այսպես՝ վեկտորի երկարությունը հավասար է 69-ի արմատին։

Եթե ​​ձեզ համար կարևոր չէ ինքնուրույն հաշվարկել հատվածների և վեկտորների երկարությունը, այլ պարզապես անհրաժեշտ է արդյունքը, ապա կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչը, օրինակ, այս մեկը:

Այժմ, ուսումնասիրելով այս մեթոդները և դիտարկելով ներկայացված օրինակները, դուք հեշտությամբ կարող եք գտնել հատվածի երկարությունը ցանկացած խնդրի մեջ:

Ստորև բերված հոդվածում կքննարկվեն հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու հարցերը, եթե դրա ծայրահեղ կետերի կոորդինատները հասանելի են որպես նախնական տվյալներ։ Բայց նախքան հարցի ուսումնասիրությունը սկսելը, ներկայացնենք մի շարք սահմանումներ։

Yandex.RTB R-A-339285-1 Սահմանում 1

Գծային հատված– երկու կամայական կետեր միացնող ուղիղ գիծ, ​​որը կոչվում է հատվածի ծայրեր: Որպես օրինակ, թող դրանք լինեն A և B կետերը և, համապատասխանաբար, A B հատվածը:

Եթե ​​A B հատվածը A և B կետերից շարունակվում է երկու ուղղություններով, ապա մենք ստանում ենք A B ուղիղ գիծ: Այնուհետև A B հատվածը ստացված ուղիղ գծի մի մասն է, որը սահմանափակված է A և B կետերով: A B հատվածը միավորում է A և B կետերը, որոնք նրա ծայրերն են, ինչպես նաև դրանց միջև ընկած կետերի բազմությունը: Եթե, օրինակ, վերցնենք ցանկացած կամայական K կետ, որը գտնվում է A և B կետերի միջև, ապա կարող ենք ասել, որ K կետը գտնվում է A B հատվածի վրա:

Սահմանում 2

Բաժնի երկարությունը– տվյալ մասշտաբով հատվածի ծայրերի միջև հեռավորությունը (միավոր երկարության հատված): A B հատվածի երկարությունը նշանակենք հետևյալ կերպ՝ A B .

Սահմանում 3

Հատվածի միջնակետը- կետ, որը ընկած է հատվածի վրա և նրա ծայրերից հավասար հեռավորության վրա: Եթե ​​A B հատվածի կեսը նշանակված է C կետով, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ A C = C B.

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային O x և դրա վրա չհամընկնող կետեր՝ A և B։ Այս կետերը համապատասխանում են իրական թվերին x Ա և x Բ. C կետը A B հատվածի միջինն է. անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատը x C.

Քանի որ C կետը A B հատվածի միջնակետն է, ապա հավասարությունը ճիշտ կլինի՝ | A C | = | Գ Բ | . Կետերի միջև հեռավորությունը որոշվում է դրանց կոորդինատների տարբերության մոդուլով, այսինքն.

| A C | = | Գ Բ | ⇔ x C - x A = x B - x C

Այնուհետև հնարավոր է երկու հավասարություն՝ x C - x A = x B - x C և x C - x A = - (x B - x C)

Առաջին հավասարությունից բխում ենք C կետի կոորդինատների բանաձեւը՝ x C = x A + x B 2 (հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը):

Երկրորդ հավասարությունից ստանում ենք՝ x A = x B, ինչը անհնար է, քանի որ սկզբնաղբյուրում` չհամընկնող կետեր. Այսպիսով, A (x A) ծայրերով A B հատվածի միջնամասի կոորդինատները որոշելու բանաձևը B (xB):

Ստացված բանաձևը հիմք կհանդիսանա հարթության վրա կամ տարածության վրա հատվածի միջին հատվածի կոորդինատները որոշելու համար։

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y հարթության վրա, երկու կամայական չհամընկնող կետեր՝ տրված A x A, y A և B x B, y B կոորդինատներով: C կետը A B հատվածի միջինն է: C կետի համար անհրաժեշտ է որոշել x C և y C կոորդինատները:

Վերլուծության համար վերցնենք այն դեպքը, երբ A և B կետերը չեն համընկնում և չեն գտնվում նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա։ A x, A y; B x, B y և C x, C y - A, B և C կետերի կանխատեսումներ կոորդինատային առանցքների վրա (ուղիղ գծեր O x և O y):

Ըստ կառուցվածքի՝ A A x, B B x, C C x ուղիղները զուգահեռ են; գծերը նույնպես զուգահեռ են միմյանց: Դրա հետ մեկտեղ, ըստ Թալեսի թեորեմի, A C = C B հավասարությունից հետևում են հավասարությունները. A x C x = C x B x և A y C y = C y B y, և նրանք իրենց հերթին ցույց են տալիս, որ C x կետը. A x B x հատվածի կեսը, իսկ C y-ը A y B y հատվածի միջինն է: Եվ հետո, հիմնվելով ավելի վաղ ստացված բանաձևի վրա, մենք ստանում ենք.

x C = x A + x B 2 և y C = y A + y B 2

Նույն բանաձևերը կարող են օգտագործվել այն դեպքում, երբ A և B կետերը գտնվում են նույն կոորդինատային գծի կամ առանցքներից մեկին ուղղահայաց գծի վրա։ Վարքագիծ մանրամասն վերլուծությունՄենք չենք դիտարկի այս դեպքը, մենք այն կդիտարկենք միայն գրաֆիկորեն.

Ամփոփելով վերը նշված բոլորը՝ A B հատվածի կեսի կոորդինատները հարթության վրա ծայրերի կոորդինատներով A (x A, y A) Եվ B (xB, yB) սահմանվում են որպես:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Սկզբնական տվյալներ՝ կոորդինատային համակարգ O x y z և երկու կամայական կետեր A (x A, y A, z A) և B (x B, y B, z B) կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է որոշել C կետի կոորդինատները, որը A B հատվածի միջինն է։

A x, A y, A z; B x, B y, B z և C x, C y, C z - կոորդինատային համակարգի առանցքների վրա տրված բոլոր կետերի կանխատեսումները:

Համաձայն Թալեսի թեորեմի՝ ճշմարիտ են հետևյալ հավասարումները՝ A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z.

Հետեւաբար, C x, C y, C z կետերը համապատասխանաբար A x B x, A y B y, A z B z հատվածների միջնակետերն են: Հետո, Տիեզերքում հատվածի միջնամասի կոորդինատները որոշելու համար ճիշտ են հետևյալ բանաձևերը.

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Ստացված բանաձևերը կիրառելի են նաև այն դեպքերում, երբ A և B կետերը գտնվում են կոորդինատային գծերից մեկի վրա. առանցքներից մեկին ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա; մեկ կոորդինատային հարթությունում կամ կոորդինատային հարթություններից մեկին ուղղահայաց հարթությունում:

Հատվածի միջին հատվածի կոորդինատների որոշում նրա ծայրերի շառավղային վեկտորների կոորդինատների միջոցով

Հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու բանաձևը կարող է ստացվել նաև ըստ վեկտորների հանրահաշվական մեկնաբանության։

Սկզբնական տվյալներ՝ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ O x y, տրված A (x A, y A) և B (x B, x B) կոորդինատներով կետեր: C կետը A B հատվածի միջինն է:

Վեկտորների վրա գործողությունների երկրաչափական սահմանման համաձայն՝ ճշմարիտ կլինի հետևյալ հավասարությունը՝ O C → = 1 2 · O A → + O B → . C կետը ժամը այս դեպքում– O A → և O B → վեկտորների հիման վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետը, այսինքն. անկյունագծերի կեսի կետը Կետի շառավիղի վեկտորի կոորդինատները հավասար են կետի կոորդինատներին, ապա ճիշտ են հավասարությունները՝ O A → = (x A, y A), O B → = (x B): , y B). Կատարենք մի քանի գործողություններ վեկտորների վրա կոորդինատներով և ստացենք.

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Հետևաբար, C կետն ունի կոորդինատներ.

x A + x B 2, y A + y B 2

Անալոգիայով որոշվում է բանաձև՝ տարածության մեջ հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու համար.

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները գտնելու խնդիրների լուծման օրինակներ

Խնդիրներից, որոնք ներառում են վերը ստացված բանաձևերի օգտագործումը, կան այնպիսիք, որոնցում ուղղակի հարց է տրված հատվածի կեսի կոորդինատները հաշվարկելն է, և նրանք, որոնք ներառում են տվյալ պայմանները այս հարցին բերելը. «միջին» տերմինը: հաճախ օգտագործվում է, նպատակը հատվածի ծայրերից մեկի կոորդինատները գտնելն է, տարածված են նաև սիմետրիայի խնդիրները, որոնց լուծումն ընդհանուր առմամբ նույնպես չպետք է դժվարություններ առաջացնի այս թեման ուսումնասիրելուց հետո։ Դիտարկենք բնորոշ օրինակներ.

Օրինակ 1

Նախնական տվյալներ.հարթության վրա՝ կետեր A (- 7, 3) և B (2, 4) տրված կոորդինատներով: Անհրաժեշտ է գտնել A B հատվածի միջնակետի կոորդինատները։

Լուծում

A B հատվածի կեսը նշանակենք C կետով։ Դրա կոորդինատները կորոշվեն որպես հատվածի ծայրերի կոորդինատների գումարի կեսը, այսինքն. A և B կետերը.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Պատասխանել A B հատվածի կեսի կոորդինատները - 5 2, 7 2:

Օրինակ 2

Նախնական տվյալներ.Հայտնի են A B C եռանկյան կոորդինատները՝ A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8): Անհրաժեշտ է գտնել A M միջնագծի երկարությունը:

Լուծում

1. Ըստ խնդրի պայմանների՝ A M-ը միջինն է, ինչը նշանակում է, որ M-ը B C հատվածի միջնակետն է: Նախ, եկեք գտնենք B C հատվածի կեսի կոորդինատները, այսինքն. M միավորներ:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Քանի որ մենք այժմ գիտենք մեդիանայի երկու ծայրերի կոորդինատները (կետ A և M), մենք կարող ենք օգտագործել բանաձևը կետերի միջև հեռավորությունը որոշելու և A M միջնայի երկարությունը հաշվարկելու համար.

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Պատասխան. 58

Օրինակ 3

Նախնական տվյալներ.ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում եռաչափ տարածությունտրված parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1: Տրված են C 1 կետի կոորդինատները (1, 1, 0), սահմանվում է նաև M կետը, որը B D 1 անկյունագծի միջնակետն է և ունի M կոորդինատներ (4, 2, - 4)։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել Ա կետի կոորդինատները։

Լուծում

Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում, որը բոլոր անկյունագծերի միջնակետն է: Ելնելով այս պնդումից՝ կարող ենք նկատի ունենալ, որ խնդրի պայմաններից հայտնի M կետը A C 1 հատվածի միջնակետն է։ Տիեզերքում հատվածի միջնամասի կոորդինատները գտնելու բանաձևի հիման վրա գտնում ենք A կետի կոորդինատները՝ x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Պատասխան.Ա կետի կոորդինատները (7, 3, - 8).

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Երկրաչափության մեջ օգտագործվում են երեք հիմնական կոորդինատային համակարգեր. տեսական մեխանիկա, ֆիզիկայի այլ ճյուղեր՝ դեկարտյան, բևեռային և գնդաձև։ Այս կոորդինատային համակարգերում ամբողջ կետն ունի երեք կոորդինատ։ Իմանալով 2 կետերի կոորդինատները՝ կարող եք որոշել այս երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Հատվածի ծայրերի դեկարտյան, բևեռային և գնդաձև կոորդինատները

Հրահանգներ

1. Նախ դիտարկենք ուղղանկյուն Դեկարտյան կոորդինատային համակարգը: Որոշվում է այս կոորդինատային համակարգում տարածության կետի գտնվելու վայրը կոորդինատները x, y և z. Շառավիղի վեկտորը գծված է սկզբնակետից մինչև կետը: Այս շառավղային վեկտորի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա կլինեն կոորդինատներըԱյս կետը Այժմ թույլ տվեք ունենալ երկու միավոր կոորդինատները x1,y1,z1 և x2,y2 և z2 համապատասխանաբար: r1-ով և r2-ով նշեք համապատասխանաբար առաջին և 2-րդ կետերի շառավղային վեկտորները: Ըստ երևույթին, այս երկու կետերի միջև հեռավորությունը հավասար կլինի r = r1-r2 վեկտորի մոդուլին, որտեղ (r1-r2) վեկտորի տարբերությունն է։ r վեկտորի կոորդինատները, ըստ երևույթին, կլինեն հետևյալը՝ x1-x2, y1-y2, z1-z2. Այնուհետև r վեկտորի մեծությունը կամ երկու կետերի միջև եղած հեռավորությունը հավասար կլինի՝ r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )):

2. Հիմա դիտարկենք բևեռային կոորդինատային համակարգը, որտեղ կետի կոորդինատը տրվելու է r ճառագայթային կոորդինատով (շառավիղի վեկտոր XY հարթությունում), անկյունային կոորդինատով: (r վեկտորի և X առանցքի միջև անկյունը) և z կոորդինատը, որը նման է z կոորդինատին Դեկեկարտյան համակարգում: Կետի բևեռային կոորդինատները կարող են վերածվել դեկարտյան կոորդինատների հետևյալ կերպ. x = r*cos? , յ = ր*մեղք?, զ = զ. Այնուհետև երկու կետերի միջև հեռավորությունը հետ կոորդինատները r1, ?1 ,z1 և r2, ?2, z2 հավասար կլինի R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. Այժմ նայեք գնդաձև կոորդինատային համակարգին: Դրանում կետի գտնվելու վայրը նշվում է երեքով կոորդինատները r, ? Իսկ?. r – հեռավորությունը սկզբնակետից մինչև կետը, ? Իսկ. – համապատասխանաբար ազիմուտալ և զենիթային անկյուն: Անկյուն? նման է բևեռային կոորդինատային համակարգում նույն նշանակմամբ անկյան, հա՞: – շառավղով վեկտորի r և Z առանցքի միջև անկյունը 0-ով<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с կոորդինատները r1, ?1, ?1 և r2, ?2 և ?2-ը հավասար կլինեն R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 * sin?1* sin?1-r2* sin?2* sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin ?1 )^2)+((r2* sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1* sin?2*(cos?1*cos?2+մեղ?1*մեղ?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Ըստ հատվածիկոչել ուղիղ գծի մի մասը, որը բաղկացած է այս գծի բոլոր կետերից, որոնք գտնվում են այս երկու կետերի միջև, դրանք կոչվում են հատվածի ծայրեր:

Դիտարկենք առաջին օրինակը։ Թույլ տվեք որոշակի հատված սահմանել կոորդինատային հարթության երկու կետով: Այս դեպքում մենք կարող ենք գտնել դրա երկարությունը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը։

Այսպիսով, կոորդինատային համակարգում մենք գծում ենք հատված նրա ծայրերի տրված կոորդինատներով(x1; y1) Եվ (x2; y2) . Առանցքի վրա X Եվ Յ Հատվածի ծայրերից գծե՛ք ուղղահայացներ: Կարմիրով նշենք այն հատվածները, որոնք կոորդինատային առանցքի վրա սկզբնական հատվածից կանխատեսումներ են: Սրանից հետո պրոյեկցիոն հատվածները փոխանցում ենք հատվածների ծայրերին զուգահեռ։ Մենք ստանում ենք եռանկյուն (ուղղանկյուն): Այս եռանկյան հիպոթենուսը կլինի հենց AB հատվածը, իսկ նրա ոտքերը՝ փոխանցված պրոյեկցիաները:

Եկեք հաշվարկենք այս կանխատեսումների երկարությունը: Այսպիսով, առանցքի վրա Յ պրոյեկցիայի երկարությունն է y2-y1 , և առանցքի վրա X պրոյեկցիայի երկարությունն է x2-x1 . Եկեք կիրառենք Պյութագորասի թեորեմը. |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Այս դեպքում |ԱԲ| հատվածի երկարությունն է:

Եթե ​​դուք օգտագործում եք այս գծապատկերը հատվածի երկարությունը հաշվարկելու համար, ապա դուք նույնիսկ ստիպված չեք լինի կառուցել հատվածը: Հիմա եկեք հաշվարկենք հատվածի երկարությունը կոորդինատներով (1;3) Եվ (2;5) . Կիրառելով Պյութագորասի թեորեմը՝ մենք ստանում ենք. |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Սա նշանակում է, որ մեր հատվածի երկարությունը հավասար է 5:1/2 .

Դիտարկենք հատվածի երկարությունը գտնելու հետևյալ մեթոդը. Դա անելու համար մենք պետք է իմանանք ինչ-որ համակարգի երկու կետերի կոորդինատները: Դիտարկենք այս տարբերակը՝ օգտագործելով երկչափ դեկարտյան կոորդինատային համակարգը։

Այսպիսով, երկչափ կոորդինատային համակարգում տրված են հատվածի ծայրահեղ կետերի կոորդինատները։ Եթե ​​այս կետերով ուղիղ գծեր գծենք, դրանք պետք է ուղղահայաց լինեն կոորդինատային առանցքին, ապա ստանում ենք ուղղանկյուն եռանկյուն։ Բնօրինակ հատվածը կլինի ստացված եռանկյունու հիպոթենուսը: Եռանկյան ոտքերը կազմում են հատվածներ, դրանց երկարությունը հավասար է կոորդինատային առանցքների վրա հիպոթենուսի նախագծմանը: Ելնելով Պյութագորասի թեորեմից՝ մենք եզրակացնում ենք, որ տվյալ հատվածի երկարությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել երկու կոորդինատային առանցքների վրա գտնվող պրոյեկցիաների երկարությունները:

Գտնենք պրոյեկցիայի երկարությունները (X և Y) սկզբնական հատվածը կոորդինատային առանցքների վրա: Մենք դրանք հաշվարկում ենք՝ գտնելով առանձին առանցքի երկայնքով կետերի կոորդինատների տարբերությունը. X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Հաշվեք հատվածի երկարությունը Ա , դրա համար մենք գտնում ենք քառակուսի արմատը.

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Եթե ​​մեր հատվածը գտնվում է այն կետերի միջև, որոնց կոորդինատները 2;4 Եվ 4;1 , ապա դրա երկարությունը համապատասխանաբար հավասար է √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .