Konstruksi primitif grafis. Model matematika permukaan dan benda

Nama lima polihedra beraturan cembung adalah tetrahedron, kubus, oktahedron, dodecahedron, dan ikosahedron. Polihedra diberi nama setelah Plato, yang dalam op. Timaeus (abad ke-4 SM) memberi mereka mistisisme. arti; dikenal sebelum Plato... Ensiklopedia Matematika

Sama seperti polihedra biasa... Besar Ensiklopedia Soviet

- ...Wikipedia

Phaedo, atau Tentang Keabadian Jiwa, dinamai menurut nama murid Socrates, Phaedo (lihat), dialog Plato adalah salah satu yang paling menonjol. Ini adalah satu-satunya dialog Plato yang diberi nama oleh Aristoteles, dan salah satu dari sedikit dialog yang diakui otentik oleh... ...

kamus ensiklopedis F. Brockhaus dan I.A. Efron

Salah satu dialog artistik dan filosofis terbaik Plato, diakui otentik berdasarkan keputusan bulat dari ilmu pengetahuan kuno dan modern. Dalam kritik Platonis terbaru, mereka hanya berdebat tentang waktu penulisannya: beberapa orang berpendapat... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

Ide-ide filosofis dalam tulisan Plato- singkatnya warisan filosofis Plato sangat luas, terdiri dari 34 karya, yang hampir seluruhnya terpelihara dan sampai kepada kita. Karya-karya ini sebagian besar ditulis dalam bentuk dialog, dan tokoh utama di dalamnya sebagian besar adalah... ... Tesaurus Kecil Filsafat Dunia

Dodecahedron Polihedron beraturan, atau Padatan platonis, adalah polihedron cembung dengan simetri sebesar mungkin. Suatu polihedron disebut beraturan jika: cembung; semua mukanya merupakan poligon beraturan yang sama di setiap... ... Wikipedia

Padatan platonis, polihedra cembung, yang semua permukaannya merupakan poligon beraturan identik dan semua sudut polihedral pada titik sudutnya beraturan dan sama besar (Gbr. 1a 1e). Di ruang Euclidean E 3 ada lima P. m., datanya diberikan dalam ... Ensiklopedia Matematika

JIWA- [Orang yunani ψυχή], bersama-sama dengan tubuh, membentuk komposisi seseorang (lihat artikel Dikotomisme, Antropologi), sekaligus merupakan prinsip yang independen; Gambar manusia mengandung gambar Allah (menurut beberapa Bapa Gereja; menurut yang lain, gambar Allah terkandung dalam segala sesuatu... ... Ensiklopedia Ortodoks

Buku

• Timaeus (Edisi tahun 2011), Plato. Timaeus karya Plato merupakan satu-satunya garis besar sistematis kosmologi Plato, yang sampai saat ini hanya muncul dalam bentuk yang tersebar dan acak. Hal ini menciptakan kejayaan Timaeus dengan...
• Pertanyaan diskusi tentang jiwa. Studi 6, Aquinas F.. Genre 'pertanyaan kontroversial' (quaestiones disputatae) adalah genre skolastik khusus yang digunakan di universitas-universitas abad pertengahan. 'Pertanyaan yang dapat diperdebatkan tentang jiwa' adalah salah satu ...

Pemimpin: Rustamova R.M.

Gambar rotasi padatan Platonis

Permasalahan penelitian: melakukan rotasi padatan Platonis selalu menghasilkan angka rotasi yang diketahui: kerucut, silinder, bola.

Objek studi: banyak badan dan figur spasial.

Subyek studi: Padatan Platonis.

Tujuan penelitian: mengidentifikasi kelompok bangun rotasi polihedra beraturan (padatan Platonis).

Hipotesa:Jika Anda menemukan sumbu simetri pada benda padat Platonis, maka dengan memutar sumbu ini Anda dapat memperoleh angka rotasi yang terkenal. Tujuan penelitian:

1. Pelajari padatan Platonis dan sifat-sifatnya.
2. Uji secara eksperimental rotasi polihedra beraturan (padatan Platonis), dengan mengubah sumbu rotasinya.
3. Temukan dan identifikasi sumbu rotasi padatan Platonis yang memungkinkan benda-benda ini “berubah” menjadi bentuk rotasi yang identik.
4. Tentukan kelompok angka rotasi yang diperoleh dengan memutar padatan Platonis.

Tahapan penelitian:

Tahap pertama bersifat teoritis. Pada tahap ini saya mempelajari benda padat Plato dan sifat-sifatnya.

Fase kedua- eksperimental. Ini terdiri dari percobaan rotasi padatan Platonis dengan memilih sumbu rotasi polihedra beraturan

Tahap ketiga - terakhir. Itu dikhususkan untuk menggeneralisasi hasil percobaan; kelompok bentuk rotasi identik dibentuk, diperoleh dengan memutar polihedra beraturan

Angka rotasi: kerucut, silinder, hiperboloid lembaran tunggal.

Padatan platonis: tetrahedron, octahedron, hexahedron (kubus), icosahedron, dodecahedron.

Kubus dan ikosahedron memiliki sumbu simetri yang sama: garis lurus yang melalui titik sudut yang berlawanan; untuk ikosahedron dan dodecahedron, itu adalah garis lurus yang melalui pusat-pusat permukaan yang berlawanan, di mana diperoleh angka rotasi yang identik.

Akibatnya, untuk tetrahedron kita memilih sumbu rotasi: garis lurus yang melalui titik puncak tetrahedron dengan pusat sisi yang berlawanan; garis lurus yang melalui titik tengah sisi-sisi yang berhadapan. Semua benda padat Platonis, kecuali tetrahedron, mempunyai sumbu rotasi yang sama: garis lurus yang melalui titik-titik yang berlawanan; garis lurus yang melalui pusat-pusat permukaan yang berhadapan; garis lurus yang melalui titik tengah dua sisi yang berhadapan.

Jika garis lurus (yang menghasilkan permukaan) tegak lurus terhadap sumbu rotasi, maka diperoleh bidang.

Jika garis lurus (yang menghasilkan permukaan) sejajar dengan sumbu rotasi, maka diperoleh permukaan silinder.

Jika suatu garis lurus (menghasilkan permukaan) memotong sumbu rotasi, maka diperoleh permukaan berbentuk kerucut.

Jika suatu garis lurus (yang menghasilkan permukaan) berpotongan dengan sumbu rotasi, maka diperoleh hiperboloid revolusi satu lembar.

Saat memutar padatan Platonis, Anda bisa mendapatkan angka rotasi yang sama:

• pada rotasi tetrahedron dan oktahedron bangun rotasinya berupa hiperboloid satu lembar dan juga dua kerucut yang mempunyai alas yang sama;
• pada rotasi ikosahedron dan dodecahedron– sistem dua kerucut terpotong dan hiperboloid satu lembar;
• pada rotasi ikosahedron dan kubus- sistem dua kerucut dan hiperboloid satu lembar.

GEOMETRI PADAT PLATONIAN

mengubah dari 24/06/2013 - (ditambahkan)

Lima padatan Platonis utama adalah: oktahedron, bintang tetrahedron, kubus, dodecahedron, ikosahedron.

Masing-masing pola geometris, baik itu inti atom, mikrokluster, kisi global, atau jarak antar planet, bintang, galaksi, adalah salah satu dari lima “Padatan Platonis” utama.

Mengapa pola serupa sering terjadi di alam? Salah satu petunjuk pertama: ahli matematika mengetahui bahwa bentuk-bentuk ini memiliki lebih banyak “simetri” daripada geometri tiga dimensi mana pun yang dapat kita buat.

Dari buku oleh Robert Lawlor "Geometri Suci" kita dapat belajar bahwa umat Hindu mereduksi geometri Padatan Platonis menjadi struktur oktaf yang kita lihat untuk suara dan cahaya (nada dan warna). Matematikawan dan filsuf Yunani, Pythagoras, melalui proses membagi frekuensi secara berturut-turut dengan lima, pertama kali mengembangkan delapan nada oktaf “murni”, yang dikenal sebagai tangga nada diatonis. Dia mengambil “monochord” senar tunggal dan mengukur panjang gelombang yang tepat saat memainkan nada yang berbeda. Pythagoras menunjukkan bahwa frekuensi (atau laju getaran) setiap nada dapat direpresentasikan sebagai rasio antara dua bagian senar, atau dua angka, oleh karena itu istilah “rasio diatonis”.

Tabel di bawah mencantumkan geometri dalam urutan tertentu, menghubungkannya dengan bilangan heliks fi(). Ini memberikan gambaran yang lengkap dan lengkap tentang bagaimana berbagai getaran bekerja sama. Hal ini didasarkan pada penetapan panjang rusuk kubus yang sama dengan “ 1 " Kami kemudian membandingkan tepi semua bentuk lainnya dengan nilai ini, apakah lebih besar atau lebih kecil. Kita tahu bahwa dalam Padat Platonis, setiap permukaan mempunyai bentuk yang sama, setiap sudut identik, setiap titik mempunyai jarak yang sama dari setiap titik lainnya, dan setiap garis mempunyai panjang yang sama.

1 Bola (tanpa muka) 2 Icosahedron tengah 1/phi 2 3 Oktahedron 1/ √2 Tetrahedron bintang 4 √2 5 Kubus 1 6 Dodecahedron 1/phi 7 Icosahedron phi 8 Bola (tanpa muka)

Ini akan membantu untuk memahami bagaimana, dengan bantuan getaran spiral phi, padatan Platonis secara bertahap mengalir satu sama lain.

MULTIDIMENSIONALITAS ALAM SEMESTA

Konsep hubungan geometri Platonis dengan bidang yang lebih tinggi muncul karena para ilmuwan mengetahui: pasti ada geometri di sana; mereka menemukannya dalam persamaan. Untuk memberikan “lebih banyak ruang” agar sumbu tambahan yang tidak terlihat muncul pada putaran 90° yang “tersembunyi”, diperlukan geometri Platonis. Dalam metode analisis data, setiap permukaan suatu bentuk geometris mewakili sumbu atau bidang berbeda yang dapat diputar. Ketika kita mulai melihat karya Fuller dan Jenny, kita melihat bahwa gagasan tentang bidang lain yang ada dalam putaran 90° yang “tersembunyi” hanyalah penjelasan yang salah berdasarkan kurangnya pengetahuan tentang hubungan “suci” antara geometri. dan getaran.

Sangat mungkin bahwa para ilmuwan tradisional tidak akan pernah memahami bahwa budaya kuno mungkin memiliki “koneksi yang terlewat” yang secara signifikan menyederhanakan dan menyatukan semua teori fisika ruang modern. Meskipun mungkin tampak luar biasa bahwa budaya “primitif” memiliki akses terhadap informasi seperti ini, buktinya jelas. Bacalah buku klasik Prasad, karena saat ini kita dapat melihat bahwa kosmologi Weda memiliki penguasaan ilmiah.

Menurut Anda, apa yang Anda lihat? - ini adalah bintang yang meledak dengan debu yang dikeluarkan darinya... Namun jelas ada semacam medan energi di sini, yang menyusun debu saat mengembang menjadi pola geometris yang sangat tepat:

Masalahnya adalah medan magnet yang khas dalam model fisika tradisional tidak memungkinkan presisi geometris seperti itu. Para ilmuwan benar-benar tidak tahu bagaimana memahami hal-hal seperti itu!

Gambar di bawah adalah nebula BARU, yang berbentuk “persegi” sempurna. Namun, ini masih merupakan pemikiran dua dimensi. Berapakah persegi dalam tiga dimensi?
Tentu saja, sebuah kubus!

Jika diamati dalam cahaya inframerah, nebula tersebut menyerupai kotak bercahaya raksasa di langit dengan inti bagian dalam berwarna putih terang. Bintang Sekarat MWC 922 berada di tengah sistem dan memuntahkan isi perutnya ke luar angkasa dari kutub yang berlawanan. Setelah MWC 922 mengeluarkan sebagian besar materialnya ke luar angkasa, ia akan runtuh menjadi benda bintang padat yang dikenal sebagai katai putih, yang tersembunyi di balik awan puingnya.

Meskipun mungkin saja ledakan bintang hanya bergerak ke satu arah, sehingga menghasilkan lebih banyak bentuk piramida, yang Anda lihat adalah kubus sempurna di ruang angkasa. Karena keempat sisi kubus memiliki panjang yang sama dan membentuk sudut sempurna 90° satu sama lain, dan sekali lagi, kubus memiliki “langkah” terstruktur seperti yang kita lihat pada gambar sebelumnya, para ilmuwan benar-benar bingung. Kubus ini memiliki LEBIH BANYAK SYMMETRY daripada nebula “persegi panjang”!

Pola seperti itu tidak hanya muncul pada luasnya ruang. Mereka juga muncul pada tingkat atom dan molekul terkecil, misalnya, dalam struktur kubik garam meja biasa atau natrium klorida. Seorang Pang Tsaya (Jepang) memotret quasicrystals dari paduan aluminium-tembaga-besi dalam bentuk dodecahedron dan paduan aluminium-nikel-kobalt dalam bentuk prisma decagonal (sepuluh sisi) (lihat foto). Masalahnya adalah Anda tidak dapat membuat kristal seperti ini menggunakan atom tunggal yang terikat menjadi satu.

Contoh lainnya adalah kondensat Bose-Einstein. Singkatnya, kondensat Bose-Einstein adalah sekelompok besar atom yang berperilaku seperti “partikel” tunggal di mana setiap atom penyusun secara bersamaan menempati seluruh ruang dan waktu di seluruh struktur. Semua atom diukur bergetar pada frekuensi yang sama, bergerak dengan kecepatan yang sama, dan terletak di wilayah ruang yang sama. Ini paradoks, tapi berbagai bagian sistem bertindak sebagai satu kesatuan, kehilangan semua tanda individualitas. Inilah properti yang dibutuhkan untuk “superkonduktor”. Biasanya, kondensat Bose-Einstein dapat terbentuk pada suhu yang sangat rendah. Namun, justru proses inilah yang kita amati dalam mikrokluster dan kuasikristal, tanpa identitas atom individual.

Proses serupa lainnya adalah aksi sinar laser, yang dikenal sebagai cahaya “koheren”. Dalam ruang dan waktu semuanya sinar laser berperilaku seperti satu “foton”, artinya, tidak mungkin memisahkan foton individual dalam sinar laser.

Terlebih lagi, pada akhir tahun 1960-an, fisikawan Inggris Herbert Fröhlich mengemukakan hal tersebut sistem kehidupan sering kali berperilaku seperti kondensat Bose-Einstein, hanya dalam skala besar.

Foto-foto nebula memberikan bukti nyata yang menakjubkan bahwa geometri berperan dalam hal ini. HAI peran yang lebih besar dalam kekuatan alam semesta daripada yang diyakini kebanyakan orang. Ilmuwan kita hanya bisa berjuang untuk memahami fenomena ini dalam kerangka model tradisional yang ada.

Stakhov A.P.

“The Da Vinci Code”, padatan Platonis dan Archimedean, quasicrystals, fullerene, kisi Penrose dan dunia seni Bunda Teia Krashek

anotasi

Karya seniman Slovenia Matyushka Teja Krašek tidak banyak diketahui oleh pembaca berbahasa Rusia. Pada saat yang sama, di Barat disebut “Escher Eropa Timur” dan “hadiah Slovenia” bagi komunitas budaya dunia. Komposisi artistiknya terinspirasi oleh penemuan ilmiah terkini (fullerene, quasicrystals Dan Shechtman, ubin Penrose), yang, pada gilirannya, didasarkan pada poligon beraturan dan semiregular (padatan Platonis dan Archimedean), Rasio Emas, dan angka Fibonacci.

Apa itu Kode Da Vinci?

Pastinya setiap orang pernah memikirkan lebih dari satu kali pertanyaan mengapa Alam mampu menciptakan struktur harmonis yang begitu menakjubkan sehingga memanjakan mata dan memanjakan mata. Mengapa seniman, penyair, komposer, arsitek menciptakan karya seni yang menakjubkan dari abad ke abad. Apa rahasia Harmoni mereka dan hukum apa yang mendasari makhluk harmonis ini?

Pencarian hukum-hukum ini, “Hukum Harmoni Alam Semesta,” dimulai pada ilmu pengetahuan kuno. Selama periode sejarah manusia inilah para ilmuwan menemukan sejumlah penemuan menakjubkan yang meresapi seluruh sejarah ilmu pengetahuan. Yang pertama dianggap sebagai proporsi matematika luar biasa yang mengekspresikan Harmoni. Ini disebut berbeda: “proporsi emas”, “angka emas”, “rata-rata emas”, “rasio emas” dan bahkan "proporsi ilahi" Rasio Emas disebut juga jumlah PHI untuk menghormati pematung besar Yunani kuno Phidias, yang menggunakan nomor ini dalam pahatannya.

Film thriller "The Da Vinci Code", yang ditulis oleh penulis populer Inggris Dan Brown, telah menjadi buku terlaris abad ke-21. Tapi apa yang dimaksud dengan Da Vinci Code? Ada jawaban berbeda untuk pertanyaan ini. Diketahui bahwa "Bagian Emas" yang terkenal adalah subjek perhatian dan daya tarik Leonardo da Vinci. Terlebih lagi, nama “Bagian Emas” diperkenalkan ke dalam budaya Eropa oleh Leonardo da Vinci. Atas inisiatif Leonardo, ahli matematika dan biksu ilmiah terkenal Italia Luca Pacioli, teman dan penasihat ilmiah Leonardo da Vinci, menerbitkan buku “Divina Proportione”, karya matematika pertama dalam literatur dunia tentang Bagian Emas, yang oleh penulisnya disebut “Ilahi Proporsi". Diketahui juga bahwa Leonardo sendiri mengilustrasikan buku terkenal ini, menggambar 60 gambar indah untuknya. Fakta-fakta inilah, yang tidak terlalu diketahui oleh komunitas ilmiah umum, yang memberi kita hak untuk mengajukan hipotesis bahwa “Kode Da Vinci” tidak lebih dari “Rasio Emas”. Dan konfirmasi hipotesis ini dapat ditemukan dalam ceramah mahasiswa di Universitas Harvard, yang mengenang karakter utama buku "The Da Vinci Code" karya Prof. Langdon:

“Meskipun asal usulnya hampir mistis, nomor PHI memainkan peran unik dengan caranya sendiri. Peran batu bata dalam fondasi pembangunan seluruh kehidupan di bumi. Semua tumbuhan, hewan, dan bahkan manusia diberkahi dengan proporsi fisik yang kira-kira sama dengan akar rasio angka PHI berbanding 1. Keberadaan PHI di alam ini... menunjukkan hubungan semua makhluk hidup. Sebelumnya diyakini bahwa angka PHI telah ditentukan oleh Pencipta alam semesta. Para ilmuwan zaman dahulu menyebut satu koma enam ratus delapan belas ribu sebagai “proporsi ilahi”.

Jadi, bilangan irasional yang terkenal PHI = 1,618, yang oleh Leonardo da Vinci disebut sebagai “Rasio Emas”, adalah “Kode Da Vinci”!

Penemuan matematika lain dari ilmu pengetahuan kuno adalah polihedra biasa yang diberi nama "Padatan Platonis" Dan “polihedra setengah beraturan”, ditelepon "Padatan Archimedean". Bentuk geometris spasial yang luar biasa indah inilah yang mendasari dua penemuan ilmiah terbesar abad ke-20 - kristal kuasi(penulis penemuan ini adalah fisikawan Israel Dan Shekhtman) dan fullerene(Hadiah Nobel 1996). Kedua penemuan ini merupakan konfirmasi paling signifikan atas fakta bahwa Proporsi Emas-lah yang merupakan Kode Alam Universal (“Kode Da Vinci”), yang mendasari Alam Semesta.

Penemuan quasicrystals dan fullerene telah menginspirasi banyak seniman kontemporer untuk menciptakan karya yang menggambarkan dalam bentuk artistik penemuan fisik terpenting abad ke-20. Salah satu seniman tersebut adalah seniman Slovenia Ibu Teia Krashek. Artikel ini memperkenalkan dunia seni Bunda Teia Krashek melalui prisma penemuan ilmiah terkini.

Padatan Platonis

Seseorang menunjukkan minat pada poligon dan polihedron beraturan sepanjang aktivitas sadarnya - dari anak berusia dua tahun dari bermain dengan kubus kayu hingga menjadi ahli matematika yang matang. Beberapa benda beraturan dan semi beraturan terdapat di alam dalam bentuk kristal, sebagian lainnya dalam bentuk virus yang dapat diperiksa menggunakan mikroskop elektron.

Apa itu polihedron biasa? Polihedron beraturan adalah polihedron yang semua wajahnya sama (atau kongruen) satu sama lain dan pada saat yang sama merupakan poligon beraturan. Ada berapa polihedra beraturan? Sekilas, jawaban atas pertanyaan ini sangat sederhana - jumlah poligon beraturan sama banyaknya. Namun ternyata tidak. Dalam Elemen Euclid kita menemukan bukti kuat bahwa hanya ada lima polihedra beraturan cembung, dan wajahnya hanya dapat berupa tiga jenis poligon beraturan: segitiga, kotak Dan segi lima (segi lima biasa).

Banyak buku yang membahas teori polihedra. Salah satu yang paling terkenal adalah buku "Models of Polyhedra" karya matematikawan Inggris M. Wenniger. Buku ini diterbitkan dalam terjemahan bahasa Rusia oleh penerbit Mir pada tahun 1974. Prasasti buku tersebut adalah pernyataan dari Bertrand Russell: “Matematika tidak hanya memiliki kebenaran, tetapi juga keindahan yang tinggi – keindahan yang tajam dan ketat, sangat murni dan berjuang untuk kesempurnaan sejati, yang hanya merupakan ciri dari contoh seni terbesar.”

Buku ini dimulai dengan deskripsi tentang apa yang disebut polihedra biasa, yaitu polihedra yang dibentuk oleh poligon beraturan paling sederhana dari jenis yang sama. Polihedra ini biasa disebut Padatan Platonis(Gbr. 1) , dinamai filsuf Yunani kuno Plato, yang menggunakan polihedra beraturan dalam karyanya kosmologi.

Gambar 1. Padatan Platonis: (a) segi delapan (“Api”), (b) segi enam atau kubus (“Bumi”),

(c) segi delapan (“Udara”), (d) ikosahedron (“Air”), (e) dodecahedron (“Pikiran Semesta”)

Kami akan memulai pertimbangan kami dengan polihedra biasa, yang wajahnya adalah segitiga sama sisi. Yang pertama adalah segi empat(Gbr.1-a). Dalam tetrahedron, tiga segitiga sama sisi bertemu di satu titik sudut; pada saat yang sama, alasnya membentuk segitiga sama sisi baru. Tetrahedron mempunyai jumlah muka paling sedikit di antara padatan Platonis dan merupakan analogi tiga dimensi dari segitiga beraturan datar, yang memiliki jumlah sisi paling sedikit di antara poligon beraturan.

Benda selanjutnya yang dibentuk oleh segitiga sama sisi disebut segi delapan(Gbr. 1-b). Dalam sebuah segi delapan, empat segitiga bertemu di satu titik sudut; hasilnya adalah piramida dengan alas berbentuk segi empat. Jika Anda menghubungkan dua piramida seperti itu dengan alasnya, Anda mendapatkan tubuh simetris dengan delapan wajah segitiga - segi delapan.

Sekarang Anda bisa mencoba menghubungkan lima segitiga sama sisi pada satu titik. Hasilnya adalah gambar dengan 20 wajah segitiga - ikosahedron(Gbr.1-d).

Berikutnya bentuk yang benar poligon - persegi. Jika kita menghubungkan tiga persegi pada satu titik dan kemudian menambahkan tiga lagi, kita mendapatkan bentuk sempurna dengan enam sisi yang disebut pigur berenam segi atau kubus(Gbr. 1-c).

Terakhir, ada kemungkinan lain untuk membuat polihedron beraturan, berdasarkan penggunaan poligon beraturan berikut - Segi lima. Jika kita mengumpulkan 12 segi lima sedemikian rupa sehingga tiga segi lima bertemu di setiap titik, kita mendapatkan benda padat Platonis lainnya, yang disebut pigura berduabelas segi(Gbr.1-e).

Poligon beraturan berikutnya adalah segi enam. Namun, jika kita menghubungkan tiga segi enam pada satu titik, kita mendapatkan suatu permukaan, yaitu tidak mungkin membuat bangun ruang tiga dimensi dari segi enam. Poligon beraturan lainnya di atas segi enam tidak dapat membentuk benda padat sama sekali. Dari pertimbangan tersebut maka hanya ada lima polihedra beraturan yang mukanya hanya dapat berupa segitiga sama sisi, bujur sangkar, dan segi lima.

Ada hubungan geometris yang menakjubkan di antara semuanya polihedra biasa. Misalnya, kubus(Gbr.1-b) dan segi delapan(Gbr. 1-c) bersifat ganda, yaitu. diperoleh satu sama lain jika pusat gravitasi permukaan yang satu diambil sebagai titik sudut yang lain dan sebaliknya. Demikian pula ganda ikosahedron(Gbr.1-d) dan pigura berduabelas segi(Gbr.1-e) . Segi empat(Gbr. 1-a) bersifat ganda terhadap dirinya sendiri. Sebuah dodecahedron diperoleh dari sebuah kubus dengan membuat "atap" pada permukaannya (metode Euclidean); simpul-simpul dari sebuah tetrahedron adalah empat simpul dari kubus yang tidak berdekatan secara berpasangan di sepanjang tepinya, yaitu, semua polihedra beraturan lainnya dapat berupa diperoleh dari kubus. Fakta bahwa hanya ada lima polihedra beraturan saja sungguh mengejutkan - lagipula, ada banyak sekali poligon beraturan di bidang tersebut!

Karakteristik numerik padatan Platonis

Karakteristik numerik utama Padatan Platonis adalah jumlah sisi wajah M, banyaknya wajah yang bertemu pada setiap titik, M, jumlah wajah G, jumlah simpul DI DALAM, jumlah tulang rusuk R dan jumlah sudut datar kamu di permukaan polihedron, Euler menemukan dan membuktikan rumus terkenal itu

B P + G = 2,

menghubungkan jumlah simpul, tepi, dan permukaan polihedron cembung. Karakteristik numerik di atas diberikan dalam Tabel. 1.

Tabel 1

Karakteristik numerik padatan Platonis

Polihedron	Jumlah sisi tepi M	Banyaknya wajah yang bertemu pada suatu titik N	Jumlah wajah	Jumlah simpul	Jumlah tulang rusuk	Jumlah sudut datar pada permukaan
Segi empat
Hexahedron (kubus)
Icosahedron
Pigura berduabelas segi

Rasio emas dalam dodecahedron dan icosahedron

Dodecahedron dan ikosahedron gandanya (Gbr. 1-d,e) menempati tempat khusus di antara Padatan Platonis. Pertama-tama, harus ditekankan bahwa geometri pigura berduabelas segi Dan ikosahedron berhubungan langsung dengan rasio emas. Memang, ujung-ujungnya pigura berduabelas segi(Gbr.1-e) adalah segi lima, yaitu. segi lima beraturan berdasarkan rasio emas. Jika Anda melihat lebih dekat ikosahedron(Gbr. 1-d), maka Anda dapat melihat bahwa pada setiap simpulnya terdapat lima segitiga yang bertemu, yang sisi-sisi luarnya membentuk segi lima. Fakta-fakta ini saja sudah cukup untuk meyakinkan kita bahwa rasio emas memainkan peran penting dalam desain keduanya Padatan Platonis.

Namun terdapat bukti matematis yang lebih dalam mengenai peran mendasar yang dimainkan oleh rasio emas dalam perekonomian ikosahedron Dan pigura berduabelas segi. Diketahui bahwa badan-badan ini memiliki tiga bidang tertentu. Bola (dalam) pertama dimasukkan ke dalam tubuh dan menyentuh wajahnya. Mari kita nyatakan jari-jari bola bagian dalam ini dengan R saya. Bola kedua atau tengah menyentuh tulang rusuknya. Mari kita nyatakan jari-jari bola ini dengan Rm. Terakhir, bola ketiga (luar) dibatasi mengelilingi benda dan melewati simpul-simpulnya. Mari kita nyatakan jari-jarinya dengan Rc. Dalam geometri telah dibuktikan bahwa nilai jari-jari bola yang ditunjukkan untuk pigura berduabelas segi Dan ikosahedron, yang memiliki sisi dengan satuan panjang, dinyatakan melalui proporsi emas t (Tabel 2).

Meja 2

Rasio emas pada bidang dodecahedron dan ikosahedron

Icosahedron
Pigura berduabelas segi

Perhatikan bahwa perbandingan jari-jari = sama dengan perbandingan untuk ikosahedron, dan untuk pigura berduabelas segi. Jadi, jika pigura berduabelas segi Dan ikosahedron memiliki bola-bola bertulisan identik, maka bola-bola berbatasnya juga sama besar satu sama lain. Bukti hasil matematis ini diberikan dalam Awal Euclid.

Dalam geometri, hubungan lain diketahui pigura berduabelas segi Dan ikosahedron, membenarkan hubungannya dengan rasio emas. Misalnya saja jika kita ambil ikosahedron Dan pigura berduabelas segi dengan panjang rusuk sama dengan satu, dan menghitung luas luar dan volumenya, kemudian dinyatakan dalam proporsi emas (Tabel 3).

Tabel 3

Rasio emas pada luas luar dan volume dodecahedron dan ikosahedron

	Icosahedron	Pigura berduabelas segi
Daerah luar

Jadi, ada sejumlah besar hubungan yang diperoleh oleh ahli matematika kuno, yang membenarkan fakta luar biasa itu Rasio emas adalah proporsi utama dari dodecahedron dan icosahedron, dan fakta ini sangat menarik dari sudut pandang apa yang disebut "doktrin dodecahedral-ikosahedral" yang akan kita lihat di bawah.

kosmologi Plato

Polihedra beraturan yang dibahas di atas disebut Padatan Platonis, karena mereka menempati tempat penting dalam konsep filosofis Plato tentang struktur alam semesta.

Plato (427-347 SM)

Empat polihedron mempersonifikasikan empat esensi atau “elemen” di dalamnya. Segi empat dilambangkan Api, karena puncaknya mengarah ke atas; Icosahedron — Air, karena ini adalah polihedron yang paling “ramping”; kubus — Bumi, sebagai polihedron paling “stabil”; Segi delapan — Udara, sebagai polihedron paling "lapang". Polihedron kelima Pigura berduabelas segi, mewujudkan "segala sesuatu yang ada", "Pikiran Universal", melambangkan seluruh alam semesta dan dianggap sosok geometris utama alam semesta.

Orang Yunani kuno menganggap hubungan yang harmonis sebagai dasar alam semesta, sehingga keempat elemen mereka dihubungkan dengan proporsi berikut: tanah/air = udara/api. Atom-atom dari “elemen” disetel oleh Plato dalam harmoni yang sempurna, seperti empat dawai kecapi. Ingatlah bahwa harmoni adalah harmoni yang menyenangkan. Sehubungan dengan benda-benda ini, tepat untuk mengatakan bahwa sistem unsur-unsur tersebut, yang mencakup empat unsur - tanah, air, udara dan api, dikanonisasi oleh Aristoteles. Unsur-unsur ini tetap menjadi empat landasan alam semesta selama berabad-abad. Sangat mungkin untuk mengidentifikasinya dengan empat wujud materi yang kita kenal: padat, cair, gas, dan plasma.

Dengan demikian, orang-orang Yunani kuno mengaitkan gagasan tentang keharmonisan keberadaan “ujung ke ujung” dengan perwujudannya dalam padatan Platonis. Pengaruh pemikir terkenal Yunani Plato juga terpengaruh Awal Euclid. Buku ini, yang selama berabad-abad merupakan satu-satunya buku teks geometri, menjelaskan garis-garis “ideal” dan bangun-bangun “ideal”. Garis yang paling “ideal” adalah lurus, dan poligon yang paling “ideal” adalah poligon beraturan, memiliki sisi yang sama dan sudut yang sama besar. Poligon beraturan paling sederhana dapat dipertimbangkan segitiga sama sisi, karena mempunyai jumlah sisi paling sedikit yang dapat membatasi bagian bidang tersebut. Aku ingin tahu apa Awal Euclid memulai dengan deskripsi konstruksinya segitiga beraturan dan diakhiri dengan studi lima Padatan Platonis. perhatikan itu Padatan Platonis final, yaitu buku ke-13 yang didedikasikan untuknya Dimulai Euclid. Omong-omong, fakta ini, yaitu penempatan teori polihedra beraturan di buku terakhir (yang seolah-olah paling penting) Dimulai Euclid, memunculkan ahli matematika Yunani kuno Proclus, yang merupakan komentator Euclid, untuk mengajukan hipotesis menarik tentang tujuan sebenarnya yang dikejar Euclid ketika menciptakan karyanya. Awal. Menurut Proclus, Euclid menciptakan Awal bukan untuk menyajikan geometri seperti itu, tetapi untuk memberikan teori sistematis lengkap tentang konstruksi bangun-bangun “ideal”, khususnya lima Padatan Platonis, sekaligus menyoroti beberapa pencapaian terbaru di bidang matematika!

Bukan suatu kebetulan bahwa salah satu penulis penemuan fullerene, peraih Nobel Harold Kroto, dalam kuliah Nobelnya, memulai ceritanya tentang simetri sebagai “dasar persepsi kita tentang dunia fisik” dan “perannya dalam upaya menjelaskan secara komprehensif” tepatnya dengan Padatan Platonis dan “elemen dari segala sesuatu”: “Konsep simetri struktural sudah ada sejak zaman kuno…” Paling banyak contoh terkenal tentu saja dapat ditemukan dalam dialog Plato, Timaeus, di mana di bagian 53, berkaitan dengan Elemen, ia menulis: “Pertama, jelas bagi semua orang (!), tentu saja, bahwa api dan tanah, air dan udara adalah benda-benda , dan setiap benda adalah benda padat” (!!) Plato membahas masalah kimia dalam bahasa keempat unsur ini dan menghubungkannya dengan empat benda padat Platonis (saat itu hanya empat, sampai Hipparchus menemukan yang kelima - dodecahedron). Meskipun pada pandangan pertama filosofi tersebut mungkin tampak agak naif, hal ini menunjukkan pemahaman yang mendalam tentang bagaimana Alam sebenarnya bekerja."

benda padat Archimedean

Polihedra semi beraturan

Masih banyak lagi benda sempurna yang diketahui, disebut polihedra semi beraturan atau Badan Archimedean. Mereka juga memiliki semua sudut polihedral yang sama dan semua permukaannya adalah poligon beraturan, tetapi jenisnya berbeda-beda. Ada 13 polihedra semireguler, yang penemuannya dikaitkan dengan Archimedes.

Archimedes (287 SM – 212 SM)

Sekelompok benda padat Archimedean dapat dibagi menjadi beberapa kelompok. Yang pertama terdiri dari lima polihedra, yang diperoleh dari Padatan Platonis sebagai akibat dari mereka pemotongan. Badan terpotong adalah badan yang bagian atasnya terpotong. Untuk Padatan Platonis pemotongan dapat dilakukan sedemikian rupa sehingga permukaan baru yang dihasilkan dan sisa permukaan lama akan berbentuk poligon beraturan. Misalnya, segi empat(Gbr. 1-a) dapat dipotong sehingga keempat sisi segitiganya berubah menjadi empat sisi segitiga beraturan, dan ditambahkan empat sisi segitiga beraturan ke dalamnya. Dengan cara ini lima bisa diperoleh benda padat Archimedean: tetrahedron terpotong, hexahedron terpotong (kubus), oktahedron terpotong, dodecahedron terpotong Dan ikosahedron terpotong(Gbr. 2).

(A)	(B)	(V)

(G)	(e)

Gambar 2. Padatan Archimedean: (a) tetrahedron terpotong, (b) kubus terpotong, (c) oktahedron terpotong, (d) dodecahedron terpotong, (e) ikosahedron terpotong

Dalam kuliah Nobelnya, ilmuwan Amerika Smalley, salah satu penulis penemuan eksperimental fullerene, berbicara tentang Archimedes (287-212 SM) sebagai peneliti pertama polihedra terpotong, khususnya, ikosahedron terpotong Namun, dengan peringatan bahwa mungkin Archimedes mendapat pujian atas hal ini dan, mungkin, ikosahedron telah terpotong jauh sebelum dia. Cukuplah menyebutkan yang ditemukan di Skotlandia dan bertanggal sekitar 2000 SM. ratusan benda batu (ternyata untuk keperluan ritual) berbentuk bulatan dan bermacam-macam polihedra(benda-benda yang pada semua sisinya dibatasi oleh bidang datar tepian), termasuk ikosahedron dan dodecahedron. Sayangnya, karya asli Archimedes tidak bertahan lagi, dan hasilnya telah sampai kepada kita, seperti yang mereka katakan, “bekas”. Selama Renaisans semuanya benda padat Archimedean satu demi satu “ditemukan” kembali. Bagaimanapun, Kepler pada tahun 1619 dalam bukunya "World Harmony" ("Harmonice Mundi") memberikan gambaran komprehensif tentang seluruh himpunan padatan Archimedean - polihedra, yang masing-masing wajahnya mewakili poligon beraturan, dan semua puncak berada pada posisi ekuivalen (seperti atom karbon pada molekul C 60). Padatan Archimedean terdiri dari setidaknya dua jenis poligon yang berbeda, bukan 5 Padatan Platonis, yang semua permukaannya identik (seperti pada molekul C 20, misalnya).

Gambar 3. Konstruksi ikosahedron terpotong Archimedean
dari ikosahedron Platonis

Lalu bagaimana cara mendesainnya Archimedes memotong ikosahedron dari Icosahedron Platonis? Jawabannya diilustrasikan menggunakan Gambar. 3. Memang seperti terlihat dari Tabel. 1, 5 sisi bertemu di salah satu dari 12 simpul ikosahedron. Jika pada setiap titik sudut 12 bagian ikosahedron dipotong dengan bidang datar, maka akan terbentuk 12 sisi segi lima baru. Bersama dengan 20 sisi yang sudah ada, yang setelah dipotong berubah dari segitiga menjadi heksagonal, akan menjadi 32 sisi ikosahedron terpotong. Dalam hal ini, akan ada 90 sisi dan 60 simpul.

Kelompok lain benda padat Archimedean terdiri dari dua benda yang disebut kuasi-reguler polihedra. Partikel “kuasi” menekankan bahwa permukaan polihedra ini adalah poligon beraturan yang hanya terdiri dari dua jenis, dengan masing-masing permukaan dari satu jenis dikelilingi oleh poligon dari jenis lain. Kedua badan ini disebut belah ketupat Dan ikosidodecahedron(Gbr. 4).

Gambar 5. Padatan Archimedean: (a) rhombocuboctahedron, (b) rhombicosidodecahedron

Terakhir, ada dua modifikasi yang disebut “snub” - satu untuk kubus ( kubus pesek), yang lainnya untuk dodecahedron ( pesek dodecahedron) (Gbr. 6).

(A)	(B)

Gambar 6. Padatan Archimedean: (a) kubus pesek, (b) dodecahedron pesek

Dalam buku Wenniger “Models of Polyhedra” (1974) yang disebutkan di atas, pembaca dapat menemukan 75 berbagai model polihedra biasa. “Teori polihedra, khususnya polihedra cembung, adalah salah satu bab geometri yang paling menarik” ini adalah pendapat ahli matematika Rusia L.A. Lyusternak, yang banyak berbuat di bidang matematika ini. Perkembangan teori ini dikaitkan dengan nama-nama ilmuwan terkemuka. Johannes Kepler (1571-1630) memberikan kontribusi besar terhadap perkembangan teori polihedra. Pada suatu waktu dia menulis sketsa “Tentang Kepingan Salju”, di mana dia membuat pernyataan berikut: “Di antara benda-benda biasa, yang pertama, permulaan, dan nenek moyang sisanya adalah kubus, dan, jika boleh saya katakan demikian, pasangannya adalah segi delapan, karena segi delapan memiliki sudut yang sama banyaknya dengan wajah kubus.” Kepler adalah orang pertama yang mempublikasikannya daftar lengkap tigabelas benda padat Archimedean dan memberi mereka nama-nama yang mereka kenal sekarang.

Kepler adalah orang pertama yang mempelajari apa yang disebut polihedra bintang, yang, tidak seperti padatan Platonis dan Archimedean, merupakan polihedra cembung beraturan. Pada awal abad terakhir, ahli matematika dan mekanik Perancis L. Poinsot (1777-1859), yang karya geometrisnya berkaitan dengan polihedra bintang, mengembangkan karya Kepler dan menemukan keberadaan dua jenis lagi polihedra non-cembung beraturan. Jadi, berkat karya Kepler dan Poinsot, empat jenis figur tersebut dikenal (Gbr. 7). Pada tahun 1812, O. Cauchy membuktikan bahwa tidak ada polihedra bintang beraturan lainnya.

Gambar 7. Polihedra bintang biasa (Poinsot padatan)

Banyak pembaca mungkin bertanya: “Mengapa mempelajari polihedra biasa? Apa gunanya? Pertanyaan ini bisa dijawab: “Apa manfaat musik atau puisi? Apakah segala sesuatu yang indah bermanfaat? Model polihedra ditunjukkan pada Gambar. 1-7, yang terpenting memberikan kesan estetis bagi kita dan dapat digunakan sebagai hiasan dekoratif. Namun faktanya, meluasnya kemunculan polihedra beraturan pada struktur alami telah menimbulkan minat yang sangat besar terhadap cabang geometri ini ilmu pengetahuan modern.

Misteri Kalender Mesir

Apa itu kalender?

Sebuah pepatah Rusia mengatakan, ”Waktu adalah mata sejarah.” Segala sesuatu yang ada di Alam Semesta: Matahari, Bumi, bintang, planet, dunia yang dikenal dan tidak dikenal, dan segala sesuatu yang ada di alam benda hidup dan benda mati, semuanya mempunyai dimensi ruang-waktu. Waktu diukur dengan mengamati proses yang berulang secara berkala dengan durasi tertentu.

Bahkan di zaman kuno, orang memperhatikan bahwa siang selalu berganti dengan malam, dan musim berlalu dalam urutan yang ketat: setelah musim dingin datanglah musim semi, setelah musim semi datanglah musim panas, setelah musim panas datanglah musim gugur. Untuk mencari solusi atas fenomena ini, manusia memperhatikan benda-benda langit - Matahari, Bulan, bintang - dan periodisitas pergerakannya melintasi langit. Ini adalah pengamatan pertama yang mendahului lahirnya salah satu ilmu paling kuno - astronomi.

Astronomi mendasarkan pengukuran waktu pada pergerakan benda langit, yang mencerminkan tiga faktor: rotasi Bumi pada porosnya, revolusi Bulan mengelilingi Bumi, dan pergerakan Bumi mengelilingi Matahari. Perbedaan konsep waktu bergantung pada fenomena mana yang menjadi dasar pengukuran waktu. Astronomi tahu bintang waktu, cerah waktu, lokal waktu, pinggang waktu, cuti hamil waktu, atom waktu, dll.

Matahari, seperti semua tokoh lainnya, berpartisipasi dalam pergerakan melintasi langit. Selain pergerakan harian, Matahari mempunyai apa yang disebut pergerakan tahunan, dan seluruh jalur pergerakan tahunan Matahari melintasi langit disebut ekliptika. Jika misalnya kita memperhatikan letak rasi bintang pada suatu malam tertentu, lalu mengulangi pengamatan tersebut setiap bulannya, maka gambaran langit yang berbeda akan muncul di hadapan kita. Kemunculan langit berbintang terus berubah: setiap musim memiliki pola konstelasi malamnya sendiri-sendiri, dan setiap pola tersebut berulang setiap tahun. Akibatnya, setelah satu tahun, Matahari kembali ke tempat asalnya relatif terhadap bintang.

Untuk kemudahan orientasi di dunia berbintang, para astronom membagi seluruh langit menjadi 88 rasi bintang. Masing-masing mempunyai nama tersendiri. Dari 88 rasi bintang, tempat khusus dalam astronomi ditempati oleh rasi bintang yang dilalui ekliptika. Rasi bintang ini, selain namanya sendiri, juga memiliki nama umum - zodiak(dari kata Yunani “zoop” binatang), serta simbol (tanda) yang dikenal luas di seluruh dunia dan berbagai gambar alegoris yang termasuk dalam sistem kalender.

Diketahui bahwa dalam proses pergerakannya sepanjang ekliptika, Matahari melintasi 13 rasi bintang. Namun, para astronom merasa perlu untuk membagi jalur Matahari bukan menjadi 13, tetapi menjadi 12 bagian, menggabungkan konstelasi Scorpio dan Ophiuchus menjadi satu di bawah nama yang umum Scorpio (mengapa?).

Masalah pengukuran waktu ditangani oleh ilmu khusus yang disebut kronologi. Ini mendasari semua sistem kalender yang diciptakan oleh umat manusia. Penciptaan kalender pada zaman dahulu adalah salah satunya tugas yang paling penting astronomi.

Apa itu “kalender” dan jenis apa saja yang ada? sistem kalender? Kata kalender berasal dari kata latin kalenderium, yang secara harfiah berarti "buku utang"; dalam buku-buku seperti itu hari-hari pertama setiap bulan ditunjukkan - kalender, di mana di Roma kuno debitur membayar bunga.

Sejak zaman kuno di negara-negara Asia Timur dan Tenggara saat menyusun kalender sangat penting memberikan periodisitas pada pergerakan Matahari, Bulan, dan juga Jupiter Dan Saturnus, dua planet raksasa tata surya. Ada alasan untuk percaya bahwa gagasan untuk mencipta kalender Yovian dengan simbolisme langit dari siklus hewan 12 tahun yang terkait dengan rotasi Jupiter mengelilingi Matahari, yang melakukan revolusi penuh mengelilingi Matahari dalam waktu sekitar 12 tahun (11,862 tahun). Di sisi lain, planet raksasa kedua di tata surya adalah Saturnus melakukan revolusi penuh mengelilingi Matahari dalam waktu sekitar 30 tahun (29,458 tahun). Ingin menyelaraskan siklus gerak planet-planet raksasa, orang Tiongkok kuno muncul dengan ide untuk memperkenalkan siklus tata surya 60 tahun. Selama siklus ini, Saturnus membuat 2 revolusi penuh mengelilingi Matahari, dan Jupiter 5 revolusi.

Saat membuat kalender tahunan, fenomena astronomi digunakan: pergantian siang dan malam, perubahan fase bulan dan pergantian musim. Penggunaan berbagai fenomena astronomi menyebabkan terciptanya tiga jenis kalender di antara berbagai bangsa: bulan, berdasarkan pergerakan Bulan, cerah, berdasarkan pergerakan Matahari, dan lunisolar.

Struktur kalender Mesir

Salah satu kalender matahari pertama adalah Mesir, dibuat pada milenium ke-4 SM. Tahun kalender Mesir asli terdiri dari 360 hari. Satu tahun dibagi menjadi 12 bulan yang masing-masing bulannya tepat 30 hari. Namun, belakangan diketahui bahwa panjang tahun kalender ini tidak sesuai dengan tahun astronomi. Dan kemudian orang Mesir menambahkan 5 hari lagi ke tahun kalender, yang bagaimanapun juga bukan hari dalam sebulan. Saat itu jam 5 liburan, menghubungkan tahun kalender yang berdekatan. Jadi, tahun penanggalan Mesir memiliki struktur sebagai berikut: 365 = 12ґ 30 + 5. Perhatikan bahwa penanggalan Mesir merupakan prototipe penanggalan modern.

Timbul pertanyaan: mengapa orang Mesir membagi tahun kalender menjadi 12 bulan? Lagi pula, ada kalender dengan jumlah bulan berbeda dalam setahun. Misalnya dalam kalender Maya, satu tahun terdiri dari 18 bulan dengan 20 hari dalam sebulan. Pertanyaan selanjutnya mengenai kalender Mesir: mengapa setiap bulan memiliki tepat 30 hari (lebih tepatnya hari)? Beberapa pertanyaan juga dapat diajukan mengenai sistem pengukuran waktu Mesir, khususnya mengenai pilihan satuan waktu seperti jam, menit, detik. Secara khusus timbul pertanyaan: mengapa satuan jam dipilih sedemikian rupa sehingga cocok tepat 24 kali dalam sehari, yaitu mengapa 1 hari = 24 (2½ 12) jam? Selanjutnya: kenapa 1 jam = 60 menit, dan 1 menit = 60 detik? Pertanyaan yang sama berlaku untuk pemilihan satuan besaran sudut, khususnya: mengapa lingkaran dibagi menjadi 360°, yaitu mengapa 2p =360° =12ґ 30°? Pada pertanyaan-pertanyaan ini ditambahkan pertanyaan lain, khususnya: mengapa para astronom merasa perlu untuk percaya bahwa ada 12 zodiak tanda-tandanya, padahal sebenarnya selama pergerakannya sepanjang ekliptika, Matahari melintasi 13 rasi bintang? Dan satu lagi pertanyaan “aneh”: mengapa sistem bilangan Babilonia memiliki basis yang sangat tidak biasa - angka 60?

Hubungan antara kalender Mesir dan karakteristik numerik dodecahedron

Menganalisis kalender Mesir, serta sistem Mesir untuk mengukur waktu dan nilai sudut, kita menemukan bahwa empat angka diulang dengan keteguhan yang luar biasa: 12, 30, 60 dan angka turunannya 360 = 12ґ 30. Timbul pertanyaan: apakah adakah ide ilmiah mendasar yang dapat memberikan penjelasan sederhana dan logis mengenai penggunaan angka-angka ini dalam sistem Mesir?

Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita kembali ke pigura berduabelas segi, ditunjukkan pada Gambar. 1-hari. Ingatlah bahwa semua rasio geometri dodecahedron didasarkan pada rasio emas.

Tahukah orang Mesir tentang dodecahedron? Sejarawan matematika mengakui bahwa orang Mesir kuno memiliki informasi tentang polihedra beraturan. Namun apakah mereka mengetahui secara khusus kelima polihedra beraturan? pigura berduabelas segi Dan ikosahedron Apa yang paling sulit? Ahli matematika Yunani kuno, Proclus, mengaitkan konstruksi polihedra beraturan dengan Pythagoras. Tetapi banyak teorema dan hasil matematika (khususnya teori Pitagoras) Pythagoras meminjam dari orang Mesir kuno selama “perjalanan bisnis” yang sangat panjang ke Mesir (menurut beberapa informasi, Pythagoras tinggal di Mesir selama 22 tahun!). Oleh karena itu, kita dapat berasumsi bahwa Pythagoras mungkin juga meminjam pengetahuan tentang polihedra biasa dari orang Mesir kuno (dan mungkin dari Babilonia kuno, karena menurut legenda, Pythagoras tinggal di Babel kuno 12 tahun). Namun ada bukti lain yang lebih meyakinkan bahwa orang Mesir memiliki informasi tentang kelima polihedra beraturan. Secara khusus, British Museum menyimpan cetakan dari era Ptolemeus, yang berbentuk ikosahedron, yaitu, “padatan Platonis”, ganda pigura berduabelas segi. Semua fakta ini memberi kita hak untuk mengajukan hipotesis bahwa Dodecahedron dikenal orang Mesir. Dan jika demikian, maka hipotesis ini menghasilkan sistem yang sangat harmonis, yang memungkinkan kita menjelaskan asal usul kalender Mesir, dan pada saat yang sama asal usul sistem pengukuran interval waktu dan sudut geometris Mesir.

Sebelumnya, kita telah mengetahui bahwa dodecahedron memiliki 12 sisi, 30 sisi, dan 60 sudut datar pada permukaannya (Tabel 1). Berdasarkan hipotesis yang diketahui orang Mesir pigura berduabelas segi dan ciri-ciri numeriknya adalah 12, 30. 60, lalu betapa terkejutnya mereka ketika mengetahui bahwa angka-angka yang sama menyatakan siklus tata surya, yaitu siklus 12 tahun Jupiter, siklus 30 tahun Saturnus dan, terakhir, siklus musim panas 60 tahun tata surya. Jadi, antara sosok spasial yang sempurna seperti pigura berduabelas segi, dan Tata Surya, terdapat hubungan matematis yang mendalam! Kesimpulan ini dibuat oleh para ilmuwan kuno. Hal ini menyebabkan fakta bahwa pigura berduabelas segi diadopsi sebagai “tokoh utama” yang disimbolkan Harmoni Alam Semesta. Dan kemudian orang Mesir memutuskan bahwa semua sistem utama mereka (sistem kalender, sistem pengukuran waktu, sistem pengukuran sudut) harus sesuai dengan parameter numerik. pigura berduabelas segi! Karena, menurut orang dahulu, pergerakan Matahari sepanjang ekliptika sangat melingkar, maka, dengan memilih 12 tanda Zodiak, yang jarak busurnya tepat 30°, orang Mesir secara mengejutkan mengoordinasikan pergerakan tahunan Matahari dengan sangat indah. sepanjang ekliptika dengan struktur tahun kalendernya: satu bulan berhubungan dengan pergerakan Matahari sepanjang ekliptika antara dua tanda Zodiak yang bertetangga! Selain itu, pergerakan Matahari sebesar satu derajat sama dengan satu hari dalam tahun kalender Mesir! Dalam hal ini, ekliptika secara otomatis terbagi menjadi 360°. Setelah membagi setiap hari menjadi dua bagian, mengikuti dodecahedron, orang Mesir kemudian membagi setiap setengah hari menjadi 12 bagian (12 wajah pigura berduabelas segi) dan dengan demikian diperkenalkan jam- satuan waktu yang paling penting. Membagi satu jam menjadi 60 menit (60 sudut bidang di permukaan pigura berduabelas segi), orang Mesir memperkenalkan dengan cara ini menit– satuan waktu penting berikutnya. Dengan cara yang sama mereka memperkenalkan beri aku waktu sebentar- satuan waktu terkecil untuk periode tersebut.

Jadi, memilih pigura berduabelas segi sebagai figur “harmonik” utama alam semesta, dan secara ketat mengikuti karakteristik numerik dari dodecahedron 12, 30, 60, orang Mesir berhasil membangun kalender yang sangat harmonis, serta sistem untuk mengukur waktu dan nilai sudut. Sistem ini sepenuhnya konsisten dengan “Teori Harmoni” yang didasarkan pada proporsi emas, karena proporsi inilah yang mendasarinya pigura berduabelas segi.

Berikut adalah kesimpulan mengejutkan yang didapat dari perbandingan tersebut: pigura berduabelas segi dengan tata surya. Dan jika hipotesis kita benar (biarkan seseorang mencoba membantahnya), maka umat manusia telah hidup selama ribuan tahun di bawah tanda rasio emas! Dan setiap kali kita melihat dial jam tangan kita, yang juga dibuat berdasarkan penggunaan karakteristik numerik pigura berduabelas segi 12, 30 dan 60, kita menyentuh "Misteri Alam Semesta" utama - rasio emas, tanpa menyadarinya!

Quasicrystals oleh Dan Shekhtman

Pada tanggal 12 November 1984, sebuah makalah pendek yang diterbitkan dalam jurnal bergengsi Physical Review Letters oleh fisikawan Israel Dan Shechtman memberikan bukti eksperimental keberadaan paduan logam dengan sifat luar biasa. Ketika dipelajari dengan metode difraksi elektron, paduan ini menunjukkan semua tanda kristal. Pola difraksinya terdiri dari titik-titik terang dan berjarak teratur, seperti kristal. Namun, gambaran ini dicirikan oleh adanya simetri “ikosahedral” atau “pentangonal”, yang dilarang keras dalam kristal karena alasan geometris. Paduan yang tidak biasa disebut kristal kuasi. Dalam waktu kurang dari setahun, banyak paduan jenis ini ditemukan. Jumlahnya sangat banyak sehingga keadaan kuasikristalin ternyata jauh lebih umum daripada yang dibayangkan.

Fisikawan Israel Dan Shechtman

Konsep quasicrystal sangat menarik karena menggeneralisasi dan melengkapi definisi kristal. Sebuah teori yang didasarkan pada konsep ini menggantikan gagasan kuno tentang " unit struktural, diulangi di ruang angkasa secara berkala”, konsep kuncinya pesanan jangka panjang. Sebagaimana ditekankan dalam artikel “Quasicrystals” oleh fisikawan terkenal D. Gratia, “Konsep ini mengarah pada perluasan kristalografi, kekayaan baru yang baru saja kita mulai eksplorasi. Signifikansinya dalam dunia mineral dapat disejajarkan dengan penambahan konsep bilangan irasional ke dalam bilangan rasional dalam matematika.”

Apa itu quasicrystal? Apa saja sifat-sifatnya dan bagaimana cara mendeskripsikannya? Seperti disebutkan di atas, menurut hukum dasar kristalografi Pembatasan ketat diberlakukan pada struktur kristal. Menurut konsep klasik, kristal tersusun ad infinitum dari satu sel, yang harus “menutupi” seluruh bidang secara rapat (tatap muka) tanpa batasan apa pun.

Seperti diketahui, pengisian pesawat secara padat dapat dilakukan dengan menggunakan segitiga(Gbr.7-a), kotak(Gbr.7-b) dan segi enam(Gbr.7-d). Dengan menggunakan segi lima (Pentagon) pengisian seperti itu tidak mungkin dilakukan (Gbr. 7-c).

A)	B)	V)	G)

Gambar 7. Pengisian bidang secara padat dapat dilakukan dengan menggunakan segitiga (a), persegi (b) dan segi enam (d)

Ini adalah aturan kristalografi tradisional, yang sudah ada sebelum ditemukannya paduan aluminium dan mangan yang tidak biasa, yang disebut quasicrystal. Paduan semacam itu dibentuk oleh pendinginan lelehan yang sangat cepat dengan laju 10 6 K per detik. Selain itu, selama studi difraksi paduan semacam itu, pola terurut muncul di layar, karakteristik simetri ikosahedron, yang memiliki sumbu simetri orde 5 terlarang yang terkenal.

Beberapa kelompok ilmiah di seluruh dunia selama beberapa tahun berikutnya mempelajari paduan yang tidak biasa ini mikroskop elektron resolusi tinggi. Semuanya menegaskan homogenitas ideal zat, di mana simetri orde 5 dipertahankan di daerah makroskopis dengan dimensi yang mendekati ukuran atom (beberapa puluh nanometer).

Menurut pandangan modern, model berikut untuk memperoleh struktur kristal quasicrystal telah dikembangkan. Model ini didasarkan pada konsep “elemen dasar”. Menurut model ini, ikosahedron bagian dalam yang terdiri dari atom aluminium dikelilingi oleh ikosahedron bagian luar yang terdiri dari atom mangan. Icosahedron dihubungkan oleh atom mangan oktahedra. "Elemen dasar" mengandung 42 atom aluminium dan 12 atom mangan. Selama proses pemadatan, terjadi pembentukan “elemen dasar” dengan cepat, yang dengan cepat dihubungkan satu sama lain melalui “jembatan” oktahedral yang kaku. Ingatlah bahwa muka ikosahedron adalah segitiga sama sisi. Agar jembatan mangan oktahedral dapat terbentuk, dua segitiga tersebut (satu di setiap sel) harus cukup dekat satu sama lain dan sejajar. Sebagai hasil dari proses fisik ini, struktur kuasikristalin dengan simetri “ikosahedral” terbentuk.

Dalam beberapa dekade terakhir, banyak jenis paduan kuasikristalin telah ditemukan. Selain yang mempunyai simetri “ikosahedral” (orde 5), ada juga paduan yang simetri dekagonal (orde 10) dan simetri dodekagonal (orde 12). Sifat fisik quasicrystals baru saja mulai dipelajari.

Apa signifikansi praktis dari penemuan quasicrystals? Sebagaimana disebutkan dalam artikel Gratia yang disebutkan di atas, “kekuatan mekanik paduan kuasikristalin meningkat tajam; tidak adanya periodisitas menyebabkan perlambatan penyebaran dislokasi dibandingkan dengan logam konvensional... Sifat ini sangat penting secara praktis: penggunaan fase ikosahedral akan memungkinkan diperolehnya paduan yang ringan dan sangat kuat dengan memasukkan partikel-partikel kecil quasicrystals ke dalam matriks aluminium.”

Apa signifikansi metodologis dari penemuan quasicrystals? Pertama-tama, penemuan quasicrystals merupakan momen kemenangan besar “doktrin dodecahedral-icosahedral”, yang meresapi seluruh sejarah ilmu pengetahuan alam dan merupakan sumber ide-ide ilmiah yang mendalam dan berguna. Kedua, quasicrystals menghancurkan gagasan tradisional tentang kesenjangan yang tidak dapat diatasi antara dunia mineral, di mana simetri “pentagonal” dilarang, dan dunia satwa liar, di mana simetri “pentagonal” adalah salah satu yang paling umum. Dan kita tidak boleh lupa bahwa proporsi utama ikosahedron adalah “rasio emas”. Dan penemuan quasicrystals adalah konfirmasi ilmiah lainnya bahwa, mungkin, “proporsi emas”, yang memanifestasikan dirinya baik di dunia satwa liar maupun di dunia mineral, itulah proporsi utama Alam Semesta.

Ubin Penrose

Ketika Dan Shekhtman memberikan bukti eksperimental keberadaan quasicrystals dengan simetri ikosahedral, fisikawan yang mencari penjelasan teoritis untuk fenomena quasicrystals, menarik perhatian pada penemuan matematika yang dibuat 10 tahun sebelumnya oleh ahli matematika Inggris Roger Penrose. Sebagai “analog datar” dari quasicrystals, kami memilih Ubin Penrose, yang merupakan struktur beraturan aperiodik yang dibentuk oleh belah ketupat “tebal” dan “tipis”, mengikuti proporsi “bagian emas”. Tepat Ubin Penrose diadopsi oleh ahli kristalografi untuk menjelaskan fenomena tersebut kristal kuasi. Pada saat yang sama, perannya Berlian Penrose dalam ruang tiga dimensi mulai dimainkan ikosahedron, dengan bantuan yang dilakukan pengisian ruang tiga dimensi secara padat.

Mari kita lihat lebih dekat segi lima pada Gambar. 8.

Angka 8. Segi lima

Setelah menggambar diagonal di dalamnya, segi lima asli dapat direpresentasikan sebagai kumpulan tiga jenis bangun geometris. Di tengahnya terdapat segi lima baru yang dibentuk oleh titik potong diagonalnya. Selain itu, Pentagon pada Gambar. Gambar 8 memuat lima segitiga sama kaki, diwarnai kuning, dan lima segitiga sama kaki berwarna merah. Segitiga kuning disebut "emas" karena rasio pinggul dan alasnya sama dengan rasio emas; mereka memiliki sudut lancip 36° di puncak dan sudut lancip 72° di alas. Segitiga merah juga “emas”, karena rasio pinggul dan alas sama dengan rasio emas; mereka memiliki sudut tumpul 108° di puncak dan sudut lancip 36° di dasar.

Sekarang mari kita hubungkan dua segitiga kuning dan dua segitiga merah dengan alasnya. Hasilnya, kami mendapat dua belah ketupat "emas".. Yang pertama (kuning) mempunyai sudut lancip 36° dan sudut tumpul 144° (Gbr. 9).

(A)	(B)

Gambar 9." Belah ketupat emas: a) belah ketupat "tipis"; (b) belah ketupat “tebal”.

Berlian pada Gambar. Kami akan menyebutnya 9 belah ketupat tipis, dan belah ketupat pada Gambar. 9-b – belah ketupat tebal.

Matematikawan dan fisikawan Inggris Rogers Penrose menggunakan berlian “emas” pada Gambar. 9 untuk konstruksi parket “emas”, yang disebut Ubin Penrose. Ubin penrose adalah kombinasi berlian tebal dan tipis, ditunjukkan pada Gambar. 10.

Gambar 10. Ubin Penrose

Penting untuk menekankan hal itu Ubin Penrose memiliki simetri “pentagonal” atau simetri orde 5, dan perbandingan jumlah belah ketupat tebal dan belah tipis cenderung pada proporsi emas!

Fullerene

Sekarang mari kita bicara tentang penemuan modern luar biasa lainnya di bidang kimia. Penemuan ini dilakukan pada tahun 1985, yaitu beberapa tahun setelah quasicrystals. Kita berbicara tentang apa yang disebut “fullerene”. Istilah “fullerene” mengacu pada molekul tertutup dari tipe C 60, C 70, C 76, C 84, yang semua atom karbonnya terletak pada permukaan bola atau bola. Dalam molekul-molekul ini, atom karbon tersusun pada simpul segi enam atau segi lima beraturan yang menutupi permukaan bola atau spheroid. Tempat sentral di antara fullerene ditempati oleh molekul C 60, yang dicirikan oleh simetri terbesar dan, sebagai konsekuensinya, stabilitas terbesar. Dalam molekul berbentuk ban ini sepak bola dan memiliki struktur ikosahedron terpotong beraturan (Gbr. 2-e dan Gbr. 3), atom karbon terletak pada permukaan bola di titik sudut 20 segi enam beraturan dan 12 segi lima beraturan sehingga setiap segi enam berbatasan dengan tiga segi enam dan tiga segi lima , dan setiap pentagon berbatasan dengan segi enam.

Istilah "fullerene" berasal dari nama arsitek Amerika Buckminster Fuller, yang ternyata menggunakan struktur seperti itu ketika membangun kubah bangunan (penggunaan lain dari icosahedron terpotong!).

"Fullerene" pada dasarnya adalah struktur "buatan manusia" yang timbul dari penelitian fisika dasar. Mereka pertama kali disintesis oleh ilmuwan G. Croto dan R. Smalley (yang menerima Hadiah Nobel pada tahun 1996 untuk penemuan ini). Namun secara tak terduga mereka ditemukan di bebatuan pada periode Prakambrium, yaitu fullerene ternyata bukan hanya “buatan manusia”, tetapi juga formasi alami. Sekarang fullerene sedang dipelajari secara intensif di laboratorium di berbagai negara, mencoba menetapkan kondisi untuk pembentukan, struktur, sifat, dan kemungkinan penerapannya. Perwakilan keluarga fullerene yang paling banyak dipelajari adalah fullerene-60 (C 60) (kadang-kadang disebut Buckminster fullerene. Fullerene C 70 dan C 84 juga dikenal. Fullerene C 60 diperoleh dengan menguapkan grafit dalam atmosfer helium. Ini menghasilkan bubuk halus seperti jelaga, mengandung 10% karbon; ketika dilarutkan dalam benzena, bubuk tersebut menghasilkan larutan berwarna merah, dari mana kristal C 60 tumbuh. Fullerene memiliki sifat kimia dan kimia yang tidak biasa properti fisik. Ya kapan tekanan darah tinggi Dari 60 menjadi keras seperti berlian. Molekul-molekulnya membentuk struktur kristal, seolah-olah terdiri dari bola-bola halus sempurna, berputar bebas dalam kisi kubik berpusat muka. Berkat sifat ini, C 60 dapat digunakan sebagai pelumas padat. Fullerene juga memiliki sifat magnetik dan superkonduktor.

Ilmuwan Rusia A.V. Eletsky dan B.M. Smirnov dalam artikelnya “Fullerene”, yang diterbitkan dalam jurnal “Uspekhi Fizicheskikh Nauk” (1993, volume 163, no. 2), mencatat bahwa "fullerene, yang keberadaannya telah diketahui di pertengahan tahun 80-an, dan teknologi yang efisien isolasi yang dikembangkan pada tahun 1990, kini telah menjadi subjek penelitian intensif oleh puluhan kelompok ilmiah. Hasil penelitian ini dipantau secara ketat oleh perusahaan aplikasi. Karena modifikasi karbon ini telah memberikan sejumlah kejutan kepada para ilmuwan, maka tidaklah bijaksana untuk mendiskusikan prakiraan dan kemungkinan konsekuensi dari mempelajari fullerene pada dekade berikutnya, namun kita harus bersiap menghadapi kejutan baru."

Dunia seni seniman Slovenia Matyushka Teja Krašek

Matjuska Teja Krasek menerima gelar BA dalam bidang Lukisan dari Sekolah Tinggi Seni Visual (Ljubljana, Slovenia) dan merupakan seniman lepas. Tinggal dan bekerja di Ljubljana. Karya teoretis dan praktisnya berfokus pada simetri sebagai konsep yang menjembatani antara seni dan sains. Karya seninya telah dipresentasikan di banyak tempat pameran internasional dan diterbitkan di jurnal internasional (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

M.T. Krašek di pamerannya 'Kaleidoskopik Wewangian', Ljubljana, 2005

Kreativitas seni Bunda Teia Krashek dikaitkan dengan berbagai jenis simetri, ubin Penrose dan belah ketupat, kuasikristal, rasio emas sebagai elemen utama simetri, bilangan Fibonacci, dll. Dengan bantuan refleksi, imajinasi dan intuisi, ia mencoba untuk pilih hubungan baru, tingkat struktur baru, baru dan jenis yang berbeda keteraturan dalam elemen dan struktur ini. Dalam karyanya, ia banyak menggunakan grafik komputer sebagai alat yang sangat berguna untuk menciptakan karya seni, yang merupakan penghubung antara sains, matematika, dan seni.

Pada Gambar. 11 menunjukkan komposisi T.M. Krashek terkait dengan angka Fibonacci. Jika kita memilih salah satu bilangan Fibonacci (misalnya, 21 cm) untuk panjang sisi berlian Penrose dalam komposisi yang jelas-jelas tidak stabil ini, kita dapat mengamati bagaimana panjang beberapa segmen dalam komposisi tersebut membentuk deret Fibonacci.

Gambar 11. Ibu Teia Krashek “Bilangan Fibonacci”, kanvas, 1998.

Sejumlah besar komposisi artistik seniman didedikasikan untuk quasicrystals Shechtman dan kisi Penrose (Gbr. 12).

(A)	(B)

(V)	(G)

Gambar 12. Dunia Teia Krashek: (a) Dunia Kuasikristal. Grafik komputer, 1996.
(b) Bintang. Grafik komputer, 1998 (c) 10/5. Kanvas, 1998 (d) Kuasi-kubus. Kanvas, 1999

Komposisi Biogenesis karya Mother Theia Krashek dan Clifford Pickover, 2005 (Gbr. 13) menampilkan dekagon yang terdiri dari berlian Penrose. Hubungan antara belah ketupat Petrose dapat diamati; Setiap dua berlian Penrose yang berdekatan membentuk bintang segi lima.

Gambar 13. Ibu Theia Krashek dan Clifford Pickover. Biogenesis, 2005.

Dalam gambar Bintang Ganda GA(Gambar 14) kita melihat bagaimana ubin Penrose digabungkan untuk membentuk representasi dua dimensi dari objek yang berpotensi hiperdimensi dengan basis dekagonal. Saat menggambarkan lukisannya, sang seniman menggunakan metode tepi kaku yang dikemukakan oleh Leonardo da Vinci. Metode penggambaran inilah yang memungkinkan seseorang untuk melihat dalam proyeksi gambar ke bidang sejumlah besar segi lima dan pentakel, yang dibentuk oleh proyeksi tepi individu belah ketupat Penrose. Selain itu, dalam proyeksi gambar ke bidang kita melihat segi sepuluh yang dibentuk oleh tepi 10 belah ketupat Penrose yang berdekatan. Intinya, dalam gambar ini, Ibu Teia Krashek menemukan polihedron beraturan baru, yang sangat mungkin benar-benar ada di alam.

Gambar 14. Ibu Teia Krashek. Bintang Ganda GA

Dalam komposisi Krashek “Stars for Donald” (Gbr. 15) kita dapat mengamati interaksi tak berujung dari belah ketupat, pentagram, pentagon Penrose, menurun menuju titik pusat komposisi. Rasio emas rasio direpresentasikan dalam berbagai cara pada skala yang berbeda.

Gambar 15. Ibu Theia Krashek “Bintang untuk Donald”, grafik komputer, 2005.

Komposisi artistik Bunda Teia Krashek menarik perhatian besar dari perwakilan ilmu pengetahuan dan seni. Karya seninya disamakan dengan seni Maurits Escher dan seniman Slovenia disebut “Escher Eropa Timur” dan “hadiah Slovenia” untuk seni dunia.

Stakhov A.P. “The Da Vinci Code”, padatan Platonis dan Archimedean, quasicrystals, fullerene, kisi Penrose dan dunia seni Bunda Teia Krashek // “Academy of Trinitarianism”, M., El No.77-6567, pub.12561, 07.11. 2005

Padatan Platonis

Jumlah polihedra biasa sangat sedikit, tetapi pasukan yang sangat sederhana ini berhasil mendalami berbagai ilmu pengetahuan.

L.Carroll

Manusia selalu menunjukkan minat pada polihedra. Beberapa benda beraturan dan semi beraturan terdapat di alam dalam bentuk kristal, sebagian lainnya dalam bentuk virus yang dapat diperiksa menggunakan mikroskop elektron. Apa itu polihedron? Polihedron adalah bagian ruang yang dibatasi oleh kumpulan poligon datar dalam jumlah terbatas.

Para ilmuwan telah lama tertarik pada poligon “ideal” atau beraturan, yaitu poligon dengan sisi yang sama dan sudut yang sama. Poligon beraturan yang paling sederhana dapat dianggap sebagai segitiga sama sisi, karena memiliki jumlah sisi paling sedikit yang dapat membatasi bagian bidang tersebut. Gambaran umum poligon beraturan yang menarik perhatian kita, bersama dengan segitiga sama sisi, adalah: persegi (empat sisi), segi lima (lima sisi), segi enam (enam sisi), segi delapan (delapan sisi), dekagon (sepuluh sisi), dll. Jelasnya, secara teori, tidak ada batasan jumlah sisi poligon beraturan, artinya jumlah poligon beraturan tidak terbatas.

Apa itu polihedron biasa? Polihedron beraturan adalah polihedron yang semua wajahnya sama (atau kongruen) satu sama lain dan pada saat yang sama merupakan poligon beraturan. Ada berapa polihedra beraturan? Dalam buku XIII Elemen Euclid, yang didedikasikan untuk polihedra beraturan, atau padatan Platonis (Plato membahasnya dalam dialog Timaeus), kita menemukan bukti kuat bahwa hanya ada lima polihedra beraturan, dan wajahnya hanya dapat berupa tiga jenis poligon beraturan: segitiga, persegi dan segi lima.

Pembuktian bahwa terdapat tepat lima polihedra cembung beraturan sangatlah sederhana.

Jelasnya, setiap titik sudut polihedron dapat dimiliki oleh tiga wajah atau lebih. Pertama, perhatikan kasus ketika permukaan polihedron adalah segitiga sama sisi. Karena sudut dalam segitiga sama sisi adalah 60°, maka ketiga sudut tersebut yang ditempatkan pada suatu bidang akan berjumlah 180°. Jika sekarang kita membengkokkan sudut-sudut ini di sepanjang sisi dalam dan merekatkannya di sepanjang sisi luar, kita mendapatkan sudut polihedral dari tetrahedron - polihedron beraturan, di setiap titik sudut yang bertemu dengan tiga sisi segitiga beraturan. Tiga segitiga beraturan dengan atasan umum disebut pengembangan simpul tetrahedron. Jika Anda menambahkan segitiga lain ke titik perkembangannya, totalnya adalah 240°. Ini adalah pengembangan dari puncak segi delapan. Menambahkan segitiga kelima akan menghasilkan sudut 300° - kita mendapatkan perkembangan titik sudut ikosahedron. Jika kita menambahkan segitiga keenam yang lain, jumlah sudutnya menjadi 360° - perkembangan ini, jelas, tidak dapat disamakan dengan polihedron cembung mana pun.

Sekarang mari kita beralih ke permukaan persegi. Perkembangan tiga sisi persegi memiliki sudut 3 x 90° = 270° - ini menghasilkan titik sudut kubus, yang juga disebut segi enam. Menambahkan persegi lain akan meningkatkan sudut menjadi 360° - perkembangan ini tidak lagi sesuai dengan polihedron cembung mana pun.

Tiga muka segi lima memberikan sudut pindai 3 x 108° = 324° - titik puncak dodecahedron. Jika kita menambahkan segi lima lagi, kita mendapatkan lebih dari 360°.

Untuk segi enam, sudah ada tiga sisi yang memberikan sudut pemindaian 3 x 120° = 360°, jadi tidak ada polihedron cembung beraturan dengan sisi heksagonal. Jika wajah memiliki lebih banyak sudut, maka pemindaian akan memiliki sudut yang lebih besar. Artinya tidak ada polihedra cembung beraturan yang mukanya mempunyai enam sudut atau lebih.

Jadi, kami yakin bahwa hanya ada lima polihedra beraturan cembung - tetrahedron, oktahedron, dan ikosahedron dengan sisi segitiga, kubus (hexahedron) dengan sisi persegi, dan dodecahedron dengan sisi pentagonal.

Lima polihedra beraturan atau padatan Platonis telah digunakan dan dikenal jauh sebelum zaman Plato. Kate Crichlow, dalam bukunya Time Stands Still, memberikan bukti kuat bahwa mereka telah dikenal oleh masyarakat Neolitikum Inggris setidaknya 1000 tahun sebelum Plato. Klaim ini didasari oleh keberadaan sejumlah batu berbentuk bola yang disimpan di Museum Ashmolean di Oxford. Batu-batu ini, berukuran pas di tangan, ditutupi dengan bentuk bola kubus, tetrahedron, oktahedron, ikosahedron, dan dodecahedron yang presisi secara geometris, serta beberapa padatan komposit dan pseudo-reguler tambahan seperti kuboctahedron dan ico-dodecahedron. Critchlow berkata: “Apa yang kita miliki adalah benda-benda yang tidak diragukan lagi menunjukkan derajatnya kemampuan matematika, yang sampai sekarang telah disangkal sehubungan dengan manusia Neolitikum oleh beberapa arkeolog atau sejarawan matematika."

Theaetetus dari Athena (417–369 SM), sezaman dengan Plato, memberikan deskripsi matematis tentang polihedra beraturan dan bukti pertama yang diketahui bahwa tepat ada lima polihedra.

Dalam Timaeus, yang merupakan karakter Pythagoras paling kuat di antara karya Plato lainnya, ia menyatakan bahwa empat elemen dasar dunia adalah tanah, udara, api, dan air, dan masing-masing elemen ini terkait dengan salah satu elemen spasial. angka. Tradisi mengasosiasikan kubus dengan bumi, tetrahedron dengan api, oktahedron dengan udara, dan ikosahedron dengan air. Plato menyebutkan “struktur kelima tertentu” yang digunakan pencipta dalam menciptakan alam semesta. Dengan demikian, dodecahedron diasosiasikan dengan elemen kelima: eter. Pengorganisir alam semesta, Plato, menetapkan keteraturan dari kekacauan primitif unsur-unsur ini dengan bantuan bentuk dan angka dasar. Menyusun menurut jumlah dan bentuk agar lebih banyak level tinggi mengarah pada pengaturan takdir lima elemen di alam semesta fisik. Bentuk dan angka dasar kemudian mulai berperan sebagai garis pemisah antara dunia yang lebih tinggi dan dunia yang lebih rendah. Dengan sendirinya dan berdasarkan analoginya dengan unsur-unsur lain, mereka memiliki kemampuan untuk membentuk dunia material.

Lima benda beraturan yang sama, menurut tradisi klasik, digambar sedemikian rupa sehingga tertampung dalam sembilan bola konsentris, dan masing-masing benda bersentuhan dengan sebuah bola, yang digambarkan mengelilingi benda berikutnya yang terletak di dalamnya. Komposisi ini menunjukkan banyak hubungan penting dan dipinjam dari suatu disiplin ilmu yang disebut perusahaan transparan, berkaitan dengan persepsi bola yang terbuat dari bahan transparan dan ditempatkan satu di dalam yang lain. Instruksi ini diberikan oleh Fra Luca Paccioli kepada banyak tokoh besar Renaisans, termasuk Leonardo dan Brunulleschi.

Dalam bukunya “Rahasia Dunia” (Misterium Kosmografium), yang diterbitkan pada tahun 1596. Johannes Kepler mengemukakan bahwa ada hubungan antara lima padatan Platonis dan enam planet tata surya yang ditemukan pada saat itu. Menurut asumsi ini, sebuah kubus dapat dimasukkan ke dalam bidang orbit Saturnus, yang sesuai dengan bidang orbit Yupiter. Tetrahedron yang dijelaskan di dekat bidang orbit Mars, pada gilirannya, cocok dengannya. Dodecahedron cocok dengan bidang orbit Mars, yang juga cocok dengan bidang orbit Bumi. Dan itu dijelaskan di dekat ikosahedron, di mana bidang orbit Venus tertulis. Bola planet ini digambarkan di sekitar segi delapan, tempat bola Merkurius berada. Model tata surya ini disebut "Piala Kosmik" Kepler. Perbedaan antara model Kepler dan dimensi orbit sebenarnya (beberapa persen) dijelaskan oleh I. Kepler sebagai “pengaruh materi”.

Pada abad ke-20, padatan Platonis digunakan dalam teori model kulit elektron Robert Moon, yang juga dikenal sebagai teori Bulan. Moon memperhatikan bahwa susunan geometris proton dan neutron dalam inti atom berkaitan dengan posisi simpul padatan Platonis yang bersarang. Konsep ini terinspirasi oleh Mysterium Cosmographicum karya J. Kepler.

Ada rumus Euler untuk polihedra:

F + V = E + 2

Dalam rumus ini F– jumlah wajah, V– jumlah simpul, E– jumlah tulang rusuk. Karakteristik numerik padatan Platonis ini diberikan dalam tabel.

Fitur kuantitatif padatan Platonis

Hubungan penting antara tepi, diameter bola bertulisan dan dibatasi, luas dan volume polihedra beraturan dinyatakan melalui bilangan irasional. Tabel di bawah menunjukkan rasio panjang tepi terhadap diameter bola yang dibatasi untuk masing-masing dari lima padatan Platonis.

Setiap hasil yang diperoleh merupakan bilangan irasional yang hanya dapat ditemukan melalui ekstraksi akar pangkat dua. Kita melihat bahwa di sini muncul angka-angka yang penting dan istimewa dalam matematika sakral.

Geometri dodecahedron dan icosahedron berhubungan dengan rasio emas. Memang, muka dodecahedron adalah segi lima, yaitu segi lima beraturan berdasarkan rasio emas. Jika diperhatikan lebih dekat pada ikosahedron, Anda dapat melihat bahwa pada setiap titik sudut ikosahedron bertemu lima segitiga, sisi luarnya membentuk segi lima. Fakta-fakta ini saja sudah cukup untuk meyakinkan kita bahwa rasio emas memainkan peran penting dalam desain kedua padatan Platonis ini. Kedua gambar ini merupakan kebalikan satu sama lain: keduanya terdiri dari 30 sisi, namun meskipun demikian, ikosahedron memiliki 20 sisi dan 12 simpul, dan dodecahedron memiliki 12 sisi dan 20 simpul. Yang juga berbanding terbalik satu sama lain adalah segi delapan dan segi enam, serta teaterahedron itu sendiri.

Ada hubungan geometris yang menakjubkan di antara semuanya polihedra biasa. Misalnya, kubus Dan segi delapan bersifat ganda, yaitu diperoleh satu sama lain jika pusat gravitasi permukaan yang satu diambil sebagai simpul permukaan yang lain dan sebaliknya. Demikian pula ganda ikosahedron Dan pigura berduabelas segi. Segi empat ganda untuk dirinya sendiri. Sebuah dodecahedron diperoleh dari sebuah kubus dengan membuat "atap" pada permukaannya (metode Euclidean); simpul-simpul dari sebuah tetrahedron adalah empat simpul dari kubus yang tidak berdekatan secara berpasangan di sepanjang tepinya, yaitu, semua polihedra beraturan lainnya dapat berupa diperoleh dari kubus.

Robert Lawlor dalam karyanya menunjukkan bahwa padatan Platonis dapat dibangun berdasarkan ikosahedron. Dia menulis: “Jika kita menghubungkan semua simpul bagian dalam ikosahedron dengan menggambar tiga garis dari masing-masing simpul yang menghubungkan setiap simpul ke simpul yang berlawanan, dan kemudian dari dua simpul di atas menarik empat garis ke dua simpul yang berlawanan, sehingga garis-garis ini bertemu di tengah, kita, bertindak sesuai dengan apa yang telah dikatakan, secara alami kita akan membangun tepi dodecahedron. Konstruksi ini terjadi secara otomatis ketika garis-garis internal ikosahedron berpotongan. Setelah membuat dodecahedron, kita cukup menggunakan enam simpul dan pusatnya untuk membuat sebuah kubus. Dengan menggunakan diagonal kubus, kita dapat membuat tetrahedron berbentuk bintang atau terjalin. Persimpangan tetrahedron bintang dengan kubus memberi kita lokasi yang tepat untuk membangun oktahedron tertulis. Kemudian, pada oktahedron itu sendiri, dengan menggunakan garis dalam ikosahedron dan simpul oktahedron, diperoleh ikosahedron kedua. Kita telah melalui seluruh siklus yang lengkap, lima tahap dari benih ke benih. Dan tindakan seperti itu mewakili rangkaian yang tak ada habisnya.

Segi empat

Polihedra beraturan yang paling sederhana adalah tetrahedron. Bagi Plato itu sesuai dengan unsur Api. Dalam fisika, “api” dapat dikorelasikan dengan keadaan plasma. Tetrahedron mempunyai jumlah muka paling sedikit di antara padatan Platonis dan merupakan analogi tiga dimensi dari segitiga beraturan datar, yang memiliki jumlah sisi paling sedikit di antara poligon beraturan. Keempat mukanya berbentuk segitiga sama sisi. Empat adalah jumlah tepi terkecil yang memisahkan sebagian ruang tiga dimensi. Masing-masing simpulnya merupakan simpul dari tiga segitiga. Semua sudut polihedral dari tetrahedron adalah sama besar satu sama lain. Jumlah sudut bidang pada setiap titik sudut adalah 180°. Jadi, sebuah tetrahedron memiliki 4 sisi, 4 simpul, dan 6 sisi.

Segi delapan

Oktahedron terdiri dari delapan segitiga sama sisi. Bagi Plato itu sesuai dengan unsur Udara. Dalam fisika, “udara” dapat dikorelasikan dengan wujud materi yang berbentuk gas. Masing-masing simpulnya merupakan simpul dari empat segitiga. Wajah-wajah yang berhadapan terletak pada bidang sejajar. Jumlah sudut bidang pada setiap titik sudut adalah 240°. Jadi, segi delapan memiliki 8 sisi, 6 titik sudut, dan 12 sisi.

Icosahedron

Icosahedron adalah salah satu dari lima padatan Platonis, yang paling sederhana setelah tetrahedron dan oktahedron. Bagi Plato itu sesuai dengan unsur Air. Dalam fisika, “air” dapat dikorelasikan dengan wujud cair suatu materi. Icosahedron terdiri dari dua puluh segitiga sama sisi. Masing-masing simpulnya merupakan simpul dari lima segitiga. Jumlah sudut bidang pada setiap titik sudut adalah 300°. Jadi, ikosahedron memiliki 20 sisi, 12 titik sudut, dan 30 sisi.

Pigur berenam segi

Sebuah segi enam atau kubus terdiri dari enam kotak. Bagi Plato itu sesuai dengan unsur Bumi. Dalam fisika, “bumi” dapat dikorelasikan dengan wujud padat suatu materi. Masing-masing simpulnya merupakan simpul dari tiga persegi. Jumlah sudut bidang pada setiap titik sudut adalah 270°. Jadi, sebuah kubus mempunyai 6 sisi, 8 titik sudut, dan 12 sisi.

Pigura berduabelas segi

Dodecahedron terdiri dari dua belas segi lima sama sisi. Bagi Plato, ini berhubungan dengan elemen kelima - Eter. Masing-masing simpulnya adalah simpul dari tiga segi lima. Jumlah sudut bidang pada setiap titik sudut adalah 324°. Jadi, dodecahedron memiliki 12 sisi, 20 simpul, dan 30 sisi.

Polihedra biasa ditemukan di alam yang hidup. Pada awal abad ke-20, Ernst Haeckel ( Ernst Haeckel) mendeskripsikan sejumlah organisme yang bentuk kerangkanya mirip dengan berbagai polihedra beraturan. Misalnya: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometrius dan Circorrhegma dodecahedra. Bentuk kerangka organisme ini tercermin dalam namanya.

Kerangka organisme bersel tunggal Feodaria ( Circogoniaicosahedra) berbentuk seperti ikosahedron. Kebanyakan feodaria hidup di kedalaman laut dan menjadi mangsa ikan karang. Namun hewan paling sederhana mencoba melindungi dirinya sendiri: 12 jarum berlubang muncul dari 12 puncak kerangka. Ujung jarum memiliki duri yang membuat jarum semakin efektif dalam melindungi.

Banyak virus, mis. herpes, berbentuk ikosahedron beraturan. Struktur virus dibangun dari subunit protein yang berulang, dan ikosahedron adalah bentuk yang paling cocok untuk mereproduksi struktur ini.

Kisi kristal banyak mineral berbentuk padatan platonis.

Produksi asam sulfat, besi, dan jenis semen khusus tidak lengkap tanpa sulfur pirit ( FeS). Kristal ini substansi kimia berbentuk dodecahedron. Mineral sylvite memiliki kisi kristal berbentuk kubus. Kristal pirit berbentuk dodecahedron, sedangkan cuprite berbentuk kristal berbentuk oktahedron.

Padatan Platonis merupakan objek yang sangat penting untuk dipelajari, baik dari sudut pandang matematika sakral maupun dari sudut pandang ilmu alam. Padatan Platonis muncul di mana-mana, mulai dari virus, banyak di antaranya berbentuk ikosahedral, hingga struktur makro yang kompleks seperti tata surya.

Anton Mukhin

Dari buku Notebook pengarang Chekhov Anton Pavlovich

bagian tubuh. 2 [Imam Agung menangis seperti orang sakit di masa kanak-kanak ketika ibunya mengasihani dia; Saya menangis hanya karena sujud secara umum, orang banyak menangis. Dia percaya, mencapai segala sesuatu yang [diberikan (?)] dapat diakses oleh seseorang di posisinya, tapi tetap saja jiwanya sakit: tidak semuanya jelas, ada yang lain

Dari buku Semuanya terkendali: Siapa yang mengawasi Anda dan bagaimana caranya pengarang Garfinkel Simeon

Dari buku Masa Depan yang Tak Terbayangkan penulis Krieger Boris

Sandera tubuh sendiri Dalam keadaan sehat dan sejahtera, seseorang sama sekali lupa akan keberadaan tubuhnya sendiri. Ia tidak diganggu oleh rasa sakit dan manifestasi ketidaknyamanan lainnya, seperti perasaan dingin, panas, lapar dan lain-lain. Namun, kenyataan hidup itu adil

Dari buku “The Matrix” sebagai filsafat oleh Irwin William

TUBUH, PIKIRAN, GENDER "Bintang" dari "Matrix" terlihat menurut standar tertentu. Di dunia maya, daging mereka tersembunyi di bawah teman serupa satu sama lain dalam setelan yang terbuat dari kulit hitam mengkilat atau lateks. “keberadaan” dipenuhi dengan daging, darah kental, dan peralatan basah darah segar. Seperti

Dari buku Jepang Wajah Waktu. Mentalitas dan tradisi dalam interior modern. pengarang Prasol Alexander Fedorovich

Bab 17 SEKITAR DINAMIKA TUBUH - CIRI-CIRI GERAKAN JEPANG Iklim, pola makan, dan gaya hidup, berbeda dengan iklim Eropa, telah membentuk fisik dan sifat gerak orang Jepang selama berabad-abad. Masih banyak yang belum dijelajahi di bidang ini, jadi mari kita coba mencari tahu

Dari buku Pelajaran Orang Lain - 2008 pengarang Golubitsky Sergey Mikhailovich

ESTETIKA TUBUH TELANJANG Secara historis, sikap orang Jepang terhadap banyak aspek penampilan manusia juga sangat berbeda dengan orang Eropa. Hal ini terutama terlihat pada tubuh telanjang. Dalam budaya Eropa, ketelanjangan diperbolehkan dalam dua kasus: oleh

Dari buku Surat Kabar Sastra 6300 (No. 45 2010) pengarang Koran Sastra

Bahasa tubuh yang santai Diterbitkan dalam majalah “Majalah Bisnis” No. 15 tanggal 8 Agustus 2008. Associated Press, 4 Juli 2008: “Philip Bennett, mantan kepala Refco Inc., dijatuhi hukuman 16 tahun penjara karena penipuan keuangan yang menyebabkan runtuhnya salah satu perusahaan terbesar di dunia

Dari buku Cara Mengalahkan Orang Cina pengarang Maslov Alexei Alexandrovich

Misteri tubuh Bibliomaniac. Selusin Buku Misteri Tubuh BACAAN MOSKOW A.A. Kamensky, M.V. Maslova, A.V. Grafik. Hormon menguasai dunia: Endokrinologi populer. – M.: AST-PRESS, 2010. – 192 hal.: sakit. – (Sains dan Perdamaian). – 5000 eksemplar. Tidak banyak literatur sains populer yang diterbitkan saat ini,

Dari buku Kritik terhadap Nalar yang Tidak Murni pengarang Silaev Alexander Yurievich

Dari buku Mengantisipasi Diri Sendiri. Dari gambar hingga gaya pengarang Khakamada Irina Mitsuovna

Tubuh Sejati Singkatnya: mengetahui kebenaran saja tidak cukup, Anda harus menghayatinya di dalam tubuh Anda. Agar tubuh berperilaku sesungguhnya. Dan ini harus diajarkan secara terpisah, dalam mata pelajaran-disiplin khusus. Semua orang tahu, tidak ada seorang pun

Dari buku Dimensi Kelima. Di perbatasan ruang dan waktu [koleksi] penulis Bitov Andrey

Bab 4. Spiritualisasi Tubuh Tubuh dapat diperlakukan berbeda. Anda bisa mendewakannya dan mengabdikan hidup Anda padanya. Jane Fonda menulis tentang ini dalam memoarnya. Setelah menciptakan aerobik, dia menyiksa dirinya sendiri dengan diet dan kebugaran, membawa jiwanya ke kondisi yang merusak. Mungkin di

Dari buku Gambar Paris. Jilid II pengarang Mercier Louis-Sebastien

Tubuh halus(secara langsung) PADA tahun 1964, segera setelah pembuatan film, artis Leningrad Gaga Kovenchuk memimpikan Nikita Sergeevich. Mereka bertemu di kereta bawah tanah. Gaga sangat senang. "Bagaimana? – dia langsung menyatakan simpati. “Semuanya berjalan dengan baik!” Nikita Sergeevich menjelaskan secara singkat:

Dari buku Masonry and Machinery (koleksi) pengarang Baykov Eduard Arturovich

226. Hari Raya Corpus Christi (57) Hari Corpus Christi adalah hari raya Katolik yang paling khidmat. Pada hari ini, Paris bersih, ceria, aman, megah. Pada hari ini kita bisa melihat betapa banyaknya barang-barang perak yang ada di dalam gereja, belum lagi emas dan berlian, betapa mewahnya gereja tersebut.

Dari buku Rusia. Belum malam pengarang Mukhin Yuri Ignatievich

Kultus tubuh Binaraga (dari bahasa Inggris body - body and building - konstruksi, yaitu Body-Building - binaraga, binaraga), atau binaraga (dari bahasa Perancis culturenisme - mengasuh, membangun) bukan sekedar sistem latihan fisik yang mempromosikan membangun massa otot Dan,

Dari buku The Shock Doctrine [Kebangkitan Kapitalisme Bencana] oleh Naomi Klein

Keluarnya Jiwa dari tubuh Saya rasa tidak akan mengejutkan Anda bahwa ketika seseorang berada dalam keadaan mati, tubuh melakukan segalanya untuk menyelamatkan otak. Artinya, jika tubuh kehilangan darah, maka tubuh (Roh) akan memutus semua organ dari suplai darah dan mengedarkan sisa darahnya hanya dalam lingkaran:

Dari buku penulis

Guncangan pada tubuh Perlawanan semakin meningkat, dan penjajah merespons dengan semakin sering menggunakan kejutan dalam bentuk baru. Larut malam atau dini hari, tentara akan menerobos masuk ke dalam pintu, menyinari lentera ke dalam ruangan yang gelap, dan memenuhi rumah dengan teriakan, yang hanya dapat didengar oleh penduduk setempat.