രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക. ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

ഏത് പോയിൻ്റിലൂടെയും അനന്തമായ നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കാനാകും.

പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ ഒരൊറ്റ നേർരേഖ വരയ്ക്കാം.

ഒരു തലത്തിലെ രണ്ട് വ്യത്യസ്‌ത വരകൾ ഒന്നുകിൽ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അവയാണ്

സമാന്തരമായി (മുമ്പത്തെതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു).

IN ത്രിമാന സ്ഥലംരണ്ട് വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനത്തിന് മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്:

• വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു;

• വരികൾ സമാന്തരമാണ്;

• നേർരേഖകൾ വിഭജിക്കുന്നു.

ഋജുവായത് ലൈൻ— ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ബീജഗണിത വക്രം: കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു നേർരേഖ

ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ (ലീനിയർ സമവാക്യം) ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വിമാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം.

നിർവ്വചനം. വിമാനത്തിലെ ഏത് നേർരേഖയും ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം

Ax + Wu + C = 0,

സ്ഥിരവും എ, ബിഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. ഈ ആദ്യ ക്രമ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു പൊതുവായ

ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം.സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എ, ബിഒപ്പം കൂടെഇനിപ്പറയുന്ന പ്രത്യേക കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ഒരു നേർരേഖ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായ നേർരേഖ ഓ

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായ നേർരേഖ ഓ

. B = C = 0, A ≠0- നേർരേഖ അക്ഷവുമായി യോജിക്കുന്നു ഓ

. A = C = 0, B ≠0- നേർരേഖ അക്ഷവുമായി യോജിക്കുന്നു ഓ

ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഏതെങ്കിലും തന്നിരിക്കുന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങളിൽ അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറിൽ നിന്നും ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം.

നിർവ്വചനം. ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു വെക്റ്റർ (എ, ബി)

സമവാക്യം നൽകുന്ന രേഖയ്ക്ക് ലംബമായി

Ax + Wu + C = 0.

ഉദാഹരണം. ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക A(1, 2)വെക്റ്ററിന് ലംബമായി (3, -1).

പരിഹാരം. A = 3, B = -1 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം രചിക്കാം: 3x - y + C = 0. ഗുണകം C കണ്ടെത്താൻ

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് എ യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം: 3 - 2 + C = 0, അതിനാൽ

സി = -1. ആകെ: ആവശ്യമായ സമവാക്യം: 3x - y - 1 = 0.

രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യം.

ബഹിരാകാശത്ത് രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ നൽകട്ടെ M 1 (x 1, y 1, z 1)ഒപ്പം M2 (x 2, y 2, z 2),പിന്നെ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം,

ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു:

ഏതെങ്കിലും ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, അനുബന്ധ ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി സജ്ജീകരിക്കണം. ഓൺ

തലം, മുകളിൽ എഴുതിയ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

എങ്കിൽ x 1 ≠ x 2ഒപ്പം x = x 1, എങ്കിൽ x 1 = x 2 .

ഭിന്നസംഖ്യ = കെവിളിച്ചു ചരിവ് നേരിട്ടുള്ള.

ഉദാഹരണം. എ (1, 2), ബി (3, 4) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. മുകളിൽ എഴുതിയ സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഒരു പോയിൻ്റും ചരിവും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം.

വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യമാണെങ്കിൽ Ax + Wu + C = 0നയിക്കുന്നു:

നിയോഗിക്കുക , അപ്പോൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം വിളിക്കുന്നു

കെ ചരിവുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും ഒരു ദിശ വെക്‌ടറിൽ നിന്നും ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം.

സാധാരണ വെക്‌ടറിലൂടെയുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുന്ന പോയിൻ്റുമായി സാമ്യമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ടാസ്‌ക് നൽകാം.

ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെയുള്ള ഒരു നേർരേഖയും ഒരു നേർരേഖയുടെ ഒരു ദിശാസൂചക വെക്‌ടറും.

നിർവ്വചനം. പൂജ്യമല്ലാത്ത എല്ലാ വെക്‌ടറും (α 1, α 2), അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

Aα 1 + Bα 2 = 0വിളിച്ചു ഒരു നേർരേഖയുടെ ദിശാസൂചക വെക്റ്റർ.

Ax + Wu + C = 0.

ഉദാഹരണം. ഒരു ദിശ വെക്റ്റർ (1, -1) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ പോയിൻ്റ് എ (1, 2) വഴി കടന്നുപോകുക.

പരിഹാരം. ഫോമിൽ ആവശ്യമുള്ള വരിയുടെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നോക്കും: Ax + By + C = 0.നിർവചനം അനുസരിച്ച്,

ഗുണകങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കണം:

1 * A + (-1) * B = 0, അതായത്. എ = ബി.

അപ്പോൾ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്: Ax + Ay + C = 0,അല്ലെങ്കിൽ x + y + C / A = 0.

ചെയ്തത് x = 1, y = 2നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു C/A = -3, അതായത്. ആവശ്യമായ സമവാക്യം:

x + y - 3 = 0

സെഗ്മെൻ്റുകളിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം.

അകത്തുണ്ടെങ്കിൽ പൊതുവായ സമവാക്യംനേർരേഖ Ах + Ву + С = 0 С≠0, പിന്നെ, -С കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അല്ലെങ്കിൽ എവിടെ

ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംകോ എഫിഷ്യൻ്റ്സ് ആണ് കോ എഫിഷ്യൻ്റ് a എന്നത് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് ആണ്

നേരായ അച്ചുതണ്ട് ഓ,എ ബി- അച്ചുതണ്ടുമായി വരിയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൻ്റെ ഏകോപനം ഓ.

ഉദാഹരണം. ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു x - y + 1 = 0.ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം സെഗ്മെൻ്റുകളിൽ കണ്ടെത്തുക.

C = 1, , a = -1, b = 1.

ഒരു വരിയുടെ സാധാരണ സമവാക്യം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളാണെങ്കിൽ Ax + Wu + C = 0സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക വിളിക്കുന്നത്

നോർമലൈസിംഗ് ഘടകം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ഒരു വരിയുടെ സാധാരണ സമവാക്യം.

നോർമലൈസിംഗ് ഘടകത്തിൻ്റെ ± ചിഹ്നം തിരഞ്ഞെടുക്കണം μ*സി< 0.

ആർ- ലംബത്തിൻ്റെ നീളം ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് നേർരേഖയിലേക്ക് താഴ്ന്നു,

എ φ - അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയോടൊപ്പം ഈ ലംബമായി രൂപംകൊണ്ട കോൺ ഓ.

ഉദാഹരണം. വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു 12x - 5y - 65 = 0. എഴുതാൻ ആവശ്യമാണ് വിവിധ തരംസമവാക്യങ്ങൾ

ഈ നേർരേഖ.

സെഗ്മെൻ്റുകളിലുള്ള ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം:

ചരിവുള്ള ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം: (5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക)

ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം:

cos φ = 12/13; പാപം φ= -5/13; p = 5.

എല്ലാ നേർരേഖയെയും സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെ ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, നേർരേഖകൾ,

അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി അല്ലെങ്കിൽ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

ഒരു വിമാനത്തിലെ നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ.

നിർവ്വചനം. രണ്ടു വരി കൊടുത്താൽ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, അപ്പോൾ ഈ വരികൾക്കിടയിലുള്ള നിശിത കോൺ

ആയി നിർവചിക്കപ്പെടും

എങ്കിൽ രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമാണ് k 1 = k 2. രണ്ട് വരികൾ ലംബമാണ്

എങ്കിൽ k 1 = -1/ k 2 .

സിദ്ധാന്തം.

നേരിട്ട് Ax + Wu + C = 0ഒപ്പം A 1 x + B 1 y + C 1 = 0ഗുണകങ്ങൾ ആനുപാതികമാകുമ്പോൾ സമാന്തരമായി

A 1 = λA, B 1 = λB. എങ്കിൽ കൂടി С 1 = λС, അപ്പോൾ വരികൾ ഒത്തുചേരുന്നു. രണ്ട് വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ

ഈ വരികളുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ സമ്പ്രദായത്തിന് ഒരു പരിഹാരമായി കാണപ്പെടുന്നു.

കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം ഈ പോയിൻ്റ്ഈ വരിയിൽ ലംബമായി.

നിർവ്വചനം. ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ലൈൻ M 1 (x 1, y 1)രേഖയ്ക്ക് ലംബമായും y = kx + b

സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം.

സിദ്ധാന്തം. ഒരു പോയിൻ്റ് നൽകിയാൽ M(x 0, y 0),പിന്നെ നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം Ax + Wu + C = 0നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്:

തെളിവ്. കാര്യം പറയട്ടെ M 1 (x 1, y 1)- ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഒരു ലംബത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം താഴ്ന്നു എംനൽകിയതിന്

നേരിട്ടുള്ള. അപ്പോൾ പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം എംഒപ്പം എം 1:

(1)

കോർഡിനേറ്റുകൾ x 1ഒപ്പം 1-ന്സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമായി കണ്ടെത്താം:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യമാണ് പോയിൻ്റ് നൽകി M 0 ലംബമായി

നേർരേഖ നൽകി. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

തുടർന്ന്, പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് (1) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്:

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

നിർവ്വചനം.വിമാനത്തിലെ ഏത് നേർരേഖയും ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം

Ax + Wu + C = 0,

മാത്രമല്ല, എ, ബി എന്നീ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. ഈ ആദ്യ ക്രമ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം.മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു സ്ഥിരമായ എ, ബികൂടാതെ C ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രത്യേക കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - നേർരേഖ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ നേർരേഖ

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - Oy അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ നേർരേഖ

B = C = 0, A ≠0 - നേർരേഖ Oy അക്ഷവുമായി യോജിക്കുന്നു

A = C = 0, B ≠0 - നേർരേഖ ഓക്സ് അക്ഷവുമായി യോജിക്കുന്നു

ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളെ ആശ്രയിച്ച് വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങളിൽ അവതരിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും സാധാരണ വെക്റ്ററിൽ നിന്നും ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

നിർവ്വചനം.കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഘടകങ്ങൾ (A, B) ഉള്ള ഒരു വെക്റ്റർ, Ax + By + C = 0 എന്ന സമവാക്യം നൽകുന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ്.

ഉദാഹരണം. (3, -1) ന് ലംബമായി A (1, 2) പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. A = 3, B = -1 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം രചിക്കാം: 3x – y + C = 0. ഗുണകം C കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് A യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: 3 – 2 + C = 0, അതിനാൽ, C = -1 . ആകെ: ആവശ്യമായ സമവാക്യം: 3x – y – 1 = 0.

രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യം

രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) എന്നിവ ബഹിരാകാശത്ത് നൽകട്ടെ, തുടർന്ന് ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം ഇതാണ്:

ഏതെങ്കിലും ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അനുബന്ധ ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി സജ്ജീകരിക്കണം, മുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം:

x 1 ≠ x 2 ഉം x = x 1 ഉം ആണെങ്കിൽ, x 1 = x 2 ആണെങ്കിൽ.

ഭിന്നസംഖ്യ = k എന്ന് വിളിക്കുന്നു ചരിവ്നേരിട്ടുള്ള.

ഉദാഹരണം. എ (1, 2), ബി (3, 4) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.മുകളിൽ എഴുതിയ സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്നും ചരിവിൽ നിന്നും ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

ആകെ Ax + Bu + C = 0 ആണെങ്കിൽ, ഫോമിലേക്ക് നയിക്കുക:

നിയോഗിക്കുക , അപ്പോൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം വിളിക്കുന്നു ചരിവുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യംകെ.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും ഒരു ദിശ വെക്‌ടറിൽ നിന്നും ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറിലൂടെയുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുന്ന പോയിൻ്റുമായി സാമ്യമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെയും നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്‌ടറിലൂടെയും ഒരു നേർരേഖയുടെ നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം.ഓരോ നോൺ-സീറോ വെക്‌ടറും (α 1, α 2), എ α 1 + ബി α 2 = 0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഘടകങ്ങളെ ലൈനിൻ്റെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

Ax + Wu + C = 0.

ഉദാഹരണം. ഒരു ദിശ വെക്റ്റർ (1, -1) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ പോയിൻ്റ് എ (1, 2) വഴി കടന്നുപോകുക.

പരിഹാരം.ആവശ്യമുള്ള വരിയുടെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ നോക്കും: Ax + By + C = 0. നിർവചനത്തിന് അനുസൃതമായി, ഗുണകങ്ങൾ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കണം:

1 * A + (-1) * B = 0, അതായത്. എ = ബി.

അപ്പോൾ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: Ax + Ay + C = 0, അല്ലെങ്കിൽ x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 ഞങ്ങൾ C/ A = -3, അതായത്. ആവശ്യമായ സമവാക്യം:

സെഗ്മെൻ്റുകളിലെ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം

Ах + Ву + С = 0 С≠0 എന്ന നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിൽ, –С കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: അല്ലെങ്കിൽ

ഗുണകങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഗുണകം എന്നാണ് എഓക്സ് അച്ചുതണ്ടുമായി വരിയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് ആണ്, കൂടാതെ ബി- Oy അക്ഷവുമായി നേർരേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ്.

ഉദാഹരണം. x – y + 1 = 0 എന്ന വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം സെഗ്മെൻ്റുകളിൽ കണ്ടെത്തുക.

C = 1, , a = -1, b = 1.

ഒരു വരിയുടെ സാധാരണ സമവാക്യം

Ax + By + C = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ വിളിക്കുന്നത് നോർമലൈസിംഗ് ഘടകം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ഒരു വരിയുടെ സാധാരണ സമവാക്യം. നോർമലൈസിംഗ് ഘടകത്തിൻ്റെ ± ചിഹ്നം തിരഞ്ഞെടുക്കണം, അങ്ങനെ μ * സി< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ഉദാഹരണം. 12x – 5y – 65 = 0 എന്ന വരിയുടെ പൊതുസമവാക്യം ഈ വരിക്കായി വിവിധ തരം സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

സെഗ്മെൻ്റുകളിലെ ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം:

ചരിവുള്ള ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം: (5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക)

; cos φ = 12/13; പാപം φ= -5/13; p = 5.

എല്ലാ നേർരേഖയെയും സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെ ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായ അല്ലെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകൾ.

ഉദാഹരണം. നേർരേഖ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിൽ തുല്യ പോസിറ്റീവ് സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ മുറിക്കുന്നു. ഈ ഖണ്ഡങ്ങളാൽ രൂപംകൊണ്ട ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 8 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണെങ്കിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം.നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

ഉദാഹരണം. പോയിൻ്റ് എ (-2, -3) വഴിയും ഉത്ഭവത്തിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം. നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഇതാണ്: , ഇവിടെ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

ഒരു വിമാനത്തിൽ നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ

നിർവ്വചനം.രണ്ട് വരികൾ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 നൽകിയാൽ, ഈ വരികൾക്കിടയിലുള്ള നിശിത കോൺ ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കപ്പെടും

.

k 1 = k 2 ആണെങ്കിൽ രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമാണ്. k 1 = -1/ k 2 ആണെങ്കിൽ രണ്ട് വരികൾ ലംബമാണ്.

സിദ്ധാന്തം. A 1 = λA, B 1 = λB എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ ആനുപാതികമാകുമ്പോൾ Ax + Bу + C = 0, A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 എന്നീ വരികൾ സമാന്തരമാണ്. C 1 = λC ആണെങ്കിൽ, വരികൾ യോജിക്കുന്നു. രണ്ട് വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ വരികളുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരമായി കാണപ്പെടുന്നു.

തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു വരിയിലേക്ക് ലംബമായി ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യം

നിർവ്വചനം. M 1 (x 1, y 1) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയെ y = kx + b എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമായി സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം

സിദ്ധാന്തം.ഒരു പോയിൻ്റ് M(x 0, y 0) നൽകിയാൽ, Ax + Bу + C = 0 എന്ന വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം ഇങ്ങനെയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്

.

തെളിവ്.പോയിൻ്റ് M 1 (x 1, y 1) പോയിൻ്റ് M-ൽ നിന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് ലംബമായി കുറയുന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ എം, എം 1 പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം:

(1)

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ x 1, y 1 എന്നിവ കണ്ടെത്താനാകും:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യമാണ് M 0 നൽകിയിരിക്കുന്ന വരിയിലേക്ക് ലംബമായി. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

തുടർന്ന്, പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് (1) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്:

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഉദാഹരണം. വരികൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കുക: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

ഉദാഹരണം. 3x – 5y + 7 = 0, 10x + 6y – 3 = 0 എന്നീ വരികൾ ലംബമാണെന്ന് കാണിക്കുക.

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, അതിനാൽ, വരികൾ ലംബമാണ്.

ഉദാഹരണം. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) എന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശീർഷകങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. സി ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച ഉയരത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. AB വശത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

ആവശ്യമായ ഉയരം സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: Ax + By + C = 0 അല്ലെങ്കിൽ y = kx + b. k = . അപ്പോൾ y = . കാരണം ഉയരം പോയിൻ്റ് C യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, തുടർന്ന് അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു: എവിടെ നിന്ന് b = 17. ആകെ: .

ഉത്തരം: 3 x + 2 y – 34 = 0.

ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു രേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റ് കോളിനിയറിലൂടെ ദിശ വെക്റ്ററിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയെ നിർവചിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ്.

ഒരു പോയിൻ്റും ദിശ വെക്‌ടറും നൽകട്ടെ. ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് ഒരു വരിയിൽ കിടക്കുന്നു എൽവെക്റ്ററുകളും കോളിനിയറും ആണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത്, അവയ്ക്ക് വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്:

.

മുകളിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾനേരിട്ടുള്ള.

നമ്പറുകൾ എം , എൻഒപ്പം പികോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകളാണ്. വെക്റ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ, എല്ലാ സംഖ്യകളും എം , എൻഒപ്പം പിഒരേസമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ അവയിൽ ഒന്നോ രണ്ടോ എണ്ണം പൂജ്യമായിരിക്കാം. അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി അനുവദനീയമാണ്:

,

അച്ചുതണ്ടിലെ വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ എന്നാണ് അയ്യോഒപ്പം ഓസ്പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ നിർവചിച്ച വെക്‌ടറും രേഖയും അക്ഷങ്ങൾക്ക് ലംബമാണ്. അയ്യോഒപ്പം ഓസ്, അതായത് വിമാനങ്ങൾ yOz .

ഉദാഹരണം 1.ഒരു വിമാനത്തിന് ലംബമായി ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു രേഖയ്ക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക അച്ചുതണ്ടുമായി ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു ഓസ് .

പരിഹാരം. ഈ വിമാനം അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം ഓസ്. അച്ചുതണ്ടിൽ കിടക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് മുതൽ ഓസ്, കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്, അപ്പോൾ, വിമാനത്തിൻ്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൽ അനുമാനിക്കുന്നു x = y = 0, നമുക്ക് 4 ലഭിക്കും z- 8 = 0 അല്ലെങ്കിൽ z= 2 . അതിനാൽ, അച്ചുതണ്ടുമായി ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റ് ഓസ്കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് (0; 0; 2) . ആവശ്യമുള്ള രേഖ വിമാനത്തിന് ലംബമായതിനാൽ, അത് അതിൻ്റെ സാധാരണ വെക്റ്ററിന് സമാന്തരമാണ്. അതിനാൽ, നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ സാധാരണ വെക്റ്റർ ആകാം നൽകിയ വിമാനം.

ഇനി നമുക്ക് ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ ആവശ്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതാം എ= (0; 0; 2) വെക്‌ടറിൻ്റെ ദിശയിൽ:

നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു നേർരേഖയെ അതിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ കൊണ്ട് നിർവചിക്കാം ഒപ്പം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ വെക്റ്റർ ആകാം. അപ്പോൾ വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ രൂപം പ്രാപിക്കുന്നു

.

മുകളിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയെ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2.പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു വരയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം. സൈദ്ധാന്തിക റഫറൻസിൽ മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന രൂപത്തിൽ ആവശ്യമായ നേർരേഖ സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് എഴുതാം:

.

മുതൽ, ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖ അക്ഷത്തിന് ലംബമാണ് അയ്യോ .

വിമാനങ്ങളുടെ കവലയുടെ രേഖ പോലെ നേരെ

ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു നേർരേഖയെ രണ്ട് സമാന്തരമല്ലാത്ത തലങ്ങളുടെ വിഭജന രേഖയായും, അതായത്, രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമായും നിർവചിക്കാം.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളെ ബഹിരാകാശത്തിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 3.പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങൾ നൽകുന്ന ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുക

പരിഹാരം. ഒരു വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതാൻ അല്ലെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ, നിങ്ങൾ വരിയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. അവ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനുകളുമായി ഒരു നേർരേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളാകാം, ഉദാഹരണത്തിന് yOzഒപ്പം xOz .

ഒരു ലൈനിൻ്റെയും ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെയും വിഭജന പോയിൻ്റ് yOzഒരു abscissa ഉണ്ട് x= 0 . അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യ വ്യവസ്ഥയിൽ അനുമാനിക്കുന്നു x= 0, നമുക്ക് രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു:

അവളുടെ തീരുമാനം വൈ = 2 , z= 6 കൂടെ x= 0 ഒരു പോയിൻ്റ് നിർവചിക്കുന്നു എ(0; 2; 6) ആവശ്യമുള്ള വരി. അപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യ വ്യവസ്ഥയിൽ അനുമാനിക്കുന്നു വൈ= 0, നമുക്ക് സിസ്റ്റം ലഭിക്കും

അവളുടെ തീരുമാനം x = -2 , z= 0 കൂടെ വൈ= 0 ഒരു പോയിൻ്റ് നിർവചിക്കുന്നു ബി(-2; 0; 0) ഒരു വിമാനത്തോടുകൂടിയ ഒരു വരിയുടെ വിഭജനം xOz .

ഇനി നമുക്ക് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതാം എ(0; 2; 6) ഒപ്പം ബി (-2; 0; 0) :

,

അല്ലെങ്കിൽ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ -2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിന് ശേഷം:

,

M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ വരി കടന്നുപോകട്ടെ. പോയിൻ്റ് M 1 ലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന് y-y 1 = രൂപമുണ്ട് കെ (x - x 1), (10.6)

എവിടെ കെ - ഇപ്പോഴും അജ്ഞാത ഗുണകം.

നേർരേഖ M 2 (x 2 y 2) പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിനാൽ, ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യം (10.6) തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം: y 2 -y 1 = കെ (x 2 - x 1).

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തിന് പകരം വയ്ക്കുന്നത് കണ്ടെത്തുന്നു കെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് (10.6), M 1, M 2 പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഈ സമവാക്യത്തിൽ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 എന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു

x 1 = x 2 ആണെങ്കിൽ, M 1 (x 1,y I), M 2 (x 2,y 2) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്. അതിൻ്റെ സമവാക്യം x = x 1 .

y 2 = y I ആണെങ്കിൽ, വരിയുടെ സമവാക്യം y = y 1 എന്ന് എഴുതാം, M 1 M 2 എന്ന നേർരേഖ abscissa അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്.

സെഗ്മെൻ്റുകളിലെ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം

M 1 (a;0) പോയിൻ്റിൽ Ox അക്ഷത്തെയും M 2 (0;b) പോയിൻ്റിൽ Oy അക്ഷത്തെയും നേർരേഖ വിഭജിക്കട്ടെ. സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും:
ആ
. ഈ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു സെഗ്മെൻ്റുകളിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം, കാരണം കോർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടുകളിൽ ലൈൻ മുറിക്കുന്ന ഏത് സെഗ്‌മെൻ്റുകളെയാണ് a, b സംഖ്യകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന് ലംബമായി നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം

നൽകിയിരിക്കുന്ന പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്‌ടറിന് ലംബമായി നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് Mo (x O; y o) യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം n = (A; B).

ലൈനിൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റ് M(x; y) എടുത്ത് വെക്റ്റർ M 0 M (x - x 0; y - y o) പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 1 കാണുക). n, M o M എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ ലംബമായതിനാൽ അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്: അതായത്

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

സമവാക്യം (10.8) എന്ന് വിളിക്കുന്നു തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന് ലംബമായി നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം .

വെക്റ്റർ n= (A; B), വരയ്ക്ക് ലംബമായി, സാധാരണ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഈ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ .

സമവാക്യം (10.8) എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാം Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

ഇവിടെ A, B എന്നിവ സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്, C = -Ax o - Vu o എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദമാണ്. സമവാക്യം (10.9) വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യമാണ്(ചിത്രം 2 കാണുക).

ചിത്രം.1 ചിത്രം.2

വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ

,

എവിടെ
- ലൈൻ കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ, കൂടാതെ
- ദിശ വെക്റ്റർ.

രണ്ടാം ക്രമം വളവുകൾ സർക്കിൾ

ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള തലത്തിൻ്റെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളുടെയും ഗണമാണ് വൃത്തം, അതിനെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആരത്തിൻ്റെ ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം ആർ ഒരു ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു
:

പ്രത്യേകിച്ചും, ഓഹരിയുടെ മധ്യഭാഗം കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ദീർഘവൃത്തം

ഒരു ദീർഘവൃത്തം എന്നത് ഒരു തലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, അതിൽ ഓരോന്നിൽ നിന്നും നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒപ്പം , foci എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന, ഒരു സ്ഥിരമായ അളവാണ്
, foci തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ വലുത്
.

കാള അച്ചുതണ്ടിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം, ഫോക്കുകൾക്കിടയിലുള്ള മധ്യഭാഗത്തുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവത്തിന് രൂപം ഉണ്ട്
ജി deഎ സെമി-മേജർ അച്ചുതണ്ട് നീളം;ബി - സെമി-മൈനർ അക്ഷത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം (ചിത്രം 2).

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം:

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ:

എ) എങ്കിൽ സി= 0, സമവാക്യം (2) ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും

കോടാലി + എഴുതിയത് = 0,

ഈ സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന നേർരേഖ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, കാരണം ഉത്ഭവത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ x = 0, വൈ= 0 ഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

b) നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിലാണെങ്കിൽ (2) ബി= 0, അപ്പോൾ സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു

കോടാലി + കൂടെ= 0, അല്ലെങ്കിൽ .

സമവാക്യത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല വൈ, ഈ സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന നേർരേഖ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ് അയ്യോ.

സി) നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിലാണെങ്കിൽ (2) എ= 0, അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യം രൂപമെടുക്കും

എഴുതിയത് + കൂടെ= 0, അല്ലെങ്കിൽ ;

സമവാക്യത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല x, കൂടാതെ അത് നിർവ്വചിക്കുന്ന നേർരേഖ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ് കാള.

ഇത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്: ഒരു നേർരേഖ ചില കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ സമവാക്യത്തിൽ ഈ അക്ഷത്തിൻ്റെ അതേ പേരിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദമൊന്നുമില്ല.

d) എപ്പോൾ സി= 0 ഒപ്പം എ= 0 സമവാക്യം (2) ഫോം എടുക്കുന്നു എഴുതിയത്= 0, അല്ലെങ്കിൽ വൈ = 0.

ഇതാണ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ സമവാക്യം കാള.

d) എപ്പോൾ സി= 0 ഒപ്പം ബി= 0 സമവാക്യം (2) ഫോമിൽ എഴുതും കോടാലി= 0 അല്ലെങ്കിൽ x = 0.

ഇതാണ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ സമവാക്യം അയ്യോ.

പരസ്പര സ്ഥാനംഒരു വിമാനത്തിൽ നേർരേഖകൾ. ഒരു വിമാനത്തിലെ നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ. സമാന്തര വരകൾക്കുള്ള അവസ്ഥ. വരികളുടെ ലംബതയുടെ അവസ്ഥ.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

എസ് 2 എസ് 1 വെക്റ്ററുകൾ എസ് 1, എസ് 2 എന്നിവയെ അവയുടെ ലൈനുകളുടെ ഗൈഡുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നേർരേഖകൾ l 1 ഉം l 2 ഉം തമ്മിലുള്ള കോൺ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ദിശ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണാണ്.
സിദ്ധാന്തം 1: l 1 നും l 2 നും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ cos = cos(l 1 ; l 2) =

സിദ്ധാന്തം 2: 2 വരികൾ തുല്യമാകുന്നതിന്, അത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്:

സിദ്ധാന്തം 3: 2 നേർരേഖകൾ ലംബമായിരിക്കാൻ അത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

പൊതു വിമാന സമവാക്യവും അതിൻ്റെ പ്രത്യേക കേസുകളും. സെഗ്മെൻ്റുകളിലുള്ള ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം.

പൊതു തല സമവാക്യം:

Ax + By + Cz + D = 0

പ്രത്യേക കേസുകൾ:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – വിമാനം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു

2. С=0 Ax+By+D = 0 – വിമാനം || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – വിമാനം || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – വിമാനം || OX

5. A=0, D=0 By+Cz = 0 – വിമാനം OX-ലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു

6. B=0, D=0 Ax+Cz = 0 - വിമാനം OY യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു

7. C=0, D=0 Ax+By = 0 - വിമാനം OZ വഴി കടന്നുപോകുന്നു

ബഹിരാകാശത്ത് വിമാനങ്ങളുടെയും നേർരേഖകളുടെയും ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം:

1. ബഹിരാകാശത്ത് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോണാണ് അവയുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണുകൾ.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. പ്ലെയിനുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അവയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിലൂടെയാണ്.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. രേഖയ്ക്കും തലത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ, രേഖയുടെ ദിശ വെക്റ്ററിനും വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്റ്ററിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ പാപത്തിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും.

4. 2 നേരായ || ബഹിരാകാശത്ത് അവരുടെ || വെക്റ്റർ ഗൈഡുകൾ

5. 2 വിമാനങ്ങൾ || എപ്പോൾ || സാധാരണ വെക്റ്ററുകൾ

6. ലൈനുകളുടെയും പ്ലെയിനുകളുടെയും ലംബമായ ആശയങ്ങൾ സമാനമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ചോദ്യം നമ്പർ 14

വിവിധ തരംഒരു തലത്തിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ (സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം, ഒരു ആംഗിൾ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് മുതലായവ)

സെഗ്മെൻ്റുകളിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം:
നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിൽ നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 - നേർരേഖ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

ഒരു ചരിവുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം:

op-amp axis (B അല്ല = 0) ന് തുല്യമല്ലാത്ത ഏത് നേർരേഖയും അടുത്ത വരിയിൽ എഴുതാം. ഫോം:

k = tanα α - നേർരേഖയ്ക്കും പോസിറ്റീവ് ആയി സംവിധാനം ചെയ്ത OX രേഖയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള കോൺ

b - op-amp ൻ്റെ അച്ചുതണ്ടുമായി നേർരേഖയുടെ കവലയുടെ പോയിൻ്റ്

പ്രമാണം:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

രണ്ട് പോയിൻ്റുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം:

ചോദ്യം നമ്പർ 16

ഒരു പോയിൻ്റിലും x→∞ എന്നതിലും ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിമിതമായ പരിധി

x0-ൽ അവസാന പരിധി:

ഏതെങ്കിലും E > 0 ന് b > 0 നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, x ≠x 0 ന് അസമത്വം |x – x 0 |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

പരിധി സൂചിപ്പിക്കുന്നത്: = എ

പോയിൻ്റിൽ അവസാന പരിധി +∞:

A എന്ന സംഖ്യയെ x-ൽ y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു → + ∞ , ഏതെങ്കിലും E > 0 ന് C > 0 നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ x > C ന് അസമത്വം |f(x) - A|< Е

പരിധി സൂചിപ്പിക്കുന്നത്: = എ

പോയിൻ്റിൽ അവസാന പരിധി -∞:

A എന്ന സംഖ്യയെ y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു x→-∞,ഏതെങ്കിലും ഇ< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е