വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള ഫെഡറൽ ഏജൻസി

സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം

ഉന്നത പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസം

"വൊറോനെഷ് സ്റ്റേറ്റ് പെഡഗോഗിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി"

അഗ്ലെബ്ര ആൻഡ് ജിയോമെട്രി വകുപ്പ്

സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ

(തിരഞ്ഞെടുത്ത ജോലികൾ)

ഗ്രാജ്വേറ്റ് യോഗ്യതാ ജോലി

സ്പെഷ്യാലിറ്റി 050201.65 ഗണിതം

(അധിക സ്പെഷ്യാലിറ്റി 050202.65 കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ്)

പൂർത്തിയാക്കിയത്: അഞ്ചാം വർഷ വിദ്യാർത്ഥി

ഭൗതികവും ഗണിതവും

ഫാക്കൽറ്റി

ശാസ്ത്ര ഉപദേഷ്ടാവ്:

VORONEZH - 2008

1. ആമുഖം……………………………………………………...…………..…

2. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ (തിരഞ്ഞെടുത്ത പ്രശ്നങ്ങൾ)

2.1 സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ ബീജഗണിത രൂപം….……...……….….

2.2 സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ……………………….

2.3 സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ത്രികോണമിതി രൂപം

2.4 3-ഉം 4-ഉം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോഗം …………………………………………………………………………

2.5 സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകളും പരാമീറ്ററുകളും ………………………………………………

3. ഉപസംഹാരം……………………………………………………………….

4. റഫറൻസുകളുടെ ലിസ്റ്റ് …………………………………………………….

1. ആമുഖം

സ്കൂൾ ഗണിത പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, യുക്തിസഹങ്ങൾ, യുക്തിസഹങ്ങൾ എന്നിവയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തം അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ, മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയും നിറയ്ക്കുന്ന ചിത്രങ്ങൾ. എന്നാൽ ഇതിനകം എട്ടാം ക്ലാസിൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മതിയായ വിതരണമില്ല, നെഗറ്റീവ് വിവേചനത്തോടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ സഹായത്തോടെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സ്റ്റോക്ക് നിറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിനായി സ്ക്വയർ റൂട്ട്നിന്ന് നെഗറ്റീവ് നമ്പർഅർത്ഥമുണ്ട്.

എന്റെ ബിരുദ വിഷയമായി "സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ" എന്ന വിഷയം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു യോഗ്യതാ ജോലി, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എന്ന ആശയം സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവ് വികസിപ്പിക്കുന്നു, ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ ഉള്ളടക്കത്തിന്റെ വിശാലമായ ക്ലാസ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച്, പരിഹരിക്കുന്നതിനെ കുറിച്ച് ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾഏതെങ്കിലും ബിരുദവും പാരാമീറ്ററുകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചും.

ഈ തീസിസ് 82 പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം പരിശോധിക്കുന്നു.

"സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ" എന്ന പ്രധാന വിഭാഗത്തിന്റെ ആദ്യ ഭാഗത്ത് പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾബീജഗണിത രൂപത്തിൽ, സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ, ബീജഗണിത രൂപത്തിലുള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾക്കുള്ള സംയോജന പ്രവർത്തനം, ഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റിന്റെ ശക്തി, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എന്നിവ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ വർഗ്ഗമൂല്യം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള നിയമവും ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയും പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുണ്ട്.

രണ്ടാം ഭാഗത്ത്, സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിന്റെ പോയിന്റുകളുടെയോ വെക്റ്ററുകളുടെയോ രൂപത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

മൂന്നാം ഭാഗം ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇവയാണ്: മൊയ്വർ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ.

നാലാമത്തെ ഭാഗം 3, 4 ഡിഗ്രികളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു.

അവസാന ഭാഗത്ത്, "സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളും പാരാമീറ്ററുകളും" പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, മുൻ ഭാഗങ്ങളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയും ഏകീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ (അസമത്വങ്ങൾ) നിർവചിച്ച സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലെ വരികളുടെ കുടുംബങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ അധ്യായത്തിലെ ഒരു കൂട്ടം പ്രശ്‌നങ്ങൾ നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. വ്യായാമത്തിന്റെ ഭാഗമായി നിങ്ങൾ ഒരു പാരാമീറ്റർ (ഫീൽഡ് സിക്ക് മുകളിൽ) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിൾ ഒരേസമയം നിരവധി വ്യവസ്ഥകൾ നിറവേറ്റുന്ന ടാസ്ക്കുകൾ ഉണ്ട്. ഈ വിഭാഗത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക സവിശേഷത, അവയിൽ പലതും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ (അസമത്വങ്ങൾ, സിസ്റ്റങ്ങൾ) പരിഹാരത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്, യുക്തിരഹിതമായ, ഒരു പാരാമീറ്ററുള്ള ത്രികോണമിതി.

ഓരോ ഭാഗത്തിലും മെറ്റീരിയലിന്റെ അവതരണത്തിന്റെ ഒരു സവിശേഷത പ്രാരംഭ ഇൻപുട്ടാണ് സൈദ്ധാന്തിക അടിത്തറ, തുടർന്ന് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ അവരുടെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗം.

അവസാനം തീസിസ്ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് അവതരിപ്പിക്കുന്നു. അവരിൽ ഭൂരിഭാഗവും സൈദ്ധാന്തിക കാര്യങ്ങൾ മതിയായ വിശദമായും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന രീതിയിലും അവതരിപ്പിക്കുന്നു, ചില പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക, നൽകുക പ്രായോഗിക ജോലികൾവേണ്ടി സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം. പ്രത്യേക ശ്രദ്ധഅത്തരം ഉറവിടങ്ങൾ പരാമർശിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു:

1. ഗോർഡിയെങ്കോ എൻ.എ., ബെലിയേവ ഇ.എസ്., ഫർസ്റ്റോവ് വി.ഇ., സെറിബ്രിയാക്കോവ ഐ.വി. കോംപ്ലക്സ് നമ്പറുകളും അവയുടെ ആപ്ലിക്കേഷനുകളും: പാഠപുസ്തകം. . മെറ്റീരിയൽ അധ്യാപന സഹായംപ്രഭാഷണങ്ങളുടെയും പ്രായോഗിക വ്യായാമങ്ങളുടെയും രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചു.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുത്ത പ്രശ്നങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും. ഗണിതവും ബീജഗണിതവും. ബീജഗണിതം, ഗണിതശാസ്ത്രം, സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട 320 പ്രശ്നങ്ങൾ പുസ്തകത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ ജോലികൾ സാധാരണ സ്കൂൾ ടാസ്ക്കുകളിൽ നിന്ന് സ്വഭാവത്തിൽ കാര്യമായ വ്യത്യാസമുണ്ട്.

2. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ (തിരഞ്ഞെടുത്ത പ്രശ്നങ്ങൾ)

2.1 ബീജഗണിത രൂപത്തിലുള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ

ഗണിതത്തിലെയും ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെയും പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു, അതായത്. രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ

,

ഇവിടെ a0, a1, ..., an യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്. അതിനാൽ, ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ പഠനം അതിലൊന്നാണ് നിർണായക പ്രശ്നങ്ങൾഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, കൂടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നെഗറ്റീവ് വിവേചനം. അത്തരം ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം സമവാക്യമാണ്

.

ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതിന്, സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് ചേർത്ത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം വികസിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

.

നമുക്ക് ഈ റൂട്ടിനെ സൂചിപ്പിക്കാം

. അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അല്ലെങ്കിൽ,

അതിനാൽ,

. സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിന്റെ സഹായത്തോടെയും ഒരു ജോടി യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സഹായത്തോടെയും ഫോമിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗം സമാഹരിക്കുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തെ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അവയിൽ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ രൂപത്തിന്റെ ആവിഷ്കാരങ്ങളാണ്

, എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പ്രത്യേക ചിഹ്നവുമാണ്. സംഖ്യയെ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, സംഖ്യ അതിന്റെ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗമാണ്. ചിഹ്നങ്ങൾ, അവയെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഫോമിന്റെ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, അതിനാൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഫോമിന്റെ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ

തികച്ചും സാങ്കൽപ്പികമെന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു. ഫോമിന്റെ രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ അവയുടെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ തുല്യമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു, അതായത്. തുല്യതയാണെങ്കിൽ, .

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിത നൊട്ടേഷൻ ബീജഗണിതത്തിന്റെ സാധാരണ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി അവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം നമ്മുടെ ജീവിതത്തിൽ വ്യാപകമാണ്. അവ പല കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും, ഘടനകളുടെ നിർമ്മാണത്തിലും സ്പോർട്സിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. പുരാതന കാലത്ത് മനുഷ്യൻ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു, അതിനുശേഷം അവയുടെ ഉപയോഗം വർദ്ധിച്ചു. വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം:

എങ്കിൽ \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] കണക്കാക്കുക

ഒന്നാമതായി, ഒരു സംഖ്യ ബീജഗണിത രൂപത്തിലും മറ്റൊന്ന് ത്രികോണമിതി രൂപത്തിലും അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ശ്രദ്ധിക്കാം. ഇത് ലളിതമാക്കി താഴെ പറയുന്ന ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

മൊയ്വർ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ ആദ്യം ഗുണനവും പത്താമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തലും ചെയ്യുന്നു എന്നാണ് \ എന്ന പദപ്രയോഗം പറയുന്നത്. ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിനായാണ് ഈ ഫോർമുല രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ പാലിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ പൈ)(3).\]

അംശം \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] ശരിയാക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് 4 തിരിവുകൾ \[(8\pi rad.): "വളച്ചൊടിക്കാൻ" കഴിയുമെന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി. \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

ഉത്തരം: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

ഈ സമവാക്യം മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് രണ്ടാം സംഖ്യയെ ബീജഗണിത രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, തുടർന്ന് ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഗുണനം നടത്തുന്നു, ഫലം ത്രികോണമിതി രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയും മൊയ്‌വറിന്റെ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഓൺലൈനിൽ എനിക്ക് എവിടെ പരിഹരിക്കാനാകും?

ഞങ്ങളുടെ വെബ്സൈറ്റ് https://site-ൽ നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഏത് സങ്കീർണ്ണതയുടെയും ഓൺലൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ പരിഹരിക്കാൻ സൗജന്യ ഓൺലൈൻ സോൾവർ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും. സോൾവറിൽ നിങ്ങളുടെ ഡാറ്റ നൽകുക മാത്രമാണ് നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്. നിങ്ങൾക്ക് വീഡിയോ നിർദ്ദേശങ്ങൾ കാണാനും ഞങ്ങളുടെ വെബ്‌സൈറ്റിൽ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാനും കഴിയും. നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അവരോട് ഞങ്ങളുടെ VKontakte ഗ്രൂപ്പിൽ ചോദിക്കാം http://vk.com/pocketteacher. ഞങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പിൽ ചേരൂ, നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നതിൽ ഞങ്ങൾക്ക് എപ്പോഴും സന്തോഷമുണ്ട്.

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ അവലോകന ലേഖനത്തിന്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ എന്താണെന്നും സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് അടിസ്ഥാന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിലവിലെ രീതികൾ വിശദീകരിക്കുകയാണ്. അതിനാൽ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ ഫോമിന്റെ ഒരു സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കും z = a + bi, എവിടെ എ, ബി- യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, അവയെ യഥാക്രമം ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുകയും സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു a = Re(z), b=Im(z).
ഐസാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. i 2 = -1. പ്രത്യേകിച്ചും, ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും സങ്കീർണ്ണമായി കണക്കാക്കാം: a = a + 0i, എവിടെ a യഥാർത്ഥമാണ്. എങ്കിൽ a = 0ഒപ്പം b≠ 0, അപ്പോൾ സംഖ്യയെ സാധാരണയായി തികച്ചും സാങ്കൽപ്പികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുത്താം.
രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക z 1 = a 1 + b 1 iഒപ്പം z 2 = a 2 + b 2 i.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം z = a + bi.

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ വിപുലീകരിക്കുന്നു, അത് സെറ്റിനെ വിപുലീകരിക്കുന്നു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾതുടങ്ങിയവ. ഈ നിക്ഷേപ ശൃംഖല ചിത്രത്തിൽ കാണാം: N - പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, Z - പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, Q - യുക്തിസഹമായ, R - യഥാർത്ഥമായ, C - കോംപ്ലക്സ്.

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ പ്രാതിനിധ്യം

ബീജഗണിത നൊട്ടേഷൻ.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ പരിഗണിക്കുക z = a + bi, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എഴുതുന്ന ഈ രൂപത്തെ വിളിക്കുന്നു ബീജഗണിതം. മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ ഈ റെക്കോർഡിംഗ് രൂപത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന വിഷ്വൽ ഡ്രോയിംഗ് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു

ത്രികോണമിതി രൂപം.

ആ സംഖ്യയാണെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം z = a + biവ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം. അത് വ്യക്തമാണ് a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, അതിനാൽ z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ആർഗ്യുമെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ഈ പ്രതിനിധാനത്തെ വിളിക്കുന്നു ത്രികോണമിതി രൂപം. നൊട്ടേഷന്റെ ത്രികോണമിതി രൂപം ചിലപ്പോൾ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിലേക്ക് ഉയർത്താൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതായത്, if z = rcos(φ) + rsin(φ)i, അത് z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ഈ സൂത്രവാക്യം വിളിക്കുന്നു മോയിവർ ഫോർമുല.

പ്രകടനാത്മക രൂപം.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം z = rcos(φ) + rsin(φ)i- ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ, അത് മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ എഴുതുക z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, അവസാന സമത്വം Euler ന്റെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, അതിനാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും പുതിയ യൂണിഫോംകോംപ്ലക്സ് നമ്പർ നോട്ടേഷൻ: z = reiφ, വിളിക്കപ്പെടുന്ന സൂചകമായ. ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനും ഈ രീതിയിലുള്ള നൊട്ടേഷൻ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്: z n = r n e inφ, ഇവിടെ എൻഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ആയിരിക്കണമെന്നില്ല, എന്നാൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായിരിക്കാം. ഈ രീതിയിലുള്ള നൊട്ടേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉയർന്ന ബീജഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം

നമുക്ക് x 2 + x + 1 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, ഇതിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല, എന്നാൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അതിനാൽ, ഉയർന്ന ബീജഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം പറയുന്നത്, ഡിഗ്രി n ന്റെ ഏതൊരു ബഹുപദത്തിനും ചുരുങ്ങിയത് ഒരു സങ്കീർണ്ണ മൂലമെങ്കിലും ഉണ്ടെന്നാണ്. n ഡിഗ്രിയുടെ ഏത് ബഹുപദത്തിനും അവയുടെ ഗുണിതത കണക്കിലെടുത്ത് കൃത്യമായി n സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുണ്ട്. ഈ സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ഫലമാണ്, ഇത് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു ലളിതമായ ഫലം കൃത്യമായി n ഉണ്ട് എന്നതാണ് വ്യത്യസ്ത വേരുകൾഐക്യത്തിന്റെ ബിരുദം n.

പ്രധാന തരം ജോലികൾ

ഈ വിഭാഗം പ്രധാന തരങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു ലളിതമായ ജോലികൾസങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിലേക്ക്. പരമ്പരാഗതമായി, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന വിഭാഗങ്ങളായി തിരിക്കാം.

• സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു.
• സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ ബഹുപദങ്ങളുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
• സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ ശക്തികളാക്കി ഉയർത്തുന്നു.
• സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു.
• മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം പൊതു സാങ്കേതിക വിദ്യകൾഈ പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ.

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആദ്യ വിഭാഗത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായാണ് നടത്തുന്നത്, എന്നാൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ത്രികോണമിതിയിലോ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ രൂപങ്ങളിലോ അവതരിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് അവയെ ബീജഗണിത രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാനും അറിയപ്പെടുന്ന നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനും കഴിയും.

ബഹുപദങ്ങളുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സാധാരണയായി വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, അതിന്റെ വിവേചനം നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥമായിരിക്കും കൂടാതെ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ഫോർമുല അനുസരിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതായത്, D = -1∙a 2, എവിടെ എഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ വിവേചനക്കാരനെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം D = (ia) 2, അതിനാൽ √D = i|a|, തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായി.

ഉദാഹരണം. x 2 + x + 1 = 0 മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം.
വിവേചനം - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ ശക്തികളാക്കി ഉയർത്തുന്നത് പല തരത്തിൽ ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ബീജഗണിത രൂപത്തിലുള്ള ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ ഒരു ചെറിയ ശക്തിയിലേക്ക് (2 അല്ലെങ്കിൽ 3) ഉയർത്തണമെങ്കിൽ, നേരിട്ടുള്ള ഗുണനത്തിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും, എന്നാൽ ശക്തി വലുതാണെങ്കിൽ (പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഇത് പലപ്പോഴും വളരെ വലുതാണ്), നിങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സംഖ്യ ത്രികോണമിതിയിലോ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ രൂപത്തിലോ എഴുതുക, ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുക.

ഉദാഹരണം. z = 1 + i പരിഗണിച്ച് പത്താമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് z എഴുതാം: z = √2 e iπ/4.
പിന്നെ z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
നമുക്ക് ബീജഗണിത രൂപത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം: z 10 = -32i.

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ്, അതിനാൽ ഇത് സമാനമായ രീതിയിൽ നടത്തുന്നു. വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ, ഒരു സംഖ്യ എഴുതുന്നതിനുള്ള എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫോം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

ഉദാഹരണം. ഐക്യത്തിന്റെ 3 ഡിഗ്രിയുടെ എല്ലാ വേരുകളും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, z 3 = 1 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ വേരുകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, ഞങ്ങൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ വേരുകൾക്കായി നോക്കും.
നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കാം: r 3 e 3iφ = 1 അല്ലെങ്കിൽ r 3 e 3iφ = e 0 .
അതിനാൽ: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, അതിനാൽ φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3 എന്നിവയിൽ വ്യത്യസ്ത വേരുകൾ ലഭിക്കും.
അതിനാൽ 1, e i2π/3, e i4π/3 എന്നിവ വേരുകളാണ്.
അല്ലെങ്കിൽ ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ:

അവസാന തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ വൈവിധ്യമാർന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പൊതുവായ രീതികളൊന്നുമില്ല. അത്തരമൊരു ജോലിയുടെ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം:

തുക കണ്ടെത്തുക sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + ... + sin(nx).

ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ രൂപവത്കരണത്തിൽ സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിലും, അവരുടെ സഹായത്തോടെ ഇത് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രാതിനിധ്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:


ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഈ പ്രതിനിധാനം തുകയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സാധാരണ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ സംഗ്രഹിക്കുന്നതിലേക്ക് പ്രശ്നം ചുരുങ്ങും.

ഉപസംഹാരം

കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യകൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു, ഈ അവലോകന ലേഖനം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിശോധിക്കുകയും നിരവധി തരം സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രശ്നങ്ങൾ വിവരിക്കുകയും ഹ്രസ്വമായി വിവരിക്കുകയും ചെയ്തു. പൊതു രീതികൾഅവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കഴിവുകളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിശദമായ പഠനത്തിനായി, പ്രത്യേക സാഹിത്യം ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

സാഹിത്യം

എക്സ്പ്രഷനുകൾ, സമവാക്യങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളോടെ

ഇന്ന് ക്ലാസ്സിൽ ഞങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള സാധാരണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിശീലിക്കും, കൂടാതെ ഈ സംഖ്യകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ എന്നിവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതികതയും ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും. ഈ വർക്ക്‌ഷോപ്പ് പാഠത്തിന്റെ തുടർച്ചയാണ്, അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് വിഷയത്തിൽ നന്നായി അറിയില്ലെങ്കിൽ, ദയവായി മുകളിലുള്ള ലിങ്ക് പിന്തുടരുക. നന്നായി, കൂടുതൽ തയ്യാറായ വായനക്കാർക്കായി ഞാൻ നിങ്ങളെ ഉടൻ ചൂടാക്കാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 1

ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക , എങ്കിൽ. ഫലത്തെ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക.

പരിഹാരം: അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയെ "ഭയങ്കരമായ" ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ലളിതമാക്കുകയും ഫലം പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയും വേണം. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ വി ത്രികോണമിതി രൂപം . കൂടാതെ ഒരു ഡ്രോയിംഗ്.

തീരുമാനം ഔപചാരികമാക്കാനുള്ള ഏറ്റവും നല്ല മാർഗം ഏതാണ്? "അത്യാധുനിക" ഉപയോഗിച്ച് ബീജഗണിത പദപ്രയോഗംഅത് ഘട്ടം ഘട്ടമായി മനസ്സിലാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. ഒന്നാമതായി, ശ്രദ്ധ കുറയുന്നു, രണ്ടാമതായി, ചുമതല സ്വീകരിച്ചില്ലെങ്കിൽ, പിശക് കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ എളുപ്പമായിരിക്കും.

1) ആദ്യം, നമുക്ക് ന്യൂമറേറ്റർ ലളിതമാക്കാം. നമുക്ക് അതിൽ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് ഹെയർസ്റ്റൈൽ ശരിയാക്കാം:

...അതെ, അത്തരമൊരു ക്വാസിമോഡോ വന്നത് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ നിന്നാണ്...

പരിവർത്തന സമയത്ത്, തികച്ചും ലളിതമായ കാര്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ - ബഹുപദങ്ങളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമവും ഇതിനകം നിന്ദ്യമായ സമത്വവും. പ്രധാന കാര്യം ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക, അടയാളങ്ങളാൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകരുത്.

2) ഇപ്പോൾ ഡിനോമിനേറ്റർ വരുന്നു. എങ്കിൽ, പിന്നെ:

ഏത് അസാധാരണ വ്യാഖ്യാനത്തിലാണ് ഇത് ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക ചതുരാകൃതിയിലുള്ള തുക ഫോർമുല . പകരമായി, നിങ്ങൾക്ക് ഇവിടെ ഒരു പുനഃക്രമീകരണം നടത്താം ഉപസൂത്രം ഫലങ്ങൾ സ്വാഭാവികമായും സമാനമായിരിക്കും.

3) ഒടുവിൽ, മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും. എങ്കിൽ, പിന്നെ:

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നതിന്, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ സംയോജിത പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. അതേ സമയം, അപേക്ഷയുടെ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ചതുര വ്യത്യാസം ഫോർമുലകൾ ആദ്യം വേണം (ഇതിനകം തന്നെ വേണം!)നെഗറ്റീവ് യഥാർത്ഥ ഭാഗം രണ്ടാം സ്ഥാനത്ത് ഇടുക:

ഇപ്പോൾ പ്രധാന നിയമം:

ഞങ്ങൾ തിരക്കിലല്ല! സുരക്ഷിതമായി കളിക്കുകയും ഒരു അധിക ചുവടുവെപ്പ് നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്.
പദപ്രയോഗങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള സിസ്റ്റങ്ങൾ, ധിക്കാരപരമായ വാക്കാലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എന്നത്തേക്കാളും കൂടുതൽ നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു!

അവസാന ഘട്ടത്തിൽ നല്ല കുറവുണ്ടായി, അതൊരു വലിയ സൂചന മാത്രമാണ്.

കുറിപ്പ് : കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇവിടെ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യ 50 കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ സംഭവിച്ചു (അത് ഓർക്കുക). ഈ സൂക്ഷ്മതയെക്കുറിച്ച് ഞാൻ ഇതുവരെ നിശബ്ദനായിരുന്നു, ഞങ്ങൾ അതിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് സംസാരിക്കും.

നമ്മുടെ നേട്ടത്തെ അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം

നമുക്ക് ലഭിച്ച ഫലം ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാം. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഇല്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയും, പക്ഷേ അത് ആവശ്യമുള്ളതിനാൽ, ഇപ്പോൾ ഇത് ചെയ്യുന്നത് കുറച്ചുകൂടി യുക്തിസഹമാണ്:

നമുക്ക് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് കണക്കാക്കാം:

നിങ്ങൾ 1 യൂണിറ്റിന്റെ സ്കെയിലിൽ വരച്ചാൽ. = 1 സെന്റീമീറ്റർ (2 നോട്ട്ബുക്ക് സെല്ലുകൾ), തുടർന്ന് ലഭിച്ച മൂല്യം ഒരു സാധാരണ ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്.

നമുക്ക് ഒരു വാദം കണ്ടെത്താം. നമ്പർ രണ്ടാം കോർഡിനേറ്റ് പാദത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതിനാൽ:

ഒരു പ്രോട്രാക്ടർ ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാം. ഡ്രോയിംഗിന്റെ നിസ്സംശയമായ നേട്ടമാണിത്.

അങ്ങനെ: - ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ ആവശ്യമായ സംഖ്യ.

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം:
, പരിശോധിച്ചുറപ്പിക്കേണ്ടത് എന്തായിരുന്നു.

സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ അപരിചിതമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് ത്രികോണമിതി പട്ടിക .

ഉത്തരം:

ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിന് സമാനമായ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 2

ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക , എവിടെ . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ വരച്ച് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

ട്യൂട്ടോറിയലുകൾ ഒഴിവാക്കാതിരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. അവർ ലളിതമായി തോന്നാം, പക്ഷേ പരിശീലനമില്ലാതെ, "ഒരു കുളത്തിൽ കയറുന്നത്" എളുപ്പമല്ല, വളരെ എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ "അതിൽ കൈകോർക്കുന്നു."

പലപ്പോഴും ഒരു പ്രശ്നത്തിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്:

ഉദാഹരണം 3

എങ്കിൽ കണക്കാക്കുക,

പരിഹാരം: ഒന്നാമതായി, നമുക്ക് യഥാർത്ഥ അവസ്ഥയിലേക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം - ഒരു സംഖ്യ ബീജഗണിതത്തിലും മറ്റൊന്ന് ത്രികോണമിതി രൂപത്തിലും ഡിഗ്രിയിലും അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഇത് കൂടുതൽ പരിചിതമായ രൂപത്തിൽ ഉടനടി മാറ്റിയെഴുതാം: .

ഏത് രൂപത്തിലാണ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തേണ്ടത്? പദപ്രയോഗത്തിൽ വ്യക്തമായും ആദ്യ ഗുണനവും പത്താമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തലും ഉൾപ്പെടുന്നു മോയിവർ ഫോർമുല , ഇത് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിനായി രൂപപ്പെടുത്തിയതാണ്. അതിനാൽ ആദ്യ നമ്പർ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണെന്ന് തോന്നുന്നു. നമുക്ക് അതിന്റെ മൊഡ്യൂളും ആർഗ്യുമെന്റും കണ്ടെത്താം:

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ ഗുണിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
എങ്കിൽ, പിന്നെ

ഭിന്നസംഖ്യ ശരിയാക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് 4 തിരിവുകൾ "വളച്ചൊടിക്കാൻ" കഴിയുമെന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി ( സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നു.):

രണ്ടാമത്തെ പരിഹാരംരണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയെ ബീജഗണിത രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക എന്നതാണ് , ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ ഗുണനം നടത്തുക, ഫലം ത്രികോണമിതി രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയും Moivre ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുക.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു "അധിക" പ്രവർത്തനം ഉണ്ട്. ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് തീരുമാനത്തെ പിന്തുടരുകയും ഫലങ്ങൾ സമാനമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യാം.

അവസാന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ രൂപത്തെക്കുറിച്ച് വ്യവസ്ഥ ഒന്നും പറയുന്നില്ല, അതിനാൽ:

ഉത്തരം:

എന്നാൽ "സൗന്ദര്യത്തിന്" അല്ലെങ്കിൽ ആവശ്യാനുസരണം, ഫലം ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല:

സ്വന്തം നിലയിൽ:

ഉദാഹരണം 4

ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

ഇവിടെ നാം ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട് ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ , ഒന്നാണെങ്കിലും ഉപയോഗപ്രദമായ നിയമംഇത് മാനുവലിൽ ഇല്ല, ഇതാ: .

ഒരു പ്രധാന കുറിപ്പ് കൂടി: ഉദാഹരണം രണ്ട് ശൈലികളിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. കൂടെ പ്രവർത്തിക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യ ഓപ്ഷൻ രണ്ട്അക്കങ്ങളും ഭിന്നസംഖ്യകളും ശരിയാകുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ ഓരോ സംഖ്യയും ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നതാണ് രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഘടകം: ഒപ്പം നാല് നിലകളുള്ള ഘടന ഒഴിവാക്കുക . ഒരു ഔപചാരിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾ എങ്ങനെ തീരുമാനിക്കുന്നു എന്നത് പ്രശ്നമല്ല, പക്ഷേ കാര്യമായ വ്യത്യാസമുണ്ട്! ദയവായി ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചിന്തിക്കുക:
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയാണ്;
രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ (ഉം ) ഘടകമാണ്, എന്നാൽ സന്ദർഭത്തെ ആശ്രയിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഇതും പറയാം: രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഘടകമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ.

ദ്രുത പരിഹാരംപാഠത്തിന്റെ അവസാനം ഉത്തരവും.

എക്സ്പ്രഷനുകൾ നല്ലതാണ്, എന്നാൽ സമവാക്യങ്ങൾ മികച്ചതാണ്:

സങ്കീർണ്ണമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ

അവയിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു "സാധാരണ" സമവാക്യങ്ങൾ? സാധ്യത =)

മുകളിലുള്ള അഭിപ്രായത്തിന്റെ വെളിച്ചത്തിൽ, നമുക്ക് ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം:

ഉദാഹരണം 5

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഒരു ഉടനടി ആമുഖം "കുതികാൽ ചൂടുള്ള": തുടക്കത്തിൽ വലത് ഭാഗംസമവാക്യം രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ (ഒപ്പം 13) ഘടകമായി സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ വ്യവസ്ഥയെ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിയെഴുതുന്നത് മോശം രൂപമായിരിക്കും (ഇത് ഒരു പിശകിന് കാരണമാകില്ലെങ്കിലും). ഈ വ്യത്യാസം, ഭിന്നസംഖ്യയിൽ കൂടുതൽ വ്യക്തമായി കാണാം - താരതമ്യേന പറഞ്ഞാൽ, ഈ മൂല്യം പ്രാഥമികമായി മനസ്സിലാക്കുന്നത് സമവാക്യത്തിന്റെ "പൂർണ്ണ" സങ്കീർണ്ണമായ റൂട്ട്, ഒരു സംഖ്യയുടെ വിഭജനമായിട്ടല്ല, പ്രത്യേകിച്ച് ഒരു സംഖ്യയുടെ ഭാഗമായിട്ടല്ല!

പരിഹാരം, തത്വത്തിൽ, ഘട്ടം ഘട്ടമായി ക്രമീകരിക്കാനും കഴിയും, പക്ഷേ ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽകളി മെഴുകുതിരിക്ക് വിലയുള്ളതല്ല. അജ്ഞാതമായ "z" അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത എല്ലാം ലളിതമാക്കുക എന്നതാണ് പ്രാരംഭ ചുമതല, അതിന്റെ ഫലമായി സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു:

മധ്യഭാഗത്തെ ഞങ്ങൾ ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ ലളിതമാക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ ഫലം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുകയും വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

കുറിപ്പ് : വീണ്ടും ഞാൻ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ അർഥവത്തായ പോയിന്റിലേക്ക് ആകർഷിക്കുന്നു - ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യ കുറയ്ക്കുകയല്ല, മറിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നു! ഇതിനകം തന്നെ പരിഹരിക്കാനുള്ള പുരോഗതിയിൽ അക്കങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നത് നിരോധിച്ചിട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്: , എന്നിരുന്നാലും, പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ ഈ ശൈലി ഉപയോഗപ്രദമായതിനേക്കാൾ ദോഷകരമാണ് =)

അനുപാത നിയമം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ "zet" പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വീണ്ടും സംയോജനം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനും ഗുണിക്കാനും കഴിയും, എന്നാൽ ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലുമുള്ള സംശയാസ്പദമായ സമാന സംഖ്യകൾ അടുത്ത നീക്കം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

ഉത്തരം:

പരിശോധിക്കുന്നതിന്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം ഇടത് വശം യഥാർത്ഥ സമവാക്യംനമുക്ക് കുറച്ച് ലളിതമാക്കാം:

- യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗം ലഭിക്കുന്നു, അങ്ങനെ റൂട്ട് ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

...ഇപ്പോൾ, ഇപ്പോൾ... നിങ്ങൾക്കായി കൂടുതൽ രസകരമായ എന്തെങ്കിലും ഞാൻ കണ്ടെത്തും... ഇതാ നിങ്ങൾ:

ഉദാഹരണം 6

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഈ സമവാക്യം രൂപത്തിലേക്ക് കുറയുന്നു, അതായത് ഇത് രേഖീയമാണ്. സൂചന വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു - അതിനായി പോകുക!

തീർച്ചയായും, അവനില്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ജീവിക്കാനാകും:

സങ്കീർണ്ണമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം

പാഠത്തിൽ ഡമ്മികൾക്കുള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി, അതിനുശേഷം ഒരു ലോജിക്കൽ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: എന്തുകൊണ്ടാണ്, വാസ്തവത്തിൽ, ഗുണകങ്ങൾ തന്നെ സങ്കീർണ്ണമാകാൻ കഴിയാത്തത്? ഞാൻ രൂപപ്പെടുത്തട്ടെ പൊതുവായ കേസ്:

അനിയന്ത്രിതമായ സങ്കീർണ്ണ ഗുണകങ്ങളുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം (ഇതിൽ 1 അല്ലെങ്കിൽ 2 അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നും, പ്രത്യേകിച്ച്, സാധുതയുള്ളതാകാം)അതിനുണ്ട് രണ്ട്, രണ്ട് മാത്രംസങ്കീർണ്ണമായ റൂട്ട് (ഒരുപക്ഷേ അവയിൽ ഒന്നോ രണ്ടോ സാധുതയുള്ളതാണ്). അതേ സമയം, വേരുകൾ (യഥാർത്ഥവും പൂജ്യമല്ലാത്ത സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗവും)യോജിച്ചേക്കാം (ഗുണങ്ങളായിരിക്കാം).

സങ്കീർണ്ണമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അതേ സ്കീം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു "സ്കൂൾ" സമവാക്യം , കണക്കുകൂട്ടൽ സാങ്കേതികതയിൽ ചില വ്യത്യാസങ്ങളോടെ:

ഉദാഹരണം 7

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് ആദ്യം വരുന്നു, തത്വത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാം (ഇരുവശവും ഗുണിക്കുക), എന്നിരുന്നാലും, ഇതിന് പ്രത്യേകിച്ച് ആവശ്യമില്ല.

സൗകര്യാർത്ഥം, ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഒരു സ്വതന്ത്ര അംഗത്തിന്റെ "മൈനസ്" നമുക്ക് നഷ്ടപ്പെടുത്തരുത്! ...എല്ലാവർക്കും വ്യക്തമാകണമെന്നില്ല - ഞാൻ സമവാക്യം വീണ്ടും എഴുതാം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം :

നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാം:

പിന്നെ പ്രധാന തടസ്സം ഇതാണ്:

അപേക്ഷ പൊതു ഫോർമുലറൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ (ലേഖനത്തിന്റെ അവസാന ഖണ്ഡിക കാണുക ഡമ്മികൾക്കുള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ) റാഡിക്കൽ കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ ആർഗ്യുമെന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗുരുതരമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകളാൽ സങ്കീർണ്ണമാണ് (നിങ്ങൾക്കായി കാണുക). എന്നാൽ മറ്റൊരു, "ബീജഗണിത" മാർഗമുണ്ട്! ഫോമിൽ ഞങ്ങൾ റൂട്ടിനായി നോക്കും:

നമുക്ക് ഇരുവശവും സമചതുരമാക്കാം:

യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ തുല്യമാണ്. അങ്ങനെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം:

തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് (കൂടുതൽ സമഗ്രമായ മാർഗം 2-ആം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് - 1-ആമത്തേത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ഒരു ദ്വിചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം നേടുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക). പ്രശ്നത്തിന്റെ രചയിതാവ് ഒരു രാക്ഷസൻ അല്ലെന്ന് കരുതി, ഞങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെന്ന അനുമാനം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുന്നു. ഒന്നാം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് "x" മൊഡ്യൂളോ "Y" എന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ. കൂടാതെ, പോസിറ്റീവ് ഉൽപ്പന്നം അജ്ഞാതർ ഒരേ അടയാളമാണെന്ന് നമ്മോട് പറയുന്നു. മുകളിലുള്ളവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ച്, അതിനോട് പൊരുത്തപ്പെടുന്ന എല്ലാ ജോഡികളും ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം അവസാന രണ്ട് ജോഡികളാൽ തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്, ഇങ്ങനെ:

ഒരു ഇന്റർമീഡിയറ്റ് പരിശോധന ഉപദ്രവിക്കില്ല:

എന്തായിരുന്നു പരിശോധിക്കേണ്ടത്.

നിങ്ങൾക്ക് "പ്രവർത്തിക്കുന്ന" റൂട്ട് ആയി തിരഞ്ഞെടുക്കാം ഏതെങ്കിലുംഅർത്ഥം. "കോൺസ്" ഇല്ലാതെ പതിപ്പ് എടുക്കുന്നതാണ് നല്ലതെന്ന് വ്യക്തമാണ്:

ഞങ്ങൾ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു, മറക്കാതെ, അത്:

ഉത്തരം:

കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം :

1) നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം:

യഥാർത്ഥ സമത്വം.

2) നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം:

യഥാർത്ഥ സമത്വം.

അങ്ങനെ, പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

പ്രശ്നത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ചർച്ച ചെയ്തു:

ഉദാഹരണം 8

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക

യുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് തികച്ചും സങ്കീർണ്ണമായപൊതുവായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അക്കങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും , എവിടെ , അതിനാൽ രണ്ട് രീതികളും സാമ്പിളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഉപയോഗപ്രദമായ പരാമർശം ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ റൂട്ടിന്റെ പ്രാഥമിക വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ പരിഹാരത്തെ ഒട്ടും ലളിതമാക്കുന്നില്ല എന്ന വസ്തുതയെ ബാധിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വിശ്രമിക്കാം - ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ നിങ്ങൾ ഒരു ചെറിയ ഭയത്തോടെ രക്ഷപ്പെടും :)

ഉദാഹരണം 9

സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് പരിശോധിക്കുക

പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ പരിഹാരങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും.

ലേഖനത്തിന്റെ അവസാന ഖണ്ഡിക നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം

നമുക്ക് വിശ്രമിക്കാം ഒപ്പം... പിരിമുറുക്കപ്പെടരുത് =) നമുക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ് പരിഗണിക്കാം - രണ്ടെണ്ണം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾരണ്ട് അജ്ഞാതർക്കൊപ്പം:

ഉദാഹരണം 10

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക. ബീജഗണിതത്തിലും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫോമുകളിലും ഉത്തരം അവതരിപ്പിക്കുക, ഡ്രോയിംഗിലെ വേരുകൾ ചിത്രീകരിക്കുക.

പരിഹാരം: സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് വ്യവസ്ഥ തന്നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്, തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഓരോന്നിനുംസിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യം.

സിസ്റ്റം ശരിക്കും ഒരു "ബാലിശമായ" രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും (ഒരു വേരിയബിൾ മറ്റൊന്നിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക ) , എന്നിരുന്നാലും ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ് ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ . നമുക്ക് കണക്കാക്കാം പ്രധാന ഡിറ്റർമിനന്റ്സംവിധാനങ്ങൾ:

, അതായത് സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

നിങ്ങളുടെ സമയമെടുത്ത് കഴിയുന്നത്ര വിശദമായി ഘട്ടങ്ങൾ എഴുതുന്നതാണ് നല്ലതെന്ന് ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് 1st റൂട്ട് നേടുന്നു:

അതുപോലെ:

അനുബന്ധ വലത് വശങ്ങൾ ലഭിക്കും, മുതലായവ.

നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:

നമുക്ക് വേരുകളെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവരുടെ മൊഡ്യൂളുകളും ആർഗ്യുമെന്റുകളും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

1) - "രണ്ട്" എന്നതിന്റെ ആർക്റ്റാൻജന്റ് "മോശമായി" കണക്കാക്കുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇത് ഇതുപോലെ ഉപേക്ഷിക്കുന്നു: