ബീജഗണിത നൊട്ടേഷൻ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ................................................................ | |||
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ തലം ............................................. ...................... ............................ ................................ ... | |||
സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജന സംഖ്യകൾ............................................. ............................................................... .......................... | |||
ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ........................................... ......... .... | |||
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ............................................. ................................................ ................. | |||
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നു............................................. ............................................................... ...................... | |||
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം.............................................. ...................... .................................. .................. | |||
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കുന്നു............................................. ............................................................. ................... | |||
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എഴുതുന്നതിൻ്റെ ത്രികോണമിതി രൂപം........................................... ......... .......... | |||
ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ........................................... ......... | |||
ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക............................................ ........ | |||
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ വിഭജിക്കുന്നു............................................ .......... ... | |||
ഒരു കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യയെ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു........................................... ........... | |||
ഒരു കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യയിൽ നിന്ന് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ ബിരുദത്തിൻ്റെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു. | |||
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ യുക്തിസഹമായ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു. .................. ..... | |||
സങ്കീർണ്ണമായ പരമ്പര ................................................ .............................................. ......... .................... | |||
സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യ ശ്രേണി ............................................. ............................................................... .......................... | |||
സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലെ പവർ സീരീസ് ............................................. ........ ................................. | |||
രണ്ടു വശമുള്ള പവർ സീരീസ്സങ്കീർണ്ണമായ വിമാനത്തിൽ .............................................. ..... | |||
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ............................................. ....................................................... | |||
അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ............................................. ............................................................. . | |||
യൂലറുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ........................................... .............................................. ......... .................... | |||
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിൻ്റെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫോം........................................... ...................... . | |||
ത്രികോണമിതിയും ഹൈപ്പർബോളിക് ഫംഗ്ഷനുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം................................... | |||
ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷൻ .................................................. .............................................. .............. | |||
ജനറൽ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ, ജനറൽ പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ............................................. ........ ............... | |||
ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ............................................. .............. | |||
കൗച്ചി-റീമാൻ വ്യവസ്ഥകൾ.............................................. ..... .................................................. ........... ............ | |||
ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ............................................. ....................................................... | |||
ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഓപ്പറേഷൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ............................................. ...................... ............................ ... | |||
ഒരു അനലിറ്റിക്കൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ................................... | |||
ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അതിൻ്റെ യഥാർത്ഥമോ സാങ്കൽപ്പികമോ ആയതിൽ നിന്ന് പുനർനിർമ്മിക്കുക |
|||
രീതി നമ്പർ 1. ഒരു കർവ് ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു........................................... ...... ....... | |||
രീതി നമ്പർ 2. Cauchy-Riemann വ്യവസ്ഥകളുടെ നേരിട്ടുള്ള പ്രയോഗം........................................... | |||
രീതി നമ്പർ 3. അന്വേഷിച്ച ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിലൂടെ........................................... .......... ......... | |||
ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏകീകരണം ........................................... ......... .......... | |||
ഇൻ്റഗ്രൽ കൗച്ചി ഫോർമുല............................................. ..... .................................................. .............. | |||
ടെയ്‌ലർ, ലോറൻ്റ് സീരീസിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വിപുലീകരണം........................................... .......... ................................ | |||
ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പൂജ്യങ്ങളും ഏകവചന പോയിൻ്റുകളും........................................... .............. | |||
ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ. .......... ....................... | |||
ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒറ്റപ്പെട്ട ഏകവചന പോയിൻ്റുകൾ. | |||
14.3 ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏക ബിന്ദുവായി അനന്തതയിലുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ്
കിഴിവുകൾ .................................................. ....................................................... ................................................... ... | |||
അവസാന ഘട്ടത്തിലെ കിഴിവ്............................................. ...... ............................................. ............ ...... | |||
അനന്തതയിലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അവശിഷ്ടം........................................... .............. | |||
അവശിഷ്ടങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ............................................. ....................................... | |||
സ്വയം പരിശോധനാ ചോദ്യങ്ങൾ ............................................. ...................... .................................. ................................ ....... | |||
സാഹിത്യം................................................ ................................................... ...... ................................... | |||
വിഷയ സൂചിക........................................... ................................................... ...... .............. | |||
ആമുഖം
ഒരു പരീക്ഷയുടെയോ മൊഡ്യൂൾ സർട്ടിഫിക്കേഷൻ്റെയോ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ ഭാഗങ്ങൾക്കായി തയ്യാറെടുക്കുമ്പോൾ സമയവും പ്രയത്നവും ശരിയായി വിതരണം ചെയ്യുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും സെഷനിൽ വേണ്ടത്ര സമയമില്ലാത്തതിനാൽ. പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നതുപോലെ, എല്ലാവർക്കും ഇത് നേരിടാൻ കഴിയില്ല. തൽഫലമായി, പരീക്ഷാ സമയത്ത്, ചില വിദ്യാർത്ഥികൾ പ്രശ്നങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉത്തരം നൽകുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ് സൈദ്ധാന്തിക പ്രശ്നങ്ങൾ, മറ്റുള്ളവർക്ക് സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും, പക്ഷേ അത് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല.
ഈ വൈരുദ്ധ്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനും കോഴ്സിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ഒരേസമയം ആവർത്തനം ഉറപ്പാക്കുന്നതിനുമുള്ള ശ്രമമാണ് "തിയറി ഓഫ് ഫംഗ്‌ഷൻസ് ഓഫ് എ കോംപ്ലക്സ് വേരിയബിൾ" (TFCP) എന്ന കോഴ്സിലെ പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഈ മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ. "അഭ്യാസമില്ലാത്ത സിദ്ധാന്തം നിർജീവമാണ്, സിദ്ധാന്തമില്ലാതെയുള്ള പരിശീലനം അന്ധമാണ്" എന്ന തത്ത്വത്താൽ നയിക്കപ്പെടുന്ന അവയിൽ കോഴ്സിൻ്റെ നിർവചനങ്ങളുടെയും ഫോർമുലേഷനുകളുടെയും തലത്തിലുള്ള സൈദ്ധാന്തിക വ്യവസ്ഥകളും അതുപോലെ തന്നിരിക്കുന്ന ഓരോ സൈദ്ധാന്തിക സ്ഥാനത്തിൻ്റെയും പ്രയോഗം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ മനഃപാഠവും മനസ്സിലാക്കലും.
നിർദ്ദേശിച്ചതിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം രീതിശാസ്ത്രപരമായ ശുപാർശകൾ- അടിസ്ഥാന തലത്തിൽ പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥിയെ സഹായിക്കുക. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, TFKP കോഴ്സിലെ ക്ലാസുകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു വിപുലീകൃത റഫറൻസ് പുസ്തകം സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഹോം വർക്ക്നിയന്ത്രണ പരിപാടികൾക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പും. കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര ജോലിവിദ്യാർത്ഥികളേ, ക്ലാസുകൾ നടത്തുമ്പോൾ ഈ ഇലക്ട്രോണിക് വിദ്യാഭ്യാസ പ്രസിദ്ധീകരണം ഉപയോഗിക്കാം സംവേദനാത്മക രൂപംഒരു ഇലക്ട്രോണിക് ബോർഡ് ഉപയോഗിച്ച് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വിദൂര പഠന സംവിധാനത്തിൽ സ്ഥാപിക്കുക.
ഈ കൃതി പാഠപുസ്തകങ്ങളോ പ്രഭാഷണ കുറിപ്പുകളോ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിനായി, MSTU പ്രസിദ്ധീകരിച്ച പ്രസക്തമായ വിഭാഗങ്ങൾ റഫർ ചെയ്യാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. എൻ.ഇ. ബൗമാൻ അടിസ്ഥാന പാഠപുസ്തകം.
മാനുവലിൻ്റെ അവസാനം ശുപാർശ ചെയ്യുന്ന സാഹിത്യത്തിൻ്റെ ഒരു ലിസ്റ്റും ഒരു വിഷയ സൂചികയും ഉണ്ട്, അതിൽ വാചകത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്ന എല്ലാം ഉൾപ്പെടുന്നു ബോൾഡ് ഇറ്റാലിക്നിബന്ധനകൾ. സൂചികയിൽ ഈ നിബന്ധനകൾ കർശനമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നതോ വിവരിച്ചതോ ആയ വിഭാഗങ്ങളിലേക്കുള്ള ഹൈപ്പർലിങ്കുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ അവയുടെ ഉപയോഗം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു.
MSTU യുടെ എല്ലാ ഫാക്കൽറ്റികളിലെയും 2-ാം വർഷ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വേണ്ടിയുള്ളതാണ് മാനുവൽ. എൻ.ഇ. ബൗമാൻ.
1. ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എഴുതുന്നതിൻ്റെ ബീജഗണിത രൂപം
z = x + iy എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ നോട്ടേഷൻ, ഇവിടെ x,y യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, i ഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റാണ് (അതായത് i 2 = - 1)
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ z എഴുതുന്നതിൻ്റെ ബീജഗണിത രൂപം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, x നെ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് Re z (x = Re z) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, y എന്നത് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം എന്നും Im z (y = Im z) എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം. z = 4− 3i എന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയ്ക്ക് Rez = 4 എന്ന യഥാർത്ഥ ഭാഗവും Imz = - 3 എന്ന സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗവുമുണ്ട്.
2. സങ്കീർണ്ണമായ നമ്പർ വിമാനം
IN ഒരു സങ്കീർണ്ണ വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നുസങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ തലം, ഇത് ഒന്നുകിൽ സൂചിപ്പിക്കും അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ z, w മുതലായവ സൂചിപ്പിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൻ്റെ തിരശ്ചീന അക്ഷത്തെ വിളിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ അച്ചുതണ്ട്, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ z = x + 0i = x അതിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു.
സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൻ്റെ ലംബ അക്ഷത്തെ സാങ്കൽപ്പിക അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു;
3. സങ്കീർണ്ണ സംയോജന സംഖ്യകൾ
z = x + iy, z = x - iy എന്നീ സംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനം. സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ അവ യഥാർത്ഥ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ സമമിതിയിലുള്ള പോയിൻ്റുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.
4. ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ
4.1 സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ
രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക | z 1= x 1+ iy 1 | കൂടാതെ z 2 = x 2 + iy 2 ഒരു കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | ഓപ്പറേഷൻ | കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ |
||||||||||
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ബീജഗണിത ബൈനോമിയലുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന് സമാനമാണ്. | |||||||||||||
ഉദാഹരണം. z 1 = 3+ 7i, z 2 എന്നീ രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക | = -1 +2 i | ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയായിരിക്കും |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i) +(−1 +2 i) =(3 -1) +(7 +2) i =2 +9 i. | |||||||||||||
സ്പഷ്ടമായി, | മൊത്തം തുക | സംയോജിപ്പിക്കുക | ആണ് | യഥാർത്ഥമായ | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ | |||||||||||||
രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | വിളിച്ചു | സമഗ്രമായ |
||||||||||
നമ്പർ z 1− z 2= (x 1+ iy 1) - (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
ഉദാഹരണം. രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം | z 1 =3 -4 i | കൂടാതെ z 2 | = -1 +2 i | ഒരു സമഗ്രത ഉണ്ടാകും |
|||||||||
നമ്പർ z 1 - z 2 = (3− 4i ) - (- 1+ 2i ) = (3− (- 1) ) + (- 4- 2) i = 4- 6i . | |||||||||||||
വ്യത്യാസം കൊണ്ട് | സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനം | ആണ് | |||||||||||
z - z = (x+ iy) - (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം | |||||||||||||
രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം | z 1= x 1+ iy 1 | കൂടാതെ z 2= x 2+ iy 2 | കോംപ്ലക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
അതിനാൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രവർത്തനം, ബീജഗണിത ബൈനോമിയലുകൾ ഗുണിക്കുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന് സമാനമാണ്, i 2 = - 1 എന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുക്കുന്നു.
പേജ് 2 / 3
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിത രൂപം.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിത രൂപത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ ഇതിനകം പരിചയപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് - ഇത് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിത രൂപമാണ്. എന്തുകൊണ്ടാണ് നമ്മൾ രൂപത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നത്? സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ത്രികോണമിതിയും എക്സ്പോണൻഷ്യൽ രൂപങ്ങളും ഉണ്ട് എന്നതാണ് വസ്തുത, അവ അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ ചർച്ച ചെയ്യും.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രത്യേകിച്ച് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, സാധാരണ ബീജഗണിതത്തിൽ നിന്ന് വളരെ വ്യത്യസ്തവുമല്ല.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ
ഉദാഹരണം 1
രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക,
രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്:
ലളിതം, അല്ലേ? പ്രവർത്തനം വളരെ വ്യക്തമാണ്, ഇതിന് അധിക അഭിപ്രായങ്ങൾ ആവശ്യമില്ല.
ഈ ലളിതമായ രീതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര പദങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക കണ്ടെത്താനാകും: യഥാർത്ഥ ഭാഗങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കുകയും സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യുക.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾക്ക്, ഒന്നാം ക്ലാസ് നിയമം സാധുവാണ്: 
- നിബന്ധനകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നത് തുകയെ മാറ്റില്ല.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നു
ഉദാഹരണം 2
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക, എങ്കിൽ,
പ്രവർത്തനം സങ്കലനത്തിന് സമാനമാണ്, ഒരേയൊരു പ്രത്യേകത, സബ്ട്രഹെൻഡ് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഇടണം, തുടർന്ന് ചിഹ്നത്തിൻ്റെ മാറ്റത്തോടെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കണം:
ഫലം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയിൽ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളല്ല. യഥാർത്ഥ ഭാഗം സംയുക്തമാണ്: . വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:
നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാം:
ഇവിടെ യഥാർത്ഥ ഭാഗവും സംയുക്തമാണ്:
എന്തെങ്കിലും കുറവുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഞാൻ തരാം ചെറിയ ഉദാഹരണംഒരു "മോശം" സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം ഉപയോഗിച്ച്: . ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഇനി പരാൻതീസിസ് ഇല്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക
പ്രസിദ്ധമായ സമത്വത്തിലേക്ക് നിങ്ങളെ പരിചയപ്പെടുത്തേണ്ട സമയം അതിക്രമിച്ചിരിക്കുന്നു:
ഉദാഹരണം 3
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക,
വ്യക്തമായും, സൃഷ്ടി ഇതുപോലെ എഴുതണം:
ഇത് എന്താണ് നിർദ്ദേശിക്കുന്നത്? ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാൻ ഇത് യാചിക്കുന്നു. അതാണ് നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്! എല്ലാ ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമാണ്, പ്രധാന കാര്യം അത് ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് സൂക്ഷിക്കുകയും ചെയ്യുക.
ബഹുപദങ്ങളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കൂൾ നിയമം നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം: ഒരു പോളിനോമിയലിനെ ഒരു പോളിനോമിയൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഓരോ പദവും മറ്റൊരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഓരോ ടേം കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
ഞാൻ അത് വിശദമായി എഴുതാം:
എല്ലാവർക്കും അത് വ്യക്തമായിരുന്നുവെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു
ശ്രദ്ധ, വീണ്ടും ശ്രദ്ധ, മിക്കപ്പോഴും തെറ്റുകൾ അടയാളങ്ങളിൽ സംഭവിക്കുന്നു.
ആകെത്തുക പോലെ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും മാറ്റാവുന്നതാണ്, അതായത്, സമത്വം ശരിയാണ്: .
IN വിദ്യാഭ്യാസ സാഹിത്യംഇൻറർനെറ്റിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക ഫോർമുല കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് വേണമെങ്കിൽ ഇത് ഉപയോഗിക്കുക, പക്ഷേ ബഹുപദങ്ങളെ ഗുണിക്കുന്ന സമീപനം കൂടുതൽ സാർവത്രികവും വ്യക്തവുമാണെന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു. ഞാൻ ഫോർമുല നൽകില്ല, ഞാൻ കരുതുന്നു ഈ സാഹചര്യത്തിൽ- ഇത് മാത്രമാവില്ല നിങ്ങളുടെ തലയിൽ നിറയ്ക്കുന്നു.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം
ഉദാഹരണം 4
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, . ഘടകഭാഗം കണ്ടെത്തുക.
നമുക്ക് ഒരു ഘടകാംശം ഉണ്ടാക്കാം:
സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം നടത്തുന്നു ഡിനോമിനേറ്ററും ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ സംയോജിത പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ.
നമുക്ക് താടിയുള്ള സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിച്ച് നമ്മുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ നോക്കാം: . ഡിനോമിനേറ്ററിന് ഇതിനകം ഉണ്ട്, അതിനാൽ ഈ കേസിൽ സംയോജിത പദപ്രയോഗം , അതായത്
റൂൾ അനുസരിച്ച്, ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഗുണിക്കണം, കൂടാതെ, ഒന്നും മാറാതിരിക്കാൻ, ന്യൂമറേറ്ററിനെ അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം:
ഞാൻ അത് വിശദമായി എഴുതാം:
ഞാൻ ഒരു "നല്ല" ഉദാഹരണം തിരഞ്ഞെടുത്തു: നിങ്ങൾ "സ്ക്രാച്ചിൽ നിന്ന്" രണ്ട് സംഖ്യകൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലമായി നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കും.
ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ വിഭജിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അത് ലളിതമാക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യകളുടെ ഘടകം പരിഗണിക്കുക: . വിഭജിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞങ്ങൾ അനാവശ്യമായ മൈനസുകൾ ഒഴിവാക്കുന്നു: ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഞങ്ങൾ മൈനസുകൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുത്ത് ഈ മൈനസുകൾ കുറയ്ക്കുന്നു: 
. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നവർക്ക്, ഇവിടെ ശരിയായ ഉത്തരം:
അപൂർവ്വമായി, എന്നാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലി സംഭവിക്കുന്നു:
ഉദാഹരണം 5
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ സംഖ്യ ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ (അതായത് രൂപത്തിൽ) എഴുതുക.
സാങ്കേതികത ഒന്നുതന്നെയാണ് - ഡിനോമിനേറ്ററും ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്താൽ ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു. നമുക്ക് വീണ്ടും ഫോർമുല നോക്കാം. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഇതിനകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഡിനോമിനേറ്ററും ന്യൂമറേറ്ററും സംയോജിത പദപ്രയോഗത്താൽ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്:
പ്രായോഗികമായി, സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ട ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണം അവർക്ക് എളുപ്പത്തിൽ നൽകാൻ കഴിയും. പരിഭ്രാന്തി വേണ്ട: ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക, ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ പാലിക്കുക, സാധാരണ ബീജഗണിത നടപടിക്രമം, അത് ഓർക്കുക .
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ത്രികോണമിതിയും എക്സ്പോണൻഷ്യൽ രൂപവും
ഈ ഖണ്ഡികയിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ട് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുംഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ത്രികോണമിതി രൂപത്തെക്കുറിച്ച്. ഡെമോൺസ്ട്രേറ്റീവ് ഫോം പ്രായോഗിക ജോലികൾവളരെ കുറച്ച് ഇടയ്ക്കിടെ സംഭവിക്കുന്നു. ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാനും സാധ്യമെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി പട്ടികകൾ അച്ചടിക്കാനും ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, രീതിശാസ്ത്രപരമായ മെറ്റീരിയൽപേജിൽ കാണാം ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾമേശകളും. മേശകളില്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ ദൂരം പോകാൻ കഴിയില്ല.
ഏത് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയും (പൂജ്യം ഒഴികെ) ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ എഴുതാം: 
, ഇത് എവിടെയാണ് ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ്, എ - സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ വാദം. നമ്മൾ ഓടിപ്പോകരുത്, എല്ലാം തോന്നുന്നതിലും ലളിതമാണ്.
സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിലെ സംഖ്യയെ നമുക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കാം. വിശദീകരണത്തിൻ്റെ വ്യക്തതയ്ക്കും ലാളിത്യത്തിനും വേണ്ടി, ഞങ്ങൾ അത് ആദ്യത്തെ കോർഡിനേറ്റ് ക്വാഡ്രൻ്റിൽ സ്ഥാപിക്കും, അതായത്. ഞങ്ങൾ അത് വിശ്വസിക്കുന്നു:
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ്സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് അനുബന്ധ പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, മൊഡ്യൂൾ നീളമാണ്റേഡിയസ് വെക്റ്റർ, ഇത് ഡ്രോയിംഗിൽ ചുവപ്പിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് സാധാരണയായി സൂചിപ്പിക്കുന്നത്: അല്ലെങ്കിൽ
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്: . ഈ ഫോർമുലന്യായമായ ഏതിനും"എ", "ആകുക" എന്നീ അർത്ഥങ്ങൾ.
കുറിപ്പ്: ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ആശയത്തിൻ്റെ സാമാന്യവൽക്കരണമാണ് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ്, ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ വാദംവിളിച്ചു മൂലഇടയിൽ പോസിറ്റീവ് സെമി-അക്ഷംയഥാർത്ഥ അച്ചുതണ്ടും റേഡിയസ് വെക്‌ടറും ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് അനുബന്ധ പോയിൻ്റിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്നു. വാദം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല ഏകവചനം: .
ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്ന തത്വം യഥാർത്ഥത്തിൽ സമാനമാണ് പോളാർ കോർഡിനേറ്റുകൾ, ധ്രുവീയ ആരവും ധ്രുവ കോണും അദ്വിതീയമായി പോയിൻ്റിനെ നിർവചിക്കുന്നു.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: അല്ലെങ്കിൽ
ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന്, ആർഗ്യുമെൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല നേടുന്നു:
. ശ്രദ്ധ!ഈ ഫോർമുല ശരിയായ അർദ്ധ-തലത്തിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ! കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ 1 അല്ലെങ്കിൽ 4 കോർഡിനേറ്റ് ക്വാഡ്രൻ്റിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഫോർമുല അല്പം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഈ കേസുകളും ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.
എന്നാൽ ആദ്യം, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.
ഉദാഹരണം 7
നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം:
വാസ്തവത്തിൽ, ചുമതല വാക്കാലുള്ളതാണ്. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ത്രികോണമിതി രൂപം ഞാൻ മാറ്റിയെഴുതും: 
നമുക്ക് ദൃഢമായി ഓർക്കാം, മൊഡ്യൂൾ - നീളം(എല്ലായ്പ്പോഴും നെഗറ്റീവല്ല) എന്നതാണ് വാദം മൂല.
1) നമുക്ക് ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. നമുക്ക് അതിൻ്റെ മോഡുലസും വാദവും കണ്ടെത്താം. അത് വ്യക്തമാണ്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഔപചാരിക കണക്കുകൂട്ടൽ: .
ഇത് വ്യക്തമാണ് (ഈ സംഖ്യ യഥാർത്ഥ പോസിറ്റീവ് സെമി-അക്ഷത്തിൽ നേരിട്ട് കിടക്കുന്നു). അതിനാൽ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിലുള്ള സംഖ്യ ഇതാണ്: 
.
റിവേഴ്സ് ചെക്ക് പ്രവർത്തനം ദിവസം പോലെ വ്യക്തമാണ്:
2) നമുക്ക് ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. നമുക്ക് അതിൻ്റെ മോഡുലസും വാദവും കണ്ടെത്താം. അത് വ്യക്തമാണ്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഔപചാരിക കണക്കുകൂട്ടൽ: .
വ്യക്തമായും (അല്ലെങ്കിൽ 90 ഡിഗ്രി). ഡ്രോയിംഗിൽ, കോർണർ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിലുള്ള സംഖ്യ ഇതാണ്: 
.
മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ, സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിത രൂപം തിരികെ ലഭിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് (അതേ സമയം ഒരു പരിശോധന നടത്തുന്നു):
3) നമുക്ക് ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. നമുക്ക് അതിൻ്റെ മോഡുലസും വാദവും കണ്ടെത്താം. അത് വ്യക്തമാണ്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഔപചാരിക കണക്കുകൂട്ടൽ: .
വ്യക്തമായും (അല്ലെങ്കിൽ 180 ഡിഗ്രി). ഡ്രോയിംഗിൽ, കോർണർ നീല നിറത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ ത്രികോണമിതി രൂപത്തിലുള്ള സംഖ്യ ഇതാണ്: 
.
പരീക്ഷ:
4) നാലാമത്തേത് രസകരമായ കേസ്. നമുക്ക് ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. നമുക്ക് അതിൻ്റെ മോഡുലസും വാദവും കണ്ടെത്താം. അത് വ്യക്തമാണ്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഔപചാരിക കണക്കുകൂട്ടൽ: .
വാദം രണ്ട് തരത്തിൽ എഴുതാം: ആദ്യ വഴി: (270 ഡിഗ്രി), അതനുസരിച്ച്: 
. പരീക്ഷ:
എന്നിരുന്നാലും, ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം കൂടുതൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ്: കോൺ 180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, പിന്നീട് അത് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നവും കോണിൻ്റെ വിപരീത ഓറിയൻ്റേഷനും ("സ്ക്രോളിംഗ്") ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്നു: (മൈനസ് 90 ഡിഗ്രി), ആംഗിൾ ഡ്രോയിംഗിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു പച്ച. അത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്, ഒരേ കോണാണ്.
അതിനാൽ, എൻട്രി ഫോം എടുക്കുന്നു: 
ശ്രദ്ധ!ഒരു സാഹചര്യത്തിലും നിങ്ങൾ കോസൈനിൻ്റെ പാരിറ്റി, സൈനിൻ്റെ വിചിത്രത എന്നിവ ഉപയോഗിക്കരുത്, കൂടാതെ നൊട്ടേഷൻ കൂടുതൽ "ലളിതമാക്കുക":
വഴിയിൽ, ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ് രൂപംകൂടാതെ ത്രികോണമിതി, വിപരീത ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ സവിശേഷതകൾ, റഫറൻസ് മെറ്റീരിയലുകൾ പേജിൻ്റെ അവസാന ഖണ്ഡികകളിലാണ് പ്രധാനത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫുകളും ഗുണങ്ങളും പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ . സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ വളരെ എളുപ്പത്തിൽ പഠിക്കും!
ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ, ഒരാൾ എഴുതണം: "മൊഡ്യൂൾ തുല്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ് ... വാദം തുല്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ് ...". ഇത് ശരിക്കും വ്യക്തവും വാക്കാൽ പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പവുമാണ്.
കൂടുതൽ സാധാരണ കേസുകൾ പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ഞാൻ ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, മൊഡ്യൂളിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല; നിങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണം. എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലകൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും, അത് ഏത് കോർഡിനേറ്റ് പാദത്തിലാണ് സംഖ്യ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ് (അവ നിങ്ങളുടെ നോട്ട്ബുക്കിൽ പകർത്തുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്):
1) (1-ഉം 4-ഉം കോർഡിനേറ്റ് ക്വാർട്ടേഴ്‌സ് അല്ലെങ്കിൽ വലത് അർദ്ധ-തലം) ആണെങ്കിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റ് കണ്ടെത്തണം.
2) (രണ്ടാം കോർഡിനേറ്റ് പാദം) ആണെങ്കിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റ് കണ്ടെത്തണം 
.
3) (മൂന്നാം കോർഡിനേറ്റ് പാദം) ആണെങ്കിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റ് കണ്ടെത്തണം 
.
ഉദാഹരണം 8
ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുക: , , , .
റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഡ്രോയിംഗ് പൂർത്തിയാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. എന്നാൽ ഒരു പോയിൻ്റുണ്ട്: ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുമ്പോൾ എന്തായാലും ഡ്രോയിംഗ് ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്. ഡ്രോയിംഗ് ഇല്ലാത്ത ഒരു പരിഹാരം പലപ്പോഴും അധ്യാപകർ നിരസിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത.
ഏയ്, നൂറു വർഷമായി ഞാൻ കൈകൊണ്ട് ഒന്നും വരച്ചിട്ടില്ല, ഇതാ നിങ്ങൾ:
എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, ഇത് അൽപ്പം വൃത്തികെട്ടതായി മാറി =)
ഞാൻ അവതരിപ്പിക്കും സങ്കീർണ്ണമായ രൂപംഅക്കങ്ങളും , ഒന്നും മൂന്നാമത്തേയും അക്കങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായ തീരുമാനത്തിനായിരിക്കും.
നമുക്ക് ത്രികോണമിതി രൂപത്തിൽ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. നമുക്ക് അതിൻ്റെ മോഡുലസും വാദവും കണ്ടെത്താം.
പാഠ പദ്ധതി.
1. സംഘടനാ നിമിഷം.
2. മെറ്റീരിയലിൻ്റെ അവതരണം.
3. ഗൃഹപാഠം.
4. പാഠം സംഗ്രഹിക്കുക.
ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ
I. സംഘടനാ നിമിഷം.
II. മെറ്റീരിയലിൻ്റെ അവതരണം.
പ്രചോദനം.
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിൻ്റെ വികാസം യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിലേക്ക് പുതിയ സംഖ്യകൾ (സാങ്കൽപ്പിക) ചേർക്കുന്നത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഈ സംഖ്യകളുടെ ആമുഖം യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയാത്തതാണ്.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ ആമുഖം.
യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ പൂരകമാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന സാങ്കൽപ്പിക സംഖ്യകൾ ഫോമിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു ദ്വി, എവിടെ ഐഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റാണ്, കൂടാതെ i 2 = - 1.
ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം നമുക്ക് ലഭിക്കും.
നിർവ്വചനം. ഒരു കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ എന്നത് ഫോമിൻ്റെ പ്രകടനമാണ് a+bi, എവിടെ എഒപ്പം ബി- യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു:
a) രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ a 1 + b 1 iഒപ്പം a 2 + b 2 iഎങ്കിൽ മാത്രം തുല്യം a 1 =a 2, b 1 =b 2.
b) സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ റൂൾ അനുസരിച്ചാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
സി) സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം റൂൾ അനുസരിച്ചാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിത രൂപം.
ഫോമിൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എഴുതുന്നു a+biഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ബീജഗണിത രൂപം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ- യഥാർത്ഥ ഭാഗം, ദ്വിസാങ്കൽപ്പിക ഭാഗമാണ്, കൂടാതെ ബി- യഥാർത്ഥ സംഖ്യ.
കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ a+biഅതിൻ്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി കണക്കാക്കുന്നു: a = b = 0
കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ a+biചെയ്തത് b = 0ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു എ: a + 0i = a.
കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ a+biചെയ്തത് a = 0പൂർണ്ണമായും സാങ്കൽപ്പികം എന്ന് വിളിക്കുകയും സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ദ്വി: 0 + ദ്വി = ദ്വി.
രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ z = a + biഒപ്പം = a - bi, സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ളവയെ സംയോജനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ബീജഗണിത രൂപത്തിലുള്ള സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
ബീജഗണിത രൂപത്തിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം.
1) കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.
നിർവ്വചനം. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക z 1 = a 1 + b 1 iഒപ്പം z 2 = a 2 + b 2 iഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു z, ഇതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം യഥാർത്ഥ ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് z 1ഒപ്പം z 2, സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം സംഖ്യകളുടെ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ് z 1ഒപ്പം z 2, അതാണ് z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
നമ്പറുകൾ z 1ഒപ്പം z 2നിബന്ധനകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:
1º. കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. സഹവാസം: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ -എ-ബിഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ വിപരീതത്തെ വിളിക്കുന്നു z = a + bi. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ വിപരീതം z, സൂചിപ്പിച്ചു -z. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക zഒപ്പം -zപൂജ്യത്തിന് തുല്യം: z + (-z) = 0
ഉദാഹരണം 1: കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നടത്തുക (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) കുറയ്ക്കൽ.
നിർവ്വചനം.ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക z 1സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ z 2 z,എന്ത് z + z 2 = z 1.
സിദ്ധാന്തം. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നിലനിൽക്കുന്നു, അതുല്യവുമാണ്.
ഉദാഹരണം 2: ഒരു കുറയ്ക്കൽ നടത്തുക (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) ഗുണനം.
നിർവ്വചനം. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം z 1 =a 1 +b 1 iഒപ്പം z 2 =a 2 +b 2 iഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു z, സമത്വം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
നമ്പറുകൾ z 1ഒപ്പം z 2ഘടകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:
1º. കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. സഹവാസം: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. സങ്കലനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗുണനത്തിൻ്റെ വിതരണം:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- യഥാർത്ഥ സംഖ്യ.
പ്രായോഗികമായി, ഒരു തുകയെ ഒരു തുക കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്ന നിയമമനുസരിച്ചാണ് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം നടത്തുന്നത്.
ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ രണ്ട് തരത്തിൽ ഗുണിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും: റൂൾ വഴിയും തുകയെ തുക കൊണ്ട് ഗുണിച്ചും.
ഉദാഹരണം 3: ഗുണനം ചെയ്യുക (2 + 3i) (5 - 7i).
1 വഴി. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
രീതി 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) ഡിവിഷൻ.
നിർവ്വചനം. ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയെ ഹരിക്കുക z 1ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയിലേക്ക് z 2, അത്തരമൊരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് z, എന്ത് z · z 2 = z 1.
സിദ്ധാന്തം.സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഘടകഭാഗം നിലവിലുണ്ട്, എങ്കിൽ അതുല്യമാണ് z 2 ≠ 0 + 0i.
പ്രായോഗികമായി, സമുച്ചയ സംഖ്യകളുടെ ഘടകം കണ്ടെത്തുന്നത് ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ സംയോജനം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ്.
അനുവദിക്കുക z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, പിന്നെ
.
ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് സംയോജിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണനത്തിൻ്റെ ഫോർമുലയും നിയമവും ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിഭജനം നടത്തും.
ഉദാഹരണം 4. ഘടകഭാഗം കണ്ടെത്തുക 
.
5) ഒരു പോസിറ്റീവ് മുഴുവൻ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു.
a) സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റിൻ്റെ അധികാരങ്ങൾ.
സമത്വം പ്രയോജനപ്പെടുത്തുന്നു i 2 = -1, സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ നിർവചിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1തുടങ്ങിയവ.
ഇത് ഡിഗ്രി മൂല്യങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു ഐ എൻ, എവിടെ എൻ- ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ, സൂചകം വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് ഇടയ്ക്കിടെ ആവർത്തിക്കുന്നു 4 .
അതിനാൽ, എണ്ണം ഉയർത്താൻ ഐഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണ ശക്തിയിലേക്ക്, നമ്മൾ ഘാതം വിഭജിക്കണം 4 പണിയും ഐവിഭജനത്തിൻ്റെ ശേഷിപ്പിന് തുല്യമായ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക്.
ഉദാഹരണം 5: കണക്കാക്കുക: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) ഒരു കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യയെ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത്, ഒരു ദ്വിപദത്തെ അനുബന്ധ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള നിയമമനുസരിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്, കാരണം അത് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു പ്രത്യേക കേസ്ഒരേ സങ്കീർണ്ണ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം.
ഉദാഹരണം 6: കണക്കാക്കുക: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.
