Kaedah Newton untuk menyelesaikan persamaan tak linear c. Menyelesaikan sistem persamaan keadaan mantap tak linear menggunakan kaedah Newton-Raphson

Kaedah Newton (juga dikenali sebagai kaedah tangen) ialah kaedah berangka berulang untuk mencari punca (sifar) bagi fungsi tertentu. Kaedah ini mula-mula dicadangkan oleh ahli fizik, ahli matematik dan astronomi Inggeris Isaac Newton (1643-1727), di bawah namanya ia menjadi terkenal.

Kaedah ini diterangkan oleh Isaac Newton dalam manuskrip De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Tentang analisis dengan persamaan siri tak terhingga), ditujukan pada tahun 1669 kepada Barrow, dan dalam karya De metodis fluxionum et serierum infinitarum (Latin: Kaedah fluks dan siri tak terhingga) atau Geometria analytica ( lat.Analitikal geometri) dalam karya Newton yang dikumpul, yang ditulis pada tahun 1671. Walau bagaimanapun, penerangan kaedah berbeza dengan ketara daripada pembentangan semasa: Newton menggunakan kaedahnya secara eksklusif untuk polinomial. Dia tidak mengira anggaran berturut-turut bagi x n, tetapi jujukan polinomial dan hasilnya memperoleh penyelesaian anggaran x.

Kaedah ini pertama kali diterbitkan dalam risalah Algebra oleh John Wallis pada tahun 1685, atas permintaannya ia diterangkan secara ringkas oleh Newton sendiri. Pada tahun 1690, Joseph Raphson menerbitkan penerangan ringkas dalam karyanya Analysis aequationum universalis (lat. Analisis am persamaan). Raphson melihat kaedah Newton sebagai algebra semata-mata dan menghadkan penggunaannya kepada polinomial, tetapi beliau menerangkan kaedah itu dari segi penghampiran berturut-turut x n dan bukannya urutan polinomial yang lebih sukar difahami yang digunakan oleh Newton.

Akhirnya, pada tahun 1740, kaedah Newton telah diterangkan oleh Thomas Simpson sebagai kaedah lelaran urutan pertama untuk menyelesaikan persamaan tak linear menggunakan derivatif seperti yang dibentangkan di sini. Dalam penerbitan yang sama, Simpson menggeneralisasikan kaedah kepada kes sistem dua persamaan dan menyatakan bahawa kaedah Newton juga boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman dengan mencari sifar terbitan atau kecerunan.

Selaras dengan kaedah ini, tugas mencari punca fungsi dikurangkan kepada tugas mencari titik persilangan dengan paksi-x tangen yang diplotkan kepada graf fungsi tersebut.

Rajah 1 . Graf perubahan fungsi

Garis tangen yang dilukis pada mana-mana titik pada graf fungsi ditentukan oleh terbitan fungsi ini pada titik yang dipertimbangkan, yang seterusnya ditentukan oleh tangen sudut α (). Titik persilangan tangen dengan paksi absis ditentukan berdasarkan hubungan berikut dalam segi tiga tepat: tangen sudutdalam segi tiga tegak ditentukan oleh nisbah sisi bertentangan dengan sisi bersebelahan segi tiga itu. Oleh itu, pada setiap langkah, tangen kepada graf fungsi dibina pada titik penghampiran seterusnya. . Titik persilangan tangen dengan paksi lembu akan menjadi titik pendekatan seterusnya. Selaras dengan kaedah yang sedang dipertimbangkan, mengira nilai anggaran punca padai-lelaran dijalankan mengikut formula:

Kecerunan garis lurus diselaraskan pada setiap langkah dengan cara yang terbaik, bagaimanapun, anda harus memberi perhatian kepada fakta bahawa algoritma tidak mengambil kira kelengkungan graf dan, oleh itu, semasa proses pengiraan ia tetap tidak diketahui ke arah mana graf boleh menyimpang.

Syarat untuk berakhirnya proses berulang adalah memenuhi syarat berikut:

di mana ˗ kesilapan yang dibenarkan dalam menentukan punca.

Kaedah ini mempunyai penumpuan kuadratik. Kadar penumpuan kuadratik bermakna bilangan tanda yang betul dalam anggaran berganda dengan setiap lelaran.

Justifikasi matematik

Biarkan fungsi sebenar diberikan, yang ditakrifkan dan berterusan di kawasan yang sedang dipertimbangkan. Ia adalah perlu untuk mencari punca sebenar fungsi yang dipersoalkan.

Terbitan persamaan adalah berdasarkan kaedah lelaran mudah, mengikut mana persamaan dikurangkan kepada persamaan setara untuk sebarang fungsi. Mari kita perkenalkan konsep pemetaan penguncupan, yang ditakrifkan oleh hubungan .

Untuk penumpuan terbaik kaedah, syarat mesti dipenuhi pada titik anggaran seterusnya. Keperluan ini bermakna bahawa punca fungsi mesti sepadan dengan ekstrem fungsi.

Terbitan peta penguncupanditakrifkan seperti berikut:

Mari kita nyatakan pembolehubah daripada ungkapan initertakluk kepada kenyataan yang diterima sebelum ini bahawa apabila perlu memastikan keadaan . Akibatnya, kami memperoleh ungkapan untuk menentukan pembolehubah:

Dengan mengambil kira ini, fungsi pemampatan adalah seperti berikut:

Oleh itu, algoritma untuk mencari penyelesaian berangka kepada persamaan dikurangkan kepada prosedur pengiraan berulang:

Algoritma untuk mencari punca persamaan tak linear menggunakan kaedah

1. Tetapkan titik permulaan nilai anggaran punca fungsi, serta ralat pengiraan (nombor positif kecil) dan langkah lelaran awal ().

2. Kira nilai anggaran punca fungsi mengikut formula:

3. Kami menyemak nilai anggaran punca untuk ketepatan yang ditentukan, dalam kes:

Jika perbezaan antara dua anggaran berturut-turut menjadi kurang daripada ketepatan yang ditentukan, maka proses lelaran tamat.

Jika perbezaan antara dua anggaran berturut-turut tidak mencapai ketepatan yang diperlukan, maka perlu meneruskan proses lelaran dan pergi ke langkah 2 algoritma yang sedang dipertimbangkan.

Contoh penyelesaian persamaan

dengan kaedahNewton untuk persamaan dengan satu pembolehubah

Sebagai contoh, pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan tak linear menggunakan kaedahNewton untuk persamaan dengan satu pembolehubah. Akar mesti ditemui dengan ketepatan sebagai anggaran pertama.

Pilihan untuk menyelesaikan persamaan tak linear dalam pakej perisianMathCADdibentangkan dalam Rajah 3.

Keputusan pengiraan, iaitu dinamik perubahan dalam nilai anggaran punca, serta ralat pengiraan bergantung pada langkah lelaran, dibentangkan dalam bentuk grafik (lihat Rajah 2).

Rajah.2. Keputusan pengiraan menggunakan kaedah Newton untuk persamaan dengan satu pembolehubah

Untuk memastikan ketepatan yang ditentukan semasa mencari nilai anggaran punca persamaan dalam julat, adalah perlu untuk melakukan 4 lelaran. Pada langkah lelaran terakhir, nilai anggaran punca persamaan tak linear akan ditentukan oleh nilai: .

Rajah.3 . Penyenaraian program dalamMathCad

Pengubahsuaian kaedah Newton untuk persamaan dengan satu pembolehubah

Terdapat beberapa pengubahsuaian kaedah Newton yang bertujuan untuk memudahkan proses pengiraan.

Kaedah Newton yang dipermudahkan

Selaras dengan kaedah Newton, adalah perlu untuk mengira derivatif bagi fungsi f(x) pada setiap langkah lelaran, yang membawa kepada peningkatan kos pengiraan. Untuk mengurangkan kos yang berkaitan dengan pengiraan derivatif pada setiap langkah pengiraan, anda boleh menggantikan derivatif f’(x n) pada titik x n dalam formula dengan derivatif f’(x 0) pada titik x 0. Selaras dengan kaedah pengiraan ini, nilai anggaran punca ditentukan oleh formula berikut:Kaedah Newton yang diubah suai

Kaedah perbezaan Newton

Akibatnya, nilai anggaran punca bagi fungsi f(x) akan ditentukan oleh ungkapan kaedah perbezaan Newton:

Kaedah dua langkah Newton

Selaras dengan kaedah Newton, adalah perlu untuk mengira derivatif bagi fungsi f(x) pada setiap langkah lelaran, yang tidak selalunya mudah dan kadangkala boleh dikatakan mustahil. Kaedah ini membenarkan terbitan fungsi digantikan dengan nisbah perbezaan (nilai anggaran):

Akibatnya, nilai anggaran punca fungsi f(x) akan ditentukan oleh ungkapan berikut:

di mana

Rajah.5 . Kaedah dua langkah Newton

Kaedah secant ialah kaedah dua langkah, iaitu anggaran baruditentukan oleh dua lelaran sebelumnya Dan . Kaedah mesti menentukan dua anggaran awal Dan . Kadar penumpuan kaedah adalah linear.

• belakang
• ke hadapan

Untuk menambah ulasan anda pada artikel, sila daftar di tapak.

2. Kaedah Newton untuk menyelesaikan sistem persamaan tak linear.

Kaedah ini mempunyai penumpuan yang lebih cepat daripada kaedah lelaran mudah. Kaedah Newton untuk sistem persamaan (1.1) adalah berdasarkan penggunaan pengembangan fungsi

, Di mana
(2.1)

dalam siri Taylor, dengan istilah yang mengandungi yang kedua atau lebih pesanan yang tinggi derivatif dibuang. Pendekatan ini membolehkan penyelesaian satu sistem tak linear (1.1) digantikan dengan penyelesaian beberapa sistem linear.

Jadi, kita akan menyelesaikan sistem (1.1) dengan kaedah Newton. Di rantau D, pilih mana-mana titik
dan memanggilnya penghampiran sifar kepada penyelesaian tepat sistem asal. Sekarang mari kita kembangkan fungsi (2.1) ke dalam siri Taylor dalam kejiranan titik . Pasti akan

Kerana bahagian kiri (2.2) mesti hilang mengikut (1.1), kemudian bahagian kanan (2.2) juga mesti hilang. Oleh itu, daripada (2.2) kita ada

Semua terbitan separa dalam (2.3) mesti dikira pada titik .

(2.3) ialah sistem linear persamaan algebra relatif kepada yang tidak diketahui Sistem ini boleh diselesaikan dengan kaedah Cramer jika penentu utamanya adalah bukan sifar dan kuantiti boleh didapati

Sekarang kita boleh memperhalusi anggaran sifar dengan membina penghampiran pertama dengan koordinat

mereka.
. (2.6)

Mari kita ketahui sama ada anggaran (2.6) telah diperolehi dengan tahap ketepatan yang mencukupi. Untuk melakukan ini, mari kita periksa keadaan

,
(2.7)

di mana nombor positif kecil yang telah ditetapkan (ketepatan sistem (1.1) mesti diselesaikan). Jika keadaan (2.7) dipenuhi, maka kita akan memilih (2.6) sebagai penyelesaian anggaran kepada sistem (1.1) dan melengkapkan pengiraan. Jika syarat (2.7) tidak dipenuhi, maka kami melakukan tindakan berikut. Dalam sistem (2.3), bukannya
mari kita ambil nilai yang dikemas kini

, (2.8)

mereka. Mari lakukannya tindakan berikut

. (2.9)

Selepas ini, sistem (2.3) akan menjadi sistem persamaan algebra linear untuk kuantiti Setelah menentukan kuantiti ini, penghampiran kedua seterusnya
kepada penyelesaian sistem (1.1) kita dapati menggunakan formula

Sekarang mari kita semak keadaan (2.7)

Jika syarat ini dipenuhi, maka kami melengkapkan pengiraan dengan mengambil anggaran kedua sebagai penyelesaian anggaran kepada sistem (1.1)
. Jika syarat ini tidak dipenuhi, maka kami terus membina anggaran seterusnya, mengambil dalam (2.3)
Ia adalah perlu untuk membina anggaran sehingga keadaan tidak berpuas hati.

Formula kerja kaedah Newton untuk sistem penyelesaian (1.1) boleh ditulis dalam bentuk.

Mengira urutan

Di sini
adalah penyelesaian kepada sistem

Mari kita rumuskan algoritma pengiraan menggunakan formula (2.11)-(2.13).

1. Mari kita pilih anggaran sifar kepunyaan wilayah D.

2. Dalam sistem persamaan algebra linear (2.13) kita tetapkan
,A .

3. Mari selesaikan sistem (2.13) dan cari kuantiti
.

4. Dalam formula (2.12) kita letak
dan hitung komponen anggaran seterusnya.

5. Mari kita semak keadaan (2.7) untuk: (Lihat algoritma untuk mengira maksimum beberapa kuantiti.)

6. Jika syarat ini dipenuhi, maka kita melengkapkan pengiraan dengan memilih anggaran sebagai penyelesaian anggaran kepada sistem (1.1). Jika syarat ini tidak dipenuhi, teruskan ke langkah 7.

7. Mari letak
untuk semua .

8. Mari kita jalankan langkah 3, meletakkan
.

Secara geometri, algoritma ini boleh ditulis sebagai:

Algoritma. Pengiraan maksimum beberapa kuantiti.

Contoh. Mari kita pertimbangkan menggunakan kaedah Newton untuk menyelesaikan sistem dua persamaan.

Selesaikan menggunakan kaedah Newton sehingga ketepatan sistem berikut persamaan tak linear

, (2.14)

Di sini
. Mari pilih anggaran sifar
, kepunyaan domain D. Mari kita bina satu sistem persamaan algebra linear (2.3). Dia akan kelihatan seperti

(2.15)

Mari kita nyatakan

Mari kita selesaikan sistem (2.15) berkenaan dengan yang tidak diketahui
, contohnya kaedah Cramer. Kami menulis formula Cramer dalam bentuk

(2.17)

di manakah penentu utama sistem (2.15)

(2.18)

dan penentu tambahan sistem (2.15) mempunyai bentuk

.

Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam (2.16) dan mencari komponen anggaran pertama
kepada penyelesaian sistem (2.15).

Jom semak keadaan

, (2.19)

jika syarat ini dipenuhi, maka kita melengkapkan pengiraan dengan mengambil anggaran pertama sebagai penyelesaian anggaran kepada sistem (2.15), i.e.
. Jika syarat (2.19) tidak berpuas hati, maka kita tetapkan
,
dan kami akan membina sistem baru persamaan algebra linear (2.15). Setelah menyelesaikannya, kami mencari anggaran kedua
. Mari kita semaknya. Jika syarat ini dipenuhi, maka kami memilih sebagai penyelesaian anggaran kepada sistem (2.15)
. Jika syarat pada tidak berpuas hati, kami tetapkan
,
dan bina sistem berikut (2.15) untuk mencari
dan lain-lain.

Tugasan

Semua tugas memerlukan:

Buat program untuk pelaksanaan berangka kaedah mengikut algoritma yang dicadangkan.

Dapatkan hasil pengiraan.

Semak keputusan anda.

Satu sistem dua persamaan tak linear diberikan.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Bab 3. Kaedah berangka untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (SLAE).

Matlamat kerja. Pengenalan kepada beberapa kaedah anggaran untuk menyelesaikan SLAE dan pelaksanaan berangkanya pada PC.

Ucapan awal. Semua kaedah untuk menyelesaikan SLAE biasanya dibahagikan kepada dua kumpulan besar. Kumpulan pertama termasuk kaedah yang biasa dipanggil tepat. Kaedah ini membolehkan kami mencari mana-mana sistem nilai yang tepat tidak diketahui selepas bilangan terhingga operasi aritmetik, setiap satunya dilakukan dengan tepat.

Kumpulan kedua merangkumi semua kaedah yang tidak tepat. Ia dipanggil berulang, atau berangka, atau anggaran. Penyelesaian yang tepat, apabila menggunakan kaedah sedemikian, diperolehi hasil daripada proses penghampiran yang tidak berkesudahan. Ciri menarik kaedah sedemikian ialah pembetulan sendiri dan kemudahan pelaksanaan pada PC.

Mari kita pertimbangkan beberapa kaedah anggaran untuk menyelesaikan SLAE dan membina algoritma untuk pelaksanaan berangkanya. Kami akan memperoleh penyelesaian anggaran SLAE dengan ketepatan , dengan beberapa nombor positif yang sangat kecil.

1. Kaedah lelaran.

Biarkan SLAE diberikan dalam borang

(1.1)

Sistem ini boleh ditulis dalam bentuk matriks

, (1.2)

di mana
- matriks pekali untuk yang tidak diketahui dalam sistem (1.1),
- lajur ahli percuma,
- lajur sistem yang tidak diketahui (1.1).

. (1.3)

Mari kita selesaikan sistem (1.1) menggunakan kaedah lelaran. Untuk melakukan ini, kami akan melakukan langkah-langkah berikut.

Pertama sekali. Mari pilih anggaran sifar

(1.4)

kepada penyelesaian tepat (1.3) sistem (1.1). Komponen anggaran sifar boleh menjadi sebarang nombor. Tetapi lebih mudah untuk mengambil sama ada sifar untuk komponen anggaran sifar
, atau syarat percuma sistem (1.1)

Kedua. Kami menggantikan komponen anggaran sifar ke dalam sebelah kanan sistem (1.1) dan mengira

(1.5)

Kuantiti di sebelah kiri dalam (1.5) adalah komponen anggaran pertama
Tindakan yang menghasilkan penghampiran pertama dipanggil lelaran.

Ketiga. Mari kita semak sifar dan anggaran pertama untuk

(1.6)

Jika semua syarat (1.6) dipenuhi, maka untuk penyelesaian anggaran sistem (1.1) kita pilih sama ada , atau tidak mengapa, kerana mereka berbeza antara satu sama lain tidak lebih daripada dengan dan mari kita selesaikan pengiraan. Jika sekurang-kurangnya satu daripada syarat (1.6) tidak dipenuhi, maka kita beralih kepada tindakan seterusnya.

Keempat. Mari kita lakukan lelaran seterusnya, i.e. ke sebelah kanan sistem (1.1) kita menggantikan komponen penghampiran pertama dan mengira komponen penghampiran kedua
, Di mana

Kelima. Jom semak
dan seterusnya , i.e. Mari kita semak keadaan (1.6) untuk anggaran ini. Jika semua syarat (1.6) dipenuhi, maka untuk penyelesaian anggaran sistem (1.1) kita akan memilih sama ada , atau tidak mengapa, kerana mereka berbeza antara satu sama lain tidak lebih daripada . Jika tidak, kami akan membina lelaran seterusnya dengan menggantikan komponen penghampiran kedua ke sebelah kanan sistem (1.1).

Lelaran perlu dibina sehingga dua anggaran bersebelahan
dan akan berbeza antara satu sama lain tidak lebih daripada .

Formula kerja kaedah lelaran untuk menyelesaikan sistem (1.1) boleh ditulis sebagai

Algoritma untuk pelaksanaan berangka formula (1.7) boleh seperti berikut.

Keadaan yang mencukupi untuk penumpuan kaedah lelaran untuk sistem (1.1) mempunyai bentuk

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Kaedah lelaran yang mudah.

Biarkan sistem persamaan algebra linear (SLAE) diberikan dalam bentuk

(2.1)

Untuk menyelesaikan sistem (2.1) menggunakan kaedah lelaran mudah, ia mesti dikurangkan terlebih dahulu kepada bentuk

(2.2)

Dalam sistem (2.2) Persamaan -th ialah persamaan -th sistem (2.1), diselesaikan berkenaan dengan -th tidak diketahui (
).

Kaedah untuk menyelesaikan sistem (2.1), yang terdiri daripada mengurangkannya kepada sistem (2.2) diikuti dengan menyelesaikan sistem (2.2) menggunakan kaedah lelaran, dipanggil kaedah lelaran mudah untuk sistem (2.1).

Oleh itu, formula kerja kaedah lelaran mudah untuk menyelesaikan sistem (2.1) akan mempunyai bentuk

(2.3)

Formula (2.3) boleh ditulis dalam bentuk

Algoritma untuk pelaksanaan berangka kaedah lelaran mudah untuk sistem (2.1) mengikut formula (2.4) boleh seperti berikut.

Algoritma ini boleh ditulis secara geometri.

Keadaan yang mencukupi untuk penumpuan kaedah lelaran mudah untuk sistem (2.1) mempunyai bentuk

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Kaedah Seidel Pegun.

Kaedah Seidel untuk menyelesaikan SLAE berbeza daripada kaedah lelaran kerana telah menemui beberapa anggaran untuk komponen -th, kami segera menggunakannya untuk mencari yang seterusnya
,
, …, -komponen ke. Pendekatan ini membolehkan lebih banyak lagi kelajuan tinggi penumpuan kaedah Seidel berbanding kaedah lelaran.

Biarkan SLAE diberikan dalam borang

(3.1)

biarlah
- anggaran sifar kepada penyelesaian yang tepat
sistem (3.1). Dan biarkan ia dijumpai anggaran ke
. Mari kita tentukan komponen
anggaran th menggunakan formula

(3.2)

Formula (3.2) boleh ditulis dalam bentuk padat

,
,
(3.3)

Algoritma untuk pelaksanaan berangka kaedah Seidel untuk menyelesaikan sistem (3.1) menggunakan formula (3.3) boleh seperti berikut.

1. Mari kita pilih, sebagai contoh,
,

2. Mari letak .

3. Jom kira untuk semua.

4. Kami akan menyemak syarat untuk semua orang
.

5. Jika semua syarat dalam perenggan 4 dipenuhi, maka kami akan memilih sama ada atau sebagai penyelesaian anggaran kepada sistem (3.1) dan melengkapkan pengiraan. Jika sekurang-kurangnya satu syarat dalam langkah 4 tidak dipenuhi, teruskan ke langkah 6.

6. Mari letakkannya dan teruskan ke langkah 3.

Algoritma ini boleh ditulis secara geometri.

Syarat yang mencukupi untuk penumpuan kaedah Seidel untuk sistem (3.1) mempunyai bentuk
, .

4. Kaedah Seidel tidak pegun.

Kaedah penyelesaian SLAE (3.1) ini memberikan kelajuan penumpuan yang lebih tinggi bagi kaedah Seidel.

Marilah kita mencari komponen penghampiran ke dan penghampiran ke untuk sistem (3.1).

Mari kita mengira vektor pembetulan

Mari kita mengira nilai

, (4.2)

Mari kita susun kuantiti
, dalam susunan menurun.

Dalam susunan yang sama, kami menulis semula persamaan dalam sistem (3.1) dan yang tidak diketahui dalam sistem ini: Linearalgebra Dan tak linear ... PengurusanUntuk makmal berfungsiOleh ... metodologi arahan UntukpraktikalberfungsiOleh Untukpelajar ...

Kesusasteraan pendidikan (sains semula jadi dan teknikal) 2000-2011 kitaran OP – 10 tahun kitaran CD – 5 tahun

kesusasteraan

... SemulajadiSains secara umum 1. Astronomi [Teks]: manual Untuk ... berangkakaedah: Linearalgebra Dan tak linear ... PengurusanUntuk makmal berfungsiOleh ... metodologi arahan UntukpraktikalberfungsiOleh disiplin "Ekonomi Pengangkutan" Untukpelajar ...

- sains semula jadi (1)

Tutorial

... pengurusanUntukpelajar dan guru, bertujuan Untuk gunakan bukan sahaja untuk belajar kaedahkerja... pengeluaran praktikal kemahiran menggunakan data sebenar. berkaedah cadangan Oleh pemenuhan ujian kerjaOleh ini...

- sains semula jadi - sains fizikal dan matematik - sains kimia - sains bumi (geodetik geofizik geologi dan sains geografi)

Dokumen

... Untukpelajarsecara semula jadi- ... berfungsiOleh disiplin "Genetik dan pemilihan", khusus untuk masalah semasa ini Sains. Bersistematik bebas KerjapelajarOleh teori dan praktikal ... linear, tak linear, dinamik. Semua kaedah ...

- sains semula jadi - sains fizik dan matematik - sains kimia - sains bumi (geodetik geofizik geologi dan sains geografi) (7)

Senarai buku teks

penentu Eremin linear Dan tak linearalgebra : linear Dan tak linear pengaturcaraan: baru kaedah/ Eremin, Mikhail... Untukpelajar dan guru kepakaran geologi di universiti. kh-1 1794549 99. D3 P 693 PraktikalpengurusanOleh ...



Kata kunci:

Matlamat kerja: mengkaji kaedah untuk menyelesaikan persamaan tak linear dengan satu yang tidak diketahui dan mengujinya dalam kerja eksperimen.

Objektif kerja:

1. Menganalisis sastera khas dan pilih kaedah yang paling rasional untuk menyelesaikan persamaan tak linear, membolehkan anda mengkaji dan mengasimilasikan dengan mendalam topik ini semua lepasan sekolah menengah.
2. Membangunkan beberapa aspek metodologi untuk menyelesaikan persamaan tak linear menggunakan ICT.
3. Teroka kaedah untuk menyelesaikan persamaan tak linear:

‒ Kaedah langkah

‒ Kaedah separuh

‒ Kaedah Newton

pengenalan.

Tanpa literasi matematik, adalah mustahil untuk berjaya menguasai kaedah untuk menyelesaikan masalah dalam fizik, kimia, biologi dan mata pelajaran lain. Keseluruhan kompleks sains semula jadi dibina dan dibangunkan berdasarkan pengetahuan matematik. Sebagai contoh, kajian beberapa masalah topikal dalam fizik matematik membawa kepada keperluan untuk menyelesaikan persamaan tak linear. Penyelesaian persamaan tak linear diperlukan dalam optik tak linear, fizik plasma, teori superkonduktiviti, dan fizik suhu rendah. Terdapat jumlah literatur yang mencukupi mengenai topik ini, tetapi banyak buku teks dan artikel sukar difahami oleh pelajar sekolah menengah. Kertas kerja ini membincangkan kaedah untuk menyelesaikan persamaan tak linear yang boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah gunaan dalam fizik dan kimia. Satu aspek yang menarik ialah aplikasi teknologi maklumat untuk menyelesaikan persamaan dan masalah dalam matematik.

Kaedah langkah.

Biarkan perlu untuk menyelesaikan persamaan tak linear dalam bentuk F(x)=0. Mari kita anggap juga bahawa kita diberi selang carian tertentu. Ia dikehendaki mencari selang [a,b] panjang h, yang mengandungi punca pertama persamaan, bermula dari sempadan kiri selang carian.

nasi. 1. Kaedah langkah

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan masalah sedemikian. Kaedah langkah adalah kaedah berangka yang paling mudah untuk menyelesaikan ketaksamaan, tetapi untuk mencapai ketepatan yang tinggi adalah perlu untuk mengurangkan langkah dengan ketara, dan ini sangat meningkatkan masa pengiraan. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah ini terdiri daripada dua peringkat.

sayapentas. Pemisahan akar.

Pada peringkat ini, bahagian ditentukan, setiap satunya mengandungi hanya satu punca persamaan. Terdapat beberapa pilihan untuk melaksanakan peringkat ini:

• Kami menggantikan nilai X (sebaik-baiknya dengan beberapa langkah yang agak kecil) dan melihat di mana fungsi berubah tanda. Jika fungsi telah berubah tandanya, ini bermakna terdapat punca di kawasan antara nilai X sebelumnya dan semasa (jika fungsi itu tidak mengubah sifat kenaikan/penurunannya, maka kita boleh mengatakan bahawa hanya ada satu akar dalam selang ini).
• Kaedah grafik. Kami membina graf dan menilai pada selang mana satu punca terletak.
• Mari kita terokai sifat-sifat fungsi tertentu.

IIpentas. Penapisan akar.

Pada peringkat ini, maksud punca-punca persamaan yang ditentukan sebelum ini dijelaskan. Sebagai peraturan, kaedah berulang digunakan pada peringkat ini. Sebagai contoh, kaedah separuh bahagian(dikotomi) atau kaedah Newton.

Kaedah separuh bahagian

Kaedah berangka yang cepat dan agak mudah untuk menyelesaikan persamaan, berdasarkan penyempitan jujukan selang yang mengandungi satu-satunya punca persamaan F(x) = 0 sehingga ketepatan yang ditentukan E dicapai Kaedah ini biasanya digunakan semasa menyelesaikan persamaan kuadratik dan persamaan darjah yang lebih tinggi. Walau bagaimanapun, kaedah ini mempunyai kelemahan yang ketara - jika segmen [a,b] mengandungi lebih daripada satu punca, maka ia tidak akan dapat mencapai hasil yang baik.

nasi. 2. Kaedah dikotomi

Algoritma untuk kaedah ini adalah seperti berikut:

‒ Tentukan anggaran baru bagi punca x di tengah ruas [a;b]: x=(a+b)/2.

‒ Cari nilai fungsi pada titik a dan x: F(a) dan F(x).

‒ Semak keadaan F(a)*F(x)

‒ Pergi ke langkah 1 dan bahagikan lagi bahagian itu kepada separuh. Teruskan algoritma sehingga keadaan |F(x)|

kaedah Newton

Kaedah penyelesaian berangka yang paling tepat; sesuai untuk menyelesaikan persamaan yang sangat kompleks, tetapi rumit oleh keperluan untuk mengira derivatif pada setiap langkah. ialah jika x n ialah beberapa penghampiran kepada punca persamaan , maka penghampiran seterusnya ditakrifkan sebagai punca tangen kepada fungsi f(x) yang dilukis pada titik x n.

Persamaan tangen kepada fungsi f(x) pada titik x n mempunyai bentuk:

Dalam persamaan tangen kita letakkan y = 0 dan x = x n +1.

Kemudian algoritma untuk pengiraan berjujukan dalam kaedah Newton adalah seperti berikut:

Penumpuan kaedah tangen adalah kuadratik, susunan penumpuan ialah 2.

Oleh itu, penumpuan kaedah tangen Newton adalah sangat cepat.

Tanpa sebarang perubahan, kaedah ini digeneralisasikan kepada kes yang kompleks. Jika punca x i ialah punca bagi gandaan kedua atau lebih tinggi, maka susunan penumpuan jatuh dan menjadi linear.

Kelemahan kaedah Newton termasuk lokalitinya, kerana ia dijamin menumpu untuk anggaran permulaan yang sewenang-wenang hanya jika keadaannya dipenuhi di mana-mana sahaja. , dalam keadaan yang bertentangan, penumpuan hanya berlaku dalam kejiranan tertentu akar.

Kaedah Newton (kaedah tangen) biasanya digunakan apabila persamaan f(x) = 0 mempunyai akar dan syarat berikut dipenuhi:

1) fungsi y=f(x) ditakrifkan dan berterusan pada ;

2) f(a) f(b) (fungsi mengambil nilai tanda yang berbeza di hujung segmen [ a;b]);

3) terbitan f"(x) Dan f""(x) kekalkan tanda pada selang [ a;b] (iaitu fungsi f(x) sama ada bertambah atau berkurang pada segmen [ a;b], sambil mengekalkan arah kecembungan);

Maksud kaedah adalah seperti berikut: pada segmen [ a;b] nombor sedemikian dipilih x 0 , di mana f(x 0) mempunyai tanda yang sama seperti f""(x 0), iaitu syarat telah dipenuhi f(x 0) f""(x) > 0. Oleh itu, titik dengan absis dipilih x 0, di mana tangen kepada lengkung y=f(x) pada segmen [ a;b] bersilang dengan paksi lembu. Setiap mata x 0 Pertama, adalah mudah untuk memilih salah satu hujung segmen.

Mari kita pertimbangkan algoritma ini menggunakan contoh khusus.

Marilah kita diberikan fungsi yang semakin meningkat y = f(x) =x 2– 2, berterusan pada segmen (0;2), dan mempunyai f "(x) =2x>0 Dan f ""(x) = 2> 0.

Dalam kes kami, persamaan tangen mempunyai bentuk: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). DALAM sebagai titik x 0 kita pilih titik B 1 (b; f(b)) = (2,2). Lukis tangen kepada fungsi tersebut y = f(x) pada titik B 1, dan menandakan titik persilangan tangen dan paksi lembu titik x 1. Kami mendapat persamaan tangen pertama: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Lembu: x 1 =

nasi. 3. Pembinaan tangen pertama kepada graf fungsi f(x)

y=f(x) lembu melalui titik x 1, kita faham maksudnya B 2 =(1.5; 0.25). Lukis tangen kepada fungsi itu sekali lagi y = f(x) pada titik B 2, dan menandakan titik persilangan tangen dan lembu titik x 2.

Persamaan tangen kedua: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25. Titik persilangan tangen dan paksi Lembu: x 2 =.

Kemudian kita mencari titik persilangan fungsi tersebut y=f(x) dan serenjang dilukis pada paksi lembu melalui titik x 2, kita mendapat titik B 3 dan seterusnya.

nasi. 4. Pembinaan tangen kedua kepada graf fungsi f(x)

Penghampiran pertama akar ditentukan oleh formula:

= 1.5.

Penghampiran kedua akar ditentukan oleh formula:

=

Penghampiran ketiga akar ditentukan oleh formula:

Justeru ,i Penghampiran ke akar ditentukan oleh formula:

Pengiraan dijalankan sehingga tempat perpuluhan yang diperlukan dalam jawapan sepadan, atau ketepatan yang ditentukan e dicapai - sehingga ketaksamaan itu dipenuhi |xi-xi-1|

Dalam kes kita, mari kita bandingkan anggaran yang diperolehi dalam langkah ketiga dengan jawapan sebenar. Seperti yang anda lihat, sudah pada langkah ketiga kami menerima ralat kurang daripada 0.000002.

Menyelesaikan persamaan menggunakan CADMathCAD

Untuk persamaan termudah dalam bentuk f(x) = 0 penyelesaian dalam MathСAD didapati menggunakan fungsi akar.

akar (f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - mengembalikan nilai X 1 , kepunyaan segmen [ a, b ] , di mana ungkapan atau fungsi f (X ) pergi ke 0. Kedua-dua hujah untuk fungsi ini mestilah skalar. Fungsi mengembalikan skalar.

nasi. 5. Menyelesaikan persamaan tak linear dalam MathCAD (fungsi akar)

Jika ralat berlaku akibat penggunaan fungsi ini, ini mungkin bermakna bahawa persamaan tidak mempunyai punca, atau punca-punca persamaan terletak jauh dari penghampiran awal, ungkapan mempunyai setempat. maks Dan min antara anggaran awal dan akar.

Untuk menentukan punca ralat, adalah perlu untuk memeriksa graf fungsi f(x). Ia akan membantu untuk mengetahui kehadiran punca persamaan f(x) = 0 dan, jika ia wujud, maka kira-kira tentukan nilainya. Lebih tepat anggaran awal akar dipilih, lebih cepat nilai tepatnya akan ditemui.

Jika anggaran awal tidak diketahui, maka adalah dinasihatkan untuk menggunakan fungsi tersebut selesaikan . Selain itu, jika persamaan mengandungi beberapa pembolehubah, anda perlu menunjukkan selepas kata kunci selesaikan ialah senarai pembolehubah yang persamaannya diselesaikan.

nasi. 6. Menyelesaikan persamaan tak linear dalam MathCAD (fungsi menyelesaikan)

Kesimpulan

Kajian itu mengkaji bagaimana kaedah matematik, dan menyelesaikan persamaan menggunakan pengaturcaraan dalam sistem CAD MathCAD. Pelbagai kaedah mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Perlu diingatkan bahawa penggunaan kaedah tertentu bergantung kepada keadaan awal persamaan yang diberikan. Persamaan yang boleh diselesaikan dengan baik melalui kaedah pemfaktoran, dsb., yang diketahui di sekolah, tidak masuk akal untuk menyelesaikan lebih banyak dengan cara yang kompleks. Masalah matematik gunaan yang penting untuk fizik dan kimia dan memerlukan operasi pengiraan yang kompleks apabila menyelesaikan persamaan berjaya diselesaikan, contohnya, menggunakan pengaturcaraan. Adalah baik untuk menyelesaikannya menggunakan kaedah Newton.

Untuk menjelaskan punca, anda boleh menggunakan beberapa kaedah untuk menyelesaikan persamaan yang sama. Penyelidikan inilah yang menjadi asas kepada kerja ini. Pada masa yang sama, mudah untuk melihat kaedah mana yang paling berjaya apabila menyelesaikan setiap peringkat persamaan, dan kaedah mana yang lebih baik untuk tidak digunakan pada peringkat ini.

Bahan yang dikaji, dalam satu pihak, membantu mengembangkan dan mendalami pengetahuan matematik dan menyemai minat dalam matematik. Sebaliknya, adalah penting untuk dapat menyelesaikan masalah matematik sebenar bagi mereka yang merancang untuk memperoleh profesion teknikal dan kejuruteraan. sebab tu kerja ini perkara untuk pendidikan lanjut(contohnya, di institusi pengajian tinggi).

kesusasteraan:

1. Mityakov S. N. Informatik. Kompleks bahan pendidikan. - N. Novgorod: Nizhny Novgorod. negeri teknologi univ., 2006
2. Vainberg M. M., Trenogin V. A. Teori penyelesaian percabangan bagi persamaan tak linear. M.: Nauka, 1969. - 527 hlm.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej teknikal - M.: Nauka, 1986.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Matematik: tutorial. - Rostov n/d.: Phoenix, 2005.
5. Savin A.P. Kamus ensiklopedia ahli matematik muda. - M.: Pedagogi, 1989.
6. Korn G., Korn T. Buku Panduan matematik untuk saintis dan jurutera. - M.: Nauka, 1973.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.
8. Chernyak A., Chernyak Zh., Domanova Yu. Kursus am. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2004.
9. Porshnev S., Belenkova I. Kaedah berangka berdasarkan Mathcad. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2012.

Kata kunci: persamaan tak linear, matematik gunaan, CAD MathCAD, kaedah Newton, kaedah langkah, kaedah dikotomi..

Anotasi: Artikel ini ditumpukan kepada kajian kaedah untuk menyelesaikan persamaan tak linear, termasuk menggunakan sistem reka bentuk bantuan komputer MathCAD. Kaedah langkah, separuh dan kaedah Newton dipertimbangkan, algoritma terperinci untuk menggunakan kaedah ini diberikan, dan analisis perbandingan kaedah yang ditentukan.

Sebagai contoh:

Mari kita tetapkan tugas untuk mencari sah punca persamaan ini.

Dan pasti ada! - daripada artikel tentang graf fungsi Dan persamaan matematik yang lebih tinggi anda tahu sangat jadualnya fungsi polinomial darjah ganjil memotong paksi sekurang-kurangnya sekali, oleh itu persamaan kita mempunyai sekurang-kurangnya satu akar sebenar. satu. Atau dua. Atau tiga.

Pertama, ia memohon untuk menyemak ketersediaan rasional akar. mengikut teorem yang sepadan, hanya nombor 1, –1, 3, –3 boleh menuntut "tajuk" ini dan dengan penggantian langsung adalah mudah untuk memastikan tiada satu pun daripada mereka "sesuai". Oleh itu, nilai tidak rasional kekal. Punca tak rasional bagi polinomial darjah 3 boleh didapati betul-betul (menyatakan melalui radikal) dengan bantuan kononnya Formula Cardano , bagaimanapun, kaedah ini agak menyusahkan. Tetapi untuk polinomial darjah ke-5 dan lebih tinggi tidak ada kaedah analisis umum sama sekali, dan, sebagai tambahan, dalam praktiknya terdapat banyak persamaan lain di mana nilai yang tepat adalah mustahil untuk mendapatkan akar sebenar (walaupun ia wujud).

Walau bagaimanapun, dalam digunakan (contohnya, kejuruteraan) masalah, adalah lebih daripada boleh diterima untuk menggunakan nilai anggaran yang dikira dengan ketepatan tertentu.

Mari kita tetapkan ketepatan untuk contoh kita. Apakah maksudnya? Ini bermakna kita perlu mencari SEPERTI nilai anggaran akar (akar) di mana kita kami dijamin salah tidak melebihi 0.001 (seperseribu) .

Ia benar-benar jelas bahawa penyelesaian tidak boleh dimulakan "secara rawak" dan oleh itu pada langkah pertama akarnya berasingan. Untuk memisahkan akar bermaksud mencari segmen yang cukup kecil (biasanya tunggal) di mana akar ini tergolong dan tidak ada akar lain. Yang paling mudah dan paling mudah diakses kaedah grafik pemisahan akar. Jom bina titik demi titik graf bagi suatu fungsi :

Daripada lukisan itu, persamaan itu, nampaknya, mempunyai punca sebenar tunggal kepunyaan segmen. Pada penghujung selang ini fungsi mengambil nilai tanda yang berbeza: , dan daripada fakta kesinambungan fungsi pada segmen serta merta kelihatan cara asas penghalusan akar: bahagikan selang separuh dan pilih segmen pada hujung yang digunakan oleh fungsi tanda yang berbeza. DALAM dalam kes ini ini jelas satu segmen. Kami membahagikan selang yang terhasil pada separuh dan sekali lagi pilih segmen "tanda yang berbeza". Dan sebagainya. Tindakan berurutan sedemikian dipanggil lelaran. Dalam kes ini, ia perlu dijalankan sehingga panjang segmen menjadi kurang daripada dua kali ketepatan pengiraan, dan bahagian tengah segmen "tanda-berbeza" yang terakhir harus dipilih sebagai nilai anggaran akar.

Skim yang dipertimbangkan menerima nama semula jadi - kaedah pembahagian separuh. Dan kelemahan kaedah ini adalah kelajuan. Perlahan-lahan. Sangat perlahan. Akan terdapat terlalu banyak lelaran sebelum kita mencapai ketepatan yang diperlukan. Dengan pembangunan Teknologi komputer Ini, sudah tentu, bukan masalah, tetapi itulah gunanya matematik, untuk mencari penyelesaian yang paling rasional.

Dan satu lagi cara yang berkesan mencari nilai anggaran punca adalah tepat kaedah tangen. Intipati geometri ringkas kaedah adalah seperti berikut: pertama, menggunakan kriteria khas (lebih lanjut mengenai itu sedikit kemudian) salah satu hujung segmen dipilih. Akhir ini dipanggil permulaan penghampiran akar, dalam contoh kami: . Sekarang kita lukis tangen pada graf fungsi di absis (titik biru dan tangen ungu):

Tangen ini melintasi paksi-x pada titik kuning, dan ambil perhatian bahawa pada langkah pertama kita hampir "memukul akar"! Ia akan menjadi pertama pendekatan akar. Seterusnya, kami menurunkan kuning berserenjang dengan graf fungsi dan "dapat" ke titik oren. Kami sekali lagi melukis tangen melalui titik oren, yang akan memotong paksi lebih dekat dengan akar! Dan sebagainya. Tidak sukar untuk memahami bahawa menggunakan kaedah tangen, kita menghampiri matlamat dengan pesat, dan ia akan mengambil beberapa lelaran secara literal untuk mencapai ketepatan.

Oleh kerana tangen ditakrifkan melalui terbitan fungsi, maka pelajaran ini berakhir di bahagian "Derivatif" sebagai salah satu aplikasinya. Dan tanpa terperinci justifikasi teori kaedah, saya akan mempertimbangkan aspek teknikal isu ini. Dalam amalan, masalah yang diterangkan di atas berlaku kira-kira dalam rumusan berikut:

Contoh 1

Dengan menggunakan kaedah grafik cari selang di mana punca sebenar persamaan itu terletak. Menggunakan kaedah Newton, dapatkan nilai anggaran punca dengan ketepatan 0.001

Berikut ialah "versi penjimatan" tugas, di mana kehadiran satu akar yang sah segera dinyatakan.

Penyelesaian: pada langkah pertama akar hendaklah dipisahkan secara grafik. Ini boleh dilakukan dengan merancang (lihat ilustrasi di atas), tetapi pendekatan ini mempunyai beberapa kelemahan. Pertama, bukan fakta bahawa graf itu mudah (kami tidak tahu terlebih dahulu), A perisian– ia tidak selalu ada. Dan kedua (akibat dari 1), dengan kebarangkalian yang besar hasilnya tidak akan menjadi lukisan skematik, tetapi lukisan kasar, yang, tentu saja, tidak bagus.

Nah, mengapa kita memerlukan kesulitan yang tidak perlu? Cuba kita bayangkan persamaan dalam bentuk, lukis graf dengan teliti dan tandakan punca dalam lukisan itu Koordinat (“X” bagi titik persilangan graf):

Kelebihan yang jelas kaedah ini ialah graf fungsi ini dibina dengan tangan dengan lebih tepat dan lebih pantas. By the way, ambil perhatian bahawa lurus terlintas parabola padu pada satu titik, yang bermaksud bahawa persamaan yang dicadangkan sebenarnya hanya mempunyai satu punca sebenar. Percaya, tetapi sahkan ;-)

Jadi, "klien" kami tergolong dalam segmen dan "oleh mata" adalah lebih kurang sama dengan 0.65-0.7.

Pada langkah kedua perlu memilih anggaran awal akar Biasanya ini adalah salah satu hujung segmen. Anggaran awal mesti memuaskan syarat seterusnya:

Jom cari pertama Dan kedua fungsi terbitan :

dan semak hujung kiri segmen:

Oleh itu, sifar "tidak sesuai."

Menyemak hujung kanan segmen:

- Semuanya baik-baik sahaja! Kami memilih sebagai anggaran awal.

Pada langkah ketiga Jalan ke akar umbi menanti kita. Setiap penghampiran punca seterusnya dikira daripada data sebelumnya menggunakan yang berikut berulang formula:

Proses ini berakhir apabila syarat dipenuhi, di mana ketepatan pengiraan yang telah ditetapkan. Akibatnya, anggaran "n" diambil sebagai nilai anggaran punca: .

Seterusnya ialah pengiraan rutin:

(pembundaran biasanya dilakukan kepada 5-6 tempat perpuluhan)

Oleh kerana nilai yang diperoleh adalah lebih besar daripada , kami meneruskan ke anggaran 1 punca:

Kami mengira:

, jadi terdapat keperluan untuk beralih ke anggaran ke-2:

Mari kita ke pusingan seterusnya:

, oleh itu, lelaran selesai, dan anggaran ke-2 harus diambil sebagai nilai anggaran punca, yang, mengikut ketepatan yang diberikan, harus dibundarkan kepada seperseribu:

Dalam amalan, adalah mudah untuk memasukkan hasil pengiraan ke dalam jadual untuk memendekkan sedikit entri, pecahan sering dilambangkan dengan:

Jika boleh, adalah lebih baik untuk menjalankan pengiraan sendiri dalam Excel - ia lebih mudah dan lebih cepat:

Jawab: tepat kepada 0.001

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa frasa ini membayangkan fakta bahawa kami membuat kesilapan dalam penilaian kami maksud sebenar akar tidak lebih daripada 0.001. Mereka yang ragu-ragu boleh mengambil mikrokalkulator dan sekali lagi menggantikan nilai anggaran 0.674 dalam sebelah kiri persamaan

Sekarang mari kita "imbas" lajur kanan jadual dari atas ke bawah dan perhatikan bahawa nilai semakin berkurangan dalam nilai mutlak. Kesan ini dipanggil penumpuan kaedah yang membolehkan kita mengira punca dengan ketepatan tinggi yang sewenang-wenangnya. Tetapi penumpuan tidak selalu berlaku - ia dipastikan beberapa syarat, yang saya diamkan. Khususnya, segmen di mana akar diasingkan mestilah cukup kecil– jika tidak, nilai akan berubah secara rawak dan kami tidak akan dapat menyelesaikan algoritma.

Apa yang perlu dilakukan dalam kes sedemikian? Semak sama ada syarat yang ditetapkan dipenuhi (lihat pautan di atas), dan, jika perlu, kurangkan segmen. Jadi, secara relatifnya, jika dalam contoh yang dianalisis selang itu tidak sesuai untuk kita, maka kita harus mempertimbangkan, sebagai contoh, segmen. Dalam amalan, saya telah menghadapi kes-kes seperti itu, dan teknik ini sangat membantu! Perkara yang sama mesti dilakukan jika kedua-dua hujung segmen "lebar" tidak memenuhi syarat (iaitu, tiada satu pun daripada mereka sesuai sebagai anggaran awal).

Tetapi biasanya semuanya berfungsi seperti jam, walaupun bukan tanpa perangkap:

Contoh 2

Tentukan secara grafik bilangan punca sebenar persamaan, pisahkan punca ini dan, menggunakan kaedah Newton, cari nilai anggaran punca dengan ketepatan

Keadaan masalah menjadi lebih ketat: pertama, ia mengandungi petunjuk kuat bahawa persamaan tidak mempunyai punca tunggal, kedua, keperluan untuk ketepatan telah meningkat, dan ketiga, dengan graf fungsi jauh lebih sukar untuk dihadapi.

Dan oleh itu penyelesaian Mari kita mulakan dengan helah penjimatan: bayangkan persamaan dalam bentuk dan lukis graf:


Daripada lukisan itu, persamaan kita mempunyai dua punca sebenar:

Algoritma, seperti yang anda faham, perlu "dihidupkan" dua kali. Tetapi ini walaupun dalam kes yang paling teruk; kadang-kadang anda perlu memeriksa 3-4 akar.

1) Menggunakan kriteria Mari kita ketahui hujung segmen mana yang hendak dipilih sebagai anggaran awal punca pertama. Mencari terbitan bagi fungsi :

Menguji hujung kiri segmen:

- datang!

Oleh itu, adalah anggaran awal.

Kami akan memperhalusi akar menggunakan kaedah Newton menggunakan formula berulang:
- sehingga pecahan modulo tidak akan kurang daripada ketepatan yang diperlukan:

Dan di sini perkataan "modul" memperoleh kepentingan bukan ilusi, kerana nilainya negatif:


Atas sebab yang sama, perhatian khusus harus diberikan apabila beralih ke setiap anggaran berikut:

Walaupun cukup keperluan yang tinggi kepada ketepatan, proses itu berakhir sekali lagi pada anggaran ke-2: , oleh itu:

Tepat hingga 0.0001

2) Mari cari nilai anggaran punca.

Kami menyemak hujung kiri segmen untuk kutu:

, oleh itu, ia tidak sesuai sebagai anggaran awal.