AGENSI PERSEKUTUAN UNTUK PENDIDIKAN

INSTITUSI PENDIDIKAN NEGERI

PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI

"UNIVERSITI PEDAGOGI NEGERI VORONEZH"

JABATAN AGLEBRA DAN GEOMETRI

Nombor kompleks

(tugasan terpilih)

KERJA LULUSAN LAYAK

kepakaran 050201.65 matematik

(dengan kepakaran tambahan 050202.65 sains komputer)

Diisi oleh: murid tahun 5

fizikal dan matematik

fakulti

Penasihat saintifik:

VORONEZH – 2008

1. Pengenalan……………………………………………………...…………..…

2. Nombor kompleks (masalah terpilih)

2.1. Nombor kompleks dalam bentuk algebra….……...……….….

2.2. Tafsiran geometri nombor kompleks…………..…

2.3. Bentuk trigonometri nombor kompleks

2.4. Aplikasi teori nombor kompleks kepada penyelesaian persamaan darjah ke-3 dan ke-4………..……………………………………………………………………

2.5. Nombor kompleks dan parameter……………………………………………………….

3. Kesimpulan………………………………………………………………………….

4. Senarai rujukan………………………………………………………………………………

1. Pengenalan

Dalam program matematik kursus sekolah teori nombor diperkenalkan menggunakan contoh set nombor asli, integer, rasional, tak rasional, i.e. pada set nombor nyata, imej yang mengisi keseluruhan garis nombor. Tetapi sudah di gred ke-8 tidak ada bekalan nombor nyata yang mencukupi, menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif. Oleh itu, adalah perlu untuk menambah stok nombor nyata dengan bantuan nombor kompleks, yang mana Punca kuasa dua daripada nombor negatif mempunyai makna.

Memilih topik "Nombor Kompleks" sebagai topik pengijazahan saya kerja yang layak, ialah konsep nombor kompleks mengembangkan pengetahuan pelajar tentang sistem nombor, tentang menyelesaikan kelas masalah yang luas bagi kandungan algebra dan geometri, tentang penyelesaian persamaan algebra mana-mana darjah dan tentang menyelesaikan masalah dengan parameter.

Tesis ini mengkaji penyelesaian kepada 82 masalah.

Bahagian pertama bahagian utama "Nombor kompleks" mengandungi penyelesaian kepada masalah dengan nombor kompleks dalam bentuk algebra, operasi tambah, tolak, darab, bahagi, operasi konjugasi untuk nombor kompleks dalam bentuk algebra, kuasa unit khayalan, modulus nombor kompleks ditakrifkan, dan peraturan untuk mengekstrak punca kuasa dua bagi nombor kompleks juga dinyatakan.

Dalam bahagian kedua, masalah mengenai tafsiran geometri nombor kompleks dalam bentuk titik atau vektor satah kompleks diselesaikan.

Bahagian ketiga meneliti operasi pada nombor kompleks dalam bentuk trigonometri. Formula yang digunakan ialah: Moivre dan mengekstrak punca nombor kompleks.

Bahagian keempat dikhaskan untuk menyelesaikan persamaan darjah ke-3 dan ke-4.

Apabila menyelesaikan masalah di bahagian terakhir, "Nombor dan parameter kompleks," maklumat yang diberikan dalam bahagian sebelumnya digunakan dan disatukan. Satu siri masalah dalam bab ini dikhaskan untuk menentukan keluarga garis dalam satah kompleks yang ditakrifkan oleh persamaan (ketaksamaan) dengan parameter. Dalam sebahagian daripada latihan anda perlu menyelesaikan persamaan dengan parameter (di atas medan C). Terdapat tugas di mana pembolehubah kompleks secara serentak memenuhi beberapa syarat. Ciri khas untuk menyelesaikan masalah dalam bahagian ini ialah pengurangan banyak daripada mereka kepada penyelesaian persamaan (ketaksamaan, sistem) darjah kedua, tidak rasional, trigonometri dengan parameter.

Ciri pembentangan bahan dalam setiap bahagian ialah input awal asas teori, dan seterusnya aplikasi praktikal mereka dalam menyelesaikan masalah.

Pada penghujungnya tesis senarai literatur terpakai dibentangkan. Kebanyakan mereka membentangkan bahan teori dengan terperinci yang mencukupi dan dengan cara yang mudah diakses, mempertimbangkan penyelesaian kepada beberapa masalah, dan memberikan tugas amali Untuk keputusan bebas. Perhatian istimewa Saya ingin merujuk kepada sumber seperti:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Nombor kompleks dan aplikasinya: Buku teks. . bahan alat bantu mengajar disampaikan dalam bentuk syarahan dan latihan amali.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Masalah terpilih dan teorem matematik asas. Aritmetik dan algebra. Buku ini mengandungi 320 masalah berkaitan algebra, aritmetik dan teori nombor. Tugas-tugas ini berbeza secara ketara daripada tugas sekolah standard.

2. Nombor kompleks (masalah terpilih)

2.1. Nombor kompleks dalam bentuk algebra

Penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan fizik datang kepada menyelesaikan persamaan algebra, i.e. persamaan bentuk

,

dengan a0, a1, …, an ialah nombor nyata. Oleh itu, kajian persamaan algebra adalah salah satu daripada isu kritikal dalam matematik. Contohnya, persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif. Persamaan yang paling mudah ialah persamaan

.

Agar persamaan ini mempunyai penyelesaian, adalah perlu untuk mengembangkan set nombor nyata dengan menambah padanya punca persamaan.

.

Mari kita nyatakan akar ini dengan

. Oleh itu, mengikut definisi, atau,

oleh itu,

. dipanggil unit khayalan. Dengan bantuannya dan dengan bantuan sepasang nombor nyata, ungkapan bentuk disusun.

Ungkapan yang terhasil dipanggil nombor kompleks kerana ia mengandungi kedua-dua bahagian nyata dan khayalan.

Jadi, nombor kompleks ialah ungkapan bentuk

, dan ialah nombor nyata, dan merupakan simbol tertentu yang memenuhi syarat . Nombor itu dipanggil bahagian nyata nombor kompleks, dan nombor itu adalah bahagian khayalannya. Simbol , digunakan untuk menandakannya.

Nombor kompleks borang

ialah nombor nyata dan, oleh itu, set nombor kompleks mengandungi set nombor nyata.

Nombor kompleks borang

dipanggil khayalan semata-mata. Dua nombor kompleks bentuk dan dikatakan sama jika bahagian nyata dan khayalannya adalah sama, i.e. jika persamaan , .

Tatatanda algebra bagi nombor kompleks membenarkan operasi ke atasnya mengikut peraturan biasa algebra.

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Manusia menggunakan persamaan pada zaman dahulu, dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Untuk kejelasan, mari selesaikan masalah berikut:

Kira \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jika \

Pertama sekali, mari kita perhatikan fakta bahawa satu nombor dibentangkan dalam bentuk algebra, yang lain dalam bentuk trigonometri. Ia perlu dipermudahkan dan dibawa ke bentuk berikut

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Ungkapan \ mengatakan bahawa pertama sekali kita melakukan pendaraban dan menaikkan kepada kuasa ke-10 menggunakan formula Moivre. Formula ini dirumus untuk bentuk trigonometri nombor kompleks. Kita mendapatkan:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Mengikuti peraturan untuk mendarab nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, kami melakukan perkara berikut:

Dalam kes kami:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Dengan menjadikan pecahan \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] betul, kita sampai pada kesimpulan bahawa kita boleh "memutar" 4 pusingan \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Jawapan: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Persamaan ini boleh diselesaikan dengan cara lain, yang bermuara kepada membawa nombor ke-2 ke dalam bentuk algebra, kemudian melakukan pendaraban dalam bentuk algebra, menukar hasilnya kepada bentuk trigonometri dan menggunakan formula Moivre:

Di manakah saya boleh menyelesaikan sistem persamaan dengan nombor kompleks dalam talian?

Anda boleh menyelesaikan sistem persamaan di laman web kami https://site. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam masa beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di tapak web kami. Dan jika anda masih mempunyai soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.

Untuk menyelesaikan masalah dengan nombor kompleks, anda perlu memahami definisi asas. Matlamat utama artikel ulasan ini adalah untuk menerangkan apa itu nombor kompleks dan mengemukakan kaedah untuk menyelesaikan masalah asas dengan nombor kompleks. Jadi, nombor kompleks akan dipanggil nombor borang z = a + bi, Di mana a, b- nombor nyata, yang masing-masing dipanggil bahagian nyata dan khayalan nombor kompleks, dan menandakan a = Re(z), b=Im(z).
i dipanggil unit khayalan. i 2 = -1. Khususnya, sebarang nombor nyata boleh dianggap kompleks: a = a + 0i, di mana a adalah sebenar. Jika a = 0 Dan b ≠ 0, maka nombor itu biasanya dipanggil khayalan semata-mata.

Sekarang mari kita perkenalkan operasi pada nombor kompleks.
Pertimbangkan dua nombor kompleks z 1 = a 1 + b 1 i Dan z 2 = a 2 + b 2 i.

Mari kita pertimbangkan z = a + bi.

Set nombor kompleks memanjangkan set nombor nyata, yang seterusnya memanjangkan set nombor rasional dan lain-lain. Rangkaian pelaburan ini boleh dilihat dalam rajah: N – integer, Z - integer, Q - rasional, R - nyata, C - kompleks.

Perwakilan nombor kompleks

tatatanda algebra.

Pertimbangkan nombor kompleks z = a + bi, bentuk penulisan nombor kompleks ini dipanggil algebra. Kami telah membincangkan bentuk rakaman ini secara terperinci dalam bahagian sebelumnya. Lukisan visual berikut digunakan agak kerap

Bentuk trigonometri.

Daripada rajah tersebut dapat dilihat bahawa nombor z = a + bi boleh ditulis secara berbeza. Ia adalah jelas bahawa a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, oleh itu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) dipanggil hujah bagi nombor kompleks. Perwakilan nombor kompleks ini dipanggil bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri kadangkala sangat mudah. Sebagai contoh, adalah mudah untuk menggunakannya untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa integer, iaitu, jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Itu z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, formula ini dipanggil Formula Moivre.

Bentuk tunjuk cara.

Mari kita pertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i- nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, tulis dalam bentuk lain z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = semula iφ, kesamaan terakhir mengikuti formula Euler, jadi kita dapat uniform baru notasi nombor kompleks: z = semula iφ, yang dipanggil indikatif. Bentuk tatatanda ini juga sangat mudah untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa: z n = r n e inφ, Di sini n tidak semestinya integer, tetapi boleh menjadi nombor nyata arbitrari. Bentuk tatatanda ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah.

Teorem asas algebra yang lebih tinggi

Mari kita bayangkan bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik x 2 + x + 1 = 0. Jelas sekali, diskriminasi persamaan ini adalah negatif dan ia tidak mempunyai punca sebenar, tetapi ternyata persamaan ini mempunyai dua punca kompleks yang berbeza. Jadi, teorem asas algebra yang lebih tinggi menyatakan bahawa sebarang polinomial darjah n mempunyai sekurang-kurangnya satu punca kompleks. Ia berikutan daripada ini bahawa mana-mana polinomial darjah n mempunyai tepat n punca kompleks, dengan mengambil kira kepelbagaiannya. Teorem ini merupakan hasil yang sangat penting dalam matematik dan digunakan secara meluas. Akibat mudah kepada teorem ini ialah terdapat betul-betul n akar yang berbeza darjah n perpaduan.

Jenis tugas utama

Bahagian ini akan merangkumi jenis utama tugasan mudah kepada nombor kompleks. Secara konvensional, masalah yang melibatkan nombor kompleks boleh dibahagikan kepada kategori berikut.

• Menjalankan operasi aritmetik mudah pada nombor kompleks.
• Mencari punca polinomial dalam nombor kompleks.
• Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa.
• Mengeluarkan akar daripada nombor kompleks.
• Menggunakan nombor kompleks untuk menyelesaikan masalah lain.

Sekarang mari kita pertimbangkan teknik umum penyelesaian kepada masalah ini.

Operasi aritmetik paling mudah dengan nombor kompleks dilakukan mengikut peraturan yang diterangkan dalam bahagian pertama, tetapi jika nombor kompleks dibentangkan dalam bentuk trigonometri atau eksponen, maka dalam kes ini anda boleh menukarnya ke dalam bentuk algebra dan melakukan operasi mengikut peraturan yang diketahui.

Mencari akar polinomial biasanya datang ke mencari akar persamaan kuadratik. Katakan bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik, jika diskriminasinya bukan negatif, maka akarnya akan menjadi nyata dan boleh didapati mengikut formula yang terkenal. Sekiranya diskriminasi adalah negatif, iaitu, D = -1∙a 2, Di mana a ialah nombor tertentu, maka diskriminasi boleh diwakili sebagai D = (ia) 2, oleh itu √D = i|a|, dan kemudian anda boleh menggunakan formula yang terkenal untuk punca-punca persamaan kuadratik.

Contoh. Mari kita kembali kepada persamaan kuadratik yang disebutkan di atas x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminasi - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Sekarang kita boleh mencari akarnya dengan mudah:

Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa boleh dilakukan dalam beberapa cara. Jika anda perlu menaikkan nombor kompleks dalam bentuk algebra kepada kuasa kecil (2 atau 3), maka anda boleh melakukan ini dengan pendaraban langsung, tetapi jika kuasa lebih besar (dalam masalah selalunya lebih besar), maka anda perlu tulis nombor ini dalam bentuk trigonometri atau eksponen dan gunakan kaedah yang telah diketahui.

Contoh. Pertimbangkan z = 1 + i dan naikkan kepada kuasa kesepuluh.
Mari kita tulis z dalam bentuk eksponen: z = √2 e iπ/4.
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kita kembali kepada bentuk algebra: z 10 = -32i.

Mengeluarkan punca daripada nombor kompleks ialah operasi songsang bagi eksponen dan oleh itu dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akar, bentuk eksponen menulis nombor sering digunakan.

Contoh. Mari cari semua punca darjah 3 perpaduan. Untuk melakukan ini, kita akan mencari semua punca persamaan z 3 = 1, kita akan mencari punca dalam bentuk eksponen.
Mari kita gantikan ke dalam persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Oleh itu: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, oleh itu φ = 2πk/3.
Akar yang berbeza diperolehi pada φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh itu 1, e i2π/3, e i4π/3 ialah punca.
Atau dalam bentuk algebra:

Jenis masalah terakhir termasuk pelbagai jenis masalah dan tidak ada kaedah umum untuk menyelesaikannya. Mari kita berikan contoh mudah tugas sedemikian:

Cari jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Walaupun perumusan masalah ini tidak melibatkan nombor kompleks, ia boleh diselesaikan dengan mudah dengan bantuan mereka. Untuk menyelesaikannya, perwakilan berikut digunakan:


Jika sekarang kita menggantikan perwakilan ini ke dalam jumlah, maka masalahnya dikurangkan kepada menjumlahkan janjang geometri biasa.

Kesimpulan

Nombor kompleks digunakan secara meluas dalam matematik, artikel ulasan ini mengkaji operasi asas pada nombor kompleks, menerangkan beberapa jenis masalah piawai, dan diterangkan secara ringkas kaedah umum penyelesaian mereka, untuk kajian yang lebih terperinci tentang keupayaan nombor kompleks, adalah disyorkan untuk menggunakan kesusasteraan khusus.

kesusasteraan

Ungkapan, persamaan dan sistem persamaan
dengan nombor kompleks

Hari ini dalam kelas kita akan mempraktikkan operasi biasa dengan nombor kompleks, dan juga menguasai teknik menyelesaikan ungkapan, persamaan dan sistem persamaan yang mengandungi nombor ini. Bengkel ini adalah kesinambungan pelajaran, dan oleh itu jika anda tidak mahir dalam topik tersebut, sila ikuti pautan di atas. Nah, untuk pembaca yang lebih bersedia, saya cadangkan anda memanaskan badan dengan segera:

Contoh 1

Permudahkan sesuatu ungkapan , Jika . Wakilkan keputusan dalam bentuk trigonometri dan plotkannya pada satah kompleks.

Penyelesaian: jadi, anda perlu menggantikan pecahan itu ke dalam pecahan "mengerikan", jalankan penyederhanaan, dan tukarkan hasilnya nombor kompleks V bentuk trigonometri . Ditambah dengan lukisan.

Apakah cara terbaik untuk memformalkan keputusan itu? Dengan "canggih" ungkapan algebra Lebih baik memahaminya langkah demi langkah. Pertama, perhatian kurang terganggu, dan kedua, jika tugas itu tidak diterima, lebih mudah untuk mencari ralat.

1) Pertama, mari kita permudahkan pengangka. Mari kita gantikan nilai ke dalamnya, buka kurungan dan betulkan gaya rambut:

...Ya, Quasimodo sebegini berasal daripada nombor kompleks...

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa semasa transformasi, perkara yang sangat mudah digunakan - peraturan mendarab polinomial dan kesamaan yang telah menjadi cetek. Perkara utama adalah berhati-hati dan tidak keliru dengan tanda-tanda.

2) Sekarang datang penyebutnya. Jika , maka:

Perhatikan dalam tafsiran luar biasa yang digunakan formula jumlah kuasa dua . Sebagai alternatif, anda boleh melakukan penyusunan semula di sini subformula Hasilnya secara semula jadi akan sama.

3) Dan akhirnya, keseluruhan ungkapan. Jika , maka:

Untuk menyingkirkan pecahan, darabkan pengangka dan penyebut dengan ungkapan konjugat penyebutnya. Pada masa yang sama, untuk tujuan permohonan formula perbezaan kuasa dua mesti dulu (dan sudah semestinya!) letakkan bahagian nyata negatif di tempat ke-2:

Dan sekarang peraturan utama:

KAMI TIDAK TERGURU-GURU! Lebih baik bermain dengan selamat dan mengambil langkah tambahan.
Dalam ungkapan, persamaan dan sistem dengan nombor kompleks, pengiraan lisan yang lancang lebih penuh daripada sebelumnya!

Terdapat pengurangan yang baik pada langkah terakhir dan itu hanya satu petanda yang bagus.

Catatan : secara tegasnya, di sini pembahagian nombor kompleks dengan nombor kompleks 50 berlaku (ingat itu). Saya telah diam tentang nuansa ini sehingga sekarang, dan kita akan membincangkannya sedikit kemudian.

Mari kita nyatakan pencapaian kita dengan surat itu

Mari kita bentangkan hasil yang diperoleh dalam bentuk trigonometri. Secara umumnya, di sini anda boleh melakukannya tanpa lukisan, tetapi kerana ia diperlukan, adalah lebih rasional untuk melakukannya sekarang:

Mari kita hitung modulus nombor kompleks:

Jika anda melukis pada skala 1 unit. = 1 cm (2 sel buku nota), maka nilai yang diperolehi boleh disemak dengan mudah menggunakan pembaris biasa.

Jom cari hujah. Oleh kerana nombor itu terletak pada suku koordinat ke-2, maka:

Sudut boleh diperiksa dengan mudah dengan protraktor. Ini adalah kelebihan lukisan yang tidak diragui.

Oleh itu: – nombor yang diperlukan dalam bentuk trigonometri.

Mari semak:
, yang merupakan perkara yang perlu disahkan.

Adalah mudah untuk mencari nilai sinus dan kosinus yang tidak dikenali menggunakan jadual trigonometri .

Jawab:

Contoh serupa untuk penyelesaian bebas:

Contoh 2

Permudahkan sesuatu ungkapan , Di mana. Lukiskan nombor yang terhasil pada satah kompleks dan tulis dalam bentuk eksponen.

Cuba jangan melangkau tutorial. Mereka mungkin kelihatan mudah, tetapi tanpa latihan, "masuk ke dalam lopak" bukan sahaja mudah, tetapi sangat mudah. Oleh itu, kami "mendapatkannya."

Selalunya masalah mempunyai lebih daripada satu penyelesaian:

Contoh 3

Kira jika ,

Penyelesaian: pertama sekali, mari kita perhatikan keadaan asal - satu nombor dibentangkan dalam algebra, dan yang lain dalam bentuk trigonometri, dan juga dengan darjah. Mari segera menulis semula dalam bentuk yang lebih biasa: .

Dalam bentuk apakah pengiraan harus dijalankan? Ungkapan itu jelas melibatkan pendaraban pertama dan seterusnya meningkatkan kuasa ke-10 Formula Moivre , yang dirumus untuk bentuk trigonometri nombor kompleks. Jadi nampaknya lebih logik untuk menukar nombor pertama. Mari cari modul dan hujahnya:

Kami menggunakan peraturan untuk mendarab nombor kompleks dalam bentuk trigonometri:
jika , maka

Dengan membuat pecahan itu betul, kita sampai pada kesimpulan bahawa kita boleh "memutar" 4 pusingan (gembira.):

Penyelesaian kedua adalah untuk menukar nombor ke-2 ke dalam bentuk algebra , lakukan pendaraban dalam bentuk algebra, tukarkan hasilnya kepada bentuk trigonometri dan gunakan formula Moivre.

Seperti yang anda lihat, terdapat satu tindakan "tambahan". Mereka yang berhajat boleh meneruskan keputusan dan memastikan bahawa keputusan adalah sama.

Syarat itu tidak mengatakan apa-apa tentang bentuk nombor kompleks akhir, jadi:

Jawab:

Tetapi "untuk kecantikan" atau atas permintaan, hasilnya tidak sukar untuk dibayangkan dalam bentuk algebra:

Atas diri sendiri:

Contoh 4

Permudahkan sesuatu ungkapan

Di sini kita perlu ingat tindakan dengan darjah , walaupun satu peraturan yang berguna Ia tiada dalam manual, ini adalah: .

Dan satu lagi nota penting: contoh boleh diselesaikan dalam dua gaya. Pilihan pertama adalah untuk bekerja dengan dua nombor dan baik dengan pecahan. Pilihan kedua ialah mewakili setiap nombor sebagai hasil bagi dua nombor: Dan menyingkirkan struktur empat tingkat . Dari sudut pandangan formal, tidak kira bagaimana anda membuat keputusan, tetapi terdapat perbezaan yang ketara! Sila fikirkan dengan teliti tentang:
ialah nombor kompleks;
ialah hasil bagi dua nombor kompleks ( dan ), tetapi bergantung pada konteks, anda juga boleh mengatakan ini: nombor yang diwakili sebagai hasil bagi dua nombor kompleks.

Penyelesaian Pantas dan jawapan pada akhir pelajaran.

Ungkapan adalah baik, tetapi persamaan adalah lebih baik:

Persamaan dengan pekali kompleks

Bagaimana mereka berbeza daripada persamaan "biasa".? Kemungkinan =)

Berdasarkan ulasan di atas, mari kita mulakan dengan contoh ini:

Contoh 5

Selesaikan persamaan

Dan mukadimah segera "panas pada tumit": pada mulanya bahagian kanan persamaan diletakkan sebagai hasil bagi dua nombor kompleks ( dan 13), dan oleh itu adalah bentuk yang buruk untuk menulis semula keadaan dengan nombor (walaupun ini tidak akan menyebabkan ralat). Perbezaan ini, dengan cara ini, lebih jelas kelihatan dalam pecahan - jika, secara relatifnya, maka nilai ini difahami terutamanya sebagai punca kompleks "penuh" bagi persamaan, dan bukan sebagai pembahagi nombor, dan terutamanya bukan sebagai sebahagian daripada nombor!

Penyelesaian, pada dasarnya, juga boleh diatur langkah demi langkah, tetapi dalam dalam kes ini permainan tidak bernilai lilin. Tugas awal adalah untuk memudahkan semua yang tidak mengandungi "z" yang tidak diketahui, mengakibatkan persamaan dikurangkan kepada bentuk:

Kami dengan yakin memudahkan pecahan tengah:

Kami memindahkan hasilnya ke sebelah kanan dan mencari perbezaannya:

Catatan : dan sekali lagi saya menarik perhatian anda kepada perkara yang bermakna - di sini kita tidak menolak nombor daripada nombor, tetapi membawa pecahan kepada penyebut biasa! Perlu diingatkan bahawa sudah dalam KEMAJUAN penyelesaian tidak dilarang untuk bekerja dengan nombor: , bagaimanapun, dalam contoh yang dipertimbangkan gaya ini lebih berbahaya daripada berguna =)

Menurut peraturan perkadaran, kami menyatakan "zet":

Kini anda boleh membahagi dan mendarab dengan konjugat sekali lagi, tetapi nombor yang mencurigakan serupa dalam pengangka dan penyebut mencadangkan langkah seterusnya:

Jawab:

Untuk menyemak, mari gantikan nilai yang terhasil ke dalam sebelah kiri persamaan asal dan mari kita buat beberapa penyederhanaan:

– bahagian kanan persamaan asal diperolehi, dengan itu punca ditemui dengan betul.

...Sekarang, sekarang... saya akan temukan sesuatu yang lebih menarik untuk anda... ini dia:

Contoh 6

Selesaikan persamaan

Persamaan ini dikurangkan kepada bentuk , yang bermaksud ia adalah linear. Saya rasa petunjuknya jelas - lakukan!

Sudah tentu... bagaimana anda boleh hidup tanpa dia:

Persamaan kuadratik dengan pekali kompleks

Pada pelajaran Nombor kompleks untuk dummies kita belajar bahawa persamaan kuadratik dengan pekali nyata boleh mempunyai punca kompleks konjugasi, selepas itu timbul persoalan logik: mengapa, sebenarnya, pekali itu sendiri tidak boleh menjadi kompleks? Biar saya rumuskan kes am:

Persamaan kuadratik dengan pekali kompleks arbitrari (1 atau 2 daripadanya atau ketiga-tiganya mungkin, khususnya, sah) Ia ada dua dan dua sahaja akar kompleks (mungkin satu atau kedua-duanya sah). Pada masa yang sama, akar (kedua-duanya nyata dan dengan bahagian khayalan bukan sifar) mungkin bertepatan (menjadi gandaan).

Persamaan kuadratik dengan pekali kompleks diselesaikan menggunakan skema yang sama seperti persamaan "sekolah". , dengan beberapa perbezaan dalam teknik pengiraan:

Contoh 7

Cari punca-punca persamaan kuadratik

Penyelesaian: unit khayalan didahulukan, dan, pada dasarnya, anda boleh menyingkirkannya (mendarab kedua-dua belah dengan), bagaimanapun, tidak ada keperluan khusus untuk ini.

Untuk kemudahan, kami menulis pekali:

Jangan kita kehilangan "tolak" ahli percuma! ...Ia mungkin tidak jelas kepada semua orang - saya akan menulis semula persamaan itu bentuk piawai :

Mari kita mengira diskriminasi:

Dan inilah halangan utama:

Permohonan formula am pengekstrakan akar (lihat perenggan terakhir artikel Nombor kompleks untuk dummies ) rumit oleh kesukaran serius yang dikaitkan dengan hujah nombor kompleks radikal (Lihatlah sendiri). Tetapi ada satu lagi, cara "algebra"! Kami akan mencari akar dalam bentuk:

Mari kita segi empat sama kedua-dua belah:

Dua nombor kompleks adalah sama jika bahagian nyata dan khayalannya adalah sama. Oleh itu, kita mendapat sistem berikut:

Sistem ini lebih mudah diselesaikan dengan memilih (cara yang lebih teliti ialah dengan menyatakan daripada persamaan ke-2 - gantikan kepada yang pertama, dapatkan dan selesaikan persamaan biquadratik) . Dengan mengandaikan bahawa pengarang masalah itu bukan raksasa, kami mengemukakan hipotesis bahawa dan adalah integer. Daripada persamaan 1 ia mengikuti bahawa "x" modulo lebih daripada "Y". Di samping itu, produk positif memberitahu kita bahawa yang tidak diketahui adalah tanda yang sama. Berdasarkan perkara di atas, dan memfokuskan pada persamaan ke-2, kami menulis semua pasangan yang sepadan dengannya:

Adalah jelas bahawa persamaan pertama sistem dipenuhi oleh dua pasangan terakhir, dengan itu:

Pemeriksaan perantaraan tidak akan merugikan:

itulah yang perlu diperiksa.

Anda boleh memilih sebagai akar "berfungsi". mana-mana maksudnya. Adalah jelas bahawa lebih baik untuk mengambil versi tanpa "keburukan":

Kami mendapati akarnya, tidak lupa, dengan cara itu, bahawa:

Jawab:

Mari kita semak sama ada punca yang ditemui memenuhi persamaan :

1) Mari kita gantikan:

persamaan sebenar.

2) Mari kita gantikan:

persamaan sebenar.

Oleh itu, penyelesaiannya didapati dengan betul.

Berdasarkan masalah yang baru kita bincangkan:

Contoh 8

Cari punca-punca persamaan

Perlu diingatkan bahawa punca kuasa dua bagi kompleks semata-mata nombor boleh diekstrak dengan mudah menggunakan formula am , Di mana , jadi kedua-dua kaedah ditunjukkan dalam sampel. Kenyataan berguna kedua berkenaan dengan fakta bahawa pengekstrakan awal akar pemalar tidak memudahkan penyelesaian sama sekali.

Kini anda boleh berehat - dalam contoh ini anda akan melarikan diri dengan sedikit ketakutan :)

Contoh 9

Selesaikan persamaan dan semak

Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Perenggan akhir artikel dikhaskan untuk

sistem persamaan dengan nombor kompleks

Mari berehat dan... jangan tegang =) Mari kita pertimbangkan kes paling mudah - sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui:

Contoh 10

Selesaikan sistem persamaan. Bentangkan jawapan dalam bentuk algebra dan eksponen, gambarkan punca dalam lukisan.

Penyelesaian: keadaan itu sendiri menunjukkan bahawa sistem mempunyai penyelesaian yang unik, iaitu, kita perlu mencari dua nombor yang memuaskan kepada setiap persamaan sistem.

Sistem ini benar-benar boleh diselesaikan dengan cara "kekanak-kanakan". (menyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain ) , walau bagaimanapun ia lebih mudah digunakan Formula Cramer . Jom kira penentu utama sistem:

, yang bermaksud sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Saya ulangi bahawa adalah lebih baik untuk meluangkan masa anda dan menulis langkah-langkah dengan seberapa terperinci yang mungkin:

Kami mendarabkan pengangka dan penyebut dengan unit khayalan dan mendapatkan punca pertama:

Begitu juga:

Bahagian sebelah kanan yang sepadan diperolehi, dsb.

Mari buat lukisan:

Mari kita wakili punca dalam bentuk eksponen. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari modul dan hujah mereka:

1) - arctangent "dua" dikira "kurang baik", jadi kita biarkan seperti ini: