Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Równania liniowe.
Równania liniowe- nie jest to najtrudniejszy temat w matematyce szkolnej. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zadziwić nawet wytrenowanego ucznia. Rozwiążmy to?)
Zwykle równanie liniowe definiuje się jako równanie postaci:
topór + B = 0 Gdzie a i b– dowolne liczby.
2x + 7 = 0. Tutaj a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Tutaj a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Tutaj a=12, b=1/2
Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważysz słów: „gdzie aib są dowolnymi liczbami”... A jeśli zauważysz i beztrosko o tym pomyślisz?) W końcu jeśli a=0, b=0(możliwe są dowolne liczby?), wówczas otrzymujemy zabawne wyrażenie:
Ale to nie wszystko! Jeśli, powiedzmy, a=0, A b=5, Okazuje się, że jest to coś zupełnie niezwykłego:
Co jest denerwujące i podważa zaufanie do matematyki, tak...) Szczególnie podczas egzaminów. Ale wśród tych dziwnych wyrażeń musisz także znaleźć X! Które w ogóle nie istnieje. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Nauczymy się to robić. W tej lekcji.
Jak rozpoznać równanie liniowe po jego wyglądzie? Zależy co wygląd.) Sztuczka polega na tym, że nie tylko równania postaci nazywane są równaniami liniowymi topór + B = 0 , ale także dowolne równania, które można sprowadzić do tej postaci poprzez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy spadnie, czy nie?)
W niektórych przypadkach można wyraźnie rozpoznać równanie liniowe. Załóżmy, że mamy równanie, w którym są tylko niewiadome pierwszego stopnia i liczby. A w równaniu nie ma ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I dzielenie przez numer, lub ułamek liczbowy - zapraszamy! Na przykład:
To jest równanie liniowe. Są tu ułamki zwykłe, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itp. i nie ma x w mianownikach, tj. NIE dzielenie przez x. A oto równanie
nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie X są w pierwszym stopniu, ale są dzielenie przez wyrażenie z x. Po uproszczeniu i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe, równanie kwadratowe lub cokolwiek chcesz.
Okazuje się, że nie da się rozpoznać równania liniowego w jakimś skomplikowanym przykładzie, dopóki go prawie nie rozwiążesz. To jest denerwujące. Ale w zadaniach z reguły nie pytają o formę równania, prawda? Zadania wymagają równań decydować. To sprawia, że jestem szczęśliwy.)
Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.
Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identycznych przekształceń równań. Swoją drogą, te przekształcenia (dwa z nich!) stanowią podstawę rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Inaczej mówiąc, rozwiązanie każdy równanie zaczyna się od tych właśnie przekształceń. W przypadku równań liniowych (rozwiązanie) opiera się na tych przekształceniach i kończy się pełną odpowiedzią. Warto skorzystać z linku, prawda?) Co więcej, są tam również przykłady rozwiązywania równań liniowych.
Najpierw spójrzmy na najprostszy przykład. Bez żadnych pułapek. Załóżmy, że musimy rozwiązać to równanie.
x - 3 = 2 - 4x
To jest równanie liniowe. Wszystkie X są ujęte w pierwszej potędze, nie ma dzielenia przez X. Ale tak naprawdę nie ma dla nas znaczenia, jakiego rodzaju jest to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat tutaj jest prosty. Zbierz wszystko, co ma X po lewej stronie równania, wszystko bez X (liczby) po prawej stronie.
Aby to zrobić, musisz przenieść - 4x w lewa strona, oczywiście ze zmianą znaku, i - 3 - w prawo. Swoją drogą, to jest to pierwsze identyczne przekształcenie równań. Zaskoczony? Oznacza to, że nie kliknąłeś linku, ale na próżno...) Otrzymujemy:
x + 4x = 2 + 3
Oto podobne, uważamy:
Czego potrzebujemy do pełnego szczęścia? Tak, aby po lewej stronie znajdował się czysty X! Piątka stoi na przeszkodzie. Pozbycie się piątki z pomocą drugie identyczne przekształcenie równań. Mianowicie dzielimy obie strony równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:
Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest zbyt jasne, dlaczego zapamiętałem tutaj identyczne transformacje? OK. Weźmy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś solidniejszego.
Oto na przykład równanie:
Gdzie zaczynamy? Z X - w lewo, bez X - w prawo? Może tak być. Małe kroki na długiej drodze. Lub możesz od razu, uniwersalnie i w potężny sposób. Jeśli oczywiście masz w swoim arsenale identyczne przekształcenia równań.
Zadam Ci kluczowe pytanie: Co najbardziej nie podoba Ci się w tym równaniu?
95 na 100 osób odpowie: ułamki ! Odpowiedź jest prawidłowa. Pozbądźmy się ich więc. Dlatego zaczynamy od razu druga transformacja tożsamości. Przez co należy pomnożyć ułamek po lewej stronie, aby mianownik został całkowicie zredukowany? Zgadza się, o 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer. Jak możemy się wydostać? Pomnóżmy obie strony przez 12! Te. do wspólnego mianownika. Wtedy zarówno trzy, jak i cztery zostaną zmniejszone. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część całkowicie. Oto jak wygląda pierwszy krok:
Rozszerzanie nawiasów:
Notatka! Licznik ułamka (x+2) Umieściłem to w nawiasie! Dzieje się tak, ponieważ przy mnożeniu ułamków mnożony jest cały licznik! Teraz możesz skrócić ułamki:
Rozwiń pozostałe nawiasy:
Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Przypomnijmy sobie teraz zaklęcie z klasy młodsze: z X - w lewo, bez X - w prawo! I zastosuj tę transformację:
Oto kilka podobnych:
I podziel obie części przez 25, tj. ponownie zastosuj drugą transformację:
To wszystko. Odpowiedź: X=0,16
Uwaga: aby nadać oryginalnemu mylącemu równaniu odpowiednią formę, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) przemiany tożsamości– tłumaczenie lewo-prawo ze zmianą znaku i mnożeniem-dzieleniem równania przez tę samą liczbę. To uniwersalna metoda! Będziemy pracować w ten sposób z każdy równania! Absolutnie każdy. Dlatego cały czas żmudnie powtarzam o tych identycznych przemianach.)
Jak widać zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Bierzemy równanie i upraszczamy je za pomocą identycznych przekształceń, aż otrzymamy odpowiedź. Główne problemy dotyczą tutaj obliczeń, a nie zasady rozwiązania.
Ale... Przy rozwiązywaniu najbardziej elementarnych równań liniowych zdarzają się takie niespodzianki, że potrafią wprawić w silne odrętwienie...) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je specjalnymi przypadkami.
Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.
Pierwsza niespodzianka.
Załóżmy, że natkniesz się na bardzo podstawowe równanie, na przykład:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Lekko znudzeni przesuwamy go z X w lewo, bez X - w prawo... Po zmianie znaku wszystko jest idealne... Otrzymujemy:
2x-5x+3x=5-2-3
Liczymy i... ups!!! Otrzymujemy:
Ta równość sama w sobie nie budzi zastrzeżeń. Zero naprawdę jest zerem. Ale brakuje X! I musimy zapisać w odpowiedzi, ile wynosi x? W przeciwnym razie rozwiązanie się nie liczy, prawda...) Impas?
Spokój! W takich wątpliwych przypadkach uratują Cię najbardziej ogólne zasady. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po podstawieniu do oryginalne równanie, da nam prawdziwą równość.
Ale mamy prawdziwą równość już stało się! 0=0, o ile dokładniejsze?! Pozostaje dowiedzieć się, przy którym x to się dzieje. Na jakie wartości X można podstawić oryginalny równanie, jeśli te x czy nadal zostaną zredukowane do zera? Pospiesz się?)
Tak!!! X można zastąpić każdy! Który chcesz? Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. Nadal będą się zmniejszać. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości X oryginalny równanie i obliczenia. Cały czas będziesz dostawał czystą prawdę: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tak dalej.
Oto Twoja odpowiedź: x - dowolna liczba.
Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. Jest to całkowicie poprawna i pełna odpowiedź.
Druga niespodzianka.
Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Oto co zdecydujemy:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:
Lubię to. Rozwiązaliśmy równanie liniowe i otrzymaliśmy dziwną równość. Mówienie język matematyczny, mamy fałszywa równość. I mówienie w prostym języku, to nie jest prawda. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest bardzo dobrym powodem do prawidłowego rozwiązania równania.)
Znowu myślimy w oparciu o Główne zasady. Co dadzą nam x, po podstawieniu do pierwotnego równania PRAWDA równość? Tak, żaden! Nie ma takich X. Bez względu na to, co włożysz, wszystko zostanie zredukowane, pozostaną tylko bzdury.)
Oto Twoja odpowiedź: nie ma rozwiązań.
To także całkowicie pełna odpowiedź. W matematyce często można znaleźć takie odpowiedzi.
Lubię to. Mam nadzieję, że zniknięcie X w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania nie wprawi Cię w żadne zamieszanie. To już znana sprawa.)
Teraz, gdy uporaliśmy się ze wszystkimi pułapkami równań liniowych, sensowne jest ich rozwiązanie.
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Jedna z najważniejszych umiejętności kiedy przyjęcie do 5 klasy to umiejętność rozwiązywania prostych równań. Od 5 klasy nie jest jeszcze tak daleko Szkoła Podstawowa, to nie ma zbyt wielu rodzajów równań, które uczeń może rozwiązać. Zapoznamy Cię ze wszystkimi podstawowymi typami równań, które musisz umieć rozwiązać, jeśli chcesz wstąpić do szkoły fizyki i matematyki.
Typ 1: „bulwiasty”
Są to równania, z którymi prawie najprawdopodobniej się zetkniesz przyjęcie do dowolnej szkoły lub świetlica 5-klasowa jako osobne zadanie. Łatwo je odróżnić od innych: w nich zmienna występuje tylko raz. Na przykład lub.
Rozwiązuje się je bardzo prosto: wystarczy „dotrzeć” w nieznane, stopniowo „usuwając” wszystko, co niepotrzebne, co go otacza - jak obieranie cebuli - stąd nazwa. Aby go rozwiązać, wystarczy zapamiętać kilka zasad z drugiej klasy. Wymieńmy je wszystkie:
Dodatek
- człon 1 + człon 2 = suma
- term1 = suma - term2
- term2 = suma - term1
Odejmowanie
- Minuend - odejmowanie = różnica
- Minuend = odejmowanie + różnica
- subtrahend = minus - różnica
Mnożenie
- współczynnik1 * współczynnik2 = iloczyn
- czynnik1 = iloczyn: czynnik2
- czynnik2 = iloczyn: czynnik1
Dział
- dywidenda: dzielnik = iloraz
- dywidenda = dzielnik * iloraz
- dzielnik = dywidenda: iloraz
Spójrzmy na przykład zastosowania tych zasad.
Zauważ, że dzielimy 
dalej i otrzymujemy. W tej sytuacji znamy dzielnik i iloraz. Aby znaleźć dywidendę, należy pomnożyć dzielnik przez iloraz:
Zbliżyliśmy się trochę do siebie. Teraz to widzimy 
dodaje się i okazuje się. Oznacza to, że aby znaleźć jeden z wyrazów, należy od sumy odjąć znany wyraz:
I kolejna „warstwa” została usunięta z nieznanego! Teraz widzimy sytuację z znana wartość iloczyn () i jeden znany czynnik ().
Teraz sytuacja wygląda następująco: „minuend – subtrahend = różnica”
Ostatnim krokiem jest znany iloczyn () i jeden z czynników () 
Typ 2: równania w nawiasach
Równania tego typu najczęściej spotykane są w problemach - dla 90% wszystkich problemów przyjęcie do 5 klasy. w odróżnieniu „równania cebuli” zmienna tutaj może wystąpić kilka razy, więc nie da się jej rozwiązać metodami z poprzedniego akapitu. Typowe równania: lub
Główną trudnością jest prawidłowe otwarcie zamków. Gdy już uda ci się to zrobić poprawnie, powinieneś zredukować podobne wyrazy (liczby do liczb, zmienne do zmiennych), a potem otrzymamy najprostszą „równanie cebuli” które możemy rozwiązać. Ale najpierw najważniejsze.
Rozwijanie nawiasów. Podamy kilka zasad, w których warto się zastosować w tym przypadku. Ale, jak pokazuje praktyka, uczeń zaczyna poprawnie otwierać nawiasy dopiero po 70-80 rozwiązanych zadaniach. Podstawowa zasada jest następująca: każdy współczynnik poza nawiasami należy pomnożyć przez każdy wyraz w nawiasach. A znak minus przed nawiasem zmienia znak wszystkich wyrażeń w środku. Zatem podstawowe zasady ujawniania informacji: 
Przynosząc podobne. Tutaj wszystko jest znacznie łatwiejsze: przenosząc terminy przez znak równości, musisz upewnić się, że po jednej stronie są tylko terminy z niewiadomą, a po drugiej - tylko liczby. Podstawowa zasada jest taka: każdy termin przeniesiony przez zmienia swój znak – jeśli był z, stanie się z i odwrotnie. Po udanym przeniesieniu należy policzyć całkowitą liczbę niewiadomych, całkowitą liczbę po drugiej stronie równości niż zmienne i rozwiązać proste „równanie cebuli”.
W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych rozwiązywanych przy użyciu tego samego algorytmu - dlatego nazywane są one najprostszymi.
Najpierw zdefiniujmy: co to jest równanie liniowe i które nazywa się najprostszym?
Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i tylko do pierwszego stopnia.
Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:
Wszystkie pozostałe równania liniowe sprowadzamy do najprostszych za pomocą algorytmu:
- Rozwiń nawiasy, jeśli występują;
- Przesuń terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
- Podaj podobne wyrazy po lewej i prawej stronie znaku równości;
- Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $x$.
Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasem po tych wszystkich zabiegach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zeru. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:
- Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy okaże się, że $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej liczba różna od zera. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku powodom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
- Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy równanie zostało sprowadzone do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że niezależnie od tego, jakie $x$ podstawimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zeru”, tj. poprawna równość liczbowa.
Zobaczmy teraz, jak to wszystko działa na przykładach z życia wziętych.
Przykłady rozwiązywania równań
Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie równanie liniowe oznacza dowolną równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i dotyczy tylko pierwszego stopnia.
Takie konstrukcje rozwiązuje się w przybliżeniu w ten sam sposób:
- Przede wszystkim należy rozwinąć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
- Następnie połącz podobnie
- Na koniec wyizoluj zmienną, tj. przesuń wszystko, co jest związane ze zmienną – terminy, w jakich jest ona zawarta – na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.
Następnie z reguły trzeba podać podobne po każdej stronie powstałej równości, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik „x” i otrzymamy ostateczną odpowiedź.
W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni uczniowie szkół średnich mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zazwyczaj błędy popełniane są podczas otwierania nawiasów lub przy obliczaniu „plusów” i „minusów”.
Ponadto zdarza się, że równanie liniowe w ogóle nie ma rozwiązań lub że rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przyjrzymy się tym subtelnościom podczas dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od samego proste zadania.
Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych
Najpierw napiszę jeszcze raz cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:
- Rozwiń nawiasy, jeśli występują.
- Izolujemy zmienne, tj. Przenosimy wszystko, co zawiera „X” na jedną stronę, a wszystko bez „X” na drugą.
- Przedstawiamy podobne terminy.
- Wszystko dzielimy przez współczynnik „x”.
Oczywiście ten schemat nie zawsze działa; są w nim pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.
Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych
Zadanie nr 1
Pierwszy krok polega na otwarciu nawiasów. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten krok. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Uwaga: mówimy tylko o warunkach indywidualnych. Zapiszmy to:
Podobne terminy prezentujemy po lewej i prawej stronie, ale tutaj zostało to już zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Więc otrzymaliśmy odpowiedź.
Zadanie nr 2
W tym zadaniu widzimy nawiasy, więc rozwińmy je:
Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy mniej więcej ten sam projekt, ale postępujmy zgodnie z algorytmem, tj. oddzielanie zmiennych:
Oto kilka podobnych:
U jakich korzeni to działa? Odpowiedź: dla każdego. Zatem możemy napisać, że $x$ jest dowolną liczbą.
Zadanie nr 3
Trzecie równanie liniowe jest bardziej interesujące:
\[\lewo(6-x \prawo)+\lewo(12+x \prawo)-\lewo(3-2x \prawo)=15\]
Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, są po prostu poprzedzone różnymi znakami. Podzielmy je:
Wykonujemy drugi znany nam już krok:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Zróbmy matematykę:
Wykonujemy ostatni krok - dzielimy wszystko przez współczynnik „x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
O czym należy pamiętać przy rozwiązywaniu równań liniowych
Jeśli pominiemy zbyt proste zadania, chciałbym powiedzieć, co następuje:
- Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
- Nawet jeśli są korzenie, może być wśród nich zero - nie ma w tym nic złego.
Zero to taka sama liczba jak pozostałe; nie powinieneś go w żaden sposób dyskryminować ani zakładać, że jeśli otrzymasz zero, oznacza to, że zrobiłeś coś złego.
Kolejna funkcja związana jest z otwieraniem nawiasów. Uwaga: jeśli przed nimi znajduje się „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zmieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć za pomocą standardowych algorytmów: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.
Zrozumienie tego prostego faktu pomoże ci uniknąć popełniania głupich i bolesnych błędów w szkole średniej, gdy robienie takich rzeczy jest oczywiste.
Rozwiązywanie złożonych równań liniowych
Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej złożone i przy wykonywaniu różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Nie powinniśmy się jednak tego bać, gdyż jeśli zgodnie z zamysłem autora rozwiązujemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową z pewnością się zniosą.
Przykład nr 1
Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:
Przyjrzyjmy się teraz prywatności:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Oto kilka podobnych:
Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc napiszemy to w odpowiedzi:
\[\varnic\]
albo nie ma korzeni.
Przykład nr 2
Wykonujemy te same czynności. Pierwszy krok:
Przesuńmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:
Oto kilka podobnych:
Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc zapiszemy je w ten sposób:
\[\varnic\],
albo nie ma korzeni.
Niuanse rozwiązania
Obydwa równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny przekonaliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: pierwiastków może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele pierwiastków. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, oba po prostu nie mają pierwiastków.
Chciałbym jednak zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je otwierać, jeśli przed nimi znajduje się znak minus. Rozważ to wyrażenie:
Przed otwarciem musisz pomnożyć wszystko przez „X”. Uwaga: mnoży się każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa terminy - odpowiednio dwa terminy i pomnożone.
I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można otworzyć nawias z punktu widzenia tego, że po nim znajduje się znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, gdy przekształcenia zostaną zakończone, pamiętamy, że przed nawiasem jest znak minus, co oznacza, że wszystko poniżej po prostu zmienia znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.
To samo robimy z drugim równaniem:
To nie przypadek, że zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie nieumiejętność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności powoduje, że licealiści przychodzą do mnie i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.
Oczywiście nadejdzie dzień, kiedy udoskonalisz te umiejętności do punktu automatyzmu. Nie będziesz już musiał za każdym razem wykonywać tylu przekształceń; zapiszesz wszystko w jednej linii. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.
Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych
To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.
Zadanie nr 1
\[\lewo(7x+1 \prawo)\lewo(3x-1 \prawo)-21((x)^(2))=3\]
Pomnóżmy wszystkie elementy w pierwszej części:
Zadbajmy o prywatność:
Oto kilka podobnych:
Dokończmy ostatni krok:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Oto nasza ostateczna odpowiedź. I mimo że w rozwiązywaniu mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to znosiły się one nawzajem, przez co równanie było liniowe, a nie kwadratowe.
Zadanie nr 2
\[\lewo(1-4x \prawo)\lewo(1-3x \prawo)=6x\lewo(2x-1 \prawo)\]
Wykonajmy ostrożnie pierwszy krok: pomnóż każdy element z pierwszego nawiasu przez każdy element z drugiego. Po przekształceniach powinny powstać w sumie cztery nowe terminy:
Teraz ostrożnie wykonajmy mnożenie w każdym wyrazie:
Przesuńmy terminy z „X” w lewo, a te bez – w prawo:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Oto podobne terminy:
Po raz kolejny otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.
Niuanse rozwiązania
Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest następująca: gdy tylko zaczniemy mnożyć nawiasy zawierające więcej niż jeden wyraz, robimy to według następującej zasady: pierwszy wyraz bierzemy z pierwszego i mnożymy przez każdy element z drugi; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element drugiego. W rezultacie będziemy mieli cztery kadencje.
O sumie algebraicznej
W tym ostatnim przykładzie chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7 dolarów rozumiemy prostą konstrukcję: odejmij siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Tym właśnie różni się suma algebraiczna od zwykłej sumy arytmetycznej.
Gdy tylko podczas wykonywania wszystkich przekształceń, każdego dodawania i mnożenia zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz miał żadnych problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.
Na koniec spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie sprawdziliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.
Rozwiązywanie równań z ułamkami
Aby rozwiązać takie zadania, będziemy musieli dodać do naszego algorytmu jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę Ci nasz algorytm:
- Otwórz nawiasy.
- Oddzielne zmienne.
- Przynieś podobne.
- Podziel przez stosunek.
Niestety, ten wspaniały algorytm, przy całej swojej skuteczności, okazuje się nie do końca odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. Jak zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek zarówno po lewej, jak i po prawej stronie.
Jak pracować w tym przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać do algorytmu jeszcze jeden krok, który można wykonać zarówno przed, jak i po pierwszej akcji, a mianowicie pozbycie się ułamków. Zatem algorytm będzie następujący:
- Pozbądź się ułamków.
- Otwórz nawiasy.
- Oddzielne zmienne.
- Przynieś podobne.
- Podziel przez stosunek.
Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? Dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe w swoim mianowniku, tj. Wszędzie mianownik jest po prostu liczbą. Dlatego jeśli pomnożymy obie strony równania przez tę liczbę, pozbędziemy się ułamków.
Przykład nr 1
\[\frac(\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo))(4)=((x)^(2))-1\]
Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Uwaga: wszystko jest mnożone raz przez „cztery”, tj. to, że masz dwa nawiasy, nie oznacza, że musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Zapiszmy:
\[\lewo(2x+1 \prawo)\lewo(2x-3 \prawo)=\lewo(((x)^(2))-1 \prawo)\cdot 4\]
Teraz rozwińmy:
Wykluczamy zmienną:
Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych:
\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Mamy ostateczna decyzja, przejdźmy do drugiego równania.
Przykład nr 2
\[\frac(\lewo(1-x \prawo)\lewo(1+5x \prawo))(5)+((x)^(2))=1\]
Tutaj wykonujemy te same czynności:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem jest rozwiązany.
Właściwie to wszystko, co chciałem wam dzisiaj powiedzieć.
Kluczowe punkty
Kluczowe ustalenia to:
- Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
- Możliwość otwierania nawiasów.
- Nie martw się, jeśli zobaczysz funkcje kwadratowe najprawdopodobniej w procesie dalszych przekształceń ulegną zmniejszeniu.
- Istnieją trzy rodzaje pierwiastków w równaniach liniowych, nawet najprostszych: jeden pojedynczy pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem i nie ma żadnych pierwiastków.
Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś nie jest jasne, wejdź na stronę i rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka Cię jeszcze wiele ciekawych rzeczy!
Nawiasy służą do wskazania kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach numerycznych, dosłownych i zmiennych. Wygodnie jest przejść od wyrażenia z nawiasami do identycznie równego wyrażenia bez nawiasów. Technika ta nazywa się nawiasami otwierającymi.
Rozszerzanie nawiasów oznacza usuwanie nawiasów z wyrażenia.
Na szczególną uwagę zasługuje jeszcze jedna kwestia, która dotyczy specyfiki zapisywania decyzji podczas otwierania nawiasów. Wyrażenie początkowe możemy zapisać w nawiasach, a wynik uzyskany po otwarciu nawiasów jako równość. Na przykład po rozwinięciu nawiasów zamiast wyrażenia
3−(5−7) otrzymujemy wyrażenie 3−5+7. Obydwa wyrażenia możemy zapisać jako równość 3−(5−7)=3−5+7.
I jeszcze jeden ważny punkt. W matematyce, aby skrócić oznaczenia, zwyczajowo nie pisze się znaku plus, jeśli pojawia się on jako pierwszy w wyrażeniu lub w nawiasie. Na przykład, jeśli dodamy dwie liczby dodatnie, na przykład siedem i trzy, to napiszemy nie +7+3, ale po prostu 7+3, mimo że siedem jest również liczbą dodatnią. Podobnie, jeśli widzisz na przykład wyrażenie (5+x) - wiedz, że przed nawiasem znajduje się plus, którego nie zapisuje się, a przed piątką plus +(+5+x).
Zasada otwierania nawiasów podczas dodawania
Otwierając nawiasy, jeśli przed nawiasami znajduje się plus, to plus ten jest pomijany wraz z nawiasami.
Przykład. Otwórz nawiasy w wyrażeniu 2 + (7 + 3) Przed nawiasami znajduje się plus, co oznacza, że nie zmieniamy znaków przed liczbami w nawiasach.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Zasada otwierania nawiasów podczas odejmowania
Jeśli przed nawiasami znajduje się minus, to ten minus jest pomijany wraz z nawiasami, ale wyrazy znajdujące się w nawiasach zmieniają swój znak na przeciwny. Brak znaku przed pierwszym wyrazem w nawiasie oznacza znak +.
Przykład. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 - (7 + 3)
Przed nawiasami znajduje się minus, co oznacza, że należy zmienić znaki przed liczbami w nawiasach. W nawiasach przed liczbą 7 nie ma znaku, oznacza to, że siedem jest dodatnie, uważa się, że przed nią znajduje się znak +.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Otwierając nawiasy, usuwamy z przykładu minus znajdujący się przed nawiasami, a same nawiasy 2 - (+ 7 + 3) i zmieniamy znaki znajdujące się w nawiasach na przeciwne.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Rozwijanie nawiasów podczas mnożenia
Jeżeli przed nawiasem znajduje się znak mnożenia, to każda liczba w nawiasie jest mnożona przez współczynnik znajdujący się przed nawiasem. W tym przypadku pomnożenie minusa przez minus daje plus, a pomnożenie minusa przez plus, podobnie jak pomnożenie plusa przez minus, daje minus.
W ten sposób nawiasy w iloczynach są rozwijane zgodnie z rozdzielną właściwością mnożenia.
Przykład. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Kiedy mnożysz nawias przez nawias, każdy wyraz w pierwszym nawiasie jest mnożony przez każdy wyraz w drugim nawiasie.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Tak naprawdę nie trzeba pamiętać wszystkich zasad, wystarczy zapamiętać tylko jedną, tę: c(a−b)=ca−cb. Dlaczego? Ponieważ jeśli podstawisz jeden zamiast c, otrzymasz regułę (a-b)=a-b. A jeśli podstawimy minus jeden, otrzymamy regułę −(a−b)=−a+b. Cóż, jeśli zastąpisz inny nawias zamiast c, możesz uzyskać ostatnią regułę.
Nawiasy otwierające podczas dzielenia
Jeżeli po nawiasie znajduje się znak dzielenia, to każda liczba w nawiasie jest dzielona przez dzielnik znajdujący się po nawiasie i odwrotnie.
Przykład. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3
Jak rozwinąć zagnieżdżone nawiasy
Jeśli wyrażenie zawiera zagnieżdżone nawiasy, są one rozwijane w odpowiedniej kolejności, zaczynając od nawiasów zewnętrznych lub wewnętrznych.
W takim przypadku ważne jest, aby otwierając jeden z nawiasów, nie dotykać pozostałych nawiasów, a po prostu przepisać je tak, jak są.
Przykład. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Ta część równania to wyrażenie w nawiasach. Aby otworzyć nawiasy, spójrz na znak przed nawiasami. Jeśli występuje znak plus, otwarcie nawiasów w wyrażeniu niczego nie zmieni: wystarczy usunąć nawiasy. Jeśli podczas otwierania nawiasów znajduje się znak minus, należy zmienić wszystkie znaki, które pierwotnie znajdowały się w nawiasach, na przeciwne. Na przykład -(2x-3)=-2x+3.
Mnożenie dwóch nawiasów.
Jeśli równanie zawiera iloczyn dwóch nawiasów, otwarcie nawiasów zgodnie z standardowa zasada. Każdy wyraz w pierwszym nawiasie jest mnożony przez każdy wyraz w drugim nawiasie. Otrzymane liczby są sumowane. W tym przypadku iloczyn dwóch „plusów” lub dwóch „minusów” daje terminowi znak „plus”, a jeśli czynniki mają różne znaki, następnie otrzymuje znak minus.
Rozważmy.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Otwierając nawiasy, czasami podnosząc wyrażenie do . Wzory na kwadraty i sześciany należy znać na pamięć i pamiętać.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Wzory do konstruowania wyrażenia większego niż trzy można wykonać za pomocą trójkąta Pascala.
Źródła:
- wzór na rozwinięcie nawiasu
Ujęte w nawiasy operacje matematyczne może zawierać zmienne i wyrażenia różnym stopniu trudności. Aby pomnożyć takie wyrażenia, będziesz musiał poszukać rozwiązania w ogólna perspektywa, otwierając nawiasy i upraszczając wynik. Jeśli nawiasy zawierają operacje bez zmiennych, tylko z wartościami liczbowymi, to otwieranie nawiasów nie jest konieczne, ponieważ jeśli mamy komputer, jego użytkownik ma dostęp do bardzo znaczących zasobów obliczeniowych - łatwiej jest z nich skorzystać niż uprościć wyrażenie.
Instrukcje
Jeśli chcesz otrzymać wynik w postaci ogólnej, pomnóż kolejno każdy (lub koniec z ) zawarty w jednym nawiasie przez zawartość wszystkich pozostałych nawiasów. Na przykład niech oryginalne wyrażenie zostanie zapisane w następujący sposób: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Następnie mnożenie sekwencyjne (czyli otwieranie nawiasów) da następujący wynik: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x3 - 2∗x3.
Uprość wynik, skracając wyrażenia. Przykładowo wyrażenie uzyskane w poprzednim kroku można uprościć w następujący sposób: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x3 + 12∗x² - x∗x3 - 2∗x3 = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x3 - x∗x3.
Użyj kalkulatora, jeśli chcesz pomnożyć x równe 4,75, czyli (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Aby obliczyć tę wartość należy wejść na stronę wyszukiwarki Google lub Nigma i w polu zapytania wpisać wyrażenie w oryginalnej postaci (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google natychmiast wyświetli 82.265625, bez klikania przycisku, ale Nigma musi wysłać dane na serwer jednym kliknięciem.
