Utrata pierwiastków równania może wystąpić, gdy. Lekcja „Równoważność równań Sprawdzanie pierwiastków

Temat równań trygonometrycznych rozpoczyna się od wykładu szkolnego, który ma formę rozmowy heurystycznej. Na wykładzie omawiany jest materiał teoretyczny oraz przykłady rozwiązywania wszystkich typowych problemów zgodnie z planem:

• Najprostsze równania trygonometryczne.
• Podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
• Równania jednorodne.

Na kolejnych lekcjach rozpoczyna się samodzielny rozwój umiejętności, oparty na zastosowaniu zasady wspólnego działania nauczyciela i ucznia. W pierwszej kolejności ustalane są cele dla uczniów, tj. zdeterminowane jest, kto nie chce wiedzieć więcej, niż wymagają tego standardy państwowe, a kto jest gotowy zrobić więcej.

Diagnoza końcowa tworzona jest z uwzględnieniem zróżnicowania poziomów, co pozwala uczniom świadomie określić minimalny poziom wiedzy niezbędny do otrzymania oceny „3”. Na tej podstawie dobierane są wielopoziomowe materiały służące do diagnozy wiedzy uczniów. Taka praca pozwala na indywidualne podejście do uczniów, włączając wszystkich w świadome działania edukacyjne, rozwijając umiejętności samoorganizacji i samokształcenia oraz zapewniając przejście do aktywnego, samodzielnego myślenia.

Seminarium prowadzone jest po przećwiczeniu podstawowych umiejętności rozwiązywania równań trygonometrycznych. Na kilka lekcji przed seminarium studenci otrzymują pytania, które będą omawiane w trakcie seminarium.

Seminarium składa się z trzech części.

1. Część wprowadzająca obejmuje cały materiał teoretyczny, w tym wprowadzenie do problemów, które pojawią się przy rozwiązywaniu złożonych równań.

2. W drugiej części omówiono rozwiązanie równań postaci:

• i cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• równania rozwiązywalne poprzez zmniejszenie stopnia.

W równaniach tych zastosowano uniwersalne podstawienie, wzory redukcji stopni i metodę argumentów pomocniczych.

3. W części trzeciej omówiono problematykę utraty i nabycia korzeni obce korzenie. Pokazuje, jak wybrać korzenie.

Uczniowie pracują w grupach. Aby rozwiązać przykłady, wzywa się dobrze przeszkolonych chłopaków, którzy mogą pokazać i wyjaśnić materiał.

Seminarium przeznaczone jest dla studenta dobrze przygotowanego, ponieważ... porusza kwestie nieco wykraczające poza zakres materiału programowego. Obejmuje równania o bardziej złożonej postaci, a zwłaszcza omawia problemy napotykane przy rozwiązywaniu złożonych równań trygonometrycznych.

Seminarium odbyło się dla uczniów klas 10-11. Każdy uczeń miał okazję poszerzyć i pogłębić swoją wiedzę na ten temat, porównać poziom swojej wiedzy nie tylko z wymaganiami stawianymi absolwentowi szkoły, ale także z wymaganiami stawianymi przystępującym do V.U.Z.

SEMINARIUM

Temat:„Rozwiązywanie równań trygonometrycznych”

Cele:

• Uogólnienie wiedzy na temat rozwiązywania równań trygonometrycznych wszystkich typów.
• Skoncentruj się na problemach: utrata korzeni;

obce korzenie; wybór korzenia.

POSTĘP LEKCJI.

I. Część wprowadzająca

• 1. Podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych
• Faktoryzacja.
• Wprowadzenie nowej zmiennej.

Funkcjonalna metoda graficzna.

• 2. Niektóre typy równań trygonometrycznych.

Równania sprowadzające się do równań kwadratowych w odniesieniu do cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

• Rozwiązuje się je poprzez wprowadzenie nowej zmiennej.

Równania jednorodne pierwszego i drugiego stopnia Równanie pierwszego stopnia:

Asinx + Bcosx = 0 podziel przez cos x, otrzymamy Atg x + B = 0 Równanie drugiego stopnia:

Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 podziel przez cos 2 x, otrzymamy Atg 2 x + Btgx + C = 0

Rozwiązuje się je poprzez faktoryzację i wprowadzenie nowej zmiennej.

• Obowiązują wszystkie metody.

Nachylenie:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Rozwiązane metodą faktoryzacji.

• 2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C. Równanie postaci:

A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Zredukowane do kwadratu w odniesieniu do t = sinx + cosx;

grzech2x = t 2 – 1.

• 3. Formuły.
• x + 2n; Sprawdzenie jest wymagane!

Stopień malejący: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; grzech 2 x = (1 – cos 2x): 2

Metoda argumentacji pomocniczej.

Zamieńmy Acosx + Bsinx na Csin (x + ), gdzie sin = a/C; cos=v/c;

• – argument pomocniczy.
• 4. Zasady.
• Jeśli widzisz kwadrat, obniż stopień.

Jeśli zobaczysz kawałek, zrób kwotę.

• Jeśli widzisz kwotę, wykonaj pracę. 5. Utrata korzeni, dodatkowe korzenie.

• Dodatkowe korzenie: podniesione do równej mocy; pomnóż przez g(x) (pozbądź się mianownika).

Dzięki tym operacjom rozszerzamy zakres definicji.

II. Przykłady równań trygonometrycznych

1) 1. Równania w postaci Asinx + Bcosx = C

Uniwersalna substytucja.O.D.Z. x – dowolne.

3 grzech 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = ty x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z. Badanie:

3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 grzech + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Jest pierwiastkiem równania. Odpowiedź:

2) x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

Funkcjonalna metoda graficzna. O.D.Z. x – dowolne.
Sinx – cosx = 1

Sinx = cosx + 1.

x = /2 + n, n e Z. Jest pierwiastkiem równania. Narysujmy funkcje: y = sinx, y = cosx + 1.

3) x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

Wprowadzenie argumentu pomocniczego. O.D.Z.: x – dowolne.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, ponieważ (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, to istnieje takie, że grzech = 8/17,

x = /2 + n, n e Z. Jest pierwiastkiem równania. cos = 15/17, co oznacza sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Zmniejszenie rzędu: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). grzech 2 3x + grzech 2 4x + grzech 2 6x + grzech 2 7x = 2. O.D.Z.: x – dowolne.
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
sałata 6x + sałata 8x + sałata 12x + sałata 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0

x = /2 + n, n e Z. Jest pierwiastkiem równania. cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

Na k = 1 i m = 0

k = 4 i m = 1.

seriale są takie same.

3. Redukcja do jednorodności. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.
1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – dowolne.
5 grzech 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 grzech 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) nie można podzielić przez cos 2 x, ponieważ tracimy pierwiastki.
cos 2 x = 0 spełnia równanie.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.

x = /2 + n, n e Z. Jest pierwiastkiem równania. x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Równanie postaci: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.
1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – dowolne.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1. < 2
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t |
2 t 2 – 5 t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = grzech(x + /2),
sinx + grzech(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
grzech(x + /4) = 1/22;

x = /2 + n, n e Z. Jest pierwiastkiem równania. x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktoryzacja.
1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),

(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.
1) cosx = 2, bez pierwiastków.
2) cosx + 2 sinx = 0

x = /2 + n, n e Z. Jest pierwiastkiem równania. 2tgx + 1 = 0

III. Problemy pojawiające się przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych

1. Utrata pierwiastków: podziel przez g(x); Używamy niebezpiecznych formuł.

1) Znajdź błąd.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 ze wzoru.
2 grzech 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 podzielić przez 2 grzech 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Utracone korzenie sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Prawidłowe rozwiązanie: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

grzech 2x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Obce pierwiastki: pozbywamy się mianownika; podnieść do równej potęgi.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). os3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 grzech 2/3 = 3/2 nie zadowalaj. O.D.Z. 2. n = 1 grzech 2 = 0 zadowolić O.D.Z. 3. n = 2 grzech 2/3 = –3 / 2 zadowolić O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 grzech 2/6 = 3/2 nie zadowalają O.D.Z. 2. k = 1 grzech 2*5/6 = –3 / 2 zadowolić O.D.Z.

x = /2 + n, n e Z. Jest pierwiastkiem równania. x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Na ostatniej lekcji zastosowaliśmy trzy kroki do rozwiązania równań.

Pierwszy etap ma charakter techniczny. Korzystając z łańcucha przekształceń z pierwotnego równania, dochodzimy do dość prostego, które rozwiązujemy i znajdujemy pierwiastki.

Drugi etap to analiza rozwiązania. Analizujemy przekształcenia, które wykonaliśmy i sprawdzamy, czy są one równoważne.

Trzeci etap to weryfikacja. Sprawdzenie wszystkich znalezionych pierwiastków poprzez podstawienie ich do pierwotnego równania jest obowiązkowe przy wykonywaniu przekształceń, które mogą prowadzić do równania następstwa

Czy przy rozwiązywaniu równania zawsze konieczne jest rozróżnienie trzech etapów?

Oczywiście, że nie. Jak na przykład przy rozwiązywaniu tego równania. W życie codzienne zwykle nie są odizolowani. Ale o wszystkich tych etapach należy „pamiętać” i przeprowadzać je w takiej czy innej formie. Konieczne jest zbadanie równoważności przekształceń. A jeśli analiza wykaże, że należy przeprowadzić kontrolę, jest ona obowiązkowa. W przeciwnym razie równanie nie może zostać uznane za rozwiązane poprawnie.

Czy zawsze można sprawdzić pierwiastki równania tylko przez podstawienie?

Jeżeli przy rozwiązywaniu równania zastosowano przekształcenia równoważne, weryfikacja nie jest wymagana. Przy sprawdzaniu pierwiastków równania bardzo często stosuje się ODZ (dopuszczalny zakres wartości). Jeżeli sprawdzenie za pomocą ODZ jest trudne, wówczas dokonuje się tego poprzez podstawienie go do pierwotnego równania.

Zadanie 1

Rozwiąż równanie pierwiastek kwadratowy dwa x plus trzy równa się jeden plus x.

Rozwiązanie

ODZ równania jest wyznaczany przez układ dwóch nierówności: dwa x plus trzy jest większe lub równe zero i jeden plus x jest większe lub równe zero. Rozwiązaniem jest x większe lub równe minus jeden.

Podstawmy obie strony równania do kwadratu, przenieś wyrazy z jednej strony równania na drugą, przyprowadź podobne wyrazy, otrzymamy równanie kwadratowe X do kwadratu równa się dwa. Jego korzenie są

x pierwszy, drugi równa się plus lub minus pierwiastek kwadratowy z dwóch.

Badanie

Wartość x pierwsza jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch i jest pierwiastkiem równania, ponieważ jest uwzględniona w ODZ.
Wartość x sekundy równa się minus pierwiastek kwadratowy z dwóch nie jest pierwiastkiem równania, ponieważ nie jest on uwzględniony w DZ.
Sprawdźmy, czy pierwiastek x jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch, podstawiając go do pierwotnej równości, otrzymamy

równość jest prawdziwa, co oznacza, że ​​x równa się pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch, co jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: pierwiastek kwadratowy z dwóch.

Zadanie 2

Rozwiąż równanie pierwiastek kwadratowy z x minus osiem równa się pięć minus x.

Rozwiązanie

ODZ równania irracjonalnego jest wyznaczana przez układ dwóch nierówności: x minus osiem jest większe lub równe zero i pięć minus x jest większe lub równe zero. Rozwiązując go, okazuje się, że ten układ nie ma rozwiązań. Pierwiastkiem równania nie może być żadna z wartości zmiennej x.

Odpowiedź: brak korzeni.

Zadanie 3

Rozwiąż równanie pierwiastek kwadratowy z x do sześcianu plus cztery x minus jeden minus osiem pierwiastki kwadratowe x do potęgi czwartej minus x jest równe pierwiastkowi kwadratowemu x do sześcianu minus jeden plus dwa pierwiastki kwadratowe z x.

Rozwiązanie

Znalezienie ODZ w tym równaniu jest dość trudne.

Przeprowadźmy transformację: podnieś obie strony tego równania do kwadratu,

przenieś wszystkie terminy do lewa strona równania i przyprowadź podobne wyrazy, napisz dwa pierwiastki pod jeden, uzyskaj podobne rodniki, przynieś podobne, podziel przez współczynnik minus 12 i uwzględnij wyrażenie pierwiastkowe, otrzymamy równanie w postaci iloczynu dwóch czynników równych zero. Po rozwiązaniu problemu znajdujemy korzenie:

x pierwsze jest równe jeden, x drugie jest równe zero.

Ponieważ podnieśliśmy obie strony równania do parzystej potęgi, sprawdzenie pierwiastków jest obowiązkowe.

Badanie

Jeśli x jest równe jeden, to

otrzymujemy poprawną równość, co oznacza, że ​​x równa się jeden jest pierwiastkiem równania.

Jeśli x wynosi zero, to pierwiastek kwadratowy z minus jeden jest nieokreślony.

Oznacza to, że x równe zero jest obcym pierwiastkiem.

Odpowiedź: jedna.

Zadanie 4

Rozwiąż równanie logarytm wyrażenia x kwadrat plus pięć x plus dwa przy podstawie dwa równa się trzy.

Rozwiązanie

Znajdźmy równanie ODZ. Aby to zrobić, rozwiązujemy nierówność x kwadrat plus pięć x plus dwa przez zero.

Nierówność rozwiązujemy metodą przedziałową. Aby to zrobić, rozkładamy na czynniki jego lewą stronę, po wcześniejszym rozwiązaniu równania kwadratowego i biorąc pod uwagę znak nierówności, określamy ODZ. ODZ jest równy sumie promieni otwartych od minus nieskończoności do minus ułamek pięć plus pierwiastek kwadratowy z siedemnaście podzielony przez dwa i od minus ułamek pięć minus pierwiastek kwadratowy z siedemnaście podzielony przez dwa do plus nieskończoność.

Teraz zacznijmy znajdować pierwiastki równania. Biorąc pod uwagę, że trzy jest równe logarytmowi ośmiu do podstawy dwa, zapisujemy równanie w następujący sposób: logarytm wyrażenia x kwadrat plus pięć x plus dwa do podstawy dwa jest równy logarytmowi ośmiu do podstawy dwa. Wzmocnijmy równanie, otrzymajmy i rozwiążmy równanie kwadratowe.

Wyróżnikiem jest czterdzieści dziewięć.

Oblicz pierwiastki:

x pierwszy jest równy minus sześć; x sekunda równa się jeden.

Badanie

Minus sześć należy do ODZ, jeden należy do ODZ, co oznacza, że ​​obie liczby są pierwiastkami równania.

Odpowiedź: minus sześć; jeden.

Na ostatniej lekcji przyjrzeliśmy się kwestii pojawiania się obcych korzeni. Możemy je wykryć poprzez weryfikację. Czy można stracić korzenie przy rozwiązywaniu równania i jak temu zapobiec?

Wykonując takie działania na równaniu, jak po pierwsze, dzieląc obie strony równania tym samym wyrażeniem ax od x (z wyjątkiem przypadków, gdy wiadomo na pewno, że ax od x nie jest równy zero dla dowolnego x od dziedzina definicji równania);

po drugie, zawężanie OD równania podczas procesu rozwiązywania może prowadzić do utraty pierwiastków równania.

Pamiętać!

Równanie zapisane jako

ef od x pomnożony przez popiół z x jest równy zhe od x pomnożony przez popiół z x rozwiązuje się w ten sposób:

musisz dokonać rozkładu na czynniki, umieszczając wspólny czynnik w nawiasach;

następnie przyrównaj każdy czynnik do zera, uzyskując w ten sposób dwa równania.

Obliczamy ich pierwiastki.

Zadanie 1

Rozwiąż równanie x sześcian równa się x.

Pierwszy sposób

Dzielimy obie strony tego równania przez x, otrzymujemy x kwadrat równa się jeden, mając pierwiastek x pierwszy równa się jeden,

x sekunda równa się minus jeden.

Drugi sposób

X sześcian równa się X. Przesuńmy x na lewą stronę równania, usuńmy x z nawiasów i otrzymamy: x pomnożone przez x kwadrat minus jeden równa się zero.

Obliczmy jego pierwiastki:

X pierwsze jest równe zero, x drugie jest równe jeden, x trzecie jest równe minus jeden.

Równanie ma trzy pierwiastki.

Rozwiązując pierwszą metodę straciliśmy jeden pierwiastek - x równa się zero.

Odpowiedź: minus jeden; zero; jeden.

Pamiętać! Zmniejszenie obu stron równania o czynnik zawierający niewiadomą może spowodować utratę pierwiastków.

Zadanie 2

Rozwiąż równanie: logarytm dziesiętny x kwadrat jest równy dwa.

Rozwiązanie

Pierwszy sposób

Z definicji logarytmu otrzymujemy równanie kwadratowe x kwadrat równa się sto.

Jego pierwiastki: x pierwszy równa się dziesięć; X sekunda równa się minus dziesięć.

Drugi sposób

Z własności logarytmów wynika, że ​​mamy dwa logarytmy dziesiętne x równa się dwa.

Jego pierwiastek - x jest równy dziesięć

W przypadku drugiej metody pierwiastek x równy minus dziesięć został utracony. A powodem jest to, że zastosowali złą formułę, zawężając zakres równania. Wyrażenie logarytmu dziesiętnego x kwadrat jest zdefiniowane dla wszystkich x z wyjątkiem x równego zero. Wyrażenie logarytmu dziesiętnego x jest takie, że x jest większe od zera. Prawidłowy wzór na logarytm dziesiętny x kwadrat wynosi dwa logarytmy dziesiętne moduł x.

Pamiętać! Rozwiązując równanie, mądrze korzystaj z dostępnych wzorów.

§ 1. ZGUBIONE I WYKRĘCONE KORZENIE PRZY ROZWIĄZYWANIU RÓWNAŃ (WEDŁUG PRZYKŁADÓW)

MATERIAŁ ODNIESIENIA

1. Dwa twierdzenia w § 3 rozdziału VII mówiły o tym, jakie działania na równaniach nie naruszają ich równoważności.

2. Rozważmy teraz takie operacje na równaniach, które mogą prowadzić do nowego równania, nierównego pierwotnemu równaniu. Zamiast rozważań ogólnych ograniczymy się do rozważenia tylko konkretnych przykładów.

3. Przykład 1. Mając równanie, otwórzmy nawiasy w tym równaniu, przesuńmy wszystkie wyrazy na lewą stronę i rozwiążmy równanie kwadratowe. Jego korzenie są

Jeśli zmniejszymy obie strony równania przez wspólny współczynnik, otrzymamy równanie, które jest różne od pierwotnego, ponieważ ma tylko jeden pierwiastek

Zatem zmniejszenie obu stron równania o czynnik zawierający niewiadomą może spowodować utratę pierwiastków równania.

4. Przykład 2. Biorąc pod uwagę równanie. To równanie ma jeden pierwiastek. Podstawmy obie strony tego równania do kwadratu i otrzymamy dwa pierwiastki:

Widzimy, że nowe równanie nie jest równoważne pierwotnemu równaniu. Pierwiastek jest pierwiastkiem równania, które po podniesieniu obu stron do kwadratu prowadzi do równania

5. Obce pierwiastki mogą również pojawić się, gdy obie strony równania zostaną pomnożone przez współczynnik zawierający niewiadomą, jeśli czynnik ten zniknie dla rzeczywistych wartości x.

Przykład 3. Jeżeli pomnożymy obie strony równania przez to otrzymamy nowe równanie, które po przeniesieniu wyrazu z prawej strony na lewą i rozłożeniu na czynniki daje równanie albo

Pierwiastek nie spełnia równania, które ma tylko jeden pierwiastek

Stąd wyciągamy wnioski: przy podnoszeniu obu stron równania do kwadratu (ogólnie do parzystej potęgi), a także przy mnożeniu przez współczynnik zawierający niewiadomą i znikający przy rzeczywistych wartościach nieznanego, mogą pojawić się obce pierwiastki.

Wszystkie wyrażone tutaj rozważania na temat utraty i pojawienia się obcych pierwiastków równania odnoszą się w równym stopniu do wszelkich równań (algebraicznych, trygonometrycznych itp.).

6. Równanie nazywa się algebraicznym, jeśli na nieznanej wykonywane są tylko operacje algebraiczne - dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcja pierwiastka z wykładnikiem naturalnym (a liczba takich operacji jest skończona).

Na przykład równania

są algebraiczne, a równania

ZĘBY. Zęby kręgowców mają całkowicie podobną budowę i rozwój do łusek placoidalnych pokrywających całą skórę rekinów. Ponieważ wszystko jama ustna, a częściowo jama gardłowa, jest wyłożona nabłonkiem ektodermalnym, typowym placoidalnym... ...

GRUŹLICA PŁUC- GRUŹLICA PŁUC. Spis treści: I. Anatomia patologiczna...........110 II. Klasyfikacja gruźlicy płuc.... 124 III. Klinika............................128 IV. Diagnostyka............................160 V. Rokowanie.............. ........... 190 VI. Leczenie … Wielka encyklopedia medyczna

ZATRUCIE- ZATRUCIE. Zatrucie oznacza „zaburzenia funkcji zwierząt”. organizmu, wywołane czynnikami egzogennymi lub endogennymi, chemicznie lub fizycznie i chemicznie składniki aktywne, które są obce pod względem jakości, ilości czy stężenia... ... Wielka encyklopedia medyczna

Bakterie guzkowe roślin strączkowych- Dane paleontologiczne wskazują, że najstarszymi roślinami strączkowymi posiadającymi guzki były niektóre rośliny należące do grupy Eucaesalpinioideae. U gatunki współczesne odkryto guzki roślin strączkowych... Encyklopedia biologiczna

Lista odcinków serialu animowanego „Luntik”- W artykule brakuje linków do źródeł informacji. Informacje muszą być weryfikowalne, w przeciwnym razie mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Można... Wikipedia

ROŚLINY I ŚRODOWISKO- Życie rośliny, jak każdego innego żywego organizmu, to złożony zestaw powiązanych ze sobą procesów; najważniejszym z nich, jak wiadomo, jest metabolizm środowisko. Środowisko jest źródłem, z którego... ... Encyklopedia biologiczna

Lista odcinków serialu „Luntik”- Główny artykuł: Przygody Luntika i jego przyjaciół Spis treści 1 Liczba odcinków 2 Lista odcinków serialu animowanego Luntik i jego przyjaciele ... Wikipedia

Choroby drzew owocowych- Drzewa owocowe, dzięki ciągłej opiece człowieka, powinny osiągnąć znacznie starszy wiek niż ich nieuprawni krewni, gdyby nie przeciwdziałające wpływy wielu uwarunkowań samej kultury, a mianowicie stawianych przez nas wymagań... ...

Wycinka lasu- Pozyskiwanie lasu, czyli pozyskiwanie dochodów leśnych w postaci drewna i kory, można przeprowadzić na dwa sposoby: poprzez wykopanie lub wyrwanie całych drzew, tj. pni wraz z korzeniami, lub osobno, w częściach, uprzednio ściętych lub usuniętych z... ... Słownik encyklopedyczny F. Brockhausa i I.A. Efrona

Grosz- (polski grosz, od niemieckiego grosza, od łacińskiego Grossus (dēnārius) „gruby denar”) moneta różnych krajów i czasów. Spis treści 1 Wygląd grosza… Wikipedia

Monety amerykańskie- 20 dolarów Saint Gaudens jest najpiękniejszy i droga moneta Monety USA Monety USA bite przez Mennicę Stanów Zjednoczonych. Produkowane od 1792 roku... Wikipedia

Książki

• Główne przyczyny wypadania włosów u kobiet, Alexey Michman, Sześć na dziesięć kobiet cierpi na wypadanie włosów w którymś momencie swojego życia. Wypadanie włosów może wystąpić z wielu powodów, takich jak dziedziczność, zmiany hormonalne w... Kategoria:

Przy rozwiązywaniu równań najczęściej stosuje się następujące przekształcenia:

Inne transformacje

W wykazie przedstawionym w poprzednim akapicie celowo nie uwzględniliśmy takich przekształceń, jak podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi naturalnej, logarytmu, wzmocnienie obu stron równania, wyciągnięcie pierwiastka tego samego stopnia z obu stron równania równanie, uwalnianie funkcja zewnętrzna i inne. Faktem jest, że te przekształcenia nie są tak ogólne: przekształcenia z powyższej listy służą do rozwiązywania równań wszystkich typów, a wspomniane przekształcenia służą do rozwiązywania niektórych typów równań (wymiernych, wykładniczych, logarytmicznych itp.). Omówiono je szczegółowo w ramach odpowiednich metod rozwiązywania odpowiednich typów równań. Poniżej linki do ich szczegółowych opisów:

• Podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi naturalnej.
• Obliczanie logarytmów obu stron równania.
• Wzmocnienie obu stron równania.
• Wyodrębnianie pierwiastka tej samej potęgi z obu stron równania.
• Zastąpienie wyrażenia odpowiadającego jednej z części pierwotnego równania wyrażeniem z innej części pierwotnego równania.

Podane linki zawierają wyczerpujące informacje na temat wymienionych przekształceń. Dlatego w tym artykule nie będziemy się już nad nimi rozwodzić. Wszystkie dalsze informacje dotyczą przekształceń z listy przekształceń podstawowych.

Co się stanie w wyniku przekształcenia równania?

Dokonanie wszystkich powyższych przekształceń może dać albo równanie, które ma te same pierwiastki co równanie pierwotne, albo równanie, którego pierwiastki zawierają wszystkie pierwiastki pierwotnego równania, ale które może mieć także inne pierwiastki, lub równanie, którego pierwiastki nie będą uwzględnij wszystkie pierwiastki przekształconego równania. W kolejnych akapitach przeanalizujemy, które z tych przekształceń i w jakich warunkach prowadzą do jakich równań. Jest to niezwykle ważne, aby wiedzieć, jak skutecznie rozwiązywać równania.

Przekształcenia równoważne równań

Szczególnie interesujące są przekształcenia równań, w wyniku których powstają równania równoważne, to znaczy równania, które mają ten sam zestaw pierwiastków, co równanie pierwotne. Takie przekształcenia nazywane są równoważne transformacje. W podręcznikach szkolnych odpowiednia definicja nie jest podana wprost, ale łatwo ją odczytać z kontekstu:

Definicja

Przekształcenia równoważne równań są transformacjami dającymi równoważne równania.

Dlaczego więc równoważne transformacje są interesujące? Faktem jest, że jeśli za ich pomocą możliwe będzie przejście z rozwiązywanego równania do dość prostego równania równoważnego, wówczas rozwiązanie tego równania da pożądane rozwiązanie pierwotnego równania.

Z przekształceń wymienionych w poprzednim akapicie nie wszystkie są zawsze równoważne. Niektóre przekształcenia są równoważne tylko pod pewnymi warunkami. Zróbmy listę stwierdzeń określających, które przekształcenia i pod jakimi warunkami są równoważnymi przekształceniami równania. W tym celu za podstawę przyjmiemy powyższą listę, a do przekształceń, które nie zawsze są równoważne, dodamy warunki nadające im równoważność. Oto lista:

• Zastąpienie wyrażenia znajdującego się po lewej lub prawej stronie równania wyrażeniem, które nie zmienia zmiennych w równaniu, jest równoważną transformacją równania.

Wyjaśnijmy dlaczego tak jest. W tym celu bierzemy równanie z jedną zmienną (podobne rozumowanie można przeprowadzić dla równań z kilkoma zmiennymi) w postaci A(x)=B(x), wyrażenia po jego lewej i prawej stronie oznaczyliśmy jako A( x) i B(x), odpowiednio. Niech wyrażenie C(x) będzie identycznie równe wyrażeniu A(x), a ODZ zmiennej x równania C(x)=B(x) pokrywa się z ODZ zmiennej x dla pierwotnego równania. Udowodnijmy, że przekształcenie równania A(x)=B(x) w równanie C(x)=B(x) jest przekształceniem równoważnym, czyli udowodnimy, że równania A(x)=B (x) i C(x) =B(x) są równoważne.

Aby to zrobić, wystarczy pokazać, że dowolny pierwiastek pierwotnego równania jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x), a każdy pierwiastek równania C(x)=B(x) jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Zacznijmy od pierwszej części. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x), wówczas podstawiając je za x otrzymamy poprawną równość liczbową A(q)=B(q). Ponieważ wyrażenia A(x) i C(x) są identycznie równe i wyrażenie C(q) ma sens (wynika to z warunku, że OD dla równania C(x)=B(x) pokrywa się z OD dla równania pierwotne równanie), to równość liczbowa A(q)=C(q) jest prawdziwa. Następnie korzystamy z własności równości numerycznych. Ze względu na własność symetrii równość A(q)=C(q) można przepisać jako C(q)=A(q) . Następnie, ze względu na własność przechodniości, z równości C(q)=A(q) i A(q)=B(q) wynika równość C(q)=B(q). Dowodzi to, że q jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x) .

Część drugą, a wraz z nią całe twierdzenie jako całość, dowodzi się w sposób absolutnie analogiczny.

Istota analizowanej transformacji równoważnej jest następująca: pozwala ona na odrębną pracę z wyrażeniami po lewej i prawej stronie równań, zastępując je identycznie równymi wyrażeniami na pierwotnym ODZ zmiennych.

Najbardziej trywialny przykład: sumę liczb po prawej stronie równania x=2+1 możemy zastąpić jego wartością, co da nam równoważne równanie w postaci x=3. Rzeczywiście zastąpiliśmy wyrażenie 2+1 identycznym wyrażeniem 3, a ODZ równania nie uległo zmianie. Inny przykład: po lewej stronie równania 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 możemy, a po prawej – , co doprowadzi nas do równoważnego równania 3·x+ 6=5·x+ 3. Otrzymane równanie jest w istocie równoważne, ponieważ zastąpiliśmy wyrażenia identycznie równymi wyrażeniami i jednocześnie otrzymaliśmy równanie, którego OD pokrywa się z OD pierwotnego równania.

• Dodanie tej samej liczby do obu stron równania lub odjęcie tej samej liczby od obu stron równania jest równoważną transformacją równania.

Udowodnimy, że dodanie tej samej liczby c do obu stron równania A(x)=B(x) daje równoważne równanie A(x)+c=B(x)+c, a odejmowanie od obu stron równania A(x) =B(x) tej samej liczby c daje równoważne równanie A(x)−c=B(x)−c.

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x), to równość A(q)=B(q) jest prawdziwa. Właściwości równości liczbowych pozwalają nam dodawać do obu stron prawdziwej równości liczbowej lub odejmować tę samą liczbę od jej części. Oznaczmy tę liczbę jako c, wówczas obowiązują równości A(q)+c=B(q)+c i A(q)−c=B(q)−c. Z tych równości wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x)+c=B(x)+c i równania A(x)−c=B(x)−c.

Teraz z powrotem. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)+c=B(x)+c i równania A(x)−c=B(x)−c, wówczas A(q)+c=B(q) +c i A (q)−c=B(q)−c . Wiemy, że odjęcie tej samej liczby od obu stron prawdziwej równości liczbowej daje prawdziwą równość liczbową. Wiemy również, że dodanie poprawnej równości liczbowej do obu stron daje poprawną równość liczbową. Odejmijmy liczbę c od obu stron prawidłowej równości liczbowej A(q)+c=B(q)+c i dodaj liczbę c do obu stron równości A(x)−c=B(x) −c. To da nam poprawne równości liczbowe A(q)+c−c=B(q)+c−c i A(q)−c+c=B(q)+c−c, z których wnioskujemy, że A (q) =B(q) . Z ostatniej równości wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x).

To potwierdza pierwotne stwierdzenie jako całość.

Podajmy przykład takiej transformacji równań. Weźmy równanie x−3=1 i przekształćmy je, dodając do obu stron liczbę 3, po czym otrzymamy równanie x−3+3=1+3, które jest równoważne pierwotnemu. Oczywiste jest, że w otrzymanym równaniu można wykonywać operacje na liczbach, jak omówiliśmy w poprzednim akapicie listy, w wyniku czego mamy równanie x=4. Zatem wykonując równoważne przekształcenia, przypadkowo rozwiązaliśmy równanie x−3=1, którego pierwiastkiem jest liczba 4. Rozważana transformacja równoważna jest bardzo często stosowana w celu pozbycia się identycznych terminów liczbowych znajdujących się w różne części równania Na przykład zarówno po lewej, jak i po lewej stronie właściwe części równanie x 2 +1=x+1 istnieje ten sam wyraz 1, odejmowanie liczby 1 od obu stron równania pozwala przejść do równoważnego równania x 2 +1−1=x+1−1 i dalej do równania równoważne równanie x 2 = x, więc pozbądź się tych identycznych terminów.

• Dodanie do obu stron równania lub odejmowanie od obu stron równania wyrażenia, dla którego ODZ nie jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, jest transformacją równoważną.

Udowodnijmy to stwierdzenie. Oznacza to, że udowadniamy, że równania A(x)=B(x) i A(x)+C(x)=B(x)+C(x) są równoważne pod warunkiem, że ODZ dla wyrażenia C(x ) nie jest już , niż ODZ dla równania A(x)=B(x) .

Najpierw udowodnimy jeden punkt pomocniczy. Udowodnijmy, że w podanych warunkach równania ODZ przed i po transformacji są takie same. Rzeczywiście, ODZ dla równania A(x)+C(x)=B(x)+C(x) można uznać za przecięcie ODZ dla równania A(x)=B(x) i ODZ dla wyrażenia C(x). Z tego oraz z faktu, że ODZ dla wyrażenia C(x) nie jest węższa warunkowo niż ODZ dla równania A(x)=B(x), wynika, że ​​ODZ dla równań A(x)= B(x) i A (x)+C(x)=B(x)+C(x) są takie same.

Teraz udowodnimy równoważność równań A(x)=B(x) i A(x)+C(x)=B(x)+C(x), pod warunkiem, że przedziały dopuszczalnych wartości dla nich równania są takie same. Nie będziemy udowadniać równoważności równań A(x)=B(x) i A(x)−C(x)=B(x)−C(x) w podanym warunku, gdyż jest ono podobne .

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x), to równość liczbowa A(q)=B(q) jest prawdziwa. Ponieważ ODZ równań A(x)=B(x) i A(x)+C(x)=B(x)+C(x) są takie same, to wyrażenie C(x) ma sens przy x =q, co oznacza, że ​​C(q) jest pewną liczbą. Jeśli dodamy C(q) do obu stron prawidłowej równości liczbowej A(q)=B(q), otrzymamy poprawną nierówność liczbową A(q)+C(q)=B(q)+C(q ) , z czego wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Z powrotem. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)+C(x)=B(x)+C(x), wówczas A(q)+C(q)=B(q)+C(q) jest prawdziwa równość liczbowa. Wiemy, że odjęcie tej samej liczby od obu stron prawdziwej równości liczbowej daje prawdziwą równość liczbową. Odejmij C(q) od obu stron równości A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , otrzymasz A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) i dalej A(q)=B(q) . Zatem q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x).

Zatem twierdzenie, o którym mowa, zostało w pełni udowodnione.

Podajmy przykład tej transformacji. Weźmy równanie 2 x+1=5 x+2. Możemy dodać do obu stron, na przykład, wyrażenie −x−1. Dodanie tego wyrażenia nie spowoduje zmiany ODZ, co oznacza, że ​​taka transformacja jest równoważna. W rezultacie otrzymujemy równoważne równanie 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Równanie to można dalej przekształcić: otwórz nawiasy i skróć podobne wyrazy po jego lewej i prawej stronie (patrz pierwsza pozycja na liście). Po wykonaniu tych działań otrzymujemy równoważne równanie x=4·x+1. Często stosuje się transformację rozważanych równań, aby pozbyć się identycznych wyrazów, które znajdują się jednocześnie po lewej i prawej stronie równania.

• Jeśli przesuniesz wyraz w równaniu z jednej części do drugiej, zmieniając znak tego wyrazu na przeciwny, otrzymasz równanie równoważne danemu.

To stwierdzenie jest konsekwencją poprzednich.

Pokażmy, jak przeprowadza się tę równoważną transformację równania. Weźmy równanie 3·x−1=2·x+3. Przesuńmy wyraz np. 2x z prawej strony na lewą, zmieniając jego znak. W tym przypadku otrzymujemy równoważne równanie 3·x−1−2·x=3. Możesz także przesunąć minus jeden z lewej strony równania na prawo, zmieniając znak na plus: 3 x−2 x=3+1. Wreszcie, sprowadzenie podobnych terminów prowadzi nas do równoważnego równania x=4.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą niezerową liczbę jest równoważną transformacją.

Podajmy dowód.

Niech A(x)=B(x) będzie równaniem, a c liczbą różną od zera. Udowodnimy, że pomnożenie lub podzielenie obu stron równania A(x)=B(x) przez liczbę c jest równoważną transformacją równania. W tym celu udowadniamy, że równania A(x)=B(x) i A(x) c=B(x) c oraz równania A(x)=B(x) i A(x) :c= B(x):c - odpowiednik. Można to zrobić w ten sposób: udowodnij, że dowolny pierwiastek równania A(x)=B(x) jest pierwiastkiem równania A(x) c=B(x) c i pierwiastkiem równania A(x) :c=B(x) :c , a następnie udowodnij, że dowolny pierwiastek równania A(x) c=B(x) c , jak każdy pierwiastek równania A(x):c=B(x):c jest pierwiastkiem równania A(x) =B(x) . Zróbmy to.

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x) . Wtedy równość liczbowa A(q)=B(q) jest prawdziwa. Po przestudiowaniu właściwości równości liczbowych dowiedzieliśmy się, że mnożenie lub dzielenie obu stron prawdziwej równości numerycznej przez tę samą liczbę inną niż zero prowadzi do prawdziwej równości liczbowej. Mnożąc obie strony równości A(q)=B(q) przez c, otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q) c=B(q) c, z której wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A( x) c= B(x)·c . I dzieląc obie strony równości A(q)=B(q) przez c, otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q):c=B(q):c, z której wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równanie A(x):c =B(x):c .

Teraz w innym kierunku. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x) c=B(x) c. Wtedy A(q)·c=B(q)·c jest prawdziwą równością liczbową. Dzieląc obie jego części przez niezerową liczbę c, otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q)·c:c=B(q)·c:c i dalej A(q)=B(q) . Wynika z tego, że q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x). Jeśli q jest pierwiastkiem równania A(x):c=B(x):c . Wtedy A(q):c=B(q):c jest prawdziwą równością liczbową. Mnożąc obie jej części przez niezerową liczbę c, otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q):c·c=B(q):c·c i dalej A(q)=B(q) . Wynika z tego, że q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x).

Stwierdzenie zostało udowodnione.

Podajmy przykład tej transformacji. Za jego pomocą możesz na przykład pozbyć się ułamków w równaniu. Aby to zrobić, możesz pomnożyć obie strony równania przez 12. Wynikiem jest równoważne równanie postaci , które można następnie przekształcić w równoważne równanie 7 x−3=10, które nie zawiera ułamków w swoim zapisie.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, którego OD nie jest węższe niż OD pierwotnego równania i nie znika wraz z OD pierwotnego równania, jest transformacją równoważną.

Udowodnijmy to stwierdzenie. W tym celu udowadniamy, że jeśli ODZ dla wyrażenia C(x) nie jest węższy niż ODZ dla równania A(x)=B(x), a C(x) nie znika na ODZ dla równania A(x)=B(x) , to równania A(x)=B(x) i A(x) C(x)=B(x) C(x), a także równania A(x) =B(x) i A( x):C(x)=B(x):C(x) - równoważne.

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x) . Wtedy A(q)=B(q) jest prawdziwą równością liczbową. Z faktu, że ODZ dla wyrażenia C(x) nie jest tym samym ODZ dla równania A(x)=B(x), wynika, że ​​wyrażenie C(x) ma sens, gdy x=q. Oznacza to, że C(q) jest pewną liczbą. Ponadto C(q) jest niezerowe, co wynika z warunku, że wyrażenie C(x) nie zanika. Jeśli pomnożymy obie strony równości A(q)=B(q) przez niezerową liczbę C(q), otrzymamy poprawną równość liczbową A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , z czego wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Jeśli podzielimy obie strony równości A(q)=B(q) przez niezerową liczbę C(q), otrzymamy poprawną równość liczbową A(q):C(q)=B(q): C(q) , z czego wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Z powrotem. Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Wtedy A(q)·C(q)=B(q)·C(q) jest prawdziwą równością liczbową. Należy zauważyć, że ODZ dla równania A(x) C(x)=B(x) C(x) jest takie samo jak ODZ dla równania A(x)=B(x) (uzasadniliśmy to w jednym z poprzednie akapity aktualna lista). Ponieważ C(x) według warunku nie znika na ODZ dla równania A(x)=B(x), wówczas C(q) jest liczbą różną od zera. Dzieląc obie strony równości A(q)·C(q)=B(q)·C(q) przez niezerową liczbę C(q) , otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) i dalej A(q)=B(q) . Wynika z tego, że q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x). Jeśli q jest pierwiastkiem równania A(x):C(x)=B(x):C(x) . Wtedy A(q):C(q)=B(q):C(q) jest prawdziwą równością liczbową. Mnożąc obie strony równości A(q):C(q)=B(q):C(q) przez niezerową liczbę C(q) otrzymujemy poprawną równość liczbową A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) i dalej A(q)=B(q) . Wynika z tego, że q jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x).

Stwierdzenie zostało udowodnione.

Dla jasności podajemy przykład przeprowadzenia zdemontowanej transformacji. Podzielmy obie strony równania x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) przez wyrażenie x 2 +1. Ta transformacja jest równoważna, ponieważ wyrażenie x 2 +1 nie znika na OD pierwotnego równania, a OD tego wyrażenia nie jest węższe niż OD pierwotnego równania. W wyniku tej transformacji otrzymujemy równanie równoważne x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), które można dalej przekształcić do równoważnego równania x 3 = 8.

Przekształcenia prowadzące do równań wynikowych

W poprzednim akapicie sprawdziliśmy, które przekształcenia z listy przekształceń podstawowych i pod jakimi warunkami są równoważne. Zobaczmy teraz, które z tych przekształceń i w jakich warunkach prowadzą do równań następstwowych, czyli do równań, które zawierają wszystkie pierwiastki przekształconego równania, ale oprócz nich mogą mieć także inne pierwiastki - pierwiastki obce dla pierwotnego równania.

Transformacje prowadzące do równań następczych są potrzebne nie mniej niż równoważne transformacje. Jeśli za ich pomocą możliwe będzie uzyskanie równania dość prostego pod względem rozwiązania, wówczas jego rozwiązanie i późniejsza eliminacja obcych pierwiastków da rozwiązanie pierwotnego równania.

Należy zauważyć, że wszystkie równoważne transformacje można uznać za szczególne przypadki transformacji, które prowadzą do równań następstwowych. Jest to zrozumiałe, ponieważ istnieje równoważne równanie specjalny przypadek równania konsekwencji. Jednak z praktycznego punktu widzenia bardziej przydatna jest wiedza, że ​​rozważana transformacja jest dokładnie równoważna i nie prowadzi do równania wynikowego. Wyjaśnijmy dlaczego tak jest. Jeśli wiemy, że transformacja jest równoważna, wówczas powstałe równanie z pewnością nie będzie miało pierwiastków obcych w stosunku do pierwotnego równania. A transformacja prowadząca do równania wynikowego może być przyczyną pojawienia się obcych pierwiastków, co zobowiązuje nas w przyszłości do przeprowadzenia dodatkowej czynności - odsiewania obcych pierwiastków. Dlatego w tej części artykułu skupimy się na przekształceniach, w wyniku których mogą pojawić się obce pierwiastki dla pierwotnego równania. I naprawdę ważna jest umiejętność odróżnienia takich przekształceń od równoważnych przekształceń, aby jasno zrozumieć, kiedy konieczne jest odfiltrowanie obcych pierwiastków, a kiedy nie jest to konieczne.

Przeanalizujmy całą listę podstawowych przekształceń równań podaną w drugim akapicie tego artykułu w celu wyszukania przekształceń, w wyniku których mogą pojawić się obce pierwiastki.

• Zastępowanie wyrażeń po lewej i prawej stronie równania identycznymi wyrażeniami.

Udowodniliśmy, że ta transformacja jest równoważna, jeśli jej wykonanie nie zmienia OD. A jeśli DL się zmieni, co się stanie? Zwężenie ODZ może prowadzić do utraty korzeni, więcej na ten temat porozmawiamy w następnym akapicie. A wraz z rozwojem ODZ mogą pojawić się obce korzenie. Nie trudno to uzasadnić. Przedstawmy odpowiednie rozumowanie.

Niech wyrażenie C(x) będzie takie, że będzie identyczne z wyrażeniem A(x) i OD dla równania C(x)=B(x) będzie większe niż OD dla równania A(x)=B (X). Udowodnimy, że równanie C(x)=B(x) jest konsekwencją równania A(x)=B(x), a wśród pierwiastków równania C(x)=B(x) może znajdować się być pierwiastkami obcymi dla równania A( x)=B(x) .

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x) . Wtedy A(q)=B(q) jest prawdziwą równością liczbową. Ponieważ ODZ dla równania C(x)=B(x) jest szerszy niż ODZ dla równania A(x)=B(x), to wyrażenie C(x) jest zdefiniowane przy x=q. Następnie, biorąc pod uwagę identyczną równość wyrażeń C(x) i A(x) , dochodzimy do wniosku, że C(q)=A(q) . Z równości C(q)=A(q) i A(q)=B(q), ze względu na własność przechodniości, wynika równość C(q)=B(q). Z tej równości wynika, że ​​q jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x). Dowodzi to, że w określonych warunkach równanie C(x)=B(x) jest konsekwencją równania A(x)=B(x) .

Pozostaje udowodnić, że równanie C(x)=B(x) może mieć pierwiastki inne niż pierwiastki równania A(x)=B(x). Udowodnimy, że dowolny pierwiastek równania C(x)=B(x) z ODZ dla równania A(x)=B(x) jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x). Ścieżka p jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x), należącego do ODZ dla równania A(x)=B(x). Wtedy C(p)=B(p) jest prawdziwą równością liczbową. Ponieważ p należy do ODZ dla równania A(x)=B(x), to wyrażenie A(x) definiuje się dla x=p. Z tego i z identycznej równości wyrażeń A(x) i C(x) wynika, że ​​A(p)=C(p). Z równości A(p)=C(p) i C(p)=B(p) z własności przechodniości wynika, że ​​A(p)=B(p), co oznacza, że ​​p jest pierwiastkiem równanie A(x)= B(x) . Dowodzi to, że dowolny pierwiastek równania C(x)=B(x) z ODZ dla równania A(x)=B(x) jest pierwiastkiem równania A(x)=B(x). Innymi słowy, na ODZ dla równania A(x)=B(x) nie mogą znajdować się pierwiastki równania C(x)=B(x), które są pierwiastkami obcymi dla równania A(x)=B( X). Ale zgodnie z warunkiem ODZ dla równania C(x)=B(x) jest szerszy niż ODZ dla równania A(x)=B(x). A to pozwala na istnienie liczby r należącej do ODZ dla równania C(x)=B(x) i nie należącej do ODZ dla równania A(x)=B(x), która jest pierwiastkiem równania C(x)=B(x). Oznacza to, że równanie C(x)=B(x) może mieć pierwiastki obce równaniu A(x)=B(x) i wszystkie będą należeć do zbioru, do którego należy ODZ dla równania A (x)=B ulega przedłużeniu (x) poprzez zastąpienie w nim wyrażenia A(x) identycznie równym wyrażeniem C(x).

Zatem zastępując wyrażenia po lewej i prawej stronie równania identycznie równymi wyrażeniami, w wyniku czego ODZ rozszerza się, do przypadek ogólny prowadzi do równania następstwowego (to znaczy może prowadzić do pojawienia się obcych pierwiastków) i tylko w konkretnym przypadku prowadzi do równania równoważnego (jeśli powstałe równanie nie ma pierwiastków obcych w stosunku do pierwotnego równania).

Podajmy przykład przeprowadzenia przekształcenia analizowanego. Zastąpienie wyrażenia po lewej stronie równania identycznie równy jej wyrażeniem x·(x−1) prowadzi do równania x·(x−1)=0, w tym przypadku następuje rozwinięcie ODZ – dodawana jest do niego liczba 0. Otrzymane równanie ma dwa pierwiastki 0 i 1, a podstawienie tych pierwiastków do pierwotnego równania pokazuje, że 0 jest zewnętrznym pierwiastkiem pierwotnego równania, a 1 jest pierwiastkiem pierwotnego równania. Rzeczywiście, podstawienie zera do pierwotnego równania daje wyrażenie bez znaczenia , ponieważ zawiera dzielenie przez zero, a podstawienie jedynki daje poprawną równość liczbową , co jest tym samym, co 0=0.

Zauważ, że podobna transformacja podobnego równania do równania (x−1)·(x−2)=0, w wyniku czego ODZ również się rozszerza, nie prowadzi do pojawienia się obcych pierwiastków. Rzeczywiście oba pierwiastki otrzymanego równania (x−1)·(x−2)=0 - liczby 1 i 2 są pierwiastkami pierwotnego równania, co łatwo sprawdzić sprawdzając przez podstawienie. Na tych przykładach chcieliśmy jeszcze raz podkreślić, że zastąpienie wyrażenia po lewej lub prawej stronie równania identycznie równym wyrażeniem, które rozszerza ODZ, niekoniecznie prowadzi do pojawienia się obcych pierwiastków. Ale może to również prowadzić do ich pojawienia się. Jeśli więc taka transformacja nastąpiła w procesie rozwiązywania równania, konieczne jest przeprowadzenie kontroli w celu zidentyfikowania i odfiltrowania obcych pierwiastków.

Najczęściej równanie ODZ może się rozszerzać i mogą pojawiać się obce pierwiastki w wyniku zastąpienia przez zero różnicy identycznych wyrażeń lub sumy wyrażeń z przeciwne znaki, ze względu na zastąpienie przez zero iloczynów jednym lub większą liczbą współczynników zerowych, ze względu na redukcję ułamków oraz ze względu na wykorzystanie właściwości pierwiastków, potęg, logarytmów itp.

• Dodawanie tej samej liczby do obu stron równania lub odejmowanie tej samej liczby od obu stron równania.

Pokazaliśmy powyżej, że ta transformacja jest zawsze równoważna, to znaczy prowadzi do równania równoważnego. Przejdźmy dalej.

• Dodawanie tego samego wyrażenia do obu stron równania lub odejmowanie tego samego wyrażenia od obu stron równania.

W poprzednim akapicie dodaliśmy warunek, że ODZ dla dodawanego lub odejmowanego wyrażenia nie powinien być węższy niż ODZ dla przekształcanego równania. Warunek ten uczynił rozważaną transformację równoważną. Pojawiają się tu argumenty podobne do tych podanych na początku tego akapitu artykułu, dotyczące faktu, że równanie równoważne jest szczególnym przypadkiem równania następstwowego i że wiedza o równoważności przekształcenia jest praktycznie bardziej użyteczna niż wiedza o tym samym transformacji, ale z punktu widzenia tego, że prowadzi ona do równania wynikowego.

Czy można w wyniku dodania lub odjęcia tego samego wyrażenia z obu stron równania otrzymać równanie, które oprócz wszystkich pierwiastków pierwotnego równania będzie miało jeszcze inne pierwiastki? Nie, nie może. Jeżeli ODZ dla dodawanego lub odejmowanego wyrażenia nie jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, to w wyniku dodawania lub odejmowania otrzymamy równanie równoważne. Jeśli ODZ dla dodawanego lub odejmowanego wyrażenia jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, może to prowadzić do utraty pierwiastków, a nie do pojawienia się obcych pierwiastków. Porozmawiamy o tym więcej w następnym akapicie.

• Przeniesienie wyrazu z jednej części równania do drugiej ze znakiem zmienionym na przeciwny.

Ta transformacja równania jest zawsze równoważna. Dlatego nie ma sensu uważać tego za transformację prowadzącą do konsekwencji równania, z powodów podanych powyżej.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę.

W poprzednim akapicie udowodniliśmy, że jeśli mnożenie lub dzielenie obu stron równania odbywa się przez liczbę niezerową, to jest to równoważna transformacja równania. Zatem znowu nie ma sensu mówić o tym jako o transformacji prowadzącej do równania wynikowego.

Ale tutaj warto zwrócić uwagę na zastrzeżenie dotyczące różnicy od zera liczby, przez którą mnożone lub dzielone są obie strony równania. W przypadku podziału ta klauzula jest jasna - z zajęcia podstawowe zdaliśmy sobie z tego sprawę Nie możesz dzielić przez zero. Dlaczego ta klauzula dotycząca mnożenia? Zastanówmy się, co daje pomnożenie obu stron równania przez zero. Dla jasności weźmy konkretne równanie, na przykład 2 x+1=x+5. Jest to równanie liniowe, które ma jeden pierwiastek, czyli liczbę 4. Zapiszmy równanie, które otrzymamy mnożąc obie strony tego równania przez zero: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Oczywiście pierwiastkiem tego równania jest dowolna liczba, ponieważ podstawiając do tego równania dowolną liczbę zamiast zmiennej x, otrzymasz poprawną równość liczbową 0=0. Oznacza to, że w naszym przykładzie pomnożenie obu stron równania przez zero doprowadziło do równania uzupełniającego, które spowodowało pojawienie się nieskończonej liczby obcych pierwiastków w pierwotnym równaniu. Co więcej, warto zauważyć, że w tym przypadku zwykłe metody odsiewania obcych korzeni nie radzą sobie ze swoim zadaniem. Oznacza to, że dokonana transformacja jest bezużyteczna do rozwiązania pierwotnego równania. I to jest sytuacja typowa dla rozważanej transformacji. Dlatego do rozwiązywania równań nie stosuje się transformacji, takiej jak pomnożenie obu stron równania przez zero. Musimy jeszcze przyjrzeć się tej transformacji i innym transformacjom, których nie należy stosować do rozwiązywania równań z ostatniego akapitu.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie.

W poprzednim akapicie udowodniliśmy, że transformacja ta jest równoważna, jeśli spełnione są dwa warunki. Przypomnijmy im. Warunek pierwszy: OD dla tego wyrażenia nie powinna być węższa niż OD dla pierwotnego równania. Warunek drugi: wyrażenie, za pomocą którego dokonuje się mnożenia lub dzielenia, nie może zniknąć z ODZ pierwotnego równania.

Zmieńmy pierwszy warunek, czyli załóżmy, że OD wyrażenia, przez które planujemy pomnożyć lub podzielić obie strony równania, jest węższe niż OD pierwotnego równania. W wyniku takiej transformacji otrzymamy równanie, dla którego ODZ będzie węższy niż ODZ dla równania pierwotnego. Takie przekształcenia mogą prowadzić do utraty korzeni; porozmawiamy o nich w następnym akapicie.

Co się stanie, jeśli usuniemy drugi warunek dotyczący niezerowych wartości wyrażenia, przez które obie strony równania zostaną pomnożone lub podzielone przez ODZ dla pierwotnego równania?

Dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, które znika o OD pierwotnego równania, da równanie, którego OD jest węższy niż OD pierwotnego równania. Rzeczywiście wypadną z niego liczby, zamieniając wyrażenie, za pomocą którego przeprowadzono dzielenie, na zero. Może to prowadzić do utraty korzeni.

A co z pomnożeniem obu stron równania przez to samo wyrażenie, które znika na ODZ pierwotnego równania? Można wykazać, że mnożąc obie strony równania A(x)=B(x) przez wyrażenie C(x) , ODZ dla którego nie jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania i który zanika przy ODZ dla pierwotnego równania otrzymuje się równanie, które jest konsekwencją tego, że oprócz wszystkich pierwiastków równania A(x)=B(x) może ono mieć także inne pierwiastki. Zróbmy to, zwłaszcza, że ​​ten akapit artykułu jest właśnie poświęcony przekształceniom prowadzącym do równań wynikowych.

Niech wyrażenie C(x) będzie takie, że ODZ dla niego nie będzie węższe niż ODZ dla równania A(x)=B(x) , a zniknie na ODZ dla równania A(x)=B(x ) . Udowodnijmy, że w tym przypadku równanie A(x)·C(x)=B(x)·C(x) jest konsekwencją równania A(x)=B(x) .

Niech q będzie pierwiastkiem równania A(x)=B(x) . Wtedy A(q)=B(q) jest prawdziwą równością liczbową. Ponieważ ODZ dla wyrażenia C(x) nie jest węższy niż ODZ dla równania A(x)=B(x), to wyrażenie C(x) jest zdefiniowane przy x=q, co oznacza, że ​​C(q) jest pewną liczbą. Mnożenie obu stron prawdziwej równości liczbowej przez dowolną liczbę daje prawdziwą równość liczbową, zatem A(q)·C(q)=B(q)·C(q) jest prawdziwą równością liczbową. Oznacza to, że q jest pierwiastkiem równania A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Dowodzi to, że dowolny pierwiastek równania A(x)=B(x) jest pierwiastkiem równania A(x) C(x)=B(x) C(x), co oznacza, że ​​równanie A(x) C (x)=B(x)·C(x) jest konsekwencją równania A(x)=B(x) .

Należy zauważyć, że w określonych warunkach równanie A(x)·C(x)=B(x)·C(x) może mieć pierwiastki obce pierwotnemu równaniu A(x)=B(x). Są to wszystkie liczby z ODZ pierwotnego równania, które zamieniają wyrażenie C(x) na zero (wszystkie liczby, które zamieniają wyrażenie C(x) na zero są pierwiastkami równania A(x) C(x)=B (x) C(x) , gdyż ich podstawienie do wskazanego równania daje poprawną równość liczbową 0=0 ), ale które nie są pierwiastkami równania A(x)=B(x) . Równania A(x)=B(x) i A(x)·C(x)=B(x)·C(x) w określonych warunkach będą równoważne, gdy wszystkie liczby z ODZ dla równania A(x )=B (x) , które powodują zniknięcie wyrażenia C(x), są pierwiastkami równania A(x)=B(x) .

Zatem mnożenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, którego ODZ nie jest węższe niż ODZ pierwotnego równania i które znika wraz z ODZ pierwotnego równania, w ogólnym przypadku prowadzi do równania uzupełniającego, które oznacza to, że może to prowadzić do pojawienia się obcych korzeni.

Podajmy przykład ilustrujący. Weźmy równanie x+3=4. Jego jedynym pierwiastkiem jest liczba 1. Pomnóżmy obie strony tego równania przez to samo wyrażenie, które znika wraz z ODZ pierwotnego równania, na przykład przez x·(x−1) . To wyrażenie znika przy x=0 i x=1. Mnożąc obie strony równania przez to wyrażenie, otrzymujemy równanie (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Otrzymane równanie ma dwa pierwiastki: 1 i 0. Liczba 0 jest obcym pierwiastkiem pierwotnego równania, które pojawiło się w wyniku transformacji.

Przekształcenia mogące prowadzić do utraty korzeni

Niektóre konwersje pod pewnymi warunkami mogą prowadzić do utraty korzeni. Na przykład, dzieląc obie strony równania x·(x−2)=x−2 przez to samo wyrażenie x−2, pierwiastek zostaje utracony. Rzeczywiście w wyniku takiej transformacji otrzymuje się równanie x=1 z jednym pierwiastkiem, którym jest liczba 1, a równanie pierwotne ma dwa pierwiastki 1 i 2.

Konieczne jest jasne zrozumienie, kiedy w wyniku przekształceń tracone są pierwiastki, aby nie stracić pierwiastków podczas rozwiązywania równań. Rozwiążmy to.

W wyniku tych przekształceń może nastąpić utrata pierwiastków wtedy i tylko wtedy, gdy ODZ dla przekształconego równania okaże się węższy niż ODZ dla pierwotnego równania.

Aby udowodnić to stwierdzenie, należy uzasadnić dwie kwestie. W pierwszej kolejności należy wykazać, że jeżeli w wyniku wskazanych przekształceń równania nastąpi zawężenie ODZ, to może nastąpić utrata pierwiastków. Po drugie, należy uzasadnić, że jeżeli w wyniku tych przekształceń nastąpi utrata pierwiastków, to ODZ dla otrzymanego równania jest węższy niż ODZ dla równania pierwotnego.

Jeżeli ODZ dla równania otrzymanego w wyniku transformacji jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, to oczywiście żaden pojedynczy pierwiastek pierwotnego równania znajdujący się poza ODZ dla powstałego równania nie może być pierwiastkiem równania uzyskane w wyniku transformacji. Oznacza to, że wszystkie te pierwiastki zostaną utracone przy przejściu od pierwotnego równania do równania, dla którego ODZ jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania.

Teraz z powrotem. Udowodnijmy, że jeśli w wyniku tych przekształceń utracone zostaną pierwiastki, to ODZ dla otrzymanego równania jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania. Można to zrobić metodą odwrotną. Założenie, że w wyniku tych przekształceń następuje utrata korzeni, ale ODZ nie jest zawężony, stoi w sprzeczności ze stwierdzeniami udowodnionymi w poprzednich akapitach. Rzeczywiście z tych stwierdzeń wynika, że ​​jeśli przy przeprowadzaniu wskazanych przekształceń ODZ nie zostanie zawężony, to otrzyma się albo równania równoważne, albo równania następstwowe, co oznacza, że ​​nie może nastąpić utrata pierwiastków.

Zatem przyczyną możliwej utraty pierwiastków podczas przeprowadzania podstawowych przekształceń równań jest zawężenie ODZ. Oczywiste jest, że rozwiązując równania, nie powinniśmy tracić korzeni. Tutaj oczywiście pojawia się pytanie: „Co powinniśmy zrobić, aby nie stracić pierwiastków podczas przekształcania równań?” Odpowiemy na nie w następnym akapicie. Przejrzyjmy teraz listę podstawowych przekształceń równań, aby zobaczyć bardziej szczegółowo, które przekształcenia mogą prowadzić do utraty pierwiastków.

• Zastępowanie wyrażeń po lewej i prawej stronie równania identycznymi wyrażeniami.

Jeśli zastąpisz wyrażenie po lewej lub prawej stronie równania identycznym wyrażeniem, którego OD jest węższe niż OD pierwotnego równania, doprowadzi to do zawężenia OD i z tego powodu pierwiastki może zostać utracony. Najczęściej zastępowanie wyrażeń po lewej lub prawej stronie równań identycznie równymi wyrażeniami, przeprowadzane na podstawie niektórych własności pierwiastków, potęg, logarytmów i niektórych wzory trygonometryczne. Na przykład zastąpienie wyrażenia po lewej stronie równania identycznie równym wyrażeniem zawęża ODZ i prowadzi do utraty pierwiastka -16. Podobnie zastąpienie wyrażenia po lewej stronie równania identycznie równym wyrażeniem prowadzi do równania, dla którego ODZ jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, co pociąga za sobą utratę pierwiastka -3.

• Dodawanie tej samej liczby do obu stron równania lub odejmowanie tej samej liczby od obu stron równania.

Transformacja ta jest równoważna, zatem podczas jej realizacji nie można utracić korzeni.

• Dodawanie tego samego wyrażenia do obu stron równania lub odejmowanie tego samego wyrażenia od obu stron równania.

Jeśli dodasz lub odejmiesz wyrażenie, którego ODZ jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, doprowadzi to do zawężenia ODZ i w konsekwencji do możliwej utraty pierwiastków. Warto o tym pamiętać. Ale tutaj warto zauważyć, że w praktyce zwykle konieczne jest uciekanie się do dodawania lub odejmowania wyrażeń obecnych w zapisie pierwotnego równania, co nie prowadzi do zmiany ODZ i nie pociąga za sobą utraty pierwiastków.

• Przeniesienie wyrazu z jednej części równania do drugiej ze znakiem zmienionym na przeciwny.

Ta transformacja równania jest równoważna, zatem w wyniku jej realizacji pierwiastki nie zostają utracone.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę różną od zera.

Ta transformacja jest również równoważna i dzięki niej nie następuje utrata korzeni.

• Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie.

Transformacja ta może prowadzić do zawężenia OD w dwóch przypadkach: gdy OD wyrażenia, według którego dokonuje się mnożenia lub dzielenia, jest węższe niż OD pierwotnego równania oraz gdy dzielenie odbywa się za pomocą wyrażenia, które staje się zero na OD dla pierwotnego równania. Należy zauważyć, że w praktyce zwykle nie ma potrzeby uciekania się do mnożenia i dzielenia obu stron równania przez wyrażenie o węższym VA. Ale musisz sobie poradzić z dzieleniem przez wyrażenie, które w pierwotnym równaniu zamienia się w zero. Istnieje metoda, która pozwala poradzić sobie z utratą korzeni podczas takiego podziału, o czym porozmawiamy w kolejnym akapicie tego artykułu.

Jak uniknąć utraty korzeni?

Jeśli do przekształcenia równań zastosujemy tylko przekształcenia z i jednocześnie nie dopuścimy do zawężenia ODZ, to utrata pierwiastków nie nastąpi.

Czy to oznacza, że ​​nie można dokonać innych przekształceń równań? Nie, to nie znaczy. Jeśli wymyślisz jakąś inną transformację równania i dokładnie ją opiszesz, to znaczy wskażesz, kiedy prowadzi ona do równań równoważnych, kiedy do równań wynikowych, a kiedy może prowadzić do utraty pierwiastków, to można ją przyjąć.

Czy powinniśmy całkowicie zrezygnować z reform zawężających DPD? Nie powinieneś tego robić. Nie zaszkodzi zachować w swoim arsenale transformacje, w których skończona liczba liczb wypada z ODZ dla pierwotnego równania. Dlaczego nie warto rezygnować z takich przekształceń? Ponieważ w takich przypadkach istnieje metoda uniknięcia utraty korzeni. Polega ona na oddzielnym sprawdzeniu liczb wypadających z ODZ w celu sprawdzenia, czy znajdują się wśród nich pierwiastki pierwotnego równania. Możesz to sprawdzić, podstawiając te liczby do pierwotnego równania. Te z nich, które po podstawieniu dają poprawną równość liczbową, są pierwiastkami pierwotnego równania. Należy je uwzględnić w odpowiedzi. Po takiej kontroli można bezpiecznie przeprowadzić zaplanowaną metamorfozę bez obawy o utratę korzeni.

Typową transformacją, w której ODZ równania zawęża się do kilku liczb, jest podzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie, które w kilku punktach staje się zerem w stosunku do ODZ pierwotnego równania. Transformacja ta jest podstawą metody rozwiązania równania odwrotne. Ale służy również do rozwiązywania innych typów równań. Podajmy przykład.

Równanie można rozwiązać wprowadzając nową zmienną. Aby wprowadzić nową zmienną, należy podzielić obie strony równania przez 1+x. Ale przy takim dzieleniu może wystąpić utrata pierwiastka, ponieważ chociaż ODZ dla wyrażenia 1+x nie jest węższy niż ODZ dla pierwotnego równania, wyrażenie 1+x staje się zerem przy x=−1 i ta liczba należy do ODZ dla pierwotnego równania. Oznacza to, że pierwiastek -1 może zostać utracony. Aby wyeliminować utratę pierwiastka, należy osobno sprawdzić, czy −1 jest pierwiastkiem pierwotnego równania. Aby to zrobić, możesz podstawić -1 do pierwotnego równania i zobaczyć, jaką otrzymasz równość. W naszym przypadku podstawienie daje równość, czyli 4=0. Ta równość jest fałszywa, co oznacza, że ​​-1 nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania. Po takim sprawdzeniu można przeprowadzić zamierzony podział obu stron równania przez 1+x, bez obawy, że może nastąpić utrata pierwiastków.

Na zakończenie tego akapitu jeszcze raz przejdźmy do równań z poprzedniego akapitu i. Transformacja tych równań na podstawie tożsamości i prowadzi do zwężenia ODZ, a to pociąga za sobą utratę korzeni. W tym miejscu powiedzieliśmy, że aby nie utracić swoich korzeni, należy porzucić reformy zawężające DZ. Oznacza to, że należy porzucić te przekształcenia. Ale co powinniśmy zrobić? Możliwe jest przeprowadzanie transformacji nie opartych na tożsamościach i , dzięki czemu ODZ jest zawężony, oraz na podstawie tożsamości i . W wyniku przejścia z oryginalne równania i do równań i nie ma zwężenia ODZ, co oznacza, że ​​korzenie nie zostaną utracone.

W tym miejscu szczególnie zauważamy, że zastępując wyrażenia identycznie równymi wyrażeniami, należy dokładnie upewnić się, że wyrażenia są dokładnie identyczne. Na przykład w równaniu. nie można zastąpić wyrażenia x+3 wyrażeniem w celu uproszczenia wyglądu lewej strony , ponieważ wyrażenia x+3 i nie są identyczne, ponieważ ich wartości nie pokrywają się przy x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Przekształcenia równań, których nie należy stosować

Przekształcenia wspomniane w tym artykule są zwykle wystarczające dla potrzeb praktycznych. Oznacza to, że nie powinieneś zbytnio przejmować się wymyślaniem innych transformacji, lepiej skupić się na prawidłowym wykorzystaniu już sprawdzonych.

Literatura

1. Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy matematycznej. 11 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 2, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. - wyd. 3. - M.: Edukacja, 2010.- 368 s.: il.-ISBN 978-5-09-022771-1.