Tak naprawdę, aby znaleźć pole figury, nie potrzeba aż tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „Oblicz powierzchnię za pomocą określona całka„zawsze wiąże się z konstrukcją rysunku, dużo więcej temat aktualny będzie Twoja wiedza i umiejętności w zakresie rysunku. W związku z tym przydatne jest odświeżenie pamięci o wykresach podstawowych funkcji elementarnych i przynajmniej umiejętność skonstruowania linii prostej i hiperboli.

Zakrzywiony trapez to płaska figura ograniczone osią, proste i wykres funkcji ciągłej na przedziale, która nie zmienia znaku na tym przedziale. Niech ta liczba zostanie zlokalizowana nie mniej oś x:

Następnie powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa całce oznaczonej. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne.

Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE.

To jest, pewna całka (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną. Całka definiuje krzywą na płaszczyźnie znajdującej się nad osią (chętni mogą narysować), a sama całka oznaczona jest numerycznie równa powierzchni odpowiedni zakrzywiony trapez.

Przykład 1

Jest to typowa instrukcja przypisania. Najpierw i najważniejszy moment rozwiązania - rysunek rysunek. Ponadto rysunek musi zostać skonstruowany PRAWIDŁOWY.

Podczas konstruowania rysunku zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest konstruować wszystkie linie proste (jeśli istnieją) i tylko Następnie- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Bardziej opłacalne jest budowanie wykresów funkcji punkt po punkcie.

W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.
Narysujmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie definiuje oś):

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, Dlatego:

Odpowiedź:

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W w tym przypadku„na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostki kwadratowe, to widać, że gdzieś popełniono błąd – 20 komórek wyraźnie nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej danej osi), to jej pole można obliczyć korzystając ze wzoru:

W tym przypadku:

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnej znaczenie geometryczne, wtedy może być negatywny.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar płaska figura, ograniczone liniami , .

Rozwiązanie: Najpierw musisz ukończyć rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i linii prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Oznacza to, że dolna granica całkowania to , górna granica całkowania to .

Jeśli to możliwe, lepiej nie stosować tej metody..

O wiele bardziej opłaca się i szybciej jest konstruować linie punkt po punkcie, a granice integracji stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Rozważymy również taki przykład.

Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

A teraz działająca formuła: Jeśli w segmencie istnieje jakaś funkcja ciągła większe bądź równe Niektóre funkcja ciągła, wówczas obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami , można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie musisz już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ważne jest, który wykres jest WYŻSZY(w stosunku do innego wykresu), i który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej

Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.
Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Przykład 4

Oblicz pole figury ograniczone liniami , , , .

Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:

Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko(przyjrzyj się uważnie stanowi - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi często pojawia się „błąd”, że trzeba znaleźć obszar zacienionej figury zielony!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych.

Naprawdę:

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem:

Określona całka. Jak obliczyć pole figury

Przejdźmy do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadania – jak wykorzystać całkę oznaczoną do obliczenia pola figury płaskiej. Wreszcie ci, którzy szukają sensu w wyższej matematyce – oby go znaleźli. Nigdy nie wiesz. Będziemy musieli przybliżyć to w życiu obszar wiejskiego domku funkcje elementarne i znajdź ich pole za pomocą całki oznaczonej.

Aby pomyślnie opanować materiał, musisz:

1) Zrozum Całka nieoznaczona przynajmniej na średnim poziomie. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.

2) Potrafić zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Z pewnymi całkami na stronie możesz nawiązać ciepłe przyjazne relacje Określona całka. Przykłady rozwiązań.

Tak naprawdę, aby znaleźć pole figury, nie potrzeba aż tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „obliczyć pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z wykonaniem rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności rysowania będą znacznie bardziej palącą kwestią. W związku z tym przydatne jest odświeżenie pamięci o wykresach podstawowych funkcji elementarnych i przynajmniej umiejętność skonstruowania linii prostej, paraboli i hiperboli. Można to zrobić (dla wielu jest to konieczne) za pomocą materiał metodologiczny oraz artykuły dotyczące przekształceń geometrycznych grafów.

Właściwie zadanie znajdowania obszaru za pomocą całki oznaczonej jest znane każdemu od czasów szkolnych i nie pójdziemy dalej program nauczania. Ten artykuł mógłby w ogóle nie istnieć, ale faktem jest, że problem pojawia się w 99 przypadkach na 100, gdy uczeń cierpi na znienawidzoną szkołę i z entuzjazmem opanowuje kurs wyższej matematyki.

Materiały z tych warsztatów są prezentowane w sposób prosty, szczegółowy i zawierający minimum teorii.

Zacznijmy od zakrzywionego trapezu.

Trapez krzywoliniowy jest figurą płaską ograniczoną osią, liniami prostymi i wykresem funkcji ciągłej na przedziale, który nie zmienia znaku na tym przedziale. Niech ta liczba zostanie zlokalizowana nie mniej oś x:

Następnie powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa całce oznaczonej. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań Powiedziałem, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz przyszedł czas na jeszcze jedno przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE.

To jest, całka oznaczona (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną. Całka definiuje krzywą na płaszczyźnie znajdującej się nad osią (chętni mogą narysować), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

Jest to typowa instrukcja przypisania. Pierwszym i najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi zostać skonstruowany PRAWIDŁOWY.

Podczas konstruowania rysunku zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest konstruować wszystkie linie proste (jeśli istnieją) i tylko Następnie– parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Bardziej opłacalne jest budowanie wykresów funkcji punkt po punkcie, technikę konstrukcji punkt po punkcie można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Znajdziesz tam również bardzo przydatny materiał do naszej lekcji - jak szybko zbudować parabolę.

W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.
Narysujmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie definiuje oś):

Nie będę cieniował zakrzywionego trapezu, widać tutaj, o jakim obszarze mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, Dlatego:

Odpowiedź:

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza , zapoznaj się z wykładem Określona całka. Przykłady rozwiązań.

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku liczbę komórek na rysunku liczymy „na oko” - cóż, będzie ich około 9, co wydaje się prawdą. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz pole figury ograniczone liniami , i osią

To jest przykład dla niezależna decyzja. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią?

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej danej osi), to jej pole można obliczyć korzystając ze wzoru:
W tym przypadku:

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, wówczas może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami , .

Rozwiązanie: Najpierw musisz ukończyć rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i linii prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Oznacza to, że dolna granica całkowania to , górna granica całkowania to .
Jeśli to możliwe, lepiej nie stosować tej metody..

O wiele bardziej opłaca się i szybciej jest konstruować linie punkt po punkcie, a granice integracji stają się jasne „same z siebie”. Technikę konstruowania punkt po punkcie dla różnych wykresów szczegółowo omówiono w pomocy Wykresy i własności funkcji elementarnych. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Rozważymy również taki przykład.

Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

Powtarzam, że konstruując punktowo, granice całkowania najczęściej odkrywane są „automatycznie”.

A teraz działająca formuła: Jeśli w segmencie istnieje jakaś funkcja ciągła większe bądź równe jakaś funkcja ciągła , wówczas obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami , można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie musisz już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ważne jest, który wykres jest WYŻSZY(w stosunku do innego wykresu), i który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej

Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.
Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

W rzeczywistości szkolny wzór na pole krzywoliniowego trapezu w dolnej półpłaszczyźnie (patrz prosty przykład nr 3) to szczególny przypadek formuły . Ponieważ oś jest określona przez równanie i znajduje się wykres funkcji nie wyżej w takim razie osie

A teraz kilka przykładów własnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury ograniczony liniami , .

Podczas rozwiązywania problemów związanych z obliczaniem pola za pomocą całki oznaczonej czasami zdarza się zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były prawidłowe, ale przez nieostrożność... znaleziono obszar niewłaściwej figury, dokładnie tak kilka razy schrzanił twój pokorny sługa. Tutaj prawdziwy przypadek z życia:

Przykład 7

Oblicz pole figury ograniczone liniami , , , .

Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:

...Ech, rysunek wyszedł tandetnie, ale wszystko wydaje się być czytelne.

Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko(przyjrzyj się uważnie stanowi - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi często pojawia się „błąd”, polegający na tym, że trzeba znaleźć obszar figury zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem:

Odpowiedź:

Przejdźmy do innego znaczącego zadania.

Przykład 8

Oblicz pole figury ograniczone liniami,
Przedstawmy równania w formie „szkolnej” i wykonajmy rysunek punkt po punkcie:

Z rysunku jasno wynika, że ​​nasza górna granica jest „dobra”: .
Ale jaka jest dolna granica?! Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co to jest? Może ? Ale gdzie jest gwarancja, że ​​rysunek zostanie wykonany z idealną dokładnością, może się okazać, że... Lub korzeń. A co jeśli nieprawidłowo zbudowaliśmy wykres?

W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie wyjaśnić granice integracji.

Znajdźmy punkty przecięcia linii prostej i paraboli.
W tym celu rozwiązujemy równanie:


,

Naprawdę, .

Dalsze rozwiązanie jest trywialne, najważniejsze jest, aby nie pomylić się z podstawieniami i znakami, obliczenia tutaj nie są najprostsze.

Na segmencie zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Cóż, na zakończenie lekcji, spójrzmy na dwa trudniejsze zadania.

Przykład 9

Oblicz pole figury ograniczone liniami , ,

Rozwiązanie: Przedstawmy tę figurę na rysunku.

Cholera, zapomniałem podpisać harmonogram i przepraszam, nie chciałem przerabiać zdjęcia. Krótko mówiąc, to nie jest dzień rysowania, dzisiaj jest ten dzień =)

Aby zbudować punkt po punkcie, musisz wiedzieć wygląd sinusoidy (i ogólnie warto je znać wykresy wszystkich funkcji elementarnych), a także niektóre wartości sinusoidalne, w których można je znaleźć tablica trygonometryczna. W niektórych przypadkach (jak w tym przypadku) możliwe jest skonstruowanie schematycznego rysunku, na którym powinny być zasadniczo poprawnie wyświetlone wykresy i granice całkowania.

Nie ma tu problemów z granicami całkowania, wynikają one bezpośrednio z warunku: „x” zmienia się od zera na „pi”. Podejmijmy dalszą decyzję:

Na odcinku wykres funkcji znajduje się nad osią, zatem:

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczonej liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy ze sformułowaniem takiego problemu spotykamy się w szkole średniej, kiedy właśnie zakończyliśmy naukę całek oznaczonych i przyszedł czas na geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

Zatem, co jest potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

• Umiejętność wykonywania kompetentnych rysunków;
• Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej za pomocą słynna formuła Newtona-Leibniza;
• Możliwość „dostrzeżenia” bardziej opłacalnej opcji rozwiązania – tj. rozumiesz, jak wygodniej będzie przeprowadzić integrację w tym czy innym przypadku? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
• Cóż, gdzie bylibyśmy bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązywać całki innego rodzaju i prawidłowe obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania pola figury ograniczonego liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w kratkę, na dużą skalę. Nazwę tej funkcji podpisujemy ołówkiem nad każdym wykresem. Podpisywanie wykresów odbywa się wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu żądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice całkowania zostaną zastosowane. W ten sposób rozwiązujemy problem metoda graficzna. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub niewymierne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeżeli granice całkowania nie są wyraźnie określone, to znajdujemy punkty przecięcia grafów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne z analitycznym.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od układu wykresów funkcji, istnieją różne podejścia aby znaleźć obszar figury. Rozważmy różne przykłady o znalezieniu obszaru figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczna i najprostsza wersja problemu polega na tym, że trzeba znaleźć obszar zakrzywionego trapezu. Co to jest zakrzywiony trapez? Jest to płaska figura ograniczona osią x (y = 0), prosty x = a, x = b i dowolna krzywa ciągła w przedziale od A zanim B. Co więcej, liczba ta nie jest ujemna i nie znajduje się poniżej osi x. W tym przypadku pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe pewnej całce obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakimi liniami ograniczona jest figura? Mamy parabolę y = x2 – 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, to nie jest ujemne, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli mają wartości dodatnie. Następnie podane linie proste x = 1 I x = 3, które biegną równolegle do osi Jednostka organizacyjna, to linie graniczne figury po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, jest to także oś x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowa figura jest zacieniowana, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz natychmiast przystąpić do rozwiązywania problemu. Przed nami prosty przykład zakrzywionego trapezu, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 zbadaliśmy przypadek, gdy zakrzywiony trapez znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, gdy warunki zadania są takie same, z tą różnicą, że funkcja leży pod osią x. Do standardowego wzoru Newtona-Leibniza dodaje się minus. Poniżej zastanowimy się, jak rozwiązać taki problem.

Przykład 2 . Oblicz pole figury ograniczone liniami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

W tym przykładzie mamy parabolę y = x2 + 6x + 2, który pochodzi z osi OH, prosty x = -4, x = -1, y = 0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną liczbę od góry. Bezpośredni x = -4 I x = -1 są to granice, w obrębie których obliczana będzie całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia pola figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia, a także jest ciągła na przedziale [-4; -1] . Co masz na myśli mówiąc, że nie jest pozytywny? Jak widać na rysunku, liczba znajdująca się w obrębie podanych x ma wyłącznie współrzędne „ujemne”, o czym musimy pamiętać i co musimy zobaczyć podczas rozwiązywania problemu. Pole figury szukamy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest ukończony.

A)

Rozwiązanie.

Pierwszym i najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku.

Zróbmy rysunek:

Równanie y=0 ustawia oś „x”;

- x=-2 I x=1 - proste, równoległe do osi jednostka organizacyjna;

- y=x 2 +2 - parabola, której ramiona są skierowane w górę, z wierzchołkiem w punkcie (0;2).

Komentarz. Aby skonstruować parabolę, wystarczy znaleźć punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych, tj. kładzenie x=0 znajdź przecięcie z osią Jednostka organizacyjna i odpowiednio podjąć decyzję równanie kwadratowe, znajdź przecięcie z osią Oh .

Wierzchołek paraboli można znaleźć za pomocą wzorów:

Można także budować linie punkt po punkcie.

Na przedziale [-2;1] wykres funkcji y=x 2 +2 usytuowany nad osią Wół , Dlatego:

Odpowiedź: S =9 jednostek kwadratowych

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Co zrobić, jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią Oh?

B) Oblicz pole figury ograniczone liniami y=-e x , x=1 i osie współrzędnych.

Rozwiązanie.

Zróbmy rysunek.

Jeśli zakrzywiony trapez całkowicie umieszczony pod osią Oh , wówczas jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru:

Odpowiedź: S=(e-1) jednostki kwadratowe" 1,72 jednostki kwadratowe

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, wówczas może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie.

Z) Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y=2x-x 2, y=-x.

Rozwiązanie.

Najpierw musisz ukończyć rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i proste Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny.

Rozwiązujemy równanie:

Oznacza to, że dolna granica całkowania a=0 , górna granica całkowania b=3 .

Budujemy podane proste: 1. Parabola - wierzchołek w punkcie (1;1); przecięcie osi Oh - punkty (0;0) i (0;2). 2. Prosta - dwusieczna drugiego i czwartego kąta współrzędnych. A teraz uwaga! Jeśli w segmencie [ a;b] jakaś funkcja ciągła k(x) większy lub równy jakiejś funkcji ciągłej g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć za pomocą wzoru: . I nie ma znaczenia, gdzie znajduje się figura - nad osią czy pod osią, ważne jest, który wykres jest WYŻSZY (w stosunku do innego wykresu), a który PONIŻEJ. W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej

Można konstruować linie punkt po punkcie, a granice całkowania stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne).

Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.

Na segmencie zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź: S =4,5 jednostek kwadratowych

W poprzedniej części poświęconej analizie znaczenia geometrycznego całki oznaczonej otrzymaliśmy szereg wzorów na obliczenie pola trapezu krzywoliniowego:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i nieujemnej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i niedodatniej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] .

Wzory te mają zastosowanie do rozwiązywania proste zadania. W rzeczywistości często będziemy musieli pracować z bardziej złożonymi figurami. W związku z tym tę sekcję poświęcimy analizie algorytmów obliczania pola figur ograniczonych funkcjami w postaci jawnej, tj. jak y = f(x) lub x = g(y).

Twierdzenie

Niech funkcje y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będą określone i ciągłe na przedziale [ a ; b] i f 1 (x) ≤ f 2 (x) dla dowolnej wartości x z [ a ; B ] . Następnie wzór na obliczenie pola figury G, ograniczonego liniami x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będzie wyglądać jak S (G) = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x .

Podobny wzór będzie miał zastosowanie do powierzchni figury ograniczonej liniami y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( sol 2 (y) - sol 1 (y) re y .

Dowód

Przyjrzyjmy się trzem przypadkom, dla których formuła będzie obowiązywać.

W pierwszym przypadku, biorąc pod uwagę właściwość addytywności pola, suma obszarów pierwotnej figury G i krzywoliniowego trapezu G 1 jest równa powierzchni figury G 2. To znaczy, że

Dlatego S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) re x - ∫ a b f 1 (x) re x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Ostatnie przejście możemy wykonać korzystając z trzeciej własności całki oznaczonej.

W drugim przypadku równość jest prawdziwa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) re x

Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Jeśli obie funkcje nie są dodatnie, otrzymujemy: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - fa 1 (x)) re x . Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Przejdźmy do rozważenia przypadek ogólny, gdy y = f 1 (x) i y = f 2 (x) przecinają oś O x.

Punkty przecięcia oznaczamy jako x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Punkty te dzielą odcinek [a; b ] na n części x i - 1 ; x ja, ja = 1, 2, . . . , n, gdzie α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Stąd,

S (G) = ∑ ja = 1 n S (G i) = ∑ ja = 1 n ∫ x ja x ja fa 2 (x) - fa 1 (x)) re x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - fa ( x)) re x = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x

Ostatniego przejścia możemy dokonać korzystając z piątej własności całki oznaczonej.

Zilustrujmy przypadek ogólny na wykresie.

Wzór S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x można uznać za udowodniony.

Przejdźmy teraz do analizy przykładów obliczania pola figur ograniczonych liniami y = f (x) i x = g (y).

Rozważanie dowolnego z przykładów zaczniemy od skonstruowania wykresu. Obraz pozwoli nam przedstawić złożone figury jako sumy prostszych figur. Jeśli tworzenie na nich wykresów i rysunków sprawia ci trudności, możesz przestudiować część dotyczącą podstaw funkcje elementarne, transformacja geometryczna wykresów funkcji, a także konstrukcja wykresów podczas badania funkcji.

Przykład 1

Konieczne jest określenie obszaru figury, który jest ograniczony parabolą y = - x 2 + 6 x - 5 i liniami prostymi y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Rozwiązanie

Narysujmy linie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Na odcinku [ 1 ; 4 ] wykres paraboli y = - x 2 + 6 x - 5 znajduje się nad prostą y = - 1 3 x - 1 2. W związku z tym, aby uzyskać odpowiedź, korzystamy z otrzymanego wcześniej wzoru oraz metody obliczania całki oznaczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 re x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpowiedź: S(G) = 13

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 2

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x + 2, y = x, x = 7.

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy tylko jedną prostą umieszczoną równolegle do osi x. To jest x = 7. Wymaga to od nas samodzielnego znalezienia drugiej granicy całkowania.

Zbudujmy wykres i nanieś na niego linie podane w opisie problemu.

Mając przed oczami wykres, łatwo możemy określić, że dolną granicą całkowania będzie odcięta punktu przecięcia wykresu prostej y = x i półparaboli y = x + 2. Aby znaleźć odciętą, używamy równości:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Okazuje się, że odcięta punktu przecięcia wynosi x = 2.

Zwracamy uwagę na fakt, że w ogólny przykład na rysunku proste y = x + 2, y = x przecinają się w punkcie (2; 2), więc tak szczegółowe obliczenia mogą wydawać się niepotrzebne. Tak szczegółowe rozwiązanie podaliśmy tutaj tylko dlatego, że w więcej trudne przypadki rozwiązanie może nie być takie oczywiste. Oznacza to, że zawsze lepiej jest obliczyć współrzędne przecięcia linii analitycznie.

Na przedziale [ 2 ; 7] wykres funkcji y = x znajduje się nad wykresem funkcji y = x + 2. Zastosujmy wzór do obliczenia pola:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) re x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpowiedź: S (G) = 59 6

Przykład 3

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego wykresami funkcji y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.

Rozwiązanie

Narysujmy linie na wykresie.

Zdefiniujmy granice całkowania. Aby to zrobić, określamy współrzędne punktów przecięcia linii, przyrównując wyrażenia 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod warunkiem, że x nie jest równe zero, równość 1 x = - x 2 + 4 x - 2 staje się równoważna równaniu trzeciego stopnia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ze współczynnikami całkowitymi. Aby odświeżyć pamięć o algorytmie rozwiązywania takich równań, możemy zapoznać się z sekcją „Rozwiązywanie równań sześciennych”.

Pierwiastkiem tego równania jest x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dzieląc wyrażenie - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 przez dwumian x - 1, otrzymujemy: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Pozostałe pierwiastki możemy znaleźć z równania x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 re = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Znaleźliśmy przedział x ∈ 1; 3 + 13 2, w którym cyfra G zawarta jest nad linią niebieską i poniżej linii czerwonej. Pomaga nam to określić obszar figury:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x re x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpowiedź: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Przykład 4

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego krzywymi y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osią odciętych.

Rozwiązanie

Narysujmy wszystkie linie na wykresie. Wykres funkcji y = - log 2 x + 1 możemy otrzymać z wykresu y = log 2 x, jeżeli umieścimy go symetrycznie względem osi x i przesuniemy go o jedną jednostkę w górę. Równanie osi x to y = 0.

Zaznaczmy punkty przecięcia prostych.

Jak widać z rysunku, wykresy funkcji y = x 3 i y = 0 przecinają się w punkcie (0; 0). Dzieje się tak, ponieważ x = 0 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania x 3 = 0.

x = 2 jest jedynym pierwiastkiem równania - log 2 x + 1 = 0, więc wykresy funkcji y = - log 2 x + 1 i y = 0 przecinają się w punkcie (2; 0).

x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania x 3 = - log 2 x + 1 . Pod tym względem wykresy funkcji y = x 3 i y = - log 2 x + 1 przecinają się w punkcie (1; 1). Ostatnie stwierdzenie może nie być oczywiste, ale równanie x 3 = - log 2 x + 1 nie może mieć więcej niż jednego pierwiastka, gdyż funkcja y = x 3 jest ściśle rosnąca, a funkcja y = - log 2 x + 1 to ściśle malejące.

Dalsze rozwiązanie obejmuje kilka opcji.

Opcja 1

Możemy sobie wyobrazić figurę G jako sumę dwóch trapezów krzywoliniowych położonych powyżej osi x, z których pierwszy znajduje się poniżej linii środkowej odcinka x ∈ 0; 1, a druga poniżej czerwonej linii na odcinku x ∈ 1; 2. Oznacza to, że pole będzie równe S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) re x .

Opcja nr 2

Figurę G można przedstawić jako różnicę dwóch figur, z których pierwsza znajduje się powyżej osi x i poniżej niebieskiej linii na odcinku x ∈ 0; 2, a druga pomiędzy czerwoną i niebieską linią na odcinku x ∈ 1; 2. Dzięki temu możemy znaleźć obszar w następujący sposób:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) re x

W tym przypadku, aby znaleźć pole, będziesz musiał użyć wzoru w postaci S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. W rzeczywistości linie ograniczające figurę można przedstawić jako funkcje argumentu y.

Rozwiążmy równania y = x 3 i - log 2 x + 1 względem x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Otrzymujemy wymagany obszar:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) re y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpowiedź: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Przykład 5

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Rozwiązanie

Czerwoną linią nakreślamy linię określoną przez funkcję y = x. Rysujemy linię y = - 1 2 x + 4 na niebiesko, a linię y = 2 3 x - 3 na czarno.

Zaznaczmy punkty przecięcia.

Znajdźmy punkty przecięcia wykresów funkcji y = x i y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Sprawdź: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Czy jest rozwiązaniem równania x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 jest rozwiązaniem równania ⇒ (4; 2) punkt przecięcia i y = x i y = - 1 2 x + 4

Znajdźmy punkt przecięcia wykresów funkcji y = x i y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 re = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Sprawdź: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 jest rozwiązaniem równania ⇒ (9 ; 3) punkt a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Równanie nie ma rozwiązania

Znajdźmy punkt przecięcia prostych y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punkt przecięcia y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3

Metoda nr 1

Wyobraźmy sobie pole pożądanej figury jako sumę pól poszczególnych figur.

Następnie obszar figury wynosi:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 re x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda nr 2

Obszar oryginalnej figury można przedstawić jako sumę dwóch innych figur.

Następnie rozwiązujemy równanie linii względem x i dopiero potem stosujemy wzór do obliczenia pola figury.

y = x ⇒ x = y 2 czerwona linia y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 czarna linia y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ja n i a l i n e

Zatem obszar wynosi:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak widać wartości są takie same.

Odpowiedź: S (G) = 11 3

Wyniki

Aby znaleźć pole figury ograniczone podanymi liniami, musimy skonstruować linie na płaszczyźnie, znaleźć ich punkty przecięcia i zastosować wzór na obliczenie pola. W tej sekcji sprawdziliśmy najczęstsze warianty zadań.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter