Figura ograniczona liniami obraca się wokół osi. Jak obliczyć objętość ciała obrotowego

Objętość ciała obrotowego można obliczyć ze wzoru:

We wzorze liczba musi występować przed całką. I tak się stało – wszystko, co kręci się w życiu, jest związane z tą stałą.

Myślę, że łatwo zgadnąć, jak wyznaczyć granice całkowania „a” i „być” na podstawie gotowego rysunku.

Funkcja... co to za funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona wykresem paraboli u góry. Jest to funkcja zawarta we wzorze.

W zadaniach praktycznych płaska figura może czasami znajdować się poniżej osi. To niczego nie zmienia – całka we wzorze jest podniesiona do kwadratu: zatem całka jest zawsze nieujemna , co jest bardzo logiczne.

Obliczmy objętość ciała wirującego, korzystając ze wzoru:

Jak już zauważyłem, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiedź:

W swojej odpowiedzi musisz podać wymiar - jednostki sześcienne. Oznacza to, że w naszym ciele rotacyjnym znajduje się około 3,35 „kostek”. Dlaczego sześcienny jednostki? Ponieważ najbardziej uniwersalny preparat. Mogą to być centymetry sześcienne, mogą to być metry sześcienne, mogą być kilometry sześcienne itd. – tyle zielonych ludzików może pomieścić twoja wyobraźnia w latającym spodku.

Przykład 2

Znajdź objętość ciała, utworzone przez obrót wokół osi figury, ograniczonej liniami,

To jest przykład dla niezależna decyzja. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważmy dwa bardziej złożone problemy, które również często spotyka się w praktyce.

Przykład 3

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi odciętych figury ograniczonej liniami , oraz

Rozwiązanie: Przedstawmy na rysunku płaską figurę ograniczoną liniami ,,,, nie zapominając, że równanie określa oś:

Pożądana liczba jest zacieniowana na niebiesko. Kiedy obraca się wokół własnej osi, okazuje się, że jest to surrealistyczny pączek z czterema narożnikami.

Obliczmy objętość ciała obrotowego jako różnica objętości ciał.

Najpierw spójrzmy na figurę zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się ścięty stożek. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka przez.

Rozważmy figurę zakreśloną w kółku zielony. Jeśli obrócisz tę figurę wokół osi, otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez.

I oczywiście różnica objętości to dokładnie objętość naszego „pączka”.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, używamy standardowego wzoru:

1) Figura zakreślona na czerwono jest ograniczona od góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona u góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego korpusu obrotowego:

Odpowiedź:

Ciekawe, że w w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić korzystając ze szkolnego wzoru na obliczenie objętości ściętego stożka.

Sama decyzja jest często zapisywana krócej, mniej więcej tak:

Teraz odpocznijmy trochę i opowiedzmy o iluzjach geometrycznych.

Często ludzie mają złudzenia związane z tomami, co zauważył w książce Perelman (inny). Zabawna geometria. Spójrz na płaską figurę w rozwiązanym problemie - wydaje się, że ma niewielką powierzchnię, a objętość korpusu obrotowego wynosi nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt duże. Swoją drogą, przeciętny człowiek przez całe życie wypija równowartość pokoju 18 metrów kwadratowych płynu, co wręcz przeciwnie wydaje się zbyt małą objętością.

Ogólnie rzecz biorąc, system edukacji w ZSRR był naprawdę najlepszy. Ta sama książka Perelmana, wydana w 1950 roku, bardzo dobrze rozwija, jak stwierdził humorysta, myślenie i uczy poszukiwania oryginalnych, niestandardowych rozwiązań problemów. Niedawno z dużym zainteresowaniem przeczytałem ponownie niektóre rozdziały, polecam, są przystępne nawet dla humanistów. Nie, nie musisz się uśmiechać, że zaoferowałem wolny czas, erudycja i szerokie horyzonty w komunikacji to świetna rzecz.

Po lirycznej dygresji wypada rozwiązać zadanie twórcze:

Przykład 4

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi płaskiej figury ograniczonej liniami, gdzie, gdzie.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Należy pamiętać, że wszystkie przypadki występują w paśmie, czyli tak naprawdę dane są gotowe granice całkowania. Narysuj poprawnie wykresy funkcji trygonometrycznych, przypomnę materiał lekcyjny na temat przekształcenia geometryczne grafów : jeśli argument zostanie podzielony przez dwa: , wówczas wykresy zostaną dwukrotnie rozciągnięte wzdłuż osi. Wskazane jest znalezienie co najmniej 3-4 punktów zgodnie z tabelami trygonometrycznymi aby dokładniej zakończyć rysunek. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Nawiasem mówiąc, zadanie można rozwiązać racjonalnie i niezbyt racjonalnie.

Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, potrzebujesz pewnych umiejętności rysowania - to prawie najważniejsza rzecz (ponieważ same całki często będą łatwe). Możesz opanować kompetentne i szybkie techniki tworzenia wykresów za pomocą materiały dydaktyczne i transformacje geometryczne grafów. Ale tak naprawdę o znaczeniu rysunków mówiłem już kilka razy na zajęciach.

Ogólnie rzecz biorąc, istnieje wiele interesujących zastosowań rachunku całkowego określona całka możesz obliczyć pole figury, objętość ciała obrotowego, długość łuku, powierzchnię obrotową i wiele więcej. Będzie więc zabawnie, bądź optymistą!

Wyobraź sobie płaską figurę na płaszczyźnie współrzędnych. Wprowadzony? ...ciekawe kto co przedstawił... =))) Już znaleźliśmy jego teren. Ale dodatkowo figurę tę można również obracać i obracać na dwa sposoby:

– wokół osi odciętej;
– wokół osi rzędnych.

W tym artykule omówimy oba przypadki. Szczególnie interesująca jest druga metoda rotacji, która sprawia najwięcej trudności, ale w zasadzie rozwiązanie jest prawie takie samo, jak w przypadku bardziej powszechnego rotacji wokół osi x. Jako bonus wrócę do problem znalezienia obszaru figury, a powiem ci, jak znaleźć obszar w drugi sposób - wzdłuż osi. To nie tyle bonus, ile materiał dobrze wpasowany w temat.

Zacznijmy od najpopularniejszego rodzaju rotacji.

płaska figura wokół osi

Przykład 1

Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót figury ograniczonej liniami wokół osi.

Rozwiązanie: Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, rozwiązanie zaczyna się od rysunku płaska figura . Oznacza to, że na płaszczyźnie konieczne jest skonstruowanie figury ograniczonej liniami i nie zapominaj, że równanie określa oś. Jak sprawniej i szybciej wykonać rysunek dowiesz się na stronach Wykresy i własności funkcji elementarnych I Określona całka. Jak obliczyć pole figury. To chińskie przypomnienie i tak dalej w tym momencie Już nie przestaję.

Rysunek tutaj jest dość prosty:

Pożądana płaska figura jest zacieniowana na niebiesko, to ta, która obraca się wokół osi.W wyniku obrotu powstaje lekko owalny latający spodek, symetryczny względem osi. W rzeczywistości ciało ma matematyczną nazwę, ale jestem zbyt leniwy, aby wyjaśnić cokolwiek w podręczniku, więc idziemy dalej.

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego?

Objętość ciała obrotowego można obliczyć ze wzoru:

We wzorze liczba musi występować przed całką. I tak się stało – wszystko, co kręci się w życiu, jest związane z tą stałą.

Myślę, że łatwo zgadnąć, jak wyznaczyć granice całkowania „a” i „być” na podstawie gotowego rysunku.

Funkcja... co to za funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona u góry wykresem paraboli. Jest to funkcja zawarta we wzorze.

W zadaniach praktycznych płaska figura może czasami znajdować się poniżej osi. To niczego nie zmienia – całkę we wzorze podnosi się do kwadratu: , zatem całka jest zawsze nieujemna, co jest bardzo logiczne.

Obliczmy objętość ciała obrotowego za pomocą tę formułę:

Jak już zauważyłem, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiedź:

W swojej odpowiedzi musisz podać wymiar - jednostki sześcienne. Oznacza to, że w naszym ciele rotacyjnym znajduje się około 3,35 „kostek”. Dlaczego sześcienny jednostki? Ponieważ najbardziej uniwersalny preparat. Mogą to być centymetry sześcienne, mogą to być metry sześcienne, mogą być kilometry sześcienne itd. – tyle zielonych ludzików może pomieścić twoja wyobraźnia w latającym spodku.

Przykład 2

Znajdź objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi figury ograniczonej liniami , ,

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważmy dwa bardziej złożone problemy, które również często spotyka się w praktyce.

Przykład 3

Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osi odciętej figury ograniczonej liniami , i

Rozwiązanie: Przedstawmy na rysunku figurę płaską ograniczoną liniami , , , , nie zapominając, że równanie definiuje oś:

Pożądana liczba jest zacieniowana na niebiesko. Kiedy obraca się wokół własnej osi, okazuje się, że jest to surrealistyczny pączek z czterema narożnikami.

Obliczmy objętość ciała obrotowego jako różnica objętości ciał.

Najpierw spójrzmy na figurę zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się ścięty stożek. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka przez .

Rozważmy figurę zakreśloną na zielono. Jeśli obrócisz tę figurę wokół osi, otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez .

I oczywiście różnica objętości to dokładnie objętość naszego „pączka”.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, używamy standardowego wzoru:

1) Figura zakreślona na czerwono jest ograniczona od góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona u góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego ciała obrotowego:

Odpowiedź:

Co ciekawe, w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić, korzystając ze szkolnego wzoru na obliczenie objętości ściętego stożka.

Sama decyzja jest często zapisywana krócej, mniej więcej tak:

Teraz odpocznijmy trochę i opowiedzmy o iluzjach geometrycznych.

Często ludzie mają złudzenia związane z tomami, co zauważył w książce Perelman (inny). Zabawna geometria. Spójrz na płaską figurę w rozwiązanym problemie - wydaje się, że ma niewielką powierzchnię, a objętość korpusu obrotowego wynosi nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt duże. Swoją drogą, przeciętny człowiek przez całe życie wypija równowartość pokoju 18 metrów kwadratowych płynu, co wręcz przeciwnie wydaje się zbyt małą objętością.

Ogólnie rzecz biorąc, system edukacji w ZSRR był naprawdę najlepszy. Ta sama książka Perelmana, wydana w 1950 roku, bardzo dobrze rozwija, jak stwierdził humorysta, zrozumienie i uczy szukać oryginalności rozwiązania niestandardowe problemy. Niedawno z dużym zainteresowaniem przeczytałem ponownie niektóre rozdziały, polecam, są przystępne nawet dla humanistów. Nie, nie musisz się uśmiechać, że zaoferowałem wolny czas, erudycja i szerokie horyzonty w komunikacji to świetna rzecz.

Po lirycznej dygresji wypada rozwiązać zadanie twórcze:

Przykład 4

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi płaskiej figury ograniczonej liniami , , gdzie .

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Należy pamiętać, że wszystkie przypadki występują w paśmie, czyli tak naprawdę dane są gotowe granice całkowania. Rysuj poprawnie wykresy funkcje trygonometryczne, przypominam o materiale lekcyjnym dot przekształcenia geometryczne grafów: jeśli argument zostanie podzielony przez dwa: , wówczas wykresy zostaną dwukrotnie rozciągnięte wzdłuż osi. Wskazane jest znalezienie co najmniej 3-4 punktów zgodnie z tabelami trygonometrycznymi aby dokładniej zakończyć rysunek. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Nawiasem mówiąc, zadanie można rozwiązać racjonalnie i niezbyt racjonalnie.

Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót
płaska figura wokół osi

Drugi akapit będzie jeszcze bardziej interesujący niż pierwszy. Zadanie obliczenia objętości ciała obrotowego wokół osi rzędnych jest również dość częstym gościem testy. Po drodze zostanie to rozważone problem znalezienia obszaru figury druga metoda to integracja wzdłuż osi, pozwoli Ci to nie tylko udoskonalić swoje umiejętności, ale także nauczy Cię znajdować najbardziej opłacalną ścieżkę rozwiązania. Jest w tym także praktyczny sens życia! Jak z uśmiechem wspominała moja nauczycielka od metod nauczania matematyki, wielu absolwentów dziękowało jej słowami: „Twój przedmiot bardzo nam pomógł, teraz jesteśmy skutecznymi menadżerami i optymalnie zarządzamy kadrą”. Korzystając z okazji, również jej wyrażam ogromną wdzięczność, zwłaszcza, że ​​zdobytą wiedzę wykorzystuję zgodnie z jej przeznaczeniem=).

Polecam każdemu, nawet kompletnym manekinom. Co więcej, materiał zdobyty w drugim akapicie będzie nieocenioną pomocą w obliczaniu całek podwójnych.

Przykład 5

Biorąc pod uwagę płaską sylwetkę ograniczone liniami , , .

1) Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami.
2) Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

Uwaga! Nawet jeśli chcesz przeczytać tylko drugi punkt, najpierw Koniecznie przeczytaj pierwszy!

Rozwiązanie: Zadanie składa się z dwóch części. Zacznijmy od kwadratu.

1) Zróbmy rysunek:

Łatwo zauważyć, że funkcja określa górną gałąź paraboli, a funkcja określa dolną gałąź paraboli. Przed nami trywialna parabola, która „leży na boku”.

Pożądana figura, której obszar należy znaleźć, jest zacieniona na niebiesko.

Jak znaleźć obszar figury? Można go znaleźć w „zwykły” sposób, który był omawiany na zajęciach Określona całka. Jak obliczyć pole figury. Ponadto obszar figury jest sumą obszarów:
- na odcinku ;
- na odcinku.

Dlatego:

Dlaczego w tym przypadku zwykłe rozwiązanie jest złe? Po pierwsze, otrzymaliśmy dwie całki. Po drugie, całki są pierwiastkami, a pierwiastki w całkach nie są darem, a poza tym można się pomylić podstawiając granice całkowania. Tak naprawdę całki oczywiście nie są zabójcze, ale w praktyce wszystko może być znacznie smutniejsze, po prostu wybrałem „lepsze” funkcje do problemu.

Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie: polega ono na przejściu na funkcje odwrotne i całkowaniu wzdłuż osi.

Jak dostać się do funkcji odwrotnych? Z grubsza rzecz biorąc, musisz wyrazić „x” do „y”. Najpierw spójrzmy na parabolę:

To wystarczy, ale upewnijmy się, że tę samą funkcję można wyprowadzić z dolnej gałęzi:

Łatwiej jest z linią prostą:

Teraz spójrz na oś: podczas wyjaśniania okresowo przechyl głowę w prawo o 90 stopni (to nie jest żart!). Potrzebna nam liczba leży na segmencie oznaczonym czerwoną przerywaną linią. W tym przypadku na odcinku linia prosta znajduje się nad parabolą, co oznacza, że ​​​​pole figury należy znaleźć za pomocą znanego już wzoru: . Co zmieniło się w formule? Tylko list i nic więcej.

! Notatka: Należy wyznaczyć granice całkowania wzdłuż osi ściśle od dołu do góry!

Znalezienie obszaru:

Zatem w segmencie:

Proszę zwrócić uwagę jak przeprowadziłem integrację, jest to najbardziej racjonalny sposób, a w kolejnym akapicie zadania będzie jasne dlaczego.

Dla czytelników wątpiących w poprawność całkowania znajdę pochodne:

Otrzymano pierwotną funkcję całki, co oznacza, że ​​całkowanie zostało wykonane poprawnie.

Odpowiedź:

2) Obliczmy objętość ciała utworzonego przez obrót tej figury wokół osi.

Przerysuję rysunek w nieco innym stylu:

Zatem postać zacieniowana na niebiesko obraca się wokół osi. Rezultatem jest „unoszący się motyl”, który obraca się wokół własnej osi.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, całkujemy wzdłuż osi. Najpierw musimy przejść do funkcji odwrotnych. Zostało to już zrobione i szczegółowo opisane w poprzednim akapicie.

Teraz ponownie przechylamy głowę w prawo i przyglądamy się naszej sylwetce. Oczywiście objętość ciała wirującego należy obliczyć jako różnicę objętości.

Obracamy figurę zakreśloną na czerwono wokół osi, tworząc ścięty stożek. Oznaczmy tę objętość przez .

Obracamy figurę zakreśloną na zielono wokół osi i oznaczamy ją objętością powstałego ciała obrotowego.

Objętość naszego motyla jest równa różnicy objętości.

Korzystamy ze wzoru na obliczenie objętości ciała obrotowego:

Jaka jest różnica w stosunku do wzoru z poprzedniego akapitu? Tylko w piśmie.

Ale zaletę integracji, o której ostatnio mówiłem, jest dużo łatwiej znaleźć , zamiast najpierw podnosić całkę do potęgi czwartej.

Odpowiedź:

Jednak nie chorowity motyl.

Zauważ, że jeśli tę samą płaską figurę obrócisz wokół osi, otrzymasz zupełnie inny korpus obrotowy, oczywiście o innej objętości.

Przykład 6

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami i osią.

1) Przejdź do funkcji odwrotnych i znajdź obszar figury płaskiej ograniczony tymi liniami, całkując po zmiennej.
2) Oblicz objętość ciała uzyskaną poprzez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Zainteresowani mogą również znaleźć pole figury w „zwykły” sposób, sprawdzając w ten sposób punkt 1). Ale jeśli, powtarzam, obrócisz płaską figurę wokół osi, nawiasem mówiąc, otrzymasz zupełnie inny korpus obrotowy o innej objętości, poprawną odpowiedź (także dla tych, którzy lubią rozwiązywać problemy).

Pełne rozwiązanie dwóch proponowanych punktów zadania znajduje się na końcu lekcji.

Tak i nie zapomnij przechylić głowy w prawo, aby zrozumieć ciała obrotowe i granice integracji!

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego za pomocą całki oznaczonej?

Oprócz znajdowanie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej najważniejszym zastosowaniem tematu jest obliczanie objętości ciała obrotowego. Materiał jest prosty, ale czytelnik musi być przygotowany: musisz umieć rozwiązać Całki nieoznaczone średniej złożoności i zastosować wzór Newtona-Leibniza w określona całka . Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, potrzebujesz pewnych umiejętności rysowania - to prawie najważniejsza rzecz (ponieważ same całki często będą łatwe). Za pomocą materiału metodologicznego możesz opanować kompetentne i szybkie techniki tworzenia wykresów . Ale tak naprawdę o znaczeniu rysunków mówiłem już kilka razy na zajęciach. .

Ogólnie rzecz biorąc, istnieje wiele interesujących zastosowań rachunku całkowego; za pomocą całki oznaczonej można obliczyć pole figury, objętość ciała obrotowego, długość łuku, pole powierzchni ciało i wiele więcej. Będzie więc zabawnie, bądź optymistą!

Wyobraź sobie płaską figurę na płaszczyźnie współrzędnych. Wprowadzony? ...ciekawe kto co przedstawił... =))) Już znaleźliśmy jego teren. Ale dodatkowo figurę tę można również obracać i obracać na dwa sposoby:

– wokół osi x; – wokół osi rzędnych.

W tym artykule omówimy oba przypadki. Szczególnie interesująca jest druga metoda rotacji, która sprawia najwięcej trudności, ale w zasadzie rozwiązanie jest prawie takie samo, jak w przypadku bardziej powszechnego rotacji wokół osi x. Jako bonus wrócę do problem znalezienia obszaru figury , a powiem ci, jak znaleźć obszar w drugi sposób - wzdłuż osi. To nie tyle bonus, ile materiał dobrze wpasowany w temat.

Zacznijmy od najpopularniejszego rodzaju rotacji.

Przykład 1

Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót figury ograniczonej liniami wokół osi.

Rozwiązanie: Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, rozwiązanie zaczyna się od rysunku płaskiej figury. Oznacza to, że na płaszczyźnie konieczne jest skonstruowanie figury ograniczonej liniami i nie zapominaj, że równanie określa oś. Jak sprawniej i szybciej wykonać rysunek dowiesz się na stronach Wykresy i własności funkcji elementarnych I Określona całka. Jak obliczyć pole figury . To chińskie przypomnienie i w tym miejscu nie będę się dalej rozwodzić.

Rysunek tutaj jest dość prosty:

Pożądana płaska figura jest zacieniona na niebiesko, to ta, która obraca się wokół osi. W wyniku obrotu powstaje lekko owalny latający spodek, który jest symetryczny względem osi. W rzeczywistości ciało ma matematyczną nazwę, ale jestem zbyt leniwy, aby zajrzeć do podręcznika, więc idziemy dalej.

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego?

Objętość ciała obrotowego można obliczyć ze wzoru:

We wzorze liczba musi występować przed całką. I tak się stało – wszystko, co kręci się w życiu, jest związane z tą stałą.

Myślę, że łatwo zgadnąć, jak wyznaczyć granice całkowania „a” i „być” na podstawie gotowego rysunku.

Funkcja... co to za funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona wykresem paraboli u góry. Jest to funkcja zawarta we wzorze.

W zadaniach praktycznych płaska figura może czasami znajdować się poniżej osi. To niczego nie zmienia – funkcja we wzorze jest podniesiona do kwadratu: zatem objętość ciała obrotowego jest zawsze nieujemna, co jest bardzo logiczne.

Obliczmy objętość ciała wirującego, korzystając ze wzoru:

Jak już zauważyłem, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiedź:

W swojej odpowiedzi musisz podać wymiar - jednostki sześcienne. Oznacza to, że w naszym ciele rotacyjnym znajduje się około 3,35 „kostek”. Dlaczego sześcienny jednostki? Ponieważ najbardziej uniwersalny preparat. Mogą to być centymetry sześcienne, mogą to być metry sześcienne, mogą być kilometry sześcienne itd. – tyle zielonych ludzików może pomieścić twoja wyobraźnia w latającym spodku.

Przykład 2

Znajdź objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi figury ograniczonej liniami,

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważmy dwa bardziej złożone problemy, które również często spotyka się w praktyce.

Przykład 3

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi odciętych figury ograniczonej liniami , oraz

Rozwiązanie: Przedstawmy na rysunku płaską figurę ograniczoną liniami ,,,, nie zapominając, że równanie definiuje oś:

Pożądana liczba jest zacieniowana na niebiesko. Kiedy obraca się wokół własnej osi, okazuje się, że jest to surrealistyczny pączek z czterema narożnikami.

Obliczmy objętość ciała obrotowego jako różnica objętości ciał.

Najpierw spójrzmy na figurę zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się ścięty stożek. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka przez.

Rozważmy figurę zakreśloną na zielono. Jeśli obrócisz tę figurę wokół osi, otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez.

I oczywiście różnica objętości to dokładnie objętość naszego „pączka”.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, używamy standardowego wzoru:

1) Figura zakreślona na czerwono jest ograniczona od góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona u góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego ciała obrotowego:

Odpowiedź:

Co ciekawe, w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić, korzystając ze szkolnego wzoru na obliczenie objętości ściętego stożka.

Sama decyzja jest często zapisywana krócej, mniej więcej tak:

Teraz odpocznijmy trochę i opowiedzmy o iluzjach geometrycznych.

Często ludzie mają złudzenia związane z tomami, co zauważył w książce Perelman (nie ten). Zabawna geometria. Spójrz na płaską figurę w rozwiązanym problemie - wydaje się, że ma niewielką powierzchnię, a objętość korpusu obrotowego wynosi nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt duże. Swoją drogą, przeciętny człowiek przez całe życie wypija równowartość pokoju 18 metrów kwadratowych płynu, co wręcz przeciwnie wydaje się zbyt małą objętością.

Ogólnie rzecz biorąc, system edukacji w ZSRR był naprawdę najlepszy. Ta sama książka Perelmana, napisana przez niego w 1950 roku, bardzo dobrze rozwija, jak stwierdził humorysta, myślenie i uczy poszukiwania oryginalnych, niestandardowych rozwiązań problemów. Niedawno z dużym zainteresowaniem przeczytałem ponownie niektóre rozdziały, polecam, są przystępne nawet dla humanistów. Nie, nie musisz się uśmiechać, że zaoferowałem wolny czas, erudycja i szerokie horyzonty w komunikacji to świetna rzecz.

Po lirycznej dygresji wypada rozwiązać zadanie twórcze:

Przykład 4

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi płaskiej figury ograniczonej liniami, gdzie, gdzie.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Proszę zwrócić uwagę, że w paśmie wszystko się dzieje, czyli podane są praktycznie gotowe granice integracji. Spróbuj także poprawnie narysować wykresy funkcji trygonometrycznych; jeśli argument zostanie podzielony przez dwa: wówczas wykresy zostaną dwukrotnie rozciągnięte wzdłuż osi. Spróbuj znaleźć co najmniej 3-4 punkty zgodnie z tabelami trygonometrycznymi i dokładniej uzupełnij rysunek. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Nawiasem mówiąc, zadanie można rozwiązać racjonalnie i niezbyt racjonalnie.

Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót płaskiej figury wokół osi

Drugi akapit będzie jeszcze bardziej interesujący niż pierwszy. Zadanie obliczenia objętości ciała obrotowego wokół osi rzędnych jest również dość częstym gościem w pracach testowych. Po drodze zostanie to rozważone problem znalezienia obszaru figury druga metoda to integracja wzdłuż osi, pozwoli Ci to nie tylko udoskonalić swoje umiejętności, ale także nauczy Cię znajdować najbardziej opłacalną ścieżkę rozwiązania. Jest w tym także praktyczny sens życia! Jak z uśmiechem wspominała moja nauczycielka od metod nauczania matematyki, wielu absolwentów dziękowało jej słowami: „Twój przedmiot bardzo nam pomógł, teraz jesteśmy skutecznymi menadżerami i optymalnie zarządzamy kadrą”. Korzystając z okazji, również jej wyrażam ogromną wdzięczność, zwłaszcza, że ​​zdobytą wiedzę wykorzystuję zgodnie z jej przeznaczeniem=).

Przykład 5

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami ,,.

1) Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami. 2) Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

Uwaga! Nawet jeśli chcesz przeczytać tylko drugi punkt, najpierw Koniecznie przeczytaj pierwszy!

Rozwiązanie: Zadanie składa się z dwóch części. Zacznijmy od kwadratu.

1) Zróbmy rysunek:

Łatwo zauważyć, że funkcja określa górną gałąź paraboli, a funkcja określa dolną gałąź paraboli. Przed nami trywialna parabola, która „leży na boku”.

Pożądana figura, której obszar należy znaleźć, jest zacieniona na niebiesko.

Jak znaleźć obszar figury? Można go znaleźć w „zwykły” sposób, który był omawiany na zajęciach Określona całka. Jak obliczyć pole figury . Ponadto obszar figury jest sumą obszarów: – na segmencie ; - na odcinku.

Dlatego:

Dlaczego w tym przypadku zwykłe rozwiązanie jest złe? Po pierwsze, otrzymaliśmy dwie całki. Po drugie, całki są pierwiastkami, a pierwiastki w całkach nie są darem, a poza tym można się pomylić podstawiając granice całkowania. Tak naprawdę całki oczywiście nie są zabójcze, ale w praktyce wszystko może być znacznie smutniejsze, po prostu wybrałem „lepsze” funkcje do problemu.

Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie: polega ono na przejściu na funkcje odwrotne i całkowaniu wzdłuż osi.

Jak dostać się do funkcji odwrotnych? Z grubsza rzecz biorąc, musisz wyrazić „x” do „y”. Najpierw spójrzmy na parabolę:

To wystarczy, ale upewnijmy się, że tę samą funkcję można wyprowadzić z dolnej gałęzi:

Łatwiej jest z linią prostą:

Teraz spójrz na oś: podczas wyjaśniania okresowo przechyl głowę w prawo o 90 stopni (to nie jest żart!). Potrzebna nam liczba leży na segmencie oznaczonym czerwoną przerywaną linią. Co więcej, na odcinku linia prosta znajduje się nad parabolą, co oznacza, że ​​​​pole figury należy obliczyć za pomocą znanego już wzoru: . Co zmieniło się w formule? Tylko list i nic więcej.

! Uwaga: Należy ustawić granice całkowania wzdłuż osiściśle od dołu do góry !

Znalezienie obszaru:

Zatem w segmencie:

Proszę zwrócić uwagę jak przeprowadziłem integrację, jest to najbardziej racjonalny sposób, a w kolejnym akapicie zadania będzie jasne dlaczego.

Dla czytelników wątpiących w poprawność całkowania znajdę pochodne:

Otrzymano pierwotną funkcję całki, co oznacza, że ​​całkowanie zostało wykonane poprawnie.

Odpowiedź:

2) Obliczmy objętość ciała utworzonego przez obrót tej figury wokół osi.

Przerysuję rysunek w nieco innym stylu:

Zatem postać zacieniowana na niebiesko obraca się wokół osi. Rezultatem jest „unoszący się motyl”, który obraca się wokół własnej osi.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, całkujemy wzdłuż osi. Najpierw musimy przejść do funkcji odwrotnych. Zostało to już zrobione i szczegółowo opisane w poprzednim akapicie.

Teraz ponownie przechylamy głowę w prawo i przyglądamy się naszej sylwetce. Oczywiście objętość ciała wirującego należy obliczyć jako różnicę objętości.

Obracamy figurę zakreśloną na czerwono wokół osi, tworząc ścięty stożek. Oznaczmy tę objętość przez.

Obracamy figurę zakreśloną na zielono wokół osi i oznaczamy objętość powstałego korpusu obrotowego.

Objętość naszego motyla jest równa różnicy objętości.

Korzystamy ze wzoru na obliczenie objętości ciała obrotowego:

Jaka jest różnica w stosunku do wzoru z poprzedniego akapitu? Tylko w piśmie.

Ale zaletę integracji, o której ostatnio mówiłem, jest dużo łatwiej znaleźć , zamiast najpierw podnosić całkę do potęgi czwartej.

Rodzaj lekcji: łączony.

Cel lekcji: nauczyć się obliczać objętości ciał obrotowych za pomocą całek.

Zadania:

• utrwalić umiejętność rozpoznawania trapezów krzywoliniowych na podstawie szeregu figur geometrycznych i rozwinąć umiejętność obliczania pól trapezów krzywoliniowych;
• zapoznać się z koncepcją figury trójwymiarowej;
• nauczyć się obliczać objętości ciał wirujących;
• promować rozwój logicznego myślenia, kompetentnej mowy matematycznej, dokładności podczas konstruowania rysunków;
• kultywowanie zainteresowania przedmiotem, operacją pojęciami i obrazami matematycznymi, kultywowanie woli, samodzielności i wytrwałości w osiągnięciu końcowego rezultatu.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Pozdrowienia od grupy. Przekaż uczniom cele lekcji.

Odbicie. Spokojna melodia.

– Chciałbym rozpocząć dzisiejszą lekcję przypowieścią. „Dawno, dawno temu żył mądry człowiek, który wiedział wszystko. Pewien człowiek chciał udowodnić, że mędrzec nie wie wszystkiego. Trzymając motyla w dłoniach, zapytał: „Powiedz mi, mędrcze, który motyl jest w moich rękach: martwy czy żywy?” I on sam myśli: „Jeśli Żywa powie, zabiję ją, umarła powie: Wypuszczę ją”. Mędrzec po namyśle odpowiedział: "Wszystko w twoich rękach". (Prezentacja.Slajd)

– Dlatego dziś pracujmy owocnie, zdobywajmy nowy zasób wiedzy, a nabyte umiejętności i zdolności wykorzystamy w przyszłym życiu i w działaniach praktycznych. "Wszystko w twoich rękach".

II. Powtórzenie wcześniej przestudiowanego materiału.

– Przypomnijmy sobie główne punkty wcześniej przestudiowanego materiału. Aby to zrobić, wykonajmy zadanie „Wyeliminuj dodatkowe słowo”.(Slajd.)

(Uczeń podchodzi do I.D. i usuwa dodatkowe słowo za pomocą gumki.)

- Prawidłowy "Mechanizm różnicowy". Spróbuj nazwać pozostałe słowa jednym wspólnym słowem. (Rachunek całkowy.)

– Przypomnijmy sobie główne etapy i pojęcia związane z rachunkiem całkowym.

„Matematyczna gromadka”.

Ćwiczenia. Odzyskaj luki. (Uczeń wychodzi i pisze długopisem wymagane słowa.)

– Później usłyszymy streszczenie dotyczące stosowania całek.

Pracuj w notatnikach.

– Wzór Newtona-Leibniza został wyprowadzony przez angielskiego fizyka Izaaka Newtona (1643–1727) i niemieckiego filozofa Gottfrieda Leibniza (1646–1716). I nie jest to zaskakujące, ponieważ matematyka jest językiem, którym mówi sama natura.

– Zastanówmy się, jak przy rozwiązywaniu zadania praktyczne ta formuła jest używana.

Przykład 1: Oblicz pole figury ograniczone liniami

Rozwiązanie: Zbudujmy wykresy funkcji na płaszczyźnie współrzędnych . Wybierzmy obszar figury, który należy znaleźć.

III. Nauka nowego materiału.

– Zwróć uwagę na ekran. Co jest pokazane na pierwszym obrazku? (Slajd) (Rysunek przedstawia płaską figurę.)

– Co jest pokazane na drugim obrazku? Czy ta figura jest płaska? (Slajd) (Rysunek przedstawia figurę trójwymiarową.)

– W kosmosie, na ziemi i w Życie codzienne Spotykamy nie tylko figury płaskie, ale także trójwymiarowe, ale jak obliczyć objętość takich ciał? Na przykład objętość planety, komety, meteorytu itp.

– Ludzie myślą o objętości zarówno przy budowie domów, jak i przy przelewaniu wody z jednego naczynia do drugiego. Musiały się wyłonić zasady i techniki obliczania objętości; to, jak dokładne i rozsądne były, to inna sprawa.

Wiadomość od studenta. (Tyurina Vera.)

Rok 1612 był bardzo owocny dla mieszkańców austriackiego miasta Linz, gdzie mieszkał słynny astronom Johannes Kepler, zwłaszcza dla winogron. Ludzie przygotowywali beczki z winem i chcieli wiedzieć, jak w praktyce określić ich objętość. (slajd 2)

– W ten sposób rozważane dzieła Keplera położyły podwaliny pod cały nurt badań, których kulminacja przypada na ostatnią ćwierć XVII wieku. projekt w pracach I. Newtona i G.V. Leibniz rachunku różniczkowego i całkowego. Od tego czasu matematyka zmiennych zajęła wiodące miejsce w systemie wiedzy matematycznej.

– Dzisiaj ty i ja będziemy zajmować się takimi praktycznymi działaniami, dlatego

Temat naszej lekcji: „Obliczanie objętości ciał wirujących za pomocą całki oznaczonej”. (Slajd)

– Definicję ciała obrotowego poznasz wykonując poniższe zadanie.

"Labirynt".

Labirynt (greckie słowo) oznacza zejście do podziemia. Labirynt to skomplikowana sieć ścieżek, przejść i połączonych ze sobą pomieszczeń.

Jednak definicja została „zepsuta”, pozostawiając wskazówki w postaci strzałek.

Ćwiczenia. Znajdź wyjście z tej zagmatwanej sytuacji i zapisz definicję.

Slajd. „Instrukcja mapy” Obliczanie objętości.

Za pomocą całki oznaczonej można obliczyć objętość konkretnego ciała, w szczególności ciała obrotowego.

Ciało obrotowe to bryła uzyskana poprzez obrót zakrzywionego trapezu wokół jego podstawy (ryc. 1, 2)

Objętość ciała wirującego oblicza się za pomocą jednego ze wzorów:

1. wokół osi OX.

2. , jeśli obrót zakrzywionego trapezu wokół osi wzmacniacza operacyjnego.

Każdy uczeń otrzymuje kartę instruktażową. Nauczyciel podkreśla główne punkty.

– Nauczyciel wyjaśnia rozwiązania przykładów na tablicy.

Rozważ fragment z słynna bajka A. S. Puszkin „Opowieść o carze Saltanie, jego chwalebnym i potężnym bohaterze, księciu Guidonie Saltanowiczu i pięknej księżniczce Łabędzi” (slajd 4):

…..
I pijany posłaniec przyniósł
Tego samego dnia kolejność przedstawia się następująco:
„Król rozkazuje swoim bojarom,
Nie marnując czasu,
I królowa i potomstwo
Wrzuć potajemnie do otchłani wody.”
Nie ma nic do zrobienia: bojary,
Martwienie się o suwerena
I młodej królowej,
Do jej sypialni przybył tłum.
Ogłosili wolę króla -
Ona i jej syn mają udział w złu,
Czytamy głośno dekret,
I królowa o tej samej godzinie
Wsadzili mnie do beczki z synem,
Smołowali i odjechali
I wpuścili mnie do okiyan -
Tak nakazał car Saltan.

Jaka powinna być objętość beczki, aby zmieściła się w niej królowa z synem?

– Rozważ następujące zadania

1. Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi rzędnych krzywoliniowego trapezu ograniczonego liniami: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odpowiedź: 1163 cm 3 .

Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót trapezu parabolicznego wokół osi odciętej y = , x = 4, y = 0.

IV. Konsolidacja nowego materiału

Przykład 2. Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót płatka wokół osi x y = x 2 , y 2 = x.

Zbudujmy wykresy funkcji. y = x 2 , y 2 = x. Harmonogram y2 = x skonwertuj do formularza y= .

Mamy V = V 1 – V 2 Obliczmy objętość każdej funkcji

– A teraz spójrzmy na wieżę radiostacji w Moskwie na Szabołowce, zbudowaną według projektu wybitnego rosyjskiego inżyniera, honorowego akademika W. G. Szuchowa. Składa się z części - hiperboloidów obrotu. Ponadto każdy z nich wykonany jest z prostych metalowych prętów łączących sąsiednie koła (ryc. 8, 9).

- Rozważmy problem.

Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót łuków hiperboli wokół swojej wyimaginowanej osi, jak pokazano na ryc. 8, gdzie

sześcian jednostki

Zadania grupowe. Uczniowie losują zadania, rysują rysunki na papierze Whatman, a jeden z przedstawicieli grupy broni pracy.

1. grupa.

Uderzyć! Uderzyć! Kolejny cios!
Piłka leci do bramki - PIŁKA!
A to jest kulka arbuza
Zielone, okrągłe, smaczne.
Przyjrzyj się lepiej - co za piłka!
Składa się wyłącznie z kręgów.
Pokrój arbuza w koła
I skosztuj ich.

Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi OX funkcji ograniczonej

Błąd! Zakładka nie jest zdefiniowana.

– Proszę powiedzieć, gdzie spotykamy tę postać?

Dom. zadanie dla 1 grupy. CYLINDER (slajd) .

„Cylinder – co to jest?” – zapytałem tatę.
Ojciec się roześmiał: Cylinder to kapelusz.
Aby mieć słuszny pogląd,
Powiedzmy, że cylinder to puszka blaszana.
Rura parowca - cylinder,
Rura na naszym dachu też

Wszystkie rury są podobne do cylindra.
A taki przykład podałem -
Kalejdoskop Moja miłość,
Nie można oderwać od niego wzroku,
I wygląda też jak cylinder.

- Ćwiczenia. Praca domowa wykreśl funkcję i oblicz objętość.

2. grupa. STOŻEK (slajd).

Mama powiedziała: A teraz
Moja historia będzie dotyczyła stożka.
Obserwator gwiazd w wysokim kapeluszu
Liczy gwiazdy przez cały rok.
CONE - kapelusz obserwatora gwiazd.
Taki właśnie jest. Zrozumiany? Otóż ​​to.
Mama stała przy stole,
Rozlałem olej do butelek.
-Gdzie jest lejek? Brak lejka.
Szukaj tego. Nie stój z boku.
- Mamo, nie ustąpię.
Powiedz nam więcej o stożku.
– Lejek ma kształt stożka konewki.
No dalej, znajdź ją dla mnie szybko.
Nie mogłem znaleźć lejka
Ale mama zrobiła torbę,
Owinąłem karton wokół palca
I zręcznie zabezpieczyła go spinaczem do papieru.
Olej płynie, mama jest zadowolona,
Stożek wyszedł w sam raz.

Ćwiczenia. Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osi odciętej

Dom. zadanie dla drugiej grupy. PIRAMIDA(slajd).

Widziałem zdjęcie. Na tym zdjęciu
Na piaszczystej pustyni znajduje się PIRAMIDA.
Wszystko w piramidzie jest niezwykłe,
Jest w tym jakaś tajemnica i tajemnica.
I Wieża Spasska na Placu Czerwonym
Jest bardzo znany zarówno dzieciom, jak i dorosłym.
Jeśli spojrzysz na wieżę, wygląda zwyczajnie,
Co jest na wierzchu? Piramida!

Ćwiczenia. Zadanie domowe: wykreśl funkcję i oblicz objętość piramidy

– Obliczyliśmy objętości różnych ciał w oparciu o podstawowy wzór na objętości ciał za pomocą całki.

Jest to kolejne potwierdzenie, że całka oznaczona jest pewną podstawą studiowania matematyki.

- Cóż, teraz odpocznijmy trochę.

Znajdź parę.

Gra matematyczna melodia domina.

„Droga, której sam szukałem, nigdy nie zostanie zapomniana…”

Praca badawcza. Zastosowanie całki w ekonomii i technologii.

Testy dla silnych uczniów i matematyczna piłka nożna.

Symulator matematyki.

2. Nazywa się zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji

A) całka nieoznaczona,

B) funkcja,

B) różnicowanie.

7. Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi odciętych krzywoliniowego trapezu ograniczonego liniami:

D/Z. Oblicz objętości ciał obrotowych.

Odbicie.

Odbiór refleksji w formie synchronizować(pięć linii).

Pierwsza linia – nazwa tematu (jeden rzeczownik).

2. linia – opis tematu w dwóch słowach, dwóch przymiotnikach.

Trzecia linia – opis działania w ramach tego tematu w trzech słowach.

Czwarta linia to fraza złożona z czterech słów, pokazująca stosunek do tematu (całe zdanie).

Piąta linijka jest synonimem powtarzającym istotę tematu.

1. Tom.
2. Całka oznaczona, funkcja całkowalna.
3. Budujemy, obracamy, obliczamy.
4. Ciało uzyskane przez obrót zakrzywionego trapezu (wokół jego podstawy).
5. Ciało obrotowe (objętościowe ciało geometryczne).

Wniosek (slajd).

• Całka oznaczona jest pewną podstawą studiowania matematyki, która wnosi niezastąpiony wkład w rozwiązywanie problemów praktycznych.
• Temat „Integralność” wyraźnie ukazuje związek matematyki z fizyką, biologią, ekonomią i technologią.
• Rozwój nowoczesna nauka jest nie do pomyślenia bez użycia całki. W związku z tym konieczne jest rozpoczęcie nauki w ramach średniego kształcenia specjalistycznego!

Cieniowanie. (Z komentarzem.)

Wielki Omar Chajjam – matematyk, poeta, filozof. Zachęca nas, abyśmy byli panami własnego losu. Posłuchajmy fragmentu jego twórczości:

Powiesz, że to życie to jedna chwila.
Doceniaj to, czerp z tego inspirację.
Jak go wydasz, tak minie.
Nie zapomnij: ona jest twoim dziełem.