வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் போன்ற புகழ்பெற்ற கணிதக் கருவியின் வரலாற்றிலிருந்து நாம் தொடங்க வேண்டும் என்று நினைக்கிறேன். அனைத்து வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்களைப் போலவே, இந்த சமன்பாடுகளும் 17 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் நியூட்டனால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அவரது இந்த குறிப்பிட்ட கண்டுபிடிப்பு மிகவும் முக்கியமானது என்று அவர் கருதினார், அவர் ஒரு செய்தியை குறியாக்கம் செய்தார், இன்று இது போன்ற ஏதாவது மொழிபெயர்க்கலாம்: "இயற்கையின் அனைத்து விதிகளும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளால் விவரிக்கப்படுகின்றன." இது மிகைப்படுத்தப்பட்டதாகத் தோன்றினாலும் உண்மைதான். இயற்பியல், வேதியியல், உயிரியல் ஆகியவற்றின் எந்த விதியையும் இந்த சமன்பாடுகளால் விவரிக்க முடியும்.

கணிதவியலாளர்களான யூலர் மற்றும் லாக்ரேஞ்ச் ஆகியோர் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சிக்கும் உருவாக்கத்திற்கும் பெரும் பங்களிப்பைச் செய்தனர். ஏற்கனவே 18 ஆம் நூற்றாண்டில், அவர்கள் இப்போது மூத்த பல்கலைக்கழக படிப்புகளில் படிப்பதைக் கண்டுபிடித்து உருவாக்கினர்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஆய்வில் ஒரு புதிய மைல்கல் ஹென்றி பாய்ன்கேருக்கு நன்றி செலுத்தத் தொடங்கியது. அவர் "வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் தரக் கோட்பாட்டை" உருவாக்கினார், இது ஒரு சிக்கலான மாறியின் செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டுடன் இணைந்து, இடவியலின் அடித்தளத்திற்கு குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பைச் செய்தது - விண்வெளி அறிவியல் மற்றும் அதன் பண்புகள்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன?

இருப்பினும், பலர் ஒரு சொற்றொடரைப் பற்றி பயப்படுகிறார்கள், இந்த கட்டுரையில் இந்த மிகவும் பயனுள்ள கணித கருவியின் முழு சாரத்தையும் விரிவாகக் கோடிட்டுக் காட்டுவோம், இது உண்மையில் பெயரிலிருந்து தோன்றும் அளவுக்கு சிக்கலானது அல்ல. முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பற்றி பேசத் தொடங்க, இந்த வரையறையுடன் இயல்பாக தொடர்புடைய அடிப்படைக் கருத்துகளை நீங்கள் முதலில் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். மற்றும் நாம் வேறுபாட்டுடன் தொடங்குவோம்.

வித்தியாசமான

பள்ளிப் பருவத்திலிருந்தே இந்த கருத்தை பலர் அறிந்திருக்கிறார்கள். இருப்பினும், அதை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதன் எந்தப் பகுதியும் நேர்கோட்டின் வடிவத்தை எடுக்கும் அளவுக்கு நாம் அதை அதிகரிக்கலாம். அதில் ஒன்றுக்கொன்று எல்லையற்ற நெருக்கமாக இருக்கும் இரண்டு புள்ளிகளை எடுத்துக் கொள்வோம். அவற்றின் ஆய (x அல்லது y) இடையே உள்ள வேறுபாடு எண்ணற்றதாக இருக்கும். இது வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் dy (y இன் வேறுபாடு) மற்றும் dx (x இன் வேறுபாடு) அறிகுறிகளால் குறிக்கப்படுகிறது. வேறுபாடு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அளவு அல்ல என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம், இது அதன் பொருள் மற்றும் முக்கிய செயல்பாடு.

இப்போது நாம் அடுத்த உறுப்பைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும், இது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் கருத்தை விளக்குவதில் நமக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். இது ஒரு வழித்தோன்றல்.

வழித்தோன்றல்

இந்த கருத்தை நாம் அனைவரும் பள்ளியில் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் விகிதம் என்று கூறப்படுகிறது. இருப்பினும், இந்த வரையறையிலிருந்து மிகவும் தெளிவாகிறது. வேற்றுமைகள் மூலம் வழித்தோன்றலை விளக்க முயற்சிப்போம். இயக்கத்தில் இருக்கும் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாட்டின் எண்ணற்ற பகுதிக்குத் திரும்புவோம் குறைந்தபட்ச தூரம்ஒருவருக்கொருவர். ஆனால் இந்த தூரத்தில் கூட செயல்பாடு சில அளவு மாற்றத்தை நிர்வகிக்கிறது. இந்த மாற்றத்தை விவரிக்க அவர்கள் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டு வந்தனர், இது வேறுபாட்டின் விகிதமாக எழுதப்படலாம்: f(x)"=df/dx.

இப்போது வழித்தோன்றலின் அடிப்படை பண்புகளை கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு. அவற்றில் மூன்று மட்டுமே உள்ளன:

1. ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல் தொகையாக அல்லது வழித்தோன்றல்களின் வேறுபாடாக குறிப்பிடப்படலாம்: (a+b)"=a"+b" மற்றும் (a-b)"=a"-b".
2. இரண்டாவது பண்பு பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது. ஒரு பொருளின் வழித்தோன்றல் என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் மற்றொன்றின் வழித்தோன்றல்: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றலை பின்வரும் சமத்துவமாக எழுதலாம்: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

இந்த பண்புகள் அனைத்தும் முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கண்டறிய நமக்குப் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

பகுதி வழித்தோன்றல்களும் உள்ளன. x மற்றும் y மாறிகள் சார்ந்து z சார்பு உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்தச் செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட, x ஐப் பொறுத்தவரை, நாம் மாறி y ஐ மாறி மாறி வேறுபடுத்த வேண்டும்.

ஒருங்கிணைந்த

மற்றொரு முக்கியமான கருத்து ஒருங்கிணைந்ததாகும். உண்மையில், இது ஒரு வழித்தோன்றலுக்கு நேர் எதிரானது. பல வகையான ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன, ஆனால் எளிமையான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, நமக்கு மிகவும் அற்பமானவை தேவை.

எனவே, நாம் x மீது f இன் சில சார்புகளைக் கொண்டுள்ளோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். நாம் அதிலிருந்து ஒருங்கிணைப்பை எடுத்து F(x) செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் (பெரும்பாலும் ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது), இதன் வழித்தோன்றல் அசல் செயல்பாட்டிற்கு சமம். இவ்வாறு F(x)"=f(x) மேலும் வழித்தோன்றலின் ஒருங்கிணைப்பு அசல் செயல்பாட்டிற்கு சமம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​ஒருங்கிணைப்பின் பொருள் மற்றும் செயல்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியம், ஏனென்றால் தீர்வு காண நீங்கள் அவற்றை அடிக்கடி எடுக்க வேண்டும்.

சமன்பாடுகள் அவற்றின் தன்மையைப் பொறுத்து மாறுபடும். அடுத்த பகுதியில், முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வகைகளைப் பார்ப்போம், பின்னர் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வகுப்புகள்

"Diffurs" அவற்றில் உள்ள வழித்தோன்றல்களின் வரிசைப்படி பிரிக்கப்படுகின்றன. இவ்வாறு முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் அதிக வரிசை உள்ளது. அவை பல வகுப்புகளாகப் பிரிக்கப்படலாம்: சாதாரண மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்.

இந்த கட்டுரையில் நாம் முதல் வரிசை சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம். பின்வரும் பிரிவுகளில் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழிகளையும் நாங்கள் விவாதிப்போம். நாங்கள் ODE களை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம், ஏனெனில் இவை மிகவும் பொதுவான சமன்பாடுகள். சாதாரணமானவை கிளையினங்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன: பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள், ஒரேவிதமான மற்றும் பன்முகத்தன்மை கொண்டவை. அடுத்து, அவை ஒருவருக்கொருவர் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள், அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள்.

கூடுதலாக, இந்த சமன்பாடுகள் ஒன்றிணைக்கப்படலாம், இதனால் நாம் முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புடன் முடிவடையும். அத்தகைய அமைப்புகளையும் நாங்கள் பரிசீலிப்போம், அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

நாம் ஏன் முதல் வரிசையை மட்டும் கருத்தில் கொள்கிறோம்? ஏனென்றால் நீங்கள் எளிமையான ஒன்றைத் தொடங்க வேண்டும், மேலும் ஒரு கட்டுரையில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் தொடர்பான அனைத்தையும் விவரிக்க இயலாது.

பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்

இவை ஒருவேளை எளிமையான முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளாக இருக்கலாம். இந்த மாதிரி எழுதக்கூடிய எடுத்துக்காட்டுகள் இதில் அடங்கும்: y"=f(x)*f(y). இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க, வழித்தோன்றலை வேறுபாட்டின் விகிதமாக குறிப்பிடுவதற்கான சூத்திரம் தேவை: y"=dy/dx. அதைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: dy/dx=f(x)*f(y). இப்போது நாம் தீர்வு முறைக்கு திரும்பலாம் நிலையான எடுத்துக்காட்டுகள்: மாறிகளை பகுதிகளாகப் பிரிப்போம், அதாவது, y மாறியில் உள்ள அனைத்தையும் dy அமைந்துள்ள பகுதிக்கு நகர்த்தி, அதையே x மாறியிலும் செய்யலாம். படிவத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: dy/f(y)=f(x)dx, இது இரு பக்கங்களின் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுத்து தீர்க்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பை எடுத்த பிறகு அமைக்க வேண்டிய மாறிலி பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள்.

எந்த ஒரு "வேறுபாடு" க்கும் தீர்வு என்பது y இல் x சார்ந்திருப்பதன் செயல்பாடாகும் (எங்கள் விஷயத்தில்) அல்லது, ஒரு எண் நிலை இருந்தால், எண் வடிவத்தில் பதில் கிடைக்கும். ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி முழு தீர்வு செயல்முறையையும் பார்ப்போம்:

மாறிகளை வெவ்வேறு திசைகளில் நகர்த்துவோம்:

இப்போது ஒருங்கிணைப்புகளை எடுத்துக் கொள்வோம். அவை அனைத்தையும் ஒரு சிறப்பு அட்டவணையில் காணலாம். மற்றும் நாம் பெறுகிறோம்:

ln(y) = -2*cos(x) + C

தேவைப்பட்டால், "y" ஐ "x" இன் செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தலாம். இப்போது நிபந்தனை குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால் நமது வேறுபாடு சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது என்று சொல்லலாம். ஒரு நிபந்தனையை குறிப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, y(n/2)=e. பின்னர் இந்த மாறிகளின் மதிப்புகளை தீர்வுக்கு மாற்றியமைத்து மாறிலியின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இது 1.

முதல் வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

இப்போது மிகவும் கடினமான பகுதிக்கு செல்லலாம். ஒரே மாதிரியான முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை எழுதலாம் பொதுவான பார்வைஇது போல்: y"=z(x,y). அதைக் கவனிக்க வேண்டும் சரியான செயல்பாடுஇரண்டு மாறிகள் ஒரே மாதிரியானவை, மேலும் அதை இரண்டு சார்புகளாகப் பிரிக்க முடியாது: x இல் z மற்றும் y இல் z. ஒரு சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானதா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்ப்பது மிகவும் எளிது: நாங்கள் x=k*x மற்றும் y=k*y ஆகியவற்றை மாற்றுகிறோம். இப்போது நாம் அனைத்து k ஐ குறைக்கிறோம். இந்த எழுத்துக்கள் அனைத்தும் குறைக்கப்பட்டால், சமன்பாடு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், நீங்கள் அதை பாதுகாப்பாக தீர்க்க ஆரம்பிக்கலாம். முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, ​​​​சொல்லலாம்: இந்த எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கொள்கையும் மிகவும் எளிது.

நாம் மாற்றீடு செய்ய வேண்டும்: y=t(x)*x, t என்பது xஐயும் சார்ந்திருக்கும் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு. பின்னர் நாம் வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்தலாம்: y"=t"(x)*x+t. இதையெல்லாம் மாற்றுவது எங்கள் அசல் சமன்பாடுமற்றும் அதை எளிதாக்குவதன் மூலம், பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் t மற்றும் x உடன் ஒரு எடுத்துக்காட்டு கிடைக்கும். நாங்கள் அதைத் தீர்த்து, சார்பு t(x) ஐப் பெறுகிறோம். நாங்கள் அதைப் பெற்றவுடன், y=t(x)*x ஐ எங்கள் முந்தைய மாற்றாக மாற்றுவோம். பின்னர் x இல் y இன் சார்பு கிடைக்கும்.

அதை தெளிவுபடுத்த, ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: x*y"=y-x*e y/x .

மாற்றுடன் சரிபார்க்கும் போது, ​​எல்லாம் குறைக்கப்படுகிறது. இதன் பொருள் சமன்பாடு உண்மையிலேயே ஒரே மாதிரியானது. இப்போது நாம் பேசிய மற்றொரு மாற்றீட்டைச் செய்கிறோம்: y=t(x)*x மற்றும் y"=t"(x)*x+t(x). எளிமைப்படுத்திய பிறகு, நாம் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: t"(x)*x=-e t. விளைந்த எடுத்துக்காட்டைப் பிரிக்கப்பட்ட மாறிகள் மூலம் தீர்த்து, பெறுவோம்: e -t =ln(C*x). நாம் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் மாற்றுவதுதான். t உடன் y/x (எல்லாவற்றுக்கும் மேலாக, y =t*x என்றால், t=y/x), மற்றும் பதில் கிடைக்கும்: e -y/x =ln(x*C).

முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

மற்றொரு பரந்த தலைப்பைப் பார்க்க வேண்டிய நேரம் இது. முதல்-வரிசை ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். முந்தைய இரண்டிலிருந்து அவை எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். பொதுவான வடிவத்தில் முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளை பின்வருமாறு எழுதலாம்: y" + g(x)*y=z(x). z(x) மற்றும் g(x) ஆகியவை நிலையான அளவுகளாக இருக்கலாம் என்பதை தெளிவுபடுத்துவது மதிப்பு.

இப்போது ஒரு எடுத்துக்காட்டு: y" - y*x=x 2 .

இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன, இரண்டையும் வரிசையாகப் பார்ப்போம். முதலாவது தன்னிச்சையான மாறிலிகளை மாற்றும் முறை.

சமன்பாட்டை இந்த வழியில் தீர்க்க, நீங்கள் முதலில் சமன் செய்ய வேண்டும் வலது பக்கம்பூஜ்ஜியத்திற்கு மற்றும் விளைவாக சமன்பாட்டை தீர்க்கவும், இது பகுதிகளை மாற்றிய பின் படிவத்தை எடுக்கும்:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.

இப்போது நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய நிலையான C 1 ஐ v(x) செயல்பாட்டுடன் மாற்ற வேண்டும்.

வழித்தோன்றலை மாற்றுவோம்:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

இந்த வெளிப்பாடுகளை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும்:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

இடது பக்கத்தில் இரண்டு சொற்கள் ரத்து செய்யப்படுவதைக் காணலாம். சில உதாரணங்களில் இது நடக்கவில்லை என்றால், நீங்கள் ஏதோ தவறு செய்தீர்கள். தொடர்வோம்:

v"*e x2/2 = x 2 .

இப்போது நாம் வழக்கமான சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம், அதில் மாறிகளை பிரிக்க வேண்டும்:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

ஒருங்கிணைப்பைப் பிரித்தெடுக்க, நாம் இங்கே பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இருப்பினும், இது எங்கள் கட்டுரையின் தலைப்பு அல்ல. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், அத்தகைய செயல்களை நீங்களே எவ்வாறு செய்வது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ளலாம். இது கடினம் அல்ல, போதுமான திறமை மற்றும் கவனிப்புடன் இது அதிக நேரம் எடுக்காது.

ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் இரண்டாவது முறைக்கு வருவோம்: பெர்னோலியின் முறை. எந்த அணுகுமுறை விரைவானது மற்றும் எளிதானது என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

எனவே, இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது, ​​நாம் ஒரு மாற்றீடு செய்ய வேண்டும்: y=k*n. இங்கே k மற்றும் n சில x-சார்ந்த செயல்பாடுகள். பின்னர் வழித்தோன்றல் இப்படி இருக்கும்: y"=k"*n+k*n". இரண்டு மாற்றீடுகளையும் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

குழுவாக்கம்:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

இப்போது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளதை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்ய வேண்டும். இப்போது, ​​இரண்டு சமன்பாடுகளையும் இணைத்தால், தீர்க்கப்பட வேண்டிய முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

முதல் சமத்துவத்தை ஒரு சாதாரண சமன்பாடாக தீர்க்கிறோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் மாறிகளை பிரிக்க வேண்டும்:

நாம் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்து பெறுகிறோம்: ln(n)=x 2/2. பின்னர், நாம் n ஐ வெளிப்படுத்தினால்:

இப்போது நாம் விளைந்த சமத்துவத்தை கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

k"*e x2/2 =x 2 .

மாற்றும், முதல் முறையைப் போலவே சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

dk=x 2 /e x2/2.

நாங்களும் பிரிக்க மாட்டோம் மேலும் நடவடிக்கைகள். முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை முதலில் தீர்ப்பது குறிப்பிடத்தக்க சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது என்று சொல்வது மதிப்பு. இருப்பினும், தலைப்பில் ஆழமாக மூழ்கி, அது சிறப்பாகவும் சிறப்பாகவும் செயல்படத் தொடங்குகிறது.

வேறுபாடு சமன்பாடுகள் எங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன?

இயற்பியலில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் மிகவும் தீவிரமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் கிட்டத்தட்ட அனைத்து அடிப்படை சட்டங்களும் இதில் எழுதப்பட்டுள்ளன. வேறுபட்ட வடிவம், மற்றும் நாம் பார்க்கும் சூத்திரங்கள் இந்த சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு. வேதியியலில் அவை ஒரே காரணத்திற்காகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: அடிப்படைச் சட்டங்கள் அவற்றின் உதவியுடன் பெறப்படுகின்றன. உயிரியலில், வேட்டையாடும் மற்றும் இரை போன்ற அமைப்புகளின் நடத்தையை மாதிரியாக மாற்றுவதற்கு வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. நுண்ணுயிரிகளின் காலனியின் இனப்பெருக்க மாதிரிகளை உருவாக்கவும் அவை பயன்படுத்தப்படலாம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் வாழ்க்கையில் உங்களுக்கு எவ்வாறு உதவ முடியும்?

இந்த கேள்விக்கான பதில் எளிது: இல்லை. நீங்கள் ஒரு விஞ்ஞானி அல்லது பொறியியலாளர் இல்லை என்றால், அவர்கள் உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்க வாய்ப்பில்லை. இருப்பினும் பொது வளர்ச்சிவேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன, அது எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகிறது என்பதை அறிவது வலிக்காது. பின்னர் மகன் அல்லது மகளின் கேள்வி "வேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன?" உங்களை குழப்பாது. சரி, நீங்கள் ஒரு விஞ்ஞானி அல்லது பொறியியலாளர் என்றால், எந்தவொரு அறிவியலிலும் இந்த தலைப்பின் முக்கியத்துவத்தை நீங்களே புரிந்துகொள்கிறீர்கள். ஆனால் மிக முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், இப்போது கேள்வி "முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?" நீங்கள் எப்போதும் பதில் கொடுக்க முடியும். ஒப்புக்கொள், மக்கள் புரிந்து கொள்ள பயப்படும் ஒன்றை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளும்போது அது எப்போதும் நன்றாக இருக்கும்.

படிப்பில் உள்ள முக்கிய பிரச்சனைகள்

இந்த தலைப்பைப் புரிந்துகொள்வதில் உள்ள முக்கிய பிரச்சனை, செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்து வேறுபடுத்துவதில் மோசமான திறன் ஆகும். வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுத்துக்கொள்வதில் நீங்கள் மோசமாக இருந்தால், அது படிப்பது மற்றும் தேர்ச்சி பெறுவது மதிப்புக்குரியது வெவ்வேறு முறைகள்ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வேறுபாடு, பின்னர் மட்டுமே கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்ட பொருளைப் படிக்கத் தொடங்குங்கள்.

dx-ஐ எடுத்துச் செல்ல முடியும் என்பதை அறியும்போது சிலர் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள், ஏனென்றால் முன்பு (பள்ளியில்) dy/dx என்ற பின்னம் பிரிக்க முடியாதது என்று கூறப்பட்டது. இங்கே நீங்கள் வழித்தோன்றல் பற்றிய இலக்கியங்களைப் படித்து, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது கையாளக்கூடிய எண்ணற்ற அளவுகளின் விகிதம் என்பதை புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் ஒரு செயல்பாடு அல்லது ஒரு ஒருங்கிணைந்த செயல் என்பதை பலர் உடனடியாக உணரவில்லை, மேலும் இந்த தவறான கருத்து அவர்களுக்கு நிறைய சிக்கல்களைத் தருகிறது.

சிறந்த புரிதலுக்கு வேறு என்ன படிக்கலாம்?

சிறப்புப் பாடப்புத்தகங்களுடன் வேறுபட்ட கால்குலஸ் உலகில் மேலும் மூழ்கத் தொடங்குவது சிறந்தது, எடுத்துக்காட்டாக, அன்று கணித பகுப்பாய்வுகணிதம் அல்லாத சிறப்பு மாணவர்களுக்கு. பின்னர் நீங்கள் இன்னும் சிறப்பு இலக்கியத்திற்கு செல்லலாம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு மேலதிகமாக, ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளும் உள்ளன, எனவே நீங்கள் எப்போதும் பாடுபடுவதற்கும் படிப்பதற்கும் ஏதாவது இருக்கும் என்று சொல்வது மதிப்பு.

முடிவுரை

இந்தக் கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் என்ன, அவற்றை எவ்வாறு சரியாகத் தீர்ப்பது என்பது பற்றிய யோசனை உங்களுக்கு இருக்கும் என்று நம்புகிறோம்.

எப்படியிருந்தாலும், கணிதம் நமக்கு வாழ்க்கையில் ஏதாவது ஒரு வகையில் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இது தர்க்கத்தையும் கவனத்தையும் உருவாக்குகிறது, இது இல்லாமல் ஒவ்வொரு நபரும் கைகள் இல்லாமல் இருக்கிறார்கள்.

விரிவுரை குறிப்புகள்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

அறிமுகம்

சில நிகழ்வுகளைப் படிக்கும் போது, ​​y=f(x) அல்லது F(x;y)=0 என்ற சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி செயல்முறை விவரிக்க முடியாத சூழ்நிலை அடிக்கடி எழுகிறது. மாறி x மற்றும் அறியப்படாத சார்புக்கு கூடுதலாக, இந்தச் சார்பின் வழித்தோன்றல் சமன்பாட்டில் நுழைகிறது.

வரையறை:மாறி x, அறியப்படாத செயல்பாடு y(x) மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை இணைக்கும் சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாடு. பொதுவாக, வேறுபட்ட சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

வரையறை:வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை என்பது அதில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசையாகும்.

-1 வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடு

- 3 வது வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடு

வரையறை:வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு என்பது ஒரு செயல்பாடாகும், இது சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும்போது, ​​​​அதை ஒரு அடையாளமாக மாற்றுகிறது.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் 1 வது ஆர்டர்

வரையறை:படிவத்தின் சமன்பாடு =f(x;y) அல்லது F(x;y; )=01 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை: 1 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு y=γ(x;c) சார்பு ஆகும், இதில் (c –const), இது சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும்போது, ​​​​அதை அடையாளமாக மாற்றுகிறது. வடிவியல் ரீதியாக, விமானத்தில், பொதுவான தீர்வு சி அளவுருவைப் பொறுத்து ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

வரையறை:ஆயத்தொலைவுகளுடன் (x 0 ;y 0) விமானத்தில் ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒருங்கிணைந்த வளைவு ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வுக்கு ஒத்திருக்கிறது:

1 வது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் தனித்தன்மையின் இருப்பு பற்றிய தேற்றம்

1வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது
மற்றும் f(x;y) செயல்பாடு XOY விமானத்தின் சில பகுதி D இல் பகுதி வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்ச்சியாக இருக்கும், பின்னர் புள்ளி M 0 (x 0 ;y 0) D ஆனது ஆரம்ப நிலை y(x 0)=y 0 உடன் தொடர்புடைய வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வுடன் தொடர்புடைய ஒரே வளைவு வழியாக செல்கிறது.

ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு கொடுக்கப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகளுடன் விமானத்தில் ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது.

நீங்கள் பெற முடியாது என்றால் பொதுவான தீர்வுவெளிப்படையான வடிவத்தில் 1 வது வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடு, அதாவது.
, பின்னர் அதை மறைமுகமாகப் பெறலாம்:

F(x; y; c) =0 – மறைமுகமான வடிவம்

இந்த வடிவத்தில் பொதுவான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது பொது ஒருங்கிணைப்புவேறுபட்ட சமன்பாடு.

1 வது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு தொடர்பாக, 2 சிக்கல்கள் முன்வைக்கப்படுகின்றன:

1) பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும் (பொது ஒருங்கிணைப்பு)

2) கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை (பகுதி ஒருங்கிணைப்பு) கண்டறியவும். இந்தச் சிக்கல் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy பிரச்சனை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

படிவத்தின் சமன்பாடுகள்:
பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மாற்றுவோம்

dx ஆல் பெருக்கவும்

மாறிகளை பிரிப்போம்

பிரித்து

குறிப்பு: எப்போது சிறப்பு வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்

மாறிகள் பிரிக்கப்படுகின்றன

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்

- பொதுவான தீர்வு

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்:

ஒரு தனிமைப்படுத்தப்பட்ட வழக்கு
!

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்:

1)

2)
ஆரம்பம் நிபந்தனைகள்:

1 வது வரிசையின் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

வரையறை:செயல்பாடு
n என்ற வரிசையின் ஒரே மாதிரியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு: - ஆர்டர்ன்=2 இன் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடு

வரையறை:வரிசை 0 இன் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஒரே மாதிரியான.

வரையறை:வேறுபட்ட சமன்பாடு
ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் அழைக்கப்படுகிறது
- ஒரே மாதிரியான செயல்பாடு, அதாவது.

எனவே, ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்:

மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துதல் , t என்பது x மாறியின் செயல்பாடாக இருந்தால், ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

- சமன்பாட்டில் மாற்று

மாறிகள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்

பதிலீடு செய்வதன் மூலம் தலைகீழ் மாற்றீடு செய்வோம் , மறைமுகமான வடிவத்தில் பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்.

ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டை வேறுபட்ட வடிவத்தில் எழுதலாம்.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, M(x;y) மற்றும் N(x;y) ஆகியவை ஒரே வரிசையின் ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளாகும்.

dx மற்றும் எக்ஸ்பிரஸ் மூலம் வகுக்கவும்

1)

a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) வடிவத்தின் முதல்-வரிசை சமன்பாடு நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு எனப்படும். b(x) ≡ 0 எனில் சமன்பாடு ஒரே மாதிரியானது, இல்லையெனில் - பன்முகத்தன்மை கொண்ட. ஒரு நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு, இருப்பு மற்றும் தனித்துவ தேற்றம் மிகவும் குறிப்பிட்ட வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

சேவையின் நோக்கம். தீர்வைச் சரிபார்க்க ஆன்லைன் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம் ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்வடிவம் y"+y=b(x) .

=

மாறி மாற்று y=u*v ஐப் பயன்படுத்தவும்
தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்தவும்
yக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்( ) = .

ஒரு தீர்வைப் பெற, அசல் வெளிப்பாடு படிவமாக குறைக்கப்பட வேண்டும்: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). எடுத்துக்காட்டாக, y"-exp(x)=2*y. அது y"-2 *y=exp(x) ஆக இருக்கும்.

தேற்றம். ஒரு 1 (x) , a 0 (x) , b(x) இடைவெளியில் [α,β], ∀x∈[α,β]க்கு 1 ≠0 ஆகியவை தொடர்ந்து இருக்கட்டும். பின்னர் எந்தப் புள்ளிக்கும் (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது, இது y(x 0) = y 0 மற்றும் முழு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. ,β].
ஒரே மாதிரியான நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு a 1 ​​(x)y"+a 0 (x)y=0 என்பதைக் கவனியுங்கள்.
மாறிகளைப் பிரிப்பதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம், அல்லது, இரு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைத்து, எக்ஸ்ப்(x) = e x என்ற குறியீட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்ட கடைசி உறவு, வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது

இப்போது சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம், இதில் நிலையான C க்கு பதிலாக C(x) செயல்பாடு மாற்றப்படுகிறது, அதாவது வடிவத்தில்

இந்த தீர்வை அசல் ஒன்றில் மாற்றுவது, தேவையான மாற்றங்களுக்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம் பிந்தையதை ஒருங்கிணைத்து, எங்களிடம் உள்ளது

C1 என்பது சில புதிய மாறிலி. இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டினை C(x)க்கு மாற்றியமைத்து, இறுதியாக அசல் நேரியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைப் பெறுகிறோம்.
.

உதாரணம். y" + 2y = 4x சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு y" + 2y = 0 ஐக் கவனியுங்கள். அதைத் தீர்த்தால், y = Ce -2 x கிடைக்கும். நாம் இப்போது y = C(x)e -2 x வடிவத்தில் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைத் தேடுகிறோம். அசல் சமன்பாட்டில் y மற்றும் y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x ஐ மாற்றினால், C"(x) = 4xe 2 x, எங்கிருந்து C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 மற்றும் y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x என்பது அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு இந்த தீர்வு, y 1 (. x) = 2x-1 - சக்தியின் செல்வாக்கின் கீழ் ஒரு பொருளின் இயக்கம் b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - பொருளின் சரியான இயக்கம்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x என்ற முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.
இது ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு அல்ல. மாறிகளின் மாற்றத்தை செய்வோம்: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x அல்லது u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
தீர்வு இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. சமன் u=0, 3v tan(3x)+v" = 0க்கான தீர்வைக் கண்டறியவும்
அதை வடிவத்தில் வழங்குவோம்: v" = -3v tg(3x)

ஒருங்கிணைத்தல், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. v அறிதல், நிபந்தனையிலிருந்து உங்களைக் கண்டறியவும்: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
ஒருங்கிணைத்தல், நாங்கள் பெறுகிறோம்:
y=u v என்ற நிலையில் இருந்து, நாம் பெறுகிறோம்:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) அல்லது y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

கல்வி நிறுவனம் "பெலாரசிய மாநிலம்

வேளாண் அகாடமி"

உயர் கணிதத் துறை

முதல் வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

கணக்கியல் மாணவர்களுக்கான விரிவுரை குறிப்புகள்

கல்வியின் கடித வடிவம் (NISPO)

கோர்கி, 2013

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் கருத்து. பொதுவான மற்றும் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள்

பல்வேறு நிகழ்வுகளைப் படிக்கும்போது, ​​​​சுயாதீன மாறி மற்றும் விரும்பிய செயல்பாட்டை நேரடியாக இணைக்கும் ஒரு சட்டத்தை அடிக்கடி கண்டுபிடிக்க முடியாது, ஆனால் விரும்பிய செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்துவது சாத்தியமாகும்.

சுயாதீன மாறி, விரும்பிய செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களை இணைக்கும் உறவு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாடு :

இங்கே x- சுயாதீன மாறி, ஒய்- தேவையான செயல்பாடு,
- விரும்பிய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள். இந்த வழக்கில், உறவு (1) குறைந்தபட்சம் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

. (2)

இந்த சமன்பாடு முதல்-வரிசை வழித்தோன்றலை மட்டுமே உள்ளடக்கியதால், இது அழைக்கப்படுகிறது முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும்.

சமன்பாடு (2) என்பது வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்பட்டு படிவத்தில் எழுதப்பட்டால்

, (3)

பின்னர் அத்தகைய சமன்பாடு சாதாரண வடிவத்தில் முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பல சந்தர்ப்பங்களில், படிவத்தின் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வது நல்லது

என்று அழைக்கப்படும் வேறுபட்ட வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு.

ஏனெனில்
, பின்னர் சமன்பாடு (3) என எழுதலாம்
அல்லது
, நாம் எங்கே எண்ணலாம்
மற்றும்
. இதன் பொருள் சமன்பாடு (3) சமன்பாடு (4) ஆக மாற்றப்படுகிறது.

சமன்பாடு (4) வடிவத்தில் எழுதுவோம்
. பிறகு
,
,
, நாம் எங்கே எண்ணலாம்
, அதாவது படிவத்தின் சமன்பாடு (3) பெறப்படுகிறது. எனவே, சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4) சமமானவை.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது (2) அல்லது (3) எந்த செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
, அதை சமன்பாடு (2) அல்லது (3) ஆக மாற்றும்போது, ​​அதை அடையாளமாக மாற்றுகிறது:

அல்லது
.

ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து தீர்வுகளையும் கண்டறியும் செயல்முறை அதன் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு , மற்றும் தீர்வு வரைபடம்
வேறுபட்ட சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த வளைவு இந்த சமன்பாடு.

வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு மறைமுக வடிவத்தில் பெறப்பட்டால்
, பின்னர் அது அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த வேறுபட்ட சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது.

பொதுவான தீர்வு முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது படிவத்தின் செயல்பாடுகளின் குடும்பமாகும்
, தன்னிச்சையான மாறிலியைப் பொறுத்து உடன், இவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புக்கான கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும் உடன். எனவே, வேறுபட்ட சமன்பாடு எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.

தனிப்பட்ட முடிவு வேறுபட்ட சமன்பாடு என்பது ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கான பொதுவான தீர்வு சூத்திரத்திலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரு தீர்வாகும். உடன், உட்பட
.

Cauchy பிரச்சனை மற்றும் அதன் வடிவியல் விளக்கம்

சமன்பாடு (2) எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்தத் தொகுப்பிலிருந்து ஒரு தீர்வைத் தேர்ந்தெடுக்க, இது தனிப்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது, நீங்கள் சில கூடுதல் நிபந்தனைகளை அமைக்க வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் சமன்பாடு (2) க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை . இந்த சிக்கல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டில் மிக முக்கியமான ஒன்றாகும்.

Cauchy பிரச்சனை பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: சமன்பாட்டின் அனைத்து தீர்வுகளிலும் (2) அத்தகைய தீர்வைக் கண்டறியவும்
, இதில் செயல்பாடு
கொடுக்கப்பட்ட எண் மதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறது , சுயாதீன மாறி என்றால் x கொடுக்கப்பட்ட எண் மதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறது , அதாவது

,
, (5)

எங்கே டி- செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம்
.

பொருள் அழைக்கப்பட்டது செயல்பாட்டின் ஆரம்ப மதிப்பு , ஏ – சுயாதீன மாறியின் ஆரம்ப மதிப்பு . நிபந்தனை (5) அழைக்கப்படுகிறது ஆரம்ப நிலை அல்லது கசப்பான நிலை .

ஒரு வடிவியல் பார்வையில், வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy சிக்கலை (2) பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: சமன்பாட்டின் (2) ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் தொகுப்பிலிருந்து, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்
.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எளிய வகைகளில் ஒன்று, விரும்பிய செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்காத முதல்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஆகும்:

. (6)

என்று கருதி
, சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்
அல்லது
. கடைசி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைத்து, நாம் பெறுகிறோம்:
அல்லது

. (7)

எனவே, (7) என்பது சமன்பாட்டிற்கு (6) பொதுவான தீர்வாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1 . வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு . சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்
அல்லது
. விளைந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்:
,
. இறுதியாக அதை எழுதுவோம்
.

எடுத்துக்காட்டு 2 . சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும்
என்று கொடுக்கப்பட்டது
.

தீர்வு . சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்:
,
,
,
. நிபந்தனையின்படி
,
. பொதுவான தீர்வுக்கு மாற்றுவோம்:
அல்லது
. பொதுவான தீர்வுக்கான சூத்திரத்தில் தன்னிச்சையான மாறிலியின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:
. இது கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

சமன்பாடு

(8)

அழைக்கப்பட்டது ஒரு சுயாதீன மாறியைக் கொண்டிருக்காத முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு . படிவத்தில் எழுதுவோம்
அல்லது
. கடைசி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்:
அல்லது
- சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு (8).

உதாரணம் . சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்
.

தீர்வு . இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்:
அல்லது
. பிறகு
,
,
,
. இவ்வாறு,
இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

படிவத்தின் சமன்பாடு

(9)

மாறிகளைப் பிரிப்பதைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைக்கிறது. இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்
, பின்னர் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு பகுதியின் செயல்பாட்டை மட்டுமே உள்ளடக்கிய ஒரு வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம். எக்ஸ்மற்றும் வேறுபாடு dx, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியில் - செயல்பாடு மணிக்குமற்றும் வேறுபாடு dy. இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் பெருக்கப்பட வேண்டும் dxமற்றும் பிரிக்கவும்
. இதன் விளைவாக, நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

, (10)

இதில் மாறிகள் எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குபிரிக்கப்பட்டது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம் (10):
. இதன் விளைவாக வரும் உறவு சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பாகும் (9).

எடுத்துக்காட்டு 3 . சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கவும்
.

தீர்வு . சமன்பாட்டை மாற்றி மாறிகளை பிரிப்போம்:
,
. ஒருங்கிணைப்போம்:
,
அல்லது இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.
.

சமன்பாட்டை வடிவத்தில் கொடுக்கலாம்

இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரு சமச்சீர் வடிவத்தில்.

மாறிகளை பிரிக்க, நீங்கள் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிக்க வேண்டும்
:

. (12)

இதன் விளைவாக சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பிரிக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு . சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம் (12):

.(13)

உறவு (13) என்பது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் (11) பொது ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 4 . வேறுபட்ட சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கவும்.

தீர்வு . சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்

மற்றும் இரண்டு பகுதிகளையும் பிரிக்கவும்
,
. இதன் விளைவாக சமன்பாடு:
பிரிக்கப்பட்ட மாறி சமன்பாடு ஆகும். அதை ஒருங்கிணைப்போம்:

,
,

,
. கடைசி சமத்துவம் என்பது இந்த வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு 5 . வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்
, நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது
.

தீர்வு . என்று கருதி
, சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்
அல்லது
. மாறிகளை பிரிப்போம்:
. இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம்:
,
,
. இதன் விளைவாக வரும் உறவு இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பாகும். நிபந்தனையின்படி
. அதை பொது ஒருங்கிணைப்பில் மாற்றுவோம் மற்றும் கண்டுபிடிப்போம் உடன்:
,உடன்=1. பின்னர் வெளிப்பாடு
கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதி தீர்வு, பகுதி ஒருங்கிணைப்பாக எழுதப்பட்டது.

முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

சமன்பாடு

(14)

அழைக்கப்பட்டது முதல் வரிசையின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு . அறியப்படாத செயல்பாடு
மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் இந்த சமன்பாட்டில் நேரியல் மற்றும் செயல்பாடுகளை உள்ளிடுகிறது
மற்றும்
தொடர்ச்சியான.

என்றால்
, பின்னர் சமன்பாடு

(15)

அழைக்கப்பட்டது நேரியல் ஒரே மாதிரியான . என்றால்
, பின்னர் சமன்பாடு (14) அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் சீரற்ற .

சமன்பாட்டிற்கு (14) ஒரு தீர்வைக் காண ஒருவர் வழக்கமாகப் பயன்படுத்துகிறார் மாற்று முறை (பெர்னோலி) , இதன் சாராம்சம் பின்வருமாறு.

சமன்பாடு (14) க்கு இரண்டு செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைத் தேடுவோம்

, (16)

எங்கே
மற்றும்
- சில தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள். மாற்றுவோம்
மற்றும் வழித்தோன்றல்
சமன்பாட்டில் (14):

செயல்பாடு vநிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் வகையில் நாங்கள் தேர்ந்தெடுப்போம்
.
பிறகு

. எனவே, சமன்பாட்டிற்கு (14) தீர்வு காண, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது அவசியம்.
,
,
,
,
அமைப்பின் முதல் சமன்பாடு ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு மற்றும் மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையால் தீர்க்கப்படலாம்:
. ஒரு செயல்பாடாக உடன்=1:
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வுகளில் ஒன்றை நீங்கள் எடுக்கலாம், அதாவது. மணிக்கு
அல்லது
. கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:
.அப்புறம்
.

. எனவே, முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது . சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
.

தீர்வு . வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைத் தேடுவோம்
. பிறகு
. சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

அல்லது
. செயல்பாடு vசமத்துவத்தை நிலைநாட்டும் வகையில் தேர்வு செய்யவும்
. பிறகு
. மாறிகளைப் பிரிக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாடுகளில் முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:
,
,
,
,. செயல்பாடு vஇரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:
,
,
,
. இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு
.

அறிவின் சுய கட்டுப்பாட்டிற்கான கேள்விகள்

வேறுபட்ட சமன்பாடு என்றால் என்ன?

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை என்ன?

எந்த வேறுபாடு சமன்பாடு முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு எவ்வாறு வேறுபட்ட வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது?

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு என்ன தீர்வு?

ஒருங்கிணைந்த வளைவு என்றால் என்ன?

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு என்ன?

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு Cauchy பிரச்சனை எவ்வாறு உருவாக்கப்படுகிறது?

கௌச்சி பிரச்சனையின் வடிவியல் விளக்கம் என்ன?

சமச்சீர் வடிவத்தில் பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டை எழுதுவது எப்படி?

எந்த சமன்பாடு முதல் வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க என்ன முறை பயன்படுத்தப்படலாம் மற்றும் இந்த முறையின் சாராம்சம் என்ன?

சுயாதீன வேலைக்கான பணிகள்

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

A)
;
;

b)
V)
.

;

A)
;
ஜி)
;

2. முதல் வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:
;
.

V)
ஜி)

;

ஈ) முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (DE). இந்த இரண்டு வார்த்தைகளும் பொதுவாக சராசரி மனிதனை பயமுறுத்துகின்றன. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பல மாணவர்களுக்கு தடைசெய்யும் மற்றும் தேர்ச்சி பெற கடினமாக உள்ளது. ஊஊஊஊ... வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், இதையெல்லாம் நான் எப்படித் தாங்குவது?!இந்த கருத்தும் இந்த அணுகுமுறையும் அடிப்படையில் தவறானது, ஏனெனில் உண்மையில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் - இது எளிமையானது மற்றும் வேடிக்கையானது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய நீங்கள் என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் செய்ய முடியும்? பரவல்களை வெற்றிகரமாகப் படிக்க, நீங்கள் ஒருங்கிணைத்து வேறுபடுத்துவதில் சிறந்தவராக இருக்க வேண்டும். சிறந்த தலைப்புகள் படிக்கப்படும் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்எப்படி முடிவு செய்வது என்று உங்களுக்குத் தெரியும் - மிகவும் சிறந்தது. ஏன்? நீங்கள் நிறைய ஒருங்கிணைக்க வேண்டும். மற்றும் வேறுபடுத்துங்கள். மேலும் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறோம்கண்டுபிடிக்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

95% வழக்குகளில் சோதனைகள்முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் 3 வகைகள் உள்ளன: பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்இந்த பாடத்தில் நாம் பார்ப்போம்; ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்இந்த கருத்தும் இந்த அணுகுமுறையும் அடிப்படையில் தவறானது, ஏனெனில் உண்மையில் நேரியல் சீரற்ற சமன்பாடுகள். டிஃப்பியூசர்களைப் படிக்கத் தொடங்குபவர்களுக்கு, இந்த வரிசையில் பாடங்களை சரியாகப் படிக்க நான் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறேன், முதல் இரண்டு கட்டுரைகளைப் படித்த பிறகு, கூடுதல் பட்டறையில் உங்கள் திறமைகளை ஒருங்கிணைப்பது வலிக்காது - சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாகக் குறைக்கப்படுகின்றன.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் இன்னும் அரிதான வகைகள் உள்ளன: மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடுகள், பெர்னோலி சமன்பாடுகள் மற்றும் சில. கடைசி இரண்டு வகைகளில் மிக முக்கியமானது உள்ள சமன்பாடுகள் முழு வேறுபாடுகள், இந்த ரிமோட் கண்ட்ரோலுக்கு கூடுதலாக நான் பரிசீலித்து வருகிறேன் புதிய பொருள் – பகுதி ஒருங்கிணைப்பு.

இன்னும் ஒன்றிரண்டு நாள் இருந்தால் போதும், அது அதிவேக தயாரிப்புக்காகஉள்ளது பிளிட்ஸ் நிச்சயமாக pdf வடிவில்.

எனவே, அடையாளங்கள் அமைக்கப்பட்டுள்ளன - போகலாம்:

முதலில், வழக்கமான இயற்கணித சமன்பாடுகளை நினைவில் கொள்வோம். அவை மாறிகள் மற்றும் எண்களைக் கொண்டிருக்கின்றன. எளிமையான உதாரணம்: . ஒரு சாதாரண சமன்பாட்டை தீர்ப்பது என்றால் என்ன? இதன் பொருள் கண்டறிதல் எண்களின் தொகுப்பு, இது இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. குழந்தைகளின் சமன்பாடு ஒற்றை ரூட்டைக் கொண்டிருப்பதைக் கவனிப்பது எளிது: . வேடிக்கைக்காக, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மூலத்தை நமது சமன்பாட்டில் சரிபார்த்து மாற்றுவோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

டிஃப்பியூசர்கள் அதே வழியில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன!

வேறுபட்ட சமன்பாடு முதல் ஆர்டர்வி பொது வழக்கு கொண்டுள்ளது:
1) சுயாதீன மாறி;
2) சார்பு மாறி (செயல்பாடு);
3) செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல்: .

சில 1 வது வரிசை சமன்பாடுகளில் "x" மற்றும்/அல்லது "y" இல்லாமல் இருக்கலாம், ஆனால் இது குறிப்பிடத்தக்கதாக இல்லை - முக்கியமானகட்டுப்பாட்டு அறைக்கு செல்ல வேண்டும் இருந்ததுமுதல் வழித்தோன்றல், மற்றும் இல்லைஉயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள் - , போன்றவை.

அது என்ன அர்த்தம்?வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது என்பது கண்டுபிடிப்பதைக் குறிக்கிறது அனைத்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு, இது இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது. இத்தகைய செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு பெரும்பாலும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது (– ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி), இது அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 1

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

முழு வெடிமருந்து. எங்கு தொடங்குவது தீர்வு?

முதலில், நீங்கள் வழித்தோன்றலை சற்று வித்தியாசமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுத வேண்டும். உங்களில் பலர் கேலிக்குரியதாகவும் தேவையற்றதாகவும் தோன்றிய சிக்கலான பதவியை நாங்கள் நினைவுகூருகிறோம். டிஃப்பியூசர்களில் இதுதான் விதி!

இரண்டாவது கட்டத்தில், அது சாத்தியமா என்று பார்ப்போம் தனி மாறிகள்?மாறிகளைப் பிரிப்பதன் அர்த்தம் என்ன? தோராயமாகச் சொன்னால், இடது பக்கத்தில்நாம் வெளியேற வேண்டும் "கிரேக்கர்கள்" மட்டுமே, ஏ வலது பக்கத்தில்ஏற்பாடு "எக்ஸ்" மட்டுமே. மாறிகளின் பிரிவு "பள்ளி" கையாளுதல்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது: அவற்றை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது, குறியீட்டின் மாற்றத்துடன் பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு விதிமுறைகளை மாற்றுவது, விகிதாச்சார விதியின் படி காரணிகளை பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு மாற்றுவது போன்றவை.

வேறுபாடுகள் மற்றும் முழுப் பெருக்கிகள் மற்றும் விரோதப் போக்கில் செயலில் பங்கேற்பாளர்கள். பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், விகிதாச்சார விதியின்படி காரணிகளைத் தூக்கி எறிவதன் மூலம் மாறிகள் எளிதில் பிரிக்கப்படுகின்றன:

மாறிகள் பிரிக்கப்படுகின்றன. இடது பக்கத்தில் "Y" மட்டுமே உள்ளன, வலது பக்கத்தில் - "X" மட்டுமே.

அடுத்த கட்டம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு. இது எளிது, நாங்கள் இருபுறமும் ஒருங்கிணைப்புகளை வைக்கிறோம்:

நிச்சயமாக, நாம் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுக்க வேண்டும். IN இந்த வழக்கில்அவை அட்டவணை:

நாம் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, எந்த ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்க்கும் ஒரு மாறிலி ஒதுக்கப்படுகிறது. இங்கே இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன, ஆனால் மாறிலியை ஒரு முறை எழுதினால் போதும் (மாற்று + மாறிலி இன்னும் மற்றொரு மாறிலிக்கு சமம் என்பதால்). பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் இது வலது பக்கத்தில் வைக்கப்படுகிறது.

கண்டிப்பாகச் சொன்னால், ஒருங்கிணைப்புகள் எடுக்கப்பட்ட பிறகு, வேறுபட்ட சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், எங்கள் “y” “x” மூலம் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை, அதாவது தீர்வு வழங்கப்படுகிறது ஒரு மறைமுகமாகவடிவம். மறைமுக வடிவில் உள்ள வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு. அதாவது, இது ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு.

இந்த வடிவத்தில் உள்ள பதில் மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது, ஆனால் ஒரு சிறந்த வழி இருக்கிறதா? பெற முயற்சிப்போம் பொதுவான தீர்வு.

தயவுசெய்து, முதல் நுட்பத்தை நினைவில் கொள்க, இது மிகவும் பொதுவானது மற்றும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது நடைமுறை பணிகள்: ஒருங்கிணைத்த பிறகு வலது பக்கத்தில் ஒரு மடக்கை தோன்றினால், பல சந்தர்ப்பங்களில் (ஆனால் எப்போதும் இல்லை!) மடக்கையின் கீழ் மாறிலியை எழுதுவதும் நல்லது..

அதாவது, அதற்கு பதிலாகஉள்ளீடுகள் பொதுவாக எழுதப்படுகின்றன .

இது ஏன் அவசியம்? மேலும் "விளையாட்டை" வெளிப்படுத்துவதை எளிதாக்குவதற்காக. மடக்கைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல் . இந்த வழக்கில்:

இப்போது மடக்கைகள் மற்றும் தொகுதிகள் அகற்றப்படலாம்:

செயல்பாடு வெளிப்படையாக வழங்கப்படுகிறது. இதுவே பொதுவான தீர்வு.

பதில்: பொதுவான தீர்வு: .

பல வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான பதில்களை சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது. எங்கள் விஷயத்தில், இது மிகவும் எளிமையாக செய்யப்படுகிறது, நாங்கள் கண்டறிந்த தீர்வை எடுத்து அதை வேறுபடுத்துகிறோம்:

பின்னர் நாம் வழித்தோன்றலை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது பொதுவான தீர்வு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது, இது சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்.

நிலையான வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொடுப்பதன் மூலம், நீங்கள் எண்ணற்ற எண்ணைப் பெறலாம் தனிப்பட்ட தீர்வுகள்வேறுபட்ட சமன்பாடு. செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் , , போன்றவை என்பது தெளிவாகிறது. வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது.

சில நேரங்களில் பொதுவான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடுகளின் குடும்பம். இந்த எடுத்துக்காட்டில், பொதுவான தீர்வு - இது ஒரு குடும்பம் நேரியல் செயல்பாடுகள், அல்லது மாறாக, நேரடி விகிதாசார குடும்பம்.

முதல் உதாரணத்தின் முழுமையான மதிப்பாய்வுக்குப் பிறகு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பற்றிய பல அப்பாவி கேள்விகளுக்கு பதிலளிப்பது பொருத்தமானது:

1)இந்த எடுத்துக்காட்டில், மாறிகளை பிரிக்க முடிந்தது. இதை எப்போதும் செய்ய முடியுமா?இல்லை, எப்போதும் இல்லை. மேலும் அடிக்கடி, மாறிகளை பிரிக்க முடியாது. உதாரணமாக, இல் ஒரே மாதிரியான முதல் வரிசை சமன்பாடுகள், நீங்கள் முதலில் அதை மாற்ற வேண்டும். மற்ற வகை சமன்பாடுகளில், எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வரிசையில் நேரியல் சீரற்ற சமன்பாட்டில், நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும் பல்வேறு நுட்பங்கள்மற்றும் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான முறைகள். பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள், முதல் பாடத்தில் நாம் கருதுகிறோம் - எளிமையான வகைவேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

2) வேறுபட்ட சமன்பாட்டை எப்போதும் ஒருங்கிணைக்க முடியுமா?இல்லை, எப்போதும் இல்லை. ஒருங்கிணைக்க முடியாத ஒரு "ஆடம்பரமான" சமன்பாட்டைக் கொண்டு வருவது மிகவும் எளிதானது, மேலும் எடுக்க முடியாத ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன. ஆனால் இதே போன்ற DE களை தோராயமாக பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் சிறப்பு முறைகள். D’Alembert மற்றும் Cauchy உத்தரவாதம்... ...அவ், lurkmore.இப்போது நிறைய படிக்க, நான் கிட்டத்தட்ட "மற்ற உலகத்திலிருந்து" சேர்த்துள்ளேன்.

3) இந்த எடுத்துக்காட்டில், பொதுவான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைப் பெற்றோம் . ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிவது, அதாவது "y" ஐ வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்துவது எப்போதுமே சாத்தியமா?இல்லை, எப்போதும் இல்லை. உதாரணமாக: . சரி, இங்கே "கிரேக்கத்தை" எப்படி வெளிப்படுத்துவது?! இது போன்ற சமயங்களில், பதில் ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பாக எழுதப்பட வேண்டும். கூடுதலாக, சில சமயங்களில் ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியமாகும், ஆனால் அது மிகவும் சிக்கலானதாகவும் விகாரமாகவும் எழுதப்பட்டுள்ளது, பதிலை ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவத்தில் விட்டுவிடுவது நல்லது.

4) ...இப்போதைக்கு அது போதும். முதல் உதாரணத்தில் நாம் சந்தித்தோம் மற்றொன்று முக்கியமான புள்ளி , ஆனால் அதனால் "டம்மீஸ்" ஒரு பனிச்சரிவு மூலம் மறைக்க முடியாது புதிய தகவல், அடுத்த பாடம் வரை விட்டு விடுகிறேன்.

நாங்கள் அவசரப்பட மாட்டோம். மற்றொரு எளிய ரிமோட் கண்ட்ரோல் மற்றும் மற்றொரு பொதுவான தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 2

ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: நிபந்தனைக்கு ஏற்ப, நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் தனிப்பட்ட தீர்வுகொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையை பூர்த்தி செய்யும் DE. கேள்வியின் இந்த உருவாக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை.

முதலில் நாம் ஒரு பொதுவான தீர்வைக் காண்கிறோம். சமன்பாட்டில் "x" மாறி இல்லை, ஆனால் இது குழப்பமடையக்கூடாது, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அதில் முதல் வழித்தோன்றல் உள்ளது.

தேவையான வடிவத்தில் வழித்தோன்றலை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

வெளிப்படையாக, மாறிகள் பிரிக்கப்படலாம், சிறுவர்கள் இடதுபுறம், பெண்கள் வலதுபுறம்:

சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம்:

பொது ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது. இங்கே நான் ஒரு நட்சத்திரத்துடன் ஒரு மாறிலியை வரைந்தேன், உண்மை என்னவென்றால், மிக விரைவில் அது மற்றொரு மாறிலியாக மாறும்.

இப்போது நாம் பொது ஒருங்கிணைப்பை ஒரு பொதுவான தீர்வாக மாற்ற முயற்சிக்கிறோம் ("y" ஐ வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்தவும்). பள்ளியில் இருந்து நல்ல பழைய விஷயங்களை நினைவில் கொள்வோம்: . இந்த வழக்கில்:

குறிகாட்டியில் உள்ள மாறிலி எப்படியோ அன்கோஷராகத் தெரிகிறது, எனவே இது பொதுவாக பூமிக்குக் கொண்டுவரப்படுகிறது. விரிவாக, இது இப்படித்தான் நடக்கிறது. டிகிரிகளின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

ஒரு மாறிலி என்றால், அதுவும் சில நிலையானது, அதை எழுத்துடன் மறுவடிவமைப்போம்:

"இடிப்பது" ஒரு நிலையானது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் இரண்டாவது நுட்பம், இது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எனவே, பொதுவான தீர்வு: இது அதிவேக செயல்பாடுகளின் ஒரு நல்ல குடும்பம்.

இறுதி கட்டத்தில், கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதுவும் எளிமையானது.

பணி என்ன? எடுக்க வேண்டும் அத்தகையநிலை திருப்தி அடையும் வகையில் மாறிலியின் மதிப்பு.

இது வெவ்வேறு வழிகளில் வடிவமைக்கப்படலாம், ஆனால் இது அநேகமாக தெளிவான வழியாக இருக்கும். பொதுவான தீர்வில், “X” க்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை மாற்றுகிறோம், மேலும் “Y” க்கு பதிலாக இரண்டை மாற்றுகிறோம்:



அதாவது,

நிலையான வடிவமைப்பு பதிப்பு:

இப்போது நாம் பொதுவான தீர்வுக்கு மாறிலியின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை மாற்றுகிறோம்:
- இது நமக்குத் தேவையான குறிப்பிட்ட தீர்வு.

பதில்: தனிப்பட்ட தீர்வு:

சரிபார்ப்போம். தனிப்பட்ட தீர்வைச் சரிபார்ப்பது இரண்டு நிலைகளை உள்ளடக்கியது:

முதலில் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆரம்ப நிலையை உண்மையில் திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை சரிபார்க்க வேண்டும்? "X" க்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை மாற்றி என்ன நடக்கிறது என்று பார்க்கிறோம்:
- ஆம், உண்மையில், இரண்டு பெறப்பட்டது, அதாவது ஆரம்ப நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது.

இரண்டாவது நிலை ஏற்கனவே தெரிந்ததே. இதன் விளைவாக வரும் குறிப்பிட்ட தீர்வை எடுத்து, வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்:

அசல் சமன்பாட்டில் நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது.

முடிவு: குறிப்பிட்ட தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

இன்னும் அர்த்தமுள்ள உதாரணங்களுக்கு செல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு:நமக்குத் தேவையான வடிவத்தில் வழித்தோன்றலை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

மாறிகளை பிரிக்க முடியுமா என்பதை நாங்கள் மதிப்பிடுகிறோம்? முடியும். அடையாள மாற்றத்துடன் இரண்டாவது காலத்தை வலது பக்கம் நகர்த்துகிறோம்:

மேலும் விகிதாச்சார விதியின்படி பெருக்கிகளை மாற்றுகிறோம்:

மாறிகள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, இரண்டு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைப்போம்:

நான் உங்களை எச்சரிக்க வேண்டும், தீர்ப்பு நாள் நெருங்குகிறது. நீங்கள் நன்றாகப் படிக்கவில்லை என்றால் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள், சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்த்துவிட்டேன், பின்னர் எங்கும் செல்ல முடியாது - நீங்கள் இப்போது அவற்றை மாஸ்டர் செய்ய வேண்டும்.

இடது பக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்பு கண்டுபிடிக்க எளிதானது; முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்தல்கடந்த ஆண்டு:

வலது பக்கத்தில் எங்களிடம் ஒரு மடக்கை உள்ளது, மேலும் எனது முதல் தொழில்நுட்ப பரிந்துரையின்படி, மாறிலியும் மடக்கையின் கீழ் எழுதப்பட வேண்டும்.

இப்போது நாம் பொது ஒருங்கிணைப்பை எளிதாக்க முயற்சிக்கிறோம். எங்களிடம் மடக்கைகள் மட்டுமே இருப்பதால், அவற்றை அகற்றுவது மிகவும் சாத்தியம் (மற்றும் அவசியம்). பயன்படுத்துவதன் மூலம் அறியப்பட்ட பண்புகள்மடக்கைகளை முடிந்தவரை "பேக்" செய்கிறோம். நான் அதை மிக விரிவாக எழுதுகிறேன்:

பேக்கேஜிங் காட்டுமிராண்டித்தனமாக சிதைந்துவிடும்:

"விளையாட்டை" வெளிப்படுத்த முடியுமா? முடியும். இரண்டு பகுதிகளையும் சதுரமாக்குவது அவசியம்.

ஆனால் நீங்கள் இதைச் செய்ய வேண்டியதில்லை.

மூன்றாவது தொழில்நுட்ப குறிப்பு:ஒரு பொதுவான தீர்வைப் பெறுவதற்கு அது ஒரு சக்தியை உயர்த்துவது அல்லது வேர்களை எடுக்க வேண்டியது அவசியம் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில்நீங்கள் இந்த செயல்களில் இருந்து விலகி, பதில் ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் விட வேண்டும். உண்மை என்னவென்றால், பொதுவான தீர்வு வெறுமனே பயங்கரமானதாக இருக்கும் - பெரிய வேர்கள், அறிகுறிகள் மற்றும் பிற குப்பைகளுடன்.

எனவே, நாம் ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் பதில் எழுதுகிறோம். அதை வடிவத்தில் வழங்குவது நல்ல நடைமுறையாகக் கருதப்படுகிறது, அதாவது, வலது பக்கத்தில், முடிந்தால், ஒரு மாறிலியை மட்டும் விட்டு விடுங்கள். இதைச் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் பேராசிரியரை மகிழ்விப்பது எப்போதும் நன்மை பயக்கும் ;-)

பதில்:பொது ஒருங்கிணைப்பு:

! குறிப்பு: எந்தவொரு சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பையும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகளில் எழுதலாம். எனவே, உங்கள் முடிவு முன்னர் அறியப்பட்ட பதிலுடன் ஒத்துப்போகவில்லை என்றால், நீங்கள் சமன்பாட்டை தவறாக தீர்த்துவிட்டீர்கள் என்று அர்த்தமல்ல.

பொது ஒருங்கிணைப்பு சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது, முக்கிய விஷயம் கண்டுபிடிக்க முடியும் மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். பதிலை வேறுபடுத்துவோம்:

இரண்டு சொற்களையும் நாங்கள் பெருக்குகிறோம்:

மற்றும் பிரிக்கவும்:

அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு சரியாகப் பெறப்பட்டது, அதாவது பொது ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 4

ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும். சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

என்பதற்கு இது ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு.

அல்காரிதம் இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:
1) பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிதல்;
2) தேவையான குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிதல்.

காசோலை இரண்டு படிகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டு எண். 2 இல் உள்ள மாதிரியைப் பார்க்கவும்), நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:
1) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்;
2) ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு பொதுவாக வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என சரிபார்க்கவும்.

பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

எடுத்துக்காட்டு 5

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும் , ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது. சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

தீர்வு:முதலில், இந்த சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே ஆயத்த வேறுபாடுகள் உள்ளன, எனவே தீர்வு எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம்:

இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணை, வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு எடுக்கப்பட்டது வேற்றுமைக் குறியின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டைச் சேர்க்கும் முறை:

பொது ஒருங்கிணைப்பு பெறப்பட்டது, பொது தீர்வை வெற்றிகரமாக வெளிப்படுத்த முடியுமா? முடியும். நாங்கள் இருபுறமும் மடக்கைகளை தொங்கவிடுகிறோம். அவை நேர்மறையானவை என்பதால், மாடுலஸ் அறிகுறிகள் தேவையற்றவை:

(அனைவரும் மாற்றத்தைப் புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நம்புகிறேன், இதுபோன்ற விஷயங்கள் ஏற்கனவே தெரிந்திருக்க வேண்டும்)

எனவே, பொதுவான தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைக்குத் தொடர்புடைய ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்.
பொதுவான தீர்வுகளில், "X" க்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை மாற்றுகிறோம், மேலும் "Y" க்கு பதிலாக இரண்டின் மடக்கையை மாற்றுகிறோம்:

மிகவும் பழக்கமான வடிவமைப்பு:

மாறிலியின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை பொதுவான தீர்வுக்கு மாற்றுகிறோம்.

பதில்:தனிப்பட்ட தீர்வு:

சரிபார்க்கவும்: முதலில், ஆரம்ப நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:
- எல்லாம் சலசலக்கிறது.

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வு வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை இப்போது பார்க்கலாம். வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:

அசல் சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்: - இது வேறுபாடுகளில் வழங்கப்படுகிறது. சரிபார்க்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து வேறுபாட்டை வெளிப்படுத்த முடியும்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வையும் அதன் விளைவாக வரும் வேறுபாட்டையும் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம் :

நாங்கள் அடிப்படை மடக்கை அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது குறிப்பிட்ட தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

சரிபார்க்கும் இரண்டாவது முறை பிரதிபலித்தது மற்றும் மிகவும் பழக்கமானது: சமன்பாட்டிலிருந்து வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்துவோம், இதைச் செய்ய, அனைத்து பகுதிகளையும் பின்வருமாறு பிரிக்கிறோம்:

மாற்றப்பட்ட DE யில் நாம் பெறப்பட்ட பகுதி தீர்வு மற்றும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலை மாற்றுகிறோம். எளிமைப்படுத்தப்பட்டதன் விளைவாக, சரியான சமத்துவமும் பெறப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 6

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். பதிலை ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் வழங்கவும்.

நீங்களே தீர்க்க, முழுமையான தீர்வு மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதிலளிக்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது என்ன சிரமங்கள் காத்திருக்கின்றன?

1) மாறிகள் பிரிக்கப்படலாம் என்பது எப்போதும் தெளிவாக இருக்காது (குறிப்பாக "டீபாட்"). கருத்தில் கொள்வோம் நிபந்தனை உதாரணம்: . இங்கே நீங்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் காரணிகளை எடுக்க வேண்டும்: மற்றும் வேர்களை பிரிக்கவும்: . அடுத்து என்ன செய்வது என்பது தெளிவாகிறது.

2) ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள சிரமங்கள். ஒருங்கிணைப்புகள் பெரும்பாலும் எளிமையானவை அல்ல, மேலும் கண்டுபிடிக்கும் திறன்களில் குறைபாடுகள் இருந்தால் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, பின்னர் அது பல டிஃப்பியூசர்களுடன் கடினமாக இருக்கும். கூடுதலாக, "வேறுபட்ட சமன்பாடு எளிமையானது என்பதால், குறைந்தபட்சம் ஒருங்கிணைப்புகள் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கட்டும்" என்ற தர்க்கம் சேகரிப்புகள் மற்றும் பயிற்சி கையேடுகளின் தொகுப்பாளர்களிடையே பிரபலமாக உள்ளது.

3) மாறிலியுடன் கூடிய மாற்றங்கள். எல்லோரும் கவனித்தபடி, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் நிலையானது மிகவும் சுதந்திரமாக கையாளப்படலாம், மேலும் சில மாற்றங்கள் ஒரு தொடக்கக்காரருக்கு எப்போதும் தெளிவாக இருக்காது. மற்றொரு நிபந்தனை உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: . அனைத்து சொற்களையும் 2 ஆல் பெருக்குவது நல்லது: . இதன் விளைவாக வரும் மாறிலியும் ஒருவித மாறிலியாகும், இதை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்: . ஆம், வலது பக்கத்தில் ஒரு மடக்கை இருப்பதால், மாறிலியை மற்றொரு மாறிலியின் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவது நல்லது: .

பிரச்சனை என்னவென்றால், அவர்கள் பெரும்பாலும் குறியீடுகளைப் பற்றி கவலைப்படுவதில்லை மற்றும் அதே கடிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். இதன் விளைவாக, முடிவு பதிவு பின்வரும் படிவத்தை எடுக்கும்:

என்ன வகையான மதவெறி? அங்கே தவறுகள் உள்ளன! சரியாகச் சொன்னால், ஆம். இருப்பினும், ஒரு கணிசமான பார்வையில், பிழைகள் எதுவும் இல்லை, ஏனெனில் மாறி மாறிலியை மாற்றுவதன் விளைவாக, ஒரு மாறி மாறிலி இன்னும் பெறப்படுகிறது.

அல்லது மற்றொரு உதாரணம், சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த பதில் அசிங்கமாகத் தெரிகிறது, எனவே ஒவ்வொரு சொல்லின் அடையாளத்தையும் மாற்றுவது நல்லது: . முறைப்படி, இங்கே மற்றொரு தவறு உள்ளது - அது வலதுபுறத்தில் எழுதப்பட வேண்டும். ஆனால் முறைசாரா முறையில் "மைனஸ் CE" இன்னும் ஒரு நிலையானது ( எந்த அர்த்தத்தையும் எளிதில் எடுக்கக்கூடியது!), எனவே "மைனஸ்" வைப்பதில் அர்த்தமில்லை, அதே எழுத்தை நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

நான் கவனக்குறைவான அணுகுமுறையைத் தவிர்க்க முயற்சிப்பேன், மேலும் அவற்றை மாற்றும்போது மாறிலிகளுக்கு வெவ்வேறு குறியீடுகளை ஒதுக்குவேன்.

எடுத்துக்காட்டு 7

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

தீர்வு:இந்த சமன்பாடு மாறிகளை பிரிக்க அனுமதிக்கிறது. நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

ஒருங்கிணைப்போம்:

இங்கு மாறிலியை ஒரு மடக்கை என வரையறுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் இதில் பயனுள்ள எதுவும் வராது.

பதில்:பொது ஒருங்கிணைப்பு:

சரிபார்க்கவும்: பதிலை வேறுபடுத்தவும் (மறைமுகமான செயல்பாடு):

இரண்டு சொற்களையும் பெருக்குவதன் மூலம் பின்னங்களை அகற்றுவோம்:

அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு பெறப்பட்டது, அதாவது பொது ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 8

DE இன் குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்.
,

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரே குறிப்பு என்னவென்றால், இங்கே நீங்கள் ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுவீர்கள், மேலும் சரியாகச் சொன்னால், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் முயற்சிக்க வேண்டும், ஆனால் பகுதி ஒருங்கிணைந்த. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.