Ang pag-asa at pagkakaiba ay ang pinakakaraniwang ginagamit na mga katangiang numero random variable. Sila ang pinakakilala mahahalagang katangian pamamahagi: posisyon at antas ng pagkalat nito. Sa maraming mga praktikal na problema, isang kumpleto, kumpletong katangian ng isang random na variable - ang batas ng pamamahagi - alinman ay hindi maaaring makuha sa lahat, o hindi kinakailangan sa lahat. Sa mga kasong ito, ang isa ay limitado sa isang tinatayang paglalarawan ng isang random na variable gamit ang mga numerical na katangian.

Ang inaasahang halaga ay madalas na tinatawag na average na halaga ng isang random na variable. Ang pagpapakalat ng isang random na variable ay isang katangian ng dispersion, ang pagkalat ng isang random na variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika.

Pag-asa ng isang discrete random variable

Ating lapitan ang konsepto ng mathematical expectation, una batay sa mekanikal na interpretasyon ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Hayaang maipamahagi ang unit mass sa pagitan ng mga punto ng x-axis x1 , x 2 , ..., x n, at ang bawat materyal na punto ay may katumbas na masa ng p1 , p 2 , ..., p n. Kinakailangan na pumili ng isang punto sa abscissa axis, na nagpapakilala sa posisyon ng buong sistema ng mga materyal na punto, na isinasaalang-alang ang kanilang mga masa. Natural na kunin ang sentro ng masa ng sistema ng mga materyal na punto bilang isang punto. Ito ang weighted average ng random variable X, kung saan ang abscissa ng bawat punto xi pumapasok na may "timbang" na katumbas ng katumbas na posibilidad. Ang average na halaga ng random variable na nakuha sa ganitong paraan X ay tinatawag na mathematical expectation nito.

Ang inaasahan sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang mga probabilidad ng mga halagang ito:

Halimbawa 1. Isang win-win lottery ang naayos. Mayroong 1000 panalo, kung saan 400 ay 10 rubles. 300 - 20 rubles bawat isa. 200 - 100 rubles bawat isa. at 100 - 200 rubles bawat isa. Ano ang average na laki panalo para sa mga bumili ng isang tiket?

Solusyon. Average na panalo hahanapin natin kung kabuuang halaga panalo, na katumbas ng 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 rubles, hatiin ng 1000 (kabuuang halaga ng mga panalo). Pagkatapos ay nakakakuha kami ng 50000/1000 = 50 rubles. Ngunit ang expression para sa pagkalkula ng average na mga panalo ay maaaring ipakita sa sumusunod na form:

Sa kabilang banda, sa mga kundisyong ito, ang laki ng panalong ay isang random na variable, na maaaring tumagal ng mga halaga ng 10, 20, 100 at 200 rubles. na may mga probabilidad na katumbas ng 0.4, ayon sa pagkakabanggit; 0.3; 0.2; 0.1. Samakatuwid, ang inaasahang average na kabayaran katumbas ng kabuuan mga produkto ng laki ng mga panalo at ang posibilidad na matanggap ang mga ito.

Halimbawa 2. Nagpasya ang publisher na mag-publish ng bagong libro. Plano niyang ibenta ang libro sa halagang 280 rubles, kung saan siya mismo ay makakatanggap ng 200, 50 - ang bookstore at 30 - ang may-akda. Ang talahanayan ay nagbibigay ng impormasyon tungkol sa mga gastos sa pag-publish ng isang libro at ang posibilidad ng pagbebenta ng isang tiyak na bilang ng mga kopya ng libro.

Hanapin ang inaasahang kita ng publisher.

Solusyon. Ang random na variable na "kita" ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng kita mula sa mga benta at ang halaga ng mga gastos. Halimbawa, kung ang 500 na kopya ng isang libro ay naibenta, kung gayon ang kita mula sa pagbebenta ay 200 * 500 = 100,000, at ang halaga ng publikasyon ay 225,000 rubles. Kaya, ang publisher ay nahaharap sa pagkawala ng 125,000 rubles. Ang sumusunod na talahanayan ay nagbubuod sa mga inaasahang halaga ng random variable - tubo:

Numero	Kita xi	Probability pi	xi p i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Kabuuan:		1,00	25000

Kaya, nakukuha namin inaasahang halaga kita ng publisher:

.

Halimbawa 3. Probabilidad ng pagtama ng isang putok p= 0.2. Tukuyin ang pagkonsumo ng mga projectiles na nagbibigay ng mathematical na inaasahan ng bilang ng mga hit na katumbas ng 5.

Solusyon. Mula sa parehong mathematical expectation formula na ginamit namin sa ngayon, ipinapahayag namin x- pagkonsumo ng shell:

.

Halimbawa 4. Tukuyin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable x bilang ng mga hit na may tatlong shot, kung ang posibilidad ng isang hit sa bawat shot p = 0,4 .

Hint: hanapin ang posibilidad ng random variable values ​​sa pamamagitan ng Formula ni Bernoulli .

Mga katangian ng inaasahan sa matematika

Isaalang-alang natin ang mga katangian ng pag-asa sa matematika.

Ari-arian 1. Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-parehong ito:

Ari-arian 2. Ang pare-parehong salik ay maaaring alisin sa mathematical expectation sign:

Ari-arian 3. Ang pag-asa sa matematika ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng kanilang mga inaasahan sa matematika:

Ari-arian 4. Ang pag-asa sa matematika ng isang produkto ng mga random na variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga inaasahan sa matematika:

Ari-arian 5. Kung ang lahat ng mga halaga ng isang random na variable X pagbaba (pagtaas) ng parehong bilang SA, kung gayon ang mathematical na inaasahan nito ay bababa (tataas) ng parehong numero:

Kapag hindi mo maaaring limitahan ang iyong sarili sa pag-asa lamang sa matematika

Sa karamihan ng mga kaso, tanging ang matematikal na pag-asa ang hindi sapat na mailalarawan ang isang random na variable.

Hayaan ang mga random na variable X At Y ay ibinigay ng mga sumusunod na batas sa pamamahagi:

Ibig sabihin X	Probability
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Ibig sabihin Y	Probability
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Ang mga inaasahan sa matematika ng mga dami na ito ay pareho - katumbas ng zero:

Gayunpaman, iba ang kanilang mga pattern ng pamamahagi. Random na halaga X maaari lamang kumuha ng mga halaga na kaunti lamang ang pagkakaiba mula sa inaasahan sa matematika, at sa random na variable Y maaaring kumuha ng mga halaga na makabuluhang lumihis mula sa inaasahan sa matematika. Ang isang katulad na halimbawa: ang karaniwang suweldo ay hindi ginagawang posible upang hatulan tiyak na gravity mataas at mababang suweldong manggagawa. Sa madaling salita, hindi maaaring hatulan ng isang tao mula sa inaasahan ng matematika kung ano ang mga paglihis mula dito, hindi bababa sa karaniwan, ay posible. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pagkakaiba ng random variable.

Pagkakaiba ng isang discrete random variable

Pagkakaiba discrete random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng square ng deviation nito mula sa mathematical expectation:

Ang standard deviation ng isang random variable X ang arithmetic value ng square root ng variance nito ay tinatawag na:

.

Halimbawa 5. Kalkulahin ang mga pagkakaiba at karaniwang paglihis ng mga random na variable X At Y, ang mga batas sa pamamahagi nito ay ibinigay sa mga talahanayan sa itaas.

Solusyon. Mga inaasahan sa matematika ng mga random na variable X At Y, tulad ng matatagpuan sa itaas, ay katumbas ng zero. Ayon sa dispersion formula sa E(X)=E(y)=0 nakukuha natin:

Pagkatapos ay ang standard deviations ng random variables X At Y magkasundo

.

Kaya, na may parehong mga inaasahan sa matematika, ang pagkakaiba ng random variable X napakaliit, ngunit isang random na variable Y- makabuluhan. Ito ay bunga ng mga pagkakaiba sa kanilang pamamahagi.

Halimbawa 6. Ang mamumuhunan ay may 4 na alternatibong proyekto sa pamumuhunan. Binubuod ng talahanayan ang inaasahang tubo sa mga proyektong ito na may katumbas na posibilidad.

Proyekto 1	Proyekto 2	Proyekto 3	Proyekto 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Hanapin para sa bawat alternatibo ang mathematical expectation, variance at standard deviation.

Solusyon. Ipakita natin kung paano kinakalkula ang mga halagang ito para sa ika-3 alternatibo:

Ang talahanayan ay nagbubuod ng mga nahanap na halaga para sa lahat ng mga alternatibo.

Ang lahat ng mga alternatibo ay may parehong mga inaasahan sa matematika. Nangangahulugan ito na sa katagalan lahat ay may parehong kita. Ang karaniwang paglihis ay maaaring bigyang-kahulugan bilang isang sukatan ng panganib - kung mas mataas ito, mas malaki ang panganib ng pamumuhunan. Ang isang mamumuhunan na hindi gusto ng maraming panganib ay pipiliin ang proyekto 1 dahil ito ang may pinakamaliit na standard deviation (0). Kung mas gusto ng isang mamumuhunan ang panganib at mataas na kita sa maikling panahon, pipiliin niya ang proyekto na may pinakamalaki karaniwang lihis- proyekto 4.

Mga katangian ng pagpapakalat

Ipakita natin ang mga katangian ng dispersion.

Ari-arian 1. Ang pagkakaiba ng isang pare-parehong halaga ay zero:

Ari-arian 2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito:

.

Ari-arian 3. Ang pagkakaiba ng isang random na variable ay katumbas ng mathematical expectation ng square ng value na ito, kung saan ang square ng mathematical expectation ng value mismo ay ibinabawas:

,

saan .

Ari-arian 4. Ang pagkakaiba ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng kanilang mga pagkakaiba:

Halimbawa 7. Ito ay kilala na ang isang discrete random variable X tumatagal lamang ng dalawang halaga: −3 at 7. Bilang karagdagan, ang inaasahan sa matematika ay kilala: E(X) = 4 . Hanapin ang pagkakaiba ng isang discrete random variable.

Solusyon. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng p ang posibilidad kung saan ang isang random na variable ay kumukuha ng isang halaga x1 = −3 . Pagkatapos ang posibilidad ng halaga x2 = 7 ay magiging 1 − p. Kunin natin ang equation para sa mathematical expectation:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

kung saan nakukuha natin ang mga probabilidad: p= 0.3 at 1 − p = 0,7 .

Batas ng pamamahagi ng isang random na variable:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Kinakalkula namin ang pagkakaiba ng random variable na ito gamit ang formula mula sa property 3 ng dispersion:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 8. Discrete random variable X tumatagal lamang ng dalawang halaga. Tinatanggap nito ang mas malaki sa mga halaga 3 na may posibilidad na 0.4. Sa karagdagan, ang pagkakaiba ng random variable ay kilala D(X) = 6 . Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable.

Halimbawa 9. Mayroong 6 na puti at 4 na itim na bola sa urn. 3 bola ang nakuha mula sa urn. Ang bilang ng mga puting bola sa mga iginuhit na bola ay isang discrete random variable X. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng random variable na ito.

Solusyon. Random na halaga X maaaring kumuha ng mga halaga 0, 1, 2, 3. Ang kaukulang mga probabilidad ay maaaring kalkulahin mula sa tuntunin sa pagpaparami ng posibilidad. Batas ng pamamahagi ng isang random na variable:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Kaya ang inaasahan sa matematika ng random na variable na ito:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Ang pagkakaiba-iba ng isang ibinigay na random na variable ay:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Pag-asa at pagkakaiba-iba ng tuluy-tuloy na random na variable

Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, ang mekanikal na interpretasyon ng mathematical na inaasahan ay mananatili sa parehong kahulugan: ang sentro ng masa para sa isang unit mass na patuloy na ipinamamahagi sa x-axis na may density f(x). Hindi tulad ng isang discrete random variable, na ang argumento ng function xi biglang nagbabago; para sa tuluy-tuloy na random na variable, patuloy na nagbabago ang argumento. Ngunit ang pag-asa sa matematika ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay nauugnay din sa average na halaga nito.

Upang mahanap ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang tuluy-tuloy na random variable, kailangan mong makahanap ng mga tiyak na integral . Kung ang density ng function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ibinigay, pagkatapos ito ay direktang pumapasok sa integrand. Kung ang isang probability distribution function ay ibinigay, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba nito, kailangan mong hanapin ang density function.

Ang arithmetic average ng lahat ng posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na nito inaasahan sa matematika, tinutukoy ng o .

Solusyon.

Bilang isang sukatan ng pagpapakalat ng mga random na variable na halaga, ginagamit namin pagpapakalat

Ang pagpapakalat (ang salitang dispersion ay nangangahulugang “pagkalat”) ay sukatan ng pagpapakalat ng mga random na variable na halaga kaugnay sa inaasahan ng matematika nito. Ang dispersion ay ang mathematical expectation ng squared deviation ng isang random variable mula sa mathematical expectation nito

Kung ang random na variable ay discrete na may isang walang katapusan ngunit mabibilang na hanay ng mga halaga, kung gayon

kung ang serye sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nagtatagpo.

Mga katangian ng pagpapakalat.

• 1. Ang pagkakaiba ng isang pare-parehong halaga ay zero
• 2. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba
• 3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng squared dispersion

Ang pagkakaiba ng pagkakaiba ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba

Ang ari-arian na ito ay bunga ng pangalawa at pangatlong pag-aari. Maaari lamang magdagdag ng mga pagkakaiba-iba.

Ito ay maginhawa upang kalkulahin ang pagpapakalat gamit ang isang formula na madaling makuha gamit ang mga katangian ng pagpapakalat

Ang pagkakaiba-iba ay palaging positibo.

Ang pagkakaiba ay may sukat parisukat na sukat ng random na variable mismo, na hindi palaging maginhawa. Samakatuwid, ang dami

Karaniwang lihis(standard deviation o standard) ng isang random variable ay ang arithmetic value ng square root ng variance nito

Magtapon ng dalawang barya sa mga denominasyon ng 2 at 5 rubles. Kung ang barya ay lumapag bilang isang coat of arms, kung gayon ang mga zero na puntos ay iginawad, at kung ito ay dumapo bilang isang numero, kung gayon ang bilang ng mga puntos ay katumbas ng denominasyon ng barya. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng bilang ng mga puntos.

Solusyon. Hanapin muna natin ang distribusyon ng random variable X - ang bilang ng mga puntos. Lahat ng kumbinasyon - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - ay pantay na posibleng mangyari at ang batas sa pamamahagi ay:

Inaasahang halaga:

Nahanap namin ang pagkakaiba-iba gamit ang formula

bakit natin kinakalkula

Halimbawa 2.

Maghanap ng hindi alam na posibilidad R, pag-asa sa matematika at pagkakaiba-iba ng isang discrete random variable, ibinigay na mesa mga pamamahagi ng posibilidad

Nahanap namin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba:

M(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

Upang kalkulahin ang dispersion, ginagamit namin ang formula (19.4)

D(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

Halimbawa 3. Dalawang pare-parehong malalakas na atleta ang humahawak ng isang paligsahan na tatagal hanggang sa unang tagumpay ng isa sa kanila, o hanggang limang laro ang nilaro. Ang posibilidad na manalo ng isang laro para sa bawat isa sa mga atleta ay 0.3, at ang posibilidad ng isang draw ay 0.4. Hanapin ang batas sa pamamahagi, pag-asa sa matematika at pagpapakalat ng bilang ng mga larong nilalaro.

Solusyon. Random na halaga X- ang bilang ng mga laro na nilalaro, tumatagal ng mga halaga mula 1 hanggang 5, i.e.

Tukuyin natin ang mga probabilidad ng pagtatapos ng laban. Magtatapos ang laban sa unang set kung mananalo ang isa sa kanilang mga atleta. Ang posibilidad na manalo ay

R(1) = 0,3+0,3 =0,6.

Kung nagkaroon ng draw (ang posibilidad ng isang draw ay 1 - 0.6 = 0.4), pagkatapos ay magpapatuloy ang laban. Ang laban ay magtatapos sa ikalawang laro kung ang una ay tabla at may nanalo sa pangalawa. Probability

R(2) = 0,4 0,6=0,24.

Gayundin, ang laban ay magtatapos sa ikatlong laro kung mayroong dalawang magkasunod na tabla at muli ay may nanalo

R(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. R(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

Ang ikalimang laro ay ang huli sa anumang bersyon.

R(5)= 1 - (R(1)+R(2)+R(3)+R(4)) = 0,0256.

Ilagay natin ang lahat sa isang mesa. Ang batas sa pamamahagi ng random variable na "bilang ng mga larong napanalunan" ay may anyo

Inaasahang halaga

Kinakalkula namin ang pagkakaiba gamit ang formula (19.4)

Mga karaniwang discrete distribution.

Binomial na pamamahagi. Hayaang ipatupad ang eksperimental na pamamaraan ni Bernoulli: n magkaparehong mga independiyenteng eksperimento, kung saan ang bawat isa ay ang kaganapan A maaaring lumitaw na may pare-parehong posibilidad p at hindi lilitaw nang may posibilidad

(tingnan ang lecture 18).

Bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A Sa mga ito n mga eksperimento mayroong isang discrete random variable X, ang mga posibleng halaga nito ay:

0; 1; 2; ... ;m; ... ; n.

Ang posibilidad ng hitsura m mga pangyayari A sa isang tiyak na serye ng n Ang mga eksperimento at ang batas sa pamamahagi ng naturang random na variable ay ibinibigay ng Bernoulli formula (tingnan ang lecture 18)

Mga de-numerong katangian ng isang random na variable X ibinahagi ayon sa binomial na batas:

Kung n ay mahusay (), pagkatapos, kapag, ang formula (19.6) ay napupunta sa formula

at ang tabulated Gaussian function (ang talahanayan ng mga halaga ng Gaussian function ay ibinibigay sa dulo ng lecture 18).

Sa pagsasagawa, ang madalas na mahalaga ay hindi ang posibilidad ng paglitaw mismo. m mga pangyayari A sa isang partikular na serye mula sa n mga eksperimento, at ang posibilidad na ang kaganapan A lilitaw nang hindi bababa

beses at hindi hihigit sa mga beses, ibig sabihin, ang posibilidad na kunin ng X ang mga halaga

Upang gawin ito, kailangan nating buod ang mga probabilidad

Kung n ay mahusay (), pagkatapos, kapag, ang formula (19.9) ay naging isang tinatayang formula

tabulated function. Ang mga talahanayan ay ibinigay sa pagtatapos ng Lecture 18.

Kapag gumagamit ng mga talahanayan, kinakailangang isaalang-alang iyon

Halimbawa 1. Ang isang kotse na papalapit sa isang intersection ay maaaring magpatuloy sa paggalaw sa alinman sa tatlong kalsada: A, B o C na may pantay na posibilidad. Limang sasakyan ang papalapit sa intersection. Hanapin ang average na bilang ng mga sasakyan na bibiyahe sa kalsada A at ang posibilidad na tatlong sasakyan ang maglalakbay sa kalsada B.

Solusyon. Ang bilang ng mga sasakyang dumadaan sa bawat kalsada ay isang random na variable. Kung ipagpalagay namin na ang lahat ng mga kotse na papalapit sa intersection ay naglalakbay nang nakapag-iisa sa isa't isa, kung gayon ang random na variable na ito ay ibinahagi ayon sa binomial na batas na may

n= 5 at p = .

Samakatuwid, ang average na bilang ng mga sasakyan na susundan sa kalsada A ay ayon sa formula (19.7)

at ang nais na posibilidad sa

Halimbawa 2. Ang posibilidad ng pagkabigo ng device sa bawat pagsubok ay 0.1. 60 mga pagsubok ng aparato ay isinasagawa. Ano ang posibilidad na magkaroon ng pagkabigo sa device: a) 15 beses; b) hindi hihigit sa 15 beses?

A. Dahil ang bilang ng mga pagsubok ay 60, gumagamit kami ng formula (19.8)

Ayon sa talahanayan 1 ng apendiks sa panayam 18 makikita natin

b. Gumagamit kami ng formula (19.10).

Ayon sa talahanayan 2 ng apendiks sa panayam 18

• - 0,495
• 0,49995

Poisson distribution) batas ng mga bihirang kaganapan). Kung n malaki at R maliit (), at ang produkto atbp nagpapanatili ng pare-parehong halaga, na tinutukoy namin ng l,

pagkatapos ang pormula (19.6) ay magiging pormula ni Poisson

Ang batas sa pamamahagi ng Poisson ay may anyo:

Malinaw, ang kahulugan ng batas ni Poisson ay tama, dahil pangunahing pag-aari ng isang serye ng pamamahagi

Tapos, kasi kabuuan ng serye

Ang serye ng pagpapalawak ng function sa

Teorama. Ang mathematical expectation at variance ng isang random variable na ibinahagi ayon sa batas ni Poisson ay nag-tutugma at katumbas ng parameter ng batas na ito, i.e.

Patunay.

Halimbawa. Upang i-promote ang mga produkto nito sa merkado, naglalagay ang kumpanya ng mga flyer sa mga mailbox. Ang nakaraang karanasan ay nagpapakita na sa humigit-kumulang isang kaso sa 2,000 isang order ang sumusunod. Hanapin ang posibilidad na kapag naglalagay ng 10,000 advertisement, hindi bababa sa isang order ang darating, ang average na bilang ng mga order na natanggap, at ang pagkakaiba-iba ng bilang ng mga order na natanggap.

Solusyon. Dito

Ang posibilidad na dumating ang kahit isang order ay makikita sa pamamagitan ng posibilidad kasalungat na pangyayari, ibig sabihin.

Random na daloy ng mga pangyayari. Ang isang stream ng mga kaganapan ay isang pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan na nagaganap sa mga random na sandali oras. Mga karaniwang halimbawa Ang mga daloy ay mga pagkabigo sa mga network ng computer, mga tawag sa mga palitan ng telepono, isang daloy ng mga kahilingan para sa pag-aayos ng kagamitan, atbp.

Daloy ang tawag sa mga pangyayari nakatigil, kung ang posibilidad ng isang partikular na bilang ng mga kaganapan na bumabagsak sa isang agwat ng oras ng haba ay nakasalalay lamang sa haba ng agwat at hindi nakasalalay sa lokasyon ng agwat ng oras sa axis ng oras.

Ang kundisyon ng stationarity ay nasiyahan sa daloy ng mga kahilingan, ang mga probabilistikong katangian na hindi nakasalalay sa oras. Sa partikular, ang isang nakatigil na daloy ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang pare-pareho ang density (ang average na bilang ng mga kahilingan sa bawat yunit ng oras). Sa pagsasagawa, madalas na may mga daloy ng mga kahilingan na (kahit sa isang limitadong panahon) ay maaaring ituring na nakatigil. Halimbawa, ang daloy ng mga tawag sa isang palitan ng telepono ng lungsod sa tagal ng panahon mula 12 hanggang 13 oras ay maaaring ituring na landline. Ang parehong daloy sa kabuuan ng isang buong araw ay hindi na maituturing na nakatigil (sa gabi ay mas mababa ang density ng tawag kaysa sa araw).

Daloy ang mga pangyayari ay tinatawag na batis na walang epekto, kung para sa anumang hindi magkakapatong na mga yugto ng panahon ang bilang ng mga kaganapang bumabagsak sa isa sa mga ito ay hindi nakadepende sa bilang ng mga kaganapang bumabagsak sa iba.

Ang kondisyon ng kawalan ng aftereffect - ang pinakamahalaga para sa pinakasimpleng daloy - ay nangangahulugan na ang mga application ay pumapasok sa system nang hiwalay sa isa't isa. Halimbawa, ang daloy ng mga pasaherong pumapasok sa isang istasyon ng metro ay maaaring ituring na isang daloy na walang epekto dahil ang mga dahilan na tumutukoy sa pagdating ng isang indibidwal na pasahero sa isang partikular na sandali at hindi sa isa pa ay, bilang panuntunan, ay hindi nauugnay sa mga katulad na dahilan para sa ibang mga pasahero. . Gayunpaman, ang kondisyon ng walang aftereffect ay madaling lumabag dahil sa hitsura ng naturang pag-asa. Halimbawa, ang daloy ng mga pasahero na umaalis sa isang istasyon ng metro ay hindi na maituturing na isang daloy na walang epekto, dahil ang mga sandali ng paglabas ng mga pasaherong dumarating sa parehong tren ay nakadepende sa isa't isa.

Daloy ang tawag sa mga pangyayari karaniwan, kung ang posibilidad ng dalawa o higit pang mga kaganapan na naganap sa loob ng maikling pagitan ng oras t ay bale-wala kumpara sa posibilidad ng isang kaganapan na naganap (sa bagay na ito, ang batas ni Poisson ay tinatawag na batas ng mga bihirang kaganapan).

Ang kundisyon ng ordinariness ay nangangahulugan na ang mga order ay dumarating nang isa-isa, at hindi pares, triplets, atbp. variance deviation Pamamahagi ng Bernoulli

Halimbawa, ang daloy ng mga customer na pumapasok sa isang hairdressing salon ay maaaring ituring na halos karaniwan. Kung sa isang pambihirang daloy ng mga aplikasyon ay dumating lamang sa mga pares, lamang sa triplets, atbp, kung gayon ang pambihirang daloy ay madaling mabawasan sa isang ordinaryong; Upang gawin ito, sapat na upang isaalang-alang ang isang stream ng mga pares, triplets, atbp. sa halip na isang stream ng mga indibidwal na kahilingan Ito ay magiging mas mahirap kung ang bawat kahilingan ay maaaring random na maging doble, triple, atbp. Pagkatapos ay kailangan mo harapin ang isang stream ng hindi homogenous, ngunit heterogenous na mga kaganapan.

Kung ang isang stream ng mga kaganapan ay may lahat ng tatlong katangian (ibig sabihin, nakatigil, karaniwan, at walang epekto), kung gayon ito ay tinatawag na isang simple (o nakatigil na Poisson) na stream. Ang pangalang "Poisson" ay dahil sa katotohanan na kung ang mga nakalistang kundisyon ay natutugunan, ang bilang ng mga kaganapan na nahuhulog sa anumang nakapirming agwat ng oras ay ibabahagi sa Batas ni Poisson

Narito ang average na bilang ng mga kaganapan A, na lumalabas sa bawat yunit ng oras.

Ang batas na ito ay isang parameter, i.e. para itakda ito, isang parameter lang ang kailangan mong malaman. Maaari itong ipakita na ang inaasahan at pagkakaiba sa batas ni Poisson ay pantay sa bilang:

Halimbawa. Sabihin nating sa kalagitnaan ng araw ng trabaho ang average na bilang ng mga kahilingan ay 2 bawat segundo. Ano ang posibilidad na 1) walang matatanggap na aplikasyon sa isang segundo, 2) 10 aplikasyon ang darating sa loob ng dalawang segundo?

Solusyon. Dahil ang bisa ng aplikasyon ng batas ng Poisson ay walang pag-aalinlangan at ang parameter nito ay ibinigay (= 2), ang solusyon ng problema ay nabawasan sa aplikasyon ng Poisson's formula (19.11)

1) t = 1, m = 0:

2) t = 2, m = 10:

Batas malalaking numero. Ang mathematical na batayan para sa katotohanan na ang mga halaga ng isang random variable cluster sa paligid ng ilang mga pare-parehong halaga ay ang batas ng malalaking numero.

Sa kasaysayan, ang unang pagbabalangkas ng batas ng malalaking numero ay ang theorem ni Bernoulli:

"Sa isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng magkapareho at independiyenteng mga eksperimento n, ang dalas ng paglitaw ng kaganapan A ay nagtatagpo sa posibilidad sa posibilidad nito," i.e.

kung saan ang dalas ng paglitaw ng kaganapan A sa n mga eksperimento,

Sa esensya, ang expression (19.10) ay nangangahulugan na sa isang malaking bilang ng mga eksperimento, ang dalas ng paglitaw ng kaganapan A maaaring palitan ang hindi alam na posibilidad ng kaganapang ito, at kung mas malaki ang bilang ng mga eksperimento na ginawa, mas malapit ang p* sa p. Interesting makasaysayang katotohanan. Si K. Pearson ay naghagis ng barya ng 12,000 beses at ang kanyang coat of arm ay lumabas ng 6,019 beses (frequency 0.5016). Nang ihagis ang parehong barya ng 24,000 beses, nakakuha siya ng 12,012 coats of arms, i.e. dalas 0.5005.

Ang pinakamahalagang anyo ng batas ng malalaking numero ay ang teorama ni Chebyshev: na may walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga independiyenteng eksperimento na may hangganan na pagkakaiba-iba at isinasagawa sa ilalim ng magkatulad na mga kondisyon, ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng random na variable ay nagtatagpo sa posibilidad sa kanyang inaasahan sa matematika.. Sa analytical form, ang theorem na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

Bilang karagdagan sa pangunahing teoretikal na kahalagahan nito, ang teorama ni Chebyshev ay mayroon ding mahahalagang praktikal na aplikasyon, halimbawa, sa teorya ng pagsukat. Pagkatapos kumuha ng n mga sukat ng isang tiyak na dami X, kumuha ng iba't ibang hindi tugmang mga halaga X 1, X 2, ..., xn. Para sa tinatayang halaga ng sinusukat na dami X kunin ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga

kung saan, Ang mas maraming mga eksperimento ay isinasagawa, mas tumpak ang magiging resulta. Ang katotohanan ay ang pagpapakalat ng dami ay bumababa sa isang pagtaas sa bilang ng mga eksperimento na isinagawa, dahil

D(x 1) = D(x 2)=…= D(xn) D(x), Iyon

Ang relasyon (19.13) ay nagpapakita na kahit na may mataas na kamalian ng mga instrumento sa pagsukat (malaking halaga), sa pamamagitan ng pagtaas ng bilang ng mga sukat, posible na makakuha ng isang resulta na may arbitraryong mataas na katumpakan.

Gamit ang formula (19.10) mahahanap mo ang posibilidad na ang dalas ng istatistika ay lumihis mula sa posibilidad ng hindi hihigit sa

Halimbawa. Ang posibilidad ng isang kaganapan sa bawat pagsubok ay 0.4. Gaano karaming mga pagsubok ang kailangan mong isagawa upang asahan, na may posibilidad na hindi bababa sa 0.8, na ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay lilihis mula sa posibilidad sa ganap na halaga nang mas mababa sa 0.01?

Solusyon. Ayon sa formula (19.14)

samakatuwid, ayon sa talahanayan mayroong dalawang aplikasyon

kaya naman, n 3932.

Sa naunang isa, ipinakita namin ang isang bilang ng mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang mga numerical na katangian ng mga function kapag ang mga batas ng pamamahagi ng mga argumento ay kilala. Gayunpaman, sa maraming mga kaso, upang mahanap ang mga numerical na katangian ng mga function, ito ay hindi kinakailangan kahit na malaman ang mga batas ng pamamahagi ng mga argumento, ngunit ito ay sapat na upang malaman lamang ang ilan sa kanilang mga numerical na katangian; sa parehong oras, karaniwan naming ginagawa nang walang anumang mga batas ng pamamahagi. Ang pagtukoy sa mga numerical na katangian ng mga function mula sa mga ibinigay na numerical na katangian ng mga argumento ay malawakang ginagamit sa probability theory at maaaring makabuluhang pasimplehin ang solusyon ng isang bilang ng mga problema. Karamihan sa mga pinasimpleng pamamaraan na ito ay nauugnay sa mga linear na function; gayunpaman, pinapayagan din ng ilang elementarya na nonlinear na function ang isang katulad na diskarte.

Sa kasalukuyan ay magpapakita kami ng isang bilang ng mga theorems sa mga numerical na katangian ng mga pag-andar, na magkakasamang kumakatawan sa isang napakasimpleng kagamitan para sa pagkalkula ng mga katangiang ito, na naaangkop sa isang malawak na hanay ng mga kondisyon.

1. Mathematical na inaasahan ng isang hindi random na halaga

Ang formulated property ay medyo halata; mapapatunayan ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa isang di-random na variable bilang isang espesyal na uri ng random, na may isa posibleng kahulugan may posibilidad na isa; pagkatapos ay ayon sa pangkalahatang pormula para sa inaasahan sa matematika:

.

2. Pagkakaiba-iba ng isang hindi random na dami

Kung ito ay isang hindi random na halaga, kung gayon

3. Pagpapalit ng hindi random na halaga para sa tanda ng pag-asa sa matematika

, (10.2.1)

ibig sabihin, maaaring kunin ang isang hindi random na halaga bilang tanda ng inaasahan sa matematika.

Patunay.

a) Para sa hindi tuloy-tuloy na dami

b) Para sa tuluy-tuloy na dami

.

4. Pagpapalit ng di-random na halaga para sa tanda ng dispersion at standard deviation

Kung ay isang hindi random na dami, at random, kung gayon

, (10.2.2)

iyon ay, ang isang hindi random na halaga ay maaaring alisin sa tanda ng pagpapakalat sa pamamagitan ng pag-square nito.

Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba

Bunga

,

ibig sabihin, ang isang di-random na halaga ay maaaring kunin nang higit sa tanda ng karaniwang paglihis nito ganap na halaga. Nakukuha namin ang patunay sa pamamagitan ng pagkuha ng square root mula sa formula (10.2.2) at isinasaalang-alang na ang r.s.o. - isang makabuluhang positibong halaga.

5. Mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga random na variable

Patunayan natin na para sa alinmang dalawang random na variable at

ibig sabihin, ang mathematical expectation ng kabuuan ng dalawang random variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mathematical expectations.

Ang ari-arian na ito ay kilala bilang theorem of addition of mathematical expectations.

Patunay.

a) Hayaang maging isang sistema ng mga di-tuloy na random na variable. Ilapat sa kabuuan ng mga random na variable pangkalahatang pormula(10.1.6) para sa mathematical na inaasahan ng isang function ng dalawang argumento:

.

Ang Ho ay kumakatawan sa hindi hihigit sa kabuuang posibilidad na ang dami ay kukuha ng halaga :

;

kaya naman,

.

Papatunayan din natin yan

,

at ang teorama ay napatunayan.

b) Hayaan ang isang sistema ng tuluy-tuloy na random variable. Ayon sa formula (10.1.7)

. (10.2.4)

Ibahin natin ang una sa mga integral (10.2.4):

;

katulad

,

at ang teorama ay napatunayan.

Dapat itong espesyal na tandaan na ang teorama para sa pagdaragdag ng mga inaasahan sa matematika ay wasto para sa anumang mga random na variable - parehong umaasa at independiyente.

Ang theorem para sa pagdaragdag ng mga inaasahan sa matematika ay pangkalahatan sa isang arbitrary na bilang ng mga termino:

, (10.2.5)

ibig sabihin, ang mathematical expectation ng sum ng ilang random variables ay katumbas ng sum ng kanilang mathematical expectations.

Upang patunayan ito, sapat na gamitin ang paraan ng kumpletong induction.

6. Pag-asa sa matematika linear function

Isaalang-alang ang isang linear function ng ilang random na argumento:

kung saan ang mga non-random coefficients. Patunayan natin yan

, (10.2.6)

i.e. ang mathematical expectation ng isang linear function ay katumbas ng parehong linear function ng mathematical expectations ng mga argumento.

Patunay. Gamit ang addition theorem ng m.o. at ang panuntunan ng paglalagay ng hindi random na dami sa labas ng sign ng m.o., nakukuha namin ang:

.

7. Dispepitong kabuuan ng mga random na variable

Ang pagkakaiba-iba ng kabuuan ng dalawang random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba-iba kasama ang dalawang beses sa sandali ng ugnayan:

Patunay. Tukuyin natin

Ayon sa theorem ng pagdaragdag ng mga inaasahan sa matematika

Lumipat tayo mula sa mga random na variable patungo sa katumbas na mga variable na nakasentro. Ang pagbabawas ng pagkakapantay-pantay (10.2.9) na termino ayon sa termino mula sa pagkakapantay-pantay (10.2.8), mayroon tayong:

Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba

Q.E.D.

Ang formula (10.2.7) para sa pagkakaiba ng kabuuan ay maaaring gawing pangkalahatan sa anumang bilang ng mga termino:

, (10.2.10)

kung saan ang sandali ng ugnayan ng mga dami, ang tanda sa ilalim ng kabuuan ay nangangahulugan na ang pagsusuma ay umaabot sa lahat ng posibleng magkapares na kumbinasyon ng mga random na variable .

Ang patunay ay katulad ng nauna at sumusunod mula sa formula para sa parisukat ng isang polynomial.

Ang formula (10.2.10) ay maaaring isulat sa ibang anyo:

, (10.2.11)

kung saan ang double sum ay umaabot sa lahat ng elemento ng correlation matrix ng sistema ng mga dami , na naglalaman ng parehong mga sandali ng ugnayan at pagkakaiba.

Kung lahat ng random variable , kasama sa system, ay walang kaugnayan (ibig sabihin, kapag ), ang formula (10.2.10) ay nasa form:

, (10.2.12)

ibig sabihin, ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga uncorrelated na random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba ng mga termino.

Ang posisyong ito ay kilala bilang theorem of addition of variances.

8. Pagkakaiba-iba ng isang linear function

Isaalang-alang natin ang isang linear na function ng ilang mga random na variable.

kung saan ang mga hindi random na dami.

Patunayan natin na ang dispersion ng linear function na ito ay ipinahayag ng formula

, (10.2.13)

saan ang sandali ng ugnayan ng mga dami , .

Patunay. Ipakilala natin ang notasyon:

. (10.2.14)

Ang paglalapat ng formula (10.2.10) para sa dispersion ng kabuuan sa kanang bahagi ng expression (10.2.14) at isinasaalang-alang na , nakukuha natin ang:

nasaan ang sandali ng ugnayan ng mga dami:

.

Kalkulahin natin ang sandaling ito. Meron kami:

;

katulad

Ang pagpapalit ng expression na ito sa (10.2.15), dumating tayo sa formula (10.2.13).

Sa espesyal na kaso kapag ang lahat ng dami ay walang kaugnayan, ang formula (10.2.13) ay nasa anyo:

, (10.2.16)

ibig sabihin, ang pagkakaiba-iba ng isang linear na function ng mga uncorrelated na random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga parisukat ng mga coefficient at ang mga pagkakaiba-iba ng mga katumbas na argumento.

9. Mathematical expectation ng isang produkto ng random variables

Ang pag-asa sa matematika ng produkto ng dalawang random na variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga inaasahan sa matematika kasama ang sandali ng ugnayan:

Patunay. Magpapatuloy kami mula sa kahulugan ng sandali ng ugnayan:

Ibahin natin ang ekspresyong ito gamit ang mga katangian ng pag-asa sa matematika:

na malinaw na katumbas ng formula (10.2.17).

Kung ang mga random na variable ay walang kaugnayan, ang formula (10.2.17) ay kukuha ng form:

ibig sabihin, ang mathematical expectation ng produkto ng dalawang uncorrelated random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations.

Ang posisyong ito ay kilala bilang theorem of multiplication of mathematical expectations.

Ang formula (10.2.17) ay walang iba kundi isang pagpapahayag ng pangalawang pinaghalong sentral na sandali ng system sa pamamagitan ng pangalawang pinaghalong inisyal na sandali at mga inaasahan sa matematika:

. (10.2.19)

Ang expression na ito ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay kapag kinakalkula ang sandali ng ugnayan sa parehong paraan na para sa isang random na variable ang pagkakaiba ay madalas na kinakalkula sa pamamagitan ng pangalawang paunang sandali at ang mathematical na inaasahan.

Ang teorama ng pagpaparami ng mga inaasahan sa matematika ay pangkalahatan sa isang di-makatwirang bilang ng mga kadahilanan, sa kasong ito lamang, para sa aplikasyon nito, hindi sapat na ang mga dami ay hindi nauugnay, ngunit kinakailangan na ang ilang mas mataas na halo-halong sandali, ang bilang nito ay nakasalalay. sa bilang ng mga termino sa produkto, mawala. Ang mga kundisyong ito ay tiyak na nasiyahan kung ang mga random na variable na kasama sa produkto ay independyente. Sa kasong ito

, (10.2.20)

ibig sabihin, ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations.

Ang panukalang ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng kumpletong induction.

10. Pagkakaiba-iba ng produkto ng mga independiyenteng random na variable

Patunayan natin iyon para sa mga independiyenteng dami

Patunay. Tukuyin natin ang . Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba

Dahil ang mga dami ay independyente, at

Kapag independyente, ang mga dami ay independiyente rin; kaya naman,

,

Ngunit wala nang higit pa kaysa sa pangalawang paunang sandali ng magnitude, at, samakatuwid, ay ipinahayag sa pamamagitan ng pagpapakalat:

;

katulad

.

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa formula (10.2.22) at nagdadala ng mga katulad na termino, dumating tayo sa formula (10.2.21).

Sa kaso kapag ang mga nakasentro na random na variable (mga variable na may mga inaasahan sa matematika na katumbas ng zero) ay pinarami, ang formula (10.2.21) ay nasa anyo:

, (10.2.23)

ibig sabihin, ang pagkakaiba ng produkto ng mga independent centered random variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga pagkakaiba.

11. Mas mataas na mga sandali ng kabuuan ng mga random na variable

Sa ilang mga kaso, kinakailangan upang kalkulahin ang pinakamataas na sandali ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable. Patunayan natin ang ilang relasyon na may kaugnayan dito.

1) Kung ang mga dami ay independyente, kung gayon

Patunay.

kung saan, ayon sa teorama ng pagpaparami ng mga inaasahan sa matematika

Ngunit ang unang sentral na sandali para sa anumang dami ay zero; ang dalawang gitnang termino ay nawawala, at ang formula (10.2.24) ay napatunayan.

Ang kaugnayan (10.2.24) ay madaling gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng induction sa isang arbitrary na bilang ng mga independiyenteng termino:

. (10.2.25)

2) Ang ikaapat na sentral na sandali ng kabuuan ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay ipinahayag ng formula

nasaan ang mga pagkakaiba-iba ng mga dami at .

Ang patunay ay ganap na katulad ng nauna.

Gamit ang paraan ng kumpletong induction, madaling patunayan ang generalization ng formula (10.2.26) sa isang arbitrary na bilang ng mga independiyenteng termino.