Madalas nating marinig ang mga expression: "ito ay inert", "move by inertia", "moment of inertia". Sa isang makasagisag na kahulugan, ang salitang "inertia" ay maaaring bigyang-kahulugan bilang isang kakulangan ng inisyatiba at pagkilos. Interesado kami sa direktang kahulugan.
Ano ang inertia
Ayon sa kahulugan pagkawalang-kilos sa pisika, ito ay ang kakayahan ng mga katawan na mapanatili ang isang estado ng pahinga o paggalaw sa kawalan ng mga panlabas na puwersa.
Kung ang lahat ay malinaw sa mismong konsepto ng inertia sa isang intuitive na antas, kung gayon sandali ng pagkawalang-galaw- isang hiwalay na tanong. Sumang-ayon, mahirap isipin sa iyong isip kung ano ito. Sa artikulong ito matututunan mo kung paano lutasin ang mga pangunahing problema sa paksa "Sandali ng pagkawalang-galaw".
Pagpapasiya ng moment of inertia
Mula sa kurso sa paaralan ito ay kilala na masa – isang sukatan ng inertia ng isang katawan. Kung itutulak natin ang dalawang kariton na magkaiba ang masa, ang mas mabigat ay mas mahirap ihinto. Iyon ay, mas malaki ang masa, mas malaki panlabas na impluwensya kinakailangan upang baguhin ang paggalaw ng katawan. Nalalapat ang isinasaalang-alang sa galaw ng pagsasalin, kapag ang cart mula sa halimbawa ay gumagalaw sa isang tuwid na linya.
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mass at translational motion, ang moment of inertia ay isang sukatan ng inertia ng isang katawan sa paikot na paggalaw sa paligid ng axis.
Sandali ng pagkawalang-galaw– isang scalar na pisikal na dami, isang sukatan ng inertia ng isang katawan sa panahon ng pag-ikot sa paligid ng isang axis. Tinutukoy ng liham J at sa sistema SI sinusukat sa kilo beses sa isang metro kuwadrado.
Paano makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw? Kumain pangkalahatang pormula, na ginagamit sa pisika upang kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng anumang katawan. Kung ang isang katawan ay nasira sa napakaliit na piraso na may masa dm , kung gayon ang sandali ng pagkawalang-kilos ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elementarya na ito sa pamamagitan ng parisukat ng distansya sa axis ng pag-ikot.
Ito ang pangkalahatang pormula para sa moment of inertia sa physics. Para sa isang materyal na punto ng masa m , umiikot sa paligid ng isang axis sa malayo r Galing sa kanya, ang formula na ito kumuha ng form:
Teorama ni Steiner
Ano ang nakasalalay sa sandali ng pagkawalang-galaw? Mula sa masa, posisyon ng axis ng pag-ikot, hugis at sukat ng katawan.
Ang Huygens-Steiner theorem ay isang napakahalagang theorem na kadalasang ginagamit sa paglutas ng mga problema.
Siya nga pala! Para sa aming mga mambabasa mayroon na ngayong 10% na diskwento sa
Ang Huygens-Steiner theorem ay nagsasaad:
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan na may kaugnayan sa isang di-makatwirang axis ay katumbas ng kabuuan ng sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan na may kaugnayan sa isang axis na dumadaan sa gitna ng masa na kahanay ng isang di-makatwirang axis at ang produkto ng mass ng katawan sa pamamagitan ng parisukat ng distansya sa pagitan ng mga palakol.
Para sa mga hindi nais na patuloy na pagsamahin kapag nilulutas ang mga problema sa paghahanap ng sandali ng pagkawalang-galaw, nagpapakita kami ng isang pagguhit na nagpapahiwatig ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng ilang mga homogenous na katawan na madalas na nakatagpo sa mga problema:
Isang halimbawa ng paglutas ng problema upang mahanap ang moment of inertia
Tingnan natin ang dalawang halimbawa. Ang unang gawain ay upang mahanap ang sandali ng pagkawalang-galaw. Ang pangalawang gawain ay ang paggamit ng Huygens-Steiner theorem.
Problema 1. Hanapin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous na disk ng mass m at radius R. Ang axis ng pag-ikot ay dumadaan sa gitna ng disk.
Solusyon:
Hatiin natin ang disk sa walang katapusang manipis na mga singsing, na ang radius ay nag-iiba mula sa 0 dati R at isaalang-alang ang isa sa gayong singsing. Hayaan ang radius nito r, at masa – dm. Kung gayon ang sandali ng pagkawalang-galaw ng singsing ay:
Ang masa ng singsing ay maaaring kinakatawan bilang:
Dito dz- taas ng singsing. Ipalit natin ang masa sa formula para sa sandali ng pagkawalang-galaw at pagsamahin:
Ang resulta ay isang formula para sa sandali ng pagkawalang-galaw ng isang ganap na manipis na disk o silindro.
Problema 2. Hayaan muli na magkaroon ng isang disk ng mass m at radius R. Ngayon ay kailangan nating hanapin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng disk na may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna ng isa sa radii nito.
Solusyon:
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng disk na may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna ng masa ay kilala mula sa nakaraang problema. Ilapat natin ang teorama ni Steiner at hanapin natin:
Sa pamamagitan ng paraan, sa aming blog maaari kang makahanap ng iba pang mga kapaki-pakinabang na materyales sa pisika at.
Inaasahan namin na makakahanap ka ng isang bagay na kapaki-pakinabang para sa iyong sarili sa artikulo. Kung ang mga paghihirap ay lumitaw sa proseso ng pagkalkula ng inertia tensor, huwag kalimutan ang tungkol sa serbisyo ng mag-aaral. Ang aming mga espesyalista ay magpapayo sa anumang isyu at tutulong sa paglutas ng problema sa loob ng ilang minuto.
May kaugnayan sa isang nakapirming axis ("axial moment of inertia") ay ang dami J a, katumbas ng kabuuan gawa ng masa ng lahat n materyal na mga punto ng system sa pamamagitan ng mga parisukat ng kanilang mga distansya sa axis:
- m i- timbang i ang punto,
- r i- layo mula sa i ika point sa axis.
Axial sandali ng pagkawalang-galaw katawan J a ay isang sukatan ng inertia ng isang katawan sa rotational motion sa paligid ng isang axis, tulad ng mass ng isang body ay isang sukatan ng inertia nito sa translational motion.
Kung ang katawan ay homogenous, iyon ay, ang density nito ay pareho sa lahat ng dako, kung gayon
Huygens-Steiner theorem
Sandali ng pagkawalang-galaw solid kamag-anak sa anumang axis ay nakasalalay hindi lamang sa masa, hugis at sukat ng katawan, kundi pati na rin sa posisyon ng katawan na may kaugnayan sa axis na ito. Ayon sa teorama ni Steiner (Huygens-Steiner theorem), sandali ng pagkawalang-galaw katawan J kamag-anak sa isang arbitrary axis ay katumbas ng kabuuan sandali ng pagkawalang-galaw ang katawan na ito Si Jc may kaugnayan sa isang axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan na kahanay sa axis na isinasaalang-alang, at ang produkto ng mass ng katawan m bawat parisukat ng distansya d sa pagitan ng mga palakol:
saan ang kabuuang masa ng katawan.
Halimbawa, ang sandali ng pagkawalang-kilos ng isang baras na nauugnay sa isang axis na dumadaan sa dulo nito ay katumbas ng:
Axial moments ng inertia ng ilang katawan
| Katawan | Paglalarawan | Posisyon ng axis a | Sandali ng pagkawalang-galaw J a |
|---|---|---|---|
 |
Mass ng materyal na punto m | Sa malayo r mula sa isang punto, nakatigil | |
 |
Hollow thin-walled cylinder o radius ring r at masa m | Cylinder axis | |
 |
Solid na silindro o radius disk r at masa m | Cylinder axis | |
 |
Guwang na makapal na pader na mass cylinder m na may panlabas na radius r 2 at panloob na radius r 1 | Cylinder axis | |
 |
Solid na haba ng silindro l, radius r at masa m | ||
 |
Hollow thin-walled cylinder (ring) ang haba l, radius r at masa m | Ang axis ay patayo sa silindro at dumadaan sa sentro ng masa nito | |
 |
Tuwid Manipis Haba Rod l at masa m | Ang axis ay patayo sa baras at dumadaan sa sentro ng masa nito | |
 |
Tuwid Manipis Haba Rod l at masa m | Ang axis ay patayo sa baras at dumadaan sa dulo nito | |
 |
manipis na pader na radius sphere r at masa m | Ang axis ay dumadaan sa gitna ng globo | |
 |
Radius na bola r at masa m | Ang axis ay dumadaan sa gitna ng bola | |
 |
Radius kono r at masa m | Kono axis | |
| Isosceles triangle na may altitude h, batayan a at misa m | Ang axis ay patayo sa eroplano ng tatsulok at dumadaan sa vertex | ||
| Regular na tatsulok na may gilid a at misa m | Ang axis ay patayo sa eroplano ng tatsulok at dumadaan sa gitna ng masa | ||
| Square na may gilid a at misa m | Ang axis ay patayo sa eroplano ng parisukat at dumadaan sa gitna ng masa |
Pagkuha ng mga formula
Manipis na may pader na silindro (singsing, hoop)
Derivation ng formula
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga bahagi nito. Hatiin ang isang manipis na pader na silindro sa mga elemento na may masa dm at mga sandali ng pagkawalang-galaw dJ i. Pagkatapos
Dahil ang lahat ng mga elemento ng isang manipis na pader na silindro ay nasa parehong distansya mula sa axis ng pag-ikot, ang formula (1) ay binago sa anyo
Makapal ang pader na silindro (singsing, hoop)
Derivation ng formula
Hayaang magkaroon ng isang homogenous na singsing na may panlabas na radius R, panloob na radius R 1, makapal h at density ρ. Hatiin natin ito sa manipis na mga singsing na makapal Dr. Mass at moment of inertia ng isang manipis na radius ring r magiging
Hanapin natin ang moment of inertia ng makapal na singsing bilang integral
Dahil ang dami at masa ng singsing ay pantay
makuha namin ang pangwakas na formula para sa sandali ng pagkawalang-kilos ng singsing
Homogeneous na disc (solid cylinder)
Derivation ng formula
Isinasaalang-alang ang isang silindro (disk) bilang isang singsing na walang panloob na radius ( R 1 = 0), nakuha namin ang formula para sa sandali ng pagkawalang-kilos ng silindro (disk):
Solid na kono
Derivation ng formula
Hatiin natin ang kono sa manipis na mga disk na may kapal dh, patayo sa axis ng kono. Ang radius ng naturang disk ay katumbas ng
saan R- radius ng cone base, H- taas ng kono, h– distansya mula sa tuktok ng kono hanggang sa disk. Ang masa at sandali ng pagkawalang-galaw ng naturang disk ay magiging
Pagsasama, nakukuha namin
Solid homogenous na bola
Derivation ng formula
Hatiin ang bola sa manipis na mga disk ng kapal dh, patayo sa axis ng pag-ikot. Ang radius ng naturang disk na matatagpuan sa taas h mula sa gitna ng globo, makikita natin ito gamit ang formula
Ang masa at sandali ng pagkawalang-galaw ng naturang disk ay magiging
Natagpuan namin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng globo sa pamamagitan ng pagsasama:
manipis na pader na globo
Derivation ng formula
Upang makuha ito, ginagamit namin ang formula para sa sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous na bola ng radius R:
Kalkulahin natin kung gaano magbabago ang moment of inertia ng bola kung, sa pare-parehong density ρ, ang radius nito ay tataas ng isang infinitesimal na halaga dR.
Manipis na baras (axis ay dumadaan sa gitna)
Derivation ng formula
Hatiin ang baras sa maliliit na haba na mga fragment Dr. Ang masa at sandali ng pagkawalang-galaw ng naturang fragment ay katumbas ng
Pagsasama, nakukuha namin
Manipis na baras (axis ay dumadaan sa dulo)
Derivation ng formula
Kapag ang axis ng pag-ikot ay gumagalaw mula sa gitna ng baras hanggang sa dulo nito, ang sentro ng grabidad ng baras ay gumagalaw na may kaugnayan sa axis sa isang distansya l/2. Ayon sa teorama ni Steiner bagong sandali magiging pantay ang pagkawalang-kilos
Mga walang sukat na sandali ng pagkawalang-galaw ng mga planeta at kanilang mga satellite
Malaking halaga para sa pananaliksik panloob na istraktura Ang mga planeta at ang kanilang mga satellite ay may kanilang walang sukat na mga sandali ng pagkawalang-galaw. Walang sukat na sandali ng inertia ng isang katawan ng radius r at masa m ay katumbas ng ratio ng moment of inertia nito na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot sa moment of inertia ng isang materyal na punto ng parehong masa na nauugnay sa isang nakapirming axis ng pag-ikot na matatagpuan sa layo r(katumbas ng Ginoo 2). Ang halagang ito ay sumasalamin sa pamamahagi ng masa sa lalim. Ang isa sa mga pamamaraan para sa pagsukat nito malapit sa mga planeta at satellite ay upang matukoy ang Doppler shift ng signal ng radyo na ipinadala ng isang AMS na lumilipad malapit sa isang partikular na planeta o satellite. Para sa isang manipis na pader na globo, ang walang sukat na sandali ng pagkawalang-galaw ay katumbas ng 2/3 (~0.67), para sa isang homogenous na bola - 0.4, at sa pangkalahatan, mas kaunti, mas malaki ang masa ng katawan ay puro sa gitna nito. Halimbawa, ang Buwan ay may walang sukat na sandali ng pagkawalang-galaw na malapit sa 0.4 (katumbas ng 0.391), kaya ipinapalagay na ito ay medyo homogenous, ang density nito ay nagbabago nang kaunti sa lalim. Ang walang sukat na sandali ng pagkawalang-galaw ng Earth ay mas mababa kaysa sa isang homogenous na globo (katumbas ng 0.335), na isang argumento na pabor sa pagkakaroon ng isang siksik na core.
Centrifugal moment of inertia
Ang mga centrifugal moments ng inertia ng isang katawan na may kaugnayan sa mga axes ng isang rectangular Cartesian coordinate system ay ang mga sumusunod na dami:
saan x, y At z- mga coordinate ng isang maliit na elemento ng katawan na may lakas ng tunog dV, density ρ at misa dm.
Ang OX axis ay tinatawag pangunahing axis ng inertia ng katawan, kung ang centrifugal moments ng inertia J xy At J xz ay sabay-sabay na katumbas ng zero. Tatlong pangunahing axes ng inertia ay maaaring iguhit sa bawat punto ng katawan. Ang mga palakol na ito ay magkaparehong patayo sa isa't isa. Mga sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan kaugnay sa tatlong pangunahing axes ng inertia na iginuhit sa isang arbitrary na punto O tinatawag ang mga katawan pangunahing mga sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan.
Ang mga pangunahing axes ng inertia na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan ay tinatawag pangunahing mga gitnang axes ng pagkawalang-galaw ng katawan, at ang mga sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa mga palakol na ito ay nito pangunahing gitnang mga punto pagkawalang-kilos. Ang axis ng symmetry ng isang homogenous na katawan ay palaging isa sa mga pangunahing gitnang axes ng inertia.
Geometric na sandali ng pagkawalang-galaw
Geometric moment of inertia - geometric na katangian ng isang seksyon ng form
kung saan ang distansya mula sa gitnang axis hanggang sa anumang elementarya na lugar na may kaugnayan sa neutral na axis.
Ang geometric na sandali ng pagkawalang-kilos ay hindi nauugnay sa paggalaw ng materyal; Ginagamit upang kalkulahin ang radius ng gyration, beam deflection, pagpili ng mga cross-section ng mga beam, column, atbp.
Ang SI unit ng pagsukat ay m4. Sa mga kalkulasyon ng konstruksiyon, panitikan at pinagsama-samang mga assortment ng metal, sa partikular, ito ay ipinahiwatig sa cm 4.
Mula dito ang sandali ng paglaban ng seksyon ay ipinahayag:
.| Mga geometric na sandali ng inertia ng ilang figure | |
|---|---|
| Taas at lapad ng parihaba: | |
| Seksyon ng parihabang kahon na may taas at lapad kasama ang mga panlabas na contour at , at kasama ang mga panloob na contour at ayon sa pagkakabanggit | |
| Diametro ng bilog | |
Gitnang sandali ng pagkawalang-galaw
Gitnang sandali ng pagkawalang-galaw(o moment of inertia relative to point O) ay ang dami
Ang gitnang sandali ng pagkawalang-galaw ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng pangunahing axial o centrifugal na sandali ng pagkawalang-galaw: .
Tensor ng inertia at ellipsoid ng inertia
Ang sandali ng pagkawalang-kilos ng isang katawan na may kaugnayan sa isang di-makatwirang axis na dumadaan sa gitna ng masa at pagkakaroon ng direksyon na tinukoy ng unit vector ay maaaring kinakatawan sa anyo ng isang parisukat (bilinear) na anyo:
(1),nasaan ang inertia tensor. Ang inertia tensor matrix ay simetriko, may mga sukat at binubuo ng mga bahagi ng centrifugal moments:
.
Sa pamamagitan ng pagpili ng naaangkop na sistema ng coordinate, ang inertia tensor matrix ay maaaring bawasan sa isang diagonal na anyo. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang eigenvalue na problema para sa tensor matrix:
,
nasaan ang orthogonal transition matrix sa eigenbasis ng inertia tensor. Sa wastong batayan, ang mga coordinate axes ay nakadirekta sa mga pangunahing axes ng inertia tensor, at nag-tutugma din sa mga pangunahing semi-axes ng inertia tensor ellipsoid. Ang mga dami ay ang mga pangunahing sandali ng pagkawalang-galaw. Ang expression (1) sa sarili nitong coordinate system ay may anyo:
saan nagmula ang equation
Sandali ng puwersa at sandali ng pagkawalang-kilos
Sa dynamics ng translational motion ng isang materyal na punto, bilang karagdagan sa mga kinematic na katangian, ang mga konsepto ng puwersa at masa ay ipinakilala. Kapag pinag-aaralan ang dynamics ng rotational motion, ipinakilala ang mga pisikal na dami - metalikang kuwintas At sandali ng pagkawalang-galaw, pisikal na kahulugan na aming ibubunyag sa ibaba.
Hayaan ang ilang katawan sa ilalim ng impluwensya ng isang puwersa na inilapat sa isang punto A, ay umiikot sa paligid ng OO axis" (Larawan 5.1).
Figure 5.1 – Sa pagtatapos ng konsepto ng moment of force
Ang puwersa ay kumikilos sa isang eroplanong patayo sa axis. Perpendikular R, bumaba mula sa punto TUNGKOL SA(nakahiga sa axis) sa direksyon ng puwersa ay tinatawag balikat ng lakas. Tinutukoy ng produkto ng puwersa ng braso ang modulus sandali ng puwersa kaugnay sa punto TUNGKOL SA:
(5.1)
Sandali ng kapangyarihan ay isang vector na tinutukoy ng vector product ng radius vector ng point of application ng force at ng force vector:
(5.2)
Yunit ng sandali ng puwersa - metro ng newton(N . m). Ang direksyon ng force moment vector ay matatagpuan gamit tamang mga tuntunin ng propeller.
Ang sukat ng inertia ng mga katawan sa panahon ng paggalaw ng pagsasalin ay masa. Ang inertia ng mga katawan sa panahon ng pag-ikot ng paggalaw ay nakasalalay hindi lamang sa masa, kundi pati na rin sa pamamahagi nito sa espasyo na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot. Ang sukat ng inertia sa panahon ng pag-ikot ng paggalaw ay tinatawag na dami sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan may kaugnayan sa axis ng pag-ikot.
Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang materyal na punto may kaugnayan sa axis ng pag-ikot - ang produkto ng masa ng puntong ito sa pamamagitan ng parisukat ng distansya mula sa axis:
Sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan may kaugnayan sa axis ng pag-ikot - ang kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga materyal na punto na bumubuo sa katawan na ito:
(5.4)
SA pangkalahatang kaso, kung ang katawan ay solid at kumakatawan sa isang koleksyon ng mga puntos na may maliit na masa dm, ang sandali ng pagkawalang-galaw ay natutukoy sa pamamagitan ng pagsasama:
, (5.5)
saan r- distansya mula sa axis ng pag-ikot hanggang sa isang elemento ng masa d m.
Kung ang katawan ay homogenous at ang density nito ρ = m/V, pagkatapos ay ang sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan
(5.6)
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan ay nakasalalay sa kung aling axis ito umiikot at kung paano ipinamamahagi ang masa ng katawan sa buong volume.
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng mga katawan na may regular na geometric na hugis at pare-parehong pamamahagi masa ayon sa dami.
Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous rod may kaugnayan sa isang axis na dumadaan sa gitna ng inertia at patayo sa baras,
Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous na silindro may kaugnayan sa isang axis na patayo sa base nito at dumadaan sa gitna ng inertia,
(5.8)
Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na pader na silindro o hoop may kaugnayan sa isang axis na patayo sa eroplano ng base nito at dumadaan sa gitna nito,
Sandali ng pagkawalang-galaw ng bola may kaugnayan sa diameter
(5.10)
Tukuyin natin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng disk na nauugnay sa axis na dumadaan sa gitna ng pagkawalang-galaw at patayo sa eroplano ng pag-ikot. Hayaang maging ang masa ng disk m, at ang radius nito ay R.
Ang lugar ng singsing (Larawan 5.2) na nakapaloob sa pagitan r at , ay katumbas ng .
Figure 5.2 - Sa pagtatapos ng sandali ng pagkawalang-galaw ng disk
Lugar ng disk. Sa patuloy na kapal ng singsing,
mula saan o 
.
Pagkatapos ang sandali ng pagkawalang-galaw ng disk,
Para sa kalinawan, ang Figure 5.3 ay nagpapakita ng mga homogenous na solid iba't ibang hugis at ang mga sandali ng pagkawalang-kilos ng mga katawan na ito na may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna ng masa ay ipinahiwatig.
Figure 5.3 – Mga sandali ng pagkawalang-galaw ako C ng ilang homogenous solids.
Teorama ni Steiner
Ang mga formula sa itaas para sa mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga katawan ay ibinibigay sa ilalim ng kondisyon na ang axis ng pag-ikot ay dumadaan sa gitna ng inertia. Upang matukoy ang mga sandali ng pagkawalang-kilos ng isang katawan na may kaugnayan sa isang di-makatwirang axis, dapat mong gamitin Teorama ni Steiner : ang sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan na may kaugnayan sa isang di-makatwirang axis ng pag-ikot ay katumbas ng kabuuan ng sandali ng pagkawalang-galaw J 0 na may kaugnayan sa axis na kahanay sa ibinigay na isa at dumadaan sa gitna ng pagkawalang-galaw ng katawan, at ang halaga md 2:
(5.12)
saan m- bigat ng katawan, d- distansya mula sa sentro ng masa hanggang sa napiling axis ng pag-ikot. Yunit ng moment of inertia - kilo metro kuwadrado (kg . m 2).
Kaya, ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous na baras ng haba l may kaugnayan sa axis na dumadaan sa dulo nito, ayon sa teorama ni Steiner ay katumbas ng
Aplikasyon. Sandali ng pagkawalang-galaw at pagkalkula nito.
Hayaang umikot ang matibay na katawan sa paligid ng Z axis (Larawan 6). Maaari itong ilarawan bilang isang sistema ng iba't ibang mga punto ng materyal na hindi nagbabago sa paglipas ng panahon, na ang bawat isa ay gumagalaw sa isang bilog na may radius. r i, nakahiga sa isang eroplanong patayo sa Z axis. Angular na bilis lahat ng mga materyal na punto ay pareho. Ang sandali ng pagkawalang-kilos ng isang katawan na may kaugnayan sa Z axis ay ang dami:
saan 
– sandali ng pagkawalang-galaw ng isang indibidwal na punto ng materyal na nauugnay sa axis ng OZ. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang sandali ng pagkawalang-galaw ay dami ng additive, i.e. ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan na binubuo ng mga indibidwal na bahagi ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga bahagi.
Larawan 6
Malinaw, [ ako] = kg×m 2. Ang kahalagahan ng konsepto ng moment of inertia ay ipinahayag sa tatlong formula:
; 
; 
.
Ang una sa mga ito ay nagpapahayag ng angular momentum ng isang katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis Z (kapaki-pakinabang na ihambing ang formula na ito sa expression para sa momentum ng isang katawan. P = mV c, Saan Vc– bilis ng sentro ng masa). Ang pangalawang formula ay tinatawag na pangunahing equation para sa dynamics ng rotational motion ng isang katawan sa paligid ng isang fixed axis, ibig sabihin, sa madaling salita, ang pangalawang batas ni Newton para sa rotational motion (ihambing sa batas ng paggalaw ng sentro ng masa: 
). Ang ikatlong formula ay nagpapahayag ng kinetic energy ng isang katawan na umiikot sa paligid ng isang fixed axis (ihambing sa expression para sa kinetic energy ng isang particle 
). Ang paghahambing ng mga pormula ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang sandali ng pagkawalang-galaw sa paggalaw ng pag-ikot ay gumaganap ng isang papel na katulad ng masa sa kahulugan na ang mas malaki ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan, mas kaunting angular acceleration na nakukuha nito, lahat ng iba pang mga bagay ay pantay ( ang katawan, sa makasagisag na pagsasalita, ay mas mahirap paikutin). Sa katotohanan, ang pagkalkula ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ay bumababa sa pagkalkula ng triple integral at maaari lamang gawin para sa isang limitadong bilang. simetriko katawan at para lamang sa mga palakol ng simetrya. Ang bilang ng mga palakol sa paligid kung saan ang isang katawan ay maaaring paikutin ay walang hanggan malaki. Sa lahat ng mga palakol, ang namumukod-tangi ay ang dumadaan sa isang kahanga-hangang punto ng katawan - sentro ng masa
(isang punto, upang ilarawan ang paggalaw kung saan sapat na upang isipin na ang buong masa ng sistema ay puro sa gitna ng masa at isang puwersa na katumbas ng kabuuan ng lahat ng pwersa ay inilapat sa puntong ito). Ngunit mayroon ding walang katapusang maraming palakol na dumadaan sa gitna ng masa. Ito ay lumiliko na para sa anumang solidong katawan ng di-makatwirang hugis mayroong tatlong magkaparehong patayo na mga palakol C x, C y, C z, tinawag mga palakol ng libreng pag-ikot
, na may isang kapansin-pansing pag-aari: kung ang isang katawan ay baluktot sa paligid ng alinman sa mga axes na ito at itinapon, pagkatapos ay sa panahon ng kasunod na paggalaw ng katawan ang axis ay mananatiling parallel sa sarili nito, i.e. hindi matutumba. Ang pag-ikot sa paligid ng anumang iba pang axis ay walang ganitong katangian. Ang mga halaga ng mga sandali ng pagkawalang-kilos ng mga tipikal na katawan tungkol sa ipinahiwatig na mga palakol ay ibinibigay sa ibaba. Kung ang axis ay dumaan sa gitna ng masa, ngunit gumagawa ng mga anggulo a, b, g gamit ang mga axes C x, C y, C z Alinsunod dito, ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa naturang axis ay katumbas ng
I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)
Isaalang-alang natin sa madaling sabi ang pagkalkula ng sandali ng pagkawalang-galaw para sa pinakasimpleng mga katawan.
1.Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang mahabang manipis na homogenous na baras tungkol sa isang axis na dumadaan sa gitna ng masa ng baras at patayo dito.
Hayaan T - masa ng baras, l – ang haba nito.
, 
Index " Sa» sa sandali ng pagkawalang-galaw Ic nangangahulugan na ito ang sandali ng pagkawalang-kilos tungkol sa axis na dumadaan sa punto ng sentro ng masa (ang sentro ng simetrya ng katawan), C(0,0,0).
2. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na hugis-parihaba na plato.
; 
;
3. Moment of inertia ng isang rectangular parallelepiped.
, t. C(0,0,0)
4. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na singsing.
;
, t. C(0,0,0)
5. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na disk.
Dahil sa simetriya
; 
;
6. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solidong silindro.
;
Dahil sa simetrya:
7. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solidong globo.
, t. C(0,0,0)
8. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solid cone.
, t. C(0,0,0)
saan R- radius ng base, h– taas ng kono.
Alalahanin na ang cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Sa wakas, kung ang O axis ay hindi dumaan sa gitna ng masa, kung gayon ang moment of inertia ng katawan ay maaaring kalkulahin gamit ang Huygens Steiner theorem
I o = I s + md 2, (**)
saan ako o- sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa isang di-makatwirang axis, ako s- sandali ng pagkawalang-kilos tungkol sa isang axis na kahanay nito, na dumadaan sa gitna ng masa,
m- bigat ng katawan, d– distansya sa pagitan ng mga palakol.
Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga sandali ng pagkawalang-galaw para sa mga katawan ng karaniwang hugis na nauugnay sa isang di-makatwirang axis ay nabawasan sa sumusunod.
Sandali ng pagkawalang-galaw
Upang kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw, dapat nating hatiin sa isip ang katawan sa sapat na maliliit na elemento, ang mga punto na maaaring ituring na nasa parehong distansya mula sa axis ng pag-ikot, pagkatapos ay hanapin ang produkto ng masa ng bawat elemento sa pamamagitan ng parisukat ng distansya nito mula sa axis at, sa wakas, isama ang lahat ng mga resultang produkto. Malinaw, ito ay isang napaka-oras na gawain. Bilangin
mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga katawan tama geometric na hugis Sa ilang mga kaso, maaari mong gamitin ang mga paraan ng integral calculus.
Papalitan namin ang pagpapasiya ng may hangganan na kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga elemento ng katawan sa pamamagitan ng pagbubuod ng isang walang katapusang malaking bilang ng mga sandali ng pagkawalang-galaw na kinakalkula para sa walang katapusang maliliit na elemento:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (sa Δm → 0).
Kalkulahin natin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous na disk o isang solidong silindro na may taas h kaugnay sa axis ng symmetry nito
Hatiin natin ang disk sa mga elemento sa anyo ng mga manipis na concentric ring na may mga sentro sa axis ng symmetry nito. Ang mga nagresultang singsing ay may panloob na diameter r at panlabas r+dr, at ang taas h. kasi Dr<< r
, pagkatapos ay maaari nating ipagpalagay na ang distansya ng lahat ng mga punto ng singsing mula sa axis ay pantay r.
Para sa bawat indibidwal na singsing, ang sandali ng pagkawalang-galaw
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
saan ΣΔm− masa ng buong singsing.
Dami ng ring 2πrhdr. Kung ang density ng materyal ng disk ρ
, pagkatapos ay ang masa ng singsing
ρ2πrhdr.
Sandali ng pagkawalang-galaw ng singsing
i = 2πρhr 3 dr.
Upang makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw ng buong disk, kinakailangan upang buod ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng mga singsing mula sa gitna ng disk ( r = 0) sa gilid nito ( r = R), ibig sabihin, kalkulahin ang integral:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
o
I = (1/2)πρhR 4.
Ngunit ang masa ng disk m = ρπhR 2, samakatuwid,
I = (1/2)mR 2.
Ipakita natin (nang walang kalkulasyon) ang mga sandali ng pagkawalang-galaw para sa ilang mga katawan ng regular na geometric na hugis, na gawa sa mga homogenous na materyales 
1.
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na singsing na nauugnay sa isang axis na dumadaan sa gitna nito na patayo sa eroplano nito (o isang manipis na pader na guwang na silindro na nauugnay sa axis ng symmetry nito):
I = mR 2.
2.
Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang makapal na pader na silindro na may kaugnayan sa axis ng symmetry:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
saan R 1− panloob at R 2− panlabas na radii.
3.
Ang sandali ng pagkawalang-kilos ng disk na nauugnay sa isang axis na tumutugma sa isa sa mga diameters nito:
I = (1/4)mR 2.
4.
Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solidong silindro na may kaugnayan sa isang axis na patayo sa generatrix at dumadaan sa gitna nito:
I = m(R 2/4 + h 2/12)
saan R− radius ng base ng silindro, h− taas ng silindro.
5.
Sandali ng pagkawalang-kilos ng isang manipis na baras na nauugnay sa isang axis na dumadaan sa gitna nito:
I = (1/12)ml 2,
saan l− haba ng pamalo.
6.
Sandali ng pagkawalang-kilos ng isang manipis na baras na nauugnay sa isang axis na dumadaan sa isa sa mga dulo nito:
I = (1/3)ml 2
7. Ang sandali ng pagkawalang-kilos ng bola na nauugnay sa isang axis na tumutugma sa isa sa mga diameter nito:
I = (2/5)mR 2.
Kung ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang katawan ay kilala tungkol sa isang axis na dumadaan sa sentro ng masa nito, kung gayon ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa anumang iba pang axis na kahanay sa una ay matatagpuan sa batayan ng tinatawag na Huygens-Steiner theorem.
Sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan ako kamag-anak sa anumang axis ay katumbas ng sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan ako s may kaugnayan sa isang axis na parallel sa ibinigay na isa at dumadaan sa gitna ng masa ng katawan, kasama ang masa ng katawan m, na pinarami ng parisukat ng distansya l sa pagitan ng mga palakol:
I = I c + ml 2.
Bilang halimbawa, kalkulahin natin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang bola ng radius R at misa m, na sinuspinde sa isang thread na may haba l, na nauugnay sa isang axis na dumadaan sa punto ng suspensyon TUNGKOL SA. Ang masa ng sinulid ay maliit kumpara sa masa ng bola. Dahil ang sandali ng pagkawalang-galaw ng bola na may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna ng masa Ic = (2/5)mR 2, at ang layo
sa pagitan ng mga palakol ( l + R), pagkatapos ay ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis na dumadaan sa suspension point:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Dimensyon ng moment of inertia:
[I] = [m] × = ML 2.
