Matematiksel beklenti ve varyans tahminleri. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin tahmini

s x =(1.11)

Daha fazla dikkate alacağız önemli görev gözlemlenen bir rastgele değişkeni incelemek. Biraz örnek olsun (bunu belirteceğiz) S) rastgele değişken X. Mevcut örnekten tahmin yapılması gerekir bilinmeyen değerler mx Ve .

Çeşitli parametrelerin tahmin teorisi matematiksel istatistikönemli bir yer. Bu nedenle, önce düşünelim ortak görev. Bazı parametreleri tahmin etmek gerekli olsun A numuneye göre S. Bu tür değerlendirmelerin her biri A* bazı işlevler a*=a*(S)örnek değerlerden. Örnek değerler rastgele olduğundan tahminin kendisi A* rastgele bir değişkendir. Çok sayıda inşa etmek mümkündür farklı tahminler(yani işlevler) A*, ancak aynı zamanda bir anlamda "iyi", hatta "en iyi" bir değerlendirmeye sahip olmak da arzu edilir. Aşağıdaki üç doğal gereklilik genellikle değerlendirmelerde uygulanır.

1. Yer değiştirmemiş. Değerlendirmenin matematiksel beklentisi A* parametrenin tam değerine eşit olmalıdır: M = bir. Başka bir deyişle değerlendirme A* Sistematik hata olmamalıdır.

2. Zenginlik.Örneklem büyüklüğündeki sonsuz artışla tahmin A* kesin bir değere yakınsamalıdır, yani gözlem sayısı arttıkça tahmin hatası sıfıra doğru yönelir.

3. Verimlilik. Seviye A* Eğer tarafsızsa ve mümkün olan en küçük hata varyansına sahipse etkin olduğu söylenir. Bu durumda tahminlerin yayılması minimum düzeydedir A* Kesin değere göre ve tahmin bir bakıma “en doğru”dur.

Ne yazık ki her üç şartı da aynı anda karşılayan bir değerlendirme oluşturmak her zaman mümkün olmuyor.

Matematiksel beklentiyi tahmin etmek için çoğunlukla bir tahmin kullanılır.

= , (1.12)

yani numunenin aritmetik ortalaması. Rastgele değişken ise X sonlu mx Ve sx ise tahmin (1.12) taraflı ve tutarlı değildir. Bu tahmin, örneğin aşağıdaki durumlarda etkilidir: X normal dağılıma sahiptir (Şekil 1.4, Ek 1). Diğer dağıtımlar için etkili olmayabilir. Örneğin, şu durumda üniforma dağıtımı(Şekil 1.1, Ek 1) tarafsız, tutarlı bir tahmin

(1.13)

Aynı zamanda, normal dağılıma ilişkin tahmin (1.13) ne tutarlı ne de etkili olacaktır ve örneklem büyüklüğünün artmasıyla daha da kötüleşecektir.

Böylece, bir rastgele değişkenin her bir dağılım türü için X matematiksel beklenti tahmininizi kullanmalısınız. Ancak bizim durumumuzda dağıtımın türü ancak geçici olarak bilinebilir. Bu nedenle oldukça basit ve en yüksek değere sahip olan (1.12) tahminini kullanacağız. önemli özellikler tarafsızlık ve tutarlılık.

Gruplandırılmış bir numuneye ilişkin matematiksel beklentiyi tahmin etmek için aşağıdaki formül kullanılır:

= , (1.14)

her şeyi göz önünde bulundurursak, bir öncekinden elde edilebilecek olan ben benörnek değerler dahil Ben-th aralığı temsile eşit z ben bu aralık. Bu tahmin doğal olarak daha kaba bir tahmindir ancak özellikle büyük bir örneklem boyutu söz konusu olduğunda önemli ölçüde daha az hesaplama gerektirir.

Varyansı tahmin etmek için en yaygın kullanılan tahmin şudur:

= , (1.15)

Bu tahmin taraflı değildir ve herhangi bir rastgele değişken için geçerlidir. X, dördüncü dereceye kadar sonlu anlara sahip.

Gruplandırılmış bir örnek durumunda kullanılan tahmin şu şekildedir:

= (1.16)

Tahminler (1.14) ve (1.16) kural olarak taraflıdır ve savunulamaz çünkü matematiksel beklentileri ve yakınsadıkları sınırlar tahminlerden farklıdır. mx ve dahil edilen tüm örnek değerlerin değiştirilmesi nedeniyle Ben-inci aralık, aralık temsilcisi başına z ben.

Büyük için şunu unutmayın N, katsayı yok/(n – 1)(1.15) ve (1.16) ifadelerinde birliğe yakın olduğundan ihmal edilebilir.

Aralık tahminleri.

İzin vermek Kesin değer bazı parametreler eşittir A ve tahmini bulundu gibi) numuneye göre S. Değerlendirme A* sayısal eksen üzerindeki bir noktaya karşılık gelir (Şekil 1.5), dolayısıyla bu tahmine denir nokta. Önceki paragrafta tartışılan tüm tahminler nokta tahminleridir. Neredeyse her zaman şans eseri

a* ¹ a ve biz sadece asıl noktanın bu olduğunu umabiliriz A* yakınlarda bir yerde mi A. Ama ne kadar yakın? Başka herhangi bir nokta tahmini de aynı dezavantaja sahip olacaktır; sonucun güvenilirliğine ilişkin bir ölçüm eksikliği.

Şekil 1.5. Nokta parametre tahmini.

Bu konuda daha spesifik olan aralık tahminleri. Aralık puanı bir aralığı temsil eder ben b = (a , b) tahmin edilen parametrenin kesin değerinin belirli bir olasılıkla bulunduğu B. Aralık Ib isminde güven aralığı ve olasılık B isminde güven olasılığı ve olarak düşünülebilir değerlendirmenin güvenilirliği.

Güven aralığı mevcut örneğe dayanmaktadır S, sınırlarının rastgele olması anlamında rastgeledir gibi) Ve b(S)(rastgele) bir örnekten hesaplayacağımız. Bu yüzden B rastgele aralığın olasılığı var Ib rastgele olmayan bir noktayı kapsayacak A. İncirde. 1.6. aralık Ib konuyu kapattı A, A Ib*- HAYIR. Bu nedenle şunu söylemek tamamen doğru değil. A ""aralığına düşer.

Güven olasılığı ise B büyük (örneğin b = 0,999), o zaman neredeyse her zaman tam değer A inşa edilmiş aralık dahilindedir.

Şekil 1.6. Parametrenin güven aralıkları A farklı örnekler için.

İnşaat yöntemini düşünelim güven aralığı rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi için X, dayalı Merkezi Limit Teoremi.

Rastgele değişken olsun X bilinmeyen bir matematiksel beklentisi var mx Ve bilinen varyans. O zaman merkezi limit teoremine göre aritmetik ortalama şu şekildedir:

= , (1.17)

sonuçlar N bağımsız testler miktarları X dağılımı genel olarak rastgele bir değişkendir. N, yakın normal dağılım ortalama ile mx ve standart sapma. Bu nedenle rastgele değişken

(1.18)

dikkate alınabilecek bir olasılık dağılımına sahiptir standart normal dağıtım yoğunluğu ile j(t) grafiği Şekil 1.7'de gösterilmiştir (ve ayrıca Şekil 1.4, Ek 1'de).

Şekil 1.7. Rasgele bir değişkenin olasılık yoğunluk dağılımı T.

Güven olasılığı verilsin B Ve t b - denklemi sağlayan sayı

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

Nerede - Laplace işlevi. O zaman aralığa düşme olasılığı (-t b , t b)Şekil 1.7'deki gölgeli olana eşit olacaktır. alan ve (1.19) ifadesi gereği, şuna eşittir: B. Buradan

b = P(-t b< < t b) = P( – tb< m x < + t b ) =

= P( – tb< m x < +tb) .(1.20)

Böylece güven aralığı olarak aralığı alabiliriz

ben b = ( – tb; + tb ) , (1.21)

çünkü ifade (1.20) bilinmeyen kesin değer anlamına gelir mx içinde Ib Belirli bir güven olasılığı ile B. İnşaat için Ib belirtildiği gibi gerekli B bulmak tb denklemden (1.19). Birkaç değer verelim tb gelecekte ihtiyaç duyulacak :

t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.

(1.21) ifadesini türetirken standart sapmanın tam değerinin bilindiği varsayılmıştır. sx. Ancak her zaman bilinmemektedir. Bu nedenle tahminini (1.15) kullanalım ve şunu elde edelim:

ben b = ( – tb; +tb). (1.22)

Buna göre, gruplandırılmış numuneye ilişkin tahminler ve elde edilen tahminler, güven aralığı için aşağıdaki formülü verir:

ben b = ( – tb; +tb). (1.23)

DERSİN AMACI: Bilinmeyen bir dağılım parametresinin tahmin edilmesi kavramını tanıtmak ve bu tür tahminlerin sınıflandırılmasını vermek; Matematiksel beklenti ve dağılıma ilişkin nokta ve aralık tahminlerini elde edin.

Uygulamada çoğu durumda rastgele bir değişkenin dağılım yasası bilinmemektedir ve gözlem sonuçlarına göre
sayısal özelliklerin (örneğin matematiksel beklenti, dağılım veya diğer momentler) veya bilinmeyen bir parametrenin tahmin edilmesi gerekir dağıtım yasasını belirleyen (dağıtım yoğunluğu)
rastgele değişken inceleniyor. Bu nedenle, üstel bir dağılım veya Poisson dağılımı için bir parametreyi tahmin etmek yeterlidir, ancak normal bir dağılım için iki parametrenin tahmin edilmesi gerekir: matematiksel beklenti ve varyans.

Değerlendirme türleri

Rastgele değer
olasılık yoğunluğu var
, Nerede – bilinmeyen dağıtım parametresi. Deney sonucunda bu rastgele değişkenin değerleri elde edildi:
. Değerlendirme yapmak esas olarak bir rastgele değişkenin örnek değerlerinin belirli bir parametre değeriyle ilişkilendirilmesi gerektiği anlamına gelir. , yani gözlem sonuçlarının bazı işlevlerini yaratın
değeri bir tahmin olarak alınır parametre . Dizin gerçekleştirilen deney sayısını gösterir.

Gözlem sonuçlarına bağlı olan herhangi bir fonksiyona denir İstatistik. Gözlem sonuçları rastgele değişkenler olduğundan istatistikler de rastgele bir değişken olacaktır. Bu nedenle değerlendirme
bilinmeyen parametre Rastgele bir değişken olarak kabul edilmeli ve değeri deneysel verilerden hacimsel olarak hesaplanmalıdır. , – biri olarak olası değerler bu rastgele değişken.

Dağılım parametrelerinin tahminleri (rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri) nokta ve aralığa bölünür. Nokta tahmini parametre bir sayıyla belirlenir ve doğruluğu, tahminin varyansı ile karakterize edilir. Aralık tahmini iki sayıyla belirlenen puana denir, Ve – tahmin edilen parametreyi kapsayan aralığın uçları Belirli bir güven olasılığı ile.

sınıflandırma nokta tahminleri

Bilinmeyen bir parametrenin nokta tahmini için
Doğruluk açısından en iyisi tutarlı, tarafsız ve etkili olmalıdır.

Zengin değerlendirme denir
parametre , eğer olasılık olarak tahmin edilen parametreye yakınsa, yani;

. (8.8)

Chebyshev eşitsizliğine dayanarak şunu gösterebiliriz: yeterli koşul(8.8) ilişkisinin yerine getirilmesi eşitliktir

.

Tutarlılık, tahminin asimptotik bir özelliğidir.
.

Tarafsız değerlendirme denir
(sistematik hatasız tahmin), matematiksel beklentisi tahmin edilen parametreye eşit olan, yani.

. (8.9)

Eşitlik (8.9) karşılanmazsa tahmine önyargılı denir. Fark
tahminde önyargı veya sistematik hata denir. Eşitlik (8.9) yalnızca aşağıdakiler için sağlanırsa
, bu durumda karşılık gelen tahmine asimptotik olarak tarafsız denir.

Tutarlılığın pratikte kullanılan tüm tahminler için neredeyse zorunlu bir koşul olması durumunda (tutarsız tahminler son derece nadiren kullanılır), o zaman tarafsızlık özelliğinin yalnızca arzu edilir olduğu unutulmamalıdır. Sık kullanılan tahminlerin çoğu tarafsız özelliğe sahip değildir.

Genel olarak bazı parametrelerin tahmin edilmesinin doğruluğu deneysel verilere dayanarak elde edilen
ortalama karesel hata ile karakterize edilir

,

forma indirgenebilir

,

fark nerede,
– kare tahmin önyargısı.

Tahmin tarafsızsa, o zaman

Sonlu tahminler ortalama hatanın karesine göre farklılık gösterebilir . Doğal olarak, bu hata ne kadar küçük olursa, değerlendirme değerleri tahmin edilen parametre etrafında o kadar yakın gruplandırılır. Bu nedenle, tahmin hatasının mümkün olduğu kadar küçük olması, yani koşulun sağlanması her zaman arzu edilir.

. (8.10)

Değerlendirme (8.10) koşulunu sağlayan, minimum karesel hataya sahip bir tahmin olarak adlandırılır.

Etkili değerlendirme denir
, bunun için ortalama karesel hata başka herhangi bir tahminin ortalama karesel hatasından daha büyük değildir;

Nerede – herhangi bir başka parametre tahmini .

Bir parametrenin herhangi bir tarafsız tahmininin varyansının olduğu bilinmektedir. Cramer-Rao eşitsizliğini karşılar

,

Nerede
– parametrenin gerçek değerinde rastgele değişkenin elde edilen değerlerinin koşullu olasılık yoğunluk dağılımı .

Böylece tarafsız tahmin
Cramer-Rao eşitsizliğinin eşitliğe dönüştüğü durumda etkili olacaktır, yani böyle bir tahmin minimum varyansa sahiptir.

Beklenti ve varyansın nokta tahminleri

Rastgele bir değişken dikkate alınırsa
matematiksel bir beklentiye sahip olan ve varyans , bu durumda bu parametrelerin her ikisinin de bilinmediği kabul edilir. Bu nedenle bir rastgele değişken üzerinde
üretilmiş sonuç veren bağımsız deneyler:
. Bilinmeyen parametrelerin tutarlı ve tarafsız tahminlerini bulmak gerekir Ve .

Tahmin olarak Ve Genellikle istatistiksel (örnek) ortalama ve istatistiksel (örnek) varyans sırasıyla seçilir:

; (8.11)

. (8.12)

Matematiksel beklentinin (8.11) tahmini, büyük sayılar yasasına (Chebyshev teoremi) göre tutarlıdır:

.

Rastgele bir değişkenin beklentisi

.

Bu nedenle tahmin tarafsızdır.

Matematiksel beklenti tahmininin dağılımı:

Rastgele değişken ise
normal yasaya göre dağıtılır, ardından tahmin aynı zamanda etkilidir.

Varyans tahmini beklentisi

Aynı zamanda

.

Çünkü
, A
, sonra elde ederiz

. (8.13)

Böylece,
– Tutarlı ve etkili olmasına rağmen taraflı bir değerlendirme.

Formül (8.13)'ten tarafsız bir tahmin elde etmek için şu sonuca varılır:
örneklem varyansı (8.12) aşağıdaki şekilde değiştirilmelidir:

bu, tahmine (8.12) kıyasla "daha iyi" kabul edilir, ancak genel olarak bu tahminler hemen hemen birbirine eşittir.

Dağıtım parametrelerinin tahminlerini elde etme yöntemleri

Pratikte sıklıkla rastgele değişkeni oluşturan fiziksel mekanizmanın analizine dayalıdır.
Bu rastgele değişkenin dağılım yasası hakkında bir sonuca varabiliriz. Bununla birlikte, bu dağılımın parametreleri bilinmemektedir ve genellikle sonlu bir örnek şeklinde sunulan deneysel sonuçlardan tahmin edilmesi gerekmektedir.
. Bu sorunu çözmek için en sık iki yöntem kullanılır: momentler yöntemi ve maksimum olabilirlik yöntemi.

Momentlerin yöntemi. Yöntem, teorik momentlerin aynı düzendeki karşılık gelen ampirik momentlerle eşitlenmesinden oluşur.

Ampirik başlangıç ​​noktaları -'inci sıra aşağıdaki formüllerle belirlenir:

,

ve karşılık gelen teorik başlangıç ​​momentleri -inci sıra – formüller:

ayrık rastgele değişkenler için,

sürekli rastgele değişkenler için,

Nerede – tahmini dağılım parametresi.

İki bilinmeyen parametre içeren bir dağılımın parametrelerinin tahminlerini elde etmek Ve iki denklemden oluşan bir sistem derlenir

Nerede Ve – ikinci dereceden teorik ve ampirik merkezi momentler.

Denklem sisteminin çözümü tahminlerdir Ve bilinmeyen dağıtım parametreleri Ve .

Birinci dereceden teorik ve ampirik başlangıç ​​momentlerini eşitleyerek, bunu bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini tahmin ederek elde ederiz.
keyfi bir dağılıma sahip olan örnek ortalama olacaktır, yani.
. Daha sonra, ikinci dereceden teorik ve ampirik merkezi momentleri eşitleyerek, rastgele değişkenin varyansının tahminini elde ederiz.
Keyfi bir dağılıma sahip olan formülle belirlenir

.

Benzer şekilde, herhangi bir düzeydeki teorik momentlerin tahminleri bulunabilir.

Momentler yöntemi basittir ve karmaşık hesaplamalar gerektirmez, ancak bu yöntemle elde edilen tahminler genellikle etkisizdir.

Maksimum olabilirlik yöntemi. Bilinmeyen dağılım parametrelerinin nokta tahmininin maksimum olabilirlik yöntemi, bir veya daha fazla tahmin edilen parametrenin fonksiyonunun maksimumunu bulmaya dayanır.

İzin vermek
sürekli bir rastgele değişkendir ve sonuç olarak testler değerler aldı
. Bilinmeyen bir parametrenin tahminini elde etmek için böyle bir değer bulmak gerekiyor Ortaya çıkan numunenin uygulanma olasılığı maksimum olacaktır. Çünkü
aynı olasılık yoğunluğuna sahip, karşılıklı olarak bağımsız miktarları temsil eder
, O olasılık fonksiyonu argüman fonksiyonunu çağır :

Parametrenin maksimum olabilirlik tahmini ile bu değer denir olabilirlik fonksiyonunun maksimuma ulaştığı, yani denklemin bir çözümü olduğu yer

,

ki bu açıkça test sonuçlarına bağlıdır
.

Fonksiyonlardan beri
Ve
aynı değerlerde maksimuma ulaşmak
daha sonra hesaplamaları basitleştirmek için genellikle logaritmik olabilirlik fonksiyonunu kullanırlar ve karşılık gelen denklemin kökünü ararlar

,

buna denir olasılık denklemi.

Birkaç parametreyi değerlendirmeniz gerekiyorsa
dağıtım
ise olabilirlik fonksiyonu bu parametrelere bağlı olacaktır. Tahminleri bulmak için
dağıtım parametreleri sistemi çözmek için gereklidir olasılık denklemleri

.

Maksimum olabilirlik yöntemi tutarlı ve asimptotik olarak etkili tahminler sağlar. Bununla birlikte, maksimum olabilirlik yöntemiyle elde edilen tahminler taraflıdır ve tahminleri bulmak için genellikle oldukça karmaşık denklem sistemlerini çözmek gerekir.

Aralık parametre tahminleri

Nokta tahminlerinin doğruluğu, varyanslarıyla karakterize edilir. Ancak elde edilen tahminlerin parametrelerin gerçek değerlerine ne kadar yakın olduğu konusunda herhangi bir bilgi bulunmamaktadır. Bazı görevlerde yalnızca parametreyi bulmanız gerekmez. uygun sayısal değer, aynı zamanda doğruluğunu ve güvenilirliğini de değerlendirmektir. Bir parametreyi değiştirirken hangi hataların yol açabileceğini bulmanız gerekir nokta tahmini ve bu hataların bilinen sınırları aşmamasını ne derece güvenle beklemeliyiz?

Bu tür görevler özellikle az sayıda deney olduğunda önemlidir. nokta tahmini yapıldığında büyük ölçüde rastgele ve yaklaşık değiştirme Açık önemli hatalara yol açabilir.

Daha eksiksiz ve güvenilir yol Dağılım parametrelerinin tahmin edilmesi, tek bir nokta değerinin değil, belirli bir olasılıkla tahmin edilen parametrenin gerçek değerini kapsayan bir aralığın belirlenmesinden oluşur.

Sonuçlara göre izin ver deneylerde tarafsız bir tahmin elde edildi
parametre . Olası hatayı değerlendirmek gerekir. Yeterince büyük bir olasılık seçilir
(örneğin) öyle ki, bu olasılığa sahip bir olay, pratik olarak kesin bir olay olarak değerlendirilebilir ve böyle bir değer bulunur. , hangisi için

. (8.15)

Bu durumda, değiştirme sırasında meydana gelen hatanın pratik olarak mümkün değerlerinin aralığı Açık , irade
ve büyük olanlar mutlak değer hatalar yalnızca düşük olasılıkla ortaya çıkacaktır .

İfade (8.15) olasılıklı anlamına gelir
bilinmeyen parametre değeri aralığa düşüyor

. (8.16)

Olasılık
isminde güven olasılığı ve aralık , olasılık ile kapsayan parametrenin gerçek değeri denir güven aralığı. Parametre değerinin olasılık ile güven aralığı içinde olduğunu söylemenin yanlış olduğunu unutmayın. . Kullanılan formülasyon (kapsayan), tahmin edilen parametrenin bilinmemesine rağmen sabit bir değere sahip olduğu ve dolayısıyla rastgele bir değişken olmadığı için yayılımının olmadığı anlamına gelir.

DERS: Matematiksel beklentinin nokta tahminleri. Varyansın nokta tahminleri. Bir olayın olasılığının nokta tahmini. Düzgün dağılım parametrelerinin nokta tahmini.

Madde 1.Matematiksel beklentinin nokta tahminleri.

Rasgele değişken ξ'nin dağılım fonksiyonunun bilinmeyen parametreye bağlı olduğunu varsayalım. θ : P (ξ θ;).

Eğer X 1 , X 2 …., X N bir rastgele değişken ξ'nin genel popülasyonundan bir örnektir, ardından parametreyi tahmin ederek θ örnek değerlerin keyfi bir fonksiyonudur

Tahminin değeri örnekten örneğe değişir ve bu nedenle rastgele bir değişkendir. Çoğu deneyde, bu rastgele değişkenin değeri tahmin edilen parametrenin değerine yakındır; eğer herhangi bir n değeri için değerin matematiksel beklentisi parametrenin gerçek değerine eşitse, bu durumda koşulu karşılayan tahminler çağrılır. tarafsız. Tarafsız bir tahmin, tahminin sistematik hataya tabi olmadığı anlamına gelir.

Tahmine tutarlı parametre tahmini denir θ , eğer herhangi bir ξ>0 için doğrudur

Böylece örneklem büyüklüğü arttıkça sonucun doğruluğu da artar.

İzin vermek X 1 , X 2 … X N – bilinmeyen bir matematiksel beklentisi ve bilinen varyansı Dξ=σ 2 olan rastgele bir ξ değişkenine karşılık gelen genel popülasyondan bir örnek. Bilinmeyen parametrenin çeşitli tahminlerini oluşturalım. Eğer öyleyse yani söz konusu tahminci tarafsız bir tahmincidir. Ancak değer hiçbir şekilde örneklem büyüklüğü n'ye bağlı olmadığından tahmin geçerli değildir.

Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin etkili bir tahmini, tahmindir.

Bundan sonra, bir rastgele değişkenin bilinmeyen matematiksel beklentisini tahmin etmek için örnek ortalamasını kullanacağız;

Bilinmeyen dağılım parametrelerinin tahminlerini elde etmek için standart (normal) yöntemler vardır. Bunlardan en ünlüsü: anlar yöntemi, maksimum olabilirlik yöntemi Ve en küçük kareler yöntemi.

s.2 Varyansın nokta tahminleri.

Bir rastgele değişkenin σ 2 varyansı için ξ Aşağıdaki değerlendirme önerilebilir:

örnek ortalaması nerede?

Bu tahminin geçerli olduğu kanıtlandı, ancak yerinden edilmiş.

Varyansın tutarlı ve tarafsız bir tahmini olarak, değeri kullanın.

Bu tam olarak tahminin tarafsızlığıdır S 2 onu daha fazla açıklıyor Sık kullanılan büyüklük tahmini olarak Dξ.

Mathcad'in değerin varyansının bir tahmini olarak sunduğunu unutmayın. , s 2 değil: işlev var(X) değeri hesaplar

Nerede Anlam (X) -örnek anlamı.

GÖREV 6.5

Μξ ve varyans Dξ görevde verilen örnek değerlere göre rastgele değişken ξ.

Görevi tamamlama prosedürü

Örnek değerleri içeren dosyayı diskten okuyun veya klavyeden belirtilen bir örneği girin.

Nokta Tahminlerini Hesapla Μξ Ve Dξ.

Bir görevi tamamlama örneği

Matematiksel beklentinin tutarlı tarafsız tahminlerini bulun Μξ ve varyans Dξ rastgele değişken ξ aşağıdaki tabloda verilen örnek değerlere göre.

Bu türden bir tabloyla tanımlanan bir örnek için (örnek değeri ve bu değerin örnekte kaç kez oluştuğunu gösteren bir sayı verilmiştir), beklenti ve varyansın tutarlı tarafsız tahminlerine yönelik formüller şunlardır:

, ,

Nerede k - tablodaki değerlerin sayısı; N Ben - değer sayısı X Ben örnekte; N- örnek boyut.

Nokta tahminlerinin hesaplamalarını içeren Mathcad çalışma kağıdının bir kısmı aşağıda verilmiştir.

Yukarıdaki hesaplamalardan, taraflı tahminin, varyans tahmininin eksik tahminini verdiği açıktır.

Madde 3. Olay olasılığının nokta tahmini

Diyelim ki bir deneyde olay A(olumlu test sonucu) olasılıkla ortaya çıkar P ve ihtimal dahilinde olmuyor Q = 1 - R. Görev, bilinmeyen dağılım parametresinin bir tahminini elde etmektir. P seri sonuçlarına göre N rastgele deneyler. Belirli sayıda test için N olumlu sonuçların sayısı M Bir dizi testte Bernoulli dağılımına sahip rastgele bir değişken. Bunu harfle belirtelim μ.

Eğer olay A bir dizi N bağımsız testler gerçekleşti

Mçarpı, ardından değerin tahmini P formülü kullanarak hesaplama yapılması önerilmektedir

Önerilen tahminin özelliklerini bulalım. Rastgele değişken olduğundan μ Bernoulli dağılımı var ise Μμ= n.p. VeM = M = p yani tarafsız bir tahmin var.

Bernoulli testleri için Bernoulli teoremi geçerlidir; buna göre yani seviye P zengin.

Bu tahminin etkili olduğu kanıtlanmıştır çünkü diğer koşullar eşit olduğunda varyansı minimum düzeydedir.

Mathcad'de, Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin değerlerinin bir örneğini simüle etmek için, bir vektör üreten rbinom(fc,η,ρ) fonksiyonu amaçlanır. İle rastgele numaralar, κα­ ι bunların her biri, her birinde başarı olasılığı ρ olan bir dizi η bağımsız denemedeki başarı sayısına eşittir.

GÖREV 6.6

Belirli bir parametre değeriyle Bernoulli dağılımına sahip rastgele bir değişkenin birkaç değer örneğini simüle edin R. Her örnek için parametre tahminini hesaplayın P ve belirtilen değerle karşılaştırın. Hesaplama sonuçlarını grafiksel olarak sunun.

Görevi tamamlama prosedürü

1. rbinom(1, N, P), verilen Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin değer dizisini tanımlayın ve oluşturun P Ve Nİçin N = 10, 20, ..., Ν, örneklem büyüklüğünün bir fonksiyonu olarak P.

2. Her değer için hesaplayın N nokta olasılık tahminleri R.

Bir görevi tamamlama örneği

Hacim numunelerinin nokta tahminlerini elde etmeye bir örnek N= 10, 20,..., 200 parametreli Bernoulli dağılımına sahip μ rastgele değişkeninin değerleri P= 0,3, aşağıda verilmiştir.

Not. Fonksiyonun değeri olduğundan vektör, Bir serideki başarı sayısı N Başarı olasılığı olan bağımsız denemeler P her denemede rbinom(1) vektörünün ilk bileşeninde bulunur, N, P), yani. başarı sayısı rbinom(1, N, P). Yukarıdaki kesitte k- BEN vektör bileşeni Ρ 10 serisindeki başarıların sayısını içerir k için bağımsız testler k = 1,2,..., 200.

madde 4. Düzgün dağılım parametrelerinin nokta tahmini

Başka bir öğretici örneğe bakalım. Bilinmeyen parametreli bir segment üzerinde düzgün bir dağılıma sahip olan bir rastgele değişken ξ'ye karşılık gelen genel popülasyondan bir örnek olsun. θ . Bizim görevimiz bu bilinmeyen parametreyi tahmin etmektir.

Şunlardan birini ele alalım olası yollar Gerekli tahminin oluşturulması. Eğer ξ segment üzerinde düzgün bir dağılıma sahip bir rastgele değişkendir, o zaman Μ ξ = . Büyüklük tahmininden bu yana Mξ bilinen Μξ =, daha sonra parametre tahmini için θ bir tahminde bulunabilirsin

Tahminin tarafsızlığı açıktır:

Dağılım ve D limitini n →∞ olarak hesapladıktan sonra tahminin tutarlılığını doğrularız:

Başka bir parametre tahmini elde etmek için θ Şimdi diğer istatistiklere bakalım. = maksimum) olsun. Rastgele değişkenin dağılımını bulalım:

Daha sonra rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı

dağıtım ile sırasıyla eşittir:

;

onlar. Değerlendirme doğrudur ancak taraflıdır. Bununla birlikte, = max) yerine = max)'ı dikkate alırsak, o zaman her ikisi de ve dolayısıyla tahmin tutarlı ve tarafsızdır.

Aynı zamanda, beri

değerlendirmeden çok daha etkili

Örneğin, n = 97 ile θ^ tahmininin yayılması, tahminin yayılmasından 33 ral daha azdır.

Son örnek, bilinmeyen bir dağılım parametresi için istatistiksel bir tahmin seçmenin önemli ve önemsiz olmayan bir görev olduğunu bir kez daha göstermektedir.

Mathcad'de, [a, b] aralığında düzgün bir dağılıma sahip rastgele bir değişkenin değerlerinin bir örneğini simüle etmek için, aşağıdakilerden bir vektör üreten runif(fc,o,b) fonksiyonu amaçlanır. İle Her biri [a, 6] aralığında düzgün olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin değeri olan rastgele sayılar.