Zaključci u logici. Deduktivno zaključivanje

Boolean tip Vrijednosti logičkog tipa zauzimaju 1 bajt i uzimaju jednu od dvije vrijednosti specificirane unaprijed definiranim konstantama True (true) i False (false). Statičke metode su definirane za logički tip: boolean.Parse(s) - funkcija koja pretvara string

26. Logička analiza

26. Logička analiza Bus. Site. Bus site. Ovo mjesto je.Podne.Približno.Približno podne. Vrijeme je, putnici, svađa, svađa putnika. Ovo je akcija, mladiću, šešir. Dugačak mršav vrat, mladić sa šeširom sa upletenom pletenicom oko sebe. Ovo

Logičan način

Prvi dio. Deduktivno i uvjerljivo zaključivanje

POGLAVLJE 1. Predmet i zadaci logike

1.1. Logika kao nauka

Logika je jedna od najstarijih nauka, čija su prva učenja o oblicima i metodama zaključivanja nastala u civilizacijama Ancient East(Kina, Indija). Principi i metode logike ušli su u zapadnu kulturu uglavnom zahvaljujući naporima starih Grka. Razvijen politički život u grčkim gradovima-državama, borba različitih stranaka za uticaj na mase slobodnih građana, želja za rješavanjem imovinskih i drugih sukoba koji su nastajali sudskim putem - sve je to zahtijevalo sposobnost da se ljudi uvjere, da brane svoj stav u raznim popularni forumi, u vladine institucije, sudske rasprave itd.

Umjetnost uvjeravanja, rasprave, vještina razumne obrane svog mišljenja i prigovora protivniku tokom rasprave i polemike kultivirala se u okviru antičke retorike, usmjerene na usavršavanje govorništva, i eristike, posebnog učenja o argumentaciji. Prvi učitelji retorike učinili su mnogo na širenju i razvoju znanja o veštini ubeđivanja, metodama argumentacije i konstrukcije javnog govora, okretanju Posebna pažnja na njegove emocionalne, psihološke, moralne i govorničke aspekte i karakteristike. Međutim, kasnije, kada su škole retorike počeli da predvode sofisti, nastojali su da nauče svoje učenike da istinu ne traže argumentima, već da pobeđuju, da po svaku cenu pobede u verbalnom nadmetanju. U te svrhe široko su korištene namjerne logičke greške, koje su kasnije postale poznate kao sofistika, kao i razne psihološke trikove i tehnike za odvlačenje pažnje protivnika, sugestiju, prebacivanje spora sa glavne teme na sporedne stvari itd.

Ovoj tendenciji u retorici odlučno su se suprotstavili veliki antički filozofi Sokrat, Platon i Aristotel, koji su glavnim sredstvom uvjeravanja smatrali valjanost sudova sadržanih u govornom govoru, njihovu ispravnu povezanost u procesu rasuđivanja, tj. navodeći neke sudove iz drugih. Upravo je za analizu rasuđivanja Aristotel (IV vek pne) stvorio prvi sistem logike, tzv silogistika. To je najjednostavniji, ali ujedno i najčešće korišten oblik deduktivnog zaključivanja, u kojem se zaključak (zaključak) izvlači iz premisa prema pravilima logičke dedukcije. Imajte na umu da termin odbitak prevedeno sa latinskog znači zaključak.

Da bismo ovo objasnili, okrenimo se drevnom silogizmu:

Svi ljudi su smrtni.

Kai je čovjek.___________

Dakle, Kai je smrtan.

Ovdje, kao iu drugim silogizmima, zaključak se izvodi od općeg znanja o određenoj klasi predmeta i pojava do posebnog i individualnog znanja. Odmah da naglasimo da se u drugim slučajevima dedukcija može vršiti od posebnog ka posebnom ili od opšteg ka opštem.

Glavna stvar koja objedinjuje sve deduktivne zaključke je da zaključak slijedi iz premisa prema logičkim pravilima zaključivanja i da ima pouzdan, objektivan karakter. Drugim riječima, zaključak ne ovisi o volji, željama i preferencijama ispitanika. Ako prihvatite premise takvog zaključka, onda morate prihvatiti i njegov zaključak.

Takođe se često navodi da je definitivna karakteristika deduktivnih zaključaka logički neophodna priroda zaključka, njegova pouzdana istina. Drugim riječima, u takvim se zaključcima istinitosna vrijednost premisa u potpunosti prenosi na zaključak. Zbog toga deduktivno zaključivanje ima najveću moć uvjeravanja i široko se koristi ne samo za dokazivanje teorema u matematici, već i gdje god su potrebni pouzdani zaključci.

Vrlo često u udžbenicima logike odlučan kao nauka o zakonima ispravnog mišljenja ili principima i metodama ispravnih zaključaka. Budući da, međutim, ostaje nejasno kakvo mišljenje se smatra ispravnim, prvi dio definicije sadrži skrivenu tautologiju, budući da se implicitno pretpostavlja da se takva ispravnost postiže pridržavanjem pravila logike. U drugom dijelu se preciznije definiše predmet logike, jer se glavni zadatak logike svodi na analizu zaključivanja, tj. da se identifikuju načini za dobijanje nekih presuda od drugih. Lako je primijetiti da kada govore o ispravnim zaključcima, implicitno ili čak eksplicitno misle na deduktivnu logiku. Upravo u njemu postoje potpuno određena pravila za logičko izvođenje zaključaka iz premisa, s kojima ćemo se kasnije detaljnije upoznati. Često se deduktivna logika poistovjećuje i sa formalnom logikom na osnovu toga što potonja proučava oblike zaključivanja apstrahujući od specifičnog sadržaja sudova. Ovo gledište, međutim, ne uzima u obzir druge metode i oblike zaključivanja koji se široko koriste kako u eksperimentalnim naukama koje proučavaju prirodu, tako i u društveno-ekonomskim i humanističkim naukama, zasnovanim na činjenicama i rezultatima društvenog života. I u svakodnevnoj praksi često pravimo generalizacije i pretpostavke na osnovu zapažanja pojedinih slučajeva.

Ovakvo rezonovanje, u kojem se na osnovu istraživanja i provjere pojedinih slučajeva dolazi do zaključka o neproučenim slučajevima ili o svim pojavama klase u cjelini, naziva se induktivni. Termin indukcija znači vođenje i dobro izražava suštinu takvog rezonovanja. Obično proučavaju svojstva i odnose određenog broja članova određene klase predmeta i pojava. Rezultirajuće opće svojstvo ili odnos se zatim prenosi na neistražene članove ili na cijelu klasu. Očigledno, takav zaključak se ne može smatrati pouzdano istinitim, jer među neistraženim članovima klase, a posebno klase u cjelini, može biti članova koji ne posjeduju tobožnje zajedničko svojstvo. Stoga zaključci indukcije nisu pouzdani, već samo vjerovatnostni. Često se takvi zaključci nazivaju i uvjerljivim, hipotetičkim ili nagađačkim, jer ne jamče postizanje istine, već samo upućuju na nju. Oni imaju heuristički(traga), a ne pouzdane prirode, pomaže u potrazi za istinom, a ne u njenom dokazivanju. Uz induktivno zaključivanje, ovo uključuje i zaključke po analogiji i statističke generalizacije.

Prepoznatljiva karakteristika takvog nededuktivnog zaključivanja je da zaključak u njima ne slijedi logički, tj. prema pravilima odbitka, iz prostorija. Premise samo u jednoj ili drugoj mjeri potvrđuju zaključak, čine ga manje ili više vjerojatnim ili uvjerljivim, ali ne garantuju njegovu pouzdanu istinitost. Na osnovu toga, probabilističko zaključivanje se ponekad jasno potcjenjuje, smatra se sekundarnim, pomoćnim, pa čak i isključeno iz logike.

Ovaj stav prema nededuktivnoj, a posebno induktivnoj logici objašnjava se uglavnom sljedećim razlozima:

Prvo, i to je ono najvažnije, problematična, vjerovatnoća priroda induktivnih zaključaka i povezana ovisnost rezultata o dostupnim podacima, neodvojivost od premisa i nepotpunost zaključaka. Na kraju krajeva, kako novi podaci postaju dostupni, mijenja se i vjerovatnoća takvih zaključaka.

Drugo, prisustvo subjektivnih aspekata u procjeni probabilističkog logičkog odnosa između premisa i zaključka argumenta. Ove premise, kao što su činjenice i dokazi, jednoj osobi mogu izgledati uvjerljivo, ali ne i drugoj. Jedan smatra da snažno podržavaju zaključak, drugi je suprotnog mišljenja. Takva neslaganja ne nastaju u deduktivnom zaključivanju.

Treće, ovakav odnos prema indukciji se objašnjava i istorijskim okolnostima. Kada se induktivna logika prvi put pojavila, njeni tvorci, posebno F. Bacon, vjerovali su da je uz pomoć njenih kanona, ili pravila, moguće otkriti nove istine u eksperimentalnim naukama na gotovo čisto mehanički način. "Naš put otkrića nauka", pisao je, "malo prepušta oštrini i snazi ​​talenta, već ih gotovo izjednačava. Kao što u povlačenju prave linije ili opisivanju savršenog kruga, čvrstina, vještina i provjera ruke znače mnogo, ako djelujete samo rukom, znači malo ili ne znači baš ništa ako koristite šestar i ravnalo. To je slučaj s našom metodom." Govoreći savremeni jezik, tvorci induktivne logike su svoje kanone smatrali algoritmima otkrivanja. Razvojem nauke postajalo je sve očiglednije da je uz pomoć ovakvih pravila (ili algoritama) moguće otkriti samo najjednostavnije empirijske veze između eksperimentalno posmatranih pojava i veličina koje ih karakterišu. Otvaranje složene veze a duboki teorijski zakoni zahtijevali su upotrebu svih sredstava i metoda empirijskih i teorijsko istraživanje, maksimalna primena mentalne i intelektualne sposobnosti naučnika, njihovo iskustvo, intuicija i talenat. A to nije moglo ne dovesti do negativnog stava prema mehaničkom pristupu otkriću, koji je ranije postojao u induktivnoj logici.

Četvrto, širenje oblika deduktivnog zaključivanja, pojava relacijske logike i, posebno, primjena matematičke metode za analizu dedukcije, koja je kulminirala stvaranjem simboličke (ili matematičke) logike, što je umnogome doprinijelo napretku deduktivne logike.

Sve to jasno daje do znanja zašto logiku često radije definiraju kao nauku o metodama, pravilima i zakonima deduktivnog zaključivanja ili kao teoriju logičkog zaključivanja. Ali ne smijemo zaboraviti da su indukcija, analogija i statistika na važne načine heurističko traganje za istinom, te stoga služe kao racionalne metode zaključivanja. Uostalom, potraga za istinom može se provesti nasumično, putem pokušaja i pogrešaka, ali ova metoda je krajnje neučinkovita, iako se ponekad koristi. Nauka mu pribjegava vrlo rijetko, jer se fokusira na organiziranu, ciljanu i sistematsku pretragu.

Takođe se mora uzeti u obzir da se opšte istine (empirijski i teorijski zakoni, principi, hipoteze i generalizacije), koje se koriste kao premise deduktivnih zaključaka, ne mogu utvrditi deduktivno. Ali može se prigovoriti da se ne otvaraju induktivno. Međutim, budući da je induktivno rasuđivanje usmjereno na potragu za istinom, pokazalo se da je to korisnije heurističko sredstvo istraživanja. Naravno, u toku testiranja pretpostavki i hipoteza koristi se i dedukcija, posebno da bi se iz njih izvukle posljedice. Stoga se dedukcija ne može suprotstaviti indukciji, jer se u stvarnom procesu naučnog saznanja one pretpostavljaju i dopunjuju.

Stoga se logika može definisati kao nauka o racionalnim metodama zaključivanja, koje pokrivaju i analizu pravila dedukcije (izvođenje zaključaka iz premisa) i proučavanje stepena potvrde probabilističkih ili verodostojnih zaključaka (hipoteze, generalizacije, pretpostavke). , itd.).

Tradicionalna logika, koja se formirala na osnovu logičkog učenja Aristotela, kasnije je dopunjena metodama induktivne logike koje je formulisao F. Bacon i sistematizovao J.S. Millem. To je ta logika koja se već dugo uči u školama i na univerzitetima pod imenom formalna logika.

Pojava matematička logika radikalno promijenio odnos između deduktivne i nededuktivne logike koji je postojao u tradicionalnoj logici. Ova promjena je napravljena u korist odbitka. Zahvaljujući simbolizaciji i upotrebi matematičkih metoda, sama deduktivna logika je dobila strogo formalni karakter. U stvari, sasvim je legitimno razmotriti takvu logiku kao matematički model deduktivno zaključivanje. Stoga se često smatra modernom etapom u razvoju formalne logike, ali zaboravljaju dodati da je riječ o deduktivnoj logici.

Također se često kaže da matematička logika proces zaključivanja svodi na konstrukciju različitih sistema proračuna i time prirodni proces mišljenja zamjenjuje proračunima. Međutim, model je uvijek povezan sa pojednostavljenjima, tako da ne može zamijeniti original. Zaista, matematička logika je prvenstveno fokusirana na matematički dokazi, dakle, apstrahuje od prirode premisa (ili argumenata), njihove valjanosti i prihvatljivosti. Ona smatra da su takve premise date ili prethodno dokazane.

U međuvremenu, u stvarnom procesu rasuđivanja, u raspravi, raspravi, polemici, analiza i procjena premisa dobija posebnu bitan. U toku argumentacije morate iznijeti određene teze i izjave, pronaći uvjerljive argumente u njihovu odbranu, ispraviti ih i dopuniti, dati protuargumente itd. Ovdje se moramo obratiti neformalnim i nededuktivnim metodama zaključivanja, posebno induktivnoj generalizaciji činjenica, zaključcima po analogiji, statističkoj analizi itd.

Smatrajući logiku naukom o racionalnim metodama zaključivanja, ne smijemo zaboraviti ni na druge oblike mišljenja - pojmove i sudove, s kojima svaki udžbenik logike počinje. Ali sudovi, a posebno koncepti, igraju pomoćnu ulogu u logici. Uz njihovu pomoć, struktura zaključaka i povezanost presuda u razne vrste rasuđivanje. Koncepti su uključeni u strukturu svakog suda u obliku subjekta, tj. predmeta mišljenja, i predikata - kao znaka koji karakterizira subjekt, naime, potvrđuje prisutnost ili odsutnost određene osobine u objektu mišljenja . U našem izlaganju držimo se općeprihvaćene tradicije i počinjemo raspravu analizom pojmova i sudova, a zatim detaljnije obrađujemo deduktivne i nededuktivne metode zaključivanja. Poglavlje u kojem se analiziraju propozicije ispituje elemente propozicionog računa, koji su obično polazna tačka za bilo koji kurs matematičke logike.

Elementi predikatske logike obrađeni su u sljedećem poglavlju, gdje se teorija kategoričkog silogizma razmatra kao poseban slučaj. Moderne forme nededuktivno zaključivanje se očigledno ne može razumjeti bez jasne razlike između logičke i statističke interpretacije vjerovatnoće, budući da pod vjerovatnoća ono što se najčešće podrazumijeva je upravo njegova statistička interpretacija, koja u logici ima pomoćno značenje. S tim u vezi, u poglavlju o probabilističkom zaključivanju, posebno se fokusiramo na pojašnjenje razlike između dvije interpretacije vjerovatnoće i detaljnije objašnjavamo karakteristike logičke vjerovatnoće.

Dakle, cjelokupna priroda izlaganja u knjizi orijentira čitatelja na činjenicu da dedukcija i indukcija, pouzdanost i vjerovatnoća, kretanje misli od opšteg ka posebnom i od posebnog ka opštem ne isključuju, već dopunjuju jedno u drugo opšti proces racionalno rasuđivanje usmjereno i na pronalaženje istine i na njeno dokazivanje.

Svojstva osnovnih pojmova otkrivaju se u aksiome- prijedlozi prihvaćeni bez dokaza.

Na primjer, u školskoj geometriji postoje aksiomi: "kroz bilo koje dvije tačke možete povući pravu liniju i samo jednu" ili "prava linija dijeli ravan na dvije poluravnine".

Sistem aksioma bilo koje matematičke teorije, otkrivajući svojstva osnovnih pojmova, daje njihove definicije. Takve definicije se nazivaju aksiomatski.

Osobine pojmova koje treba dokazati se nazivaju teoreme, posljedice, znakovi, formule, pravila.

Dokažite teoremu AIN- to znači da se na logičan način ustanovi da kad god je neko svojstvo zadovoljeno A, imovina će biti izvršena IN.

Dokaz u matematici oni nazivaju konačan niz tvrdnji date teorije, od kojih je svaki ili aksiom ili je izveden iz jedne ili više tvrdnji ovog niza prema pravilima logičkog zaključivanja.

Osnova dokaza je rezonovanje - logička operacija, kao rezultat čega se iz jedne ili više rečenica međusobno povezanih značenjem dobija rečenica koja sadrži novo znanje.

Kao primjer, razmotrimo razmišljanje učenika koji treba da uspostavi odnos “manje od” između brojeva 7 i 8. Učenik kaže: “7< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Hajde da saznamo na kojim činjenicama se zasniva zaključak dobijen u ovom argumentu.

Postoje dvije takve činjenice: Prva: ako je broj A prilikom brojanja, brojevi se pozivaju ranije b, To a< b. Drugo: 7 se poziva ranije od 8 kada se broji.

Prva rečenica je opšti karakter, budući da sadrži opšti kvantifikator - naziva se opšta premisa. Druga rečenica se odnosi na konkretne brojeve 7 i 8 - zove se privatna premisa. Primljeno sa dvije parcele nova činjenica: 7 < 8, его называют заключением.

Između premisa i zaključka postoji određena veza, zahvaljujući kojoj one predstavljaju argument.

Naziva se argument u kojem postoji implikacijski odnos između premisa i zaključka deduktivan.

U logici, umjesto izraza „rasuđivanje“, češće se koristi riječ „zaključivanje“.

Zaključak- ovo je način sticanja novih znanja na osnovu nekog postojećeg znanja.

Zaključak se sastoji od premisa i zaključka.

Parcele- oni sadrže početna znanja.

Zaključak- ovo je izjava koja sadrži nova saznanja dobijena iz originalnog.

Zaključak se po pravilu odvaja od premisa riječima “dakle”, “znači”. Zaključak sa prostorijama R 1, R 2, …, rn i zaključak R napisaćemo ga u obliku: ili (R 1, R 2, …, rn) R.

Primjeri zaključci: a) Broj a =b. Broj b = c. Dakle, broj a = c.

b) Ako je brojilac u razlomku manji od nazivnika, onda je razlomak pravilan. U djeliću brojilac je manji od nazivnika (5<6) . Dakle, razlomak - ispravan.

c) Ako pada kiša, na nebu su oblaci. Na nebu su oblaci pa pada kiša.

Zaključci mogu biti tačni ili netačni.

Zaključak se zove ispravan ako je formula koja odgovara njegovoj strukturi i predstavlja spoj premisa, povezana sa zaključkom znakom implikacije, identično istinita.

Za to da utvrdi da li je zaključak tačan, postupite na sljedeći način:

1) ozvaničiti sve premise i zaključke;

2) zapisati formulu koja predstavlja spoj premisa povezanih znakom implikacije sa zaključkom;

3) sastaviti tabelu istinitosti za ovu formulu;

4) ako je formula identično tačna, zaključak je tačan; ako nije, onda je zaključak netačan.

U logici se vjeruje da je ispravnost zaključka određena njegovom formom i da ne ovisi o specifičnom sadržaju iskaza koji su u njemu uključeni. I u logici se predlažu pravila, slijedeći koja se mogu graditi deduktivni zaključci. Ova pravila se zovu pravila zaključivanja ili obrasci deduktivnog zaključivanja.

Postoji mnogo pravila, ali najčešće se koriste sljedeća:

1. - pravilo zaključka;

2. - pravilo negacije;

3. - pravilo silogizma.

Hajde da damo primjer zaključci napravljeni iz pravilo zaključci:„Ako je snimak broja X završava se brojem 5, taj broj X podijeljena 15. Pisanje broja 135 završava se brojem 5 . Dakle, broj 135 podijeljena 5 ».

Opšta premisa u ovom zaključku je izjava „ako Oh), To B(x)“, Gdje Oh)- ovo je "evidencija broja" X završava se brojem 5 “, A B(x)- "broj X podijeljena 5 " Posebna premisa je izjava koja se dobija iz uslova opšte premise kada
x = 135(oni. A(135)). Zaključak je izjava izvedena iz B(x) at x = 135(oni. V(135)).

Hajde da damo primjer zaključka donesenog prema pravilu negativi:„Ako je snimak broja X završava se brojem 5, taj broj X podijeljena 5 . Broj 177 nije djeljivo sa 5 . Stoga se ne završava brojem 5 ».

Vidimo da je u ovom zaključku opšta premisa ista kao u prethodnom, a posebna je negacija iskaza „broj 177 podijeljena 5 "(tj.). Zaključak je negacija rečenice „Pisanje broja 177 završava se brojem 5 "(tj.).

Konačno, razmotrimo primjer zaključka na osnovu pravilo silogizma: "Ako broj X višestruko 12, onda je to višestruko 6. Ako je broj X višestruko 6 , onda je višestruka 3 . Stoga, ako broj X višestruko 12, onda je to višestruko 3 ».

Ovaj zaključak ima dvije premise: „ako Oh), To B(x)“ i ako B(x), To C(x)", gdje je A(x) "broj X višestruko 12 », B(x)- "broj X višestruko 6 " I C(x)- "broj X višestruko 3 " Zaključak je izjava „ako Oh), To C(x)».

Provjerimo da li su sljedeći zaključci tačni:

1) Ako je četverougao romb, tada su njegove dijagonale međusobno okomite. ABCD- romb Stoga su njegove dijagonale međusobno okomite.

2) Ako je broj djeljiv sa 4 , tada je podijeljeno sa 2 . Broj 22 podijeljena 2 . Stoga se dijeli na 4.

3) Sva stabla su biljke. Bor je drvo. To znači da je bor biljka.

4) Svi učenici ovog razreda su išli u pozorište. Petya nije bila u pozorištu. Dakle, Petya nije učenik u ovom razredu.

5) Ako je brojnik razlomka manji od nazivnika, onda je razlomak tačan. Ako je razlomak pravi, onda je manji od 1. Dakle, ako je brojnik razlomka manji od nazivnika, onda je razlomak manji od 1.

Rješenje: 1) Da bismo riješili pitanje ispravnosti zaključka, identificirajmo njegov logički oblik. Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: C(x)- "četvorougao" X- romb", B(x)- „u četvorouglu X dijagonale su međusobno okomite." Tada se prva premisa može napisati kao:
C(x) B(x), sekunda - C(a), i zaključak B(a).

Dakle, oblik ovog zaključka je: . Gradi se po pravilu zaključka. Dakle, ovo rezonovanje je tačno.

2) Hajde da uvedemo notaciju: Oh)- "broj X podijeljena 4 », B(x)- "broj X podijeljena 2 " Zatim pišemo prvu premisu: Oh)B(x), sekunda B(a), i zaključak je Aa). Zaključak će biti u obliku: .

Ne postoji takva logična forma među poznatima. Lako je vidjeti da su obje premise tačne, a zaključak lažan.

To znači da je ovo rezonovanje netačno.

3) Hajde da uvedemo neke oznake. Neka Oh)- „Ako X drvo", B(x) - « X biljka“. Tada će paketi imati oblik: Oh)B(x), A(a), i zaključak B(a). Naš zaključak je izgrađen u obliku: - pravila zaključivanja.

To znači da je naše razmišljanje pravilno strukturirano.

4) Neka Oh) - « X- učenici našeg razreda, B(x)- "studenti X otišao u pozorište." Tada će paketi biti sljedeći: Oh)B(x),, i zaključak.

Ovaj zaključak se zasniva na pravilu negacije:

- znači da je tačno.

5) Hajde da identifikujemo logički oblik zaključka. Neka Sjekira) -"brojilac razlomka X manje od imenioca." B(x) - “razlomak X- tačno." C(x)- "razlomak" X manje 1 " Tada će paketi imati oblik: Oh)B(x), B(x) C(x), i zaključak Oh)C(x).

Naš zaključak će imati sledeću logičku formu: - pravilo silogizma.

To znači da je ovaj zaključak tačan.

U logici se razmatraju različiti načini provjere ispravnosti zaključaka, uključujući analiza ispravnosti zaključaka pomoću Ojlerovih krugova. Izvodi se na sljedeći način: zaključak zapišite teorijskim jezikom skupova; prikazati premise na Ojlerovim krugovima, smatrajući ih istinitim; oni gledaju da li je zaključak uvijek istinit. Ako da, onda kažu da je zaključak ispravno konstruisan. Ako je moguć crtež iz kojeg je jasno da je zaključak lažan, onda kažu da je zaključak netačan.

Tabela 9

Pokažimo da je zaključak izveden prema pravilu zaključivanja deduktivan. Prvo, napišimo ovo pravilo u jeziku teorije skupova.

Paket Oh)B(x) može se napisati kao TATV, Gdje TA I TV- skupovi istinitosti propozicionih oblika Oh) I B(x).

Privatna parcela Aa) znači da ATA, i zaključak B(a) pokazuje to ATV.

Cijeli zaključak konstruiran prema pravilu zaključivanja bit će napisan u teoretskom jeziku na sljedeći način: .

Rice. 58.

Primjeri.

1. Da li je zaključak “Ako se broj završava brojem” tačan? 5, tada je broj djeljiv sa 5. Broj 125 podijeljena 5. Dakle, pisanje broja 125 završava se brojem 5 »?

Rješenje: Ovaj zaključak je napravljen prema shemi , što odgovara . Takva šema nam nije poznata. Hajde da saznamo da li je to pravilo deduktivnog zaključivanja?

Koristimo Ojlerove krugove. U teorijskom jeziku

Rezultirajuće pravilo se može napisati na sljedeći način:

. Opišimo skupove na Ojlerovim krugovima TA I TV i označiti element A od mnogih TV.

Ispostavilo se da može biti sadržano u setu TA, ili mu ne pripada (Sl. 59). U logici se vjeruje da takva shema nije pravilo deduktivnog zaključivanja, jer ne garantuje istinitost zaključka.

Ovaj zaključak nije tačan, jer je napravljen prema šemi koja ne garantuje istinitost obrazloženja.

Rice. 59.

b) Svi glagoli odgovaraju na pitanje "šta da radim?" ili "šta da radim?" Riječ "različak" ne daje odgovor ni na jedno od ovih pitanja. Dakle, "različak" nije glagol.

Rješenje: a) Zapišimo ovaj zaključak jezikom teorije skupova. Označimo sa A- mnogi studenti Pedagoškog fakulteta, kroz IN- mnogi učenici koji su nastavnici kroz WITH- mnogi studenti stariji od 20 godina.

Tada će zaključak poprimiti oblik: .

Ako ove skupove prikažemo na krugovima, tada su moguća 2 slučaja:

1) skupovi A, B, C presijecati;

2) set IN ukršta sa mnogima WITH I A, i mnogo A seče IN, ali se ne siječe sa WITH.

b) Označimo sa A mnogo glagola, i kroz IN puno riječi koje odgovaraju na pitanje "šta da radim?" ili "šta da radim?"

Tada se zaključak može napisati na sljedeći način:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1. Od učenika se traži da objasni zašto se broj 23 može predstaviti kao zbir 20 + 3. On obrazlaže: „Broj 23 je dvocifren. Bilo koji dvocifreni broj može se predstaviti kao zbir cifara. Dakle, 23 = 20 + 3."

Prva i druga rečenica u ovom zaključku su premise, a jedna opšte prirode je tvrdnja „bilo koji dvocifreni broj može se predstaviti kao zbir cifrenih pojmova“, a druga je posebna, karakteriše samo broj 23 - dvocifren je. Zaključak - ova rečenica koja dolazi iza riječi "dakle" - također je privatne prirode, jer se odnosi na konkretan broj 23.

Zaključci, koji se obično koriste u dokazivanju teorema, zasnivaju se na konceptu logičke implikacije. Štaviše, iz definicije logičke implikacije proizlazi da je za sve vrijednosti propozicionih varijabli za koje su početne tvrdnje (premise) tačne, zaključak teoreme također istinit. Takvi zaključci su deduktivni.

U primjeru koji je gore razmotren, dati zaključak je deduktivan.

Primjer 2. Jedna od tehnika za upoznavanje učenika osnovnih škola sa komutativnim svojstvom množenja je sljedeća. Koristeći razna vizuelna pomagala, školarci zajedno sa nastavnikom utvrđuju da npr. 6 3 = 36, 52 = 25. Zatim, na osnovu dobijenih jednakosti, zaključuju: za sve prirodne brojeve a I b jednakost je istinita ab = ba.

U ovom zaključku, premise su prve dvije jednakosti. Oni tvrde da takvo svojstvo vrijedi za određene prirodne brojeve. Zaključak u ovom primjeru je opći iskaz - komutativno svojstvo množenja prirodnih brojeva.

U ovom zaključku to pokazuju premise posebne prirode neki Prirodni brojevi imaju sljedeće svojstvo: preraspoređivanje faktora ne mijenja proizvod. I na osnovu toga je zaključeno da svi prirodni brojevi imaju ovo svojstvo. Takvi zaključci se nazivaju nepotpuna indukcija.

one. za neke prirodne brojeve može se tvrditi da je zbir manji od njihovog proizvoda. To znači da na osnovu činjenice da neki brojevi imaju ovo svojstvo, možemo zaključiti da svi prirodni brojevi imaju ovo svojstvo:

Ovaj primjer je primjer analognog zaključivanja.

Ispod analogija razumjeti zaključak u kojem se, na osnovu sličnosti dvaju objekata u nekim karakteristikama i prisutnosti dodatne karakteristike u jednom od njih, donosi zaključak o prisutnosti iste karakteristike u drugom objektu.

Zaključak po analogiji je u prirodi pretpostavke, hipoteze i stoga mu je potreban ili dokaz ili pobijanje.

Prilikom izvođenja zaključka zgodno je predstaviti pravila za uvođenje i uklanjanje logičkih spojeva na isti način kao i pravila za zaključivanje:

Pravilo 1. Ako premise $F_1$ i $F_2$ imaju značenje "i", onda je njihova konjunkcija tačna, tj.

$$\frac(F_1 ; F_2)((F_1\&F_2))$$

Ovaj unos, ako su premise $F_1$ i $F_2$ tačne, pruža mogućnost uvođenja logičke konjunkcije veznika u zaključak; ovo pravilo je identično aksiomu A5 (vidi);

Pravilo 2. Ako $(F_1\&F_2)$ ima vrijednost "i", tada su podformule $F_1$ i $F_2$ tačne, tj.

$$\frac((F_1\&F_2))(F_1) \: i \: \frac((F_1\&F_2))(F_2)$$

Ova notacija, ako je $(F_1\&F_2)$ tačna, daje mogućnost uklanjanja logičke vezive konjunkcije u zaključku i razmatranja pravih vrijednosti podformula $F_1$ i $F_2$; ovo pravilo je identično aksiomima A3 i A4;

Pravilo 3. Ako $F_1$ ima vrijednost "i", a $(F_1\&F_2)$ ima vrijednost "l", onda je podformula $F_2$ netočna, tj.

$$\frac(F_1;\left\rceil\desno. \!\!(F_1\&F_2))( \left\rceil\right. \!\!F_2)$$

Ovaj unos, ako je $(F_1\&F_2)$ netačan, a jedna od podformula tačna, daje mogućnost uklanjanja logičke konjunkcije konjunkcije u zaključku i smatranje vrijednosti druge podformule netačnom;

Pravilo 4. Ako je barem jedna premisa $F_1$ ili $F_2$ tačna, tada je njihova disjunkcija tačna, tj.

$$\frac(F_1)( (F_1\vee F_2)) \: ili \: \frac(F_2)( (F_1\vee F_2))$$

Ova notacija, ako je barem jedna podformula $F_1$ ili $F_2$ tačna, daje mogućnost uvođenja logičkog spoja disjunkcije u zaključak; ovo pravilo je identično aksiomima A6 i A7;

Pravilo 5. Ako $(F_1\vee F_2)$ ima vrijednost “and” i jedna od podformula $F_1$ ili $F_2$ ima vrijednost “l”, onda je druga podformula $F_2$ ili $F_1$ tačna, tj.

$$\frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 )((F_2) \: ili \: \frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right \!\!F_2 )( (F_1)$$

Ova notacija, ako je $(F_1\vee F_2)$ tačna, daje mogućnost uklanjanja logičke veze disjunkcije u zaključku i razmatranja pravih vrijednosti podformula $F_1$ ili $F_2$;

Pravilo 6. Ako podformula $F_2$ ima vrijednost "i", onda je formula $(F_1\rightarrow F_2)$ tačna za bilo koju vrijednost podformule $F_1$, tj.

$$\frac(F_2)((F_1\rightarrow F_2))$$

Ova notacija, sa pravom vrijednošću $F_2$, pruža mogućnost uvođenja implikacije u zaključak logičke veze za bilo koju vrijednost podformule $F_1$ („istina iz bilo čega“); ovo pravilo je identično aksiomu 1;

Pravilo 7. Ako podformula $F_1$ ima vrijednost "l", onda je formula $(F_1\rightarrow F_2)$ tačna za bilo koju vrijednost podformule $F_2$, tj.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_1\rightarrow F_2))$$

Ova notacija, ako je vrijednost $F_1$ netačna, predviđa mogućnost uvođenja implikacije u zaključak logičke veze za bilo koju vrijednost podformule $F_2$ („bilo što je netačno“);

Pravilo 8. Ako formula $(F_1\rightarrow F_2)$ ima vrijednost "i", onda formula $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1) $ je tačno, tj.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )((\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1))$$

Ovaj unos, sa pravom vrijednošću $(F_1\rightarrow F_2)$, određuje mogućnost zamjene polova implikacije uz istovremenu promjenu njihovih vrijednosti; ovo je zakon kontrapozicije;

Pravilo 9. Ako formula $(F_1\rightarrow F_2)$ ima vrijednost "i", onda je formula $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ tačna za bilo koju vrijednost $F_3$, tj.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)) $$

Ovaj unos, sa pravom vrijednošću $(F_1\rightarrow F_2)$, određuje mogućnost izvođenja operacije disjunkcije za bilo koju vrijednost formule $F_3$ preko svakog pola implikacije; ovo pravilo je identično aksiomu A11.

Pravilo 10. Ako formula $(F_1\rightarrow F_2)$ ima vrijednost "i", onda je formula $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ tačna za bilo koju vrijednost $F_3$, tj.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )(((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3))$$

Ovaj unos, sa pravom vrijednošću $(F_1\rightarrow F_2)$, određuje mogućnost izvođenja operacije konjunkcije za bilo koju vrijednost formule $F_3$ preko svakog pola implikacije; ovo pravilo je identično aksiomu A10.

Pravilo 11. Ako formule $(F_1\rightarrow F_2)$ i $(F_2\rightarrow F_3)$ imaju vrijednost "i", onda je formula $(F_1\rightarrow F_3)$ tačna, tj.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_3) )((F_1\rightarrow F_3))$$

Ovaj unos, sa pravom vrijednošću $(F_1\rightarrow F_2)$ i $(F_2\rightarrow F_3)$, pruža mogućnost formiranja implikacije $(F_1\rightarrow F_3)$ (zakon silogizma); ovo pravilo je identično aksiomu A2;

Pravilo 12. Ako formule $F_1$ i $(F_1\rightarrow F_2)$ imaju vrijednost "i", onda je formula $F_2$ tačna, tj.

$$\frac(F_1; (F_1\rightarrow F_2) )( F_2)$$

Ovaj unos, s obzirom na pravu vrijednost premise $F_1$ i implikacije $(F_1\rightarrow F_2)$, omogućava vam da uklonite logičku vezu implikacije i odredite pravu vrijednost zaključka $F_2$;

Pravilo 13. Ako su formule $\left\rceil\right. \!\!F_2 i (F_1\rightarrow F_2)$ imaju značenje "i", tada je formula $\left\rceil\right tačna. \!\!F_1$, tj.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) )( \left\rceil\right. \!\!F_1)$$

Ovom unosu je data prava vrijednost premise $\left\rceil\right. \!\!F_2$ i implikacije $(F_1\rightarrow F_2)$ vam omogućavaju da uklonite logičku vezu implikacije i odredite pravu vrijednost zaključka $\left\rceil\right. \!\!F_1$;

Pravilo 14. Ako formule $(F_1\rightarrow F_2)$ i $(F_2\rightarrow F_1)$ imaju vrijednost "i", onda je formula $(F_1\leftrightarrow F_2)$ tačna, tj.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_1) )((F_1\leftrightarrow F_2))$$

Ovaj unos, sa pravom vrijednošću $(F_1\rightarrow F_2)$ i $(F_2\rightarrow F_1)$, omogućava vam da uvedete konekciju logičke ekvivalentnosti i odredite vrijednost formule $(F_1\leftrightarrow F_2)$;

Pravilo 15. Ako formula $(F_1\leftrightarrow F_2)$ ima vrijednost "i", tada su formule $(F_1\rightarrow F_2)$ i $(F_2\rightarrow F_1)$ tačne, tj.

$$\frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_1\rightarrow F_2) ) \: i \: \frac((F_1\leftrightarrow F_2) )( (F_2\rightarrow F_1) )$$

Ovaj unos, sa pravom vrijednošću $(F_1\leftrightarrow F_2)$, omogućava vam da uklonite logičku vezu ekvivalencije i odredite pravu vrijednost formula $(F_1\rightarrow F_2)$ i $(F_2\rightarrow F_1) $.