Slučajna vrijednost je veličina koja, kao rezultat eksperimenta, poprima prethodno nepoznatu vrijednost.

Broj prisutnih studenata na predavanju.

Broj kuća puštenih u funkciju u tekućem mjesecu.

Temperatura okoline.

Težina fragmenta eksplodirajuće granate.

Slučajne varijable se dijele na diskretne i kontinuirane.

diskretno (diskontinuirano) naziva se slučajna varijabla koja poprima odvojene vrijednosti, izolirane jedna od druge, sa određenim vjerovatnoćama.

Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili prebrojiv.

Kontinuirano naziva se slučajna varijabla koja može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala.

Očigledno, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.

U datim primjerima: 1 i 2 su diskretne slučajne varijable, 3 i 4 su kontinuirane slučajne varijable.

Ubuduće ćemo umjesto riječi “slučajna varijabla” često koristiti skraćenicu c. V.

Slučajne varijable će se po pravilu označavati velikim slovima i njihovim moguće vrijednosti- mali.

U teorijskoj interpretaciji osnovnih koncepata teorije vjerovatnoće, slučajna varijabla X je funkcija elementarnog događaja: X =φ(ω), gdje je ω elementarni događaj koji pripada prostoru Ω (ω  Ω). U ovom slučaju, skup Ξ mogućih vrijednosti c. V. X se sastoji od svih vrijednosti koje funkcija φ(ω) uzima.

Zakon raspodjele slučajne varijable je bilo koje pravilo (tabela, funkcija) koje vam omogućava da pronađete vjerovatnoće svih vrsta događaja povezanih sa slučajnom varijablom (na primjer, vjerojatnost da će ona poprimiti određenu vrijednost ili pasti u određeni interval).

Obrasci za specifikaciju zakona distribucije slučajnih varijabli. Serija distribucije.

Ovo je tabela u čijem su gornjem redu sve moguće vrijednosti slučajne varijable X navedene u rastućem redoslijedu: x 1, x 2, ..., x n, au donjem redu - vjerovatnoće ovih vrijednosti: p 1, p 2, ..., p n, gdje je p i = R(H = x i ).

Budući da su događaji (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... nekonzistentni i čine kompletnu grupu, zbir svih vjerovatnoća u donjem redu serije distribucije jednak je jedan

Red distribucije se koristi za specifikaciju zakona distribucije samo diskretnih slučajnih varijabli.

Poligon distribucije

Grafički prikaz distributivnog niza naziva se poligon distribucije. Konstruira se ovako: za svaku moguću vrijednost c. V. vraća se okomita na x-osu, na kojoj je ucrtana vjerovatnoća date vrijednosti c. V. Radi jasnoće (i samo radi jasnoće!), rezultirajuće tačke su povezane ravnim segmentima.

Kumulativna funkcija distribucije (ili jednostavno funkcija distribucije).

Ovo je funkcija koja je, za svaku vrijednost argumenta x, numerički jednaka vjerovatnoći da će slučajna varijabla  biti manja od vrijednosti argumenta x.

Funkcija distribucije je označena sa F(x): F(x) = P (X  x).

Sada možete dati više precizna definicija kontinuirana slučajna varijabla: slučajna varijabla se naziva kontinuiranom ako je njena funkcija distribucije kontinuirana, po dijelovima diferencibilna funkcija s kontinuiranim izvodom.

Funkcija distribucije je najuniverzalniji oblik specificiranja c. v., koji se može koristiti za specifikaciju zakona distribucije i za diskretne i za kontinuirane s. V.

Problem 14. U gotovinskoj lutriji igra se 1 dobitak od 1.000.000 rubalja, 10 dobitaka od 100.000 rubalja. i 100 pobjeda od po 1000 rubalja. sa ukupnim brojem tiketa od 10 000. Pronađite zakon raspodjele nasumičnih dobitaka X za vlasnika jedne srećke.

Rješenje. Moguće vrijednosti za X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. Njihove vjerovatnoće su respektivno jednake: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Dakle, zakon raspodjele dobitka X može se dati sljedećom tabelom:

Konstruirajte poligon distribucije.

Rješenje. Napravimo pravougaoni koordinatni sistem i iscrtaćemo moguće vrijednosti duž ose apscise x i, a duž ordinatne ose - odgovarajuće vjerovatnoće p i. Hajde da iscrtamo tačke M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0,4) i M 4 (8;0,3). Povezivanjem ovih tačaka pravim segmentima dobijamo željeni poligon distribucije.

§2. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Slučajnu varijablu u potpunosti karakterizira njen zakon raspodjele. Prosječni opis slučajne varijable može se dobiti korištenjem njenih numeričkih karakteristika

2.1. Očekivana vrijednost. Disperzija.

Neka slučajna varijabla uzima vrijednosti s vjerovatnoćom u skladu s tim.

Definicija. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i odgovarajućih vjerovatnoća:

.

Osobine matematičkog očekivanja.

Disperziju slučajne varijable oko srednje vrijednosti karakteriziraju disperzija i standardna devijacija.

Varijanca slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Za proračune se koristi sljedeća formula

Osobine disperzije.

2. , gdje su međusobno nezavisne slučajne varijable.

3. Standardna devijacija .

Problem 16. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable Z = X+ 2Y, ako su poznata matematička očekivanja slučajnih varijabli X I Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Rješenje. Koristimo svojstva matematičkog očekivanja. tada dobijamo:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Problem 17. Varijanca slučajne varijable X je jednako 3. Pronađite varijansu slučajnih varijabli: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Rješenje. Primijenimo svojstva 3, 4 i 2 disperzije. Imamo:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Problem 18. Zadana je nezavisna slučajna varijabla Y– broj bodova koji je pao prilikom bacanja kockice. Naći zakon raspodjele, matematičko očekivanje, disperziju i srednju vrijednost standardna devijacija slučajna varijabla Y.

Rješenje. Tablica distribucije slučajnih varijabli Y ima oblik:

Y
R	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Onda M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2,1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

odgovor: Razmotrite diskontinuiranu slučajnu varijablu X sa mogućim vrijednostima. Svaka od ovih vrijednosti je moguća, ali nije sigurna i vrijednost X može prihvatiti svaki od njih sa određenom vjerovatnoćom. Kao rezultat eksperimenta, vrijednost Xće poprimiti jednu od ovih vrijednosti, tj. dogodit će se jedan od kompletne grupe nekompatibilnih događaja:

Označimo slovima vjerovatnoće ovih događaja R sa odgovarajućim indeksima:

Odnosno, distribucija vjerovatnoće različitih vrijednosti može se specificirati pomoću tablice distribucije, u kojoj su sve vrijednosti ​​uzete od date diskretne slučajne varijable navedene u gornjem redu, a vjerovatnoće odgovarajućih vrijednosti​ su naznačeni u donjem redu. Budući da nekompatibilni događaji (3.1) čine potpunu grupu, onda je, odnosno, zbir vjerovatnoća svih mogućih vrijednosti slučajne varijable jednak jedan. Raspodjela vjerojatnosti kontinuiranih slučajnih varijabli ne može se prikazati u obliku tabele, jer je broj vrijednosti takvih slučajnih varijabli beskonačan čak iu ograničenom intervalu. Štaviše, vjerovatnoća dobivanja bilo koje određene vrijednosti je nula. Slučajna varijabla će biti u potpunosti opisana sa probabilističke tačke gledišta ako specificiramo ovu distribuciju, odnosno naznačimo tačno koju vjerovatnoću svaki od događaja ima. Time ćemo uspostaviti takozvani zakon raspodjele slučajne varijable. Zakon distribucije slučajne varijable je svaki odnos koji uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti. Za slučajnu varijablu reći ćemo da je podložna datom zakonu raspodjele. Uspostavimo formu u kojoj se može specificirati zakon distribucije diskontinuirane slučajne varijable X. Najjednostavniji oblik Definicija ovog zakona je tabela koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	str 1	str 2	× × ×	p n

Takvu tabelu ćemo nazvati nizom distribucija slučajne varijable X.

Rice. 3.1

Da bi seriji distribucije dali vizuelniji izgled, često pribjegavaju njenom grafičkom prikazu: moguće vrijednosti slučajne varijable se crtaju duž apscisne ose, a vjerovatnoće tih vrijednosti se crtaju duž ordinatne ose. Radi jasnoće, rezultirajuće tačke su povezane ravnim segmentima. Takva figura se naziva poligon distribucije (slika 3.1). Poligon distribucije, kao i distribucijski niz, u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu. to je jedan od oblika zakona raspodjele. Ponekad je zgodna takozvana "mehanička" interpretacija serije distribucije. Zamislimo da je određena masa jednaka jedinici raspoređena duž ose apscise tako da je in n mase su koncentrisane na pojedinačnim tačkama, respektivno . Tada se serija distribucije tumači kao sistem materijalnih tačaka sa nekim masama koje se nalaze na osi apscise.

Iskustvo je svaka implementacija određenih uslova i radnji pod kojima se posmatra slučajni fenomen koji se proučava. Eksperimenti se mogu okarakterisati kvalitativno i kvantitativno. Slučajna veličina je veličina koja kao rezultat eksperimenta može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, a ne zna se unaprijed koju.

Slučajne varijable se obično označavaju (X,Y,Z), a odgovarajuće vrijednosti (x,y,z)

Diskretne su slučajne varijable koje uzimaju pojedinačne vrijednosti izolovane jedna od druge koje se mogu precijeniti. Kontinuirane količinečije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni raspon. Zakon distribucije slučajne varijable je svaka relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajnih varijabli i odgovarajućih vjerojatnosti. Distribucijski red i poligon. Najjednostavniji oblik zakona raspodjele diskretne veličine je red raspodjele. Grafička interpretacija serije distribucije je poligon distribucije.

Informacije koje vas zanimaju možete pronaći i u naučnom pretraživaču Otvety.Online. Koristite formular za pretragu:

Više o temi 13. Diskretna slučajna varijabla. Poligon distribucije. Operacije sa slučajnim varijablama, primjer:

1. 13. Diskretna slučajna varijabla i zakon njene distribucije. Poligon distribucije. Operacije sa slučajnim varijablama. Primjer.
2. Koncept “slučajne varijable” i njegov opis. Diskretna slučajna varijabla i njen zakon (serija) distribucije. Nezavisne slučajne varijable. Primjeri.
3. 14. Slučajne varijable, njihovi tipovi. Zakon distribucije vjerovatnoće diskretne slučajne varijable (DRV). Metode za konstruisanje slučajnih varijabli (SV).
4. 16. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable: matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija.
5. Matematičke operacije nad diskretnim slučajnim varijablama i primjeri konstruisanja zakona distribucije za KX, X"1, X + K, XV na osnovu datih distribucija nezavisnih slučajnih varijabli X i Y.
6. Koncept slučajne varijable. Zakon raspodjele diskretnih slučajeva. količine. Matematičke operacije nad slučajnim. količine.

2.1. Relativna frekvencija. Relativna stabilnost frekvencije

2.2. Ograničenja klasične definicije vjerovatnoće. Statistička vjerovatnoća

2.3. Geometrijske vjerovatnoće

2.4. Teorema sabiranja vjerovatnoće

2.5. Kompletna grupa događaja

2.6. Suprotni događaji

2.7. Princip praktične nemogućnosti nevjerovatnih događaja

2.8. Produkcija događaja. Uslovna vjerovatnoća

2.9. Teorema množenja vjerovatnoće

2.10. Nezavisni događaji. Teorema množenja za nezavisne događaje

2.10. Vjerovatnoća da se dogodi barem jedan događaj

Predavanje br. 3 Posljedice teorema sabiranja i množenja

3.1. Teorema za sabiranje vjerovatnoća zajedničkih događaja

3.2. Formula ukupne vjerovatnoće

3.3. Vjerovatnoća hipoteza. Bayesove formule

4. Ponavljanje testova

4.1. Bernulijeva formula

4.2. Granične teoreme u Bernoullijevoj šemi

4.3. Lokalne i integralne teoreme Moivre-Laplacea

4.3. Vjerovatnoća relativnog odstupanja frekvencije od konstantne vjerovatnoće u nezavisnim ispitivanjima

5. Slučajne varijable

5.1. Koncept slučajne varijable. Zakon distribucije slučajne varijable

5.2. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Poligon distribucije

5.3. Binomna distribucija

5.4. Poissonova distribucija

5.5. Geometrijska distribucija

5.6. Hipergeometrijska distribucija

6. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable

6.1. Numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli

6.2. Očekivanje diskretne slučajne varijable

6.3. Vjerovatnoća značenja matematičkog očekivanja

6.4. Osobine matematičkog očekivanja

6.5. Matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u nezavisnim ispitivanjima

7. Disperzija diskretne slučajne varijable

7.1. Izvodljivost uvođenja numeričke karakteristike raspršenja slučajne varijable

7.2. Odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja

7.3. Varijanca diskretne slučajne varijable

7.4. Formula za izračunavanje varijanse

7.5. Svojstva disperzije

7.6. Varijanca broja pojavljivanja događaja u nezavisnim ispitivanjima

7.7. Standardna devijacija

7.8. Standardna devijacija zbira međusobno nezavisnih slučajnih varijabli

7.9. Identično raspoređene međusobno nezavisne slučajne varijable

7.10. Početne i centralne teorijske tačke

8. Zakon velikih brojeva

8.1. Preliminarne napomene

8.2. Čebiševljeva nejednakost

8.3. Čebiševljeva teorema

8.4. Suština Čebiševljeve teoreme

8.5. Značaj Čebiševljeve teoreme za praksu

8.6. Bernulijeva teorema

Funkcija raspodjele vjerojatnosti slučajne varijable

9.1. Definicija funkcije distribucije

9.2. Svojstva funkcije distribucije

9.3. Grafikon funkcije distribucije

10. Gustoća vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable

10.1. Određivanje gustine distribucije

10.2. Vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla padne u dati interval

10.3. Zakon uniformne distribucije verovatnoće

11. Normalna distribucija

11.1. Numeričke karakteristike kontinuiranih slučajnih varijabli

11.2. Normalna distribucija

11.3. Normalna kriva

11.4. Utjecaj parametara normalne distribucije na oblik normalne krive

11.5. Vjerovatnoća pada u dati interval normalne slučajne varijable

11.6. Izračunavanje vjerovatnoće datog odstupanja

11.7. Pravilo tri sigma

11.8. Koncept Ljapunovljeve teoreme. Izjava centralne granične teoreme

11.9. Procjena odstupanja teorijske raspodjele od normalne. Iskrivljenost i eksces

11.10. Funkcija jednog slučajnog argumenta i njegova distribucija

11.11. Matematičko očekivanje funkcije jednog slučajnog argumenta

11.12. Funkcija dva slučajna argumenta. Distribucija zbira nezavisnih članova. Stabilnost normalne distribucije

11.13. Hi kvadrat raspodjela

11.14. Distribucija studenata

11.15. Fischer–Snedecor f distribucija

12. Eksponencijalna distribucija

12.1. Definicija eksponencijalne distribucije

12.2. Vjerojatnost pada u dati interval eksponencijalno raspoređene slučajne varijable

§ 3. Numeričke karakteristike eksponencijalne raspodjele

12.4. Funkcija pouzdanosti

12.5. Zakon eksponencijalne pouzdanosti

12.6. Karakteristično svojstvo zakona eksponencijalne pouzdanosti

5.2. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Poligon distribucije

Na prvi pogled može izgledati da je za definiranje diskretne slučajne varijable dovoljno navesti sve njene moguće vrijednosti. U stvarnosti, to nije tako: slučajne varijable mogu imati iste liste mogućih vrijednosti, ali njihove vjerovatnoće mogu biti različite. Stoga, da biste specificirali diskretnu slučajnu varijablu, nije dovoljno navesti sve njene moguće vrijednosti, već morate navesti i njihove vjerovatnoće.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable nazvati korespondenciju između mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća; može se specificirati tabelarno, analitički (u obliku formule) i grafički.

Definicija. Bilo koje pravilo (tabela, funkcija, grafikon) koje vam omogućava da pronađete vjerovatnoće proizvoljnih događaja A S (S– -algebra događaja u prostoru ), posebno, koja ukazuje na vjerovatnoće pojedinačnih vrijednosti slučajne varijable ili skupa ovih vrijednosti, naziva se zakon raspodjele slučajne varijable(ili jednostavno: distribucija). O s.v. kažu da se “pokorava datom zakonu distribucije”.

Neka X– d.s.v., koji uzima vrijednosti X 1 , X 2 , …, x n,… (skup ovih vrijednosti je konačan ili prebrojiv) s određenom vjerovatnoćom str i, Gdje i = 1,2,…, n,… Zakon o distribuciji d.s.v. pogodno za postavljanje pomoću formule str i = P{X = x i)Gdje i = 1,2,…, n,..., koji određuje vjerovatnoću da će kao rezultat eksperimenta r.v. Xće uzeti vrijednost x i. Za d.s.v. X zakon raspodjele može se dati u obliku distributivni stolovi:

				x n
				R n

Kada se specificira zakon distribucije diskretne slučajne varijable u tabeli, prvi red tabele sadrži moguće vrednosti, a drugi – njihove verovatnoće. takva tabela se zove blizu distribucije.

Uzimajući u obzir da u jednom ogledu slučajna varijabla uzima jednu i samo jednu moguću vrijednost, zaključujemo da su događaji X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n formiraju kompletnu grupu; dakle, zbir vjerovatnoća ovih događaja, tj. zbir vjerovatnoća drugog reda tabele jednak je jedan, odnosno .

Ako je skup mogućih vrijednosti X beskonačno (prebrojivo), zatim niz R 1 + R 2 + ... konvergira i njegov zbir je jednak jedan.

Primjer. Za gotovinsku lutriju je izdato 100 tiketa. Izvučen je jedan dobitak od 50 rubalja. i deset dobitaka od 1 rub. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable X– trošak mogućeg dobitka za vlasnika jedne srećke.

Rješenje. Napišimo moguće vrijednosti X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Vjerovatnoće ovih mogućih vrijednosti su: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.

Napišimo traženi zakon distribucije:

Kontrola: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.

Primjer. U urni se nalazi 8 kuglica, od kojih su 5 bijele, a ostale crne. Iz njega se nasumično izvlače 3 loptice. Pronađite zakon raspodjele broja bijelih kuglica u uzorku.

Rješenje. Moguće vrijednosti r.v. X– postoji veliki broj bijelih kuglica u uzorku X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Njihove vjerovatnoće će biti u skladu s tim

;
;
.

Zapišimo zakon raspodjele u obliku tabele.

Kontrola:
.

Pravo distribucije d.s.v. može se grafički specificirati ako su moguće vrijednosti r.v. iscrtane na osi apscise, a vjerovatnoće ovih vrijednosti na osi ordinata. isprekidana linija koja povezuje tačke u nizu ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... zove poligon(ili poligon) distribucija(vidi sliku 5.1).

Rice. 5.1. Poligon distribucije

Sada možemo dati precizniju definiciju d.s.v.

Definicija. Slučajna vrijednost X je diskretan, ako postoji konačan ili prebrojiv skup brojeva X 1 , X 2 , ... tako da P{X = x i } = str i > 0 (i= 1,2,…) i str 1 + str 2 + R 3 +… = 1.

Definirajmo matematičke operacije nad diskretnim r.v.

Definicija.Iznos (razlika, rad) d.s.v. X, uzimajući vrijednosti x i sa vjerovatnoćama str i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, i d.s.v. Y, uzimajući vrijednosti y j sa vjerovatnoćama str j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, naziva se d.s.v. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), uzimajući vrijednosti z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i  y j) sa vjerovatnoćama str ij = P{X = x i , Y = y j) za sve navedene vrijednosti i I j. Ako se neki iznosi poklapaju x i + y j (razlike x i – y j, radi x i  y j) odgovarajuće vjerovatnoće se dodaju.

Definicija.Posao d.s.v. on broj s pod nazivom d.s.v. cX, uzimajući vrijednosti Withx i sa vjerovatnoćama str i = P{X = x i }.

Definicija. Dva d.s.v. X I Y su pozvani nezavisni, ako događaji ( X = x i } = A i i ( Y = y j } = B j nezavisno za bilo koje i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, to je

Inače r.v. pozvao zavisan. Nekoliko r.v. nazivaju se međusobno nezavisnim ako zakon raspodjele bilo koje od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje su druge veličine uzele.

Razmotrimo nekoliko najčešće korištenih zakona distribucije.