Řešení.
Pravděpodobnost, že nebyly nakresleny žádné emblémy: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Pravděpodobnost získání tří erbů: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Zákon rozdělení náhodné veličiny X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Příklad č. 2. Pravděpodobnost, že jeden střelec zasáhne terč jednou ranou pro prvního střelce je 0,8, pro druhého střelce – 0,85. Střelci vypálili jednu ránu na cíl. Vzhledem k tomu, že zásah do cíle považujete za nezávislé události pro jednotlivé střelce, zjistěte pravděpodobnost události A – přesně jeden zásah do cíle.
Řešení.
Zvažte událost A – jeden zásah do cíle. Možné možnosti Výskyt této události je následující:
- První střelec zasáhl, druhý střelec minul: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- První střelec minul, druhý střelec zasáhl terč: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- První a druhý šíp zasáhly cíl nezávisle na sobě: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
jak je známo, náhodná proměnná se nazývá proměnná veličina, která může nabývat určitých hodnot v závislosti na případu. Náhodné proměnné označují velkými písmeny latinka(X, Y, Z) a jejich hodnoty jsou uvedeny odpovídajícími malými písmeny (x, y, z). Náhodné veličiny se dělí na nespojité (diskrétní) a spojité.
Diskrétní náhodná veličina volal náhodná hodnota, přičemž se bere pouze konečná nebo nekonečná (spočetná) množina hodnot s určitou nenulovou pravděpodobností.
Distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny je funkce, která spojuje hodnoty náhodné veličiny s jejich odpovídajícími pravděpodobnostmi. Distribuční zákon může být specifikován jedním z následujících způsobů.
1 . Distribuční zákon může být dán tabulkou:
kde λ>0, k = 0, 1, 2, ….
PROTI) používáním distribuční funkce F(x) , který určuje pro každou hodnotu x pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší než x, tzn. F(x) = P(X< x).
Vlastnosti funkce F(x)
3 . Distribuční zákon lze specifikovat graficky – distribuční polygon (polygon) (viz úloha 3).
Všimněte si, že k řešení některých problémů není nutné znát distribuční zákon. V některých případech stačí znát jedno nebo více čísel, která odrážejí nejvíce důležité vlastnosti distribuční zákon. Může to být číslo, které má význam „průměru“ náhodné veličiny, nebo číslo udávající průměrná velikost odchylka náhodné veličiny od její střední hodnoty. Čísla tohoto druhu se nazývají číselné charakteristiky náhodné veličiny.
Základní numerické charakteristiky diskrétní náhodné veličiny :
- Matematické očekávání
(průměrná hodnota) diskrétní náhodné veličiny M(X)=Σ x i p i.
Pro binomické rozdělení M(X)=np, pro Poissonovo rozdělení M(X)=λ - Disperze
diskrétní náhodná veličina D(X)=M2 nebo D(X) = M(X2)−2. Rozdíl X–M(X) se nazývá odchylka náhodné veličiny od jejího matematického očekávání.
Pro binomické rozdělení D(X)=npq, pro Poissonovo rozdělení D(X)=λ - Standardní odchylka (standardní odchylka) σ(X)=√D(X).
Příklady řešení úloh na téma „Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny“
Úkol 1.
Bylo vydáno 1000 losů: 5 z nich vyhraje 500 rublů, 10 vyhraje 100 rublů, 20 vyhraje 50 rublů, 50 vyhraje 10 rublů. Určete zákon rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X - výhry na tiket.
Řešení. Podle podmínek problému jsou možné následující hodnoty náhodné veličiny X: 0, 10, 50, 100 a 500.
Počet tipů bez výhry je 1000 – (5+10+20+50) = 915, pak P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Podobně najdeme všechny ostatní pravděpodobnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X = 500) = 5/1000 = 0,005. Uveďme výsledný zákon ve formě tabulky:
Najdeme matematické očekávání hodnoty X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Úkol 3.
Zařízení se skládá ze tří nezávisle ovládacích prvků. Pravděpodobnost selhání každého prvku v jednom experimentu je 0,1. Vytvořte distribuční zákon pro počet neúspěšných prvků v jednom experimentu, sestrojte distribuční polygon. Najděte distribuční funkci F(x) a vykreslete ji. Najděte matematické očekávání, rozptyl a směrodatnou odchylku diskrétní náhodné veličiny.
Řešení. 1. Diskrétní náhodná veličina X=(počet neúspěšných prvků v jednom experimentu) má následující možné hodnoty: x 1 =0 (žádný z prvků zařízení selhal), x 2 =1 (selhal jeden prvek), x 3 =2 (selhaly dva prvky) a x 4 =3 (selhaly tři prvky).
Poruchy prvků jsou na sobě nezávislé, pravděpodobnosti selhání každého prvku jsou stejné, proto platí Bernoulliho vzorec
. Vzhledem k tomu, že podle podmínky n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 určíme pravděpodobnosti hodnot:
P3(0) = C3op0q3-0 = q3 = 0,93 = 0,729;
P3(1) = C3ip1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P3(2) = C32p2q3-2 = 3*0,12*0,9 = 0,027;
P3(3) = C33p3q3-3 = p3 = 0,13 = 0,001;
Kontrola: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Požadovaný zákon binomického rozdělení X má tedy tvar:
Vyneseme možné hodnoty x i podél osy x a odpovídající pravděpodobnosti p i podél osy pořadnice. Sestrojme body M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Spojením těchto bodů úsečkami přímých linií získáme požadovaný distribuční polygon.
3. Pojďme najít distribuční funkci F(x) = Р(Х
Pro x ≤ 0 máme F(x) = Р(Х<0) = 0;za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
pro x > 3 bude F(x) = 1, protože akce je spolehlivá.
 |
Graf funkce F(x)
4.
Pro binomické rozdělení X:
- matematické očekávání M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- rozptyl D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- směrodatná odchylka σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Diskrétní náhodný Proměnné jsou náhodné proměnné, které nabývají pouze hodnot, které jsou od sebe vzdálené a které mohou být uvedeny předem.
Zákon rozdělování
Distribuční zákon náhodné veličiny je vztah, který vytváří spojení mezi možnými hodnotami náhodné veličiny a jejich odpovídajícími pravděpodobnostmi.
Distribuční řada diskrétní náhodné proměnné je seznam jejích možných hodnot a odpovídajících pravděpodobností.
Distribuční funkcí diskrétní náhodné veličiny je funkce:
,
určení pro každou hodnotu argumentu x pravděpodobnost, že náhodná proměnná X bude mít hodnotu menší než toto x.
Očekávání diskrétní náhodné veličiny
,
kde je hodnota diskrétní náhodné proměnné; - pravděpodobnost náhodné proměnné přijímající hodnoty X.
Pokud náhodná proměnná nabývá spočitatelnou sadu možných hodnot, pak: 
.
Matematické očekávání počtu výskytů události v n nezávislých pokusech:
,
Disperze a směrodatná odchylka diskrétní náhodné veličiny
Disperze diskrétní náhodné veličiny: 
nebo 
.
Rozptyl počtu výskytů události v n nezávislých studiích 
,
kde p je pravděpodobnost výskytu události.
Směrodatná odchylka diskrétní náhodné veličiny: 
.
Příklad 1
Sestavte zákon rozdělení pravděpodobnosti pro diskrétní náhodnou veličinu (DRV) X – počet k výskytů alespoň jedné „šestky“ v n = 8 hodech párem kostkou. Sestrojte distribuční polygon. Najděte číselné charakteristiky rozdělení (modus rozdělení, matematické očekávání M(X), disperze D(X), směrodatná odchylka s(X)). Řešení: Představme si zápis: událost A – „při hodu kostkou se alespoň jednou objevila šestka“. Pro zjištění pravděpodobnosti P(A) = p jevu A je vhodnější nejprve najít pravděpodobnost P(Ā) = q opačného jevu Ā - „při hodu kostkou se šestka nikdy neobjevila“.
Protože pravděpodobnost, že se „šestka“ neobjeví při hodu jednou kostkou, je 5/6, pak podle věty o násobení pravděpodobnosti
P(Ā) = q = = .
resp.
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testy v problému se řídí Bernoulliho schématem, takže d.s.v. velikost X- číslo k výskyt alespoň jedné šestky při hodu dvěma kostkami se řídí binomickým zákonem rozdělení pravděpodobnosti: 
kde = je počet kombinací n Podle k.
Výpočty provedené pro tento problém lze pohodlně prezentovat ve formě tabulky:
Distribuce pravděpodobnosti d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )
| k | ||||||||||
Pn(k) |
Polygon (polygon) rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny X zobrazeno na obrázku:
Rýže. Polygon rozdělení pravděpodobnosti d.s.v. X=k.
Svislá čára ukazuje matematické očekávání rozdělení M(X).
Najděte číselné charakteristiky rozdělení pravděpodobnosti d.s.v. X. Režim distribuce je 2 (zde P 8(2) = maximum 0,2932). Matematické očekávání se podle definice rovná:
M(X) = = 2,4444,
Kde xk = k– hodnota přijatá d.s.v. X. Rozptyl D(X) najdeme rozdělení pomocí vzorce:
D(X) = 
= 4,8097.
Směrodatná odchylka (RMS):
s( X) = = 2,1931.
Příklad2
Diskrétní náhodná veličina X dáno distribučním zákonem
Řešení. If , then (třetí vlastnost).
Pokud, tak. Opravdu, X může nabývat hodnoty 1 s pravděpodobností 0,3.
Pokud, tak. Pokud skutečně vyhoví nerovnosti
, pak se rovná pravděpodobnosti události, která může nastat, když X bude mít hodnotu 1 (pravděpodobnost této události je 0,3) nebo hodnotu 4 (pravděpodobnost této události je 0,1). Protože tyto dva jevy jsou neslučitelné, pak podle věty o sčítání je pravděpodobnost jevu rovna součtu pravděpodobností 0,3 + 0,1 = 0,4. Pokud, tak. Událost je skutečně jistá, její pravděpodobnost je tedy rovna jedné. Takže distribuční funkci lze zapsat analyticky takto: 
Graf této funkce:
Najděte pravděpodobnosti odpovídající těmto hodnotám. Podle podmínek jsou pravděpodobnosti selhání zařízení stejné: pak jsou stejné pravděpodobnosti, že zařízení budou fungovat během záruční doby: 
Distribuční zákon má podobu:
Vzdělávací instituce „Běloruský stát
zemědělská akademie"
Katedra vyšší matematiky
Směrnice
nastudovat téma „Náhodné veličiny“ studenty Fakulty účetnictví pro korespondenční vzdělávání (NISPO)
Gorki, 2013
Náhodné proměnné
Diskrétní a spojité náhodné veličiny
Jedním z hlavních konceptů v teorii pravděpodobnosti je koncept náhodná proměnná . Náhodná proměnná je veličina, která v důsledku testování nabývá pouze jedné z mnoha možných hodnot a není předem známo, která.
Existují náhodné proměnné diskrétní a spojité . Diskrétní náhodná proměnná (DRV) je náhodná veličina, která může nabývat konečného počtu vzájemně od sebe izolovaných hodnot, tzn. pokud lze možné hodnoty této veličiny přepočítat. Spojitá náhodná proměnná (CNV) je náhodná proměnná, jejíž všechny možné hodnoty zcela vyplňují určitý interval číselné osy.
Náhodné proměnné se označují velkými písmeny latinské abecedy X, Y, Z atd. Možné hodnoty náhodných proměnných jsou označeny odpovídajícími malými písmeny.
Záznam 
znamená „pravděpodobnost, že náhodná proměnná X bude mít hodnotu 5, což se rovná 0,28.“
Příklad 1 . Kostky jsou vrženy jednou. V tomto případě se mohou objevit čísla od 1 do 6 označující počet bodů. Označme náhodnou veličinu X= (počet hozených bodů). Tato náhodná veličina jako výsledek testu může nabývat pouze jedné ze šesti hodnot: 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6. X existuje DSV.
Příklad 2 . Když je kámen hozen, urazí určitou vzdálenost. Označme náhodnou veličinu X=(vzdálenost letu kamene). Tato náhodná veličina může nabývat libovolné, ale pouze jedné hodnoty z určitého intervalu. Proto náhodná veličina X existuje NSV.
Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny
Diskrétní náhodná proměnná je charakterizována hodnotami, které může nabývat, a pravděpodobnostmi, se kterými jsou tyto hodnoty přijímány. Nazývá se korespondence mezi možnými hodnotami diskrétní náhodné proměnné a jejich odpovídajícími pravděpodobnostmi zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny .
Pokud jsou známy všechny možné hodnoty 
náhodná proměnná X a pravděpodobnosti 
vzhled těchto hodnot, pak se má za to, že zákon distribuce DSV X je známý a lze jej zapsat ve formě tabulky:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Distribuční zákon DSV lze znázornit graficky, pokud jsou body znázorněny v pravoúhlém souřadnicovém systému 
,
,
…,
a spojte je přímými úsečkami. Výsledný obrazec se nazývá distribuční polygon.
Příklad 3 . Obilí určené k čištění obsahuje 10 % plevele. Náhodně byla vybrána 4 zrna. Označme náhodnou veličinu X= (počet plevelů mezi čtyřmi vybranými). Sestavte zákon o distribuci DSV X a distribuční polygon.
Řešení . Podle vzorových podmínek. Pak:
Zapišme si distribuční zákon DSV X ve formě tabulky a sestrojíme distribuční polygon:
|
|
Očekávání diskrétní náhodné veličiny
Nejdůležitější vlastnosti diskrétní náhodné veličiny jsou popsány jejími charakteristikami. Jednou z těchto vlastností je očekávaná hodnota náhodná proměnná.
Nechť je znám zákon o distribuci DSV X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Matematické očekávání
DSV X je součet součinů každé hodnoty této veličiny odpovídající pravděpodobností: 
.
Matematické očekávání náhodné veličiny se přibližně rovná aritmetickému průměru všech jejích hodnot. Proto je v praktických úlohách průměrná hodnota této náhodné veličiny často brána jako matematické očekávání.
Příklad 8 . Střelec získá 4, 8, 9 a 10 bodů s pravděpodobnostmi 0,1, 0,45, 0,3 a 0,15. Najděte matematické očekávání počtu bodů jedním výstřelem.
Řešení . Označme náhodnou veličinu X= (počet získaných bodů). Pak . Očekávaný průměrný počet bodů získaných jednou ranou je tedy 8,2 a 10 ran - 82.
Hlavní vlastnosti matematická očekávání jsou:
.
.
, Kde 
,
.
.
, Kde X A Y jsou nezávislé náhodné proměnné.
Rozdíl 
volal odchylka
náhodná proměnná X z jeho matematického očekávání. Tento rozdíl je náhodná veličina a její matematické očekávání je nulové, tzn. 
.
Rozptyl diskrétní náhodné veličiny
K charakterizaci náhodné veličiny kromě matematického očekávání používáme také disperze , což umožňuje odhadnout rozptyl (rozpětí) hodnot náhodné veličiny kolem jejího matematického očekávání. Při porovnání dvou homogenních náhodných veličin se stejnými matematickými očekáváními se za „nejlepší“ hodnota považuje ta, která má menší rozptyl, tzn. menší rozptyl.
Rozptyl náhodná proměnná X se nazývá matematické očekávání druhé mocniny odchylky náhodné veličiny od jejího matematického očekávání: .
V praktických úlohách se pro výpočet rozptylu používá ekvivalentní vzorec.
Hlavní vlastnosti disperze jsou:
.
Můžeme zdůraznit nejběžnější zákony distribuce diskrétních náhodných veličin:
- Zákon binomického rozdělení
- Poissonův distribuční zákon
- Zákon geometrického rozdělení
- Hypergeometrický distribuční zákon
Pro daná rozdělení diskrétních náhodných veličin se pomocí určitých „vzorců“ provádí výpočet pravděpodobností jejich hodnot a také numerických charakteristik (matematické očekávání, rozptyl atd.). Proto je velmi důležité znát tyto typy distribucí a jejich základní vlastnosti.
1. Zákon binomického rozdělení.
Diskrétní náhodná proměnná $X$ podléhá zákonu binomického rozdělení pravděpodobnosti, pokud nabývá hodnot $0,\ 1,\ 2,\ \tečky ,\ n$ s pravděpodobnostmi $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Ve skutečnosti je náhodná proměnná $X$ počet výskytů události $A$ v $n$ nezávislých studiích. Zákon rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny $X$:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \tečky & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\vpravo) & P_n\left(1\vpravo) & \tečky & P_n\left(n\vpravo) \\
\hline
\end(pole)$
Pro takovou náhodnou veličinu je matematické očekávání $M\left(X\right)=np$, rozptyl je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Příklad . Rodina má dvě děti. Za předpokladu, že pravděpodobnost narození chlapce a dívky je 0,5 $, najděte zákon rozdělení náhodné veličiny $\xi$ - počet chlapců v rodině.
Nechť náhodná proměnná $\xi $ je počet chlapců v rodině. Hodnoty, které může $\xi nabývat:\ 0,\ 1,\ 2 $. Pravděpodobnosti těchto hodnot lze zjistit pomocí vzorce $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kde $n =2$ je počet nezávislých pokusů, $p=0,5$ je pravděpodobnost výskytu události v sérii $n$ pokusů. Dostaneme:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 = 0,25 $
Pak distribuční zákon náhodné veličiny $\xi $ je korespondence mezi hodnotami $0,\ 1,\ 2$ a jejich pravděpodobnostmi, to znamená:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(pole)$
Součet pravděpodobností v distribučním zákoně by se měl rovnat $1$, tedy $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 $.
Očekávání $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, rozptyl $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standardní odchylka $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5)\cca 0,707 $.
2. Poissonův zákon rozdělení.
Pokud diskrétní náhodná proměnná $X$ může nabývat pouze nezáporné celočíselné hodnoty $0,\ 1,\ 2,\ \tečky,\ n$ s pravděpodobnostmi $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\přes (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Komentář. Zvláštností tohoto rozdělení je, že na základě experimentálních dat zjistíme odhady $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, pokud jsou získané odhady blízko sebe, pak máme důvod tvrdit, že náhodná veličina podléhá Poissonově distribučnímu zákonu.
Příklad . Příklady náhodných proměnných podléhajících zákonu Poissonova rozdělení mohou být: počet vozů, které zítra obslouží čerpací stanice; počet vadných položek ve vyrobených produktech.
Příklad . Továrna poslala na základnu produkty za 500 $. Pravděpodobnost poškození produktu při přepravě je 0,002 $. Najděte zákon rozdělení náhodné veličiny $X$ rovný počtu poškozených produktů; co je $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.
Nechť diskrétní náhodná proměnná $X$ je počet poškozených produktů. Taková náhodná veličina podléhá Poissonově zákonu rozdělení s parametrem $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Pravděpodobnosti hodnot se rovnají $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\přes (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Zákon rozdělení náhodné veličiny $X$:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\přes (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(pole)$
Pro takovou náhodnou veličinu jsou matematické očekávání a rozptyl stejné a rovny parametru $\lambda $, tedy $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda = 1 $.
3. Zákon geometrického rozdělení.
Pokud diskrétní náhodná proměnná $X$ může nabývat pouze přirozené hodnoty $1,\ 2,\ \tečky,\ n$ s pravděpodobnostmi $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) vpravo)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \tečky $, pak říkají, že taková náhodná veličina $X$ podléhá geometrickému zákonu rozdělení pravděpodobnosti. Ve skutečnosti je geometrické rozložení až do prvního úspěchu Bernoulliho testem.
Příklad . Příklady náhodných proměnných, které mají geometrické rozložení, mohou být: počet výstřelů před prvním zásahem do cíle; počet testů zařízení do prvního selhání; počet hodů mincí, dokud se neobjeví první hlava atd.
Matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny podléhající geometrickému rozdělení se rovnají $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $ 2.
Příklad . Na cestě pohybu ryb k místu tření je zámek 4 $. Pravděpodobnost, že ryby projdou každým zámkem, je $p=3/5$. Sestrojte řadu rozdělení náhodné proměnné $X$ - počet plavebních komor, které ryba prošla před prvním zadržením u zdymadla. Najděte $M\left(X\right),\D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Nechť náhodná proměnná $X$ je počet zámků, které ryba prošla před prvním zadržením u zámku. Taková náhodná veličina podléhá geometrickému zákonu rozdělení pravděpodobnosti. Hodnoty, které může náhodná proměnná $X nabývat: $ 1, 2, 3, 4. Pravděpodobnosti těchto hodnot se počítají pomocí vzorce: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kde: $ p=2/5$ - pravděpodobnost zadržení ryb přes zdymadlo, $q=1-p=3/5$ - pravděpodobnost proplutí ryb zdymadlem, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4 $.
$P\left(X=1\vpravo)=((2)\přes (5))\cdot (\left(((3)\přes (5))\vpravo))^0=((2)\ nad (5)) = 0,4; $
$P\left(X=2\vpravo)=((2)\přes (5))\cdot ((3)\přes (5))=((6)\přes (25))=0,24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ přes (5))\cdot ((9)\přes (25))=((18)\přes (125))=0,144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\přes (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\přes (5))\vpravo))^4=((27)\přes (125))=0,216,$
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(pole)$
Očekávaná hodnota:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176,$
Rozptyl:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2 176\right))^2+0.24\cdot (\left(2-2.176\right))^2+0.144\cdot (\left(3-2.176\right))^2+$
$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\cca 1,377,$
Standardní odchylka:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\cca 1,173,$
4. Hypergeometrický distribuční zákon.
If $N$ objektů, mezi nimiž $m$ objekty mají danou vlastnost. Objekty $n$ jsou náhodně získávány bez vracení, mezi nimiž bylo $k$ objektů, které mají danou vlastnost. Hypergeometrické rozdělení umožňuje odhadnout pravděpodobnost, že právě $k$ objektů ve vzorku má danou vlastnost. Nechť náhodná proměnná $X$ je počet objektů ve vzorku, které mají danou vlastnost. Pak pravděpodobnosti hodnot náhodné proměnné $X$:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\přes (C^n_N))$
Komentář. Statistická funkce HYPERGEOMET průvodce funkcí Excel $f_x$ umožňuje určit pravděpodobnost, že určitý počet testů bude úspěšný.
$f_x\to$ statistický$\to$ HYPERGEOMET$\to$ OK. Zobrazí se dialogové okno, které musíte vyplnit. Ve sloupci Počet_úspěchů_v_vzorku uveďte hodnotu $k$. velikost vzorku rovná se $n$. Ve sloupci Počet_úspěchů_v_spolu uveďte hodnotu $m$. velikost populace rovná se $N$.
Matematické očekávání a rozptyl diskrétní náhodné proměnné $X$, podléhající zákonu o geometrickém rozdělení, se rovnají $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\vlevo(1 -((m)\přes (N))\vpravo)\vlevo (1-((n)\přes (N))\vpravo))\přes (N-1))$.
Příklad . Úvěrové oddělení banky zaměstnává 5 specialistů s vyšším finančním vzděláním a 3 specialisty s vyšším právním vzděláním. Vedení banky se rozhodlo vyslat 3 specialisty ke zvýšení kvalifikace, které vybralo v náhodném pořadí.
a) Vytvořte distribuční řadu pro počet odborníků s vyšším finančním vzděláním, kteří mohou být vysláni, aby zlepšili své dovednosti;
b) Najděte číselné charakteristiky tohoto rozdělení.
Nechť náhodná veličina $X$ je počet odborníků s vyšším finančním vzděláním mezi třemi vybranými. Hodnoty, které může $X nabývat: 0,\ 1,\ 2,\ 3 $. Tato náhodná veličina $X$ je distribuována podle hypergeometrického rozdělení s následujícími parametry: $N=8$ - velikost populace, $m=5$ - počet úspěchů v populaci, $n=3$ - velikost vzorku, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - počet úspěchů ve vzorku. Potom lze pravděpodobnosti $P\left(X=k\right)$ vypočítat pomocí vzorce: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ přes C_(N)^(n)) $. My máme:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\cca 0,018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\cca 0,268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\cca 0,536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\cca 0,179,$
Potom distribuční řada náhodné veličiny $X$:
$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(pole)$
Vypočítejme číselné charakteristiky náhodné veličiny $X$ pomocí obecných hyper vzorců geometrické rozložení.
$M\levý(X\vpravo)=((nm)\přes (N))=((3\cdot 5)\přes (8))=((15)\přes (8))=1 875,$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\vpravo))\přes (8-1))=((225)\přes (448))\přibližně 0,502,$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\cca 0,7085,$
