Geometrické aplikace určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu

Přednášky 8. Aplikace určitý integrál.

Aplikace integrálu na fyzikální problémy je založena na vlastnosti aditivity integrálu na množině. Pomocí integrálu lze tedy vypočítat veličiny, které jsou samy v množině aditivní. Například plocha postavy se rovná součtu ploch jejích částí Délka oblouku, plocha povrchu, objem těla a hmotnost těla mají stejnou vlastnost. Proto lze všechny tyto veličiny vypočítat pomocí určitého integrálu.

K řešení problémů můžete použít dvě metody: metoda integrálních součtů a metoda diferenciálů.

Metoda integrálních součtů opakuje konstrukci určitého integrálu: sestrojí se oddíl, označí se body, v nich se vypočítá funkce, vypočítá se integrální součet a provede se přechod na limitu. V této metodě je hlavním problémem dokázat, že v limitě je výsledek přesně to, co je v problému potřeba.

Diferenciální metoda používá neurčitý integrál a Newton-Leibnizův vzorec. Vypočte se diferenciál veličiny, která má být stanovena, a poté se integrací tohoto diferenciálu získá požadovaná veličina pomocí Newton-Leibnizova vzorce. V této metodě je hlavním problémem dokázat, že se jedná o diferenciál požadované hodnoty, který byl vypočten, a ne něco jiného.

Výpočet ploch rovinných obrazců.

1. Obrázek je omezen grafem funkce definované v kartézském souřadnicovém systému.

Ke konceptu určitého integrálu jsme došli z problému plochy zakřiveného lichoběžníku (ve skutečnosti metodou integrálních součtů). Pokud funkce nabývá pouze nezáporných hodnot, pak lze plochu pod grafem funkce na segmentu vypočítat pomocí určitého integrálu. všimněte si, že proto je zde vidět i metoda diferenciálů.

Ale funkce může také nabývat záporných hodnot na určitém segmentu, pak integrál nad tímto segmentem dá zápornou oblast, což je v rozporu s definicí oblasti.

Plochu můžete vypočítat pomocí vzorceS=. To je ekvivalentní změně znaménka funkce v těch oblastech, ve kterých nabývá záporných hodnot.

Pokud potřebujete vypočítat plochu obrázku ohraničenou nahoře grafem funkce a dole grafem funkce, pak můžete použít vzorecS= , protože .

Příklad. Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou přímkami x=0, x=2 a grafy funkcí y=x 2, y=x 3.

Všimněte si, že na intervalu (0,1) platí nerovnost x 2 > x 3 a pro x >1 platí nerovnost x 3 > x 2. Proto

2. Obrázek je omezen grafem funkce specifikované v polárním souřadnicovém systému.

Nechť je dán graf funkce v polárním souřadnicovém systému a chceme vypočítat plochu křivočarého sektoru ohraničeného dvěma paprsky a graf funkce v polárním souřadnicovém systému.

Zde můžete použít metodu integrálních součtů, výpočet plochy křivočarého sektoru jako limitu součtu ploch elementárních sektorů, ve kterých je graf funkce nahrazen kruhovým obloukem .

Můžete také použít diferenciální metodu: .

Můžete uvažovat takto. Nahradíme-li elementární křivočarý sektor odpovídající středovému úhlu kruhovým sektorem, získáme poměr . Odtud . Integrací a použitím Newton-Leibnizova vzorce získáme .

Příklad. Vypočítejme plochu kruhu (zkontrolujte vzorec). Věříme. Plocha kruhu je .

Příklad. Vypočítejme oblast ohraničenou kardioidou .

3 Obrázek je omezen grafem parametricky definované funkce.

Funkci lze zadat parametricky ve formuláři . Používáme vzorec S= , dosadí do něj limity integrace nad novou proměnnou. . Obvykle se při výpočtu integrálu izolují ty oblasti, kde funkce integrandu má určité znaménko, a bere se v úvahu odpovídající oblast s jedním nebo druhým znaménkem.

Příklad. Vypočítejte plochu ohraničenou elipsou.

Pomocí symetrie elipsy vypočítáme plochu čtvrtiny elipsy umístěné v prvním kvadrantu. V tomto kvadrantu. Proto .

Výpočet objemů těles.

1. Výpočet objemů těles z ploch rovnoběžných řezů.

Nechť je požadováno vypočítat objem určitého tělesa V ze známých průřezových ploch tohoto tělesa rovinami kolmými k přímce OX vedené libovolným bodem x úsečky OX.

Aplikujme metodu diferenciálů. Uvážíme-li elementární objem nad segmentem jako objem pravého kruhového válce se základní plochou a výškou, dostaneme . Integrací a aplikací Newton-Leibnizova vzorce získáme

2. Výpočet objemů rotačních těles.

Ať je třeba počítat VŮL.

Pak .

Rovněž, objem rotačního tělesa kolem osyOY, pokud je funkce uvedena ve tvaru , lze vypočítat pomocí vzorce .

Pokud je funkce zadána ve formuláři a je potřeba určit objem rotačního tělesa kolem osyOY, pak lze vzorec pro výpočet objemu získat následovně.

Přecházíme na diferenciál a zanedbáváme kvadratické členy . Integrací a aplikací Newton-Leibnizova vzorce máme .

Příklad. Vypočítejte objem koule.

Příklad. Vypočítejte objem pravého kruhového kužele ohraničeného plochou a rovinou.

Vypočítejme objem jako objem rotačního tělesa, vzniklé rotací kolem osy OZ pravoúhlý trojuhelník v rovině OXZ, jejíž nohy leží na ose OZ a přímce z = H a na přímce leží přepona.

Vyjádřením x pomocí z dostaneme .

Výpočet délky oblouku.

Abyste získali vzorce pro výpočet délky oblouku, připomeňte si vzorce odvozené v 1. semestru pro diferenciál délky oblouku.

Pokud je oblouk grafem spojitě diferencovatelné funkce rozdíl délky oblouku lze vypočítat pomocí vzorce

. Proto

Pokud je parametricky zadán hladký oblouk, Že

. Proto .

Pokud je oblouk zadán v polárním souřadnicovém systému, Že

. Proto .

Příklad. Vypočítejte délku oblouku grafu funkce, . .

Uveďme některé aplikace určitého integrálu.

Výpočet plochy ploché postavy

Oblast zakřiveného lichoběžníku ohraničená křivkou (kde
), rovný
,
a segment
sekery
, vypočítané podle vzorce

.

Plocha postavy ohraničená křivkami
A
(Kde
) rovný
A
vypočítané podle vzorce

.

Pokud je křivka dána parametrickými rovnicemi
, pak oblast křivočarého lichoběžníku ohraničeného touto křivkou přímkami
,
a segment
sekery
, vypočítané podle vzorce

,

Kde A jsou určeny z rovnic
,
, A
na
.

Oblast křivočarého sektoru ohraničená křivkou danou v polárních souřadnicích rovnicí
a dva polární poloměry
,
(
), se zjistí podle vzorce

.

Příklad 1.27. Vypočítejte plochu obrazce ohraničeného parabolou
a rovný
(Obrázek 1.1).

	Řešení. Najdeme průsečíky přímky a paraboly. K tomu vyřešíme rovnici , . Kde , . Pak podle vzorce (1.6) máme .

Výpočet délky oblouku rovinné křivky

Pokud křivka
na segmentu
- hladký (to znamená odvozený
spojitá), pak se pomocí vzorce zjistí délka odpovídajícího oblouku této křivky

.

Při parametrickém zadávání křivky
(
- plynule diferencovatelné funkce) délka oblouku křivky odpovídající monotónní změně parametru z před , vypočítané podle vzorce

Příklad 1.28. Vypočítejte délku oblouku křivky
,
,
.

Řešení. Pojďme najít derivace s ohledem na parametr :
,
. Pak ze vzorce (1.7) dostaneme

.

2. Diferenciální počet funkcí více proměnných

Nechte každou uspořádanou dvojici čísel
z nějaké oblasti
odpovídá určitému číslu
. Pak volal funkce dvou proměnných A ,
-nezávislé proměnné nebo argumenty ,
-doména definice funkce a sadu všechny funkční hodnoty - rozsahu jeho hodnot a označují
.

Geometricky definiční obor funkce obvykle představuje nějakou část roviny
, ohraničené liniemi, které mohou, ale nemusí patřit do této oblasti.

Příklad 2.1. Najděte doménu definice
funkcí
.

	Řešení. Tato funkce je definována v těchto bodech roviny , ve kterém nebo . Body roviny, pro které , tvoří hranici regionu . Rovnice definuje parabolu (obr. 2.1; jelikož parabola nepatří do oblasti , pak je znázorněno tečkovanou čarou). Dále je snadné přímo zkontrolovat, že body, pro které , který se nachází nad parabolou. Kraj je otevřená a lze ji specifikovat pomocí systému nerovností:

Pokud proměnná dát nějaký přírůstek
, A nechte konstantu, pak funkci
obdrží přírůstek
, volal soukromý přírůstek funkce podle proměnné :

Stejně tak, pokud proměnná dostane přírůstek
, A zůstane konstantní, pak funkce
obdrží přírůstek
, volal soukromý přírůstek funkce podle proměnné :

Pokud existují limity:

,

,

jmenují se parciální derivace funkce
podle proměnných A respektive.

Poznámka 2.1. Obdobně se určují parciální derivace funkcí libovolného počtu nezávisle proměnných.

Poznámka 2.2. Vzhledem k tomu, že parciální derivace vzhledem k libovolné proměnné je derivací vzhledem k této proměnné, za předpokladu, že ostatní proměnné jsou konstantní, pak všechna pravidla pro derivování funkcí jedné proměnné platí pro hledání parciálních derivací funkcí libovolného počtu proměnných.

Příklad 2.2.
.

Řešení. Shledáváme:

,

.

Příklad 2.3. Najděte parciální derivace funkce
.

Řešení. Shledáváme:

,

,

.

Plně funkční přírůstek
nazývaný rozdíl

Hlavní část plně funkčního přírůstku
, lineárně závislé na přírůstcích nezávislých proměnných
A
,se nazývá totální diferenciál funkce a je určeno
. Má-li funkce spojité parciální derivace, pak celkový diferenciál existuje a je roven

,

Kde
,
- libovolné přírůstky nezávislých proměnných, nazývané jejich diferenciály.

Podobně pro funkci tří proměnných
celkový diferenciál je dán vztahem

.

Nechte funkci
má na místě
parciální derivace prvního řádu s ohledem na všechny proměnné. Poté se zavolá vektor spád funkcí
na místě
a je určeno
nebo
.

Poznámka 2.3. Symbol
se nazývá Hamiltonův operátor a vyslovuje se „nambla“.

Příklad 2.4. Najděte gradient funkce v bodě
.

Řešení. Pojďme najít parciální derivace:

,
,

a vypočítat jejich hodnoty v bodě
:

,
,
.

Proto,
.

Derivát funkcí
na místě
ve směru vektoru
se nazývá limit poměru
na
:

, Kde
.

Pokud je funkce
je diferencovatelný, pak se derivace v daném směru vypočítá podle vzorce:

,

Kde ,- úhly, což je vektor formy s os
A
respektive.

V případě funkce tří proměnných
směrová derivace je definována podobně. Odpovídající vzorec je

,

Kde
- směrové kosiny vektoru .

Příklad 2.5. Najděte derivaci funkce
na místě
ve směru vektoru
, Kde
.

Řešení. Pojďme najít vektor
a jeho směrové kosiny:

,
,
,
.

Pojďme vypočítat hodnoty parciálních derivací v bodě
:

,
,
;
,
,
.

Dosazením do (2.1) získáme

.

Parciální derivace druhého řádu se nazývají parciální derivace převzaté z parciálních derivací prvního řádu:

,

,

,

Částečné derivace
,
jsou nazývány smíšený . Hodnoty smíšených derivací jsou stejné v bodech, ve kterých jsou tyto derivace spojité.

Příklad 2.6. Najděte parciální derivace druhého řádu funkce
.

Řešení. Nejprve spočítejme parciální derivace prvního řádu:

,
.

Když je znovu rozlišíme, dostaneme:

,
,

,
.

Při porovnání posledních výrazů to vidíme
.

Příklad 2.7. Dokažte, že funkce
splňuje Laplaceovu rovnici

.

Řešení. Shledáváme:

,
.

,
.

.

Tečka
volal místní maximální bod (minimální ) funkce
, pokud pro všechny body
, odlišný od
a příslušnost k jeho dostatečně malému sousedství, nerovnost

(
).

Maximum nebo minimum funkce se nazývá její extrém . Zavolá se bod, ve kterém je dosaženo extrému funkce extrémní bod funkce .

Věta 2.1 (Nutné podmínky pro extrém ). Pokud bod
je krajní bod funkce
nebo alespoň jeden z těchto derivátů neexistuje.

Body, u kterých jsou tyto podmínky splněny, se nazývají stacionární nebo kritický . Extrémní body jsou vždy stacionární, ale stacionární bod nemusí být extrémním bodem. Aby byl stacionární bod extrémním bodem, musí být splněny dostatečné podmínky pro extrém.

Nejprve si uveďme následující označení :

,
,
,
.

Věta 2.2 (Dostatečné podmínky pro extrém ). Nechte funkci
dvakrát diferencovatelný v okolí bodu
a tečka
je pro funkci nehybný
. Pak:

1.Li
, pak bod
je extrémem funkce a
bude maximální bod na
(
)a minimální bod v
(
).

2.Li
, pak v bodě

neexistuje žádný extrém.

3.Li
, pak extrém může a nemusí existovat.

Příklad 2.8. Prozkoumejte extrémní funkci
.

Řešení. Protože v v tomto případě parciální derivace prvního řádu vždy existují, pak pro nalezení stacionárních (kritických) bodů řešíme soustavu:

,
,

kde
,
,
,
. Tak jsme dostali dva stacionární body:
,
.

,
,
.

Za bod
dostáváme:, to znamená, že v tomto bodě neexistuje žádný extrém. Za bod
dostáváme: a
, tedy

v tomto bodě tuto funkci dosáhne místního minima: .

Oblast křivočarého lichoběžníku ohraničeného výše grafem funkce y=f(x), vlevo a vpravo - rovně x=a A x=b podle toho zespodu - osa Vůl, vypočítané podle vzorce

Plocha křivočarého lichoběžníku ohraničená zprava grafem funkce x=φ(y), nahoře a dole - rovné y=d A y=c podle toho vlevo - osa Oj:

Plocha křivočarého obrazce ohraničená nahoře grafem funkce y 2 = f 2 (x), dole - graf funkce y 1 = f 1 (x), vlevo a vpravo - rovně x=a A x=b:

Plocha křivočarého obrazce ohraničená zleva a zprava grafy funkcí x 1 =φ 1 (y) A x 2 =φ 2 (y), nahoře a dole - rovné y=d A y=c respektive:

Uvažujme případ, kdy přímka omezující křivočarý lichoběžník shora je dána parametrickými rovnicemi x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Kde a ≤ t ≤ p, φ 1 (α) = a, φ 1 (p) = b. Tyto rovnice definují nějakou funkci y=f(x) na segmentu [ a, b]. Plocha zakřiveného lichoběžníku se vypočítá podle vzorce

Pojďme k nové proměnné x = φ 1 (t), Pak dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), proto \begin(displaymath)

Oblast v polárních souřadnicích

Zvažte křivočarý sektor OAB, ohraničený čárou, daný rovnicí ρ=ρ(φ) v polárních souřadnicích dva paprsky O.A. A O.B., pro který φ=α , φ=β .

Sektor rozdělíme na elementární sektory OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 = A, Mn = B). Označme podle Δφ kúhel mezi paprsky OM k-1 A OMk, tvořící úhly s polární osou φ k-1 A φ k respektive. Každý ze základních sektorů OM k-1 M k nahraďte jej kruhovým sektorem s poloměrem ρ k =ρ (φ" k), Kde φ" k- hodnota úhlu φ z intervalu [ φ k-1, φ k] a středový úhel Δφ k. Plocha posledního sektoru je vyjádřena vzorcem .

vyjadřuje plochu „stupňovitého“ sektoru, který přibližně nahrazuje daný sektor OAB.

Sektorová oblast OAB se nazývá hranice oblasti „stupňovaného“ sektoru na n → ∞ A λ=max Δφ k → 0:

Protože , Že

Délka oblouku křivky

Nechte na segmentu [ a, b] je dána diferencovatelná funkce y=f(x), jejímž grafem je oblouk. Úsečka [ a,b] rozdělme to na nčásti s tečkami x 1, x 2, …, xn-1. Tyto body budou odpovídat bodům M 1, M 2, …, Mn-1 oblouky, spojujeme je lomenou čarou, které se říká přerušovaná čára vepsaná do oblouku. Obvod této přerušované čáry bude označen s n, to je

Definice. Délka oblouku čáry je mez obvodu přerušované čáry vepsané do ní, když počet článků M k-1 M k se neomezeně zvětšuje a délka největšího z nich má tendenci k nule:

kde λ je délka největší spojnice.

Budeme počítat délku oblouku od nějakého bodu, např. A. Nechte na místě M(x,y) délka oblouku je s a na místě M"(x+Δ x,y+Δy) délka oblouku je s+Δs, kde,i>Δs je délka oblouku. Z trojúhelníku MNM" najdi délku tětivy: .

Z geometrických úvah vyplývá, že

to znamená, že nekonečně malý oblouk úsečky a tětiva, která ji překrývá, jsou ekvivalentní.

Transformujme vzorec vyjadřující délku akordu:

Přejdeme-li k limitě v této rovnosti, získáme vzorec pro derivaci funkce s=s(x):

ze kterého najdeme

Tento vzorec vyjadřuje diferenciál oblouku rovinné křivky a má jednoduché geometrický význam : vyjadřuje Pythagorovu větu pro nekonečně malý trojúhelník MTN (ds=MT, ).

Rozdíl oblouku prostorové křivky je určen vzorcem

Uvažujme oblouk prostorové přímky definované parametrickými rovnicemi

Kde a ≤ t ≤ p, φi(t) (i = 1, 2, 3) - diferencovatelné funkce argumentu t, Že

Integrace této rovnosti přes interval [ α, β ], dostaneme vzorec pro výpočet délky tohoto oblouku přímky

Leží-li přímka v rovině Oxy, Že z=0 přede všemi t∈[α, β], Proto

V případě, kdy je rovnicí dána rovná čára y=f(x) (a≤x≤b), kde f(x) je diferencovatelná funkce, poslední vzorec má tvar

Nechť je rovinná přímka dána rovnicí ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) v polárních souřadnicích. V tomto případě máme parametrické rovnice linky x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, kde se jako parametr bere polární úhel φ . Protože

pak vzorec vyjadřující délku oblouku úsečky ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) v polárních souřadnicích, má tvar

Objem těla

Najdeme objem tělesa, pokud je známa plocha libovolného průřezu tohoto tělesa kolmého k určitému směru.

Rozdělme toto těleso na elementární vrstvy rovinami kolmými k ose Vůl a definované rovnicemi x=konst. Pro jakékoli pevné x∈ známá oblast S=S(x) průřez dané tělo.

Elementární vrstva odříznutá rovinami x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 = a, x n = b), nahraďte jej válcem s výškou Δx k =x k -x k-1 a základní oblast S(ξ k), ξ k ∈.

Objem naznačeného elementárního válce je vyjádřen vzorcem Δv k =E(ξ k)Δx k. Pojďme si všechny takové produkty shrnout

což je integrální součet pro danou funkci S=S(x) na segmentu [ a, b]. Vyjadřuje objem stupňovitého tělesa sestávajícího z elementárních válců a přibližně toto těleso nahrazující.

Objem daného tělesa je mez objemu zadaného stupňovitého tělesa při λ→0 , Kde λ - délka největšího ze základních segmentů Δxk. Označme podle PROTI objem daného tělesa, pak podle definice

Na druhé straně,

Tedy objem tělesa dle daného průřezy vypočítané podle vzorce

Jestliže těleso vzniká rotací kolem osy Vůl zakřivený lichoběžník ohraničený nahoře obloukem souvislé linie y=f(x), Kde a≤x≤b, Že S(x)=πf 2 (x) a poslední vzorec má tvar:

Komentář. Objem tělesa získaný rotací zakřiveného lichoběžníku ohraničeného zprava grafem funkce x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), kolem osy Oj vypočítané podle vzorce

Plocha rotace

Uvažujme povrch získaný otáčením oblouku přímky y=f(x) (a≤x≤b) kolem osy Vůl(předpokládejme, že funkce y=f(x) má spojitou derivaci). Oprava hodnoty x∈, dáme přírůstek argumentu funkce dx, což odpovídá „elementárnímu prstenci“ získanému rotací elementárního oblouku Al. Nahrazme tento „prstenec“ válcovým prstencem – bočním povrchem tělesa tvořeným rotací obdélníku se základnou rovnou diferenciálu oblouku dl, a výška h=f(x). Odstřižením posledního kroužku a jeho rozložením získáme pruh o šířce dl a délka 2πy, Kde y=f(x).

Proto je rozdíl povrchové plochy vyjádřen vzorcem

Tento vzorec vyjadřuje plochu povrchu získanou rotací oblouku přímky y=f(x) (a≤x≤b) kolem osy Vůl.