Domov Potažený jazyk Figura ohraničená čarami se otáčí kolem osy. Jak vypočítat objem rotačního tělesa

Potažený jazyk

Figura ohraničená čarami se otáčí kolem osy. Jak vypočítat objem rotačního tělesa

Objem rotačního tělesa lze vypočítat pomocí vzorce:

Ve vzorci musí být číslo přítomno před integrálem. Tak se stalo – vše, co se v životě točí, je spojeno s touto konstantou.

Myslím, že je snadné uhodnout, jak nastavit limity integrace „a“ a „být“ z dokončeného výkresu.

Funkce... co je to za funkci? Podívejme se na nákres. Plochý obrazec je v horní části ohraničen grafem paraboly. Toto je funkce, která je zahrnuta ve vzorci.

V praktických úlohách může být plochá postava někdy umístěna pod osou. To nic nemění - integrand ve vzorci je na druhou: tedy integrál je vždy nezáporný , což je velmi logické.

Vypočítejme objem rotačního tělesa pomocí tohoto vzorce:

Jak jsem již poznamenal, integrál se téměř vždy ukáže jako jednoduchý, hlavní věcí je být opatrný.

Odpovědět:

Ve své odpovědi musíte uvést rozměr - kubické jednotky. To znamená, že v našem rotačním těle je přibližně 3,35 „kostek“. Proč krychlový Jednotky? Protože nejuniverzálnější formulace. Mohou tam být kubické centimetry, mohou tam být kubické metry, mohou tam být kubické kilometry atd., tolik zelených mužíčků dokáže vaše fantazie vložit do létajícího talíře.

Příklad 2

Najděte objem těla, vzniklé rotací kolem osy figury, ohraničené čarami,

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí. Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.

Uvažujme dva složitější problémy, se kterými se v praxi také často setkáváme.

Příklad 3

Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy úsečky obrazce ohraničeného přímkami ,, a

Řešení: Znázorněme na výkrese plochý obrazec ohraničený úsečkami ,,,, aniž bychom zapomněli, že rovnice definuje osu:

Požadovaná postava je vystínována modře. Když se otočí kolem své osy, ukáže se, že je to neskutečná kobliha se čtyřmi rohy.

Vypočítejme objem rotačního tělesa jako rozdíl v objemech těles.

Nejprve se podívejme na červeně zakroužkovanou postavu. Když se otáčí kolem osy, získá se komolý kužel. Označme objem tohoto komolého kužele pomocí.

Zvažte obrázek, který je zakroužkovaný zelená. Pokud tuto postavu otočíte kolem osy, získáte také komolý kužel, jen o něco menší. Označme jeho objem podle.

A je zřejmé, že rozdíl v objemech je přesně objemem naší „koblihy“.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa používáme standardní vzorec:

1) Červeně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

2) Zeleně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

3) Objem požadovaného rotačního tělesa:

Odpovědět:

Je zvláštní, že v v tomto případěřešení lze zkontrolovat pomocí školního vzorce pro výpočet objemu komolého kužele.

Samotné rozhodnutí je často psáno stručněji, asi takto:

Nyní si trochu odpočineme a povíme si o geometrických iluzích.

Lidé mají často se svazky spojené iluze, čehož si v knize všiml i Perelman (další). Zábavná geometrie. Podívejte se na plochý obrazec v řešeném problému - zdá se, že má malou plochu a objem rotačního tělesa je něco málo přes 50 krychlových jednotek, což se zdá příliš velké. Mimochodem, průměrný člověk vypije za celý život ekvivalent místnosti 18 metrů čtverečních tekutiny, což se mu naopak zdá příliš malý objem.

Obecně vzato byl vzdělávací systém v SSSR skutečně nejlepší. Stejná kniha od Perelmana, vydaná již v roce 1950, velmi dobře rozvíjí, jak řekl humorista, myšlení a učí vás hledat originální, nestandardní řešení problémů. Nedávno jsem si s velkým zájmem přečetl některé kapitoly znovu, doporučuji, je to dostupné i pro humanisty. Ne, nemusíte se usmívat, že jsem nabídl volno, erudice a široké obzory v komunikaci jsou skvělá věc.

Po lyrické odbočce je jen vhodné vyřešit kreativní úkol:

Příklad 4

Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy plochého útvaru ohraničeného úsečkami,, kde.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Upozorňujeme, že všechny případy se vyskytují v pásmu, jinými slovy, hotové limity integrace jsou vlastně dané. Nakreslete správně grafy goniometrických funkcí, dovolte mi připomenout látku z lekce o geometrické transformace grafů : pokud je argument dělen dvěma: , pak se grafy protáhnou podél osy dvakrát. Je vhodné najít alespoň 3-4 body podle trigonometrických tabulek pro přesnější dokončení výkresu. Úplné řešení a odpověď na konci lekce. Mimochodem, úkol lze vyřešit racionálně a ne příliš racionálně.

Stejně jako u problému s hledáním oblasti potřebujete sebevědomé dovednosti kreslení - to je téměř nejdůležitější věc (protože samotné integrály budou často snadné). Můžete ovládat kompetentní a rychlé techniky mapování pomocí učební materiály a Geometrické transformace grafů. Ale ve skutečnosti jsem o důležitosti kresby mluvil již několikrát ve třídě.

Obecně platí, že v integrálním počtu existuje mnoho zajímavých aplikací určitý integrál můžete vypočítat plochu obrázku, objem rotačního tělesa, délku oblouku, plochu rotace a mnoho dalšího. Takže to bude zábava, buďte prosím optimističtí!

Představte si nějakou plochou postavu v souřadnicové rovině. Představeno? ... zajímalo by mě, kdo co prezentoval... =))) Už jsme našli jeho areál. Ale kromě toho lze toto číslo také otáčet a otáčet dvěma způsoby:

– kolem osy x;
– kolem svislé osy.

Tento článek bude zkoumat oba případy. Zajímavý je především druhý způsob rotace, který působí nejvíce potíží, ale ve skutečnosti je řešení téměř stejné jako u běžnější rotace kolem osy x. Jako bonus se vrátím problém najít oblast obrázku, a řeknu vám, jak najít oblast druhým způsobem - podél osy. Není to ani tak bonus, protože materiál dobře zapadá do tématu.

Začněme nejoblíbenějším typem rotace.

plochá postava kolem osy

Příklad 1

Vypočítejte objem tělesa získaného otáčením obrazce ohraničeného přímkami kolem osy.

Řešení: Stejně jako v případě problému hledání oblasti, řešení začíná kresbou plochá postava . To znamená, že v rovině je nutné sestrojit obrazec ohraničený úsečkami a nezapomeňte, že rovnice určuje osu. Jak efektivněji a rychleji dokončit kresbu najdete na stránkách Grafy a vlastnosti elementárních funkcí A Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku. Toto je čínská připomínka a tak dále momentálně Už nepřestávám.

Nákres je zde celkem jednoduchý:

Požadovaná plochá postava je vystínována modře, je to ta, která se otáčí kolem osy, výsledkem rotace je mírně vejčitý létající talíř, který je symetrický kolem osy. Ve skutečnosti má tělo matematický název, ale jsem příliš líný něco objasňovat v referenční knize, takže pokračujeme.

Jak vypočítat objem rotačního tělesa?

Objem rotačního tělesa lze vypočítat pomocí vzorce:

Ve vzorci musí být číslo přítomno před integrálem. Tak se stalo – vše, co se v životě točí, je spojeno s touto konstantou.

Myslím, že je snadné uhodnout, jak nastavit limity integrace „a“ a „být“ z dokončeného výkresu.

Funkce... co je to za funkci? Podívejme se na nákres. Rovinný obrazec je ohraničen grafem paraboly nahoře. Toto je funkce, která je zahrnuta ve vzorci.

V praktických úlohách může být plochá postava někdy umístěna pod osou. To nic nemění - integrand ve vzorci je na druhou: , tedy integrál je vždy nezáporný, což je velmi logické.

Vypočítejme objem rotačního tělesa pomocí tento vzorec:

Jak jsem již poznamenal, integrál se téměř vždy ukáže jako jednoduchý, hlavní věcí je být opatrný.

Odpovědět:

Příklad 2

Najděte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy obrazce ohraničeného úsečkami , ,

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Uvažujme dva složitější problémy, se kterými se v praxi také často setkáváme.

Příklad 3

Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy úsečky obrazce ohraničeného přímkami , , a

Řešení: Znázorněme na výkresu plochý obrazec ohraničený úsečkami , , , , aniž bychom zapomněli, že rovnice definuje osu:

Požadovaná postava je vystínována modře. Když se otočí kolem své osy, ukáže se, že je to neskutečná kobliha se čtyřmi rohy.

Vypočítejme objem rotačního tělesa jako rozdíl v objemech těles.

Nejprve se podívejme na červeně zakroužkovanou postavu. Když se otáčí kolem osy, získá se komolý kužel. Označme objem tohoto komolého kužele .

Zvažte postavu, která je zakroužkována zeleně. Pokud tuto postavu otočíte kolem osy, získáte také komolý kužel, jen o něco menší. Označme jeho objem .

A je zřejmé, že rozdíl v objemech je přesně objemem naší „koblihy“.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa používáme standardní vzorec:

1) Červeně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

2) Zeleně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

3) Objem požadovaného rotačního tělesa:

Odpovědět:

Je zvláštní, že v tomto případě lze řešení zkontrolovat pomocí školního vzorce pro výpočet objemu komolého kužele.

Samotné rozhodnutí je často psáno stručněji, asi takto:

Nyní si trochu odpočineme a povíme si o geometrických iluzích.

Obecně vzato byl vzdělávací systém v SSSR skutečně nejlepší. Stejná kniha od Perelmana, vydaná již v roce 1950, velmi dobře rozvíjí, jak řekl humorista, porozumění a učí vás hledat originální nestandardní řešení problémy. Nedávno jsem si s velkým zájmem přečetl některé kapitoly znovu, doporučuji, je to dostupné i pro humanisty. Ne, nemusíte se usmívat, že jsem nabídl volno, erudice a široké obzory v komunikaci jsou skvělá věc.

Po lyrické odbočce je jen vhodné vyřešit kreativní úkol:

Příklad 4

Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy plochého útvaru ohraničeného přímkami , , kde .

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Upozorňujeme, že všechny případy se vyskytují v pásmu, jinými slovy, hotové limity integrace jsou vlastně dané. Kreslit grafy správně goniometrické funkce, dovolte mi připomenout látku lekce o geometrické transformace grafů: pokud je argument dělen dvěma: , pak se grafy protáhnou dvakrát podél osy. Je vhodné najít alespoň 3-4 body podle trigonometrických tabulek pro přesnější dokončení výkresu. Úplné řešení a odpověď na konci lekce. Mimochodem, úkol lze vyřešit racionálně a ne příliš racionálně.

Výpočet objemu tělesa vzniklého rotací
plochá postava kolem osy

Druhý odstavec bude ještě zajímavější než první. Úkol vypočítat objem rotačního tělesa kolem svislé osy je také poměrně častým hostem v testy. Po cestě to bude zvažováno problém najít oblast obrázku druhou metodou je integrace podél osy, což vám umožní nejen zlepšit své dovednosti, ale také vás naučí najít nejziskovější cestu řešení. V tom je i praktický smysl života! Jak s úsměvem vzpomínala moje učitelka metod výuky matematiky, mnoho absolventů jí děkovalo slovy: „Váš předmět nám hodně pomohl, nyní jsme efektivní manažeři a optimálně řídíme zaměstnance.“ Při této příležitosti jí také vyjadřuji své velké poděkování, zejména proto, že získané znalosti využívám k zamýšlenému účelu =).

Doporučuji všem, i úplným blbcům. Navíc materiál získaný ve druhém odstavci poskytne neocenitelnou pomoc při výpočtu dvojných integrálů.

Příklad 5

Vzhledem k ploché postavě ohraničené čarami , , .

1) Najděte plochu ploché postavy ohraničenou těmito čarami.
2) Najděte objem tělesa získaný otočením plochého obrazce ohraničeného těmito čarami kolem osy.

Pozornost! I když si chcete přečíst pouze druhý bod, nejprve Nezbytně přečtěte si první!

Řešení: Úloha se skládá ze dvou částí. Začněme náměstím.

1) Udělejme obrázek:

Je snadné vidět, že funkce určuje horní větev paraboly a funkce určuje spodní větev paraboly. Před námi je triviální parabola, která „leží na boku“.

Požadovaná postava, jejíž oblast se nachází, je zastíněna modře.

Jak zjistit plochu obrázku? Lze jej nalézt „obvyklým“ způsobem, který byl probírán ve třídě Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku. Kromě toho se plocha obrázku zjistí jako součet oblastí:
- na segmentu ;
- na segmentu.

Proto:

Proč je v tomto případě obvyklé řešení špatné? Nejprve jsme dostali dva integrály. Za druhé, integrály jsou kořeny a odmocniny v integrálech nejsou dar, a kromě toho se můžete zmást při dosazování hranic integrace. Ve skutečnosti integrály samozřejmě nejsou zabijácké, ale v praxi může být vše mnohem smutnější, jen jsem pro problém vybral „lepší“ funkce.

Existuje racionálnější řešení: spočívá v přepnutí na inverzní funkce a integraci podél osy.

Jak se dostat k inverzním funkcím? Zhruba řečeno, musíte vyjádřit „x“ až „y“. Nejprve se podívejme na parabolu:

To stačí, ale ujistěte se, že stejnou funkci lze odvodit z nižší větve:

S přímkou je to jednodušší:

Nyní se podívejte na osu: pravidelně naklánějte hlavu o 90 stupňů doprava, jak vysvětlujete (toto není vtip!). Potřebný obrázek leží na segmentu, který je označen červenou tečkovanou čarou. V tomto případě je na segmentu přímka umístěna nad parabolou, což znamená, že oblast obrázku by měla být nalezena pomocí vzorce, který je vám již známý: . Co se ve formuli změnilo? Jen dopis a nic víc.

! Poznámka: Měly by být nastaveny limity integrace podél osy přísně zdola nahoru!

Hledání oblasti:

V segmentu tedy:

Všimněte si prosím, jak jsem provedl integraci, je to nejracionálnější způsob a v dalším odstavci úkolu bude jasné proč.

Pro čtenáře, kteří pochybují o správnosti integrace, najdu odvozeniny:

Získá se původní funkce integrand, což znamená, že integrace byla provedena správně.

Odpovědět:

2) Vypočítejme objem tělesa vzniklého rotací tohoto obrazce kolem osy.

Kresbu překreslím do trochu jiného designu:

Modře vystínovaný obrázek se tedy otáčí kolem osy. Výsledkem je „vznášející se motýl“, který se otáčí kolem své osy.

Abychom našli objem rotačního tělesa, provedeme integraci podél osy. Nejprve musíme přejít k inverzním funkcím. To již bylo provedeno a podrobně popsáno v předchozím odstavci.

Nyní znovu nakloníme hlavu doprava a studujeme naši postavu. Je zřejmé, že objem rotačního tělesa by měl být nalezen jako rozdíl v objemech.

Červeně zakroužkovanou postavu otáčíme kolem osy, čímž vznikne komolý kužel. Označme tento svazek .

Zeleně zakroužkovaný obrazec otočíme kolem osy a označíme objemem výsledného rotačního tělesa.

Objem našeho motýla se rovná rozdílu objemů.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa použijeme vzorec:

Jaký je rozdíl od vzorce v předchozím odstavci? Pouze v dopise.

Výhoda integrace, o které jsem nedávno mluvil, se ale hledá mnohem snadněji , spíše než nejprve zvýšit integrand na 4. mocninu.

Odpovědět:

Ne však nemocný motýl.

Vezměte prosím na vědomí, že pokud se stejná plochá postava otočí kolem osy, získáte zcela jiné rotační tělo s jiným objemem, přirozeně.

Příklad 6

Daný plochý obrazec ohraničený čarami a osou.

1) Přejděte na inverzní funkce a najděte oblast rovinného obrazce ohraničenou těmito čarami integrací přes proměnnou.
2) Vypočítejte objem tělesa získaného otočením plochého útvaru ohraničeného těmito přímkami kolem osy.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Zájemci mohou také najít plochu figury „obvyklým“ způsobem, a tím zkontrolovat bod 1). Pokud ale, opakuji, otočíte plochou postavu kolem osy, dostanete úplně jiné rotační tělo s jiným objemem, mimochodem správnou odpověď (i pro ty, kteří rádi řeší problémy).

Kompletní řešení dvou navržených bodů úlohy je na konci lekce.

Ano, a nezapomeňte naklonit hlavu doprava, abyste pochopili rotační těla a limity integrace!

Jak vypočítat objem rotačního tělesa pomocí určitého integrálu?

kromě nalezení plochy rovinného obrazce pomocí určitého integrálu nejdůležitější aplikace tématu je výpočet objemu rotačního tělesa. Materiál je jednoduchý, ale čtenář musí být připraven: musíte umět řešit neurčité integrály střední složitost a aplikujte Newton-Leibnizův vzorec určitý integrál . Stejně jako u problému s hledáním oblasti potřebujete sebevědomé dovednosti kreslení - to je téměř nejdůležitější věc (protože samotné integrály budou často snadné). Pomocí metodického materiálu můžete ovládat kompetentní a rychlé techniky mapování . Ale ve skutečnosti jsem o důležitosti kresby mluvil již několikrát ve třídě. .

Obecně existuje mnoho zajímavých aplikací v integrálním počtu; pomocí určitého integrálu můžete vypočítat plochu obrázku, objem rotačního těla, délku oblouku, povrchovou plochu tělo a mnoho dalšího. Takže to bude zábava, buďte prosím optimističtí!

– kolem osy x; – kolem svislé osy.

Tento článek bude zkoumat oba případy. Zajímavý je především druhý způsob rotace, který působí nejvíce potíží, ale ve skutečnosti je řešení téměř stejné jako u běžnější rotace kolem osy x. Jako bonus se vrátím problém najít oblast obrázku , a řeknu vám, jak najít oblast druhým způsobem - podél osy. Není to ani tak bonus, protože materiál dobře zapadá do tématu.

Začněme nejoblíbenějším typem rotace.

Příklad 1

Vypočítejte objem tělesa získaného otáčením obrazce ohraničeného přímkami kolem osy.

Řešení: Stejně jako v případě problému hledání oblasti, řešení začíná kresbou ploché postavy. To znamená, že na rovině je nutné sestrojit obrazec ohraničený úsečkami a nezapomeňte, že rovnice definuje osu. Jak efektivněji a rychleji dokončit kresbu najdete na stránkách Grafy a vlastnosti elementárních funkcí A Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku . Toto je čínská připomínka a na tomto místě se nebudu dále zdržovat.

Nákres je zde poměrně jednoduchý:

Požadovaná plochá postava je vystínována modře, je to ta, která se otáčí kolem osy. V důsledku rotace je výsledkem mírně vejčitý létající talíř, který je symetrický kolem osy. Ve skutečnosti má tělo matematický název, ale jsem příliš líný hledat v referenční knize, takže pokračujeme.

Jak vypočítat objem rotačního tělesa?

Objem rotačního tělesa lze vypočítat pomocí vzorce:

Ve vzorci musí být číslo přítomno před integrálem. Tak se stalo – vše, co se v životě točí, je spojeno s touto konstantou.

Myslím, že je snadné uhodnout, jak nastavit limity integrace „a“ a „být“ z dokončeného výkresu.

Funkce... co je to za funkci? Podívejme se na nákres. Plochý obrazec je v horní části ohraničen grafem paraboly. Toto je funkce, která je zahrnuta ve vzorci.

V praktických úlohách může být plochá postava někdy umístěna pod osou. To nic nemění - funkce ve vzorci je odmocněna: tedy objem rotačního tělesa je vždy nezáporný, což je velmi logické.

Vypočítejme objem rotačního tělesa pomocí tohoto vzorce:

Jak jsem již poznamenal, integrál se téměř vždy ukáže jako jednoduchý, hlavní věcí je být opatrný.

Odpovědět:

Příklad 2

Najděte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy obrazce ohraničeného čarami,

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Uvažujme dva složitější problémy, se kterými se v praxi také často setkáváme.

Příklad 3

Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy úsečky obrazce ohraničeného přímkami ,, a

Řešení: Znázorněme na výkresu plochý obrazec ohraničený čarami ,,,, aniž bychom zapomněli, že rovnice definuje osu:

Požadovaná postava je vystínována modře. Když se otočí kolem své osy, ukáže se, že je to neskutečná kobliha se čtyřmi rohy.

Vypočítejme objem rotačního tělesa jako rozdíl v objemech těles.

Nejprve se podívejme na červeně zakroužkovanou postavu. Když se otáčí kolem osy, získá se komolý kužel. Označme objem tohoto komolého kužele pomocí.

Zvažte postavu, která je zakroužkována zeleně. Pokud tuto postavu otočíte kolem osy, získáte také komolý kužel, jen o něco menší. Označme jeho objem pomocí.

A je zřejmé, že rozdíl v objemech je přesně objemem naší „koblihy“.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa používáme standardní vzorec:

1) Červeně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

2) Zeleně zakroužkovaný obrazec je nahoře ohraničený přímkou, proto:

3) Objem požadovaného rotačního tělesa:

Odpovědět:

Je zvláštní, že v tomto případě lze řešení zkontrolovat pomocí školního vzorce pro výpočet objemu komolého kužele.

Samotné rozhodnutí je často psáno stručněji, asi takto:

Nyní si trochu odpočineme a povíme si o geometrických iluzích.

Lidé mají často se svazky spojené iluze, kterých si v knize všiml Perelman (ne ten). Zábavná geometrie. Podívejte se na plochý obrazec v řešeném problému - zdá se, že má malou plochu a objem rotačního tělesa je něco málo přes 50 krychlových jednotek, což se zdá příliš velké. Mimochodem, průměrný člověk vypije za celý život ekvivalent místnosti 18 metrů čtverečních tekutiny, což se mu naopak zdá příliš malý objem.

Obecně vzato byl vzdělávací systém v SSSR skutečně nejlepší. Stejná kniha od Perelmana, kterou napsal již v roce 1950, velmi dobře rozvíjí, jak řekl humorista, myšlení a učí člověka hledat originální, nestandardní řešení problémů. Nedávno jsem si s velkým zájmem přečetl některé kapitoly znovu, doporučuji, je to dostupné i pro humanisty. Ne, nemusíte se usmívat, že jsem nabídl volno, erudice a široké obzory v komunikaci jsou skvělá věc.

Po lyrické odbočce je jen vhodné vyřešit kreativní úkol:

Příklad 4

Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kolem osy plochého útvaru ohraničeného úsečkami,, kde.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Vezměte prosím na vědomí, že všechny věci se dějí v kapele, jinými slovy jsou dány prakticky hotové limity integrace. Pokuste se také správně nakreslit grafy goniometrických funkcí; pokud je argument rozdělen dvěma: pak jsou grafy protaženy podél osy dvakrát. Pokuste se najít alespoň 3-4 body podle trigonometrických tabulek a přesněji dokončit výkres. Úplné řešení a odpověď na konci lekce. Mimochodem, úkol lze vyřešit racionálně a ne příliš racionálně.

Výpočet objemu tělesa vzniklého rotací plochého útvaru kolem osy

Druhý odstavec bude ještě zajímavější než první. Úkol vypočítat objem rotačního tělesa kolem svislé osy je také poměrně častým hostem při zkušební práci. Po cestě to bude zvažováno problém najít oblast obrázku druhou metodou je integrace podél osy, což vám umožní nejen zlepšit své dovednosti, ale také vás naučí najít nejziskovější cestu řešení. Je v tom i praktický smysl života! Jak s úsměvem vzpomínala moje učitelka metod výuky matematiky, mnoho absolventů jí děkovalo slovy: „Váš předmět nám hodně pomohl, nyní jsme efektivní manažeři a optimálně řídíme zaměstnance.“ Při této příležitosti jí také vyjadřuji své velké poděkování, zejména proto, že získané znalosti využívám k zamýšlenému účelu =).

Příklad 5

Je dána plochá postava ohraničená čarami ,,.

1) Najděte plochu ploché postavy ohraničenou těmito čarami. 2) Najděte objem tělesa získaný otočením plochého obrazce ohraničeného těmito čarami kolem osy.

Pozornost! I když si chcete přečíst pouze druhý bod, nejprve Nezbytně přečtěte si první!

Řešení:Úkol se skládá ze dvou částí. Začněme náměstím.

1) Udělejme obrázek:

Je snadné vidět, že funkce určuje horní větev paraboly a funkce určuje spodní větev paraboly. Před námi je triviální parabola, která „leží na boku“.

Požadovaná postava, jejíž oblast se nachází, je zastíněna modře.

Jak zjistit plochu obrázku? Lze jej nalézt „obvyklým“ způsobem, který byl probírán ve třídě Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku . Kromě toho je plocha obrázku nalezena jako součet ploch: - na segmentu ; - na segmentu.

Proto:

Existuje racionálnější řešení: spočívá v přepnutí na inverzní funkce a integraci podél osy.

Jak se dostat k inverzním funkcím? Zhruba řečeno, musíte vyjádřit „x“ až „y“. Nejprve se podívejme na parabolu:

To stačí, ale ujistěte se, že stejnou funkci lze odvodit z nižší větve:

S přímkou je to jednodušší:

Nyní se podívejte na osu: pravidelně naklánějte hlavu o 90 stupňů doprava, jak vysvětlujete (toto není vtip!). Potřebný obrázek leží na segmentu, který je označen červenou tečkovanou čarou. Navíc na segmentu je přímka umístěna nad parabolou, což znamená, že oblast obrázku by měla být nalezena pomocí vzorce, který je vám již známý: . Co se ve formuli změnilo? Jen dopis a nic víc.

! Poznámka: Měly by být nastaveny integrační limity podél osypřísně zdola nahoru !

Hledání oblasti:

V segmentu tedy:

Všimněte si prosím, jak jsem provedl integraci, je to nejracionálnější způsob a v dalším odstavci úkolu bude jasné proč.

Pro čtenáře, kteří pochybují o správnosti integrace, najdu odvozeniny:

Získá se původní funkce integrand, což znamená, že integrace byla provedena správně.

Odpovědět:

2) Vypočítejme objem tělesa vzniklého rotací tohoto obrazce kolem osy.

Kresbu překreslím do trochu jiného designu:

Modře vystínovaný obrázek se tedy otáčí kolem osy. Výsledkem je „vznášející se motýl“, který se otáčí kolem své osy.

Abychom našli objem rotačního tělesa, provedeme integraci podél osy. Nejprve musíme přejít k inverzním funkcím. To již bylo provedeno a podrobně popsáno v předchozím odstavci.

Nyní znovu nakloníme hlavu doprava a studujeme naši postavu. Je zřejmé, že objem rotačního tělesa by měl být nalezen jako rozdíl v objemech.

Červeně zakroužkovanou postavu otáčíme kolem osy, čímž vznikne komolý kužel. Označme tento svazek pomocí.

Zeleně zakroužkovaný obrazec otáčíme kolem osy a značíme objemem výsledného rotačního tělesa.

Objem našeho motýla se rovná rozdílu objemů.

Pro zjištění objemu rotačního tělesa použijeme vzorec:

Jaký je rozdíl od vzorce v předchozím odstavci? Pouze v dopise.

Výhoda integrace, o které jsem nedávno mluvil, se ale hledá mnohem snadněji , spíše než nejprve zvýšit integrand na 4. mocninu.

Typ lekce: kombinovaná.

Účel lekce: naučit se počítat objemy rotačních těles pomocí integrálů.

úkoly:

upevnit schopnost identifikovat křivočaré lichoběžníky z řady geometrických obrazců a rozvíjet dovednost počítání ploch křivočarých lichoběžníků;
seznámit se s pojmem trojrozměrný obrazec;
naučit se vypočítat objemy rotačních těles;
podporovat rozvoj logického myšlení, kompetentní matematické řeči, přesnost při sestavování výkresů;
pěstovat zájem o předmět, pracovat s matematickými pojmy a obrazy, pěstovat vůli, samostatnost a vytrvalost při dosahování konečného výsledku.

Během vyučování

I. Organizační moment.

Zdravíme ze skupiny. Sdělte studentům cíle lekce.

Odraz. Klidná melodie.

– Dnešní lekci bych rád začal podobenstvím. „Žil jednou jeden moudrý muž, který věděl všechno. Jeden muž chtěl dokázat, že mudrc neví všechno. Držel motýla v dlaních a zeptal se: "Pověz mi, mudrci, který motýl je v mých rukou: mrtvý nebo živý?" A on sám si myslí: „Řekne-li ta živá, zabiju ji, a mrtvý řekne, propustím ji. Mudrc po přemýšlení odpověděl: "Vše ve vašich rukou". (Prezentace.Skluzavka)

– Pracujme tedy dnes plodně, získávejme novou zásobárnu vědomostí a nabyté dovednosti a schopnosti uplatníme v budoucím životě i v praktických činnostech. "Vše ve vašich rukou".

II. Opakování dříve probrané látky.

– Připomeňme si hlavní body dříve prostudované látky. Chcete-li to provést, dokončeme úkol "Odstraň to slovo navíc."(Skluzavka.)

(Student přejde do I.D. pomocí gumy odstraní přebytečné slovo.)

- Že jo "Rozdíl". Zkuste zbývající slova pojmenovat jedním společným slovem. (Integrovaný počet.)

– Připomeňme si hlavní fáze a pojmy spojené s integrálním počtem..

"Matematická parta".

Cvičení. Obnovte mezery. (Žák vystoupí a zapíše požadovaná slova perem.)

– Abstrakt o aplikaci integrálů uslyšíme později.

Práce v sešitech.

– Newtonův-Leibnizův vzorec odvodili anglický fyzik Isaac Newton (1643–1727) a německý filozof Gottfried Leibniz (1646–1716). A to není překvapivé, protože matematika je jazyk, kterým mluví sama příroda.

– Zvažme při řešení jak praktické úkoly tento vzorec se používá.

Příklad 1: Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami

Řešení: Sestavme grafy funkcí na souřadnicové rovině . Vyberme oblast obrázku, kterou je třeba najít.

III. Učení nového materiálu.

– Věnujte pozornost obrazovce. Co je zobrazeno na prvním obrázku? (Skluzavka) (Obrázek ukazuje plochý obrázek.)

– Co je zobrazeno na druhém obrázku? Je toto číslo ploché? (Skluzavka) (Obrázek ukazuje trojrozměrný obrázek.)

– Ve vesmíru, na zemi i uvnitř Každodenní život Setkáváme se nejen s plochými postavami, ale i s trojrozměrnými, ale jak můžeme vypočítat objem takových těles? Například objem planety, komety, meteoritu atd.

– Lidé myslí na objem jak při stavbě domů, tak při přelévání vody z jedné nádoby do druhé. Musela se objevit pravidla a techniky pro výpočet objemů, druhá věc je, jak přesné a rozumné byly.

Zpráva od studenta. (Tyurina Vera.)

Rok 1612 byl pro obyvatele rakouského Lince, kde žil slavný astronom Johannes Kepler, velmi plodný zejména na hrozny. Lidé připravovali sudy na víno a chtěli vědět, jak prakticky určit jejich objemy. (Snímek 2)

– Uvažovaná Keplerova díla tak položila základ celému proudu bádání, který vyvrcholil v poslední čtvrtině 17. století. design v dílech I. Newtona a G.V. Leibniz diferenciálního a integrálního počtu. Od té doby zaujala matematika proměnných přední místo v systému matematických znalostí.

– Dnes se vy a já zapojíme do takových praktických činností, proto

Téma naší lekce: „Výpočet objemů rotačních těles pomocí určitého integrálu“. (Skluzavka)

– Definici rotačního tělesa se naučíte splněním následujícího úkolu.

"Labyrint".

Labyrint (řecké slovo) znamená jít do podzemí. Labyrint je spletitá síť cest, průchodů a propojených místností.

Ale definice byla „rozbitá“ a zanechávala náznaky ve formě šipek.

Cvičení. Najděte východisko z nepřehledné situace a zapište si definici.

Skluzavka. „Mapový pokyn“ Výpočet objemů.

Pomocí určitého integrálu můžete vypočítat objem konkrétního tělesa, zejména rotačního tělesa.

Rotační těleso je těleso získané rotací zakřiveného lichoběžníku kolem jeho základny (obr. 1, 2)

Objem rotačního tělesa se vypočítá pomocí jednoho ze vzorců:

1. kolem osy OX.

2. , je-li rotace zakřiveného lichoběžníku kolem osy operačního zesilovače.

Každý žák obdrží kartičku s pokyny. Učitel zdůrazňuje hlavní body.

– Učitel vysvětlí řešení příkladů na tabuli.

Zvažte úryvek z slavná pohádka A. S. Pushkin „Příběh cara Saltana, jeho slavného a mocného hrdiny prince Guidona Saltanoviče a krásné princezny Swan“ (Snímek 4):

…..
A opilý posel přinesl
Ve stejný den je objednávka následující:
"Král přikazuje svým bojarům,
Bez plýtvání časem,
A královna a potomstvo
Tajně hodit do propasti vody."
Nedá se nic dělat: bojaři,
Obavy o panovníka
A mladé královně,
Do její ložnice přišel dav.
Vyhlásili královu vůli -
Ona a její syn mají zlý podíl,
Přečetli jsme dekret nahlas,
A královna ve stejnou hodinu
Dali mě do sudu s mým synem,
Dehtovali a odjeli
A pustili mě do Okiyanu -
To nařídil car Saltan.

Jaký by měl být objem sudu, aby se do něj vešla královna i její syn?

– Zvažte následující úkoly

1. Najděte objem tělesa získaný rotací kolem svislé osy křivočarého lichoběžníku ohraničeného úsečkami: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odpověď: 1163 cm 3 .

Najděte objem tělesa získaný rotací parabolického lichoběžníku kolem osy úsečky y =, x = 4, y = 0.

IV. Upevňování nového materiálu

Příklad 2. Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací okvětního lístku kolem osy x y = x2, y2 = x.

Sestavme grafy funkce. y = x2, y2 = x. Plán y2 = x převést do formuláře y= .

My máme V = V 1 – V 2 Vypočítejme objem každé funkce

– Nyní se podíváme na věž rozhlasové stanice v Moskvě na Šabolovce, postavenou podle projektu pozoruhodného ruského inženýra, čestného akademika V. G. Šuchova. Skládá se z částí - hyperboloidů rotace. Navíc je každý z nich vyroben z rovných kovových tyčí spojujících sousední kruhy (obr. 8, 9).

- Zvažme problém.

Najděte objem tělesa získaný otáčením oblouků hyperboly kolem své pomyslné osy, jak je znázorněno na obr. 8, kde

krychle Jednotky

Skupinové úkoly. Studenti losují úkoly, kreslí kresby na papír Whatman a jeden ze zástupců skupiny práci obhajuje.

1. skupina.

Udeřil! Udeřil! Další rána!
Míč letí do branky - MÍČ!
A tohle je koule melounu
Zelené, kulaté, chutné.
Podívejte se lépe – jaký míč!
Není tvořena ničím jiným než kruhy.
Meloun nakrájíme na kolečka
A ochutnejte je.

Najděte objem tělesa získaný rotací kolem osy OX funkce omezené

Chyba! Záložka není definována.

– Prosím, řekněte mi, kde se s touto postavou setkáváme?

Dům. úkol pro 1 skupinu. VÁLEC (skluzavka) .

"Válec - co to je?" – zeptal jsem se táty.
Otec se zasmál: Cylindr je klobouk.
Abyste měli správnou představu,
Válec, řekněme, je plechovka.
Potrubí parníku - válec,
Potrubí na naší střeše taky,

Všechny trubky jsou podobné válci.
A dal jsem takový příklad -
Kaleidoskop Moje láska,
Nemůžeš z něj spustit oči,
A také vypadá jako válec.

- Cvičení. Domácí práce graf funkce a výpočet objemu.

2. skupina. KUŽEL (skluzavka).

Máma řekla: A teď
Můj příběh bude o kuželu.
Hvězdář ve vysokém klobouku
Počítá hvězdy po celý rok.
KUŽEL - klobouk hvězdáře.
Takový je. Rozuměl? A je to.
Máma stála u stolu,
Nalil jsem olej do lahví.
-Kde je trychtýř? Žádný trychtýř.
Hledej to. Nestůjte stranou.
- Mami, já neustoupím.
Řekněte nám více o kuželu.
– Nálevka má tvar kužele konve.
Pojď, rychle mi ji najdi.
Nemohl jsem najít trychtýř
Ale máma udělala tašku,
Omotal jsem si karton kolem prstu
A šikovně ho zajistila kancelářskou sponkou.
Olej teče, máma je šťastná,
Kužel vyšel tak akorát.

Cvičení. Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy úsečky

Dům. úkol pro 2. skupinu. PYRAMIDA(skluzavka).

Viděl jsem obrázek. Na tomto obrázku
V písečné poušti je PYRAMIDA.
Všechno v pyramidě je mimořádné,
Je v tom jakési tajemno a tajemno.
A Spasská věž na Rudém náměstí
Je to velmi známé dětem i dospělým.
Když se podíváte na věž, vypadá obyčejně,
Co je na ní? Pyramida!

Cvičení. Domácí úkol: znázorněte graf funkce a vypočítejte objem jehlanu

– Vypočítali jsme objemy různých těles na základě základního vzorce pro objemy těles pomocí integrálu.

Toto je další potvrzení, že určitý integrál je určitým základem pro studium matematiky.

- No, teď si trochu odpočineme.

Najděte pár.

Hraje matematická domino melodie.

"Cesta, kterou jsem sám hledal, nebude nikdy zapomenuta..."

Výzkumná práce. Aplikace integrálu v ekonomii a technice.

Testy pro silné studenty a matematický fotbal.

Simulátor matematiky.

2. Zavolá se množina všech primitivních funkcí dané funkce

A) neurčitý integrál,

B) funkce,

B) diferenciace.

7. Najděte objem tělesa získaný rotací kolem osy úsečky křivočarého lichoběžníku ohraničeného úsečkami:

D/Z. Vypočítejte objemy rotačních těles.

Odraz.

Příjem odrazu ve formě syncwine(pět řádků).

1. řádek – název tématu (jedno podstatné jméno).

2. řádek – popis tématu dvěma slovy, dvěma přídavnými jmény.

3. řádek – popis akce v rámci tohoto tématu ve třech slovech.

4. řádek je fráze o čtyřech slovech, která ukazuje postoj k tématu (celá věta).

5. řádek je synonymem, které opakuje podstatu tématu.

Hlasitost.
Určitý integrál, integrovatelná funkce.
Stavíme, točíme, počítáme.
Těleso získané otáčením zakřiveného lichoběžníku (kolem jeho základny).
Rotační těleso (objemové geometrické těleso).

Závěr (skluzavka).

Určitý integrál je určitým základem pro studium matematiky, který nenahraditelně přispívá k řešení praktických problémů.
Téma „Integrál“ názorně demonstruje propojení matematiky a fyziky, biologie, ekonomie a techniky.
Rozvoj moderní věda je nemyslitelné bez použití integrálu. V tomto ohledu je nutné zahájit jeho studium v rámci středního odborného vzdělání!

Klasifikace. (S komentářem.)

Velký Omar Khayyam - matematik, básník, filozof. Povzbuzuje nás, abychom byli pány svého osudu. Poslechněme si ukázku z jeho díla:

Řeknete si, tenhle život je jeden okamžik.
Važte si toho, načerpejte z toho inspiraci.
Jak to utratíte, tak to přejde.
Nezapomeňte: ona je vaším výtvorem.