Myslím, že bychom měli začít historií tak slavného matematického nástroje, jakým jsou diferenciální rovnice. Stejně jako všechny diferenciální a integrální počty byly tyto rovnice vynalezeny Newtonem na konci 17. století. Tento svůj objev považoval za tak důležitý, že dokonce zašifroval zprávu, kterou lze dnes přeložit asi takto: „Všechny přírodní zákony jsou popsány diferenciálními rovnicemi“. Může se to zdát jako přehnané, ale je to tak. Těmito rovnicemi lze popsat jakýkoli zákon fyziky, chemie, biologie.

K rozvoji a vytvoření teorie diferenciálních rovnic obrovským způsobem přispěli matematici Euler a Lagrange. Již v 18. století objevili a rozvinuli to, co nyní studují na vyšších univerzitních kurzech.

Nový milník ve studiu diferenciálních rovnic začal díky Henri Poincaré. Vytvořil „kvalitativní teorii diferenciálních rovnic“, která ve spojení s teorií funkcí komplexní proměnné významně přispěla k založení topologie – vědy o prostoru a jeho vlastnostech.

Co jsou diferenciální rovnice?

Mnoho lidí se bojí jedné fráze, v tomto článku si však podrobně nastíníme celou podstatu tohoto velmi užitečného matematického aparátu, který vlastně není tak složitý, jak se z názvu zdá. Abyste mohli začít mluvit o diferenciálních rovnicích prvního řádu, měli byste se nejprve seznámit se základními pojmy, které jsou s touto definicí neodmyslitelně spojeny. A začneme u diferenciálu.

Rozdíl

Mnoho lidí tento pojem zná již ze školy. Nicméně pojďme se na to podívat blíže. Představte si graf funkce. Můžeme ji zvětšit do takové míry, že jakýkoli její segment bude mít podobu přímky. Vezměme na něm dva body, které jsou nekonečně blízko sebe. Rozdíl mezi jejich souřadnicemi (x nebo y) bude nekonečně malý. Nazývá se diferenciál a značí se znaky dy (diferenciál y) a dx (diferenciál x). Je velmi důležité pochopit, že diferenciál není konečná veličina, a to je jeho význam a hlavní funkce.

Nyní musíme uvažovat o dalším prvku, který se nám bude hodit při vysvětlení pojmu diferenciální rovnice. Toto je odvozenina.

Derivát

Tento pojem jsme asi všichni slyšeli ve škole. O derivaci se říká, že je to rychlost, kterou se funkce zvyšuje nebo snižuje. Z této definice se však mnohé stává nejasným. Zkusme vysvětlit derivaci pomocí diferenciálů. Vraťme se k infinitezimálnímu segmentu funkce se dvěma body, které jsou od sebe v minimální vzdálenosti. Ale i na tuto vzdálenost se funkce dokáže o určitou hodnotu změnit. A k popisu této změny přišli s derivací, kterou lze jinak zapsat jako poměr diferenciálů: f(x)"=df/dx.

Nyní stojí za to zvážit základní vlastnosti derivátu. Jsou pouze tři z nich:

1. Derivát součtu nebo rozdílu může být reprezentován jako součet nebo rozdíl derivátů: (a+b)"=a"+b" a (a-b)"=a"-b".
2. Druhá vlastnost souvisí s násobením. Derivace součinu je součtem součinů jedné funkce a derivace jiné: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Derivaci rozdílu lze zapsat jako následující rovnost: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Všechny tyto vlastnosti se nám budou hodit pro hledání řešení diferenciálních rovnic prvního řádu.

Existují také parciální derivace. Řekněme, že máme funkci z, která závisí na proměnných x a y. Abychom vypočítali parciální derivaci této funkce, řekněme vzhledem k x, musíme vzít proměnnou y jako konstantu a jednoduše derivovat.

Integrální

Další důležitý pojem je integrální. Ve skutečnosti jde o přesný opak derivátu. Existuje několik typů integrálů, ale k řešení nejjednodušších diferenciálních rovnic potřebujeme ty nejtriviálnější

Řekněme tedy, že máme nějakou závislost f na x. Vezmeme z něj integrál a dostaneme funkci F(x) (často nazývanou primitivní), jejíž derivace je rovna původní funkci. Tedy F(x)"=f(x). Z toho také vyplývá, že integrál derivace je roven původní funkci.

Při řešení diferenciálních rovnic je velmi důležité porozumět významu a funkci integrálu, protože je budete muset brát velmi často, abyste našli řešení.

Rovnice se liší v závislosti na jejich povaze. V další části se podíváme na typy diferenciálních rovnic prvního řádu a poté se naučíme, jak je řešit.

Třídy diferenciálních rovnic

"Diffurs" se dělí podle pořadí derivátů, které se v nich podílejí. Existuje tedy první, druhý, třetí a další řád. Mohou být také rozděleny do několika tříd: obyčejné a parciální derivace.

V tomto článku se podíváme na obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu. V následujících částech si také probereme příklady a způsoby jejich řešení. Budeme uvažovat pouze ODR, protože to jsou nejběžnější typy rovnic. Obyčejné se dělí na poddruhy: s oddělitelnými proměnnými, homogenní a heterogenní. Dále se dozvíte, jak se od sebe liší a naučíte se je řešit.

Tyto rovnice lze navíc kombinovat tak, že se dostaneme k soustavě diferenciálních rovnic prvního řádu. Budeme také uvažovat o takových systémech a naučíme se, jak je řešit.

Proč zvažujeme pouze první objednávku? Protože je potřeba začít něčím jednoduchým a popsat v jednom článku vše, co souvisí s diferenciálními rovnicemi, je prostě nemožné.

Separovatelné rovnice

Toto jsou možná nejjednodušší diferenciální rovnice prvního řádu. Patří mezi ně příklady, které lze napsat takto: y"=f(x)*f(y). K vyřešení této rovnice potřebujeme vzorec pro vyjádření derivace jako poměr diferenciálů: y"=dy/dx. Pomocí něj dostaneme následující rovnici: dy/dx=f(x)*f(y). Nyní můžeme přejít k metodě řešení standardní příklady: rozdělme proměnné na části, tj. vše s proměnnou y přesuneme do části, kde se nachází dy, a totéž udělejme s proměnnou x. Získáme rovnici tvaru: dy/f(y)=f(x)dx, kterou vyřešíme převzetím integrálů z obou stran. Nezapomeňte na konstantu, kterou je potřeba nastavit po sejmutí integrálu.

Řešení jakéhokoli „rozdílu“ je funkcí závislosti x na y (v našem případě) nebo, pokud je přítomna číselná podmínka, pak odpověď ve formě čísla. Podívejme se na celý proces řešení na konkrétním příkladu:

Posuňme proměnné různými směry:

Nyní si vezmeme integrály. Všechny je lze nalézt ve speciální tabulce integrálů. A dostáváme:

ln(y) = -2*cos(x) + C

V případě potřeby můžeme vyjádřit "y" jako funkci "x". Nyní můžeme říci, že naše diferenciální rovnice je vyřešena, pokud podmínka není zadána. Lze zadat podmínku, například y(n/2)=e. Pak jednoduše dosadíme hodnoty těchto proměnných do řešení a najdeme hodnotu konstanty. V našem příkladu je to 1.

Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu

Nyní přejděme k obtížnější části. Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu lze zapsat obecný pohled takto: y"=z(x,y). Je třeba poznamenat, že správnou funkci na dvou proměnných je homogenní a nelze ji rozdělit na dvě závislosti: z na x az na y. Kontrola, zda je rovnice homogenní nebo ne, je poměrně jednoduchá: provedeme náhradu x=k*x a y=k*y. Nyní snížíme všechny k. Pokud jsou všechna tato písmena zmenšena, pak je rovnice homogenní a můžete ji bezpečně začít řešit. Při pohledu dopředu řekněme: princip řešení těchto příkladů je také velmi jednoduchý.

Musíme provést náhradu: y=t(x)*x, kde t je určitá funkce, která také závisí na x. Pak můžeme vyjádřit derivaci: y"=t"(x)*x+t. Nahrazení toho všeho do našeho původní rovnice a když to zjednodušíme, dostaneme příklad se separovatelnými proměnnými t a x. Vyřešíme to a dostaneme závislost t(x). Když jsme jej obdrželi, jednoduše dosadíme y=t(x)*x do našeho předchozího nahrazení. Pak dostaneme závislost y na x.

Aby to bylo jasnější, podívejme se na příklad: x*y"=y-x*e y/x .

Při kontrole s výměnou se vše sníží. To znamená, že rovnice je skutečně homogenní. Nyní provedeme další náhradu, o které jsme mluvili: y=t(x)*x a y"=t"(x)*x+t(x). Po zjednodušení získáme následující rovnici: t"(x)*x=-e t. Výsledný příklad vyřešíme s oddělenými proměnnými a dostaneme: e -t =ln(C*x). Stačí nahradit t s y/x (koneckonců, když y =t*x, pak t=y/x), a dostaneme odpověď: e -y/x =ln(x*C).

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

Je čas podívat se na další široké téma. Budeme analyzovat nehomogenní diferenciální rovnice prvního řádu. Jak se liší od předchozích dvou? Pojďme na to přijít. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu v obecném tvaru lze zapsat takto: y" + g(x)*y=z(x). Je vhodné objasnit, že z(x) a g(x) mohou být konstantní veličiny.

A nyní příklad: y" - y*x=x 2 .

Existují dvě řešení a my se na obě podíváme v pořadí. První je metoda variování libovolných konstant.

Chcete-li rovnici vyřešit tímto způsobem, musíte nejprve vyrovnat pravá strana na nulu a vyřešte výslednou rovnici, která po přenesení dílů bude mít tvar:

ln|y|=x2/2 + C;

y=ex2/2*yC=Ci*ex2/2.

Nyní potřebujeme nahradit konstantu C 1 funkcí v(x), kterou musíme najít.

Nahradíme derivát:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

A dosaďte tyto výrazy do původní rovnice:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Můžete vidět, že na levé straně se dva termíny ruší. Pokud se to v některém příkladu nestalo, udělali jste něco špatně. Pokračujme:

v"*e x2/2 = x 2.

Nyní řešíme obvyklou rovnici, ve které potřebujeme oddělit proměnné:

dv/dx=x2/ex2/2;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Abychom integrál extrahovali, budeme zde muset použít integraci po částech. To však není tématem našeho článku. Pokud máte zájem, můžete se sami naučit, jak takové akce provádět. Není to těžké a při dostatečné zručnosti a pečlivosti to nezabere mnoho času.

Pojďme k druhé metodě řešení nehomogenních rovnic: Bernoulliho metodě. Který přístup je rychlejší a jednodušší, je na vás, abyste se rozhodli.

Takže při řešení rovnice pomocí této metody musíme provést substituci: y=k*n. Zde k a n jsou některé funkce závislé na x. Potom bude derivace vypadat takto: y"=k"*n+k*n". Do rovnice dosadíme obě nahrazení:

k"*n+k*n"+x*k*n=x2.

Seskupení:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Nyní potřebujeme přirovnat k nule to, co je v závorkách. Nyní, když spojíme dvě výsledné rovnice, dostaneme systém diferenciálních rovnic prvního řádu, který je třeba vyřešit:

První rovnost řešíme jako obyčejnou rovnici. Chcete-li to provést, musíte oddělit proměnné:

Vezmeme integrál a dostaneme: ln(n)=x 2 /2. Pak, když vyjádříme n:

Nyní dosadíme výslednou rovnost do druhé rovnice systému:

k"*e x2/2 = x 2.

A transformací získáme stejnou rovnost jako v první metodě:

dk=x2/ex2/2.

Také nebudeme rozebírat další akce. Stojí za zmínku, že zpočátku řešení diferenciálních rovnic prvního řádu způsobuje značné potíže. Jak se však do tématu noříte hlouběji, začíná to vycházet stále lépe.

Kde se používají diferenciální rovnice?

Diferenciální rovnice se ve fyzice používají velmi aktivně, protože jsou zapsány téměř všechny základní zákony rozdílová forma a vzorce, které vidíme, jsou řešením těchto rovnic. V chemii se používají ze stejného důvodu: s jejich pomocí jsou odvozeny základní zákony. V biologii se diferenciální rovnice používají k modelování chování systémů, jako je predátor a kořist. Mohou být také použity k vytvoření reprodukčních modelů, řekněme, kolonie mikroorganismů.

Jak vám mohou diferenciální rovnice pomoci v životě?

Odpověď na tuto otázku je jednoduchá: vůbec ne. Pokud nejste vědec nebo inženýr, je nepravděpodobné, že by pro vás byly užitečné. Nicméně pro obecný vývoj Není na škodu vědět, co je diferenciální rovnice a jak se řeší. A pak otázka syna nebo dcery zní: „Co je to diferenciální rovnice? nebude vás zmást. No, pokud jste vědec nebo inženýr, pak sami chápete důležitost tohoto tématu v jakékoli vědě. Ale nejdůležitější je, že nyní vyvstává otázka "jak vyřešit diferenciální rovnici prvního řádu?" vždy můžete odpovědět. Souhlas, je vždy příjemné, když rozumíte něčemu, čemu se lidé dokonce bojí porozumět.

Hlavní problémy při studiu

Hlavním problémem v pochopení tohoto tématu je špatná dovednost v integraci a diferenciaci funkcí. Pokud jste špatní v přijímání derivací a integrálů, pak to pravděpodobně stojí za to studovat a zvládnout různé metody integrace a diferenciace, a teprve poté začít studovat materiál, který byl popsán v článku.

Někteří lidé jsou překvapeni, když se dozví, že dx lze přenést, protože dříve (ve škole) se uvádělo, že zlomek dy/dx je nedělitelný. Zde si musíte přečíst literaturu o derivaci a pochopit, že jde o poměr nekonečně malých veličin, se kterými lze při řešení rovnic manipulovat.

Mnoho lidí si hned neuvědomí, že řešení diferenciálních rovnic prvního řádu je často funkcí nebo integrálem, který nelze vzít, a tato mylná představa jim dělá spoustu problémů.

Co dalšího můžete studovat pro lepší pochopení?

Další ponoření do světa diferenciálního počtu je nejlepší začít se specializovanými učebnicemi, např. matematická analýza pro studenty nematematických oborů. Poté můžete přejít k odbornější literatuře.

Sluší se říci, že kromě diferenciálních rovnic existují i ​​rovnice integrální, takže vždy budete mít o co usilovat a co studovat.

Závěr

Doufáme, že po přečtení tohoto článku máte představu o tom, co jsou diferenciální rovnice a jak je správně řešit.

Každopádně matematika se nám v životě bude nějakým způsobem hodit. Rozvíjí logiku a pozornost, bez které je každý člověk bez rukou.

Poznámky k přednášce na

diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice

Úvod

Při studiu určitých jevů často nastává situace, kdy proces nelze popsat pomocí rovnice y=f(x) nebo F(x;y)=0. Kromě proměnné x a neznámé funkce vstupuje do rovnice derivace této funkce.

Definice: Zavolá se rovnice spojující proměnnou x, neznámou funkci y(x) a její derivace diferenciální rovnice. Obecně platí, že diferenciální rovnice vypadá takto:

F(x;y(x); ;;...;y (n)) = 0

Definice:Řád diferenciální rovnice je řádem nejvyšší derivace v ní obsažené.

–diferenciální rovnice 1. řádu

–diferenciální rovnice 3. řádu

Definice:Řešením diferenciální rovnice je funkce, která po dosazení do rovnice z ní udělá identitu.

Diferenciální rovnice 1. řádu

Definice: Rovnice formuláře =f(x;y) nebo F(x;y; )=0se nazývá diferenciální rovnice 1. řádu.

Definice: Obecným řešením diferenciální rovnice 1. řádu je funkce y=γ(x;c), kde (c –konst), která ji po dosazení do rovnice změní na identitu. Geometricky v rovině obecné řešení odpovídá rodině integrálních křivek závislých na parametru c.

Definice: Integrální křivka procházející bodem v rovině se souřadnicemi (x 0 ;y 0) odpovídá konkrétnímu řešení diferenciální rovnice splňující počáteční podmínku:

Věta o existenci jednoznačnosti řešení diferenciální rovnice 1. řádu

Je dána diferenciální rovnice 1. řádu
a funkce f(x;y) je spojitá spolu s parciálními derivacemi v nějaké oblasti D roviny XOY, pak přes bod M 0 (x 0 ;y 0) D prochází jedinou křivkou odpovídající konkrétnímu řešení diferenciální rovnice odpovídající počáteční podmínce y(x 0)=y 0

Jedna integrální křivka prochází bodem v rovině s danými souřadnicemi.

Pokud se nemůžete dostat společné rozhodnutí diferenciální rovnice 1. řádu v explicitním tvaru, tzn.
, pak jej lze získat implicitně:

F(x; y; c) =0 – implicitní tvar

Obecné řešení v této podobě se nazývá obecný integrál diferenciální rovnice.

Ve vztahu k diferenciální rovnici 1. řádu jsou nastoleny 2 problémy:

1) Najděte obecné řešení (obecný integrál)

2) Najděte konkrétní řešení (parciální integrál), které splňuje danou počáteční podmínku. Tento problém se nazývá Cauchyho problém pro diferenciální rovnici.

Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými

Rovnice formuláře:
se nazývá diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými.

Pojďme nahradit

vynásobte dx

oddělme proměnné

dělit podle

Poznámka: je třeba zvážit zvláštní případ, kdy

proměnné jsou odděleny

integrujme obě strany rovnice

- společné rozhodnutí

Diferenciální rovnici s oddělitelnými proměnnými lze zapsat jako:

Ojedinělý případ
!

Pojďme integrovat obě strany rovnice:

1)

2)
začátek podmínky:

Homogenní diferenciální rovnice 1. řádu

Definice: Funkce
se nazývá homogenní řádu n, jestliže

Příklad: - homogenní funkce řádun=2

Definice: Zavolá se homogenní funkce řádu 0 homogenní.

Definice: Diferenciální rovnice
se nazývá homogenní jestliže
- homogenní funkce, tzn.

Homogenní diferenciální rovnici lze tedy zapsat takto:

Použití náhrady , kde t je funkcí proměnné x, je homogenní diferenciální rovnice redukována na rovnici se separovatelnými proměnnými.

- dosadit do rovnice

Proměnné oddělené, integrujme obě strany rovnice

Udělejme obrácenou substituci substitucí , získáme obecné řešení v implicitní podobě.

Homogenní diferenciální rovnici lze napsat v diferenciální formě.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, kde M(x;y) a N(x;y) jsou homogenní funkce stejného řádu.

Vydělit dx a vyjádřit

1)

Rovnice prvního řádu ve tvaru a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) se nazývá lineární diferenciální rovnice. Jestliže b(x) ≡ 0, pak se rovnice nazývá homogenní, jinak - heterogenní. Pro lineární diferenciální rovnici má věta o existenci a jednoznačnosti specifičtější podobu.

Účel služby. Pro kontrolu řešení lze použít online kalkulačku homogenní a nehomogenní lineární diferenciální rovnice tvaru y"+y=b(x) .

=

Použijte proměnnou substituci y=u*v
Použijte metodu variace libovolné konstanty
Najděte konkrétní řešení pro y( ) = .

Abychom získali řešení, musí být původní výraz zredukován na tvar: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Například pro y"-exp(x)=2*y bude to y"-2 *y=exp(x) .

Teorém. Nechť a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) je spojitá na intervalu [α,β], a 1 ≠0 pro ∀x∈[α,β]. Pak pro libovolný bod (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] existuje jednoznačné řešení rovnice, které splňuje podmínku y(x 0) = y 0 a je definováno na celém intervalu [α ,β].
Uvažujme homogenní lineární diferenciální rovnici a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0.
Oddělením proměnných získáme , nebo integrací obou stran, Poslední vztah s přihlédnutím k zápisu exp(x) = e x se zapisuje ve tvaru

Zkusme nyní najít řešení rovnice v naznačeném tvaru, ve kterém je místo konstanty C dosazena funkce C(x), tedy ve tvaru

Dosazením tohoto řešení do původního, po nezbytných transformacích získáme Integrací toho druhého máme

kde C 1 je nějaká nová konstanta. Dosazením výsledného výrazu za C(x) nakonec získáme řešení původní lineární rovnice
.

Příklad. Řešte rovnici y" + 2y = 4x. Uvažujme odpovídající homogenní rovnici y" + 2y = 0. Když to vyřešíme, dostaneme y = Ce -2 x. Nyní hledáme řešení původní rovnice ve tvaru y = C(x)e -2 x. Dosazením y a y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x do původní rovnice máme C"(x) = 4xe 2 x, odkud C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 a y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x je obecné řešení původní rovnice. toto řešení y 1 ( x) = 2x-1 - pohyb předmětu působením síly b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - vlastní pohyb předmětu.

Příklad č. 2. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice prvního řádu y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Toto není homogenní rovnice. Provedeme změnu proměnných: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x nebo u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Řešení se skládá ze dvou fází:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Přirovnejte u=0, najděte řešení pro 3v tan(3x)+v" = 0
Uveďme to ve tvaru: v" = -3v tg(3x)

Integrací získáme:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos (3x)
2. Znáte-li v, najděte u z podmínky: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/hřích 2 2x
Integrací získáme:
Z podmínky y=u v dostaneme:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) nebo y = C cos(3x)-cos(2x) postýlka (3x)

Vzdělávací instituce „Běloruský stát

zemědělská akademie"

Katedra vyšší matematiky

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU

Poznámky k přednášce pro studenty účetnictví

korespondenční forma vzdělávání (NISPO)

Gorki, 2013

Diferenciální rovnice prvního řádu

Pojem diferenciální rovnice. Obecná a konkrétní řešení

Při studiu různých jevů často není možné najít zákon, který přímo spojuje nezávislou proměnnou a požadovanou funkci, ale je možné vytvořit souvislost mezi požadovanou funkcí a jejími derivacemi.

Zavolá se vztah spojující nezávisle proměnnou, požadovanou funkci a její derivace diferenciální rovnice :

Tady X- nezávislé proměnné, y- požadovanou funkci,
- derivace požadované funkce. V tomto případě musí mít vztah (1) alespoň jednu derivaci.

Řád diferenciální rovnice se nazývá řád nejvyšší derivace obsažené v rovnici.

Uvažujme diferenciální rovnici

. (2)

Protože tato rovnice obsahuje pouze derivaci prvního řádu, nazývá se je diferenciální rovnice prvního řádu.

Pokud lze rovnici (2) vyřešit s ohledem na derivaci a zapsat do tvaru

, (3)

pak se taková rovnice nazývá diferenciální rovnice prvního řádu v normálním tvaru.

V mnoha případech je vhodné uvažovat o rovnici tvaru

který se nazývá diferenciální rovnice prvního řádu napsaná v diferenciálním tvaru.

Protože
, pak lze rovnici (3) zapsat ve tvaru
nebo
, kde můžeme počítat
A
. To znamená, že rovnice (3) se převede na rovnici (4).

Zapišme rovnici (4) ve tvaru
. Pak
,
,
, kde můžeme počítat
, tj. získá se rovnice tvaru (3). Rovnice (3) a (4) jsou tedy ekvivalentní.

Řešení diferenciální rovnice (2) nebo (3) se nazývá jakákoli funkce
, která při dosazení do rovnice (2) nebo (3) z ní udělá identitu:

nebo
.

Proces hledání všech řešení diferenciální rovnice se nazývá její integrace a graf řešení
se nazývá diferenciální rovnice integrální křivka tato rovnice.

Pokud je řešení diferenciální rovnice získáno v implicitní podobě
, pak se to nazývá integrální této diferenciální rovnice.

Obecné řešení diferenciální rovnice prvního řádu je rodina funkcí formy
v závislosti na libovolné konstantě S, z nichž každý je řešením dané diferenciální rovnice pro libovolnou přípustnou hodnotu libovolné konstanty S. Diferenciální rovnice má tedy nekonečný počet řešení.

Soukromé rozhodnutí diferenciální rovnice je řešení získané z obecného vzorce řešení pro konkrétní hodnotu libovolné konstanty S, počítaje v to
.

Cauchyho problém a jeho geometrická interpretace

Rovnice (2) má nekonečný počet řešení. Abyste mohli vybrat jedno řešení z této sady, které se nazývá soukromé, musíte nastavit některé další podmínky.

Nazývá se problém nalezení konkrétního řešení rovnice (2) za daných podmínek Cauchy problém . Tento problém je jedním z nejdůležitějších v teorii diferenciálních rovnic.

Cauchyho problém je formulován takto: mezi všemi řešeními rovnice (2) najděte takové řešení
, ve kterém je funkce
přebírá danou číselnou hodnotu , je-li nezávislá proměnná X přebírá danou číselnou hodnotu , tj.

,
, (5)

Kde D– doména definice funkce
.

Význam volal počáteční hodnota funkce , A – počáteční hodnota nezávisle proměnné . Volá se podmínka (5). výchozí stav nebo Cauchy stav .

Z geometrického hlediska lze Cauchyho problém pro diferenciální rovnici (2) formulovat následovně: z množiny integrálních křivek rovnice (2) vyberte tu, která prochází daným bodem
.

Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými

Jedním z nejjednodušších typů diferenciálních rovnic je diferenciální rovnice prvního řádu, která neobsahuje požadovanou funkci:

. (6)

Vezmeme-li v úvahu, že
, rovnici zapíšeme ve tvaru
nebo
. Integrací obou stran poslední rovnice dostaneme:
nebo

. (7)

(7) je tedy obecným řešením rovnice (6).

Příklad 1 . Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
.

Řešení . Zapišme rovnici ve tvaru
nebo
. Pojďme integrovat obě strany výsledné rovnice:
,
. Konečně to napíšeme
.

Příklad 2 . Najděte řešení rovnice
vzhledem k tomu
.

Řešení . Pojďme najít obecné řešení rovnice:
,
,
,
. Podle stavu
,
. Dosadíme do obecného řešení:
nebo
. Nalezenou hodnotu libovolné konstanty dosadíme do vzorce pro obecné řešení:
. Jedná se o konkrétní řešení diferenciální rovnice, které splňuje danou podmínku.

Rovnice

(8)

Volal diferenciální rovnice prvního řádu, která neobsahuje nezávislou proměnnou . Napíšeme to do formuláře
nebo
. Pojďme integrovat obě strany poslední rovnice:
nebo
- obecné řešení rovnice (8).

Příklad . Najděte obecné řešení rovnice
.

Řešení . Zapišme tuto rovnici ve tvaru:
nebo
. Pak
,
,
,
. Tím pádem,
je obecné řešení této rovnice.

Rovnice formuláře

(9)

integruje pomocí separace proměnných. K tomu zapíšeme rovnici ve tvaru
a pomocí operací násobení a dělení to dovedeme do takové podoby, že jedna část obsahuje pouze funkci X a diferenciál dx, a ve druhé části – funkce na a diferenciál dy. K tomu je třeba obě strany rovnice vynásobit dx a dělit podle
. V důsledku toho dostaneme rovnici

, (10)

ve kterém jsou proměnné X A na oddělené. Pojďme integrovat obě strany rovnice (10):
. Výsledný vztah je obecným integrálem rovnice (9).

Příklad 3 . Integrujte rovnici
.

Řešení . Pojďme transformovat rovnici a oddělit proměnné:
,
. Pojďme integrovat:
,
nebo je obecným integrálem této rovnice.
.

Nechť je rovnice uvedena ve tvaru

Tato rovnice se nazývá diferenciální rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými v symetrické podobě.

Chcete-li oddělit proměnné, musíte vydělit obě strany rovnice
:

. (12)

Výsledná rovnice se nazývá separovaná diferenciální rovnice . Pojďme integrovat rovnici (12):

.(13)

Vztah (13) je obecný integrál diferenciální rovnice (11).

Příklad 4 . Integrujte diferenciální rovnici.

Řešení . Zapišme rovnici ve tvaru

a obě části rozdělit
,
. Výsledná rovnice:
je oddělená proměnná rovnice. Pojďme to integrovat:

,
,

,
. Poslední rovnost je obecný integrál této diferenciální rovnice.

Příklad 5 . Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice
, splňující podmínku
.

Řešení . Vezmeme-li v úvahu, že
, rovnici zapíšeme ve tvaru
nebo
. Rozdělme proměnné:
. Pojďme integrovat tuto rovnici:
,
,
. Výsledný vztah je obecným integrálem této rovnice. Podle stavu
. Dosadíme to do obecného integrálu a najdeme S:
,S=1. Pak ten výraz
je parciální řešení dané diferenciální rovnice, zapsané jako parciální integrál.

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

Rovnice

(14)

volal lineární diferenciální rovnice prvního řádu . Neznámá funkce
a jeho derivace vstupují do této rovnice lineárně a funkce
A
kontinuální.

Li
, pak rovnice

(15)

volal lineárně homogenní . Li
, pak se zavolá rovnice (14). lineární nehomogenní .

K nalezení řešení rovnice (14) se obvykle používá substituční metoda (Bernoulli) , jehož podstata je následující.

Budeme hledat řešení rovnice (14) v podobě součinu dvou funkcí

, (16)

Kde
A
- některé spojité funkce. Pojďme nahradit
a derivát
do rovnice (14):

Funkce proti vybereme tak, aby byla podmínka splněna
. Pak
. Pro nalezení řešení rovnice (14) je tedy nutné vyřešit soustavu diferenciálních rovnic

První rovnice systému je lineární homogenní rovnice a lze ji řešit metodou separace proměnných:
,
,
,
,
. Jako funkce
můžete vzít jedno z dílčích řešení homogenní rovnice, tzn. na S=1:
. Dosadíme do druhé rovnice soustavy:
nebo
.Pak
. Obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu má tedy tvar
.

Příklad 6 . Vyřešte rovnici
.

Řešení . Budeme hledat řešení rovnice ve tvaru
. Pak
. Dosadíme do rovnice:

nebo
. Funkce proti vybírejte tak, aby platila rovnost
. Pak
. Vyřešme první z těchto rovnic metodou separace proměnných:
,
,
,
,. Funkce proti Dosadíme do druhé rovnice:
,
,
,
. Obecné řešení této rovnice je
.

Otázky pro sebeovládání znalostí

Co je diferenciální rovnice?

Jaké je pořadí diferenciální rovnice?

Která diferenciální rovnice se nazývá diferenciální rovnice prvního řádu?

Jak se diferenciální rovnice prvního řádu zapisuje v diferenciální formě?

Jaké je řešení diferenciální rovnice?

Co je integrální křivka?

Jaké je obecné řešení diferenciální rovnice prvního řádu?

Co se nazývá parciální řešení diferenciální rovnice?

Jak je formulován Cauchyho problém pro diferenciální rovnici prvního řádu?

Jaká je geometrická interpretace Cauchyho problému?

Jak napsat diferenciální rovnici se separovatelnými proměnnými v symetrickém tvaru?

Která rovnice se nazývá lineární diferenciální rovnice prvního řádu?

Jakou metodou lze řešit lineární diferenciální rovnici prvního řádu a co je podstatou této metody?

Úkoly pro samostatnou práci

Řešte diferenciální rovnice s oddělitelnými proměnnými:

A)
; b)
;

PROTI)
; G)
.

2. Řešte lineární diferenciální rovnice prvního řádu:

A)
; b)
; PROTI)
;

G)
; d)
.

Diferenciální rovnice prvního řádu. Příklady řešení.
Diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými

Diferenciální rovnice (DE). Tato dvě slova obyčejného člověka obvykle děsí. Diferenciální rovnice se zdají být pro mnoho studentů něčím zakazujícím a obtížně zvládnutelným. Uuuuuu... diferenciální rovnice, jak tohle všechno přežiju?!

Tento názor a tento postoj je zásadně špatný, protože ve skutečnosti DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE – JE TO JEDNODUCHÉ A DOKONCE ZÁBAVNÉ. Co potřebujete vědět a umět, abyste se naučili řešit diferenciální rovnice? Chcete-li úspěšně studovat difuze, musíte být dobří v integraci a rozlišování. Čím lépe se témata studují Derivace funkce jedné proměnné A Neurčitý integrál, tím snazší bude porozumět diferenciálním rovnicím. Řeknu více, pokud máte více či méně slušné integrační schopnosti, pak je téma téměř zvládnuto! Čím více integrálů různé typy víte, jak se rozhodnout - tím lépe. Proč? Budete se muset hodně integrovat. A rozlišovat. Taky vřele doporučuji naučit se najít.

V 95 % případů v testy Existují 3 typy diferenciálních rovnic prvního řádu: oddělitelné rovnice na které se podíváme v této lekci; homogenní rovnice A lineární nehomogenní rovnice. Těm, kteří začínají studovat difuzéry, doporučuji přečíst si lekce přesně v tomto pořadí a po prostudování prvních dvou článků nebude na škodu upevnit své dovednosti na dalším workshopu - rovnice redukující na homogenní.

Existují ještě vzácnější typy diferenciálních rovnic: totální diferenciální rovnice, Bernoulliho rovnice a některé další. Nejdůležitější z posledních dvou typů jsou rovnice v plné diferenciály, jelikož kromě tohoto dálkového ovládání uvažuji nový materiál – částečná integrace.

Pokud vám zbývá jen den nebo dva, Že pro ultra rychlou přípravu Tady je bleskový kurz ve formátu pdf.

Takže orientační body jsou nastaveny - pojďme:

Nejprve si připomeňme obvyklé algebraické rovnice. Obsahují proměnné a čísla. Nejjednodušší příklad: . Co to znamená vyřešit obyčejnou rovnici? To znamená najít sada čísel, které splňují tuto rovnici. Je snadné si všimnout, že dětská rovnice má jediný kořen: . Jen pro zábavu, pojďme zkontrolovat a dosadit nalezený kořen do naší rovnice:

– je získána správná rovnost, což znamená, že řešení bylo nalezeno správně.

Difuzory jsou navrženy v podstatě stejným způsobem!

Diferenciální rovnice první objednávka PROTI obecný případ obsahuje:
1) nezávislá proměnná;
2) závislá proměnná (funkce);
3) první derivace funkce: .

V některých rovnicích 1. řádu nemusí být žádné „x“ a/nebo „y“, ale to není podstatné – Důležité jít do řídící místnosti byl první derivace a neměl deriváty vyšších řádů – atd.

Co znamená ?Řešení diferenciální rovnice znamená hledání sada všech funkcí, které splňují tuto rovnici. Taková množina funkcí má často tvar (– libovolná konstanta), který se nazývá obecné řešení diferenciální rovnice.

Příklad 1

Řešte diferenciální rovnici

Plná munice. Kde začít řešení?

Nejdříve je potřeba přepsat derivaci do trochu jiné podoby. Připomínáme těžkopádné označení, které se mnohým z vás pravděpodobně zdálo směšné a zbytečné. To v difuzérech vládne!

Ve druhém kroku se podívejme, zda je to možné samostatné proměnné? Co to znamená oddělovat proměnné? Zhruba řečeno, na levé straně musíme odejít pouze "Řekové", A na pravé straně organizovat pouze "X". Rozdělení proměnných se provádí pomocí „školních“ manipulací: jejich vyjmutí ze závorek, přenos termínů z části do části se změnou znaménka, přenos faktorů z části do části podle pravidla proporce atd.

Diferenciály a jsou plnými multiplikátory a aktivními účastníky nepřátelských akcí. V uvažovaném příkladu lze proměnné snadno oddělit házením faktorů podle pravidla proporce:

Proměnné jsou odděleny. Na levé straně jsou pouze „Y“, na pravé straně pouze „X“.

Další fáze - integrace diferenciální rovnice. Je to jednoduché, integrály vložíme na obě strany:

Samozřejmě musíme vzít integrály. V v tomto případě jsou tabulkové:

Jak si pamatujeme, konstanta je přiřazena libovolnému primitivnímu prvku. Jsou zde dva integrály, ale konstantu stačí napsat jednou (protože konstanta + konstanta se stále rovná jiné konstantě). Ve většině případů je umístěn na pravé straně.

Přísně vzato, po sečtení integrálů se diferenciální rovnice považuje za vyřešenou. Jediná věc je, že naše „y“ není vyjádřeno pomocí „x“, to znamená, že je prezentováno řešení v implicitním formulář. Řešení diferenciální rovnice v implicitním tvaru se nazývá obecný integrál diferenciální rovnice. To znamená, že se jedná o obecný integrál.

Odpověď v této podobě je celkem přijatelná, ale existuje lepší varianta? Zkusme se dostat společné rozhodnutí.

Prosím, pamatujte na první techniku, je velmi běžné a často se používá v praktické úkoly: pokud se po integraci objeví logaritmus na pravé straně, pak v mnoha případech (ale ne vždy!) je také vhodné zapsat konstantu pod logaritmus.

to znamená, NAMÍSTO zápisy se obvykle píší .

Proč je to nutné? A aby bylo snazší vyjádřit „hru“. Použití vlastnosti logaritmů . V tomto případě:

Nyní lze odstranit logaritmy a moduly:

Funkce je uvedena explicitně. Toto je obecné řešení.

Odpovědět: společné rozhodnutí: .

Odpovědi na mnoho diferenciálních rovnic lze poměrně snadno zkontrolovat. V našem případě se to dělá docela jednoduše, vezmeme nalezené řešení a rozlišíme ho:

Poté derivaci dosadíme do původní rovnice:

– je získána správná rovnost, což znamená, že obecné řešení vyhovuje rovnici, což je potřeba zkontrolovat.

Zadáním různých hodnot konstanty můžete získat nekonečný počet soukromá řešení diferenciální rovnice. Je jasné, že některá z funkcí , atd. vyhovuje diferenciální rovnici.

Někdy se nazývá obecné řešení rodina funkcí. V tomto příkladu obecné řešení - to je rodina lineární funkce nebo spíše rodina přímé úměrnosti.

Po důkladném prostudování prvního příkladu je vhodné zodpovědět několik naivních otázek o diferenciálních rovnicích:

1)V tomto příkladu jsme byli schopni oddělit proměnné. Dá se to udělat vždy? Ne vždy. A ještě častěji nelze proměnné oddělit. Například v homogenní rovnice prvního řádu, musíte jej nejprve vyměnit. V jiných typech rovnic, například v lineární nehomogenní rovnici prvního řádu, musíte použít různé techniky a metody pro nalezení obecného řešení. Rovnice se separovatelnými proměnnými, o kterých uvažujeme v první lekci - nejjednodušší typ diferenciální rovnice.

2) Je vždy možné integrovat diferenciální rovnici? Ne vždy. Je velmi snadné přijít s „vymyšlenou“ rovnicí, kterou nelze integrovat, navíc existují integrály, které nelze vzít. Ale podobné DE lze vyřešit přibližně pomocí speciální metody. D’Alembert a Cauchy zaručují... ...fuj, číhá se víc.

3) V tomto příkladu jsme dostali řešení ve formě obecného integrálu . Je vždy možné najít obecné řešení z obecného integrálu, tedy explicitně vyjádřit „y“? Ne vždy. Například: . No, jak tady můžete vyjádřit „řecky“?! V takových případech by měla být odpověď zapsána jako obecný integrál. Někdy je navíc možné najít obecné řešení, ale je napsáno tak těžkopádně a neobratně, že je lepší nechat odpověď ve formě obecného integrálu

4) ...snad to zatím stačí. V prvním příkladu jsme se setkali Další důležitý bod , ale tak, aby „figuríny“ nezasypala lavina nová informace, nechám to na další lekci.

Nebudeme spěchat. Další jednoduché dálkové ovládání a další typické řešení:

Příklad 2

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínku

Řešení: podle stavu je třeba najít soukromé řešení DE, které splňuje danou počáteční podmínku. Tato formulace otázky se také nazývá Cauchy problém.

Nejprve najdeme obecné řešení. V rovnici není žádná proměnná „x“, ale to by nemělo zmást, hlavní věc je, že má první derivaci.

Derivaci přepíšeme do požadovaného tvaru:

Je zřejmé, že proměnné lze oddělit, chlapci vlevo, dívky vpravo:

Pojďme integrovat rovnici:

Získá se obecný integrál. Zde jsem nakreslil konstantu s hvězdičkou, faktem je, že se velmi brzy změní na jinou konstantu.

Nyní se pokusíme převést obecný integrál na obecné řešení (explicitně vyjádřit „y“). Připomeňme si staré dobré věci ze školy: . V tomto případě:

Konstanta v indikátoru vypadá nějak nekošer, takže je obvykle přivedena k zemi. V detailu se to děje takto. Pomocí vlastnosti stupňů přepíšeme funkci takto:

Jestliže je konstanta, pak je také nějaká konstanta, přejmenujme ji na písmeno:

Pamatujte, že „demolování“ je konstanta druhá technika, který se často používá při řešení diferenciálních rovnic.

Takže obecné řešení je: . Toto je pěkná rodina exponenciálních funkcí.

V konečné fázi musíte najít konkrétní řešení, které splňuje danou výchozí podmínku. To je také jednoduché.

jaký je úkol? Nutno vyzvednout takový hodnotu konstanty tak, aby byla podmínka splněna.

Lze jej formátovat různými způsoby, ale toto bude pravděpodobně nejpřehlednější způsob. V obecném řešení místo „X“ dosadíme nulu a místo „Y“ dosadíme dvojku:



to znamená,

Standardní provedení:

Nyní dosadíme nalezenou hodnotu konstanty do obecného řešení:
– toto je konkrétní řešení, které potřebujeme.

Odpovědět: soukromé řešení:

Pojďme zkontrolovat. Kontrola soukromého řešení zahrnuje dvě fáze:

Nejprve musíte zkontrolovat, zda konkrétní nalezené řešení skutečně splňuje počáteční podmínku? Místo „X“ dosadíme nulu a uvidíme, co se stane:
- ano, skutečně byla přijata dvojka, což znamená, že počáteční podmínka je splněna.

Druhá etapa je již známá. Vezmeme výsledné konkrétní řešení a najdeme derivaci:

Do původní rovnice dosadíme:

– je dosaženo správné rovnosti.

Závěr: konkrétní řešení bylo nalezeno správně.

Pojďme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 3

Řešte diferenciální rovnici

Řešení: Přepíšeme derivaci do tvaru, který potřebujeme:

Vyhodnotíme, zda je možné oddělit proměnné? Umět. Přesuneme druhý člen na pravou stranu se změnou znaménka:

A převedeme multiplikátory podle pravidla proporce:

Proměnné jsou oddělené, integrujme obě části:

Musím vás varovat, soudný den se blíží. Pokud jste se dobře neučili neurčité integrály, vyřešili pár příkladů, pak už není kam jít - teď je budete muset zvládnout.

Integrál levé strany lze snadno najít, s integrálem kotangens se zabýváme standardní technikou, na kterou jsme se podívali v lekci Integrace goniometrických funkcí minulý rok:

Na pravé straně máme logaritmus a podle mého prvního technického doporučení by měla být konstanta také zapsána pod logaritmus.

Nyní se pokusíme obecný integrál zjednodušit. Protože máme pouze logaritmy, je docela možné (a nutné) se jich zbavit. Používáním známé vlastnosti Logaritmy co nejvíce „balíme“. Napíšu to velmi podrobně:

Obal je dokončen tak, aby byl barbarsky potrhaný:

Dá se vyjádřit „hra“? Umět. Obě části je nutné zarovnat.

Ale nemusíte to dělat.

Třetí technický tip: pokud je k získání obecného řešení nutné pozvednout moc nebo zakořenit, pak Většinou měli byste se těchto akcí zdržet a nechat odpověď ve formě obecného integrálu. Faktem je, že obecné řešení bude vypadat prostě strašně - s velkými kořeny, značkami a jinými odpadky.

Proto zapíšeme odpověď ve tvaru obecného integrálu. Za dobrou praxi se považuje uvádět jej ve tvaru , tedy na pravé straně, pokud je to možné, ponechat pouze konstantu. Není to nutné, ale potěšit pana profesora je vždy výhodné ;-)

Odpovědět: obecný integrál:

! Poznámka: Obecný integrál libovolné rovnice lze zapsat více než jedním způsobem. Pokud se tedy váš výsledek neshoduje s dříve známou odpovědí, neznamená to, že jste rovnici vyřešili špatně.

Obecný integrál se také celkem snadno kontroluje, hlavní je umět najít derivace implicitně zadané funkce. Rozlišujme odpověď:

Oba pojmy vynásobíme:

A rozdělit podle:

Původní diferenciální rovnice byla získána přesně, což znamená, že obecný integrál byl nalezen správně.

Příklad 4

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice, které splňuje počáteční podmínku. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí.

Dovolte mi připomenout, že algoritmus se skládá ze dvou fází:
1) nalezení obecného řešení;
2) nalezení požadovaného konkrétního řešení.

Kontrola se také provádí ve dvou krocích (viz ukázka v příkladu č. 2), je třeba:
1) ujistěte se, že konkrétní nalezené řešení splňuje počáteční podmínku;
2) zkontrolujte, zda konkrétní řešení obecně vyhovuje diferenciální rovnici.

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Příklad 5

Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice , splňující počáteční podmínku. Proveďte kontrolu.

Řešení: Nejprve najdeme obecné řešení.Tato rovnice již obsahuje hotové diferenciály a proto je řešení zjednodušené. Oddělujeme proměnné:

Pojďme integrovat rovnici:

Integrál vlevo je tabulkový, integrál vpravo je vzat metoda přičtení funkce pod diferenciální znaménko:

Obecný integrál byl získán, je možné úspěšně vyjádřit obecné řešení? Umět. Logaritmy zavěsíme na obě strany. Protože jsou kladné, jsou znaménka modulu zbytečná:

(Doufám, že každý chápe proměnu, takové věci by už měly být známé)

Takže obecné řešení je:

Pojďme najít konkrétní řešení odpovídající dané počáteční podmínce.
V obecném řešení místo „X“ dosadíme nulu a místo „Y“ dosadíme logaritmus dvou:

Známější design:

Nalezenou hodnotu konstanty dosadíme do obecného řešení.

Odpovědět: soukromé řešení:

Kontrola: Nejprve zkontrolujte, zda je splněna počáteční podmínka:
- všechno je dobré.

Nyní zkontrolujeme, zda nalezené konkrétní řešení vůbec vyhovuje diferenciální rovnici. Hledání derivátu:

Podívejme se na původní rovnici: – uvádí se v diferenciálech. Existují dva způsoby kontroly. Je možné vyjádřit diferenciál z nalezené derivace:

Do původní rovnice dosadíme nalezené partikulární řešení a výsledný diferenciál :

Používáme základní logaritmickou identitu:

Je získána správná rovnost, což znamená, že konkrétní řešení bylo nalezeno správně.

Druhý způsob kontroly je zrcadlený a známější: z rovnice Vyjádřeme derivaci, abychom to udělali, rozdělíme všechny části takto:

A do transformovaného DE dosadíme získané parciální řešení a nalezenou derivaci. V důsledku zjednodušení by také mělo být dosaženo správné rovnosti.

Příklad 6

Řešte diferenciální rovnici. Uveďte odpověď ve formě obecného integrálu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami, kompletní řešení a odpověď na konci lekce.

Jaké potíže čekají při řešení diferenciálních rovnic se separovatelnými proměnnými?

1) Není vždy zřejmé (zejména pro „konvičku“), že proměnné lze oddělit. Uvažujme podmíněný příklad: . Zde musíte vyjmout faktory ze závorek: a oddělit kořeny: . Je jasné, co dělat dál.

2) Potíže se samotnou integrací. Integrály často nejsou nejjednodušší, a pokud existují nedostatky v dovednostech hledání neurčitý integrál, pak to bude s mnoha difuzory těžké. Navíc logika „když je diferenciální rovnice jednoduchá, ať jsou integrály alespoň složitější“ je oblíbená mezi sestavovateli sbírek a školicích příruček.

3) Transformace s konstantou. Jak si každý všiml, s konstantou v diferenciálních rovnicích lze zacházet zcela volně a některé transformace nejsou začátečníkovi vždy jasné. Podívejme se na další podmíněný příklad: . Je vhodné vynásobit všechny výrazy 2: . Výsledná konstanta je také nějaký druh konstanty, kterou lze označit: . Ano, a protože na pravé straně je logaritmus, je vhodné konstantu přepsat ve formě jiné konstanty: .

Problém je v tom, že se často neobtěžují s indexy a používají stejné písmeno. V důsledku toho má záznam o rozhodnutí následující podobu:

Jaký druh kacířství? Jsou tam chyby! Přesně řečeno, ano. Z věcného hlediska však k chybám nedochází, protože v důsledku transformace proměnné konstanty se stále získá konstanta proměnná.

Nebo jiný příklad, předpokládejme, že v průběhu řešení rovnice získáme obecný integrál. Tato odpověď vypadá ošklivě, proto je vhodné změnit znaménko každého termínu: . Formálně je zde ještě jedna chyba – mělo by být napsáno vpravo. Ale neformálně se předpokládá, že „minus ce“ je stále konstanta ( což může mít stejně snadno jakýkoli význam!), takže dávat „mínus“ nedává smysl a můžete použít stejné písmeno.

Pokusím se vyhnout neopatrnému přístupu a při převodu stále přiřazovat konstantám různé indexy.

Příklad 7

Řešte diferenciální rovnici. Proveďte kontrolu.

Řešení: Tato rovnice umožňuje separaci proměnných. Oddělujeme proměnné:

Pojďme integrovat:

Konstantu zde není nutné definovat jako logaritmus, protože z toho nebude nic užitečného.

Odpovědět: obecný integrál:

Kontrola: Diferencujte odpověď (implicitní funkce):

Zlomků se zbavíme tak, že oba členy vynásobíme:

Byla získána původní diferenciální rovnice, což znamená, že obecný integrál byl nalezen správně.

Příklad 8

Najděte konkrétní řešení DE.
,

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Jediným náznakem je, že zde získáte obecný integrál, a správněji řečeno, musíte se snažit najít ne konkrétní řešení, ale částečný integrál. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.