Redukce jednočlenu na standardní formu, příklady, řešení.

Pojem polynom

Definice polynomu: Polynom je součet monočlenů. Příklad polynomu:

zde vidíme součet dvou monočlenů, a to je polynom, tzn. součet monomiálů.

Termíny, které tvoří polynom, se nazývají členy polynomu.

Je rozdíl monočlenů polynom? Ano, je, protože rozdíl lze snadno snížit na součet, příklad: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Monomy jsou také považovány za polynomy. Ale monočlen nemá žádný součet, tak proč je považován za polynom? A můžete k němu přidat nulu a získat jeho součet s nulovým monomiálem. Monomial je tedy speciální případ polynomu, který se skládá z jednoho členu;

Číslo nula je nulový polynom.

Standardní tvar polynomu

Co je polynom standardního tvaru? Polynom je součet monočlenů, a pokud jsou všechny tyto monočleny, které tvoří polynom, zapsány ve standardním tvaru a neměly by mezi nimi být žádné podobné, pak je polynom zapsán ve standardním tvaru.

Příklad polynomu ve standardním tvaru:

zde se polynom skládá ze 2 monočlenů, z nichž každý má standardní tvar mezi monočleny nejsou žádné podobné;

Nyní příklad polynomu, který nemá standardní tvar:

zde jsou dva monomiály: 2a a 4a podobné. Musíme je sečíst, pak bude mít polynom standardní tvar:

Další příklad:

Tento polynom je redukován na standardní pohled? Ne, jeho druhý termín není psán standardní formou. Když jej zapíšeme ve standardním tvaru, získáme polynom standardního tvaru:

Polynomiální stupeň

Jaký je stupeň polynomu?

Definice polynomického stupně:

Stupeň polynomu je nejvyšší stupeň, který mají monočleny, které tvoří daný polynom standardního tvaru.

Příklad. Jaký je stupeň polynomu 5h? Stupeň polynomu 5h je roven jedné, protože tento polynom obsahuje pouze jeden monom a jeho stupeň je roven jedné.

Další příklad. Jaký je stupeň polynomu 5a 2 h 3 s 4 +1? Stupeň polynomu 5a 2 h 3 s 4 + 1 je roven devíti, protože tento polynom zahrnuje dva monomiy, nejvyšší stupeň má první monom 5a 2 h 3 s 4 a jeho stupeň je 9.

Další příklad. Jaký je stupeň polynomu 5? Stupeň polynomu 5 je nula. Takže stupeň polynomu sestávajícího pouze z čísla, tzn. bez písmen se rovná nule.

Poslední příklad. Jaký je stupeň nulového polynomu, tzn. nula? Stupeň nulového polynomu není definován.

V této lekci si připomeneme základní definice tohoto tématu a zvážíme některé typické problémy, jmenovitě redukci polynomu na standardní tvar a výpočet číselné hodnoty pro dané hodnoty proměnných. Budeme řešit několik příkladů, ve kterých bude redukce na standardní formu použita k řešení různých druhů problémů.

Předmět:Polynomy. Aritmetické operace s monočleny

Lekce:Redukce polynomu na standardní tvar. Typické úkoly

Připomeňme si základní definici: polynom je součet monočlenů. Každý monočlen, který je součástí polynomu jako člen, se nazývá jeho členem. Například:

Binomický;

Polynom;

Binomický;

Protože se polynom skládá z monočlenů, první akce s polynomem následuje odtud - je třeba uvést všechny monočleny do standardního tvaru. Připomeňme, že k tomu je třeba vynásobit všechny číselné faktory - získat číselný koeficient a vynásobit odpovídající mocniny - získat část písmen. Kromě toho věnujme pozornost větě o součinu mocnin: když se mocniny násobí, jejich exponenty se sčítají.

Uvažujme důležitá operace- převedení polynomu do standardního tvaru. Příklad:

Komentář: Chcete-li převést polynom do standardního tvaru, musíte všechny monomiály obsažené v jeho složení převést do standardního tvaru, poté, pokud existují podobné monočleny - a to jsou monočleny se stejnou částí písmene - proveďte s nimi akce .

Podívali jsme se tedy na první typický problém – převedení polynomu do standardního tvaru.

další typický úkol- výpočet konkrétní hodnoty polynomu pro dané číselné hodnoty proměnných v něm obsažených. Pokračujme v zvažování předchozího příkladu a nastavme hodnoty proměnných:

Komentář: Připomeňme, že jedna ku jakékoli přirozené mocnině se rovná jedné a nula k jakékoli přirozené mocnině se rovná nule, navíc si připomeňme, že když libovolné číslo vynásobíme nulou, dostaneme nulu.

Podívejme se na několik příkladů typických operací převedení polynomu do standardního tvaru a výpočtu jeho hodnoty:

Příklad 1 – převedení do standardního formuláře:

Komentář: prvním krokem je uvést monomiály do standardního formuláře, musíte přinést první, druhý a šestý; druhá akce - přinášíme podobné termíny, to znamená, že na nich plníme dané úkoly aritmetické operace: první přidáme s pátým, druhý s třetím, ostatní se přepisují beze změn, jelikož žádné podobné nemají.

Příklad 2 - vypočítejte hodnotu polynomu z příkladu 1 za předpokladu hodnot proměnných:

Komentář: Při výpočtu byste měli mít na paměti, že jedna k jakékoli přirozené mocnině je jedna, pokud je obtížné vypočítat mocniny dvou, můžete použít tabulku mocnin.

Příklad 3 - místo hvězdičky vložte jednočlen tak, aby výsledek neobsahoval proměnnou:

Komentář: bez ohledu na úkol je první akce vždy stejná - převést polynom do standardního tvaru. V našem příkladu tato akce spočívá v uvedení podobných podmínek. Poté byste si měli znovu pečlivě přečíst stav a přemýšlet o tom, jak se můžeme monomiálu zbavit. Je zřejmé, že k tomu musíte přidat stejný monomiál, ale s opačné znamení- Dále nahradíme hvězdičku tímto monomilem a ujistíme se, že naše řešení je správné.

Při studiu tématu polynomů stojí za zmínku samostatně, že polynomy se vyskytují ve standardních i nestandardních formách. V tomto případě polynom nestandardní typ lze redukovat na standardní formu. Ve skutečnosti bude tato otázka diskutována v tomto článku. Vysvětlení podpořme příklady s podrobným popisem krok za krokem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Význam redukce polynomu na standardní tvar

Pojďme se ponořit trochu hlouběji do samotného konceptu, akce – „uvedení polynomu do standardní formy“.

Polynomy, stejně jako jakékoli jiné výrazy, lze transformovat identicky. Výsledkem je, že v tomto případě získáme výrazy, které jsou shodné s původním výrazem.

Definice 1

Zmenšete polynom na standardní tvar– znamená nahrazení původního polynomu stejným polynomem standardního tvaru, získaným z původního polynomu pomocí identických transformací.

Metoda pro redukci polynomu na standardní tvar

Pojďme spekulovat na téma, jaké přesně transformace identity povedou polynom do standardního tvaru.

Definice 2

Podle definice se každý polynom standardního tvaru skládá z monočlenů standardního tvaru a neobsahuje podobné termíny. Polynom nestandardního tvaru může zahrnovat monočleny nestandardního tvaru a podobné termíny. Z výše uvedeného je přirozeně odvozeno pravidlo, jak redukovat polynom na standardní tvar:

• nejprve jsou monočleny, které tvoří daný polynom, redukovány na standardní formu;
• pak se provede redukce podobných členů.

Příklady a řešení

Podívejme se podrobně na příklady, ve kterých redukujeme polynom do standardního tvaru. Budeme se řídit výše odvozeným pravidlem.

Všimněte si, že někdy členy polynomu v počátečním stavu již mají standardní tvar a zbývá pouze přinést podobné členy. Stává se, že po prvním kroku akcí žádné takové termíny neexistují, pak přeskočíme druhý krok. V obecné případy je nutné provést obě akce z pravidla výše.

Příklad 1

Polynomy jsou dány:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Je nutné je uvést do standardního formuláře.

Řešení

Nejprve uvažujme polynom 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : jeho členové mají standardní tvar, neexistují žádné podobné termíny, což znamená, že polynom je specifikován ve standardním tvaru a nejsou vyžadovány žádné další akce.

Nyní se podívejme na polynom 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Zahrnuje nestandardní monomily: 2 · a 3 · 0, 6 a − b · a · b 4 · b 5, tzn. potřebujeme převést polynom do standardního tvaru, pro který je prvním krokem transformace monočlenů do standardního tvaru:

2 a 3 0, 6 = 1, 2 a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , získáme tedy následující polynom:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.

Ve výsledném polynomu jsou všechny termíny standardní, neexistují žádné podobné termíny, což znamená, že naše akce k uvedení polynomu do standardního tvaru jsou dokončeny.

Uvažujme třetí daný polynom: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Převeďme jeho členy do standardní formy a získáme:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Vidíme, že polynom obsahuje podobné členy, přinesme podobné členy:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Daný polynom 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 tedy nabývá standardního tvaru − x y + 1 .

Odpovědět:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- polynom je nastaven jako standardní;

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

V mnoha problémech je akce redukce polynomu na standardní formu při hledání odpovědi střední položená otázka. Podívejme se na tento příklad.

Příklad 2

Je dán polynom 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 · z 2 + z 3 . Je nutné jej uvést do standardního tvaru, označit jeho stupeň a členy daného polynomu seřadit v sestupných stupních proměnné.

Řešení

Zredukujeme členy daného polynomu do standardního tvaru:

11-23z3+z5-0. 5 · z 2 + z 3 .

Další krok Zde jsou některé podobné výrazy:

11-23z3+z5-0. 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Získali jsme polynom standardního tvaru, který nám umožňuje určit stupeň polynomu (rovný nejvyššímu stupni jeho monočlenů). Je zřejmé, že požadovaný stupeň je 5.

Zbývá pouze uspořádat členy v klesající mocnině proměnných. Pro tento účel jednoduše přeuspořádáme členy ve výsledném polynomu standardního tvaru s ohledem na požadavek. Dostáváme tedy:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

Odpovědět:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, zatímco stupeň polynom - 5 ; v důsledku uspořádání členů polynomu v klesajících mocninách proměnných získá polynom tvar: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Jakýkoli desetinný zlomek lze zapsat jako ,bc ... · 10 k . Takové záznamy se často nacházejí ve vědeckých výpočtech. Předpokládá se, že práce s nimi je ještě pohodlnější než s běžným desítkovým zápisem.

Dnes se naučíme, jak převést libovolný desetinný zlomek do tohoto tvaru. Zároveň se ujistíme, že takový vstup je již „overkill“ a ve většině případů nepřináší žádné výhody.

Nejprve malé opakování. Jak víte, desetinné zlomky lze násobit nejen mezi sebou, ale také běžnými celými čísly (viz lekci „“). Zvláště zajímavé je násobení mocninou deseti. Podívej se:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: 25,81 10; 0,00005 1000; 8,0034 100.

Násobení se provádí podle standardního schématu, přičemž významná část je přidělena pro každý faktor. Stručně si tyto kroky popišme:

Pro první výraz: 25,81 10.

1. Významné části: 25,81 → 2581 (posun vpravo o 2 číslice); 10 → 1 (posun doleva o 1 číslici);
2. Násobit: 2581 · 1 = 2581;
3. Celkový posun: doprava o 2 − 1 = 1 číslice. Provádíme zpětný posun: 2581 → 258,1.

Pro druhý výraz: 0,00005 1000.

1. Významné části: 0,00005 → 5 (posun doprava o 5 číslic); 1000 → 1 (posun vlevo o 3 číslice);
2. Násobit: 5 · 1 = 5;
3. Celkový posun: doprava o 5 − 3 = 2 číslice. Provedeme zpětný posun: 5 → ,05 = 0,05.

Poslední výraz: 8,0034 100.

1. Významné části: 8.0034 → 80034 (posun vpravo o 4 číslice); 100 → 1 (posun doleva o 2 číslice);
2. Násobit: 80 034 · 1 = 80 034;
3. Celkový posun: doprava o 4 − 2 = 2 číslice. Provádíme zpětný posun: 80 034 → 800,34.

Přepišme trochu původní příklady a porovnejme je s odpověďmi:

1. 25,81 · 101 = 258,1;
2. 0,00005 103 = 0,05;
3. 8,0034 · 102 = 800,34.

Co se děje? Ukazuje se, že vynásobení desetinného zlomku číslem 10 k (kde k > 0) je ekvivalentní posunutí desetinné čárky doprava o k míst. Vpravo - protože číslo se zvyšuje.

Podobně násobení 10 −k (kde k > 0) je ekvivalentní dělení 10 k, tzn. posun o k číslic doleva, což vede ke snížení počtu. Podívejte se na příklady:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: 2,73 10; 25.008:10; 1,447: 100;

Ve všech výrazech je druhé číslo mocninou deseti, takže máme:

1. 2,73 · 10 = 2,73 · 101 = 27,3;
2. 25,008: 10 = 25,008: 101 = 25,008 · 10 -1 = 2,5008;
3. 1,447: 100 = 1,447: 102 = 1,447 10-2 = ,01447 = 0,01447.

Z toho vyplývá, že lze zapsat stejný desetinný zlomek nekonečné číslo způsoby. Například: 137,25 = 13,725 10 1 = 1,3725 10 2 = 0,13725 10 3 = ...

Standardní tvar čísla jsou výrazy ve tvaru a ,bc ... · 10 k , kde a , b , c , ... jsou obyčejná čísla a a ≠ 0. Číslo k je celé číslo.

1. 8,25 · 104 = 82 500;
2. 3,6 10-2 = 0,036;
3. 1,075 · 106 = 1,075,000;
4. 9,8 · 10 −6 = 0,0000098.

U každého čísla zapsaného ve standardním tvaru je vedle něj uveden odpovídající desetinný zlomek.

Přepnout na standardní zobrazení

Algoritmus pro přechod z běžného desetinného zlomku do standardního tvaru je velmi jednoduchý. Než jej však použijete, nezapomeňte si přečíst, jaká je významná část čísla (viz lekce „Násobení a dělení desetinných míst“). Takže algoritmus:

1. Napiš významnou část původního čísla a za první platnou číslici dej desetinnou čárku;
2. Najděte výsledný posun, tzn. O kolik míst se posunula desetinná čárka ve srovnání s původním zlomkem? Nechť toto je číslo k;
3. Porovnejte významnou část, kterou jsme si zapsali v prvním kroku, s původním číslem. Pokud je významná část (včetně desetinné čárky) menší než původní číslo, přidejte faktor 10 k. Pokud je více, přidejte faktor 10 −k. Tento výraz bude standardním pohledem.

Úkol. Napište číslo ve standardním tvaru:

1. 9280;
2. 125,05;
3. 0,0081;
4. 17 000 000;
5. 1,00005.

1. 9280 → 28.9. Posuňte desetinnou čárku o 3 místa doleva, číslo se sníží (samozřejmě 9,28< 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
2. 125,05 → 1,2505. Shift - 2 číslice doleva, číslo se snížilo (1,2505< 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
3. 0,0081 → 8.1. Tentokrát byl posun doprava o 3 číslice, takže číslo vzrostlo (8,1 > 0,0081). Výsledek: 8,1 · 10 −3 ;
4. 17000000 → 1.7. Posun je o 7 číslic doleva, číslo se snížilo. Výsledek: 1,7 · 10 7 ;
5. 1,00005 → 1,00005. Neexistuje žádný posun, takže k = 0. Výsledek: 1,00005 · 10 0 (to se také stává!).

Jak vidíte, ve standardním tvaru jsou zastoupeny nejen desetinné zlomky, ale také obyčejná celá čísla. Například: 812 000 = 8,12 · 10 5 ; 6 500 000 = 6,5 10 6.

Kdy použít standardní notaci

Teoreticky by standardní zápis čísel měl ještě zjednodušit zlomkové výpočty. V praxi je však znatelný zisk dosažen pouze při provádění srovnávací operace. Protože porovnávání čísel zapsaných ve standardním tvaru se provádí takto:

1. Porovnejte mocniny deseti. Největší číslo bude číslo s tímto stupněm větší;
2. Pokud jsou stupně stejné, začneme porovnávat významné postavy- jako v běžných desetinných zlomcích. Porovnání probíhá zleva doprava, od nejvýznamnějšího k nejméně významnému. Největší číslo bude to, ve kterém je další číslice větší;
3. Pokud jsou mocniny deseti stejné a všechny číslice jsou stejné, pak jsou stejné i zlomky.

To vše samozřejmě platí pouze pro kladná čísla. U záporných čísel jsou všechna znaménka obrácená.

Pozoruhodnou vlastností zlomků psaných ve standardním tvaru je, že jejich významné části lze přiřadit libovolný počet nul – jak zleva, tak zprava. Podobné pravidlo existuje pro další desetinné zlomky (viz lekce „Desetinná čísla“), ale mají svá vlastní omezení.

Úkol. Porovnejte čísla:

1. 8,0382 106 a 1,099 1025;
2. 1,76 · 103 a 2,5 · 10-4;
3. 2,215 · 1011 a 2,64 · 1011;
4. -1,3975 · 103 a -3,28 · 104;
5. −1,0015 · 10 -8 a -1,001498 · 10 -8.

1. 8,0382 10 6 a 1,099 10 25. Obě čísla jsou kladná a první má nižší stupeň deset než druhé (6< 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
2. 1,76 · 10 3 a 2,5 · 10 -4. Čísla jsou opět kladná a stupeň deset pro první z nich je větší než pro druhé (3 > −4). Proto 1,76 · 10 3 > 2,5 · 10 −4 ;
3. 2,215 10 11 a 2,64 10 11. Čísla jsou kladná, mocniny deseti jsou stejné. Podíváme se na významnou část: první číslice se také shodují (2 = 2). Rozdíl začíná na druhé číslici: 2< 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
4. -1,3975 · 103 a -3,28 · 104. Tento záporná čísla. První má o deset méně (3< 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 >-3,28 · 104;
5. −1,0015 · 10 -8 a -1,001498 · 10 -8. Opět záporná čísla a mocniny deseti jsou stejné. První 4 číslice významné části jsou také stejné (1001 = 1001). Na 5. číslici začíná rozdíl, a to: 5 > 4. Protože původní čísla jsou záporná, docházíme k závěru: −1,0015 10 −8< −1,001498 · 10 −8 .

Poznamenali jsme, že může být jakýkoli monomiál uvést do standardní podoby. V tomto článku pochopíme, co se nazývá uvedení monomiálu do standardní formy, jaké akce umožňují tento proces provést a zvážíme řešení příkladů s podrobným vysvětlením.

Navigace na stránce.

Co to znamená zredukovat monomiál na standardní formu?

Je výhodné pracovat s monočleny, když jsou psány ve standardním tvaru. Poměrně často jsou však monomily specifikovány v jiné než standardní formě. V těchto případech můžete vždy přejít z původního monomiálu na monomický standardní tvar provedením transformací identity. Proces provádění takových transformací se nazývá redukce monomiálu na standardní formu.

Shrňme výše uvedené argumenty. Zmenšete monomiální na standardní tvar- to znamená provádět s ním identické transformace tak, aby nabyl standardní podoby.

Jak převést monomiál do standardní formy?

Je čas přijít na to, jak zredukovat monomily na standardní formu.

Jak je známo z definice, monomiály nestandardního tvaru jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin, případně opakujících se. A jednočlen standardního tvaru může obsahovat ve svém zápisu pouze jedno číslo a neopakující se proměnné nebo jejich mocniny. Nyní zbývá pochopit, jak přivést produkty prvního typu k typu druhého?

Chcete-li to provést, musíte použít následující pravidlo pro redukci monomiálu na standardní formu skládající se ze dvou kroků:

• Nejprve se provede seskupení číselných faktorů a také identických proměnných a jejich mocnin;
• Za druhé se vypočítá a použije součin čísel.

V důsledku aplikace uvedeného pravidla bude jakýkoli monomiál zredukován na standardní formu.

Příklady, řešení

Nezbývá než se naučit aplikovat pravidlo z předchozího odstavce při řešení příkladů.

Příklad.

Zmenšete monomiální 3 x 2 x 2 na standardní formu.

Řešení.

Seskupme číselné faktory a faktory s proměnnou x. Po seskupení bude mít původní jednočlen tvar (3·2)·(x·x 2) . Součin čísel v prvních závorkách je roven 6 a pravidlo pro násobení mocnin se stejnými základy umožňuje, aby výraz ve druhých závorkách byl reprezentován jako x 1 +2=x 3. Výsledkem je polynom standardního tvaru 6 x 3.

Zde je krátké shrnutí řešení: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.

Odpovědět:

3 x 2 x 2 = 6 x 3.

Chcete-li tedy uvést jednočlen do standardního tvaru, musíte být schopni seskupovat faktory, násobit čísla a pracovat s mocninami.

Pro konsolidaci materiálu vyřešme ještě jeden příklad.

Příklad.

Uveďte monomiál ve standardním tvaru a uveďte jeho koeficient.

Řešení.

Původní monomial má ve svém zápisu jediný číselný faktor −1, přesuňme ho na začátek. Poté seskupíme faktory zvlášť s proměnnou a, zvlášť s proměnnou b a proměnnou m není do čeho seskupit, necháme to tak, máme . Po provedení operací se stupni v závorkách nabude monočlen standardní tvar, který potřebujeme, ze kterého můžeme vidět koeficient monočlenu rovný −1. Minus jedna lze nahradit znaménkem minus: .