Instituto Estatal de Arquitectura y Construcción de Novosibirsk
Universidad (Sibtrin)
CONFERENCIAS DE MECÁNICA TEÓRICA.
CINEMÁTICA
CONFERENCIA 3.
MOVIMIENTO PLANO DEL SÓLIDO
CUERPOS
Departamento de Mecánica Teórica

Esquema de la conferencia

Introducción.
Ley del movimiento plano.
Velocidades de puntos del cuerpo.
Aceleraciones de puntos del cuerpo.
.
Conclusión.

En conferencias anteriores

Ya hemos estudiado:
-Cinemática del punto.
-Movimiento hacia adelante sólido
-movimiento rotacional sólido
Tema de la conferencia de hoy:
Movimiento plano de un sólido.
cuerpo
q
oh
Definición. Departamento
este movimiento se llama
PAG
cuerpo rígido para el cual todo x
sus puntos M(t) se mueven hacia adentro
planos Q paralelos
algunos arreglados
avión p.
METRO
COMO
y

Propósito de la conferencia

aprender movimiento plano
sólido

Introducción
Ejemplos:
-Movimiento rotacional (plano P –
perpendicular al eje de rotación)
-Movimiento de la aeronave en modo crucero.
(el plano P es perpendicular a la envergadura)
-Movimiento de las ruedas del coche en una carretera recta.
(plano P – a lo largo de la carrocería del automóvil)
-Movimiento de mecanismos planos:
vB
Virginia
C
A
B
norte
METRO
D
mi

Introducción
q
oh
PAG
METRO
COMO
y
X
Declaración. Todos los puntos de la recta AM,
perpendicular a P, muévase en la misma dirección.
Prueba. Porque el cuerpo es sólido, entonces AM=const;
Porque P es paralelo a Q, entonces el segmento AM permanece
perpendicular a P. Entonces su movimiento
progresivamente. Por lo tanto todos sus puntos
moverse de la misma manera.
Conclusión: la tarea se reduce a estudiar el movimiento.
secciones S en el plano P.

y
Movimiento figura plana S
relativo al sistema Oxy
Estará completamente determinado
A
ya
movimiento del segmento AB
oh
xA (t), y A (t)
B
φ
xA
- determinar el movimiento del polo A.
t - define la rotación de AB alrededor del polo A.
xA xA (t), y A y A (t), (t)
- ley del movimiento plano de un cuerpo rígido
X

Ley del movimiento plano de un cuerpo rígido.
Interpretación. Introduzcamos el auxiliar Y y
sistema propulsor:
Ax1 y1; Ax1 es paralelo a Ox,
B
1
x1
A
Ay1 es paralela a Oy;
oh
En el sistema Ax1 y1 el cuerpo gira
X
movimiento corporal. Sistema Ax1 y1 se mueve
en relación con Oxy progresivamente
El movimiento plano es la suma de la traslación.
movimiento junto con el polo A y rotación
movimiento relativo al polo A
x A (t), y A (t) especifica el movimiento de traslación
(t) especifica el movimiento de rotación

Interpretación

1
A)
A
B
2
B"
1"
1
b)
φ
A"
1"
2
B
A
B"
φ
A"
La sección se puede transferir de la posición 1 a la posición 2.
considerado como una superposición de dos movimientos:
traslacional de 1 a 1" y rotacional de 1" a 2
alrededor del punto A."
Puedes elegir cualquier punto como poste. En
arroz. b) se elige el punto B como polo.
Atención: ¡La longitud del recorrido durante el movimiento de traslación ha cambiado, pero el ángulo de rotación sigue siendo el mismo!
Aquellos. la parte traslacional depende de la elección del polo, y
¡La parte rotacional no depende!

Ley del movimiento y trayectorias de los puntos del cuerpo.

rM (t) rA (t) (t)
xM (t) x A (t) (t) cos((t))
y1
y
rm
yM (t) y A (t) (t) sen((t))
Ejemplo (movimiento de elipsógrafo)
AB l, AM b;
y
oh
real academia de bellas artes
B
x1
X
Determinar la ley del movimiento.
y la trayectoria del punto M
METRO
B
xM (t) (b l) cos (t)
A
A
METRO
ρ
oh
X
yM (t) b sen (t) ley del movimiento
xM2
yM2
2 1 elipse
2
(bl)
b

Velocidades de los puntos del cuerpo

y1
rM (t) rA (t) (t)
y
rm
Diferenciando obtenemos:
METRO
ρ
B
x1
A
v M v A v MA
X
r
oh
v Una velocidad de polo
d
v MA
velocidad de rotación alrededor del polo
dt
(v MA velocidad M en el sistema Ax1 y1).
A
mv
vMA AM
v MA
Virginia
A
METRO
Virginia

Consecuencias de la fórmula para velocidades puntuales.

Corolario 1. Proyecciones de velocidades de dos puntos de un sólido
vB
los cuerpos en la recta que los une son iguales.
Prueba.
v B v A v BA
v B cos v A cos
Corolario 2. Si puntos
A, B, C se encuentran en uno
recto, luego los extremos
vectores v A , v B , v C
yacer en la misma línea recta
y ab/bc AB/BC
Virginia
A
vBA
β
α
α
B
Virginia

MCS es un punto cuya velocidad
A
igual a cero en este momento tiempo.
C
Ejemplo. Rodando sin resbalar
Disco de Vania. Punto MCS C.
Declaración. Si velocidad angular no igual a cero
para un t dado, entonces el MCS existe y es único.
Virginia
Prueba.
A
Porque 0 entonces A y B, v A v B .
C
Si v A y v B no son paralelos: B A
v A v C v AC ; v B v C v BC
Si v C 0 entonces v A AC , v B BC
C encontrado.
B
vB

Centro de velocidad instantánea (IVC)

Si v A y vB son paralelos:
A
B
C
V)
b)
a)
Virginia
A
Virginia
vB
C
vB
Virginia
A
B
vB
B
Si 0 entonces el caso c) es imposible
(por el teorema de la proyección)
Si 0 entonces para todo A, B: v A v B
y MCS no existe

Propiedades del MCS.
Sea P el MCS. Eligiendo P como polo, obtenemos:
v A ω PA; v B ω PB;
v UNA PA; v B PB
vB
vA vB vC
O:
...
AP PA CP
Además v Con PC
v B PB
A
PAG
Virginia
ω
B
Conclusión. Si el MCS (punto P) se toma como un polo, entonces
El movimiento plano para un t dado es
rotación pura alrededor del punto P

MCU (ejemplo)
Ejemplo. La rueda rueda sin patinar.
camino recto.
A
B
Virginia
C
vB
vC
D
ω
enfermedad venérea
EDUCACIÓN FÍSICA
Virginia
A
B
vB
D
enfermedad venérea

Ejemplo (cálculo de velocidades de un mecanismo plano)
Dado: OA, r1 r2 r, BD CD l
Determine v A, v B, v D, BD; CD
Solución.
A
oh
OA: v A OA OA ;
AB: P1 - MCS AB contra B BP1;
Virginia
P1
vB
D
B
45ºP
BD
enfermedad venérea
ω AB v A /AP1 v B /BP1 v B 2 2r OA
BD: PBD МЦСBD BD v B / BPBD v D / DPBD
BD 4r OA / l , v D 2 2r OA
CD: v D CD, CD v D / CD 2 2r OA / l
C

Aceleraciones de puntos del cuerpo.

Tenemos la igualdad: v B v A ω ρ
Diferenciémoslo:
d v B dv A dω d ρ
AB
ρ ω
dt
dt
dt
dt
z
aA ε ρ ω ω ρ
y
B
aBA sustantivo, femenino—
aba
vBA
A
oh
z1
ω
Automóvil club británico
ɛ
X
norte
aBA; aBA vBA
norte
aB a A aBA aBA
La aceleración del punto B es igual a la suma de las aceleraciones del polo A y
aceleración de rotación del punto B alrededor del polo A

Corolario de la fórmula para aceleraciones puntuales.

C
a
Automóvil club británico
A
b
AB
B
C.A
cx
Arroz. 13.19
Consecuencia. si puntos
en una línea recta
A B C
mentir
entonces los extremos de los vectores aA , aB , aC
se encuentran en la misma línea recta, y ab/bc AB/BC

Centro de Aceleración Instantánea (IAC)

MCU es el punto Q, cuya aceleración en un momento dado
el tiempo t es cero.
Declaración. Para movimiento no traslacional de la MCU
EN
existe y es único.
a
B
A
Automóvil club británico
Prueba.
aA aQ a AQ ; MCU Q
2
aA a AQ ; tg/;
C.A
C
q
a A AQ 2 4 AQ a A / 2 4
La distribución de aceleraciones es la misma que cuando se gira alrededor de Q.
aA / AQ aB / BQ aC / CQ
2
Comentario. ¡MCS y MCU son puntos diferentes!
4

Cálculo cinemático de un mecanismo plano.

Ejemplo. Dado: OA, OA
Definir:
v A , v B , AB ,
antes de Cristo, aA, aB, AB, AB
Diagrama de solución.
1. Cálculo de velocidades.
OA: v A OA; v A OA;
AB: v B BC PAB MCS AB ; ωAB v A /APAB v B /BPAB
antes de Cristo: ωBC v B /BC

Cálculo cinemático de un mecanismo plano.

2. Cálculo de aceleraciones.
OA: a Un 2OA; una A OA;
nn
2
AB: aB a A aBA aBA ; AB AB
AB; a BA AB AB;
norte
2
BC: aB aB aB (*); aBn antes de Cristo
ANTES DE CRISTO.; a B antes de Cristo antes de Cristo
nn
norte
aB aB a A a A aBA aBA (**)
En (**) hay dos incógnitas: AB, BC. Proyectando (**) sobre
Dos ejes, busquémoslos. Encontramos la aceleración aB a partir de (*).

Un ejemplo más

OA0, OA11; AB12; BD l3; DE l4
Determinar v E
Dado:

Conclusión

Conclusión
1. Se deriva la ley del movimiento plano.
2. Se muestra que el movimiento plano está representado por
la suma de los movimientos más simples - traslacional
junto con el poste y girando alrededor
polos.
3. Se deriva la fórmula para la relación entre velocidades.
puntos y sus consecuencias.
4. Se define y muestra el concepto de SCV
svotstvá.
5. Se deriva la fórmula para la conexión entre aceleraciones.
puntos y sus consecuencias.
6. Se consideran ejemplos de cálculos cinemáticos.
Mecanismos planos.

Preguntas de prueba para la conferencia.

1. ¿Cuántos grados de libertad tiene un cuerpo rígido?
haciendo un movimiento plano?
2. Escribe la ley del movimiento plano de un cuerpo rígido.
3. ¿Cómo se relacionan las velocidades de dos puntos de un cuerpo rígido?
cuerpo en movimiento plano?
4. ¿Cuál es la velocidad angular de rotación de un cuerpo rígido?
5. Formule un teorema sobre las proyecciones de las velocidades de dos
Puntos de un cuerpo rígido en movimiento plano.
6. ¿Cómo se llama centro instantáneo de velocidades?
7. ¿Qué necesitas saber para determinar el MCS?
8. ¿Qué componentes constituyen la aceleración de un punto?
¿un cuerpo rígido sometido a un movimiento plano?
9. ¿Cuál es la aceleración del movimiento de rotación de un punto?
junto con el cuerpo alrededor del poste?

Movimiento plano paralelo de un cuerpo rígido.

1. Ecuaciones de movimiento plano-paralelo

Plano paralelo (o plano) es el movimiento de un cuerpo rígido en el que todos sus puntos se mueven paralelos a algún plano fijo P.

Consideremos la sección S del cuerpo por algún plano. ohxy, paralelo al plano PAG. En un movimiento plano-paralelo, todos los puntos del cuerpo se encuentran en línea recta. MM / , perpendicular a la sección (S) , es decir al avión PAG se mueven de manera idéntica y en cada momento del tiempo tienen las mismas velocidades y aceleraciones. Por tanto, para estudiar el movimiento de todo el cuerpo, basta con estudiar cómo se mueve la sección. S cuerpos en avion ohxy.

(4.1)

Las ecuaciones (4.1) determinan la ley del movimiento en curso y se denominan Ecuaciones de movimiento plano-paralelo de un cuerpo rígido.

2. Descomposición del movimiento plano paralelo en movimiento traslacional

junto con el poste y girando alrededor del poste

Demostremos que el movimiento plano consta de movimiento de traslación y de rotación. Para ello, consideremos dos posiciones sucesivas I y II, que ocupa la sección S cuerpo en movimiento en momentos del tiempo t 1 Y t 2= t 1 + Δt . Es fácil ver que la sección S, y con él se puede llevar todo el cuerpo de la posición I a la posición II de la siguiente manera: primero movemos el cuerpo en traslación, de modo que el polo A, moviéndose a lo largo de su trayectoria, llegó a una posición un 2. En este caso, el segmento A 1 B 1 Tomará una posición y luego rotará la sección alrededor del poste. un 2 en un angulo Δφ 1.

En consecuencia, el movimiento plano-paralelo de un cuerpo rígido se compone de un movimiento de traslación, en el que todos los puntos del cuerpo se mueven de la misma manera que el polo. Y también del movimiento de rotación alrededor de este polo.

Cabe señalar que el movimiento de rotación del cuerpo se produce alrededor de un eje perpendicular al plano. PAG y pasando por el poste A. Sin embargo, para abreviar, de ahora en adelante llamaremos a este movimiento simplemente rotación alrededor del polo. A.

La parte de traslación del movimiento plano-paralelo se describe obviamente mediante las dos primeras ecuaciones (2.1), y la rotación alrededor del polo A - la tercera de las ecuaciones (2.1).

Características cinemáticas básicas del movimiento plano.

Puedes elegir cualquier punto del cuerpo como poste.

Conclusión : la componente rotacional del movimiento plano no depende de la elección del polo, por lo tanto, la velocidad angularω y aceleración angularmison comunes a todos los polos y se llamanvelocidad angular y aceleración angular de una figura plana

Los vectores y se dirigen a lo largo de un eje que pasa por el polo y es perpendicular al plano de la figura.

imagen 3D

3. Determinación de las velocidades de los puntos del cuerpo.

Teorema: la velocidad de cualquier punto en una figura plana es igual a suma geométrica la velocidad del polo y la velocidad de rotación de ese punto alrededor del polo.

En la demostración partiremos del hecho de que el movimiento plano-paralelo de un cuerpo rígido se compone de un movimiento de traslación, en el que todos los puntos del cuerpo se mueven con rapidez. v A y del movimiento de rotación alrededor de este polo. Para separar estos dos tipos de movimiento, introducimos dos sistemas de referencia: Oxy – estacionario y Ox 1 y 1 – que se mueve traslacionalmente junto con el polo. A. En relación con el sistema de referencia en movimiento, el movimiento de un punto METRO será "rotativo alrededor del polo A».

Por tanto, la velocidad de cualquier punto M del cuerpo es geométricamente la suma de la velocidad de algún otro punto. A, tomado como polo, y la velocidad del punto METRO en su movimiento de rotación junto con el cuerpo alrededor de este polo.

Interpretación geométrica del teorema.

Corolario 1. Las proyecciones de las velocidades de dos puntos de un cuerpo rígido sobre una línea recta que conecta estos puntos son iguales entre sí.

Este resultado facilita encontrar la velocidad de un punto dado de un cuerpo si se conocen la dirección del movimiento de este punto y la velocidad de algún otro punto del mismo cuerpo.

Ministerio de Educación y Ciencia Federación Rusa

Institución educativa presupuestaria del estado federal

educación profesional superior

"Universidad Tecnológica Estatal de Kuban"

Mecánica teórica

Notas de lectura

para solteros ZiDO

áreas técnicas

CINEMÁTICA

Compilado por: Doctor en Ciencias Técnicas, Prof. Smelyagin A.I.

Ph.D., Profesor Asociado Kegeles V.L.

krasnodar 2011

1 Cinemática. Conceptos generales 2

2 Cinemática del punto 2

3 Cinemática de un cuerpo rígido 7

3.1 Movimiento de traslación de un cuerpo rígido 7

3.2 Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo 7

3.3 Movimiento plano-paralelo (plano) de un cuerpo rígido 9

3.4 Movimiento esférico 15

4 Movimiento complejo del punto 17

1 Cinemática. Conceptos generales

La cinemática es una sección de la mecánica teórica que estudia el movimiento de los cuerpos materiales sin tener en cuenta los motivos que provocan este movimiento.

En la mecánica clásica, el movimiento de los cuerpos materiales se considera en un espacio euclidiano tridimensional y el tiempo se considera absoluto, independiente del sistema de referencia.

Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas asociado invariablemente al cuerpo en relación con el cual se considera el movimiento de los objetos en estudio.

Si el sistema de referencia está en reposo, entonces el movimiento del objeto con respecto a él se llama absoluto. El movimiento de un objeto con respecto a un sistema de referencia en movimiento se llama relativo.

Los métodos cinemáticos permiten determinar la posición del objeto en estudio en el sistema de referencia considerado, así como encontrar su velocidad y aceleración en cualquier momento.

El estudio de la sección comienza con la cinemática de un punto (aislado, perteneciente a un cuerpo sólido o a un medio continuo), para luego pasar a considerar el movimiento de los cuerpos sólidos y sus sistemas.

Cinemática de 2 puntos

Las características del movimiento de un punto en cualquier momento son su posición, velocidad y aceleración.

El lugar geométrico de las posiciones sucesivas de un punto se llama trayectoria.

Para determinar las características del movimiento y la trayectoria de un punto, generalmente se utilizan tres métodos para especificar su movimiento: vectorial, de coordenadas y natural.

Método vectorial para especificar el movimiento.

Posición puntos en cualquier momento está especificado por el vector de radio , extraído de algún centro fijo.

Ecuación de movimiento:
.

Trayectoria los puntos son la hodógrafa vectorial .

Velocidad promedio de un punto durante el tiempo Δt

, Dónde
.

Velocidad puntos en el tiempo t

.

EN el vector velocidad se dirige tangencialmente a la trayectoria en un punto dado.

Aceleración media de un punto en el tiempo Δt

, Dónde
.

Aceleración puntos en el tiempo t

.

Este método se utiliza, por regla general, en el análisis teórico de patrones de movimiento.

Entonces,
;
;
.

Método de coordenadas para especificar el movimiento.

Para describir el movimiento de un punto se utilizan sistemas de coordenadas: cartesiano, polar, cilíndrico, esférico, etc.

Posición un punto en un sistema de coordenadas cartesiano en cualquier momento está determinado por sus coordenadas x, y, z.

ecuación de movimiento de un punto

Estas ecuaciones definen la trayectoria de un punto en forma paramétrica.

Las ecuaciones de trayectoria de un punto en forma de coordenadas se pueden obtener mediante

excluyendo el parámetro t de las ecuaciones de movimiento, en forma de sistema de ecuaciones
,
.

Velocidad .

De este modo,
,
,
.

módulo de velocidad
.

Cosenos de dirección

;
;
.

Aceleración ,

Entonces
,
,
.

Módulo de aceleración
.

Cosenos de dirección
;
;
.

Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación de Rusia Estado de Nizhni Nóvgorodarquitectura y construccion universidad

Instituto de Aprendizaje Abierto a Distancia

Aistov A.S., Baranova A.S., Tryanina N.Yu.

Mecánica teórica

Parte II. Cinemática y dinámica de cuerpos rígidos.

Aprobado por el Consejo Editorial y Editorial de la Universidad

como ayuda para la enseñanza

Nizhni Nóvgorod – 2004

BBK 22.21 T 11

Aistov A.S., Baranova A.S., Tryanina N.Yu. Mecánica teórica. Parte II. Cinemática y dinámica de un cuerpo rígido. Tutorial.– N. Novgorod: Nizhny Novgorod. estado arquitecto-construye univ., 2004.– 69 p.

ISBN 5-87941-303-9

El libro de texto contiene información básica y principios teóricos de cinemática y dinámica de un cuerpo rígido. Incluye tareas para pruebas sobre cinemática y dinámica, Breve información de la teoría, recomendaciones para la resolución de problemas, ejemplos de resolución de problemas típicos.

ISBN 5-87941-303-9

SECCIÓN 1. CINEMÁTICA

Introducción

La cinemática es una rama de la mecánica teórica que estudia el movimiento mecánico, es decir. un cambio en la posición de un cuerpo con respecto a otro cuerpo al que está asociado un sistema de referencia, que puede ser móvil o estacionario, sin tener en cuenta las fuerzas actuantes.

Perteneciente a la sección de ciencias fundamentales, son importantes la mecánica teórica y la cinemática. componente es la base para el estudio de muchas disciplinas estudiadas en las escuelas técnicas superiores.

Se encuentran las leyes y métodos de la mecánica teórica. aplicación amplia estudiando tareas más importantes técnicas, como el diseño de diversas estructuras, máquinas y mecanismos, el estudio del movimiento de los cuerpos cósmicos, la resolución de problemas de aerodinámica, balística y otros.

La mecánica teórica, basada en los trabajos de Aristóteles, Arquímedes, Galileo y Newton, se denomina mecánica clásica; considera el movimiento de los cuerpos a velocidades muy inferiores a la velocidad de la luz.

El movimiento mecánico ocurre en el tiempo en el espacio, mientras que en la mecánica clásica el espacio se considera tridimensional, sujeto a la geometría euclidiana; Se considera que el tiempo fluye de forma continua e idéntica en todos los sistemas de referencia.

1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA

Todas las cantidades cinemáticas que caracterizan el movimiento de un cuerpo o de su punto individual (distancia, velocidad, aceleración, etc.) se consideran funciones del tiempo.

Resolver un problema de cinemática significa encontrar la trayectoria, posición, velocidad y aceleración de cada punto del cuerpo.

trayectoria del punto- es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto en el espacio cuando se mueve.

La velocidad de un punto es una cantidad vectorial que caracteriza la velocidad de cambio en la posición de un punto en el espacio.

La aceleración de un punto es una cantidad vectorial que caracteriza la tasa de cambio de velocidad.

2. LOS MOVIMIENTOS SIMPLES DE UN CUERPO RÍGIDO

2.1. Movimiento de traslación de un cuerpo rígido.

El movimiento de traslación es un movimiento de un cuerpo rígido en el que el segmento que conecta dos puntos cualesquiera del cuerpo se mueve paralelo a sí mismo.

Durante el movimiento de traslación de un cuerpo rígido, las velocidades y aceleraciones de todos los puntos del cuerpo son geométricamente iguales y las trayectorias de todos los puntos son idénticas, es decir cuando se superponen coinciden, por lo que basta con conocer con precisión las características del movimiento de un punto del cuerpo.

2.2. Movimiento de rotación de un cuerpo rígido.

2.2.1. Velocidad angular y aceleración angular.

El movimiento de rotación es el movimiento de un cuerpo rígido en el que al menos dos puntos del cuerpo permanecen inmóviles. La línea recta que pasa por estos puntos se llama eje de rotación. Todos los puntos del cuerpo que se encuentran sobre el eje permanecen inmóviles durante la rotación. Todos los demás puntos del cuerpo se mueven en planos perpendiculares al eje de rotación y describen círculos cuyos centros se encuentran en el eje y los radios son iguales a las distancias de los puntos al eje (Fig. 1). Los puntos A y B se mantienen inmóviles mediante un cojinete de empuje y un cojinete, respectivamente.

Elijamos la dirección positiva del eje z y dibujemos un plano fijo I a través de él, y dibujemos un segundo plano II a través del eje y conectémoslo al cuerpo. Al girar, el plano II formará un ángulo con el plano I. El ángulo lineal ϕ de este ángulo en movimiento se llama ángulo de rotación. Si se conoce la función ϕ = f (t), entonces el movimiento de rotación se considera dado. La cantidad que caracteriza la velocidad de cambio en el ángulo de rotación se llama velocidad angular. La velocidad angular ω se define como la derivada temporal del ángulo de rotación.

ω= d dt ϕ =ϕ& (rad/seg) o (s-1)

La cantidad que caracteriza la tasa de cambio en la velocidad angular se llama aceleración angular, que se define como la segunda derivada del ángulo de rotación con respecto al tiempo o la primera derivada de la velocidad angular

	re 2 ϕ
	dt 2 dt

ε=ϕ&&=ω& (rad/seg2) o (s-2)

Si la primera y segunda derivada del ángulo ϕ con respecto al tiempo tienen el mismo signo, entonces la rotación se acelera si signo diferente– algo lento. Si la velocidad angular es constante, entonces la rotación es uniforme (en este caso, la aceleración angular ε = 0).

2.2.2. Velocidad y aceleración de un punto de un cuerpo en rotación.

La velocidad de movimiento de un punto de un cuerpo en un círculo se llama Velocidad rotacional, y su módulo depende de la distancia del punto al eje de rotación.

V = ω OM

El vector de velocidad se dirige perpendicular al radio del círculo descrito por el punto en la dirección de rotación (Fig. 2).

La aceleración de un punto en un cuerpo en rotación tiene dos componentes: aceleración centrípeta y de rotación.

Acs = ω 2 OM avr = ε OM

El vector a cs se dirige desde el punto al eje de rotación, el vector a bp se dirige perpendicular al radio hacia ε.

El vector de aceleración total a es igual a la suma geométrica de a cs y a wr

a = a cs + a vr,

y el módulo de aceleración total está determinado por la fórmula

a = OM ω 4 +ε 2

2.2.3. Expresión vectorial de velocidad, aceleraciones centrípetas y rotacionales de puntos de un cuerpo giratorio.

Generalmente se acepta que la velocidad angular y la aceleración angular son vectores dirigidos a lo largo del eje de rotación, y el vector ω está dirigido a lo largo del eje de tal manera que desde su extremo la rotación parece ocurrir en sentido antihorario, el vector de aceleración angular ε también se dirige a lo largo del eje al mismo en la misma dirección que ω durante la rotación acelerada, o en la dirección opuesta durante la rotación lenta.

La velocidad de rotación de un punto, las aceleraciones centrípeta y de rotación se pueden representar en forma de productos vectoriales (Fig. 3).

v = ω x r,

a cs = ω x v = ω x ω x r

un tiempo = ε x r

Mecánica teórica es una sección de mecánica que establece las leyes básicas del movimiento mecánico y la interacción mecánica de los cuerpos materiales.

La mecánica teórica es una ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos a lo largo del tiempo (movimientos mecánicos). Sirve de base para otras ramas de la mecánica (teoría de la elasticidad, resistencia de los materiales, teoría de la plasticidad, teoría de mecanismos y máquinas, hidroaerodinámica) y muchas disciplinas técnicas.

movimiento mecánico- se trata de un cambio en el tiempo en la posición relativa en el espacio de los cuerpos materiales.

Interacción mecánica- se trata de una interacción como resultado de la cual cambia el movimiento mecánico o cambia la posición relativa de las partes del cuerpo.

Estática de cuerpo rígido

estática Es una sección de la mecánica teórica que se ocupa de los problemas de equilibrio de cuerpos sólidos y de la transformación de un sistema de fuerzas en otro equivalente a él.

Conceptos básicos y leyes de la estática.
• Cuerpo absolutamente rígido(cuerpo sólido, cuerpo) es un cuerpo material, la distancia entre cualquier punto en el que no cambia.
• punto material es un cuerpo cuyas dimensiones, según las condiciones del problema, pueden despreciarse.
• Cuerpo libre- Se trata de un organismo a cuya circulación no se imponen restricciones.
• Cuerpo no libre (atado) Es un organismo cuyo movimiento está sujeto a restricciones.
• Conexiones– son cuerpos que impiden el movimiento del objeto en cuestión (un cuerpo o un sistema de cuerpos).
• Reacción de comunicación es una fuerza que caracteriza la acción de un enlace sobre un cuerpo sólido. Si consideramos la fuerza con la que un cuerpo sólido actúa sobre un enlace como una acción, entonces la reacción del enlace es una reacción. En este caso, la fuerza - acción se aplica a la conexión y la reacción de la conexión se aplica al cuerpo sólido.
• Sistema mecánico es una colección de cuerpos o puntos materiales interconectados.
• Sólido Puede considerarse como un sistema mecánico cuyas posiciones y distancias entre puntos no cambian.
• Fuerza es una cantidad vectorial que caracteriza la acción mecánica de un cuerpo material sobre otro.
  La fuerza como vector se caracteriza por el punto de aplicación, la dirección de acción y valor absoluto. La unidad del módulo de fuerza es Newton.
• Línea de acción de la fuerza. es una línea recta a lo largo de la cual se dirige el vector de fuerza.
• Poder enfocado– fuerza aplicada en un punto.
• Fuerzas distribuidas (carga distribuida)- son fuerzas que actúan sobre todos los puntos del volumen, superficie o longitud de un cuerpo.
  La carga distribuida está especificada por la fuerza que actúa por unidad de volumen (superficie, longitud).
  La dimensión de la carga distribuida es N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Fuerza externa es una fuerza que actúa desde un cuerpo que no pertenece al sistema mecánico considerado.
• Fuerza interior es una fuerza que actúa sobre un punto material de un sistema mecánico desde otro punto material perteneciente al sistema considerado.
• sistema de fuerza Es un conjunto de fuerzas que actúan sobre un sistema mecánico.
• Sistema de fuerza plana Es un sistema de fuerzas cuyas líneas de acción se encuentran en el mismo plano.
• Sistema espacial de fuerzas. Es un sistema de fuerzas cuyas líneas de acción no se encuentran en el mismo plano.
• Sistema de fuerzas convergentes. Es un sistema de fuerzas cuyas líneas de acción se cruzan en un punto.
• Sistema arbitrario de fuerzas. Es un sistema de fuerzas cuyas líneas de acción no se cruzan en un punto.
• Sistemas de fuerzas equivalentes- Estos son sistemas de fuerzas, cuya sustitución entre sí no cambia el estado mecánico del cuerpo.
  Designación aceptada: .
• Equilibrio- este es un estado en el que un cuerpo, bajo la acción de fuerzas, permanece inmóvil o se mueve uniformemente en línea recta.
• Sistema equilibrado de fuerzas.- este es un sistema de fuerzas que, cuando se aplica a un cuerpo sólido libre, no cambia su estado mecánico (no lo desequilibra).
  .
• Fuerza resultante es una fuerza cuya acción sobre un cuerpo es equivalente a la acción de un sistema de fuerzas.
  .
• Momento de poder es una cantidad que caracteriza la capacidad de rotación de una fuerza.
• par de fuerzas Es un sistema de dos fuerzas paralelas de igual magnitud y de direcciones opuestas.
  Designación aceptada: .
  Bajo la influencia de un par de fuerzas, el cuerpo realizará un movimiento de rotación.
• Proyección de fuerza sobre el eje.- este es un segmento encerrado entre perpendiculares trazadas desde el principio y el final del vector de fuerza hasta este eje.
  La proyección es positiva si la dirección del segmento coincide con la dirección positiva del eje.
• Proyección de fuerza sobre un plano. es un vector en un plano, encerrado entre perpendiculares trazadas desde el principio y el final del vector de fuerza hasta este plano.
• Ley 1 (ley de la inercia). Un punto material aislado está en reposo o se mueve de manera uniforme y rectilínea.
  El movimiento uniforme y rectilíneo de un punto material es movimiento por inercia. El estado de equilibrio de un punto material y un cuerpo rígido se entiende no sólo como un estado de reposo, sino también como un movimiento por inercia. Para un cuerpo sólido existen diferentes tipos movimiento por inercia, por ejemplo, rotación uniforme de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.
• Ley 2. Un cuerpo rígido está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas sólo si estas fuerzas son iguales en magnitud y están dirigidas en direcciones opuestas a lo largo de una línea de acción común.
  Estas dos fuerzas se llaman equilibrio.
  En general, las fuerzas se llaman equilibradas si el cuerpo sólido al que se aplican estas fuerzas está en reposo.
• Ley 3. Sin alterar el estado (la palabra "estado" aquí significa el estado de movimiento o reposo) de un cuerpo rígido, se pueden agregar y rechazar fuerzas de equilibrio.
  Consecuencia. Sin alterar el estado de un cuerpo sólido, la fuerza se puede transferir a lo largo de su línea de acción a cualquier punto del cuerpo.
  Dos sistemas de fuerzas se llaman equivalentes si uno de ellos puede ser reemplazado por el otro sin alterar el estado del cuerpo sólido.
• Ley 4. La resultante de dos fuerzas aplicadas en un punto, aplicada en el mismo punto, es igual en magnitud a la diagonal de un paralelogramo construido sobre estas fuerzas y se dirige a lo largo de este
  diagonales.
  El valor absoluto de la resultante es:
  
• Ley 5 (ley de igualdad de acción y reacción). Las fuerzas con las que dos cuerpos actúan entre sí son de igual magnitud y están dirigidas en direcciones opuestas a lo largo de la misma línea recta.
  Hay que tener en cuenta que acción- fuerza aplicada al cuerpo B, Y oposición- fuerza aplicada al cuerpo A, no están equilibrados, ya que se aplican a cuerpos diferentes.
• Ley 6 (ley de solidificación). El equilibrio de un cuerpo no sólido no se altera cuando se solidifica.
  No hay que olvidar que las condiciones de equilibrio, que son necesarias y suficientes para un cuerpo sólido, son necesarias pero insuficientes para el correspondiente cuerpo no sólido.
• Ley 7 (ley de emancipación de ataduras). Un cuerpo sólido no libre puede considerarse libre si se libera mentalmente de enlaces, reemplazando la acción de los enlaces por las correspondientes reacciones de los enlaces.

Conexiones y sus reacciones.
• Superficie lisa Limita el movimiento normal a la superficie de soporte. La reacción se dirige perpendicular a la superficie.
• Soporte móvil articulado Limita el movimiento del cuerpo normal al plano de referencia. La reacción se dirige perpendicular a la superficie del soporte.
• Soporte fijo articulado Contrarresta cualquier movimiento en un plano perpendicular al eje de rotación.
• Varilla ingrávida articulada. Contrarresta el movimiento del cuerpo a lo largo de la línea de la varilla. La reacción se dirigirá a lo largo de la línea de la varilla.
• Sello ciego contrarresta cualquier movimiento y rotación en el avión. Su acción puede sustituirse por una fuerza representada en forma de dos componentes y un par de fuerzas con un momento.

Cinemática

Cinemática- una sección de mecánica teórica que examina las propiedades geométricas generales del movimiento mecánico como un proceso que ocurre en el espacio y el tiempo. Los objetos en movimiento se consideran puntos geométricos o cuerpos geométricos.

Conceptos básicos de cinemática.
• Ley del movimiento de un punto (cuerpo)– esta es la dependencia de la posición de un punto (cuerpo) en el espacio con respecto al tiempo.
• trayectoria del punto– esta es la ubicación geométrica de un punto en el espacio durante su movimiento.
• Velocidad de un punto (cuerpo)– esta es una característica del cambio en el tiempo de la posición de un punto (cuerpo) en el espacio.
• Aceleración de un punto (cuerpo)– esta es una característica del cambio en el tiempo de la velocidad de un punto (cuerpo).

Determinación de las características cinemáticas de un punto.
• trayectoria del punto
  En un sistema de referencia vectorial, la trayectoria se describe mediante la expresión: .
  En el sistema de referencia de coordenadas, la trayectoria está determinada por la ley del movimiento del punto y se describe mediante las expresiones z = f(x,y)- en el espacio, o y = f(x)- en un avión.
  En un sistema de referencia natural, la trayectoria se especifica de antemano.
• Determinar la velocidad de un punto en un sistema de coordenadas vectoriales
  Al especificar el movimiento de un punto en un sistema de coordenadas vectoriales, la relación entre el movimiento y un intervalo de tiempo se denomina valor promedio de la velocidad durante este intervalo de tiempo: .
  Tomando el intervalo de tiempo como un valor infinitesimal, obtenemos el valor de velocidad en un momento dado (valor de velocidad instantánea): .
  El vector de velocidad promedio se dirige a lo largo del vector en la dirección del movimiento del punto, el vector de velocidad instantánea se dirige tangencialmente a la trayectoria en la dirección del movimiento del punto.
  Conclusión: la velocidad de un punto es una cantidad vectorial igual a la derivada del tiempo de la ley del movimiento.
  Propiedad derivada: la derivada de cualquier cantidad con respecto al tiempo determina la tasa de cambio de esta cantidad.
• Determinar la velocidad de un punto en un sistema de referencia de coordenadas
  Tasa de cambio de coordenadas de puntos:
  .
  El módulo de la velocidad total de un punto con un sistema de coordenadas rectangular será igual a:
  .
  La dirección del vector velocidad está determinada por los cosenos de los ángulos directores:
  ,
  ¿Dónde están los ángulos entre el vector velocidad y los ejes de coordenadas?
• Determinar la velocidad de un punto en un sistema de referencia natural.
  La velocidad de un punto en el sistema de referencia natural se define como la derivada de la ley del movimiento del punto: .
  Según conclusiones anteriores, el vector velocidad se dirige tangencialmente a la trayectoria en la dirección del movimiento del punto y en los ejes está determinado por una sola proyección.

Cinemática de cuerpo rígido
• En la cinemática de cuerpos rígidos se resuelven dos problemas principales:
  1) establecer el movimiento y determinar las características cinemáticas del cuerpo en su conjunto;
  2) determinación de las características cinemáticas de los puntos del cuerpo.
• Movimiento de traslación de un cuerpo rígido.
  El movimiento de traslación es un movimiento en el que una línea recta trazada por dos puntos de un cuerpo permanece paralela a su posición original.
  Teorema: Durante el movimiento de traslación, todos los puntos del cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias idénticas y en cada momento tienen la misma magnitud y dirección de velocidad y aceleración..
  Conclusión: El movimiento de traslación de un cuerpo rígido está determinado por el movimiento de cualquiera de sus puntos, por lo que la tarea y estudio de su movimiento se reduce a la cinemática del punto..
• Movimiento de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.
  El movimiento de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo es el movimiento de un cuerpo rígido en el que dos puntos que pertenecen al cuerpo permanecen inmóviles durante todo el tiempo del movimiento.
  La posición del cuerpo está determinada por el ángulo de rotación. La unidad de medida del ángulo es el radian. (Un radian es el ángulo central de un círculo, cuya longitud de arco es igual al radio; el ángulo total del círculo contiene 2π radián.)
  La ley del movimiento de rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo.
  Determinamos la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo mediante el método de diferenciación:
  — velocidad angular, rad/s;
  — aceleración angular, rad/s².
  Si diseccionas el cuerpo con un plano perpendicular al eje, selecciona un punto en el eje de rotación. CON y un punto arbitrario METRO, luego señala METRO describirá alrededor de un punto CON radio del círculo R. Durante dt hay una rotación elemental a través de un ángulo, y el punto METRO se moverá a lo largo de la trayectoria una distancia .
  Módulo de velocidad lineal:
  .
  aceleración puntual METRO con una trayectoria conocida, está determinada por sus componentes:
  ,
  Dónde .
  Como resultado, obtenemos las fórmulas.
  aceleración tangencial: ;
  aceleración normal: .

Dinámica

Dinámica Es una sección de mecánica teórica en la que se estudian los movimientos mecánicos de los cuerpos materiales en función de las causas que los provocan.

Conceptos básicos de dinámica.
• Inercia- esta es la propiedad de los cuerpos materiales de mantener un estado de reposo o uniforme movimiento rectilíneo, Adiós Fuerzas externas no cambiará esta condición.
• Peso es una medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo. La unidad de masa es kilogramo (kg).
• punto material- se trata de un cuerpo con masa cuyas dimensiones se desprecian al resolver este problema.
• Centro de masa de un sistema mecánico. — punto geométrico, cuyas coordenadas están determinadas por las fórmulas:
  
  Dónde mk, xk, yk, zk- masa y coordenadas k-ese punto del sistema mecánico, metro— masa del sistema.
  En un campo de gravedad uniforme, la posición del centro de masa coincide con la posición del centro de gravedad.
• Momento de inercia de un cuerpo material con respecto a un eje. es una medida cuantitativa de la inercia durante el movimiento de rotación.
  El momento de inercia de un punto material con respecto al eje es igual al producto de la masa del punto por el cuadrado de la distancia del punto al eje:
  .
  El momento de inercia del sistema (cuerpo) con respecto al eje es igual a la suma aritmética de los momentos de inercia de todos los puntos:
  
• Fuerza de inercia de un punto material. es una cantidad vectorial igual en módulo al producto de la masa de un punto por el módulo de aceleración y dirigida opuesta al vector de aceleración:
• La fuerza de inercia de un cuerpo material. es una cantidad vectorial igual en módulo al producto de la masa corporal y el módulo de aceleración del centro de masa del cuerpo y dirigida opuesta al vector de aceleración del centro de masa: ,
  ¿Dónde está la aceleración del centro de masa del cuerpo?
• Impulso elemental de fuerza. es una cantidad vectorial igual al producto del vector de fuerza por un período de tiempo infinitesimal dt:
  .
  El impulso de fuerza total para Δt es igual a la integral de los impulsos elementales:
  .
• Trabajo elemental de fuerza. es una cantidad escalar da, igual al escalar proi