معادله دیفرانسیل مرتبه اول انواع معادلات دیفرانسیل، روش حل

مرتبه اول، با فرم استاندارد $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$، که در آن $P\left(x\right)$ یک تابع پیوسته است، همگن خطی نامیده می شود. "خطی" این واقعیت را توضیح می دهد که تابع مجهول $y$ و اولین مشتق آن $y"$ به صورت خطی، یعنی تا درجه اول در معادله گنجانده شده است. نام "همگن" از این واقعیت ناشی می شود که یک صفر در سمت راست معادله وجود دارد.

چنین معادله دیفرانسیل را می توان با استفاده از روش جداسازی متغیرها حل کرد. بیایید آن را در تصور کنیم فرم استانداردروش: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$، که در آن $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right)$ و $f_(2) \left(y\right)=y$.

بیایید انتگرال $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $ را محاسبه کنیم.

بیایید انتگرال $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right را محاسبه کنیم |$.

بیایید آن را بنویسیم راه حل کلیبه شکل $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$، جایی که $\ln \چپ|C_ (1) \right|$ یک ثابت دلخواه است که به شکلی مناسب برای تبدیل های بعدی گرفته شده است.

بیایید تبدیل ها را انجام دهیم:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

با استفاده از تعریف لگاریتم، می‌گیریم: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $ . این برابری، به نوبه خود، معادل برابری $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $ است.

با جایگزینی ثابت دلخواه $C=\pm C_(1) $، جواب کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی را بدست می آوریم: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) دلار.

پس از حل معادله $f_(2) \left(y\right)=y=0$، راه حل های خاصی پیدا می کنیم. با یک بررسی معمول متقاعد می شویم که تابع $y=0$ راه حل ویژه ای از این معادله دیفرانسیل است.

با این حال، همان راه حل را می توان از راه حل کلی $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $ بدست آورد و $C=0$ را در آن قرار داد.

بنابراین نتیجه نهایی این است: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $.

روش کلی برای حل یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه اول را می توان به صورت الگوریتم زیر نشان داد:

1. برای حل این معادله ابتدا باید به شکل استاندارد از روش $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ ارائه شود، اگر این امر محقق نشد، باید این معادله دیفرانسیل را با یک روش متفاوت
2. انتگرال $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $ را محاسبه می کنیم.
3. جواب کلی را به شکل $y=C\cdot e^(-I) $ می نویسیم و در صورت لزوم تبدیل های ساده سازی می کنیم.

مشکل 1

جواب کلی معادله دیفرانسیل $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$ را پیدا کنید.

ما یک معادله همگن خطی مرتبه اول به شکل استاندارد داریم که برای آن $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

ما انتگرال $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $ را محاسبه می کنیم.

راه حل کلی به این شکل است: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول

تعریف

یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول که می تواند به شکل استاندارد $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ نمایش داده شود، جایی که $P\left(x\right)$ و $ Q\left(x\right)$ -- شناخته شده است توابع پیوسته، معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی نامیده می شود. نام "ناهمگن" با این واقعیت توضیح داده می شود که سمت راست معادله دیفرانسیل غیر صفر است.

حل یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی پیچیده را می توان به حل دو معادله ساده تر تقلیل داد. معادلات دیفرانسیل. برای این کار، تابع مورد نیاز $y$ باید با حاصل ضرب دو تابع کمکی $u$ و $v$ جایگزین شود، یعنی $y=u\cdot v$ را قرار دهید.

ما جایگزین پذیرفته شده را متمایز می کنیم: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. عبارت به دست آمده را با این معادله دیفرانسیل جایگزین می کنیم: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ یا $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ راست] =Q\چپ(x\راست)$.

توجه داشته باشید که اگر $y=u\cdot v$ پذیرفته شود، می توان یکی از توابع کمکی را به صورت دلخواه به عنوان بخشی از محصول $u\cdot v$ انتخاب کرد. اجازه دهید تابع کمکی $v$ را انتخاب کنیم تا عبارت در براکت صفر شود. برای این کار کافی است معادله دیفرانسیل $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ را برای تابع $v$ حل کنید و ساده ترین راه حل خاص را برای آن انتخاب کنید. $v=v\left(x \راست)$، غیر صفر. این معادله دیفرانسیل خطی همگن است و با روشی که در بالا توضیح داده شد حل می شود.

با در نظر گرفتن این واقعیت که اکنون عبارت در پرانتز برابر با صفر است، جواب $v=v\left(x\right)$ را به جای این معادله دیفرانسیل قرار می دهیم و معادله دیفرانسیل دیگری به دست می آوریم، اما اکنون با توجه به به تابع کمکی $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. این معادله دیفرانسیل را می توان به صورت $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $ نشان داد، پس از آن مشخص می شود که بلافاصله اجازه می دهد ادغام برای این معادله دیفرانسیل باید یک جواب کلی به شکل $u=u\left(x,\; C\right)$ پیدا کرد.

اکنون می توانیم یک راه حل کلی برای این معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول به شکل $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ پیدا کنیم.

روش کلی برای حل یک معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه اول را می توان به صورت الگوریتم زیر نشان داد:

1. برای حل این معادله، ابتدا باید به شکل استاندارد روش $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ ارائه شود، اگر این امر محقق نشد، پس این معادله دیفرانسیل باید با روش دیگری حل شود.
2. انتگرال $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $ را محاسبه می کنیم، یک راه حل خاص را به شکل $v\left(x\right)=e^(-I_(1) می نویسیم. ) $، تبدیل های ساده کننده را اجرا کنید و ساده ترین گزینه غیر صفر را برای $v\left(x\right)$ انتخاب کنید.
3. انتگرال $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ را محاسبه می کنیم و بعد از آن عبارت را به شکل $u می نویسیم. \left(x, C\right)=I_(2) +C$.
4. جواب کلی این معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی را به شکل $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ می‌نویسیم و در صورت لزوم تبدیل‌های ساده‌سازی می‌کنیم.

مشکل 2

جواب کلی معادله دیفرانسیل $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$ را پیدا کنید.

ما یک معادله ناهمگن خطی مرتبه اول به شکل استاندارد داریم که برای آن $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ و $Q\left(x\right)=3\cdot x $.

انتگرال $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

ما یک راه حل خاص را به شکل $v\left(x\right)=e^(-I_(1)) $ می نویسیم و تبدیل های ساده سازی می کنیم: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ راست|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. برای $v\left(x\right)$ ساده ترین گزینه غیر صفر را انتخاب می کنیم: $v\left(x\right)=x$.

انتگرال $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) را محاسبه می کنیم ) \ cdot dx=3\cdot x $.

عبارت $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$ را می نویسیم.

در نهایت جواب کلی این معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی را به شکل $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ یادداشت می کنیم، یعنی $y=\left( 3\cdot x+C \راست)\cdot x$.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با توجه به مشتق حل شد

نحوه حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

اجازه دهید یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را با توجه به مشتق حل کنیم:
.
با تقسیم این معادله بر ، با ، بدست می آوریم معادله فرم:
,
کجا .

در مرحله بعد، ما به دنبال این هستیم که ببینیم آیا این معادلات به یکی از انواع ذکر شده در زیر تعلق دارند یا خیر. در غیر این صورت، معادله را به صورت دیفرانسیل بازنویسی می کنیم. برای این کار، معادله را می نویسیم و ضرب می کنیم.
.

معادله ای به شکل دیفرانسیل به دست می آوریم: اگر این معادله معادله ای دردیفرانسیل کامل
.
، سپس در نظر می گیریم که در این معادله یک متغیر مستقل است و تابعی از .

معادله را بر:
,
در مرحله بعد، با در نظر گرفتن این که جای خود را عوض کرده ایم، به دنبال این هستیم که ببینیم آیا این معادله متعلق به یکی از انواع ذکر شده در زیر است.
.

اگر یک نوع برای این معادله پیدا نشد، آنگاه می بینیم که آیا می توان معادله را با جایگزینی ساده ساده کرد یا خیر. به عنوان مثال، اگر معادله به صورت زیر باشد:

سپس متوجه می شویم که .

;
.
سپس یک تعویض انجام می دهیم.
.

پس از این، معادله شکل ساده تری به خود می گیرد:

اگر این کمکی نکرد، سعی می کنیم عامل یکپارچه کننده را پیدا کنیم.

معادلات قابل تفکیک
,
تقسیم بر و ادغام. وقتی می گیریم:
;
.
معادلات تقلیل به معادلات قابل تفکیک

معادلات همگن

ما با جایگزینی حل می کنیم:
;
.
که در آن تابعی از .
;
.
سپس

متغیرها را جدا کرده و ادغام می کنیم.

معادلات تقلیل به همگن

متغیرها را وارد کنید و:

سه روش برای حل معادلات خطی وجود دارد.

2) روش برنولی.
ما به دنبال راه حلی در قالب حاصل ضرب دو تابع و یک متغیر هستیم:
.
;
.
ما می توانیم یکی از این توابع را خودسرانه انتخاب کنیم. بنابراین، هر جواب غیر صفر معادله را به صورت زیر انتخاب می کنیم:
.

3) روش تغییر ثابت (لاگرانژ).
در اینجا ابتدا معادله همگن را حل می کنیم:

جواب کلی معادله همگن به شکل زیر است:
,
کجا یک ثابت است در مرحله بعد، ثابت را با تابعی جایگزین می کنیم که به متغیر بستگی دارد:
.
معادله اصلی را جایگزین کنید. در نتیجه، معادله ای به دست می آوریم که از آن تعیین می کنیم.

معادلات برنولی

با جایگزینی، معادله برنولی به یک معادله خطی کاهش می یابد.

این معادله را می توان با استفاده از روش برنولی نیز حل کرد. یعنی ما به دنبال راه حلی به شکل حاصل ضرب دو تابع بسته به متغیر هستیم:
.
معادله اصلی را جایگزین کنید:
;
.
هر جواب غیر صفر معادله را به صورت زیر انتخاب می کنیم:
.
پس از تعیین , معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک برای .

معادلات ریکاتی

در حل نمی شود نمای کلی. تعویض

معادله Riccati به شکل زیر کاهش می یابد:
,
کجا ثابت است ;
.

بعد، با تعویض:
,
کجا .

به شکل زیر کاهش می یابد:
ویژگی های معادله ریکاتی و چند مورد خاص حل آن در صفحه ارائه شده است

معادله دیفرانسیل ریکاتی >>>

معادلات ژاکوبی
.

با تعویض حل شد:

معادلات در دیفرانسیل کل
.
با توجه به اینکه
.
اگر این شرط برآورده شود، عبارت سمت چپ برابری دیفرانسیل یک تابع است:
.
سپس
.

از اینجا انتگرال معادله دیفرانسیل را بدست می آوریم:
;
;
;
.

برای یافتن تابع، راحت ترین راه، روش استخراج دیفرانسیل متوالی است. برای این کار از فرمول های زیر استفاده کنید:

عامل یکپارچه سازی اگر یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را نمی توان به هر یک از انواع ذکر شده تقلیل داد، می توانید سعی کنید عامل یکپارچه را پیدا کنید.یک ضریب یکپارچه تابعی است که وقتی در آن ضرب شود، یک معادله دیفرانسیل به معادله ای در مجموع دیفرانسیل تبدیل می شود. معادله دیفرانسیل مرتبه اول دارد

عدد بی نهایت

عوامل یکپارچه با این حال، هیچ روش کلی برای یافتن عامل یکپارچه وجود ندارد.

معادلات حل نشده برای مشتق y"

معادلات قابل حل با توجه به مشتق y"

ابتدا باید سعی کنید معادله را با توجه به مشتق حل کنید.
,
در صورت امکان، معادله را می توان به یکی از انواع ذکر شده در بالا کاهش داد. راه حل سازگارمعادلات ساده تر:
;
;

;
.
ما معتقدیم.
سپس
;
.
یا .

سپس معادله را ادغام می کنیم: در نتیجه، بیان متغیر دوم را از طریق پارامتر بدست می آوریم.:
بیشتر
معادلات کلی یابه صورت پارامتریک نیز حل می شوند. برای این کار باید تابعی را انتخاب کنید که
معادله اصلی
;
.

می تواند از طریق پارامتر بیان شود.

برای بیان متغیر دوم از طریق پارامتر، معادله را ادغام می کنیم:

معادلات حل شده برای y

معادلات Clairaut

این معادله یک راه حل کلی دارد

معادلات لاگرانژ

ما به دنبال راه حلی به شکل پارامتریک هستیم. فرض می کنیم که یک پارامتر کجاست.

معادلات منتهی به معادله برنولی
این معادلات در صورتی به معادله برنولی تقلیل می‌یابند که با وارد کردن یک پارامتر و جایگزینی، جواب آنها را به صورت پارامتریک جستجو کنیم.
ادبیات مورد استفاده:

V.V. استپانوف، دوره معادلات دیفرانسیل، "LKI"، 2015. N.M. گانتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، "لان"، 2003.معادله دیفرانسیل معادله ای است که یک تابع و یک یا چند مشتق از آن را شامل می شود. در اکثر مسائل عملی، توابع هستند

مقادیر فیزیکی ، مشتقات با نرخ تغییر این کمیت ها مطابقت دارند و رابطه بین آنها را معادله تعیین می کند.این مقاله روش‌هایی را برای حل انواع معینی از معادلات دیفرانسیل معمولی مورد بحث قرار می‌دهد که جواب‌های آن‌ها را می‌توان به شکل نوشتاری نوشت. توابع ابتدایییعنی چند جمله ای، نمایی، لگاریتمی و مثلثاتی و همچنین توابع معکوس آنها. بسیاری از این معادلات در زندگی واقعی، اگرچه اکثر معادلات دیفرانسیل دیگر را نمی توان با این روش ها حل کرد و برای آنها پاسخ به صورت توابع خاص یا نوشته می شود.

سری پاور

، یا با روش های عددی یافت می شود.

• برای درک این مقاله، باید در محاسبات دیفرانسیل و انتگرال مهارت داشته باشید و همچنین درک درستی از مشتقات جزئی داشته باشید. همچنین دانستن مبانی جبر خطی در معادلات دیفرانسیل به ویژه معادلات دیفرانسیل درجه دوم توصیه می شود، هرچند دانش حساب دیفرانسیل و انتگرال برای حل آنها کافی است. اطلاعات اولیهمعادلات دیفرانسیل طبقه بندی گسترده ای دارند. این مقاله در مورد معادلات دیفرانسیل جزئی، که شامل توابع چندین متغیر است. این مقاله معادلات دیفرانسیل جزئی را مورد بحث قرار نمی دهد، زیرا روش های حل این معادلات معمولاً بر اساس شکل خاص آنها تعیین می شود.
  • در زیر چند نمونه از معادلات دیفرانسیل معمولی آورده شده است.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
  • در زیر چند نمونه از معادلات دیفرانسیل جزئی آورده شده است.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2))+(\frac (\partial ^(2 )f)(\جزئی y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2))=0)
• سفارش دهیدیک معادله دیفرانسیل با ترتیب بالاترین مشتق موجود در این معادله تعیین می شود. اولین مورد از معادلات دیفرانسیل معمولی فوق مرتبه اول است، در حالی که دومی یک معادله مرتبه دوم است. مدرکیک معادله دیفرانسیل بالاترین توانی است که یکی از اصطلاحات این معادله به آن افزایش می یابد.
  • به عنوان مثال، معادله زیر مرتبه سوم و درجه دوم است.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d))^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ راست)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• معادله دیفرانسیل است معادله دیفرانسیل خطیدر صورتی که تابع و تمام مشتقات آن در درجه اول باشند. در غیر این صورت معادله است معادله دیفرانسیل غیر خطی. معادلات دیفرانسیل خطی از این جهت قابل توجه هستند که از راه حل های آنها می توان برای تشکیل ترکیبات خطی استفاده کرد که همچنین راه حل های معادله داده شده خواهند بود.
  • در زیر چند نمونه از معادلات دیفرانسیل خطی آورده شده است.
  • در زیر چند نمونه از معادلات دیفرانسیل غیرخطی آورده شده است. معادله اول به دلیل جمله سینوس غیر خطی است.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta)((\mathrm (d))t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• راه حل کلیمعادله دیفرانسیل معمولی منحصر به فرد نیست، شامل ثابت های یکپارچه سازی دلخواه. در بیشتر موارد، تعداد ثابت های دلخواه برابر با ترتیب معادله است. در عمل، مقادیر این ثابت ها بر اساس داده شده تعیین می شود شرایط اولیه، یعنی با توجه به مقادیر تابع و مشتقات آن در x = 0. (\displaystyle x=0.)تعداد شرایط اولیه که برای یافتن آنها ضروری است راه حل خصوصیمعادله دیفرانسیل در بیشتر موارد نیز برابر با ترتیب معادله داده شده است.
  • به عنوان مثال، این مقاله به حل معادله زیر می پردازد. این یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم است. جواب کلی آن شامل دو ثابت دلخواه است. برای یافتن این ثابت ها لازم است که شرایط اولیه در x (0) (\displaystyle x(0))و x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)معمولا شرایط اولیه در نقطه مشخص می شود x = 0، (\displaystyle x=0،)، اگرچه این امر ضروری نیست. این مقاله همچنین نحوه یافتن راه حل های خاص برای شرایط اولیه را مورد بحث قرار خواهد داد.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

مراحل

قسمت 1

معادلات مرتبه اول

هنگام استفاده از این سرویس، ممکن است برخی از اطلاعات به YouTube منتقل شود.

1. معادلات خطی مرتبه اول.در این بخش روش‌هایی برای حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول در موارد عمومی و خاص که برخی از عبارت‌ها برابر با صفر هستند، مورد بحث قرار می‌گیرد. بیایید این را فرض کنیم y = y (x) , (\displaystyle y=y(x)) p (x) (\displaystyle p(x))و q (x) (\displaystyle q(x))توابع هستند x (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)طبق یکی از قضایای اصلی تجزیه و تحلیل ریاضی، انتگرال مشتق تابع نیز تابع است. بنابراین، کافی است به سادگی معادله را ادغام کنیم تا جواب آن را بیابیم. باید در نظر گرفت که هنگام محاسبه انتگرال نامعینیک ثابت دلخواه ظاهر می شود.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)ما از روش استفاده می کنیم جداسازی متغیرها. این متغیرهای مختلف را به طرف های مختلف معادله منتقل می کند. به عنوان مثال، شما می توانید همه اعضا را از y (\displaystyle y)به یک، و همه اعضا با x (\displaystyle x)به طرف دیگر معادله امکان انتقال اعضا نیز وجود دارد d x (\displaystyle (\mathrm (d))x)و d y (\displaystyle (\mathrm (d))y)، که در عبارات مشتقات گنجانده شده است، با این حال، باید به خاطر داشت که این فقط یک نماد است که هنگام تمایز یک تابع پیچیده راحت است. بحث این اعضا که به نام دیفرانسیل ها، از حوصله این مقاله خارج است.

   • ابتدا باید متغیرها را به طرف مقابل علامت مساوی منتقل کنید.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d))y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم. پس از ادغام، ثابت های دلخواه در دو طرف ظاهر می شوند که می توانند به سمت راست معادله منتقل شوند.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d))x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • مثال 1.1.در مرحله آخر از قانون استفاده کردیم e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))و جایگزین شد e C (\displaystyle e^(C))در C (\displaystyle C)، زیرا این نیز یک ثابت ادغام دلخواه است.
     • d y d x − 2 y sin⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = گناه ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\ نمایش سبک (\ شروع )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d))y&=\sin x(\mathrm (d))x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end (تراز شده)))

   P (x) ≠ 0، q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)برای یافتن یک راه حل کلی معرفی کردیم عامل یکپارچهبه عنوان تابعی از x (\displaystyle x)برای کاهش سمت چپبه مشتق مشترک و بنابراین معادله را حل کنید.

   • هر دو طرف را در ضرب کنید μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+\mu py=\mu q)
   • برای تقلیل سمت چپ به مشتق کلی، تبدیل‌های زیر باید انجام شود:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d))((\mathrm (d))x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d))\mu )((\mathrm (d))x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))+\mu py)
   • برابری آخر یعنی همین d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\mu )((\mathrm (d))x))=\mu p). این یک عامل یکپارچه کننده است که برای حل هر معادله خطی مرتبه اول کافی است. حال می‌توانیم فرمول حل این معادله را با توجه به μ , (\displaystyle \mu ,)اگرچه برای آموزش انجام تمام محاسبات میانی مفید است.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • مثال 1.2.این مثال نشان می دهد که چگونه می توان یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه داده شده پیدا کرد.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + c t 2 (\displaystyle (\begin(تراز شده)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(تراز شده)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4، C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4))،\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   حل معادلات خطی مرتبه اول (ضبط شده توسط Intuit - National Open University).

2. معادلات مرتبه اول غیر خطی. در این بخش روش هایی برای حل برخی معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه اول بحث می شود. اگرچه روش کلی برای حل این گونه معادلات وجود ندارد، اما برخی از آنها را می توان با استفاده از روش های زیر حل کرد.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)اگر تابع f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))را می توان به توابع یک متغیر تقسیم کرد، چنین معادله ای نامیده می شود معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک. در این صورت می توانید از روش فوق استفاده کنید:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d))y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • مثال 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ start(تراز شده)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(تراز شده)))

   D y d x = g (x، y) h (x، y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)بیایید این را فرض کنیم g (x , y) (\displaystyle g(x,y))و h (x , y) (\displaystyle h(x,y))توابع هستند x (\displaystyle x)و y (\displaystyle y.)سپس معادله دیفرانسیل همگنمعادله ای است که در آن g (\displaystyle g)و h (\displaystyle h)هستند توابع همگنبه همان درجه یعنی توابع باید شرایط را برآورده کنند g (α x، α y) = α k g (x، y)، (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y)،)کجا k (\displaystyle k)درجه همگنی نامیده می شود. هر معادله دیفرانسیل همگن را می توان با مناسب استفاده کرد جایگزینی متغیرها (v = y / x (\displaystyle v=y/x)بیشتر v = x / y (\displaystyle v=x/y)) تبدیل به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک.

   • مثال 1.4.شرح فوق از همگنی ممکن است نامشخص به نظر برسد. بیایید با یک مثال به این مفهوم نگاه کنیم.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3)) (y^(2)x)))
     • برای شروع، لازم به ذکر است که این معادله نسبت به غیر خطی است y (\displaystyle y.)ما همچنین می بینیم که در در این موردشما نمی توانید متغیرها را از هم جدا کنید. در عین حال، این معادله دیفرانسیل همگن است، زیرا هم صورت و هم مخرج با توان 3 همگن هستند. بنابراین، می توانیم متغیرها را تغییر دهیم. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))v)((\mathrm (d))x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)در نتیجه، معادله را داریم v (\displaystyle v)با متغیرهای قابل تفکیک
     • v (x) = - 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)این معادله دیفرانسیل برنولی- نوع خاصی از معادله غیر خطی درجه اول که حل آن را می توان با استفاده از توابع ابتدایی نوشت.

   • دو طرف معادله را در ضرب کنید (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • از قانون برای افتراق یک تابع مختلط در سمت چپ استفاده می کنیم و معادله را به معادله خطینسبتا y 1 − n، (\displaystyle y^(1-n)،)که با استفاده از روش های فوق قابل حل است.
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x، y) + N (x، y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (د) )x))=0.)این معادله در مجموع دیفرانسیل. لازم است برای پیدا کردن به اصطلاح تابع بالقوه φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y))، که شرایط را برآورده می کند d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi)((\mathrm (d))x))=0.)

   • برای اجرا این شرایطباید داشته باشد مشتق کل. مشتق کل وابستگی به متغیرهای دیگر را در نظر می گیرد. برای محاسبه مشتق کل φ (\displaystyle \varphi)توسط x , (\displaystyle x,)ما فرض می کنیم که y (\displaystyle y)همچنین ممکن است بستگی داشته باشد x (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi)((\mathrm (d))x))=(\frac (\جزئی \varphi )(\ x جزئی))+(\frac (\جزئی \varphi )(\جزئی y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • مقایسه شرایط به ما می دهد M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\جزئی \varphi)(\x جزئی)))و N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\جزئی y)).)این یک نتیجه معمولی برای معادلات در چندین متغیر است که در آن مشتقات مخلوط توابع صاف با یکدیگر برابر هستند. گاهی اوقات این مورد نامیده می شود قضیه Clairaut. در این حالت معادله دیفرانسیل یک معادله دیفرانسیل کل است اگر شرط بعدی:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\جزئی M)(\جزئی y))=(\frac (\جزئی N)(\x جزئی)))
   • روش حل معادلات در دیفرانسیل کل شبیه یافتن توابع بالقوه در حضور چندین مشتق است که به اختصار به آن می پردازیم. ابتدا بیایید ادغام کنیم M (\displaystyle M)توسط x (\displaystyle x.)از آنجایی که M (\displaystyle M)یک تابع است و x (\displaystyle x)، و y , (\displaystyle y,)پس از ادغام، یک تابع ناقص دریافت می کنیم φ , (\displaystyle \varphi ,)تعیین شده به عنوان φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). نتیجه نیز بستگی دارد y (\displaystyle y)ثابت ادغام
     • φ (x، y) = ∫ M (x، y) d x = φ ~ (x، y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (د) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • پس از آن، برای به دست آوردن c (y) (\displaystyle c(y))می توانیم مشتق جزئی تابع حاصل را با توجه به y , (\displaystyle y,)نتیجه را برابر کنید N (x , y) (\displaystyle N(x,y))و ادغام کنید. همچنین می توانید ابتدا ادغام کنید N (\displaystyle N)، و سپس مشتق جزئی را نسبت به x (\displaystyle x)، که به شما امکان می دهد یک تابع دلخواه را پیدا کنید d (x). (\displaystyle d(x).)هر دو روش مناسب هستند و معمولاً تابع ساده‌تر برای ادغام انتخاب می‌شود.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\جزئی y))=(\frac (\ جزئی (\tilde (\varphi )))(\جزئی y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • مثال 1.5.می توانید مشتقات جزئی بگیرید و ببینید که معادله زیر یک معادله دیفرانسیل کل است.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x، y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(تراز شده)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\جزئی \varphi )(\ y جزئی))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(تراز شده)))
     • d c d y = 0، c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))c)((\mathrm (d))y))=0،\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • اگر معادله دیفرانسیل یک معادله دیفرانسیل کل نیست، در برخی موارد می توانید یک عامل یکپارچه پیدا کنید که به شما امکان می دهد آن را به یک معادله دیفرانسیل کل تبدیل کنید. با این حال، چنین معادلات به ندرت در عمل استفاده می شود، و اگر چه عامل یکپارچه سازی وجود دارد، اتفاقاً آن را پیدا می کند آسان نیستبنابراین این معادلات در این مقاله در نظر گرفته نشده است.

قسمت 2

معادلات مرتبه دوم

1. معادلات دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت. این معادلات در عمل بسیار مورد استفاده قرار می گیرند، بنابراین حل آنها از اهمیت اولیه برخوردار است. در این مورد، ما در مورد توابع همگن صحبت نمی کنیم، بلکه در مورد این واقعیت است که 0 در سمت راست معادله وجود دارد. بخش بعدی نحوه حل معادله را نشان می دهد ناهمگنمعادلات دیفرانسیل در زیر a (\displaystyle a)و b (\displaystyle b)ثابت هستند.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   معادله مشخصه. این معادله دیفرانسیل از این جهت قابل توجه است که اگر دقت کنید جواب های آن چه ویژگی هایی باید داشته باشند، می توان آن را به راحتی حل کرد. از معادله مشخص است که y (\displaystyle y)و مشتقات آن با یکدیگر متناسب هستند. از مثال های قبلی که در بخش معادلات مرتبه اول مورد بحث قرار گرفت، فقط می دانیم که تابع نمایی. بنابراین، می توان مطرح کرد ansatz(یک حدس علمی) در مورد اینکه جواب معادله داده شده چیست.

   • جواب به شکل تابع نمایی خواهد بود e r x، (\displaystyle e^(rx)،)کجا r (\displaystyle r)ثابتی است که مقدار آن باید پیدا شود. این تابع را جایگزین معادله کرده و عبارت زیر را بدست آورید
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • این معادله نشان می دهد که حاصل ضرب یک تابع نمایی و یک چند جمله ای باید برابر با صفر باشد. مشخص است که توان برای هیچ یک از مقادیر درجه نمی تواند برابر با صفر باشد. از این نتیجه می گیریم که چند جمله ای برابر با صفر است. بنابراین، ما مسئله حل یک معادله دیفرانسیل را به مسئله بسیار ساده‌تر حل یک معادله جبری، که معادله مشخصه برای یک معادله دیفرانسیل معین نامیده می‌شود، کاهش داده‌ایم.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • ما دو ریشه داشتیم. از آنجایی که این معادله دیفرانسیل خطی است، جواب کلی آن ترکیبی خطی از جواب های جزئی است. از آنجایی که این یک معادله مرتبه دوم است، می دانیم که چنین است واقعاراه حل کلی، و هیچ راه حل دیگری وجود ندارد. توجیه دقیق تر برای این موضوع در قضایای وجود و منحصر به فرد بودن یک راه حل است که در کتاب های درسی یافت می شود.
   • یک راه مفید برای بررسی اینکه آیا دو راه حل به صورت خطی مستقل هستند، محاسبه است ورنسکیانا. ورونسکیان W (\displaystyle W)تعیین کننده ماتریسی است که ستون های آن حاوی توابع و مشتقات متوالی آنها هستند. قضیه جبر خطی بیان می کند که توابع موجود در رونسکی به صورت خطی وابسته هستند اگر ورونسکی برابر با صفر باشد. در این بخش می توانیم بررسی کنیم که آیا دو راه حل به صورت خطی مستقل هستند - برای انجام این کار باید مطمئن شویم که Wronskian صفر نیست. Wronskian هنگام حل معادلات دیفرانسیل ناهمگن با ضرایب ثابت با روش پارامترهای متغیر مهم است.
     • W = | y 1 y 2 y 1 "y 2" | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • از نظر جبر خطی، مجموعه تمام راه حل های یک معادله دیفرانسیل معین، فضای برداری را تشکیل می دهد که ابعاد آن برابر با ترتیب معادله دیفرانسیل است. در این فضا می توان پایه ای را انتخاب کرد مستقل خطیتصمیم گیری از یکدیگر این امر به دلیل این واقعیت امکان پذیر است که عملکرد y (x) (\displaystyle y(x))معتبر عملگر خطی. مشتق استعملگر خطی، زیرا فضای توابع قابل تمایز را به فضای همه توابع تبدیل می کند. معادلات در مواردی همگن نامیده می شوند که برای برخی عملگر خطی L (\displaystyle L)ما باید یک راه حل برای معادله پیدا کنیم L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   اکنون به بررسی چند مثال خاص می پردازیم. چند ریشه معادله مشخصه را کمی بعد در بخش کاهش ترتیب بررسی خواهیم کرد.

   اگر ریشه ها r ± (\displaystyle r_(\pm ))اعداد واقعی متفاوت هستند، معادله دیفرانسیل جواب زیر را دارد

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   دو ریشه پیچیدهاز قضیه اساسی جبر چنین برمی‌آید که راه‌حل‌های معادلات چند جمله‌ای با ضرایب حقیقی ریشه‌هایی دارند که واقعی هستند یا جفت‌های مزدوج را تشکیل می‌دهند. بنابراین، اگر عدد مختلط r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta)پس ریشه معادله مشخصه است r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta)نیز ریشه این معادله است. بنابراین، می توانیم راه حل را به شکل بنویسیم c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x)اما عددی پیچیده است و برای حل مسائل عملی مطلوب نیست.

   • در عوض می توانید استفاده کنید فرمول اویلر e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x)، که به ما امکان می دهد راه حل را در فرم بنویسیم توابع مثلثاتی:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ بتا x+ic_(1)\sin \بتا x+c_(2)\cos \بتا x-ic_(2)\sin \بتا x))
   • حالا شما می توانید به جای یک ثابت c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))یادداشت کنید c 1 (\displaystyle c_(1))، و بیان i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))جایگزین کردن با ج 2 . (\displaystyle c_(2).)پس از این، راه حل زیر را دریافت می کنیم:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \بتا x+c_ (2)\sin\beta x))
   • راه دیگری برای نوشتن راه حل از نظر دامنه و فاز وجود دارد که برای مسائل فیزیک مناسب تر است.
   • مثال 2.1.اجازه دهید یک راه حل برای معادله دیفرانسیل ارائه شده در زیر با شرایط اولیه داده شده پیدا کنیم. برای انجام این کار، باید محلول حاصل را مصرف کنید، و همچنین مشتق آن، و آنها را در شرایط اولیه جایگزین کنید، که به ما امکان می دهد ثابت های دلخواه را تعیین کنیم.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)(( \mathrm (d))t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0،\quad x(0) =1،\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) ) من)
     • x (t) = e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\راست))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(تراز شده)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\راست)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\راست)\پایان (تراز شده)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e - 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\راست))
   
   حل معادلات دیفرانسیل مرتبه n با ضرایب ثابت (ثبت شده توسط Intuit - National Open University).

2. کاهش نظم.کاهش سفارش روشی برای حل معادلات دیفرانسیل زمانی است که یک راه حل مستقل خطی شناخته شده باشد. این روش شامل کاهش یک مرتبه معادله است که به شما امکان می دهد معادله را با استفاده از روش های توضیح داده شده در بخش قبل حل کنید. بگذارید راه حل مشخص شود. ایده اصلی کاهش سفارش یافتن راه حلی به شکل زیر است، جایی که لازم است تابع را تعریف کنید v (x) (\displaystyle v(x))، جایگزین آن به معادله دیفرانسیل و پیدا کردن v(x). (\displaystyle v(x).)بیایید ببینیم چگونه می توان از کاهش سفارش برای حل یک معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت و ریشه های متعدد استفاده کرد.

   
   

   ریشه های متعددمعادله دیفرانسیل همگن با ضرایب ثابت. به یاد بیاورید که یک معادله مرتبه دوم باید دو راه حل مستقل خطی داشته باشد. اگر معادله مشخصهریشه های متعدد دارد، راه حل های زیادی دارد نهیک فضا را تشکیل می دهد زیرا این راه حل ها به صورت خطی وابسته هستند. در این مورد، لازم است از کاهش سفارش برای یافتن راه حل مستقل خطی دوم استفاده شود.

   • اجازه دهید معادله مشخصه چندین ریشه داشته باشد r (\displaystyle r). فرض کنید راه حل دوم را می توان به شکل نوشتاری کرد y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x))و آن را در معادله دیفرانسیل جایگزین کنید. در این مورد، اکثر اصطلاحات، به استثنای عبارت با مشتق دوم تابع v، (\displaystyle v،)کاهش خواهد یافت.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • مثال 2.2.اجازه دهید معادله زیر که دارای چندین ریشه است ارائه شود r = - 4. (\displaystyle r=-4.)در طول تعویض، بیشتر شرایط کاهش می یابد.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ″ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\شروع(تراز شده)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\پایان(تراز شده)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ″ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ″ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\شروع(تراز )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\پایان(تراز شده)))
   • مشابه ansatz ما برای یک معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت، در این مورد فقط مشتق دوم می تواند برابر با صفر باشد. دوبار ادغام می کنیم و عبارت مورد نظر را برای به دست می آوریم v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • سپس جواب کلی یک معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت را در حالتی که معادله مشخصه دارای ریشه های متعدد است را می توان به شکل زیر نوشت. برای راحتی، می توانید آن را به خاطر بسپارید استقلال خطیفقط جمله دوم را ضرب کنید x (\displaystyle x). این مجموعه از راه حل ها به صورت خطی مستقل هستند و بنابراین ما تمام راه حل های این معادله را پیدا کرده ایم.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+q(x)y=0.)کاهش سفارش در صورت شناخته شدن راه حل قابل اعمال است y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x))، که می توان آن را در بیان مشکل پیدا کرد یا ارائه کرد.

   • ما به دنبال راه حل در فرم هستیم y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))و آن را با این معادله جایگزین کنید:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • از آنجایی که y 1 (\displaystyle y_(1))یک راه حل برای یک معادله دیفرانسیل است، همه عبارت ها با v (\displaystyle v)در حال کاهش هستند. در پایان باقی می ماند معادله خطی مرتبه اول. برای اینکه این موضوع را واضح تر ببینید، اجازه دهید تغییری در متغیرها ایجاد کنیم w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp⁡( فرک (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\راست))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • اگر بتوان انتگرال ها را محاسبه کرد، جواب کلی را به صورت ترکیبی از توابع ابتدایی به دست می آوریم. در غیر این صورت، راه حل را می توان به شکل یکپارچه باقی گذاشت.

3. معادله کوشی اویلر.معادله کوشی اویلر نمونه ای از معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با متغیرهاضرایب که راه حل های دقیقی دارد. این معادله در عمل به عنوان مثال برای حل معادله لاپلاس در مختصات کروی استفاده می شود.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d))x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   معادله مشخصه.همانطور که می بینید، در این معادله دیفرانسیل، هر جمله دارای یک ضریب توان است که درجه آن برابر است با ترتیب مشتق مربوطه.

   • بنابراین، می توانید سعی کنید به دنبال راه حل در فرم باشید y (x) = x n، (\displaystyle y(x)=x^(n)،)جایی که لازم است تعیین شود n (\displaystyle n)همانطور که برای معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت به دنبال راه حلی به شکل تابع نمایی بودیم. پس از تمایز و جایگزینی بدست می آوریم
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • برای استفاده از معادله مشخصه، باید فرض کنیم که x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). نقطه x = 0 (\displaystyle x=0)تماس گرفت نقطه مفرد منظممعادله دیفرانسیل چنین نکاتی هنگام حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از سری توان مهم هستند. این معادله دارای دو ریشه است که می توانند متفاوت و واقعی، مزدوج چندگانه یا مختلط باشند.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   دو ریشه واقعی متفاوتاگر ریشه ها n ± (\displaystyle n_(\pm ))واقعی و متفاوت هستند، سپس جواب معادله دیفرانسیل به شکل زیر است:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   دو ریشه پیچیدهاگر معادله مشخصه ریشه داشته باشد n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \بتا i)، راه حل یک تابع پیچیده است.

   • برای تبدیل جواب به یک تابع واقعی، متغیرها را تغییر می دهیم x = e t، (\displaystyle x=e^(t)،)یعنی t = ln ⁡ x، (\displaystyle t=\ln x،)و از فرمول اویلر استفاده کنید. اقدامات مشابهی قبلاً هنگام تعیین ثابت دلخواه انجام شد.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\بتا آن)))
   • سپس راه حل کلی را می توان به صورت زیر نوشت
     • y (x) = x α (c 1 cos⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha)(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\بتا \ln x)))

   ریشه های متعدد.برای به دست آوردن یک راه حل مستقل خطی دوم، لازم است دوباره سفارش را کاهش دهیم.

   • محاسبات بسیار زیادی لازم است، اما اصل یکسان است: ما جایگزین می کنیم y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))به معادله ای که اولین جواب آن است y 1 (\displaystyle y_(1)). پس از کاهش، معادله زیر به دست می آید:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • این یک معادله خطی مرتبه اول با توجه به v "(x) . (\displaystyle v"(x).)راه حل او این است v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)بنابراین، راه حل را می توان به شکل زیر نوشت. به خاطر سپردن این بسیار آسان است - برای به دست آوردن دومین راه حل مستقل خطی به سادگی نیاز به یک عبارت اضافی است ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. معادلات دیفرانسیل خطی ناهمگن با ضرایب ثابت. معادلات ناهمگنشبیه L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x))کجا f (x) (\displaystyle f(x))- به اصطلاح عضو رایگان. بر اساس نظریه معادلات دیفرانسیل، جواب کلی این معادله برهم نهی است راه حل خصوصی y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))و راه حل اضافی y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)با این حال، در این مورد، یک راه حل خاص به معنای راه حلی نیست که توسط شرایط اولیه ارائه می شود، بلکه راه حلی است که با وجود ناهمگنی (یک اصطلاح آزاد) تعیین می شود. راه حل اضافی راه حلی برای معادله همگن مربوطه است که در آن f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)راه حل کلی برهم نهی این دو راه حل است، زیرا L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x))، و از آن زمان L [ y c ] = 0، (\displaystyle L=0،)چنین برهم نهی در واقع یک راه حل کلی است.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   روش ضرایب نامشخص. روش ضرایب نامعین در مواردی استفاده می شود که عبارت ساختگی ترکیبی از نمایی، مثلثاتی، هذلولی یا توابع قدرت. فقط این توابع تضمین می شوند که تعداد محدودی مشتقات مستقل خطی داشته باشند. در این بخش ما یک راه حل خاص برای معادله پیدا خواهیم کرد.

   • بیایید اصطلاحات را با هم مقایسه کنیم f (x) (\displaystyle f(x))با اصطلاحات در بدون توجه به عوامل ثابت. سه مورد احتمالی وجود دارد.
     • هیچ دو عضوی شبیه هم نیستند.در این مورد، یک راه حل خاص y p (\displaystyle y_(p))ترکیبی خطی از عبارت از خواهد بود y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) شامل عضو است x n (\displaystyle x^(n)) و عضو از y c، (\displaystyle y_(c)،) کجا n (\displaystyle n) صفر یا یک عدد صحیح مثبت است و این عبارت مربوط به یک ریشه جداگانه از معادله مشخصه است.در این مورد y p (\displaystyle y_(p))از ترکیبی از تابع تشکیل خواهد شد x n + 1 ساعت (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x))مشتقات مستقل خطی آن و همچنین اصطلاحات دیگر f (x) (\displaystyle f(x))و مشتقات مستقل خطی آنها.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) شامل عضو است h (x) ، (\displaystyle h(x)) که یک کار است x n (\displaystyle x^(n)) و عضو از y c، (\displaystyle y_(c)،) کجا n (\displaystyle n) برابر 0 یا یک عدد صحیح مثبت است و این عبارت مربوط به چندگانهریشه معادله مشخصهدر این مورد y p (\displaystyle y_(p))ترکیبی خطی از تابع است x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(کجا s (\displaystyle s)- تعدد ریشه) و مشتقات مستقل خطی آن و همچنین سایر اعضای تابع f (x) (\displaystyle f(x))و مشتقات مستقل خطی آن.
   • بیایید آن را بنویسیم y p (\displaystyle y_(p))به عنوان یک ترکیب خطی از اصطلاحات ذکر شده در بالا. با تشکر از این ضرایب در یک ترکیب خطی این روش"روش ضرایب نامشخص" نامیده می شود. زمانی که در y c (\displaystyle y_(c))اعضا می توانند به دلیل وجود ثابت های دلخواه در آن حذف شوند y c . (\displaystyle y_(c).)پس از این ما جایگزین می کنیم y p (\displaystyle y_(p))وارد معادله شده و اصطلاحات مشابه را معادل سازی کنید.
   • ضرایب را تعیین می کنیم. در این مرحله سیستم به دست می آید معادلات جبری، که معمولاً بدون آن قابل حل است مشکلات خاص. راه حل این سیستم به ما اجازه می دهد تا به دست آوریم y p (\displaystyle y_(p))و به این ترتیب معادله را حل کنید.
   • مثال 2.3.اجازه دهید یک معادله دیفرانسیل ناهمگن را در نظر بگیریم که عبارت آزاد آن شامل تعداد محدودی مشتق خطی مستقل است. یک راه حل خاص برای چنین معادله ای را می توان با روش ضرایب نامشخص یافت.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(تراز شده)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\ Begin(cases)9A+ 6A =2،&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1،&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0،&C=0 \ پایان (موارد)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   روش لاگرانژروش لاگرانژ، یا روش تغییر ثوابت دلخواه، بیشتر است روش کلیحل معادلات دیفرانسیل ناهمگن، به ویژه در مواردی که عبارت آزاد شامل تعداد محدودی مشتق مستقل خطی نیست. مثلا با اعضای رایگان tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)بیشتر x − n (\displaystyle x^(-n))برای یافتن راه حلی خاص باید از روش لاگرانژ استفاده کرد. روش لاگرانژ حتی می تواند برای حل معادلات دیفرانسیل با ضرایب متغیر مورد استفاده قرار گیرد، اگرچه در این مورد، به استثنای معادله کوشی اویلر، کمتر مورد استفاده قرار می گیرد، زیرا جواب اضافی معمولاً بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شود.

   • فرض کنید راه حل به شکل زیر باشد. مشتق آن در خط دوم آورده شده است.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • از آنجایی که راه حل پیشنهادی شامل دومقادیر ناشناخته، لازم است تحمیل شود اضافیوضعیت. بیایید این را انتخاب کنیم شرط اضافیبه شکل زیر:
     • v 1 'y 1 + v 2' y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ' y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • حالا می توانیم معادله دوم را بدست آوریم. پس از تعویض و توزیع مجدد اعضا، می توانید اعضا را با هم گروه بندی کنید نسخه 1 (\displaystyle v_(1))و اعضا با نسخه 2 (\displaystyle v_(2)). این شرایط کاهش می یابد زیرا y 1 (\displaystyle y_(1))و y 2 (\displaystyle y_(2))راه حل های معادله همگن مربوطه هستند. در نتیجه بدست می آوریم سیستم زیرمعادلات
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(تراز شده)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(تراز شده)))
   • این سیستم قابل تبدیل است معادله ماتریسیمهربان A x = b، (\displaystyle A(\mathbf (x))=(\mathbf (b))که راه حل آن است x = A - 1 b. (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)برای ماتریس 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) ماتریس معکوسبا تقسیم بر تعیین کننده، تنظیم مجدد عناصر مورب و تغییر علامت عناصر غیر مورب پیدا می شود. در واقع، تعیین کننده این ماتریس یک Wronskian است.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ پایان (pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • عبارات برای نسخه 1 (\displaystyle v_(1))و نسخه 2 (\displaystyle v_(2))در زیر آورده شده است. همانطور که در روش کاهش سفارش، در این مورد، در طول یکپارچه سازی، یک ثابت دلخواه ظاهر می شود که شامل یک راه حل اضافی در حل کلی معادله دیفرانسیل است.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   سخنرانی از دانشگاه آزاد ملی Intuit با عنوان "معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه n با ضرایب ثابت."

کاربرد عملی

معادلات دیفرانسیل رابطه ای بین یک تابع و یک یا چند مشتق از آن برقرار می کند. از آنجایی که چنین اتصالاتی بسیار رایج هستند، معادلات دیفرانسیل کاربرد وسیعی پیدا کرده اند مناطق مختلفو از آنجایی که ما در چهار بعد زندگی می کنیم، این معادلات اغلب معادلات دیفرانسیل هستند خصوصیمشتقات این بخش برخی از مهمترین معادلات از این نوع را پوشش می دهد.

• رشد و زوال تصاعدی.واپاشی رادیواکتیو بهره مرکب. سرعت واکنش های شیمیایی. غلظت داروها در خون. رشد نامحدود جمعیت قانون نیوتن ریچمن در دنیای واقعی، سیستم‌های زیادی وجود دارند که در آنها نرخ رشد یا پوسیدگی در هر زمان معین متناسب با مقدار در حال حاضرزمان یا می توان به خوبی با مدل تقریب زد. این به این دلیل است که جواب این معادله دیفرانسیل، تابع نمایی، یکی از بهترین هاست توابع مهمدر ریاضیات و سایر علوم در بیشتر مورد کلیبا رشد کنترل شده جمعیت، سیستم ممکن است شامل اعضای دیگری باشد که رشد را محدود می کنند. در معادله زیر ثابت است k (\displaystyle k)می تواند بزرگتر یا کمتر از صفر باشد.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x))=kx)
• ارتعاشات هارمونیکهم در مکانیک کلاسیک و هم در مکانیک کوانتومی، نوسانگر هارمونیک یکی از مهمترین آنهاست سیستم های فیزیکیبه لطف سادگی و کاربرد گستردهبرای تقریب بیشتر سیستم های پیچیدهمانند یک آونگ ساده. در مکانیک کلاسیک، ارتعاشات هارمونیک با معادله ای توصیف می شود که موقعیت یک نقطه مادی را با شتاب آن از طریق قانون هوک مرتبط می کند. در این صورت می توان نیروی میرایی و محرک را نیز در نظر گرفت. در عبارت زیر x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- مشتق زمانی از x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \بتا)- پارامتری که نیروی میرایی را توصیف می کند، ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- فرکانس زاویه ای سیستم، F (t) (\displaystyle F(t))- وابسته به زمان نیروی محرکه. نوسان ساز هارمونیک در مدارهای نوسانی الکترومغناطیسی نیز وجود دارد، جایی که می توان آن را با دقت بیشتری نسبت به سیستم های مکانیکی پیاده سازی کرد.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• معادله بسلمعادله دیفرانسیل بسل در بسیاری از زمینه های فیزیک از جمله حل معادله موج، معادله لاپلاس و معادله شرودینگر، به ویژه در حضور تقارن استوانه ای یا کروی استفاده می شود. این معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب متغیر یک معادله کوشی اویلر نیست، بنابراین راه حل های آن را نمی توان به عنوان توابع ابتدایی نوشت. راه حل های معادله بسل توابع بسل هستند که به دلیل کاربرد در بسیاری از زمینه ها به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته اند. در عبارت زیر α (\displaystyle \alpha)- ثابتی که مطابقت دارد به ترتیبتوابع بسل
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• معادلات ماکسولمعادلات ماکسول همراه با نیروی لورنتس، اساس الکترودینامیک کلاسیک را تشکیل می دهند. اینها چهار معادله دیفرانسیل جزئی برای الکتریکی هستند E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r)),t))و مغناطیسی B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r)),t))زمینه ها در عبارات زیر ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r)),t))- چگالی بار، J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J))=(\mathbf (J))((\mathbf (r) ),t))- چگالی جریان، و ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))و μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- به ترتیب ثابت های الکتریکی و مغناطیسی.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\نمایش سبک (\شروع(تراز شده)\nabla (\mathbf (E))&=(\frac (\rho)(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B))&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\جزئی (\mathbf (B)))(\t جزئی))\\\nabla \times (\mathbf (B))&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\جزئی (\mathbf (E)))(\t جزئی))\پایان(تراز شده)))
• معادله شرودینگردر مکانیک کوانتومی معادله شرودینگر معادله اساسی حرکت است که حرکت ذرات را با توجه به تغییر تابع موج توصیف می کند. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r)),t))در طول زمان معادله حرکت با رفتار توصیف می شود همیلتونیان H^(\displaystyle (\hat (H))) - اپراتور، که انرژی سیستم را توصیف می کند. یکی از گسترده نمونه های معروفمعادله شرودینگر در فیزیک معادله ای برای یک ذره منفرد غیر نسبیتی است که توسط یک پتانسیل بر روی آن عمل می شود. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). بسیاری از سیستم ها با معادله شرودینگر وابسته به زمان توصیف می شوند و در سمت چپ معادله E Ψ، (\displaystyle E\Psi،)کجا E (\displaystyle E)- انرژی ذرات در عبارات زیر ℏ (\displaystyle \hbar)- کاهش ثابت پلانک.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=(\hat (H))\Psi)
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r)),t)\right)\Psi)
• معادله موج.فیزیک و فناوری را نمی توان بدون امواج تصور کرد. به طور کلی امواج با معادله زیر توصیف می شوند که در آن u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))تابع مورد نظر است و c (\displaystyle c)- ثابت به طور تجربی تعیین شده است. دالامبر اولین کسی بود که کشف کرد که برای حالت تک بعدی جواب معادله موج است. هرتابع با آرگومان x − c t (\displaystyle x-ct)، که موجی از شکل دلخواه را توصیف می کند که به سمت راست منتشر می شود. راه حل کلی برای حالت یک بعدی، ترکیب خطی این تابع با یک تابع دوم با آرگومان است x + c t (\displaystyle x+ct)، که موجی را توصیف می کند که به سمت چپ منتشر می شود. این راه حل در خط دوم ارائه شده است.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\جزئی ^(2)u)(\جزئی t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• معادلات ناویر استوکسمعادلات ناویر استوکس حرکت سیالات را توصیف می کند. از آنجایی که سیالات تقریباً در هر زمینه ای از علم و فناوری وجود دارند، این معادلات برای پیش بینی آب و هوا، طراحی هواپیما، مطالعه جریان های اقیانوسی و حل بسیاری از مسائل کاربردی دیگر بسیار مهم هستند. معادلات ناویر-استوکس معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی هستند و در اکثر موارد حل آنها بسیار دشوار است، زیرا غیرخطی بودن منجر به تلاطم می شود و دستیابی به یک راه حل پایدار با روش های عددی مستلزم تقسیم به سلول های بسیار کوچک است که نیاز به توان محاسباتی قابل توجهی دارد. برای اهداف عملی در هیدرودینامیک، از روش هایی مانند میانگین گیری زمان برای شبیه سازی جریان های آشفته استفاده می شود. حتی سوالات اساسی تر مانند وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها برای معادلات غیر خطیدر مشتقات جزئی و اثبات وجود و منحصر به فرد بودن راه حلی برای معادلات ناویر استوکس در سه بعدی یکی از مسائل ریاضی هزاره است. در زیر معادله جریان سیال تراکم ناپذیر و معادله تداوم آورده شده است.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\ جزئی (\mathbf (u)) )(\t جزئی))+((\mathbf (u))\cdot \nabla)(\mathbf (u))-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u))=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho)(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u)))=0)

• بسیاری از معادلات دیفرانسیل را نمی توان با استفاده از روش های فوق حل کرد، به ویژه آنهایی که در بخش آخر ذکر شد. این در مواردی اعمال می‌شود که معادله دارای ضرایب متغیر است و معادله کوشی اویلر نیست، یا زمانی که معادله غیرخطی است، به جز در چند مورد بسیار نادر. با این حال، روش های فوق می توانند بسیاری از معادلات دیفرانسیل مهم را که اغلب در زمینه های مختلف علوم با آن مواجه می شوند، حل کنند.
• بر خلاف تمایز، که به شما امکان می دهد مشتق هر تابع را پیدا کنید، انتگرال بسیاری از عبارات را نمی توان در توابع ابتدایی. بنابراین زمان را برای محاسبه یک انتگرال در جایی که غیرممکن است تلف نکنید. به جدول انتگرال ها نگاه کنید. اگر جواب یک معادله دیفرانسیل را نتوان بر حسب توابع ابتدایی بیان کرد، گاهی اوقات می توان آن را به صورت انتگرال نشان داد و در این حالت مهم نیست که این انتگرال را بتوان به صورت تحلیلی محاسبه کرد یا خیر.

هشدارها

• ظاهرمعادله دیفرانسیل می تواند گمراه کننده باشد. به عنوان مثال، در زیر دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول آورده شده است. معادله اول را می توان به راحتی با روش هایی که در این مقاله توضیح داده شده حل کرد. در نگاه اول، یک تغییر جزئی y (\displaystyle y)در y 2 (\displaystyle y^(2))در معادله دوم آن را غیر خطی می کند و حل آن بسیار دشوار می شود.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

موسسه آموزشی "ایالت بلاروس

فرهنگستان کشاورزی"

گروه ریاضیات عالی

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

یادداشت های سخنرانی برای دانشجویان حسابداری

فرم مکاتبه آموزش (NISPO)

گورکی، 2013

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

مفهوم معادله دیفرانسیل. راه حل های کلی و خاص

هنگام مطالعه پدیده های مختلف، اغلب نمی توان قانونی پیدا کرد که به طور مستقیم متغیر مستقل و تابع مورد نظر را به هم متصل کند، اما می توان بین تابع مورد نظر و مشتقات آن ارتباط برقرار کرد.

رابطه اتصال متغیر مستقل، تابع مورد نظر و مشتقات آن نامیده می شود معادله دیفرانسیل :

اینجا x– متغیر مستقل، y- عملکرد مورد نیاز،
- مشتقات تابع مورد نظر. در این صورت رابطه (1) باید حداقل یک مشتق داشته باشد.

ترتیب معادله دیفرانسیل مرتبه بالاترین مشتق موجود در معادله نامیده می شود.

معادله دیفرانسیل را در نظر بگیرید

. (2)

از آنجایی که این معادله فقط مشتق مرتبه اول را شامل می شود، نامیده می شود یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول است.

اگر می توان معادله (2) را با توجه به مشتق حل کرد و به شکل نوشت

, (3)

پس چنین معادله ای معادله دیفرانسیل مرتبه اول به شکل عادی نامیده می شود.

در بسیاری از موارد توصیه می شود معادله ای از فرم را در نظر بگیرید

که نامیده می شود یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول که به شکل دیفرانسیل نوشته شده است.

چون
، سپس معادله (3) را می توان به شکل نوشت
یا
، جایی که می توانیم حساب کنیم
و
. یعنی معادله (3) به معادله (4) تبدیل می شود.

اجازه دهید معادله (4) را به شکل بنویسیم
. سپس
,
,
، جایی که می توانیم حساب کنیم
، یعنی معادله ای از فرم (3) به دست می آید. بنابراین، معادلات (3) و (4) معادل هستند.

حل معادله دیفرانسیل (2) یا (3) هر تابعی نامیده می شود
، که با جایگزین کردن آن به معادله (2) یا (3)، آن را به یک هویت تبدیل می کند:

یا
.

فرآیند یافتن تمام جواب های یک معادله دیفرانسیل آن نامیده می شود ادغام و نمودار حل
معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال این معادله

اگر جواب معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی به دست آید
، سپس نامیده می شود انتگرال از این معادله دیفرانسیل

راه حل کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خانواده ای از توابع شکل است
بسته به یک ثابت دلخواه باکه هر کدام از آنها راه حلی برای یک معادله دیفرانسیل معین برای هر مقدار قابل قبول یک ثابت دلخواه است. با. بنابراین معادله دیفرانسیل دارای بی نهایت جواب است.

تصمیم خصوصی معادله دیفرانسیل حلی است که از فرمول حل کلی برای مقدار مشخصی از یک ثابت دلخواه بدست می آید با، از جمله
.

مسئله کوشی و تفسیر هندسی آن

معادله (2) بی نهایت جواب دارد. برای انتخاب یک راه حل از این مجموعه، که به آن راه حل خصوصی می گویند، باید شرایط اضافی را تنظیم کنید.

مسئله یافتن راه حل خاص برای معادله (2) در شرایط معین نامیده می شود مشکل کوشی . این مسئله یکی از مهمترین مسائل در نظریه معادلات دیفرانسیل است.

مسئله کوشی به صورت زیر فرموله شده است: در بین تمام جواب های معادله (2) چنین جوابی را بیابید
، که در آن تابع
مقدار عددی داده شده را می گیرد ، اگر متغیر مستقل باشد x مقدار عددی داده شده را می گیرد ، یعنی

,
, (5)

کجا D- دامنه تعریف تابع
.

معنی تماس گرفت مقدار اولیه تابع ، A – مقدار اولیه متغیر مستقل . شرط (5) نامیده می شود شرایط اولیه یا حالت کوشی .

با نقطه هندسیاز منظر، مسئله کوشی برای معادله دیفرانسیل (2) را می توان به صورت زیر فرموله کرد: از مجموعه منحنی های انتگرال معادله (2)، منحنی را که از یک نقطه مشخص می گذرد، انتخاب کنید
.

معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

یکی از ساده ترین انواع معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که تابع مورد نظر را ندارد:

. (6)

با توجه به اینکه
، معادله را به شکل می نویسیم
یا
. با ادغام هر دو طرف آخرین معادله، به دست می آوریم:
یا

. (7)

بنابراین، (7) یک راه حل کلی برای معادله (6) است.

مثال 1 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . بیایید معادله را به شکل بنویسیم
یا
. بیایید هر دو طرف معادله حاصل را ادغام کنیم:
,
. بالاخره آن را یادداشت می کنیم
.

مثال 2 . جواب معادله را پیدا کنید
با توجه به اینکه
.

راه حل . بیایید یک راه حل کلی برای معادله پیدا کنیم:
,
,
,
. با شرط
,
. بیایید راه حل کلی را جایگزین کنیم:
یا
. مقدار یافت شده یک ثابت دلخواه را با فرمول حل کلی جایگزین می کنیم:
. این یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل است که شرایط داده شده را برآورده می کند.

معادله

(8)

تماس گرفت یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول که حاوی متغیر مستقل نیست . بیایید آن را در فرم بنویسیم
یا
. بیایید هر دو طرف آخرین معادله را ادغام کنیم:
یا
- حل کلی معادله (8).

مثال . جواب کلی معادله را پیدا کنید
.

راه حل . بیایید این معادله را به شکل زیر بنویسیم:
یا
. سپس
,
,
,
. بنابراین،
جواب کلی این معادله است.

معادله فرم

(9)

با استفاده از جداسازی متغیرها ادغام می شود. برای این کار معادله را در فرم می نویسیم
و سپس با استفاده از عملیات ضرب و تقسیم آن را به شکلی در می آوریم که یک قسمت فقط شامل تابع Xو دیفرانسیل dxو در قسمت دوم – تابع درو دیفرانسیل دو. برای انجام این کار، دو طرف معادله باید در ضرب شود dxو تقسیم بر
. در نتیجه معادله را بدست می آوریم

, (10)

که در آن متغیرها Xو درجدا شده است. بیایید هر دو طرف معادله (10) را ادغام کنیم:
. رابطه حاصل انتگرال کلی معادله (9) است.

مثال 3 . معادله را یکپارچه کنید
.

راه حل . بیایید معادله را تبدیل کنیم و متغیرها را از هم جدا کنیم:
,
. بیایید ادغام کنیم:
,
یا انتگرال کلی این معادله است.
.

اجازه دهید معادله به شکل داده شود

این معادله نامیده می شود معادله دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک به شکل متقارن

برای جدا کردن متغیرها، باید دو طرف معادله را بر تقسیم کنید
:

. (12)

معادله به دست آمده نامیده می شود معادله دیفرانسیل جدا شده . بیایید معادله (12) را یکپارچه کنیم:

.(13)

رابطه (13) انتگرال کلی معادله دیفرانسیل (11) است.

مثال 4 . یک معادله دیفرانسیل را ادغام کنید.

راه حل . بیایید معادله را به شکل بنویسیم

و هر دو قسمت را تقسیم کنید
,
. معادله حاصل:
یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید آن را ادغام کنیم:

,
,

,
. آخرین برابری انتگرال کلی این معادله دیفرانسیل است.

مثال 5 . یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل پیدا کنید
، ارضای شرط
.

راه حل . با توجه به اینکه
، معادله را به شکل می نویسیم
یا
. بیایید متغیرها را از هم جدا کنیم:
. بیایید این معادله را ادغام کنیم:
,
,
. رابطه حاصل انتگرال کلی این معادله است. با شرط
. بیایید آن را به انتگرال عمومی جایگزین کنیم و پیدا کنیم با:
,با=1. سپس بیان
حل جزئی یک معادله دیفرانسیل معین است که به صورت انتگرال جزئی نوشته می شود.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

معادله

(14)

تماس گرفت معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول . تابع ناشناخته
و مشتق آن به صورت خطی وارد این معادله می شود و توابع
و
مستمر

اگر
، سپس معادله

(15)

تماس گرفت همگن خطی . اگر
، سپس معادله (14) فراخوانی می شود خطی ناهمگن .

برای یافتن راه حل معادله (14) معمولاً استفاده می شود روش جایگزینی (برنولی) ، که اصل آن به شرح زیر است.

ما به دنبال جواب معادله (14) به صورت حاصل ضرب دو تابع خواهیم بود

, (16)

کجا
و
- برخی از توابع پیوسته جایگزین کنیم
و مشتق
در معادله (14):

تابع vبه گونه ای انتخاب می کنیم که شرط برآورده شود
.
سپس

. بنابراین برای یافتن جواب معادله (14) باید سیستم معادلات دیفرانسیل را حل کرد
,
,
,
,
اولین معادله سیستم یک معادله خطی همگن است و با روش جداسازی متغیرها قابل حل است:
. به عنوان یک تابع با=1:
می توانید یکی از جواب های جزئی معادله همگن را انتخاب کنید. در
یا
. اجازه دهید معادله دوم سیستم را جایگزین کنیم:
.سپس
.

. بنابراین، راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول شکل دارد . معادله را حل کنید
.

راه حل . ما به دنبال حل معادله در فرم خواهیم بود
. سپس
. بیایید معادله را جایگزین کنیم:

یا
. تابع vطوری انتخاب کنید که برابری برقرار باشد
. سپس
. بیایید اولین مورد از این معادلات را با استفاده از روش جداسازی متغیرها حل کنیم:
,
,
,
,. تابع vبیایید معادله دوم را جایگزین کنیم:
,
,
,
. راه حل کلی این معادله است
.

سوالاتی برای خودکنترلی دانش

معادله دیفرانسیل چیست؟

ترتیب معادله دیفرانسیل چگونه است؟

کدام معادله دیفرانسیل را معادله دیفرانسیل مرتبه اول می نامند؟

چگونه یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول به صورت دیفرانسیل نوشته می شود؟

راه حل معادله دیفرانسیل چیست؟

منحنی انتگرال چیست؟

جواب کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اول چیست؟

حل جزئی معادله دیفرانسیل به چه چیزی گفته می شود؟

چگونه مسئله کوشی برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول فرموله می شود؟

تفسیر هندسی مسئله کوشی چیست؟

چگونه یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک به صورت متقارن بنویسیم؟

کدام معادله را معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول می نامند؟

برای حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول از چه روشی می توان استفاده کرد و ماهیت این روش چیست؟

تکالیف برای کار مستقل

حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک:

الف)
;
;

ب)
V)
.

;

الف)
;
ز)
;

2. حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول:
;
.

V)

ز)

;

د)

1. معادله دیفرانسیل مرتبه اول شکل دارد

اگر بتوان این معادله را با توجه به آن حل کرد، می توان آن را به صورت نوشتاری کرد

در این حالت می گوییم که معادله دیفرانسیل با توجه به مشتق حل می شود. برای چنین معادله ای قضیه زیر معتبر است که به آن قضیه وجود و یکتایی یک جواب معادله دیفرانسیل می گویند. قضیه. اگر در معادله

تابع و مشتق جزئی آن نسبت به y در برخی از دامنه های D در صفحه حاوی نقطه ای پیوسته هستند، سپس یک راه حل منحصر به فرد برای این معادله وجود دارد.

شرطی که وقتی تابع y باید برابر با یک عدد معین باشد، شرط اولیه نامیده می شود. اغلب به شکل نوشته می شود

تعریف 1. جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تابع است

که به یک ثابت دلخواه C بستگی دارد و شرایط زیر را برآورده می کند:

الف) معادله دیفرانسیل را برای هر مقدار خاص ثابت C برآورده می کند.

ب) شرط اولیه هر چه باشد، می توان مقداری را یافت که تابع شرط اولیه داده شده را برآورده کند. در این حالت، فرض می شود که مقادیر متعلق به ناحیه تغییرات متغیرهای x و y هستند که در آن شرایط قضیه وجود و منحصر به فرد بودن راه حل برآورده می شود.

2. در فرآیند یافتن یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل، اغلب به یک رابطه شکل می رسیم.

در مورد y مجاز نیست. با حل این رابطه برای y، یک راه حل کلی به دست می آوریم. با این حال، همیشه نمی توان y را از رابطه (2) در توابع ابتدایی بیان کرد. در چنین مواردی راه حل کلی به طور ضمنی رها می شود. تساوی شکلی که به طور ضمنی یک راه حل کلی را مشخص می کند، انتگرال کلی یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود.

تعریف 2. راه حل خاص هر تابعی است که از راه حل کلی به دست می آید اگر در دومی به یک ثابت دلخواه مقدار معینی داده شود.

مثال 1. برای یک معادله مرتبه اول

راه حل کلی خانواده ای از توابع خواهد بود که با جایگزینی ساده در معادله قابل تأیید است.

اجازه دهید راه حل خاصی را پیدا کنیم که شرایط اولیه زیر را برآورده کند: هنگام جایگزینی این مقادیر در فرمول، به دست می آوریم یا بنابراین، راه حل خاص مورد نظر تابع خواهد بود.

از نقطه نظر هندسی، انتگرال کلی خانواده ای از منحنی ها در صفحه مختصات است که به یک ثابت دلخواه C (یا، همانطور که می گویند، به یک پارامتر C) بستگی دارد.

این منحنی ها منحنی های انتگرال یک معادله دیفرانسیل معین نامیده می شوند. انتگرال جزئی مربوط به یک منحنی از این خانواده است که از نقطه معینی از صفحه عبور می کند.

بنابراین، در آخرین مثال، انتگرال کلی به صورت هندسی با خانواده ای از هذلول ها نشان داده می شود، و انتگرال خاص که با شرایط اولیه نشان داده شده تعریف شده است، با عبور یکی از این هذلول ها از نقطه ای در شکل. 251 منحنی های خانواده مربوط به برخی از مقادیر پارامتر را نشان می دهد: و غیره.

برای واضح تر شدن استدلال، از این پس حل معادله را نه تنها تابعی که معادله را برآورده می کند، بلکه منحنی انتگرال مربوطه را نیز می نامیم. در این رابطه، به عنوان مثال، در مورد یک راه حل که از نقطه عبور می کند صحبت خواهیم کرد.

نظر دهید. معادله هیچ راه حلی ندارد که از نقطه ای که روی محور شکل قرار دارد عبور کند. 251)، از آنجایی که سمت راست معادله برای تعریف نشده است و بنابراین پیوسته نیست.

حل یا، همانطور که اغلب می گویند، یکپارچه سازی یک معادله دیفرانسیل به این معنی است:

الف) جواب کلی یا انتگرال کلی آن را بیابید (اگر شرایط اولیه داده نشده باشد) یا

ب) آن راه حل خاص از معادله را که شرایط اولیه داده شده را برآورده می کند (در صورت وجود) پیدا کنید.

3. اجازه دهید یک تفسیر هندسی از معادله دیفرانسیل مرتبه اول ارائه دهیم.

اجازه دهید یک معادله دیفرانسیل داده شود که با توجه به مشتق حل شود:

و اجازه دهید یک راه حل کلی برای این معادله وجود داشته باشد. این راه حل کلی خانواده ای از منحنی های انتگرال را در صفحه تعریف می کند

معادله (G) برای هر نقطه M با مختصات x و y مقدار مشتق را تعیین می کند، یعنی ضریب زاویه ای مماس بر منحنی انتگرالی که از این نقطه می گذرد. بنابراین، معادله دیفرانسیل (D) مجموعه ای از جهت ها را می دهد یا، همانطور که می گویند، میدان جهت ها را در هواپیما تعیین می کند.

بنابراین، از نقطه نظر هندسی، مشکل یکپارچه سازی یک معادله دیفرانسیل، یافتن منحنی هایی است که مماس های آن هم جهت میدان در نقاط مربوطه باشد.

برای معادله دیفرانسیل (1)، مکان هندسی نقاطی که رابطه در آن برقرار است، ایزوکلاین این معادله دیفرانسیل نامیده می شود.

برای مقادیر مختلف k، هم‌زمان‌های متفاوتی به‌دست می‌آوریم. معادله ایزوکلاین متناظر با مقدار k بدیهی است که با ساختن خانواده ای از خطوط همسان، تقریباً می توان خانواده ای از منحنی های انتگرال ساخت. آنها می گویند که با دانستن خطوط همسان، می توان به طور کیفی محل منحنی های انتگرال را در هواپیما تعیین کرد.