ઘર મોઢામાંથી દુર્ગંધ આવે છે ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને શરીરનું પ્રમાણ શોધવું. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પરિભ્રમણના શરીરના વોલ્યુમોની ગણતરી

મોઢામાંથી દુર્ગંધ આવે છે

ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને શરીરનું પ્રમાણ શોધવું. ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પરિભ્રમણના શરીરના વોલ્યુમોની ગણતરી

વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાની જેમ, તમારે આત્મવિશ્વાસપૂર્ણ ચિત્ર કૌશલ્યની જરૂર છે - આ લગભગ સૌથી મહત્વની વસ્તુ છે (કારણ કે અવિભાજ્ય ઘણીવાર સરળ હશે). તમે સક્ષમ અને ઝડપી ચાર્ટિંગ તકનીકોનો ઉપયોગ કરીને માસ્ટર કરી શકો છો શિક્ષણ સામગ્રીઅને આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન. પરંતુ, હકીકતમાં, મેં પહેલેથી જ વર્ગમાં ઘણી વખત રેખાંકનોના મહત્વ વિશે વાત કરી છે.

સામાન્ય રીતે, ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસમાં ઘણી બધી રસપ્રદ એપ્લિકેશનો છે, તેનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અભિન્નતમે આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો, ક્રાંતિના શરીરનું પ્રમાણ, આર્ક લંબાઈ, ક્રાંતિની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને ઘણું બધું. તેથી તે આનંદદાયક હશે, કૃપા કરીને આશાવાદી રહો!

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર કેટલીક સપાટ આકૃતિની કલ્પના કરો. પરિચય આપ્યો? ... મને આશ્ચર્ય છે કે કોણે શું રજૂ કર્યું... =))) અમને તેનો વિસ્તાર પહેલેથી જ મળી ગયો છે. પરંતુ, વધુમાં, આ આંકડો પણ ફેરવી શકાય છે, અને બે રીતે ફેરવી શકાય છે:

- એબ્સીસા અક્ષની આસપાસ;
- ઓર્ડિનેટ અક્ષની આસપાસ.

આ લેખ બંને કેસોની તપાસ કરશે. પરિભ્રમણની બીજી પદ્ધતિ ખાસ કરીને રસપ્રદ છે; તે સૌથી વધુ મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે, પરંતુ હકીકતમાં ઉકેલ લગભગ સમાન છે જે x-અક્ષની આસપાસ વધુ સામાન્ય પરિભ્રમણમાં છે. બોનસ તરીકે હું પરત આવીશ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યા, અને હું તમને કહીશ કે બીજી રીતે વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો - ધરી સાથે. તે એટલું બોનસ નથી કારણ કે સામગ્રી વિષયમાં સારી રીતે બંધબેસે છે.

ચાલો સૌથી લોકપ્રિય પ્રકારના પરિભ્રમણથી પ્રારંભ કરીએ.

ધરીની આસપાસ સપાટ આકૃતિ

ઉદાહરણ 1

આકૃતિને ફેરવીને મેળવેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો, રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત, ધરીની આસપાસ.

ઉકેલ: વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાની જેમ, ઉકેલ એક ચિત્ર સાથે શરૂ થાય છે સપાટ આકૃતિ . એટલે કે, પ્લેન પર રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિ બનાવવી જરૂરી છે, અને ભૂલશો નહીં કે સમીકરણ અક્ષને સ્પષ્ટ કરે છે. ચિત્રને વધુ કાર્યક્ષમ રીતે અને ઝડપથી કેવી રીતે પૂર્ણ કરવું તે પૃષ્ઠો પર મળી શકે છે પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મોઅને ચોક્કસ અભિન્ન. આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. આ એક ચીની રીમાઇન્ડર છે અને ચાલુ છે આ ક્ષણેહું હવે રોકાતો નથી.

અહીં રેખાંકન એકદમ સરળ છે:

ઇચ્છિત સપાટ આકૃતિ વાદળી રંગમાં છાંયો છે; તે તે છે જે ધરીની આસપાસ ફરે છે. પરિભ્રમણના પરિણામે, પરિણામ એ સહેજ અંડાકાર ઉડતી રકાબી છે જે ધરી વિશે સપ્રમાણ છે. હકીકતમાં, શરીરનું ગાણિતિક નામ છે, પરંતુ હું સંદર્ભ પુસ્તકમાં કંઈપણ સ્પષ્ટ કરવા માટે ખૂબ આળસુ છું, તેથી અમે આગળ વધીએ છીએ.

પરિભ્રમણના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

સૂત્રમાં, સંખ્યા અવિભાજ્ય પહેલાં હાજર હોવી આવશ્યક છે. તેથી તે થયું - જીવનમાં જે બધું ફરે છે તે આ અચલ સાથે જોડાયેલું છે.

મને લાગે છે કે પૂર્ણ થયેલ ડ્રોઇંગમાંથી "a" અને "be" એકીકરણની મર્યાદા કેવી રીતે સેટ કરવી તે અનુમાન લગાવવું સરળ છે.

કાર્ય... આ કાર્ય શું છે? ચાલો ડ્રોઇંગ જોઈએ. પ્લેન આકૃતિ ટોચ પર પેરાબોલાના ગ્રાફ દ્વારા બંધાયેલ છે. આ તે કાર્ય છે જે સૂત્રમાં સૂચિત છે.

વ્યવહારુ કાર્યોમાં, સપાટ આકૃતિ કેટલીકવાર ધરીની નીચે સ્થિત હોઈ શકે છે. આનાથી કંઈપણ બદલાતું નથી - સૂત્રમાં એકીકૃત વર્ગ છે: , આમ અભિન્ન હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે, જે ખૂબ જ તાર્કિક છે.

ચાલો ઉપયોગ કરીને ક્રાંતિના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ આ સૂત્ર:

મેં પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, અભિન્ન લગભગ હંમેશા સરળ બને છે, મુખ્ય વસ્તુ સાવચેત રહેવાની છે.

જવાબ આપો:

તમારા જવાબમાં, તમારે પરિમાણ - ઘન એકમો સૂચવવું આવશ્યક છે. એટલે કે, આપણા પરિભ્રમણના શરીરમાં આશરે 3.35 “ક્યુબ્સ” છે. શા માટે ઘન એકમો? કારણ કે સૌથી સાર્વત્રિક રચના. ત્યાં ઘન સેન્ટિમીટર હોઈ શકે છે, ઘન મીટર હોઈ શકે છે, ઘન કિલોમીટર હોઈ શકે છે, વગેરે, તમારી કલ્પના ઉડતી રકાબીમાં કેટલા લીલા માણસો મૂકી શકે છે.

ઉદાહરણ 2

શરીરનું પ્રમાણ શોધો, પરિભ્રમણ દ્વારા રચાય છેરેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિની ધરીની આસપાસ, ,

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

ચાલો બે વધુ જટિલ સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈએ, જે ઘણીવાર વ્યવહારમાં પણ આવે છે.

ઉદાહરણ 3

રેખાઓ , અને

ઉકેલ: ચાલો ચિત્રમાં રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિનું નિરૂપણ કરીએ , , , એ ભૂલ્યા વિના કે સમીકરણ ધરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે:

ઇચ્છિત આકૃતિ વાદળી રંગમાં છાંયો છે. જ્યારે તે તેની ધરીની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે તે ચાર ખૂણાઓ સાથે અતિવાસ્તવ ડોનટ તરીકે બહાર આવે છે.

ચાલો પરિભ્રમણના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ શરીરના જથ્થામાં તફાવત.

પ્રથમ, ચાલો લાલ રંગમાં વર્તુળાકાર આકૃતિ જોઈએ. જ્યારે તે અક્ષની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે એક કપાયેલ શંકુ પ્રાપ્ત થાય છે. ચાલો આપણે આ કાપેલા શંકુના જથ્થાને દ્વારા દર્શાવીએ.

પરિક્રમા કરવામાં આવેલ આકૃતિને ધ્યાનમાં લો લીલા. જો તમે આ આકૃતિને ધરીની આસપાસ ફેરવો છો, તો તમને એક કપાયેલો શંકુ પણ મળશે, ફક્ત થોડો નાનો. ચાલો તેના વોલ્યુમ દ્વારા દર્શાવીએ.

અને, દેખીતી રીતે, વોલ્યુમમાં તફાવત એ આપણા "ડોનટ" ની બરાબર વોલ્યુમ છે.

પરિભ્રમણના શરીરનું પ્રમાણ શોધવા માટે અમે પ્રમાણભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

1) લાલ રંગમાં ફરતી આકૃતિ ઉપર એક સીધી રેખાથી બંધાયેલ છે, તેથી:

2) લીલા રંગમાં ફરતી આકૃતિ ઉપર એક સીધી રેખાથી બંધાયેલ છે, તેથી:

3) ક્રાંતિના ઇચ્છિત શરીરનું પ્રમાણ:

જવાબ આપો:

તે વિચિત્ર છે કે માં આ બાબતેકાપેલા શંકુના જથ્થાની ગણતરી માટે શાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલને ચકાસી શકાય છે.

નિર્ણય પોતે ઘણીવાર ટૂંકા લખવામાં આવે છે, કંઈક આના જેવું:

હવે ચાલો થોડો આરામ કરીએ અને તમને ભૌમિતિક ભ્રમણા વિશે જણાવીએ.

લોકો ઘણીવાર વોલ્યુમ સાથે સંકળાયેલા ભ્રમણા ધરાવે છે, જે પુસ્તકમાં પેરેલમેન (બીજા) દ્વારા નોંધવામાં આવ્યું હતું મનોરંજક ભૂમિતિ. ઉકેલાયેલી સમસ્યામાં સપાટ આકૃતિ જુઓ - તે ક્ષેત્રફળમાં નાનું લાગે છે, અને ક્રાંતિના શરીરનું પ્રમાણ માત્ર 50 ઘન એકમોથી વધુ છે, જે ખૂબ મોટું લાગે છે. માર્ગ દ્વારા, સરેરાશ વ્યક્તિ તેના સમગ્ર જીવનમાં 18 ચોરસ મીટર પ્રવાહીના ઓરડાના સમકક્ષ પીવે છે, જે તેનાથી વિપરીત, વોલ્યુમમાં ખૂબ નાનું લાગે છે.

સામાન્ય રીતે, યુએસએસઆરમાં શિક્ષણ પ્રણાલી ખરેખર શ્રેષ્ઠ હતી. પેરેલમેનનું એ જ પુસ્તક, જે 1950 માં પાછું પ્રકાશિત થયું હતું, તે ખૂબ જ સારી રીતે વિકસિત થાય છે, જેમ કે હાસ્યલેખક કહે છે, સમજવા અને તમને મૂળ શોધવાનું શીખવે છે. બિન-માનક ઉકેલોસમસ્યાઓ મેં તાજેતરમાં કેટલાક પ્રકરણો ખૂબ રસ સાથે ફરીથી વાંચ્યા, હું તેની ભલામણ કરું છું, તે માનવતાવાદીઓ માટે પણ સુલભ છે. ના, તમારે સ્મિત કરવાની જરૂર નથી કે મેં મફત સમય ઓફર કર્યો, જ્ઞાન અને સંદેશાવ્યવહારમાં વ્યાપક ક્ષિતિજો એ એક મહાન વસ્તુ છે.

ગીતાત્મક વિષયાંતર પછી, સર્જનાત્મક કાર્યને હલ કરવા માટે તે યોગ્ય છે:

ઉદાહરણ 4

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિની ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ દ્વારા બનેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો, જ્યાં.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તમામ કેસો બેન્ડમાં થાય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એકીકરણની તૈયાર મર્યાદા વાસ્તવમાં આપવામાં આવે છે. આલેખ યોગ્ય રીતે દોરો ત્રિકોણમિતિ કાર્યો, ચાલો હું તમને પાઠ સામગ્રી વિશે યાદ કરાવું આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન: જો દલીલને બે વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે: , તો આલેખ ધરી સાથે બે વાર ખેંચાય છે. ઓછામાં ઓછા 3-4 પોઈન્ટ શોધવાની સલાહ આપવામાં આવે છે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકો અનુસારચિત્રને વધુ સચોટ રીતે પૂર્ણ કરવા માટે. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ. માર્ગ દ્વારા, કાર્યને તર્કસંગત રીતે હલ કરી શકાય છે અને ખૂબ તર્કસંગત રીતે નહીં.

પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી
ધરીની આસપાસ સપાટ આકૃતિ

બીજો ફકરો પહેલા કરતા પણ વધુ રસપ્રદ હશે. ઓર્ડિનેટ અક્ષની આસપાસ ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરવાનું કાર્ય પણ એકદમ વારંવાર મહેમાન છે. પરીક્ષણો. રસ્તામાં તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાબીજી પદ્ધતિ એ ધરી સાથે એકીકરણ છે, આ તમને ફક્ત તમારી કુશળતા સુધારવા માટે જ નહીં, પણ તમને સૌથી વધુ નફાકારક ઉકેલ માર્ગ શોધવાનું પણ શીખવશે. આમાં પણ વ્યવહારિક જીવનનો અર્થ છે! ગણિતની શીખવવાની પદ્ધતિઓ પરના મારા શિક્ષકે સ્મિત સાથે યાદ કર્યા, ઘણા સ્નાતકોએ તેણીનો આ શબ્દો સાથે આભાર માન્યો: "તમારા વિષયે અમને ઘણી મદદ કરી, હવે અમે અસરકારક સંચાલકો છીએ અને સ્ટાફનું શ્રેષ્ઠ સંચાલન કરીએ છીએ." આ તકને લઈને, હું તેના માટે મારી ખૂબ જ કૃતજ્ઞતા પણ વ્યક્ત કરું છું, ખાસ કરીને કારણ કે હું પ્રાપ્ત કરેલ જ્ઞાનનો ઉપયોગ તેના ઉદ્દેશ્ય હેતુ માટે કરું છું =).

હું દરેકને તેની ભલામણ કરું છું, સંપૂર્ણ ડમી પણ. તદુપરાંત, બીજા ફકરામાં શીખેલી સામગ્રી ડબલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવામાં અમૂલ્ય સહાય પૂરી પાડશે..

ઉદાહરણ 5

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ આપેલ છે , .

1) આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.
2) ધરીની ફરતે આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિને ફેરવીને મેળવેલા શરીરનું પ્રમાણ શોધો.

ધ્યાન આપો!જો તમે માત્ર બીજો મુદ્દો વાંચવા માંગતા હો, તો પણ પ્રથમ જરૂરીપ્રથમ વાંચો!

ઉકેલ: કાર્ય બે ભાગો ધરાવે છે. ચાલો ચોરસ સાથે શરૂ કરીએ.

1) ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

તે જોવાનું સરળ છે કે ફંક્શન પેરાબોલાની ઉપરની શાખાને સ્પષ્ટ કરે છે, અને ફંક્શન પેરાબોલાની નીચેની શાખાને સ્પષ્ટ કરે છે. આપણી સમક્ષ એક તુચ્છ પેરાબોલા છે જે "તેની બાજુમાં આવેલું છે."

ઇચ્છિત આકૃતિ, જેનો વિસ્તાર શોધવાનો છે, તે વાદળી રંગમાં છાંયો છે.

આકૃતિનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો? તે "સામાન્ય" રીતે મળી શકે છે, જેની વર્ગમાં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી ચોક્કસ અભિન્ન. આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. તદુપરાંત, આકૃતિનો વિસ્તાર વિસ્તારોના સરવાળા તરીકે જોવા મળે છે:
- સેગમેન્ટ પર ;
- સેગમેન્ટ પર.

એ કારણે:

આ કિસ્સામાં શા માટે સામાન્ય ઉકેલ ખરાબ છે? સૌપ્રથમ, અમને બે અભિન્ન ભાગો મળ્યા. બીજું, અવિભાજ્ય મૂળ છે, અને અવિભાજ્યમાં મૂળ એ ભેટ નથી, અને તે ઉપરાંત, તમે એકીકરણની મર્યાદાઓને બદલવામાં મૂંઝવણમાં પડી શકો છો. હકીકતમાં, ઇન્ટિગ્રલ્સ, અલબત્ત, ખૂની નથી, પરંતુ વ્યવહારમાં બધું વધુ ઉદાસી હોઈ શકે છે, મેં સમસ્યા માટે ફક્ત "વધુ સારા" કાર્યો પસંદ કર્યા છે.

ત્યાં વધુ તર્કસંગત ઉકેલ છે: તેમાં વ્યસ્ત કાર્યો પર સ્વિચ કરવું અને ધરી સાથે સંકલન કરવું શામેલ છે.

વ્યસ્ત કાર્યો કેવી રીતે મેળવવું? સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તમારે "x" ને "y" દ્વારા વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે. પ્રથમ, ચાલો પેરાબોલાને જોઈએ:

આ પર્યાપ્ત છે, પરંતુ ચાલો ખાતરી કરીએ કે સમાન કાર્ય નીચલા શાખામાંથી મેળવી શકાય છે:

તે સીધી રેખા સાથે સરળ છે:

હવે ધરી જુઓ: કૃપા કરીને સમયાંતરે તમારા માથાને જમણી તરફ 90 ડિગ્રી તરફ નમાવો જેમ તમે સમજાવો છો (આ મજાક નથી!). આપણને જે આકૃતિની જરૂર છે તે સેગમેન્ટ પર આવેલું છે, જે લાલ ડોટેડ લાઇન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સેગમેન્ટ પર સીધી રેખા પેરાબોલાની ઉપર સ્થિત છે, જેનો અર્થ છે કે આકૃતિનો વિસ્તાર તમને પહેલાથી જ પરિચિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધવો જોઈએ: . ફોર્મ્યુલામાં શું બદલાયું છે? માત્ર એક પત્ર અને બીજું કંઈ નહીં.

! નૉૅધ: ધરી સાથે એકીકરણની મર્યાદા સેટ કરવી જોઈએ કડક રીતે નીચેથી ઉપર સુધી!

વિસ્તાર શોધો:

સેગમેન્ટ પર, તેથી:

કૃપા કરીને નોંધો કે મેં એકીકરણ કેવી રીતે કર્યું, આ સૌથી તર્કસંગત રીત છે, અને કાર્યના આગળના ફકરામાં તે શા માટે સ્પષ્ટ થશે.

એકીકરણની શુદ્ધતા પર શંકા કરતા વાચકો માટે, હું ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીશ:

મૂળ એકીકરણ કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે એકીકરણ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હતું.

જવાબ આપો:

2) ચાલો ધરીની આસપાસ આ આકૃતિના પરિભ્રમણથી બનેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરીએ.

હું ડ્રોઇંગને થોડી અલગ ડિઝાઇનમાં ફરીથી દોરીશ:

તેથી, વાદળી રંગમાં શેડ કરેલી આકૃતિ ધરીની આસપાસ ફરે છે. પરિણામ એ "હોવરિંગ બટરફ્લાય" છે જે તેની ધરીની આસપાસ ફરે છે.

પરિભ્રમણના શરીરનું પ્રમાણ શોધવા માટે, અમે ધરી સાથે સંકલિત કરીશું. પ્રથમ આપણે વ્યસ્ત કાર્યો પર જવાની જરૂર છે. આ પહેલાથી જ કરવામાં આવ્યું છે અને અગાઉના ફકરામાં વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

હવે અમે અમારા માથાને ફરીથી જમણી તરફ નમાવીએ છીએ અને અમારી આકૃતિનો અભ્યાસ કરીએ છીએ. દેખીતી રીતે, પરિભ્રમણના શરીરનું વોલ્યુમ વોલ્યુમમાં તફાવત તરીકે શોધવું જોઈએ.

અમે ધરીની આસપાસ લાલ રંગમાં પરિભ્રમણ કરેલ આકૃતિને ફેરવીએ છીએ, પરિણામે એક કાપવામાં આવેલ શંકુ દેખાય છે. ચાલો આ વોલ્યુમ દ્વારા દર્શાવીએ.

અમે ધરીની આસપાસ લીલા રંગમાં પરિભ્રમણ કરેલ આકૃતિને ફેરવીએ છીએ અને પરિભ્રમણના પરિણામી ભાગના વોલ્યુમ દ્વારા તેને સૂચિત કરીએ છીએ.

આપણા બટરફ્લાયનું વોલ્યુમ વોલ્યુમના તફાવત જેટલું છે.

ક્રાંતિના શરીરનું પ્રમાણ શોધવા માટે અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

પાછલા ફકરામાં સૂત્રથી શું તફાવત છે? માત્ર પત્રમાં.

પરંતુ એકીકરણનો ફાયદો, જેના વિશે મેં તાજેતરમાં વાત કરી છે, તે શોધવાનું ખૂબ સરળ છે , પહેલા 4થી પાવરમાં ઇન્ટિગ્રેન્ડ વધારવાને બદલે.

જવાબ આપો:

જો કે, બીમાર બટરફ્લાય નથી.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જો સમાન સપાટ આકૃતિ ધરીની ફરતે ફેરવવામાં આવે છે, તો તમને કુદરતી રીતે, એક અલગ વોલ્યુમ સાથે, પરિભ્રમણનું સંપૂર્ણપણે અલગ શરીર મળશે.

ઉદાહરણ 6

રેખાઓ અને અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ આપેલ છે.

1) ઇન્વર્સ ફંક્શન્સ પર જાઓ અને ચલ પર એકીકૃત કરીને આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સમતલ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.
2) ધરીની ફરતે આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિને ફેરવીને મેળવેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. રસ ધરાવનારાઓ "સામાન્ય" રીતે આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ પણ શોધી શકે છે, ત્યાં બિંદુ 1 તપાસે છે). પરંતુ જો, હું પુનરાવર્તન કરું છું, તમે ધરીની આસપાસ એક સપાટ આકૃતિ ફેરવો છો, તો તમને એક અલગ વોલ્યુમ સાથે પરિભ્રમણનું સંપૂર્ણપણે અલગ શરીર મળશે, માર્ગ દ્વારા, સાચો જવાબ (જેઓ સમસ્યાઓ હલ કરવાનું પસંદ કરે છે તેમના માટે પણ).

કાર્યના બે સૂચિત મુદ્દાઓનો સંપૂર્ણ ઉકેલ પાઠના અંતે છે.

હા, અને પરિભ્રમણના શરીર અને એકીકરણની મર્યાદાઓને સમજવા માટે તમારા માથાને જમણી તરફ નમાવવાનું ભૂલશો નહીં!

પાઠનો પ્રકાર: સંયુક્ત.

પાઠનો હેતુ:ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરીને ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરવાનું શીખો.

કાર્યો:

સંખ્યાબંધ ભૌમિતિક આકૃતિઓમાંથી વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડ્સને ઓળખવાની ક્ષમતાને એકીકૃત કરો અને વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડ્સના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરવાની કુશળતા વિકસાવો;
ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિની વિભાવનાથી પરિચિત થાઓ;
ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરવાનું શીખો;
ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે તાર્કિક વિચારસરણી, સક્ષમ ગાણિતિક ભાષણ, ચોકસાઈના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો;
વિષયમાં રુચિ કેળવવા, ગાણિતિક ખ્યાલો અને છબીઓ સાથે કામ કરીને, અંતિમ પરિણામ પ્રાપ્ત કરવા માટે ઇચ્છાશક્તિ, સ્વતંત્રતા અને દ્રઢતા કેળવવી.

વર્ગો દરમિયાન

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

ગ્રુપ તરફથી શુભેચ્છાઓ. વિદ્યાર્થીઓને પાઠના ઉદ્દેશ્યો જણાવો.

પ્રતિબિંબ. શાંત મેલોડી.

- હું આજનો પાઠ એક દૃષ્ટાંત સાથે શરૂ કરવા માંગુ છું. “એક સમયે એક શાણો માણસ રહેતો હતો જે બધું જાણતો હતો. એક માણસ સાબિત કરવા માંગતો હતો કે ઋષિને બધું જ ખબર નથી. પોતાના હાથમાં પતંગિયું પકડીને તેણે પૂછ્યું: "મને કહો, ઋષિ, મારા હાથમાં કયું પતંગિયું છે: મૃત કે જીવંત?" અને તે પોતે વિચારે છે: "જો જીવતો કહે, તો હું તેને મારી નાખીશ; મૃતક કહેશે, હું તેને છોડી દઈશ." ઋષિએ વિચાર કર્યા પછી જવાબ આપ્યો: "બધું તમારા હાથમાં". (પ્રસ્તુતિ.સ્લાઇડ)

- તેથી, ચાલો આજે ફળદાયી રીતે કાર્ય કરીએ, જ્ઞાનનો નવો ભંડાર મેળવીએ, અને આપણે પ્રાપ્ત કરેલી કુશળતા અને ક્ષમતાઓને ભવિષ્યના જીવનમાં અને વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓમાં લાગુ કરીશું. "બધું તમારા હાથમાં".

II. અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું પુનરાવર્તન.

- ચાલો અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીના મુખ્ય મુદ્દાઓ યાદ રાખીએ. આ કરવા માટે, ચાલો કાર્ય પૂર્ણ કરીએ "બાકાત અનાવશ્યક શબ્દ”. (સ્લાઇડ.)

(વિદ્યાર્થી I.D પર જાય છે. વધારાના શબ્દને દૂર કરવા માટે ઇરેઝરનો ઉપયોગ કરે છે.)

- અધિકાર "વિભેદક". બાકીના શબ્દોને એક તરીકે નામ આપવાનો પ્રયાસ કરો સામાન્ય શબ્દોમાં. (અભિન્ન કલન.)

- ચાલો અભિન્ન કલન સાથે સંકળાયેલા મુખ્ય તબક્કાઓ અને ખ્યાલોને યાદ રાખીએ..

"ગાણિતિક સમૂહ".

કસરત. ગાબડા પુનઃપ્રાપ્ત. (વિદ્યાર્થી બહાર આવે છે અને પેન વડે જરૂરી શબ્દોમાં લખે છે.)

- અમે પછીથી ઇન્ટિગ્રલ્સના એપ્લિકેશન પર એક અમૂર્ત સાંભળીશું.

નોટબુકમાં કામ કરો.

- ન્યુટન-લીબનીઝ સૂત્ર અંગ્રેજી ભૌતિકશાસ્ત્રી આઇઝેક ન્યુટન (1643–1727) અને જર્મન ફિલસૂફ ગોટફ્રાઈડ લીબનીઝ (1646–1716) દ્વારા લેવામાં આવ્યું હતું. અને આ આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે ગણિત એ પ્રકૃતિ દ્વારા જ બોલાતી ભાષા છે.

- ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે કેવી રીતે ઉકેલો વ્યવહારુ કાર્યોઆ સૂત્ર વપરાય છે.

ઉદાહરણ 1: રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

ઉકેલ: ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએ . ચાલો આકૃતિનો વિસ્તાર પસંદ કરીએ જે શોધવાની જરૂર છે.

III. નવી સામગ્રી શીખવી.

- સ્ક્રીન પર ધ્યાન આપો. પ્રથમ ચિત્રમાં શું બતાવવામાં આવ્યું છે? (સ્લાઇડ) (આકૃતિ સપાટ આકૃતિ દર્શાવે છે.)

- બીજા ચિત્રમાં શું બતાવવામાં આવ્યું છે? શું આ આંકડો સપાટ છે? (સ્લાઇડ) (આકૃતિ ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ દર્શાવે છે.)

- અવકાશમાં, પૃથ્વી પર અને અંદર રોજિંદુ જીવનઆપણે ફક્ત સપાટ આકૃતિઓ જ નહીં, પણ ત્રિ-પરિમાણીય પણ મળીએ છીએ, પરંતુ આપણે આવા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકીએ? ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રહ, ધૂમકેતુ, ઉલ્કાઓ વગેરેનું કદ.

- લોકો ઘરો બનાવતી વખતે અને એક વાસણમાંથી બીજા વાસણમાં પાણી રેડતી વખતે વોલ્યુમ વિશે વિચારે છે. વોલ્યુમની ગણતરી માટે નિયમો અને તકનીકો ઉભરી આવવાની હતી; તેઓ કેટલા સચોટ અને વાજબી હતા તે બીજી બાબત છે.

વિદ્યાર્થી તરફથી સંદેશ. (ટ્યુરિના વેરા.)

1612નું વર્ષ ઑસ્ટ્રિયન શહેર લિન્ઝના રહેવાસીઓ માટે ખૂબ જ ફળદાયી હતું, જ્યાં પ્રખ્યાત ખગોળશાસ્ત્રી જોહાન્સ કેપ્લર રહેતા હતા, ખાસ કરીને દ્રાક્ષ માટે. લોકો વાઇન બેરલ તૈયાર કરી રહ્યા હતા અને તેમની માત્રાને વ્યવહારીક રીતે કેવી રીતે નક્કી કરવી તે જાણવા માંગતા હતા. (સ્લાઇડ 2)

- આમ, કેપ્લરની માનવામાં આવતી કૃતિઓએ સંશોધનના સમગ્ર પ્રવાહનો પાયો નાખ્યો જે 17મી સદીના છેલ્લા ક્વાર્ટરમાં પરિણમ્યો. આઇ. ન્યૂટન અને જી.વી.ના કાર્યોમાં ડિઝાઇન વિભેદક અને અભિન્ન કલનનું લીબનીઝ. તે સમયથી, ચલોના ગણિતે ગાણિતિક જ્ઞાનની સિસ્ટમમાં અગ્રણી સ્થાન મેળવ્યું.

- આજે તમે અને હું આવી વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓમાં જોડાઈશું, તેથી,

અમારા પાઠનો વિષય: "ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પરિભ્રમણના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરવી." (સ્લાઇડ)

- તમે પૂર્ણ કરીને ક્રાંતિના શરીરની વ્યાખ્યા શીખી શકશો આગામી કાર્ય.

"ભુલભુલામણી".

ભુલભુલામણી ( ગ્રીક શબ્દ) એટલે અંધારકોટડીમાં જવું. ભુલભુલામણી એ પાથ, માર્ગો અને એકબીજા સાથે જોડાયેલા રૂમનું જટિલ નેટવર્ક છે.

પરંતુ વ્યાખ્યા "તૂટેલી" હતી, તીરના રૂપમાં સંકેતો છોડીને.

કસરત. મૂંઝવણભરી પરિસ્થિતિમાંથી માર્ગ શોધો અને વ્યાખ્યા લખો.

સ્લાઇડ. "નકશા સૂચના" વોલ્યુમોની ગણતરી.

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, તમે ચોક્કસ શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરી શકો છો, ખાસ કરીને, ક્રાંતિનું શરીર.

ક્રાંતિનું શરીર એ તેના આધારની આસપાસ વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડને ફેરવીને મેળવવામાં આવતું શરીર છે (ફિગ. 1, 2)

પરિભ્રમણના શરીરના જથ્થાની ગણતરી ફોર્મ્યુલામાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

1. OX અક્ષની આસપાસ.

2. , જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનું પરિભ્રમણ op-amp ની ધરીની આસપાસ.

દરેક વિદ્યાર્થીને એક સૂચના કાર્ડ મળે છે. શિક્ષક મુખ્ય મુદ્દાઓ પર ભાર મૂકે છે.

- શિક્ષક બોર્ડ પરના ઉદાહરણોના ઉકેલો સમજાવે છે.

માંથી એક અવતરણ ધ્યાનમાં લો પ્રખ્યાત પરીકથાએ.એસ. પુશ્કિન "ઝાર સાલ્ટનની વાર્તા, તેના ભવ્ય અને શક્તિશાળી હીરો પ્રિન્સ ગાઇડન સાલ્ટાનોવિચ અને સુંદર પ્રિન્સેસ સ્વાનની" (સ્લાઇડ 4):

…..
અને શરાબી દૂત લાવ્યો
તે જ દિવસે ઓર્ડર નીચે મુજબ છે:
"રાજા તેના બોયરોને આદેશ આપે છે,
સમય બગાડ્યા વિના,
અને રાણી અને સંતાન
ગુપ્ત રીતે પાણીના પાતાળમાં ફેંકી દો. ”
ત્યાં કરવાનું કંઈ નથી: બોયર્સ,
સાર્વભૌમ વિશે ચિંતા
અને યુવાન રાણીને,
એક ટોળું તેના બેડરૂમમાં આવ્યું.
તેઓએ રાજાની ઇચ્છા જાહેર કરી -
તેણી અને તેના પુત્રનો દુષ્ટ હિસ્સો છે,
અમે હુકમનામું મોટેથી વાંચીએ છીએ,
અને એ જ ઘડીએ રાણી
તેઓએ મને મારા પુત્ર સાથે બેરલમાં મૂક્યો,
તેઓ tarred અને દૂર લઈ જાય છે
અને તેઓએ મને ઓકિયાનમાં જવા દીધો -
ઝાર સાલ્ટને આ આદેશ આપ્યો હતો.

બેરલનું પ્રમાણ કેટલું હોવું જોઈએ જેથી રાણી અને તેનો પુત્ર તેમાં બેસી શકે?

- નીચેના કાર્યોને ધ્યાનમાં લો

1. રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ઓર્ડિનેટ અક્ષની આસપાસ ફરવાથી મેળવેલા શરીરના જથ્થાને શોધો: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

જવાબ: 1163 સેમી 3 .

એબ્સીસા અક્ષની આસપાસ પેરાબોલિક ટ્રેપેઝોઇડને ફેરવીને મેળવેલા શરીરનું પ્રમાણ શોધો y = , x = 4, y = 0.

IV. નવી સામગ્રીનું એકીકરણ

ઉદાહરણ 2. x-અક્ષની ફરતે પાંખડીના પરિભ્રમણથી બનેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો y = x 2 , y 2 = x.

ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએ. y = x 2 , y 2 = x. અનુસૂચિ y2 = xફોર્મમાં કન્વર્ટ કરો y= .

અમારી પાસે V = V 1 – V 2ચાલો દરેક કાર્યના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ

- હવે, ચાલો શાબોલોવકા પર મોસ્કોમાં રેડિયો સ્ટેશન માટેના ટાવરને જોઈએ, જે નોંધપાત્ર રશિયન એન્જિનિયર, માનદ વિદ્વાન વી. જી. શુખોવની ડિઝાઇન અનુસાર બનાવવામાં આવ્યું છે. તેમાં ભાગોનો સમાવેશ થાય છે - પરિભ્રમણના હાયપરબોલોઇડ્સ. તદુપરાંત, તેમાંથી દરેક નજીકના વર્તુળોને જોડતી સીધી ધાતુની સળિયાથી બનેલી છે (ફિગ. 8, 9).

- ચાલો સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ.

હાઇપરબોલા ચાપને ફેરવીને મેળવેલા શરીરનું પ્રમાણ શોધો તેની કાલ્પનિક ધરીની આસપાસ, ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 8, ક્યાં

સમઘન એકમો

જૂથ સોંપણીઓ. વિદ્યાર્થીઓ કાર્યો સાથે ચિઠ્ઠીઓ દોરે છે, વોટમેન પેપર પર રેખાંકનો દોરે છે અને જૂથના પ્રતિનિધિઓમાંથી એક કાર્યનો બચાવ કરે છે.

1 લી જૂથ.

હિટ! હિટ! બીજો ફટકો!
બોલ ગોલમાં ઉડે છે - બોલ!
અને આ તરબૂચનો બોલ છે
લીલો, ગોળાકાર, સ્વાદિષ્ટ.
વધુ સારી રીતે જુઓ - શું બોલ છે!
તે વર્તુળો સિવાય બીજું કંઈ બનેલું નથી.
તરબૂચને વર્તુળોમાં કાપો
અને તેનો સ્વાદ લો.

ફંક્શન લિમિટેડના OX અક્ષની ફરતે પરિભ્રમણ દ્વારા મેળવેલ શરીરનું પ્રમાણ શોધો

ભૂલ! બુકમાર્ક વ્યાખ્યાયિત નથી.

- કૃપા કરીને મને કહો કે આપણે આ આંકડો ક્યાંથી મળીએ છીએ?

ઘર. 1 જૂથ માટે કાર્ય. સિલિન્ડર (સ્લાઇડ) .

"સિલિન્ડર - તે શું છે?" - મેં મારા પપ્પાને પૂછ્યું.
પિતા હસી પડ્યા: ટોપ ટોપી એ ટોપી છે.
સાચો વિચાર રાખવા માટે,
એક સિલિન્ડર, ચાલો કહીએ, એક ટીન કેન છે.
સ્ટીમબોટ પાઇપ - સિલિન્ડર,
અમારી છત પર પણ પાઇપ,

બધી પાઈપો સિલિન્ડર જેવી જ હોય છે.
અને મેં આના જેવું ઉદાહરણ આપ્યું -
કેલિડોસ્કોપ મારા પ્રેમ,
તમે તેના પરથી તમારી નજર હટાવી શકતા નથી,
અને તે સિલિન્ડર જેવું પણ દેખાય છે.

- કસરત. ગૃહ કાર્યકાર્યનો ગ્રાફ બનાવો અને વોલ્યુમની ગણતરી કરો.

2 જી જૂથ. શંકુ (સ્લાઇડ).

મમ્મીએ કહ્યું: અને હવે
મારી વાર્તા શંકુ વિશે હશે.
ઊંચી ટોપીમાં સ્ટારગેઝર
આખું વર્ષ તારાઓની ગણતરી કરે છે.
શંકુ - સ્ટારગેઝરની ટોપી.
તે જેવો છે તે છે. સમજ્યા? બસ આ જ.
મમ્મી ટેબલ પર ઊભી હતી,
મેં બોટલોમાં તેલ રેડ્યું.
-ફનલ ક્યાં છે? કોઈ ફનલ નથી.
તે માટે જુઓ. બાજુ પર ઊભા ન રહો.
- મમ્મી, હું નહીં હટું.
અમને શંકુ વિશે વધુ કહો.
- ફનલ વોટરિંગ કેન શંકુના સ્વરૂપમાં છે.
આવો, તેને મારા માટે ઝડપથી શોધો.
હું ફનલ શોધી શક્યો નથી
પણ મમ્મીએ બેગ બનાવી,
મેં મારી આંગળીની આસપાસ કાર્ડબોર્ડ વીંટાળ્યું
અને તેણે ચપળતાપૂર્વક તેને પેપર ક્લિપ વડે સુરક્ષિત કરી.
તેલ વહી રહ્યું છે, મમ્મી ખુશ છે,
શંકુ બરાબર બહાર આવ્યો.

કસરત. એબ્સીસા અક્ષની ફરતે ફેરવીને મેળવેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો

ઘર. બીજા જૂથ માટે કાર્ય. પિરામિડ(સ્લાઇડ).

મેં ચિત્ર જોયું. આ તસવીરમાં
રેતાળ રણમાં એક પિરામિડ છે.
પિરામિડની દરેક વસ્તુ અસાધારણ છે,
તેમાં એક પ્રકારનું રહસ્ય અને રહસ્ય છે.
અને રેડ સ્ક્વેર પર સ્પાસ્કાયા ટાવર
તે બાળકો અને પુખ્ત વયના લોકો માટે ખૂબ જ પરિચિત છે.
જો તમે ટાવર જુઓ છો, તો તે સામાન્ય લાગે છે,
તેની ટોચ પર શું છે? પિરામિડ!

કસરત.હોમવર્ક: ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવો અને પિરામિડના વોલ્યુમની ગણતરી કરો

- અમે ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને શરીરના જથ્થાના મૂળભૂત સૂત્રના આધારે વિવિધ સંસ્થાઓના વોલ્યુમોની ગણતરી કરી.

આ બીજી પુષ્ટિ છે કે ચોક્કસ અભિન્ન એ ગણિતના અભ્યાસ માટે અમુક પાયા છે.

- સારું, હવે ચાલો થોડો આરામ કરીએ.

એક જોડી શોધો.

મેથેમેટિકલ ડોમિનો મેલોડી વગાડે છે.

"હું પોતે જે રસ્તો શોધી રહ્યો હતો તે ક્યારેય ભૂલી શકાશે નહીં ..."

સંશોધન કાર્ય. અર્થશાસ્ત્ર અને તકનીકમાં અભિન્નતાનો ઉપયોગ.

મજબૂત વિદ્યાર્થીઓ અને ગાણિતિક ફૂટબોલ માટે પરીક્ષણો.

ગણિત સિમ્યુલેટર.

2. આપેલ કાર્યના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સના સમૂહને કહેવામાં આવે છે

અ) અનિશ્ચિત અભિન્ન,

બી) કાર્ય,

બી) તફાવત.

7. રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના એબ્સિસા અક્ષની આસપાસ ફરવાથી મેળવેલા શરીરના જથ્થાને શોધો:

D/Z. પરિભ્રમણના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો.

પ્રતિબિંબ.

સ્વરૂપમાં પ્રતિબિંબનું સ્વાગત સિંકવાઇન(પાંચ લીટીઓ).

1લી લીટી - વિષયનું નામ (એક સંજ્ઞા).

2જી લાઇન - વિષયનું બે શબ્દોમાં વર્ણન, બે વિશેષણો.

3જી પંક્તિ - આ વિષયની અંદરની ક્રિયાનું ત્રણ શબ્દોમાં વર્ણન.

4થી લીટી એ ચાર શબ્દોનો વાક્ય છે જે વિષય પ્રત્યેનું વલણ દર્શાવે છે (એક આખું વાક્ય).

5મી લીટી એ એક સમાનાર્થી છે જે વિષયના સારને પુનરાવર્તિત કરે છે.

વોલ્યુમ.
ચોક્કસ અભિન્ન, અવિભાજ્ય કાર્ય.
અમે બનાવીએ છીએ, અમે ફેરવીએ છીએ, અમે ગણતરી કરીએ છીએ.
વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ (તેના પાયાની આસપાસ) ફેરવીને મેળવેલ શરીર.
પરિભ્રમણનું શરીર (વોલ્યુમેટ્રિક ભૌમિતિક શરીર).

નિષ્કર્ષ (સ્લાઇડ).

એક નિશ્ચિત અભિન્ન એ ગણિતના અભ્યાસ માટેનો ચોક્કસ પાયો છે, જે વ્યવહારિક સમસ્યાઓના ઉકેલમાં બદલી ન શકાય તેવું યોગદાન આપે છે.
"ઇન્ટિગ્રલ" વિષય સ્પષ્ટપણે ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર અને તકનીકી વચ્ચેના જોડાણને દર્શાવે છે.
વિકાસ આધુનિક વિજ્ઞાનઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કર્યા વિના અકલ્પ્ય છે. આ સંદર્ભે, માધ્યમિક વિશિષ્ટ શિક્ષણના માળખામાં તેનો અભ્યાસ શરૂ કરવો જરૂરી છે!

ગ્રેડિંગ. (કોમેન્ટ્રી સાથે.)

ગ્રેટ લોબસ્ટરખય્યામ ગણિતશાસ્ત્રી, કવિ, ફિલોસોફર છે. તે આપણને આપણા પોતાના ભાગ્યના માસ્ટર બનવા પ્રોત્સાહિત કરે છે. ચાલો તેમના કાર્યમાંથી એક અવતરણ સાંભળીએ:

તમે કહેશો, આ જીવન એક ક્ષણ છે.
તેની પ્રશંસા કરો, તેમાંથી પ્રેરણા લો.
જેમ તમે તેને ખર્ચો છો, તેમ તે પસાર થશે.
ભૂલશો નહીં: તેણી તમારી રચના છે.

વિષય: "ચોક્કસ અભિન્નનો ઉપયોગ કરીને ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરવી"

પાઠનો પ્રકાર:સંયુક્ત

કાર્યો:

શ્રેણીમાંથી વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ્સને ઓળખવાની ક્ષમતાને એકીકૃત કરો ભૌમિતિક આકારોઅને વળાંકવાળા ટ્રેપેઝોઇડ્સના વિસ્તારોની ગણતરી કરવાની કુશળતાનો અભ્યાસ કરો;

ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિની વિભાવનાથી પરિચિત થાઓ;

ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરવાનું શીખો;

ડ્રોઇંગ બનાવતી વખતે તાર્કિક વિચારસરણી, સક્ષમ ગાણિતિક ભાષણ, ચોકસાઈના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો;

વિષયમાં રુચિ કેળવવા, ગાણિતિક ખ્યાલો અને છબીઓ સાથે કામ કરીને, અંતિમ પરિણામ પ્રાપ્ત કરવા માટે ઇચ્છાશક્તિ, સ્વતંત્રતા અને દ્રઢતા કેળવવી.

વર્ગો દરમિયાન

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

ગ્રુપ તરફથી શુભેચ્છાઓ. વિદ્યાર્થીઓને પાઠના ઉદ્દેશ્યો જણાવો.

હું આજનો પાઠ એક દૃષ્ટાંતથી શરૂ કરવા માંગુ છું. “એક સમયે એક શાણો માણસ રહેતો હતો જે બધું જાણતો હતો. એક માણસ સાબિત કરવા માંગતો હતો કે ઋષિને બધું જ ખબર નથી. પોતાના હાથમાં પતંગિયું પકડીને તેણે પૂછ્યું: "મને કહો, ઋષિ, મારા હાથમાં કયું પતંગિયું છે: મૃત કે જીવંત?" અને તે વિચારે છે: "જો જીવતો કહે, તો હું તેને મારી નાખીશ; જો મૃતક કહે, તો હું તેને છોડી દઈશ." ઋષિએ વિચાર કર્યા પછી જવાબ આપ્યો: "બધું તમારા હાથમાં છે."

તેથી, ચાલો આજે ફળદાયી રીતે કાર્ય કરીએ, જ્ઞાનનો નવો ભંડાર મેળવીએ, અને આપણે પ્રાપ્ત કરેલી કુશળતા અને ક્ષમતાઓને ભવિષ્યના જીવનમાં અને વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓમાં લાગુ કરીશું. "બધું તમારા હાથમાં છે."

II. અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનું પુનરાવર્તન.

ચાલો અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીના મુખ્ય મુદ્દાઓને યાદ કરીએ. આ કરવા માટે, ચાલો "વધારાના શબ્દને દૂર કરો" કાર્ય પૂર્ણ કરીએ.

(વિદ્યાર્થીઓ એક વધારાનો શબ્દ કહે છે.)

અધિકાર "વિભેદક".બાકીના શબ્દોને એક સામાન્ય શબ્દ સાથે નામ આપવાનો પ્રયાસ કરો. (અભિન્ન કલન.)

ચાલો અભિન્ન કલન સાથે સંકળાયેલા મુખ્ય તબક્કાઓ અને વિભાવનાઓને યાદ કરીએ.

કસરત.ગાબડા પુનઃપ્રાપ્ત. (વિદ્યાર્થી બહાર આવે છે અને માર્કર સાથે જરૂરી શબ્દોમાં લખે છે.)

નોટબુકમાં કામ કરો.

ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર અંગ્રેજી ભૌતિકશાસ્ત્રી આઇઝેક ન્યુટન (1643-1727) અને જર્મન ફિલસૂફ ગોટફ્રાઇડ લીબનીઝ (1646-1716) દ્વારા લેવામાં આવ્યું હતું. અને આ આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે ગણિત એ પ્રકૃતિ દ્વારા જ બોલાતી ભાષા છે.

ચાલો વિચાર કરીએ કે વ્યવહારિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે.

ઉદાહરણ 1: રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

ઉકેલ:ચાલો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએ . ચાલો આકૃતિનો વિસ્તાર પસંદ કરીએ જે શોધવાની જરૂર છે.

III. નવી સામગ્રી શીખવી.

સ્ક્રીન પર ધ્યાન આપો. પ્રથમ ચિત્રમાં શું બતાવવામાં આવ્યું છે? (આકૃતિ સપાટ આકૃતિ દર્શાવે છે.)

બીજા ચિત્રમાં શું બતાવવામાં આવ્યું છે? શું આ આંકડો સપાટ છે? (આકૃતિ ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિ દર્શાવે છે.)

અવકાશમાં, પૃથ્વી પર અને રોજિંદા જીવનમાં, આપણે ફક્ત સપાટ આકૃતિઓ જ નહીં, પણ ત્રિ-પરિમાણીય લોકોનો પણ સામનો કરીએ છીએ, પરંતુ આપણે આવા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકીએ? ઉદાહરણ તરીકે: ગ્રહ, ધૂમકેતુ, ઉલ્કા વગેરેનું કદ.

ઘરો બનાવતી વખતે અને એક વાસણમાંથી બીજા વાસણમાં પાણી રેડતી વખતે લોકો વોલ્યુમ વિશે વિચારે છે. વોલ્યુમની ગણતરી માટે નિયમો અને તકનીકો ઉભરી આવવાની હતી; તેઓ કેટલા સચોટ અને ન્યાયી હતા તે બીજી બાબત છે.

આમ, કેપ્લરની માનવામાં આવતી કૃતિઓ સંશોધનના સમગ્ર પ્રવાહની શરૂઆત તરીકે ચિહ્નિત કરે છે જે 17મી સદીના છેલ્લા ક્વાર્ટરમાં સમાપ્ત થઈ હતી. આઇ. ન્યૂટન અને જી.વી.ના કાર્યોમાં ડિઝાઇન વિભેદક અને અભિન્ન કલનનું લીબનીઝ. તે સમયથી, ચલોના ગણિતે ગાણિતિક જ્ઞાનની સિસ્ટમમાં અગ્રણી સ્થાન મેળવ્યું.

આજે તમે અને હું આવી વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓમાં જોડાઈશું, તેથી,

અમારા પાઠનો વિષય: "ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પરિભ્રમણના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરવી."

તમે નીચેના કાર્યને પૂર્ણ કરીને ક્રાંતિના શરીરની વ્યાખ્યા શીખી શકશો.

"ભુલભુલામણી".

કસરત.મૂંઝવણભરી પરિસ્થિતિમાંથી માર્ગ શોધો અને વ્યાખ્યા લખો.

IVવોલ્યુમોની ગણતરી.

ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

1. OX અક્ષની આસપાસ.

2. , જો વક્ર ટ્રેપેઝોઇડનું પરિભ્રમણ op-amp ની ધરીની આસપાસ.

વિદ્યાર્થીઓ નોટબુકમાં મૂળભૂત સૂત્રો લખે છે.

શિક્ષક બોર્ડ પરના ઉદાહરણોના ઉકેલો સમજાવે છે.

1. રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ વક્રીય ટ્રેપેઝોઇડના ઓર્ડિનેટ અક્ષની આસપાસ ફરવાથી મેળવેલા શરીરના જથ્થાને શોધો: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

ઉકેલ.

જવાબ: 1163 cm3.

2. એક્સ-અક્ષની ફરતે પેરાબોલિક ટ્રેપેઝોઇડને ફેરવીને મેળવેલા શરીરનું પ્રમાણ શોધો y = , x = 4, y = 0.

ઉકેલ.

વી. ગણિત સિમ્યુલેટર.

2. આપેલ કાર્યના તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સના સમૂહને કહેવામાં આવે છે

એ) એક અનિશ્ચિત અભિન્ન,

બી) કાર્ય,

બી) તફાવત.

D/Z. નવી સામગ્રીનું એકીકરણ

x-અક્ષની ફરતે પાંખડીના પરિભ્રમણથી બનેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો y = x2, y2 = x.

ચાલો ફંક્શનના ગ્રાફ બનાવીએ. y = x2, y2 = x. ચાલો ગ્રાફ y2 = x ને y = સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

અમારી પાસે V = V1 - V2 છે ચાલો દરેક ફંક્શનના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ:

નિષ્કર્ષ:

ચોક્કસ અભિન્ન એ ગણિતના અભ્યાસ માટે ચોક્કસ પાયો છે, જે વ્યવહારિક સમસ્યાઓના ઉકેલમાં બદલી ન શકાય તેવું યોગદાન આપે છે.

"ઇન્ટિગ્રલ" વિષય સ્પષ્ટપણે ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર અને તકનીકી વચ્ચેના જોડાણને દર્શાવે છે.

અવિભાજ્યના ઉપયોગ વિના આધુનિક વિજ્ઞાનનો વિકાસ અકલ્પ્ય છે. આ સંદર્ભે, સરેરાશના માળખામાં તેનો અભ્યાસ શરૂ કરવો જરૂરી છે વિશેષ શિક્ષણ!

VI. ગ્રેડિંગ.(કોમેન્ટ્રી સાથે.)

મહાન ઓમર ખય્યામ - ગણિતશાસ્ત્રી, કવિ, ફિલસૂફ. તે આપણને આપણા પોતાના ભાગ્યના માસ્ટર બનવા પ્રોત્સાહિત કરે છે. ચાલો તેમના કાર્યમાંથી એક અવતરણ સાંભળીએ:

તમે કહો છો, આ જીવન એક ક્ષણ છે.
તેની પ્રશંસા કરો, તેમાંથી પ્રેરણા લો.
જેમ તમે તેને ખર્ચો છો, તેમ તે પસાર થશે.
ભૂલશો નહીં: તેણી તમારી રચના છે.

ધરીની આસપાસ સપાટ આકૃતિ

ઉદાહરણ 3

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ આપેલ છે , .

1) આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.

2) ધરીની ફરતે આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિને ફેરવીને મેળવેલા શરીરનું પ્રમાણ શોધો.

ઉકેલ: કાર્ય બે ભાગો ધરાવે છે. ચાલો ચોરસ સાથે શરૂ કરીએ.

1) ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

ઇચ્છિત આકૃતિ, જેનો વિસ્તાર શોધવાનો છે, તે વાદળી રંગમાં છાંયો છે.

આકૃતિનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો? તે "સામાન્ય" રીતે શોધી શકાય છે. તદુપરાંત, આકૃતિનો વિસ્તાર વિસ્તારોના સરવાળા તરીકે જોવા મળે છે:

- સેગમેન્ટ પર ;

- સેગમેન્ટ પર.

એ કારણે:

તે સીધી રેખા સાથે સરળ છે:

! નૉૅધ : અક્ષ એકીકરણ મર્યાદા મૂકવો જોઈએકડક રીતે નીચેથી ઉપર સુધી !

વિસ્તાર શોધો:

સેગમેન્ટ પર, તેથી:

એકીકરણની શુદ્ધતા પર શંકા કરતા વાચકો માટે, હું ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીશ:

જવાબ આપો:

2) ચાલો ધરીની આસપાસ આ આકૃતિના પરિભ્રમણથી બનેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરીએ.

હું ડ્રોઇંગને થોડી અલગ ડિઝાઇનમાં ફરીથી દોરીશ:

આપણા બટરફ્લાયનું વોલ્યુમ વોલ્યુમના તફાવત જેટલું છે.

ક્રાંતિના શરીરનું પ્રમાણ શોધવા માટે અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

પાછલા ફકરામાં સૂત્રથી શું તફાવત છે? માત્ર પત્રમાં.

જવાબ આપો:

ઉદાહરણ 7

વણાંકો દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિની ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો અને .

ઉકેલ: ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

રસ્તામાં, અમે કેટલાક અન્ય કાર્યોના ગ્રાફથી પરિચિત થઈએ છીએ. આ એક રસપ્રદ ગ્રાફ છે સમ કાર્ય ….

ક્રાંતિના શરીરનું પ્રમાણ શોધવાના હેતુ માટે, આકૃતિના જમણા અડધા ભાગનો ઉપયોગ કરવા માટે તે પૂરતું છે, જે મેં વાદળી રંગમાં શેડ કર્યું છે. બંને કાર્યો સમાન છે, તેમના ગ્રાફ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે, અને આપણી આકૃતિ સપ્રમાણ છે. આમ છાંયડો જમણો ભાગ, ધરીની આસપાસ ફરતા, ચોક્કસપણે ડાબા અનહેચ્ડ ભાગ સાથે એકરુપ થશે.

ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને ક્રાંતિના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

ઉપરાંત ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને પ્લેન ફિગરનો વિસ્તાર શોધવો વિષયની સૌથી મહત્વપૂર્ણ એપ્લિકેશન છે પરિભ્રમણના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી. સામગ્રી સરળ છે, પરંતુ વાચકે તૈયાર હોવું જ જોઈએ: તમારે હલ કરવામાં સમર્થ હોવા જોઈએ અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકો મધ્યમ જટિલતા અને માં ન્યૂટન-લીબનીઝ સૂત્ર લાગુ કરો ચોક્કસ અભિન્ન . વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાની જેમ, તમારે આત્મવિશ્વાસપૂર્ણ ચિત્ર કૌશલ્યની જરૂર છે - આ લગભગ સૌથી મહત્વની વસ્તુ છે (કારણ કે અવિભાજ્ય ઘણીવાર સરળ હશે). તમે પદ્ધતિસરની સામગ્રીની મદદથી સક્ષમ અને ઝડપી ચાર્ટિંગ તકનીકોમાં નિપુણતા મેળવી શકો છો . પરંતુ, હકીકતમાં, મેં પહેલેથી જ વર્ગમાં ઘણી વખત રેખાંકનોના મહત્વ વિશે વાત કરી છે. .

સામાન્ય રીતે, ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસમાં ઘણી બધી રસપ્રદ એપ્લિકેશનો છે; ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલનો ઉપયોગ કરીને, તમે આકૃતિના ક્ષેત્રફળ, પરિભ્રમણના ભાગનું પ્રમાણ, ચાપની લંબાઈ, સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો. શરીર અને ઘણું બધું. તેથી તે આનંદદાયક હશે, કૃપા કરીને આશાવાદી રહો!

– x-અક્ષની આસપાસ; - ઓર્ડિનેટ અક્ષની આસપાસ.

આ લેખ બંને કેસોની તપાસ કરશે. પરિભ્રમણની બીજી પદ્ધતિ ખાસ કરીને રસપ્રદ છે; તે સૌથી વધુ મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે, પરંતુ હકીકતમાં ઉકેલ લગભગ સમાન છે જે x-અક્ષની આસપાસ વધુ સામાન્ય પરિભ્રમણમાં છે. બોનસ તરીકે હું પરત આવીશ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યા , અને હું તમને કહીશ કે બીજી રીતે વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો - ધરી સાથે. તે એટલું બોનસ નથી કારણ કે સામગ્રી વિષયમાં સારી રીતે બંધબેસે છે.

ચાલો સૌથી લોકપ્રિય પ્રકારના પરિભ્રમણથી પ્રારંભ કરીએ.

ઉદાહરણ 1

અક્ષની આસપાસ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિને ફેરવીને મેળવેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાની જેમ, ઉકેલ સપાટ આકૃતિના ચિત્ર સાથે શરૂ થાય છે. એટલે કે, પ્લેન પર રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિ બનાવવી જરૂરી છે, અને ભૂલશો નહીં કે સમીકરણ અક્ષને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ચિત્રને વધુ કાર્યક્ષમ રીતે અને ઝડપથી કેવી રીતે પૂર્ણ કરવું તે પૃષ્ઠો પર મળી શકે છે પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મો અને ચોક્કસ અભિન્ન. આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી . આ એક ચીની રીમાઇન્ડર છે, અને આ બિંદુએ હું વધુ ધ્યાન આપીશ નહીં.

અહીં રેખાંકન એકદમ સરળ છે:

ઇચ્છિત સપાટ આકૃતિ વાદળી રંગમાં છાંયો છે; તે તે છે જે ધરીની આસપાસ ફરે છે. પરિભ્રમણના પરિણામે, પરિણામ એ સહેજ અંડાકાર ઉડતી રકાબી છે જે ધરી વિશે સપ્રમાણ છે. હકીકતમાં, શરીરનું ગાણિતિક નામ છે, પરંતુ હું સંદર્ભ પુસ્તકમાં જોવા માટે ખૂબ આળસુ છું, તેથી અમે આગળ વધીએ છીએ.

પરિભ્રમણના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

કાર્ય... આ કાર્ય શું છે? ચાલો ડ્રોઇંગ જોઈએ. સપાટ આકૃતિ ટોચ પર પેરાબોલા ગ્રાફ દ્વારા બંધાયેલ છે. આ તે કાર્ય છે જે સૂત્રમાં સૂચિત છે.

વ્યવહારુ કાર્યોમાં, સપાટ આકૃતિ કેટલીકવાર ધરીની નીચે સ્થિત હોઈ શકે છે. આનાથી કંઈપણ બદલાતું નથી - સૂત્રમાં ફંક્શન ચોરસ છે: આમ ક્રાંતિના શરીરનું પ્રમાણ હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે, જે ખૂબ જ તાર્કિક છે.

ચાલો આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પરિભ્રમણના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ:

જવાબ:

ઉદાહરણ 2

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિની ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલ શરીરનું કદ શોધો,

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.

ચાલો બે વધુ જટિલ સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈએ, જે ઘણીવાર વ્યવહારમાં પણ આવે છે.

ઉદાહરણ 3

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિના એબ્સીસા અક્ષની આસપાસ ફરવાથી મેળવેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો, અને

ઉકેલ:ચાલો ચિત્રમાં રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિનું નિરૂપણ કરીએ,,,, એ ભૂલ્યા વિના કે સમીકરણ ધરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે:

ચાલો પરિભ્રમણના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ શરીરના જથ્થામાં તફાવત.

પ્રથમ, ચાલો લાલ રંગમાં વર્તુળાકાર આકૃતિ જોઈએ. જ્યારે તે અક્ષની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે એક કપાયેલ શંકુ પ્રાપ્ત થાય છે. ચાલો આ કાપેલા શંકુનું કદ આના દ્વારા દર્શાવીએ.

આકૃતિને ધ્યાનમાં લો કે જે લીલા રંગમાં વર્તુળ છે. જો તમે આ આકૃતિને ધરીની આસપાસ ફેરવો છો, તો તમને એક કપાયેલો શંકુ પણ મળશે, ફક્ત થોડો નાનો. ચાલો તેના વોલ્યુમ દ્વારા દર્શાવીએ.

અને, દેખીતી રીતે, વોલ્યુમમાં તફાવત એ આપણા "ડોનટ" ની બરાબર વોલ્યુમ છે.

પરિભ્રમણના શરીરનું પ્રમાણ શોધવા માટે અમે પ્રમાણભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

1) લાલ રંગમાં ફરતી આકૃતિ ઉપર એક સીધી રેખાથી બંધાયેલ છે, તેથી:

2) લીલા રંગમાં ફરતી આકૃતિ ઉપર એક સીધી રેખાથી બંધાયેલ છે, તેથી:

3) ક્રાંતિના ઇચ્છિત શરીરનું પ્રમાણ:

જવાબ:

તે વિચિત્ર છે કે આ કિસ્સામાં કાપેલા શંકુના જથ્થાની ગણતરી માટે શાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલને ચકાસી શકાય છે.

નિર્ણય પોતે ઘણીવાર ટૂંકા લખવામાં આવે છે, કંઈક આના જેવું:

હવે ચાલો થોડો આરામ કરીએ અને તમને ભૌમિતિક ભ્રમણા વિશે જણાવીએ.

લોકોમાં મોટાભાગે વોલ્યુમો સાથે સંકળાયેલ ભ્રમણા હોય છે, જે પુસ્તકમાં પેરેલમેન (તે એક નહીં) દ્વારા નોંધવામાં આવી હતી. મનોરંજક ભૂમિતિ. ઉકેલાયેલી સમસ્યામાં સપાટ આકૃતિ જુઓ - તે ક્ષેત્રફળમાં નાનું લાગે છે, અને ક્રાંતિના શરીરનું પ્રમાણ માત્ર 50 ઘન એકમોથી વધુ છે, જે ખૂબ મોટું લાગે છે. માર્ગ દ્વારા, સરેરાશ વ્યક્તિ તેના સમગ્ર જીવનમાં 18 ચોરસ મીટર પ્રવાહીના ઓરડાના સમકક્ષ પીવે છે, જે તેનાથી વિપરીત, વોલ્યુમમાં ખૂબ નાનું લાગે છે.

સામાન્ય રીતે, યુએસએસઆરમાં શિક્ષણ પ્રણાલી ખરેખર શ્રેષ્ઠ હતી. પેરેલમેનનું એ જ પુસ્તક, જે તેમના દ્વારા 1950 માં પાછું લખવામાં આવ્યું હતું, તે ખૂબ જ સારી રીતે વિકસિત થાય છે, જેમ કે હાસ્યલેખકે કહ્યું, વિચારવું અને સમસ્યાઓના મૂળ, બિન-માનક ઉકેલો શોધવાનું શીખવે છે. મેં તાજેતરમાં કેટલાક પ્રકરણો ખૂબ રસ સાથે ફરીથી વાંચ્યા, હું તેની ભલામણ કરું છું, તે માનવતાવાદીઓ માટે પણ સુલભ છે. ના, તમારે સ્મિત કરવાની જરૂર નથી કે મેં મફત સમય ઓફર કર્યો, જ્ઞાન અને સંદેશાવ્યવહારમાં વ્યાપક ક્ષિતિજો એ એક મહાન વસ્તુ છે.

ગીતાત્મક વિષયાંતર પછી, સર્જનાત્મક કાર્યને હલ કરવા માટે તે યોગ્ય છે:

ઉદાહરણ 4

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિની ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો, જ્યાં.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બધી વસ્તુઓ બેન્ડમાં થાય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એકીકરણની વ્યવહારિક રીતે તૈયાર મર્યાદા આપવામાં આવે છે. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના આલેખને યોગ્ય રીતે દોરવાનો પણ પ્રયાસ કરો; જો દલીલને બે વડે વિભાજિત કરવામાં આવે: તો આલેખ અક્ષ સાથે બે વાર ખેંચાય છે. ઓછામાં ઓછા 3-4 પોઈન્ટ શોધવાનો પ્રયાસ કરો ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકો અનુસાર અને વધુ સચોટ રીતે ચિત્ર પૂર્ણ કરો. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ. માર્ગ દ્વારા, કાર્યને તર્કસંગત રીતે હલ કરી શકાય છે અને ખૂબ તર્કસંગત રીતે નહીં.

અક્ષની આસપાસ સપાટ આકૃતિને ફેરવવાથી બનેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી

બીજો ફકરો પહેલા કરતા પણ વધુ રસપ્રદ હશે. ઑર્ડિનેટ અક્ષની આસપાસ ક્રાંતિના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરવાનું કાર્ય પણ પરીક્ષણ કાર્યમાં એકદમ સામાન્ય અતિથિ છે. રસ્તામાં તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યા બીજી પદ્ધતિ એ ધરી સાથે એકીકરણ છે, આ તમને ફક્ત તમારી કુશળતા સુધારવા માટે જ નહીં, પણ તમને સૌથી વધુ નફાકારક ઉકેલ માર્ગ શોધવાનું પણ શીખવશે. આમાં પણ વ્યવહારિક જીવનનો અર્થ છે! ગણિતની શીખવવાની પદ્ધતિઓ પરના મારા શિક્ષકે સ્મિત સાથે યાદ કર્યા, ઘણા સ્નાતકોએ તેણીનો આ શબ્દો સાથે આભાર માન્યો: "તમારા વિષયે અમને ઘણી મદદ કરી, હવે અમે અસરકારક સંચાલકો છીએ અને સ્ટાફનું શ્રેષ્ઠ સંચાલન કરીએ છીએ." આ તકને લઈને, હું તેના માટે મારી ખૂબ જ કૃતજ્ઞતા પણ વ્યક્ત કરું છું, ખાસ કરીને કારણ કે હું પ્રાપ્ત કરેલ જ્ઞાનનો ઉપયોગ તેના ઉદ્દેશ્ય હેતુ માટે કરું છું =).

ઉદાહરણ 5

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ આપેલ છે,,.

1) આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો. 2) ધરીની ફરતે આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિને ફેરવીને મેળવેલા શરીરનું પ્રમાણ શોધો.

ઉકેલ:કાર્યમાં બે ભાગોનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો ચોરસ સાથે શરૂ કરીએ.

1) ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

ઇચ્છિત આકૃતિ, જેનો વિસ્તાર શોધવાનો છે, તે વાદળી રંગમાં છાંયો છે.

આકૃતિનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો? તે "સામાન્ય" રીતે મળી શકે છે, જેની વર્ગમાં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી ચોક્કસ અભિન્ન. આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી . તદુપરાંત, આકૃતિનો વિસ્તાર વિસ્તારોના સરવાળા તરીકે જોવા મળે છે: - સેગમેન્ટ પર ; - સેગમેન્ટ પર.

એ કારણે:

તે સીધી રેખા સાથે સરળ છે:

હવે ધરી જુઓ: કૃપા કરીને સમયાંતરે તમારા માથાને જમણી તરફ 90 ડિગ્રી તરફ નમાવો જેમ તમે સમજાવો છો (આ મજાક નથી!). આપણને જે આકૃતિની જરૂર છે તે સેગમેન્ટ પર આવેલું છે, જે લાલ ડોટેડ લાઇન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. તદુપરાંત, સેગમેન્ટ પર સીધી રેખા પેરાબોલાની ઉપર સ્થિત છે, જેનો અર્થ છે કે આકૃતિનો વિસ્તાર તમને પહેલાથી જ પરિચિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધવો જોઈએ: . ફોર્મ્યુલામાં શું બદલાયું છે? માત્ર એક પત્ર અને બીજું કંઈ નહીં.