दरअसल, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको अनिश्चित और निश्चित समाकलन के उतने ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। कार्य "क्षेत्र का उपयोग करके गणना करें समाकलन परिभाषित करें"हमेशा एक ड्राइंग का निर्माण शामिल होता है, इतना अधिक सामयिक मुद्दाड्राइंग में आपका ज्ञान और कौशल होगा। इस संबंध में, बुनियादी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ की अपनी याददाश्त को ताज़ा करना और, कम से कम, एक सीधी रेखा और हाइपरबोला बनाने में सक्षम होना उपयोगी है।

एक घुमावदार समलम्बाकार एक सपाट आकृति है अक्ष द्वारा सीमित, सीधी रेखाएं, और एक अंतराल पर निरंतर फ़ंक्शन का ग्राफ, जो इस अंतराल पर संकेत नहीं बदलता है। इस आंकड़े को स्थित होने दें कम नहीं हैएक्स-अक्ष:

तब एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकलन के बराबर होता है. किसी भी निश्चित अभिन्न अंग (जो अस्तित्व में है) का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है।

ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकलन क्षेत्रफल है.

वह है,एक निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से एक निश्चित आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड अक्ष के ऊपर स्थित समतल पर एक वक्र को परिभाषित करता है (जो लोग चित्र बनाना चाहते हैं), और निश्चित इंटीग्रल स्वयं संख्यात्मक रूप से होता है क्षेत्रफल के बराबरसंगत घुमावदार समलम्बाकार।

उदाहरण 1

यह एक विशिष्ट असाइनमेंट स्टेटमेंट है. प्रथम और सबसे महत्वपूर्ण क्षणसमाधान - ड्राइंग ड्राइंग. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

चित्र बनाते समय, मैं निम्नलिखित क्रम की अनुशंसा करता हूँ: सर्वप्रथमसभी सीधी रेखाओं (यदि वे मौजूद हैं) का निर्माण करना बेहतर है और केवल तब- परवलय, अतिपरवलय, अन्य कार्यों के ग्राफ़। फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाना अधिक लाभदायक है बिन्दुवार।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है.
आइए चित्र बनाएं (ध्यान दें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है):

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है अक्ष के ऊपर, इसीलिए:

उत्तर:

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। में इस मामले में"आंख से" हम चित्र में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 होंगे, यह सच प्रतीत होता है। यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि यदि हमें उत्तर मिला, तो कहें: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 3

रेखाओं और समन्वय अक्षों से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

समाधान: आइए एक चित्र बनाएं:

यदि एक घुमावदार समलम्बाकार स्थित है धुरी के नीचे(या कम से कम उच्चतर नहींदी गई धुरी), तो इसका क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों में भ्रमित नहीं होना चाहिए:

1) यदि आपसे बिना किसी निश्चित समाकलन को हल करने के लिए कहा जाए ज्यामितीय अर्थ, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपसे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि जिस सूत्र पर अभी चर्चा की गई है उसमें माइनस दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले दोनों आधे तलों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

क्षेत्र खोजें सपाट आकृति, रेखाओं से घिरा हुआ , .

समाधान: सबसे पहले आपको ड्राइंग पूरी करनी होगी। आम तौर पर, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है. हम समीकरण हल करते हैं:

इसका मतलब यह है कि एकीकरण की निचली सीमा है, एकीकरण की ऊपरी सीमा है।

यदि संभव हो तो इस विधि का प्रयोग न करना ही बेहतर है।.

बिंदु दर बिंदु रेखाएँ बनाना कहीं अधिक लाभदायक और तेज़ है, और एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं ही" स्पष्ट हो जाती हैं। फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या विस्तृत निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और हम ऐसे एक उदाहरण पर भी विचार करेंगे।

आइए अपने कार्य पर वापस लौटें: पहले एक सीधी रेखा बनाना और उसके बाद ही एक परवलय बनाना अधिक तर्कसंगत है। आइए चित्र बनाएं:

और अब काम करने का फॉर्मूला: यदि खंड पर कोई निरंतर कार्य है इससे बड़ा या इसके बराबरकुछ सतत कार्य, तो इन कार्यों और रेखाओं के ग्राफ़ द्वारा सीमित आकृति का क्षेत्र, सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यहां अब आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, और, मोटे तौर पर कहें तो, यह मायने रखता है कि कौन सा ग्राफ़ अधिक है(दूसरे ग्राफ़ के सापेक्ष), और नीचे कौन सा है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

पूरा समाधान इस तरह दिख सकता है:

वांछित आकृति ऊपर एक परवलय और नीचे एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।
खंड पर, संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

उदाहरण 4

रेखाओं , , , से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

समाधान: सबसे पहले, आइए एक चित्र बनाएं:

वह आकृति जिसका क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग से छायांकित है(स्थिति को ध्यान से देखें - यह आंकड़ा कितना सीमित है!)। लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, अक्सर एक "गड़बड़ी" उत्पन्न हो जाती है कि आपको छायांकित आकृति का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है हरा!

यह उदाहरण इस दृष्टि से भी उपयोगी है कि यह दो निश्चित समाकलनों का उपयोग करके किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करता है।

वास्तव में:

1) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक सीधी रेखा का ग्राफ होता है;

2) अक्ष के ऊपर वाले खंड पर एक अतिपरवलय का ग्राफ है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और जोड़ा जाना चाहिए), इसलिए:

समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

आइए अभिन्न कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। इस पाठ में हम विशिष्ट और सबसे सामान्य कार्य का विश्लेषण करेंगे - किसी समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए निश्चित समाकलन का उपयोग कैसे करें. अंततः, जो लोग उच्च गणित में अर्थ तलाश रहे हैं - क्या उन्हें यह मिल सकता है। आप कभी नहीं जानते। हमें इसे जीवन में करीब लाना होगा देश कुटीर क्षेत्रप्राथमिक कार्य और एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1)समझे अनिश्चितकालीन अभिन्नकम से कम औसत स्तर पर. इस प्रकार, नौसिखियों को पहले पाठ पढ़ना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और निश्चित अभिन्न की गणना करने में सक्षम हो। आप पृष्ठ पर कुछ अभिन्न अंग के साथ मधुर मैत्रीपूर्ण संबंध स्थापित कर सकते हैं समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरण.

दरअसल, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको अनिश्चित और निश्चित समाकलन के उतने ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक चित्र बनाना शामिल होता है, इसलिए आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल बहुत अधिक महत्वपूर्ण मुद्दा होगा। इस संबंध में, बुनियादी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ की अपनी स्मृति को ताज़ा करना और, कम से कम, एक सीधी रेखा, परवलय और हाइपरबोला का निर्माण करने में सक्षम होना उपयोगी है। इसका उपयोग करके (कई लोगों के लिए यह आवश्यक है) किया जा सकता है कार्यप्रणाली सामग्रीऔर ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों पर लेख।

दरअसल, स्कूल के समय से ही निश्चित समाकलन का उपयोग कर क्षेत्र ज्ञात करने के कार्य से हर कोई परिचित है और हम इससे ज्यादा आगे नहीं बढ़ेंगे स्कूल के पाठ्यक्रम. यह आलेख शायद अस्तित्व में ही नहीं था, लेकिन तथ्य यह है कि समस्या 100 में से 99 मामलों में होती है, जब एक छात्र एक नफरत वाले स्कूल से पीड़ित होता है और उत्साहपूर्वक उच्च गणित में एक पाठ्यक्रम में महारत हासिल करता है।

इस कार्यशाला की सामग्री सरलता से, विस्तार से और न्यूनतम सिद्धांत के साथ प्रस्तुत की गई है।

आइए एक घुमावदार समलम्बाकार से शुरुआत करें।

वक्ररेखीय समलम्बाकारएक सपाट आकृति है जो एक अक्ष, सीधी रेखाओं और एक अंतराल पर निरंतर एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी होती है जो इस अंतराल पर संकेत नहीं बदलती है। इस आंकड़े को स्थित होने दें कम नहीं हैएक्स-अक्ष:

तब एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकलन के बराबर होता है. किसी भी निश्चित अभिन्न अंग (जो अस्तित्व में है) का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। सबक पर समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरणमैंने कहा कि एक निश्चित अभिन्न एक संख्या है। और अब एक और बात बताने का समय आ गया है उपयोगी तथ्य. ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकलन क्षेत्रफल है.

वह है, निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से एक निश्चित आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है. उदाहरण के लिए, निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड अक्ष के ऊपर स्थित समतल पर एक वक्र को परिभाषित करता है (जो लोग चित्र बनाना चाहते हैं), और निश्चित इंटीग्रल स्वयं संख्यात्मक रूप से संबंधित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1

यह एक विशिष्ट असाइनमेंट स्टेटमेंट है. निर्णय में पहला और सबसे महत्वपूर्ण बिंदु एक ड्राइंग का निर्माण है. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

चित्र बनाते समय, मैं निम्नलिखित क्रम की अनुशंसा करता हूँ: सर्वप्रथमसभी सीधी रेखाओं (यदि वे मौजूद हैं) का निर्माण करना बेहतर है और केवल तब– परवलय, अतिपरवलय, अन्य फलनों के ग्राफ़। फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाना अधिक लाभदायक है बिन्दुवार, बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक संदर्भ सामग्री में पाई जा सकती है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. वहां आप हमारे पाठ के लिए बहुत उपयोगी सामग्री भी पा सकते हैं - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है.
आइए चित्र बनाएं (ध्यान दें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है):

मैं घुमावदार समलम्ब को छाया नहीं दूँगा; यहाँ यह स्पष्ट है कि हम किस क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। समाधान इस प्रकार जारी है:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है अक्ष के ऊपर, इसीलिए:

उत्तर:

जिन्हें निश्चित समाकलन की गणना करने तथा न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में कठिनाई होती है , व्याख्यान देखें समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरण.

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, हम चित्र में कोशिकाओं की संख्या "आंख से" गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 होंगे, यह सच प्रतीत होता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यदि हमें, मान लीजिए, उत्तर मिला है: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

रेखाओं, और अक्ष से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय. संपूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

यदि घुमावदार समलम्बाकार स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे?

उदाहरण 3

रेखाओं और समन्वय अक्षों से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

समाधान: आइए एक चित्र बनाएं:

यदि एक घुमावदार समलम्बाकार स्थित है धुरी के नीचे(या कम से कम उच्चतर नहींदी गई धुरी), तो इसका क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों में भ्रमित नहीं होना चाहिए:

1) यदि आपसे बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकलन को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपसे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि जिस सूत्र पर अभी चर्चा की गई है उसमें माइनस दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले दोनों आधे तलों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान: सबसे पहले आपको ड्राइंग पूरी करनी होगी। आम तौर पर, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है. हम समीकरण हल करते हैं:

इसका मतलब यह है कि एकीकरण की निचली सीमा है, एकीकरण की ऊपरी सीमा है।
यदि संभव हो तो इस विधि का प्रयोग न करना ही बेहतर है।.

बिंदु दर बिंदु रेखाएँ बनाना कहीं अधिक लाभदायक और तेज़ है, और एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं ही" स्पष्ट हो जाती हैं। सहायता में विभिन्न ग्राफ़ के लिए बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक पर विस्तार से चर्चा की गई है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या विस्तृत निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और हम ऐसे एक उदाहरण पर भी विचार करेंगे।

आइए अपने कार्य पर वापस लौटें: पहले एक सीधी रेखा बनाना और उसके बाद ही एक परवलय बनाना अधिक तर्कसंगत है। आइए चित्र बनाएं:

मैं दोहराता हूं कि बिंदुवार निर्माण करते समय, एकीकरण की सीमाएं अक्सर "स्वचालित रूप से" पाई जाती हैं।

और अब काम करने का फॉर्मूला: यदि खंड पर कोई निरंतर कार्य है इससे बड़ा या इसके बराबरकुछ निरंतर फ़ंक्शन, फिर इन फ़ंक्शनों और रेखाओं के ग्राफ़ से घिरे चित्र का क्षेत्र, सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यहां अब आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, और, मोटे तौर पर कहें तो, यह मायने रखता है कि कौन सा ग्राफ़ अधिक है(दूसरे ग्राफ़ के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

पूरा समाधान इस तरह दिख सकता है:

वांछित आकृति ऊपर एक परवलय और नीचे एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।
खंड पर, संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

वास्तव में, निचले आधे तल में एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (सरल उदाहरण संख्या 3 देखें) है विशेष मामलासूत्रों . चूंकि अक्ष समीकरण द्वारा निर्दिष्ट है, और फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है उच्चतर नहींकुल्हाड़ियाँ, फिर

और अब आपके अपने समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करने से जुड़ी समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी एक अजीब घटना घटती है। ड्राइंग तो सही बनी थी, हिसाब भी सही था, लेकिन लापरवाही के कारण... ग़लत आकृति का क्षेत्रफल पाया गया, ठीक इसी तरह से आपके विनम्र नौकर ने कई बार गड़बड़ की है। यहाँ असली मामलाजीवन से:

उदाहरण 7

रेखाओं , , , से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

समाधान: सबसे पहले, आइए एक चित्र बनाएं:

...एह, चित्र बेकार निकला, लेकिन सब कुछ सुपाठ्य प्रतीत होता है।

वह आकृति जिसका क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग से छायांकित है(स्थिति को ध्यान से देखें - यह आंकड़ा कितना सीमित है!)। लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, अक्सर एक "गड़बड़ी" उत्पन्न हो जाती है कि आपको हरे रंग में छायांकित आकृति का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है!

यह उदाहरण इस दृष्टि से भी उपयोगी है कि यह दो निश्चित समाकलनों का उपयोग करके किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करता है। वास्तव में:

1) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक सीधी रेखा का ग्राफ होता है;

2) अक्ष के ऊपर वाले खंड पर एक अतिपरवलय का ग्राफ है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और जोड़ा जाना चाहिए), इसलिए:

उत्तर:

चलिए एक और सार्थक कार्य की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,
आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें और एक बिंदु-दर-बिंदु रेखाचित्र बनाएं:

चित्र से यह स्पष्ट है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छी" है:।
लेकिन निचली सीमा क्या है?! यह स्पष्ट है कि यह पूर्णांक नहीं है, लेकिन यह क्या है? शायद ? लेकिन इस बात की क्या गारंटी है कि चित्र पूर्ण सटीकता के साथ बनाया गया है, यह अच्छी तरह से पता चल सकता है कि... या जड़. यदि हमने ग्राफ़ गलत तरीके से बनाया तो क्या होगा?

ऐसे मामलों में, आपको अतिरिक्त समय बिताना होगा और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को स्पष्ट करना होगा।

आइए एक सीधी रेखा और एक परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।
ऐसा करने के लिए, हम समीकरण हल करते हैं:


,

वास्तव में, ।

आगे का समाधान तुच्छ है, मुख्य बात यह है कि प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित न हों, यहां गणना सबसे सरल नहीं है;

खंड पर , संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

खैर, पाठ को समाप्त करने के लिए, आइए दो और कठिन कार्यों पर नजर डालें।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

समाधान: आइए इस आकृति को चित्र में चित्रित करें।

अरे, मैं शेड्यूल पर हस्ताक्षर करना भूल गया, और, क्षमा करें, मैं चित्र को दोबारा नहीं बनाना चाहता था। ड्राइंग का दिन नहीं, संक्षेप में, आज का दिन है =)

बिंदु-दर-बिंदु निर्माण के लिए आपको जानना आवश्यक है उपस्थितिसाइनसोइड्स (और आम तौर पर जानना उपयोगी है सभी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़), साथ ही कुछ साइन मान, उन्हें इसमें पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय तालिका. कुछ मामलों में (जैसा कि इस मामले में), एक योजनाबद्ध चित्र बनाना संभव है, जिस पर एकीकरण के ग्राफ़ और सीमाएं मौलिक रूप से सही ढंग से प्रदर्शित की जानी चाहिए।

यहां एकीकरण की सीमाओं के साथ कोई समस्या नहीं है; वे सीधे इस शर्त का पालन करते हैं: "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। आइए आगे का निर्णय लें:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के ऊपर स्थित है, इसलिए:

इस लेख में आप सीखेंगे कि अभिन्न गणना का उपयोग करके रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। पहली बार हम हाई स्कूल में ऐसी समस्या के सूत्रीकरण का सामना करते हैं, जब हमने निश्चित अभिन्नों का अध्ययन पूरा कर लिया है और व्यवहार में अर्जित ज्ञान की ज्यामितीय व्याख्या शुरू करने का समय आ गया है।

तो, इंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए क्या आवश्यक है:

• सक्षम चित्र बनाने की क्षमता;
• एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके हल करने की क्षमता प्रसिद्ध सूत्रन्यूटन-लीबनिज;
• अधिक लाभदायक समाधान विकल्प "देखने" की क्षमता - अर्थात। समझें कि किसी न किसी मामले में एकीकरण करना कैसे अधिक सुविधाजनक होगा? x-अक्ष (OX) के अनुदिश या y-अक्ष (OY) के अनुदिश?
• खैर, सही गणनाओं के बिना हम कहां होंगे?) इसमें यह समझना शामिल है कि अन्य प्रकार के अभिन्नों को कैसे हल किया जाए और संख्यात्मक गणनाओं को सही किया जाए।

रेखाओं से घिरी किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम एक चित्र बना रहे हैं। इसे बड़े पैमाने पर कागज के चेकदार टुकड़े पर करने की सलाह दी जाती है। हम प्रत्येक ग्राफ़ के ऊपर एक पेंसिल से इस फ़ंक्शन के नाम पर हस्ताक्षर करते हैं। ग्राफ़ पर हस्ताक्षर केवल आगे की गणना की सुविधा के लिए किया जाता है। वांछित आंकड़े का एक ग्राफ प्राप्त करने के बाद, ज्यादातर मामलों में यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा कि एकीकरण की कौन सी सीमा का उपयोग किया जाएगा। इस तरह हम समस्या का समाधान करते हैं चित्रमय विधि. हालाँकि, ऐसा होता है कि सीमाओं के मान भिन्नात्मक या अपरिमेय होते हैं। इसलिए, आप अतिरिक्त गणनाएँ कर सकते हैं, चरण दो पर जाएँ।

2. यदि एकीकरण की सीमाएँ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं हैं, तो हम एक दूसरे के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं और देखते हैं कि क्या हमारा ग्राफिक समाधानविश्लेषणात्मक के साथ.

3. इसके बाद, आपको ड्राइंग का विश्लेषण करने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ कैसे व्यवस्थित किए जाते हैं, इसके आधार पर होते हैं अलग अलग दृष्टिकोणकिसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए. चलो गौर करते हैं विभिन्न उदाहरणइंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने पर।

3.1. समस्या का सबसे क्लासिक और सरल संस्करण तब होता है जब आपको घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है। घुमावदार समलम्बाकार क्या है? यह x-अक्ष द्वारा सीमित एक सपाट आकृति है (य = 0), सीधा एक्स = ए, एक्स = बीऔर से अंतराल पर निरंतर कोई वक्र एपहले बी. इसके अलावा, यह आंकड़ा गैर-नकारात्मक है और x-अक्ष के नीचे स्थित नहीं है। इस मामले में, वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है, जिसकी गणना न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

आकृति किन रेखाओं से घिरी हुई है? हमारे पास एक परवलय है y = x2 – 3x + 3, जो अक्ष के ऊपर स्थित है ओह, यह गैर-नकारात्मक है, क्योंकि इस परवलय के सभी बिंदुओं का मान सकारात्मक है। आगे, सीधी रेखाएँ दी गई हैं एक्स = 1और एक्स = 3, जो अक्ष के समानांतर चलती है कहां, बाएँ और दाएँ चित्र की सीमा रेखाएँ हैं। कुंआ आप = 0, यह x-अक्ष भी है, जो नीचे से चित्र को सीमित करता है। परिणामी आकृति छायांकित है, जैसा कि बाईं ओर की आकृति से देखा जा सकता है। इस मामले में, आप तुरंत समस्या का समाधान शुरू कर सकते हैं। हमारे सामने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का एक सरल उदाहरण है, जिसे हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके हल करते हैं।

3.2. पिछले पैराग्राफ 3.1 में, हमने उस मामले की जांच की जब एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड एक्स-अक्ष के ऊपर स्थित है। अब उस मामले पर विचार करें जब समस्या की स्थितियाँ समान हों, सिवाय इसके कि फ़ंक्शन x-अक्ष के अंतर्गत है। मानक न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र में एक ऋण जोड़ा जाता है। ऐसी समस्या को कैसे हल किया जाए, इस पर हम नीचे विचार करेंगे।

उदाहरण 2 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

इस उदाहरण में हमारे पास एक परवलय है y = x2 + 6x + 2, जो अक्ष से उत्पन्न होता है ओह, सीधा एक्स = -4, एक्स = -1, वाई = 0. यहाँ आप = 0ऊपर से वांछित आंकड़े को सीमित करता है। प्रत्यक्ष एक्स = -4और एक्स = -1ये वे सीमाएँ हैं जिनके भीतर निश्चित अभिन्न की गणना की जाएगी। किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को हल करने का सिद्धांत लगभग पूरी तरह से उदाहरण संख्या 1 से मेल खाता है। अंतर केवल इतना है कि दिया गया फ़ंक्शन सकारात्मक नहीं है, और अंतराल पर भी निरंतर है [-4; -1] . आपका क्या मतलब है सकारात्मक नहीं? जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, दिए गए x के भीतर मौजूद आंकड़े में विशेष रूप से "नकारात्मक" निर्देशांक हैं, जो कि समस्या को हल करते समय हमें देखने और याद रखने की आवश्यकता है। हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की तलाश करते हैं, केवल शुरुआत में एक ऋण चिह्न के साथ।

लेख पूरा नहीं हुआ है.

ए)

समाधान।

निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण बिंदु ड्राइंग का निर्माण है.

आइए चित्र बनाएं:

समीकरण y=0 "x" अक्ष सेट करता है;

- x=-2 और एक्स=1 - सीधा, अक्ष के समानांतर ओयू;

- y=x 2 +2 - एक परवलय, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, जिसका शीर्ष बिंदु (0;2) पर होता है।

टिप्पणी।एक परवलय का निर्माण करने के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है, अर्थात। डाल एक्स=0 अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए कहां और तदनुसार निर्णय लेना द्विघात समीकरण, अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए ओह .

परवलय का शीर्ष सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

आप बिंदु दर बिंदु रेखाएँ भी बना सकते हैं।

अंतराल पर [-2;1] फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=x 2 +2 स्थित अक्ष के ऊपर बैल , इसीलिए:

उत्तर: एस =9 वर्ग इकाई

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम चित्र में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 होंगे, यह सच प्रतीत होता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यदि हमें, मान लीजिए, उत्तर मिला है: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

यदि घुमावदार समलम्बाकार स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे ओह?

बी)रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें y=-e x , एक्स=1 और समन्वय अक्ष.

समाधान।

आइए एक चित्र बनाएं.

यदि एक घुमावदार समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे स्थित है ओह , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

उत्तर: एस=(ई-1) वर्ग इकाइयाँ" 1.72 वर्ग इकाइयाँ

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों में भ्रमित नहीं होना चाहिए:

1) यदि आपसे बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकलन को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपसे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि जिस सूत्र पर अभी चर्चा की गई है उसमें माइनस दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर आकृति ऊपरी और निचले दोनों आधे-तल में स्थित होती है।

साथ)रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए y=2x-x 2, y=-x.

समाधान।

सबसे पहले आपको ड्राइंग पूरी करनी होगी. आम तौर पर, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें और सीधा इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है.

हम समीकरण हल करते हैं:

इसका मतलब है कि एकीकरण की निचली सीमा ए=0 , एकीकरण की ऊपरी सीमा बी=3 .

हम दी गई पंक्तियाँ बनाते हैं: 1. परवलय - बिंदु पर शीर्ष (1;1); अक्ष चौराहा ओह -अंक (0;0) और (0;2). 2. सीधी रेखा - दूसरे और चौथे निर्देशांक कोणों का समद्विभाजक। और अब ध्यान दें! यदि खंड पर [ ए;बी] कुछ निरंतर कार्य एफ(एक्स)किसी सतत फलन से बड़ा या उसके बराबर जी(एक्स), तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: . और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन महत्वपूर्ण यह है कि कौन सा ग्राफ़ अधिक है (दूसरे ग्राफ़ के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है। विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

आप बिंदु दर बिंदु रेखाएं बना सकते हैं, और एकीकरण की सीमाएं "स्वयं ही" स्पष्ट हो जाती हैं। फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या विस्तृत निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)।

वांछित आकृति ऊपर एक परवलय और नीचे एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।

खंड पर , संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: एस =4.5 वर्ग इकाई

पिछले अनुभाग में, एक निश्चित अभिन्न अंग के ज्यामितीय अर्थ के विश्लेषण के लिए समर्पित, हमें एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना के लिए कई सूत्र प्राप्त हुए:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x एक सतत और गैर-नकारात्मक फलन y = f (x) के लिए अंतराल पर [ a ; बी ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x एक सतत और गैर-सकारात्मक फलन y = f (x) के लिए अंतराल पर [ a ; बी ] ।

इन्हें हल करने के लिए ये सूत्र लागू होते हैं सरल कार्य. हकीकत में, हमें अक्सर अधिक जटिल आंकड़ों के साथ काम करना होगा। इस संबंध में, हम इस अनुभाग को स्पष्ट रूप में कार्यों द्वारा सीमित आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के लिए एल्गोरिदम के विश्लेषण के लिए समर्पित करेंगे, अर्थात। जैसे y = f(x) या x = g(y).

प्रमेय

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y = f 1 (x) और y = f 2 (x) परिभाषित हैं और अंतराल पर निरंतर हैं [ a ; b ] , और f 1 (x) ≤ f 2 (x) किसी भी मान x के लिए [ a ; बी ] । फिर रेखाओं x = a, x = b, y = f 1 (x) और y = f 2 (x) से घिरी आकृति G के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र S (G) = ∫ जैसा दिखेगा ए बी एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) डी एक्स।

एक समान सूत्र y = c, y = d, x = g 1 (y) और x = g 2 (y) रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल के लिए लागू होगा: S (G) = ∫ c d ( जी 2 (वाई) - जी 1 (वाई) डी वाई .

सबूत

आइए तीन मामलों पर नजर डालें जिनके लिए फॉर्मूला मान्य होगा।

पहले मामले में, क्षेत्र की योगात्मकता के गुण को ध्यान में रखते हुए, मूल आकृति G और वक्ररेखीय समलम्बाकार G 1 के क्षेत्रफलों का योग आकृति G 2 के क्षेत्रफल के बराबर है। यह मतलब है कि

इसलिए, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) डीएक्स.

हम निश्चित समाकलन के तीसरे गुण का उपयोग करके अंतिम परिवर्तन कर सकते हैं।

दूसरे मामले में, समानता सत्य है: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स

ग्राफिक चित्रण इस प्रकार दिखेगा:

यदि दोनों फ़ंक्शन गैर-सकारात्मक हैं, तो हमें मिलता है: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स। ग्राफिक चित्रण इस प्रकार दिखेगा:

आइए विचार करने के लिए आगे बढ़ें सामान्य मामला, जब y = f 1 (x) और y = f 2 (x) O x अक्ष को प्रतिच्छेद करते हैं।

हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं को x i, i = 1, 2, के रूप में निरूपित करते हैं। . . , एन - 1 . ये बिंदु खंड को विभाजित करते हैं [ए; b ] n भागों में x i - 1 ; एक्स मैं, मैं = 1, 2, . . . , n, जहां α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

इस तरह,

एस (जी) = ∑ आई = 1 एन एस (जी आई) = ∑ आई = 1 एन ∫ एक्स आई एक्स आई एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स = = ∫ एक्स 0 एक्स एन (एफ 2 (एक्स) - एफ ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

हम निश्चित समाकलन के पांचवें गुण का उपयोग करके अंतिम परिवर्तन कर सकते हैं।

आइए ग्राफ़ पर सामान्य मामले को चित्रित करें।

सूत्र S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x को सिद्ध माना जा सकता है।

अब आइए उन आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के उदाहरणों का विश्लेषण करने के लिए आगे बढ़ें जो रेखाओं y = f (x) और x = g (y) द्वारा सीमित हैं।

हम किसी भी उदाहरण पर अपना विचार एक ग्राफ़ बनाकर शुरू करेंगे। छवि हमें प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देगी जटिल आंकड़ेसरल आकृतियों के संघ के रूप में। यदि उन पर ग्राफ़ और आंकड़े बनाने से आपको कठिनाई होती है, तो आप बुनियादी अनुभाग का अध्ययन कर सकते हैं प्राथमिक कार्य, फ़ंक्शन ग्राफ़ का ज्यामितीय परिवर्तन, साथ ही किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के दौरान ग्राफ़ का निर्माण।

उदाहरण 1

आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करना आवश्यक है, जो परवलय y = - x 2 + 6 x - 5 और सीधी रेखाओं y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में ग्राफ़ पर रेखाएँ खींचें।

खंड पर [ 1 ; 4 ] परवलय y = - x 2 + 6 x - 5 का ग्राफ सीधी रेखा y = - 1 3 x - 1 2 के ऊपर स्थित है। इस संबंध में, उत्तर प्राप्त करने के लिए हम पहले प्राप्त सूत्र का उपयोग करते हैं, साथ ही न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके निश्चित अभिन्न अंग की गणना करने की विधि का उपयोग करते हैं:

एस (जी) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

उत्तर: एस(जी) = 13

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो रेखाओं y = x + 2, y = x, x = 7 द्वारा सीमित है।

समाधान

इस मामले में, हमारे पास x-अक्ष के समानांतर स्थित केवल एक सीधी रेखा है। यह x = 7 है. इसके लिए हमें एकीकरण की दूसरी सीमा स्वयं ढूंढनी होगी।

आइए एक ग्राफ़ बनाएं और उस पर समस्या कथन में दी गई पंक्तियों को आलेखित करें।

ग्राफ को अपनी आंखों के सामने रखते हुए, हम आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि एकीकरण की निचली सीमा सीधी रेखा y = x और अर्ध-परवलय y = x + 2 के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज होगा। भुज को खोजने के लिए हम समानता का उपयोग करते हैं:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

इससे पता चलता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज x = 2 है।

हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि सामान्य उदाहरणरेखाचित्र में, रेखाएँ y = x + 2, y = x बिंदु (2; 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए ऐसी विस्तृत गणनाएँ अनावश्यक लग सकती हैं। हमने यहां इतना विस्तृत समाधान केवल इसलिए दिया है क्योंकि अधिक में कठिन मामलेसमाधान इतना स्पष्ट नहीं हो सकता है. इसका मतलब यह है कि विश्लेषणात्मक रूप से रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक की गणना करना हमेशा बेहतर होता है।

अंतराल पर [2 ; 7] फ़ंक्शन y = x का ग्राफ़ फ़ंक्शन y = x + 2 के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है। आइए क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र लागू करें:

एस (जी) = ∫ 2 7 (एक्स - एक्स + 2) डी एक्स = एक्स 2 2 - 2 3 · (एक्स + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

उत्तर: एस (जी) = 59 6

उदाहरण 3

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो फ़ंक्शन y = 1 x और y = - x 2 + 4 x - 2 के ग्राफ़ द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए ग्राफ़ पर रेखाएँ आलेखित करें।

आइए एकीकरण की सीमाएँ परिभाषित करें। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति 1 x और - x 2 + 4 x - 2 को बराबर करके रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। बशर्ते कि x शून्य नहीं है, समानता 1 x = - x 2 + 4 x - 2 पूर्णांक गुणांक के साथ तीसरे डिग्री समीकरण - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 के बराबर हो जाती है। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम की आपकी स्मृति को ताज़ा करने के लिए, हम "घन समीकरणों को हल करना" अनुभाग का संदर्भ ले सकते हैं।

इस समीकरण का मूल x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 है।

व्यंजक - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 को द्विपद x - 1 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

हम समीकरण x 2 - 3 x - 1 = 0 से शेष मूल ज्ञात कर सकते हैं:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3। 3; एक्स 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0। 3

हमने अंतराल x ∈ 1 पाया; 3 + 13 2, जिसमें आकृति G नीली रेखा के ऊपर और लाल रेखा के नीचे समाहित है। इससे हमें आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करने में मदद मिलती है:

एस (जी) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - एलएन 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - एलएन 1 = 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उत्तर: एस (जी) = 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उदाहरण 4

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो वक्र y = x 3, y = - log 2 x + 1 और भुज अक्ष द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए ग्राफ़ पर सभी रेखाएँ आलेखित करें। हम ग्राफ़ y = log 2 x से फ़ंक्शन y = - log 2 x + 1 का ग्राफ़ प्राप्त कर सकते हैं यदि हम इसे x-अक्ष के बारे में सममित रूप से रखते हैं और इसे एक इकाई ऊपर ले जाते हैं। x-अक्ष का समीकरण y = 0 है।

आइए रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, फलन y = x 3 और y = 0 के ग्राफ़ बिंदु (0; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि x = 0 समीकरण x 3 = 0 का एकमात्र वास्तविक मूल है।

x = 2 समीकरण का एकमात्र मूल है - लॉग 2 x + 1 = 0, इसलिए फ़ंक्शन y = - लॉग 2 x + 1 और y = 0 के ग्राफ़ बिंदु (2; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

x = 1 समीकरण x 3 = - log 2 x + 1 का एकमात्र मूल है। इस संबंध में, फ़ंक्शन y = x 3 और y = - log 2 x + 1 के ग्राफ़ बिंदु (1; 1) पर प्रतिच्छेद करते हैं। अंतिम कथन स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन समीकरण x 3 = - log 2 x + 1 में एक से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन y = x 3 सख्ती से बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y = - log 2 x + 1 है सख्ती से घट रही है.

आगे के समाधान में कई विकल्प शामिल हैं।

विकल्प 1

हम आकृति G की कल्पना x-अक्ष के ऊपर स्थित दो वक्रीय समलंबों के योग के रूप में कर सकते हैं, जिनमें से पहला खंड x ∈ 0 पर मध्य रेखा के नीचे स्थित है; 1, और दूसरा खंड x ∈ 1 पर लाल रेखा के नीचे है; 2. इसका मतलब है कि क्षेत्रफल S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x के बराबर होगा।

विकल्प संख्या 2

चित्र G को दो आकृतियों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से पहला x-अक्ष के ऊपर और खंड x ∈ 0 पर नीली रेखा के नीचे स्थित है; 2, और खंड x ∈ 1 पर लाल और नीली रेखाओं के बीच दूसरा; 2. यह हमें निम्नानुसार क्षेत्र खोजने की अनुमति देता है:

एस (जी) = ∫ 0 2 एक्स 3 डी एक्स - ∫ 1 2 एक्स 3 - (- लॉग 2 एक्स + 1) डी एक्स

इस मामले में, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y रूप के सूत्र का उपयोग करना होगा। वास्तव में, आकृति को बांधने वाली रेखाओं को तर्क y के कार्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए समीकरण y = x 3 और - x के संबंध में लघुगणक 2 x + 1 को हल करें:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - लघुगणक 2 x + 1 ⇒ लघुगणक 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

हमें आवश्यक क्षेत्र मिलता है:

एस (जी) = ∫ 0 1 (2 1 - वाई - वाई 3) डी वाई = - 2 1 - वाई एलएन 2 - वाई 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 एलएन 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 एलएन 2 - 0 4 4 = - 1 एलएन 2 - 1 4 + 2 एलएन 2 = 1 एलएन 2 - 1 4

उत्तर: एस (जी) = 1 एलएन 2 - 1 4

उदाहरण 5

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो रेखाओं y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 द्वारा सीमित है।

समाधान

लाल रेखा से हम फ़ंक्शन y = x द्वारा परिभाषित रेखा खींचते हैं। हम रेखा y = - 1 2 x + 4 को नीले रंग में और रेखा y = 2 3 x - 3 को काले रंग में खींचते हैं।

आइए प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

आइए फ़ंक्शन y = x और y = - 1 2 x + 4 के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 जांचें: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 नहीं क्या समीकरण x 2 = का हल है 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 समीकरण का हल है ⇒ (4; 2) प्रतिच्छेदन बिंदु i y = x और y = - 1 2 x +4

आइए फ़ंक्शन y = x और y = 2 3 x - 3 के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 जांचें: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 समीकरण का हल है ⇒ (9 ; 3) बिंदु a s y = x और y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 समीकरण का कोई हल नहीं है

आइए रेखाओं y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3 का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) प्रतिच्छेदन बिंदु y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3

विधि संख्या 1

आइए हम वांछित आकृति के क्षेत्रफल की कल्पना व्यक्तिगत आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में करें।

तब आकृति का क्षेत्रफल है:

एस (जी) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

विधि संख्या 2

मूल आकृति का क्षेत्रफल दो अन्य आकृतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फिर हम x के सापेक्ष रेखा के समीकरण को हल करते हैं, और उसके बाद ही हम आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र लागू करते हैं।

y = x ⇒ x = y 2 लाल रेखा y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 काली रेखा y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

तो क्षेत्र है:

एस (जी) = ∫ 1 2 3 2 वाई + 9 2 - - 2 वाई + 8 डी वाई + ∫ 2 3 3 3 2 वाई + 9 2 - वाई 2 डी वाई = = ∫ 1 2 7 2 वाई - 7 2 डी वाई + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान समान हैं।

उत्तर: एस (जी) = 11 3

परिणाम

किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए जो दी गई रेखाओं द्वारा सीमित है, हमें एक समतल पर रेखाएँ बनाने, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र लागू करने की आवश्यकता है। इस अनुभाग में, हमने कार्यों के सबसे सामान्य प्रकारों की जांच की।

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ