Persamaan secara umum, persamaan aljabar linier dan sistemnya, serta metode penyelesaiannya, menempati tempat khusus dalam matematika, baik teoretis maupun terapan.
Hal ini disebabkan oleh kenyataan bahwa sebagian besar masalah fisik, ekonomi, teknis, dan bahkan pedagogi dapat dijelaskan dan diselesaikan dengan menggunakan berbagai persamaan dan sistemnya. DI DALAM Akhir-akhir ini telah mendapatkan popularitas khusus di kalangan peneliti, ilmuwan, dan praktisi pemodelan matematika di hampir semua mata pelajaran, yang dijelaskan oleh keunggulan nyata dibandingkan metode lain yang diketahui dan terbukti untuk mempelajari objek dari berbagai sifat, khususnya, yang disebut sistem yang kompleks. Ada banyak variasi definisi berbeda tentang model matematika yang diberikan oleh para ilmuwan waktu yang berbeda, tapi menurut kami, yang paling sukses adalah pernyataan berikut. Model matematika- ini adalah sebuah ide dinyatakan dengan persamaan. Dengan demikian, kemampuan menyusun dan menyelesaikan persamaan dan sistemnya merupakan karakteristik integral dari seorang spesialis modern.
Untuk menyelesaikan sistem linear persamaan aljabar Metode yang paling umum digunakan adalah metode Cramer, Jordan-Gauss dan metode matriks.
Metode penyelesaian matriks adalah suatu metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan determinan bukan nol dengan menggunakan matriks invers.
Jika kita menuliskan koefisien-koefisien besaran xi yang tidak diketahui pada matriks A, mengumpulkan besaran-besaran yang tidak diketahui pada kolom vektor X, dan suku-suku bebas pada kolom vektor B, maka sistem persamaan aljabar linier dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks berikut A · X = B, yang mempunyai solusi unik hanya jika determinan matriks A tidak sama dengan nol. Dalam hal ini penyelesaian sistem persamaan dapat dicari dengan cara berikut X = A-1 · B, Di mana A -1 - matriks terbalik.
Metode penyelesaian matriksnya adalah sebagai berikut.
Biarkan sistem diberikan persamaan linear Dengan N tidak dikenal:
Itu dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks: KAPAK = B, Di mana A- matriks utama sistem, B Dan X- kolom istilah bebas dan solusi sistem, masing-masing:
Mari kita kalikan ini persamaan matriks tersisa A-1 - matriks invers dari matriks A: A -1 (KAPAK) = A -1 B
Karena A -1 A = E, kita mendapatkan X= SEBUAH -1 B. Bagian kanan persamaan ini akan memberikan kolom solusi ke sistem aslinya. Kondisi penerapan metode ini(serta adanya solusi secara umum sistem homogen persamaan linier dengan jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui) adalah non-degenerasi matriks A. Diperlukan dan kondisi cukup Artinya determinan matriksnya tidak sama dengan nol A:det A≠ 0.
Untuk sistem persamaan linear homogen, yaitu bila vektor B = 0 , justru aturan sebaliknya: sistem KAPAK = 0 mempunyai solusi non-trivial (yaitu bukan nol) hanya jika det A= 0. Hubungan antara penyelesaian sistem persamaan linear homogen dan tidak homogen disebut alternatif Fredholm.
Contoh solusi untuk sistem persamaan aljabar linier yang tidak homogen.
Mari kita pastikan bahwa determinan matriks, yang terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui dari sistem persamaan aljabar linier, tidak sama dengan nol.
Langkah selanjutnya adalah menghitung penjumlahan aljabar untuk elemen matriks yang terdiri dari koefisien yang tidak diketahui. Mereka diperlukan untuk mencari matriks invers.
(terkadang metode ini juga disebut metode matriks atau metode matriks terbalik) memerlukan pengenalan awal dengan konsep seperti bentuk matriks notasi SLAE. Metode matriks invers dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier yang determinan matriks sistemnya berbeda dari nol. Tentu saja, ini mengasumsikan bahwa matriks sistem adalah persegi (konsep determinan hanya ada untuk matriks persegi). Inti dari metode matriks invers dapat dinyatakan dalam tiga poin:
- Tuliskan tiga matriks: matriks sistem $A$, matriks yang tidak diketahui $X$, matriks suku bebas $B$.
- Temukan matriks invers $A^(-1)$.
- Dengan menggunakan persamaan $X=A^(-1)\cdot B$, dapatkan solusi untuk SLAE yang diberikan.
SLAE apa pun dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai $A\cdot X=B$, dengan $A$ adalah matriks sistem, $B$ adalah matriks suku bebas, $X$ adalah matriks yang tidak diketahui. Biarkan matriks $A^(-1)$ ada. Mari kalikan kedua ruas persamaan $A\cdot X=B$ dengan matriks $A^(-1)$ di sebelah kiri:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Karena $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ adalah matriks identitas), persamaan di atas menjadi:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Karena $E\cdot X=X$, maka:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Contoh No.1
Selesaikan SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ menggunakan matriks invers.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\kiri(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\kanan). $$
Mari kita cari matriks invers ke matriks sistem, yaitu. Mari kita hitung $A^(-1)$. Pada contoh No.2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\kiri(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan) . $$
Sekarang mari kita substitusikan ketiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) ke dalam persamaan $X=A^(-1)\cdot B$. Kemudian kita melakukan perkalian matriks
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan)\cdot \kiri(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\kanan)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \kiri(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\kanan). $$
Jadi, kita mendapat persamaan $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( susunan )\kanan)$. Dari persamaan ini kita mendapatkan: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Menjawab: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Contoh No.2
Selesaikan SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ menggunakan metode matriks terbalik.
Mari kita tuliskan matriks sistem $A$, matriks suku bebas $B$ dan matriks tak diketahui $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\kiri(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\kanan). $$
Sekarang giliran mencari matriks invers ke matriks sistem, yaitu. temukan $A^(-1)$. Pada contoh nomor 3 pada halaman yang didedikasikan untuk mencari matriks invers, matriks invers telah ditemukan. Mari gunakan hasil akhir dan tulis $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \kiri(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array)\kanan). $$
Sekarang mari kita substitusikan ketiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) ke dalam persamaan $X=A^(-1)\cdot B$, lalu lakukan perkalian matriks di ruas kanan kesetaraan ini.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \kanan)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\kanan)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \kiri(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\kanan) $$
Jadi, kita mendapat persamaan $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\kanan)$. Dari persamaan ini kita mendapatkan: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Mari kita pertimbangkan sistem persamaan aljabar linier(SLAU) relatif N tidak dikenal X 1 , X 2 , ..., X N :
Sistem ini dalam bentuk “runtuh” dapat ditulis sebagai berikut:
S N saya=1 A aku j X J = b Saya , saya=1,2, ..., n.
Sesuai dengan aturan perkalian matriks, sistem persamaan linear yang dipertimbangkan dapat ditulis bentuk matriks Kapak=b, Di mana
,
,.
Matriks A, yang kolom-kolomnya merupakan koefisien untuk variabel-variabel yang tidak diketahui, dan baris-barisnya merupakan koefisien dari variabel-variabel yang tidak diketahui dalam persamaan yang bersesuaian disebut matriks sistem. Matriks kolom B, yang elemen-elemennya merupakan ruas kanan persamaan sistem, disebut matriks ruas kanan atau sederhananya sisi kanan sistem. Matriks kolom X , yang unsur-unsurnya tidak diketahui dan tidak diketahui, disebut solusi sistem.
Suatu sistem persamaan aljabar linier ditulis dalam bentuk Kapak=b, adalah persamaan matriks.
Jika matriks sistem tidak merosot, maka ia memiliki matriks invers dan solusi sistemnya adalah Kapak=b diberikan oleh rumus:
x=SEBUAH -1 B.
Contoh Selesaikan sistem 
metode matriks.
Larutan mari kita cari matriks invers untuk matriks koefisien sistem
Mari kita hitung determinannya dengan memperluas sepanjang baris pertama:
Karena Δ ≠ 0 , Itu A -1 ada.
Matriks invers ditemukan dengan benar.
Mari kita cari solusi untuk sistemnya 
Karena itu, X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Penyelidikan: 
7. Teorema Kronecker-Capelli tentang kesesuaian sistem persamaan aljabar linier.
Sistem persamaan linear memiliki bentuk:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Di sini a i j dan b i (i = ; j = ) diberikan, dan x j adalah bilangan real yang tidak diketahui. Dengan menggunakan konsep hasil kali matriks, kita dapat menulis ulang sistem (5.1) dalam bentuk:
dimana A = (ai j) adalah matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui dari sistem (5.1), yang disebut matriks sistem, X = (x 1 , x 2 ,..., xn) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T adalah vektor kolom yang masing-masing terdiri dari x j dan suku bebas b i yang tidak diketahui.
Koleksi yang dipesan N bilangan real (c 1 , c 2 ,..., c n) disebut solusi sistem(5.1), jika sebagai hasil substitusi bilangan-bilangan ini sebagai pengganti variabel-variabel yang bersesuaian x 1, x 2,..., x n, setiap persamaan sistem berubah menjadi identitas aritmatika; dengan kata lain jika terdapat vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T sedemikian hingga AC B.
Sistem (5.1) disebut persendian, atau larut, jika ia memiliki setidaknya satu solusi. Sistem itu disebut tidak kompatibel, atau tidak dapat diselesaikan, jika tidak memiliki solusi.
,
dibentuk dengan menempatkan kolom suku bebas di sisi kanan matriks A disebut matriks yang diperluas dari sistem.
Pertanyaan tentang kompatibilitas sistem (5.1) diselesaikan dengan teorema berikut.
Teorema Kronecker-Capelli . Suatu sistem persamaan linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks A danA berimpit, yaitu. r(A) = r(A) = r.
Untuk himpunan M solusi sistem (5.1) ada tiga kemungkinan:
1) M = (dalam hal ini sistem tidak konsisten);
2) M terdiri dari satu elemen, yaitu. sistem mempunyai solusi unik (dalam hal ini sistem disebut yakin);
3) M terdiri atas lebih dari satu unsur (maka sistem disebut tidak pasti). Dalam kasus ketiga, sistem (5.1) mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.
Sistem mempunyai solusi unik hanya jika r(A) = n. Dalam hal ini, jumlah persamaan tidak kurang dari jumlah persamaan yang tidak diketahui (mn); jika m>n, maka persamaan m-n merupakan konsekuensi dari yang lain. Jika 0 Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sembarang, Anda harus mampu menyelesaikan sistem yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui - yang disebut Sistem tipe Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistem (5.3) diselesaikan dengan salah satu cara berikut: 1) metode Gauss, atau metode menghilangkan yang tidak diketahui; 2) menurut rumus Cramer; 3) metode matriks. Contoh 2.12. Jelajahi sistem persamaan dan selesaikan jika konsisten: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Larutan. Kami menulis matriks yang diperluas dari sistem:
Mari kita hitung pangkat matriks utama sistem. Jelaslah, misalnya, minor orde kedua di pojok kiri atas = 7 0; minor orde ketiga yang memuatnya sama dengan nol: Oleh karena itu, rank matriks utama sistem adalah 2, yaitu. r(A) = 2. Untuk menghitung rank matriks yang diperluas A, perhatikan minor pembatasnya ini berarti pangkat matriks yang diperluas r(A) = 3. Karena r(A) r(A), sistemnya tidak konsisten. Topik 2. SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINEAR. Konsep dasar. Definisi 1. Sistem M persamaan linear dengan N tidak diketahui adalah sistem berbentuk: dimana dan adalah angka. Definisi 2. Solusi sistem (I) adalah himpunan yang tidak diketahui yang setiap persamaan sistem ini menjadi identitas. Definisi 3. Sistem (I) disebut persendian, jika memiliki setidaknya satu solusi dan non-bersama, jika tidak memiliki solusi. Sistem gabungan disebut yakin, jika memiliki solusi unik, dan tidak pasti jika tidak. Definisi 4. Persamaan bentuk ditelepon nol, dan persamaannya berbentuk ditelepon tidak kompatibel. Jelas sekali, sistem persamaan yang mengandung persamaan yang tidak kompatibel adalah tidak konsisten. Definisi 5. Dua sistem persamaan linear disebut setara, jika setiap solusi dari suatu sistem berfungsi sebagai solusi bagi sistem lainnya dan, sebaliknya, setiap solusi dari sistem kedua merupakan solusi bagi sistem pertama. Representasi matriks dari sistem persamaan linear. Mari kita perhatikan sistem (I) (lihat §1). Mari kita nyatakan: Matriks koefisien untuk hal yang tidak diketahui Matriks - kolom suku bebas Matriks – kolom yang tidak diketahui Definisi 1. Matriksnya disebut matriks utama sistem(I), dan matriksnya adalah matriks perluasan sistem (I). Menurut definisi persamaan matriks, sistem (I) berhubungan dengan persamaan matriks: Ruas kanan persamaan ini menurut definisi hasil kali matriks ( lihat definisi 3 § 5 bab 1) dapat difaktorkan: Persamaan (2)
ditelepon notasi matriks sistem (I). Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer. Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n, yaitu jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui, dan matriks utama sistem adalah non-tunggal, yaitu. . Kemudian sistem (I) dari §1 mempunyai solusi unik di mana Δ = itu A disebut utama penentu sistem(Saya), Δ Saya diperoleh dari determinan Δ dengan mengganti Saya kolom ke kolom anggota bebas sistem (I). Contoh: Selesaikan sistem menggunakan metode Cramer: Dengan rumus (3)
Kami menghitung determinan sistem: Untuk mendapatkan determinan, kami mengganti kolom pertama determinan dengan kolom suku bebas; mengganti kolom ke-2 pada determinan dengan kolom suku bebas, kita peroleh ; dengan cara yang sama, mengganti kolom ke-3 pada determinan dengan kolom suku bebas, kita memperoleh . Solusi sistem: Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks invers. Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n dan matriks utama sistem ini non-singular. Mari kita tulis sistem (I) dalam bentuk matriks ( lihat §2): Karena matriks A non-tunggal, maka mempunyai matriks invers ( lihat Teorema 1 §6 Bab 1). Mari kita kalikan kedua ruas persamaannya (2)
ke matriks, lalu Menurut definisi matriks terbalik. Dari kesetaraan (3)
kita punya Selesaikan sistem menggunakan matriks invers Mari kita tunjukkan Dalam contoh (§ 3) kita menghitung determinannya, oleh karena itu, matriksnya A mempunyai matriks invers. Kemudian berlaku (4)
, yaitu Mari kita cari matriksnya ( lihat §6 bab 1) metode Gauss. Biarkan sistem persamaan linear diberikan: Diperlukan untuk menemukan semua solusi sistem (I) atau memastikan bahwa sistem tersebut tidak konsisten. Definisi 1.Mari kita sebut transformasi dasar sistem(I) salah satu dari tiga tindakan: 1) mencoret persamaan nol; 2) menambahkan pada kedua ruas persamaan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan lain, dikalikan dengan bilangan l; 3) menukar suku-suku dalam persamaan sistem sehingga suku-suku yang tidak diketahui dengan bilangan yang sama di semua persamaan menempati tempat yang sama, yaitu. jika misalnya pada persamaan ke-1 kita mengubah suku ke-2 dan ke-3, maka hal yang sama harus dilakukan pada semua persamaan sistem. Metode Gauss terdiri dari fakta bahwa sistem (I) direduksi dengan bantuan transformasi dasar menjadi sistem ekuivalen, yang solusinya ditemukan secara langsung atau ketidakterpecahannya ditetapkan. Sebagaimana dijelaskan dalam §2, sistem (I) secara unik ditentukan oleh matriks yang diperluas dan setiap transformasi dasar sistem (I) berhubungan dengan transformasi dasar dari matriks yang diperluas: Transformasi 1) sama dengan penghapusan baris nol dalam matriks, transformasi 2) setara dengan menambahkan baris lain ke baris matriks yang sesuai, dikalikan dengan bilangan l, transformasi 3) sama dengan menata ulang kolom-kolom dalam matriks. Sangat mudah untuk melihat bahwa, sebaliknya, setiap transformasi elementer dari matriks berhubungan dengan transformasi elementer sistem (I). Karena hal di atas, alih-alih melakukan operasi dengan sistem (I), kami akan bekerja dengan matriks yang diperluas dari sistem ini. Dalam matriks, kolom pertama terdiri dari koefisien untuk x 1, kolom ke-2 - dari koefisien untuk x 2 dll. Jika kolom disusun ulang, perlu diperhatikan bahwa kondisi ini dilanggar. Misalnya, jika kita menukar kolom ke-1 dan ke-2, maka sekarang kolom ke-1 akan berisi koefisien untuk x 2, dan di kolom ke-2 - koefisien untuk x 1. Kita akan menyelesaikan sistem (I) dengan menggunakan metode Gaussian. 1. Coret semua baris nol dalam matriks, jika ada (yaitu coret semua persamaan nol dalam sistem (I). 2. Mari kita periksa apakah di antara baris-baris matriks tersebut terdapat baris yang semua elemennya kecuali yang terakhir sama dengan nol (sebut saja baris tersebut tidak konsisten). Jelasnya, garis seperti itu berhubungan dengan persamaan yang tidak konsisten dalam sistem (I), oleh karena itu, sistem (I) tidak memiliki solusi dan disinilah prosesnya berakhir. 3. Misalkan matriks tidak memuat baris-baris yang tidak konsisten (sistem (I) tidak memuat persamaan-persamaan yang tidak konsisten). Jika sebuah 11 =0, lalu kita cari di baris ke-1 beberapa elemen (kecuali yang terakhir) selain nol dan atur ulang kolom-kolomnya sehingga di baris ke-1 tidak ada nol di tempat ke-1. Sekarang kita asumsikan bahwa (yaitu, kita akan menukar suku-suku yang bersesuaian dalam persamaan sistem (I)). 4. Kalikan baris ke-1 dan tambahkan hasilnya dengan baris ke-2, lalu kalikan baris ke-1 dengan dan tambahkan hasilnya dengan baris ke-3, dst. Jelas sekali, proses ini setara dengan menghilangkan hal yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem (I), kecuali persamaan ke-1. Dalam matriks baru kita mendapatkan angka nol di kolom pertama di bawah elemen sebuah 11: 5. Mari kita coret semua baris nol dalam matriks, jika ada, dan periksa apakah ada baris yang tidak konsisten (jika ada, maka sistem tidak konsisten dan penyelesaiannya berakhir di sana). Mari kita periksa apakah akan ada sebuah 22 / =0, jika ya, maka kita temukan di baris ke-2 elemen selain nol dan atur ulang kolomnya sehingga . Selanjutnya, kalikan elemen baris ke-2 dengan Tindakan yang diambil setara dengan menghilangkan hal yang tidak diketahui x 2 dari semua persamaan sistem (I), kecuali persamaan ke-1 dan ke-2. Karena jumlah barisnya terbatas, maka setelah sejumlah langkah yang terbatas kita mendapatkan bahwa sistem tersebut tidak konsisten, atau kita mendapatkan matriks langkah ( lihat definisi 2 §7 bab 1) : Mari kita tuliskan sistem persamaan yang bersesuaian dengan matriks . Sistem ini ekuivalen dengan sistem (I) Dari persamaan terakhir kita nyatakan; substitusikan ke persamaan sebelumnya, cari, dan seterusnya, sampai kita mendapatkan . Catatan 1. Jadi, ketika menyelesaikan sistem (I) menggunakan metode Gaussian, kita sampai pada salah satu kasus berikut. 1. Sistem (I) tidak konsisten. 2. Sistem (I) mempunyai solusi unik jika jumlah baris matriks sama dengan jumlah baris yang tidak diketahui (). 3. Sistem (I) mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga jika jumlah baris dalam matriks lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui (). Oleh karena itu teorema berikut berlaku. Dalil. Suatu sistem persamaan linear tidak konsisten, mempunyai penyelesaian unik, atau mempunyai jumlah penyelesaian tak terhingga. Contoh. Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss atau buktikan ketidakkonsistenannya: B) a) Mari kita tulis ulang sistem yang diberikan dalam bentuk: Kami telah menukar persamaan ke-1 dan ke-2 dari sistem asli untuk menyederhanakan penghitungan (alih-alih pecahan, kami hanya akan mengoperasikan bilangan bulat menggunakan penataan ulang ini). Mari buat matriks yang diperluas: Tidak ada garis nol; tidak ada garis yang tidak kompatibel, ; Mari kita kecualikan persamaan pertama yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem kecuali persamaan pertama. Caranya, kalikan elemen-elemen baris pertama matriks dengan “-2” dan tambahkan elemen-elemen tersebut dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-2, yang setara dengan mengalikan persamaan ke-1 dengan “-2” dan menjumlahkannya dengan persamaan ke-2. persamaan. Kemudian kita mengalikan elemen-elemen pada baris pertama dengan “-3” dan menjumlahkannya dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ketiga, yaitu. Mari kalikan persamaan ke-2 dari sistem yang diberikan dengan “-3” dan tambahkan dengan persamaan ke-3. Kita mendapatkan Matriks sesuai dengan sistem persamaan). - (lihat definisi 3§7 bab 1). Metode matriks invers merupakan kasus khusus persamaan matriks Selesaikan sistem menggunakan metode matriks Larutan: Kita tuliskan sistemnya dalam bentuk matriks. Kita cari solusi sistemnya menggunakan rumus (lihat rumus terakhir) Kita mencari matriks inversnya menggunakan rumus: Pertama, mari kita lihat determinannya: Di sini determinannya diperluas pada baris pertama. Perhatian! Jika , maka matriks inversnya tidak ada, dan tidak mungkin menyelesaikan sistem menggunakan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan metode eliminasi yang tidak diketahui (metode Gaussian). Sekarang kita perlu menghitung 9 minor dan menuliskannya ke dalam matriks minor Referensi: Penting untuk mengetahui arti subskrip ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor garis tempat elemen tersebut berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen berada: Selama penyelesaiannya, lebih baik menjelaskan perhitungan anak di bawah umur secara rinci, meskipun dengan beberapa pengalaman Anda bisa terbiasa menghitungnya dengan kesalahan secara lisan. Urutan penghitungan anak di bawah umur sama sekali tidak penting; di sini saya menghitungnya dari kiri ke kanan baris demi baris. Dimungkinkan untuk menghitung anak di bawah umur berdasarkan kolom (ini bahkan lebih nyaman). Dengan demikian: – matriks penjumlahan aljabar. – matriks penjumlahan aljabar yang ditransposisikan. Saya ulangi, kita membahas langkah-langkah yang dilakukan secara rinci dalam pelajaran. Bagaimana cara mencari invers suatu matriks? Sekarang kita menulis matriks inversnya: Dalam situasi apa pun kita tidak boleh memasukkannya ke dalam matriks, ini akan mempersulit perhitungan lebih lanjut. Pembagian perlu dilakukan jika semua bilangan pada matriks tersebut habis dibagi 60 tanpa sisa. Namun dalam hal ini sangat perlu untuk menambahkan tanda minus ke dalam matriks; sebaliknya, ini akan menyederhanakan perhitungan lebih lanjut. Yang tersisa hanyalah melakukan perkalian matriks. Anda dapat mempelajari cara mengalikan matriks di kelas. Tindakan dengan matriks. Omong-omong, contoh yang persis sama dianalisis di sana. Perhatikan bahwa pembagian dengan 60 sudah selesai terakhir dari semua. Menjawab: Contoh 12 Selesaikan sistem menggunakan matriks invers. Ini adalah contoh solusi mandiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran). Cara paling universal untuk menyelesaikan sistem adalah metode menghilangkan yang tidak diketahui (metode Gaussian). Tidak mudah untuk menjelaskan algoritme dengan jelas, tetapi saya mencobanya! Aku harap kamu berhasil! Jawaban: Contoh 3:
Contoh 6:
Contoh 8:
,
. Anda dapat melihat atau mengunduh contoh solusi untuk contoh ini (tautan dibawah). Contoh 10, 12: Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linear. Pelajaran ini adalah topik ketiga. Jika Anda memiliki gambaran yang samar-samar tentang apa itu sistem persamaan linear secara umum, dan Anda merasa seperti teko, maka saya sarankan untuk memulai dengan dasar-dasar di halaman Selanjutnya, pelajaran ini berguna untuk dipelajari. Metode Gaussian itu mudah! Mengapa? Matematikawan Jerman terkenal Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hidupnya, mendapat pengakuan sebagai ahli matematika terhebat sepanjang masa, jenius, dan bahkan mendapat julukan “Raja Matematika”. Dan segala sesuatu yang cerdik, seperti yang Anda tahu, itu sederhana! Ngomong-ngomong, tidak hanya orang bodoh yang mendapat uang, tapi juga orang jenius - potret Gauss ada di uang kertas 10 Deutschmark (sebelum diperkenalkannya euro), dan Gauss masih tersenyum misterius pada orang Jerman dari prangko biasa. Metode Gauss sederhana karena PENGETAHUAN SISWA KELAS KELIMA CUKUP untuk menguasainya. Anda harus tahu cara menjumlahkan dan mengalikan! Bukan suatu kebetulan bahwa guru sering mempertimbangkan metode pengecualian berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui dalam mata pelajaran pilihan matematika sekolah. Ini adalah sebuah paradoks, tetapi siswa menganggap metode Gaussian adalah yang paling sulit. Tidak ada yang mengejutkan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan mencoba berbicara tentang algoritma metode dalam bentuk yang dapat diakses. Pertama, mari kita sistematiskan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Suatu sistem persamaan linear dapat: 1) Miliki solusi unik. Metode Gauss adalah alat yang paling ampuh dan universal untuk menemukan solusi setiap sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem mempunyai banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. Dan metode penghapusan berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita pada jawabannya! Dalam pelajaran ini, kita akan kembali mempertimbangkan metode Gauss untuk kasus No. 1 (satu-satunya solusi untuk sistem), sebuah artikel dikhususkan untuk situasi poin No. 2-3. Saya perhatikan bahwa algoritme metode itu sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus. Mari kita kembali ke sistem paling sederhana dari pelajaran ini Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear? Langkah pertama adalah menulis matriks sistem yang diperluas: Referensi:
Saya sarankan Anda mengingatnyaketentuan
aljabar linier.Matriks Sistem
adalah matriks yang hanya terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem:
.
Matriks Sistem yang Diperluas
– ini adalah matriks yang sama dari sistem ditambah kolom suku bebas, dalam hal ini:
. Agar singkatnya, matriks mana pun dapat dengan mudah disebut matriks. Setelah sistem matriks yang diperluas ditulis, beberapa tindakan perlu dilakukan dengannya, yang juga disebut transformasi dasar. Ada transformasi dasar berikut: 1) string matriks dapat diatur ulang di beberapa tempat. Misalnya, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, Anda dapat mengatur ulang baris pertama dan kedua tanpa kesulitan: 2) Jika ada (atau muncul) baris proporsional (dalam kasus khusus - identik) dalam matriks, maka Anda harus menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu. Misalnya matriks 3) Jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus. Saya tidak akan menggambar, tentu saja, garis nol adalah garis di dalamnya semua nol. 4) Baris matriksnya dapat berupa kalikan (bagi) ke nomor mana pun bukan nol. Misalnya matriks. Di sini disarankan untuk membagi baris pertama dengan –3, dan mengalikan baris kedua dengan 2: 5) Transformasi ini paling banyak menimbulkan kesulitan, namun nyatanya tidak ada yang rumit juga. Ke deretan matriks Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol. Mari kita lihat matriks kita dari contoh praktis: . Pertama saya akan menjelaskan transformasi dengan sangat rinci. Kalikan baris pertama dengan –2: Dalam praktiknya tentu saja mereka tidak menulisnya secara detail, melainkan menulisnya secara singkat: “Saya menulis ulang matriks dan menulis ulang baris pertama:“ “Kolom pertama dulu. Di bagian bawah saya perlu mendapatkan nol. Oleh karena itu, saya mengalikan yang di atas dengan –2: , dan menambahkan yang pertama ke baris kedua: 2 + (–2) = 0. Saya tulis hasilnya di baris kedua: “Sekarang kolom kedua. Di bagian atas, saya mengalikan -1 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Hasilnya saya tulis di baris kedua: " “Dan kolom ketiga. Di atas saya kalikan -5 dengan -2: . Saya menambahkan yang pertama ke baris kedua: –7 + 10 = 3. Hasilnya saya tulis di baris kedua: Harap pahami contoh ini dengan cermat dan pahami algoritma perhitungan sekuensial, jika Anda memahaminya, maka metode Gaussian praktis “di saku Anda”. Namun tentunya kami akan tetap mengupayakan transformasi ini. Transformasi dasar tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan ! PERHATIAN: dianggap manipulasi tidak bisa digunakan, jika Anda ditawari tugas yang matriksnya diberikan "sendiri". Misalnya, dengan “klasik” operasi dengan matriks Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh mengatur ulang apa pun di dalam matriks! Mari kita kembali ke sistem kita. Ini sudah hampir terselesaikan. Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, kurangi menjadi pandangan melangkah: (1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Ngomong-ngomong, kenapa kita mengalikan baris pertama dengan –2? Agar mendapat angka nol di bagian bawah, artinya menghilangkan salah satu variabel di baris kedua. (2) Bagilah baris kedua dengan 3. Tujuan dari transformasi dasar–
kurangi matriks menjadi bentuk bertahap: Sebagai hasil dari transformasi dasar, kami memperoleh setara sistem persamaan asli: Sekarang sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang berlawanan - dari bawah ke atas, proses ini disebut kebalikan dari metode Gaussian. Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah memiliki hasil yang siap pakai: . Mari kita perhatikan persamaan pertama sistem dan substitusikan nilai “y” yang sudah diketahui ke dalamnya: Mari kita pertimbangkan situasi yang paling umum, ketika metode Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga persamaan yang tidak diketahui. Contoh 1 Selesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss: Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem: Sekarang saya akan segera menggambar hasil yang akan kita peroleh selama penyelesaian: Pertama, lihat nomor kiri atas: Sekarang baris pertama tidak akan berubah hingga akhir solusi. Sekarang baiklah. Unit di pojok kiri atas terorganisir. Sekarang Anda perlu mendapatkan angka nol di tempat-tempat ini: Kami mendapatkan angka nol menggunakan transformasi "sulit". Pertama kita berurusan dengan baris kedua (2, –1, 3, 13). Apa yang perlu dilakukan untuk mendapatkan angka nol pada posisi pertama? Perlu ke baris kedua tambahkan baris pertama dikalikan –2. Secara mental atau pada draft, kalikan baris pertama dengan –2: (–2, –4, 2, –18). Dan kami secara konsisten melakukan (sekali lagi secara mental atau dalam rancangan), ke baris kedua kita tambahkan baris pertama yang sudah dikalikan –2: Kami menulis hasilnya di baris kedua: Kami menangani baris ketiga dengan cara yang sama (3, 2, –5, –1). Untuk mendapatkan angka nol di posisi pertama, Anda perlu ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan –3. Secara mental atau pada draft, kalikan baris pertama dengan –3: (–3, –6, 3, –27). DAN ke baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan –3: Kami menulis hasilnya di baris ketiga: Dalam praktiknya, tindakan berikut biasanya dilakukan secara lisan dan tertulis dalam satu langkah: Tidak perlu menghitung semuanya sekaligus dan bersamaan. Urutan perhitungan dan “menulis” hasilnya konsisten dan biasanya seperti ini: pertama kita menulis ulang baris pertama, dan perlahan-lahan mengepulkan diri kita sendiri - KONSISTEN dan DENGAN PERHATIAN: Dalam contoh ini, hal ini mudah dilakukan; kita membagi baris kedua dengan –5 (karena semua bilangan di sana habis dibagi 5 tanpa sisa). Pada saat yang sama, kita membagi baris ketiga dengan –2, karena semakin kecil angkanya, semakin sederhana penyelesaiannya: Pada tahap akhir transformasi dasar, Anda perlu mendapatkan nol lagi di sini: Untuk ini ke baris ketiga kita tambahkan baris kedua dikalikan –2: Tindakan terakhir yang dilakukan adalah gaya rambut hasilnya, bagi baris ketiga dengan 3. Sebagai hasil dari transformasi dasar, sistem persamaan linear yang setara diperoleh: Sekarang kebalikan dari metode Gaussian mulai berlaku. Persamaannya “melepas” dari bawah ke atas. Pada persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil yang siap: Mari kita lihat persamaan kedua: . Arti kata "zet" sudah diketahui, sebagai berikut: Dan terakhir, persamaan pertama: . “Igrek” dan “zet” sudah diketahui, hanya masalah kecil saja: Menjawab: Seperti yang telah berulang kali dicatat, untuk sistem persamaan apa pun, dimungkinkan dan perlu untuk memeriksa solusi yang ditemukan, untungnya, ini mudah dan cepat. Contoh 2 Ini adalah contoh solusi mandiri, contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran. Perlu dicatat bahwa Anda kemajuan keputusan tersebut mungkin tidak sesuai dengan proses pengambilan keputusan saya, dan ini adalah fitur dari metode Gauss. Tapi jawabannya harus sama! Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap: Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah. Sekarang kiri atas adalah -1, yang cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan gerakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya). (2) Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga. (3) Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan. (4) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 2. (5) Baris ketiga dibagi 3. Pertanda buruk yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang, salah ketik) adalah hasil yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti , di bawah, dan, karenanya, Kami mengenakan biaya sebaliknya, ketika merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, tetapi persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, langkah sebaliknya berhasil, dari bawah ke atas: Menjawab: Contoh 4 Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss Ini adalah contoh untuk Anda selesaikan sendiri, ini agak lebih rumit. Tidak apa-apa jika ada yang bingung. Solusi lengkap dan contoh desain di akhir pelajaran. Solusi Anda mungkin berbeda dari solusi saya. Pada bagian terakhir kita akan melihat beberapa fitur dari algoritma Gaussian. Fitur kedua adalah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami menempatkan –1 atau +1 pada “langkah”. Mungkinkah ada nomor lain di sana? Dalam beberapa kasus, mereka bisa. Pertimbangkan sistemnya: Di sini, di "langkah" kiri atas kita memiliki dua. Namun kita memperhatikan fakta bahwa semua bilangan di kolom pertama habis dibagi 2 tanpa sisa - dan bilangan lainnya adalah dua dan enam. Dan dua di kiri atas cocok untuk kita! Pada langkah pertama, Anda perlu melakukan transformasi berikut: tambahkan baris pertama dikalikan –1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambahkan baris pertama dikalikan –3. Dengan cara ini kita akan mendapatkan angka nol yang diperlukan di kolom pertama. Atau contoh konvensional lainnya: Metode Gauss bersifat universal, tetapi ada satu kekhasan. Anda dapat dengan percaya diri belajar menyelesaikan sistem menggunakan metode lain (metode Cramer, metode matriks) untuk pertama kalinya - metode tersebut memiliki algoritma yang sangat ketat. Namun untuk merasa percaya diri dengan metode Gaussian, Anda harus “memahami” dan menyelesaikan setidaknya 5-10 sepuluh sistem. Oleh karena itu, pada awalnya mungkin ada kebingungan dan kesalahan dalam perhitungan, dan tidak ada yang aneh atau tragis dalam hal ini. Cuaca musim gugur yang hujan di luar jendela.... Oleh karena itu, bagi semua orang yang menginginkan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri: Contoh 5 Selesaikan sistem 4 persamaan linier dengan empat persamaan yang tidak diketahui menggunakan metode Gauss. Tugas seperti itu tidak jarang terjadi dalam praktiknya. Saya pikir bahkan seorang teko yang telah mempelajari halaman ini secara menyeluruh akan memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem seperti itu secara intuitif. Pada dasarnya semuanya sama - hanya ada lebih banyak tindakan. Kasus-kasus ketika sistem tidak mempunyai solusi (tidak konsisten) atau mempunyai banyak solusi yang tak terhingga dibahas dalam pelajaran Sistem dan sistem yang tidak kompatibel dengan solusi umum. Di sana Anda dapat memperbaiki algoritma metode Gaussian yang dipertimbangkan. Aku harap kamu berhasil! Solusi dan jawaban: Contoh 2: Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap. Balik:
Contoh 4: Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap: Konversi yang dilakukan: Dengan “langkah” kedua, segalanya menjadi lebih buruk
, “kandidatnya” adalah nomor 17 dan 23, dan kita membutuhkan salah satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) ditujukan untuk memperoleh satuan yang diinginkan (3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1.
.
.
.
, yaitu
.
.
,
,
. .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (SAYA) .
.
dan tambahkan dengan elemen yang sesuai pada baris ke-3, lalu - elemen pada baris ke-2 dan tambahkan dengan elemen yang sesuai pada baris ke-4, dst., hingga kita mendapatkan nol di bawah sebuah 22/
.
,
.
;
.
.
.
, di mana adalah matriks yang ditransposisikan dari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.
Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa elemen tersebut berada pada baris pertama, kolom ketiga, dan, misalnya, elemen tersebut berada pada baris ke-3, kolom ke-2.
– matriks minor dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.
Kadang-kadang mungkin tidak terpisah sepenuhnya, mis. dapat menghasilkan pecahan yang “buruk”. Saya sudah memberi tahu Anda apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti ini ketika kita melihat aturan Cramer.
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Tidak mempunyai solusi (menjadi non-bersama).
dan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian.
. Saya rasa semua orang dapat melihat berdasarkan prinsip apa koefisien ditulis. Garis vertikal di dalam matriks tidak memiliki arti matematis apa pun - garis ini hanyalah coretan untuk kemudahan desain.
. Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah proporsional, sehingga cukup menyisakan satu saja: 
.
. Tindakan ini sangat berguna karena menyederhanakan transformasi matriks lebih lanjut.
, Dan ke baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan –2: . Sekarang baris pertama dapat dibagi “kembali” dengan –2: . Seperti yang Anda lihat, baris yang ADD LI – belum berubah. Selalu garis YANG DITAMBAHKAN berubah UT.
Sekali lagi: ke baris kedua menambahkan baris pertama dikalikan –2. Sebuah garis biasanya dikalikan secara lisan atau dalam rancangan, dengan proses perhitungan mental berlangsung seperti ini:
» »
. Dalam perancangan tugas, mereka hanya menandai “tangga” dengan pensil sederhana, dan juga melingkari angka-angka yang terletak pada “anak tangga” tersebut. Istilah “pandangan bertahap” sendiri tidak sepenuhnya teoretis; dalam literatur ilmiah dan pendidikan sering disebut demikian pandangan trapesium atau pandangan segitiga.
Dan saya ulangi, tujuan kita adalah membawa matriks ke bentuk bertahap menggunakan transformasi dasar. Mulai dari mana?
Seharusnya hampir selalu ada di sini satuan. Secara umum, –1 (dan terkadang angka lainnya) bisa digunakan, namun secara tradisi, angka tersebut biasanya ditempatkan di sana. Bagaimana cara mengatur unit? Kami melihat kolom pertama - kami memiliki unit yang sudah jadi! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga: 
Dan proses mental dari perhitungan itu sendiri sudah saya bahas di atas.
Cobalah untuk mencari tahu sendiri tindakan ini - kalikan secara mental baris kedua dengan –2 dan lakukan penjumlahan.
Dingin.
, maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa telah terjadi kesalahan selama transformasi dasar.
Ya, ini hadiahnya: 
.
Ciri pertama adalah terkadang beberapa variabel hilang dari persamaan sistem, misalnya: 
Bagaimana cara menulis matriks sistem yang diperluas dengan benar? Saya sudah membicarakan hal ini di kelas. aturan Cramer. Metode matriks. Dalam matriks yang diperluas dari sistem, kami menempatkan angka nol sebagai pengganti variabel yang hilang: 
Omong-omong, ini adalah contoh yang cukup mudah, karena kolom pertama sudah memiliki satu nol, dan transformasi dasar yang harus dilakukan lebih sedikit. .
. Di sini tiga pada “langkah” kedua juga cocok untuk kita, karena 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan nol) habis dibagi 3 tanpa sisa. Transformasi berikut perlu dilakukan: tambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan –4, sehingga diperoleh nol yang kita butuhkan.
Transformasi dasar yang dilakukan:
(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –1.Perhatian!
Di sini Anda mungkin tergoda untuk mengurangi baris pertama dari baris ketiga; saya sangat menyarankan untuk tidak menguranginya - risiko kesalahan sangat meningkat. Lipat saja!
(2) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar.catatan
, bahwa pada “langkah” kita puas tidak hanya dengan satu, tetapi juga dengan –1, yang bahkan lebih nyaman.
(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 5.
(4) Tanda baris kedua diubah (dikalikan –1). Baris ketiga dibagi 14.
Menjawab: 
.
(1) Baris kedua ditambahkan ke baris pertama. Dengan demikian, unit yang diinginkan disusun di “langkah” kiri atas.
(2) Baris pertama dikalikan 7 ditambahkan pada baris kedua. Baris pertama dikalikan 6 ditambahkan pada baris ketiga.
(4) Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –3.
Item yang dibutuhkan pada langkah kedua telah diterima.
.
(5) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 6.
(6) Baris kedua dikalikan –1, baris ketiga dibagi -83. Jelaslah bahwa bidang tersebut secara unik ditentukan oleh tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk bidang cukup populer - berdasarkan titik-titik yang dimilikinya, misalnya, ; .Jika anggota gratis
