Es domāju, ka mums vajadzētu sākt ar tāda krāšņa matemātiskā instrumenta kā diferenciālvienādojumi vēsturi. Tāpat kā visus diferenciālos un integrālos aprēķinus, arī šos vienādojumus 17. gadsimta beigās izgudroja Ņūtons. Viņš uzskatīja, ka šis konkrētais viņa atklājums ir tik svarīgs, ka viņš pat šifrēja ziņojumu, ko mūsdienās var tulkot apmēram šādi: "Visi dabas likumi ir aprakstīti ar diferenciālvienādojumiem." Tas var šķist pārspīlēts, bet tā ir. Jebkuru fizikas, ķīmijas, bioloģijas likumu var aprakstīt ar šiem vienādojumiem.

Matemātiķi Eilers un Lagranžs sniedza milzīgu ieguldījumu diferenciālvienādojumu teorijas izstrādē un izveidē. Jau 18. gadsimtā viņi atklāja un attīstīja to, ko tagad studē vecāko augstskolu kursos.

Pateicoties Anrī Puankarē, sākās jauns pavērsiens diferenciālvienādojumu izpētē. Viņš izveidoja “diferenciālvienādojumu kvalitatīvo teoriju”, kas apvienojumā ar kompleksa mainīgā funkciju teoriju sniedza būtisku ieguldījumu topoloģijas - zinātnes par telpu un tās īpašībām - dibināšanā.

Kas ir diferenciālvienādojumi?

Daudzi cilvēki baidās no vienas frāzes, tomēr šajā rakstā mēs detalizēti izklāstīsim visu šī ļoti noderīgā matemātiskā aparāta būtību, kas patiesībā nav tik sarežģīta, kā šķiet pēc nosaukuma. Lai sāktu runāt par pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem, vispirms ir jāiepazīstas ar pamatjēdzieniem, kas pēc būtības ir saistīti ar šo definīciju. Un mēs sāksim ar diferenciāli.

Diferenciāls

Daudzi cilvēki šo jēdzienu zina kopš skolas laikiem. Tomēr apskatīsim to tuvāk. Iedomājieties funkcijas grafiku. Mēs varam to palielināt līdz tādam līmenim, ka jebkurš tā segments ieņems taisnas līnijas formu. Ņemsim divus punktus, kas atrodas bezgalīgi tuvu viens otram. Atšķirība starp to koordinātām (x vai y) būs bezgalīgi maza. To sauc par diferenciāli un apzīmē ar zīmēm dy (y diferenciālis) un dx (x diferenciālis). Ir ļoti svarīgi saprast, ka diferenciālis nav galīgs lielums, un tā ir tā nozīme un galvenā funkcija.

Tagad mums jāapsver nākamais elements, kas mums noderēs, izskaidrojot diferenciālvienādojuma jēdzienu. Šis ir atvasinājums.

Atvasinājums

Mēs visi droši vien dzirdējām šo jēdzienu skolā. Tiek uzskatīts, ka atvasinājums ir ātrums, ar kādu funkcija palielinās vai samazinās. Tomēr no šīs definīcijas daudz kas kļūst neskaidrs. Mēģināsim izskaidrot atvasinājumu caur diferenciāļiem. Atgriezīsimies pie bezgalīgi maza funkcijas segmenta ar diviem punktiem, kas atrodas minimālā attālumā viens no otra. Bet pat šajā attālumā funkcijai izdodas mainīties. Un, lai aprakstītu šīs izmaiņas, viņi nāca klajā ar atvasinājumu, ko citādi var uzrakstīt kā diferenciāļu attiecību: f(x)"=df/dx.

Tagad ir vērts apsvērt atvasinājuma pamatīpašības. Ir tikai trīs no tiem:

1. Summas vai starpības atvasinājumu var attēlot kā atvasinājumu summu vai starpību: (a+b)"=a"+b" un (a-b)"=a"-b.
2. Otrais īpašums ir saistīts ar reizināšanu. Produkta atvasinājums ir vienas funkcijas reizinājumu summa un citas funkcijas atvasinājums: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Starpības atvasinājumu var uzrakstīt kā šādu vienādību: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Visas šīs īpašības mums noderēs, lai atrastu risinājumus pirmās kārtas diferenciālvienādojumiem.

Ir arī daļēji atvasinājumi. Pieņemsim, ka mums ir funkcija z, kas ir atkarīga no mainīgajiem x un y. Lai aprēķinātu šīs funkcijas daļējo atvasinājumu, piemēram, attiecībā uz x, mums ir jāņem mainīgais y kā konstante un vienkārši jādiferencē.

Integrāls

Vēl viens svarīgs jēdziens ir neatņemams. Faktiski tas ir tieši pretējs atvasinājumam. Ir vairāki integrāļu veidi, bet, lai atrisinātu vienkāršākos diferenciālvienādojumus, mums ir nepieciešami vistriviālākie

Tātad, pieņemsim, ka mums ir zināma f atkarība no x. Mēs ņemam no tā integrāli un iegūstam funkciju F(x) (bieži saukta par antiatvasinājumu), kuras atvasinājums ir vienāds ar sākotnējo funkciju. Tādējādi F(x)"=f(x). No tā arī izriet, ka atvasinājuma integrālis ir vienāds ar sākotnējo funkciju.

Risinot diferenciālvienādojumus, ir ļoti svarīgi saprast integrāļa nozīmi un funkciju, jo, lai atrastu risinājumu, tie būs jāizmanto ļoti bieži.

Vienādojumi atšķiras atkarībā no to rakstura. Nākamajā sadaļā mēs apskatīsim pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidus un pēc tam uzzināsim, kā tos atrisināt.

Diferenciālvienādojumu klases

"Difūras" iedala pēc tajos iesaistīto atvasinājumu secības. Tādējādi ir pirmā, otrā, trešā un vairāk kārtība. Tos var arī iedalīt vairākās klasēs: parastie un daļējie atvasinājumi.

Šajā rakstā mēs aplūkosim pirmās kārtas parastos diferenciālvienādojumus. Mēs arī apspriedīsim piemērus un veidus, kā tos atrisināt nākamajās sadaļās. Mēs apsvērsim tikai ODE, jo tie ir visizplatītākie vienādojumu veidi. Parastās iedala pasugās: ar atdalāmiem mainīgajiem, viendabīgās un neviendabīgās. Tālāk jūs uzzināsit, kā tie atšķiras viens no otra, un uzzināsiet, kā tos atrisināt.

Turklāt šos vienādojumus var apvienot tā, lai mēs iegūtu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu. Mēs arī apsvērsim šādas sistēmas un uzzināsim, kā tās atrisināt.

Kāpēc mēs apsveram tikai pirmo pasūtījumu? Jo jāsāk ar kaut ko vienkāršu, un visu, kas saistīts ar diferenciālvienādojumiem, vienā rakstā vienkārši nav iespējams aprakstīt.

Atdalāmi vienādojumi

Šie, iespējams, ir vienkāršākie pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Tie ietver piemērus, kurus var uzrakstīt šādi: y"=f(x)*f(y). Lai atrisinātu šo vienādojumu, mums ir nepieciešama formula atvasinājuma attēlošanai kā diferenciāļu attiecība: y"=dy/dx. Izmantojot to, mēs iegūstam šādu vienādojumu: dy/dx=f(x)*f(y). Tagad mēs varam pievērsties risinājuma metodei standarta piemēri: sadalīsim mainīgos daļās, t.i., pārvietosim visu ar y mainīgo uz daļu, kurā atrodas dy, un darīsim to pašu ar mainīgo x. Iegūstam vienādojumu formā: dy/f(y)=f(x)dx, kuru atrisina, ņemot abu pušu integrāļus. Neaizmirstiet par konstanti, kas jāiestata pēc integrāļa uzņemšanas.

Jebkuras “diffures” risinājums ir funkcija no x atkarības no y (mūsu gadījumā) vai, ja ir skaitlisks nosacījums, tad atbilde skaitļa formā. Apskatīsim visu risinājuma procesu, izmantojot konkrētu piemēru:

Pārvietosim mainīgos dažādos virzienos:

Tagad ņemsim integrāļus. Tos visus var atrast īpašā integrāļu tabulā. Un mēs iegūstam:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Ja nepieciešams, mēs varam izteikt "y" kā funkciju no "x". Tagad mēs varam teikt, ka mūsu diferenciālvienādojums ir atrisināts, ja nosacījums nav norādīts. Var norādīt nosacījumu, piemēram, y(n/2)=e. Tad mēs vienkārši aizstājam šo mainīgo vērtības risinājumā un atrodam konstantes vērtību. Mūsu piemērā tas ir 1.

Pirmās kārtas homogēnie diferenciālvienādojumi

Tagad pāriesim pie grūtākās daļas. Var ierakstīt homogēnus pirmās kārtas diferenciālvienādojumus vispārējs skats piemēram: y"=z(x,y). Jāņem vērā, ka pareizā funkcija uz diviem mainīgajiem ir viendabīgs, un to nevar sadalīt divās atkarībās: z no x un z no y. Pārbaudīt, vai vienādojums ir viendabīgs vai nē, ir pavisam vienkārši: aizstājam x=k*x un y=k*y. Tagad mēs samazinām visus k. Ja visus šos burtus samazina, tad vienādojums ir viendabīgs un varat droši sākt to risināt. Raugoties uz priekšu, teiksim: arī šo piemēru risināšanas princips ir ļoti vienkāršs.

Mums ir jāveic aizstāšana: y=t(x)*x, kur t ir noteikta funkcija, kas arī ir atkarīga no x. Tad varam izteikt atvasinājumu: y"=t"(x)*x+t. Aizstājot to visu ar mūsu sākotnējais vienādojums un to vienkāršojot, iegūstam piemēru ar atdalāmiem mainīgajiem t un x. Mēs to atrisinām un iegūstam atkarību t(x). Kad mēs to saņēmām, mēs vienkārši aizstājam y=t(x)*x ar savu iepriekšējo aizstājēju. Tad mēs iegūstam y atkarību no x.

Lai padarītu to skaidrāku, apskatīsim piemēru: x*y"=y-x*e y/x .

Pārbaudot ar nomaiņu, viss tiek samazināts. Tas nozīmē, ka vienādojums ir patiesi viendabīgs. Tagad mēs veicam vēl vienu aizstāšanu, par kuru mēs runājām: y=t(x)*x un y"=t"(x)*x+t(x). Pēc vienkāršošanas iegūstam šādu vienādojumu: t"(x)*x=-e t. Atrisinām iegūto piemēru ar atdalītiem mainīgajiem un iegūstam: e -t =ln(C*x). Viss, kas mums jādara, ir jāaizstāj t ar y/x (galu galā, ja y =t*x, tad t=y/x), un iegūstam atbildi: e -y/x =ln(x*C).

Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi

Ir pienācis laiks apskatīt citu plašu tēmu. Mēs analizēsim pirmās kārtas nehomogēnus diferenciālvienādojumus. Kā viņi atšķiras no iepriekšējiem diviem? Izdomāsim. Pirmās kārtas lineāros diferenciālvienādojumus vispārīgā formā var uzrakstīt šādi: y" + g(x)*y=z(x). Ir vērts precizēt, ka z(x) un g(x) var būt nemainīgi lielumi.

Un tagad piemērs: y" - y*x=x 2 .

Ir divi risinājumi, un mēs abus apskatīsim secībā. Pirmā ir patvaļīgu konstantu mainīšanas metode.

Lai vienādojumu atrisinātu šādā veidā, vispirms ir jāpielīdzina labā puse uz nulli un atrisiniet iegūto vienādojumu, kas pēc detaļu pārsūtīšanas iegūs šādu formu:

ln|y|=x 2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Tagad mums ir jāaizstāj konstante C 1 ar funkciju v(x), kas mums jāatrod.

Aizstāsim atvasinājumu:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Un aizstājiet šīs izteiksmes sākotnējā vienādojumā:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Jūs varat redzēt, ka kreisajā pusē tiek atcelti divi termini. Ja kādā piemērā tas nenotika, tad jūs kaut ko izdarījāt nepareizi. Turpināsim:

v"*e x2/2 = x 2 .

Tagad mēs atrisinām parasto vienādojumu, kurā mums ir jāatdala mainīgie:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Lai iegūtu integrāli, mums šeit būs jāpiemēro integrācija pa daļām. Tomēr šī nav mūsu raksta tēma. Ja jūs interesē, varat uzzināt, kā šādas darbības veikt pats. Tas nav grūti, un ar pietiekamu prasmi un rūpību tas neaizņem daudz laika.

Pievērsīsimies otrai nehomogēnu vienādojumu risināšanas metodei: Bernulli metodei. Kura pieeja ir ātrāka un vieglāka, ir jāizlemj jums.

Tātad, risinot vienādojumu, izmantojot šo metodi, mums ir jāveic aizstāšana: y=k*n. Šeit k un n ir dažas no x atkarīgas funkcijas. Tad atvasinājums izskatīsies šādi: y"=k"*n+k*n. Mēs aizvietojam abus aizvietojumus vienādojumā:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupēšana:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Tagad mums ir jāpielīdzina nullei tas, kas ir iekavās. Tagad, ja mēs apvienojam divus iegūtos vienādojumus, mēs iegūstam pirmās kārtas diferenciālvienādojumu sistēmu, kas ir jāatrisina:

Mēs atrisinām pirmo vienādojumu kā parastu vienādojumu. Lai to izdarītu, ir jāatdala mainīgie:

Mēs ņemam integrāli un iegūstam: ln(n)=x 2 /2. Tad, ja mēs izsakām n:

Tagad iegūto vienādību aizstājam ar sistēmas otro vienādojumu:

k"*e x2/2 =x 2 .

Un pārveidojot, mēs iegūstam tādu pašu vienlīdzību kā pirmajā metodē:

dk=x 2 /e x2/2 .

Mēs arī neizjauksim turpmākās darbības. Ir vērts teikt, ka sākotnēji pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risināšana rada ievērojamas grūtības. Taču, iedziļinoties tēmā, tā sāk izdoties arvien labāk.

Kur tiek izmantoti diferenciālvienādojumi?

Diferenciālvienādojumi fizikā tiek izmantoti ļoti aktīvi, jo gandrīz visi pamatlikumi ir ierakstīti diferenciālā forma, un redzamās formulas ir šo vienādojumu risinājums. Ķīmijā tos izmanto tā paša iemesla dēļ: ar viņu palīdzību tiek iegūti pamatlikumi. Bioloģijā diferenciālvienādojumus izmanto, lai modelētu sistēmu, piemēram, plēsoņu un laupījumu, uzvedību. Tos var izmantot arī, lai izveidotu, piemēram, mikroorganismu kolonijas reprodukcijas modeļus.

Kā diferenciālvienādojumi var jums palīdzēt dzīvē?

Atbilde uz šo jautājumu ir vienkārša: nemaz. Ja jūs neesat zinātnieks vai inženieris, tad diez vai tie jums būs noderīgi. Tomēr par vispārējā attīstība Nav slikti zināt, kas ir diferenciālvienādojums un kā tas tiek atrisināts. Un tad dēla vai meitas jautājums ir "kas ir diferenciālvienādojums?" tevi nemulsinās. Nu, ja esat zinātnieks vai inženieris, tad jūs pats saprotat šīs tēmas nozīmi jebkurā zinātnē. Bet vissvarīgākais ir tas, ka tagad jautājums "kā atrisināt pirmās kārtas diferenciālvienādojumu?" jūs vienmēr varat sniegt atbildi. Piekrītu, vienmēr ir patīkami, ja tu saproti kaut ko tādu, ko cilvēki pat baidās saprast.

Galvenās problēmas mācībās

Galvenā problēma šīs tēmas izpratnē ir vājās prasmes integrēt un diferencēt funkcijas. Ja jums slikti padodas atvasinājumi un integrāļi, tad droši vien ir vērts mācīties un apgūt dažādas metodes integrāciju un diferenciāciju, un tikai pēc tam sāciet pētīt materiālu, kas tika aprakstīts rakstā.

Daži cilvēki ir pārsteigti, uzzinot, ka dx var pārnest, jo iepriekš (skolā) tika teikts, ka daļa dy/dx ir nedalāma. Šeit jums ir jāizlasa literatūra par atvasinājumu un jāsaprot, ka tā ir bezgalīgi mazu lielumu attiecība, ar kuru var manipulēt, risinot vienādojumus.

Daudzi cilvēki uzreiz neapzinās, ka pirmās kārtas diferenciālvienādojumu risināšana bieži vien ir funkcija vai integrālis, ko nevar ņemt, un šis nepareizs priekšstats viņiem sagādā daudz nepatikšanas.

Ko vēl jūs varat izpētīt, lai labāk saprastu?

Vislabāk ir sākt tālāku iedziļināšanos diferenciālrēķinu pasaulē ar specializētām mācību grāmatām, piemēram, uz matemātiskā analīze nematemātisko specialitāšu studentiem. Pēc tam jūs varat pāriet uz specializētāku literatūru.

Ir vērts teikt, ka papildus diferenciālvienādojumiem ir arī integrālvienādojumi, tāpēc jums vienmēr būs, uz ko tiekties un ko pētīt.

Secinājums

Mēs ceram, ka pēc šī raksta izlasīšanas jums ir priekšstats par to, kas ir diferenciālvienādojumi un kā tos pareizi atrisināt.

Katrā ziņā matemātika mums dzīvē kaut kādā veidā noderēs. Tas attīsta loģiku un uzmanību, bez kā katrs cilvēks ir bez rokām.

Lekciju piezīmes par

diferenciālvienādojumi

Diferenciālvienādojumi

Ievads

Pētot noteiktas parādības, bieži rodas situācija, kad procesu nevar aprakstīt, izmantojot vienādojumu y=f(x) vai F(x;y)=0. Papildus mainīgajam x un nezināmajai funkcijai vienādojumā tiek ievadīts šīs funkcijas atvasinājums.

Definīcija: Vienādojumu, kas savieno mainīgo x, nezināmo funkciju y(x) un tās atvasinājumus sauc diferenciālvienādojums. Kopumā diferenciālvienādojums izskatās šādi:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

Definīcija: Diferenciālvienādojuma secība ir tajā iekļautā augstākā atvasinājuma secība.

– pirmās kārtas diferenciālvienādojums

– 3. kārtas diferenciālvienādojums

Definīcija: Diferenciālvienādojuma risinājums ir funkcija, kas, aizvietojot vienādojumā, pārvērš to par identitāti.

Diferenciālvienādojumi 1.kārta

Definīcija: Formas vienādojums =f(x;y) vai F(x;y; )=0sauc par pirmās kārtas diferenciālvienādojumu.

Definīcija: Pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgais risinājums ir funkcija y=γ(x;c), kur (c –const), kas, aizvietojot vienādojumā, pārvērš to par identitāti. Ģeometriski plaknē vispārīgais risinājums atbilst integrālo līkņu saimei atkarībā no parametra c.

Definīcija: Integrāllīkne, kas iet caur punktu plaknē ar koordinātām (x 0 ;y 0), atbilst noteiktam diferenciālvienādojuma atrisinājumam, kas atbilst sākuma nosacījumam:

Teorēma par 1. kārtas diferenciālvienādojuma risinājuma unikalitātes esamību

Dots 1. kārtas diferenciālvienādojums
un funkcija f(x;y) ir nepārtraukta kopā ar daļējiem atvasinājumiem kādā XOY plaknes apgabalā D, tad caur punktu M 0 (x 0 ;y 0) D iet caur vienīgo līkni, kas atbilst konkrētam diferenciālvienādojuma risinājumam, kas atbilst sākotnējam nosacījumam y(x 0)=y 0

Viena integrālā līkne iet caur punktu plaknē ar noteiktām koordinātām.

Ja nevar dabūt kopīgs lēmums pirmās kārtas diferenciālvienādojums eksplicītā formā, t.i.
, tad to var iegūt netieši:

F(x; y; c) =0 – implicītā forma

Vispārējo risinājumu šajā formā sauc vispārējais integrālis diferenciālvienādojums.

Saistībā ar pirmās kārtas diferenciālvienādojumu tiek izvirzītas 2 problēmas:

1) Atrodiet vispārīgo risinājumu (vispārējais integrālis)

2) Atrodiet konkrētu risinājumu (daļēju integrāli), kas apmierina doto sākuma nosacījumu. Šo problēmu sauc par Košī problēmu diferenciālvienādojumam.

Diferenciālvienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem

Formas vienādojumi:
sauc par diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem.

Aizstāsim

reizināt ar dx

atdalīsim mainīgos

dalīt ar

Piezīme: ir jāņem vērā īpašs gadījums, kad

mainīgie ir atdalīti

integrēsim abas vienādojuma puses

- kopīgs lēmums

Diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem var uzrakstīt šādi:

Atsevišķs gadījums
!

Integrēsim abas vienādojuma puses:

1)

2)
sākums nosacījumi:

1. kārtas homogēnie diferenciālvienādojumi

Definīcija: Funkcija
sauc par n kārtas viendabīgu, ja

Piemērs: - viendabīga funkcija secībā=2

Definīcija: Tiek izsaukta viendabīga 0 kārtas funkcija viendabīgs.

Definīcija: Diferenciālvienādojums
sauc par viendabīgu, ja
- viendabīga funkcija, t.i.

Tādējādi homogēno diferenciālvienādojumu var uzrakstīt šādi:

Izmantojot nomaiņu , kur t ir mainīgā x funkcija, homogēnais diferenciālvienādojums tiek reducēts uz vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem.

- aizstāt vienādojumā

Mainīgie atdalīti, integrēsim abas vienādojuma puses

Veiksim apgriezto aizstāšanu, aizstājot , mēs iegūstam vispārīgu risinājumu netiešā formā.

Viendabīgu diferenciālvienādojumu var uzrakstīt diferenciālā formā.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, kur M(x;y) un N(x;y) ir tādas pašas kārtas viendabīgas funkcijas.

Sadaliet ar dx un izteikt

1)

Pirmās kārtas vienādojumu formā a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) sauc par lineāro diferenciālvienādojumu. Ja b(x) ≡ 0, tad vienādojumu sauc par homogēnu, pretējā gadījumā - neviendabīgs. Lineāram diferenciālvienādojumam eksistences un unikalitātes teorēmai ir specifiskāka forma.

Pakalpojuma mērķis. Risinājuma pārbaudei var izmantot tiešsaistes kalkulatoru viendabīgi un nehomogēni lineāri diferenciālvienādojumi formā y"+y=b(x) .

=

Izmantojiet mainīgo aizstāšanu y=u*v
Izmantojiet patvaļīgas konstantes variācijas metodi
Atrodiet konkrētu risinājumu y( ) = .

Lai iegūtu risinājumu, sākotnējā izteiksme jāsamazina līdz formai: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Piemēram, y"-exp(x)=2*y tas būs y"-2 *y=exp(x) .

Teorēma. Lai a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) ir nepārtraukti intervālā [α,β], a 1 ≠0 ∀x∈[α,β]. Tad jebkuram punktam (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] ir unikāls vienādojuma risinājums, kas apmierina nosacījumu y(x 0) = y 0 un ir definēts visā intervālā [α ,β].
Apsveriet homogēno lineāro diferenciālvienādojumu a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0.
Atdalot mainīgos, mēs iegūstam vai, integrējot abas puses, Pēdējā sakarība, ņemot vērā apzīmējumu exp(x) = e x , tiek ierakstīta formā

Tagad mēģināsim atrast vienādojuma risinājumu norādītajā formā, kurā konstantes C vietā ir aizvietota funkcija C(x), tas ir, formā

Aizstājot šo risinājumu ar sākotnējo, pēc nepieciešamajām transformācijām iegūstam Integrējot pēdējo, mēs esam

kur C 1 ir kāda jauna konstante. Aizvietojot iegūto izteiksmi ar C(x), mēs beidzot iegūstam sākotnējā lineārā vienādojuma risinājumu
.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu y" + 2y = 4x. Aplūkosim atbilstošo viendabīgo vienādojumu y" + 2y = 0. Atrisinot to, iegūstam y = Ce -2 x. Tagad mēs meklējam sākotnējā vienādojuma risinājumu formā y = C(x)e -2 x. Sākotnējā vienādojumā aizstājot y un y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x, mēs iegūstam C"(x) = 4xe 2 x, no kurienes C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 un y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x ir sākotnējā vienādojuma vispārējais risinājums. šis risinājums y 1 ( x) = 2x-1 - objekta kustība spēka ietekmē b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - objekta pareiza kustība.

Piemērs Nr.2. Atrodiet vispārīgo risinājumu pirmās kārtas diferenciālvienādojumam y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
Šis nav viendabīgs vienādojums. Veiksim mainīgo lielumu maiņu: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x vai u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Risinājums sastāv no diviem posmiem:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Vienādojiet u=0, atrodiet risinājumu 3v tan(3x)+v" = 0
Iesniegsim to formā: v" = -3v tg(3x)

Integrējot, mēs iegūstam:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos (3x)
2. Zinot v, atrodiet u no nosacījuma: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Integrējot, mēs iegūstam:
No nosacījuma y=u v mēs iegūstam:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) vai y = C cos(3x)-cos(2x) gultiņa(3x)

Izglītības iestāde "Baltkrievijas valsts

lauksaimniecības akadēmija"

Augstākās matemātikas katedra

PIRMĀS KĀRTĪBAS DIFERENCIĀĻVIENĀDĀJUMI

Lekciju konspekts grāmatvedības studentiem

neklātienes izglītības forma (NISPO)

Gorki, 2013

Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi

Diferenciālvienādojuma jēdziens. Vispārīgi un īpaši risinājumi

Pētot dažādas parādības, bieži vien nav iespējams atrast likumu, kas tieši sasaista neatkarīgo mainīgo un vēlamo funkciju, taču ir iespējams izveidot saikni starp vēlamo funkciju un tās atvasinājumiem.

Tiek izsaukta sakarība, kas savieno neatkarīgo mainīgo, vēlamo funkciju un tās atvasinājumus diferenciālvienādojums :

Šeit x- neatkarīgais mainīgais, y- nepieciešamā funkcija,
- vēlamās funkcijas atvasinājumi. Šajā gadījumā relācijai (1) ir jābūt vismaz vienam atvasinājumam.

Diferenciālvienādojuma secība sauc par vienādojumā iekļautā augstākā atvasinājuma secību.

Apsveriet diferenciālvienādojumu

. (2)

Tā kā šis vienādojums ietver tikai pirmās kārtas atvasinājumu, to sauc ir pirmās kārtas diferenciālvienādojums.

Ja vienādojumu (2) var atrisināt attiecībā pret atvasinājumu un ierakstīt formā

, (3)

tad šādu vienādojumu sauc par pirmās kārtas diferenciālvienādojumu normālā formā.

Daudzos gadījumos ir ieteicams apsvērt formas vienādojumu

ko sauc pirmās kārtas diferenciālvienādojums, kas uzrakstīts diferenciālformā.

Jo
, tad vienādojumu (3) var ierakstīt formā
vai
, kur varam rēķināties
Un
. Tas nozīmē, ka vienādojums (3) tiek pārveidots par (4) vienādojumu.

Ierakstīsim vienādojumu (4) formā
. Tad
,
,
, kur varam rēķināties
, t.i. iegūst formas (3) vienādojumu. Tādējādi (3) un (4) vienādojumi ir līdzvērtīgi.

Diferenciālvienādojuma atrisināšana (2) vai (3) sauc par jebkuru funkciju
, kas, aizstājot to vienādojumā (2) vai (3), pārvērš to par identitāti:

vai
.

Visu diferenciālvienādojuma risinājumu atrašanas procesu sauc par tā integrācija , un risinājuma grafiks
sauc par diferenciālvienādojumu integrālā līkne šis vienādojums.

Ja diferenciālvienādojuma atrisinājumu iegūst implicītā formā
, tad to sauc neatņemama šī diferenciālvienādojuma.

Vispārējs risinājums Pirmās kārtas diferenciālvienādojums ir formas funkciju saime
, atkarībā no patvaļīgas konstantes AR, no kuriem katrs ir dotā diferenciālvienādojuma risinājums jebkurai patvaļīgas konstantes pieļaujamai vērtībai AR. Tādējādi diferenciālvienādojumam ir bezgalīgs atrisinājumu skaits.

Privāts lēmums diferenciālvienādojums ir risinājums, kas iegūts no vispārējās risinājuma formulas konkrētai patvaļīgas konstantes vērtībai AR, ieskaitot
.

Košī problēma un tās ģeometriskā interpretācija

Vienādojumam (2) ir bezgalīgs atrisinājumu skaits. Lai no šīs kopas izvēlētos vienu risinājumu, ko sauc par privāto, ir jāiestata daži papildu nosacījumi.

Tiek saukta problēma, kā noteikt (2) vienādojuma risinājumu noteiktos apstākļos Cauchy problēma . Šī problēma ir viena no svarīgākajām diferenciālvienādojumu teorijā.

Košī problēma ir formulēta šādi: starp visiem (2) vienādojuma risinājumiem atrodiet šādu risinājumu
, kurā funkcija
ņem doto skaitlisko vērtību , ja neatkarīgais mainīgais x ņem doto skaitlisko vērtību , t.i.

,
, (5)

Kur D– funkcijas definīcijas joma
.

Nozīme sauca funkcijas sākotnējā vērtība , A – neatkarīgā mainīgā sākotnējā vērtība . Tiek izsaukts nosacījums (5). sākotnējais stāvoklis vai Cauchy stāvoklis .

No ģeometriskā viedokļa Košī problēmu diferenciālvienādojumam (2) var formulēt šādi: no vienādojuma (2) integrālo līkņu kopas atlasiet to, kas iet caur doto punktu
.

Diferenciālvienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem

Viens no vienkāršākajiem diferenciālvienādojumu veidiem ir pirmās kārtas diferenciālvienādojums, kas nesatur vēlamo funkciju:

. (6)

Ņemot vērā, ka
, mēs ierakstām vienādojumu formā
vai
. Integrējot abas pēdējā vienādojuma puses, mēs iegūstam:
vai

. (7)

Tādējādi (7) ir (6) vienādojuma vispārīgs risinājums.

1. piemērs . Atrodiet diferenciālvienādojuma vispārīgo risinājumu
.

Risinājums . Ierakstīsim vienādojumu formā
vai
. Integrēsim iegūtā vienādojuma abas puses:
,
. Mēs beidzot to pierakstīsim
.

2. piemērs . Atrodiet vienādojuma risinājumu
Atsaucoties uz
.

Risinājums . Atradīsim vispārīgu vienādojuma risinājumu:
,
,
,
. Pēc nosacījuma
,
. Aizstāsim ar vispārējo risinājumu:
vai
. Mēs aizstājam patvaļīgas konstantes atrasto vērtību vispārējā risinājuma formulā:
. Šis ir īpašs diferenciālvienādojuma risinājums, kas apmierina doto nosacījumu.

Vienādojums

(8)

Zvanīja pirmās kārtas diferenciālvienādojums, kas nesatur neatkarīgu mainīgo . Ierakstīsim to formā
vai
. Integrēsim abas pēdējā vienādojuma puses:
vai
- (8) vienādojuma vispārīgs risinājums.

Piemērs . Atrodiet vienādojuma vispārīgo risinājumu
.

Risinājums . Uzrakstīsim šo vienādojumu šādā formā:
vai
. Tad
,
,
,
. Tādējādi
ir šī vienādojuma vispārējais risinājums.

Formas vienādojums

(9)

integrē, izmantojot mainīgo lielumu atdalīšanu. Lai to izdarītu, mēs ierakstām vienādojumu formā
, un tad, izmantojot reizināšanas un dalīšanas darbības, mēs to izveidojam tādā formā, ka viena daļa ietver tikai funkciju X un diferenciālis dx, bet otrajā daļā – funkcija plkst un diferenciālis dy. Lai to izdarītu, abas vienādojuma puses ir jāreizina ar dx un dala ar
. Rezultātā mēs iegūstam vienādojumu

, (10)

kurā mainīgie X Un plkst atdalīts. Integrēsim abas vienādojuma (10) puses:
. Iegūtā sakarība ir (9) vienādojuma vispārējais integrālis.

3. piemērs . Integrēt vienādojumu
.

Risinājums . Pārveidosim vienādojumu un atdaliet mainīgos:
,
. Integrēsim:
,
vai ir šī vienādojuma vispārējais integrālis.
.

Ļaujiet vienādojumu dot formā

Šo vienādojumu sauc pirmās kārtas diferenciālvienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem simetriskā formā.

Lai atdalītu mainīgos, abas vienādojuma puses jāsadala ar
:

. (12)

Iegūto vienādojumu sauc atdalīts diferenciālvienādojums . Integrēsim vienādojumu (12):

.(13)

Attiecība (13) ir diferenciālvienādojuma (11) vispārējais integrālis.

4. piemērs . Integrē diferenciālvienādojumu.

Risinājums . Ierakstīsim vienādojumu formā

un sadaliet abas daļas ar
,
. Iegūtais vienādojums:
ir atdalīts mainīgā vienādojums. Integrēsim to:

,
,

,
. Pēdējā vienādība ir šī diferenciālvienādojuma vispārējais integrālis.

5. piemērs . Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu
, apmierinot nosacījumu
.

Risinājums . Ņemot vērā, ka
, mēs ierakstām vienādojumu formā
vai
. Atdalīsim mainīgos:
. Integrēsim šo vienādojumu:
,
,
. Iegūtā sakarība ir šī vienādojuma vispārējais integrālis. Pēc nosacījuma
. Aizstāsim to ar vispārējo integrāli un atradīsim AR:
,AR=1. Tad izteiksme
ir dotā diferenciālvienādojuma daļējs atrisinājums, kas uzrakstīts kā daļējs integrālis.

Pirmās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi

Vienādojums

(14)

sauca pirmās kārtas lineārais diferenciālvienādojums . Nezināma funkcija
un tā atvasinājums šajā vienādojumā iekļaujas lineāri, un funkcijas
Un
nepārtraukts.

Ja
, tad vienādojums

(15)

sauca lineāri viendabīgi . Ja
, tad tiek izsaukts vienādojums (14). lineāri nehomogēni .

Lai atrastu (14) vienādojuma risinājumu, parasti izmanto aizstāšanas metode (Bernulli) , kuras būtība ir šāda.

Mēs meklēsim (14) vienādojuma risinājumu divu funkciju reizinājuma formā

, (16)

Kur
Un
- daži nepārtrauktas funkcijas. Aizstāsim
un atvasinājums
vienādojumā (14):

Funkcija v mēs atlasīsim tā, lai nosacījums būtu izpildīts
. Tad
. Tādējādi, lai atrastu (14) vienādojuma risinājumu, ir jāatrisina diferenciālvienādojumu sistēma

Sistēmas pirmais vienādojums ir lineārs viendabīgs vienādojums, un to var atrisināt ar mainīgo atdalīšanas metodi:
,
,
,
,
. Kā funkcija
var ņemt vienu no viendabīgā vienādojuma daļējiem atrisinājumiem, t.i. plkst AR=1:
. Aizstāsim ar otro sistēmas vienādojumu:
vai
.Tad
. Tādējādi pirmās kārtas lineārā diferenciālvienādojuma vispārīgajam risinājumam ir forma
.

6. piemērs . Atrisiniet vienādojumu
.

Risinājums . Mēs meklēsim vienādojuma risinājumu formā
. Tad
. Aizstāsim vienādojumu:

vai
. Funkcija v izvēlēties tā, lai pastāvētu vienlīdzība
. Tad
. Atrisināsim pirmo no šiem vienādojumiem, izmantojot mainīgo atdalīšanas metodi:
,
,
,
,. Funkcija v Aizstāsim ar otro vienādojumu:
,
,
,
. Šī vienādojuma vispārīgais risinājums ir
.

Jautājumi zināšanu paškontrolei

Kas ir diferenciālvienādojums?

Kāda ir diferenciālvienādojuma secība?

Kuru diferenciālvienādojumu sauc par pirmās kārtas diferenciālvienādojumu?

Kā pirmās kārtas diferenciālvienādojums tiek uzrakstīts diferenciālā formā?

Kāds ir diferenciālvienādojuma risinājums?

Kas ir integrālā līkne?

Kāds ir pirmās kārtas diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums?

Ko sauc par diferenciālvienādojuma daļēju atrisinājumu?

Kā tiek formulēta Košī problēma pirmās kārtas diferenciālvienādojumam?

Kāda ir Košī problēmas ģeometriskā interpretācija?

Kā uzrakstīt diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem simetriskā formā?

Kuru vienādojumu sauc par pirmās kārtas lineāro diferenciālvienādojumu?

Ar kādu metodi var atrisināt pirmās kārtas lineāro diferenciālvienādojumu un kāda ir šīs metodes būtība?

Uzdevumi patstāvīgam darbam

Atrisiniet diferenciālvienādojumus ar atdalāmiem mainīgajiem:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Atrisiniet pirmās kārtas lineāros diferenciālvienādojumus:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Risinājumu piemēri.
Diferenciālvienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem

Diferenciālvienādojumi (DE). Šie divi vārdi parasti biedē vidusmēra cilvēku. Šķiet, ka diferenciālvienādojumi daudziem studentiem ir kaut kas pārmērīgs un grūti apgūstams. Ūūūū... diferenciālvienādojumi, kā lai es to visu pārdzīvoju?!

Šis viedoklis un šāda attieksme ir principiāli nepareizs, jo patiesībā DIFERENCIĀLIE VIENĀDĀJUMI — TAS IR VIENKĀRŠI UN PAT PRIEKTRI. Kas jums jāzina un jāprot, lai iemācītos atrisināt diferenciālvienādojumus? Lai veiksmīgi pētītu difūzus, jums labi jāprot integrēt un diferencēt. Jo labāk tiek pētītas tēmas Viena mainīgā funkcijas atvasinājums Un Nenoteikts integrālis, jo vieglāk būs saprast diferenciālvienādojumus. Teikšu vairāk, ja ir vairāk vai mazāk pieklājīgas integrācijas prasmes, tad tēma ir gandrīz apgūta! Jo vairāk integrāļu dažādi veidi jūs zināt, kā izlemt - jo labāk. Kāpēc? Jums būs daudz jāintegrē. Un atšķirt. Arī ļoti ieteiktu iemācies atrast.

95% gadījumu in testiem Ir 3 pirmās kārtas diferenciālvienādojumu veidi: atdalāmi vienādojumi ko aplūkosim šajā nodarbībā; viendabīgi vienādojumi Un lineāri nehomogēni vienādojumi. Tiem, kas sāk mācīties difuzorus, iesaku lasīt nodarbības tieši šādā secībā, un pēc pirmo divu rakstu izpētes nenāks par ļaunu nostiprināt savas prasmes papildu darbnīcā - vienādojumi, kas tiek reducēti līdz viendabīgiem.

Ir vēl retāki diferenciālvienādojumu veidi: kopējie diferenciālvienādojumi, Bernulli vienādojumi un daži citi. Vissvarīgākie no pēdējiem diviem veidiem ir vienādojumi in pilni diferenciāļi, jo papildus šai tālvadības pulti es apsveru jauns materiāls – daļēja integrācija.

Ja jums ir palikusi tikai diena vai divas, Tas īpaši ātrai pagatavošanai Tur ir zibens kurss pdf formātā.

Tātad, orientieri ir iestatīti - ejam:

Vispirms atcerēsimies parastos algebriskos vienādojumus. Tie satur mainīgos lielumus un skaitļus. Vienkāršākais piemērs: . Ko nozīmē atrisināt parastu vienādojumu? Tas nozīmē atrast skaitļu kopums, kas apmierina šo vienādojumu. Ir viegli pamanīt, ka bērnu vienādojumam ir viena sakne: . Izklaidei pārbaudīsim un ievietojiet atrasto sakni mūsu vienādojumā:

– tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka risinājums atrasts pareizi.

Izkliedētāji ir veidoti līdzīgi!

Diferenciālvienādojums pirmais pasūtījums V vispārējs gadījums satur:
1) neatkarīgais mainīgais;
2) atkarīgais mainīgais (funkcija);
3) funkcijas pirmais atvasinājums: .

Dažos pirmās kārtas vienādojumos var nebūt “x” un/vai “y”, taču tas nav būtiski - svarīgs lai dotos uz vadības telpu bija pirmais atvasinājums, un nebija augstākās kārtas atvasinājumi – u.c.

Ko nozīmē ? Diferenciālvienādojuma risināšana nozīmē atrašanu visu funkciju komplekts, kas apmierina šo vienādojumu. Šādai funkciju kopai bieži ir forma (– patvaļīga konstante), ko sauc diferenciālvienādojuma vispārējs risinājums.

1. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Pilna munīcija. Kur sākt risinājums?

Pirmkārt, jums ir jāpārraksta atvasinājums nedaudz citā formā. Mēs atceramies apgrūtinošo apzīmējumu, kas, iespējams, daudziem no jums šķita smieklīgs un nevajadzīgs. Lūk, kas valda difuzoros!

Otrajā darbībā redzēsim, vai tas ir iespējams atsevišķi mainīgie? Ko nozīmē atdalīt mainīgos? Rupji runajot, kreisajā pusē mums jādodas prom tikai "grieķi", A labajā pusē organizēt tikai "X". Mainīgo lielumu sadalīšana tiek veikta, izmantojot “skolas” manipulācijas: izliekot tos no iekavām, pārnesot terminus no daļas uz daļu ar zīmes maiņu, pārnesot faktorus no daļas uz daļu saskaņā ar proporcijas likumu utt.

Atšķirības un ir pilni vairotāji un aktīvi karadarbības dalībnieki. Apskatāmajā piemērā mainīgos lielumus var viegli atdalīt, izmetot faktorus atbilstoši proporcijas likumam:

Mainīgie ir atdalīti. Kreisajā pusē ir tikai “Y”, labajā pusē – tikai “X”.

Nākamais posms - diferenciālvienādojuma integrācija. Tas ir vienkārši, mēs ievietojam integrāļus abās pusēs:

Protams, mums ir jāņem integrāļi. IN šajā gadījumā tie ir tabulas veidā:

Kā mēs atceramies, jebkuram antiatvasinājumam tiek piešķirta konstante. Šeit ir divi integrāļi, taču pietiek vienreiz ierakstīt konstanti (jo konstante + konstante joprojām ir vienāda ar citu konstanti). Vairumā gadījumu tas ir novietots labajā pusē.

Stingri sakot, pēc integrāļu ņemšanas diferenciālvienādojums tiek uzskatīts par atrisinātu. Vienīgais ir tas, ka mūsu “y” netiek izteikts caur “x”, tas ir, tiek piedāvāts risinājums netiešā veidā formā. Diferenciālvienādojuma risinājumu implicītā formā sauc diferenciālvienādojuma vispārējais integrālis. Tas ir, tas ir vispārējs integrālis.

Atbilde šajā formā ir diezgan pieņemama, bet vai ir labāks risinājums? Mēģināsim dabūt kopīgs lēmums.

Lūdzu, atcerieties pirmo tehniku, tas ir ļoti izplatīts un bieži tiek izmantots praktiski uzdevumi: ja pēc integrācijas labajā pusē parādās logaritms, tad daudzos gadījumos (bet ne vienmēr!) zem logaritma vēlams rakstīt arī konstanti.

Tas ir, TĀ VIETĀ ieraksti parasti tiek rakstīti .

Kāpēc tas ir vajadzīgs? Un lai būtu vieglāk izteikt “spēli”. Izmantojot logaritmu īpašību . Šajā gadījumā:

Tagad logaritmus un moduļus var noņemt:

Funkcija ir skaidri parādīta. Šis ir vispārējais risinājums.

Atbilde: kopīgs lēmums: .

Atbildes uz daudziem diferenciālvienādojumiem ir diezgan viegli pārbaudīt. Mūsu gadījumā tas tiek darīts pavisam vienkārši, mēs ņemam atrasto risinājumu un atšķiram to:

Tad mēs aizstājam atvasinājumu sākotnējā vienādojumā:

– tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka vispārējais risinājums apmierina vienādojumu, kas ir tas, kas bija jāpārbauda.

Sniedzot konstanti dažādas vērtības, jūs varat iegūt bezgalīgu skaitu privātie risinājumi diferenciālvienādojums. Ir skaidrs, ka jebkura no funkcijām , u.c. apmierina diferenciālvienādojumu.

Dažreiz tiek saukts vispārējs risinājums funkciju saime. Šajā piemērā vispārīgais risinājums - šī ir ģimene lineārās funkcijas, pareizāk sakot, tiešas proporcionalitātes ģimene.

Pēc rūpīgas pirmā piemēra pārskatīšanas ir lietderīgi atbildēt uz vairākiem naiviem jautājumiem par diferenciālvienādojumiem:

1)Šajā piemērā mēs varējām atdalīt mainīgos. Vai to vienmēr var izdarīt? Nē ne vienmēr. Un vēl biežāk mainīgos lielumus nevar atdalīt. Piemēram, iekšā homogēni pirmās kārtas vienādojumi, vispirms tas ir jāaizstāj. Citu veidu vienādojumos, piemēram, pirmās kārtas lineārajā nehomogēnā vienādojumā, jums ir jāizmanto dažādas tehnikas un metodes vispārēja risinājuma atrašanai. Vienādojumi ar atdalāmiem mainīgajiem, kurus mēs aplūkojam pirmajā nodarbībā - vienkāršākais veids diferenciālvienādojumi.

2) Vai vienmēr ir iespējams integrēt diferenciālvienādojumu? Nē ne vienmēr. Ir ļoti viegli izdomāt “iedomātu” vienādojumu, ko nevar integrēt; turklāt ir integrāļi, kurus nevar ņemt. Bet līdzīgus DE var atrisināt aptuveni, izmantojot īpašas metodes. D’Alemberts un Košī garantē... ...ugh, lurkmore.Lai tikko daudz lasītu, es gandrīz piebildu “no citas pasaules”.

3) Šajā piemērā mēs ieguvām risinājumu vispārējā integrāļa formā . Vai vienmēr ir iespējams atrast vispārīgu risinājumu no vispārējā integrāļa, tas ir, skaidri izteikt “y”? Nē ne vienmēr. Piemēram: . Nu kā te var izteikties "grieķu valodā"?! Šādos gadījumos atbilde jāraksta kā vispārējs integrālis. Turklāt dažreiz ir iespējams atrast vispārīgu risinājumu, bet tas ir uzrakstīts tik apgrūtinoši un neveikli, ka labāk ir atstāt atbildi vispārējā integrāļa formā

4) ...varbūt pagaidām ar to pietiks. Pirmajā piemērā mēs saskārāmies Vēl viens svarīgs punkts , bet tā, lai “manekenus” nepārklātu ar lavīnu jaunu informāciju, atstāšu līdz nākamajai nodarbībai.

Mēs nesteigsimies. Vēl viena vienkārša tālvadības pults un vēl viens tipisks risinājums:

2. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas apmierina sākotnējo nosacījumu

Risinājums: saskaņā ar nosacījumu, jums ir jāatrod privāts risinājums DE, kas atbilst noteiktajam sākuma nosacījumam. Šo jautājuma formulējumu sauc arī Cauchy problēma.

Vispirms mēs atrodam vispārīgu risinājumu. Vienādojumā nav mainīgā “x”, taču tas nedrīkst sajaukt, galvenais, lai tam būtu pirmais atvasinājums.

Mēs pārrakstām atvasinājumu vajadzīgajā formā:

Acīmredzot mainīgos var atdalīt, zēnus pa kreisi, meitenes pa labi:

Integrēsim vienādojumu:

Tiek iegūts vispārējais integrālis. Šeit es uzzīmēju konstanti ar zvaigznīti, fakts ir tāds, ka ļoti drīz tā pārvērtīsies par citu konstanti.

Tagad mēs cenšamies pārveidot vispārējo integrāli vispārīgā risinājumā (skaidri izteikt “y”). Atcerēsimies vecās labās lietas no skolas laikiem: . Šajā gadījumā:

Indikatora konstante izskatās kaut kā nekošēra, tāpēc to parasti nolaiž uz zemes. Sīkāk, tas notiek šādi. Izmantojot grādu īpašību, funkciju pārrakstām šādi:

Ja ir konstante, tad ir arī kāda konstante, pārzīmēsim to ar burtu :

Atcerieties, ka konstante ir “nojaukšana”. otrā tehnika, ko bieži izmanto, risinot diferenciālvienādojumus.

Tātad vispārējais risinājums ir: . Šī ir jauka eksponenciālu funkciju saime.

Pēdējā posmā jums ir jāatrod konkrēts risinājums, kas atbilst norādītajam sākuma nosacījumam. Tas arī ir vienkārši.

Kāds ir uzdevums? Vajag paņemt tādi konstantes vērtību, lai nosacījums būtu izpildīts.

To var formatēt dažādi, taču tas, iespējams, būs skaidrākais veids. Vispārējā risinājumā “X” vietā mēs aizstājam ar nulli, bet “Y” vietā ar diviem:



Tas ir,

Standarta dizaina versija:

Tagad atrasto konstantes vērtību aizstājam ar vispārējo risinājumu:
– tas ir konkrētais risinājums, kas mums vajadzīgs.

Atbilde: privāts risinājums:

Pārbaudīsim. Privāta risinājuma pārbaude ietver divus posmus:

Vispirms ir jāpārbauda, ​​vai konkrētais atrastais risinājums patiešām apmierina sākotnējo nosacījumu? “X” vietā mēs aizstājam nulli un skatāmies, kas notiek:
- jā, tiešām, tika saņemts divnieks, kas nozīmē, ka sākotnējais nosacījums ir izpildīts.

Otrais posms jau ir pazīstams. Mēs ņemam iegūto konkrēto risinājumu un atrodam atvasinājumu:

Mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu:

– tiek iegūta pareizā vienlīdzība.

Secinājums: konkrētais risinājums tika atrasts pareizi.

Pāriesim pie jēgpilnākiem piemēriem.

3. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu

Risinājums: Mēs pārrakstām atvasinājumu mums vajadzīgajā formā:

Mēs izvērtējam, vai ir iespējams nodalīt mainīgos? Var. Pārvietojam otro terminu uz labo pusi ar zīmes maiņu:

Un mēs pārskaitām reizinātājus saskaņā ar proporcijas likumu:

Mainīgie ir atdalīti, integrēsim abas daļas:

Man jūs jābrīdina, tuvojas sprieduma diena. Ja neesi labi mācījies nenoteiktie integrāļi, ir atrisinājis dažus piemērus, tad nav kur iet - tagad tie būs jāapgūst.

Kreisās puses integrālis ir viegli atrodams; mēs apstrādājam kotangensa integrāli, izmantojot standarta paņēmienu, ko apskatījām nodarbībā Trigonometrisko funkciju integrēšana pagājušais gads:

Labajā pusē mums ir logaritms, un saskaņā ar manu pirmo tehnisko ieteikumu zem logaritma ir jāraksta arī konstante.

Tagad mēs cenšamies vienkāršot vispārējo integrāli. Tā kā mums ir tikai logaritmi, no tiem ir pilnīgi iespējams (un nepieciešams) atbrīvoties. Izmantojot zināmās īpašības Mēs “iepakojam” logaritmus, cik vien iespējams. Es to uzrakstīšu ļoti detalizēti:

Iepakojums ir pabeigts tā, lai tas būtu barbariski nobružāts:

Vai ir iespējams izteikt “spēli”? Var. Ir nepieciešams kvadrātveida abas daļas.

Bet jums tas nav jādara.

Trešais tehniskais padoms: ja vispārēja risinājuma iegūšanai jāpaaugstina līdz jaudai vai jāiesakņojas, tad Vairumā gadījumu jums vajadzētu atturēties no šīm darbībām un atstāt atbildi vispārējā integrāļa veidā. Fakts ir tāds, ka vispārējais risinājums izskatīsies vienkārši briesmīgi - ar lielām saknēm, zīmēm un citiem atkritumiem.

Tāpēc mēs rakstām atbildi vispārējā integrāļa formā. Tiek uzskatīts par labu praksi to uzrādīt formā , tas ir, labajā pusē, ja iespējams, atstājiet tikai konstanti. Tas nav jādara, bet vienmēr ir izdevīgi iepriecināt profesoru ;-)

Atbilde: vispārējais integrālis:

! Piezīme: Jebkura vienādojuma vispārējo integrāli var uzrakstīt vairāk nekā vienā veidā. Tādējādi, ja jūsu rezultāts nesakrīt ar iepriekš zināmo atbildi, tas nenozīmē, ka esat atrisinājis vienādojumu nepareizi.

Arī vispārējais integrālis ir diezgan viegli pārbaudāms, galvenais, lai var atrast netieši norādītas funkcijas atvasinājums. Atšķirsim atbildi:

Mēs reizinām abus vārdus ar:

Un dala ar:

Sākotnējais diferenciālvienādojums ir iegūts precīzi, kas nozīmē, ka vispārējais integrālis ir atrasts pareizi.

4. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu, kas apmierina sākotnējo nosacījumu. Veikt pārbaudi.

Šis ir piemērs priekš neatkarīgs lēmums.

Atgādināšu, ka algoritms sastāv no diviem posmiem:
1) vispārēja risinājuma atrašana;
2) vajadzīgā konkrētā risinājuma atrašana.

Pārbaude tiek veikta arī divos posmos (skatiet paraugu piemērā Nr. 2), jums ir nepieciešams:
1) pārliecināties, ka konkrētais atrastais risinājums atbilst sākotnējam nosacījumam;
2) pārbaudiet, vai konkrētais risinājums kopumā atbilst diferenciālvienādojumam.

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

5. piemērs

Atrodiet konkrētu diferenciālvienādojuma risinājumu , apmierinot sākotnējo nosacījumu. Veikt pārbaudi.

Risinājums: Pirmkārt, atradīsim vispārīgu risinājumu, šis vienādojums jau satur gatavus diferenciāļus, un tāpēc risinājums ir vienkāršots. Mēs atdalām mainīgos:

Integrēsim vienādojumu:

Kreisajā pusē esošais integrālis ir tabulas veidā, labās puses integrālis tiek ņemts metode funkcijas iekļaušanai zem diferenciālzīmes:

Ir iegūts vispārējais integrālis, vai ir iespējams veiksmīgi izteikt vispārējo risinājumu? Var. Mēs piekarinām logaritmus abās pusēs. Tā kā tās ir pozitīvas, moduļa zīmes nav vajadzīgas:

(ceru, ka visi saprot pārvērtības, tādas lietas jau būtu jāzina)

Tātad vispārējais risinājums ir:

Atradīsim konkrētu risinājumu, kas atbilst dotajam sākuma nosacījumam.
Vispārējā risinājumā “X” vietā mēs aizstājam nulli, bet “Y” vietā mēs aizstājam divu logaritmu:

Pazīstamāks dizains:

Atrasto konstantes vērtību aizstājam ar vispārējo risinājumu.

Atbilde: privāts risinājums:

Pārbaudiet: vispirms pārbaudīsim, vai ir izpildīts sākotnējais nosacījums:
- viss ir labi.

Tagad pārbaudīsim, vai atrastais konkrētais risinājums vispār apmierina diferenciālvienādojumu. Atvasinājuma atrašana:

Apskatīsim sākotnējo vienādojumu: – to uzrāda diferenciāļos. Ir divi veidi, kā pārbaudīt. Ir iespējams izteikt diferenciāli no atrastā atvasinājuma:

Aizstāsim atrasto konkrēto risinājumu un iegūto diferenciāli sākotnējā vienādojumā :

Mēs izmantojam pamata logaritmisko identitāti:

Tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka konkrētais risinājums tika atrasts pareizi.

Otrā pārbaudes metode ir atspoguļota un pazīstamāka: no vienādojuma Izteiksim atvasinājumu, lai to izdarītu, mēs sadalām visus gabalus ar:

Un transformētajā DE aizvietojam iegūto parciālo risinājumu un atrasto atvasinājumu. Vienkāršošanas rezultātā būtu jāiegūst arī pareiza vienlīdzība.

6. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu. Norādiet atbildi vispārējā integrāļa veidā.

Šis ir piemērs, kas jāatrisina pašam, pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Kādas grūtības sagaida, risinot diferenciālvienādojumus ar atdalāmiem mainīgajiem?

1) Ne vienmēr ir skaidrs (īpaši “tējkannai”), ka mainīgos var atdalīt. Apsvērsim nosacīts piemērs: . Šeit jums ir jāizņem faktori no iekavām: un jāatdala saknes: . Ir skaidrs, ko darīt tālāk.

2) Grūtības ar pašu integrāciju. Integrāļi bieži vien nav no vienkāršākajiem, un, ja ir trūkumi atrast prasmēs nenoteikts integrālis, tad ar daudziem difuzoriem būs grūti. Turklāt loģika “tā kā diferenciālvienādojums ir vienkāršs, tad lai vismaz integrāļi ir sarežģītāki” ir populāra kolekciju un mācību rokasgrāmatu sastādītāju vidū.

3) Pārvērtības ar konstanti. Kā visi ir pamanījuši, ar konstanti diferenciālvienādojumos var rīkoties diezgan brīvi, un dažas pārvērtības iesācējam ne vienmēr ir skaidras. Apskatīsim vēl vienu nosacītu piemēru: . Ieteicams visus vārdus reizināt ar 2: . Iegūtā konstante ir arī sava veida konstante, ko var apzīmēt ar: . Jā, un tā kā labajā pusē ir logaritms, ieteicams konstanti pārrakstīt citas konstantes formā: .

Problēma ir tā, ka viņi bieži neuztraucas ar indeksiem un izmanto vienu un to pašu burtu. Rezultātā lēmuma ierakstam ir šāda forma:

Kāda veida ķecerība? Tur ir kļūdas! Stingri sakot, jā. Taču no saturiskā viedokļa kļūdu nav, jo mainīgas konstantes transformācijas rezultātā vienalga tiek iegūta mainīgā konstante.

Vai arī cits piemērs, pieņemsim, ka vienādojuma risināšanas gaitā tiek iegūts vispārējs integrālis. Šī atbilde izskatās neglīta, tāpēc ir ieteicams mainīt katra termina zīmi: . Formāli šeit ir vēl viena kļūda - tas jāraksta pa labi. Bet neoficiāli tiek norādīts, ka “mīnus ce” joprojām ir nemainīgs ( kas tikpat viegli var iegūt jebkādu nozīmi!), tāpēc “mīnusa” likšana nav jēga, un jūs varat izmantot to pašu burtu.

Es centīšos izvairīties no paviršas pieejas un, pārvēršot konstantēm, joprojām piešķiršu dažādus indeksus.

7. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu. Veikt pārbaudi.

Risinājums:Šis vienādojums ļauj atdalīt mainīgos. Mēs atdalām mainīgos:

Integrēsim:

Šeit konstante nav jādefinē kā logaritms, jo no tā nekas lietderīgs neiznāks.

Atbilde: vispārējais integrālis:

Pārbaudiet: nošķiriet atbildi (netiešā funkcija):

Mēs atbrīvojamies no daļskaitļiem, reizinot abus vārdus ar:

Ir iegūts sākotnējais diferenciālvienādojums, kas nozīmē, ka vispārējais integrālis ir atrasts pareizi.

8. piemērs

Atrodiet konkrētu DE risinājumu.
,

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Vienīgais mājiens ir tāds, ka šeit jūs iegūsit vispārēju integrāli, un, pareizāk sakot, jums ir jāizdomā, lai atrastu nevis konkrētu risinājumu, bet daļējs integrālis. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.