Secinājumi loģikā. Deduktīvā spriešana

Būla tips Būla tipa vērtības aizņem 1 baitu un iegūst vienu no divām vērtībām, ko nosaka iepriekš definētas konstantes True (true) un False (false). Loģiskajam tipam ir definētas statiskās metodes: Būla. Parse(s) - funkcija, kas pārvērš virkni

26. Loģiskā analīze

26. Loģiskā analīze Autobuss. Vietne. Autobusu vietne. Šī vieta ir.Pusdienlaiks.Apmēram.Apmēram pusdienlaiks. Šis ir laiks. Pasažieri. Strīdi. Pasažieru strīds. Šī ir darbība. Jauns vīrietis. Cepure. Gars, izdilis kakls.Jauns vīrietis valkā cepuri ar pītu bizi ap to. Šis

Loģisks veids

Pirmā daļa. Deduktīvā un ticamā argumentācija

1. NODAĻA. Loģikas priekšmets un uzdevumi

1.1. Loģika kā zinātne

Loģika ir viena no senākajām zinātnēm, kuras pirmās mācības par spriešanas formām un metodēm radās civilizācijās Senie Austrumi(Ķīna, Indija). Loģikas principi un metodes Rietumu kultūrā ienāca galvenokārt ar seno grieķu centieniem. Izstrādāts politiskā dzīve Grieķijas pilsētvalstīs dažādu pušu cīņa par ietekmi uz brīvo pilsoņu masām, vēlme risināt īpašumu un citus konfliktus, kas radās caur tiesu – tas viss prasīja spēju pārliecināt cilvēkus, aizstāvēt savu pozīciju dažādās populāros forumos, iekš valdības institūcijas, tiesas sēdes utt.

Pārliecināšanas, strīdēšanās māksla, prasme saprātīgi aizstāvēt savu viedokli un iebilst pret oponentu strīda un polemikas laikā tika izkopta antīkās retorikas ietvaros, kas vērsta uz oratora pilnveidošanu, un eristika, īpaša mācība par argumentāciju. Pirmie retorikas skolotāji daudz darīja, lai izplatītu un attīstītu zināšanas par pārliecināšanas prasmi, argumentācijas metodēm un publiskās runas konstruēšanu, virpošanu. Īpaša uzmanība par tā emocionālajiem, psiholoģiskajiem, morālajiem un oratoriskajiem aspektiem un iezīmēm. Tomēr vēlāk, kad retorikas skolas sāka vadīt sofisti, viņi centās iemācīt saviem audzēkņiem nemeklēt patiesību ar argumentiem, bet gan uzvarēt, par katru cenu uzvarēt verbālajā konkursā. Šiem nolūkiem plaši tika izmantotas apzinātas loģiskās kļūdas, kuras vēlāk kļuva pazīstamas kā sofistika, kā arī dažādi psiholoģiski triki un paņēmieni pretinieka uzmanības novēršanai, ierosinājumam, strīda pārslēgšanai no galvenās tēmas uz sekundāriem jautājumiem utt.

Šai retorikas tendencei apņēmīgi pretojās lielie antīkie filozofi Sokrats, Platons un Aristotelis, kuri par galveno pārliecināšanas līdzekli uzskatīja oratoriskajā runā ietverto spriedumu pamatotību, to pareizu sasaisti spriešanas procesā, t.i. izsecinot dažus spriedumus no citiem. Tieši argumentācijas analīzei Aristotelis (IV gs. p.m.ē.) izveidoja pirmo loģikas sistēmu, t.s. siloģistika. Tā ir vienkāršākā, bet tajā pašā laikā biežāk izmantotā deduktīvās spriešanas forma, kurā secinājums (secinājums) tiek iegūts no premisām pēc loģiskās dedukcijas noteikumiem. Ņemiet vērā, ka termins atskaitīšana tulkojumā no latīņu valodas nozīmē secinājums.

Lai to izskaidrotu, pievērsīsimies senajam siloģismam:

Visi cilvēki ir mirstīgi.

Kai ir cilvēks.____________

Tāpēc Kai ir mirstīgs.

Šeit, tāpat kā citos siloģismos, tiek izdarīts secinājums no vispārīgām zināšanām par noteiktu priekšmetu un parādību klasi uz konkrētām un individuālajām zināšanām. Uzreiz uzsvērsim, ka citos gadījumos dedukciju var veikt no konkrētā uz konkrēto vai no vispārīgā uz vispārīgo.

Galvenais, kas vieno visus deduktīvos secinājumus, ir tas, ka secinājums izriet no premisām pēc loģiskiem secinājumu likumiem un tam ir ticams, objektīvs raksturs. Citiem vārdiem sakot, secinājums nav atkarīgs no spriešanas subjekta gribas, vēlmēm un vēlmēm. Ja jūs pieņemat šāda secinājuma premisas, tad jums ir jāpieņem tā secinājums.

Tāpat bieži tiek apgalvots, ka deduktīvo secinājumu noteicošā iezīme ir secinājuma loģiski nepieciešamais raksturs, tā ticamā patiesība. Citiem vārdiem sakot, šādos secinājumos telpu patiesības vērtība tiek pilnībā pārnesta uz secinājumu. Tāpēc deduktīvajai spriešanai ir vislielākais pārliecināšanas spēks, un to plaši izmanto ne tikai matemātikas teorēmu pierādīšanai, bet arī visur, kur nepieciešami uzticami secinājumi.

Ļoti bieži mācību grāmatās loģikas noteikts kā zinātne par pareizas domāšanas likumiem vai pareizu secinājumu principiem un metodēm. Tā kā joprojām nav skaidrs, kāda veida domāšana tiek uzskatīta par pareizu, definīcijas pirmajā daļā ir slēpta tautoloģija, jo netieši tiek pieņemts, ka šāda pareizība tiek panākta, ievērojot loģikas noteikumus. Otrajā daļā loģikas priekšmets ir definēts precīzāk, jo loģikas galvenais uzdevums ir reducēts uz secinājumu analīzi, t.i. identificēt veidus, kā iegūt dažus spriedumus no citiem. Ir viegli pamanīt, ka, runājot par pareiziem secinājumiem, tie netieši vai pat tieši nozīmē deduktīvu loģiku. Tieši tajā ir pilnīgi noteikti noteikumi secinājumu loģiskai atvasināšanai no premisām, ar kuriem mēs sīkāk iepazīsimies vēlāk. Bieži vien deduktīvā loģika tiek identificēta arī ar formālo loģiku, pamatojoties uz to, ka pēdējā pēta secinājumu formas abstrakcijā no spriedumu konkrētā satura. Šis uzskats gan neņem vērā citas spriešanas metodes un formas, kas tiek plaši izmantotas gan eksperimentālajās zinātnēs, kas pēta dabu, gan sociālekonomiskajās un humanitārajās zinātnēs, balstoties uz faktiem un sociālās dzīves rezultātiem. Un ikdienas praksē mēs bieži izdarām vispārinājumus un izdarām pieņēmumus, pamatojoties uz konkrētu gadījumu novērojumiem.

Tiek saukts šāda veida prātojums, kurā, pamatojoties uz konkrētu gadījumu izpēti un pārbaudi, tiek izdarīts secinājums par neizpētītiem gadījumiem vai par visām klases parādībām kopumā. induktīvs. Jēdziens indukcija nozīmē norādījumus un labi izsaka šādas spriešanas būtību. Viņi parasti pēta noteikta skaita objektu un parādību klases dalībnieku īpašības un attiecības. Iegūtais vispārīgais īpašums vai attiecības pēc tam tiek nodotas neizpētītajiem dalībniekiem vai visai klasei. Acīmredzot šādu secinājumu nevar uzskatīt par ticami patiesu, jo starp neizpētītajiem klases locekļiem un it īpaši šķirai kopumā var būt locekļi, kuriem nepieder domājamā kopīpašums. Tāpēc indukcijas secinājumi nav ticami, bet tikai varbūtēji. Bieži vien šādus secinājumus sauc arī par ticamiem, hipotētiskiem vai minējumiem, jo ​​tie negarantē patiesības sasniegšanu, bet tikai norāda uz to. Viņiem ir heiristisks(meklēt), nevis uzticamu pēc būtības, palīdzot meklēt patiesību, nevis to pierādīt. Līdzās induktīvajai spriešanai tas ietver arī analoģiskus secinājumus un statistiskus vispārinājumus.

Atšķirīga iezīmešāda nededuktīva spriešana ir tāda, ka secinājums tajos neizriet loģiski, t.i. saskaņā ar atskaitīšanas noteikumiem no telpām. Premisas tikai vienā vai otrā pakāpē apstiprina secinājumu, padara to vairāk vai mazāk ticamu vai ticamu, bet negarantē tā ticamu patiesumu. Pamatojoties uz to, varbūtiskā spriešana dažkārt tiek nepārprotami novērtēta par zemu, tiek uzskatīta par sekundāru, palīgvielu un pat izslēgta no loģikas.

Šo attieksmi pret nededuktīvo un jo īpaši induktīvo loģiku galvenokārt izskaidro šādi iemesli:

Pirmkārt, un tas ir galvenais, induktīvo secinājumu problemātiskais, varbūtības raksturs un ar to saistītā rezultātu atkarība no pieejamajiem datiem, nedalāmība no premisām un secinājumu nepilnīgums. Galu galā, kļūstot pieejamiem jauniem datiem, mainās arī šādu secinājumu iespējamība.

Otrkārt, subjektīvo aspektu klātbūtne, novērtējot varbūtības loģiskās attiecības starp premisām un argumenta secinājumu. Šīs pieņēmumi, piemēram, fakti un pierādījumi, vienam var šķist pārliecinoši, bet citam ne. Viens uzskata, ka viņi stingri atbalsta secinājumu, otrs ir pretējās domās. Šādas domstarpības nerodas deduktīvos secinājumos.

Treškārt, šāda attieksme pret indukciju ir skaidrojama arī ar vēsturiskiem apstākļiem. Kad pirmo reizi radās induktīvā loģika, tās veidotāji, īpaši F. Bēkons, uzskatīja, ka ar tās kanonu jeb noteikumu palīdzību ir iespējams atklāt jaunas patiesības eksperimentālajās zinātnēs gandrīz tīri mehāniskā veidā. "Mūsu zinātņu atklāšanas ceļš," viņš rakstīja, "maz neatstāj talanta asumu un spēku, bet gandrīz tos izlīdzina. Tāpat kā zīmējot taisnu līniju vai aprakstot perfektu apli, stingrība, prasme un rokas pārbaude nozīmē. daudz, ja jūs rīkojaties tikai ar roku, tas nozīmē maz vai tas nenozīmē neko, ja izmantojat kompasu un lineālu. Tā tas ir mūsu metodes gadījumā." Runājot mūsdienu valoda, induktīvās loģikas veidotāji savus kanonus uzskatīja par atklāšanas algoritmiem. Attīstoties zinātnei, kļuva arvien skaidrāk redzams, ka ar šādu noteikumu (jeb algoritmu) palīdzību ir iespējams atklāt tikai vienkāršākās empīriskās sakarības starp eksperimentāli novērotām parādībām un to raksturojošajiem lielumiem. Atklāšana sarežģīti savienojumi un dziļi teorētiskie likumi prasīja izmantot visus līdzekļus un metodes empīriskās un teorētiskie pētījumi, maksimālais pielietojums zinātnieku garīgās un intelektuālās spējas, viņu pieredze, intuīcija un talants. Un tas varēja tikai radīt negatīvu attieksmi pret mehānisko pieeju atklāšanai, kas iepriekš pastāvēja induktīvajā loģikā.

Ceturtkārt, deduktīvās spriešanas formu paplašināšanās, relāciju loģikas rašanās un jo īpaši piemērošana matemātiskās metodes dedukcijas analīzei, kas vainagojās ar simboliskās (vai matemātiskās) loģikas izveidi, kas lielā mērā veicināja deduktīvās loģikas attīstību.

Tas viss skaidri parāda, kāpēc viņi bieži izvēlas loģiku definēt kā zinātni par deduktīvo secinājumu metodēm, noteikumiem un likumiem vai kā loģisko secinājumu teoriju. Bet mēs nedrīkstam aizmirst, ka indukcija, analoģija un statistika ir svarīgos veidos heiristiska patiesības meklēšana, un tāpēc tie kalpo kā racionālas spriešanas metodes. Galu galā patiesības meklēšanu var veikt nejauši, izmantojot izmēģinājumus un kļūdas, taču šī metode ir ārkārtīgi neefektīva, lai gan dažreiz tā tiek izmantota. Zinātne to izmanto ļoti reti, jo tā koncentrējas uz organizētu, mērķtiecīgu un sistemātisku meklēšanu.

Jāņem vērā arī tas, ka vispārīgās patiesības (empīriskie un teorētiskie likumi, principi, hipotēzes un vispārinājumi), kas tiek izmantotas kā deduktīvu secinājumu premisas, nav nosakāmas deduktīvi. Bet var iebilst, ka tie neatveras induktīvi. Tomēr, tā kā induktīvā spriešana ir vērsta uz patiesības meklēšanu, tā izrādās noderīgāks heiristiskais izpētes līdzeklis. Protams, pārbaudot pieņēmumus un hipotēzes, tiek izmantota arī dedukcija, jo īpaši, lai no tiem izdarītu sekas. Tāpēc dedukciju nevar pretstatīt indukcijai, jo reālajā zinātnisko zināšanu procesā tie paredz un papildina viens otru.

Tāpēc loģiku var definēt kā zinātni par racionālām spriešanas metodēm, kas aptver gan dedukcijas noteikumu analīzi (secinājumu izdarīšanu no premisām), gan iespējamu vai ticamu secinājumu (hipotēžu, vispārinājumu, pieņēmumu) apstiprinājuma pakāpes izpēti. utt.).

Tradicionālā loģika, kas tika veidota, pamatojoties uz Aristoteļa loģisko mācību, vēlāk tika papildināta ar induktīvās loģikas metodēm, kuras formulēja F. Bēkons un sistematizēja Dž. Millem. Tieši šo loģiku ar nosaukumu jau sen māca skolās un augstskolās formālā loģika.

Parādīšanās matemātiskā loģika radikāli mainīja attiecības starp deduktīvo un nededuktīvo loģiku, kas pastāvēja tradicionālajā loģikā. Šīs izmaiņas tika veiktas par labu atskaitīšanai. Pateicoties simbolizēšanai un matemātisko metožu izmantošanai, pati deduktīvā loģika ieguva stingri formālu raksturu. Patiesībā ir diezgan likumīgi uzskatīt tādu loģiku kā matemātiskais modelis deduktīvā spriešana. Tāpēc tas bieži tiek uzskatīts par modernās formālās loģikas attīstības stadiju, taču viņi aizmirst piebilst, ka mēs runājam par deduktīvo loģiku.

Mēdz teikt arī, ka matemātiskā loģika spriešanas procesu reducē līdz dažādu aprēķinu sistēmu konstruēšanai un tādējādi dabisko domāšanas procesu aizstāj ar aprēķiniem. Tomēr modelis vienmēr ir saistīts ar vienkāršojumiem, tāpēc tas nevar aizstāt oriģinālu. Patiešām, matemātiskā loģika galvenokārt ir vērsta uz matemātiskie pierādījumi, tāpēc abstrahējas no premisu (vai argumentu) būtības, to pamatotības un pieņemamības. Viņa uzskata, ka šādas telpas ir dotas vai iepriekš pierādītas.

Tikmēr reālajā argumentācijas procesā strīdā, diskusijā, polemikā telpu analīze un novērtējums iegūst īpašu svarīgs. Argumentācijas gaitā ir jāizvirza noteiktas tēzes un apgalvojumi, jāatrod pārliecinoši to aizstāvības argumenti, tie jālabo un jāpapildina, jāsniedz pretargumenti utt. Šeit ir jāvēršas pie neformālām un nededuktīvām spriešanas metodēm, jo ​​īpaši pie induktīvas faktu vispārināšanas, secinājumiem pēc analoģijas, statistiskās analīzes utt.

Uzskatot loģiku kā zinātni par racionālām spriešanas metodēm, nedrīkst aizmirst arī par citām domāšanas formām – jēdzieniem un spriedumiem, ar kuriem sākas jebkura loģikas mācību grāmata. Taču spriedumiem un it īpaši jēdzieniem loģikā ir palīgfunkcija. Ar to palīdzību secinājumu struktūra un spriedumu saistība iekšā dažādi veidi argumentācija. Jēdzieni tiek iekļauti jebkura sprieduma struktūrā subjekta, tas ir, domas objekta, un predikāta formā - kā subjektu raksturojoša zīme, proti, apliecinot noteiktas īpašības esamību vai neesamību objektā. domāja. Savā prezentācijā mēs pieturamies pie vispārpieņemtās tradīcijas un diskusiju sākam ar jēdzienu un spriedumu analīzi un pēc tam sīkāk aplūkojam deduktīvās un nededuktīvās spriešanas metodes. Nodaļā, kurā tiek analizēti priekšlikumi, ir apskatīti apgalvojumu aprēķina elementi, kas parasti ir jebkura matemātiskās loģikas kursa sākumpunkts.

Predikātu loģikas elementi ir apskatīti nākamajā nodaļā, kur kategoriskā siloģisma teorija tiek aplūkota kā īpašs gadījums. Mūsdienu formas nededuktīvo spriešanu acīmredzami nevar saprast bez skaidras atšķirības starp varbūtības loģisko un statistisko interpretāciju, jo saskaņā ar varbūtība visbiežāk tiek domāta tieši tā statistiskā interpretācija, kurai loģikā ir palīgnozīme. Šajā sakarā sadaļā par varbūtības spriešanu mēs īpaši koncentrējamies uz atšķirību noskaidrošanu starp abām varbūtības interpretācijām un sīkāk izskaidrojam loģiskās varbūtības pazīmes.

Tādējādi viss grāmatas prezentācijas raksturs orientē lasītāju uz to, ka dedukcija un indukcija, ticamība un varbūtība, domu kustība no vispārējā uz konkrēto un no konkrētā uz vispārīgo nevis izslēdz, bet gan papildina. viens otru iekšā vispārējs process racionāla spriešana, kuras mērķis ir gan atrast patiesību, gan to pierādīt.

Pamatjēdzienu īpašības ir atklātas aksiomas- priekšlikumi pieņemti bez pierādījumiem.

Piemēram, skolas ģeometrijā ir aksiomas: “caur jebkuriem diviem punktiem var novilkt taisnu līniju un tikai vienu” vai “taisne sadala plakni divās pusplaknēs”.

Jebkuras matemātiskās teorijas aksiomu sistēma, atklājot pamatjēdzienu īpašības, sniedz to definīcijas. Šādas definīcijas sauc aksiomātisks.

Tiek sauktas pierādāmo jēdzienu īpašības teorēmas, sekas, zīmes, formulas, noteikumi.

Pierādi teorēmu AIN- tas nozīmē loģiskā veidā noteikt, ka ikreiz, kad īpašums ir apmierināts A, īpašums tiks izpildīts IN.

Pierādījums matemātikā viņi sauc noteiktas teorijas galīgu priekšlikumu secību, no kurām katra ir vai nu aksioma, vai arī ir izsecināta no viena vai vairākiem šīs secības priekšlikumiem saskaņā ar loģiskā secinājuma noteikumiem.

Pierādījuma pamats ir argumentācija - loģiskā darbība, kā rezultātā no viena vai vairākiem nozīmes savstarpēji saistītiem teikumiem tiek iegūts jaunas zināšanas saturošs teikums.

Piemēram, apsveriet skolēna argumentāciju, kuram ir jānosaka attiecība “mazāk nekā” starp skaitļiem 7 un 8. Students saka: “7.< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Noskaidrosim, uz kādiem faktiem balstās šajā argumentā iegūtais secinājums.

Ir divi šādi fakti: Pirmkārt: ja numurs A skaitot, cipari tiek izsaukti pirms b, Tas a< b. Otrkārt: 7 tiek izsaukts agrāk nekā 8, skaitot.

Pirmais teikums ir vispārējs raksturs, jo tajā ir vispārīgs kvantors - to sauc par vispārīgu premisu. Otrais teikums attiecas uz konkrētiem skaitļiem 7 un 8 – to sauc par privāto telpu. Saņemts no divām pakām jauns fakts: 7 < 8, его называют заключением.

Starp premisām un secinājumu pastāv zināma saikne, pateicoties kurai tie veido argumentu.

Tiek izsaukts arguments, kurā starp premisām un secinājumu pastāv implikācijas saistība deduktīvs.

Loģikā termina "spriešana" vietā biežāk tiek lietots vārds "secinājums".

Secinājums- tas ir veids, kā iegūt jaunas zināšanas, pamatojoties uz dažām esošām zināšanām.

Secinājums sastāv no premisām un secinājuma.

Pakas- tie satur sākotnējās zināšanas.

Secinājums- šis ir paziņojums, kas satur jaunas zināšanas, kas iegūtas no sākotnējā.

Parasti secinājums tiek atdalīts no telpām, izmantojot vārdus “tāpēc”, “līdzekļi”. Secinājums ar telpām R 1, R 2, …, рn un secinājums R mēs to rakstīsim formā: vai (R 1, R 2, …, рn) R.

Piemēri secinājumi: a) Skaitlis a =b. Numurs b = c. Tāpēc numurs a = c.

b) Ja skaitītājs daļdaļā ir mazāks par saucēju, tad daļa ir pareiza. Daļējā daļā skaitītājs ir mazāks par saucēju (5<6) . Tāpēc frakcija - pareizi.

c) Ja līst lietus, tad debesīs ir mākoņi. Debesīs ir mākoņi, tāpēc līst.

Secinājumi var būt pareizi vai nepareizi.

Secinājumu sauc pareizi ja formula, kas atbilst tās struktūrai un attēlo telpu konjunkciju, kas savienota ar secinājumu ar implikācijas zīmi, ir identiski patiesa.

Par to lai noteiktu, vai secinājums ir pareizs, rīkojieties šādi:

1) formalizēt visas telpas un slēdzienu;

2) pierakstiet formulu, kas attēlo telpu konjunkciju, kas savienotas ar implikācijas zīmi ar secinājumu;

3) sastāda šīs formulas patiesuma tabulu;

4) ja formula ir identiski patiesa, tad secinājums ir pareizs, ja nē, tad secinājums ir nepareizs.

Loģikā tiek uzskatīts, ka secinājuma pareizību nosaka tā forma un tas nav atkarīgs no tajā ietverto apgalvojumu konkrētā satura. Un loģikā tiek piedāvāti noteikumi, pēc kuriem var izdarīt deduktīvus secinājumus. Šos noteikumus sauc secinājumu likumi vai deduktīvās spriešanas modeļi.

Ir daudz noteikumu, bet visbiežāk izmantotie ir šādi:

1. - noslēgšanas noteikums;

2. - nolieguma likums;

3. - siloģisma likums.

Dosim piemērs secinājumi izdarīti no noteikums secinājumi:"Ja numura ieraksts X beidzas ar skaitli 5, tas numurs X dalīts ar 15. Skaitļa rakstīšana 135 beidzas ar skaitli 5 . Tāpēc numurs 135 dalīts ar 5 ».

Vispārējais priekšnoteikums šajā secinājumā ir apgalvojums “ja Ak) Tas B(x)", Kur Ak)- tas ir "skaitļu ieraksts" X beidzas ar skaitli 5 ", A B(x)- "numurs X dalīts ar 5 " Konkrēts priekšnoteikums ir apgalvojums, kas iegūts no vispārējās premisas nosacījuma kad
x = 135(tie. A(135)). Secinājums ir apgalvojums, kas izriet no B(x) plkst x = 135(tie. V(135)).

Dosim saskaņā ar noteikumu izdarīta secinājuma piemērs negatīvie:"Ja numura ieraksts X beidzas ar skaitli 5, tas numurs X dalīts ar 5 . Numurs 177 nav dalāms ar 5 . Tāpēc tas nebeidzas ar skaitli 5 ».

Redzam, ka šajā secinājumā vispārējais priekšnoteikums ir tāds pats kā iepriekšējā, bet konkrētais ir apgalvojuma “skaitlis” noliegums. 177 dalīts ar 5 "(t.i.). Secinājums ir teikuma “Cipara rakstīšana 177 beidzas ar skaitli 5 "(t.i.).

Visbeidzot, apsvērsim uz tā balstīta secinājuma piemērs siloģisma noteikums: "Ja numurs X vairākas 12, tad tas ir daudzkārtējs 6. Ja numurs X vairākas 6 , tad tas ir daudzkārtējs 3 . Tāpēc, ja numurs X vairākas 12, tad tas ir daudzkārtējs 3 ».

Šim secinājumam ir divas priekšnoteikumi: “ja Ak) Tas B(x)" un ja B(x), Tas C(x)", kur A(x) ir "skaitlis X vairākas 12 », B(x)- "numurs X vairākas 6 " Un C(x)- "numurs X vairākas 3 " Secinājums ir apgalvojums “ja Ak) Tas C(x)».

Pārbaudīsim, vai šādi secinājumi ir pareizi:

1) Ja četrstūris ir rombs, tad tā diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras. ABCD- rombs Tāpēc tā diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras.

2) Ja skaitlis dalās ar 4 , tad tas tiek dalīts ar 2 . Numurs 22 dalīts ar 2 . Tāpēc tas ir sadalīts 4.

3) Visi koki ir augi. Priede ir koks. Tas nozīmē, ka priede ir augs.

4) Visi šīs klases skolēni gāja uz teātri. Petja nebija teātrī. Tāpēc Petja nav šīs klases students.

5) Ja daļskaitļa skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad daļa ir pareiza. Ja daļdaļa ir pareiza, tad tā ir mazāka par 1. Tāpēc, ja daļskaitļa skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad daļa ir mazāka par 1.

Risinājums: 1) Lai atrisinātu jautājumu par secinājuma pareizību, identificēsim tā loģisko formu. Ieviesīsim šādu apzīmējumu: C(x)- "četrstūris" X- rombs", B(x)- “četrstūrī X diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras." Tad pirmo premisu var uzrakstīt šādi:
C(x) B(x), otrais - C(a), un secinājums Ba).

Tādējādi šī secinājuma forma ir šāda: . Tas ir veidots saskaņā ar noslēguma likumu. Tāpēc šis arguments ir pareizs.

2) Ieviesīsim apzīmējumu: Ak)- "numurs X dalīts ar 4 », B(x)- "numurs X dalīts ar 2 " Tad mēs rakstām pirmo premisu: Ak)B(x), otrais Ba), un secinājums ir A(a). Secinājums būs šāds: .

Zināmo vidū tādas loģiskas formas nav. Ir viegli redzēt, ka abas premisas ir patiesas un secinājums ir nepatiess.

Tas nozīmē, ka šis pamatojums ir nepareizs.

3) Ieviesīsim dažus apzīmējumus. Ļaujiet Ak)- "Ja X koks", B(x) - « X augs". Tad pakām būs šāda forma: Ak)B(x), A(a), un secinājums Ba). Mūsu secinājums ir veidots šādā formā: - noslēgšanas noteikumi.

Tas nozīmē, ka mūsu argumentācija ir pareizi strukturēta.

4) Ļaujiet Ak) - « X- mūsu klases skolēni, B(x)- "skolēni X devās uz teātri." Tad pakas būs šādas: Ak)B(x),, un secinājums.

Šis secinājums ir balstīts uz nolieguma likumu:

- tas nozīmē, ka tas ir pareizi.

5) Nosakīsim secinājuma loģisko formu. Ļaujiet A(x) —"daļdaļas skaitītājs X mazāks par saucēju." B(x) — “daļdaļa X- pareizi." C(x)- "frakcija" X mazāk 1 " Tad pakām būs šāda forma: Ak)B(x), B(x) C(x), un secinājums Ak)C(x).

Mūsu secinājumam būs šāda loģiskā forma: - siloģisma likums.

Tas nozīmē, ka šis secinājums ir pareizs.

Loģikā tiek aplūkoti dažādi secinājumu pareizības pārbaudes veidi, t.sk secinājumu pareizības analīze, izmantojot Eilera apļus. To veic šādi: secinājums ir uzrakstīts kopu teorētiskajā valodā; attēlo telpas Eilera apļos, uzskatot tos par patiesiem; viņi skatās, vai secinājums vienmēr ir patiess. Ja jā, tad viņi saka, ka secinājums ir izveidots pareizi. Ja ir iespējams zīmējums, no kura ir skaidrs, ka secinājums ir nepatiess, tad viņi saka, ka secinājums ir nepareizs.

9. tabula

Parādīsim, ka secinājumi, kas izdarīti saskaņā ar secinājumu likumu, ir deduktīvi. Vispirms uzrakstīsim šo noteikumu kopu teorētiskajā valodā.

Iepakojums Ak)B(x) var rakstīt kā TATV, Kur TA Un TV- propozīcijas formu patiesības kopas Ak) Un B(x).

Privāts sūtījums A(a) nozīmē to ATA, un secinājums Ba) parāda to ATV.

Viss secinājums, kas izveidots saskaņā ar secinājumu noteikumu, tiks uzrakstīts kopu teorētiskajā valodā šādi: .

Rīsi. 58.

Piemēri.

1. Vai secinājums “Ja skaitlis beidzas ar skaitli” ir pareizs? 5, tad skaitlis dalās ar 5. Numurs 125 dalīts ar 5. Tāpēc rakstot numuru 125 beidzas ar skaitli 5 »?

Risinājums:Šis secinājums tiek izdarīts saskaņā ar shēmu , kas atbilst . Šāda shēma mums nav zināma. Noskaidrosim, vai tas ir deduktīvās secinājuma noteikums?

Izmantosim Eilera apļus. Kopu teorētiskajā valodā

Iegūto noteikumu var uzrakstīt šādi:

. Attēlosim kopas uz Eilera apļiem TA Un TV un apzīmē elementu A no daudziem TV.

Izrādās, ka to var ietvert komplektā TA, vai var nepiederēt viņam (59. att.). Loģikā tiek uzskatīts, ka šāda shēma nav deduktīva secinājuma noteikums, jo tā negarantē secinājuma patiesumu.

Šis secinājums nav pareizs, jo tas izdarīts pēc shēmas, kas negarantē argumentācijas patiesumu.

Rīsi. 59.

b) Visi darbības vārdi atbild uz jautājumu "ko darīt?" vai "kas man jādara?" Vārds "rudzupuķe" neatbild ne uz vienu no šiem jautājumiem. Tāpēc "rudzupuķe" nav darbības vārds.

Risinājums: a) Rakstīsim šo secinājumu kopu teorētiskajā valodā. Apzīmēsim ar A- daudzi Pedagoģijas fakultātes studenti, caur IN- daudzi skolēni, kas ir skolotāji, cauri AR- daudzi skolēni, kas vecāki par 20 gadiem.

Tad secinājums būs šāds: .

Ja mēs attēlojam šīs kopas uz apļiem, tad ir iespējami 2 gadījumi:

1) komplekti A, B, C krustojas;

2) komplekts IN krustojas ar daudziem AR Un A, un daudz A krustojas IN, bet nekrustojas ar AR.

b) Apzīmēsim ar A daudzi darbības vārdi, un cauri IN daudz vārdu, kas atbild uz jautājumu "ko darīt?" vai "kas man jādara?"

Tad secinājumu var uzrakstīt šādi:

Apskatīsim dažus piemērus.

1. piemērs. Studentam tiek lūgts paskaidrot, kāpēc skaitli 23 var attēlot kā summu 20 + 3. Viņš pamato: “Cipars 23 ir divciparu. Jebkuru divciparu skaitli var attēlot kā ciparu vārdu summu. Tāpēc 23 = 20 + 3."

Pirmais un otrais teikums šajā secinājumā ir premisas, un viens no vispārīga rakstura ir apgalvojums "jebkuru divciparu skaitli var attēlot kā ciparu vārdu summu", bet otrs ir īpašs, tas raksturo tikai skaitli 23 - tas ir divciparu. Secinājums - šim teikumam, kas nāk aiz vārda "tāpēc" - arī ir privāts raksturs, jo tas attiecas uz konkrēto skaitli 23.

Secinājumi, kurus parasti izmanto teorēmu pierādīšanā, balstās uz loģiskās implikācijas jēdzienu. Turklāt no loģiskās implikācijas definīcijas izriet, ka visām priekšlikuma mainīgo vērtībām, kurām ir patiesi sākotnējie apgalvojumi (premisas), arī teorēmas secinājums ir patiess. Šādi secinājumi ir deduktīvi.

Iepriekš apskatītajā piemērā dotais secinājums ir deduktīvs.

2. piemērs. Viens no paņēmieniem, kā sākumskolēnus iepazīstināt ar reizināšanas komutatīvo īpašību, ir šāds. Izmantojot dažādus uzskates līdzekļus, skolēni kopā ar skolotāju konstatē, ka piem. 6 3 = 36, 52 = 25. Tad, pamatojoties uz iegūtajām vienādībām, viņi secina: visiem naturālajiem skaitļiem a Un b vienlīdzība ir taisnība ab = ba.

Šajā secinājumā telpas ir pirmās divas vienādības. Viņi apgalvo, ka šāds īpašums attiecas uz konkrētiem naturāliem skaitļiem. Secinājums šajā piemērā ir vispārīgs apgalvojums - naturālu skaitļu reizināšanas komutatīvais īpašums.

Šajā secinājumā par to liecina īpaša rakstura telpas daži Dabiskajiem skaitļiem ir šāda īpašība: faktoru pārkārtošana reizinājumu nemaina. Un uz šī pamata tika secināts, ka visiem naturālajiem skaitļiem piemīt šī īpašība. Šādus secinājumus sauc par nepilnīgu indukciju.

tie. par dažiem naturāliem skaitļiem var apgalvot, ka summa ir mazāka par to reizinājumu. Tas nozīmē, ka, pamatojoties uz to, ka dažiem skaitļiem ir šāda īpašība, mēs varam secināt, ka visiem naturālajiem skaitļiem ir šāda īpašība:

Šis piemērs ir analoģiskās spriešanas piemērs.

Zem līdzība saprast secinājumu, kurā, pamatojoties uz divu objektu līdzību dažās pazīmēs un papildu raksturlieluma klātbūtni vienā no tiem, tiek izdarīts secinājums par vienas un tās pašas pazīmes klātbūtni otrā objektā.

Secinājums pēc analoģijas ir pieņēmuma, hipotēzes raksturs, un tāpēc tam ir nepieciešami pierādījumi vai atspēkojumi.

Izdarot secinājumu, ir ērti izklāstīt loģisko savienojumu ieviešanas un noņemšanas noteikumus tāpat kā secinājumu izdarīšanas noteikumus:

1. noteikums. Ja premisām $F_1$ un $F_2$ ir nozīme “un”, tad to konjunkcija ir patiesa, t.i.

$$\frac(F_1 ; F_2)((F_1\&F_2))$$

Šis ieraksts, ja premisas $F_1$ un $F_2$ ir patiesas, paredz iespēju slēdzienā ievadīt konjunkcijas loģisku savienojumu; šis noteikums ir identisks aksiomai A5 (sk.);

2. noteikums. Ja $(F_1\&F_2)$ ir vērtība “un”, tad apakšformulas $F_1$ un $F_2$ ir patiesas, t.i.

$$\frac((F_1\&F_2))(F_1) \: un \: \frac((F_1\&F_2))(F_2)$$

Šis apzīmējums, ja $(F_1\&F_2)$ ir patiess, nodrošina iespēju noņemt savienojuma loģisko savienojumu noslēgumā un ņemt vērā apakšformulu $F_1$ un $F_2$ patiesās vērtības; šis noteikums ir identisks aksiomām A3 un A4;

3. noteikums. Ja $F_1$ ir vērtība “un”, bet $(F_1\&F_2)$ ir vērtība “l”, tad apakšformula $F_2$ ir nepatiesa, t.i.

$$\frac(F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2))(\left\rceil\right. \!\!F_2)$$

Šis ieraksts, ja $(F_1\&F_2)$ ir nepatiess un viena no apakšformulām ir patiesa, paredz iespēju slēdzienā noņemt savienojuma loģisko savienojumu un uzskatīt otrās apakšformulas vērtību par nepatiesu;

4. noteikums. Ja vismaz viena premisa $F_1$ vai $F_2$ ir patiesa, tad to disjunkcija ir patiesa, t.i.

$$\frac(F_1)( (F_1\vee F_2)) \: vai \: \frac(F_2)( (F_1\vee F_2))$$

Šis apzīmējums, ja ir patiesa vismaz viena apakšformula $F_1$ vai $F_2$, nodrošina iespēju slēdzienā ieviest loģisku disjunkcijas konnektīvu; šis noteikums ir identisks aksiomām A6 un A7;

5. noteikums. Ja $(F_1\vee F_2)$ ir vērtība "un" un vienai no apakšformulām $F_1$ vai $F_2$ ir vērtība "l", tad otrā apakšformula $F_2$ vai $F_1$ ir patiesa, t.i.

$$\frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_2) \: vai \: \frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right \!\!F_2 )( (F_1)$$

Šis apzīmējums, ja $(F_1\vee F_2)$ ir patiess, nodrošina iespēju slēdzienā noņemt disjunkcijas loģisko savienojumu un ņemt vērā apakšformulu $F_1$ vai $F_2$ patiesās vērtības;

6. noteikums. Ja apakšformulai $F_2$ ir vērtība “un”, tad formula $(F_1\rightarrow F_2)$ ir patiesa jebkurai apakšformulas $F_1$ vērtībai, t.i.

$$\frac(F_2)((F_1\labā bultiņa F_2))$$

Šis apzīmējums ar patieso vērtību $F_2$ nodrošina iespēju loģiskā savienojuma noslēgumā ieviest implikāciju jebkurai apakšformulas $F_1$ vērtībai (“patiesība no jebko”); šis noteikums ir identisks 1. aksiomai;

7. noteikums. Ja apakšformulai $F_1$ ir vērtība “l”, tad formula $(F_1\rightarrow F_2)$ ir patiesa jebkurai apakšformulas $F_2$ vērtībai, t.i.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_1\rightarrow F_2))$$

Šis apzīmējums, ja $F_1$ vērtība ir nepatiesa, nodrošina iespēju loģiskā savienojuma noslēgumā iekļaut implikāciju jebkurai apakšformulas $F_2$ vērtībai (“jebkas no nepatiesas”);

8. noteikums. Ja formulai $(F_1\rightarrow F_2)$ ir vērtība “un”, tad formulai $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1) $ ir taisnība , t.i.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )( (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1))$$

Šis ieraksts ar patieso vērtību $(F_1\rightarrow F_2)$ nosaka iespēju apmainīt implikācijas polus, vienlaikus mainot to vērtības; tas ir pretrunas likums;

9. noteikums. Ja formulai $(F_1\rightarrow F_2)$ ir vērtība “un”, tad formula $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ ir patiesa jebkurai $F_3$ vērtībai, t.i.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2) )(((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)) $$

Šis ieraksts ar patieso vērtību $(F_1\rightarrow F_2)$ nosaka spēju veikt disjunkcijas darbību jebkurai formulas $F_3$ vērtībai pār katru implikācijas polu; šis noteikums ir identisks aksiomai A11.

10. noteikums. Ja formulai $(F_1\rightarrow F_2)$ ir vērtība “un”, tad formula $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ ir patiesa jebkurai $F_3$ vērtībai, t.i.

$$\frac((F_1\labā bultiņa F_2) )(((F_1\&F_3)\bultiņa pa labi (F_2\&F_3))$$

Šis ieraksts ar patieso vērtību $(F_1\rightarrow F_2)$ nosaka spēju veikt savienojuma darbību jebkurai formulas $F_3$ vērtībai pār katru implikācijas polu; šis noteikums ir identisks aksiomai A10.

11. noteikums. Ja formulām $(F_1\rightarrow F_2)$ un $(F_2\rightarrow F_3)$ ir vērtība “un”, tad formula $(F_1\rightarrow F_3)$ ir patiesa, t.i.

$$\frac((F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_3) )((F_1\rightarrow F_3))$$

Šis ieraksts ar patieso vērtību $(F_1\rightarrow F_2)$ un $(F_2\rightarrow F_3)$ paredz iespēju veidot implikāciju $(F_1\rightarrow F_3)$ (silogisma likums); šis noteikums ir identisks aksiomai A2;

12. noteikums. Ja formulām $F_1$ un $(F_1\rightarrow F_2)$ ir vērtība “un”, tad formula $F_2$ ir patiesa, t.i.

$$\frac(F_1; (F_1\labā bultiņa F_2) )( F_2)$$

Šis ieraksts, ņemot vērā premisas $F_1$ patieso vērtību un implikāciju $(F_1\rightarrow F_2)$, ļauj noņemt implikācijas loģisko savienojumu un noteikt secinājuma $F_2$ patieso vērtību;

13. noteikums. Ja formulas ir $\left\rceil\right. \!\!F_2 un (F_1\rightarrow F_2)$ nozīmē “un”, tad formula $\left\rceil\right ir patiesa. \!\!F_1$, t.i.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) )( \left\rceil\right. \!\!F_1)$$

Šim ierakstam ir dota priekšnoteikuma $\left\rceil\right patiesā vērtība. \!\!F_2$ un sekas $(F_1\rightarrow F_2)$ ļauj noņemt implikācijas loģisko savienojumu un noteikt secinājuma $\left\rceil\right patieso vērtību. \!\!F_1$;

14. noteikums. Ja formulām $(F_1\rightarrow F_2)$ un $(F_2\rightarrow F_1)$ ir vērtība “un”, tad formula $(F_1\leftrightarrow F_2)$ ir patiesa, t.i.

USD

Šis ieraksts ar patieso vērtību $(F_1\rightarrow F_2)$ un $(F_2\rightarrow F_1)$ ļauj ieviest loģiskās ekvivalences savienojumu un noteikt formulas $(F_1\leftrightarrow F_2)$ vērtību;

15. noteikums. Ja formulai $(F_1\leftrightarrow F_2)$ ir vērtība “un”, tad formulas $(F_1\rightarrow F_2)$ un $(F_2\rightarrow F_1)$ ir patiesas, t.i.

USD

Šis ieraksts ar patieso vērtību $(F_1\leftrightarrow F_2)$ ļauj noņemt loģisko ekvivalences savienojumu un noteikt formulu $(F_1\rightarrow F_2)$ un $(F_2\rightarrow F_1) patieso vērtību. $.