വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ: "സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം

ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ c ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ b കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അത് b കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ a ലഭിക്കുന്നു:

"പൂർണ്ണമായും" എന്ന വാക്ക് സാധാരണയായി ചുരുക്കത്തിൽ ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു.

a എന്നത് b കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, a എന്നത് b യുടെ ഗുണിതമാണെന്നും അവർ പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 48 എന്ന സംഖ്യ 24 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 1. ഘടകങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഉൽപ്പന്നത്തെയും ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 15 എന്നത് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതായത് 15∙ 11 എന്നത് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, കാരണം 15∙ 11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

ഈ വാദങ്ങൾ പൊതുവായ കേസിനും ബാധകമാണ്. a സംഖ്യയെ c കൊണ്ട് ഹരിക്കട്ടെ, അപ്പോൾ a = n∙c എന്ന തരത്തിൽ n സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുണ്ട്. a എന്ന സംഖ്യയുടെയും അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ bയുടെയും ഗുണനഫലം പരിഗണിക്കുക. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. ഇവിടെ നിന്ന്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a∙b എന്ന ഉൽപ്പന്നവും c കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ക്യു.ഇ.ഡി.

സിദ്ധാന്തം 2. ആദ്യത്തെ സംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, രണ്ടാമത്തേത് മൂന്നാമത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ആദ്യത്തെ സംഖ്യയെ മൂന്നാമത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 777 എന്നത് 111 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, കാരണം 777 = 7∙ 111, 111 എന്നത് 111 = 3∙37 എന്നതിനാൽ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. 777 = 3∙(37∙7) ആയതിനാൽ 777 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

IN പൊതുവായ കേസ്ഈ വാദങ്ങൾ ഏതാണ്ട് പദാനുപദമായി ആവർത്തിക്കാം. a എന്ന സംഖ്യയെ b എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ടും b സംഖ്യയെ c സംഖ്യ കൊണ്ടും ഹരിക്കട്ടെ. ഇതിനർത്ഥം a = n∙b, b = m∙c എന്നിങ്ങനെയുള്ള n, m എന്നീ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്നാണ്. അപ്പോൾ a എന്ന സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. a = (n∙m)∙c എന്ന സമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നത് a എന്ന സംഖ്യയും c കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു എന്നാണ്.

സിദ്ധാന്തം 3. രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ ഓരോന്നും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, അവയുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യാസവും ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 100-നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, കാരണം 100=25∙4; 36 എന്നത് 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, കാരണം 36 = 9∙4. 136 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്നതിനാൽ

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

64 എന്ന സംഖ്യയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്നും നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

പൊതുവായ കേസിൽ നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാം. a, b എന്നീ ഓരോ സംഖ്യകളും c എന്ന സംഖ്യയാൽ ഹരിക്കപ്പെടട്ടെ. അപ്പോൾ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, n, m എന്നിങ്ങനെയുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുണ്ട്
a = n∙c, b = m∙c. a, b എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക പരിഗണിക്കുക.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

a + b എന്നത് c കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

അതുപോലെ, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. അതിനാൽ, a – b എന്നത് c കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 4. രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മറ്റൊന്ന് അത് കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ലെങ്കിൽ, അവയുടെ തുകയും വ്യത്യാസവും ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, 148 നെ 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, കാരണം 148 = 4∙ 37, 11 എന്നത് 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. വ്യക്തമായും, 148 + 11 ൻ്റെ ആകെത്തുകയും 148 - 11 ൻ്റെ വ്യത്യാസവും 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കില്ല, അല്ലാത്തപക്ഷം ഇത് പ്രോപ്പർട്ടി 3 ന് വിരുദ്ധമായിരിക്കും. .

വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ

ഒരു സംഖ്യ 0-ൽ അവസാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനെ 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 4560 എന്ന സംഖ്യ 0 എന്ന സംഖ്യയിൽ അവസാനിക്കുന്നു, ഇത് 456∙10 ൻ്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അത് 10 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു (സിദ്ധാന്തം 1 അനുസരിച്ച്).

4561 എന്ന സംഖ്യയെ 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 4561 = 4560+1 എന്നത് 4560 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുകയാണ്, 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതും സംഖ്യ 1, 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവാത്തതുമാണ് (സിദ്ധാന്തം 4 പ്രകാരം).

ഒരു സംഖ്യ 0 അല്ലെങ്കിൽ 5 അക്കങ്ങളിൽ ഒന്നിൽ അവസാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2300 എന്ന സംഖ്യയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, കാരണം ഈ സംഖ്യ 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, 10 നെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു (Theorem 2 പ്രകാരം).

2305 എന്ന സംഖ്യ 5-ൽ അവസാനിക്കുന്നു, അത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, കാരണം ഇത് 5: 2300 + 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായി എഴുതാം (സിദ്ധാന്തം 3 അനുസരിച്ച്).

52 എന്ന സംഖ്യയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 52 = 50 + 2 എന്നത് 50 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുകയാണ്, 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യ 2, 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകില്ല (സിദ്ധാന്തം 4 പ്രകാരം).

ഒരു സംഖ്യ 0, 2, 4, 6, 8 എന്ന അക്കങ്ങളിൽ ഒന്നിൽ അവസാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 130 എന്ന സംഖ്യ 0 ൽ അവസാനിക്കുന്നു, അത് 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, 10 എന്നത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതിനാൽ 130 എന്നത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

136 എന്ന സംഖ്യ 6-ൽ അവസാനിക്കുന്നു, അത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, കാരണം ഇത് 2: 130 + 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായി എഴുതാം (സിദ്ധാന്തം 3 അനുസരിച്ച്).

137 എന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 137 = 130 + 7 എന്നത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന 130 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുകയാണ്, കൂടാതെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവാത്ത സംഖ്യ 7 ആണ് (സിദ്ധാന്തം 4 പ്രകാരം).

2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയെ ഇരട്ട എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവാത്ത ഒരു സംഖ്യയെ ഒറ്റത്തവണ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 152, 790 എന്നീ സംഖ്യകൾ ഇരട്ടയാണ്, കൂടാതെ 111, 293 എന്നീ സംഖ്യകൾ വിചിത്രമാണ്.

ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആ സംഖ്യ തന്നെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു..

ഉദാഹരണത്തിന്, 7245 എന്ന സംഖ്യയുടെ 7 + 2 + 4 + 5 = 18 അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), ഇവിടെ ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ - ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക - 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു ( സിദ്ധാന്തം 3 അനുസരിച്ച്).

375 എന്ന സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 3 + 7 + 5=15 എന്ന അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തെളിയിക്കാനാകും: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+ 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙ 9) + (3 + 7 + 5), ഇവിടെ ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കും, രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ - 375 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക - ഹരിക്കാനാവില്ല 9 പ്രകാരം (സിദ്ധാന്തം 4 പ്രകാരം).

ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ആ സംഖ്യ തന്നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും..

ഉദാഹരണത്തിന്, 375 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് 3 + 7 + 5 = 15 എന്ന അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അത് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അത് തന്നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, കാരണം 375 = (3∙99 + 7∙ 9) + (3 + 7 + 5), ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റിലുള്ള തുകയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ - 375 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക - 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

6 + 7 + 9 = 22 ന് തുല്യമായ 679 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കൂടാതെ സംഖ്യയെ തന്നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 679 = (6∙99 + 7∙ 9) + ( 6 + 7 + 9), ഇവിടെ ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും, രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ - 679 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക - 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

കുറിപ്പ്. "ഒരു സംഖ്യ അവസാനിക്കുന്നത് ഒരു അക്കത്തിൽ..." എന്ന് പറയുമ്പോൾ അവർ അർത്ഥമാക്കുന്നത് "ഒരു സംഖ്യയുടെ ദശാംശ നൊട്ടേഷൻ ഒരു അക്കത്തിൽ അവസാനിക്കുന്നു..." എന്നാണ്.

പ്രൈം, സംയുക്ത സംഖ്യകൾ

എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും p 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു:

p:1=p, p:p=1.

ഒരു പ്രൈം നമ്പർ എന്നത് ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ളതും 1 കൊണ്ട് മാത്രം ഹരിക്കാവുന്നതുമായ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്..

ആദ്യത്തെ പത്ത് പ്രധാന സംഖ്യകൾ ഇതാ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

നോൺ-പ്രൈം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, വലിയ യൂണിറ്റുകൾ, സംയുക്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഓരോ സംയോജിത സംഖ്യയും 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, കൂടാതെ കുറഞ്ഞത് മറ്റൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും.

20-ൽ താഴെയുള്ള എല്ലാ സംയുക്ത സംഖ്യകളും ഇതാ:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

അങ്ങനെ, എല്ലാവരുടെയും സെറ്റ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾപ്രധാന സംഖ്യകൾ, സംയുക്ത സംഖ്യകൾ, ഒന്ന് എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ അനന്തമായ സംഖ്യകളുണ്ട്; ഒരു ആദ്യ സംഖ്യയുണ്ട് - 2, എന്നാൽ അവസാനത്തെ പ്രൈം നമ്പർ ഇല്ല.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ b കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സംഖ്യ b ഒരു വിഭജനം എന്ന് വിളിക്കുന്നുഅക്കങ്ങൾ എ.

ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യ 13 ൻ്റെ ഹരിക്കലുകൾ 1, 13 എന്നീ സംഖ്യകളും, സംഖ്യ 4 ൻ്റെ ഹരിക്കലുകൾ 1, 2, 4 സംഖ്യകളും, സംഖ്യ 12 ൻ്റെ വിഭജനങ്ങൾ 1, 2, 3, 4, 6 എന്നീ സംഖ്യകളുമാണ്. , 12.

ഓരോ അഭാജ്യ സംഖ്യയ്ക്കും രണ്ട് ഹരിക്കലുകളേ ഉള്ളൂ - ഒന്ന് തന്നെ, കൂടാതെ എല്ലാ സംയോജിത സംഖ്യകൾക്കും, ഒന്നിന് പുറമെ, മറ്റ് ഹരജികൾ ഉണ്ട്.

വിഭജനം ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, അതിനെ ഒരു പ്രൈം ഡിവൈസർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യ 13 ന് 13 ൻ്റെ പ്രൈം ഫാക്ടർ ഉണ്ട്, സംഖ്യ 4 ന് 2 ൻ്റെ പ്രൈം ഫാക്ടർ ഉണ്ട്, സംഖ്യ 12 ന് 2 ഉം 3 ഉം ഉണ്ട്.

എല്ലാ സംയോജിത സംഖ്യകളെയും അതിൻ്റെ പ്രൈം ഡിവൈസറുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙ 3∙ 3∙ 3 = 3 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതയുടെ വലതുവശത്തെ 28, 22, 81, 100 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ പ്രൈം ഫാക്ടറൈസേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തന്നിരിക്കുന്ന സംയോജിത സംഖ്യയെ പ്രൈം ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക എന്നതിനർത്ഥം അതിനെ അതിൻ്റെ വിവിധ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെ അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ശക്തികളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ 90 എന്ന സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാം എന്ന് നോക്കാം.

1) 90 നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, 90:2 = 45;

2) 45 എന്നത് 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതല്ല, 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, 45:3= 15;

3) 15 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, 15: 3 = 5;

4) 5 എന്നത് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, 5:5 = 1.

അങ്ങനെ, 90 = 2∙ 45 = 2∙ 3∙ 15 = 2∙ 3∙ 3∙5.

ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം

12 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് 1, 2, 3, 4, 12 ഘടകങ്ങളുണ്ട്. 54-ന് 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 എന്നീ ഘടകങ്ങളുണ്ട്. 12, 54 എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് പൊതുവായ 1, 2 ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് നാം കാണുന്നു. , 3, 6.

12, 54 സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം നമ്പർ 6 ആണ്.

a, b സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്: gcd (a, b).

ഉദാഹരണത്തിന്, GCD (12, 54) = 6.

ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതം

12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയെ 12 ൻ്റെ ഗുണിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 മുതലായവയുടെ ഗുണിതമാണ്. 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 മുതലായവയുടെ ഗുണിതമാണ് 18 എന്ന സംഖ്യ.

12ൻ്റെയും 18ൻ്റെയും ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 36, 72, 108, .... ഈ സംഖ്യകളെ 12, 18 എന്നിവയുടെ പൊതുവായ ഗുണിതങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

a, b എന്നീ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതമാണ് a, b എന്നിവയാൽ ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ. ഈ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്: LOC (a, b).

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം സാധാരണയായി രണ്ട് വഴികളിൽ ഒന്നിൽ കാണപ്പെടുന്നു. നമുക്ക് അവരെ നോക്കാം.

നമുക്ക് LCM (18, 24) കണ്ടെത്താം.

രീതി I 24 ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങളായ (ഈ സംഖ്യകളുടെ വലുത്) സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ എഴുതും, അവ ഓരോന്നും 18 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കും: 24∙1=24 - 18 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, 24∙2 = 48 - 18 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, 24∙3 = 72 - 18 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതിനാൽ LCM (24, 18) =
= 72.

II രീതി. നമുക്ക് 24, 18 എന്നീ സംഖ്യകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാം: 24 = 2∙ 2∙ 2∙ 3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) 24, 18 എന്നിവയാൽ ഹരിക്കപ്പെടണം. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ സംഖ്യയിൽ വലിയ സംഖ്യയായ 24 ൻ്റെ എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളും (അതായത്, സംഖ്യകൾ 2, 2, 2, 3) വിപുലീകരണത്തിൽ നിന്ന് വിട്ടുപോയ ഘടകങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ചെറിയ സംഖ്യയുടെ 18 (ഒരു നമ്പർ കൂടി). അതിനാൽ LCM(18, 24) = 2∙ 2∙ 2∙ 3∙ 3 = 72.

കോപ്രൈം സംഖ്യകൾക്ക് പൊതുവായ പ്രധാന ഘടകങ്ങളില്ലാത്തതിനാൽ, അവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതു ഗുണിതം ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 24 ഉം 25 ഉം താരതമ്യേന അഭാജ്യ സംഖ്യകളാണ്. അതിനാൽ LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് മറ്റൊന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം അവയിൽ വലുതിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 120 എന്നത് 24 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതിനാൽ LCM (120, 24) = 120.

മുഴുവൻ സംഖ്യകൾ

ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ. വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ. പൂജ്യം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായി കണക്കാക്കില്ല. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും പൂജ്യവും, ആരോഹണ ക്രമത്തിലും വിടവുകളില്ലാതെയും എഴുതിയത്, നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

ഈ വിഭാഗത്തിൽ പുതിയ നമ്പറുകൾ അവതരിപ്പിക്കും - നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ.

നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ

ഒരു അടിസ്ഥാന യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം ഒരു തെർമോമീറ്റർ ആണ്. അത് 7 ഡിഗ്രി സെൽഷ്യസ് താപനില കാണിക്കുന്നുവെന്ന് പറയാം. താപനില 4° കുറഞ്ഞാൽ, തെർമോമീറ്റർ 3° ചൂട് കാണിക്കും. ഊഷ്മാവിലെ കുറവ് കുറയ്ക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രവർത്തനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു: 7 - 4 = 3. താപനില 7 ഡിഗ്രി കുറയുകയാണെങ്കിൽ, തെർമോമീറ്റർ 0 °: 7 - 7 = 0 കാണിക്കും.

താപനില 8° കുറഞ്ഞാൽ, തെർമോമീറ്റർ -1° (പൂജ്യം 1° താഴെ) കാണിക്കും. എന്നാൽ 7 - 8 കുറയ്ക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും പൂജ്യവും ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാൻ കഴിയില്ല, അതിന് യഥാർത്ഥ അർത്ഥമുണ്ടെങ്കിലും.

നോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിൽ 7-ൽ നിന്ന് ഇടതുവശത്തേക്ക് 8 സംഖ്യകൾ കണക്കാക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. പ്രവർത്തനം 7 - 8 സാധ്യമാക്കാൻ, നമുക്ക് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി വിപുലീകരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത്, എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും ക്രമത്തിൽ (വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തേക്ക്) ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു "-" ചിഹ്നം ചേർക്കുക, ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്താണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

എൻട്രികൾ –1, –2, –3, ... “മൈനസ് 1”, “മൈനസ് 2”, “മൈനസ് 3” മുതലായവ വായിക്കുക:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ എൻട്രിയിലെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഉള്ള ഡോട്ടുകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് സീരീസ് വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും അനിശ്ചിതമായി തുടരാം എന്നാണ്.

ഈ വരിയിലെ സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്ത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സംഖ്യകളുണ്ട്.

ലഖ്ഡെൻപോക്ക് മുനിസിപ്പൽ ജില്ലയിലെ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കായുള്ള പ്രാദേശിക ഗവേഷണ സമ്മേളനം

"ഭാവിയിലേക്ക് ചുവടുവെക്കുക"

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗണിത പദ്ധതി:

പൂർത്തിയാക്കിയത്: ഗാൽക്കിന നതാലിയ

ഏഴാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥി

MKOU "എലിസെൻവാര സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ"

തല: വാസിലിയേവ

ലാരിസ വ്ലാഡിമിറോവ്ന

ഗണിത അധ്യാപകൻ

MKOU "എലിസെൻവാര സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ"

ആമുഖം 3 പേജുകൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന് 4 പേജുകൾ.

അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ 4 പേജുകൾ.

വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണം: 5 പേജുകൾ.

1. സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അവസാന അക്കം (കൾ) 5 - 6 പേജുകളാണ്.

   സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്: 6 പേജുകൾ.

   6 - 9 പേജുകളുടെ അക്കങ്ങളിൽ ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയതിന് ശേഷമാണ് സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

   ഒരു സംഖ്യയുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കാൻ, മറ്റ് അടയാളങ്ങൾ 9 - 10 പേജുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

10 മുതൽ 11 പേജുകൾ വരെയുള്ള വിഭജന മാനദണ്ഡങ്ങളുടെ പ്രയോഗം.

ഉപസംഹാരം 11 പേജുകൾ

ഗ്രന്ഥസൂചിക 12 പേജുകൾ.

ആമുഖം

ഗവേഷണത്തിൻ്റെ പ്രസക്തി: വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത കാലങ്ങളിലെയും ജനങ്ങളിലെയും ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും താൽപ്പര്യമുള്ളവയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠങ്ങളിൽ "സംഖ്യകളുടെ 2, 3, 5, 9, 10 കൊണ്ടുള്ള സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ" എന്ന വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ, വിഭജനത്തിനായി സംഖ്യകൾ പഠിക്കാൻ എനിക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടായി. ഈ സംഖ്യകളാൽ സംഖ്യകളുടെ ഭാജനം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, മറ്റ് സംഖ്യകളാൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഹരിക്കൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന അടയാളങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെട്ടു. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഹരിക്കാവുന്നതാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന് എഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിലേക്ക് ബിബാക്കിയില്ലാതെ, ഈ സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കേണ്ടതില്ല. വിഭജനത്തിൻ്റെ ചില അടയാളങ്ങൾ അറിഞ്ഞാൽ മതി.

അനുമാനം- സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 2, 3, 5, 9, 10 എന്നിവ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഭാജനം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന മറ്റ് അടയാളങ്ങളുണ്ട്.

പഠനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം - സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ മൊത്തത്തിലുള്ള വിഭജനത്തിൻ്റെ ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന അടയാളങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക, സ്കൂളിൽ പഠിക്കുകയും ഈ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക.

ഈ ലക്ഷ്യം നേടുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ചുമതലകൾ:

സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം സ്വതന്ത്രമായി അന്വേഷിക്കുക.

വിഭജനത്തിൻ്റെ മറ്റ് അടയാളങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെടാൻ അധിക സാഹിത്യം പഠിക്കുക.

വ്യത്യസ്ത ഉറവിടങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള സവിശേഷതകൾ സംയോജിപ്പിച്ച് സംഗ്രഹിക്കുക.

ഒരു നിഗമനം വരയ്ക്കുക.

പഠന വിഷയം- വിഭജനത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ അടയാളങ്ങളുടെയും പഠനം.

പഠന വിഷയം- വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ.

ഗവേഷണ രീതികൾ- മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ശേഖരണം, ഡാറ്റ പ്രോസസ്സിംഗ്, താരതമ്യം, വിശകലനം, സമന്വയം.

പുതുമ:പ്രോജക്റ്റിനിടെ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള എൻ്റെ അറിവ് ഞാൻ വിപുലീകരിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്

ബ്ലെയ്സ് പാസ്കൽ(ജനനം 1623) - ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഒന്ന് പ്രസിദ്ധരായ ആള്ക്കാര്മനുഷ്യരാശിയുടെ ചരിത്രത്തിൽ. പാസ്കലൂമർ, അദ്ദേഹത്തിന് 39 വയസ്സുള്ളപ്പോൾ, പക്ഷേ അങ്ങനെയാണെങ്കിലും ചെറിയ ജീവിതം, ഒരു മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞൻ, തത്ത്വചിന്തകൻ, എഴുത്തുകാരൻ എന്നീ നിലകളിൽ ചരിത്രത്തിൽ ഇടംപിടിച്ചു. സമ്മർദ്ദത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റും (പാസ്‌കൽ) ഇന്ന് വളരെ ജനപ്രിയമായ ഒരു പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയും അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പേരിലാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്. ബ്ലെയ്‌സ് പാസ്കൽ ഒരു സാധാരണ കണ്ടു

പാസ്കൽ ടെസ്റ്റ് എന്നത് ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ടും ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ടെസ്റ്റുകൾ നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതിയാണ്. ഒരു തരം "വിഭജനത്തിൻ്റെ സാർവത്രിക അടയാളം".

പാസ്കലിൻ്റെ ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്: സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എമറ്റൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കും ബിസംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെങ്കിൽ മാത്രം എഅക്ക യൂണിറ്റുകളെ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന അനുബന്ധ ശേഷിപ്പുകളിലേക്ക് ബി, ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന് : 2814 എന്ന സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, കാരണം 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. (ഇവിടെ 6 എന്നത് 1000-നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിൻ്റെ ബാക്കിയാണ്, 2 എന്നത് 100-നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിൻ്റെ ബാക്കിയാണ്. 10 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ബാക്കിയുള്ളത് 3 ആണ്).

അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ

ഈ വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ആവശ്യമായ ചില ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ ഓർക്കാം.

ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്വിഭജനം നടത്താതെ തന്നെ, ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊന്നിനാൽ ഹരിക്കപ്പെടുമോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു നിയമമാണ്.

ഡിവൈഡർസ്വാഭാവിക സംഖ്യ എ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് പേര് നൽകുക എ ബാക്കിയില്ലാതെ വിഭജിച്ചു.

ലളിതംഅവയൊഴികെ മറ്റ് സ്വാഭാവിക വ്യതിരിക്തമായ വിഭജനങ്ങളില്ലാത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു.

സംയുക്തം 1-ഉം അവയും ഒഴികെയുള്ള സ്വാഭാവിക വിഭജനങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളാണ്.

വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ

ഈ കൃതിയിൽ ഞാൻ പരിഗണിച്ച സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും 4 ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കാം:

ഈ ഗ്രൂപ്പുകളിൽ ഓരോന്നും നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം.

സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അവസാന അക്കം (കൾ) കൊണ്ടാണ്

2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125, അക്ക യൂണിറ്റുകൾ 10, 100 മുതലായവ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഞാൻ പരിഗണിച്ച സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു (അതായത് അവസാന അക്കം ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്).

ഉദാഹരണത്തിന്: 32217864 : 2

4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന : ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ പൂജ്യമായിരിക്കുമ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് അക്ക സംഖ്യ രൂപപ്പെടുമ്പോൾ അതിനെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. അവസാന അക്കങ്ങൾ, 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, 35324 : 4; 6600 : 4

ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ് 5 : ഒരു സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം 5 അല്ലെങ്കിൽ 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്: 36780 : 5 അല്ലെങ്കിൽ 12326 5 : 5

8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു മൂന്ന് അക്ക നമ്പർ, ഈ സംഖ്യയുടെ അവസാന മൂന്ന് അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് രൂപീകരിച്ചത്.

ഉദാഹരണത്തിന്: 432240 : 8

20 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യയെ 20 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 20 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. (മറ്റൊരു ഫോർമുലേഷൻ: സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 20 കൊണ്ട് ഹരിക്കും, അവസാന അക്കം ഇരട്ട).

ഉദാഹരണത്തിന്: 59640 : 20

25 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ പൂജ്യമോ 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയോ ഉള്ള സംഖ്യകളെ 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്: 667975 : 25 അല്ലെങ്കിൽ 77689 00 : 25

50 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ രണ്ട് ദശാംശ അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യ 50 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 50 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: 564350 :50 അല്ലെങ്കിൽ 5543 00 :50

125 കൊണ്ട് ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്:ഒരു സംഖ്യയുടെ അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങളോ 125 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയോ ആണെങ്കിൽ അതിനെ 125 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്: 32157000 :125 അല്ലെങ്കിൽ 3216 250 :125

അക്ക യൂണിറ്റിലെ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ ഒരു അക്ക യൂണിറ്റായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 12,000 എന്നത് 10, 100, 1000 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

സംഖ്യകളുടെ ഡിവിസിബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ ഞാൻ പരിഗണിച്ച 3, 9, 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.

3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ അതിനെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്: 5421: 3 ടി.കെ. 5+4+2+1=12, (12:3)

9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അതിനെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്: 653022: 9 ടി.കെ. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

11 കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള പരിശോധന:ഒറ്റ സ്ഥലങ്ങളിലെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നുകിൽ ഇരട്ട സ്ഥാനങ്ങളിലെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമോ അതിൽ നിന്ന് 11 ൻ്റെ ഗുണിതം കൊണ്ട് വ്യത്യാസമോ ആണെങ്കിൽ ആ സംഖ്യകളെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്: 865948732:11 കാരണം 8+5+4+7+2=26, 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 കാരണം 8+5+4+7+2=26 കൂടാതെ 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളിൽ ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയതിന് ശേഷമാണ് സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:

അടയാളം 1: നൂറുകൾക്ക് ശേഷമുള്ള സംഖ്യയിൽ നിന്ന് നൂറുകളുടെ സംഖ്യയുടെ ഇരട്ടി കുറയ്ക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 138: 6 കാരണം 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 കാരണം 44 - 7·2=30, (30:6)

അടയാളം 2: ഒരു സംഖ്യയെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, കൂടാതെ നാലിരട്ടിയാണെങ്കിൽ മാത്രം, യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണത്തോട് കൂട്ടിച്ചേർത്ത പത്തുകളുടെ എണ്ണം 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, 768:6 കാരണം 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

7 കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ:

അടയാളം 1: സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം 7 മൂന്നിരട്ടിയാകുമ്പോൾ, യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണത്തോട് ചേർത്ത പത്തുകളുടെ എണ്ണം 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്,നമ്പർ 154:7, കാരണം 15 3 + 4 = 49 (49:7) 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു

അടയാളം 2: "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്ത മൂന്ന് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന) ഒറ്റഗ്രൂപ്പുകളായി രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ മോഡുലസ്, "-" ചിഹ്നമുള്ള ഇരട്ട സംഖ്യകൾ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 138689257:7, കാരണം ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

11 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ:

അടയാളം 1: ഒറ്റപ്പെട്ട സ്ഥാനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും ഇരട്ട സ്ഥാനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 9163627:11, കാരണം ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

അടയാളം 2: രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ ആരംഭിക്കുന്ന) ഗ്രൂപ്പുകൾ രൂപീകരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 103785:11, കാരണം 10+37+85=132, 01+32=33 (33:11)

13 കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ:

അടയാളം 1: ഒരു സംഖ്യയെ 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, പത്ത് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക നാല് മടങ്ങ് 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 845:13, കാരണം 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

അടയാളം 2: ഒരു സംഖ്യയെ 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, എണ് പതുകളുടെ സംഖ്യയും ഒന്നിൻ്റെ സംഖ്യയുടെ ഒമ്പത് ഇരട്ടിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ.

ഉദാഹരണത്തിന്, 845:13, കാരണം 84-5 9=39 (39:13)

17 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ 17 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, എണ്‌പത്തിരട്ടിയും ഒന്നിൻ്റെ സംഖ്യയുടെ അഞ്ചിരട്ടിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് 17 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 221:17, കാരണം ǀ22-5·1ǀ=17

19 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ:ഒരു സംഖ്യയെ 19 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, പത്തുകളുടെ എണ്ണം യൂണിറ്റുകളുടെ ഇരട്ടിയായി 19 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 646:19, കാരണം 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധനകൾ:

അടയാളം 1: അവസാനത്തെ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യയുടെ മൂന്നിരട്ടിയായി ചേർക്കുന്ന നൂറുകളുടെ സംഖ്യ 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 28842:23, കാരണം 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

അടയാളം 2: സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം 23 എണ് പതുകളുടെ സംഖ്യയെ ഒന്നിൻ്റെ ഏഴിരട്ടിയുമായി കൂട്ടിയാൽ 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 391:23, കാരണം 3 9+7 1=46 (46:23)

അടയാളം 3: സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം 23 നൂറുകളുടെ സംഖ്യ പത്തുകളുടെ സംഖ്യയുടെ ഏഴിരട്ടിയും യൂണിറ്റുകളുടെ മൂന്നിരട്ടിയും കൂട്ടിയാൽ 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 391:23, കാരണം 3+7·9+3·1=69 (69:23)

27 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:മൂന്ന് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന) ഗ്രൂപ്പുകൾ രൂപീകരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 27 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 27 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2705427:27 കാരണം 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

29 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ 29 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, പത്തുകളുടെ എണ്ണം യൂണിറ്റുകളുടെ മൂന്നിരട്ടിയുമായി 29 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 261:29, കാരണം 26+3·1=29 (29:29)

31 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:പത്തുകളുടെ സംഖ്യയും ഒന്നിൻ്റെ മൂന്നിരട്ടിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് 31 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 31 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 217:31, കാരണം ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

33 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധനകൾ:ഒരു സംഖ്യയെ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് രണ്ട് അക്കങ്ങളുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളായി ഹരിച്ചാൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന തുക 33 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സംഖ്യയെ 33 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, 396:33, കാരണം 96+3=99 (99:33)

37 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള മാനദണ്ഡം:

അടയാളം 1: ഒരു സംഖ്യയെ 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, സംഖ്യയെ മൂന്ന് അക്കങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു), ഈ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ആകെത്തുക 37 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ 100048:37, കാരണം 100+048=148, (148:37)

അടയാളം 2: ഒരു സംഖ്യയെ 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, ട്രിപ്പിൾ എന്ന മോഡുലസ് നൂറുകളുടെ സംഖ്യയെ നാലിരട്ടിയായി ചേർത്താൽ പതിനായിരക്കണക്കിന് മൈനസ് ഏഴ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ച യൂണിറ്റുകളുടെ സംഖ്യയെ 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യ 481:37 ആണ്, കാരണം ഇത് 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നുǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

41 പ്രകാരം വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള മാനദണ്ഡം:

അടയാളം 1: ഒരു സംഖ്യയെ 41 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, എണ്പതിൻ്റെ സംഖ്യയും യൂണിറ്റുകളുടെ സംഖ്യയുടെ നാലിരട്ടിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് 41 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ.

ഉദാഹരണത്തിന്, 369:41, കാരണം ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

അടയാളം 2: ഒരു സംഖ്യയെ 41 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ, അതിനെ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് 5 അക്കങ്ങൾ വീതമുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കണം. ഓരോ ഗ്രൂപ്പിലും, വലതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അക്കത്തെ 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, രണ്ടാമത്തെ അക്കത്തെ 10 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, മൂന്നാമത്തേത് 18 കൊണ്ട്, നാലാമത്തേത് 16 കൊണ്ട്, അഞ്ചാമത്തേത് 37 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എല്ലാ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ചേർക്കുക. ഫലം എങ്കിൽ41 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, തുടർന്ന് സംഖ്യ തന്നെ 41 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

59 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ 59 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചവയുടെ സംഖ്യകളോട് പങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂട്ടിയാൽ 59 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 767:59, കാരണം 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

79 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ 79 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, 8 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചവയുടെ സംഖ്യയോട് പത്തുകളുടെ എണ്ണം 79 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 711:79, കാരണം 71+8·1=79, (79:79)

99 കൊണ്ട് ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്:രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന) ഗ്രൂപ്പുകളുണ്ടാക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 99 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 99 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 12573:99, കാരണം 1+25+73=99, (99:99)

101 പ്രകാരമുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്:ഒരു സംഖ്യയെ 101 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ മോഡുലസ് രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന) ഒറ്റഗ്രൂപ്പുകളായി മാറുന്നു, "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തത്, കൂടാതെ "-" ചിഹ്നമുള്ള ഇരട്ട സംഖ്യകൾ 101 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടും.

ഉദാഹരണത്തിന്

ഒരു സംഖ്യയുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കാൻ, മറ്റ് വിഭജന മാനദണ്ഡങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, എന്നിങ്ങനെയുള്ള വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഇവയെല്ലാം സംയുക്ത സംഖ്യകളാണ്. സംയോജിത സംഖ്യകൾക്കായുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡങ്ങൾ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാന സംഖ്യകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, ഏത് സംയുക്ത സംഖ്യയും വിഘടിപ്പിക്കാം.

6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:

അടയാളം 1: ഒരു സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ടും 3 കൊണ്ടും ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതായത്, അത് ഇരട്ടിയാണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 768:6, കാരണം 7+6+8=21 (21:3), 768 എന്ന സംഖ്യയിലെ അവസാന അക്കം ഇരട്ടയാണ്.

12-ന് ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്: ഒരു സംഖ്യയെ ഒരേ സമയം 3, 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 408:12, കാരണം 4+0+8=12 (12:3), അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് (08:4)

14 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ 2 ഉം 7 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 45612:14 എന്ന സംഖ്യ 2, 7 എന്നിവയാൽ ഹരിക്കാവുന്നതിനാൽ, അതായത് 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

15 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:ഒരു സംഖ്യയെ 3 ഉം 5 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 1146795:15 കാരണം ഈ സംഖ്യയെ 3 ഉം 5 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

27 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധനകൾ:ഒരു സംഖ്യയെ 3 ഉം 9 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 27 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 511704:27 കാരണം 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 ഒപ്പം 18:9)

30 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ലക്ഷണങ്ങൾ:ഒരു സംഖ്യ 0-ൽ അവസാനിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 30 കൊണ്ട് ഹരിക്കും, എല്ലാ അക്കങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 510:30 കാരണം 5+1+0=6 (6:3), 510 എന്ന സംഖ്യയിൽ (അവസാന അക്കം 0)

60 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ:ഒരു സംഖ്യയെ 60 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, അത് 4, 3 അല്ലെങ്കിൽ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 1620:60 കാരണം 1+6+2+0=9 (9:3), 1620 എന്ന സംഖ്യ 0-ൽ അവസാനിക്കുന്നു, അതായത്. 5, 1620: 4 എന്നിവയാൽ ഹരിക്കാനാകും അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ 20:4

പ്രവൃത്തിക്ക് പ്രായോഗിക പ്രയോഗമുണ്ട്. യഥാർത്ഥ സാഹചര്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും മുതിർന്നവർക്കും ഇത് ഉപയോഗിക്കാം; അദ്ധ്യാപകർ, ഗണിത പാഠങ്ങൾ നടത്തുമ്പോഴും തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന കോഴ്സുകളിലും അധിക ക്ലാസുകൾആവർത്തനത്തിന്.

ഈ പഠനംഎപ്പോൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും സ്വയം പരിശീലനംഅവസാന പരീക്ഷകൾക്കും പ്രവേശന പരീക്ഷകൾക്കും. സിറ്റി ഒളിമ്പ്യാഡുകളിൽ ഉയർന്ന സ്ഥാനങ്ങൾ ലക്ഷ്യമിടുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1 . 3, 4 അക്കങ്ങൾ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാൻ കഴിയുമോ:

10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യ;

ഇരട്ട സംഖ്യ;

5 ൻ്റെ ഗുണിതമായ ഒരു സംഖ്യ;

ഒറ്റ സംഖ്യ

പ്രശ്നം നമ്പർ 2

ആവർത്തിക്കുന്ന അക്കങ്ങളില്ലാത്ത (എല്ലാ അക്കങ്ങളും വ്യത്യസ്തമാണ്) ബാക്കിയില്ലാതെ 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ചില ഒമ്പത് അക്ക സംഖ്യകൾ എഴുതുക.

ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും വലുത് എഴുതുക.

ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയത് എഴുതുക.

ഉത്തരം: 987652413; 102347586

പ്രശ്നം നമ്പർ 3

എല്ലാ അക്കങ്ങളും വ്യത്യസ്തവും 2, 5, 9, 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതുമായ ഏറ്റവും വലിയ നാലക്ക നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: 8910

പ്രശ്നം നമ്പർ 4

ഒല്യ ഒരു ലളിതമായ മൂന്നക്ക നമ്പർ കൊണ്ടുവന്നു, അതിൻ്റെ എല്ലാ അക്കങ്ങളും വ്യത്യസ്തമാണ്. അതിൻ്റെ അവസാന അക്കം ആദ്യത്തെ രണ്ടിൻ്റെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഏത് അക്കത്തിൽ അവസാനിക്കും. അത്തരം സംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.

ഉത്തരം: 7 കൊണ്ട് മാത്രം. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന 4 അക്കങ്ങളുണ്ട്: 167, 257, 347, 527

പ്രശ്നം നമ്പർ 5

രണ്ട് ക്ലാസുകളിലുമായി 70 കുട്ടികളാണ് പഠിക്കുന്നത്. ഒരു ക്ലാസിൽ, 7/17 വിദ്യാർത്ഥികൾ ക്ലാസുകളിൽ ഹാജരായില്ല, മറ്റൊന്നിൽ, 2/9 ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ മികച്ച ഗ്രേഡുകൾ നേടി. ഓരോ ക്ലാസിലും എത്ര വിദ്യാർത്ഥികളുണ്ട്?

പരിഹാരം:ഈ ക്ലാസുകളിൽ ആദ്യത്തേതിൽ ഉണ്ടാകാം: 17, 34, 51... - 17 ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകൾ. രണ്ടാം ക്ലാസിൽ: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകൾ 9. നമ്മൾ ആദ്യ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന് 1 സംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് 2 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയാണ്, അങ്ങനെ അവ 70 ആയി കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, ഈ ശ്രേണികളിൽ ഒരു ചെറിയ എണ്ണം പദങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ സാധ്യമായ കുട്ടികളുടെ എണ്ണം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ. ക്ലാസ്. ഈ പരിഗണന ഓപ്ഷനുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ഗണ്യമായി പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. സാധ്യമായ ഒരേയൊരു ഓപ്ഷൻ ജോഡി (34, 36) ആയിരുന്നു.

പ്രശ്നം നമ്പർ 6

ഒമ്പതാം ക്ലാസിൽ പരീക്ഷ 1/7 വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് എ, 1/3 - ബി, ½ - സി എന്നിവ ലഭിച്ചു. ബാക്കിയുള്ള ജോലികൾ തൃപ്തികരമല്ലെന്ന് തെളിഞ്ഞു. അത്തരം എത്ര ജോലികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

പരിഹാരം:പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമായ ഒരു സംഖ്യയായിരിക്കണം: 7, 3, 2. ആദ്യം ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയത് കണ്ടെത്താം. LCM (7, 3, 2) = 42. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 - 1 പരാജയപ്പെട്ടു. ക്ലാസിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം 84, 126 എന്നിങ്ങനെയാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര ബന്ധ പ്രശ്നങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നത്. മനുഷ്യൻ. എന്നാൽ ഏറ്റവും സ്വീകാര്യമായ ഉത്തരം 42 എന്ന സംഖ്യയാണെന്ന് സാമാന്യബുദ്ധി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉത്തരം: 1 ജോലി.

ഉപസംഹാരം:

ഈ സൃഷ്ടിയുടെ ഫലമായി, എനിക്കറിയാവുന്ന 2, 3, 5, 9, 10 കൊണ്ടുള്ള വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾക്ക് പുറമേ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഹരിക്കലിൻ്റെ മറ്റ് അടയാളങ്ങളും ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ മനസ്സിലാക്കി. നേടിയ അറിവ് പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കുന്നു. എനിക്ക് ഈ അറിവ് എൻ്റെ ജീവിതത്തിൽ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും വിദ്യാഭ്യാസ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ഗണിത പാഠങ്ങളിലും ഇൻ പാഠ്യേതര പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ചില ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡങ്ങളുടെ രൂപീകരണങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അതുകൊണ്ടായിരിക്കാം അവർ സ്കൂളിൽ പഠിക്കാത്തത്. ഭാവിയിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് തുടരുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

എൻസൈക്ലോപീഡിക് നിഘണ്ടുയുവ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ. സവിൻ എ.പി. മോസ്കോ "പെഡഗോഗി" 1989.

ഗണിതം. ഗണിത പാഠങ്ങൾക്കുള്ള അധിക സാമഗ്രികൾ, ഗ്രേഡുകൾ 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. മോസ്കോ "ബസ്റ്റാർഡ്" 2002.

ഒരു ഗണിത പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ പേജുകൾക്ക് പിന്നിൽ. വിലെൻകിൻ എൻ.യാ., ഡെപ്മാൻ ഐ.യാ. എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 1989.

പാഠ്യേതര പ്രവർത്തനങ്ങൾ 6-8 ഗ്രേഡുകളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ. മോസ്കോ. "ജ്ഞാനോദയം" ​​1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.

“1001 ചോദ്യങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും. അറിവിൻ്റെ വലിയ പുസ്തകം" മോസ്കോ. "വേൾഡ് ഓഫ് ബുക്ക്സ്" 2004.

ഗണിതത്തിൽ ഓപ്ഷണൽ കോഴ്സ്. നിക്കോൾസ്കായ ഐ.എൽ. - മോസ്കോ. ജ്ഞാനോദയം 1991.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒളിമ്പ്യാഡ് പ്രശ്നങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും. ഫാർകോവ് എ.വി - മോസ്കോ. 2003

ഇൻ്റർനെറ്റ് ഉറവിടങ്ങൾ.

അവതരണ ഉള്ളടക്കം കാണുക
"സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ"

സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കുള്ള പ്രാദേശിക ഗവേഷണ സമ്മേളനം

ലഖ്ഡെൻപോഖ് മുനിസിപ്പൽ ഡിസ്ട്രിക്ട് "ഭാവിയിലേക്കുള്ള ചുവടുവെപ്പ്"

"സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ"

പൂർത്തിയാക്കിയത്: ഗാൽക്കിന നതാലിയ

ഏഴാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥി

MKOU "എലിസെൻവാര സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ"

തല: വാസിലിയേവ ലാരിസ വ്ലാഡിമിറോവ്ന

MKOU "Elisenvaarskaya" യിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകൻ സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ"

2014

ഗവേഷണത്തിൻ്റെ പ്രസക്തി : വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത കാലങ്ങളിലെയും ജനങ്ങളിലെയും ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠങ്ങളിൽ "സംഖ്യകളുടെ 2, 3, 5, 9, 10 കൊണ്ടുള്ള സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ" എന്ന വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ, വിഭജനത്തിനായി സംഖ്യകൾ പഠിക്കാൻ എനിക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടായി. ഈ സംഖ്യകളാൽ സംഖ്യകളുടെ ഭാജനം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, മറ്റ് സംഖ്യകളാൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഹരിക്കൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന അടയാളങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെട്ടു. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഹരിക്കാവുന്നതാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന് എ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിലേക്ക് ബി ബാക്കിയില്ലാതെ, ഈ സംഖ്യകളെ വിഭജിക്കേണ്ടതില്ല. വിഭജനത്തിൻ്റെ ചില അടയാളങ്ങൾ അറിഞ്ഞാൽ മതി. അനുമാനം - സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 2, 3, 5, 9, 10 എന്നിവ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഭാജനം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന മറ്റ് അടയാളങ്ങളുണ്ട്. പഠനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം - സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ മൊത്തത്തിലുള്ള വിഭജനത്തിൻ്റെ ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന അടയാളങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക, സ്കൂളിൽ പഠിക്കുകയും ഈ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക. ഈ ലക്ഷ്യം നേടുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ചുമതലകൾ:

• സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം സ്വതന്ത്രമായി അന്വേഷിക്കുക.
• വിഭജനത്തിൻ്റെ മറ്റ് അടയാളങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെടാൻ അധിക സാഹിത്യം പഠിക്കുക.
• വ്യത്യസ്ത ഉറവിടങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള സവിശേഷതകൾ സംയോജിപ്പിച്ച് സംഗ്രഹിക്കുക.
• ഒരു നിഗമനം വരയ്ക്കുക. പഠന വിഷയം - സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം. പഠന വിഷയം - വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ. ഗവേഷണ രീതികൾ - മെറ്റീരിയൽ ശേഖരണം, ഡാറ്റ പ്രോസസ്സിംഗ്, താരതമ്യം, വിശകലനം, പൊതുവൽക്കരണം. പുതുമ : പ്രോജക്റ്റ് സമയത്ത് ഞാൻ എൻ്റെ അറിവ് വിപുലീകരിച്ചു സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ മാനദണ്ഡത്തിൽ.

ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്

ബ്ലെയ്സ് പാസ്കൽ (ജനനം 1623) - മനുഷ്യ ചരിത്രത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തരായ ആളുകളിൽ ഒരാൾ. 39 വയസ്സുള്ളപ്പോൾ പാസ്കൽ മരിച്ചു, എന്നാൽ ഇത്രയും ചെറിയ ജീവിതം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, ഒരു മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞൻ, തത്ത്വചിന്തകൻ, എഴുത്തുകാരൻ എന്നീ നിലകളിൽ അദ്ദേഹം ചരിത്രത്തിൽ ഇടം നേടി. സമ്മർദ്ദത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റും (പാസ്‌കൽ) ഇന്ന് വളരെ ജനപ്രിയമായ ഒരു പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷയും അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പേരിലാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്. ബ്ലെയ്‌സ് പാസ്കൽ ഒരു സാധാരണ കണ്ടു ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയെ മറ്റേതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടയാളങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം.

പാസ്കൽ ടെസ്റ്റ് എന്നത് ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ടും ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ടെസ്റ്റുകൾ നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതിയാണ്. ഒരു തരം "വിഭജനത്തിൻ്റെ സാർവത്രിക അടയാളം".

പാസ്കലിൻ്റെ ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്: അക്ക യൂണിറ്റുകളെ ബി എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന അനുബന്ധ ശേഷിപ്പുകൾ കൊണ്ട് a സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രമേ a സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ മറ്റൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയുള്ളൂ.

ഉദാഹരണത്തിന് : 2814 എന്ന സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, കാരണം 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. (ഇവിടെ 6 എന്നത് 1000-നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിൻ്റെ ബാക്കിയാണ്, 2 എന്നത് 100-നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിൻ്റെ ബാക്കിയാണ്. 10 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ബാക്കിയുള്ളത് 3 ആണ്).

അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ

ഈ വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ആവശ്യമായ ചില ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയങ്ങൾ ഓർക്കാം:

• ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ് വിഭജനം നടത്താതെ തന്നെ, ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊന്നിനാൽ ഹരിക്കപ്പെടുമോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു നിയമമാണ്.

• ഡിവൈഡർ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എ ഒരു സ്വാഭാവിക നമ്പറിലേക്ക് വിളിക്കുക ബി , ഏതിനോട് എ ബാക്കിയില്ലാതെ വിഭജിച്ചു.

• ലളിതം അവയൊഴികെ മറ്റ് സ്വാഭാവിക വ്യതിരിക്തമായ വിഭജനങ്ങളില്ലാത്ത സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ വിളിക്കുന്നു.

• സംയുക്തം 1-ഉം അവയും ഒഴികെയുള്ള സ്വാഭാവിക വിഭജനങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളാണ്.

വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ

ഈ കൃതിയിൽ ഞാൻ പരിഗണിച്ച സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും 4 ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കാം:

ഐ

• ഐ . സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അവസാന അക്കം (കൾ) കൊണ്ടാണ്

2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125, അക്ക യൂണിറ്റുകൾ 10, 100 മുതലായവ കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഞാൻ പരിഗണിച്ച സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

• 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന : ഒരു സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു (അതായത് അവസാന അക്കം ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്).

ഉദാഹരണത്തിന് : 3221786 4 : 2

• 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന : ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ പൂജ്യമായിരിക്കുമ്പോൾ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന രണ്ട് അക്ക സംഖ്യയെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ് 5 : ഒരു സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം 5 അല്ലെങ്കിൽ 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്: 3678 0 : 5 അല്ലെങ്കിൽ 12326 5 : 5

• 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയുടെ അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് രൂപപ്പെടുന്ന മൂന്നക്ക സംഖ്യയെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: 432 240 : 8

• 20 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ രണ്ടായി രൂപപ്പെടുത്തുമ്പോൾ 20 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും അവസാനത്തെ സംഖ്യകൾ, 20 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. (മറ്റൊരു ഫോർമുലേഷൻ: സംഖ്യയെ ഹരിക്കാവുന്നതാണ് 20 എപ്പോൾ സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം 0 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് മുതൽ അവസാന അക്കം വരെ തുല്യമാണ്).

ഉദാഹരണത്തിന്: 596 40 : 20

• 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ പൂജ്യമോ 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയോ ഉള്ള സംഖ്യകളെ 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്: 6679 75 : 25 അല്ലെങ്കിൽ 77689 00 : 25

• 50 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ രണ്ട് ദശാംശ അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യ 50 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 50 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന് : 5643 50 : 50 അല്ലെങ്കിൽ 5543 00 : 50

• 125 കൊണ്ട് ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്: ഒരു സംഖ്യയുടെ അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങളോ 125 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയോ ആണെങ്കിൽ അതിനെ 125 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്: 32157 000 : 125 അല്ലെങ്കിൽ 3216 250 : 125

• അക്ക യൂണിറ്റ് 10, 100, 1000 മുതലായവ പ്രകാരമുള്ള വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ: അക്ക യൂണിറ്റിലെ പൂജ്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ ഒരു അക്ക യൂണിറ്റായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 12,000 എന്നത് 10, 100, 1000 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

II

• II . സംഖ്യകളുടെ ഡിവിസിബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ ഞാൻ പരിഗണിച്ച 3, 9, 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.

• 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ അതിനെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്: 5421: 3 ടി.കെ. 5+4+2+1=12, (12:3)

• 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അതിനെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്: 653022: 9 കാരണം 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• 11 കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള പരിശോധന: ഒറ്റ സ്ഥലങ്ങളിലെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നുകിൽ ഇരട്ട സ്ഥാനങ്ങളിലെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമോ അതിൽ നിന്ന് 11 ൻ്റെ ഗുണിതം കൊണ്ട് വ്യത്യാസമോ ആണെങ്കിൽ ആ സംഖ്യകളെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്: 865948732:11 കാരണം 8+5+4+7+2=26, 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 കാരണം 8+5+4+7+2=26 കൂടാതെ 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയതിന് ശേഷമാണ് സംഖ്യകളുടെ ദ്വിതീയത നിർണ്ണയിക്കുന്നത്

ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങൾക്ക് മുകളിൽ

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന:

• അടയാളം 1: നൂറുകൾക്ക് ശേഷമുള്ള സംഖ്യയിൽ നിന്ന് നൂറുകളുടെ സംഖ്യയുടെ ഇരട്ടി കുറയ്ക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: 138: 6 കാരണം 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 കാരണം 44 - 7·2=30, (30:6)

• ചിഹ്നം 2: ഒരു സംഖ്യയെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, കൂടാതെ ഒന്നിൻ്റെ സംഖ്യകളോട് ചേർക്കുന്ന പത്തുകളുടെ നാലിരട്ടി സംഖ്യ 6 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രം.

ഉദാഹരണത്തിന്: 768:6 കാരണം 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

7 കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ:

• അടയാളം 1: ഒരു സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, ഒന്നിൻ്റെ സംഖ്യയുമായി കൂട്ടിച്ചേർത്ത പത്തിൻ്റെ ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: നമ്പർ 154:7, കാരണം 15 3 + 4 = 49 (49:7) 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു

• ചിഹ്നം 2: മൂന്ന് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന) ഒറ്റ ഗ്രൂപ്പുകളായി രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ മോഡുലസ് "+" ചിഹ്നവും "-" ചിഹ്നമുള്ള ഇരട്ട സംഖ്യകളും കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. 7.

ഉദാഹരണത്തിന്, 138689257:7, കാരണം ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

11 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ:

• അടയാളം 1: ഒറ്റയടി സ്ഥാനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും ഇരട്ട സ്ഥാനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 9163627:11, കാരണം ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• അടയാളം 2: രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന) ഗ്രൂപ്പുകൾ രൂപീകരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 103785:11, കാരണം 10+37+85=132, 01+32=33 (33:11)

13 കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ:

• അടയാളം 1: ഒരു സംഖ്യയെ 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, എണ്പത്തിൻ്റെയും നാലിരട്ടിയുടെയും സംഖ്യയെ 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ

ഉദാഹരണത്തിന്, 845:13, കാരണം 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• അടയാളം 2: ഒരു സംഖ്യയെ 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, പത്തുകളുടെ സംഖ്യയും ഒന്നിൻ്റെ ഒമ്പത് ഇരട്ടിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 845:13, കാരണം 84-5 9=39 (39:13)

17 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ 17 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, എണ്‌പത്തിരട്ടിയും ഒന്നിൻ്റെ സംഖ്യയുടെ അഞ്ചിരട്ടിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് 17 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 221:17, കാരണം ǀ22-5·1ǀ=17

19 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ: ഒരു സംഖ്യയെ 19 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, സംഖ്യ പത്ത് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, കൂടെ കൂടെ തെറ്റായ യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി, 19 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, 646:19, കാരണം 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധനകൾ:

• അടയാളം 1: അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യയുടെ മൂന്നിരട്ടിയായി ചേർക്കുന്ന നൂറുകളുടെ എണ്ണം 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 28842:23, കാരണം 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• അടയാളം 2: യൂണിറ്റുകളുടെ സംഖ്യയുടെ ഏഴിരട്ടിയുമായി കൂട്ടിച്ചേർത്ത പത്തുകളുടെ എണ്ണം 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 391:23, കാരണം 39+7·1=46 (46:23)

• അടയാളം 3: നൂറുകളുടെ സംഖ്യ, എൺപതുകളുടെ സംഖ്യയുടെ ഏഴിരട്ടിയും യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ മൂന്നിരട്ടിയും കൂട്ടിയാൽ ഒരു സംഖ്യയെ 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. 23 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, 391:23, കാരണം 3+7·9+3·1=69 (69:23)

27 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: മൂന്ന് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന) ഗ്രൂപ്പുകൾ രൂപീകരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 27 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 27 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2705427:27 കാരണം 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

29 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ 29 കൊണ്ട് ഹരിക്കും

ഉദാഹരണത്തിന്, 261:29, കാരണം 26+3·1=29 (29:29)

31 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: പത്തുകളുടെ സംഖ്യയുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് ആകുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 31 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും യൂണിറ്റുകളുടെ മൂന്നിരട്ടി സംഖ്യയെ 31 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 217:31, കാരണം ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

33 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധനകൾ: ഒരു സംഖ്യയെ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് രണ്ട് അക്കങ്ങളുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളായി ഹരിച്ചാൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന തുക 33 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സംഖ്യയെ 33 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, 396:33, കാരണം 96+3=99 (99:33)

37 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള മാനദണ്ഡം:

• അടയാളം 1 : ഒരു സംഖ്യയെ 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, സംഖ്യയെ മൂന്ന് അക്കങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു), ഈ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ആകെത്തുക 37 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന് , നമ്പർ 100048:37, കാരണം 100+048=148, (148:37)

• ചിഹ്നം 2: നൂറുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂൾ, പത്തുകളുടെ സംഖ്യയുടെ നാലിരട്ടിയായി ചേർത്താൽ, യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണം ഏഴ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 481:37 എന്ന സംഖ്യ, ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 എന്നത് 37 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതിനാൽ

41 പ്രകാരം വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള മാനദണ്ഡം:

• അടയാളം 1: പത്തുകളുടെ സംഖ്യയും ഒന്നുകളുടെ സംഖ്യയുടെ നാലിരട്ടിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് 41 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 41 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 369:41, കാരണം ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• അടയാളം 2: ഒരു സംഖ്യയെ 41 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ, അതിനെ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് 5 അക്കങ്ങൾ വീതമുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കണം. ഓരോ ഗ്രൂപ്പിലും, വലതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അക്കത്തെ 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, രണ്ടാമത്തെ അക്കത്തെ 10 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, മൂന്നാമത്തേത് 18 കൊണ്ട്, നാലാമത്തേത് 16 കൊണ്ട്, അഞ്ചാമത്തേത് 37 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എല്ലാ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ചേർക്കുക. ഫലം 41 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സംഖ്യ തന്നെ 41 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

59 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ 59 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചവയുടെ സംഖ്യകളോട് പങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂട്ടിയാൽ 59 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 767:59, കാരണം 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

79 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ 79 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, 8 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചവയുടെ സംഖ്യയോട് പത്തുകളുടെ എണ്ണം 79 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 711:79, കാരണം 71+8·1=79, (79:79)

99 കൊണ്ട് ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്: രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന) ഗ്രൂപ്പുകളുണ്ടാക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 99 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയെ 99 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 12573:99, കാരണം 1+25+73=99, (99:99)

101 പ്രകാരമുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്: ഒരു സംഖ്യയെ 101 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ മോഡുലസ് രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ (ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന) ഒറ്റഗ്രൂപ്പുകളായി മാറുന്നു, "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തത്, കൂടാതെ "-" ചിഹ്നമുള്ള ഇരട്ട സംഖ്യകൾ 101 കൊണ്ട് ഹരിക്കപ്പെടും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 590547:101, കാരണം ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . ഒരു സംഖ്യയുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കാൻ, മറ്റ് വിഭജന മാനദണ്ഡങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുടെ ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60, എന്നിങ്ങനെയുള്ള വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഇവയെല്ലാം സംയുക്ത സംഖ്യകളാണ്. സംയോജിത സംഖ്യകൾക്കായുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡങ്ങൾ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാന സംഖ്യകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, ഏത് സംയുക്ത സംഖ്യയും വിഘടിപ്പിക്കാം.

6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ടും 3 കൊണ്ടും ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതായത്, അത് ഇരട്ടിയാണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 768:6, കാരണം 7+6+8=21 (21:3), 768 എന്ന സംഖ്യയിലെ അവസാന അക്കം ഇരട്ടയാണ്.

12-ന് ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ് : ഒരു സംഖ്യയെ ഒരേ സമയം 3, 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 408:12, കാരണം 4+0+8=12 (12:3), അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് (08:4)

14 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ 2 ഉം 7 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 45612:14 എന്ന സംഖ്യ 2, 7 എന്നിവയാൽ ഹരിക്കാവുന്നതിനാൽ, അതായത് 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും

15 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന: ഒരു സംഖ്യയെ 3 ഉം 5 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 1146795:15 കാരണം ഈ സംഖ്യയെ 3 ഉം 5 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം

27 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധനകൾ: ഒരു സംഖ്യയെ 3 ഉം 9 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 27 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 511704:27 കാരണം 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 ഒപ്പം 18:9)

30 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ലക്ഷണങ്ങൾ: ഒരു സംഖ്യ 0-ൽ അവസാനിക്കുമ്പോൾ അതിനെ 30 കൊണ്ട് ഹരിക്കും, എല്ലാ അക്കങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 510:30 കാരണം 5+1+0=6 (6:3), 510 എന്ന സംഖ്യയിൽ (അവസാന അക്കം 0)

60 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ: ഒരു സംഖ്യയെ 60 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന്, അത് 4, 3 അല്ലെങ്കിൽ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 1620:60 കാരണം 1+6+2+0=9 (9:3), 1620 എന്ന സംഖ്യ 0-ൽ അവസാനിക്കുന്നു, അതായത്. 5, 1620: 4 എന്നിവയാൽ ഹരിക്കാനാകും അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ 20:4

പ്രായോഗികമായി ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡങ്ങളുടെ പ്രയോഗം

പ്രവൃത്തിക്ക് പ്രായോഗിക പ്രയോഗമുണ്ട്. യഥാർത്ഥ സാഹചര്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും മുതിർന്നവർക്കും ഇത് ഉപയോഗിക്കാം; അദ്ധ്യാപകർ, ഗണിത പാഠങ്ങൾക്കിടയിലും തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട കോഴ്സുകളിലും അധിക റിവിഷൻ ക്ലാസുകളിലും.

ഫൈനൽ, എൻട്രൻസ് പരീക്ഷകൾക്കുള്ള സ്വതന്ത്ര തയ്യാറെടുപ്പിൽ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ പഠനം ഉപയോഗപ്രദമാകും. സിറ്റി ഒളിമ്പ്യാഡുകളിൽ ഉയർന്ന സ്ഥാനങ്ങൾ ലക്ഷ്യമിടുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1 . 3, 4 അക്കങ്ങൾ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാൻ കഴിയുമോ:

• 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യ;
• ഇരട്ട സംഖ്യ;
• 5 ൻ്റെ ഗുണിതമായ ഒരു സംഖ്യ;
• ഒറ്റ സംഖ്യ

പ്രശ്നം നമ്പർ 3 : എല്ലാ അക്കങ്ങളും വ്യത്യസ്തവും 2, 5, 9, 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതുമായ ഏറ്റവും വലിയ നാലക്ക നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: 8910

ടാസ്ക് #4: ഒല്യ ഒരു ലളിതമായ മൂന്നക്ക നമ്പർ കൊണ്ടുവന്നു, അതിൻ്റെ എല്ലാ അക്കങ്ങളും വ്യത്യസ്തമാണ്. അതിൻ്റെ അവസാന അക്കം ആദ്യത്തെ രണ്ടിൻ്റെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഏത് അക്കത്തിൽ അവസാനിക്കും. അത്തരം സംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.

ഉത്തരം: 7 കൊണ്ട് മാത്രം. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന 4 അക്കങ്ങളുണ്ട്: 167, 257, 347, 527

പ്രശ്നം നമ്പർ 5 : രണ്ട് ക്ലാസുകളിലായി 70 കുട്ടികളുണ്ട്. ഒരു ക്ലാസിൽ, 7/17 വിദ്യാർത്ഥികൾ ക്ലാസുകളിൽ ഹാജരായില്ല, മറ്റൊന്നിൽ, 2/9 ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ മികച്ച ഗ്രേഡുകൾ നേടി. ഓരോ ക്ലാസിലും എത്ര വിദ്യാർത്ഥികളുണ്ട്?

പരിഹാരം: ഈ ക്ലാസുകളിൽ ആദ്യത്തേതിൽ ഉണ്ടാകാം: 17, 34, 51... - 17 ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകൾ. രണ്ടാം ക്ലാസിൽ: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - ഗുണിതങ്ങളായ സംഖ്യകൾ 9. നമ്മൾ ആദ്യ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന് 1 സംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് 2 എന്നത് ഒരു സംഖ്യയാണ്, അങ്ങനെ അവ 70 ആയി കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, ഈ ശ്രേണികളിൽ ഒരു ചെറിയ എണ്ണം പദങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ സാധ്യമായ കുട്ടികളുടെ എണ്ണം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ. ക്ലാസ്. ഈ പരിഗണന ഓപ്ഷനുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ഗണ്യമായി പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. സാധ്യമായ ഒരേയൊരു ഓപ്ഷൻ ജോഡി (34, 36) ആയിരുന്നു.

പ്രശ്നം നമ്പർ 6 : 9-ാം ക്ലാസ്സിൽ, 1/7 വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പരീക്ഷയ്ക്ക് എ ലഭിച്ചു, 1/3 ലഭിച്ചു നാല്, ½ - മൂന്ന്. ബാക്കിയുള്ള ജോലികൾ തൃപ്തികരമല്ലെന്ന് തെളിഞ്ഞു. അത്തരം എത്ര കൃതികൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

പരിഹാരം: പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം അക്കങ്ങളുടെ ഗുണിതമായ ഒരു സംഖ്യയായിരിക്കണം: 7, 3, 2. ആദ്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയത്. LCM (7, 3, 2) = 42. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പദപ്രയോഗം നടത്താം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 - 1 പരാജയപ്പെട്ടു. ഗണിതശാസ്ത്ര ബന്ധത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ സംഖ്യയാണെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു 84, 126 ക്ലാസുകളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾ. മനുഷ്യൻ. എന്നാൽ സാമാന്യബുദ്ധിയുടെ കാരണങ്ങളാൽ ഏറ്റവും സ്വീകാര്യമായ ഉത്തരം 42 എന്ന സംഖ്യയാണ്.

ഉത്തരം: 1 ജോലി.

ഉപസംഹാരം:

ഈ സൃഷ്ടിയുടെ ഫലമായി, എനിക്കറിയാവുന്ന 2, 3, 5, 9, 10 കൊണ്ടുള്ള വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾക്ക് പുറമേ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഹരീകരണത്തിൻ്റെ മറ്റ് അടയാളങ്ങളും ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ മനസ്സിലാക്കി. നേടിയ അറിവ് പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കുന്നു. എൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ പ്രവർത്തനങ്ങളിലും, ഗണിത പാഠങ്ങളിലും പാഠ്യേതര പ്രവർത്തനങ്ങളിലും ഈ അറിവ് ഉപയോഗിക്കാൻ എനിക്ക് കഴിയും. ചില ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡങ്ങളുടെ രൂപീകരണങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അതുകൊണ്ടായിരിക്കാം അവർ സ്കൂളിൽ പഠിക്കാത്തത്. ഭാവിയിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് തുടരുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

• ഒരു യുവ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ എൻസൈക്ലോപീഡിക് നിഘണ്ടു. സവിൻ എ.പി. മോസ്കോ "പെഡഗോഗി" 1989.
• ഗണിതം. ഗണിത പാഠങ്ങൾക്കുള്ള അധിക സാമഗ്രികൾ, ഗ്രേഡുകൾ 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. മോസ്കോ "ബസ്റ്റാർഡ്" 2002.
• ഒരു ഗണിത പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ പേജുകൾക്ക് പിന്നിൽ. വിലെൻകിൻ എൻ.യാ., ഡെപ്മാൻ ഐ.യാ. എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 1989.
• 6-8 ഗ്രേഡുകളിൽ ഗണിതത്തിലെ പാഠ്യേതര ജോലി. മോസ്കോ. "ജ്ഞാനോദയം" ​​1984 V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rosenthal.
• “1001 ചോദ്യങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും. അറിവിൻ്റെ വലിയ പുസ്തകം" മോസ്കോ. "വേൾഡ് ഓഫ് ബുക്ക്സ്" 2004.
• ഗണിതത്തിൽ ഓപ്ഷണൽ കോഴ്സ്. നിക്കോൾസ്കായ ഐ.എൽ. - മോസ്കോ. ജ്ഞാനോദയം 1991.
• ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒളിമ്പ്യാഡ് പ്രശ്നങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും. ഫാർകോവ് എ.വി - മോസ്കോ. 2003
• ഇൻ്റർനെറ്റ് ഉറവിടങ്ങൾ.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ

എണ്ണുന്നതിനോ കൈമാറ്റം ചെയ്യുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം.

ഔപചാരികമായി, Peano axiom സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ച് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം നിർവചിക്കാം.

കൂടെപീനോ ആക്സിയം സിസ്റ്റം

1. യൂണിറ്റ് - ഒരു സംഖ്യയും പിന്തുടരാത്ത ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.

2. ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും നിലവിലുണ്ട് ഏകവചനം
അത് ഉടനെ പിന്തുടരുന്നു.

3. ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും
ഉടനെ ഒരു നമ്പർ മാത്രം പിന്തുടരുന്നു.

4. ചില സെറ്റ് എങ്കിൽ
അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു കൂടാതെ ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്‌ക്കൊപ്പവും അതിനെ പിന്തുടരുന്ന സംഖ്യയും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു
(ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തം).

ഒരു സെറ്റിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഗുണനം

കുറയ്ക്കൽ :

കുറയ്ക്കൽ ഗുണങ്ങൾ: എങ്കിൽ
അത്

എങ്കിൽ
അത്

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം

ഡിവിഷൻ : വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു
അത്തരം

പ്രോപ്പർട്ടികൾപ്രവർത്തനങ്ങൾ:

1. എങ്കിൽ
എന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു അത്
വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

2. എങ്കിൽ
ഒപ്പം
എന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു അത്
വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

3. എങ്കിൽ
ഒപ്പം വിഭജിക്കപ്പെടുന്നത് കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നവയാണ്

4. അപ്പോഴേക്കും ഹരിച്ചാൽ
വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

5. എങ്കിൽ
a കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് അതും ഇതും എന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചിട്ടില്ല
കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല

6. എങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ അത് കൊണ്ട് വിഭജിച്ചു
വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

7. ഹരിച്ചാൽ
പിന്നീട് അതിനെ വിഭജിക്കുന്നു വിഭജിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു

സിദ്ധാന്തംബാക്കിയുള്ള വിഭജനത്തെക്കുറിച്ച്ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക്
പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ
അത്തരം
ഒപ്പം

തെളിവ്. അനുവദിക്കുക
ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം പരിഗണിക്കുക:

	എങ്കിൽ എങ്കിൽ അപ്പോൾ നമുക്ക് മറ്റൊരു കുറയ്ക്കൽ നടത്താം ബാക്കിയുള്ളത് സംഖ്യയേക്കാൾ കുറവാകുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കൽ പ്രക്രിയ തുടരുന്നു ഒരു നമ്പർ ഉണ്ട് അത്തരം
	നമുക്ക് ഈ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ എല്ലാ വരികളും കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ആവശ്യമായ എക്സ്പ്രഷൻ എവിടെ, എവിടെ ലഭിക്കും

വൈരുദ്ധ്യത്തിലൂടെ പ്രാതിനിധ്യത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.

രണ്ട് പ്രതിനിധാനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക

ഒപ്പം
ഒരു പദപ്രയോഗം മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക
പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലെ അവസാന തുല്യത മുതലുള്ള കേസിൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ
ചെയ്തത്
□

അനന്തരഫലം 1. ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
അല്ലെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ

അനന്തരഫലം 2. എങ്കിൽ
തുടർച്ചയായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, തുടർന്ന് അവയിലൊന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും

അനന്തരഫലം 3. എങ്കിൽ
തുടർച്ചയായി രണ്ട് ഇരട്ട സംഖ്യകൾ, തുടർന്ന് അവയിലൊന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും

നിർവ്വചനം. സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഒന്നല്ലാതെ മറ്റൊരു വിഭജനവും ഇല്ലെങ്കിൽ അതിനെ പ്രൈം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അനന്തരഫലം4. എല്ലാ പ്രധാന സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു ഫോം ഉണ്ട്
അഥവാ

തീർച്ചയായും, ഏത് സംഖ്യയെയും ഫോമിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം; എന്നിരുന്നാലും, ഈ ശ്രേണിയിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും ഒഴികെ
തീർച്ചയായും സംയുക്തമാണ്. □

അനന്തരഫലം5 . എങ്കിൽ
അപ്പോൾ പ്രധാന സംഖ്യ
വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

ശരിക്കും,
തുടർച്ചയായ മൂന്ന് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, ഒപ്പം
പോലും, ഒപ്പം
വിചിത്ര പ്രൈം. അതിനാൽ, ഇരട്ട സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന്
ഒപ്പം
4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, ഒന്നിനെ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് □

ഉദാഹരണം 2 . ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ ശരിയാണ്:

1. ഒറ്റ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു ശിഷ്ടം ലഭിക്കും

2. സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n എന്നത് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്ന സംഖ്യ n 2 +1 ആണ്.

3. 2, 3, 7, 8 (ഒരുപക്ഷേ നിരവധി തവണ) സംഖ്യകൾ മാത്രം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ വർഗ്ഗീകരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.

തെളിവ്1. ഏതെങ്കിലും ഒറ്റ സംഖ്യയെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം
അഥവാ
ഈ സംഖ്യകൾ ഓരോന്നും സ്ക്വയർ ചെയ്ത് ആവശ്യമായ സ്റ്റേറ്റ്മെൻ്റ് നേടാം.

തെളിവ് 2.എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെയും ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം
പിന്നെ എക്സ്പ്രഷൻ
പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും
വിഭജിക്കാത്തവ

തെളിവ്3. തീർച്ചയായും, ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തിൻ്റെ അവസാന അക്കം ഈ അക്കങ്ങളിലൊന്നിലും അവസാനിക്കാൻ കഴിയില്ല.

വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ

നിർവ്വചനം. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യം രൂപത്തിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ പ്രതിനിധാനമാണ്

ചുരുക്കെഴുത്ത്

വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ

അംഗീകരിച്ചത് 6അനുവദിക്കുക
സംഖ്യയുടെ ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യം തുടർന്ന്:

1. സംഖ്യയെ ഹരിക്കാവുന്നതാണ്
എപ്പോൾ നമ്പർ - പോലും;

2. സംഖ്യയെ ഹരിച്ചാണ് സംഖ്യ രണ്ടക്കമാകുമ്പോൾ
വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

3. സംഖ്യയെ ഹരിക്കാവുന്നതാണ് എപ്പോൾ
അഥവാ

4. സംഖ്യയെ ഹരിക്കാവുന്നതാണ്
എപ്പോൾ

5. സംഖ്യയെ ഹരിച്ചാണ്
സംഖ്യ രണ്ടക്കമാകുമ്പോൾ
- വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

6. സംഖ്യയെ ഹരിക്കാവുന്നതാണ്

7. സംഖ്യയെ ഹരിക്കാവുന്നതാണ് ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഹരിക്കുമ്പോൾ

8. സംഖ്യയെ ഹരിച്ചാണ്
ഒന്നിടവിട്ടുള്ള ചിഹ്നങ്ങളുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഹരിക്കുമ്പോൾ

തെളിവ്.ചിഹ്നങ്ങളുടെ തെളിവ് 1)-5) സംഖ്യയുടെ ദശാംശ നൊട്ടേഷനിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും. നമുക്ക് 6) ഉം 7 ഉം തെളിയിക്കാം. ശരിക്കും,

വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ
അപ്പോൾ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കൂടി ഹരിക്കാവുന്നതാണ്

നമുക്ക് തെളിയിക്കാം 11). അതിനെ ഹരിക്കട്ടെ, ഫോമിലെ സംഖ്യയെ നമുക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കാം

എല്ലാ കൂട്ടിച്ചേർത്ത തുകകളും ഹരിക്കാവുന്നതിനാൽ
അപ്പോൾ തുകയും □ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 3 . ഫോമിൻ്റെ എല്ലാ അഞ്ചക്ക നമ്പറുകളും കണ്ടെത്തുക
45 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നവ.

തെളിവ്.
അതിനാൽ, സംഖ്യയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ അവസാന അക്കം 0 അല്ലെങ്കിൽ 5 ആണ്, അതായത്.
അഥവാ
യഥാർത്ഥ സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അതിനാൽ ഇത് 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അതായത്.
അല്ലെങ്കിൽ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതായത്.

ഉത്തരം:

ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്ഓൺ ഒപ്പം

അംഗീകരിച്ചത് 7സംഖ്യാ സംഖ്യയുടെ ദശാംശ പ്രാതിനിധ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്
അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങളില്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയും അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ ചേർന്ന ഒരു സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വിഭജിക്കുമ്പോൾ

തെളിവ്.സംഖ്യ മുതൽ എന്ന രൂപത്തിൽ നമുക്ക് അതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം
എന്നിങ്ങനെ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു
അത്
കൂടാതെ □ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്

ഉദാഹരണം 4 . അനുവദിക്കുക
പിന്നെ
സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്
വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

അനുവദിക്കുക
പിന്നെ

തുടർന്ന് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം
വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

പ്രധാന സംഖ്യകൾ

എറതോസ്തനീസിൻ്റെ അരിപ്പ

(എല്ലാ പ്രൈം നമ്പറുകളും ലഭിക്കുന്നതിനുള്ള ലളിതമായ അൽഗോരിതം)

അൽഗോരിതം.ഞങ്ങൾ 1 മുതൽ 100 ​​വരെയുള്ള എല്ലാ അക്കങ്ങളും എഴുതി ആദ്യം എല്ലാ ഇരട്ട സംഖ്യകളും മറികടക്കുന്നു. തുടർന്ന്, ശേഷിക്കുന്നവയിൽ നിന്ന്, 3, 5, 7 മുതലായവ കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നവയെ ഞങ്ങൾ മറികടക്കുന്നു. തൽഫലമായി, അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ മാത്രമേ അവശേഷിക്കൂ.

യൂക്ലിഡിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം. പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്.

തെളിവ്"വൈരുദ്ധ്യത്താൽ." അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം പരിമിതമായിരിക്കട്ടെ -
നമ്പർ പരിഗണിക്കുക
ചോദ്യം: നമ്പർ - ലളിതമോ സംയുക്തമോ?

ഒരു സംയോജിത സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, അതിനെ ചില അഭാജ്യ സംഖ്യകളാൽ ഹരിക്കാം അതിനാൽ ഒന്നിനെ ഈ അഭാജ്യ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. വൈരുദ്ധ്യം.

ഒരു അഭാജ്യ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, അത് ഏതൊരു അഭാജ്യ സംഖ്യയേക്കാളും വലുതാണ്
ഞങ്ങൾ എല്ലാ പ്രധാന സംഖ്യകളും എഴുതി അക്കമിട്ടു. വീണ്ടും ഒരു വൈരുദ്ധ്യം. □

അംഗീകരിച്ചത് 8ഒരു സംഖ്യ സംയോജിതമാണെങ്കിൽ, അതിന് ഒരു പ്രൈം ഡിവൈസർ ഉണ്ട്

തെളിവ്.ഒരു സംയുക്ത സംഖ്യയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രൈം ഡിവൈസർ ആണെങ്കിൽ
അത്

അനന്തരഫലം.ഒരു സംഖ്യ പ്രൈം ആണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, അതിന് പ്രൈം ഡിവൈസറുകൾ ഉണ്ടോ എന്ന് നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 5 . അനുവദിക്കുക
നമ്പർ ഉണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ
ലളിതമായി, അത് അഭാജ്യ സംഖ്യകളാൽ ഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഉത്തരം: നമ്പർ
ലളിതമായ.

പ്രൈം നമ്പർ ജനറേറ്ററുകൾ

അനുമാനം:ഫോമിൻ്റെ എല്ലാ നമ്പറുകളും
ലളിതമായ.

ചെയ്തത്
- ഇവ പ്രധാന സംഖ്യകളാണ്
വേണ്ടി
എല്ലാ സംഖ്യകളും സംയുക്തമാണെന്ന് മാനുവലും ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിൻ്റെ സഹായത്തോടെയും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, (Euler)

അനുമാനം:ഫോമിൻ്റെ എല്ലാ നമ്പറുകളും
ലളിതമായ.

ചെയ്തത്
അത് ശരിയാണ്, ഓ
17 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

അനുമാനം: ഫോമിൻ്റെ എല്ലാ നമ്പറുകളും
ലളിതമായ.

ചെയ്തത്
അത് ശരിയാണ്, ഓ

അനുമാനം:ഫോമിൻ്റെ എല്ലാ സംഖ്യകളും പ്രൈം ആണ്. ചെയ്തത്
അത് ശരിയാണ്, ഓ

സിദ്ധാന്തം.(Fermat method of factoring) ഒറ്റ പൂർണ്ണസംഖ്യ പ്രൈം അല്ല
അത്തരം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുണ്ട്
തെളിവ്.

□

ഉദാഹരണം 6 . ഫാക്ടർ നമ്പറുകളെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക

ഉദാഹരണം 7 . ഒരു സംഖ്യയെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക
ഈ സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു
കൂടാതെ, ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന രീതി അനുസരിച്ച്,

ഉദാഹരണം 8 . ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ

ലളിതമോ?

അത് മുതൽ ശ്രദ്ധിക്കുക
ലളിതം, പിന്നെ ഒന്നുകിൽ
അഥവാ
ഉത്തരം:

അംഗീകരിച്ചു 10ഒരു പൂർണ്ണ ചതുരമാകുമ്പോൾ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് ഒറ്റസംഖ്യയുടെ ഹരിച്ചുകൾ ഉണ്ടോ?

തെളിവ്.എങ്കിൽ
വിഭജനം
പിന്നീട് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ജോഡി ഡിവൈസറുകൾ ഉണ്ട്
ഒപ്പം
എപ്പോൾ എന്നും
രണ്ട് ജോഡികളും തുല്യമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 9 . സംഖ്യകൾക്ക് കൃത്യമായി 99 വിഭജനങ്ങളുണ്ട്. ഒരു സംഖ്യയ്ക്ക് കൃത്യമായി 100 ഹരിക്കലുകൾ ഉണ്ടാകുമോ?

ഉത്തരം: ഇല്ല. മുമ്പത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം സാധുതയുള്ളതും - തികഞ്ഞ സമചതുരങ്ങൾഎന്നാൽ അവരുടെ ജോലി അങ്ങനെയല്ല.

ഉദാഹരണം 10 . നമ്പറുകൾ
ലളിതമായ. കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം.ഏത് സംഖ്യയെയും ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം
എങ്കിൽ
അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് പ്രധാന സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും
പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. എങ്കിൽ
അത്
സംയുക്തം. എങ്കിൽ
ആ നമ്പർ
വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു എങ്കിൽ
ആ നമ്പർ
ഇത് കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതിനാൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളിലും മൂന്ന് പ്രധാന സംഖ്യകൾ ലഭിക്കില്ല. ഉത്തരം:

നിർവ്വചനം. നമ്പർ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ പൊതു വിഭജനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അത് വിഭജിക്കുകയും അത്തരം സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും വലുതും ആണെങ്കിൽ.

പദവി:

നിർവ്വചനം . സംഖ്യകളും എങ്കിൽ താരതമ്യേന പ്രൈം എന്നു പറയപ്പെടുന്നു

ഉദാഹരണം 1 2 . സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം.അനുവദിക്കുക

അതിനാൽ, സമവാക്യം ഉത്തരം പോലെ കാണപ്പെടുന്നു: പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

കുറിച്ച്ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തം

സിദ്ധാന്തം.അതിലും വലിയ ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ഒന്നുകിൽ ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയാണ് അല്ലെങ്കിൽ പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി എഴുതാം, ഈ ഉൽപ്പന്നം ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമം വരെ അദ്വിതീയമാണ്.

അനന്തരഫലം 1.അനുവദിക്കുക

പിന്നെ
ഏറ്റവും ചെറിയ ശക്തികളുള്ള എല്ലാ പൊതു പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

അനന്തരഫലം 2.അനുവദിക്കുക
പിന്നെ
ഏറ്റവും വലിയ ശക്തികളുള്ള എല്ലാ വ്യത്യസ്‌ത പ്രൈം ഘടകങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്. വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു

10. 7 2011 + 9 2011 എന്ന സംഖ്യയുടെ അവസാന അക്കം കണ്ടെത്തുക.

11. യൂണിറ്റ് അക്കത്തിനും പത്ത് അക്കത്തിനും ഇടയിൽ പൂജ്യം ചേർത്താൽ 9 മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കുന്ന എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും കണ്ടെത്തുക.

12. ചില രണ്ടക്ക നമ്പറിലേക്ക്, ഒരെണ്ണം ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ചേർത്തു. ഫലം ഒറിജിനലിനേക്കാൾ 23 മടങ്ങ് വലുതായിരുന്നു. ഈ നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.

സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചോ വ്യായാമങ്ങളെക്കുറിച്ചോ ഉള്ള ചോദ്യങ്ങൾ വലേരി പെട്രോവിച്ച് ചുവാക്കോവിനോട് ചോദിക്കാം

chv @ uriit . ru

അധിക സാഹിത്യം

1. വിലെൻകിൻ എൻ.യാ. ഒരു ഗണിത പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ താളുകൾക്ക് പിന്നിൽ. ഗണിതശാസ്ത്രം. ബീജഗണിതം. -എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008.

2. സെവ്ര്യൂക്കോവ് പി.എഫ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒളിമ്പ്യാഡ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തയ്യാറെടുപ്പ്. -എം.: ഇലെക്സ, 2009.

3. കനേൽ-ബെലോവ് എ.യാ., കോവൽഡ്ജി എ.കെ. അവർ എങ്ങനെ തീരുമാനിക്കുന്നു നിലവാരമില്ലാത്ത ജോലികൾ. –എം. MCNMO, 2009.

4. അഗഖനോവ് എൻ.എ., പോഡ്ലിപ്സ്കി ഒ.കെ. മോസ്കോ മേഖലയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡുകൾ. -എം.: ഫിസ്മത്ക്നിഗ, 2006

5. ഗോർബച്ചേവ് എൻ.വി. ഒളിമ്പ്യാഡ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരണം, –എം.:എംസിഎൻഎംഒ, 2004

പ്രഭാഷണം

"നമ്പർ തിയറി" എന്ന കോഴ്‌സിനായുള്ള പ്രഭാഷണ കുറിപ്പുകൾ

പ്രഭാഷണം

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന വിഭാഗങ്ങൾ സംഖ്യകൾ: സിദ്ധാന്തം വിഭജനം, ലളിതവും സംയോജിതവും... സിദ്ധാന്തം. x>0, xR, dN അനുവദിക്കുക. അളവ് സ്വാഭാവികംസംഖ്യകൾ, d യുടെ ഗുണിതങ്ങളും x-ൽ കൂടാത്തതും ഇതിന് തുല്യമാണ്... പ്രഭാഷണം 12 13 പ്രഭാഷണം 13 15 സാഹിത്യം. 17 അമൂർത്തമായപ്രഭാഷണങ്ങൾ"സിദ്ധാന്തങ്ങൾ" എന്ന കോഴ്സിൽ അക്കങ്ങൾ" ...

അൾട്ടറോളജിയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രഭാഷണ കുറിപ്പുകൾ

അമൂർത്തമായ

Pavlyuchenkov അമൂർത്തമായപ്രഭാഷണങ്ങൾസാംസ്കാരിക പഠനങ്ങളിൽ... അസമത്വവും ഉള്ളിൽ നിലനിന്നിരുന്നു സ്വാഭാവികംകൃഷിയിടങ്ങൾ. ഇത് പോളിസിലുണ്ട്... അനന്തതകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണം സംഖ്യകൾവലിയതോതിൽ സൃഷ്ടി പൂർത്തിയാക്കി... മെറ്റീരിയൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഹരിക്കാവുന്നഅനന്തതയിലേയ്ക്ക്. ആത്മീയം...

ഡി എ ഷാഡ്രിൻ ലോജിക് പ്രഭാഷണ കുറിപ്പുകൾ

അമൂർത്തമായ

പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു അമൂർത്തമായപ്രഭാഷണങ്ങൾ"ലോജിക്" എന്ന വിഷയത്തിൽ. അമൂർത്തമായപ്രഭാഷണങ്ങൾസമാഹരിച്ചത്... ഇതാണ് നിർവ്വചനം സ്വാഭാവികംസംഖ്യകൾ. അതിനാൽ, 1 ആണെങ്കിൽ - സ്വാഭാവികംനമ്പറും n - സ്വാഭാവികംനമ്പർ, പിന്നെ 1 ... മുഴുവൻ വോളിയവും തീർക്കുക ഹരിക്കാവുന്നആശയങ്ങൾ, അങ്ങനെ...

വിദ്യാഭ്യാസ മേഖല: പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം.

വിഭാഗം: "ഗണിതം"

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

"സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ"

തല: ലാപ്കോ ഐ.വി.

ഗണിത അധ്യാപകൻ

ആമുഖം:

1. ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള വസ്തുതകൾ.

2. 2, 3, 4, 5,6,8, 9, 10 കൊണ്ടുള്ള വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ.

3. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25.50 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ.

4. ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

6. ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക (ഉറവിടങ്ങൾ).

പ്രസക്തി:സ്കൂളിലെ നാമെല്ലാവരും വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ പഠിച്ചു, അത് ഇന്നും ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു, അനാവശ്യ സമയം പാഴാക്കാതെ, ഒന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകളെ വേഗത്തിലും കൃത്യമായും വിഭജിക്കുന്നു. അധികം താമസിയാതെ, ഈ വിഷയം ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ മറ്റ് അടയാളങ്ങളുണ്ടോ എന്ന് ഞാൻ ചിന്തിക്കാൻ തുടങ്ങി. ഈ ചിന്തയാണ് എന്നെ ഒരു ഗവേഷണ പ്രബന്ധം എഴുതാൻ പ്രേരിപ്പിച്ചത്.
അനുമാനം:നിങ്ങൾക്ക് 2, 3, 5, 9, 10 കൊണ്ട് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, മിക്കവാറും മറ്റ് സംഖ്യകളാൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഹരിക്കൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന അടയാളങ്ങളുണ്ട്.
പഠന വിഷയം:സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം.

പഠന വിഷയം:സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ.

ലക്ഷ്യം:സ്കൂളിൽ പഠിച്ച സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന അടയാളങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക.

ചുമതലകൾ:
1. 2, 3. 5, 9, 10 കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ ഇതിനകം പഠിച്ച അടയാളങ്ങൾ നിർവചിക്കുകയും ആവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുക.
2. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ മറ്റ് അടയാളങ്ങളുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് ഉന്നയിച്ച ചോദ്യത്തിൻ്റെ കൃത്യത സ്ഥിരീകരിക്കുന്ന അധിക സാഹിത്യം പഠിക്കുക.
3. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 4, 6, 8, 15, 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി പരിശോധിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുക.
4. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 7, 11,12,13,14 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ സൂചനകൾ അധിക സാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുക.
5. ഒരു നിഗമനം വരയ്ക്കുക.
പുതുമ:പ്രോജക്റ്റിനിടെ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള എൻ്റെ അറിവ് ഞാൻ വിപുലീകരിച്ചു.

ഗവേഷണ രീതികൾ:മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ശേഖരണം, ഡാറ്റ പ്രോസസ്സിംഗ്, നിരീക്ഷണം, താരതമ്യം, വിശകലനം, സമന്വയം.

1. ഗണിതശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള വസ്തുതകൾ

1. വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളം- ഒരു സംഖ്യ മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ച ഒന്നിൻ്റെ ഗുണിതമാണോ എന്ന് താരതമ്യേന വേഗത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു അൽഗോരിതം
വിഭജനം നടത്താതെ തന്നെ, ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ മറ്റൊന്നിനാൽ ഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു നിയമമാണ് വിഭജന പരിശോധന. വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട് വിവിധ രാജ്യങ്ങൾ 2, 3, 5, 9, 10 കൊണ്ടുള്ള വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ പുരാതന കാലം മുതൽ അറിയപ്പെടുന്നു. ബിസി 2 ആയിരം വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് പുരാതന ഈജിപ്തുകാർക്ക് 2 കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളം അറിയാമായിരുന്നു, കൂടാതെ 2, 3, 5 കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയോനാർഡോ പിസാനസ് വിശദമായി വിവരിച്ചു (ലാറ്റിൻ ലിയോനാർഡസ് പിസാനസ്, ഇറ്റാലിയൻ ലിയോനാർഡോ പിസാനോ, ഏകദേശം 1170, പിസ - ഏകദേശം 1250 വർഷം, അതേ.) - മധ്യകാല യൂറോപ്പിലെ ആദ്യത്തെ പ്രധാന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ. ഫിബൊനാച്ചി എന്ന വിളിപ്പേരിലാണ് അദ്ദേഹം അറിയപ്പെടുന്നത്. ബിസി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന അലക്സാണ്ട്രിയൻ ശാസ്ത്രജ്ഞനായ എറതോസ്തനീസും ഇതേ ചോദ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കൽ ചിന്തിച്ചു. അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് കംപൈൽ ചെയ്യുന്ന അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ രീതിയെ "എറതോസ്തനീസിൻ്റെ അരിപ്പ" എന്നാണ് വിളിച്ചിരുന്നത്. നമുക്ക് 100 വരെയുള്ള എല്ലാ പ്രധാന സംഖ്യകളും കണ്ടെത്തണമെന്ന് പറയാം. 100 വരെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളും ഒരു വരിയിൽ എഴുതാം.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

നമ്പർ 2 വിട്ട്, മറ്റെല്ലാ ഇരട്ട സംഖ്യകളും മറികടക്കുക. 2 ന് ശേഷം നിലനിൽക്കുന്ന ആദ്യത്തെ സംഖ്യ 3 ആയിരിക്കും. ഇപ്പോൾ, സംഖ്യ 3 വിട്ടാൽ, നമുക്ക് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളെ മറികടക്കാം. തുടർന്ന് 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളെ ക്രോസ് ചെയ്യുക. തൽഫലമായി, എല്ലാ സംയുക്ത സംഖ്യകളും ക്രോസ് ചെയ്യപ്പെടും, കൂടാതെ പ്രൈം നമ്പറുകൾ മാത്രം നിലനിൽക്കും: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 100-ൽ കൂടുതലുള്ള പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം.

സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പ്രശ്നങ്ങൾ പൈതഗോറിയൻമാർ പരിഗണിച്ചിരുന്നു. സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ടൈപ്പോളജിയിൽ അവർ ധാരാളം ജോലികൾ ചെയ്തു. പൈതഗോറിയൻസ് അവരെ ക്ലാസുകളായി തിരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ക്ലാസുകൾ വേർതിരിച്ചു: തികഞ്ഞ സംഖ്യകൾ (സംഖ്യ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്അവരുടെ സ്വന്തം വിഭജനങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്: 6=1+2+3), സൗഹൃദ സംഖ്യകൾ (ഓരോന്നും മറ്റുള്ളവരുടെ വിഭജനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന് 220, 284: 284=1+2+4+5+10+ 20+11+22+44 +55+110; 220=1+2+4+71+142), ഫിഗർഡ് സംഖ്യകൾ (ത്രികോണ സംഖ്യ, വർഗ്ഗ സംഖ്യ), പ്രധാന സംഖ്യകൾ മുതലായവ. സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിനുള്ള സംഭാവന. ). യുവ ബ്ലെയ്‌സ് വളരെ നേരത്തെ തന്നെ കാണിച്ചു ഗണിത കഴിവുകൾ, വായിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് എണ്ണാൻ പഠിക്കുന്നു. പൊതുവേ, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം കുട്ടിക്കാലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതിഭയുടെ ഒരു ക്ലാസിക് കേസാണ്. 24-ആം വയസ്സിൽ അദ്ദേഹം തൻ്റെ ആദ്യത്തെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥമായ "കോണിക് വിഭാഗങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഒരു അനുഭവം" എഴുതി. ഏതാണ്ട് അതേ സമയം, അദ്ദേഹം ഒരു മെക്കാനിക്കൽ ആഡിംഗ് മെഷീൻ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തു, ആഡിംഗ് മെഷീൻ്റെ പ്രോട്ടോടൈപ്പ്. IN ആദ്യകാല കാലഘട്ടംതൻ്റെ സൃഷ്ടിപരമായ പ്രവർത്തനത്തിൽ (1640-1650), ബഹുമുഖ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയെ മറ്റേതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം കണ്ടെത്തി, അതിൽ നിന്ന് എല്ലാ പ്രത്യേക അടയാളങ്ങളും പിന്തുടരുന്നു. അതിൻ്റെ അടയാളം ഇപ്രകാരമാണ്: അക്ക യൂണിറ്റുകളെ ബി എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന അനുബന്ധ ശേഷിപ്പുകൾ കൊണ്ട് a സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ഉൽപന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഇതിലൂടെ ഹരിച്ചാൽ മാത്രമേ a സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ മറ്റൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ b കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയുള്ളൂ. നമ്പർ.
ഈ വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഹരിക്കൽ, മൾട്ടിപ്പിൾ, പ്രൈം, കോമ്പോസിറ്റ് സംഖ്യകളുടെ ആശയങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ ഹരിക്കൽ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് b ആണ്, അതിൽ a ശേഷിക്കാതെ വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ b എന്ന സംഖ്യയെ മറ്റ് തത്തുല്യമായ വാക്കുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: a എന്നത് b യുടെ ഗുണിതമാണ്, b എന്നത് a യുടെ ഒരു ഹരമാണ്, b എന്നത് a യെ ഹരിക്കുന്നു. പ്രൈം സംഖ്യകൾ രണ്ട് വിഭജനങ്ങളുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്: 1 ഉം സംഖ്യയും തന്നെ. ഉദാഹരണത്തിന്, 5,7,19 സംഖ്യകൾ പ്രധാന സംഖ്യകളാണ് കാരണം 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വിഭജനങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളെ സംയുക്ത സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യ 14 ന് 4 വിഭജനങ്ങളുണ്ട്: 1, 2, 7, 14, അതായത് ഇത് സംയുക്തമാണ്.

2. വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം ലളിതമാക്കുന്നതിന്, ആദ്യ പത്തിലെയും 11, 25 സംഖ്യകളിലേക്കും വിഭജിക്കാനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞു, അവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വിഭാഗമായി സംയോജിപ്പിച്ചു. ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാതെ വിശകലനം ചെയ്യുന്നത് ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്ന നിയമങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ. അക്ക യൂണിറ്റ്?

ആദ്യ അക്കത്തിൽ 2,4,6,8,0 അക്കങ്ങളുള്ള (അവസാനിക്കുന്ന) സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ ഇരട്ട എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

2 കൊണ്ട് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്

എല്ലാ ഇരട്ട സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്: 172, 94.67, 838, 1670.

ഉദാഹരണത്തിന്, 52,738 എന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, കാരണം അവസാന അക്കം 8 തുല്യമാണ്; 1 ഒറ്റ സംഖ്യയായതിനാൽ 7691-നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല; അവസാന അക്കം പൂജ്യമായതിനാൽ 1250 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

3 കൊണ്ട് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്

അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

52632 എന്ന സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, കാരണം അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ (18) തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

4 കൊണ്ട് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്

അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ പൂജ്യമോ 4 ൻ്റെ ഗുണിതമോ ആയ എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

ഉദാഹരണങ്ങൾ.
31,700 എന്നത് 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, കാരണം അത് രണ്ട് പൂജ്യങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്നു;
215,634 എന്നത് 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ 34 എന്ന സംഖ്യ നൽകുന്നു, അത് 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല;
16608 നെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, കാരണം 08 ൻ്റെ അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ 8 എന്ന സംഖ്യ നൽകുന്നു, അത് 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

5 കൊണ്ട് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്

6 കൊണ്ട് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്

ഒരേ സമയം 2 ഉം 3 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം (3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന എല്ലാ ഇരട്ട സംഖ്യകളും). ഉദാഹരണത്തിന്: 126 (b - പോലും, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

8 കൊണ്ട് സംഖ്യകൾക്കായുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്

മൂന്ന് പൂജ്യങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ മാത്രം 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. ഉദാഹരണം

853,000 എന്ന സംഖ്യ മൂന്ന് പൂജ്യങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്നു, അതായത് 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും

381,864 എന്ന സംഖ്യയെ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, കാരണം 864 ൻ്റെ അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യ 8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

തുടങ്ങിയവ9 കൊണ്ട് സംഖ്യകൾക്കുള്ള വിഭജന ചിഹ്നം

അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 9 ൻ്റെ ഗുണിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

ഉദാഹരണങ്ങൾ.
17835 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനും 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനും കഴിയില്ല, കാരണം അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനും 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനും കഴിയില്ല.
105,499 എന്ന സംഖ്യയെ 3 അല്ലെങ്കിൽ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ (29) തുക 3 അല്ലെങ്കിൽ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
52632 എന്ന സംഖ്യയെ 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, കാരണം അതിൻ്റെ അക്കങ്ങളുടെ (18) തുക 9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു

10 കൊണ്ട് അക്കങ്ങൾക്കായുള്ള ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്

ഉദാഹരണങ്ങൾ.
8200 എന്നത് 10 ഉം 100 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്;
542000 എന്നത് 10, 100, 1000 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

3. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25.50 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ.

അധിക സാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തിയ മാനദണ്ഡങ്ങളുടെ കൃത്യതയുടെ സ്ഥിരീകരണം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ നിരവധി അടയാളങ്ങളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി:
1) ആയിരങ്ങളുടെ സംഖ്യയും അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രമേ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകൂ.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
478009 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 478-9=469, 469 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.
479345 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 479-345=134, 134 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
2) ഇരട്ട സംഖ്യയുടെ ആകെത്തുക പത്തിലും ബാക്കിയുള്ള സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
4592 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 45·2=90, 90+92=182, 182 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.
57384 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
3) a+b 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ aba ഫോമിൻ്റെ മൂന്നക്ക സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
252 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 2+5=7, 7/7.
636 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല കാരണം 6+3=9, 9 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
4) സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ baa ഫോമിൻ്റെ മൂന്നക്ക സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
455 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 4+5+5=14, 14/7.
244 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 2+4+4=12, 12 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
5) aab ഫോമിൻ്റെ മൂന്നക്ക സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ 2a-b 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
882 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 8+8-2=14, 14/7.
996 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 9+9-6=12, 12 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
6) baa ഫോമിൻ്റെ ഒരു നാലക്ക സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, ഇവിടെ b എന്നത് രണ്ട് അക്ക സംഖ്യയാണ്, b+2a 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
2744 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 27+4+4=35, 35/7.
1955 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 19+5+5=29, 29 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
7) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അവസാന അക്കമില്ലാതെ ആ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് അവസാന അക്കത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി കുറയ്ക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രം.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
483 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 48-3·2=42, 42/7.
564 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം 56-4 2=48, 48 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
8) അക്ക യൂണിറ്റുകളെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രമേ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകൂ.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
10׃7=1 (ost 3)
100׃7=14 (ഓസ്റ്റ് 2)
1000׃7=142 (ost 6)
10000׃7=1428 (4)
100000׃7=14285 (ost 5)
1000000׃7=142857 (ബാക്കി 1) ബാക്കിയുള്ളവ വീണ്ടും ആവർത്തിക്കുന്നു.
1316 എന്ന സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും കാരണം... 6
354722 എന്ന സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 എന്നത് 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല (5 എന്നത് 100,000-നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ബാക്കിയുള്ളതാണ്; 4 എന്നത് 10,000-നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിൻ്റെ ബാക്കിയാണ്. ; 1000 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ 6 ശേഷിപ്പുകൾ; 100 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് 2 ശേഷിപ്പുകൾ; 10 നെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് 3 ശേഷിപ്പുകൾ).
11 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ.
1) ഒറ്റ സ്ഥലങ്ങളിലെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും ഇരട്ട സ്ഥാനങ്ങളിലെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 11 ൻ്റെ ഗുണിതമാണെങ്കിൽ ഒരു സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.
വ്യത്യാസം ആകാം നെഗറ്റീവ് നമ്പർഅല്ലെങ്കിൽ 0, എന്നാൽ 11 ൻ്റെ ഗുണിതമായിരിക്കണം. സംഖ്യ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് പോകുന്നു.
ഉദാഹരണം:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 എന്നത് 11 ൻ്റെ ഗുണിതമല്ല, അതായത് ഈ സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 എന്നത് 11 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്, അതായത് ഈ സംഖ്യ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
2) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് 2 അക്കങ്ങൾ വീതമുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കുകയും ഈ ഗ്രൂപ്പുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുക 11 ൻ്റെ ഗുണിതമാണെങ്കിൽ, പരീക്ഷിക്കുന്ന സംഖ്യ 11 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്.
ഉദാഹരണം: 12561714 എന്ന സംഖ്യ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.
നമുക്ക് സംഖ്യയെ രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കാം: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 എന്നത് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതായത് ഈ സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
3) സംഖ്യയുടെ സൈഡ് അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക മധ്യത്തിലുള്ള അക്കത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മൂന്നക്ക സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. ഉത്തരത്തിൽ അതേ സൈഡ് നമ്പറുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
594 എന്നത് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 5+4=9, 9 മധ്യത്തിലാണ്.
473 എന്നത് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 4+3=7, 7- മധ്യത്തിൽ.
861 എന്നത് 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതല്ല കാരണം 8+1=9, നടുവിൽ 6 ഉണ്ട്.
12-ന് ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്
ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ഒരേ സമയം 3 ഉം 4 ഉം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രം 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
636 എന്നത് 3 ഉം 4 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്, അതായത് ഇത് 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ്.
587 നെ 3 അല്ലെങ്കിൽ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, അതായത് 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
27126 എന്നത് 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെങ്കിലും 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകില്ല, അതായത് 12 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധനകൾ
1) ആയിരങ്ങളുടെ സംഖ്യയും അവസാനത്തെ മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
465400 എന്ന സംഖ്യയെ 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും കാരണം... 465 - 400 = 65, 65 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.
256184 എന്ന സംഖ്യയെ 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, കാരണം... 256 - 184 = 72, 72 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
2) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അവസാന അക്കത്തെ ഈ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് 9 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അവസാന അക്കത്തെ കുറയ്ക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം 13 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രം.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
988 എന്നത് 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണ് കാരണം 98 - 9 8 = 26, 26 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.
853 എന്നത് 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതല്ല കാരണം 85 - 3 9 = 58, 58 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
14-ന് ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്
ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ഒരേ സമയം 2 ഉം 7 ഉം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രം 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
45826 എന്ന സംഖ്യയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെങ്കിലും 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, അതായത് 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
1771 എന്ന സംഖ്യയെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെങ്കിലും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, അതായത് 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
35882 എന്ന സംഖ്യയെ 2 ഉം 7 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതായത് 14 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
19-ന് ഡിവിസിബിലിറ്റി ടെസ്റ്റ്
ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ബാക്കിയില്ലാതെ 19 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അതിൻ്റെ ദശസംഖ്യകളുടെ എണ്ണം യൂണിറ്റുകളുടെ ഇരട്ടി സംഖ്യയുമായി 19 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മാത്രം.
ഒരു സംഖ്യയിലെ എണ് പതുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കേണ്ടത് പത്ത് സ്ഥാനങ്ങളിലെ അക്കമല്ല, മറിച്ച് മുഴുവൻ സംഖ്യകളിലെയും മൊത്തം പത്തുകളുടെ എണ്ണം കൊണ്ടാണ് എന്ന് കണക്കിലെടുക്കണം.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
1534 ടെൻ എന്നത് 153 ആണ്, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 എന്നത് 19 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, അതായത് 1534 എന്നത് 19 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.
1824 182+4·2=190, 190/19, അതായത് നമ്പർ 1824/19 എന്നാണ്.
25 ഉം 50 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള പരിശോധന
രണ്ട് പൂജ്യങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ അവസാന രണ്ട് അക്കങ്ങൾ 25 അല്ലെങ്കിൽ 50 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ മാത്രമേ 25 അല്ലെങ്കിൽ 50 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയുള്ളൂ.

97300 എന്ന സംഖ്യ രണ്ട് പൂജ്യങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്നു, അതായത് ഇത് 25 ഉം 50 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

79,450 എന്ന സംഖ്യയെ 25 ഉം 50 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, കാരണം അവസാനത്തെ രണ്ട് അക്കങ്ങളായ 50 കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുന്ന സംഖ്യയെ 25 ഉം 50 ഉം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും.

4. ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

കടയിലെ സെയിൽസ്മാൻ.

വാങ്ങുന്നയാൾ കടയിൽ നിന്ന് 34.5 റൂബിൾ വിലയുള്ള പാൽ പാക്കേജ്, 36 റൂബിൾ വിലയുള്ള കോട്ടേജ് ചീസ്, 6 കേക്കുകൾ, 3 കിലോഗ്രാം പഞ്ചസാര എന്നിവ എടുത്തു. കാഷ്യർ 296 റുബിളിനുള്ള ഒരു ചെക്ക് തട്ടിയപ്പോൾ, കണക്കുകൂട്ടൽ പരിശോധിച്ച് പിശക് തിരുത്താൻ വാങ്ങുന്നയാൾ ആവശ്യപ്പെട്ടു. ഇൻവോയ്സ് തെറ്റാണെന്ന് വാങ്ങുന്നയാൾ എങ്ങനെയാണ് കണ്ടെത്തിയത്?

പരിഹാരം:ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള വാങ്ങിയ സാധനങ്ങളുടെ വില 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (ആദ്യ രണ്ട് തരം സാധനങ്ങൾക്ക് വില 3 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്, ബാക്കിയുള്ളവയ്ക്ക് - വാങ്ങിയ സാധനങ്ങളുടെ എണ്ണം 3 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്). ഓരോ നിബന്ധനകളും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് തുക 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കണം. 296 എന്ന സംഖ്യയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, അതിനാൽ കണക്കുകൂട്ടൽ തെറ്റാണ്.

ഒരു പെട്ടിയിൽ ആപ്പിൾകെ.

പെട്ടിയിലെ ആപ്പിളുകളുടെ എണ്ണം 200 ൽ താഴെയാണ്. അവ 2,3,4,5, 6 കുട്ടികൾക്കിടയിൽ തുല്യമായി വിഭജിക്കാം. ഒരു പെട്ടിയിൽ പരമാവധി എത്ര ആപ്പിളുകൾ ഉണ്ടാകും?

പരിഹാരം.

LCM(2,3,4,5,6) = 60.

60-കൾ< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

ഉത്തരം: 180 ആപ്പിൾ.

5. ഉപസംഹാരം:

ജോലി ചെയ്യുമ്പോൾ, വിഭജനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങളുടെ വികാസത്തിൻ്റെ ചരിത്രവുമായി ഞാൻ പരിചയപ്പെട്ടു, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ 4, 6, 8, 15, 25,50 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തി, അധിക സാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന് ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കുകയും ചെയ്തു. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ (7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 കൊണ്ട്) ദ്വിതീയതയുടെ മറ്റ് അടയാളങ്ങളും ഉണ്ടെന്ന് എനിക്ക് ബോധ്യപ്പെട്ടു, ഇത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ മറ്റ് അടയാളങ്ങളുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ കൃത്യത സ്ഥിരീകരിച്ചു.

ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക (ഉറവിടങ്ങൾ):

1. ഗാൽക്കിൻ വി.എ. "ഡിവിസിബിലിറ്റി മാനദണ്ഡം" എന്ന വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ. // മാത്തമാറ്റിക്സ്, 1999.-№5.-P.9.

2. ഗുസെവ് വി.എ., ഓർലോവ് എ.ഐ., റോസന്താൽ എ.എൽ. 6-8 ഗ്രേഡുകളിൽ ഗണിതത്തിലെ പാഠ്യേതര ജോലി - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 1984.

3. കപ്ലൂൻ എൽ.എം. പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ GCD, LCM. // ഗണിതം, 1999.- നമ്പർ 7. - പി. 4-6.

4. പെൽമാൻ യാ.ഐ. ഗണിതശാസ്ത്രം രസകരമാണ്! - എം.: ടെറ - ബുക്ക് ക്ലബ്, 2006

5. ഒരു യുവ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ എൻസൈക്ലോപീഡിക് നിഘണ്ടു./ Comp. സവിൻ എ.പി. - എം.: പെഡഗോഗി, 1989. - പി. 352.

6. വിഭവങ്ങൾ - ഇൻ്റർനെറ്റ്.