റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം എല്ലായ്പ്പോഴും കണക്ഷൻ്റെ സാമീപ്യത്തിൻ്റെ ഒരു സൂചകത്തോടൊപ്പം അനുബന്ധമാണ്. ഉപയോഗിക്കുന്നത് ലീനിയർ റിഗ്രഷൻഅത്തരമൊരു സൂചകം ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് r yt ആണ്. ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യസ്ത പരിഷ്കാരങ്ങളുണ്ട് രേഖീയ ഗുണകംപരസ്പര ബന്ധങ്ങൾ.

ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം അതിൻ്റെ രേഖീയ രൂപത്തിൽ പരിഗണനയിലുള്ള സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ അടുപ്പം വിലയിരുത്തുന്നു എന്നത് മനസ്സിൽ പിടിക്കണം. അതുകൊണ്ട് അടുപ്പം യഥാർത്ഥ മൂല്യംപൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് സവിശേഷതകൾ തമ്മിൽ ബന്ധമില്ലെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

തിരഞ്ഞെടുക്കലിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം വിലയിരുത്തുന്നതിന് രേഖീയ പ്രവർത്തനംകോ എഫിഷ്യൻ്റ് ഓഫ് ഡിറ്റർമിനേഷൻ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് r yt 2 ൻ്റെ ചതുരം കണക്കാക്കുന്നു. നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകം, ഫലപ്രദമായ സ്വഭാവസവിശേഷതയുടെ ആകെ വ്യതിയാനത്തിൽ റിഗ്രഷൻ വഴി വിശദീകരിക്കുന്ന ടിയിലെ ഫലപ്രദമായ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു.

പോലെയുള്ള നോൺലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം രേഖീയ ആശ്രിതത്വം, ഒരു കോറിലേഷൻ ഇൻഡിക്കേറ്റർ, അതായത് കോറിലേഷൻ ഇൻഡക്സ് R എന്നിവയാൽ അനുബന്ധമായി ലഭിക്കുന്നു.

കൂടുതൽ എന്ന ബഹുപദം പോലെയുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു പരവലയം ഉയർന്ന ക്രമം, രേഖീയമാക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപമെടുക്കുന്നു ഒന്നിലധികം റിഗ്രഷൻ. വിശദീകരിച്ചതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നോൺലീനിയർ ആണെങ്കിൽ വേരിയബിൾ സമവാക്യംലീനിയറൈസേഷൻ സമയത്ത് റിഗ്രഷൻ ജോടിയാക്കിയ റിഗ്രഷൻ്റെ ഒരു ലീനിയർ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപമെടുക്കുന്നു, തുടർന്ന് ബന്ധത്തിൻ്റെ അടുപ്പം വിലയിരുത്തുന്നതിന്, ഒരു ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിക്കാം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അതിൻ്റെ മൂല്യം പരസ്പര ബന്ധ സൂചികയുമായി പൊരുത്തപ്പെടും.

സമവാക്യം രേഖീയ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ ഒരു ആശ്രിത വേരിയബിൾ ഉൾപ്പെടുമ്പോൾ സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രൂപാന്തരപ്പെട്ട ഫീച്ചർ മൂല്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ബന്ധത്തിൻ്റെ സാമീപ്യത്തിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്ക് മാത്രമേ നൽകുന്നുള്ളൂ കൂടാതെ പരസ്പര ബന്ധ സൂചികയുമായി സംഖ്യാപരമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. അതെ, വേണ്ടി വൈദ്യുതി പ്രവർത്തനം

ലോഗരിഥമിക് ലീനിയർ സമവാക്യത്തിലേക്ക് കടന്നതിന് ശേഷം

lny = lna + blnx

x, y വേരിയബിളുകളുടെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾക്കല്ല, മറിച്ച് അവയുടെ ലോഗരിതം, അതായത് r lnylnx എന്നിവയ്ക്കാണ് ഒരു രേഖീയ പരസ്പര ബന്ധ ഗുണകം കണ്ടെത്താൻ കഴിയുക. അതനുസരിച്ച്, അതിൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ഫാക്‌ടർ തുകയുടെ ആകെത്തുകയുടെ അനുപാതത്തെ ചിത്രീകരിക്കും, എന്നാൽ y യ്‌ക്കല്ല, അതിൻ്റെ ലോഗരിതം:

അതേസമയം, പരസ്പര ബന്ധ സൂചിക കണക്കാക്കുമ്പോൾ, y എന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്, അവയുടെ ലോഗരിതം അല്ല. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, സമവാക്യം കണക്കാക്കിയ മൂല്യത്തിൻ്റെ ആൻ്റിലോഗരിതം, സ്ക്വയറുകളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുക.

R 2 yx എന്ന കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളുടെ y യുടെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെ തുക ഉൾപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ r 2 lnxlny എന്ന ഡിനോമിനേറ്റർ കണക്കുകൂട്ടലിൽ പങ്കെടുക്കുന്നു. പരിഗണനയിലുള്ള സൂചകങ്ങളുടെ ന്യൂമറേറ്ററുകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും അതിനനുസരിച്ച് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

• - പരസ്പര ബന്ധ സൂചികയിലും
• - പരസ്പര ബന്ധത്തിൻ്റെ ഗുണകത്തിൽ.

ഫലങ്ങളുടെ സമാനതയും കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാമുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ലാളിത്യവും കാരണം, ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് നോൺ-ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനുകൾക്കുള്ള കണക്ഷൻ്റെ സാമീപ്യത്തെ ചിത്രീകരിക്കാൻ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നോൺ-ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനുകളിൽ R, r അല്ലെങ്കിൽ R, r എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ സാമീപ്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, y സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ മൂല്യത്തിൻ്റെ പരിവർത്തനത്തോടെ, സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ രേഖീയ ആശ്രിതത്വത്തോടെ, അതേ പരസ്പര ബന്ധ ഗുണകം സ്വഭാവ സവിശേഷതയാണ് എന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. റിഗ്രഷൻ, സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ ഒരു രേഖീയ ആശ്രിതത്വത്തോടെ, ഒരേ പരസ്പര ബന്ധ ഗുണകം റിഗ്രഷനെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, y=j(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വക്രമായ ആശ്രിതത്വത്തോടെ റിഗ്രഷൻ x ന് തുല്യമല്ല എന്ന കാര്യം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. =f(y).

പരസ്പര ബന്ധ സൂചികയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ഘടകത്തിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെയും അനുപാതം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ മൊത്തം തുകചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ, അപ്പോൾ നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകത്തിൻ്റെ അതേ അർത്ഥമുണ്ട്. പ്രത്യേക പഠനങ്ങളിൽ, രേഖീയമല്ലാത്ത ബന്ധങ്ങളുടെ മൂല്യത്തെ നിർണ്ണയിക്കൽ സൂചിക എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പരസ്പര ബന്ധ സൂചികയുടെ പ്രാധാന്യത്തിൻ്റെ വിലയിരുത്തൽ പരസ്പര ബന്ധത്തിൻ്റെ ഗുണകത്തിൻ്റെ വിശ്വാസ്യതയുടെ വിലയിരുത്തൽ പോലെ തന്നെ നടത്തുന്നു.

ഫിഷർ എഫ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് മൊത്തത്തിലുള്ള നോൺലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കാൻ കോറിലേഷൻ ഇൻഡക്സ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സ്ക്വയറുകളുടെ ഫാക്ടർ തുകയ്ക്കുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണത്തെ m എന്ന മൂല്യം ചിത്രീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ (n - m - 1) - സ്ക്വയറുകളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുകയ്ക്കുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം.

ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷന് m = 1, F-മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം ഒരു രേഖീയ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ അതേ രൂപമാണ് എടുക്കുന്നത്:

രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ പരവലയത്തിന്

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +em = 2

എഫ് മാനദണ്ഡവും പട്ടികയിൽ കണക്കാക്കാം വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വിശകലനംലീനിയർ ഫംഗ്ഷനിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ റിഗ്രഷൻ ഫലങ്ങൾ.

ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെ ന്യായീകരിക്കുന്നതിന് നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ സൂചികയെ നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം. റിഗ്രഷൻ ലൈനിൻ്റെ വക്രത കൂടുന്തോറും ഡിറ്റർമിനേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കുറവായിരിക്കും നിർണ്ണയ സൂചിക. ഈ സൂചകങ്ങളുടെ സമാനത അർത്ഥമാക്കുന്നത് റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം സങ്കീർണ്ണമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ലെന്നും ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കാമെന്നുമാണ്.

പ്രായോഗികമായി, നിർണ്ണയ സൂചികയും നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 0.1 കവിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ബന്ധത്തിൻ്റെ ഒരു രേഖീയ രൂപത്തിൻ്റെ അനുമാനം ന്യായമാണെന്ന് കണക്കാക്കുന്നു.

t വസ്തുത > t ടേബിൾ ആണെങ്കിൽ, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പരസ്പര ബന്ധ സൂചകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നു, കൂടാതെ രേഖീയമല്ലാത്ത റിഗ്രഷനെ ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. പ്രായോഗികമായി, മൂല്യം t ആണെങ്കിൽ< 2, то различия между R yx и r yx несущественны, и, следовательно, возможно применение линейной регрессии, даже если есть предположения о некоторой нелинейности рассматриваемых соотношений признаков фактора и результата.

പരസ്പര ബന്ധ വിശകലനം.

ജോടിയാക്കിയ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം.

ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച്.

പഠിച്ച സാമ്പത്തിക സൂചകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ രൂപം ദൃശ്യപരമായി ചിത്രീകരിക്കാൻ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുന്നു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവം Y യുടെ വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങൾ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ ഫാക്ടർ സ്വഭാവം X ൻ്റെ വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങൾ abscissa അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു.

ഫലങ്ങളുടെയും ഘടക സവിശേഷതകളുടെയും പോയിൻ്റുകളുടെ കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു പരസ്പരബന്ധം ഫീൽഡ്.

പരസ്പര ബന്ധത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കാൻ കഴിയും ജനസംഖ്യ) X, Y എന്നിവയുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം രേഖീയമാണ്.

ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം y = bx + a + ε ആണ്

ഇവിടെ ε ഒരു ക്രമരഹിതമായ പിശകാണ് (വ്യതിയാനം, അസ്വസ്ഥത).

ക്രമരഹിതമായ പിശകിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനുള്ള കാരണങ്ങൾ:

1. റിഗ്രഷൻ മോഡലിൽ കാര്യമായ വിശദീകരണ വേരിയബിളുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നതിൽ പരാജയം;

2. വേരിയബിളുകളുടെ അഗ്രഗേഷൻ. ഉദാഹരണത്തിന്, മൊത്തം ഉപഭോഗ പ്രവർത്തനം ഒരു ശ്രമമാണ് പൊതുവായ പദപ്രയോഗംവ്യക്തിഗത ചെലവ് തീരുമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. വ്യത്യസ്ത പാരാമീറ്ററുകളുള്ള വ്യക്തിഗത ബന്ധങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കാണിത്.

3. മാതൃകാ ഘടനയുടെ തെറ്റായ വിവരണം;

4. തെറ്റായ ഫങ്ഷണൽ സ്പെസിഫിക്കേഷൻ;

5. അളക്കൽ പിശകുകൾ.

ഓരോ നിർദ്ദിഷ്ട നിരീക്ഷണത്തിനും ε i എന്ന വ്യതിയാനങ്ങൾ ഞാൻ ക്രമരഹിതമായതിനാൽ സാമ്പിളിലെ അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ അജ്ഞാതമാണ്:

1) x i, y i നിരീക്ഷണങ്ങളിൽ നിന്ന് α, β പാരാമീറ്ററുകളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൾ മാത്രമേ ലഭിക്കൂ

2) α, β പാരാമീറ്ററുകളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് റിഗ്രഷൻ മോഡൽയഥാക്രമം a, b എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളാണ്, അവ പ്രകൃതിയിൽ ക്രമരഹിതമാണ്, കാരണം ക്രമരഹിതമായ സാമ്പിളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുക;

അപ്പോൾ കണക്കാക്കുന്ന റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിന് (സാമ്പിൾ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് നിർമ്മിച്ചത്) ഫോം y = bx + a + ε ഉണ്ടായിരിക്കും, ഇവിടെ e i എന്നത് പിശകുകളുടെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങൾ (എസ്റ്റിമേറ്റ്) ആണ് ε i , കൂടാതെ a, b എന്നിവ യഥാക്രമം, എസ്റ്റിമേറ്റ് റിഗ്രഷൻ മോഡലിൻ്റെ α, β എന്നീ പാരാമീറ്ററുകൾ കണ്ടെത്തണം.

പാരാമീറ്ററുകൾ α, β എന്നിവ കണക്കാക്കാൻ - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ രീതി (കുറഞ്ഞ ചതുര രീതി) ഉപയോഗിക്കുന്നു. രീതി കുറഞ്ഞ ചതുരങ്ങൾറിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ ഏറ്റവും മികച്ച (സ്ഥിരവും കാര്യക്ഷമവും നിഷ്പക്ഷവുമായ) കണക്കുകൾ നൽകുന്നു.

എന്നാൽ റാൻഡം ടേം (ε), ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് വേരിയബിൾ (x) എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ചില പരിസരങ്ങൾ കണ്ടുമുട്ടിയാൽ മാത്രം.

ഔപചാരികമായി, OLS മാനദണ്ഡം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

S = ∑(y i - y * i) 2 → മിനിറ്റ്

സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം.

a n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x 2 = ∑y x

ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റയ്ക്ക്, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

15a + 186.4 b = 17.01

186.4 a + 2360.9 b = 208.25

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എരണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

നമുക്ക് അനുഭവപരമായ റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു: b = -0.07024, a = 2.0069

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം (അനുഭാവികമായ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം):

y = -0.07024 x + 2.0069

അനുഭവപരമായ റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങൾ എഒപ്പം ബിβ i എന്ന സൈദ്ധാന്തിക ഗുണകങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൾ മാത്രമാണ്, കൂടാതെ സമവാക്യം തന്നെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന വേരിയബിളുകളുടെ പെരുമാറ്റത്തിലെ പൊതുവായ പ്രവണതയെ മാത്രം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു.

റിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു കണക്കുകൂട്ടൽ പട്ടിക നിർമ്മിക്കും (പട്ടിക 1)

1. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യ പാരാമീറ്ററുകൾ.

സാമ്പിൾ അർത്ഥം.

സാമ്പിൾ വ്യത്യാസങ്ങൾ:

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ

1.1 പരസ്പര ബന്ധ ഗുണകം

കോവേരിയൻസ്.

കണക്ഷൻ അടുപ്പത്തിൻ്റെ സൂചകം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സൂചകം സാമ്പിൾ ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റാണ്, ഇത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് -1 മുതൽ +1 വരെയുള്ള മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.

സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ദുർബലവും ശക്തവുമാണ് (അടുത്തത്). അവരുടെ മാനദണ്ഡങ്ങൾ ചാഡോക്ക് സ്കെയിലിൽ വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു:

0.1 < r xy < 0.3: слабая;

0.3 < r xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r xy < 0.7: заметная;

0.7 < r xy < 0.9: высокая;

0.9 < r xy < 1: весьма высокая;

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, Y സ്വഭാവവും ഘടകം X ഉം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഉയർന്നതും വിപരീതവുമാണ്.

കൂടാതെ, റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് b വഴി ലീനിയർ ജോഡി കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കാനാകും:

1.2 റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം(റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എസ്റ്റിമേഷൻ).

ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം y = -0.0702 x + 2.01 ആണ്

ഒരു ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾക്ക് സാമ്പത്തിക അർത്ഥം നൽകാം.

റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് b = -0.0702 അതിൻ്റെ അളവിൻ്റെ യൂണിറ്റിന് ഫാക്ടർ x ൻ്റെ മൂല്യത്തിൽ വർദ്ധനവോ കുറവോ ഉള്ള ഫലപ്രദമായ സൂചകത്തിൽ (അളവ് y യൂണിറ്റുകളിൽ) ശരാശരി മാറ്റം കാണിക്കുന്നു. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, 1 യൂണിറ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവോടെ, y ശരാശരി -0.0702 കുറയുന്നു.

ഗുണകം a = 2.01 ഔപചാരികമായി y യുടെ പ്രവചിച്ച നില കാണിക്കുന്നു, എന്നാൽ x = 0 സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങൾക്ക് അടുത്താണെങ്കിൽ മാത്രം.

എന്നാൽ x ൻ്റെ സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് x=0 വളരെ അകലെയാണെങ്കിൽ, ഒരു അക്ഷരീയ വ്യാഖ്യാനം തെറ്റായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം, കൂടാതെ റിഗ്രഷൻ ലൈൻ നിരീക്ഷിച്ച സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങളെ വളരെ കൃത്യമായി വിവരിച്ചാലും, ഇതും ഉണ്ടാകുമെന്നതിന് യാതൊരു ഉറപ്പുമില്ല. ഇടത്തോട്ടോ വലത്തോട്ടോ എക്സ്ട്രാപോളേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ അങ്ങനെയായിരിക്കും.

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഉചിതമായ x മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിനും പ്രകടന സൂചകമായ y (x) യുടെ വിന്യസിച്ച (പ്രവചിച്ച) മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

y ഉം x ഉം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് b യുടെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്നു (എങ്കിൽ> 0 - നേരിട്ടുള്ള ബന്ധം, അല്ലാത്തപക്ഷം - വിപരീതം). ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, കണക്ഷൻ വിപരീതമാണ്.

1.3 ഇലാസ്തികത ഗുണകം.

ഫലമായുള്ള സൂചകമായ y യുടെയും ഫാക്ടർ സ്വഭാവം x ൻ്റെയും അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിൽ വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവത്തിലെ ഘടകങ്ങളുടെ സ്വാധീനം നേരിട്ട് വിലയിരുത്തുന്നതിന് റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകൾ (ഉദാഹരണത്തിന് b) ഉപയോഗിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമല്ല.

ഈ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി, ഇലാസ്തികത ഗുണകങ്ങളും ബീറ്റ ഗുണകങ്ങളും കണക്കാക്കുന്നു.

ശരാശരി ഇലാസ്തികത ഗുണകം E കാണിക്കുന്നത് ശരാശരി എത്ര ശതമാനം ഫലം മൊത്തത്തിൽ മാറും എന്നാണ് ചെയ്തത്ഘടകം മാറുമ്പോൾ അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് xഅതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ 1%

ഇലാസ്തികത ഗുണകം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇലാസ്തികത ഗുണകം 1-ൽ താഴെയാണ്. അതിനാൽ, X 1% മാറുകയാണെങ്കിൽ, Y 1%-ൽ താഴെയായി മാറും. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, Y-യിൽ X ൻ്റെ സ്വാധീനം പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നില്ല.

ബീറ്റ ഗുണകം

ബീറ്റ ഗുണകംസ്ഥിരമായ തലത്തിൽ ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ശേഷിക്കുന്ന സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യവുമായി അതിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ മൂല്യം കൊണ്ട് ഫാക്ടർ സ്വഭാവം മാറുമ്പോൾ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം അതിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഏത് ഭാഗമാണ് മാറുന്നതെന്ന് കാണിക്കുന്നു:

ആ. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ S x ൻ്റെ x ൻ്റെ വർദ്ധനവ് Y യുടെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ 0.82 സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുകൾ കുറയുന്നതിന് ഇടയാക്കും S y .

1.4 ഏകദേശ പിശക്.

കേവല ഏകദേശ പിശക് ഉപയോഗിച്ച് റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം നമുക്ക് വിലയിരുത്താം. ശരാശരി ഏകദേശ പിശക് - യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ മൂല്യങ്ങളുടെ ശരാശരി വ്യതിയാനം:

5%-7%-നുള്ളിലെ ഒരു ഏകദേശ പിശക് യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയുമായി റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നല്ല അനുയോജ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പിശക് 7% ൽ കുറവായതിനാൽ, ഈ സമവാക്യം റിഗ്രഷൻ ആയി ഉപയോഗിക്കാം.

ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു

ആദ്യ എക്സ്പ്രഷൻ തന്നിരിക്കുന്ന ഘടകം മൂല്യങ്ങൾ അനുവദിക്കുന്നു xഘടകത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക x. ഗ്രാഫിൽ, സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നു, അത് റിഗ്രഷൻ രേഖയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ്റെ നിർമ്മാണം അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു - എഒപ്പം ബി. ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ക്ലാസിക്കൽ സമീപനം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ രീതി (LSM).

മിനിമം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഓരോ പാരാമീറ്ററുകൾക്കും തുകയുടെ (4) ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - എഒപ്പം ബി- കൂടാതെ അവയെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക.

(5)

നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടാം, നമുക്ക് ലഭിക്കും സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം:

(6)

ഈ സംവിധാനത്തിൽ n-സാമ്പിൾ വലുപ്പം, യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് തുകകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം. ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു എഒപ്പം ബി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(7)

. (8)

എക്സ്പ്രഷൻ (7) മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

(9)

എവിടെ സ്വഭാവം സഹവർത്തിത്വം, ഫാക്ടർ ഡിസ്പർഷൻ x.

പരാമീറ്റർ ബിവിളിച്ചു റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്.അതിൻ്റെ മൂല്യം ഒരു യൂണിറ്റ് കൊണ്ട് ഘടകത്തിലെ മാറ്റത്തോടെ ഫലത്തിലെ ശരാശരി മാറ്റം കാണിക്കുന്നു. റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിൻ്റെ വ്യക്തമായ സാമ്പത്തിക വ്യാഖ്യാനത്തിനുള്ള സാധ്യത ഉണ്ടാക്കിയിട്ടുണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യംഇക്കണോമെട്രിക് പഠനങ്ങളിൽ റിഗ്രഷൻ വളരെ സാധാരണമാണ്.

ഔപചാരികമായി എ- അർത്ഥം വൈചെയ്തത് x=0.എങ്കിൽ xപൂജ്യം മൂല്യം ഇല്ല, കഴിയില്ല, തുടർന്ന് സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ ഈ വ്യാഖ്യാനം എഅർത്ഥമില്ല. പരാമീറ്റർ എസാമ്പത്തിക ഉള്ളടക്കം ഇല്ലായിരിക്കാം. അതിനെ സാമ്പത്തികമായി വ്യാഖ്യാനിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ അസംബന്ധത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം, പ്രത്യേകിച്ചും എ< 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре എ.എങ്കിൽ എ> 0, അപ്പോൾ ഫലത്തിലെ ആപേക്ഷിക മാറ്റം ഘടകത്തിലെ മാറ്റത്തേക്കാൾ സാവധാനത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നു. ഈ ആപേക്ഷിക മാറ്റങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം:

< при > 0, > 0

ചിലപ്പോൾ ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾക്കായി ഒരു ലീനിയർ ജോഡിവൈസ് റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

എവിടെ ,. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അത് എക്സ്പ്രഷനിൽ (10) പ്രതിഫലിക്കുന്നു. ഈ വസ്തുത ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു: അതേ നേർരേഖ (3) റിഗ്രഷൻ സമവാക്യവുമായി യോജിക്കുന്നു, എന്നാൽ വ്യതിയാനങ്ങളിലെ റിഗ്രഷൻ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവം കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എക്സ്പ്രഷനിൽ (8) രണ്ട് തുകകളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, ഇത് സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ തുല്യത പൂജ്യത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരും.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഒരു തരം ഉൽപ്പന്നം നിർമ്മിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം സംരംഭങ്ങൾക്ക്, ചെലവ് ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കാം

മേശ 1.

ഉൽപ്പന്ന ഔട്ട്പുട്ട് ആയിരം യൂണിറ്റ്()	ഉൽപാദനച്ചെലവ്, ദശലക്ഷം റുബിളുകൾ ()
					31,1
					67,9
					141,6
					104,7
					178,4
					104,7
					141,6
ആകെ: 22					770,0

സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

അത് പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും a= -5.79, b=36.84.

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം ഇതാണ്:

മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു എക്സ്, നമുക്ക് സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം വൈ(പട്ടികയുടെ അവസാന നിര).

മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് എസാമ്പത്തിക അർത്ഥമില്ല. വേരിയബിളുകൾ ആണെങ്കിൽ xഒപ്പം വൈശരാശരി ലെവലിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഗ്രാഫിലെ റിഗ്രഷൻ ലൈൻ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകും. റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് മാറില്ല:

, എവിടെ ,.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണമായി, ഫോമിൻ്റെ ഉപഭോഗ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക:

,

എവിടെ C എന്നത് ഉപഭോഗം, വൈ-വരുമാനം, കെ, എൽ-ഓപ്ഷനുകൾ. ഈ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം സാധാരണയായി ബാലൻസ് ഷീറ്റ് സമവാക്യവുമായി സംയോജിച്ച് ഉപയോഗിക്കുന്നു:

,

എവിടെ ഐ- നിക്ഷേപത്തിൻ്റെ അളവ്, ആർ- സേവിംഗ്സ്.

ലാളിത്യത്തിനായി, വരുമാനം ഉപഭോഗത്തിനും നിക്ഷേപത്തിനുമായി ചെലവഴിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. അതിനാൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുന്നു:

ബാലൻസ് ഷീറ്റ് തുല്യതയുടെ സാന്നിധ്യം റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റെ മൂല്യത്തിൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഏർപ്പെടുത്തുന്നു, അത് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ആയിരിക്കരുത്, അതായത്. .

ഉപഭോഗ പ്രവർത്തനം ഇപ്രകാരമാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം:

.

റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപഭോഗം ചെയ്യാനുള്ള പ്രവണതയെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. വരുമാനത്തിൻ്റെ ഓരോ ആയിരം റുബിളിൽ നിന്നും ശരാശരി 650 റൂബിളുകൾ ഉപഭോഗത്തിനായി ചെലവഴിക്കുന്നതായി ഇത് കാണിക്കുന്നു, 350 റൂബിൾസ്. നിക്ഷേപിച്ചു. വരുമാനത്തിലെ നിക്ഷേപ വലുപ്പത്തിൻ്റെ റിഗ്രഷൻ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്. , അപ്പോൾ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം ആയിരിക്കും . ഈ സമവാക്യം നിർവചിക്കേണ്ടതില്ല, കാരണം ഇത് ഉപഭോഗ പ്രവർത്തനത്തിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. ഈ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെയും റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങൾ തുല്യതയാൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, വരുമാനം മാത്രമല്ല, സമ്പാദ്യവും ഉപഭോഗത്തിനായി ചെലവഴിക്കുന്നു.

ഗുണിതം കണക്കാക്കാൻ ഉപഭോഗ പ്രവർത്തനത്തിലെ റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഇവിടെ എം≈2.86, അതിനാൽ അധിക നിക്ഷേപം 1 ആയിരം റുബിളാണ്. ഓൺ ദീർഘകാല 2.86 ആയിരം റുബിളിൻ്റെ അധിക വരുമാനത്തിലേക്ക് നയിക്കും, മറ്റ് കാര്യങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

ലീനിയർ റിഗ്രഷനിൽ, ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കണക്ഷൻ്റെ അടുപ്പത്തിൻ്റെ സൂചകമായി വർത്തിക്കുന്നു. r:

അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ അതിരുകൾക്കുള്ളിലാണ്: എങ്കിൽ ബി> 0, പിന്നെ എപ്പോൾ ബി< 0 . ഉദാഹരണം അനുസരിച്ച്, ഉൽപ്പാദനത്തിൻ്റെ അളവിലുള്ള ഉൽപാദനച്ചെലവിൻ്റെ വളരെ അടുത്ത ആശ്രിതത്വമാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഘടിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം വിലയിരുത്തുന്നതിന്, കണക്കുകൂട്ടുക നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകംലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റെ ചതുരമായി r 2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പങ്ക് ഇത് ചിത്രീകരിക്കുന്നു വൈതത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ആകെ വ്യതിയാനത്തിലെ റിഗ്രഷൻ വഴി വിശദീകരിക്കുന്നു:

മൂല്യം വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ വിഹിതത്തെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു വൈ, മോഡലിൽ കണക്കിലെടുക്കാത്ത മറ്റ് ഘടകങ്ങളുടെ സ്വാധീനം മൂലമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിൽ. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ 98.2% വിശദീകരിക്കുന്നു, മറ്റ് ഘടകങ്ങൾ 1.8% ആണ്, ഇത് ശേഷിക്കുന്ന വ്യതിയാനമാണ്.

OLS-ൻ്റെ മുൻവ്യവസ്ഥകൾ (Gauss-Markov വ്യവസ്ഥകൾ)

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വൈഒപ്പം xജോഡി റിഗ്രഷൻ പ്രവർത്തനപരമല്ല, മറിച്ച് പരസ്പരബന്ധിതമാണ്. അതിനാൽ, പരാമീറ്റർ കണക്കാക്കുന്നു എഒപ്പം ബിആകുന്നു ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ, ε എന്ന ക്രമരഹിത ഘടകത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ ഗണ്യമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്ന ഗുണങ്ങൾ. കുറഞ്ഞ ചതുരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മികച്ച ഫലങ്ങൾ നേടുന്നതിന്, ക്രമരഹിതമായ വ്യതിയാനം (ഗാസ്-മാർക്കോവ് അവസ്ഥകൾ) സംബന്ധിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന മുൻവ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1 0 . പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യംഎല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങൾക്കും ക്രമരഹിതമായ വ്യതിയാനം പൂജ്യമാണ്: .

20. ക്രമരഹിതമായ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം സ്ഥിരമാണ്: .

ഈ മുൻവ്യവസ്ഥയുടെ സാധ്യതയെ വിളിക്കുന്നു സ്വവർഗ്ഗാനുരാഗം(ഡീവിയേഷൻ വേരിയൻസിൻ്റെ സ്ഥിരത). ഈ ആമുഖത്തിൻ്റെ അസാധ്യതയെ വിളിക്കുന്നു വിജാതീയത(വ്യതിചലന വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പൊരുത്തക്കേട്)

മുപ്പത്. ക്രമരഹിതമായ വ്യതിയാനങ്ങൾ εiഒപ്പം ε ജെപരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ്:

ഈ അവസ്ഥയുടെ സാധ്യതയെ വിളിക്കുന്നു യാന്ത്രിക ബന്ധത്തിൻ്റെ അഭാവം.

4 0 . റാൻഡം വേരിയൻസ് വിശദീകരണ വേരിയബിളുകളിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായിരിക്കണം.

സാധാരണഗതിയിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന മോഡലിലെ വിശദീകരണ വേരിയബിളുകൾ ക്രമരഹിതമല്ലെങ്കിൽ ഈ അവസ്ഥ യാന്ത്രികമായി തൃപ്തിപ്പെടുത്തും. കൂടാതെ, ഇക്കണോമെട്രിക് മോഡലുകൾക്കായുള്ള ഈ മുൻവ്യവസ്ഥയുടെ സാധ്യത ആദ്യ മൂന്നിനെ അപേക്ഷിച്ച് നിർണായകമല്ല.

നിർദ്ദിഷ്ട മുൻവ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ ഗൗസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം-മാർക്കോവ: OLS ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച എസ്റ്റിമേറ്റുകൾക്ക് (7), (8) എല്ലാ രേഖീയ നിഷ്പക്ഷ എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെയും ക്ലാസിലെ ഏറ്റവും ചെറിയ വ്യത്യാസമുണ്ട്. .

അതിനാൽ, ഗാസ്-മാർക്കോവ് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എസ്റ്റിമേറ്റ് (7) ഉം (8) റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ പക്ഷപാതരഹിതമായ കണക്കുകൾ മാത്രമല്ല, ഏറ്റവും ഫലപ്രദവുമാണ്, അതായത്. മൂല്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് രേഖീയമായ ഈ പരാമീറ്ററുകളുടെ മറ്റേതൊരു എസ്റ്റിമേറ്റുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഏറ്റവും ചെറിയ ഡിസ്പർഷൻ ഉണ്ടായിരിക്കുക യീ.

ഗാസ്-മാർക്കോവ് അവസ്ഥകളുടെ പ്രാധാന്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ധാരണയാണ് റിഗ്രഷൻ വിശകലനം ഉപയോഗിച്ച് കഴിവുള്ള ഒരു ഗവേഷകനെ കഴിവില്ലാത്ത ഒരാളിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുന്നത്. ഈ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിച്ചില്ലെങ്കിൽ, ഗവേഷകൻ ഇതിനെക്കുറിച്ച് ബോധവാനായിരിക്കണം. തിരുത്തൽ നടപടി സാധ്യമാണെങ്കിൽ, വിശകലന വിദഗ്ധന് അത് എടുക്കാൻ കഴിയണം. സാഹചര്യം ശരിയാക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഫലങ്ങളെ എത്രത്തോളം ഗുരുതരമായി ബാധിക്കുമെന്ന് വിലയിരുത്താൻ ഗവേഷകന് കഴിയണം.

ഒരു റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രവചിക്കാൻ, നിങ്ങൾ റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇവിടെ പ്രവചനത്തിൻ്റെ കൃത്യതയെ ബാധിക്കുന്ന മറ്റൊരു പ്രശ്നമുണ്ട്. സാധാരണയായി എല്ലാവരും അല്ല എന്ന വസ്തുതയിലാണ് ഇത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾവേരിയബിളുകൾ X, Y, അതായത്. പ്രശ്‌നങ്ങൾ പ്രവചിക്കുന്നതിലെ സംയുക്ത വിതരണത്തിൻ്റെ പൊതുവായ ജനസംഖ്യ അറിയില്ല, ഈ പൊതു ജനങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ഒരു സാമ്പിൾ മാത്രമേ അറിയൂ. തൽഫലമായി, പ്രവചിക്കുമ്പോൾ, ക്രമരഹിതമായ ഘടകത്തിന് പുറമേ, പിശകുകളുടെ മറ്റൊരു ഉറവിടം ഉയർന്നുവരുന്നു - സാധാരണ ജനങ്ങളുമായുള്ള സാമ്പിളിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ കത്തിടപാടുകൾ മൂലമുണ്ടാകുന്ന പിശകുകളും റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിലെ പിശകുകളും.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ജനസംഖ്യ അജ്ഞാതമായതിനാൽ, കൃത്യമായ മൂല്യങ്ങൾഗുണകങ്ങളും റിഗ്രഷൻ സമവാക്യങ്ങളും നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ അജ്ഞാത ജനസംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു സാമ്പിൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരാൾക്ക് യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് മാത്രമേ ലഭിക്കൂ.

അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രവചന പിശകുകൾ വളരെ കുറവായിരിക്കണമെങ്കിൽ, നേടിയെടുത്ത നിഷ്പക്ഷവും കാര്യക്ഷമവുമായ മൂല്യങ്ങൾ ഉറപ്പുനൽകുന്ന ഒരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് വിലയിരുത്തൽ നടത്തണം. ഒരേ പോപ്പുലേഷനിൽ നിന്നുള്ള പുതിയ സാമ്പിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിരവധി തവണ ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, അവസ്ഥയും തൃപ്തികരവുമാണെങ്കിൽ, ഈ രീതി നിഷ്പക്ഷമായ കണക്കുകൾ നൽകുന്നു. ഒരേ പോപ്പുലേഷനിൽ നിന്നുള്ള പുതിയ സാമ്പിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിരവധി തവണ ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, a, b എന്നീ ഗുണകങ്ങളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ വ്യാപനം ഉറപ്പാക്കിയാൽ, രീതി ഫലപ്രദമായ കണക്കുകൾ നൽകുന്നു, അതായത്. വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൽ, സാമ്പിൾ ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കാര്യക്ഷമതയും നിഷ്പക്ഷമായ എസ്റ്റിമേറ്റുകളും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ രീതി പ്രയോഗിച്ച് ഉറപ്പാക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ രീതിയുടെ സാരാംശം ഇപ്രകാരമാണ്. ഓരോ സാമ്പിൾ പോയിൻ്റിനും, ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം എഴുതിയിരിക്കുന്നു . അപ്പോൾ കണക്കാക്കിയതും യഥാർത്ഥവുമായ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള പിശക് കണ്ടെത്തി. അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പരിഹാരം, എല്ലാ n പോയിൻ്റുകൾക്കും സ്ക്വയർ പിശകുകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ തുക നൽകുന്നു, അതായത്. തിരയൽ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം , ഗുണകങ്ങളുടെ പക്ഷപാതരഹിതവും കാര്യക്ഷമവുമായ കണക്കുകൾ നൽകുന്നു. ജോടിയാക്കിയ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ഈ പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്:

ഒരു സാമ്പിളിൽ നിന്ന് ഈ രീതിയിൽ ലഭിച്ച സാധാരണ ജനങ്ങൾക്കുള്ള റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളുടെ നിഷ്പക്ഷവും ഫലപ്രദവുമായ കണക്കുകൾ ഒരിക്കൽ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ പിശകുകൾക്കെതിരെ ഒരു ഉറപ്പും നൽകുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഒരേ പോപ്പുലേഷനിൽ നിന്നുള്ള മറ്റ് സാമ്പിളുകളുമായി ഈ പ്രവർത്തനം ആവർത്തിച്ച് ആവർത്തിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, മറ്റേതൊരു രീതിയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ചെറിയ അളവിലുള്ള പിശകുകൾ ഉറപ്പുനൽകുന്നു, ഈ പിശകുകളുടെ വ്യാപനം വളരെ കുറവായിരിക്കും.

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ലഭിച്ച ഗുണകങ്ങൾ റിഗ്രഷൻ രേഖയുടെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥ സാമ്പിളിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളാൽ രൂപപ്പെട്ട മേഘത്തിൻ്റെ പ്രധാന അക്ഷമാണ്. രണ്ട് ഗുണകങ്ങൾക്കും വളരെ കൃത്യമായ അർത്ഥമുണ്ട്. ഗുണകം എന്നതിലെ മൂല്യം കാണിക്കുന്നു, എന്നാൽ പല കേസുകളിലും ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ, ഗുണകത്തിൻ്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യാഖ്യാനം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതാണ്. അർത്ഥത്തിൻ്റെ കൂടുതൽ സാർവത്രിക വ്യാഖ്യാനം ഇപ്രകാരമാണ്. എങ്കിൽ, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിലെ ആപേക്ഷിക മാറ്റം (ശതമാനം മാറ്റം) ആശ്രിത വേരിയബിളിലെ ആപേക്ഷിക മാറ്റത്തേക്കാൾ എപ്പോഴും കുറവാണ്.

ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് വേരിയബിൾ ഒരു യൂണിറ്റ് കൊണ്ട് മാറുമ്പോൾ ആശ്രിത വേരിയബിൾ എത്ര യൂണിറ്റുകൾ മാറുമെന്ന് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കാണിക്കുന്നു. ഗുണകത്തെ പലപ്പോഴും റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് കൂടുതൽ പ്രധാനമാണെന്ന് ഊന്നിപ്പറയുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, ആശ്രിതവും സ്വതന്ത്രവുമായ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരം അവയുടെ ശരാശരി മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അവയുടെ വ്യതിയാനങ്ങൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം രൂപത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു. . മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, രൂപാന്തരപ്പെട്ട കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും റിഗ്രഷൻ ലൈൻ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു (ചിത്രം 13) കൂടാതെ ഒരു ഗുണകവുമില്ല.

ചിത്രം 13. രൂപാന്തരപ്പെട്ട കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ റിഗ്രഷൻ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ സ്ഥാനം.

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ ആശ്രിതവും സ്വതന്ത്രവുമായ വേരിയബിളുകൾ പരസ്പരം എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമ്മോട് പറയുന്നു, എന്നാൽ ബന്ധത്തിൻ്റെ അടുപ്പത്തിൻ്റെ അളവിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങളോട് ഒന്നും പറയരുത്, അതായത്. ഡാറ്റ ക്ലൗഡിൻ്റെ പ്രധാന അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ സ്ഥാനം കാണിക്കുക, എന്നാൽ കണക്ഷൻ്റെ ഇറുകിയ അളവിനെക്കുറിച്ച് ഒന്നും പറയുന്നില്ല (ക്ലൗഡ് എത്ര ഇടുങ്ങിയതോ വീതിയോ ആണ്).

പ്രദേശത്തിൻ്റെ പ്രദേശങ്ങൾക്കായി, 200X-നുള്ള ഡാറ്റ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

മേഖല നമ്പർ	കഴിവുള്ള ഒരു വ്യക്തിയുടെ പ്രതിശീർഷ ശരാശരി ജീവിത വേതനം, റബ്., x	ശരാശരി പ്രതിദിന വേതനം, റബ്., വൈ
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

വ്യായാമം:

1. ഒരു കോറിലേഷൻ ഫീൽഡ് നിർമ്മിക്കുകയും കണക്ഷൻ്റെ രൂപത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക.

2. ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുക

4. ശരാശരി (പൊതുവായ) ഇലാസ്തികത ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച്, ഘടകവും ഫലവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ ശക്തിയുടെ താരതമ്യ വിലയിരുത്തൽ നൽകുക.

7. ഘടകത്തിൻ്റെ പ്രവചിച്ച മൂല്യം അതിൻ്റെ ശരാശരി നിലവാരത്തിൽ നിന്ന് 10% വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഫലത്തിൻ്റെ പ്രവചിച്ച മൂല്യം കണക്കാക്കുക. പ്രാധാന്യം ലെവലിനായി പ്രവചന ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം:

നമുക്ക് തീരുമാനിക്കാം ഈ ചുമതല Excel ഉപയോഗിക്കുന്നു.

1. ലഭ്യമായ ഡാറ്റ x ഉം y ഉം താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഫാക്ടർ x ൻ്റെ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ക്രമത്തിൽ അവയെ റാങ്ക് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ശരാശരി പ്രതിശീർഷ ഉപജീവന നിലയിലെ വർദ്ധനവ് ശരാശരി പ്രതിദിന ശരാശരി വർദ്ധിപ്പിക്കുമ്പോൾ, സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ തമ്മിലുള്ള നേരിട്ടുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം ഒരാൾക്ക് നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയും. വേതന. ഇതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നേരിട്ടുള്ളതാണെന്നും ഒരു നേർരേഖ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കാമെന്നും നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ഗ്രാഫിക്കൽ വിശകലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അതേ നിഗമനം സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു.

ഒരു കോറിലേഷൻ ഫീൽഡ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് Excel PPP ഉപയോഗിക്കാം. പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ക്രമത്തിൽ നൽകുക: ആദ്യം x, പിന്നെ y.

ഡാറ്റ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സെല്ലുകളുടെ ഏരിയ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

തുടർന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക: മാർക്കറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് തിരുകുക / സ്‌കാറ്റർ പ്ലോട്ട് / സ്‌കാറ്റർ ചെയ്യുകചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് പോലെ.

ചിത്രം 1 കോറിലേഷൻ ഫീൽഡിൻ്റെ നിർമ്മാണം

കോറിലേഷൻ ഫീൽഡിൻ്റെ വിശകലനം റെക്റ്റിലീനിയർ ആശ്രിതത്വത്തോട് അടുത്ത് സാന്നിദ്ധ്യം കാണിക്കുന്നു, കാരണം പോയിൻ്റുകൾ ഏതാണ്ട് ഒരു നേർരേഖയിലാണ്.

2. ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കാൻ
നമുക്ക് ബിൽറ്റ്-ഇൻ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കാം LINEST.

ഇതിനായി:

1) വിശകലനം ചെയ്ത ഡാറ്റ അടങ്ങുന്ന നിലവിലുള്ള ഒരു ഫയൽ തുറക്കുക;
2) റിഗ്രഷൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ ഫലങ്ങൾ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നതിന് ശൂന്യമായ സെല്ലുകളുടെ 5x2 ഏരിയ (5 വരികൾ, 2 നിരകൾ) തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
3) സജീവമാക്കുക ഫംഗ്ഷൻ വിസാർഡ്: പ്രധാന മെനുവിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ / തിരുകൽ പ്രവർത്തനം.
4) വിൻഡോയിൽ വിഭാഗംനിങ്ങൾ എടുക്കുന്നു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ, ഫംഗ്ഷൻ വിൻഡോയിൽ - LINEST. ബട്ടൺ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ശരിചിത്രം 2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് പോലെ;

ചിത്രം 2 ഫംഗ്ഷൻ വിസാർഡ് ഡയലോഗ് ബോക്സ്

5) ഫംഗ്‌ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ പൂരിപ്പിക്കുക:

അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾ

x ൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾ

സ്ഥിരമായ - ബൂളിയൻ മൂല്യം, സമവാക്യത്തിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം സൂചിപ്പിക്കുന്നു; കോൺസ്റ്റൻ്റ് = 1 ആണെങ്കിൽ, ഫ്രീ ടേം സാധാരണ രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു, കോൺസ്റ്റൻ്റ് = 0 ആണെങ്കിൽ, ഫ്രീ ടേം 0 ആണ്;

സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ- റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൽ അധിക വിവരങ്ങൾ പ്രദർശിപ്പിക്കണോ വേണ്ടയോ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ലോജിക്കൽ മൂല്യം. സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ = 1 ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ അധിക വിവരംപ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യ പാരാമീറ്ററുകളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൾ മാത്രമേ പ്രദർശിപ്പിക്കൂ.

ബട്ടൺ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ശരി;

ചിത്രം 3 LINEST ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഡയലോഗ് ബോക്സ്

6) അന്തിമ പട്ടികയുടെ ആദ്യ ഘടകം തിരഞ്ഞെടുത്ത ഏരിയയുടെ മുകളിൽ ഇടത് സെല്ലിൽ ദൃശ്യമാകും. മുഴുവൻ പട്ടികയും തുറക്കാൻ, ബട്ടൺ അമർത്തുക , തുടർന്ന് കീ കോമ്പിനേഷനിലേക്ക് ++ .

ഇനിപ്പറയുന്ന ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിൽ കൂടുതൽ റിഗ്രഷൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ ഔട്ട്പുട്ട് ചെയ്യും:

ഗുണക മൂല്യം b	ഗുണകം ഒരു മൂല്യം
സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് b	സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് എ
സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് y
എഫ്-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്
സമചതുരങ്ങളുടെ റിഗ്രഷൻ തുക

ചിത്രം 4 LINEST ഫംഗ്‌ഷൻ കണക്കാക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം

ഞങ്ങൾക്ക് റിഗ്രഷൻ ലെവൽ ലഭിച്ചു:

ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: ശരാശരി പ്രതിശീർഷ ഉപജീവന നിലവാരത്തിൽ 1 റബ്ബിൻ്റെ വർദ്ധനവ്. ശരാശരി പ്രതിദിന വേതനം ശരാശരി 0.92 റുബിളായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

52% വ്യത്യാസം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് കൂലി(y) ഘടകം x ൻ്റെ വ്യത്യാസം - ശരാശരി പ്രതിശീർഷ ഉപജീവന നിലയും 48% - മോഡലിൽ ഉൾപ്പെടുത്താത്ത മറ്റ് ഘടകങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനവും വഴി വിശദീകരിക്കുന്നു.

കണക്കാക്കിയ നിർണ്ണയ ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച്, പരസ്പര ബന്ധത്തിൻ്റെ ഗുണകം കണക്കാക്കാം: .

കണക്ഷൻ അടുത്തതായി വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു.

4. ശരാശരി (പൊതുവായ) ഇലാസ്തികത ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച്, ഫലത്തിൽ ഘടകത്തിൻ്റെ സ്വാധീനത്തിൻ്റെ ശക്തി ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു നേർരേഖ സമവാക്യത്തിനായി, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ശരാശരി (മൊത്തം) ഇലാസ്തികത ഗുണകം നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

x മൂല്യങ്ങളുള്ള സെല്ലുകളുടെ ഏരിയ തിരഞ്ഞെടുത്ത് തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഞങ്ങൾ ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ / ഓട്ടോസം / ശരാശരി y യുടെ മൂല്യങ്ങൾക്കൊപ്പം ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യും.

ചിത്രം 5 ശരാശരി പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും കണക്കുകൂട്ടൽ

അങ്ങനെ, ശരാശരി പ്രതിശീർഷ ജീവിതച്ചെലവ് അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് 1% മാറുകയാണെങ്കിൽ, ശരാശരി പ്രതിദിന വേതനം ശരാശരി 0.51% ആയി മാറും.

ഒരു ഡാറ്റ വിശകലന ഉപകരണം ഉപയോഗിക്കുന്നു റിഗ്രഷൻലഭ്യമാണ്:
- റിഗ്രഷൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ ഫലങ്ങൾ,
- വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വിശകലന ഫലങ്ങൾ,
- ഫലം ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ,
- അവശിഷ്ടങ്ങളും റിഗ്രഷൻ ലൈൻ ഫിറ്റിംഗ് ഗ്രാഫുകളും,
- അവശിഷ്ടങ്ങളും സാധാരണ സംഭാവ്യതയും.

നടപടിക്രമം ഇപ്രകാരമാണ്:

1) ആക്സസ് പരിശോധിക്കുക വിശകലന പാക്കേജ്. പ്രധാന മെനുവിൽ, തിരഞ്ഞെടുക്കുക: ഫയൽ/ഓപ്ഷനുകൾ/ആഡ്-ഓണുകൾ.

2) ഡ്രോപ്പ്ഡൗൺ ലിസ്റ്റിൽ നിയന്ത്രണംഇനം തിരഞ്ഞെടുക്കുക എക്സൽ ആഡ്-ഇന്നുകൾബട്ടൺ അമർത്തുക പോകൂ.

3) വിൻഡോയിൽ ആഡ്-ഓണുകൾബോക്സ് ചെക്ക് ചെയ്യുക വിശകലന പാക്കേജ്തുടർന്ന് ബട്ടൺ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ശരി.

എങ്കിൽ വിശകലന പാക്കേജ്ഫീൽഡ് ലിസ്റ്റിൽ ഇല്ല ലഭ്യമായ ആഡ്-ഓണുകൾ, ബട്ടൺ അമർത്തുക അവലോകനംഒരു തിരയൽ നടത്താൻ.

നിങ്ങളുടെ കമ്പ്യൂട്ടറിൽ വിശകലന പാക്കേജ് ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്തിട്ടില്ലെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സന്ദേശം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ക്ലിക്കുചെയ്യുക അതെഇത് ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്യാൻ.

4) പ്രധാന മെനുവിൽ, തിരഞ്ഞെടുക്കുക: ഡാറ്റ / ഡാറ്റ വിശകലനം / വിശകലന ഉപകരണങ്ങൾ / റിഗ്രഷൻതുടർന്ന് ബട്ടൺ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ശരി.

5) ഡാറ്റ ഇൻപുട്ട്, ഔട്ട്പുട്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ ഡയലോഗ് ബോക്സ് പൂരിപ്പിക്കുക:

ഇൻപുട്ട് ഇടവേള Y- ഫലമായ ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ ഡാറ്റ അടങ്ങുന്ന ശ്രേണി;

ഇൻപുട്ട് ഇടവേള X- ഘടകം സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ഡാറ്റ അടങ്ങുന്ന ശ്രേണി;

ടാഗുകൾ- ആദ്യ വരിയിൽ കോളം പേരുകൾ ഉണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഫ്ലാഗ്;

സ്ഥിരം - പൂജ്യം- സമവാക്യത്തിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പതാക;

ഔട്ട്പുട്ട് ഇടവേള- ഭാവി ശ്രേണിയുടെ മുകളിൽ ഇടത് സെൽ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും;

6) പുതിയ വർക്ക്ഷീറ്റ് - പുതിയ ഷീറ്റിനായി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പേര് വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും.

തുടർന്ന് ബട്ടൺ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ശരി.

റിഗ്രഷൻ ടൂളിനുള്ള പരാമീറ്ററുകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള ചിത്രം 6 ഡയലോഗ് ബോക്സ്

പ്രശ്ന ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ ചിത്രം 7 ൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 7 റിഗ്രഷൻ ടൂൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം

5. ഉപയോഗിക്കുന്നത് നമുക്ക് വിലയിരുത്താം ശരാശരി പിശക്സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ നിലവാരം. ചിത്രം 8 ൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.

ചിത്രം 8 റിഗ്രഷൻ ടൂൾ ഉപയോഗിച്ചതിൻ്റെ ഫലം "ബാക്കിയുള്ളവ പിൻവലിക്കൽ"

ചിത്രം 9-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നമുക്ക് ഒരു പുതിയ പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം. C കോളത്തിൽ നമ്മൾ കണക്കുകൂട്ടുന്നു ആപേക്ഷിക പിശക്ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഏകദേശ കണക്കുകൾ:

ചിത്രം 9 ശരാശരി ഏകദേശ പിശകിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ശരാശരി ഏകദേശ പിശക് കണക്കാക്കുന്നു:

നിർമ്മിച്ച മോഡലിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം മികച്ചതായി വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു, കാരണം ഇത് 8 - 10% കവിയരുത്.

6. പട്ടിക സിയിൽ നിന്ന് റിഗ്രഷൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ(ചിത്രം 4) ഫിഷറിൻ്റെ എഫ്-ടെസ്റ്റിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് 5% പ്രാധാന്യമുള്ള തലത്തിൽ, റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം പ്രാധാന്യമുള്ളതാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം (ബന്ധം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു).

8. മൂല്യനിർണ്ണയം സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യംവിദ്യാർത്ഥികളുടെ t- സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ചും ഓരോ സൂചകത്തിൻ്റെയും ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ റിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്ററുകൾ നടപ്പിലാക്കും.

സൂചകങ്ങളും പൂജ്യവും തമ്മിലുള്ള സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് അപ്രധാനമായ വ്യത്യാസത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ H 0 സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുന്നു:

.

സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണത്തിന്

ചിത്രം 7-ന് യഥാർത്ഥ ടി-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക് മൂല്യങ്ങളുണ്ട്:

കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിനായുള്ള ടി-ടെസ്റ്റ് രണ്ട് തരത്തിൽ കണക്കാക്കാം:

രീതി I:

എവിടെ - പരസ്പര ബന്ധത്തിൻ്റെ ഗുണകത്തിൻ്റെ ക്രമരഹിതമായ പിശക്.

ചിത്രം 7 ലെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലിനായി ഡാറ്റ എടുക്കും.

രീതി II:

യഥാർത്ഥ ടി-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക് മൂല്യങ്ങൾ പട്ടിക മൂല്യങ്ങളെ കവിയുന്നു:

അതിനാൽ, H 0 എന്ന സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കപ്പെട്ടു, അതായത്, റിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്ററുകളും കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റും ആകസ്മികമായി പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല, പക്ഷേ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നു.

a പരാമീറ്ററിനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഇങ്ങനെ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു

a പരാമീറ്ററിന്, ചിത്രം 7-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ 95% പരിധികൾ:

റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഇങ്ങനെ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു

റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് b ന്, ചിത്രം 7-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ 95% പരിധികൾ:

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളുടെ മുകളിലും താഴെയുമുള്ള പരിധികളുടെ വിശകലനം പ്രോബബിലിറ്റിയോടൊപ്പം എന്ന നിഗമനത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. പാരാമീറ്ററുകൾ a, b, നിർദ്ദിഷ്ട പരിധിക്കുള്ളിലായതിനാൽ പൂജ്യം മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കരുത്, അതായത്. സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ അപ്രധാനമല്ല, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കാര്യമായ വ്യത്യാസമില്ല.

7. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ലഭിച്ച എസ്റ്റിമേറ്റ് അത് പ്രവചനത്തിനായി ഉപയോഗിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. പ്രവചിച്ച ജീവിതച്ചെലവ് ഇതാണെങ്കിൽ:

അപ്പോൾ ജീവിതച്ചെലവിൻ്റെ പ്രവചിക്കപ്പെട്ട മൂല്യം ഇതായിരിക്കും:

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രവചന പിശക് കണക്കാക്കുന്നു:

എവിടെ

Excel PPP ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വേരിയൻസ് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യും. ഇതിനായി:

1) സജീവമാക്കുക ഫംഗ്ഷൻ വിസാർഡ്: പ്രധാന മെനുവിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ / തിരുകൽ പ്രവർത്തനം.

3) ഫാക്ടർ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ സംഖ്യാ ഡാറ്റ അടങ്ങുന്ന ശ്രേണി പൂരിപ്പിക്കുക. ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക ശരി.

ചിത്രം 10 വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഞങ്ങൾക്ക് വേരിയൻസ് മൂല്യം ലഭിച്ചു

സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഓരോ ഡിഗ്രിയിലും ശേഷിക്കുന്ന വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാൻ, ചിത്രം 7-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ വിശകലന ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

0.95 പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള y യുടെ വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങൾ പ്രവചിക്കുന്നതിനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എക്സ്പ്രഷൻ ആണ്:

ഇടവേള വളരെ വിശാലമാണ്, പ്രാഥമികമായി ചെറിയ നിരീക്ഷണങ്ങൾ കാരണം. പൊതുവേ, ശരാശരി പ്രതിമാസ ശമ്പളത്തിൻ്റെ പ്രവചനം വിശ്വസനീയമായി മാറി.

പ്രശ്‌ന പ്രസ്‌താവന എടുത്തത്: ഇക്കണോമെട്രിക്‌സിലെ വർക്ക്‌ഷോപ്പ്: പ്രോസി. അലവൻസ് / I.I. എലിസീവ, എസ്.വി. കുറിഷേവ, എൻ.എം. ഗോർഡീങ്കോയും മറ്റുള്ളവരും; എഡ്. ഐ.ഐ. എലിസീവ. - എം.: ഫിനാൻസ് ആൻഡ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്, 2003. - 192 പേ.: അസുഖം.