ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം

പി. റൊമാനോവ്, ടി. റൊമാനോവ,
മാഗ്നിറ്റോഗോർസ്ക്,
ചെല്യാബിൻസ്ക് മേഖല

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം

ITAKA+ ഹോട്ടൽ കോംപ്ലക്‌സിൻ്റെ പിന്തുണയോടെയാണ് ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. കപ്പൽ നിർമ്മാതാക്കളുടെ സെവെറോഡ്വിൻസ്ക് നഗരത്തിൽ താമസിക്കുമ്പോൾ, താൽക്കാലിക ഭവനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം നിങ്ങൾക്ക് നേരിടേണ്ടിവരില്ല. , "ITHAKA+" http://itakaplus.ru എന്ന ഹോട്ടൽ സമുച്ചയത്തിൻ്റെ വെബ്‌സൈറ്റിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ദിവസേനയുള്ള പേയ്‌മെൻ്റിനൊപ്പം ഏത് കാലയളവിലും നഗരത്തിൽ ഒരു അപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും വാടകയ്‌ക്കെടുക്കാം.

ഓൺ ആധുനിക ഘട്ടംവിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ വികസനം, അതിൻ്റെ പ്രധാന കടമകളിലൊന്ന് സൃഷ്ടിപരമായി ചിന്തിക്കുന്ന വ്യക്തിത്വത്തിൻ്റെ രൂപീകരണമാണ്. ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളിൽ വ്യവസ്ഥാപിതമായി ഉൾപ്പെട്ടാൽ മാത്രമേ വിദ്യാർത്ഥികളിൽ സർഗ്ഗാത്മകതയ്ക്കുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ. വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അവരുടെ സൃഷ്ടിപരമായ ശക്തികളും കഴിവുകളും കഴിവുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം രൂപപ്പെടുന്നത് പൂർണ്ണമായ അറിവും നൈപുണ്യവുമാണ്. ഇക്കാര്യത്തിൽ, സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൻ്റെ ഓരോ വിഷയത്തിനും അടിസ്ഥാന അറിവിൻ്റെയും കഴിവുകളുടെയും ഒരു സംവിധാനം രൂപീകരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ചെറുതല്ല. അതേ സമയം, പൂർണ്ണമായ കഴിവുകൾ ഒരു ഉപദേശപരമായ ലക്ഷ്യമായിരിക്കണം വ്യക്തിഗത ജോലികൾ, എന്നാൽ അവരുടെ ശ്രദ്ധാപൂർവം ചിന്തിക്കുന്ന സിസ്റ്റം. വിശാലമായ അർത്ഥത്തിൽ, സമഗ്രതയും സുസ്ഥിരമായ ഘടനയും ഉള്ള പരസ്പരബന്ധിതമായ സംവേദനാത്മക ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമായാണ് ഒരു സിസ്റ്റം മനസ്സിലാക്കുന്നത്.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാമെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികളെ പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാങ്കേതികത നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അടിസ്ഥാനപരമായി, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും ഒരു നിശ്ചിത ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന വരികളുടെ ഒരു സെറ്റിൽ (ബണ്ടിൽ, ഫാമിലി) തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയിലേക്ക് വരുന്നു - അവ ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് സ്പർശിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തിരഞ്ഞെടുക്കൽ നടത്തുന്ന വരികളുടെ കൂട്ടം രണ്ട് തരത്തിൽ വ്യക്തമാക്കാം:

a) xOy തലത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റ് (വരികളുടെ സെൻട്രൽ പെൻസിൽ);
ബി) കോണീയ ഗുണകം (നേർരേഖകളുടെ സമാന്തര ബീം).

ഇക്കാര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങളെ ഒറ്റപ്പെടുത്തുന്നതിന് "ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്" എന്ന വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞു:

1) അത് കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റ് നൽകുന്ന ഒരു ടാൻജെൻ്റിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ;
2) അതിൻ്റെ ചരിവ് നൽകുന്ന ഒരു ടാൻജെൻ്റിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ.

A.G നിർദ്ദേശിച്ച അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ടാൻജെൻ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പരിശീലനം നടത്തി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നവയിൽ നിന്നുള്ള അടിസ്ഥാന വ്യത്യാസം, ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സയെ a (x0 ന് പകരം) എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) എന്നിവയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക). രീതിശാസ്ത്ര സാങ്കേതികത, ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, പൊതുവായ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിൽ നിലവിലെ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എവിടെയാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നതെന്നും ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകൾ എവിടെയാണെന്നും വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും മനസ്സിലാക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ അനുവദിക്കുന്നു.

y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റ് സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് നിശ്ചയിക്കുക.
2. f(a) കണ്ടെത്തുക.
3. f "(x), f "(a) എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
4. കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യകൾ a, f(a), f "(a) എന്നതിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുക പൊതുവായ സമവാക്യംടാൻജൻ്റ് y = f(a) = f "(a)(x – a).

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വതന്ത്ര തിരിച്ചറിയലിൻ്റെയും അവ നടപ്പിലാക്കുന്നതിൻ്റെ ക്രമത്തിൻ്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഈ അൽഗോരിതം സമാഹരിക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഓരോ പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങളുടെയും തുടർച്ചയായ പരിഹാരം, ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുന്നതിനുള്ള കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നുവെന്നും അൽഗോരിതം ഘട്ടങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ റഫറൻസ് പോയിൻ്റുകളായി വർത്തിക്കുന്നുവെന്നും പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നു. . ഈ സമീപനം P.Ya വികസിപ്പിച്ച മാനസിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമാനുഗതമായ രൂപീകരണത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഗാൽപെറിനും എൻ.എഫ്. ടാലിസിന.

ആദ്യ തരം ജോലികളിൽ, രണ്ട് പ്രധാന ജോലികൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞു:

• വക്രത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നു (പ്രശ്നം 1);
• വക്രത്തിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെയാണ് ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നത് (പ്രശ്നം 2).

ടാസ്ക് 1. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക പോയിൻ്റിൽ M(3; - 2).

പരിഹാരം. പോയിൻ്റ് M(3; – 2) ഒരു ടാൻജൻ്റ് പോയിൻ്റാണ്, കാരണം

1. a = 3 - ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

പ്രശ്നം 2. M(- 3; 6) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന y = – x 2 – 4x + 2 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് എല്ലാ ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം. പോയിൻ്റ് M(- 3; 6) ഒരു ടാൻജൻ്റ് പോയിൻ്റല്ല, കാരണം f(- 3) 6 (ചിത്രം 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangent equation.

M(- 3; 6) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നു, അതിനാൽ, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

a = – 4 ആണെങ്കിൽ, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം y = 4x + 18 ആണ്.

a = – 2 ആണെങ്കിൽ, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് y = 6 എന്ന രൂപമുണ്ട്.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിൽ, പ്രധാന ജോലികൾ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

• ടാൻജെൻ്റ് ചില വരികൾക്ക് സമാന്തരമാണ് (പ്രശ്നം 3);
• തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റ് ഒരു നിശ്ചിത കോണിൽ കടന്നുപോകുന്നു (പ്രശ്നം 4).

പ്രശ്നം 3. y = 9x + 1 എന്ന വരിക്ക് സമാന്തരമായി y = x 3 – 3x 2 + 3 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് എല്ലാ ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം.

1. a – tangent point ൻ്റെ abscissa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

എന്നാൽ, മറുവശത്ത്, f "(a) = 9 (സമാന്തരാവസ്ഥ). ഇതിനർത്ഥം നമ്മൾ 3a 2 – 6a = 9 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. അതിൻ്റെ വേരുകൾ a = – 1, a = 3 (ചിത്രം 3) ആണ്. ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

പ്രശ്നം 4. y = 0.5x 2 - 3x + 1 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക, 45 ° കോണിൽ y = 0 എന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്നു (ചിത്രം 4).

പരിഹാരം. f "(a) = tan 45° എന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ a: a – 3 = 1 കണ്ടെത്തുന്നു^എ = 4.

1. a = 4 - ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

മറ്റേതെങ്കിലും പ്രശ്‌നത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഒന്നോ അതിലധികമോ പ്രധാന പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു എന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണമായി പരിഗണിക്കുക.

1. സ്‌പർശകങ്ങൾ വലത് കോണുകളിൽ വിഭജിക്കുകയും അവയിലൊന്ന് അബ്‌സിസ്സ 3 (ചിത്രം 5) ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റിലെ പരവലയത്തെ സ്പർശിക്കുകയും ചെയ്‌താൽ, സ്‌പർശകങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ y = 2x 2 – 5x – 2 എന്നതിലേക്ക് എഴുതുക.

പരിഹാരം. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa നൽകിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഭാഗം പ്രധാന പ്രശ്നം 1 ആയി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

1. a = 3 - വലത് കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ഒന്നിൻ്റെ സ്പർശന പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ആദ്യത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം.

എ - ആദ്യത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ. സ്‌പർശകങ്ങൾ ലംബമായതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണാണ്. y = 7x - 20 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് tg ഉണ്ട് a = 7. നമുക്ക് കണ്ടെത്താം

ഇതിനർത്ഥം രണ്ടാമത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ് തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

കൂടുതൽ പരിഹാരം പ്രധാന ടാസ്ക് 3 ലേക്ക് വരുന്നു.

B(c; f(c)) രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ സ്പർശനബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ

1. - ടാൻജൻസിയുടെ രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2.
3.
4.
- രണ്ടാമത്തെ സ്പർശനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം.

കുറിപ്പ്. k 1 k 2 = – 1 എന്ന ലംബ രേഖകളുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം കൂടുതൽ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും.

2. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളിലേക്ക് എല്ലാ പൊതു ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക

പരിഹാരം. പൊതുവായ ടാൻജെൻ്റുകളുടെ ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സ കണ്ടെത്തുന്നതിനാണ് ചുമതല, അതായത്, പ്രധാന പ്രശ്നം 1 പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കുക, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം വരച്ച് അത് പരിഹരിക്കുക (ചിത്രം 6).

1. y = x 2 + x + 1 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ കിടക്കുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ കിടക്കുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ c
2.
3. f "(c) = c.
4.

സ്പർശനങ്ങൾ പൊതുവായതിനാൽ, അപ്പോൾ

അതിനാൽ y = x + 1 ഉം y = – 3x – 3 ഉം സാധാരണ ടാൻജെൻ്റുകളാണ്.

ചില ഗവേഷണ കഴിവുകൾ (വിശകലനം ചെയ്യാനും താരതമ്യം ചെയ്യാനും സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനും ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കാനുമുള്ള കഴിവ്) കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രധാന പ്രശ്നത്തിൻ്റെ തരം സ്വതന്ത്രമായി തിരിച്ചറിയാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ സജ്ജമാക്കുക എന്നതാണ് പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ജോലികളുടെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം. അത്തരം ടാസ്‌ക്കുകളിൽ കീ ടാസ്‌ക് ഒരു ഘടകമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏതൊരു ജോലിയും ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റുകളുടെ കുടുംബത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം (പ്രശ്നം 1-ന് വിപരീതം) ഉദാഹരണമായി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

3. y = x, y = – 2x എന്നീ വരികൾ y = x 2 + bx + c എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്?

പരിഹാരം.

y = x 2 + bx + c എന്ന പരവലയത്തോടുകൂടിയ നേർരേഖ y = x എന്ന നേർരേഖയുടെ സ്പർശനബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ t; p എന്നത് y = x 2 + bx + c എന്ന പരവലയത്തോടുകൂടിയ y = – 2x എന്ന നേർരേഖയുടെ സ്പർശനബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa ആണ്. അപ്പോൾ y = x എന്ന സ്‌പർശക സമവാക്യം y = (2t + b)x + c – t 2 എന്ന രൂപവും y = – 2x സ്‌പർശക സമവാക്യം y = (2p + b)x + c – p 2 എന്ന രൂപവും എടുക്കും. .

നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രചിച്ച് പരിഹരിക്കാം

ഉത്തരം:

സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ

1. y = 2x 2 – 4x + 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റുകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ കവല പോയിൻ്റുകളിൽ y = x + 3 എന്ന വരിയിൽ എഴുതുക.

ഉത്തരം: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. a യുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കായാണ് y = x 2 - ax എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റ്, abscissa x 0 = 1 എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ M(2; 3) എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത്?

ഉത്തരം: a = 0.5.

3. p യുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് y = px – 5 എന്ന നേർരേഖ y = 3x 2 – 4x – 2 എന്ന വക്രത്തെ സ്പർശിക്കുന്നത്?

ഉത്തരം: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ എല്ലാ പൊതു പോയിൻ്റുകളും P(0; 16) എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ ഈ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റും കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: എ (2; - 2), ബി (- 4; 52).

5. പരവലയ y = x 2 + 6x + 10 ഉം നേർരേഖയും തമ്മിലുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരം കണ്ടെത്തുക

ഉത്തരം:

6. y = x 2 – x + 1 എന്ന വക്രത്തിൽ, ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് y – 3x + 1 = 0 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: എം(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – | എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക 4x |, അത് രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ സ്പർശിക്കുന്നു. ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുക.

ഉത്തരം: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 എന്ന വരി y = x 4 + 3x 2 + 2x എന്ന വക്രത്തെ ഖണ്ഡിക്കുന്നില്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക. അവരുടെ ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം:

9. പരവലയത്തിൽ y = x 2, രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ അബ്‌സിസാസ് x 1 = 1, x 2 = 3 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ ഒരു സെക്കൻ്റ് വരയ്ക്കുന്നു. പരവലയത്തിൻ്റെ ഏത് ബിന്ദുവിലാണ് അതിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് സെക്കൻ്റിനു സമാന്തരമാകുന്നത്? സെക്കൻ്റ്, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

ഉത്തരം: y = 4x - 3 - സെക്കൻ്റ് സമവാക്യം; y = 4x - 4 - ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

10. ആംഗിൾ q കണ്ടെത്തുക y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള സ്‌പർശകങ്ങൾക്കിടയിൽ, 0 ഉം 1 ഉം ഉള്ള പോയിൻ്റുകളിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉത്തരം: q = 45°.

11. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് ഏത് ബിന്ദുകളിലാണ് ഓക്‌സ് അച്ചുതണ്ടിനൊപ്പം 135° കോണായി മാറുന്നത്?

ഉത്തരം: എ (0; - 1), ബി (4; 3).

12. പോയിൻ്റ് എ (1; 8) വക്രത്തിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരച്ചിരിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ടാൻജെൻ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം:

13. y = x 2 – x + 1, y = 2x 2 – x + 0.5 എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളിലേക്ക് എല്ലാ പൊതു ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യം എഴുതുക.

ഉത്തരം: y = – 3x, y = x.

14. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി.

ഉത്തരം:

15. പരാബോള y = x 2 + 2x – 8 ഏത് കോണിലാണ് x-അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്നത് എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.

ഉത്തരം: q 1 = ആർക്റ്റാൻ 6, q 2 = ആർക്റ്റാൻ (- 6).

16. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും കണ്ടെത്തുക, ഈ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഓരോന്നിലുമുള്ള ടാൻജെൻ്റ് കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പോസിറ്റീവ് അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളെ വിഭജിക്കുകയും അവയിൽ നിന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങൾ മുറിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉത്തരം: എ(– 3; 11).

17. വരി y = 2x + 7 ഉം പരവലയ y = x 2 – 1 പോയിൻ്റുകളും M, N പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു. M, N പോയിൻ്റുകളിൽ പരാബോളയിലേക്കുള്ള സ്‌പർശനരേഖകളുടെ പോയിൻ്റ് K കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: കെ(1; – 9).

18. y = x 3 – 3x + 15 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ലൈൻ y = 9x + b സ്‌പർശനരേഖയാണ് b യുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്ക്?

ഉത്തരം: - 1; 31.

19. k യുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് y = kx – 10 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് y = 2x 2 + 3x – 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ? k യുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾക്കായി, പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

ഉത്തരം: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. ബിയുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കായാണ് y = bx 3 - 2x 2 - 4 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റ്, abscissa x 0 = 2 എന്ന ബിന്ദുവിൽ M(1; 8) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത്?

ഉത്തരം: b = – 3.

21. കാളയുടെ അക്ഷത്തിൽ ശീർഷമുള്ള ഒരു പരവലയം ബി പോയിൻ്റിലെ A(1; 2), B(2; 4) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖയെ സ്പർശിക്കുന്നു. പരാബോളയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം:

22. k എന്ന ഗുണകത്തിൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് പരവലയം y = x 2 + kx + 1 ഓക്സ് അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നത്?

ഉത്തരം: k = d 2.

23. y = x + 2 എന്ന നേർരേഖയ്ക്കും y = 2x 2 + 4x – 3 എന്ന വക്രത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക.

29. 45° കോണിൽ ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കും ജനറേറ്ററുകളിലേക്കും സ്പർശനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം:

30. y = x 2 + ax + b എന്ന ഫോമിലെ എല്ലാ പരാബോളകളുടെയും ലംബങ്ങളുടെ സ്ഥാനം y = 4x – 1 എന്ന വരിയിലേക്ക് കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: നേർരേഖ y = 4x + 3.

സാഹിത്യം

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും സർവകലാശാലകളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കും 3600 പ്രശ്നങ്ങൾ. - എം., ബസ്റ്റാർഡ്, 1999.
2. മൊർഡ്കോവിച്ച് എ. യുവ അധ്യാപകർക്കുള്ള സെമിനാർ നാല്. വിഷയം: ഡെറിവേറ്റീവ് ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ. - എം., "ഗണിതശാസ്ത്രം", നമ്പർ 21/94.
3. മാനസിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമാനുഗതമായ സ്വാംശീകരണ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള അറിവിൻ്റെയും കഴിവുകളുടെയും രൂപീകരണം. / എഡ്. പി.യാ. ഗാൽപെരിന, എൻ.എഫ്. ടാലിസിന. - എം., മോസ്കോ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി, 1968.

ലേഖനം നിർവചനങ്ങളുടെ വിശദമായ വിശദീകരണം നൽകുന്നു, ഗ്രാഫിക് നൊട്ടേഷനുകളുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം. ഒരു ടാൻജെൻ്റ് ലൈനിൻ്റെ സമവാക്യം ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം പരിഗണിക്കും, ഒരു ടാൻജെൻ്റ് മുതൽ 2nd ഓർഡർ കർവുകൾ വരെയുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

Yandex.RTB R-A-339285-1 നിർവ്വചനം 1

y = k x + b എന്ന നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെ ആംഗിൾ α എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് x അക്ഷത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ നിന്ന് y = k x + b എന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് അളക്കുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ, x ദിശയെ ഒരു പച്ച അമ്പടയാളവും പച്ച കമാനവും, ചെരിവിൻ്റെ കോണും ചുവന്ന ആർക്ക് ഉപയോഗിച്ചും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നീല വര നേർരേഖയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 2

y = k x + b എന്ന നേർരേഖയുടെ ചരിവിനെ സംഖ്യാ ഗുണകം k എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കോണീയ ഗുണകം നേർരേഖയുടെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ k = t g α.

• ഒരു നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ 0 ന് തുല്യമായിരിക്കും, അത് x ന് സമാന്തരവും ചരിവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യവുമാണ്, കാരണം പൂജ്യത്തിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് 0 ന് തുല്യമാണ്. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം y = b ആയിരിക്കും എന്നാണ്.
• y = k x + b എന്ന നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ നിശിതമാണെങ്കിൽ, വ്യവസ്ഥകൾ 0 തൃപ്തികരമാണ്< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, ഒപ്പം ഗ്രാഫിൽ വർദ്ധനവുമുണ്ട്.
• α = π 2 ആണെങ്കിൽ, വരിയുടെ സ്ഥാനം x ന് ലംബമാണ്. തുല്യതയെ x = c ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, മൂല്യം c ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
• y = k x + b എന്ന നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ ആംഗിൾ അവ്യക്തമാണെങ്കിൽ, അത് π 2 വ്യവസ്ഥകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

നിർവ്വചനം 3

f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ 2 പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരിയാണ് സെക്കൻ്റ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ വരയ്ക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ് സെക്കൻ്റ്.

A B ഒരു സെക്കൻ്റാണെന്നും f (x) ഒരു കറുത്ത വക്രമാണെന്നും α ഒരു ചുവന്ന ചാപമാണെന്നും ചിത്രം കാണിക്കുന്നു, ഇത് സെക്കൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു നേർരേഖയുടെ കോണിക ഗുണകം ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ, A B C എന്ന വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് എതിർവശവും തൊട്ടടുത്തുള്ളതുമായ അനുപാതത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

നിർവ്വചനം 4

ഫോമിൻ്റെ ഒരു സെക്കൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, ഇവിടെ A, B എന്നീ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ x A, x B, f (x A), f (x) എന്നീ മൂല്യങ്ങളാണ് ബി) ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.

വ്യക്തമായും, k = f (x B) - f (x A) x B - x A അല്ലെങ്കിൽ k = f (x A) - f (x B) x A - x B എന്ന തുല്യത ഉപയോഗിച്ചാണ് സെക്കൻ്റിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. , കൂടാതെ സമവാക്യം y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) അല്ലെങ്കിൽ
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

സെക്കൻ്റ് ഗ്രാഫിനെ ദൃശ്യപരമായി 3 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു: പോയിൻ്റ് A യുടെ ഇടതുവശത്ത്, A മുതൽ B വരെ, B യുടെ വലത് വരെ. യാദൃശ്ചികമായി കണക്കാക്കുന്ന മൂന്ന് സെക്കൻ്റുകളുണ്ടെന്ന് ചുവടെയുള്ള ചിത്രം കാണിക്കുന്നു, അതായത്, അവ ഒരു ഉപയോഗിച്ച് സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. സമാനമായ സമവാക്യം.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു നേർരേഖയും അതിൻ്റെ സെക്കൻ്റും വ്യക്തമാണ് ഈ സാഹചര്യത്തിൽതാരതമ്യം.

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ ഒരു സെക്കൻ്റിന് ഒന്നിലധികം തവണ വിഭജിക്കാൻ കഴിയും. ഒരു സെക്കൻ്റിന് y = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ, സൈനസോയിഡുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്.

നിർവ്വചനം 5

x 0 പോയിൻ്റിലെ f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ്; f (x 0) എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ് x 0; f (x 0), x 0 ന് അടുത്തുള്ള നിരവധി x മൂല്യങ്ങളുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ സാന്നിധ്യമുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 1

ചുവടെയുള്ള ഉദാഹരണം നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം. y = x + 1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രേഖ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള (1; 2) പോയിൻ്റിൽ y = 2 x ലേക്ക് ടാൻജൻ്റ് ആയി കണക്കാക്കുന്നത് വ്യക്തമാണ്. വ്യക്തതയ്ക്കായി, (1; 2) അടുത്ത മൂല്യങ്ങളുള്ള ഗ്രാഫുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. y = 2 x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ കറുപ്പിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു, നീല വരയാണ് ടാൻജെൻ്റ് ലൈൻ, ചുവന്ന ഡോട്ട് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റാണ്.

വ്യക്തമായും, y = 2 x, y = x + 1 എന്ന വരിയുമായി ലയിക്കുന്നു.

സ്പർശനം നിർണ്ണയിക്കാൻ, ബി പോയിൻ്റ് എ ബിയെ അനന്തമായി സമീപിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

നീല വരയാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന സെക്കൻ്റ് എ ബി, ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനത്തേക്ക് തന്നെ ചായുന്നു, കൂടാതെ സെക്കൻ്റ് α ൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ α x ൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിലേക്ക് ചായാൻ തുടങ്ങും.

നിർവ്വചനം 6

A പോയിൻ്റിലെ y = f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ്, B, A ലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നതിനാൽ, A B യുടെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, B → A.

ഇനി നമുക്ക് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം പരിഗണിക്കാം.

x 0, f (x 0), x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), ∆ x എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള A, B എന്നിവ f (x) ഫംഗ്‌ഷനുള്ള A B എന്ന സെക്കൻ്റ് പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. വാദത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) എന്ന ഫോം എടുക്കും. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഒരു ഡ്രോയിംഗിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം.

നമുക്ക് ഫലം പരിഗണിക്കാം മട്ട ത്രികോണം A B C. സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിർവചനം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്, നമുക്ക് ∆ y ∆ x = t g α എന്ന ബന്ധം ലഭിക്കുന്നു. ഒരു സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നത് lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിയമമനുസരിച്ച്, x 0 എന്ന ബിന്ദുവിലെ derivative f (x) എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ ∆ x → 0 , അപ്പോൾ നമ്മൾ അതിനെ f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഇത് പിന്തുടരുന്നത് f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, ഇവിടെ k x എന്നത് സ്പർശനത്തിൻ്റെ ചരിവായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

അതായത്, x 0 എന്ന ബിന്ദുവിലും ടാൻജൻ്റ് പോലെയും f ’ (x) നിലനിൽക്കുമെന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. നൽകിയ ഷെഡ്യൂൾ x 0, f 0 (x 0) ന് തുല്യമായ ടാൻജൻസി പോയിൻ്റിലെ പ്രവർത്തനം, ഇവിടെ പോയിൻ്റിലെ ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ചരിവിൻ്റെ മൂല്യം x 0 പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് ആ k x = f " (x 0) ലഭിക്കും.

ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംഒരു ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, അതേ ബിന്ദുവിൽ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് ഉണ്ടെന്ന ആശയം നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു തലത്തിൽ ഏതെങ്കിലും നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതാൻ, അത് കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റുമായി ഒരു കോണീയ ഗുണകം ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. കവലയിൽ അതിൻ്റെ നൊട്ടേഷൻ x 0 ആയി കണക്കാക്കുന്നു.

x 0, f 0 (x 0) എന്ന പോയിൻ്റിലെ y = f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) എന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു.

ഇതിനർത്ഥം f "(x 0) എന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അന്തിമ മൂല്യത്തിന് ടാൻജൻ്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും, അതായത് ലംബമായി, നൽകിയിരിക്കുന്ന lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ അല്ലെങ്കിൽ lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) എന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള അഭാവം.

ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനം അതിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകമായ k x = f "(x 0) മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. o x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാകുമ്പോൾ, നമുക്ക് k k = 0, o y - k x = ∞ ന് സമാന്തരമാകുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ രൂപവും ലഭിക്കും. ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം x = x 0, k x > 0-നൊപ്പം വർദ്ധിക്കുന്നു, k x ആയി കുറയുന്നു< 0 .

ഉദാഹരണം 2

കോർഡിനേറ്റുകൾ (1; 3) ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റിൽ y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റിനായി ഒരു സമവാക്യം കംപൈൽ ചെയ്യുകയും ചെരിവിൻ്റെ ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കും ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റ്, (1; 3) സ്പർശനത്തിൻ്റെ ഒരു പോയിൻ്റാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, തുടർന്ന് x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

മൂല്യമുള്ള പോയിൻ്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - 1. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

സ്‌പർശനബിന്ദുവിലുള്ള f' (x) ൻ്റെ മൂല്യം സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ ചരിവാണ്, അത് ചരിവിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

അപ്പോൾ k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

അത് പിന്തുടരുന്നത് α x = a r c t g 3 3 = π 6 ആണ്

ഉത്തരം:ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു

y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫിക് ചിത്രീകരണത്തിൽ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകുന്നു.

യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനായി കറുപ്പ് നിറം ഉപയോഗിക്കുന്നു, നീല നിറം- ഒരു സ്പർശനത്തിൻ്റെ ചിത്രം, ചുവന്ന ഡോട്ട് - സ്പർശന പോയിൻ്റ്. വലതുവശത്തുള്ള ചിത്രം വിപുലീകരിച്ച കാഴ്ച കാണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 3

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജൻ്റിൻ്റെ അസ്തിത്വം നിർണ്ണയിക്കുക
y = 3 · x - 1 5 + 1 പോയിൻ്റിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ (1 ; 1) . ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക, ചെരിവിൻ്റെ കോൺ നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമായി കണക്കാക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പോകാം

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

x 0 = 1 ആണെങ്കിൽ, f' (x) നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, എന്നാൽ പരിധികൾ lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 എന്നാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്. · 1 + 0 = + ∞, ലിം x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , അതായത് പോയിൻ്റിൽ (1; 1) അസ്തിത്വം ലംബമായ ടാൻജെൻ്റ്.

ഉത്തരം:സമവാക്യം x = 1 എന്ന രൂപമെടുക്കും, അവിടെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ π 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് അത് ഗ്രാഫിക്കായി ചിത്രീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

1. ടാൻജെൻ്റ് ഇല്ല;
2. ടാൻജെൻ്റ് x ന് സമാന്തരമാണ്;
3. ടാൻജെൻ്റ് y = 8 5 x + 4 എന്ന വരിക്ക് സമാന്തരമാണ്.

പരിഹാരം

നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിയിൽ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂൾ വികസിപ്പിക്കുകയും സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു x ∈ - ∞ ; 2 ഒപ്പം [- 2 ; +∞) . ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2 ; +∞)

പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ഉണ്ട്

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2 ; +∞)

x = − 2 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല, കാരണം ആ ഘട്ടത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ തുല്യമല്ല:

ലിം x → - 2 - 0 y " (x) = ലിം x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 ലിം x → - 2 + 0 y " (x) = ലിം x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

x = - 2 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, അവിടെ നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, അതായത് ബിന്ദുവിലെ ടാൻജെൻ്റ് ( - 2; - 2) നിലവിലില്ല.
2. ചരിവ് പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ടാൻജെൻ്റ് x ന് സമാന്തരമാണ്. അപ്പോൾ k x = t g α x = f "(x 0). അതായത്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് അതിനെ പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ അത്തരം x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതായത്, f 'ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ. (x) സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളായിരിക്കും, അവിടെ ടാൻജെൻ്റ് x ന് സമാന്തരമാണ്.

എപ്പോൾ x ∈ - ∞ ; - 2, തുടർന്ന് - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, കൂടാതെ x ∈ (- 2; + ∞) ന് നമുക്ക് 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 ലഭിക്കും.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

അതിനാൽ - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ ആവശ്യമായ പോയിൻ്റുകളായി 4 3 കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രാതിനിധ്യം നോക്കാം.

കറുത്ത വര ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫാണ്, ചുവന്ന ഡോട്ടുകൾ സ്‌പർശന പോയിൻ്റുകളാണ്.

1. വരികൾ സമാന്തരമാകുമ്പോൾ, കോണീയ ഗുണകങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിലെ പോയിൻ്റുകൾക്കായി തിരയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അവിടെ ചരിവ് മൂല്യം 8 5 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ y "(x) = 8 5 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തുടർന്ന്, x ∈ - ∞; - 2 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, x ∈ (- 2 ; + ∞) ആണെങ്കിൽ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായതിനാൽ ആദ്യ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല. നമുക്ക് അത് എഴുതാം

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

മറ്റൊരു സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്, അപ്പോൾ

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

മൂല്യങ്ങളുള്ള പോയിൻ്റുകൾ - 1; 4 15, 5; 8 3 എന്നത് y = 8 5 x + 4 എന്ന രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി സ്പർശിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളാണ്.

ഉത്തരം:ബ്ലാക്ക് ലൈൻ - ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, റെഡ് ലൈൻ - y = 8 5 x + 4 എന്ന ഗ്രാഫ്, നീല വര - പോയിൻ്റുകളിലെ ടാൻജെൻ്റുകൾ - 1; 4 15, 5; 8 3.

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് അനന്തമായ ടാൻജൻ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5

y = - 2 x + 1 2 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമായി സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ലഭ്യമായ എല്ലാ ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം

ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിന്, വരികളുടെ ലംബതയുടെ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഗുണകവും കോർഡിനേറ്റുകളും കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നിർവചനം ഇപ്രകാരമാണ്: നേർരേഖകൾക്ക് ലംബമായ കോണീയ ഗുണകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം തുല്യമാണ് - 1, അതായത് k x · k ⊥ = - 1 എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് കോണീയ ഗുണകം രേഖയ്ക്ക് ലംബമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അത് k ⊥ = - 2 ന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ടച്ച് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുവേണ്ടി നിങ്ങൾ x ഉം അതിൻ്റെ മൂല്യവും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക
x 0 നമുക്ക് k x = y "(x 0) ലഭിക്കുന്നു. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകൾക്കായി x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഈ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കും.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk അല്ലെങ്കിൽ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk അല്ലെങ്കിൽ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk അല്ലെങ്കിൽ x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z എന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്.

x കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തി. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ y യുടെ മൂല്യങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നതിലേക്ക് പോകേണ്ടതുണ്ട്:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 അല്ലെങ്കിൽ y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 അല്ലെങ്കിൽ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 അല്ലെങ്കിൽ y 0 = - 4 5 + 1 3

ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 ആണ് സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ.

ഉത്തരം:ആവശ്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഇങ്ങനെ എഴുതും

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

ഒരു വിഷ്വൽ പ്രാതിനിധ്യത്തിനായി, ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷനും ഒരു ടാൻജെൻ്റും പരിഗണിക്കുക.

സ്ഥാനം എന്ന് ചിത്രം കാണിക്കുന്നു പ്രവർത്തനങ്ങൾ വരുന്നുഇടവേളയിൽ [- 10; 10 ], ബ്ലാക്ക് ലൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ആണെങ്കിൽ, നീല വരകൾ സ്‌പർശകങ്ങളാണ്, അവ y = - 2 x + 1 2 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ തന്നിരിക്കുന്ന വരിക്ക് ലംബമായി സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു. ചുവന്ന ഡോട്ടുകൾ ടച്ച് പോയിൻ്റുകളാണ്.

2nd ഓർഡർ കർവുകളുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഒറ്റ മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളല്ല. അറിയപ്പെടുന്ന സ്കീമുകൾ അനുസരിച്ച് അവയ്ക്കുള്ള സ്പർശന സമവാക്യങ്ങൾ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്

x c e n t e r എന്ന ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തം നിർവ്വചിക്കാൻ; y c e n t e r ഉം R ആരവും, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 എന്ന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക.

ഈ സമത്വം രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു യൂണിയൻ ആയി എഴുതാം:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ആദ്യ ഫംഗ്ഷൻ മുകളിലും രണ്ടാമത്തേത് താഴെയുമാണ്.

x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ സമവാക്യം കംപൈൽ ചെയ്യാൻ; y 0, മുകളിലോ താഴെയോ ഉള്ള അർദ്ധവൃത്തത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r അല്ലെങ്കിൽ y = - R 2 - x - x c e n t എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ സമവാക്യം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം. സൂചിപ്പിച്ച പോയിൻ്റിൽ y c e n t e r.

x c e n t e r എന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ; y c e n t e r + R, x c e n t e r; y = y c e n t e r + R, y = y c e n t e r - R എന്നീ സമവാക്യങ്ങളിലൂടെയും x c e n t e r + R എന്ന പോയിൻ്റുകളിലും y c e n t e r - R ടാൻജൻ്റുകൾ നൽകാം; y c e n t e r ഉം
x c e n t e r - R; y c e n t e r o y ന് സമാന്തരമായിരിക്കും, അപ്പോൾ നമുക്ക് x = x c e n t e r + R, x = x c e n t e r - R എന്നീ രൂപങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും.

ദീർഘവൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്

ദീർഘവൃത്തത്തിന് x c e n t e r ൽ ഒരു കേന്ദ്രം ഉള്ളപ്പോൾ; y c e n t e r അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ a, b എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, അത് x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം.

ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തെയും വൃത്തത്തെയും രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ സംയോജിപ്പിച്ച് സൂചിപ്പിക്കാം, അതായത് മുകളിലും താഴെയുമുള്ള അർദ്ധ-ദീർഘവൃത്തം. അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ശിഖരങ്ങളിലാണ് ടാൻജെൻ്റുകൾ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ, അവ ഏകദേശം x അല്ലെങ്കിൽ ഏകദേശം y ന് സമാന്തരമായിരിക്കും. ചുവടെ, വ്യക്തതയ്ക്കായി, ചിത്രം പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 6

x = 2 ന് തുല്യമായ x മൂല്യങ്ങളുള്ള പോയിൻ്റുകളിൽ ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ലേക്ക് സ്പർശനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം

x = 2 മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിലവിലുള്ള സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുകയും അത് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

അപ്പോൾ 2; 5 3 2 + 5 ഒപ്പം 2; - 5 3 2 + 5 എന്നത് മുകളിലും താഴെയുമുള്ള അർദ്ധ ദീർഘവൃത്തത്തിൽ പെടുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകളാണ്.

y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്കും പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്കും നമുക്ക് പോകാം. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

വ്യക്തമായും, y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, താഴത്തെ പകുതി ദീർഘവൃത്തം y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 എന്നിവയുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ചാണ് മുകളിലെ അർദ്ധ ദീർഘവൃത്തം വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നത്.

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം സൃഷ്‌ടിക്കാൻ നമുക്ക് ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് അൽഗോരിതം പ്രയോഗിക്കാം. പോയിൻ്റ് 2-ൽ ആദ്യത്തെ ടാൻജെൻ്റിനുള്ള സമവാക്യം എന്ന് നമുക്ക് എഴുതാം; 5 3 2 + 5 പോലെ കാണപ്പെടും

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

പോയിൻ്റിലെ ഒരു മൂല്യമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
2 ; - 5 3 2 + 5 ഫോം എടുക്കുന്നു

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

ഗ്രാഫിക്കലായി, ടാൻജെൻ്റുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

ഹൈപ്പർബോളിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയ്ക്ക് x c e n t e r ൽ ഒരു കേന്ദ്രം ഉള്ളപ്പോൾ; y c e n t e r ഉം വെർട്ടീസുകളും x c e n t e r + α; y c e n t e r, x c e n t e r - α; y c e n t e r , അസമത്വം x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 നടക്കുന്നു, x c e n t e r ലംബങ്ങളോടെയാണെങ്കിൽ; y c e n t e r + b, x c e n t e r; y c e n t e r -b , തുടർന്ന് അസമത്വം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കുന്നു x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയെ ഫോമിൻ്റെ രണ്ട് സംയുക്ത പ്രവർത്തനങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r അല്ലെങ്കിൽ y = x a · 2 n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നമുക്ക് സ്പർശനങ്ങൾ y ന് സമാന്തരമാണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ അവ x ന് സമാന്തരമാണ്.

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, സ്പർശനബിന്ദു ഏത് പ്രവർത്തനത്തിലാണെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് നിർണ്ണയിക്കാൻ, സമവാക്യങ്ങളിൽ പകരം വയ്ക്കുകയും ഐഡൻ്റിറ്റി പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 7

പോയിൻ്റ് 7-ൽ x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 എന്ന ഹൈപ്പർബോളയിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക; - 3 3 - 3 .

പരിഹാരം

2 ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഹൈപ്പർബോള കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പരിഹാര റെക്കോർഡ് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ഒപ്പം y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

ഇത് ഏത് പ്രവർത്തനത്തിൽ പെടുന്നു എന്ന് തിരിച്ചറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് സെറ്റ് പോയിൻ്റ്കോർഡിനേറ്റുകളോടൊപ്പം 7; - 3 3 - 3 .

വ്യക്തമായും, ആദ്യ ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുന്നതിന് അത് ആവശ്യമാണ് y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, അപ്പോൾ പോയിൻ്റ് ഗ്രാഫിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല, കാരണം സമത്വം നിലനിൽക്കില്ല.

രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷനായി നമുക്ക് y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ഉണ്ട്, അതായത് പോയിൻ്റ് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിൽ പെടുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് നിങ്ങൾ ചരിവ് കണ്ടെത്തണം.

ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

ഉത്തരം:ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

ഇത് ഇതുപോലെ വ്യക്തമായി ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഒരു പരവലയത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്

x 0, y (x 0) പോയിൻ്റിൽ പരാബോള y = a x 2 + b x + c എന്നതിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിനായി ഒരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു സാധാരണ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കണം, തുടർന്ന് സമവാക്യം y = y "(x" എന്ന ഫോം എടുക്കും. 0) x - x 0 + y ( x 0) ശീർഷത്തിലെ അത്തരമൊരു ടാൻജെൻ്റ് x ന് സമാന്തരമാണ്.

നിങ്ങൾ പരവലയ x = a y 2 + b y + c രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ യൂണിയൻ ആയി നിർവ്വചിക്കണം. അതിനാൽ, നമ്മൾ y യുടെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

ഗ്രാഫിക്കായി ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്:

ഒരു പോയിൻ്റ് x 0, y (x 0) ഒരു ഫംഗ്‌ഷനുടേതാണോ എന്ന് കണ്ടെത്താൻ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് മൃദുവായി തുടരുക. അത്തരം ഒരു സ്പർശനം പരവലയവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ o y ന് സമാന്തരമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 8

നമുക്ക് 150 ° ടാൻജെൻ്റ് കോൺ ഉള്ളപ്പോൾ x - 2 y 2 - 5 y + 3 എന്ന ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം

പരാബോളയെ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളായി പ്രതിനിധീകരിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

ചരിവിൻ്റെ മൂല്യം ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പോയിൻ്റ് x 0 ലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത് ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകളുടെ x മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ആദ്യ ഫംഗ്ഷൻ ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടും

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

വ്യക്തമായും, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യം ലഭിച്ചതിനാൽ യഥാർത്ഥ വേരുകളൊന്നുമില്ല. അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനത്തിന് 150° കോണുള്ള ടാൻജെൻ്റ് ഇല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടും

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

ഞങ്ങൾക്ക് കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകൾ 23 4 ആണ്; - 5 + 3 4 .

ഉത്തരം:ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

നമുക്ക് ഇത് ഗ്രാഫിക്കായി ഈ രീതിയിൽ ചിത്രീകരിക്കാം:

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാമോ? ഇല്ലെങ്കിൽ ആദ്യം വിഷയം വായിക്കുക. അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് അറിയാമെന്ന് നിങ്ങൾ പറയുന്നു. നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിശോധിക്കാം. ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ? അത് പ്രവർത്തിക്കണം. ഇപ്പോൾ ഒരു പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക. ഉത്തരം: . സംഭവിച്ചത്? ഈ ഉദാഹരണങ്ങളിലൊന്നിൽ നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ വിഷയത്തിലേക്ക് മടങ്ങിവന്ന് അത് വീണ്ടും പഠിക്കാൻ ഞാൻ ശക്തമായി ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. വിഷയം വളരെ വലുതാണെന്ന് എനിക്കറിയാം, അല്ലാത്തപക്ഷം കൂടുതൽ മുന്നോട്ട് പോകുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല. ചില പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക:

ഗ്രാഫ് ലൈനിൽ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കാം. അതിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ, അപ്പോൾ ഓർഡിനേറ്റ് തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ നമ്മൾ പോയിൻ്റിന് അടുത്തുള്ള abscissa ഉള്ള പോയിൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക; അതിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് ഇതാണ്:

ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാം. ഇതിനെ ഒരു സെക്കൻ്റ് (ജ്യാമിതിയിലെ പോലെ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. ത്രികോണമിതിയിലെന്നപോലെ, ഈ കോണും x-അക്ഷത്തിൻ്റെ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നിന്ന് അളക്കുന്നു. കോണിന് എന്ത് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം? നിങ്ങൾ ഈ നേർരേഖ എങ്ങനെ ചരിഞ്ഞാലും, ഒരു പകുതി ഇപ്പോഴും ഉയർന്നുനിൽക്കും. അതിനാൽ, സാധ്യമായ പരമാവധി ആംഗിൾ ആണ്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ആംഗിൾ ആണ്. അർത്ഥമാക്കുന്നത്, . ആംഗിൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, കാരണം ഈ കേസിലെ നേർരേഖയുടെ സ്ഥാനം കൃത്യമായി യോജിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒരു ചെറിയ ആംഗിൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്. നമുക്ക് ചിത്രത്തിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് എടുക്കാം, അതായത് നേർരേഖ അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരവും a എന്നത് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവുമാണ്:

ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് അത് കാണാൻ കഴിയും, എ. അപ്പോൾ ഇൻക്രിമെൻ്റ് അനുപാതം ഇതാണ്:

(ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതിനാൽ).

ഇനി കുറയ്ക്കാം. അപ്പോൾ പോയിൻ്റ് പോയിൻ്റിനെ സമീപിക്കും. അത് അനന്തമായി മാറുമ്പോൾ, അനുപാതം പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാകും. സെക്കൻ്റിന് എന്ത് സംഭവിക്കും? പോയിൻ്റ് പോയിൻ്റിനോട് അനന്തമായി അടുക്കും, അതിനാൽ അവ ഒരേ പോയിൻ്റായി കണക്കാക്കാം. എന്നാൽ ഒരു വക്രതയുള്ള ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് മാത്രമുള്ള ഒരു നേർരേഖ മറ്റൊന്നുമല്ല ടാൻജൻ്റ്(ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഈ അവസ്ഥ ഒരു ചെറിയ പ്രദേശത്ത് മാത്രമാണ് - പോയിൻ്റിന് സമീപം, എന്നാൽ ഇത് മതിയാകും). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സെക്കൻ്റ് എടുക്കുമെന്ന് അവർ പറയുന്നു പരിധി സ്ഥാനം.

അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെ നമുക്ക് വിളിക്കാം. അപ്പോൾ അത് ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്ന് മാറുന്നു

അതാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

ടാൻജെൻ്റ് ഒരു രേഖയായതിനാൽ, നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം ഓർക്കാം:

കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്താണ് ഉത്തരവാദി? നേർരേഖയുടെ ചരിവിന്. ഇതിനെ വിളിക്കുന്നത് ഇതാണ്: ചരിവ്. എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? നേർരേഖയ്ക്കും അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ് ഇത് എന്ന വസ്തുതയും! അതിനാൽ ഇതാണ് സംഭവിക്കുന്നത്:

എന്നാൽ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പ്രവർത്തനം പരിഗണിച്ചാണ് ഞങ്ങൾക്ക് ഈ നിയമം ലഭിച്ചത്. പ്രവർത്തനം കുറയുകയാണെങ്കിൽ എന്ത് മാറും? നമുക്ക് കാണാം:
ഇപ്പോൾ കോണുകൾ മങ്ങിയതാണ്. കൂടാതെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്. നമുക്ക് വീണ്ടും പരിഗണിക്കാം: . മറുവശത്ത്, . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:, അതായത്, എല്ലാം കഴിഞ്ഞ തവണത്തേതിന് സമാനമാണ്. നമുക്ക് വീണ്ടും പോയിൻ്റിലേക്ക് പോയിൻ്റ് നയിക്കാം, സെക്കൻ്റ് ഒരു പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനം എടുക്കും, അതായത്, അത് പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റായി മാറും. അതിനാൽ, നമുക്ക് അന്തിമ നിയമം രൂപപ്പെടുത്താം:
ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഈ പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ (അത് തന്നെയാണ്) ഈ സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ ചരിവ്:

അതാണ് അത് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.ശരി, ഇതെല്ലാം രസകരമാണ്, പക്ഷേ ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് എന്തുകൊണ്ട് ആവശ്യമാണ്? ഇവിടെ ഉദാഹരണം:
ചിത്രം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫും അബ്‌സിസ്സ പോയിൻ്റിൽ അതിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജെൻ്റും കാണിക്കുന്നു. ഒരു പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.
ഞങ്ങൾ അടുത്തിടെ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ, സ്പർശനബിന്ദുവിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവിന് തുല്യമാണ്, ഇത് അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ഈ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്: . ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ടാൻജെൻ്റ് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ചിത്രത്തിൽ, ടാൻജെൻ്റിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തി, അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് അറിയാം. അതിനാൽ, ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണം പൂർത്തിയാക്കി ടാൻജെൻ്റ് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് കണ്ടെത്താം!

അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ ആണ്. നമുക്ക് ഈ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് കണ്ടെത്താം: . അങ്ങനെ, ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് തുല്യമാണ്.
ഉത്തരം:. ഇപ്പോൾ ഇത് സ്വയം പരീക്ഷിക്കുക:

ഉത്തരങ്ങൾ:

അറിയുന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന നിയമം നമുക്ക് വളരെ ലളിതമായി വിശദീകരിക്കാം പ്രാദേശിക പരമാവധിഅല്ലെങ്കിൽ മിനിമം പൂജ്യമാണ്. തീർച്ചയായും, ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് "തിരശ്ചീനമാണ്", അതായത് x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്:

സമാന്തര രേഖകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ എന്താണ്? തീർച്ചയായും, പൂജ്യം! കൂടാതെ പൂജ്യത്തിൻ്റെ സ്പർശവും പൂജ്യമാണ്. അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

"ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഏകതാനത" എന്ന വിഷയത്തിൽ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വായിക്കുക. എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ."

ഇനി നമുക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ ടാൻജെൻ്റുകളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം. നമുക്ക് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം, ഉദാഹരണത്തിന്, . ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് വരച്ചു, ഒരു ഘട്ടത്തിൽ അതിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഘട്ടത്തിൽ. ഞങ്ങൾ ഒരു ഭരണാധികാരി എടുത്ത് ഗ്രാഫിലേക്ക് അറ്റാച്ച് ചെയ്ത് വരയ്ക്കുക:

ഈ വരിയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് എന്തറിയാം? ഒരു കോർഡിനേറ്റ് വിമാനത്തിലെ ഒരു ലൈനിനെക്കുറിച്ച് അറിയേണ്ട ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം എന്താണ്? ഒരു നേർരേഖ ഒരു ചിത്രമായതിനാൽ രേഖീയ പ്രവർത്തനം, അതിൻ്റെ സമവാക്യം അറിയുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും. അതായത്, സമവാക്യത്തിലെ ഗുണകങ്ങൾ

എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം! ഇതാണ് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ്, അത് ആ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണ്:

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് ഇതുപോലെയായിരിക്കും:

ഇനി അത് കണ്ടെത്തുക മാത്രമാണ് ബാക്കിയുള്ളത്. ഇത് pears ഷെല്ലിംഗ് പോലെ ലളിതമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി - മൂല്യം. ഗ്രാഫിക്കലായി, ഇത് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവുമായുള്ള വരിയുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റാണ് (എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്ഷത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും):

നമുക്ക് അത് വരയ്ക്കാം (അതിനാൽ ഇത് ചതുരാകൃതിയിലാണ്). തുടർന്ന് (ടാൻജെൻ്റിനും x-അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള ഒരേ കോണിലേക്ക്). എന്താണ്, തുല്യം? ചിത്രം വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു, എ. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ലഭിച്ച എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ സ്വയം തീരുമാനിക്കുക:

1. കണ്ടെത്തുക ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യംഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ചടങ്ങിലേക്ക്.
2. ഒരു പരവലയത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് ഒരു കോണിൽ അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നു. ഈ സ്പർശനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.
3. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് സമാന്തരമാണ് ലൈൻ. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa കണ്ടെത്തുക.
4. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് സമാന്തരമാണ് ലൈൻ. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും:

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജൻ്റ് സമവാക്യം. സംക്ഷിപ്ത വിവരണവും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും

ഒരു പ്രത്യേക ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഈ പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ഈ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ്:

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം:

ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

ശരി, വിഷയം കഴിഞ്ഞു. നിങ്ങൾ ഈ വരികൾ വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ വളരെ ശാന്തനാണ് എന്നാണ്.

കാരണം 5% ആളുകൾക്ക് മാത്രമേ സ്വന്തമായി എന്തെങ്കിലും മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ കഴിയൂ. നിങ്ങൾ അവസാനം വരെ വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഈ 5% ആണ്!

ഇപ്പോൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം.

ഈ വിഷയത്തിലെ സിദ്ധാന്തം നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ട്. പിന്നെ, ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, ഇത്... ഇത് വെറും സൂപ്പർ! നിങ്ങളുടെ സമപ്രായക്കാരിൽ ബഹുഭൂരിപക്ഷത്തേക്കാളും നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ മികച്ചതാണ്.

ഇത് മതിയാകില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം...

എന്തിനുവേണ്ടി?

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ വിജയകരമായി വിജയിച്ചതിന്, ഒരു ബജറ്റിൽ കോളേജിൽ പ്രവേശിക്കുന്നതിനും, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ജീവിതത്തിനും.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഒന്നും ബോധ്യപ്പെടുത്തില്ല, ഒരു കാര്യം മാത്രം പറയാം...

സ്വീകരിച്ച ആളുകൾ ഒരു നല്ല വിദ്യാഭ്യാസം, അത് ലഭിക്കാത്തവരേക്കാൾ വളരെ കൂടുതൽ സമ്പാദിക്കുക. ഇത് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളാണ്.

എന്നാൽ ഇതല്ല പ്രധാന കാര്യം.

പ്രധാന കാര്യം അവർ കൂടുതൽ സന്തുഷ്ടരാണ് (അത്തരം പഠനങ്ങളുണ്ട്). ഒരുപക്ഷെ, ഇനിയും നിരവധി അവസരങ്ങൾ അവരുടെ മുന്നിൽ തുറക്കപ്പെടുകയും ജീവിതം ശോഭനമാകുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ടാണോ? അറിയില്ല...

എന്നാൽ സ്വയം ചിന്തിക്കൂ...

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ മറ്റുള്ളവരേക്കാൾ മികച്ചവരായിരിക്കാനും ആത്യന്തികമായി ... സന്തോഷവാനായിരിക്കാനും എന്താണ് വേണ്ടത്?

ഈ വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങളുടെ കൈ നേടുക.

പരീക്ഷയ്ക്കിടെ നിങ്ങളോട് തിയറി ചോദിക്കില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും സമയത്തിനെതിരായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

കൂടാതെ, നിങ്ങൾ അവ പരിഹരിച്ചില്ലെങ്കിൽ (ഒരുപാട്!), നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും എവിടെയെങ്കിലും ഒരു മണ്ടത്തരമായ തെറ്റ് ചെയ്യും അല്ലെങ്കിൽ സമയമില്ല.

ഇത് സ്പോർട്സിൽ പോലെയാണ് - ഉറപ്പായും വിജയിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഇത് പലതവണ ആവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളിടത്ത് ശേഖരം കണ്ടെത്തുക, നിർബന്ധമായും പരിഹാരങ്ങൾക്കൊപ്പം, വിശദമായ വിശകലനം തീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക, തീരുമാനിക്കുക!

നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ ടാസ്ക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കാം (ഓപ്ഷണൽ) ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും അവ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ ടാസ്ക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ കൂടുതൽ മെച്ചപ്പെടാൻ, നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ വായിക്കുന്ന YouClever പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ ആയുസ്സ് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എങ്ങനെ? രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്:

1. ഈ ലേഖനത്തിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ജോലികളും അൺലോക്ക് ചെയ്യുക - 299 തടവുക.
2. പാഠപുസ്തകത്തിലെ എല്ലാ 99 ലേഖനങ്ങളിലും മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് അൺലോക്ക് ചെയ്യുക - 499 തടവുക.

അതെ, ഞങ്ങളുടെ പാഠപുസ്തകത്തിൽ അത്തരം 99 ലേഖനങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് ചെയ്യാനും അവയിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടെക്സ്റ്റുകളും ഉടനടി തുറക്കാനും കഴിയും.

സൈറ്റിൻ്റെ മുഴുവൻ ജീവിതത്തിനായി മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ ടാസ്ക്കുകളിലേക്കും ആക്സസ് നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഉപസംഹാരമായി...

ഞങ്ങളുടെ ജോലികൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടപ്പെട്ടില്ലെങ്കിൽ, മറ്റുള്ളവരെ കണ്ടെത്തുക. സിദ്ധാന്തത്തിൽ മാത്രം നിൽക്കരുത്.

"മനസ്സിലായി", "എനിക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും" എന്നിവ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ കഴിവുകളാണ്. രണ്ടും വേണം.

പ്രശ്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തി അവ പരിഹരിക്കുക!