ആമുഖം
ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും നിയമങ്ങൾക്ക് വിധേയമാണോ? അതെ, എന്നാൽ ഈ നിയമങ്ങൾ നമ്മൾ പരിചിതമായതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് ഭൗതിക നിയമങ്ങൾ. അറിയപ്പെടുന്ന പരീക്ഷണ സാഹചര്യങ്ങളിൽ പോലും എസ്വിയുടെ മൂല്യങ്ങൾ പ്രവചിക്കാൻ കഴിയില്ല; എസ്വി ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതകൾ മാത്രമേ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ. എന്നാൽ എസ്‌വികളുടെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ അറിയുന്നതിലൂടെ, ഈ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ പങ്കെടുക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും. ശരിയാണ്, ഈ നിഗമനങ്ങളും പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് സ്വഭാവമായിരിക്കും.
ചില SV വ്യതിരിക്തമായിരിക്കട്ടെ, അതായത്. Xi എന്ന നിശ്ചിത മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കാൻ കഴിയൂ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഈ അളവിൻ്റെ എല്ലാ (i=1…n) അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങൾക്കുമുള്ള P(Xi) പ്രോബബിലിറ്റി മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയെ അതിൻ്റെ വിതരണ നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
എസ്വിയുടെ വിതരണ നിയമം എസ്വിയുടെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളും ഈ മൂല്യങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്ന സാധ്യതകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്ന ഒരു ബന്ധമാണ്. വിതരണ നിയമം SV-യെ പൂർണ്ണമായി ചിത്രീകരിക്കുന്നു.
പണിയുമ്പോൾ ഗണിത മാതൃകപരിശോധനയ്ക്കായി സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനംഎസ്വിയുടെ വിതരണ നിയമത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര അനുമാനം അവതരിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പാരാമെട്രിക് വഴി).
ഗണിത മാതൃക വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള നോൺ-പാരാമെട്രിക് സമീപനം (എസ്‌വിക്ക് ഒരു പാരാമെട്രിക് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമമില്ല) കൃത്യത കുറവാണ്, പക്ഷേ വിശാലമായ വ്യാപ്തിയുണ്ട്.
ക്രമരഹിതമായ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത പോലെ, എസ്.വി.യുടെ വിതരണ നിയമത്തിന് അത് കണ്ടെത്തുന്നതിന് രണ്ട് വഴികളേയുള്ളൂ. ഒന്നുകിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു റാൻഡം ഇവൻ്റിൻ്റെ ഒരു ഡയഗ്രം നിർമ്മിക്കുകയും പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു വിശകലന പദപ്രയോഗം (സൂത്രവാക്യം) കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം (ഒരുപക്ഷേ ആരെങ്കിലും ഇത് നമുക്കുവേണ്ടി ഇതിനകം ചെയ്‌തിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ ചെയ്‌തിരിക്കാം!), അല്ലെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരീക്ഷണം ഉപയോഗിക്കേണ്ടിവരും, ആവൃത്തികളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ, നിയമ വിതരണങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചില അനുമാനങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുക (അനുമാനങ്ങൾ മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുക).
തീർച്ചയായും, ഓരോ “ക്ലാസിക്കൽ” വിതരണങ്ങൾക്കും ഈ ജോലി വളരെക്കാലമായി ചെയ്തുവരുന്നു - വ്യാപകമായി അറിയപ്പെടുന്നതും പ്രായോഗിക സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നതും ബൈനോമിയൽ, പോളിനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾ, ജ്യാമിതീയവും ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക്, പാസ്കൽ, പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളും മറ്റു പലതും.
മിക്കവാറും എല്ലാ ക്ലാസിക്കൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾക്കും, പ്രത്യേക സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ടേബിളുകൾ ഉടനടി നിർമ്മിക്കുകയും പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തു, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൃത്യത വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് പരിഷ്ക്കരിച്ചു. ഈ പട്ടികകളുടെ നിരവധി വോള്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാതെ, അവ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളിൽ പരിശീലനം കൂടാതെ, കഴിഞ്ഞ രണ്ട് നൂറ്റാണ്ടുകളായി സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ പ്രായോഗിക ഉപയോഗം അസാധ്യമാണ്.
ഇന്ന് സ്ഥിതി മാറിയിരിക്കുന്നു - ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ ഡാറ്റ സംഭരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല (രണ്ടാമത്തേത് എത്ര സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിലും!), പരിശീലനത്തിനായി വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിക്കാനുള്ള സമയം മിനിറ്റുകളോ സെക്കൻഡുകളോ ആയി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. ഈ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഇതിനകം തന്നെ മതിയായ എണ്ണം വ്യത്യസ്ത ആപ്ലിക്കേഷൻ സോഫ്‌റ്റ്‌വെയർ പാക്കേജുകളുണ്ട്.
എല്ലാ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളിലും, പ്രത്യേകിച്ച് പലപ്പോഴും പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നവയുണ്ട്. ഈ വിതരണങ്ങൾ വിശദമായി പഠിക്കുകയും അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ നന്നായി അറിയുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഈ വിതരണങ്ങളിൽ പലതും സിദ്ധാന്തം പോലുള്ള വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ മേഖലകൾക്കും അടിവരയിടുന്നു ക്യൂ നിൽക്കുന്നു, വിശ്വാസ്യത സിദ്ധാന്തം, ഗുണനിലവാര നിയന്ത്രണം, ഗെയിം സിദ്ധാന്തം മുതലായവ.
അവയിൽ, ജേക്കബ് ബെർണൂലിയെക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമത്തിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപം തെളിയിച്ച പോയിസൻ്റെ (1781-1840) കൃതികൾ ശ്രദ്ധിക്കാതിരിക്കാൻ ആർക്കും കഴിയില്ല, കൂടാതെ ഷൂട്ടിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി പ്രയോഗിച്ചു. . പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലും അതിൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങളിലും ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്ന വിതരണ നിയമങ്ങളിലൊന്നുമായി പോയസൻ്റെ പേര് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ഈ വിതരണ നിയമത്തിനാണ് ഈ ലേഖനം നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നത്. കോഴ്സ് ജോലി. അത് ഏകദേശംനേരിട്ട് നിയമത്തെക്കുറിച്ച്, അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര സവിശേഷതകൾ, പ്രത്യേക ഗുണങ്ങൾ, ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുമായുള്ള ബന്ധം. പ്രായോഗിക പ്രയോഗത്തെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് വാക്കുകൾ പറയുകയും പരിശീലനത്തിൽ നിന്നുള്ള നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യും.
ബെർണൂലി, പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സാരാംശം വ്യക്തമാക്കുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ലേഖനത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യം.
ലേഖനത്തിൻ്റെ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സാഹിത്യം പഠിക്കുകയും വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ് ചുമതല.
1. ദ്വിപദ വിതരണം (ബെർണൂലി വിതരണം)
ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ (ബെർണൂലി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ) - ആവർത്തിച്ചുള്ള ചില സംഭവങ്ങളുടെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ സ്വതന്ത്ര പരിശോധനകൾ, ഓരോ ട്രയലിലും ഈ സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത p ആണെങ്കിൽ (0
PX(x)ºP(X=x) = pxq1-x എന്ന പ്രോബബിലിറ്റികളുള്ള 0, 1 മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, p എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് SV X ബെർണൂലിയുടെ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു; p+q=1; x=0.1.
ചോദ്യം ചോദിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉയർന്നുവരുന്നു: ഒരേ വ്യവസ്ഥകളിൽ നടത്തിയ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം സ്വതന്ത്ര നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ (പരീക്ഷണങ്ങളുടെ) ഒരു പരമ്പരയിൽ ഒരു നിശ്ചിത സംഭവം എത്ര തവണ സംഭവിക്കുന്നു.
സൗകര്യത്തിനും വ്യക്തതയ്ക്കും വേണ്ടി, p-യുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും - സ്റ്റോറിൽ പ്രവേശിക്കുന്ന ഒരു സന്ദർശകൻ ഒരു വാങ്ങുന്നയാളായി മാറാനുള്ള സാധ്യതയും (1- p) = q - ഒരു സന്ദർശകൻ സ്റ്റോറിൽ പ്രവേശിക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതയും ഒരു വാങ്ങുന്നയാൾ.
X എന്നത് മൊത്തം n സന്ദർശകരുടെ എണ്ണത്തിൽ നിന്ന് വാങ്ങുന്നവരുടെ എണ്ണമാണെങ്കിൽ, n സന്ദർശകർക്കിടയിൽ k വാങ്ങുന്നവർ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഇതിന് തുല്യമാണ്
P(X= k) = , ഇവിടെ k=0,1,…n 1)
ഫോർമുല (1) യെ ബെർണൂലി ഫോർമുല എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ധാരാളം പരിശോധനകൾക്കൊപ്പം, ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ സാധാരണ നിലയിലായിരിക്കും.
രണ്ട് ഫലങ്ങളുള്ള ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി പരീക്ഷണമാണ് ബെർണൂലി ടെസ്റ്റ്, അവയെ സാധാരണയായി "വിജയം" (സാധാരണയായി ചിഹ്നം 1 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു), "പരാജയം" (യഥാക്രമം 0 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു). വിജയസാധ്യത സാധാരണയായി p എന്ന അക്ഷരം, പരാജയം - q എന്ന അക്ഷരം എന്നിവയാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു; തീർച്ചയായും q=1-p. p മൂല്യത്തെ ബെർണൂലി ടെസ്റ്റ് പാരാമീറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ബൈനോമിയൽ, ജ്യാമിതീയം, പാസ്കൽ, നെഗറ്റീവ് ബൈനോമിയൽ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ എന്നിവ സ്വതന്ത്ര ബെർണൂലി ട്രയലുകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിൽ നിന്നാണ് ലഭിക്കുന്നത്, ഒരു തരത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ സീക്വൻസ് അവസാനിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന് nth ട്രയൽ അല്ലെങ്കിൽ xth വിജയത്തിന് ശേഷം. ഇനിപ്പറയുന്ന പദാവലി സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു:
– ബെർണൂലി ടെസ്റ്റ് പാരാമീറ്റർ (ഒറ്റ ടെസ്റ്റിൽ വിജയിക്കാനുള്ള സാധ്യത);
- ടെസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണം;
- വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം;
- പരാജയങ്ങളുടെ എണ്ണം.
ബൈനോമിയൽ റാൻഡം വേരിയബിൾ (m|n,p) - n ട്രയലുകളിലെ m വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം.
ജ്യാമിതീയ റാൻഡം വേരിയബിൾ G(m|p) - ആദ്യ വിജയം വരെയുള്ള ട്രയലുകളുടെ എണ്ണം (ആദ്യ വിജയം ഉൾപ്പെടെ).
പാസ്കൽ റാൻഡം വേരിയബിൾ C(m|x,p) - x-th വിജയം വരെയുള്ള ട്രയലുകളുടെ എണ്ണം (തീർച്ചയായും, x-th വിജയം തന്നെ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല).
നെഗറ്റീവ് ബൈനോമിയൽ റാൻഡം വേരിയബിൾ Y(m|x,p) - x-th വിജയത്തിന് മുമ്പുള്ള പരാജയങ്ങളുടെ എണ്ണം (x-th വിജയം ഉൾപ്പെടുന്നില്ല).
ശ്രദ്ധിക്കുക: ചിലപ്പോൾ നെഗറ്റീവ് ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനെ പാസ്കൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്നും തിരിച്ചും വിളിക്കുന്നു.
വിഷം വിതരണം
2.1 പോയിസൺസ് നിയമത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം
പല പ്രായോഗിക പ്രശ്‌നങ്ങളിലും, ഒരു പ്രത്യേക നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, അതിനെ പോയിസൺസ് നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
പൂർണ്ണസംഖ്യ, നോൺ-നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X പരിഗണിക്കാം: 0, 1, 2, ... , m, ... ; മാത്രമല്ല, ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ ക്രമം സൈദ്ധാന്തികമായി പരിധിയില്ലാത്തതാണ്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെട്ടാൽ, പോയിസൻ്റെ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു:
ഇവിടെ a എന്നത് Poisson's law parameter എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ചില പോസിറ്റീവ് ക്വാണ്ടിറ്റിയാണ്.
വിതരണ ശ്രേണി റാൻഡം വേരിയബിൾ X, Poisson's നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നത് ഇതുപോലെയാണ്:
| xm | … | എം | … | |||
| പി.എം | ഇ-എ | … | … |
2.2.വിഷ വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ
ആദ്യം, പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ക്രമം ഒരു വിതരണ പരമ്പരയാകാമെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം, അതായത്. എല്ലാ സാധ്യതകളുടെയും ആകെത്തുക Рm ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
മക്ലൗറിൻ സീരീസിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ എക്‌സിൻ്റെ വിപുലീകരണം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ഈ ശ്രേണി x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും കൂടിച്ചേരുന്നുവെന്ന് അറിയാം, അതിനാൽ x = a എടുക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും
അതിനാൽ
നമുക്ക് പ്രധാന സവിശേഷതകൾ നിർവചിക്കാം - പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യംകൂടാതെ വേരിയൻസ് - ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X പോയിസൺസ് നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു. ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ അതിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും അവയുടെ സാധ്യതകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിൾ കണക്കാക്കാവുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം എടുക്കുമ്പോൾ:
തുകയുടെ ആദ്യ പദം (m=0 ന് അനുയോജ്യമായത്) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ, സംഗ്രഹം m=1 ൽ ആരംഭിക്കാം:
അതിനാൽ, a എന്ന പരാമീറ്റർ ക്രമരഹിതമായ X ൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ X ൻ്റെ വ്യതിയാനം അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്:
എന്നിരുന്നാലും, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണക്കാക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്:
അതിനാൽ, ആദ്യം നമുക്ക് രണ്ടാമത്തേത് കണ്ടെത്താം ആരംഭ നിമിഷം X മൂല്യങ്ങൾ:
മുമ്പ് തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രകാരം
കൂടാതെ,
2.3. വിഷ വിതരണത്തിൻ്റെ അധിക സവിശേഷതകൾ
I. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ൻ്റെ ഓർഡർ k യുടെ പ്രാരംഭ നിമിഷം Xk മൂല്യത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്:
പ്രത്യേകിച്ചും, ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:
II. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ ഓർഡർ k യുടെ കേന്ദ്ര നിമിഷം k മൂല്യത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്:
പ്രത്യേകിച്ചും, 1st ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം 0 ആണ്:
μ1=M=0,
രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ കേന്ദ്ര നിമിഷം ചിതറലിന് തുല്യമാണ്:
μ2=M2=a.
III. പോയിസണിൻ്റെ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന k-യിൽ കുറയാത്ത മൂല്യം എടുക്കാനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. Rk ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ സാധ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു:
വ്യക്തമായും, പ്രോബബിലിറ്റി Rk തുകയായി കണക്കാക്കാം
എന്നിരുന്നാലും, സംഭാവ്യതയിൽ നിന്ന് അത് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ് വിപരീത സംഭവം:
പ്രത്യേകിച്ചും, X ൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു
ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, പല പരിശീലന പ്രശ്നങ്ങളും ഒരു വിഷ വിതരണത്തിൽ കലാശിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.
|
x-ആക്സിസ് ഓക്സിൽ പോയിൻ്റുകൾ ക്രമരഹിതമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടട്ടെ (ചിത്രം 2). പോയിൻ്റുകളുടെ ക്രമരഹിതമായ വിതരണം തൃപ്തികരമാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ:
1) ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം പോയിൻ്റുകൾ വീഴാനുള്ള സാധ്യത l ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, പക്ഷേ അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിൽ അതിൻ്റെ സ്ഥാനത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പോയിൻ്റുകൾ ഒരേ ശരാശരി സാന്ദ്രതയിൽ x-അക്ഷത്തിൽ വിതരണം ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് ഈ സാന്ദ്രത സൂചിപ്പിക്കാം, അതായത്. λ വഴി പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു യൂണിറ്റ് ദൈർഘ്യത്തിലുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ.
2) പോയിൻ്റുകൾ x-അക്ഷത്തിൽ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, അതായത്. തന്നിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഒരു പ്രത്യേക എണ്ണം പോയിൻ്റുകൾ വീഴാനുള്ള സാധ്യത, അവയിൽ എത്ര എണ്ണം അതുമായി ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യാത്ത മറ്റേതെങ്കിലും സെഗ്‌മെൻ്റിൽ വീഴുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.
3) ഒരു പോയിൻ്റ് വീഴാനുള്ള സാധ്യതയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ Δx ഒരു ചെറിയ ഏരിയയിൽ രണ്ടോ അതിലധികമോ പോയിൻ്റുകൾ വീഴാനുള്ള സാധ്യത വളരെ കുറവാണ് (ഈ അവസ്ഥ അർത്ഥമാക്കുന്നത് രണ്ടോ അതിലധികമോ പോയിൻ്റുകളുടെ പ്രായോഗിക അസാധ്യതയാണ്).
നമുക്ക് abscissa അക്ഷത്തിൽ l ൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത സെഗ്മെൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X പരിഗണിക്കാം - ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ വീഴുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം. സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾമൂല്യങ്ങൾ 0,1,2,...,m,... പോയിൻ്റുകൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി സെഗ്‌മെൻ്റിൽ വീഴുന്നതിനാൽ, സൈദ്ധാന്തികമായി അവയിൽ ആവശ്യമുള്ളത്രയും ഉണ്ടാകാൻ സാധ്യതയുണ്ട്, അതായത്. ഈ പരമ്പരഅനിശ്ചിതമായി തുടരുന്നു.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X പോയിസൺസ് നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ കൃത്യമായി m പോയിൻ്റുകൾ വീഴാനുള്ള സാധ്യത Pm നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
ആദ്യം നമുക്ക് കൂടുതൽ പരിഹരിക്കാം ലളിതമായ ജോലി. നമുക്ക് ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൽ ഒരു ചെറിയ ഏരിയ Δx പരിഗണിക്കാം, ഈ പ്രദേശത്ത് കുറഞ്ഞത് ഒരു പോയിൻ്റെങ്കിലും വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കാം. ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യും. ഈ വിഭാഗത്തിൽ വീഴുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ λ·Δх ന് തുല്യമാണ് (ശരാശരി λ പോയിൻ്റുകൾ ഓരോ യൂണിറ്റ് നീളത്തിലും കുറയുന്നതിനാൽ). വ്യവസ്ഥ 3 അനുസരിച്ച്, ഒരു ചെറിയ സെഗ്മെൻ്റിന് Δx അതിൽ രണ്ടോ അതിലധികമോ പോയിൻ്റുകൾ വീഴാനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് അവഗണിക്കാം. അതിനാൽ, Δх ഏരിയയിൽ വീഴുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ λ·Δх അതിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് വീഴാനുള്ള സാധ്യതയ്ക്ക് ഏകദേശം തുല്യമായിരിക്കും (അല്ലെങ്കിൽ, ഈ അവസ്ഥകളിൽ ഇത് തുല്യമാണ്, കുറഞ്ഞത് ഒരെണ്ണമെങ്കിലും).
അങ്ങനെ, അനന്തമായ വരെ ഉയർന്ന ആജ്ഞാപത്രം, Δх→0 ന്, Δх എന്ന വിഭാഗത്തിൽ ഒരു (കുറഞ്ഞത് ഒരു പോയിൻ്റെങ്കിലും) വീഴാനുള്ള സാധ്യതയും λ·Δх എന്നതിന് തുല്യമായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതയും 1-c·Δх ന് തുല്യമായി ഒന്നുപോലും വീഴാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതയും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.
സെഗ്‌മെൻ്റിൽ വീഴുന്ന m പോയിൻ്റുകളുടെ പ്രോബബിലിറ്റി Pm കണക്കാക്കാൻ നമുക്ക് ഇത് ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് l സെഗ്‌മെൻ്റിനെ n നീളത്തിൻ്റെ തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കാം. പ്രാഥമിക സെഗ്‌മെൻ്റിനെ Δx എന്ന് വിളിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കുന്നു, അതിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് പോലും അടങ്ങിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ "ശൂന്യം" എന്നും കുറഞ്ഞത് ഒരെണ്ണമെങ്കിലും സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ "ഒക്യുപൈഡ്" എന്നും. മുകളിൽ പറഞ്ഞ പ്രകാരം, സെഗ്മെൻ്റ് Δх "അധിനിവേശം" ആകാനുള്ള സാധ്യത ഏകദേശം λ·Δх= ന് തുല്യമാണ്; അത് "ശൂന്യം" ആകാനുള്ള സാധ്യത 1- ആണ്. വ്യവസ്ഥ 2 അനുസരിച്ച്, ഓവർലാപ്പുചെയ്യാത്ത സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലേക്ക് വീഴുന്ന പോയിൻ്റുകൾ സ്വതന്ത്രമായതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ n സെഗ്‌മെൻ്റുകളെ n സ്വതന്ത്ര “പരീക്ഷണങ്ങൾ” ആയി കണക്കാക്കാം, അവയിൽ ഓരോന്നിലും p= പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് സെഗ്‌മെൻ്റിനെ “അധിനിവേശ” ചെയ്യാം. n സെഗ്‌മെൻ്റുകൾക്കിടയിൽ കൃത്യമായി m "അധിനിവേശം" ഉണ്ടായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ആവർത്തിച്ചുള്ള സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഈ സംഭാവ്യത തുല്യമാണ്
,
അല്ലെങ്കിൽ നമുക്ക് λl=a സൂചിപ്പിക്കാം:
.
വേണ്ടത്ര വലിയ n-ന്, ഈ പ്രോബബിലിറ്റി, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ വീഴുന്ന m പോയിൻ്റുകളുടെ പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് ഏകദേശം തുല്യമാണ്, കാരണം Δx സെഗ്‌മെൻ്റിൽ രണ്ടോ അതിലധികമോ പോയിൻ്റുകൾ വീഴാനുള്ള സാധ്യത വളരെ കുറവാണ്. കണ്ടെത്താൻ വേണ്ടി കൃത്യമായ മൂല്യംРm, നിങ്ങൾ പരിധിയിലേക്ക് n→∞ ആയി പോകേണ്ടതുണ്ട്:
അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ
,
ആവശ്യമുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുലയിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി
എവിടെ a=λl, അതായത്. X ൻ്റെ മൂല്യം a=λl എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് പോയിസൺസ് നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു.
അർത്ഥത്തിലെ a മൂല്യം ഓരോ സെഗ്‌മെൻ്റിനും l ശരാശരി പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. R1 ൻ്റെ മൂല്യം (X ൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത) ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ l: R1=1-e-a എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഒരു പോയിൻ്റെങ്കിലും വീഴാനുള്ള സാധ്യത പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, ചില പോയിൻ്റുകൾ (അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് ഘടകങ്ങൾ) പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി ക്രമരഹിതമായ സ്ഥാനം കൈവശപ്പെടുത്തുന്നിടത്താണ് വിഷം വിതരണം സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്, കൂടാതെ ഈ പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം ചില പ്രദേശങ്ങളിൽ വീഴുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, അത്തരമൊരു പ്രദേശം abscissa അക്ഷത്തിലെ സെഗ്മെൻ്റ് l ആയിരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ നിഗമനം വിമാനത്തിലും (റാൻഡം ഫ്ലാറ്റ് ഫീൽഡ് ഓഫ് പോയിൻ്റ്) ബഹിരാകാശത്തും (റാൻഡം സ്പേഷ്യൽ ഫീൽഡ് ഓഫ് പോയിൻ്റ്) പോയിൻ്റുകളുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ വ്യാപിപ്പിക്കാം. വ്യവസ്ഥകൾ പാലിച്ചാൽ അത് തെളിയിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല:
1) ശരാശരി സാന്ദ്രത λ ഉള്ള ഫീൽഡിൽ പോയിൻ്റുകൾ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കനുസരിച്ച് ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യുന്നു;
2) പോയിൻ്റുകൾ സ്വതന്ത്രമായി ഓവർലാപ്പുചെയ്യാത്ത പ്രദേശങ്ങളിലേക്ക് വീഴുന്നു;
3) ഡോട്ടുകൾ ഒറ്റയ്ക്കാണ്, ജോഡികളായല്ല, ട്രിപ്പിൾസ് മുതലായവ.
അപ്പോൾ ഏതെങ്കിലും പ്രദേശം D (ഫ്ലാറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ സ്പേഷ്യൽ) ലേക്ക് വീഴുന്ന X പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം പോയിസൺസ് നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു:
,
ഇവിടെ a എന്നത് ഏരിയ D-യിൽ വരുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ ശരാശരി എണ്ണമാണ്.
ഒരു ഫ്ലാറ്റ് കേസിന് a=SD λ, ഇവിടെ SD എന്നത് D മേഖലയുടെ ഏരിയയാണ്,
സ്പേഷ്യൽ a= VD λ എന്നതിന്, ഇവിടെ VD എന്നത് D മേഖലയുടെ വോളിയമാണ്.
ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിലേക്കോ പ്രദേശത്തിലേക്കോ വീഴുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ പോയ്‌സൺ വിതരണത്തിന്, സ്ഥിരമായ സാന്ദ്രതയുടെ അവസ്ഥ (λ=const) അപ്രധാനമാണ്. മറ്റ് രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പോയിസൺസ് നിയമം ഇപ്പോഴും നിലനിൽക്കുന്നു, ഇതിലെ a പരാമീറ്റർ മാത്രമേ വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പദപ്രയോഗം സ്വീകരിക്കുന്നുള്ളൂ: ഇത് സാന്ദ്രത λ നീളം, വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ വോളിയം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മാത്രമല്ല, വേരിയബിൾ സാന്ദ്രതയെ സംയോജിപ്പിച്ച് ലഭിക്കും. സെഗ്മെൻ്റ്, ഏരിയ അല്ലെങ്കിൽ വോളിയം എന്നിവയിൽ.
വിഷം വിതരണം കളിക്കുന്നു പ്രധാന പങ്ക്ഭൗതികശാസ്ത്രം, ആശയവിനിമയ സിദ്ധാന്തം, വിശ്വാസ്യത സിദ്ധാന്തം, ക്യൂയിംഗ് സിദ്ധാന്തം മുതലായവയുടെ നിരവധി വിഷയങ്ങളിൽ. ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിനുള്ളിൽ ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങൾ (റേഡിയോ ആക്ടീവ് ക്ഷയം, ടെലിഫോൺ കോളുകൾ, ഉപകരണങ്ങളുടെ തകരാറുകൾ, അപകടങ്ങൾ മുതലായവ) സംഭവിക്കാവുന്ന എവിടെയും.
വിഷം വിതരണം ഉണ്ടാകുന്ന ഏറ്റവും സാധാരണമായ സാഹചര്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ചില ഇവൻ്റുകൾ (ഒരു സ്റ്റോറിൽ ഷോപ്പിംഗ്) ക്രമരഹിതമായ സമയങ്ങളിൽ നടക്കട്ടെ. 0 മുതൽ T വരെയുള്ള സമയ ഇടവേളയിൽ അത്തരം സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.
0 മുതൽ T വരെയുള്ള സമയങ്ങളിൽ സംഭവിച്ച റാൻഡം എണ്ണം ഇവൻ്റുകൾ l=aT എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് പോയിസൺ നിയമപ്രകാരം വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ a>0 എന്നത് ഇവൻ്റുകളുടെ ശരാശരി ആവൃത്തിയെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പ്രശ്ന പാരാമീറ്ററാണ്. ഒരു വലിയ സമയ ഇടവേളയിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ദിവസം) കെ വാങ്ങലുകളുടെ സംഭാവ്യത ആയിരിക്കും
ഉപസംഹാരം
ഉപസംഹാരമായി, പൊയ്‌സൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ വളരെ സാധാരണവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ ഒരു വിതരണമാണെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലും അതിൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങളിലും പ്രയോഗമുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ.
പല പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളും ആത്യന്തികമായി വിഷവിതരണത്തിലേക്ക് വരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെയും വ്യതിയാനത്തിൻ്റെയും തുല്യത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അതിൻ്റെ പ്രത്യേക സ്വത്ത്, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ പോയിസൻ്റെ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന ചോദ്യം പരിഹരിക്കാൻ പലപ്പോഴും പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ആവർത്തിച്ചുള്ള സ്വതന്ത്ര ട്രയലുകളിൽ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് പോയിസണിൻ്റെ നിയമം ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നു എന്നതും പ്രധാനമാണ്, പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ വലിയ തോതിലുള്ള ആവർത്തനങ്ങളും ഒരു ചെറിയ ഒറ്റ സാധ്യതയും.
എന്നിരുന്നാലും, സാമ്പത്തിക കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ പ്രയോഗത്തിലും, പ്രത്യേകിച്ച്, സ്ഥിരത വിശകലനത്തിലും, വളരെ അപൂർവ്വമായി ബെർണൂലി വിതരണം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ കാരണവും ബെർണൂലി വിതരണം എന്ന വസ്തുതയുമാണ് വ്യതിരിക്തമായ അളവുകൾ, കൂടാതെ ക്ലാസിക്കൽ സ്കീമിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ (സ്വാതന്ത്ര്യം, എണ്ണാവുന്ന ടെസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണം, ഒരു ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ ബാധിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളുടെ വ്യത്യാസം) എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രായോഗിക സാഹചര്യങ്ങളിൽ പാലിക്കപ്പെടുന്നില്ല. 18-19 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ നടത്തിയ ബെർണൂലി സ്കീമിൻ്റെ വിശകലന മേഖലയിലെ കൂടുതൽ ഗവേഷണം. ലാപ്ലേസ്, മോയിവർ, പോയിസൺ എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും അനന്തതയിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ധാരാളം ടെസ്റ്റുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ബെർണൂലി സ്കീം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനാണ് ലക്ഷ്യമിടുന്നത്.
സാഹിത്യം
1. വെൻ്റ്സെൽ ഇ.എസ്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം. - എം, "ഹയർ സ്കൂൾ" 1998
2. ഗ്മർമാൻ വി.ഇ. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെയും ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലെയും പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഗൈഡ്. - എം, "ഹയർ സ്കൂൾ" 1998
3. കോളേജുകൾക്കുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരണം. എഡ്. എഫിമോവ എ.വി. - എം, സയൻസ് 1990
നമുക്ക് പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പരിഗണിക്കാം, അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, വ്യത്യാസം, മോഡ് എന്നിവ കണക്കാക്കുക. MS EXCEL ഫംഗ്‌ഷൻ POISSON.DIST() ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയുടെയും ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കും. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പാരാമീറ്റർ, അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നിവ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം.
ആദ്യം, ഞങ്ങൾ വിതരണത്തിൻ്റെ വരണ്ട ഔപചാരിക നിർവചനം നൽകുന്നു, തുടർന്ന് സാഹചര്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു വിഷം വിതരണം(ഇംഗ്ലീഷ്) വിഷംവിതരണ) ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ വിവരിക്കുന്നതിന് മതിയായ മാതൃകയാണ്.
ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള ദ്രവ്യത്തിൽ) ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങൾ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ ശരാശരി ആവൃത്തി λ( ലാംഡ), തുടർന്ന് ഇവൻ്റുകളുടെ എണ്ണം x, ഈ കാലയളവിൽ സംഭവിക്കും വിഷം വിതരണം.
വിഷം വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രയോഗം
എപ്പോൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ വിഷം വിതരണംമതിയായ മാതൃകയാണ്:
- ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ ടെലിഫോൺ എക്സ്ചേഞ്ചിൽ ലഭിച്ച കോളുകളുടെ എണ്ണം;
- ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ റേഡിയോ ആക്ടീവ് ക്ഷയത്തിന് വിധേയമായ കണങ്ങളുടെ എണ്ണം;
- ഒരു നിശ്ചിത നീളമുള്ള ഒരു തുണിക്കഷണത്തിലെ വൈകല്യങ്ങളുടെ എണ്ണം.
വിഷം വിതരണംഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ മതിയായ മാതൃകയാണ്:
- ഇവൻ്റുകൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി സംഭവിക്കുന്നു, അതായത്. തുടർന്നുള്ള സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത മുമ്പത്തേതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല;
- ശരാശരി ഇവൻ്റ് നിരക്ക് സ്ഥിരമാണ്. അനന്തരഫലമായി, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത നിരീക്ഷണ ഇടവേളയുടെ ദൈർഘ്യത്തിന് ആനുപാതികമാണ്;
- രണ്ട് സംഭവങ്ങൾ ഒരേ സമയം സംഭവിക്കാൻ കഴിയില്ല;
- ഇവൻ്റുകളുടെ എണ്ണം മൂല്യം 0 എടുക്കണം; 1; 2…
കുറിപ്പ്: നിരീക്ഷിച്ച റാൻഡം വേരിയബിളിന് ഉണ്ട് എന്നതാണ് ഒരു നല്ല സൂചന വിഷം വിതരണം,ഇത് ഏകദേശം തുല്യമാണെന്ന വസ്തുതയാണ് (താഴെ കാണുക).
സാഹചര്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട് വിഷം വിതരണം ഒന്നും കഴിയില്ലപ്രയോഗിക്കുക:
- ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി വിടുന്ന വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം (വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ശരാശരി ഒഴുക്ക് സ്ഥിരമല്ലാത്തതിനാൽ: ക്ലാസുകളിൽ കുറച്ച് വിദ്യാർത്ഥികളുണ്ട്, ക്ലാസുകൾക്കിടയിലുള്ള ഇടവേളയിൽ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം കുത്തനെ വർദ്ധിക്കുന്നു);
- കാലിഫോർണിയയിൽ പ്രതിവർഷം 5 പോയിൻ്റ് വ്യാപ്തിയുള്ള ഭൂകമ്പങ്ങളുടെ എണ്ണം (ഒരു ഭൂകമ്പം സമാനമായ വ്യാപ്തിയുടെ തുടർചലനങ്ങൾക്ക് കാരണമാകുമെന്നതിനാൽ - സംഭവങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമല്ല);
- രോഗികൾ വകുപ്പിൽ ചെലവഴിച്ച ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണം തീവ്രപരിചരണ(കാരണം രോഗികൾ തീവ്രപരിചരണ വിഭാഗത്തിൽ ചെലവഴിക്കുന്ന ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണം എപ്പോഴും 0-ൽ കൂടുതലാണ്).
കുറിപ്പ്: വിഷം വിതരണംകൂടുതൽ കൃത്യമായ ഒരു ഏകദേശ കണക്കാണ് വ്യതിരിക്തമായ വിതരണങ്ങൾ: ഒപ്പം .
കുറിപ്പ്: ബന്ധത്തെക്കുറിച്ച് വിഷം വിതരണംഒപ്പം ദ്വിപദ വിതരണംലേഖനത്തിൽ വായിക്കാം. ബന്ധത്തെ കുറിച്ച് വിഷം വിതരണംഒപ്പം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻഎന്നതിനെക്കുറിച്ച് ലേഖനത്തിൽ വായിക്കാം.
MS EXCEL-ൽ വിഷം വിതരണം
MS EXCEL-ൽ, 2010 പതിപ്പ് മുതൽ ആരംഭിക്കുന്നു വിതരണങ്ങൾ വിഷം POISSON.DIST() എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ട്, ഇംഗ്ലീഷ് പേര്- POISSON.DIST(), ഇത് ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്നതിൻ്റെ സാധ്യത മാത്രമല്ല കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു എക്സ്ഇവൻ്റുകൾ (പ്രവർത്തനം സാധ്യത സാന്ദ്രത p(x), മുകളിലുള്ള ഫോർമുല കാണുക), മാത്രമല്ല (ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ കുറഞ്ഞത് xസംഭവങ്ങൾ).
MS EXCEL 2010-ന് മുമ്പ്, EXCEL-ന് POISSON() ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ടായിരുന്നു, അത് കണക്കാക്കാനും നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു വിതരണ പ്രവർത്തനംഒപ്പം സാധ്യത സാന്ദ്രത p(x). POISSON() അനുയോജ്യതയ്ക്കായി MS EXCEL 2010 ൽ അവശേഷിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണ ഫയലിൽ ഗ്രാഫുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു സാധ്യത സാന്ദ്രത വിതരണംഒപ്പം സഞ്ചിത വിതരണ പ്രവർത്തനം.
വിഷം വിതരണംഒരു ചരിഞ്ഞ രൂപമുണ്ട് (പ്രോബബിലിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു നീണ്ട വാൽ), എന്നാൽ പരാമീറ്റർ λ വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, അത് കൂടുതൽ കൂടുതൽ സമമിതിയായി മാറുന്നു.
കുറിപ്പ്: ശരാശരിഒപ്പം വിസരണം(ചതുരം) പരാമീറ്ററിന് തുല്യമാണ് വിഷം വിതരണം– λ (കാണുക ഉദാഹരണം ഷീറ്റ് ഫയൽ ഉദാഹരണം).
ടാസ്ക്
സാധാരണ ആപ്ലിക്കേഷൻ വിഷ വിതരണങ്ങൾഒരു ഉപകരണത്തിലോ ഉപകരണത്തിലോ ദൃശ്യമാകുന്ന വൈകല്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ മാതൃകയാണ് ഗുണനിലവാര നിയന്ത്രണത്തിൽ.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചിപ്പ് λ (ലാംഡ) 4 ന് തുല്യമായ വൈകല്യങ്ങളുടെ ശരാശരി എണ്ണം ഉള്ളപ്പോൾ, ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു ചിപ്പിന് 2 അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കുറവ് വൈകല്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0.2381
ഫംഗ്‌ഷനിലെ മൂന്നാമത്തെ പരാമീറ്റർ = TRUE എന്ന് സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷൻ തിരികെ വരും സഞ്ചിത വിതരണ പ്രവർത്തനം, അതായത്, ക്രമരഹിതമായ ഇവൻ്റുകളുടെ എണ്ണം 0 മുതൽ 4 വരെയുള്ള ശ്രേണിയിലായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത.
ഈ കേസിലെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഫോർമുല അനുസരിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്:
ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു മൈക്രോ സർക്യൂട്ടിന് കൃത്യമായി 2 തകരാറുകൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465
ഫംഗ്‌ഷനിലെ മൂന്നാമത്തെ പാരാമീറ്റർ = FALSE എന്ന് സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി തിരികെ നൽകും.
ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു മൈക്രോ സർക്യൂട്ടിന് 2-ൽ കൂടുതൽ തകരാറുകൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഇതിന് തുല്യമാണ്: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0.8535
കുറിപ്പ്: എങ്കിൽ xഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല, പിന്നെ ഫോർമുല കണക്കാക്കുമ്പോൾ . സൂത്രവാക്യങ്ങൾ =POISSON.DIST( 2 ; 4; നുണ)ഒപ്പം =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; നുണ)അതേ ഫലം നൽകും.
റാൻഡം നമ്പർ ജനറേഷനും λ എസ്റ്റിമേഷനും
λ മൂല്യങ്ങൾക്ക് >15 , വിഷം വിതരണംനന്നായി ഏകദേശം സാധാരണ വിതരണം ഇനിപ്പറയുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം: μ =λ , σ 2 =λ .
ഈ വിതരണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ വിശദാംശങ്ങൾ ലേഖനത്തിൽ കാണാം. ഏകദേശ ഉദാഹരണങ്ങളും ഉണ്ട്, അത് എപ്പോൾ സാധ്യമാകുമെന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകളും കൃത്യതയോടെ വിശദീകരിക്കുന്നു.
ഉപദേശം: ലേഖനത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റ് MS EXCEL വിതരണങ്ങളെക്കുറിച്ച് വായിക്കാം.
പ്രായോഗികമായി പ്രധാനപ്പെട്ട പല പ്രയോഗങ്ങളിലും, വിഷം വിതരണം ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. സംഖ്യാപരമായ വ്യതിരിക്തമായ അളവുകളിൽ പലതും ഒരു പോയിസൺ പ്രക്രിയയുടെ നിർവ്വഹണങ്ങളാണ്, അതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:
- ഒരു നിശ്ചിത പ്രദേശത്ത് ഒരു നിശ്ചിത സംഭവം എത്ര തവണ സംഭവിക്കുന്നു എന്നതിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട് സാധ്യമായ ഫലങ്ങൾക്രമരഹിതമായ പരീക്ഷണം. സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു സമയ ഇടവേള, ഒരു സെഗ്മെൻ്റ്, ഒരു ഉപരിതലം മുതലായവ ആകാം.
- ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റിൻ്റെ സംഭാവ്യത സാധ്യമായ എല്ലാ മേഖലകൾക്കും തുല്യമാണ്.
- സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ ഒരു മേഖലയിൽ സംഭവിക്കുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം മറ്റ് മേഖലകളിൽ സംഭവിക്കുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമാണ്.
- സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കുറയുമ്പോൾ തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സംഭവം ഒന്നിലധികം തവണ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത പൂജ്യമായി മാറുന്നു.
പോയിസൺ പ്രക്രിയയുടെ അർത്ഥം കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാൻ, ഉച്ചഭക്ഷണ സമയത്ത് സെൻട്രൽ ബിസിനസ് ഡിസ്ട്രിക്റ്റിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു ബാങ്ക് ബ്രാഞ്ച് സന്ദർശിക്കുന്ന ഉപഭോക്താക്കളുടെ എണ്ണം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക, അതായത്. 12 മുതൽ 13 വരെ. ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ എത്തുന്ന ക്ലയൻ്റുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. ഈ സാഹചര്യത്തിന് മുകളിൽ ലിസ്റ്റ് ചെയ്ത സവിശേഷതകൾ ഉണ്ടോ? ആദ്യം, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സംഭവം ഒരു ക്ലയൻ്റിൻറെ വരവാണ്, സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ പരിധി ഒരു മിനിറ്റ് ഇടവേളയാണ്. ഒരു മിനിറ്റിൽ എത്ര ക്ലയൻ്റുകൾ ബാങ്കിൽ വരും - ഒന്നുമല്ല, ഒന്നോ, രണ്ടോ അതിലധികമോ? രണ്ടാമതായി, ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ഒരു ഉപഭോക്താവ് എത്തിച്ചേരാനുള്ള സാധ്യത എല്ലാ ഒരു മിനിറ്റ് ഇടവേളകളിലും തുല്യമാണെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നത് ന്യായമാണ്. മൂന്നാമതായി, ഏതെങ്കിലും ഒരു മിനിറ്റ് ഇടവേളയിൽ ഒരു ഉപഭോക്താവിൻ്റെ വരവ് മറ്റേതെങ്കിലും ഒരു മിനിറ്റ് ഇടവേളയിൽ മറ്റേതെങ്കിലും ഉപഭോക്താവിൻ്റെ വരവിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമാണ്. അവസാനമായി, സമയ ഇടവേള പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഒന്നിലധികം ക്ലയൻ്റ് ബാങ്കിലേക്ക് വരാനുള്ള സാധ്യത പൂജ്യമാകും, ഉദാഹരണത്തിന്, 0.1 സെക്കൻഡിൽ കുറവായിരിക്കും. അതിനാൽ, ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ഉച്ചഭക്ഷണ സമയത്ത് ബാങ്കിൽ വരുന്ന ഉപഭോക്താക്കളുടെ എണ്ണം പോയിസൺ വിതരണം വിവരിക്കുന്നു.
പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന് ഒരു പരാമീറ്റർ ഉണ്ട്, λ (ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം "ലാംഡ") എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു - സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത മേഖലയിലെ വിജയകരമായ പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ശരാശരി എണ്ണം. പോയിസൺ വിതരണത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനവും λ ആണ്, അതിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ . വിജയകരമായ പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം എക്സ്പോയിസൺ റാൻഡം വേരിയബിൾ 0 മുതൽ അനന്തത വരെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു. വിഷ വിതരണത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കുന്നു:
എവിടെ പി(എക്സ്)- സാധ്യത എക്സ്വിജയകരമായ പരീക്ഷണങ്ങൾ, λ - പ്രതീക്ഷിച്ച വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം, ഇ- അടിസ്ഥാനം സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, 2.71828 ന് തുല്യമാണ്, എക്സ്- ഒരു യൂണിറ്റ് സമയത്തിലെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം.
നമുക്ക് നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. ഉച്ചഭക്ഷണ ഇടവേളയിൽ ഒരു മിനിറ്റിൽ ശരാശരി മൂന്ന് ഇടപാടുകാരാണ് ബാങ്കിലെത്തുന്നതെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഒരു നിശ്ചിത നിമിഷത്തിൽ രണ്ട് ഉപഭോക്താക്കൾ ബാങ്കിൽ വരാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഇടപാടുകാർ ബാങ്കിൽ വരാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?
λ = 3 എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഫോർമുല (1) പ്രയോഗിക്കാം. അപ്പോൾ ഒരു നിശ്ചിത മിനിറ്റിനുള്ളിൽ രണ്ട് ക്ലയൻ്റുകൾ ബാങ്കിലേക്ക് വരാനുള്ള സാധ്യത ഇതിന് തുല്യമാണ്
രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ക്ലയൻ്റുകൾ ബാങ്കിലേക്ക് വരാനുള്ള സാധ്യത P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) ന് തുല്യമാണ്. എല്ലാ സാധ്യതകളുടെയും ആകെത്തുക 1-ന് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടതിനാൽ, ഫോർമുലയുടെ വലതുവശത്തുള്ള ശ്രേണിയുടെ നിബന്ധനകൾ X ≤ 2 ഇവൻ്റിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഈ ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക 1-ന് തുല്യമാണ്. P(X ≤ 2). അങ്ങനെ, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. ഇപ്പോൾ, ഫോർമുല (1) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
അങ്ങനെ, ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ക്ലയൻ്റുകൾ ബാങ്കിലേക്ക് വരാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.423 ആണ് (അല്ലെങ്കിൽ 42.3%), ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ക്ലയൻ്റുകൾ ബാങ്കിൽ വരാനുള്ള സാധ്യത 0.577 ആണ് (അല്ലെങ്കിൽ 57.7 %).
അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മടുപ്പിക്കുന്നതായി തോന്നിയേക്കാം, പ്രത്യേകിച്ചും പാരാമീറ്റർ λ ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ. സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, പ്രത്യേക പട്ടികകളിൽ (ചിത്രം 1) നിരവധി പോയിസൺ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മിനിറ്റിൽ ശരാശരി മൂന്ന് ക്ലയൻ്റുകൾ ബാങ്കിൽ വന്നാൽ, ഒരു നിശ്ചിത മിനിറ്റിൽ രണ്ട് ക്ലയൻ്റുകൾ ബാങ്കിലേക്ക് വരാനുള്ള സാധ്യത, വരിയുടെ കവലയിലാണ്. എക്സ്= 2, കോളം λ = 3. അങ്ങനെ, ഇത് 0.2240 അല്ലെങ്കിൽ 22.4% ആണ്.
അരി. 1. λ = 3-ൽ വിഷം സംഭാവ്യത
ഇക്കാലത്ത്, Excel അതിൻ്റെ =POISSON.DIST() ഫംഗ്‌ഷനുള്ള (ചിത്രം 2) ഉള്ള ടേബിളുകൾ ആരും ഉപയോഗിക്കാനിടയില്ല. ഈ പ്രവർത്തനത്തിന് മൂന്ന് പാരാമീറ്ററുകൾ ഉണ്ട്: വിജയകരമായ ട്രയലുകളുടെ എണ്ണം എക്സ്, വിജയകരമായ പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ശരാശരി പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന എണ്ണം λ, പാരാമീറ്റർ ഇൻ്റഗ്രൽ, രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു: FALSE - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വിജയകരമായ ട്രയലുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത കണക്കാക്കുന്നു എക്സ്(X മാത്രം), TRUE - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 0 മുതൽ വിജയകരമായ ട്രയലുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത എക്സ്.
അരി. 2. λ = 3-ൽ പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ സാധ്യതകളുടെ Excel-ൽ കണക്കുകൂട്ടൽ
പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ദ്വിപദ വിതരണത്തിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്ക്
നമ്പർ ആണെങ്കിൽ എൻവലുതും സംഖ്യയുമാണ് ആർ- ചെറുത്, ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശം കണക്കാക്കാം. എങ്ങനെ വലിയ സംഖ്യ എൻഎണ്ണത്തിലും കുറവ് ആർ, ഉയർന്ന ഏകദേശ കൃത്യത. ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഏകദേശമാക്കാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിസൺ മോഡൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
എവിടെ പി(എക്സ്)- സാധ്യത എക്സ്നൽകിയിരിക്കുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിജയം എൻഒപ്പം ആർ, എൻ- സാമ്പിൾ വലിപ്പം, ആർ- വിജയത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ സാധ്യത, ഇ- സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം, എക്സ്- സാമ്പിളിലെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം (X = 0, 1, 2, ..., എൻ).
സൈദ്ധാന്തികമായി, പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ 0 മുതൽ ∞ വരെയുള്ള മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനെ ഏകദേശമാക്കാൻ വിഷം വിതരണം ഉപയോഗിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പോയിൻ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്നത് വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. എൻനിരീക്ഷണങ്ങൾ - എണ്ണം കവിയാൻ പാടില്ല എൻ. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (2) അത് വർദ്ധിക്കുന്ന സംഖ്യയെ പിന്തുടരുന്നു എൻഎണ്ണത്തിൽ കുറവും ആർധാരാളം വിജയങ്ങൾ കണ്ടെത്താനുള്ള സാധ്യത കുറയുകയും പൂജ്യമായി മാറുകയും ചെയ്യുന്നു.
മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വിഷം വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ µ, വ്യതിയാനം σ 2 എന്നിവ λ ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയെ ഏകദേശമാക്കാൻ ഫോർമുല (3) ഉപയോഗിക്കണം.
(3) µ = E(X) = λ =എൻ.പി.
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഏകദേശം കണക്കാക്കാൻ, ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കിയ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ പ്രവണതയാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻബൈനോമിയൽ മോഡലിൽ - വിജയത്തിൻ്റെ സാധ്യതയുള്ളപ്പോൾ പിപൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, അതനുസരിച്ച്, പരാജയത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത 1 - പിഐക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.
ഒരു പ്രത്യേക പ്ലാൻ്റിൽ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്ന ടയറുകളിൽ 8% തകരാറിലാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനെ ഏകദേശമാക്കാൻ പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ഉപയോഗം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, 20 ടയറുകളുടെ ഒരു സാമ്പിളിൽ ഒരു കേടായ ടയർ കണ്ടെത്താനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കാം. നമുക്ക് ഫോർമുല (2) പ്രയോഗിക്കാം, നമുക്ക് ലഭിക്കും
യഥാർത്ഥ ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ അതിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്കിന് പകരം കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം ലഭിക്കും:
എന്നിരുന്നാലും, ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ തികച്ചും വിരസമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റികൾ കണക്കാക്കാൻ Excel ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, Poisson Distribution ഏകദേശം ഉപയോഗിക്കുന്നത് അനാവശ്യമാകും. ചിത്രത്തിൽ. Excel-ലെ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സങ്കീർണ്ണത ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന് ചിത്രം 3 കാണിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, എൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനും പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനും സമാനമായ ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ ഈ വിഭാഗം ഉപയോഗപ്രദമാണ്.
അരി. 3. Excel-ലെ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സങ്കീർണ്ണതയുടെ താരതമ്യം: (എ) വിഷം വിതരണം; (ബി) ദ്വിപദ വിതരണം
അതിനാൽ, ഇതിലും മുമ്പത്തെ രണ്ട് കുറിപ്പുകളിലും, മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത സംഖ്യാ വിതരണങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു: , ഒപ്പം പോയിസൺ. ഈ വിതരണങ്ങൾ പരസ്പരം എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്ന് നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു ചെറിയ ചോദ്യവൃക്ഷം അവതരിപ്പിക്കുന്നു (ചിത്രം 4).
അരി. 4. ഡിസ്ക്രീറ്റ് പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം
Levin et al. മാനേജർമാർക്കുള്ള സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള മെറ്റീരിയലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. – എം.: വില്യംസ്, 2004. – പേ. 320–328
വിഷം വിതരണം.
വിഷം വിതരണം ഉണ്ടാകുന്ന ഏറ്റവും സാധാരണമായ സാഹചര്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സംഭവം നടക്കട്ടെ എഒരു നിശ്ചിത സ്ഥലത്ത് (ഇടവേള, വിസ്തീർണ്ണം, വോളിയം) അല്ലെങ്കിൽ സ്ഥിരമായ തീവ്രതയുള്ള ഒരു കാലഘട്ടത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം തവണ ദൃശ്യമാകുന്നു. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു സ്ട്രീം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന, കാലക്രമേണ സംഭവങ്ങളുടെ തുടർച്ചയായ സംഭവം പരിഗണിക്കുക. ഗ്രാഫിക്കലായി, സമയ അച്ചുതണ്ടിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന നിരവധി പോയിൻ്റുകളാൽ സംഭവങ്ങളുടെ ഒഴുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാൻ കഴിയും.
ഇത് സേവന മേഖലയിലെ കോളുകളുടെ ഒരു സ്ട്രീമായിരിക്കാം (റിപ്പയർ ഗാർഹിക വീട്ടുപകരണങ്ങൾ, ആംബുലൻസിനെ വിളിക്കൽ മുതലായവ), ടെലിഫോൺ എക്സ്ചേഞ്ചിലേക്കുള്ള കോളുകളുടെ ഒഴുക്ക്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ചില ഭാഗങ്ങളുടെ പരാജയം, റേഡിയോ ആക്ടീവ് ശോഷണം, തുണിക്കഷണങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ലോഹ ഷീറ്റുകൾ, അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും വൈകല്യങ്ങളുടെ എണ്ണം മുതലായവ. വിഷം വിതരണം പോസിറ്റീവ് ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം ("വിജയങ്ങൾ") മാത്രം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമുള്ള ടാസ്ക്കുകളിൽ ഏറ്റവും ഉപയോഗപ്രദമാണ്.
ഉണക്കമുന്തിരി ഉള്ള ഒരു ബൺ നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം, തുല്യ വലിപ്പത്തിലുള്ള ചെറിയ കഷണങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. കാരണം ക്രമരഹിതമായ വിതരണംഉണക്കമുന്തിരി, എല്ലാ കഷണങ്ങളിലും ഒരേ എണ്ണം ഉണക്കമുന്തിരി അടങ്ങിയിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാനാവില്ല. ഈ കഷണങ്ങളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഉണക്കമുന്തിരിയുടെ ശരാശരി എണ്ണം അറിയുമ്പോൾ, വിഷം വിതരണം ഏതെങ്കിലും ഒരു കഷണം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സംഭാവ്യത നൽകുന്നു. എക്സ്=കെ(കെ= 0,1,2,...,) ഉണക്കമുന്തിരിയുടെ എണ്ണം.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, 0, അല്ലെങ്കിൽ 1, അല്ലെങ്കിൽ 2, അല്ലെങ്കിൽ മുതലായവയ്ക്ക് തുല്യമായ ഭാഗങ്ങളുടെ ഒരു നീണ്ട ശ്രേണിയുടെ ഏത് ഭാഗമാണ് Poisson ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. ഹൈലൈറ്റുകളുടെ എണ്ണം.
നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അനുമാനങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാം.
1. ഒരു നിശ്ചിത സമയ ഇടവേളയിൽ സംഭവിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത ഈ ഇടവേളയുടെ ദൈർഘ്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അല്ലാതെ സമയ അക്ഷത്തിൽ അതിൻ്റെ സ്ഥാനത്തെയല്ല. ഇത് നിശ്ചലതയുടെ സ്വത്താണ്.
2. മതിയായ ചുരുങ്ങിയ സമയത്തിനുള്ളിൽ ഒന്നിലധികം സംഭവങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നത് പ്രായോഗികമായി അസാധ്യമാണ്, അതായത്. ഒരേ ഇടവേളയിൽ മറ്റൊരു സംഭവം ഉണ്ടാകാനുള്ള സോപാധികമായ സംഭാവ്യത പൂജ്യമായി ® 0 ആയി മാറുന്നു. ഇത് സാധാരണതയുടെ സ്വത്താണ്.
3. ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ സംഭവിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത മറ്റ് സമയങ്ങളിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. ഇത് അനന്തരഫലത്തിൻ്റെ അഭാവത്തിൻ്റെ സ്വത്താണ്.
മേൽപ്പറഞ്ഞ നിർദ്ദേശങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു പ്രവാഹത്തെ വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും ലളിതമായത്.
നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ കാലയളവ് പരിഗണിക്കാം. പ്രോപ്പർട്ടി 2 അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇവൻ്റ് ഈ ഇടവേളയിൽ ഒരിക്കൽ ദൃശ്യമാകാം അല്ലെങ്കിൽ ദൃശ്യമാകില്ല. ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം ആർ, കൂടാതെ നോൺ-അപീരിയൻസ് - വഴി q = 1-പി.സാധ്യത ആർസ്ഥിരമാണ് (പ്രോപ്പർട്ടി 3) മൂല്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു (പ്രോപ്പർട്ടി 1). ഇടവേളയിൽ ഒരു ഇവൻ്റിൻ്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ 0× ന് തുല്യമായിരിക്കും q+ 1× പി = പി. അപ്പോൾ ഒരു യൂണിറ്റ് സമയത്തിൽ സംഭവിക്കുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ ശരാശരി സംഖ്യയെ ഫ്ലോ തീവ്രത എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് സൂചിപ്പിക്കും a,ആ. എ = .
ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവ് പരിഗണിക്കുക ടിഅതിനെ ഹരിക്കുക എൻഭാഗങ്ങൾ = . ഈ ഓരോ ഇടവേളകളിലും സംഭവങ്ങളുടെ സംഭവങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമാണ് (പ്രോപ്പർട്ടി 2). ഒരു കാലയളവിനുള്ളിലെ സാധ്യത നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം ടിനിരന്തരമായ ഒഴുക്ക് തീവ്രതയിൽ എഇവൻ്റ് കൃത്യമായി ദൃശ്യമാകും X = കെവീണ്ടും ദൃശ്യമാകില്ല എൻ-കെ. ഓരോന്നിലും ഒരു സംഭവത്തിന് കഴിയും എന്നതിനാൽ എൻവിടവുകൾ 1 തവണയിൽ കൂടുതൽ ദൃശ്യമാകില്ല, തുടർന്ന് അതിൻ്റെ രൂപത്തിന് കെദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ ഒരു വിഭാഗത്തിൽ ഒരിക്കൽ ടിഅത് ഏതെങ്കിലും ഒന്നിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടണം കെമൊത്തത്തിൽ നിന്നുള്ള ഇടവേളകൾ എൻ.മൊത്തത്തിൽ അത്തരം കോമ്പിനേഷനുകൾ ഉണ്ട്, ഓരോന്നിൻ്റെയും സംഭാവ്യത തുല്യമാണ്. തൽഫലമായി, പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ സങ്കലന സിദ്ധാന്തം വഴി നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി ലഭിക്കും അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലബെർണൂലി
ഈ സമത്വം ഏകദേശമായ ഒന്നായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു, കാരണം അതിൻ്റെ വ്യുൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ അടിസ്ഥാനം പ്രോപ്പർട്ടി 2 ആയിരുന്നു, അത് കൂടുതൽ കൃത്യമായി നിറവേറ്റപ്പെടുന്നു. കൃത്യമായ തുല്യത ലഭിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ® 0 എന്ന പരിധിയിലേക്ക് കടക്കാം അല്ലെങ്കിൽ, എന്താണ്, എൻ® മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിന് ശേഷം ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കും
പി = എ= ഒപ്പം q = 1 – .
നമുക്ക് ഒരു പുതിയ പാരാമീറ്റർ അവതരിപ്പിക്കാം = ചെയ്തത്, ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ ശരാശരി സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ടി. ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങൾക്കും ഘടകങ്ങളിൽ പരിധി കടന്നതിനും ശേഷം, നമുക്ക് ലഭിക്കും.
= 1, = ,
ഒടുവിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും
, k = 0, 1, 2, ...
ഇ = 2.718... എന്നത് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമാണ്.
നിർവ്വചനം. ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം എക്സ്, പൂർണ്ണസംഖ്യ മാത്രം എടുക്കുന്ന, പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ 0, 1, 2, ... എങ്കിൽ പരാമീറ്ററുള്ള ഒരു വിഷ വിതരണ നിയമം ഉണ്ട്
വേണ്ടി കെ = 0, 1, 2, ...
ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ എസ്.ഡി ആണ് പോയിസൺ വിതരണം നിർദ്ദേശിച്ചത്. പോയിസൺ (1781-1840). സമയം, ദൈർഘ്യം, വിസ്തീർണ്ണം, വോളിയം എന്നിവയുടെ യൂണിറ്റിന് താരതമ്യേന അപൂർവവും ക്രമരഹിതവും പരസ്പര സ്വതന്ത്രവുമായ സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.
എ) വലുതും ബി) കെ= , സ്റ്റെർലിംഗ് ഫോർമുല സാധുവാണ്:
തുടർന്നുള്ള മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ, ഒരു ആവർത്തന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു
പി(കെ + 1) = പി(കെ).
ഉദാഹരണം 1. ഒരു നിശ്ചിത ദിവസത്തിൽ 1000 ആളുകളിൽ ജനിച്ചതിൻ്റെ സാധ്യത എന്താണ്: എ) ആരുമില്ല, ബി) ഒന്ന്, സി) രണ്ട്, ഡി) മൂന്ന് ആളുകൾ ജനിച്ചത്?
പരിഹാരം. കാരണം പി= 1/365, അപ്പോൾ q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.
പിന്നെ 
എ) 
,
b) 
,
വി) 
,
ജി) 
.
അതിനാൽ, 1000 ആളുകളുടെ സാമ്പിളുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു പ്രത്യേക ദിവസം ജനിച്ച ആളുകളുടെ ശരാശരി എണ്ണം അതിനനുസരിച്ച് 65 ആയിരിക്കും; 178; 244; 223.
ഉദാഹരണം 2. പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുക ആർഇവൻ്റ് ഒരിക്കലെങ്കിലും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.
പരിഹാരം. സംഭവം എ= (ഒരിക്കലെങ്കിലും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുക) കൂടാതെ = (ഒരിക്കൽ പോലും പ്രത്യക്ഷപ്പെടില്ല). അതുകൊണ്ട് .
ഇവിടെ നിന്ന് 
ഒപ്പം .
ഉദാഹരണത്തിന്, വേണ്ടി ആർ= 0.5, വേണ്ടി ആർ= 0,95 .
ഉദാഹരണം 3. ഒരു നെയ്ത്തുകാരൻ പ്രവർത്തിപ്പിക്കുന്ന തറികളിൽ, ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ 90 ത്രെഡ് ബ്രേക്കുകൾ സംഭവിക്കുന്നു. 4 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ഒരു ത്രെഡ് ബ്രേക്കെങ്കിലും സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം t = 4 മിനിറ്റ് ഒരു മിനിറ്റിലെ ഇടവേളകളുടെ ശരാശരി എണ്ണം, എവിടെ നിന്ന് 
. ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി ആണ്.
പ്രോപ്പർട്ടികൾ. പാരാമീറ്ററിനൊപ്പം പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും ഇതിന് തുല്യമാണ്:
എം(എക്സ്) = ഡി(എക്സ്) = .
നേരിട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വഴിയാണ് ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നത്:
ഇവിടെയാണ് പകരം സംവിധാനം ഏർപ്പെടുത്തിയത് എൻ = കെ– 1 എന്ന വസ്തുതയും.
ഔട്ട്പുട്ടിൽ ഉപയോഗിച്ചതിന് സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിലൂടെ എം(എക്സ്), നമുക്ക് ലഭിക്കും
ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ വലിയ തോതിൽ കണക്കാക്കാൻ വിഷവിതരണം ഉപയോഗിക്കുന്നു എൻ
മിക്കതും പൊതുവായ കേസ് വിവിധ തരത്തിലുള്ളപ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾ ദ്വിപദ വിതരണങ്ങളാണ്. പ്രായോഗികമായി നേരിടുന്ന ഏറ്റവും സാധാരണമായ പ്രത്യേക തരം വിതരണങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ നമുക്ക് അതിൻ്റെ വൈവിധ്യം ഉപയോഗിക്കാം.
ദ്വിപദ വിതരണം
എന്തെങ്കിലും പരിപാടി നടക്കട്ടെ എ. ഇവൻ്റ് എ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ് പി, ഇവൻ്റ് എ ഉണ്ടാകാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 1 ആണ് പി, ചിലപ്പോൾ ഇത് ഇതായി നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു q. അനുവദിക്കുക എൻടെസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണം, എംഇവയിൽ എ ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കുന്നതിൻ്റെ ആവൃത്തി എൻപരിശോധനകൾ.
ഫലങ്ങളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ സംയോജനങ്ങളുടെയും ആകെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയാം, അതായത്:
1 = പി എൻ + എൻ · പി എൻ 1 (1 പി) + സി എൻ എൻ 2 · പി എൻ 2 (1 പി) 2 + + സി എൻ എം · പി എം· (1 പി) എൻ എം++ (1 പി) എൻ .
|
പി എൻഅതിനുള്ള സാധ്യത എൻഎൻഒരിക്കല്; എൻ · പി എൻ 1 (1 പി) അതിനുള്ള സാധ്യത എൻഎൻ 1) ഒരിക്കൽ, 1 തവണ സംഭവിക്കില്ല; സി എൻ എൻ 2 · പി എൻ 2 (1 പി) 2 അതിനുള്ള സാധ്യത എൻപരിശോധനകൾ, ഇവൻ്റ് എ സംഭവിക്കും ( എൻ 2) തവണയും 2 തവണയും സംഭവിക്കില്ല; പി എം = സി എൻ എം · പി എം· (1 പി) എൻ എം അതിനുള്ള സാധ്യത എൻടെസ്റ്റുകൾ, ഇവൻ്റ് എ സംഭവിക്കും എംഒരിക്കലും സംഭവിക്കില്ല ( എൻ എം) ഒരിക്കല്; (1 പി) എൻഅതിനുള്ള സാധ്യത എൻപരീക്ഷണങ്ങളിൽ, ഇവൻ്റ് എ ഒരിക്കൽ പോലും സംഭവിക്കില്ല; കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം എൻഎഴുതിയത് എം . |
പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം എംദ്വിപദ വിതരണം ഇതിന് തുല്യമാണ്:
എം = എൻ · പി ,
എവിടെ എൻടെസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണം, പിസംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത എ.
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ σ :
σ = ചതുരശ്ര ( എൻ · പി· (1 പി)) .
ഉദാഹരണം 1. ഒരു സംഭവത്തിന് പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുക പി= 0.5, ഇൻ എൻ= 10 ട്രയലുകൾ നടക്കും എം= 1 തവണ. നമുക്ക് ഉണ്ട്: സി 10 1 = 10, കൂടാതെ കൂടുതൽ: പി 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.0098. നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത വളരെ കുറവാണ്. സംഭാവ്യത 0.5 ആയതിനാൽ ഇവിടെ സാധ്യതകൾ "50 മുതൽ 50 വരെ" ആയതിനാൽ ഇവൻ്റ് നടക്കുമോ ഇല്ലയോ എന്നത് തീർത്തും വ്യക്തമല്ല എന്ന വസ്തുതയാണ് ഇത് വിശദീകരിക്കുന്നത്. രണ്ടാമതായി, ഇവൻ്റ് പത്തിൽ ഒരു തവണ (കൂടുതലും കുറവുമില്ല) സംഭവിക്കുമെന്ന് കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
ഉദാഹരണം 2. ഒരു സംഭവത്തിന് പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുക പി= 0.5, ഇൻ എൻ= 10 ട്രയലുകൾ നടക്കും എം= 2 തവണ. നമുക്ക് ഉണ്ട്: സി 10 2 = 45, കൂടാതെ കൂടുതൽ: പി 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.044. ഈ ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത വർദ്ധിച്ചു!
ഉദാഹരണം 3. സംഭവം തന്നെ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത വർദ്ധിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് അത് കൂടുതൽ സാധ്യതയുള്ളതാക്കാം. ഒരു സംഭവത്തിന് പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുക പി= 0.8, ഇൻ എൻ= 10 ട്രയലുകൾ നടക്കും എം= 1 തവണ. നമുക്ക് ഉണ്ട്: സി 10 1 = 10, കൂടാതെ കൂടുതൽ: പി 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004. ആദ്യ ഉദാഹരണത്തേക്കാൾ പ്രോബബിലിറ്റി കുറവാണ്! ഉത്തരം, ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, വിചിത്രമായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ ഇവൻ്റിന് ഉയർന്ന സംഭാവ്യത ഉള്ളതിനാൽ, അത് ഒരിക്കൽ മാത്രം സംഭവിക്കാൻ സാധ്യതയില്ല. ഇത് ഒന്നിലധികം തവണ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണ്. തീർച്ചയായും, എണ്ണുന്നു പി 0 , പി 1 , പി 2 , പി 3, പി 10 (ഒരു സംഭവം ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത എൻ= 10 ട്രയലുകൾ 0, 1, 2, 3, , 10 തവണ സംഭവിക്കും), ഞങ്ങൾ കാണും:
സി 10 0 = 1
,
സി 10 1 = 10
,
സി 10 2 = 45
,
സി 10 3 = 120
,
സി 10 4 = 210
,
സി 10 5 = 252
,
സി 10 6 = 210
,
സി 10 7 = 120
,
സി 10 8 = 45
,
സി 10 9 = 10
,
സി 10 10 = 1
;
പി 0 = 1 0.8 0 (1 0.8) 10 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000;
പി 1 = 10 0.8 1 (1 0.8) 10 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000;
പി 2 = 45 0.8 2 (1 0.8) 10 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000;
പി 3 = 120 0.8 3 (1 0.8) 10 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008;
പി 4 = 210 0.8 4 (1 0.8) 10 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055;
പി 5 = 252 0.8 5 (1 0.8) 10 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264;
പി 6 = 210 0.8 6 (1 0.8) 10 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881;
പി 7 = 120 0.8 7 (1 0.8) 10 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013;
പി 8 = 45 0.8 8 (1 0.8) 10 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020(ഏറ്റവും ഉയർന്ന സാധ്യത!);
പി 9 = 10 0.8 9 (1 0.8) 10 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684;
പി 10 = 1 0.8 10 (1 0.8) 10 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074
തീർച്ചയായും പി 0 + പി 1 + പി 2 + പി 3 + പി 4 + പി 5 + പി 6 + പി 7 + പി 8 + പി 9 + പി 10 = 1 .
സാധാരണ വിതരണം
ഞങ്ങൾ അളവുകൾ ചിത്രീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ പി 0 , പി 1 , പി 2 , പി 3, പി 10, ഉദാഹരണം 3-ൽ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കിയ ഗ്രാഫിൽ, അവയുടെ വിതരണത്തിന് സാധാരണ വിതരണ നിയമത്തിന് അടുത്തുള്ള ഒരു രൂപമുണ്ടെന്ന് മാറുന്നു (ചിത്രം 27.1 കാണുക) (ലക്ചർ 25 കാണുക. സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ മോഡലിംഗ്).
p = 0.8, n = 10 എന്നതിൽ വ്യത്യസ്ത m ക്കുള്ള സാധ്യതകൾ
ഇവൻ്റ് എ സംഭവിക്കുന്നതിൻ്റെയും സംഭവിക്കാത്തതിൻ്റെയും സാധ്യതകൾ ഏകദേശം തുല്യമാണെങ്കിൽ ബൈനോമിയൽ നിയമം സാധാരണമാകും, അതായത്, നമുക്ക് സോപാധികമായി എഴുതാം: പി≈ (1 പി) . ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് എടുക്കാം എൻ= 10 ഒപ്പം പി= 0.5 (അതായത് പി= 1 പി = 0.5 ).
ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പ്രസവ ആശുപത്രിയിൽ ഒരേ ദിവസം ജനിക്കുന്ന 10 കുട്ടികളിൽ എത്ര ആൺകുട്ടികളും എത്ര പെൺകുട്ടികളും ഉണ്ടെന്ന് സൈദ്ധാന്തികമായി കണക്കാക്കണമെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ അത്തരമൊരു പ്രശ്നത്തിലേക്ക് അർത്ഥവത്തായി വരും. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ ആൺകുട്ടികളെയും പെൺകുട്ടികളെയും കണക്കാക്കില്ല, ആൺകുട്ടികൾ മാത്രം ജനിക്കാനുള്ള സാധ്യത, 1 ആൺകുട്ടിയും 9 പെൺകുട്ടികളും ജനിക്കും, 2 ആൺകുട്ടികളും 8 പെൺകുട്ടികളും ജനിക്കും, എന്നിങ്ങനെ. ഒരു ആൺകുട്ടിയും പെൺകുട്ടിയും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഒരുപോലെയും 0.5 ന് തുല്യവുമാണെന്ന് നമുക്ക് ലളിതമായി അനുമാനിക്കാം (എന്നാൽ സത്യത്തിൽ, ഇത് അങ്ങനെയല്ല, "മോഡലിംഗ് ആർട്ടിഫിഷ്യൽ ഇൻ്റലിജൻസ് സിസ്റ്റംസ്" എന്ന കോഴ്സ് കാണുക).
3 ആൺകുട്ടികളും 7 പെൺകുട്ടികളും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത 7 ആൺകുട്ടികളും 3 പെൺകുട്ടികളും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യതയ്ക്ക് തുല്യമായതിനാൽ വിതരണം സമമിതിയിലായിരിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ജനന സാധ്യത 5 ആൺകുട്ടികളും 5 പെൺകുട്ടികളുമായിരിക്കും. ഈ പ്രോബബിലിറ്റി 0.25 ആണ്, വഴി, അത് അത്ര വലുതല്ല യഥാർത്ഥ മൂല്യം. കൂടാതെ, ഒരേസമയം 10 അല്ലെങ്കിൽ 9 ആൺകുട്ടികൾ ജനിക്കാനുള്ള സാധ്യത 10 കുട്ടികളിൽ നിന്ന് 5 ± 1 ആൺകുട്ടി ജനിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയേക്കാൾ വളരെ കുറവാണ്. ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്താൻ ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും. അങ്ങനെ.
സി 10 0 = 1
,
സി 10 1 = 10
,
സി 10 2 = 45
,
സി 10 3 = 120
,
സി 10 4 = 210
,
സി 10 5 = 252
,
സി 10 6 = 210
,
സി 10 7 = 120
,
സി 10 8 = 45
,
സി 10 9 = 10
,
സി 10 10 = 1
;
പി 0 = 1 0.5 0 (1 0.5) 10 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977;
പി 1 = 10 0.5 1 (1 0.5) 10 1 = 10 0.5 10 = 0.009766;
പി 2 = 45 0.5 2 (1 0.5) 10 2 = 45 0.5 10 = 0.043945;
പി 3 = 120 0.5 3 (1 0.5) 10 3 = 120 0.5 10 = 0.117188;
പി 4 = 210 0.5 4 (1 0.5) 10 4 = 210 0.5 10 = 0.205078;
പി 5 = 252 0.5 5 (1 0.5) 10 5 = 252 0.5 10 = 0.246094;
പി 6 = 210 0.5 6 (1 0.5) 10 6 = 210 0.5 10 = 0.205078;
പി 7 = 120 0.5 7 (1 0.5) 10 7 = 120 0.5 10 = 0.117188;
പി 8 = 45 0.5 8 (1 0.5) 10 8 = 45 0.5 10 = 0.043945;
പി 9 = 10 0.5 9 (1 0.5) 10 9 = 10 0.5 10 = 0.009766;
പി 10 = 1 0.5 10 (1 0.5) 10 10 = 1 0.5 10 = 0.000977
തീർച്ചയായും പി 0 + പി 1 + പി 2 + പി 3 + പി 4 + പി 5 + പി 6 + പി 7 + പി 8 + പി 9 + പി 10 = 1 .
ഗ്രാഫിൽ നമുക്ക് അളവുകൾ പ്രദർശിപ്പിക്കാം പി 0 , പി 1 , പി 2 , പി 3, പി 10 (ചിത്രം 27.2 കാണുക).
p = 0.5 ഉം n = 10 ഉം, അതിനെ സാധാരണ നിയമത്തോട് അടുപ്പിക്കുന്നു
അതിനാൽ, വ്യവസ്ഥകളിൽ എം ≈ എൻ/2 ഒപ്പം പി≈ 1 പിഅഥവാ പിദ്വിപദ വിതരണത്തിന് പകരം ≈ 0.5, നിങ്ങൾക്ക് സാധാരണ ഒന്ന് ഉപയോഗിക്കാം. വലിയ മൂല്യങ്ങൾക്ക് എൻഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് ഗ്രാഫ് വലതുവശത്തേക്ക് മാറുകയും കൂടുതൽ കൂടുതൽ പരന്നതായിത്തീരുകയും ചെയ്യുന്നു. എൻ : എം = എൻ · പി , ഡി = എൻ · പി· (1 പി) .
വഴിയിൽ, ദ്വിപദ നിയമം സാധാരണ നിലയിലാകുകയും വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എൻ, ഇത് തികച്ചും സ്വാഭാവികമാണ്, കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് (പ്രഭാഷണം 34 കാണുക. സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഫലങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തുകയും പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു).
എപ്പോൾ കേസിൽ ബൈനോമിയൽ നിയമം എങ്ങനെ മാറുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക പി ≠ q, അതാണ് പി> 0 . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ അനുമാനം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല, കൂടാതെ ദ്വിപദ വിതരണം ഒരു വിഷ വിതരണമായി മാറുന്നു.
വിഷം വിതരണം
വിഷവിതരണമാണ് പ്രത്യേക കേസ്ദ്വിപദ വിതരണം (കൂടെ എൻ>> 0 ഒപ്പം പി>0 (അപൂർവ്വ സംഭവങ്ങൾ)).
ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം ഏകദേശം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല ഗണിതത്തിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു:
എവിടെ എ = എൻ · പി പോയിസൺ പാരാമീറ്റർ (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ), കൂടാതെ വ്യത്യാസം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഈ പരിവർത്തനത്തെ വിശദീകരിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നമുക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം. ബൈനോമിയൽ വിതരണ നിയമം
പി എം = സി എൻ എം · പി എം· (1 പി) എൻ എം
ഇട്ടാൽ എഴുതാം പി = എ/എൻ , ആയി
കാരണം പിവളരെ ചെറുതാണ്, അപ്പോൾ അക്കങ്ങൾ മാത്രം കണക്കിലെടുക്കണം എം, താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ചെറുത് എൻ. ജോലി
ഐക്യത്തോട് വളരെ അടുത്ത്. വലുപ്പത്തിനും ഇത് ബാധകമാണ്
മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ്
വളരെ അടുത്ത് ഇ എ. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഫോർമുല ലഭിക്കും:
ഉദാഹരണം. ബോക്സിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എൻ= ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളതും വികലമായതുമായ 100 ഭാഗങ്ങൾ. ഒരു വികലമായ ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത പി= 0.01. ഞങ്ങൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നം പുറത്തെടുത്ത്, അത് തകരാറാണോ അല്ലയോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുകയും അത് തിരികെ വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ കടന്നുപോയ 100 ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ രണ്ടെണ്ണം വികലമാണെന്ന് തെളിഞ്ഞു. ഇതിൻ്റെ സാധ്യത എന്താണ്?
ദ്വിപദ വിതരണത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
വിഷ വിതരണത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, മൂല്യങ്ങൾ അടുത്തതായി മാറി, അതിനാൽ അപൂർവ സംഭവങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ പോയിസൺ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നത് തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും ഇതിന് കുറച്ച് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പരിശ്രമം ആവശ്യമുള്ളതിനാൽ.
പോയിസൺസ് നിയമത്തിൻ്റെ രൂപം നമുക്ക് ഗ്രാഫിക്കായി കാണിക്കാം. നമുക്ക് പാരാമീറ്ററുകൾ ഒരു ഉദാഹരണമായി എടുക്കാം പി = 0.05 , എൻ= 10 . അപ്പോൾ:
സി 10 0 = 1
,
സി 10 1 = 10
,
സി 10 2 = 45
,
സി 10 3 = 120
,
സി 10 4 = 210
,
സി 10 5 = 252
,
സി 10 6 = 210
,
സി 10 7 = 120
,
സി 10 8 = 45
,
സി 10 9 = 10
,
സി 10 10 = 1
;
പി 0 = 1 0.05 0 (1 0.05) 10 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987;
പി 1 = 10 0.05 1 (1 0.05) 10 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151;
പി 2 = 45 0.05 2 (1 0.05) 10 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746;
പി 3 = 120 0.05 3 (1 0.05) 10 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105;
പി 4 = 210 0.05 4 (1 0.05) 10 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096;
പി 5 = 252 0.05 5 (1 0.05) 10 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006;
പി 6 = 210 0.05 6 (1 0.05) 10 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000;
പി 7 = 120 0.05 7 (1 0.05) 10 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000;
പി 8 = 45 0.05 8 (1 0.05) 10 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000;
പി 9 = 10 0.05 9 (1 0.05) 10 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000;
പി 10 = 1 0.05 10 (1 0.05) 10 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000
തീർച്ചയായും പി 0 + പി 1 + പി 2 + പി 3 + പി 4 + പി 5 + പി 6 + പി 7 + പി 8 + പി 9 + പി 10 = 1 .
ചെയ്തത് എൻ> ∞ കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് വിഷം വിതരണം ഒരു സാധാരണ നിയമമായി മാറുന്നു (കാണുക.
