Объектив функц- зарим оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд оновчлолд (багасгах эсвэл нэмэгдүүлэх) хамаарах хэд хэдэн хувьсагчийн бодит буюу бүхэл тоон функц. Математик програмчлал, үйл ажиллагааны судалгаа, шугаман програмчлал, онолд хэрэглэгддэг нэр томъёо статистик шийдлүүдболон математикийн бусад салбарууд, үндсэндээ хэрэглээний шинж чанартай боловч оновчлолын зорилго нь математикийн асуудлын өөрөө шийдэл байж болно. Түүнээс гадна зорилгын функцОновчлолын асуудалд хувьсагчдын хязгаарлалтыг тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлын систем хэлбэрээр тодорхойлж болно. IN ерөнхий тохиолдолзорилтот функцийн аргументуудыг дурын олонлог дээр зааж өгч болно.
Жишээ
Гөлгөр функц ба тэгшитгэлийн систем
Аливаа тэгшитгэлийн системийг шийдэх асуудал
( F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 ( \displaystyle \left\((\эхлэх(матриц)F_(1)(x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))=0\\F_(2)(x_(1),x_ (2),\ldots ,x_(M))=0\\\ldots \\F_(N)(x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))=0\төгсгөл(матриц) )\зөв.)
зорилгын функцийг багасгах асуудал гэж томъёолж болно
S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) (\displaystyle S=\sum _(j=1)^(N)F_(j)^(2)( x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))\qquad (1))
Хэрэв функцууд жигд байвал градиент аргыг ашиглан багасгах асуудлыг шийдэж болно.
Аливаа гөлгөр зорилгын функцийн хувьд бүх хувьсагчийн хэсэгчилсэн деривативуудыг 0 (\displaystyle 0)-тэй тэнцүүлж болно. Зорилгын функцийн оновчтой нь ийм тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн нэг байх болно. (1) (\displaystyle (1)) функцийн хувьд энэ нь аргын тэгшитгэлийн систем болно. хамгийн бага квадратууд(MNC). Анхны системийн шийдэл бүр нь хамгийн бага квадратуудын системийн шийдэл юм. Хэрэв анхны систем нь нийцэхгүй бол үргэлж шийдэлтэй байдаг хамгийн бага квадратуудын систем нь анхны системийн ойролцоо шийдлийг олж авах боломжийг олгодог. Хамгийн бага квадратуудын систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцдаг бөгөөд энэ нь заримдаа хамтарсан анхны системийг шийдвэрлэхэд хялбар болгодог.
Шугаман програмчлал
Бусдад алдартай жишээЗорилгын функц нь шугаман програмчлалын бодлогод үүсдэг шугаман функц юм. Квадрат зорилгын функцээс ялгаатай нь шугаман функцийг оновчлох нь шугаман тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлын систем хэлбэрээр хязгаарлалт байгаа тохиолдолд л боломжтой юм.
Комбинаторын оновчлол
Комбинаторын зорилгын функцийн ердийн жишээ бол аялагч худалдагчийн асуудлын зорилгын функц юм. Энэ функц нь график дээрх Гамильтоны мөчлөгийн урттай тэнцүү байна. Энэ нь графикийн n − 1 (\displaystyle n-1) оройнуудын орлуулалтын багц дээр тодорхойлогддог бөгөөд графикийн ирмэгийн уртын матрицаар тодорхойлогддог. Иймэрхүү асуудлыг шийдэх нарийн шийдэл нь ихэвчлэн сонголтуудыг тоолоход хүргэдэг.
Бүлэг 1. Шугаман програмчлалын үндсэн бодлогын тайлбар
Шугаман програмчлал
Шугаман програмчлал нь математик програмчлалын нэг салбар бөгөөд хэт туйлшралын асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг судалдаг. шугаман хамааралхувьсагч ба шугаман тестийн хооронд. Иймэрхүү асуудлууд нь хүний үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт өргөн хүрээтэй хэрэглээг олж авдаг. Энэ төрлийн асуудлыг системтэй судалж 1939-1940 онд эхэлсэн. L.V-ийн бүтээлүүдэд. Канторович.
Шугаман програмчлалын математикийн асуудалд тодорхой үйлдвэрлэл, эдийн засгийн нөхцөл байдлын судалгаа багтдаг бөгөөд эдгээрийг нэг хэлбэрээр эсвэл өөр хэлбэрээр хязгаарлагдмал нөөцийг оновчтой ашиглах асуудал гэж тайлбарладаг.
Шугаман програмчлалын аргуудыг ашиглан шийддэг асуудлын хүрээ нэлээд өргөн бөгөөд жишээлбэл:
үйлдвэрлэлийн төлөвлөлтөд нөөцийг оновчтой ашиглах асуудал;
хольцын асуудал (бүтээгдэхүүний найрлагын төлөвлөлт);
оновчтой хослолыг олох асуудал янз бүрийн төрөлагуулахад хадгалах бүтээгдэхүүн (бараа материалын менежмент эсвэл);
тээврийн даалгавар (аж ахуйн нэгжийн байршил, барааны хөдөлгөөнд дүн шинжилгээ хийх).
Шугаман програмчлал нь математик програмчлалын хамгийн хөгжсөн бөгөөд өргөн хэрэглэгддэг хэсэг юм (үүнээс гадна үүнд: бүхэл тоо, динамик, шугаман бус, параметрт програмчлал орно). Үүнийг дараах байдлаар тайлбарлав.
олон тооны эдийн засгийн асуудлын математик загварууд нь шаардлагатай хувьсагчдын хувьд шугаман байдаг;
Энэ төрлийн асуудал нь одоогоор хамгийн их судлагдсан асуудал юм. Түүнд зориулж бүтээсэн тусгай аргууд, тэдгээрийн тусламжтайгаар эдгээр асуудлыг шийдэж, холбогдох компьютерийн програмууд;
шугаман програмчлалын олон асуудлыг шийдэж, өргөн хэрэглээг олсон;
Анхны томъёололд шугаман бус зарим асуудлууд нь хэд хэдэн нэмэлт хязгаарлалт, таамаглалуудын дараа шугаман болж, эсвэл шугаман програмчлалын аргаар шийдэж болох хэлбэрт оруулж болно.
Шугаман програмчлалын аливаа бодлогын эдийн засаг, математик загварт дараахь зүйлс орно: зорилгын функц, оновчтой утгааль (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) олох шаардлагатай; тогтолцооны хэлбэрийн хязгаарлалт шугаман тэгшитгэлэсвэл тэгш бус байдал; хувьсагчийн сөрөг бус байх шаардлага.
IN ерөнхий үзэлзагварыг дараах байдлаар бичнэ.
зорилгын функц
(1.1) хязгаарлалттай
(1.2) сөрөг бус байх шаардлага
(1.3) хаана x j– хувьсагч (үл мэдэгдэх);
- шугаман програмчлалын бодлогын коэффициентүүд.
Асуудал нь (1.2) ба (1.3) хязгаарлалттай (1.1) функцийн оновчтой утгыг олох явдал юм.
Хязгаарлалтын системийг (1.2) бодлогын функциональ хязгаарлалт, (1.3) хязгаарлалтыг шууд гэнэ.
(1.2) ба (1.3) хязгаарлалтуудыг хангасан векторыг шугаман програмчлалын асуудлын зөвшөөрөгдөх шийдэл (төлөвлөгөө) гэнэ. Функц (1.1) хамгийн их (хамгийн бага) утгад хүрэх төлөвлөгөөг оновчтой гэж нэрлэдэг.
1.2. Шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх симплекс арга
Симплекс аргыг анх 1947 онд Америкийн математикч Ж.Данзиг бодлого бодоход ашиглаж байжээ.
Хоёр хэмжээст шугаман програмчлалын асуудлыг графикаар шийддэг. N=3 тохиолдлын хувьд бид авч үзэж болно гурван хэмжээст орон зайба зорилгын функц нь олон өнцөгтийн аль нэг орой дээр хамгийн оновчтой утгад хүрнэ.
Стандарт хэлбэрээр өгсөн LP асуудлын зөвшөөрөгдөх шийдэл (зөвшөөрөгдөх төлөвлөгөө) нь хязгаарлалтыг хангасан эрэмбэлэгдсэн тоонуудын багц (x1, x2, ..., xn) юм; энэ нь n хэмжээст орон зайн цэг юм.
Зөвшөөрөгдөх шийдлүүдийн багц нь LP асуудлын зөвшөөрөгдөх шийдлүүдийн бүсийг (ADS) бүрдүүлдэг. ODR нь гүдгэр олон өнцөгт (олон өнцөгт) юм.
Ерөнхийдөө асуудал нь N үл мэдэгдэх зүйлсийг хамарсан тохиолдолд хязгаарлах нөхцлийн системээр тодорхойлогддог боломжит шийдлүүдийн мужийг n хэмжээст орон зайд гүдгэр олон өнцөгт хэлбэрээр дүрсэлж, зорилтын функцийн оновчтой утгыг нэг цэгт хүрнэ гэж хэлж болно. эсвэл түүнээс дээш орой.
Үндсэн шийдэл нь бүх чөлөөт хувьсагчид тэгтэй тэнцүү байх шийдэл юм.
Туслах шийдэл нь сөрөг бус үндсэн шийдэл юм. Дэмжлэгийн шийдэл нь доройтохгүй, доройтох боломжтой. Лавлагааны уусмалыг тэгээс ялгаатай координатын тоо нь системийн зэрэгтэй тэнцүү бол доройтдоггүй гэж нэрлэдэг.
Зорилгын функц нь туйлын утгад хүрэх зөвшөөрөгдөх шийдлийг оновчтой гэж нэрлэж, тэмдэглэнэ 
.
Хувьсагчийн тоо 3-аас дээш байвал эдгээр асуудлыг графикаар шийдвэрлэхэд маш хэцүү байдаг. Шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх түгээмэл арга байдаг бөгөөд үүнийг симплекс арга гэж нэрлэдэг.
Симплекс арга нь LP асуудлыг шийдэх бүх нийтийн арга бөгөөд энэ нь нэг шийдлээр эхэлж, хамгийн сайн хувилбарыг хайж олохын тулд боломжит шийдлүүдийн бүсийн булангийн цэгүүдийн дагуу оновчтой утгад хүрэх хүртэл хөдөлдөг.
Үүнийг шугаман програмчлалын аливаа асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.
Симплекс арга нь үүссэн шийдлийг дараалан сайжруулах санаан дээр суурилдаг.
Симплекс аргын геометрийн утга нь хязгаарлагдмал олон өнцөгтийн нэг оройноос хөрш зэргэлдээх рүү шилжих дараалсан шилжилт бөгөөд зорилго нь оновчтой шийдийг олох хүртэл хамгийн сайн (эсвэл хамгийн муу биш) утгыг авдаг. оновчтой утга нь зорилгод хүрсэн функц (хэрэв асуудал эцсийн оновчтой бол).
Тиймээс, хязгаарлалтын системийг каноник хэлбэрт оруулснаар (бүх функциональ хязгаарлалтууд нь тэгш байдлын хэлбэртэй байдаг) тэд энэ системийн аливаа үндсэн шийдлийг олдог бөгөөд зөвхөн үүнийг аль болох энгийн байдлаар олоход л анхаардаг. Эхний олдсон үндсэн шийдэл нь хэрэгжих боломжтой гэж үзвэл оновчтой эсэхийг шалгана. Хэрэв энэ нь оновчтой биш бол өөр, заавал зөвшөөрөгдөх, үндсэн шийдэлд шилжих болно. Симплекс арга нь энэхүү шинэ шийдлээр зорилгын функц нь оновчтой хэмжээнд хүрэхгүй бол түүнд ойртож (эсвэл ядаж түүнээс холдохгүй) баталгаа өгдөг. Хамгийн оновчтой шийдэл олдох хүртэл шинэ боломжит үндсэн шийдлээр мөн адил хийнэ.
Симплекс аргыг хэрэглэх үйл явц нь түүний гурван үндсэн элементийг хэрэгжүүлэх явдал юм.
аливаа асуудлыг шийдвэрлэх анхны боломжтой үндсэн шийдлийг тодорхойлох арга;
хамгийн сайн (илүү нарийвчлалтай, муу биш) шийдэлд шилжих дүрэм;
олсон шийдлийн оновчтой байдлыг шалгах шалгуур.
Симплекс арга нь хэд хэдэн үе шатыг багтаасан бөгөөд тодорхой алгоритм хэлбэрээр (дараалсан үйлдлийг гүйцэтгэх тодорхой заавар) томъёолж болно. Энэ нь компьютер дээр амжилттай програмчлах, хэрэгжүүлэх боломжийг олгодог. Цөөн тооны хувьсагч ба хязгаарлалттай асуудлыг симплекс аргыг ашиглан гараар шийдэж болно.
6.1.Танилцуулга
Оновчлол. 1-р хэсэг
Оновчлолын аргууд нь танд сонгох боломжийг олгодог хамгийн сайн сонголтбүгдээс загвар боломжит сонголтууд. IN өнгөрсөн жилЭдгээр аргуудыг өгсөн их анхаарал, үр дүнд нь компьютер ашиглан дизайны оновчтой хувилбарыг олох боломжтой хэд хэдэн өндөр үр ашигтай алгоритмуудыг боловсруулсан. Энэ бүлэгт оновчлолын онолын үндсийг тоймлон, оновчтой шийдлийн алгоритмыг бүтээх үндсэн зарчмуудыг судалж, хамгийн алдартай алгоритмуудыг тайлбарлаж, тэдгээрийн давуу болон сул талуудад дүн шинжилгээ хийсэн.
6.2.Оновчлолын онолын үндэс
Уран зохиол дахь "оновчлол" гэсэн нэр томъёо нь боловсронгуй шийдлийг олж авах боломжийг олгодог үйл явц эсвэл дарааллыг хэлдэг. Хэдийгээр оновчлолын эцсийн зорилго нь хамгийн сайн буюу "оновчтой" шийдлийг олох явдал боловч хүн ихэвчлэн мэдэгдэж байгаа шийдлүүдийг төгс болгохын оронд сайжруулахын төлөө ажиллах хэрэгтэй болдог. Тиймээс оновчлол гэдэг нь төгс төгөлдөрт хүрэх хүсэл эрмэлзэл гэж ойлгогддог бөгөөд үүнд хүрч чадахгүй.
n үл мэдэгдэх m тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн зарим дурын системийг авч үзвэл үндсэн гурван төрлийн бодлогыг ялгаж болно. Хэрэв m=n бол асуудлыг алгебрийн гэж нэрлэнэ. Энэ асуудал нь ихэвчлэн нэг шийдэлтэй байдаг. Хэрэв m>n бол асуудал хэт тодорхойлогдсон бөгөөд дүрмээр бол шийдэлгүй болно. Эцэст нь, м-ийн хувьд
Оновчлолын асуудлыг хэлэлцэж эхлэхээсээ өмнө бид хэд хэдэн тодорхойлолтыг танилцуулж байна.
Дизайн параметрүүд
Энэ нэр томъёо нь шийдэгдэж буй дизайны асуудлыг бүрэн, хоёрдмол утгагүй тодорхойлдог бие даасан хувьсах параметрүүдийг илэрхийлдэг. Дизайн параметрүүд нь оновчлолын явцад утгыг нь тооцдог үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүд юм. Системийг тоон байдлаар тодорхойлоход үйлчилдэг аливаа үндсэн буюу үүсмэл хэмжигдэхүүнүүд нь дизайны параметр болж чаддаг. Тийм ээ, байж болох юм үл мэдэгдэх утгуудурт, масс, цаг, температур. Загварын параметрүүдийн тоо нь тухайн дизайны асуудлын нарийн төвөгтэй байдлын түвшинг тодорхойлдог. Ихэвчлэн дизайны параметрийн тоог n-ээр, дизайны параметрүүдийг х-ээр харгалзах индексээр тэмдэглэдэг. Тиймээс энэ асуудлын n загварын параметрийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ
X1, x2, x3,...,xn.
Объектив функц
Энэ нь инженерийн үнэ цэнийг хамгийн их эсвэл хамгийн бага байлгахыг хичээдэг илэрхийлэл юм. Зорилгын функц нь хоёр өөр шийдлийг тоон байдлаар харьцуулах боломжийг олгодог. Математикийн үүднээс авч үзвэл зорилгын функц нь зарим (n+1) хэмжээст гадаргууг дүрсэлдэг. Түүний утгыг дизайны параметрүүдээр тодорхойлно
M=M(x 1, x 2,...,x n).
Инженерийн практикт ихэвчлэн олддог зорилгын функцүүдийн жишээ бол зардал, жин, хүч чадал, хэмжээс, үр ашиг юм. Хэрэв дизайны зөвхөн нэг параметр байгаа бол зорилгын функцийг хавтгай дээрх муруйгаар дүрсэлж болно (Зураг 6.1). Хэрэв дизайны хоёр параметр байгаа бол зорилгын функц нь гурван хэмжээст орон зайд гадаргуу хэлбэрээр дүрслэгдэх болно (Зураг 6.2). Гурав ба түүнээс дээш загварын параметртэй бол зорилгын функцээр тодорхойлсон гадаргууг гипер гадаргуу гэж нэрлэдэг бөгөөд дүрслэх боломжгүй юм.
энгийн аргаар гэрлэх. Зорилгын функцын гадаргуугийн топологийн шинж чанарууд нь оновчтой болгох үйл явцад ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг, учир нь хамгийн үр дүнтэй алгоритмыг сонгох нь тэдгээрээс хамаардаг.
Зорилгын функц нь зарим тохиолдолд хамгийн гэнэтийн хэлбэрийг авч болно. Жишээлбэл, үүнийг үргэлж илэрхийлэх боломжгүй байдаг
Зураг 1. Нэг хэмжээст зорилгын функц.
Зураг 6.2.Хоёр хэмжээст зорилгын функц.
хаалттай математик хэлбэр, бусад тохиолдолд энэ нь боломжтой
хэсэгчилсэн гөлгөр функцийг илэрхийлнэ. Зорилгын функцийг тодорхойлоход заримдаа техникийн өгөгдлийн хүснэгт (жишээлбэл, усны уурын төлөвийн хүснэгт) эсвэл туршилт шаардлагатай байж болно. Зарим тохиолдолд дизайны параметрүүд зөвхөн бүхэл тоон утгыг авдаг. Жишээ нь шүдний тоо байж болно араа дамжуулалтэсвэл фланц дахь боолтны тоо. Заримдаа дизайны параметрүүд нь зөвхөн хоёр утгатай байдаг - тийм эсвэл үгүй. Бүтээгдэхүүнийг худалдан авсан худалдан авагчийн сэтгэл ханамж, найдвартай байдал, гоо зүй гэх мэт чанарын үзүүлэлтүүдийг оновчлолын явцад харгалзан үзэхэд хэцүү байдаг, учир нь тэдгээрийг тоон байдлаар тодорхойлох бараг боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч, зорилгын функцийг хэрхэн харуулсан ч гэсэн энэ нь дизайны параметрүүдийн хоёрдмол утгагүй функц байх ёстой.
Оновчлолын хэд хэдэн асуудал нь нэгээс олон зорилгын функцийг нэвтрүүлэхийг шаарддаг. Заримдаа тэдний нэг нь нөгөөтэйгөө таарахгүй байж болно. Үүний нэг жишээ бол хамгийн их хүч чадал, хамгийн бага жин, хамгийн бага зардал зэрэг шаардлагатай агаарын хөлгийн загвар юм. Ийм тохиолдолд дизайнер нь тэргүүлэх чиглэлийн системийг нэвтрүүлж, зорилгын функц бүрт тодорхой хэмжээсгүй үржүүлэгчийг оноох ёстой. Үүний үр дүнд оновчлолын явцад нэг нийлмэл зорилгын функцийг ашиглах боломжийг олгодог "буулгах функц" гарч ирнэ.
Хамгийн бага ба дээд хэмжээг олох
Зарим оновчлолын алгоритмууд нь хамгийн ихийг, бусад нь хамгийн бага хэмжээг олоход зориулагдсан байдаг. Гэсэн хэдий ч, шийдэгдэж буй экстремум бодлогын төрлөөс үл хамааран та ижил алгоритмыг ашиглаж болно, учир нь багасгах бодлого нь зорилгын функцийн тэмдгийг эргүүлснээр хамгийн их хайлтын бодлого болгон хувиргах боломжтой. Энэ техникийг 6.3-р зурагт үзүүлэв.
Дизайн орон зай
Энэ нь бүх n загварын параметрээр тодорхойлогдсон талбайн нэр юм. Дизайн орон зай нь санагдах шиг тийм ч том биш, учир нь энэ нь ихэвчлэн хэд хэдэн хязгаарлагдмал байдаг
асуудлын физикийн мөн чанартай холбоотой нөхцөл байдал. Хязгаарлалт нь маш хүчтэй байж болох тул асуудал үүсэхгүй
Зураг.6.3.Зориулалтын функцийн тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх
хамгийн их даалгавар нь хамгийн бага ажил болж хувирдаг.
хангалттай шийдэл. Хязгаарлалтуудыг хоёр бүлэгт хуваадаг: хязгаарлалт - тэгш байдал, хязгаарлалт - тэгш бус байдал.
Хязгаарлалт - Тэнцүү байдал
Хязгаарлалт - тэгш байдал - шийдлийг олоход анхаарах ёстой дизайны параметрүүдийн хоорондын хамаарал юм. Тэд байгаль, эдийн засаг, хууль эрх зүй, давамгайлж буй амт, хүртээмжийн хуулийг тусгасан байдаг шаардлагатай материал. Хязгаарлалтын тоо - тэгш байдал нь ямар ч байж болно. Тэд харагдаж байна
C 1 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0,
C 2 (x 1, x 2,...,x n)=0,
..................
C j (x 1 , x 2 ,...,x n)=0.
Хэрэв эдгээр харилцааны аль нэгийг дизайны параметрүүдийн аль нэгтэй нь холбож шийдэж чадвал энэ параметрийг оновчлолын процессоос хасах боломжийг олгоно. Энэ нь дизайны орон зайн хэмжээсийн тоог багасгаж, асуудлын шийдлийг хялбаршуулдаг.
Хязгаарлалт - тэгш бус байдал
Энэ нь тэгш бус байдлаар илэрхийлэгддэг тусгай төрлийн хязгаарлалт юм. Ерөнхийдөө эдгээр нь таны хүссэнээр байж болох бөгөөд тэдгээр нь бүгд хэлбэртэй байдаг
z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 1
z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 2
.......................
z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k
Ихэнх тохиолдолд хязгаарлалтын улмаас зорилгын функцийн оновчтой утга нь түүний гадаргуу нь тэг градиенттэй биш газарт хүрдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ихэнхдээ хамгийн сайн шийдэл нь дизайны орон зайн хил хязгаарын аль нэгэнд нийцдэг.
Орон нутгийн оновчтой
Энэ нь зорилгын функц байгаа дизайны орон зайн цэгийн нэр юм хамгийн өндөр үнэ цэнэойр орчмын бусад бүх цэгүүдийн үнэ цэнэтэй харьцуулахад.
Зураг 6.4. Дурын зорилгын функц хэд хэдэн байж болно
орон нутгийн оптима.
Зураг дээр. Зураг 6.4-т хоёр орон нутгийн оптимумтай нэг хэмжээст зорилгын функцийг үзүүлэв. Ихэнхдээ дизайны орон зайд олон орон нутгийн оптимумууд байдаг бөгөөд эхнийх нь асуудлыг хамгийн оновчтой шийдэл гэж андуурахаас болгоомжлох хэрэгтэй.
Дэлхийн хамгийн оновчтой
Глобал оновчтой бол бүхэл бүтэн дизайны орон зайд хамгийн оновчтой шийдэл юм. Энэ нь орон нутгийн оптима-д тохирсон бусад бүх шийдлүүдээс илүү сайн бөгөөд дизайнерын хайж байгаа зүйл юм. Хэд хэдэн ижил төстэй дэлхийн оптимумууд байрладаг байж магадгүй юм өөр өөр хэсгүүддизайны орон зай. Оновчлолын асуудал хэрхэн тавигдаж байгааг жишээгээр хамгийн сайн дүрсэлсэн болно.
Жишээ 6.1
Савлаагүй эслэгийг тээвэрлэх зориулалттай 1 м хэмжээтэй тэгш өнцөгт савыг зохион бүтээх хэрэгтэй гэж бодъё. Ийм савыг үйлдвэрлэхэд аль болох бага материал зарцуулах нь зүйтэй (ханын тогтмол зузаантай гэж үзвэл энэ нь гадаргуугийн талбай хамгийн бага байх ёстой гэсэн үг), учир нь энэ нь хямд байх болно. Савыг сэрээтэй өргөгчөөр авахын тулд түүний өргөн нь дор хаяж 1.5 м байх ёстой.
Энэ асуудлыг оновчтой болгох алгоритмыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэрээр томъёолъё.
Дизайн параметрүүд: x 1, x 2, x 3.
Зорилгын функц (багасгах шаардлагатай) нь савны хажуугийн гадаргуугийн талбай юм.
A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), м2.
Хязгаарлалт - тэгш байдал:
Эзлэхүүн = x 1 x 2 x 3 = 1м3.
Хязгаарлалт - тэгш бус байдал:
Шугаман програмчлалын асуудлууд
Шугаман програмчлал (LP)нь математик програмчлалын нэг салбар юм - экстремаль (оновчтой) асуудлуудыг судалж, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудыг боловсруулдаг салбар юм.
Оновчлолын асуудалЭнэ нь зорилгын функцийн оновчтой (жишээ нь, хамгийн их эсвэл хамгийн бага) утгыг олохоос бүрдэх математикийн асуудал бөгөөд хувьсагчдын утгууд нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын тодорхой мужид (APV) хамаарах ёстой.
Ерөнхийдөө математик програмчлалын экстремаль бодлогыг томъёолох нь хамгийн том буюу хамгийн бага утгафункц гэж нэрлэдэг зорилтот функц, нөхцөл (хязгаарлалт) дор, энд болон функцүүд өгөгдсөн бөгөөд тогтмол утгууд өгөгдсөн. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хэлбэрийн хязгаарлалт нь зөвшөөрөгдөх шийдлүүдийн багц (талбай) -ийг тодорхойлдог бөгөөд үүнийг нэрлэдэг. дизайны параметрүүд.
Функцийн төрлөөс хамааран математикийн програмчлалын бодлогуудыг хэд хэдэн ангилалд (шугаман, шугаман бус, гүдгэр, бүхэл тоо, стохастик, динамик програмчлал гэх мэт) хуваадаг.
IN ерөнхий үзэл LP асуудал дараах хэлбэртэй байна.
, (5.1)
, , (5.2)
, 
, (5.3)
Энд , , тогтмол утгууд өгөгдсөн.
(5.1) функцийг зорилгын функц гэж нэрлэдэг; систем (5.2), (5.3) - хязгаарлалтын систем; нөхцөл (5.4) – тооцооны параметрүүдийн сөрөг бус байх нөхцөл.
Хязгаарлалт (5.2), (5.3) ба (5.4)-ийг хангасан загварын параметрүүдийн багцыг гэнэ. хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэлэсвэл төлөвлө.
Хамгийн оновчтой шийдэлэсвэл оновчтой төлөвлөгөө LP асуудлыг зорилгын функц (5.1) нь оновчтой (хамгийн их эсвэл хамгийн бага) утгыг авдаг зөвшөөрөгдөх шийдэл гэж нэрлэдэг.
Стандарт даалгавар LP нь (5.2) ба (5.4) нөхцлөөр зорилгын функцийн (5.1) хамгийн их (хамгийн бага) утгыг олох асуудал бөгөөд энд , , i.e. тэдгээр. Зөвхөн тэгш бус байдлын (5.2) хэлбэрийн хязгаарлалт ба дизайны бүх параметрүүд нь сөрөг бус байх нөхцлийг хангаж байгаа бөгөөд тэгш байдлын хэлбэрийн нөхцөл байхгүй болно.
,
, , (5.5)
.
Каноник (үндсэн) даалгавар LP нь (5.3) ба (5.4) нөхцлөөр зорилгын функцийн (5.1) хамгийн их (хамгийн бага) утгыг олох асуудал бөгөөд энд , , i.e. тэдгээр. Зөвхөн тэгш байдлын (5.3) хэлбэрийн хязгаарлалт ба дизайны бүх параметрүүд нь сөрөг бус байх нөхцлийг хангаж байгаа бөгөөд тэгш бус байдлын хэлбэрийн нөхцөл байхгүй.
,
.
Каноник LP бодлогыг мөн матриц болон вектор хэлбэрээр бичиж болно.
Каноник LP бодлогын матриц хэлбэр нь дараах хэлбэртэй байна.
Каноник LP асуудлын вектор хэлбэр.
Шугаман тэгш бус байдлын системийн боломжит шийдлүүдийг хавтгай дээр байгуулж, зорилгын функцийн хамгийн бага утгыг геометрийн аргаар олъё.
Бид x 1 x 2 координатын системд шулуун шугамыг барьдаг
Бид системээр тодорхойлсон хагас хавтгайг олдог. Системийн тэгш бус байдал нь харгалзах хагас хавтгайн аль ч цэгт хангагдах тул тэдгээрийг аль нэг цэгийн хувьд шалгахад хангалттай. Бид (0;0) цэгийг ашигладаг. Түүний координатыг системийн эхний тэгш бус байдалд орлуулъя. Учир нь , тэгвэл тэгш бус байдал нь (0;0) цэгийг агуулаагүй хагас хавтгайг тодорхойлно. Үлдсэн хагас онгоцыг бид ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог. Бид боломжит шийдлүүдийн багцыг үүссэн хагас хавтгайн нийтлэг хэсэг гэж олдог - энэ бол сүүдэртэй газар юм.
Бид вектор ба түүнд перпендикуляр тэг түвшний шугамыг байгуулдаг.
Шулуун шугамыг (5) векторын чиглэлд хөдөлгөхөд бүс нутгийн хамгийн их цэг нь шулуун (3) ба шулуун шугамын (2) огтлолцлын А цэг дээр байх болно. Бид тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олдог.
Энэ нь бид (13;11) цэгийг авсан гэсэн үг юм.
Шулуун шугамыг (5) векторын чиглэлд хөдөлгөхөд бүс нутгийн хамгийн бага цэг нь шулуун (1) ба шулуун шугамын (4) огтлолцлын B цэг дээр байх болно. Бид тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олдог.
Энэ нь бид (6;6) гэсэн цэгийг авсан гэсэн үг юм.
2. Тавилгын компани хосолсон кабинет, компьютерийн ширээ үйлдвэрлэдэг. Тэдний үйлдвэрлэл нь түүхий эд (өндөр чанартай хавтан, холбох хэрэгсэл), тэдгээрийг боловсруулж буй машинуудын ажиллах хугацаа зэргээр хязгаарлагддаг. Кабинет бүрт 5 м2 самбар, ширээний хувьд 2 м2 шаардлагатай. Холбох хэрэгсэл нь нэг шүүгээнд 10 доллар, нэг ширээ 8 доллар байдаг. Тус компани ханган нийлүүлэгчдээсээ сард 600 м2 хавтан, 2000 ам.долларын үнэтэй дагалдах хэрэгслийг хүлээн авах боломжтой. Кабинет бүрт 7 цаг машин ажиллах шаардлагатай бөгөөд хүснэгтэд 3 цаг шаардагдана. Сард нийт 840 машин ажиллах цагийг ашиглах боломжтой.
Нэг кабинет нь 100 долларын ашиг авчирч, ширээ бүр нь 50 долларын орлого авчирч байвал ашгийг нэмэгдүүлэхийн тулд компани сард хэдэн хосолсон кабинет, компьютерийн ширээ үйлдвэрлэх ёстой вэ?
- 1. Зохиох математик загварасуудлыг симплекс аргаар шийднэ.
- 2. Хос бодлогын математик загвар зохиож, түүний шийдлийг эх хувилбарын шийдэлд тулгуурлан бич.
- 3. Ашигласан нөөцийн хомсдлын зэрэглэлийг тогтоож, оновчтой төлөвлөгөөний ашигт ажиллагааны үндэслэлийг гаргах.
- 4. Нөөцийн төрөл тус бүрийн ашиглалтаас хамааран үйлдвэрлэлийн гарцыг цаашид нэмэгдүүлэх боломжийг судлах.
- 5. Нэг тавиур үйлдвэрлэхэд 1 м 2 самбар, дагалдах хэрэгсэл нь 5 долларын үнэтэй, машиныг ажиллуулахад 0.25 цаг зарцуулж, борлуулалтаас олсон ашгийг гаргах шаардлагатай бол шинэ төрлийн бүтээгдэхүүн болох номын тавиурыг нэвтрүүлэх боломжийг үнэлэх. нэг тавиур 20 доллар.
- 1. Энэ бодлогын математик загвар бүтээцгээе.
Шүүгээний үйлдвэрлэлийн хэмжээг x 1, хүснэгтийн үйлдвэрлэлийн хэмжээг x 2 гэж тэмдэглэе. Хязгаарлалтын систем ба зорилгын функцийг бий болгоё:
Бид симплекс аргыг ашиглан асуудлыг шийддэг. Үүнийг каноник хэлбэрээр бичье:
Даалгаврын өгөгдлийг хүснэгт хэлбэрээр бичье.
Хүснэгт 1
Учир нь Одоо бүх дельтанууд тэгээс их байгаа тул f зорилтын функцийн утгыг цаашид нэмэгдүүлэх боломжгүй бөгөөд бид оновчтой төлөвлөгөөг олж авлаа.
Оршил
Хүний хөгжлийн өнөөгийн үе шат нь эрчим хүчний эрин үеийг компьютерийн шинжлэх ухааны эрин үеээр сольж байгаагаараа онцлог юм. Хүний үйл ажиллагааны бүхий л салбарт шинэ технологи эрчимтэй нэвтэрч байна. Боловсролын хөгжлийг нэн тэргүүнд тавих ёстой мэдээллийн нийгэмд шилжих бодит асуудал байна. Нийгэм дэх мэдлэгийн бүтэц ч өөрчлөгдөж байна. хувьд улам бүр чухал болж байна практик амьдралхувь хүний бүтээлч хөгжилд хувь нэмэр оруулах суурь мэдлэгийг олж авах. Олж авсан мэдлэгийн бүтээлч байдал, түүнийг зорилгодоо нийцүүлэн зохион байгуулах чадвар нь бас чухал юм. Мэдлэгт тулгуурлан шинээр бий болдог мэдээллийн нөөцнийгэм. Шинэ мэдлэгийг бий болгох, эзэмших нь системийн хандлагын хатуу арга зүйд суурилсан байх ёстой бөгөөд үүнд загвар хандлага онцгой байр суурь эзэлдэг. Загварын аргын боломжууд нь ашигласан албан ёсны загварууд болон загварчлалын аргуудыг хэрэгжүүлэх аргын хувьд маш олон янз байдаг. Физик загварчлал нь нэлээд энгийн системүүдийн найдвартай үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог.
Одоогийн байдлаар загварчлалын аргуудыг аль нэг хэмжээгээр ашиглахгүй байх хүний үйл ажиллагааны чиглэлийг нэрлэх боломжгүй байна. Энэ нь ялангуяа менежментийн салбарт үнэн юм янз бүрийн системүүд, гол үйл явц нь хүлээн авсан мэдээлэлд үндэслэн шийдвэр гаргах явдал юм.
1. Асуудлын тухай мэдэгдэл
хамгийн бага зорилгын функц
Даалгаврын 16-р хувилбарын дагуу шийдлийн олон өнцөгтөөр тодорхойлсон хязгаарлалтын системийн зорилгын функцын минимумыг олох бодлогыг шийд. Уусмалын олон өнцөгтийг 1-р зурагт үзүүлэв.
Зураг 1 - Асуудлын шийдлийн олон өнцөгт
Хязгаарлалтын систем ба асуудлын зорилгын функцийг доор үзүүлэв.
Дараах аргуудыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай.
LP асуудлыг шийдвэрлэх график арга;
LP асуудлыг шийдвэрлэх алгебрийн арга;
LP асуудлыг шийдвэрлэх энгийн арга;
LP-ийн асуудлын зөвшөөрөгдөх шийдлийг олох арга;
Хос LP асуудлыг шийдэх;
Бүхэл тоон LP бодлогуудыг шийдвэрлэх салбар ба бонд арга;
Бүхэл тоон LP бодлогуудыг шийдвэрлэх Гоморийн арга;
Boolean LP асуудлыг шийдвэрлэх Balazs арга.
Шийдлийн үр дүнг харьцуулах өөр өөр аргуудажлаас зохих дүгнэлт гаргах.
2. Шугаман програмчлалын асуудлын график шийдэл
Шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх график аргыг үл мэдэгдэх тоо гурваас хэтрэхгүй тохиолдолд ашигладаг. Уусмалын шинж чанарыг чанарын хувьд судлахад тохиромжтой бөгөөд бусад аргуудтай (алгебрийн, салаа, хязгаарлагдмал гэх мэт) хослуулан ашигладаг. Аргын санаа нь шугаман тэгш бус байдлын системийн график шийдэл дээр суурилдаг.
Цагаан будаа. 2 LP асуудлын график шийдэл
Хамгийн бага оноо
А1 ба А2 хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл:
AB: (0;1); (3;3)
VS: (3;3); (4;1)
CD: (4;1); (3;0)
EA: (1;0); (0;1)
CF: (0;1); (5;2)
хязгаарлалттай:
Алгебрийн симплекс аргыг ашиглан шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх
Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд алгебрийн аргыг хэрэглэх нь LP асуудлын дүрслэлийг ерөнхийд нь илэрхийлэхийг шаарддаг. Тэгш бус байдлын хэлбэрээр заасан анхны хязгаарлалтын системийг тэгш байдлын хэлбэрээр заасан тохиолдолд стандарт тэмдэглэгээ болгон хувиргадаг. Хязгаарлалтын системийг өөрчлөх стандарт харагдах байдалдараах алхмуудыг багтаана.
Зүүн талд хувьсагч, чөлөөт нөхцөл байхаар тэгш бус байдлыг хувирга, баруун талд 0, өөрөөр хэлбэл. руу зүүн талтэгээс их буюу тэнцүү байсан;
Хязгаарлалтын систем дэх тэгш бус байдлын тоотой тэнцүү нэмэлт хувьсагчдыг нэвтрүүлэх;
Нэмэгдсэн хувьсагчдын сөрөг бус байдлын нэмэлт хязгаарлалтыг оруулснаар тэгш бус байдлын тэмдгийг хатуу тэгш байдлын тэмдгээр солино.
Алгебрийн аргыг ашиглан LP-ийн асуудлыг шийдэхдээ нэг нөхцөлийг нэмдэг: зорилгын функц нь хамгийн бага байх ёстой. Хэрэв энэ нөхцөлхангагдаагүй бол зорилгын функцийг зохих ёсоор хувиргаж (-1-ээр үржүүлж) багасгах асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай. Шийдэл олсны дараа хувьсагчдын утгыг анхны функцэд орлуулж, утгыг нь тооцоол.
Алгебрийн аргыг ашиглан асуудлын шийдлийг бүх үндсэн хувьсагчдын утгууд сөрөг биш, зорилгын функцийн тэгшитгэл дэх чөлөөт хувьсагчдын коэффициентүүд нь сөрөг биш байх үед оновчтой гэж үзнэ. Хэрэв эдгээр нөхцөл хангагдаагүй бол дээрх хязгаарлалтыг биелүүлэхийн тулд тэгш бус байдлын тогтолцоог өөрчлөх шаардлагатай бөгөөд зарим хувьсагчийг бусдаар нь илэрхийлэх (чөлөөт болон үндсэн хувьсагчдыг өөрчлөх) шаардлагатай. Бүх чөлөөт хувьсагчийн утгыг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.
Шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх алгебрийн арга бол хамгийн түгээмэл аргуудын нэг юм үр дүнтэй аргуудучир нь гар аргаар жижиг хэмжээний асуудлыг шийдвэрлэх үед олон тооны арифметик тооцоолол хийх шаардлагагүй. Энэ аргын машины хэрэгжилт нь жишээлбэл, симплекс аргынхаас илүү төвөгтэй байдаг, учир нь Алгебрийн аргыг ашиглан шийдлийн алгоритм нь тодорхой хэмжээгээр эвристик бөгөөд шийдлийн үр нөлөө нь хувийн туршлагаас ихээхэн хамаардаг.
Чөлөөт хувьсагч
Гэгээн эгнээ - нэмэлт иж бүрдэл
Сөрөг бус нөхцөл хангагдсан тул оновчтой шийдлийг оллоо.
3. Шугаман програмчлалын бодлогыг симплекс хүснэгт ашиглан шийдвэрлэх
Шийдэл: Симплекс хүснэгт ашиглан асуудлыг шийдэх стандарт хэлбэрт оруулъя.
Системийн бүх тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулъя.
Бид симплекс хүснэгтийг бүтээдэг:
Хүснэгтийн нүд бүрийн дээд буланд тэгшитгэлийн системээс коэффициентүүдийг оруулна;
Бид F мөрөнд хамгийн их эерэг элементийг сонгоно, гэхдээ энэ нь ерөнхий багана байх болно;
Ерөнхий элементийг олохын тулд бид бүх эерэг талуудын харилцааг бий болгодог. 3/3; 9/1;- x3 мөрөнд хамгийн бага харьцаа. Тиймээс - ерөнхий мөр ба =3 - ерөнхий элемент.
Бид =1/=1/3-ийг олно. Бид үүнийг ерөнхий элемент байрладаг нүдний доод буланд оруулдаг;
Ерөнхий шугамын бүх хоосон доод буланд бид нүдний дээд буланд байгаа утгын үржвэрийг оруулна;
Ерөнхий шугамын дээд буланг сонгох;
Ерөнхий баганын бүх доод буланд бид дээд буланд байгаа утгын үржвэрийг оруулаад гарч ирсэн утгыг сонгоно;
Хүснэгтийн үлдсэн нүдийг сонгосон элементүүдийн бүтээгдэхүүн болгон бөглөнө;
Дараа нь бид ерөнхий багана ба мөрний элементүүдийн нүднүүдийн тэмдэглэгээг сольж байгаа шинэ хүснэгтийг байгуулна (x2 ба x3);
Өмнө нь доод буланд байсан утгууд нь өмнөх ерөнхий мөр, баганын дээд буланд бичигдсэн;
Өмнөх хүснэгтийн эдгээр нүдний дээд ба доод булангийн утгуудын нийлбэрийг үлдсэн нүдний дээд буланд бичнэ.
4. Зөвшөөрөгдөх шийдлийг олох замаар шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг өгье.
Бүх зүйл байгаа гэж бид таамаглаж болно, эс тэгвээс бид харгалзах тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ.
Бид туслах хувьсагчдыг танилцуулж байна:
Бид мөн туслах функцийг танилцуулж байна
Бид хязгаарлалт (2) болон нөхцлийн дагуу системийг багасгах болно.
ЗӨВШӨӨРӨГДӨГ ШИЙДЛИЙГ ОЛОХ ДҮРЭМ: (1) системийн зөвшөөрөгдөх шийдлийг олохын тулд (2) хязгаарлалтын дагуу (3) хэлбэрийг багасгаж, xj-г чөлөөт үл мэдэгдэх, xj-г суурь болгон авна.
Симплекс аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд хоёр тохиолдол гарч болно.
min f=0, тэгвэл бүх i тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Мөн xj-ийн үр дүнд гарсан утгууд нь (1) системийн зөвшөөрөгдөх шийдлийг бүрдүүлнэ.
мин f>0, өөрөөр хэлбэл. анхны систем нь боломжит шийдэлгүй.
Эх сурвалжийн систем:
Өмнөх сэдвийн асуудлын нөхцөлийг ашигласан болно.
Нэмэлт хувьсагчдыг танилцуулъя:
Анхны асуудлын зөвшөөрөгдөх шийдлийг оллоо: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Боломжит шийдэлд үндэслэн бид симплекс аргыг ашиглан анхны асуудлын оновчтой шийдлийг олох болно. Үүнийг хийхийн тулд бид дээрх хүснэгтээс шинэ симплекс хүснэгтийг барьж, туслах асуудлын зорилтот функц бүхий мөр, мөрийг устгана.
Бүтээсэн симплекс хүснэгтэд дүн шинжилгээ хийснээр бид анхны асуудлын оновчтой шийдэл аль хэдийн олдсон болохыг харж байна (зорилгын функцэд тохирох эгнээний элементүүд сөрөг байна). Тиймээс туслах асуудлыг шийдвэрлэхэд олсон боломжит шийдэл нь анхны асуудлын оновчтой шийдэлтэй давхцаж байна.
6. Хос шугаман програмчлалын бодлого
Хязгаарлалтын анхны систем ба асуудлын зорилгын функцийг доорх зурагт үзүүлэв.
хязгаарлалттай:
Шийдэл: Хязгаарлалтын системийг стандарт хэлбэрт оруулъя:
Үүнтэй холбоотой асуудал нь дараах хэлбэртэй байна.
Давхар асуудлын шийдлийг энгийн симплекс аргыг ашиглан гүйцэтгэнэ.
Зорилгын функцийг багасгаж, багасгах асуудлыг шийдэж, хязгаарлалтын системийг симплекс аргыг ашиглан стандарт хэлбэрээр бичье.
y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)
y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)
Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??мин
Хос LP асуудлыг шийдэх анхны симплекс хүснэгтийг байгуулъя.
Симплекс аргын хоёр дахь алхам
Ингээд симплекс аргын 3-р алхамд y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12 гэсэн үр дүнгээр багасгах бодлогын оновчтой шийдийг олов. -ийн утгыг олохын тулд Давхар асуудлын зорилгын функцийг бид үндсэн болон чөлөөт хувьсагчдын олсон утгыг максимум функц болгон орлуулна.
Фmax = - Фмин = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12
Шууд болон давхар бодлогын зорилгын функцын утга давхцаж байгаа тул шууд бодлогын шийдэл олдож 12-той тэнцүү байна.
Fmin = Фmax = -12
7. Бүхэл тоон шугаман програмчлалын бодлогыг салбар-ба-хязгаарлалтын аргыг ашиглан шийдвэрлэх
Уламжлалт аргаар шийдвэрлэхэд бүхэл тооны нөхцөл хангагдахгүй байхаар анхны бодлогыг хувиргацгаая.
Бүхэл тооны програмчлалын асуудлын шийдлүүдийн анхны олон өнцөгт.
Хувирсан олон өнцөгт шийдлийн хувьд бид бүтээдэг шинэ системхязгаарлалт.
Хязгаарлалтын системийг алгебрийн аргаар шийдвэрлэх тэгш байдлын хэлбэрээр бичье.
Шийдлийн үр дүнд асуудлын оновчтой төлөвлөгөө олдсон: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Энэ шийдэл нь асуудалд тогтоосон бүхэл тооны нөхцөлийг хангахгүй байна. Анхны шийдлийн олон өнцөгтийг 3-р талбайг хасч хоёр хэсэгт хуваая Өөрчлөгдсөн асуудлын шийдлийн олон өнцөгт Уусмалын олон өнцөгтийн үүссэн хэсгүүдэд хязгаарлалтын шинэ системийг бий болгоцгооё. Зүүн хэсэг нь дөрвөлжин (трапец) юм. Уусмалын олон өнцөгтийн зүүн бүсийн хязгаарлалтын системийг доор үзүүлэв. Зүүн бүсийн хязгаарлалтын систем Баруун тал нь С цэгийг илэрхийлнэ. Зөв шийдвэр гаргах бүс нутгийн хязгаарлалтын системийг доор үзүүлэв. Шинэ хязгаарлалтын системүүд нь бие биенээсээ хамааралгүйгээр шийдвэрлэх шаардлагатай хоёр туслах асуудлыг төлөөлдөг. Шийдлийн олон өнцөгтийн зүүн мужид зориулсан бүхэл тооны програмчлалын бодлогыг шийдье. Шийдлийн үр дүнд асуудлын оновчтой төлөвлөгөө олдсон: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Энэхүү төлөвлөгөө нь асуудлын хувьсагчид бүхэл тоо байх нөхцөлийг хангасан бөгөөд анхны бүхэл тоон шугаман програмчлалын бодлогын оновчтой лавлагаа төлөвлөгөө болгон хүлээн зөвшөөрч болно. Зөв шийдлийн бүсийг шийдэх нь утгагүй юм. Доорх зурагт бүхэл тоон шугаман програмчлалын бодлогыг мод хэлбэрээр шийдвэрлэх явцыг харуулав. Гоморийн аргыг ашиглан бүхэл тоон шугаман програмчлалын бодлогыг шийдвэрлэх явц. Олон практик хэрэглээнд шугаман тэгш бус байдлын систем ба шугаман хэлбэрийг өгсөн бүхэл тооны програмчлалын бодлого ихээхэн сонирхол татдаг. (1) системийн бүхэл тооны шийдийг олох шаардлагатай бөгөөд энэ нь F зорилтын функцийг багасгадаг бөгөөд бүх коэффициентүүд нь бүхэл тоо юм. Бүхэл тоон програмчлалын асуудлыг шийдэх аргуудын нэгийг Гомори санал болгосон. Аргын санаа нь тасралтгүй шугаман програмчлалын аргууд, тухайлбал симплекс аргыг ашиглах явдал юм. 1) Симплекс аргыг ашиглан (1), (2) асуудлын шийдлийг тодорхойлж, бүхэл тооны шийдлийн шаардлагыг арилгана; хэрэв шийдэл нь бүхэл тоо болж хувирвал бүхэл тооны асуудлын хүссэн шийдийг мөн олох болно; 2) Үгүй бол, хэрэв зарим координат нь бүхэл тоо биш бол асуудлын үр дүнгийн шийдэл нь бүхэл тооны шийдэл байгаа эсэхийг шалгана (зөвшөөрөгдөх олон өнцөгт дэх бүхэл тоон цэгүүд): хэрэв бутархай чөлөөт гишүүнтэй аль нэг мөрөнд бусад бүх коэффициентүүд бүхэл тоо болж хувирвал зөвшөөрөгдөх олон өнцөгт дотор бүхэл тоо эсвэл цэг байхгүй бөгөөд бүхэл тооны програмчлалын асуудал шийдэлгүй болно; Үгүй бол нэмэлт шугаман хязгаарлалтыг нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь бүхэл тооны програмчлалын асуудлын шийдлийг олоход найдваргүй зөвшөөрөгдөх олон өнцөгтийн хэсгийг таслах болно; 3) Нэмэлт шугаман хязгаарлалт байгуулахын тулд бутархай чөлөөт гишүүнтэй l-р мөрийг сонгоод нэмэлт хязгаарлалтыг бичнэ үү. Энд ба нь тус тус коэффициентийн бутархай хэсэг ба чөлөөт гишүүн. (3) хязгаарлалтад туслах хувьсагчийг оруулъя: Хязгаарлалт (4)-д багтсан коэффициентүүдийг тодорхойлъё: хаана ба нь доороос хамгийн ойрын бүхэл тоонууд мөн. Хязгаарлагдмал тооны ижил төстэй алхмууд нь шийдэл нь бүхэл тоо, тиймээс хүссэн нэг болох шугаман програмчлалын асуудалд хүргэдэг гэдгийг Гомори нотолсон. Шийдэл: Шугаман хязгаарлалтын систем ба зорилгын функцийг каноник хэлбэрт оруулъя. Бүхэл тооны нөхцлөөс түр татгалзаж шугаман хязгаарлалтын системийн оновчтой шийдлийг тодорхойлъё. Үүний тулд бид симплекс аргыг ашигладаг. Асуудлын оновчтой шийдлийг олж авахын тулд асуудлын анхны шийдлийг хүснэгтэд дараалан харуулсан бөгөөд анхны хүснэгтийн хувиргалтыг үзүүлэв. Balazs аргыг ашиглан Boolean LP асуудлыг шийдвэрлэх. Дараах дүрмийг харгалзан Булийн хувьсагчтай бүхэл тоон шугаман програмчлалын бодлогын өөрийн хувилбарыг үүсгэнэ үү: бодлогод дор хаяж 5 хувьсагч, дор хаяж 4 хязгаарлалт, хязгаарлалтын коэффициент болон зорилгын функцийг дур мэдэн сонгосон, гэхдээ ийм тохиолдолд. хязгаарлалтын систем нийцтэй байх арга. Даалгавар бол Balazs алгоритмыг ашиглан Булийн хувьсагчтай LCLP-ийг шийдэж, цогц хайлтын аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлыг багасгах явдал юм. Хязгаарлалтын хэрэгжилт F утга Шүүлтүүрийн хязгаарлалт: Тооцооллын хүчин чармайлтын бууралтыг тодорхойлох Бүрэн хайлтын аргыг ашиглан асуудлыг шийдэх арга нь 6*25=192 тооцоолсон илэрхийлэл юм. Балазын аргыг ашиглан асуудлыг шийдэх арга нь 3*6+(25-3)=47 тооцоолсон илэрхийлэл юм. Бүрэн хайлтын аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлын нийт бууралт нь: Дүгнэлт Мэдээллийн шинэ технологийг хэрэгжүүлэх мэдээллийн системийг зохион бүтээх үйл явц байнга сайжирч байна. Системийн инженерүүдийн анхаарлын төвлөрөл нь нарийн төвөгтэй системүүдэд улам бүр нэмэгдэж байгаа нь физик загваруудыг ашиглахад хүндрэл учруулж, математик загвар болон системийн машин симуляцийн ач холбогдлыг нэмэгдүүлж байна. Машины симуляци нь нарийн төвөгтэй системийг судлах, зохион бүтээх үр дүнтэй хэрэгсэл болсон. Математик загваруудын хамаарал нь уян хатан байдал, бодит үйл явцад нийцсэн байдал, орчин үеийн компьютерт суурилсан хэрэгжүүлэх зардал бага зэргээс шалтгаалан тасралтгүй нэмэгдэж байна. Хэрэглэгчид, өөрөөр хэлбэл компьютерийн технологийг ашиглан системийг загварчлах мэргэжилтэн болох илүү олон боломжууд нээгдэж байна. Загварчлалыг ашиглах нь автоматжуулсан системийг зохион бүтээх эхний үе шатанд алдаатай шийдвэрийн өртөг хамгийн их байх үед үр дүнтэй байдаг. Орчин үеийн тооцоолох хэрэгслүүд нь системийг судлахад ашигладаг загваруудын нарийн төвөгтэй байдлыг мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлэх боломжийг олгосон бөгөөд бодит системд тохиолддог бүх хүчин зүйлийг харгалзан хослуулсан, аналитик, симуляцийн загваруудыг бий болгох боломжтой болсон. , судалж буй үзэгдэлд илүү тохирох загваруудыг ашиглах. Уран зохиол: 1. Лященко I.N. Шугаман ба шугаман бус програмчлал / И.Н.Лященко, Е.А.Карагодова, Н.В.Черникова, Н.З.Шор. - К.: "Ахлах сургууль", 1975, 372 х. 2. "Компьютерийн систем ба сүлжээ" мэргэжлээр суралцаж буй өдрийн болон цагийн ангийн оюутнуудад зориулсан "Хэрэглээний математик" сэдвээр курсын төслийг дуусгах заавар / Эмхэтгэсэн: Балакирева И.А., Скатков А.В. Хэвлэлийн газар, 2003. - 15 х. 3. “Хэрэглээний математик” хичээлийг судлах заавар, “Дэлхийн эрэл хайгуул ба нэг хэмжээст багасгах арга” хэсэг / Comp. А.В.Скатков, И.А.Балакирева, Л.А.Литвинова - Севастополь: СевГТУ хэвлэлийн газар, 2000. - 31 х. 4. "Компьютерийн систем ба сүлжээ" мэргэжлээр суралцаж буй оюутнуудад зориулсан "Хэрэглээний математик" хичээлийг өдрийн болон эчнээ сургалтын "Бүхэл тоон шугаман програмчлалын бодлого шийдвэрлэх" хэсэг / Эмхэтгэсэн: И.А.Балакирева, А.В.Скатков - Севастополь хот. : SevNTU-ийн хэвлэлийн газар, 2000. - 13 х. 5. Акулич И.Л. Жишээ ба бодлого дахь математик програмчлал: 6. Сурах бичиг эдийн засгийн оюутнуудад зориулсан тэтгэмж. мэргэжилтэн. их дээд сургуулиуд.-М.: Дээд. сургууль, 1986.- 319 х., өвчтэй. 7. Андронов С.А. Загварын оновчтой аргууд: Лекцийн текст / SPbSUAP. Санкт-Петербург, 2001. 169 х.: өвчтэй. Симплекс аргыг ашиглан шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм. Шугаман програмчлалын бодлогын математик загварыг бүтээх. Excel дээр шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх. Ашиг олох, үйлдвэрлэлийн оновчтой төлөвлөгөө. курсын ажил, 2012/03/21 нэмэгдсэн Графикийн асуудлыг шийдвэрлэх. Математик загвар гаргах. Зорилгын функцийн хамгийн их утгыг тодорхойлох. Канон шугаман програмчлалын асуудлын зохиомол суурьтай симплекс аргаар шийдвэрлэх. Шийдлийн оновчтой байдлыг шалгаж байна. туршилт, 2016 оны 04-05-нд нэмэгдсэн Шугаман програмчлалын онолын үндэс. Шугаман програмчлалын асуудал, шийдвэрлэх арга. Хамгийн оновчтой шийдлийн шинжилгээ. Нэг индекстэй шугаман програмчлалын асуудлын шийдэл. Асуудлын мэдэгдэл, өгөгдөл оруулах. Загвар бүтээх, шийдлийн үе шатууд. курсын ажил, 2008 оны 12-09-нд нэмэгдсэн Математик загвар бүтээх. Симплекс хүснэгт ашиглан шууд шугаман програмчлалын бодлогыг симплекс аргаар шийдвэрлэх аргыг сонгох, үндэслэл, тайлбар. Давхар асуудлын томъёолол, шийдэл. Загварын мэдрэмжийн шинжилгээ. курсын ажил, 2014/10/31 нэмэгдсэн Аж ахуйн нэгжид хамгийн их ашиг олохын тулд математик загварыг бий болгох, асуудлын график шийдэл. SOLVER нэмэлтийг ашиглан асуудлыг шийдэж байна. Нөөцийн нөөцийн өөрчлөлтөд дүн шинжилгээ хийх. Зорилгын функцийн коэффициентийг өөрчлөх хязгаарыг тодорхойлох. курсын ажил, 2014/12/17 нэмэгдсэн Математик програмчлал. Шугаман програмчлал. Шугаман програмчлалын асуудлууд. Шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх график арга. Шугаман програмчлалын бодлогын эдийн засгийн томъёолол. Математик загвар бүтээх. курсын ажил, 2008 оны 10-13-нд нэмэгдсэн Шугаман програмчлалын асуудлыг график аргаар шийдвэрлэх, MS Excel программ дээр шалгах. Програм дахь асуудлыг шийдвэрлэх дотоод бүтцийн шинжилгээ. Үйлдвэрлэлийн төлөвлөгөөг оновчтой болгох. Симплекс аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх. Олон сувгийн дарааллын систем. туршилт, 2012 оны 05-р сарын 02-нд нэмэгдсэн Симплекс аргыг ашиглан шугаман програмчлалын асуудлыг шийдвэрлэх: бодлогын тайлбар, эдийн засаг-математик загвар бүтээх. Боломжит аргыг ашиглан тээврийн асуудлыг шийдвэрлэх: анхны жишиг төлөвлөгөөг бий болгох, түүний оновчтой утгыг тодорхойлох. туршилт, 2012 оны 04-р сарын 11-нд нэмэгдсэн Шугаман бус програмчлалын асуудлын мэдэгдэл. Хөдөлгөөнгүй цэгүүд ба тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох. Түвшингийн шугам барих, зорилгын функц, хязгаарлалтын гурван хэмжээст график. Асуудлын график ба аналитик шийдэл. Хэрэглэгчийн гарын авлага, алгоритмын диаграм. курсын ажил, 2012/12/17 нэмэгдсэн Шугаман програмчлалын асуудлын шийдлийн шинжилгээ. Симплекс хүснэгт ашиглан симплекс арга. Компьютер дээр LP асуудлыг загварчлах, шийдвэрлэх. Асуудлын оновчтой шийдлийн эдийн засгийн тайлбар. Тээврийн асуудлын математик томъёолол. Гурав дахь мөрийг 5-тай тэнцүү гол элементээр хуваавал бид шинэ хүснэгтийн гурав дахь эгнээ авна. Үндсэн баганууд нь нэгж баганатай тохирч байна. Бусад хүснэгтийн утгыг тооцоолох: "АД - Үндсэн төлөвлөгөө": ; "x1": "x5": Индекс мөрийн утга нь сөрөг биш тул бид оновчтой шийдлийг олж авна: , ; Хариулт: 160/3 нэгжтэй тэнцэхүйц үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний борлуулалтаас олох хамгийн их ашиг нь зөвхөн 80/9 нэгжийн хоёр дахь төрлийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх замаар хангагдана. Шугаман бус програмчлалын бодлого өгөгдсөн. График-аналитик аргыг ашиглан зорилгын функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол. Лагранж функцийг зохиож, экстремум цэгүүдэд хамгийн бага (хамгийн их)-ийн хангалттай нөхцөл хангагдаж байгааг харуул. Учир нь шифрийн сүүлийн цифр нь 8, дараа нь A=2; B=5. Учир нь Шифрийн төгсгөлийн цифр нь 1 бол та 1-р даалгаврыг сонгох хэрэгтэй. Шийдэл: 1) Тэгш бус байдлын системээр тодорхойлсон талбайг зуръя. Энэ талбай нь оройн координаттай ABC гурвалжин: A(0; 2); B(4; 6) ба C(16/3; 14/3). Зорилгын функцын түвшин нь (2; 5) цэг дээр төвтэй тойрог юм. Радиусын квадратууд нь зорилгын функцийн утгууд байх болно. Дараа нь зураг нь зорилгын функцийн хамгийн бага утга нь H цэг дээр, хамгийн их нь - А цэг эсвэл С цэг дээр хүрдэг болохыг харуулж байна. А цэг дээрх зорилгын функцийн утга: ; С цэг дэх зорилгын функцийн утга: ; Энэ нь функцийн хамгийн их утга нь A(0; 2) цэгт хүрч, 13-тай тэнцүү байна гэсэн үг юм. H цэгийн координатыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд системийг авч үзье: Хэрэв тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй бол шулуун тойрогтой шүргэнэ. Квадрат тэгшитгэл нь дискриминант 0 бол өвөрмөц шийдэлтэй байна. 2) Хамгийн бага шийдийг олохын тулд Лагранжийн функцийг зохиоё. At x 1
=2.5;
x 2
=4.5
бид авах: Систем нь шийдэлтэй, i.e. экстремумын хангалттай нөхцөл хангагдсан байна. Хамгийн их шийдийг олохын тулд Лагранж функцийг зохиоё. Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөлүүд: At x 1
=0;
x 2
=2
бид авах: Систем нь бас шийдэлтэй, i.e. экстремумын хангалттай нөхцөл хангагдсан байна. Хариулт:үед зорилгын функцийн хамгийн багадаа хүрнэ хэмжээгээр хоёр аж ахуйн нэгжид хөрөнгө хуваарилсан гнэгж. Эхний үйлдвэрийг нэг жилийн хугацаатай хуваарилахдаа xнэгж хөрөнгийн орлого олдог к 1
xнэгж, мөн хоёр дахь аж ахуйн нэгжид хуваарилагдсан үед yнэгж хөрөнгө, энэ нь орлого өгдөг к 1
yнэгж. Эхний аж ахуйн нэгжийн жилийн эцсийн хөрөнгийн үлдэгдэл тэнцүү байна nx, хоёр дахь нь миний. Нийт орлого хамгийн их байхын тулд 4 жилийн хугацаанд бүх хөрөнгийг хэрхэн хуваарилах вэ? Динамик програмчлалын аргыг ашиглан асуудлыг шийднэ үү. i=8, k=1. A=2200; k 1 =6; k 2 =1; n=0.2; m=0.5. Шийдэл: Бид бүхэл бүтэн 4 жилийн хугацааг 4 үе шатанд хуваадаг бөгөөд тус бүр нь нэг жилтэй тэнцэнэ. Эхний жилээс эхлэн үе шатуудыг дугаарлая. Х-р үе шатанд А ба Б аж ахуйн нэгжүүдэд тус тус хуваарилагдсан хөрөнгийг X k, Y k гэж үзье. Дараа нь X k + Y k = a k нийлбэр нь k – тэр үе шатанд зарцуулсан хөрөнгийн нийт дүн ба өмнөх үеийн үлдэгдэл k – 1. эхний шатанд бүх хуваарилагдсан хөрөнгийг зарцуулж, 1 = 2200 нэгж байна. . X k ба Y k нэгжийг хуваарилснаар k – тэр үе шатанд хүлээн авах орлого нь 6X k + 1Y k болно. k-ээс эхлэн сүүлийн шатуудад хүлээн авсан хамгийн их орлогыг f k (a k) нэгж гэж үзье. Оновчтой байдлын зарчмыг илэрхийлсэн функциональ Беллманы тэгшитгэлийг бичье: анхны төлөв ба анхны шийдэл нь ямар ч байсан дараагийн шийдэл нь анхны төлөвийн үр дүнд олж авсан төлөвийн хувьд оновчтой байх ёстой. Үе шат бүрийн хувьд та X k утга, утгыг сонгох хэрэгтэй Yk=ак- Xк. Үүнийг харгалзан үзээд бид 5-р шатанд орлогыг олох болно. Беллманы функциональ тэгшитгэл нь: Сүүлийнхээс эхлээд бүх үе шатыг авч үзье. (х 4 = a 4 үед сегментийн төгсгөлд шугаман функцын хамгийн их утгад хүрдэг тул);
Үүнтэй төстэй баримт бичиг
;
; 
;
; 
.
.
Даалгавар №2
ó
ó 
Дараа нь 
; ; 
- функцийн хамгийн бага утга.
ó 
ó 
ó 
; ; үед зорилгын функцийн дээд хэмжээнд хүрнэ 
; .
Даалгавар №3
