Хувийн утга ба хувийн вектор. Матрицын хувийн утга ба хувийн векторууд

Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн СИСТЕМ

Нэг төрлийн систем шугаман тэгшитгэлхэлбэрийн систем гэж нэрлэдэг

Энэ тохиолдолд энэ нь тодорхой байна , учир нь Эдгээр тодорхойлогчдын аль нэг баганын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна.

Учир нь үл мэдэгдэх нь томьёоны дагуу олддог , дараа нь Δ ≠ 0 тохиолдолд систем нь өвөрмөц тэг шийдэлтэй байна x = y = z= 0. Гэсэн хэдий ч олон асуудалд сонирхолтой асуулт гарч ирдэг нэгэн төрлийн системтэгээс бусад шийдлүүд.

Теорем.Шугаман системийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэгээс өөр шийдэлтэй байсан бол Δ ≠ 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Тэгэхээр тодорхойлогч Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. Хэрэв Δ ≠ 0 бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем хязгааргүй тооны шийдтэй байна.

Жишээ.

Матрицын хувийн вектор ба хувийн утга

Квадрат матриц өгье , X– өндөр нь матрицын дараалалтай давхцдаг зарим матриц-багана А. .

Олон асуудалд бид тэгшитгэлийг авч үзэх хэрэгтэй X

Энд λ нь тодорхой тоо юм. Аливаа λ-ийн хувьд энэ тэгшитгэл нь тэг шийдэлтэй байх нь ойлгомжтой.

Энэ тэгшитгэл нь тэгээс өөр шийдэлтэй байх λ тоог нэрлэнэ хувийн утгаматрицууд А, А XУчир нь ийм λ гэж нэрлэдэг өөрийн векторматрицууд А.

Матрицын хувийн векторыг олъё А. Учир нь Э∙X = X, дараа нь матрицын тэгшитгэлийг дахин бичиж болно эсвэл . Өргөтгөсөн хэлбэрээр энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлийн систем болгон дахин бичиж болно. Үнэхээр .

Тиймээс

Тиймээс бид координатыг тодорхойлох нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авлаа x 1, x 2, x 3вектор X. Систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Энэ нь λ-ийн 3-р зэргийн тэгшитгэл юм. Энэ нь гэж нэрлэгддэг шинж чанарын тэгшитгэлматрицууд Аба λ-ийн хувийн утгыг тодорхойлоход үйлчилдэг.

Хувийн утга бүр λ нь хувийн вектортой тохирч байна X, тэдгээрийн координатууд нь системээс λ-ийн харгалзах утгаар тодорхойлогддог.

Жишээ.

ВЕКТОР АЛГЕБР. ВЕКТОРЫН ОЙЛГОЛТ

Физикийн янз бүрийн салбарыг судлахдаа урт, талбай, масс, температур гэх мэт тоон утгыг зааж өгөх замаар бүрэн тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнүүд байдаг. Ийм хэмжигдэхүүнийг скаляр гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч тэдгээрээс гадна тоон утгаас гадна тэдгээрийн орон зай дахь чиглэлийг мэдэх шаардлагатай хэмжигдэхүүнүүд байдаг, тухайлбал, биед үйлчлэх хүч, хурд, хурдатгал зэргийг мэдэх шаардлагатай. орон зайд шилжих үед бие, хурцадмал байдал соронзон оронорон зайн өгөгдсөн цэгт гэх мэт. Ийм хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Бид хатуу тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Чиглүүлсэн сегментТөгсгөлд нь аль нь эхний, аль нь хоёрдугаарт байгаа нь тодорхой болсон сегментийг дуудъя.

Вектортодорхой урттай чиглэсэн сегмент гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. Энэ бол тодорхой урттай сегмент бөгөөд үүнийг хязгаарлах цэгүүдийн нэгийг эхлэл, хоёр дахь нь төгсгөл гэж авдаг. Хэрэв А- векторын эхлэл; Бтүүний төгсгөл бол векторыг тэмдэгээр тэмдэглэдэг бөгөөд векторыг ихэвчлэн нэг үсгээр тэмдэглэдэг. Зураг дээр векторыг сегментээр, чиглэлийг сумаар зааж өгсөн болно.

Модульэсвэл уртВекторыг түүнийг тодорхойлсон чиглүүлсэн сегментийн урт гэж нэрлэдэг. ||-ээр тэмдэглэнэ эсвэл ||.

Бид мөн эхлэл ба төгсгөл нь давхцаж байгаа тэг векторыг вектор болгон оруулах болно. Энэ нь томилогдсон. Тэг вектор нь тодорхой чиглэлгүй бөгөөд модуль нь тэг ||=0 байна.

Векторуудыг дууддаг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг мөрөнд эсвэл зэрэгцээ шугам дээр байрладаг бол. Түүнээс гадна, хэрэв ба векторууд нэг чиглэлд байвал бид эсрэгээр нь бичнэ.

Нэг хавтгайд параллель шулуун шугам дээр байрлах векторуудыг нэрлэдэг хавтгай.

Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал ижил чиглэлтэй, урт нь тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд тэд бичдэг.

Векторуудын тэгш байдлын тодорхойлолтоос үзэхэд векторыг сансар огторгуйн аль ч цэгт гарал үүслийг нь байрлуулж, өөртэйгөө параллель зөөвөрлөх боломжтой.

Жишээлбэл.

ВЕКТОР ДЭЭР ШУГААН ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА

1. Векторыг тоогоор үржүүлэх.

   Вектор ба λ тооны үржвэр нь шинэ вектор бөгөөд дараах байдалтай байна.

   Вектор ба λ тооны үржвэрийг -ээр тэмдэглэнэ.

   

   Жишээлбэл,вектортой ижил чиглэлд чиглэсэн, векторын хагасын урттай вектор байна.

   Оруулсан үйл ажиллагаа нь дараах байдалтай байна шинж чанарууд:

2. Вектор нэмэх.

   Дурын хоёр вектор ба байг. Дурын нэг цэгийг авч үзье Оба вектор барих. Үүний дараа цэгээс Авекторыг хойш тавья. Эхний векторын эхлэлийг хоёр дахь векторын төгсгөлтэй холбосон векторыг нэрлэнэ хэмжээЭдгээр векторуудын ба тэмдэглэсэн байна .

   

   Вектор нэмэхийн томъёолсон тодорхойлолтыг нэрлэдэг параллелограммын дүрэм, учир нь ижил векторуудын нийлбэрийг дараах байдлаар авч болно. Асуудлаас хойш хойшлуулъя Овекторууд ба . Эдгээр векторууд дээр параллелограмм байгуулъя OABC. Векторууд тул оройноос татсан параллелограммын диагональ болох вектор болно О, векторуудын нийлбэр байх нь ойлгомжтой.

   

   Дараахь зүйлийг шалгахад хялбар байдаг вектор нэмэх шинж чанарууд.

3. Вектор ялгаа.

   Өгөгдсөн вектортой ижил урттай, эсрэг чиглэлтэй коллинеар векторыг гэнэ эсрэгвекторын хувьд вектор бөгөөд -ээр тэмдэглэнэ. Эсрэг векторыг векторыг λ = –1: тоогоор үржүүлсний үр дүн гэж үзэж болно.

Тодорхойлолт 9.3.Вектор X дуудсан өөрийн векторматрицууд А, хэрэв ийм тоо байгаа бол λ, Энэ тэгш байдал нь: А X= λ X, гэж өргөдөл гаргасны үр дүн X матрицаар тодорхойлсон шугаман хувиргалт А, нь энэ векторыг тоогоор үржүүлэх явдал юм λ . Тоо нь өөрөө λ дуудсан хувийн утгаматрицууд А.

Томъёонд орлуулах (9.3) x` j = λx j ,Бид хувийн векторын координатыг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.

. (9.5)

Энэхүү шугаман нэгэн төрлийн систем нь үндсэн тодорхойлогч нь 0 (Крамерын дүрэм) байвал л чухал бус шийдэлтэй байх болно. Энэ нөхцлийг дараах хэлбэрээр бичвэл:

бид хувийн утгыг тодорхойлох тэгшитгэлийг олж авна λ , дуудсан шинж чанарын тэгшитгэл. Товчхондоо үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

| A - λE | = 0, (9.6)

Учир нь түүний зүүн тал нь матрицын тодорхойлогчийг агуулдаг A-λE. Олон гишүүнт харьцангуй λ | A - λE| дуудсан онцлог олон гишүүнтматрицууд А.

Онцлог олон гишүүнтийн шинж чанарууд:

1) Шугаман хувиргалтын шинж чанарын олон гишүүнт нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй. Баталгаа. (9.4-ийг үзнэ үү), гэхдээ иймээс, . Тиймээс энэ нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй. Энэ нь | A-λE| шинэ суурь руу шилжихэд өөрчлөгдөхгүй.

2) Хэрэв матриц Ашугаман хувиргалт юм тэгш хэмтэй(тэдгээр. мөн ij =a ji), тэгвэл (9.6) шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх үндэс нь бодит тоо байна.

Хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд:

1) Хэрэв та хувийн векторуудаас суурийг сонговол x 1, x 2, x 3 , хувийн утгатай харгалзах λ 1, λ 2, λ 3матрицууд А, тэгвэл энэ үндсэн дээр шугаман хувиргалт А нь диагональ хэлбэрийн матрицтай байна:

(9.7) Энэ өмчийн баталгаа нь хувийн векторуудын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

2) Хэрэв өөрчлөлтийн хувийн утгууд Аялгаатай бол тэдгээрийн харгалзах хувийн векторууд нь шугаман бие даасан байна.

3) Хэрэв матрицын шинж чанарын олон гишүүнт Агуравтай янз бүрийн үндэс, дараа нь ямар нэгэн үндэслэлээр матриц Адиагональ хэлбэртэй байна.

Матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олцгооё. шинж чанарын тэгшитгэл: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Олдсон утга бүрт тохирох хувийн векторуудын координатыг олъё λ. (9.5)-аас үзвэл хэрэв X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) – харгалзах хувийн вектор λ 1 =-2, тэгвэл

- хамтын ажиллагааны боловч тодорхойгүй тогтолцоо. Үүний шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно X (1) ={а,0,-а), энд a нь дурын тоо юм. Ялангуяа, хэрэв бид үүнийг шаарддаг бол | x (1) |=1, X (1) =

Системд орлуулах (9.5) λ 2 =3, бид хоёр дахь хувийн векторын координатыг тодорхойлох системийг олж авна - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, хаана X (2) ={б,-б, б) эсвэл, өгсөн | x (2) |=1, x (2) =

Учир нь λ 3 = 6 хувийн векторыг ол x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={в,2c,c) эсвэл хэвийн болгосон хувилбарт

x (3) = Үүнийг анзаарч болно X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = МЭӨ- 2МЭӨ + МЭӨ= 0. Иймд энэ матрицын хувийн векторууд хос ортогональ байна.

Лекц 10.

Квадрат хэлбэр ба тэдгээрийн тэгш хэмтэй матрицтай холбоо. Тэгш хэмт матрицын хувийн вектор ба хувийн утгуудын шинж чанарууд. Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах.

Тодорхойлолт 10.1.Квадрат хэлбэрбодит хувьсагч x 1, x 2,…, x nэдгээр хувьсагчдад нэгдүгээр зэргийн чөлөөт гишүүн, гишүүнчлэл агуулаагүй хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт гэж нэрлэдэг.

Квадрат хэлбэрийн жишээ:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Сүүлийн лекцэд өгсөн тэгш хэмтэй матрицын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Тодорхойлолт 10.2.Квадрат матриц гэж нэрлэдэг тэгш хэмтэй, хэрэв , өөрөөр хэлбэл, үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матрицын элементүүд тэнцүү байвал.

Тэгш хэмт матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудын шинж чанарууд:

1) Тэгш хэмт матрицын бүх хувийн утга бодит байна.

Нотолгоо (for n = 2).

Матрицыг үзье Ахэлбэртэй байна: . Онцлог тэгшитгэлийг байгуулъя:

(10.2) Ялгаварлагчийг олцгооё:

Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн бодит үндэстэй.

2) Өвөрмөц векторуудтэгш хэмтэй матрицууд нь ортогональ байна.

Нотолгоо (for n= 2).

Өвөрмөц векторуудын координат ба тэгшитгэлийг хангах ёстой.

www.siteолох боломжийг танд олгоно. Энэ сайт нь тооцоолол хийдэг. Хэдэн секундын дараа сервер зөв шийдлийг өгөх болно. Матрицын шинж чанарын тэгшитгэлбайх болно алгебрийн илэрхийлэл, тодорхойлогчийг тооцоолох дүрмээр олно матрицууд матрицууд, гол диагональ дагуу диагональ элементүүд болон хувьсагчийн утгуудын ялгаа байх болно. Тооцоолох үед матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайн, элемент бүр матрицуудхаргалзах бусад элементүүдээр үржүүлнэ матрицууд. горимд хайх онлайнзөвхөн квадратад л боломжтой матрицууд. Хайлтын ажиллагаа матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайнэлементүүдийн үржвэрийн алгебрийн нийлбэрийг тооцоолох хүртэл бууруулна матрицуудтодорхойлогчийг олсны үр дүнд матрицууд, зөвхөн тодорхойлох зорилгоор матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайн. Энэ ажиллагааонолын хувьд онцгой байр суурь эзэлдэг матрицууд, үндэс ашиглан хувийн утга ба векторуудыг олох боломжийг танд олгоно. олох даалгавар матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайнүржүүлэх элементүүдээс бүрдэнэ матрицууддараа нь эдгээр бүтээгдэхүүнийг тодорхой дүрмийн дагуу нэгтгэн дүгнэнэ. www.siteолдог матрицын шинж чанарын тэгшитгэлгоримд өгөгдсөн хэмжээс онлайн. Тооцоолол матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайнхэмжигдэхүүнийг харгалзан энэ нь тодорхойлогчийг тооцоолох дүрмийн дагуу олдсон тоон эсвэл симболын коэффициент бүхий олон гишүүнтийг олох явдал юм. матрицууд- харгалзах элементүүдийн бүтээгдэхүүний нийлбэрээр матрицууд, зөвхөн тодорхойлох зорилгоор матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайн. Квадрат хувьсагчийн хувьд олон гишүүнтийг олох матрицууд, тодорхойлолт болгон матрицын шинж чанарын тэгшитгэл, онолын хувьд нийтлэг байдаг матрицууд. Олон гишүүнтийн язгуурын утга матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайнхувийн вектор ба хувийн утгыг тодорхойлоход ашигладаг матрицууд. Түүнээс гадна тодорхойлогч бол матрицуудтэгтэй тэнцүү байх болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэлурвуу байдлаас ялгаатай нь хэвээр байх болно матрицууд. Тооцоолохын тулд матрицын шинж чанарын тэгшитгэлэсвэл нэг дор хэд хэдэн хайж олох матрицын шинж чанарын тэгшитгэл, та маш их цаг хугацаа, хүчин чармайлт гаргах хэрэгтэй, харин манай сервер хэдхэн секундын дотор олох болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Энэ тохиолдолд олох хариулт матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайнолох үед тоо байсан ч гэсэн зөв, хангалттай нарийвчлалтай байх болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайнүндэслэлгүй байх болно. Сайт дээр www.siteэлементүүдэд тэмдэгт оруулахыг зөвшөөрдөг матрицууд, тэр бол матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнтооцоолохдоо ерөнхий бэлгэдлийн хэлбэрээр илэрхийлж болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Олж олох асуудлыг шийдэхдээ олж авсан хариултыг шалгах нь ашигтай байдаг матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайнсайтыг ашиглан www.site. Олон гишүүнтийг тооцоолох үйлдлийг гүйцэтгэх үед - матрицын шинж чанарын тэгшитгэл, та энэ асуудлыг шийдэхдээ болгоомжтой, онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Хариуд нь манай сайт тухайн сэдвээр шийдвэрээ шалгахад тань туслах болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Хэрэв та шийдэгдсэн асуудлуудыг удаан хугацаанд шалгаж үзэх цаг байхгүй бол www.siteолох, тооцоолохдоо шалгахад тохиромжтой хэрэгсэл байх нь дамжиггүй матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг онлайн.

Квадрат матрицын хувийн вектор нь өгөгдсөн матрицаар үржүүлснээр коллинеар вектор гарч ирдэг. Энгийн үгээр хэлбэл, матрицыг хувийн вектороор үржүүлэхэд сүүлийнх нь хэвээр байх боловч тодорхой тоогоор үржүүлнэ.

Тодорхойлолт

Өвөрмөц вектор нь тэг биш V вектор бөгөөд M квадрат матрицаар үржүүлснээр өөрөө λ тоогоор нэмэгддэг. Алгебрийн тэмдэглэгээнд дараах байдлаар харагдана.

M × V = λ × V,

Энд λ нь M матрицын хувийн утга юм.

Ингээд авч үзье тоон жишээ. Бичлэг хийхэд хялбар болгох үүднээс матриц дахь тоонуудыг цэг таслалаар тусгаарлана. Бид матрицтай болцгооё:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Үүнийг баганын вектороор үржүүлье:

• V = -2;

Матрицыг баганын вектороор үржүүлэхэд мөн баганын вектор гарч ирнэ. Хатуу математик хэл 2 × 2 матрицыг баганын вектороор үржүүлэх томъёо дараах байдалтай байна.

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 нь эхний мөр, эхний баганад байрлах M матрицын элементийг, M22 нь хоёр дахь мөр, хоёрдугаар баганад байрлах элементийг хэлнэ. Манай матрицын хувьд эдгээр элементүүд нь M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10-тай тэнцүү байна. Баганын векторын хувьд эдгээр утгууд нь V11 = –2, V21 = 1-тэй тэнцүү байна. Энэ томьёоны дагуу, квадрат матрицыг вектороор үржүүлсний дараах үр дүнг бид авна.

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Тохиромжтой болгохын тулд баганын векторыг мөр болгон бичье. Тиймээс бид квадрат матрицыг вектороор (-2; 1) үржүүлснээр вектор (4; -2) гарлаа. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь λ = -2-оор үржүүлсэн ижил вектор юм. Ламбда орж байна энэ тохиолдолдматрицын хувийн утгыг илэрхийлнэ.

Матрицын хувийн вектор нь коллинеар вектор, өөрөөр хэлбэл матрицаар үржүүлснээр орон зай дахь байрлал өөрчлөгддөггүй объект юм. Вектор алгебр дахь коллинеарийн тухай ойлголт нь геометрийн параллелизм гэсэн нэр томъёотой төстэй юм. Геометрийн тайлбарт коллинеар векторууд нь өөр өөр урттай зэрэгцээ чиглэсэн сегментүүд юм. Евклидийн үеэс хойш бид нэг мөрөнд түүнтэй параллель хязгааргүй олон шулуун байдгийг мэддэг тул матриц бүр хязгааргүй тооны хувийн вектортой гэж үзэх нь логик юм.

Өмнөх жишээнээс харахад хувийн векторууд нь (-8; 4), (16; -8), (32, -16) байж болно. Эдгээр нь бүгд λ = -2 хувийн утгад тохирох коллинеар векторууд юм. Анхны матрицыг эдгээр векторуудаар үржүүлэхэд бид анхныхаас 2 дахин ялгаатай вектортой байх болно. Ийм учраас хувийн векторыг олох асуудлыг шийдэхдээ зөвхөн шугаман бие даасан вектор объектуудыг олох шаардлагатай болдог. Ихэнх тохиолдолд n × n матрицын хувьд n тооны хувийн вектор байдаг. Манай тооцоолуур нь хоёр дахь дарааллын квадрат матрицыг шинжлэхэд зориулагдсан тул үр дүн нь давхцахаас бусад тохиолдолд бараг үргэлж хоёр хувийн векторыг олох болно.

Дээрх жишээн дээр бид анхны матрицын хувийн векторыг урьдчилан мэдэж, ламбдагийн тоог тодорхой тодорхойлсон. Гэсэн хэдий ч практик дээр бүх зүйл эсрэгээрээ тохиолддог: эхлээд хувийн утгууд, дараа нь хувийн векторууд олддог.

Шийдлийн алгоритм

Анхны M матрицыг дахин харж, түүний хувийн векторуудыг хоёуланг нь олохыг хичээцгээе. Тиймээс матриц дараах байдалтай байна.

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Эхлээд бид λ хувийн утгыг тодорхойлох шаардлагатай бөгөөд үүнд дараах матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох шаардлагатай.

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Энэхүү матрицыг үндсэн диагональ дээрх элементүүдээс үл мэдэгдэх λ-ийг хасч гаргана. Тодорхойлогчийг стандарт томъёогоор тодорхойлно:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Бидний вектор тэгээс өөр байх ёстой тул бид үүссэн тэгшитгэлийг шугаман хамааралтай гэж хүлээн авч, тодорхойлогч detA-г тэгтэй тэнцүүлнэ.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Хаалтуудыг нээж, матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг авцгаая.

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Энэ бол стандарт юм квадрат тэгшитгэл, үүнийг ялгаварлагчаар дамжуулан шийдвэрлэх шаардлагатай.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Дискриминантийн язгуур нь sqrt(D) = 14, тиймээс λ1 = -2, λ2 = 12. Одоо lambda утга бүрийн хувьд бид хувийн векторыг олох хэрэгтэй. λ = -2 системийн коэффициентийг илэрхийлье.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Энэ томъёонд E нь таних матриц юм. Үүссэн матриц дээр үндэслэн бид шугаман тэгшитгэлийн системийг бий болгодог.

2x + 4y = 6x + 12y,

Энд x ба у нь хувийн вектор элементүүд юм.

Зүүн талд байгаа бүх X, баруун талд байгаа бүх Y-г цуглуулцгаая. Мэдээжийн хэрэг - 4x = 8y. Илэрхийлэлийг - 4-т хувааж, x = –2y-г авна. Одоо бид үл мэдэгдэх бүх утгыг авч матрицын эхний хувийн векторыг тодорхойлж болно (шугаман хамааралтай хувийн векторуудын хязгааргүйг санаарай). y = 1, тэгвэл x = –2 гэж авъя. Тиймээс эхний хувийн вектор нь V1 = (–2; 1) шиг харагдаж байна. Өгүүллийн эхэнд буцах. Чухамхүү энэ вектор объектыг бид матрицыг үржүүлж, хувийн векторын тухай ойлголтыг харуулсан.

Одоо λ = 12-ын хувийн векторыг олъё.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Шугаман тэгшитгэлийн ижил системийг байгуулъя;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3х = у.

Одоо бид x = 1 гэж авна, тиймээс у = 3. Тиймээс хоёр дахь хувийн вектор нь V2 = (1; 3) шиг харагдаж байна. Анхны матрицыг өгөгдсөн вектороор үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж ижил векторыг 12-оор үржүүлнэ. Энд шийдлийн алгоритм дуусна. Одоо та матрицын хувийн векторыг гараар хэрхэн тодорхойлохыг мэддэг болсон.

• тодорхойлогч;
• ул мөр, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн нийлбэр;
• зэрэглэл, өөрөөр хэлбэл шугаман бие даасан мөр/баганын хамгийн их тоо.

Хөтөлбөр нь дээрх алгоритмын дагуу ажиллаж, шийдлийн процессыг аль болох богиносгодог. Хөтөлбөрт lambda-г "c" үсгээр тэмдэглэсэн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тоон жишээг авч үзье.

Програм хэрхэн ажилладаг тухай жишээ

Дараах матрицын хувийн векторуудыг тодорхойлохыг хичээцгээе.

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Эдгээр утгыг тооцоолуурын нүдэнд оруулаад дараах хэлбэрээр хариултыг авцгаая.

• Матрицын зэрэглэл: 2;
• Матриц тодорхойлогч: 18;
• Матрицын мөр: 19;
• Өвөрмөц векторын тооцоо: c 2 − 19.00c + 18.00 (шинжийн тэгшитгэл);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 18 (эхний ламбда утга);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 1 (хоёр дахь ламбда утга);
• 1-р векторын тэгшитгэлийн систем: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• 2-р векторын тэгшитгэлийн систем: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Өвөрмөц вектор 1: (1; 1);
• Өвөрмөц вектор 2: (-3.25; 1).

Тиймээс бид хоёр шугаман бие даасан хувийн векторыг олж авсан.

Дүгнэлт

Шугаман алгебр ба аналитик геометр нь инженерийн чиглэлээр 1-р курсын оюутнуудад зориулсан стандарт хичээл юм. Олон тооны вектор, матрицууд нь аймшигтай бөгөөд ийм нүсэр тооцоололд алдаа гаргахад хялбар байдаг. Манай программ нь оюутнуудад тооцоогоо шалгах эсвэл хувийн векторыг олох асуудлыг автоматаар шийдэх боломжийг олгоно. Манай каталогид бусад шугаман алгебр тооцоолуурууд байдаг.