А матрицын хувьд AX = lX байх l тоо байвал.

Энэ тохиолдолд l тоог дуудна хувийн утга X векторт харгалзах оператор (А матриц).

Өөрөөр хэлбэл, өөрийн вектор нь шугаман операторын үйлчлэлээр коллинеар вектор болж хувирдаг вектор, өөрөөр хэлбэл. зүгээр л хэдэн тоогоор үржүүл. Үүний эсрэгээр, зохисгүй векторуудыг хувиргахад илүү төвөгтэй байдаг.

Хувийн векторын тодорхойлолтыг тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр бичье.

Бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлье:

Сүүлчийн системийг матриц хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

(A - lE)X = O

Үүссэн систем нь үргэлж тэг шийдэлтэй X = O. Бүх чөлөөт гишүүн нь тэгтэй тэнцүү ийм системийг гэнэ. нэгэн төрлийн. Хэрэв ийм системийн матриц нь квадрат бөгөөд тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол Крамерын томъёог ашиглан бид үргэлж өвөрмөц шийдлийг авах болно - тэг. Энэ матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л систем тэгээс өөр шийдлүүдтэй болохыг баталж болно.

|A - lE| = = 0

Үл мэдэгдэх l-тэй энэ тэгшитгэлийг гэнэ шинж чанарын тэгшитгэл (онцлог олон гишүүнт) матриц А (шугаман оператор).

Шугаман операторын шинж чанарын олон гишүүнт нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй гэдгийг баталж болно.

Жишээлбэл, A = матрицаар тодорхойлогдсон шугаман операторын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олъё.

Үүнийг хийхийн тулд зохиоё шинж чанарын тэгшитгэл|A - lE| = = (1 - л) 2 - 36 = 1 - 2л + л 2 - 36 = л 2 - 2л - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; хувийн утга l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Өвөрмөц векторуудыг олохын тулд бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийддэг

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Тэдний эхнийх нь хувьд өргөтгөсөн матриц хэлбэрийг авдаг

,

эндээс x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)с, өөрөөр хэлбэл. X (1) = (-(2/3)с; с).

Тэдний хоёр дахь нь өргөтгөсөн матриц хэлбэрийг авдаг

,

эндээс x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, i.e. X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Иймд энэ шугаман операторын хувийн векторууд нь хувийн утгатай (-5) (-(2/3)с; с) хэлбэрийн бүх векторууд ба ((2/3)с 1 ; с 1) хэлбэрийн бүх векторууд юм. хувийн утга 7.

А операторын матриц нь түүний хувийн векторуудаас бүрдэх суурь нь диагональ бөгөөд дараах хэлбэртэй болохыг баталж болно.

,

Энд l i нь энэ матрицын хувийн утга юм.

Үүний эсрэгээр нь бас үнэн: хэрэв зарим суурь дахь А матриц диагональ байвал энэ суурийн бүх векторууд нь энэ матрицын хувийн векторууд болно.

Хэрэв шугаман оператор нь n хос хосолсон хувийн утгатай бол харгалзах хувийн векторууд нь шугаман хамааралгүй, харгалзах суурь дахь энэ операторын матриц диагональ хэлбэртэй болохыг баталж болно.

Үүнийг өмнөх жишээгээр тайлбарлая. X (1) ба X (2) векторууд нь шугаман хамааралгүй байхаар дурын тэг биш c ба c 1 утгуудыг авч үзье. суурь бүрдүүлэх болно. Жишээлбэл, c = c 1 = 3, дараа нь X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Баталгаажуулъя шугаман бие даасан байдалЭдгээр векторууд:

12 ≠ 0. Энэхүү шинэ суурь дээр А матриц нь A * = хэлбэрийг авна.

Үүнийг батлахын тулд A * = C -1 AC томъёог ашиглая. Эхлээд C -1-ийг олъё.

C -1 = ;

Квадрат хэлбэрүүд

Квадрат хэлбэр n хувьсагчийн f(x 1, x 2, x n)-ийг нийлбэр гэж нэрлэдэг бөгөөд гишүүн бүр нь аль нэг хувьсагчийн квадрат, эсвэл тодорхой коэффициентээр авсан хоёр өөр хувьсагчийн үржвэр юм: f(x 1) , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Эдгээр коэффициентуудаас бүрдэх А матрицыг нэрлэнэ матрицквадрат хэлбэр. Үргэлж л байдаг тэгш хэмтэйматриц (өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матриц, a ij = a ji).

Матрицын тэмдэглэгээнд квадрат хэлбэр нь f(X) = X T AX, энд байна

Үнэхээр

Жишээлбэл, квадрат хэлбэрийг матриц хэлбэрээр бичье.

Үүнийг хийхийн тулд бид квадрат хэлбэрийн матрицыг олдог. Түүний диагональ элементүүд нь квадрат хувьсагчийн коэффициентүүдтэй тэнцүү, үлдсэн элементүүд нь квадрат хэлбэрийн харгалзах коэффициентүүдийн хагастай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

Y матриц баганын доройтоогүй шугаман хувиргалтаар Х хувьсагчийн матриц-баганыг олъё, өөрөөр хэлбэл. X = CY, энд C нь n-р эрэмбийн ганц биш матриц юм. Дараа нь f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y квадрат хэлбэр.

Ийнхүү доройтдоггүй шугаман C хувиргалтаар квадрат хэлбэрийн матриц нь дараах хэлбэртэй байна: A * = C T AC.

Жишээлбэл, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрээс авсан f(y 1, y 2) квадрат хэлбэрийг шугаман хувиргалтаар олъё.

Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг каноник(Байсан каноник үзэл), хэрэв i ≠ j-ийн хувьд түүний бүх коэффициент a ij = 0 бол i.e.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Түүний матриц нь диагональ юм.

Теорем(нотолгоо энд өгөөгүй). Ямар ч квадрат хэлбэрийг доройтдоггүй шугаман хувиргалтыг ашиглан каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээлбэл, квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэр болгон бууруулъя
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд сонгоно төгс дөрвөлжин x 1 хувьсагчтай:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5х 2 2 - х 2 х 3.

Одоо бид x 2 хувьсагчтай бүтэн квадратыг сонгоно.

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Дараа нь доройтдоггүй шугаман хувиргалт y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 and y 3 = x 3 нь энэ квадрат хэлбэрийг f(y 1, y 2) каноник хэлбэрт авчирдаг. , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Квадрат хэлбэрийн каноник хэлбэр нь хоёрдмол утгатай болохыг анхаарна уу (ижил квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэр болгон бууруулж болно. янз бүрийн арга замууд). Гэсэн хэдий ч хүлээн авсан янз бүрийн арга замуудканоник хэлбэрүүд нь хэд хэдэн ерөнхий шинж чанартай байдаг. Ялангуяа квадрат хэлбэрийн эерэг (сөрөг) коэффициент бүхий нэр томъёоны тоо нь хэлбэрийг энэ хэлбэрт оруулах аргаас хамаардаггүй (жишээлбэл, авч үзсэн жишээнд үргэлж хоёр сөрөг, нэг эерэг коэффициент байх болно). Энэ шинж чанарыг квадрат хэлбэрийн инерцийн хууль гэж нэрлэдэг.

Ижил квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт өөр аргаар авчрах замаар үүнийг баталгаажуулцгаая. Өөрчлөлтийг x 2 хувьсагчаар эхлүүлье:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, энд y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ба y 3 = x 1. Энд y 1 үед сөрөг коэффициент -3, y 2 ба y 3 үед хоёр эерэг коэффициент 3 ба 2 байна (мөн өөр аргыг ашиглан бид y 2 үед сөрөг коэффициент (-5), хоёр эерэг коэффициентийг авсан: y 1 дээр 2. ба y 3 дахь 1/20).

Түүнчлэн квадрат хэлбэрийн матрицын зэрэглэл гэж нэрлэгддэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй квадрат хэлбэрийн зэрэглэл, нь каноник хэлбэрийн тэгээс өөр коэффициентүүдийн тоотой тэнцүү бөгөөд шугаман хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй.

f(X) квадрат хэлбэрийг нэрлэнэ эерэгээр (сөрөг) тодорхой, хэрэв хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол энэ нь эерэг байна, өөрөөр хэлбэл. f(X) > 0 (сөрөг, өөрөөр хэлбэл.
f(X)< 0).

Жишээлбэл, f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой, учир нь квадратуудын нийлбэр бөгөөд квадрат хэлбэр f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 сөрөг тодорхойлогддог, учир нь үүнийг f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Ихэнх практик нөхцөлд квадрат хэлбэрийн тодорхой тэмдгийг тогтоох нь арай илүү хэцүү байдаг тул үүний тулд бид дараах теоремуудын аль нэгийг ашигладаг (бид тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр томъёолох болно).

Теорем. Квадрат хэлбэр нь түүний матрицын бүх хувийн утга эерэг (сөрөг) байвал эерэг (сөрөг) тодорхой байна.

Теорем(Сильвестерийн шалгуур). Энэ хэлбэрийн матрицын бүх тэргүүлэх жижиг хэсгүүд эерэг байвал квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой байна.

Үндсэн (булангийн) бага n-р эрэмбийн k-р эрэмбийн А матрицыг матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг ба А матрицын эхний k мөр, баганаас бүрдэх ().

Сөрөг тодорхой квадрат хэлбэрийн хувьд үндсэн насанд хүрээгүй тэмдэгтүүд ээлжлэн солигдох ба эхний эрэмбийн бага нь сөрөг байх ёстойг анхаарна уу.

Жишээ нь, f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг тэмдгийн тодорхой байдлын үүднээс авч үзье.

= (2 - л)*
*(3 - л) - 4 = (6 - 2л - 3л + л 2) - 4 = л 2 - 5л + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Тиймээс квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхойлогддог.

Арга 2. A D 1 = a 11 = 2 > 0. Хоёрдугаар эрэмбийн үндсэн минор D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Иймд Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхой.

Бид тэмдгийн тодорхой байдлын өөр квадрат хэлбэрийг шалгадаг, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлог тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна = (-2 - л)*
*(-3 - л) - 4 = (6 + 2л + 3л + л 2) - 4 = л 2 + 5л + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Тиймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхойлогддог.

Арга 2. A D 1 = a 11 = эхний эрэмбийн матрицын үндсэн минор
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Иймээс, Сильвестерийн шалгуурын дагуу квадрат хэлбэр нь сөрөг тодорхой (хасахаас эхлээд үндсэн насанд хүрээгүй хүмүүсийн тэмдэг ээлжлэн солигдоно).

Мөн өөр нэг жишээ болгон бид тэмдгээр тодорхойлогдсон f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 квадрат хэлбэрийг судалж байна.

Арга 1. А = квадрат хэлбэрийн матрицыг байгуулъя. Онцлог тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна = (2 - л)*
*(-3 - л) - 4 = (-6 - 2л + 3л + л 2) - 4 = л 2 + л - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Эдгээр тоонуудын нэг нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байна. Хувийн утгын шинж тэмдгүүд нь өөр өөр байдаг. Иймээс квадрат хэлбэр нь сөрөг ч, эерэг ч тодорхой байж болохгүй, i.e. Энэ квадрат хэлбэр нь тодорхой тэмдэгт биш (энэ нь ямар ч тэмдгийн утгыг авч болно).

Арга 2. А матрицын нэгдүгээр эрэмбийн үндсэн минор D 1 = a 11 = 2 > 0. Хоёрдугаар эрэмбийн минор D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн СИСТЕМ

Нэг төрлийн систем шугаман тэгшитгэлхэлбэрийн систем гэж нэрлэдэг

Энэ тохиолдолд энэ нь тодорхой байна , учир нь Эдгээр тодорхойлогчдын аль нэг баганын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна.

Үл мэдэгдэх нь томьёоны дагуу олддог тул , дараа нь Δ ≠ 0 тохиолдолд систем нь өвөрмөц тэг шийдэлтэй байна x = y = z= 0. Гэсэн хэдий ч олон асуудалд сонирхолтой асуулт гарч ирдэг нэгэн төрлийн системтэгээс бусад шийдлүүд.

Теорем.Шугаман системийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэгээс өөр шийдэлтэй байсан бол Δ ≠ 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Тэгэхээр тодорхойлогч Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. Хэрэв Δ ≠ 0 бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем хязгааргүй тооны шийдтэй байна.

Жишээ.

Матрицын хувийн вектор ба хувийн утга

Квадрат матрицыг өгье , X– өндөр нь матрицын дараалалтай давхцдаг зарим матриц-багана А. .

Олон асуудалд бид тэгшитгэлийг авч үзэх хэрэгтэй X

Энд λ нь тодорхой тоо юм. Аливаа λ-ийн хувьд энэ тэгшитгэл нь тэг шийдэлтэй байх нь ойлгомжтой.

Энэ тэгшитгэл нь тэгээс өөр шийдэлтэй байх λ тоог нэрлэнэ хувийн утгаматрицууд А, А XУчир нь ийм λ гэж нэрлэдэг өөрийн векторматрицууд А.

Матрицын хувийн векторыг олъё А. Учир нь Э∙X = X, дараа нь матрицын тэгшитгэлийг дахин бичиж болно эсвэл . Өргөтгөсөн хэлбэрээр энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлийн систем болгон дахин бичиж болно. Үнэхээр .

Тиймээс

Тиймээс бид координатыг тодорхойлох нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авлаа x 1, x 2, x 3вектор X. Систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Энэ нь λ-ийн 3-р зэргийн тэгшитгэл юм. Энэ нь гэж нэрлэгддэг шинж чанарын тэгшитгэлматрицууд Аба λ-ийн хувийн утгыг тодорхойлоход үйлчилдэг.

Хувийн утга бүр λ нь хувийн вектортой тохирч байна X, тэдгээрийн координатууд нь системээс λ-ийн харгалзах утгаар тодорхойлогддог.

Жишээ.

ВЕКТОР АЛГЕБР. ВЕКТОРЫН ОЙЛГОЛТ

Физикийн янз бүрийн салбарыг судлахдаа урт, талбай, масс, температур гэх мэт тоон утгыг зааж өгөх замаар бүрэн тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнүүд байдаг. Ийм хэмжигдэхүүнийг скаляр гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч тэдгээрээс гадна тоон утгаас гадна тэдгээрийн орон зай дахь чиглэлийг мэдэх шаардлагатай хэмжигдэхүүнүүд байдаг, тухайлбал, биед үйлчлэх хүч, хурд, хурдатгал зэргийг мэдэх шаардлагатай. орон зайд шилжих үед бие, хурцадмал байдал соронзон оронорон зайн өгөгдсөн цэгт гэх мэт. Ийм хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Бид хатуу тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Чиглүүлсэн сегментТөгсгөлд нь аль нь эхнийх нь, аль нь хоёрдугаарт байгаа нь тодорхой болсон сегментийг нэрлэе.

Вектортодорхой урттай чиглэсэн сегмент гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. Энэ бол тодорхой урттай сегмент бөгөөд үүнийг хязгаарлах цэгүүдийн нэгийг эхлэл, хоёр дахь нь төгсгөл гэж авдаг. Хэрэв А- векторын эхлэл; Бнь түүний төгсгөл бол векторыг тэмдгээр тэмдэглэдэг бөгөөд үүнээс гадна векторыг ихэвчлэн нэг үсгээр тэмдэглэдэг. Зураг дээр векторыг сегментээр, чиглэлийг сумаар зааж өгсөн болно.

Модульэсвэл уртВекторыг түүнийг тодорхойлсон чиглүүлсэн сегментийн урт гэж нэрлэдэг. ||-ээр тэмдэглэнэ эсвэл ||.

Бид мөн эхлэл ба төгсгөл нь давхцаж байгаа тэг векторыг вектор болгон оруулах болно. Энэ нь томилогдсон. Тэг вектор нь тодорхой чиглэлгүй бөгөөд модуль нь тэг ||=0 байна.

Векторуудыг дууддаг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг мөрөнд эсвэл зэрэгцээ шугам дээр байрладаг бол. Түүнээс гадна, хэрэв ба векторууд нэг чиглэлд байвал бид эсрэгээр нь бичнэ.

Нэг хавтгайд параллель шулуун шугамууд дээр байрлах векторуудыг нэрлэдэг хавтгай.

Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал ижил чиглэлтэй, урт нь тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд тэд бичдэг.

Векторуудын тэгш байдлын тодорхойлолтоос үзэхэд векторыг орон зайн аль ч цэгт гарал үүслийг нь байрлуулж, өөртэйгээ зэрэгцээ зөөвөрлөх боломжтой.

Жишээлбэл.

ВЕКТОР ДЭЭР ШУГААН ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА

1. Векторыг тоогоор үржүүлэх.

   Вектор ба λ тооны үржвэр нь шинэ вектор бөгөөд дараах байдлаар:

   Вектор ба λ тооны үржвэрийг -ээр тэмдэглэнэ.

   

   Жишээлбэл,вектортой ижил чиглэлд чиглэсэн, векторын хагасын урттай вектор байна.

   Оруулсан үйл ажиллагаа нь дараах байдалтай байна шинж чанарууд:

2. Вектор нэмэх.

   Дурын хоёр вектор ба байг. Дурын нэг цэгийг авч үзье Оба вектор барих. Үүний дараа цэгээс Авекторыг хойш тавья. Эхний векторын эхлэлийг хоёр дахь векторын төгсгөлтэй холбосон векторыг нэрлэнэ хэмжээЭдгээр векторуудын ба тэмдэглэсэн байна .

   

   Вектор нэмэхийн томъёолсон тодорхойлолт гэж нэрлэдэг параллелограммын дүрэм, учир нь ижил векторуудын нийлбэрийг дараах байдлаар авч болно. Асуудлаас хойш хойшлуулъя Овекторууд ба . Эдгээр векторууд дээр параллелограмм байгуулъя OABC. Векторууд тул оройноос татсан параллелограммын диагональ болох вектор болно О, векторуудын нийлбэр байх нь ойлгомжтой.

   

   Дараахь зүйлийг шалгахад хялбар байдаг вектор нэмэх шинж чанарууд.

3. Вектор ялгаа.

   Өгөгдсөн вектортой ижил урттай, эсрэг чиглэлтэй коллинеар векторыг гэнэ эсрэгвекторын хувьд вектор бөгөөд -ээр тэмдэглэнэ. Эсрэг векторыг векторыг λ = –1: тоогоор үржүүлсний үр дүн гэж үзэж болно.

Хувийн үнэ цэнэ(тоо) ба хувийн векторууд.
Шийдлийн жишээ

Өөрийнхөөрөө бай

Хоёр тэгшитгэлээс дараахь зүйлийг гаргаж болно.

Ингээд оруулъя: .

Үр дүнд нь: – хоёр дахь хувийн вектор.

Дахин хэлье чухал цэгүүдшийдэл:

– Үүссэн систем нь гарцаагүй бий нийтлэг шийдвэр(тэгшитгэлүүд нь шугаман хамааралтай);

– бид “y”-г бүхэл тоо, эхний “х” координат нь бүхэл тоо, эерэг, аль болох жижиг байхаар сонгоно.

- тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж байгаа эсэхийг бид шалгадаг.

Хариулах .

Дунд зэрэг" хяналтын цэгүүд" хангалттай байсан тул тэгш байдлыг шалгах нь зарчмын хувьд шаардлагагүй юм.

Төрөл бүрийн мэдээллийн эх сурвалжид хувийн векторуудын координатыг ихэвчлэн багана биш, харин мөрөнд бичдэг, жишээлбэл: (Үнэнийг хэлэхэд би өөрөө тэдгээрийг мөр болгон бичдэг байсан). Энэ сонголтыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой, гэхдээ сэдвийн хүрээнд шугаман хувиргалттехникийн хувьд ашиглахад илүү тохиромжтой баганын векторууд.

Магадгүй шийдэл нь танд маш урт мэт санагдаж магадгүй, гэхдээ энэ нь зөвхөн эхний жишээн дээр маш дэлгэрэнгүй тайлбар хийсэн учраас л ийм байна.

Жишээ 2

Матрицууд

Өөрсдөө бэлтгэл хийцгээе! Хичээлийн төгсгөлд хийх эцсийн даалгаврын ойролцоо жишээ.

Заримдаа хийх хэрэгтэй нэмэлт даалгавар, тухайлбал:

каноник матрицын задралыг бичнэ

Энэ юу вэ?

Хэрэв матрицын хувийн векторууд үүссэн бол суурь, дараа нь үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Хувийн векторуудын координатаас бүрдэх матриц хаана байна вэ? диагональхаргалзах хувийн утга бүхий матриц.

Энэ матрицын задрал гэж нэрлэгддэг каноникэсвэл диагональ.

Эхний жишээний матрицыг харцгаая. Түүний хувийн векторууд шугаман бие даасан(конлинеар бус) ба суурь болдог. Тэдний координатын матрицыг үүсгэцгээе:

Асаалттай үндсэн диагональматрицууд зохих дарааллаархувийн утгууд байрладаг бөгөөд үлдсэн элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.
- Би дарааллын ач холбогдлыг дахин нэг удаа онцолж байна: "хоёр" нь 1-р вектортой тохирч байгаа тул 1-р баганад, "гурав" нь 2-р векторт байрлана.

By ердийн алгоритм рууолох урвуу матрицэсвэл Гаусс-Жорданы аргабид олдог . Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш! - Урвуу нь анхны матрицтай давхцах нарны хиртэлт шиг ховор үйл явдал таны өмнө байна.

Матрицын каноник задралыг бичихэд л үлддэг.

Системийг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд бид дараах жишээнүүдэд хандах болно энэ арга. Гэхдээ энд "сургууль" арга илүү хурдан ажилладаг. 3-р тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ: - хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна:

Эхний координат нь тэг тул бид тэгшитгэл бүрээс дараах системийг олж авдаг.

Бас дахин шугаман харилцааг заавал байлгахад анхаарлаа хандуулаарай. Хэрэв зүгээр л өчүүхэн шийдлийг олж авбал , дараа нь хувийн утгыг буруу олсон эсвэл системийг алдаатай эмхэтгэсэн/шийдвэрлэсэн.

Компакт координатууд нь утгыг өгдөг

Өвөрмөц вектор:

Дахин нэг удаа бид шийдэл олдсон эсэхийг шалгана системийн тэгшитгэл бүрийг хангана. Дараагийн догол мөрүүд болон дараагийн даалгаваруудад би энэ хүслийг заавал дагаж мөрдөх дүрэм болгон авахыг зөвлөж байна.

2) Хувийн утгын хувьд ижил зарчмыг ашиглан бид олж авна дараах систем:

Системийн 2-р тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ: - гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна:

"Зета" координат нь тэгтэй тэнцүү тул бид үүнийг дагаж мөрдөх тэгшитгэл бүрээс системийг олж авна. шугаман хамаарал.

Болъё

Шийдэл байгаа эсэхийг шалгаж байна системийн тэгшитгэл бүрийг хангана.

Тиймээс хувийн вектор нь: .

3) Эцэст нь систем нь хувийн утгатай тохирч байна:

Хоёр дахь тэгшитгэл нь хамгийн энгийн мэт харагдаж байгаа тул үүнийг илэрхийлж, 1, 3-р тэгшитгэлд орлъё.

Бүх зүйл сайхан байна - шугаман харилцаа үүссэн бөгөөд бид үүнийг илэрхийлэл болгон орлуулж байна:

Үүний үр дүнд “x” болон “y”-г “z”-ээр илэрхийлсэн: . Практикт яг ийм харилцааг бий болгох шаардлагагүй, зарим тохиолдолд аль алинаар нь эсвэл дамжуулан илэрхийлэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Эсвэл бүр "галт тэрэг" - жишээлбэл "X" -ээс "I", "I" -ээс "Z"

Ингээд оруулъя:

Бид шийдэл олдсон эсэхийг шалгана системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж, гурав дахь хувийн векторыг бичнэ

Хариулах: хувийн векторууд:

Геометрийн хувьд эдгээр векторууд нь орон зайн гурван өөр чиглэлийг тодорхойлдог ("Тэнд, дахиад буцаж"), үүний дагуу шугаман хувиргалттэг биш векторуудыг (өөрийн векторууд) коллинеар вектор болгон хувиргадаг.

Хэрэв нөхцөл нь каноник задралыг олох шаардлагатай бол энэ нь энд боломжтой, учир нь Янз бүрийн хувийн утгууд нь өөр өөр шугаман бие даасан хувийн векторуудтай тохирдог. Матриц хийх тэдгээрийн координатаас диагональ матриц -аас хамааралтайхувийн утгууд ба олох урвуу матриц .

Хэрэв нөхцөл байдлын дагуу та бичих шаардлагатай бол хувийн векторуудын суурь дахь шугаман хувиргах матриц, дараа нь бид хариултыг хэлбэрээр өгнө. Ялгаатай, ялгаа нь мэдэгдэхүйц юм!Учир нь энэ матриц нь "de" матриц юм.

Илүү их асуудал энгийн тооцоололУчир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 5

Матрицаар өгөгдсөн шугаман хувиргалтын хувийн векторуудыг ол

Өөрийнхөө тоог олохдоо 3-р зэргийн олон гишүүнт хүртэл явахгүй байхыг хичээгээрэй. Нэмж дурдахад, таны системийн шийдлүүд миний шийдлүүдээс ялгаатай байж магадгүй - энд ямар ч баталгаа байхгүй; мөн таны олсон векторууд нь түүврийн векторуудаас тус тусын координатын пропорциональ хүртэл ялгаатай байж болно. Жишээлбэл, ба. Хариултыг маягтаар танилцуулах нь илүү гоо зүйн хувьд тааламжтай боловч хоёр дахь хувилбар дээр зогсвол зүгээр. Гэсэн хэдий ч, бүх зүйлд боломжийн хязгаарлалт байдаг; хувилбар нь тийм ч сайн харагдахаа больсон.

Хичээлийн төгсгөлд даалгаврын ойролцоо эцсийн түүвэр.

Олон тооны хувийн утгатай тохиолдолд асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?

Ерөнхий алгоритмхэвээр байгаа боловч энэ нь өөрийн гэсэн онцлогтой бөгөөд шийдлийн зарим хэсгийг илүү хатуу эрдэм шинжилгээний хэв маягаар хадгалахыг зөвлөж байна.

Жишээ 6

Хувийн утга ба хувийн векторыг ол

Шийдэл

Мэдээжийн хэрэг, гайхалтай эхний баганыг томоор бичье:

Мөн квадрат гурвалжийг хүчин зүйлээр тооцсоны дараа:

Үүний үр дүнд хувийн утгыг олж авдаг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь үржвэр юм.

Хувийн векторуудыг олцгооё:

1) "Хялбаршуулсан" схемийн дагуу ганц бие цэрэгтэй харьцъя:

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс тэгшитгэл нь тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд үүнийг системийн 1-р тэгшитгэлд орлуулах нь ойлгомжтой.

Та илүү сайн хослолыг олохгүй:
Өвөрмөц вектор:

2-3) Одоо бид хэд хэдэн харуулуудыг устгаж байна. IN энэ тохиолдолдэнэ нь бүтэж магадгүй юм хоёр эсвэл нэгөөрийн вектор. Үндэсийн олон байдлаас үл хамааран бид утгыг тодорхойлогч болгон орлуулна Энэ нь бидэнд дараагийнхыг авчирдаг шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем:

Өвөрмөц векторууд нь яг векторууд юм
шийдлийн үндсэн систем

Үнэндээ бүх хичээлийн туршид бид үндсэн системийн векторуудыг олохоос өөр юу ч хийсэнгүй. Одоогийн байдлаар энэ нэр томьёо онцгой шаардлагагүй байсан. Дашрамд хэлэхэд өнгөлөн далдлах хувцастай сэдвээ алдсан тэдгээр ухаалаг оюутнууд нэгэн төрлийн тэгшитгэл, одоо тамхи татахаас өөр аргагүй болно.

Цорын ганц үйлдэл нь нэмэлт мөрүүдийг арилгах явдал байв. Үр дүн нь дунд нь албан ёсны "алхам" бүхий нэгээс гурав матриц юм.
– үндсэн хувьсагч, – чөлөөт хувьсагч. Тиймээс хоёр чөлөөт хувьсагч байдаг үндсэн системийн хоёр вектор байдаг.

Үндсэн хувьсагчийг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье: . "X"-ийн урд байгаа тэг үржүүлэгч нь ямар ч утгыг авах боломжийг олгодог (энэ нь тэгшитгэлийн системээс тодорхой харагдаж байна).

Энэ асуудлын хүрээнд ерөнхий шийдлийг мөрөнд биш, харин баганад бичих нь илүү тохиромжтой.

Энэ хос нь хувийн вектортой тохирч байна:
Энэ хос нь хувийн вектортой тохирч байна:

Анхаарна уу : Нарийвчилсан уншигчид эдгээр векторуудыг амаар сонгох боломжтой - зүгээр л системд дүн шинжилгээ хийх замаар , гэхдээ энд тодорхой мэдлэг хэрэгтэй: гурван хувьсагч байдаг, системийн матрицын зэрэглэл- нэг гэсэн үг үндсэн шийдвэрийн систем 3 – 1 = 2 вектороос бүрдэнэ. Гэсэн хэдий ч олсон векторууд нь энэ мэдлэггүй байсан ч гэсэн зөвхөн зөн совингийн түвшинд тодорхой харагдаж байна. Энэ тохиолдолд гурав дахь вектор илүү "сайхан" бичигдэх болно: . Гэсэн хэдий ч, өөр жишээнд энгийн сонголт хийх боломжгүй байж магадгүй тул энэ заалт нь туршлагатай хүмүүст зориулагдсан болно гэдгийг би анхааруулж байна. Үүнээс гадна, яагаад гурав дахь вектор гэж авч болохгүй гэж? Эцсийн эцэст түүний координатууд нь системийн тэгшитгэл, вектор бүрийг хангадаг шугаман бие даасан. Энэ сонголт нь зарчмын хувьд тохиромжтой боловч "бусад" вектор нь үндсэн системийн векторуудын шугаман хослол тул "тахир" юм.

Хариулах: хувийн утга: , хувийн вектор:

Бие даасан шийдлийн ижил төстэй жишээ:

Жишээ 7

Хувийн утга ба хувийн векторыг ол

Хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

6 ба 7-р жишээнүүдэд гурвалсан шугаман бие даасан хувийн векторуудыг олж авсан тул анхны матрицыг каноник задралд төлөөлөх боломжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэхдээ ийм бөөрөлзгөнө бүх тохиолдолд тохиолддоггүй:

Жишээ 8

Шийдэл: Онцлог тэгшитгэлийг үүсгэж, шийдье:

Эхний баганад тодорхойлогчийг өргөжүүлье:

Бид гуравдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтээс зайлсхийж, авч үзсэн аргын дагуу нэмэлт хялбаршуулах ажлыг гүйцэтгэдэг.

- хувийн үнэ цэнэ.

Хувийн векторуудыг олцгооё:

1) Үндэстэй холбоотой ямар ч бэрхшээл байхгүй:

Гайхах хэрэггүй, иж бүрдэлээс гадна ашиглагдаж буй хувьсагчууд бас байдаг - энд ямар ч ялгаа байхгүй.

3-р тэгшитгэлээс бид үүнийг илэрхийлж, 1, 2-р тэгшитгэлд орлуулна.

Хоёр тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

Дараа нь зөвшөөр:

2-3) Олон утгын хувьд бид системийг авдаг .

Системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт аваачъя.

Квадрат матрицын хувийн вектор нь өгөгдсөн матрицаар үржүүлснээр коллинеар вектор гарч ирдэг. Энгийн үгээр хэлбэл, матрицыг хувийн вектороор үржүүлэхэд сүүлийнх нь хэвээр байх боловч тодорхой тоогоор үржүүлнэ.

Тодорхойлолт

Өвөрмөц вектор нь тэг биш V вектор бөгөөд M квадрат матрицаар үржүүлснээр өөрөө λ тоогоор нэмэгддэг. Алгебрийн тэмдэглэгээнд дараах байдлаар харагдана.

M × V = λ × V,

Энд λ нь M матрицын хувийн утга юм.

Ингээд авч үзье тоон жишээ. Бичлэг хийхэд хялбар болгох үүднээс матриц дахь тоонуудыг цэг таслалаар тусгаарлана. Бид матрицтай болцгооё:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Үүнийг баганын вектороор үржүүлье:

• V = -2;

Бид матрицыг баганын вектороор үржүүлэхэд мөн баганын вектор гарч ирнэ. Хатуу математик хэл 2 × 2 матрицыг баганын вектороор үржүүлэх томъёо дараах байдалтай байна.

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 нь эхний мөр, эхний баганад байрлах M матрицын элементийг, M22 нь хоёр дахь мөр, хоёрдугаар баганад байрлах элементийг хэлнэ. Манай матрицын хувьд эдгээр элементүүд нь M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10-тай тэнцүү байна. Баганын векторын хувьд эдгээр утгууд нь V11 = –2, V21 = 1-тэй тэнцүү байна. Энэ томьёоны дагуу, квадрат матрицыг вектороор үржүүлсний дараах үр дүнг бид авна.

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Тохиромжтой болгохын тулд баганын векторыг мөр болгон бичье. Тиймээс бид квадрат матрицыг вектороор (-2; 1) үржүүлснээр вектор (4; -2) гарлаа. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь λ = -2-оор үржүүлсэн ижил вектор юм. Энэ тохиолдолд ламбда нь матрицын хувийн утгыг илэрхийлнэ.

Матрицын хувийн вектор нь коллинеар вектор, өөрөөр хэлбэл матрицаар үржүүлэхэд орон зай дахь байрлал өөрчлөгддөггүй объект юм. Вектор алгебр дахь коллинеарийн тухай ойлголт нь геометрийн параллелизмын нэр томъёотой төстэй юм. Геометрийн тайлбарт коллинеар векторууд нь өөр өөр урттай зэрэгцээ чиглэсэн сегментүүд юм. Евклидийн үеэс хойш бид нэг мөрөнд түүнтэй параллель хязгааргүй олон шулуун байдгийг мэддэг тул матриц бүр хязгааргүй тооны хувийн вектортой гэж үзэх нь логик юм.

Өмнөх жишээнээс харахад хувийн векторууд нь (-8; 4), (16; -8), (32, -16) байж болно. Эдгээр нь бүгд λ = -2 хувийн утгад тохирох коллинеар векторууд юм. Анхны матрицыг эдгээр векторуудаар үржүүлэхэд бид анхныхаас 2 дахин ялгаатай вектортой байх болно. Ийм учраас хувийн векторыг олох асуудлыг шийдэхдээ зөвхөн шугаман бие даасан вектор объектуудыг олох шаардлагатай болдог. Ихэнх тохиолдолд n × n матрицын хувьд n тооны хувийн вектор байдаг. Манай тооцоолуур нь хоёр дахь дарааллын квадрат матрицыг шинжлэхэд зориулагдсан тул үр дүн нь давхцахаас бусад тохиолдолд бараг үргэлж хоёр хувийн векторыг олох болно.

Дээрх жишээн дээр бид анхны матрицын хувийн векторыг урьдчилан мэдэж, ламбдагийн тоог тодорхой тодорхойлсон. Гэсэн хэдий ч практикт бүх зүйл эсрэгээрээ тохиолддог: эхлээд хувийн утгууд, дараа нь хувийн векторууд олддог.

Шийдлийн алгоритм

Анхны M матрицыг дахин харж, түүний хувийн векторуудыг хоёуланг нь олохыг хичээцгээе. Тиймээс матриц дараах байдалтай байна.

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Эхлээд бид λ хувийн утгыг тодорхойлох шаардлагатай бөгөөд үүнд дараах матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох шаардлагатай.

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Энэхүү матрицыг үндсэн диагональ дээрх элементүүдээс үл мэдэгдэх λ-ийг хасч гаргана. Тодорхойлогчийг стандарт томъёогоор тодорхойлно:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Бидний вектор тэгээс өөр байх ёстой тул бид үүссэн тэгшитгэлийг шугаман хамааралтай гэж хүлээн авч, тодорхойлогч detA-г тэгтэй тэнцүүлнэ.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Хаалтуудыг нээж, матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг авцгаая.

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Энэ бол стандарт юм квадрат тэгшитгэл, үүнийг ялгаварлагчаар дамжуулан шийдвэрлэх шаардлагатай.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Дискриминантийн язгуур нь sqrt(D) = 14, тиймээс λ1 = -2, λ2 = 12. Одоо lambda утга бүрийн хувьд бид хувийн векторыг олох хэрэгтэй. λ = -2 системийн коэффициентийг илэрхийлье.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Энэ томъёонд E нь таних матриц юм. Үүссэн матриц дээр үндэслэн бид шугаман тэгшитгэлийн системийг бий болгодог.

2x + 4y = 6x + 12y,

Энд x ба y нь хувийн вектор элементүүд юм.

Зүүн талд байгаа бүх X, баруун талд байгаа бүх Y-г цуглуулцгаая. Мэдээжийн хэрэг - 4x = 8y. Илэрхийлэлийг - 4-т хувааж, x = –2y гарна. Одоо бид үл мэдэгдэх бүх утгыг авч матрицын эхний хувийн векторыг тодорхойлж болно (шугаман хамааралтай хувийн векторуудын хязгааргүйг санаарай). y = 1, тэгвэл x = –2 гэж авъя. Тиймээс эхний хувийн вектор нь V1 = (–2; 1) шиг харагдаж байна. Өгүүллийн эхэнд буцах. Чухамхүү энэ вектор объектыг бид матрицыг үржүүлж, хувийн векторын тухай ойлголтыг харуулсан.

Одоо λ = 12-ын хувийн векторыг олъё.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Шугаман тэгшитгэлийн ижил системийг байгуулъя;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3х = у.

Одоо бид x = 1 гэж авна, тиймээс у = 3. Ийнхүү хоёр дахь хувийн вектор нь V2 = (1; 3) шиг харагдаж байна. Анхны матрицыг өгөгдсөн вектороор үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж ижил векторыг 12-оор үржүүлнэ. Энд шийдлийн алгоритм дуусна. Одоо та матрицын хувийн векторыг гараар хэрхэн тодорхойлохыг мэддэг болсон.

• тодорхойлогч;
• ул мөр, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн нийлбэр;
• зэрэглэл, өөрөөр хэлбэл шугаман бие даасан мөр/баганын хамгийн их тоо.

Хөтөлбөр нь дээрх алгоритмын дагуу ажиллаж, шийдлийн процессыг аль болох богиносгодог. Хөтөлбөрт lambda нь "c" үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тоон жишээг авч үзье.

Програм хэрхэн ажилладаг тухай жишээ

Дараах матрицын хувийн векторуудыг тодорхойлохыг хичээцгээе.

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Эдгээр утгыг тооцоолуурын нүдэнд оруулаад дараах хэлбэрээр хариултыг авцгаая.

• Матрицын зэрэглэл: 2;
• Матриц тодорхойлогч: 18;
• Матрицын мөр: 19;
• Өвөрмөц векторын тооцоо: c 2 - 19.00c + 18.00 (шинжийн тэгшитгэл);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 18 (эхний ламбда утга);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 1 (хоёр дахь ламбда утга);
• 1-р векторын тэгшитгэлийн систем: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• 2-р векторын тэгшитгэлийн систем: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Өвөрмөц вектор 1: (1; 1);
• Өвөрмөц вектор 2: (-3.25; 1).

Тиймээс бид шугаман бие даасан хоёр хувийн векторыг олж авсан.

Дүгнэлт

Шугаман алгебр, аналитик геометр нь инженерийн чиглэлээр 1-р курсын оюутнуудад зориулсан стандарт хичээл юм. Олон тооны вектор, матрицууд нь аймшигтай бөгөөд ийм нүсэр тооцоололд алдаа гаргахад хялбар байдаг. Манай программ нь оюутнуудад тооцоогоо шалгах эсвэл хувийн векторыг олох асуудлыг автоматаар шийдэх боломжийг олгоно. Манай каталогид бусад шугаман алгебрийн тооны машинууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг хичээл, ажилдаа ашиглаарай.

Тодорхойлолт 9.3.Вектор X дуудсан өөрийн векторматрицууд А, хэрэв ийм тоо байгаа бол λ, Энэ тэгш байдал нь: А X= λ X, гэж өргөдөл гаргасны үр дүн X матрицаар тодорхойлсон шугаман хувиргалт А, нь энэ векторыг тоогоор үржүүлэх явдал юм λ . Тоо нь өөрөө λ дуудсан хувийн утгаматрицууд А.

Томъёонд орлуулах (9.3) x` j = λx j,Бид хувийн векторын координатыг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.

. (9.5)

Энэхүү шугаман нэгэн төрлийн систем нь үндсэн тодорхойлогч нь 0 (Крамерын дүрэм) байвал л чухал бус шийдэлтэй байх болно. Энэ нөхцлийг дараах хэлбэрээр бичвэл:

бид хувийн утгыг тодорхойлох тэгшитгэлийг олж авна λ , дуудсан шинж чанарын тэгшитгэл. Товчхондоо үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

| A - λE | = 0, (9.6)

Учир нь түүний зүүн тал нь матрицын тодорхойлогчийг агуулдаг A-λE. Олон гишүүнт харьцангуй λ | A - λE| дуудсан онцлог олон гишүүнтматрицууд А.

Онцлог олон гишүүнтийн шинж чанарууд:

1) Шугаман хувиргалтын шинж чанарын олон гишүүнт нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй. Баталгаа. (9.4-ийг үзнэ үү), гэхдээ иймээс, . Тиймээс энэ нь суурийн сонголтоос хамаардаггүй. Энэ нь | A-λE| шинэ суурь руу шилжихэд өөрчлөгдөхгүй.

2) Хэрэв матриц Ашугаман хувиргалт юм тэгш хэмтэй(тэдгээр. мөн ij =a ji), тэгвэл (9.6) шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх үндэс нь бодит тоо байна.

Хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд:

1) Хэрэв та хувийн векторуудаас суурийг сонговол x 1, x 2, x 3 , хувийн утгатай харгалзах λ 1, λ 2, λ 3матрицууд А, тэгвэл энэ үндсэн дээр шугаман хувиргалт А нь диагональ хэлбэрийн матрицтай байна:

(9.7) Энэ өмчийн баталгаа нь хувийн векторуудын тодорхойлолтоос үүдэлтэй.

2) Хэрэв өөрчлөлтийн хувийн утгууд Аялгаатай бол тэдгээрийн харгалзах хувийн векторууд нь шугаман бие даасан байна.

3) Хэрэв матрицын шинж чанарын олон гишүүнт Агуравтай янз бүрийн үндэс, дараа нь ямар нэгэн үндэслэлээр матриц Адиагональ хэлбэртэй байна.

Матрицын хувийн утга ба хувийн векторуудыг олцгооё. Онцлогийн тэгшитгэлийг байгуулъя: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Олдсон утга бүрт тохирох хувийн векторуудын координатыг олъё λ. (9.5)-аас үзвэл хэрэв X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) – харгалзах хувийн вектор λ 1 =-2, тэгвэл

- хамтын ажиллагааны боловч тодорхойгүй тогтолцоо. Үүний шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно X (1) ={а,0,-а), энд a нь дурын тоо юм. Ялангуяа, хэрэв бид үүнийг шаарддаг бол | x (1) |=1, X (1) =

Системд орлуулах (9.5) λ 2 =3, бид хоёр дахь хувийн векторын координатыг тодорхойлох системийг олж авна - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, хаана X (2) ={б,-б, б) эсвэл, өгсөн | x (2) |=1, x (2) =

Учир нь λ 3 = 6 хувийн векторыг ол x (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, x (3) ={в,2c,c) эсвэл хэвийн болгосон хувилбарт

x (3) = Үүнийг анзаарч болно X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = МЭӨ- 2МЭӨ + МЭӨ= 0. Иймд энэ матрицын хувийн векторууд хос ортогональ байна.

Лекц 10.

Квадрат хэлбэр ба тэдгээрийн тэгш хэмтэй матрицтай холбоо. Тэгш хэмт матрицын хувийн вектор ба хувийн утгуудын шинж чанарууд. Квадрат хэлбэрийг каноник хэлбэрт оруулах.

Тодорхойлолт 10.1.Квадрат хэлбэрбодит хувьсагч x 1, x 2,…, x nнэгдүгээр зэргийн чөлөөт гишүүн, гишүүн агуулаагүй эдгээр хувьсагчдад хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт гэж нэрлэгддэг.

Квадрат хэлбэрийн жишээ:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Сүүлийн лекцэд өгсөн тэгш хэмт матрицын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Тодорхойлолт 10.2.Квадрат матриц гэж нэрлэдэг тэгш хэмтэй, хэрэв , өөрөөр хэлбэл, үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй матрицын элементүүд тэнцүү бол.

Симметрик матрицын хувийн утга ба хувийн векторын шинж чанарууд:

1) Тэгш хэмт матрицын бүх хувийн утга бодит байна.

Нотолгоо (for n = 2).

Матрицыг үзье Ахэлбэртэй байна: . Онцлог тэгшитгэлийг байгуулъя:

(10.2) Ялгаварлагчийг олцгооё:

Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн бодит үндэстэй.

2) Өвөрмөц векторуудтэгш хэмтэй матрицууд нь ортогональ байна.

Нотолгоо (for n= 2).

Өвөрмөц векторуудын координат ба тэгшитгэлийг хангах ёстой.