The kalkulator dalam talian mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear(SLN) dengan kaedah Gaussian. Penyelesaian terperinci diberikan. Untuk mengira, pilih bilangan pembolehubah dan bilangan persamaan. Kemudian masukkan data ke dalam sel dan klik pada butang "Kira".
|
Perwakilan nombor:
Integer dan/atau Pecahan sepunyaNombor Bulat dan/atau Perpuluhan
Bilangan tempat selepas pemisah perpuluhan
×
Amaran
Kosongkan semua sel?
Tutup Kosong
Arahan kemasukan data. Nombor dimasukkan sebagai integer (contoh: 487, 5, -7623, dsb.), perpuluhan (cth. 67., 102.54, dsb.) atau pecahan. Pecahan mesti dimasukkan dalam bentuk a/b, di mana a dan b (b>0) adalah integer atau nombor perpuluhan. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dsb.
Kaedah Gauss
Kaedah Gauss ialah kaedah peralihan daripada sistem asal persamaan linear (menggunakan penjelmaan setara) kepada sistem yang lebih mudah diselesaikan daripada sistem asal.
Penjelmaan setara bagi sistem persamaan linear ialah:
- menukar dua persamaan dalam sistem,
- mendarab sebarang persamaan dalam sistem dengan nombor nyata bukan sifar,
- menambah pada satu persamaan persamaan lain didarab dengan nombor arbitrari.
Pertimbangkan sistem persamaan linear:
| (1) |
Mari kita tulis sistem (1) dalam bentuk matriks:
| Ax=b | (2) |
  | (3) |
A- dipanggil matriks pekali sistem, b− sebelah kanan sekatan, x− vektor pembolehubah untuk ditemui. Biarkan pangkat( A)=hlm.
Transformasi setara tidak mengubah pangkat matriks pekali dan pangkat matriks lanjutan sistem. Set penyelesaian sistem juga tidak berubah di bawah transformasi yang setara. Intipati kaedah Gauss adalah untuk mengurangkan matriks pekali A kepada pepenjuru atau berpijak.
Mari kita bina matriks lanjutan sistem:
Pada peringkat seterusnya, kami menetapkan semula semua elemen lajur 2, di bawah elemen. Jika elemen ini adalah sifar, maka baris ini ditukar dengan baris yang terletak di bawah baris ini dan mempunyai elemen bukan sifar dalam lajur kedua. Seterusnya, tetapkan semula semua elemen lajur 2 di bawah elemen utama a 22. Untuk melakukan ini, tambah baris 3, ... m dengan rentetan 2 didarab dengan − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22, masing-masing. Meneruskan prosedur, kami memperoleh matriks pepenjuru atau bentuk bertingkat. Biarkan matriks lanjutan yang terhasil mempunyai bentuk:
| (7) |
 |
Kerana rangA=rang(A|b), maka set penyelesaian (7) ialah ( n−p)− pelbagai. Oleh itu n−p yang tidak diketahui boleh dipilih sewenang-wenangnya. Baki yang tidak diketahui daripada sistem (7) dikira seperti berikut. Daripada persamaan terakhir yang kita nyatakan x p melalui pembolehubah yang tinggal dan masukkan ke dalam ungkapan sebelumnya. Seterusnya, daripada persamaan kedua terakhir kita nyatakan x p−1 melalui pembolehubah yang tinggal dan masukkan ke dalam ungkapan sebelumnya, dsb. Mari kita lihat kaedah Gauss menggunakan contoh khusus.
Contoh penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss
Contoh 1. Cari keputusan bersama sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss:
Mari kita nyatakan dengan a unsur ij i-baris ke- dan j lajur ke.
a sebelas. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, masing-masing didarab dengan -2/3,-1/2:
Jenis rakaman matriks: Ax=b, Di mana
Mari kita nyatakan dengan a unsur ij i-baris ke- dan j lajur ke.
Mari kita mengecualikan elemen lajur pertama matriks di bawah elemen a sebelas. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, masing-masing didarab dengan -1/5,-6/5:
Kami membahagikan setiap baris matriks dengan elemen utama yang sepadan (jika unsur utama wujud):
di mana x 3 , x
Menggantikan ungkapan atas ke yang lebih rendah, kami memperoleh penyelesaiannya.
Kemudian penyelesaian vektor boleh diwakili seperti berikut:
 |
di mana x 3 , x 4 ialah nombor nyata arbitrari.
Salah satu kaedah universal dan berkesan untuk menyelesaikan sistem algebra linear ialah Kaedah Gaussian , yang terdiri daripada penghapusan berurutan yang tidak diketahui.
Ingat bahawa kedua-dua sistem dipanggil bersamaan (bersamaan) jika set penyelesaiannya bertepatan. Dalam erti kata lain, sistem adalah setara jika setiap penyelesaian salah satu daripada mereka adalah penyelesaian yang lain dan sebaliknya. Sistem setara diperoleh apabila transformasi asas persamaan sistem:
mendarab kedua-dua belah persamaan dengan nombor selain sifar;
menambah pada beberapa persamaan bahagian yang sepadan bagi persamaan lain, didarab dengan nombor selain daripada sifar;
menyusun semula dua persamaan.
Biarkan sistem persamaan diberikan
Proses penyelesaian sistem ini menggunakan kaedah Gaussian terdiri daripada dua peringkat. Pada peringkat pertama (gerakan langsung), sistem, menggunakan transformasi asas, dikurangkan kepada mengikut langkah , atau segi tiga fikiran, dan pada peringkat kedua ( lejang terbalik) terdapat penentuan berurutan bagi yang tidak diketahui daripada sistem langkah yang terhasil, bermula dari nombor pembolehubah terakhir.
Mari kita andaikan bahawa pekali sistem ini 
, jika tidak dalam sistem baris pertama boleh ditukar dengan mana-mana baris lain supaya pekali pada 
adalah berbeza daripada sifar.
Mari kita ubah sistem dengan menghapuskan yang tidak diketahui 
dalam semua persamaan kecuali yang pertama. Untuk melakukan ini, darabkan kedua-dua belah persamaan pertama dengan 
dan tambah sebutan demi sebutan dengan persamaan kedua sistem. Kemudian darab kedua-dua belah persamaan pertama dengan 
dan tambahkannya pada persamaan ketiga sistem. Meneruskan proses ini, kami memperoleh sistem yang setara
Di sini 
– nilai pekali baharu dan istilah percuma yang diperoleh selepas langkah pertama.
Begitu juga dengan mengambil kira elemen utama 
, kecualikan yang tidak diketahui 
daripada semua persamaan sistem kecuali yang pertama dan kedua. Mari kita teruskan proses ini selama mungkin, dan hasilnya kita akan mendapat sistem secara berperingkat
,
di mana 
,
,…,
– elemen utama sistem 
.
Jika, dalam proses mengurangkan sistem kepada bentuk berperingkat, persamaan muncul, iaitu, kesamaan bentuk 
, mereka dibuang kerana mereka berpuas hati dengan mana-mana set nombor 
. Jika di 
akan muncul persamaan bentuk, yang tidak mempunyai penyelesaian, maka ini menunjukkan ketidakserasian sistem.
Semasa lejang songsang, yang pertama tidak diketahui dinyatakan daripada persamaan terakhir sistem langkah yang diubah 
melalui semua yang tidak diketahui lain 
yang dipanggil percuma
.
Kemudian ungkapan berubah-ubah 
daripada persamaan terakhir sistem digantikan ke dalam persamaan kedua terakhir dan pembolehubah dinyatakan daripadanya 
. Pembolehubah ditakrifkan secara berurutan dengan cara yang sama 
. Pembolehubah 
, dinyatakan melalui pembolehubah bebas, dipanggil asas
(bergantung). Hasilnya ialah penyelesaian umum kepada sistem persamaan linear.
Untuk mencari penyelesaian peribadi
sistem, percuma tidak diketahui 
dalam penyelesaian umum nilai arbitrari diberikan dan nilai pembolehubah dikira 
.
Secara teknikalnya lebih mudah untuk tertakluk kepada transformasi asas bukan persamaan sistem itu sendiri, tetapi matriks lanjutan sistem
.
Kaedah Gauss adalah kaedah universal yang membolehkan anda menyelesaikan bukan sahaja persegi, tetapi juga sistem segi empat tepat di mana bilangan yang tidak diketahui. 
tidak sama dengan bilangan persamaan 
.
Kelebihan kaedah ini juga ialah dalam proses penyelesaian kita secara serentak memeriksa sistem untuk keserasian, kerana, setelah memberikan matriks lanjutan 
untuk membentuk langkah demi langkah, adalah mudah untuk menentukan pangkat matriks 
dan matriks lanjutan 
dan memohon Teorem Kronecker-Capelli
.
Contoh 2.1 Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gauss
Penyelesaian. Bilangan persamaan 
dan bilangan yang tidak diketahui 
.
Mari kita cipta matriks lanjutan sistem dengan memberikan pekali di sebelah kanan matriks 
ruangan ahli percuma 
.
Mari kita bentangkan matriks 
Kepada pandangan segi tiga; Untuk melakukan ini, kami akan memperoleh "0" di bawah elemen yang terletak pada pepenjuru utama menggunakan transformasi asas.
Untuk mendapatkan "0" di kedudukan kedua lajur pertama, darab baris pertama dengan (-1) dan tambahkannya pada baris kedua.
Kami menulis transformasi ini sebagai nombor (-1) terhadap baris pertama dan menandakannya dengan anak panah dari baris pertama ke baris kedua.
Untuk mendapatkan "0" di kedudukan ketiga lajur pertama, darab baris pertama dengan (-3) dan tambah pada baris ketiga; Mari tunjukkan tindakan ini menggunakan anak panah dari baris pertama ke baris ketiga.
.
Dalam matriks yang terhasil, ditulis kedua dalam rantaian matriks, kita mendapat "0" dalam lajur kedua di kedudukan ketiga. Untuk melakukan ini, kami mendarabkan baris kedua dengan (-4) dan menambahnya pada baris ketiga. Dalam matriks yang terhasil, darab baris kedua dengan (-1), dan bahagikan baris ketiga dengan (-8). Semua unsur matriks ini yang terletak di bawah unsur pepenjuru adalah sifar.
Kerana , sistem adalah kolaboratif dan ditakrifkan.
Sistem persamaan yang sepadan dengan matriks terakhir mempunyai bentuk segi tiga:
Daripada persamaan terakhir (ketiga). 
. Gantikan ke dalam persamaan kedua dan dapatkan 
.
Mari kita ganti 
Dan 
ke dalam persamaan pertama, kita dapati 
.
Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linear. Pelajaran ini adalah yang ketiga mengenai topik ini. Sekiranya anda mempunyai idea yang samar-samar tentang sistem persamaan linear secara umum, jika anda berasa seperti teko, maka saya cadangkan bermula dengan asas-asas pada halaman Seterusnya, adalah berguna untuk mengkaji pelajaran.
Kaedah Gaussian adalah mudah! kenapa? Ahli matematik Jerman terkenal Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hayatnya, menerima pengiktirafan sebagai ahli matematik terhebat sepanjang zaman, seorang genius, dan juga gelaran "Raja Matematik." Dan segala-galanya yang bijak, seperti yang anda tahu, adalah mudah! Ngomong-ngomong, bukan sahaja penghisap mendapat wang, tetapi juga jenius - potret Gauss berada pada wang kertas 10 Deutschmark (sebelum pengenalan euro), dan Gauss masih tersenyum secara misteri kepada orang Jerman dari setem pos biasa.
Kaedah Gauss adalah mudah kerana PENGETAHUAN MURID DARJAH LIMA CUKUP untuk menguasainya. Anda mesti tahu cara menambah dan mendarab! Bukan kebetulan bahawa guru sering mempertimbangkan kaedah pengecualian berurutan yang tidak diketahui dalam elektif matematik sekolah. Ia satu paradoks, tetapi pelajar mendapati kaedah Gaussian paling sukar. Tiada apa-apa yang mengejutkan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan cuba bercakap tentang algoritma kaedah dalam bentuk yang boleh diakses.
Pertama, mari kita sistematikkan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear boleh:
1) Mempunyai penyelesaian yang unik. 2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. 3) Tidak mempunyai penyelesaian (jadi bukan sendi).
Kaedah Gauss ialah alat yang paling berkuasa dan universal untuk mencari penyelesaian mana-mana sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat, Kaedah peraturan dan matriks Cramer tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Dan kaedah penghapusan berurutan yang tidak diketahui Bagaimanapun akan membawa kita kepada jawapan! Dalam pelajaran ini, kita sekali lagi akan mempertimbangkan kaedah Gauss untuk kes No. 1 (satu-satunya penyelesaian kepada sistem), artikel dikhaskan untuk situasi mata No. 2-3. Saya perhatikan bahawa algoritma kaedah itu sendiri berfungsi sama dalam ketiga-tiga kes.
Mari kita kembali ke sistem yang paling mudah dari kelas Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear? dan selesaikannya menggunakan kaedah Gaussian.
Langkah pertama ialah menulis matriks sistem lanjutan: . Saya fikir semua orang boleh melihat dengan prinsip apakah pekali ditulis. Garis menegak di dalam matriks tidak mempunyai apa-apa makna matematik - ia hanyalah coretan untuk memudahkan reka bentuk.
Rujukan : Saya cadangkan anda ingat syarat algebra linear. Matriks Sistem ialah matriks yang hanya terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui, dalam contoh ini matriks sistem: . Matriks Sistem Lanjutan – ini adalah matriks sistem yang sama ditambah lajur istilah bebas, dalam kes ini: . Untuk ringkasnya, mana-mana matriks boleh dipanggil matriks.
Selepas matriks sistem lanjutan ditulis, perlu melakukan beberapa tindakan dengannya, yang juga dipanggil transformasi asas.
Transformasi asas berikut wujud:
1) rentetan matriks boleh susun semula di beberapa tempat. Sebagai contoh, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, anda boleh menyusun semula baris pertama dan kedua tanpa rasa sakit: 
2) Jika matriks mempunyai (atau telah muncul) berkadar (seperti kes istimewa– identical) baris, kemudian ia mengikuti padam Semua baris ini adalah daripada matriks kecuali satu. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks 
. Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah berkadar, jadi cukup untuk meninggalkan hanya satu daripadanya: 
.
3) Jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka ia juga sepatutnya padam. Saya tidak akan melukis, sudah tentu, garis sifar ialah garisan di mana semua sifar.
4) Baris matriks boleh darab (bahagi) kepada sebarang nombor bukan sifar. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Di sini adalah dinasihatkan untuk membahagikan baris pertama dengan –3, dan darab baris kedua dengan 2: 
. Tindakan ini sangat berguna kerana ia memudahkan transformasi selanjutnya matriks.
5) Transformasi ini menyebabkan paling sukar, tetapi sebenarnya tidak ada yang rumit sama ada. Kepada barisan matriks anda boleh tambah satu lagi rentetan yang didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar. Pertimbangkan matriks kami contoh praktikal: . Mula-mula saya akan menerangkan transformasi dengan terperinci. Darab baris pertama dengan –2: 
, Dan ke baris kedua kita tambah baris pertama didarab dengan –2: 
. Sekarang baris pertama boleh dibahagikan "kembali" dengan –2: . Seperti yang anda lihat, baris yang DITAMBAH LI – tidak berubah. Sentiasa baris KEPADA YANG DITAMBAH berubah UT.
Dalam amalan, sudah tentu, mereka tidak menulisnya secara terperinci, tetapi menulisnya secara ringkas: 
Sekali lagi: ke baris kedua menambah baris pertama didarab dengan –2. Garis biasanya didarab secara lisan atau pada draf, dengan proses pengiraan mental berjalan seperti ini:
"Saya menulis semula matriks dan menulis semula baris pertama: 
»
“Lajur pertama. Di bahagian bawah saya perlu mendapat sifar. Oleh itu, saya mendarabkan yang di bahagian atas dengan –2: , dan menambah yang pertama ke baris kedua: 2 + (–2) = 0. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: 
»
“Sekarang ruangan kedua. Di bahagian atas, saya darab -1 dengan -2: . Saya menambah yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: 
»
“Dan lajur ketiga. Di bahagian atas saya darab -5 dengan -2: . Saya menambah yang pertama pada baris kedua: –7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: 
»
Sila fahami contoh ini dengan teliti dan fahami algoritma pengiraan berjujukan, jika anda memahami perkara ini, maka kaedah Gaussian boleh didapati di dalam poket anda. Tetapi, sudah tentu, kami masih akan mengusahakan transformasi ini.
Transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan
! PERHATIAN: dianggap manipulasi tak boleh guna, jika anda ditawarkan tugas di mana matriks diberikan "sendiri". Contohnya, dengan "klasik" operasi dengan matriks Dalam apa jua keadaan, anda tidak boleh menyusun semula apa-apa di dalam matriks! Mari kembali ke sistem kami. Ia boleh dipecahkan.
Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, kurangkan kepada pandangan melangkah:
(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Dan sekali lagi: mengapa kita mendarab baris pertama dengan –2? Untuk mendapatkan sifar di bahagian bawah, yang bermaksud menyingkirkan satu pembolehubah dalam baris kedua.
(2) Bahagikan baris kedua dengan 3.
Tujuan transformasi asas
–
kurangkan matriks kepada bentuk berperingkat: 
. Dalam reka bentuk tugas, mereka hanya menandakan "tangga" dengan pensil mudah, dan juga membulatkan nombor yang terletak pada "langkah". Istilah "pandangan berlangkah" itu sendiri tidak sepenuhnya teori, dalam saintifik dan sastera pendidikan ia sering dipanggil pandangan trapezoid atau pandangan segi tiga.
Hasil daripada transformasi asas, kami memperoleh bersamaan sistem persamaan asal:
Kini sistem perlu "dilepaskan" ke arah yang bertentangan - dari bawah ke atas, proses ini dipanggil songsang kaedah Gaussian.
Dalam persamaan yang lebih rendah kita sudah mempunyai hasil siap sedia: .
Mari kita pertimbangkan persamaan pertama sistem dan gantikan nilai "y" yang telah diketahui ke dalamnya:
Mari kita pertimbangkan situasi yang paling biasa, apabila kaedah Gaussian memerlukan penyelesaian sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui.
Contoh 1
Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss: 
Mari kita tulis matriks lanjutan sistem: 
Sekarang saya akan segera melukis hasil yang akan kami perolehi semasa penyelesaian: 
Dan saya ulangi, matlamat kami adalah untuk membawa matriks ke bentuk berperingkat menggunakan transformasi asas. Di mana hendak bermula?
Pertama, lihat nombor kiri atas: 
Hampir selalu ada di sini unit. Secara amnya, -1 (dan kadangkala nombor lain) akan berjaya, tetapi entah bagaimana secara tradisinya berlaku bahawa nombor itu biasanya diletakkan di sana. Bagaimana untuk mengatur unit? Kami melihat lajur pertama - kami mempunyai unit siap! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga: 
Sekarang baris pertama akan kekal tidak berubah sehingga akhir penyelesaian. Sekarang baik.
Unit di penjuru kiri sebelah atas disusun. Kini anda perlu mendapatkan sifar di tempat ini: 
Kami mendapat sifar menggunakan transformasi "sukar". Mula-mula kita berurusan dengan baris kedua (2, -1, 3, 13). Apakah yang perlu dilakukan untuk mendapatkan sifar pada kedudukan pertama? Perlu ke baris kedua tambah baris pertama didarab dengan –2. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –2: (–2, –4, 2, –18). Dan kami secara konsisten melaksanakan (sekali lagi secara mental atau pada draf) tambahan, ke baris kedua kita tambah baris pertama, sudah didarab dengan –2:
Kami menulis hasilnya dalam baris kedua: 
Kami berurusan dengan baris ketiga dengan cara yang sama (3, 2, -5, -1). Untuk mendapatkan sifar dalam kedudukan pertama, anda perlukan ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Secara mental atau pada draf, darab baris pertama dengan –3: (–3, –6, 3, –27). DAN ke baris ketiga kita tambah baris pertama didarab dengan –3:
Kami menulis hasilnya dalam baris ketiga:
Dalam amalan, tindakan ini biasanya dilakukan secara lisan dan ditulis dalam satu langkah: 
Tidak perlu mengira semuanya sekaligus dan pada masa yang sama. Susunan pengiraan dan "menulis dalam" keputusan konsisten dan selalunya begini: mula-mula kita tulis semula baris pertama, dan perlahan-lahan menghembus diri - SECARA KONSISTEN dan SECARA PERHATIAN:
Dan saya telah membincangkan proses mental pengiraan itu sendiri di atas.
Dalam contoh ini, ini mudah dilakukan; kita membahagikan baris kedua dengan –5 (kerana semua nombor di sana boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki). Pada masa yang sama, kami membahagikan baris ketiga dengan –2, kerana lebih kecil nombor, lebih mudah penyelesaiannya:
Pada peringkat akhir transformasi asas, anda perlu mendapatkan satu lagi sifar di sini: 
Untuk ini ke baris ketiga kita tambah baris kedua didarab dengan –2:
Cuba fikirkan sendiri tindakan ini - darab baris kedua secara mental dengan –2 dan lakukan penambahan.
Tindakan terakhir yang dilakukan ialah gaya rambut hasilnya, bahagikan baris ketiga dengan 3.
Hasil daripada transformasi asas, sistem persamaan linear yang setara telah diperolehi: 
Sejuk.
Kini kebalikan kaedah Gaussian mula dimainkan. Persamaan "berehat" dari bawah ke atas.
Dalam persamaan ketiga kita sudah mempunyai hasil sedia:
Mari kita lihat persamaan kedua: . Makna "zet" sudah diketahui, oleh itu:
Dan akhirnya, persamaan pertama: . "Igrek" dan "zet" diketahui, ia hanyalah perkara kecil:
Jawab: 
Seperti yang telah dinyatakan beberapa kali, untuk mana-mana sistem persamaan adalah mungkin dan perlu untuk menyemak penyelesaian yang ditemui, mujurlah, ini mudah dan cepat.
Contoh 2
Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, sampel reka bentuk akhir dan jawapan pada akhir pelajaran.
Perlu diingatkan bahawa anda kemajuan keputusan mungkin tidak bertepatan dengan proses keputusan saya, dan ini adalah ciri kaedah Gauss. Tetapi jawapannya mesti sama!
Contoh 3
Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss 
Kami melihat di kiri atas "langkah". Kita sepatutnya mempunyai satu di sana. Masalahnya ialah tiada unit dalam lajur pertama sama sekali, jadi menyusun semula baris tidak akan menyelesaikan apa-apa. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Pada baris pertama kita tambah baris kedua, didarab dengan -1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan –1 dan menambah baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.
Sekarang di bahagian atas sebelah kiri terdapat "tolak satu", yang sesuai dengan kita. Sesiapa sahaja yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan pergerakan tambahan: darab baris pertama dengan –1 (tukar tandanya).
(2) Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah pada baris kedua.
(3) Baris pertama didarab dengan –1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga ditukar dan ia dipindahkan ke tempat kedua, supaya pada "langkah" kedua kami mempunyai unit yang diperlukan.
(4) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan 2.
(5) Baris ketiga dibahagikan dengan 3.
Tanda buruk yang menunjukkan ralat dalam pengiraan (lebih jarang, kesilapan menaip) ialah garis bawah "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti , di bawah, dan, sewajarnya, 
, maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi kita boleh mengatakan bahawa ralat telah dibuat semasa transformasi asas.
Kami mengecas sebaliknya, dalam reka bentuk contoh mereka sering tidak menulis semula sistem itu sendiri, tetapi persamaan "diambil terus dari matriks yang diberikan." Lejang terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi dari bawah ke atas. Ya, inilah hadiahnya:
Jawab: 
.
Contoh 4
Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss 
Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, ia agak rumit. Tidak mengapa jika ada yang keliru. Reka bentuk penyelesaian dan sampel penuh pada akhir pelajaran. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada penyelesaian saya.
Pada bahagian terakhir kita akan melihat beberapa ciri algoritma Gaussian. Ciri pertama ialah kadangkala beberapa pembolehubah hilang daripada persamaan sistem, contohnya: 
Bagaimana untuk menulis matriks sistem lanjutan dengan betul? Saya sudah bercakap tentang perkara ini di dalam kelas. Peraturan Cramer. Kaedah matriks. Dalam matriks lanjutan sistem, kami meletakkan sifar sebagai ganti pembolehubah yang hilang: 
Ngomong-ngomong, ini adalah contoh yang agak mudah, kerana lajur pertama sudah mempunyai satu sifar, dan terdapat lebih sedikit transformasi asas untuk dilakukan.
Ciri kedua ialah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami meletakkan sama ada -1 atau +1 pada "langkah". Mungkinkah ada nombor lain di sana? Dalam beberapa kes mereka boleh. Pertimbangkan sistem: 
.
Di sini di sebelah kiri atas "langkah" kita mempunyai dua. Tetapi kita perhatikan hakikat bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki - dan yang lain ialah dua dan enam. Dan dua di kiri atas akan sesuai dengan kita! Dalam langkah pertama, anda perlu melakukan transformasi berikut: tambah baris pertama didarab dengan –1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan –3. Dengan cara ini kita akan mendapat sifar yang diperlukan dalam lajur pertama.
Atau sesuatu seperti ini contoh bersyarat: 
. Di sini tiga pada "langkah" kedua juga sesuai dengan kita, kerana 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan sifar) boleh dibahagikan dengan 3 tanpa baki. Ia adalah perlu untuk menjalankan transformasi berikut: tambah baris kedua ke baris ketiga, didarab dengan -4, akibatnya sifar yang kita perlukan akan diperolehi.
Kaedah Gauss adalah universal, tetapi terdapat satu keanehan. Belajar untuk menyelesaikan sistem dengan yakin menggunakan kaedah lain (kaedah Cramer, kaedah matriks) anda benar-benar boleh buat kali pertama - terdapat algoritma yang sangat ketat. Tetapi untuk merasa yakin dengan kaedah Gaussian, anda harus "memasukkan gigi anda" dan menyelesaikan sekurang-kurangnya 5-10 sepuluh sistem. Oleh itu, pada mulanya mungkin terdapat kekeliruan dan kesilapan dalam pengiraan, dan tidak ada yang luar biasa atau tragis tentang ini.
Cuaca musim luruh hujan di luar tingkap.... Oleh itu, untuk semua orang yang mahukan contoh yang lebih kompleks untuk diselesaikan sendiri:
Contoh 5
Selesaikan sistem 4 persamaan linear dengan empat tidak diketahui menggunakan kaedah Gauss. 
Tugas sedemikian tidak begitu jarang dalam amalan. Saya fikir walaupun teko yang telah mengkaji halaman ini dengan teliti akan memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem sedemikian secara intuitif. Pada asasnya semuanya sama - hanya ada lebih banyak tindakan.
Kes apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten) atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga dibincangkan dalam pelajaran Sistem dan sistem yang tidak serasi dengan penyelesaian yang sama. Di sana anda boleh membetulkan algoritma kaedah Gaussian yang dipertimbangkan.
Semoga anda berjaya!
Penyelesaian dan jawapan:
Contoh 2:
Penyelesaian
:
Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat.
Transformasi asas dilakukan:
(1) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan -1.
Perhatian!
Di sini anda mungkin tergoda untuk menolak yang pertama dari baris ketiga, saya sangat mengesyorkan untuk tidak menolaknya - risiko ralat meningkat dengan ketara. Lipat sahaja!
(2) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan –1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar.
Nota
, bahawa pada "langkah" kita berpuas hati bukan sahaja dengan satu, tetapi juga dengan -1, yang lebih mudah.
(3) Baris kedua ditambahkan pada baris ketiga, didarab dengan 5.
(4) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan –1). Baris ketiga dibahagikan dengan 14.
terbalik:
Jawab
:
.
Contoh 4:
Penyelesaian
:
Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:
Penukaran dilakukan: (1) Baris kedua telah ditambahkan pada baris pertama. Oleh itu, unit yang dikehendaki disusun di sebelah kiri atas "langkah". (2) Baris pertama didarab dengan 7 telah ditambah pada baris kedua.
Dengan "langkah" kedua semuanya menjadi lebih teruk , "calon" untuknya ialah nombor 17 dan 23, dan kami memerlukan sama ada satu atau –1. Transformasi (3) dan (4) akan bertujuan untuk mendapatkan unit yang dikehendaki (3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –1. (4) Baris ketiga ditambah pada baris kedua, didarab dengan –3. Item yang diperlukan pada langkah kedua telah diterima. . (5) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 6. (6) Baris kedua didarab dengan –1, baris ketiga dibahagi dengan -83.
terbalik:
Jawab :
Contoh 5:
Penyelesaian
:
Mari kita tuliskan matriks sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:
Penukaran dilakukan: (1) Baris pertama dan kedua telah ditukar. (2) Baris pertama ditambah pada baris kedua, didarab dengan –2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan –2. Baris pertama ditambahkan pada baris keempat, didarab dengan –3. (3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan 4. Baris kedua ditambah pada baris keempat, didarab dengan –1. (4) Tanda baris kedua telah ditukar. Baris keempat dibahagikan dengan 3 dan diletakkan di tempat baris ketiga. (5) Baris ketiga ditambah kepada baris keempat, didarab dengan –5.
terbalik:
Jawab :
Biarkan sistem diberi, ∆≠0. (1)Kaedah Gauss ialah kaedah menghapuskan yang tidak diketahui secara berurutan.
Intipati kaedah Gauss adalah untuk mengubah (1) kepada sistem dengan matriks segi tiga, dari mana nilai semua yang tidak diketahui kemudiannya diperoleh secara berurutan (secara terbalik). Mari kita pertimbangkan salah satu skim pengiraan. Litar ini dipanggil litar pembahagian tunggal. Jadi mari kita lihat rajah ini. Biarkan 11 ≠0 (elemen utama) membahagikan persamaan pertama dengan 11. Kita mendapatkan
(2)
Menggunakan persamaan (2), adalah mudah untuk menghapuskan x 1 yang tidak diketahui daripada persamaan sistem yang tinggal (untuk melakukan ini, cukup untuk menolak persamaan (2) daripada setiap persamaan, sebelum ini didarabkan dengan pekali yang sepadan untuk x 1) , iaitu pada langkah pertama yang kita perolehi
.
Dalam erti kata lain, pada langkah 1, setiap elemen baris berikutnya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan perbezaan antara elemen asal dan hasil "unjuran"nya pada lajur pertama dan baris pertama (berubah).
Berikutan ini, meninggalkan persamaan pertama sahaja, kami melakukan transformasi yang serupa ke atas baki persamaan sistem yang diperoleh dalam langkah pertama: kami memilih daripada antara mereka persamaan dengan unsur utama dan, dengan bantuannya, mengecualikan x 2 daripada baki persamaan (langkah 2).
Selepas n langkah, bukannya (1), kita memperoleh sistem yang setara 
(3)
Oleh itu, pada peringkat pertama kita memperoleh sistem segi tiga (3). Peringkat ini dipanggil strok hadapan.
Pada peringkat kedua (terbalik), kita dapati secara berurutan daripada (3) nilai x n, x n -1, ..., x 1.
Mari kita nyatakan penyelesaian yang terhasil sebagai x 0 . Kemudian perbezaan ε=b-A x 0 dipanggil residual.
Jika ε=0, maka penyelesaian yang ditemui x 0 adalah betul.
Pengiraan menggunakan kaedah Gaussian dilakukan dalam dua peringkat:
- Peringkat pertama dipanggil kaedah ke hadapan. Pada peringkat pertama, sistem asal ditukar kepada bentuk segi tiga.
- Peringkat kedua dipanggil strok terbalik. Pada peringkat kedua, sistem segi tiga bersamaan dengan yang asal diselesaikan.
Pada setiap langkah, elemen utama diandaikan bukan sifar. Jika ini tidak berlaku, maka mana-mana elemen lain boleh digunakan sebagai elemen utama, seolah-olah menyusun semula persamaan sistem.
Tujuan kaedah Gauss
Kaedah Gauss direka untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Merujuk kepada kaedah penyelesaian langsung.Jenis kaedah Gaussian
- Kaedah Gaussian Klasik;
- Pengubahsuaian kaedah Gauss. Salah satu pengubahsuaian kaedah Gaussian ialah skema dengan pilihan elemen utama. Satu ciri kaedah Gauss dengan pilihan elemen utama ialah penyusunan semula persamaan sedemikian sehingga pada langkah ke-k unsur utama ternyata menjadi elemen terbesar dalam lajur ke-k.
- kaedah Jordano-Gauss;
Mari kita gambarkan perbezaannya Kaedah Jordano-Gauss daripada kaedah Gaussian dengan contoh.
Contoh penyelesaian menggunakan kaedah Gauss
Mari selesaikan sistem: 
Untuk memudahkan pengiraan, mari tukar baris: 
Mari kita darab baris ke-2 dengan (2). Tambah baris ke-3 ke baris ke-2 
Darab baris ke-2 dengan (-1). Tambahkan baris ke-2 ke baris pertama 
Daripada baris pertama kita nyatakan x 3:
Daripada baris ke-2 kita nyatakan x 2:
Daripada baris ke-3 kita nyatakan x 1: 
Contoh penyelesaian menggunakan kaedah Jordano-Gauss
Mari kita selesaikan SLAE yang sama menggunakan kaedah Jordano-Gauss. 
Kami akan secara berurutan memilih elemen penyelesaian RE, yang terletak pada pepenjuru utama matriks.
Elemen resolusi adalah sama dengan (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - elemen penyelesaian (1), A dan B - elemen matriks membentuk segi empat tepat dengan unsur STE dan RE.
Mari kita bentangkan pengiraan setiap elemen dalam bentuk jadual:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Elemen penyelesaian adalah sama dengan (3).
Sebagai ganti elemen penyelesaian kita mendapat 1, dan dalam lajur itu sendiri kita menulis sifar.
Semua elemen matriks lain, termasuk unsur lajur B, ditentukan oleh peraturan segi empat tepat.
Untuk melakukan ini, kami memilih empat nombor yang terletak di bucu segi empat tepat dan sentiasa memasukkan elemen penyelesaian RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Elemen resolusi ialah (-4).
Sebagai ganti elemen penyelesaian kita mendapat 1, dan dalam lajur itu sendiri kita menulis sifar.
Semua elemen matriks lain, termasuk unsur lajur B, ditentukan oleh peraturan segi empat tepat.
Untuk melakukan ini, kami memilih empat nombor yang terletak di bucu segi empat tepat dan sentiasa memasukkan elemen penyelesaian RE.
Mari kita bentangkan pengiraan setiap elemen dalam bentuk jadual:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Jawab: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Pelaksanaan kaedah Gaussian
Kaedah Gaussian dilaksanakan dalam banyak bahasa pengaturcaraan, khususnya: Pascal, C++, php, Delphi, dan terdapat juga pelaksanaan dalam talian bagi kaedah Gaussian.Menggunakan Kaedah Gaussian
Aplikasi kaedah Gauss dalam teori permainan
Dalam teori permainan, apabila mencari strategi optimum maksimum pemain, sistem persamaan disusun, yang diselesaikan dengan kaedah Gaussian.Aplikasi kaedah Gauss dalam menyelesaikan persamaan pembezaan
Untuk mencari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan, mula-mula cari derivatif darjah yang sesuai untuk penyelesaian separa bertulis (y=f(A,B,C,D)), yang digantikan ke dalam persamaan asal. Seterusnya untuk mencari pembolehubah A,B,C,D satu sistem persamaan disusun dan diselesaikan dengan kaedah Gaussian.Aplikasi kaedah Jordano-Gauss dalam pengaturcaraan linear
DALAM pengaturcaraan linear, khususnya, dalam kaedah simpleks, peraturan segi empat tepat, yang menggunakan kaedah Jordano-Gauss, digunakan untuk mengubah jadual simpleks pada setiap lelaran.Definisi dan huraian kaedah Gaussian
Kaedah transformasi Gaussian (juga dikenali sebagai kaedah penghapusan berurutan pembolehubah yang tidak diketahui daripada persamaan atau matriks) untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ialah kaedah klasik om penyelesaian sistem persamaan algebra(SLAU). Kaedah klasik ini juga digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti mendapatkan matriks songsang dan menentukan pangkat matriks.
Transformasi menggunakan kaedah Gaussian terdiri daripada membuat perubahan berurutan kecil (elemen) kepada sistem persamaan algebra linear, yang membawa kepada penghapusan pembolehubah daripadanya dari atas ke bawah dengan pembentukan sistem persamaan segitiga baru yang setara dengan asal. satu.
Definisi 1
Bahagian penyelesaian ini dipanggil lejang ke hadapan Penyelesaian Gaussian, kerana keseluruhan proses dijalankan dari atas ke bawah.
Selepas mengurangkan sistem persamaan asal kepada satu segi tiga, kita dapati semua pembolehubah sistem dari bawah ke atas (iaitu, pembolehubah pertama yang ditemui menempati baris terakhir sistem atau matriks). Bahagian penyelesaian ini juga dikenali sebagai songsangan bagi larutan Gaussian. Algoritmanya adalah seperti berikut: pertama, pembolehubah yang paling hampir dengan bahagian bawah sistem persamaan atau matriks dikira, kemudian nilai yang terhasil digantikan lebih tinggi dan dengan itu pembolehubah lain dijumpai, dan seterusnya.
Penerangan tentang algoritma kaedah Gaussian
Urutan tindakan untuk penyelesaian umum sistem persamaan menggunakan kaedah Gaussian terdiri daripada menggunakan pukulan ke hadapan dan ke belakang secara berselang-seli pada matriks berdasarkan SLAE. Biarkan sistem persamaan awal mempunyai bentuk berikut:
$\mulakan(kes) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \tamat(kes)$
Untuk menyelesaikan SLAE menggunakan kaedah Gaussian, adalah perlu untuk menulis sistem persamaan asal dalam bentuk matriks:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
Matriks $A$ dipanggil matriks utama dan mewakili pekali pembolehubah yang ditulis mengikut tertib, dan $b$ dipanggil lajur sebutan bebasnya. Matriks $A$, ditulis melalui bar dengan lajur sebutan bebas, dipanggil matriks lanjutan:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$
Sekarang adalah perlu, menggunakan transformasi asas pada sistem persamaan (atau pada matriks, kerana ini lebih mudah), untuk membawanya ke bentuk berikut:
$\begin(kes) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(kes)$ (1)
Matriks yang diperoleh daripada pekali sistem persamaan (1) dipanggil matriks langkah seperti inilah yang biasanya kelihatan:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$
Matriks ini dicirikan oleh set sifat berikut:
- Semua garisan sifarnya datang selepas garisan bukan sifar
- Jika beberapa baris matriks dengan nombor $k$ bukan sifar, maka baris sebelumnya bagi matriks yang sama mempunyai lebih sedikit sifar daripada baris ini dengan nombor $k$.
Selepas mendapatkan matriks langkah, adalah perlu untuk menggantikan pembolehubah yang terhasil ke dalam persamaan yang tinggal (bermula dari penghujung) dan mendapatkan baki nilai pembolehubah.
Peraturan asas dan transformasi yang dibenarkan apabila menggunakan kaedah Gauss
Apabila memudahkan matriks atau sistem persamaan menggunakan kaedah ini, anda hanya perlu menggunakan transformasi asas.
Transformasi sedemikian dianggap sebagai operasi yang boleh digunakan pada matriks atau sistem persamaan tanpa mengubah maksudnya:
- penyusunan semula beberapa baris,
- menambah atau menolak daripada satu baris matriks baris lain daripadanya,
- mendarab atau membahagi rentetan dengan pemalar tidak sama dengan sifar,
- garis yang hanya terdiri daripada sifar, yang diperoleh dalam proses pengiraan dan memudahkan sistem, mesti dipadamkan,
- Anda juga perlu mengeluarkan garis berkadar yang tidak perlu, memilih untuk sistem satu-satunya dengan pekali yang lebih sesuai dan mudah untuk pengiraan selanjutnya.
Semua transformasi asas boleh diterbalikkan.
Analisis tiga kes utama yang timbul apabila menyelesaikan persamaan linear menggunakan kaedah penjelmaan Gauss mudah
Terdapat tiga kes yang timbul apabila menggunakan kaedah Gaussian untuk menyelesaikan sistem:
- Apabila sistem tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai sebarang penyelesaian
- Sistem persamaan mempunyai penyelesaian, dan yang unik, dan bilangan baris dan lajur bukan sifar dalam matriks adalah sama antara satu sama lain.
- Sistem mempunyai kuantiti atau set tertentu penyelesaian yang mungkin, dan bilangan baris di dalamnya adalah kurang daripada bilangan lajur.
Hasil penyelesaian dengan sistem yang tidak konsisten
Untuk pilihan ini, apabila menyelesaikan persamaan matriks Kaedah Gauss dicirikan dengan mendapatkan beberapa garis dengan kemustahilan untuk memenuhi kesamaan. Oleh itu, jika sekurang-kurangnya satu kesamaan yang salah berlaku, sistem yang terhasil dan asal tidak mempunyai penyelesaian, tanpa mengira persamaan lain yang terkandung di dalamnya. Contoh matriks tidak konsisten:
$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$
Dalam baris terakhir kesamaan mustahil timbul: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Sistem persamaan yang hanya mempunyai satu penyelesaian
Sistem ini, selepas dikurangkan kepada matriks langkah dan mengalih keluar baris dengan sifar, mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama dalam matriks utama. Di sini contoh paling mudah sistem sedemikian:
$\mulakan(kes) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(kes)$
Mari kita tulis dalam bentuk matriks:
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$
Untuk membawa sel pertama baris kedua kepada sifar, kita darabkan baris atas dengan $-2$ dan tolakkannya daripada baris bawah matriks, dan biarkan baris atas dalam bentuk asalnya, akibatnya kita mempunyai yang berikut :
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$
Contoh ini boleh ditulis sebagai sistem:
$\mulakan(kes) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(kes)$
Persamaan yang lebih rendah menghasilkan nilai berikut untuk $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Gantikan nilai ini ke dalam persamaan atas: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, kita dapat $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.
Sistem dengan banyak kemungkinan penyelesaian
Sistem ini dicirikan oleh bilangan baris penting yang lebih kecil daripada bilangan lajur di dalamnya (baris matriks utama diambil kira).
Pembolehubah dalam sistem sedemikian dibahagikan kepada dua jenis: asas dan bebas. Apabila mengubah sistem sedemikian, pembolehubah utama yang terkandung di dalamnya mesti ditinggalkan di kawasan kiri sehingga tanda "=", dan pembolehubah yang tinggal mesti dipindahkan ke sebelah kanan kesaksamaan.
Sistem sedemikian hanya mempunyai penyelesaian umum tertentu.
Mari kita selesaikan sistem berikut persamaan:
$\begin(kes) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$
Mari kita tulis dalam bentuk matriks:
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$
Tugas kami adalah untuk mencari penyelesaian umum kepada sistem. Untuk matriks ini, pembolehubah asas ialah $y_1$ dan $y_3$ (untuk $y_1$ - kerana ia didahulukan, dan dalam kes $y_3$ - ia terletak selepas sifar).
Sebagai pembolehubah asas, kami memilih betul-betul pembolehubah yang pertama dalam baris dan tidak sama dengan sifar.
Pembolehubah selebihnya dipanggil bebas; kita perlu menyatakan yang asas melaluinya.
Menggunakan apa yang dipanggil lejang terbalik, kami menganalisis sistem dari bawah ke atas untuk melakukan ini, kami mula-mula menyatakan $y_3$ dari baris bawah sistem:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
Sekarang kita gantikan $y_3$ yang dinyatakan ke dalam persamaan atas sistem $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$
Kami menyatakan $y_1$ dalam sebutan pembolehubah bebas $y_2$ dan $y_4$:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$
Penyelesaiannya sudah sedia.
Contoh 1
Selesaikan slough menggunakan kaedah Gaussian. Contoh. Contoh penyelesaian sistem persamaan linear yang diberikan oleh matriks 3 kali 3 menggunakan kaedah Gaussian
$\mulakan(kes) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(kes)$
Mari kita tulis sistem kita dalam bentuk matriks lanjutan:
$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
Sekarang, untuk kemudahan dan kepraktisan, anda perlu mengubah matriks supaya $1 berada di sudut atas lajur paling luar.
Untuk melakukan ini, ke baris pertama kita perlu menambah baris dari tengah, didarab dengan $-1$, dan tulis garis tengah itu sendiri sebagaimana adanya, ternyata:
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $
Darabkan baris atas dan terakhir dengan $-1$, dan juga tukar baris terakhir dan tengah:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$
Dan bahagikan baris terakhir dengan $3$:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$
Kami memperoleh sistem persamaan berikut, bersamaan dengan yang asal:
$\mulakan(kes) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(kes)$
Daripada persamaan atas kita nyatakan $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
Contoh 2
Contoh penyelesaian sistem yang ditakrifkan menggunakan matriks 4 dengan 4 menggunakan kaedah Gaussian
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.
Pada mulanya, kami menukar baris teratas mengikutinya untuk mendapatkan $1 di penjuru kiri sebelah atas:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.
Sekarang darabkan baris atas dengan $-2$ dan tambah pada baris ke-2 dan ke-3. Pada baris ke-4 kami menambah baris pertama, didarab dengan $-3$:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$
Sekarang ke baris nombor 3 kita tambah baris 2 didarab dengan $4$, dan ke baris 4 kita tambah baris 2 didarab dengan $-1$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$
Kami mendarabkan baris 2 dengan $-1$, dan membahagikan baris 4 dengan $3$ dan menggantikan baris 3.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$
Sekarang kita tambah pada baris terakhir baris terakhir, didarab dengan $-5$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$
Kami menyelesaikan sistem persamaan yang terhasil:
$\mulakan(kes) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\tamat(kes)$
