வீடு வாயிலிருந்து வாசனை எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை. எப்போதும் மனநிலையில் இருங்கள்

வாயிலிருந்து வாசனை

எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை. எப்போதும் மனநிலையில் இருங்கள்

இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தில் உள்ள சில சிக்கல்களை எண் தொடரின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும். பள்ளிகளில் கற்பிக்கப்படும் இரண்டு எளிய எண் வரிசைகள் இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் ஆகும். இந்த கட்டுரையில், எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்வியை நாம் கூர்ந்து கவனிப்போம்.

முன்னேற்ற வடிவியல்

இந்த வார்த்தைகள் உண்மையான எண்களின் வரிசையைக் குறிக்கின்றன, அவற்றின் கூறுகள் a i வெளிப்பாட்டைத் திருப்திப்படுத்துகின்றன:

இங்கே i என்பது தொடரில் உள்ள தனிமத்தின் எண், r என்பது வகுத்தல் எனப்படும் நிலையான எண்.

இந்த வரையறை, முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் அதன் வகுப்பையும் தெரிந்துகொள்வதன் மூலம், நீங்கள் எண்களின் முழுத் தொடரையும் மீட்டெடுக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 10 வது உறுப்பு தெரிந்தால், அதை r ஆல் வகுத்தால் 9 வது உறுப்பு கிடைக்கும், அதை மீண்டும் வகுத்தால் 8 வது மற்றும் பல கிடைக்கும். இந்த எளிய வாதங்கள், பரிசீலனையில் உள்ள எண்களின் வரிசைக்கு செல்லுபடியாகும் வெளிப்பாட்டை எழுத அனுமதிக்கின்றன:

2 இன் வகுப்பினைக் கொண்ட ஒரு முன்னேற்றத்திற்கான உதாரணம் பின்வரும் தொடராக இருக்கும்:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

வகுத்தல் -2 க்கு சமமாக இருந்தால், முற்றிலும் மாறுபட்ட தொடர் பெறப்படுகிறது:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

இயற்கணித முன்னேற்றத்தை விட வடிவியல் முன்னேற்றம் மிக வேகமாக உள்ளது, அதாவது, அதன் சொற்கள் விரைவாக அதிகரிக்கின்றன மற்றும் விரைவாக குறைகின்றன.

முன்னேற்றத்திற்கான i விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை

நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்க்க, பரிசீலனையில் உள்ள எண் வரிசையின் பல கூறுகளின் கூட்டுத்தொகையை கணக்கிடுவது பெரும்பாலும் அவசியம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

i சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிட, நீங்கள் இரண்டு எண்களை மட்டுமே தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்: a 1 மற்றும் r, இது தர்க்கரீதியானது, ஏனெனில் அவை முழு வரிசையையும் தனித்துவமாக தீர்மானிக்கின்றன.

வரிசையையும் அதன் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையையும் குறைக்கிறது

இப்போது கருத்தில் கொள்வோம் சிறப்பு வழக்கு. வகுத்தல் r இன் மாடுலஸ் ஒன்றுக்கு மேல் இல்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது -1

குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் கருத்தில் கொள்வது சுவாரஸ்யமானது, ஏனெனில் அதன் சொற்களின் எல்லையற்ற தொகை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட உண்மையான எண்ணாக இருக்கும்.

கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். முந்தைய பத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட S iக்கான வெளிப்பாட்டை நீங்கள் எழுதினால் இதைச் செய்வது எளிது. எங்களிடம் உள்ளது:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

i->∞ போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். வகுப்பின் மாடுலஸ் 1 க்கும் குறைவாக இருப்பதால், அதை எல்லையற்ற சக்தியாக உயர்த்துவது பூஜ்ஜியத்தைக் கொடுக்கும். r=0.5 இன் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இதைச் சரிபார்க்கலாம்:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

இதன் விளைவாக, எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை வடிவம் எடுக்கும்:

இந்த சூத்திரம் பெரும்பாலும் நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, உதாரணமாக, புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளை கணக்கிட. ஆமை மற்றும் அகில்லெஸுடன் எலியாவின் ஜீனோவின் முரண்பாட்டை தீர்க்கவும் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு எல்லையற்ற வடிவியல் அதிகரிக்கும் முன்னேற்றத்தின் (r>1) கூட்டுத்தொகையை கருத்தில் கொண்டால், S ∞ = +∞ விளைவு ஏற்படும் என்பது தெளிவாகிறது.

ஒரு முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தைக் கண்டறியும் பணி

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி மேலே உள்ள சூத்திரங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம். ஒரு எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை 11 என்று அறியப்படுகிறது. மேலும், அதன் 7வது காலமானது மூன்றாவது காலத்தை விட 6 மடங்கு குறைவு. இந்த எண் தொடரின் முதல் உறுப்பு எது?

முதலில், 7 வது மற்றும் 3 வது கூறுகளை தீர்மானிக்க இரண்டு வெளிப்பாடுகளை எழுதுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

முதல் வெளிப்பாட்டை இரண்டால் வகுத்து, வகுப்பினை வெளிப்படுத்தினால், எங்களிடம் உள்ளது:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

ஏழாவது மற்றும் மூன்றாவது சொற்களின் விகிதம் சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால், நீங்கள் அதை மாற்றலாம் மற்றும் r ஐக் காணலாம்:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0.63894

r ஐ ஐந்து தசம இடங்களுக்குக் கணக்கிட்டோம். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு ஒன்றுக்கு குறைவாக இருப்பதால், முன்னேற்றம் குறைகிறது, இது அதன் எல்லையற்ற தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதை நியாயப்படுத்துகிறது. S ∞ கூட்டுத்தொகை மூலம் முதல் காலத்திற்கான வெளிப்பாட்டை எழுதுவோம்:

இந்த சூத்திரத்தில் அறியப்பட்ட மதிப்புகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம் மற்றும் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

a 1 = 11*(1-0.63894) = 3.97166.

வேகமான அகில்லெஸ் மற்றும் மெதுவான ஆமை ஆகியவற்றுடன் ஜெனோவின் பிரபலமான முரண்பாடு

எலியாவின் ஜெனோ கிமு 5 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த புகழ்பெற்ற கிரேக்க தத்துவஞானி ஆவார். இ. அதன் பல உச்சநிலைகள் அல்லது முரண்பாடுகள் இன்றைய நாளை எட்டியுள்ளன, இதில் கணிதத்தில் எல்லையற்ற பெரிய மற்றும் எல்லையற்ற சிறிய பிரச்சனை வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஜீனோவின் பிரபலமான முரண்பாடுகளில் ஒன்று அகில்லெஸுக்கும் ஆமைக்கும் இடையிலான போட்டியாகும். அகில்லெஸ் தொலைவில் ஆமைக்கு சில நன்மைகளை அளித்தால், அவரால் அதை ஒருபோதும் பிடிக்க முடியாது என்று ஜீனோ நம்பினார். உதாரணமாக, அகில்லெஸ் ஒரு விலங்கு ஊர்ந்து செல்வதை விட 10 மடங்கு வேகமாக ஓடட்டும், எடுத்துக்காட்டாக, அவருக்கு முன்னால் 100 மீட்டர். போர்வீரன் 100 மீட்டர் ஓடும்போது, ஆமை 10 மீட்டர் தூரம் ஊர்ந்து செல்கிறது.மீண்டும் 10 மீட்டர் ஓடிய அகில்லெஸ், ஆமை மேலும் 1 மீட்டர் ஊர்ந்து செல்வதைக் காண்கிறார். நீங்கள் இந்த வழியில் விளம்பரம் முடிவிலி வாதிடலாம், போட்டியாளர்களுக்கு இடையிலான தூரம் உண்மையில் குறையும், ஆனால் ஆமை எப்போதும் முன்னால் இருக்கும்.

இயக்கம் இல்லை, மற்றும் சுற்றியுள்ள அனைத்து பொருட்களின் இயக்கங்களும் ஒரு மாயை என்ற முடிவுக்கு ஜீனோவை வழிநடத்தியது. நிச்சயமாக, பண்டைய கிரேக்க தத்துவஞானி தவறு.

முரண்பாட்டிற்கான தீர்வு, தொடர்ந்து குறைந்து வரும் பிரிவுகளின் எல்லையற்ற தொகை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணாக இருக்கும். மேலே உள்ள வழக்கில், அகில்லெஸ் ஓடிய தூரத்திற்கு, நாம் பெறுகிறோம்:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

S ∞ = 100 /(1-0.1) ≈ 111.111 மீட்டர்

இந்த முடிவு ஆமை 11.111 மீட்டர் மட்டுமே ஊர்ந்து செல்லும் போது அகில்லெஸ் அதைப் பிடிக்கும் என்பதைக் காட்டுகிறது.

பண்டைய கிரேக்கர்களுக்கு கணிதத்தில் எண்ணற்ற அளவுகளுடன் வேலை செய்வது எப்படி என்று தெரியவில்லை. எவ்வாறாயினும், அகில்லெஸ் கடக்க வேண்டிய எண்ணற்ற இடைவெளிகளில் கவனம் செலுத்தாமல், ஓட்டப்பந்தய வீரர் தனது இலக்கை அடைய வேண்டிய வரையறுக்கப்பட்ட படிகளில் கவனம் செலுத்தினால் இந்த முரண்பாடு தீர்க்கப்படும்.

பாடத்தின் நோக்கம்: ஒரு புதிய வகை வரிசைக்கு மாணவர்களை அறிமுகப்படுத்துதல் - எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம்.
பணிகள்:
ஒரு எண் வரிசையின் வரம்பு பற்றிய ஆரம்ப யோசனையை உருவாக்குதல்;
முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, எல்லையற்ற கால பின்னங்களை சாதாரணமாக மாற்றுவதற்கான மற்றொரு வழியின் அறிமுகம்;
தர்க்கரீதியான சிந்தனை, மதிப்பீட்டு செயல்களைச் செய்யும் திறன் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல் போன்ற பள்ளி மாணவர்களின் ஆளுமையின் அறிவுசார் குணங்களின் வளர்ச்சி;
செயல்பாடு, பரஸ்பர உதவி, கூட்டுத்தன்மை மற்றும் பாடத்தில் ஆர்வத்தை வளர்ப்பது.

பதிவிறக்க Tamil:

முன்னோட்ட:

தலைப்பில் பாடம் "முடிவின்றி குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம்" (இயற்கணிதம், 10 ஆம் வகுப்பு)

பாடத்தின் நோக்கம்: ஒரு புதிய வகை வரிசைக்கு மாணவர்களை அறிமுகப்படுத்துதல் - எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம்.

பணிகள்:

ஒரு எண் வரிசையின் வரம்பு பற்றிய ஆரம்ப யோசனையை உருவாக்குதல்; முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, எல்லையற்ற கால பின்னங்களை சாதாரணமாக மாற்றுவதற்கான மற்றொரு வழியின் அறிமுகம்;

தர்க்கரீதியான சிந்தனை, மதிப்பீட்டு செயல்களைச் செய்யும் திறன் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தல் போன்ற பள்ளி மாணவர்களின் ஆளுமையின் அறிவுசார் குணங்களின் வளர்ச்சி;

செயல்பாடு, பரஸ்பர உதவி, கூட்டுத்தன்மை மற்றும் பாடத்தில் ஆர்வத்தை வளர்ப்பது.

உபகரணங்கள்: கணினி வகுப்பு, ப்ரொஜெக்டர், திரை.

பாடம் வகை: பாடம் - ஒரு புதிய தலைப்பைக் கற்றல்.

வகுப்புகளின் போது

I. Org. கணம். பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் நோக்கத்தைக் குறிப்பிடவும்.

II. மாணவர்களின் அறிவைப் புதுப்பித்தல்.

9 ஆம் வகுப்பில் நீங்கள் எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களைப் படித்தீர்கள்.

கேள்விகள்

1. வரையறை எண்கணித முன்னேற்றம்.

(ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் ஒரு வரிசையாகும்

இரண்டாவது தொடங்கி, இது அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தைய காலத்திற்கு சமம்).

2. ஃபார்முலா n எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல்

3. முதல் தொகைக்கான சூத்திரம் n ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள்.

( அல்லது )

4. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறை.

(ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண்களின் வரிசையாகும்

இதன் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய காலத்தை பெருக்குவதற்கு சமம்

அதே எண்).

5. ஃபார்முலா n வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல்

6. முதல் தொகைக்கான சூத்திரம் n ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள்.

7. உங்களுக்கு வேறு என்ன சூத்திரங்கள் தெரியும்?

(, எங்கே ; ;

; , )

பணிகள்

1. எண்கணித முன்னேற்றம் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது a n = 7 – 4n . 10ஐக் கண்டுபிடி. (-33)

2. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் a 3 = 7 மற்றும் a 5 = 1 . 4 ஐக் கண்டுபிடி. (4)

3. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் a 3 = 7 மற்றும் a 5 = 1 . 17ஐக் கண்டுபிடி. (-35)

4. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் a 3 = 7 மற்றும் a 5 = 1 . S 17ஐக் கண்டுபிடி. (-187)

5. வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்குஐந்தாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்.

6. வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு n வது வார்த்தையைக் கண்டறியவும்.

7. அதிவேகமாக b 3 = 8 மற்றும் b 5 = 2. b 4 ஐக் கண்டுபிடி. (4)

8. அதிவேகமாக b 3 = 8 மற்றும் b 5 = 2. b 1 மற்றும் q ஐக் கண்டறியவும்.

9. அதிவேகமாக b 3 = 8 மற்றும் b 5 = 2. S5 ஐக் கண்டுபிடி. (62)

III. புதிய தலைப்பைக் கற்றல்(விளக்கக்காட்சியின் ஆர்ப்பாட்டம்).

1 க்கு சமமான ஒரு பக்கத்தைக் கொண்ட ஒரு சதுரத்தைக் கவனியுங்கள். முதல் சதுரத்தின் பாதி அளவுள்ள மற்றொரு சதுரத்தை வரைவோம், அதன் பிறகு மற்றொரு பக்கத்தின் பாதி இரண்டாவது, அடுத்தது போன்றவை. ஒவ்வொரு முறையும் புதிய சதுரத்தின் பக்கமானது முந்தைய ஒன்றின் பாதிக்கு சமமாக இருக்கும்.

இதன் விளைவாக, சதுரங்களின் பக்கங்களின் வரிசையைப் பெற்றோம்வகுப்பினருடன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்குதல்.

மேலும், மிகவும் முக்கியமானது என்னவென்றால், அத்தகைய சதுரங்களை நாம் எவ்வளவு அதிகமாக உருவாக்குகிறோமோ, அந்த சதுரத்தின் பக்கமும் சிறியதாக இருக்கும்.உதாரணத்திற்கு ,

அந்த. எண் n அதிகரிக்கும் போது, முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்.

இந்த எண்ணிக்கையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் மற்றொரு வரிசையைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, சதுரங்களின் பகுதிகளின் வரிசை:

மேலும், மீண்டும், n என்றால் காலவரையறையின்றி அதிகரிக்கிறது, பின்னர் நீங்கள் விரும்பியபடி பகுதி பூஜ்ஜியத்தை நெருங்குகிறது.

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். 1 செமீக்கு சமமான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணம். முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டைப் பற்றிய தேற்றத்தின்படி, 1 வது முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்பகுதிகளில் உள்ள செங்குத்துகளுடன் பின்வரும் முக்கோணத்தை உருவாக்குவோம் - 2 வது பக்கமானது முதல் பக்கத்தின் பாதி பக்கத்திற்கு சமம், 3 வது பக்கமானது 2 வது, முதலியவற்றின் பாதி பக்கத்திற்கு சமம். மீண்டும் முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் நீளங்களின் வரிசையைப் பெறுகிறோம்.

மணிக்கு.

நாம் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை கருத்தில் கொண்டால் எதிர்மறை வகுத்தல்.

பின்னர், மீண்டும், அதிகரிக்கும் எண்ணிக்கையுடன் n முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் பூஜ்ஜியத்தை அணுகுகின்றன.

இந்த வரிசைகளின் வகுப்பிற்கு கவனம் செலுத்துவோம். எல்லா இடங்களிலும் வகுப்புகள் முழுமையான மதிப்பில் 1க்கும் குறைவாகவே இருந்தன.

நாம் முடிவுக்கு வரலாம்: அதன் வகுப்பின் மாடுலஸ் 1 ஐ விட குறைவாக இருந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைந்துவிடும்.

முன் வேலை.

வரையறை:

வடிவியல் முன்னேற்றம்அதன் வகுப்பின் மாடுலஸ் ஒன்றுக்குக் குறைவாக இருந்தால் அது எல்லையற்ற குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது..

வரையறையைப் பயன்படுத்தி, வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறதா இல்லையா என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்.

பணி

சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்டால், வரிசையானது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றமா:

தீர்வு:

q ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

; ; ; .

இந்த வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைந்து வருகிறது.

b) இந்த வரிசையானது எல்லையில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் அல்ல.

1 க்கு சமமான பக்கத்தைக் கொண்ட ஒரு சதுரத்தைக் கவனியுங்கள். அதை பாதியாகப் பிரிக்கவும், பாதிகளில் ஒன்றை பாதியாகப் பிரிக்கவும். இதன் விளைவாக வரும் அனைத்து செவ்வகங்களின் பகுதிகளும் எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன:

இந்த வழியில் பெறப்பட்ட அனைத்து செவ்வகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை 1 வது சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாகவும் 1 க்கு சமமாகவும் இருக்கும்.

ஆனால் இந்த சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தில் எண்ணற்ற சொற்களின் கூட்டுத்தொகை உள்ளது.

முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தின்படி, அது சமம்.

என் என்றால் வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கிறது, பின்னர்

அல்லது . எனவே, அதாவது. .

முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைஒரு வரிசை வரம்பு உள்ளது S 1, S 2, S 3, ..., S n, ....

உதாரணமாக, முன்னேற்றத்திற்காக,

எங்களிடம் உள்ளது

ஏனெனில்

முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கலாம்.

III. புரிதல் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு(பணிகளை முடித்தல்).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. சுருக்கமாக.

இன்று நீங்கள் எந்த வரிசையுடன் அறிமுகமானீர்கள்?

எல்லையில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை வரையறுக்கவும்.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைந்து வருகிறது என்பதை எவ்வாறு நிரூபிப்பது?

எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைக் கொடுங்கள்.

V. வீட்டுப்பாடம்.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

முன்னோட்ட:

விளக்கக்காட்சி மாதிரிக்காட்சிகளைப் பயன்படுத்த, Google கணக்கை உருவாக்கி அதில் உள்நுழையவும்: https://accounts.google.com

ஸ்லைடு தலைப்புகள்:

ஒவ்வொருவரும் தொடர்ந்து சிந்திக்கவும், ஆதாரங்களுடன் தீர்ப்பளிக்கவும் மற்றும் தவறான முடிவுகளை மறுக்கவும் முடியும்: ஒரு இயற்பியலாளர் மற்றும் ஒரு கவிஞர், ஒரு டிராக்டர் டிரைவர் மற்றும் ஒரு வேதியியலாளர். E. Kolman கணிதத்தில், ஒருவர் சூத்திரங்களை அல்ல, சிந்தனை செயல்முறைகளை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். வி.பி. எர்மகோவ் ஒரு கணிதவியலாளரை விட ஒரு வட்டத்தின் சதுரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. அகஸ்டஸ் டி மோர்கன் கணிதத்தை விட மனிதகுலத்திற்கு மிகவும் உன்னதமான, மிகவும் போற்றத்தக்க, பயனுள்ள அறிவியல் எது? பிராங்க்ளின்

வடிவியல் முன்னேற்றம் தரம் 10 ஐ எல்லையில்லாமல் குறைக்கிறது

நான். எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்கள். கேள்விகள் 1. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வரையறை. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு வரிசையாகும், இதில் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கும், அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தைய சொல்லுக்கு சமமாக இருக்கும். 2. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம். 3. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம். 4. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறை. ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் என்பது பூஜ்ஜியமற்ற எண்களின் வரிசையாகும், இதன் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கும், முந்தைய காலத்தை அதே எண்ணால் பெருக்கப்படும் 5. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம். 6. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்.

II. எண்கணித முன்னேற்றம். பணிகள் a n = 7 – 4 n Find a 10 என்ற சூத்திரத்தால் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் வழங்கப்படுகிறது. (-33) 2. எண்கணித முன்னேற்றத்தில், a 3 = 7 மற்றும் a 5 = 1. 4 ஐக் கண்டுபிடி. (4) 3. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் a 3 = 7 மற்றும் a 5 = 1. 17ஐக் கண்டுபிடி. (-35) 4. எண்கணித முன்னேற்றத்தில், a 3 = 7 மற்றும் a 5 = 1. S 17ஐக் கண்டுபிடி. (-187)

II. வடிவியல் முன்னேற்றம். பணிகள் 5. வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு, ஐந்தாவது காலத்தைக் கண்டறியவும் 6. வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு, n வது காலத்தைக் கண்டறியவும். 7. வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் b 3 = 8 மற்றும் b 5 = 2. b 4 ஐக் கண்டுபிடி. (4) 8. வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் b 3 = 8 மற்றும் b 5 = 2. b 1 மற்றும் q ஐக் கண்டறியவும். 9. வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் b 3 = 8 மற்றும் b 5 = 2. S5 ஐக் கண்டுபிடி. (62)

வரையறை: ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றமானது, அதன் வகுப்பின் மாடுலஸ் ஒன்றுக்குக் குறைவாக இருந்தால், அது எல்லையற்ற குறைதல் எனப்படும்.

சிக்கல் எண். 1 சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்டால், வரிசையானது எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றமா: தீர்வு: a) இந்த வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைந்து வருகிறது. b) இந்த வரிசையானது எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் அல்ல.

எல்லையில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... வரிசையின் வரம்பு ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, எங்களிடம் உள்ள முன்னேற்றத்திற்கு, எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்.

பணிகளை முடித்தல் முதல் கால 3, இரண்டாவது 0.3 உடன் எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும். 2. எண் 13; எண் 14; பாடநூல், ப. 138 3. எண். 15(1;3); எண்.16(1;3) எண்.18(1;3); 4. எண் 19; எண் 20.

இன்று நீங்கள் எந்த வரிசையுடன் அறிமுகமானீர்கள்? எல்லையில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை வரையறுக்கவும். ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைந்து வருகிறது என்பதை எவ்வாறு நிரூபிப்பது? எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைக் கொடுங்கள். கேள்விகள்

பிரபல போலந்து கணிதவியலாளர் ஹ்யூகோ ஸ்டெய்ன்ஹாஸ் நகைச்சுவையாக ஒரு சட்டம் பின்வருமாறு வகுக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறுகிறார்: ஒரு கணிதவியலாளர் அதை சிறப்பாகச் செய்வார். அதாவது, நீங்கள் இரண்டு பேரை நம்பினால், அவர்களில் ஒருவர் கணிதவியலாளர், அவர்களுக்குப் பழக்கமில்லாத எந்தவொரு வேலையைச் செய்ய, அதன் விளைவு எப்போதும் பின்வருமாறு இருக்கும்: கணிதவியலாளர் அதை சிறப்பாகச் செய்வார். ஹ்யூகோ ஸ்டெய்ன்ஹாஸ் 01/14/1887-02/25/1972

எண் வரிசைகள் VI

§ l48. முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை

இப்போது வரை, தொகைகளைப் பற்றி பேசும்போது, இந்த தொகைகளில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும் என்று நாங்கள் எப்போதும் கருதுகிறோம் (உதாரணமாக, 2, 15, 1000, முதலியன). ஆனால் சில சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது (குறிப்பாக உயர் கணிதம்) எண்ணற்ற சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கையாள வேண்டும்.

எஸ்= அ 1 + அ 2 + ... + அ n + ... . (1)

இந்த தொகைகள் என்ன? A-priory எண்ணற்ற சொற்களின் கூட்டுத்தொகை அ 1 , அ 2 , ..., அ n , ... தொகை S இன் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது n முதலில் பி எண்கள் எப்போது பி -> ∞ :

S=S n = (அ 1 + அ 2 + ... + அ n ). (2)

வரம்பு (2), நிச்சயமாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். அதன்படி, கூட்டுத்தொகை (1) உள்ளது அல்லது இல்லை என்று கூறுகிறார்கள்.

ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட வழக்கிலும் தொகை (1) உள்ளதா என்பதை நாம் எப்படிக் கண்டறியலாம்? பொதுவான முடிவுஇந்த சிக்கல் எங்கள் திட்டத்தின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது. இருப்பினும், நாம் இப்போது கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய முக்கியமான சிறப்பு வழக்கு ஒன்று உள்ளது. முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை சுருக்கமாகப் பேசுவோம்.

விடுங்கள் அ 1 , அ 1 கே , அ 1 கே 2, ... என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றமாகும். இதன் பொருள் | கே |< 1. Сумма первых பி இந்த முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள் சமம்

மாறிகளின் வரம்புகளின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளிலிருந்து (§ 136 ஐப் பார்க்கவும்) நாம் பெறுகிறோம்:

ஆனால் 1 = 1, ஏ qn = 0. எனவே

எனவே, முடிவில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையானது, இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் காலத்தை இந்த முன்னேற்றத்தின் வகுப்பினைக் கழித்தால் வகுக்கப்படும்.

1) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... சமம்

மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை 12; -6; 3; - 3/2 , ... சமம்

2) ஒரு எளிய கால பின்னம் 0.454545 ... சாதாரணமாக மாற்றவும்.

இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, இந்தப் பின்னத்தை எல்லையற்ற தொகையாகக் கற்பனை செய்து பாருங்கள்:

வலது பகுதிஇந்த சமத்துவம் என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையாகும், இதன் முதல் சொல் 45/100 க்கு சமம், மற்றும் வகுத்தல் 1/100 ஆகும். அதனால் தான்

விவரிக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்தி, அதைப் பெறலாம் பொது விதிஎளிய கால பின்னங்களை சாதாரணமாக மாற்றுதல் (அத்தியாயம் II, § 38 ஐப் பார்க்கவும்):

ஒரு எளிய காலப் பகுதியை சாதாரண பின்னமாக மாற்ற, நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும்: எண்களில் தசமப் பகுதியின் காலத்தை வைக்கவும், மற்றும் வகுப்பில் - ஒன்பதுகளைக் கொண்ட எண், அந்தக் காலகட்டத்தில் எத்தனை முறை இலக்கங்கள் இருக்கிறதோ, அவ்வளவு முறை எடுக்கப்பட்டது. தசமப் பகுதியின்.

3) கலப்பு கால பின்னம் 0.58333....ஐ சாதாரண பின்னமாக மாற்றவும்.

இந்தப் பின்னத்தை எல்லையற்ற தொகையாகக் கற்பனை செய்வோம்:

இந்த சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில், 3/1000 இலிருந்து தொடங்கும் அனைத்து சொற்களும் எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன, இதன் முதல் சொல் 3/1000 க்கு சமம், மற்றும் வகுத்தல் 1/10 ஆகும். அதனால் தான்

விவரிக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்தி, கலப்பு கால பின்னங்களை சாதாரண பின்னங்களாக மாற்றுவதற்கான பொதுவான விதியைப் பெறலாம் (அத்தியாயம் II, § 38 ஐப் பார்க்கவும்). அதை நாங்கள் வேண்டுமென்றே இங்கு முன்வைக்கவில்லை. இந்த சிக்கலான விதியை நினைவில் கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை. எந்த ஒரு கலப்பு கால பின்னமும் எல்லையில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்படலாம் என்பதை அறிவது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். மற்றும் சூத்திரம்

முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொகைக்கு, நீங்கள் நிச்சயமாக நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு பயிற்சியாக, கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள எண். 995-1000 சிக்கல்களுக்கு கூடுதலாக, மீண்டும் சிக்கல் எண். 301 § 38 க்கு திரும்புமாறு நாங்கள் பரிந்துரைக்கிறோம்.

பயிற்சிகள்

995. எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை என்ன?

996. எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களின் தொகைகளைக் கண்டறியவும்:

997. என்ன மதிப்புகளில் எக்ஸ் முன்னேற்றம்

அது முடிவில்லாமல் குறைகிறதா? அத்தகைய முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

998. ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் ஏ ஒரு புதிய முக்கோணம் அதன் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைப்பதன் மூலம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது; இந்த முக்கோணத்தில் அதே வழியில் ஒரு புதிய முக்கோணம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.

a) இந்த அனைத்து முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் கூட்டுத்தொகை;

b) அவற்றின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை.

999. பக்கத்துடன் சதுரம் ஏ ஒரு புதிய சதுரம் அதன் பக்கங்களின் நடுப்பகுதிகளை இணைப்பதன் மூலம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது; ஒரு சதுரம் இந்த சதுரத்தில் அதே வழியில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் விளம்பர முடிவில்லாதது. இந்த அனைத்து சதுரங்களின் சுற்றளவுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

1000. எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தை உருவாக்கவும், அதன் கூட்டுத்தொகை 25/4 க்கு சமமாகவும், அதன் சொற்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 625/24 க்கு சமமாகவும் இருக்கும்.

முதல் நிலை

வடிவியல் முன்னேற்றம். விரிவான வழிகாட்டிஎடுத்துக்காட்டுகளுடன் (2019)

எண் வரிசை

எனவே, உட்கார்ந்து சில எண்களை எழுத ஆரம்பிக்கலாம். உதாரணத்திற்கு:

நீங்கள் எந்த எண்களையும் எழுதலாம், மேலும் நீங்கள் விரும்பும் அளவுக்கு அவற்றில் பல இருக்கலாம் (எங்கள் விஷயத்தில், அவை உள்ளன). நாம் எத்தனை எண்களை எழுதினாலும், எது முதலில், எது இரண்டாவது என்று எப்போதும் சொல்லலாம், கடைசி வரை, அதாவது அவற்றை எண்ணலாம். எண் வரிசைக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு:

எண் வரிசைஎண்களின் தொகுப்பாகும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு தனிப்பட்ட எண்ணை ஒதுக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் வரிசைக்கு:

ஒதுக்கப்பட்ட எண் வரிசையில் உள்ள ஒரு எண்ணுக்கு மட்டுமே குறிப்பிட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வரிசையில் மூன்று வினாடி எண்கள் இல்லை. இரண்டாவது எண் (வது எண் போன்றது) எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

எண்ணைக் கொண்ட எண் வரிசையின் n வது உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் வழக்கமாக முழு வரிசையையும் ஏதேனும் ஒரு எழுத்து மூலம் அழைக்கிறோம் (உதாரணமாக,), இந்த வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் இந்த உறுப்பினரின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான குறியீட்டுடன் ஒரே கடிதம்: .

எங்கள் விஷயத்தில்:

முன்னேற்றத்தின் மிகவும் பொதுவான வகைகள் எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் ஆகும். இந்த தலைப்பில் நாம் இரண்டாவது வகை பற்றி பேசுவோம் - வடிவியல் முன்னேற்றம்.

ஏன் வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் அதன் வரலாறு தேவை?

பண்டைய காலங்களில் கூட, இத்தாலிய கணிதவியலாளர் துறவியான பிசாவின் லியோனார்டோ (பிபோனச்சி என்று அழைக்கப்படுபவர்) வர்த்தகத்தின் நடைமுறைத் தேவைகளைக் கையாண்டார். துறவி ஒரு பொருளை எடைபோட பயன்படுத்தக்கூடிய மிகச்சிறிய எடைகள் என்ன என்பதை தீர்மானிக்கும் பணியை எதிர்கொண்டார்? ஃபிபோனச்சி தனது படைப்புகளில், அத்தகைய எடை அமைப்பு உகந்தது என்பதை நிரூபிக்கிறது: இது ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை மக்கள் எதிர்கொள்ள வேண்டிய முதல் சூழ்நிலைகளில் ஒன்றாகும், இது நீங்கள் ஏற்கனவே கேள்விப்பட்டிருக்கலாம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் இருக்கலாம். பொதுவான கருத்து. நீங்கள் தலைப்பை முழுமையாகப் புரிந்துகொண்டவுடன், அத்தகைய அமைப்பு ஏன் உகந்தது என்று யோசித்துப் பாருங்கள்?

தற்போது, வாழ்க்கை நடைமுறையில், வங்கியில் பணத்தை முதலீடு செய்யும் போது வடிவியல் முன்னேற்றம் தன்னை வெளிப்படுத்துகிறது, முந்தைய காலத்திற்கான கணக்கில் திரட்டப்பட்ட தொகையில் வட்டி அளவு திரட்டப்படும் போது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நீங்கள் சேமிப்பு வங்கியில் நேர வைப்புத்தொகையில் பணத்தை வைத்தால், ஒரு வருடத்திற்குப் பிறகு வைப்புத்தொகை அசல் தொகையால் அதிகரிக்கும், அதாவது. புதிய தொகை பங்களிப்பை பெருக்குவதற்கு சமமாக இருக்கும். மற்றொரு ஆண்டில், இந்தத் தொகை அதிகரிக்கும், அதாவது. அந்த நேரத்தில் பெறப்பட்ட தொகை மீண்டும் பெருக்கப்படும் மற்றும் பல. அழைக்கப்படுவதைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களில் இதேபோன்ற சூழ்நிலை விவரிக்கப்பட்டுள்ளது கூட்டு வட்டி- முந்தைய வட்டியை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, கணக்கில் உள்ள தொகையிலிருந்து ஒவ்வொரு முறையும் சதவீதம் எடுக்கப்படுகிறது. இந்த பணிகளைப் பற்றி சிறிது நேரம் கழித்து பேசுவோம்.

வடிவியல் முன்னேற்றம் பயன்படுத்தப்படும் இன்னும் பல எளிய வழக்குகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, இன்ஃப்ளூயன்ஸாவின் பரவல்: ஒரு நபர் மற்றொரு நபரைத் தொற்றினார், அவர் மற்றொரு நபரைப் பாதித்தார், இதனால் இரண்டாவது அலை தொற்று ஒரு நபருக்கு ஏற்படுகிறது, மேலும் அவர்கள் மற்றொருவருக்கு தொற்று... மற்றும் பல. .

மூலம், ஒரு நிதி பிரமிடு, அதே MMM, ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு எளிய மற்றும் உலர் கணக்கீடு ஆகும். சுவாரஸ்யமானதா? அதை கண்டுபிடிக்கலாம்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்.

எங்களிடம் ஒரு எண் வரிசை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இது எளிதானது மற்றும் அத்தகைய வரிசையின் பெயர் அதன் விதிமுறைகளின் வித்தியாசத்துடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்று நீங்கள் உடனடியாக பதிலளிப்பீர்கள். இது எப்படி:

முந்தைய எண்ணை அடுத்த எண்ணிலிருந்து கழித்தால், ஒவ்வொரு முறையும் புதிய வித்தியாசம் (மற்றும் பல) இருப்பதைக் காண்பீர்கள், ஆனால் வரிசை கண்டிப்பாக உள்ளது மற்றும் கவனிக்க எளிதானது - ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எண்ணும் முந்தையதை விட மடங்கு பெரியது!

இந்த வகை எண் வரிசை அழைக்கப்படுகிறது வடிவியல் முன்னேற்றம்மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் () என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு சொல், இரண்டாவதாகத் தொடங்கி, முந்தையதற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் சொல் ( ) சமமாக இல்லை மற்றும் சீரற்றதாக இல்லாத கட்டுப்பாடுகள். எதுவும் இல்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம், முதல் சொல் இன்னும் சமம், மற்றும் q என்பது சமம்.

இது இனி ஒரு முன்னேற்றம் அல்ல என்பதை ஒப்புக்கொள்.

நீங்கள் புரிந்து கொண்டபடி, பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு ஏதேனும் எண் இருந்தால் அதே முடிவுகளைப் பெறுவோம், a. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், எந்த முன்னேற்றமும் இருக்காது, ஏனெனில் முழு எண் தொடர் அனைத்து பூஜ்ஜியங்களாகவோ அல்லது ஒரு எண்ணாகவோ இருக்கும், மீதமுள்ள அனைத்தும் பூஜ்ஜியங்களாக இருக்கும்.

இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுப்பைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பேசலாம், அதாவது ஓ.

மீண்டும் சொல்கிறோம்: - இது எண் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் எத்தனை முறை மாறும்?வடிவியல் முன்னேற்றம்.

அது என்னவாக இருக்கும் என்று நினைக்கிறீர்கள்? அது சரி, நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை, ஆனால் பூஜ்ஜியம் அல்ல (நாங்கள் இதைப் பற்றி கொஞ்சம் அதிகமாகப் பேசினோம்).

நம்முடையது நேர்மறை என்று வைத்துக் கொள்வோம். எங்கள் விஷயத்தில், ஏ. இரண்டாவது காலத்தின் மதிப்பு என்ன? நீங்கள் எளிதாக பதிலளிக்கலாம்:

அது சரி. அதன்படி, முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் ஒரே அடையாளமாக இருந்தால் - அவை நேர்மறையானவை.

எதிர்மறையாக இருந்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, ஏ. இரண்டாவது காலத்தின் மதிப்பு என்ன?

இது முற்றிலும் மாறுபட்ட கதை

இந்த முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை எண்ண முயற்சிக்கவும். உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது? என்னிடம் உள்ளது. இவ்வாறு, என்றால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன. அதாவது, அதன் உறுப்பினர்களுக்கான மாற்று அறிகுறிகளுடன் ஒரு முன்னேற்றத்தைக் கண்டால், அதன் வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்கும். இந்தத் தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது உங்களை நீங்களே சோதிக்க இந்த அறிவு உங்களுக்கு உதவும்.

இப்போது கொஞ்சம் பயிற்சி செய்வோம்: எந்த எண் வரிசைகள் வடிவியல் முன்னேற்றம் மற்றும் எண்கணித முன்னேற்றம் என்பதை தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

அறிந்துகொண்டேன்? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:

வடிவியல் முன்னேற்றம் - 3, 6.
எண்கணித முன்னேற்றம் - 2, 4.
இது ஒரு எண்கணிதமோ அல்லது வடிவியல் முன்னேற்றமோ அல்ல - 1, 5, 7.

எங்கள் கடைசி முன்னேற்றத்திற்குத் திரும்பி, எண்கணிதத்தைப் போலவே அதன் உறுப்பினரைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் யூகித்தபடி, அதைக் கண்டுபிடிக்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன.

ஒவ்வொரு சொல்லையும் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குகிறோம்.

எனவே, விவரிக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல் சமம்.

நீங்கள் ஏற்கனவே யூகித்தபடி, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் கண்டுபிடிக்க உதவும் சூத்திரத்தை நீங்களே உருவாக்குவீர்கள். அல்லது வது உறுப்பினரை படிப்படியாகக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்பதை விவரித்து, உங்களுக்காக ஏற்கனவே உருவாக்கியுள்ளீர்களா? அப்படியானால், உங்கள் நியாயத்தின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்கவும்.

இந்த முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான உதாரணத்துடன் இதை விளக்குவோம்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:

கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலத்தின் மதிப்பை நீங்களே கண்டறியவும்.

நடந்ததா? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு முந்தைய காலத்தையும் வரிசையாகப் பெருக்கும்போது, முந்தைய முறையில் இருந்த அதே எண்ணைப் பெற்றுள்ளீர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
"தனிப்பயனாக்க" முயற்சிப்போம் இந்த சூத்திரம்- அதை பொது வடிவத்தில் வைத்து பெறுவோம்:

பெறப்பட்ட சூத்திரம் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மை - நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதை நீங்களே சரிபார்க்கவும் பின்வரும் நிபந்தனைகள்: , ஏ.

நீங்கள் எண்ணினீர்களா? முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:

ஒரு சொல்லைப் போலவே ஒரு முன்னேற்றத்தின் காலத்தையும் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பதை ஒப்புக்கொள், இருப்பினும், தவறாகக் கணக்கிடுவதற்கான வாய்ப்பு உள்ளது. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது வார்த்தையை நாம் ஏற்கனவே கண்டுபிடித்திருந்தால், சூத்திரத்தின் "துண்டிக்கப்பட்ட" பகுதியைப் பயன்படுத்துவதை விட எளிமையானது எதுவாக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைகிறது.

மிக சமீபத்தில், இது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம் என்ற உண்மையைப் பற்றி பேசினோம், இருப்பினும், வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படும் சிறப்பு மதிப்புகள் உள்ளன. எல்லையில்லாமல் குறைகிறது.

இந்த பெயர் ஏன் கொடுக்கப்பட்டது என்று நினைக்கிறீர்கள்?
முதலில், சொற்களைக் கொண்ட சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எழுதுவோம்.
அப்படியானால் சொல்லலாம்:

ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் ஒரு காரணி மூலம் முந்தையதை விட குறைவாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், ஆனால் ஏதேனும் எண் இருக்குமா? நீங்கள் உடனடியாக பதிலளிப்பீர்கள் - "இல்லை". அதனால்தான் அது முடிவில்லாமல் குறைகிறது - அது குறைகிறது மற்றும் குறைகிறது, ஆனால் பூஜ்ஜியமாக மாறாது.

இது பார்வைக்கு எப்படித் தெரிகிறது என்பதைத் தெளிவாகப் புரிந்துகொள்ள, நமது முன்னேற்றத்தின் வரைபடத்தை வரைய முயற்சிப்போம். எனவே, எங்கள் விஷயத்தில், சூத்திரம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

வரைபடங்களில் நாம் சார்ந்திருப்பதைத் திட்டமிடுவதற்குப் பழகிவிட்டோம், எனவே:

வெளிப்பாட்டின் சாராம்சம் மாறவில்லை: முதல் பதிவில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் மதிப்பை அதன் வரிசை எண்ணின் மீது சார்ந்திருப்பதைக் காட்டினோம், இரண்டாவது பதிவில், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டோம். , மற்றும் ஆர்டினல் எண்ணை இவ்வாறு அல்ல, ஆனால் என நியமிக்கப்பட்டது. செய்ய வேண்டியது எல்லாம் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதுதான்.
உங்களுக்கு என்ன கிடைத்தது என்று பார்ப்போம். நான் கொண்டு வந்த வரைபடம் இதோ:

நீ பார்க்கிறாயா? செயல்பாடு குறைகிறது, பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது, ஆனால் அதை ஒருபோதும் கடக்காது, எனவே அது முடிவில்லாமல் குறைகிறது. வரைபடத்தில் எங்கள் புள்ளிகளைக் குறிப்போம், அதே நேரத்தில் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பொருள் என்ன:

அதன் முதல் காலமும் சமமாக இருந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரைபடத்தை திட்டவட்டமாக சித்தரிக்க முயற்சிக்கவும். நமது முந்தைய வரைபடத்திற்கும் என்ன வித்தியாசம் என்பதை பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள்?

சமாளித்தாயா? நான் கொண்டு வந்த வரைபடம் இதோ:

வடிவியல் முன்னேற்றம் என்ற தலைப்பின் அடிப்படைகளை இப்போது நீங்கள் முழுமையாகப் புரிந்துகொண்டுள்ளீர்கள்: அது என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியும், அதன் சொல்லை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும், மேலும் முடிவில்லாமல் குறைந்துவரும் வடிவியல் முன்னேற்றம் என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியும், அதன் முக்கிய சொத்துக்கு செல்லலாம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்து.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சொத்து உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? ஆம், ஆம், இந்த முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த மதிப்புகள் இருக்கும்போது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான முன்னேற்றத்தின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. உனக்கு நினைவிருக்கிறதா? இது:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளுக்கு இப்போது நாம் அதே கேள்வியை எதிர்கொள்கிறோம். அத்தகைய சூத்திரத்தைப் பெற, வரைதல் மற்றும் தர்க்கம் செய்ய ஆரம்பிக்கலாம். நீங்கள் பார்ப்பீர்கள், இது மிகவும் எளிதானது, நீங்கள் மறந்துவிட்டால், அதை நீங்களே வெளியேற்றலாம்.

மற்றொரு எளிய வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எடுத்துக் கொள்வோம், அதில் நமக்குத் தெரியும். எப்படி கண்டுபிடிப்பது? எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் இது எளிதானது மற்றும் எளிமையானது, ஆனால் இங்கே என்ன? உண்மையில், வடிவவியலில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை - சூத்திரத்தின்படி எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மதிப்பையும் நீங்கள் எழுத வேண்டும்.

இதற்கு நாம் இப்போது என்ன செய்ய வேண்டும் என்று நீங்கள் கேட்கலாம். ஆம், மிகவும் எளிமையானது. முதலில், இந்த சூத்திரங்களை படத்தில் சித்தரித்து அவற்றைச் செய்ய முயற்சிப்போம் பல்வேறு கையாளுதல்கள்ஒரு மதிப்பை அடைய.

நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட எண்களிலிருந்து சுருக்கமாக, சூத்திரத்தின் மூலம் அவற்றின் வெளிப்பாட்டில் மட்டுமே கவனம் செலுத்துவோம். ஆரஞ்சு நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதை ஒட்டிய சொற்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அவர்களுடன் உற்பத்தி செய்ய முயற்சிப்போம் பல்வேறு நடவடிக்கைகள், இதன் விளைவாக நாம் பெறலாம்.

கூட்டல்.
இரண்டு வெளிப்பாடுகளைச் சேர்க்க முயற்சிப்போம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இந்த வெளிப்பாட்டிலிருந்து, நீங்கள் பார்க்கிறபடி, அதை எந்த வகையிலும் வெளிப்படுத்த முடியாது, எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விருப்பத்தை முயற்சிப்போம் - கழித்தல்.

கழித்தல்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எங்களால் இதை வெளிப்படுத்த முடியாது, எனவே, இந்த வெளிப்பாடுகளை ஒருவருக்கொருவர் பெருக்க முயற்சிப்போம்.

பெருக்கல்.

இப்போது கண்டுபிடிக்க வேண்டியவற்றுடன் ஒப்பிடுகையில், நமக்கு வழங்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளைப் பெருக்குவதன் மூலம் நம்மிடம் இருப்பதை கவனமாகப் பாருங்கள்:

நான் எதைப் பற்றி பேசுகிறேன் என்று யூகிக்கவா? அது சரி, கண்டுபிடிக்க நாம் எடுக்க வேண்டும் சதுர வேர்விரும்பிய ஒன்றின் அருகாமையில் உள்ள வடிவியல் முன்னேற்ற எண்களிலிருந்து ஒன்றுடன் ஒன்று பெருக்கப்படுகிறது:

இதோ போ. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்தை நீங்களே பெற்றுக் கொண்டீர்கள். இந்த சூத்திரத்தை எழுத முயற்சிக்கவும் பொதுவான பார்வை. நடந்ததா?

நிபந்தனை மறந்துவிட்டதா? இது ஏன் முக்கியமானது என்பதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, அதை நீங்களே கணக்கிட முயற்சிக்கவும். இந்த வழக்கில் என்ன நடக்கும்? அது சரி, முழு முட்டாள்தனம், ஏனெனில் சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

அதன்படி, இந்த வரம்பை மறந்துவிடாதீர்கள்.

இப்போது அது சமம் என்பதை கணக்கிடுவோம்

சரியான பதில் - ! கணக்கிடும் போது நீங்கள் இரண்டாவது மறக்கவில்லை என்றால் சாத்தியமான பொருள், நீங்கள் ஒரு சிறந்த தோழர் மற்றும் உடனடியாக பயிற்சிக்கு செல்லலாம், நீங்கள் மறந்துவிட்டால், கீழே விவாதிக்கப்பட்டதைப் படித்து, பதிலில் இரண்டு வேர்களையும் ஏன் எழுத வேண்டும் என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள்.

நமது இரண்டு வடிவியல் முன்னேற்றங்களையும் வரைவோம் - ஒன்று மதிப்புடனும் மற்றொன்று மதிப்புடனும் வரைந்து, இரண்டுக்கும் இருப்பதற்கான உரிமை உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும்:

அத்தகைய வடிவியல் முன்னேற்றம் உள்ளதா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்க, கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து விதிமுறைகளும் ஒரே மாதிரியானதா என்பதைப் பார்க்க வேண்டியது அவசியமா? முதல் மற்றும் இரண்டாவது நிகழ்வுகளுக்கு qஐக் கணக்கிடவும்.

நாம் ஏன் இரண்டு பதில்களை எழுத வேண்டும் என்று பாருங்கள்? ஏனென்றால் நீங்கள் தேடும் காலத்தின் அடையாளம் அது நேர்மறையா எதிர்மறையா என்பதைப் பொறுத்தது! அது என்னவென்று எங்களுக்குத் தெரியாததால், இரண்டு பதில்களையும் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் மூலம் எழுத வேண்டும்.

இப்போது நீங்கள் முக்கிய புள்ளிகளில் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளீர்கள் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்துக்கான சூத்திரத்தைப் பெற்றுள்ளீர்கள், கண்டுபிடிக்கவும், தெரிந்து கொள்ளவும் மற்றும்

உங்கள் பதில்களை சரியானவற்றுடன் ஒப்பிடுக:

நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள், விரும்பிய எண்ணுக்கு அருகிலுள்ள வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் மதிப்புகள் வழங்கப்படவில்லை, ஆனால் அதிலிருந்து சமமானதாக இருந்தால் என்ன செய்வது. உதாரணமாக, நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட மற்றும். இந்த வழக்கில் நாம் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாமா? இந்த வாய்ப்பை உறுதிப்படுத்த அல்லது மறுக்க முயற்சிக்கவும், ஒவ்வொரு மதிப்பும் எதைக் கொண்டுள்ளது என்பதை விவரிக்கவும், நீங்கள் முதலில் சூத்திரத்தைப் பெறும்போது செய்ததைப் போல.
உனக்கு என்ன கிடைத்தது?

இப்போது மீண்டும் கவனமாக பாருங்கள்.
மற்றும் அதற்கேற்ப:

இதிலிருந்து சூத்திரம் செயல்படுகிறது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம் அண்டை நாடுகளுடன் மட்டுமல்லவடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விரும்பிய விதிமுறைகளுடன், ஆனால் உடன் சம தூரம்உறுப்பினர்கள் என்ன தேடுகிறார்கள்.

எனவே, எங்கள் ஆரம்ப சூத்திரம் வடிவம் பெறுகிறது:

அதாவது, முதல் வழக்கில் நாம் அப்படிச் சொன்னால், இப்போது அது எதற்கும் சமமாக இருக்கலாம் என்று சொல்கிறோம் இயற்கை எண், இது சிறியது. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்களுக்கும் இது ஒன்றுதான்.

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் பயிற்சி செய்யுங்கள், மிகவும் கவனமாக இருங்கள்!

, . கண்டுபிடி.
, . கண்டுபிடி.
, . கண்டுபிடி.

முடிவு செய்ததா? நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருந்தீர்கள் மற்றும் ஒரு சிறிய பிடிப்பை கவனித்தீர்கள் என்று நம்புகிறேன்.

முடிவுகளை ஒப்பிட்டுப் பார்ப்போம்.

முதல் இரண்டு நிகழ்வுகளில், மேலே உள்ள சூத்திரத்தை நாங்கள் அமைதியாகப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:

மூன்றாவது வழக்கில், நெருக்கமான பரிசோதனையில் வரிசை எண்கள்எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட எண்கள், நாம் தேடும் எண்ணிலிருந்து அவை சமமான தொலைவில் இல்லை என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்: இது முந்தைய எண், ஆனால் நிலையில் அகற்றப்பட்டது, எனவே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது.

அதை எப்படி தீர்ப்பது? இது உண்மையில் தோன்றுவது போல் கடினம் அல்ல! நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு எண்ணும், நாம் தேடும் எண்ணும் என்ன என்பதை எழுதுவோம்.

எனவே நாம் மற்றும். அவர்களை என்ன செய்யலாம் என்று பார்ப்போம்? மூலம் பிரிக்க பரிந்துரைக்கிறேன். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

நாங்கள் எங்கள் தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம்:

நாம் கண்டுபிடிக்கக்கூடிய அடுத்த படி - இதற்காக நாம் விளைந்த எண்ணின் கனசதுர மூலத்தை எடுக்க வேண்டும்.

இப்போது நம்மிடம் இருப்பதை மீண்டும் பார்ப்போம். எங்களிடம் உள்ளது, ஆனால் நாம் அதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மேலும் அது சமமாக இருக்கும்:

கணக்கீட்டிற்கு தேவையான அனைத்து தரவையும் நாங்கள் கண்டறிந்தோம். சூத்திரத்தில் மாற்றவும்:

எங்கள் பதில்: .

இதேபோன்ற மற்றொரு சிக்கலை நீங்களே தீர்க்க முயற்சிக்கவும்:
கொடுக்கப்பட்டது:,
கண்டுபிடி:

உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது? என்னிடம் உள்ளது - .

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அடிப்படையில் உங்களுக்குத் தேவை ஒரே ஒரு சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள்- . எந்த நேரத்திலும் சிரமமின்றி மீதமுள்ள அனைத்தையும் நீங்களே திரும்பப் பெறலாம். இதைச் செய்ய, மேலே விவரிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின்படி, எளிமையான வடிவியல் முன்னேற்றத்தை ஒரு காகிதத்தில் எழுதி, அதன் ஒவ்வொரு எண்களும் சமமானவை என்பதை எழுதுங்கள்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை.

கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை விரைவாகக் கணக்கிட அனுமதிக்கும் சூத்திரங்களைப் பார்ப்போம்:

வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பெற, மேலே உள்ள சமன்பாட்டின் அனைத்து பகுதிகளையும் பெருக்கவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

கவனமாகப் பாருங்கள்: கடைசி இரண்டு சூத்திரங்கள் பொதுவானவை என்ன? அது சரி, பொதுவான உறுப்பினர்கள், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் பல, முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்பினர் தவிர. 2 வது சமன்பாட்டிலிருந்து 1 ஐக் கழிக்க முயற்சிப்போம். உனக்கு என்ன கிடைத்தது?

இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலத்தை சூத்திரத்தின் மூலம் வெளிப்படுத்தவும், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை எங்கள் கடைசி சூத்திரத்தில் மாற்றவும்:

வெளிப்பாட்டைக் குழுவாக்கு. நீங்கள் பெற வேண்டும்:

செய்ய வேண்டியது எல்லாம் வெளிப்படுத்துவதுதான்:

அதன்படி, இந்த வழக்கில்.

என்றால் என்ன? பிறகு என்ன சூத்திரம் வேலை செய்கிறது? ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள். அவள் எப்படிப்பட்டவள்? ஒரே மாதிரியான எண்களின் தொடர் சரியானது, எனவே சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி பல புராணக்கதைகள் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்று சதுரங்கத்தை உருவாக்கிய செட்டின் புராணக்கதை.

செஸ் விளையாட்டு இந்தியாவில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பது பலருக்கும் தெரியும். இந்து மன்னன் அவளைச் சந்தித்தபோது, அவளுடைய புத்திசாலித்தனம் மற்றும் அவளில் சாத்தியமான பல்வேறு நிலைகள் ஆகியவற்றால் மகிழ்ச்சியடைந்தார். இது அவரது குடிமக்களில் ஒருவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது என்பதை அறிந்த மன்னர், அவருக்கு தனிப்பட்ட முறையில் வெகுமதி அளிக்க முடிவு செய்தார். அவர் கண்டுபிடிப்பாளரைத் தானே வரவழைத்து, அவர் விரும்பும் அனைத்தையும் அவரிடம் கேட்கும்படி கட்டளையிட்டார், மிகவும் திறமையான விருப்பத்தை கூட நிறைவேற்றுவதாக உறுதியளித்தார்.

செட்டா சிந்திக்க நேரம் கேட்டார், அடுத்த நாள் சேட்டா ராஜா முன் தோன்றியபோது, அவரது கோரிக்கையின் முன்னோடியில்லாத அடக்கத்துடன் ராஜாவை ஆச்சரியப்படுத்தினார். சதுரங்கப் பலகையின் முதல் சதுரத்திற்கு ஒரு கோதுமை தானியமும், இரண்டாவதாக ஒரு கோதுமை தானியமும், மூன்றாவதாக ஒரு கோதுமை தானியமும், நான்காவது தானியமும் கொடுக்கச் சொன்னார்.

மன்னன் கோபமடைந்து சேத்தை விரட்டினான், வேலைக்காரனின் வேண்டுகோள் மன்னனின் தாராள மனப்பான்மைக்கு தகுதியற்றது, ஆனால் வேலைக்காரன் பலகையின் அனைத்து சதுரங்களுக்கும் அவனுடைய தானியங்களைப் பெறுவதாக வாக்குறுதி அளித்தான்.

இப்போது கேள்வி: ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, சேத் எத்தனை தானியங்களைப் பெற வேண்டும் என்பதைக் கணக்கிடுங்கள்?

தர்க்கம் செய்ய ஆரம்பிக்கலாம். நிபந்தனையின்படி, சதுரங்கப் பலகையின் முதல் சதுரத்திற்கு, இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது போன்றவற்றுக்கு, சேத் கோதுமை தானியத்தைக் கேட்டதால், பிரச்சனை ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைப் பற்றியது என்பதைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில் அது என்ன சமம்?
சரி.

சதுரங்கப் பலகையின் மொத்த சதுரங்கள். முறையே, . எங்களிடம் எல்லா தரவுகளும் உள்ளன, அதை சூத்திரத்தில் செருகவும் கணக்கிடவும் மட்டுமே உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் தோராயமான "அளவை" கற்பனை செய்ய, பட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றுகிறோம்:

நிச்சயமாக, நீங்கள் விரும்பினால், நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரை எடுத்து, நீங்கள் எந்த எண்ணுடன் முடிவடையும் என்பதைக் கணக்கிடலாம், இல்லையெனில், அதற்கான எனது வார்த்தையை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும்: வெளிப்பாட்டின் இறுதி மதிப்பு இருக்கும்.
அது:

quintillion quadrillion trillion பில்லியன் மில்லியன் ஆயிரம்.

ப்யூ) இந்த எண்ணின் மகத்துவத்தை நீங்கள் கற்பனை செய்ய விரும்பினால், தானியத்தின் முழு அளவையும் வைக்க எவ்வளவு பெரிய களஞ்சியம் தேவைப்படும் என்பதை மதிப்பிடுங்கள்.
களஞ்சியமானது மீ உயரமாகவும் மீ அகலமாகவும் இருந்தால், அதன் நீளம் கிமீ வரை நீட்டிக்க வேண்டும், அதாவது. பூமியிலிருந்து சூரியனுக்கு இரு மடங்கு தூரம்.

ராஜா கணிதத்தில் வல்லவராக இருந்தால், தானியங்களை எண்ணுவதற்கு விஞ்ஞானியை அழைத்திருக்கலாம், ஏனென்றால் ஒரு மில்லியன் தானியங்களை எண்ணுவதற்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு நாளாவது அயராது எண்ண வேண்டும், மேலும் க்வின்டில்லியன் கணக்கில் தானியங்களை எண்ணுவது அவசியம். அவரது வாழ்நாள் முழுவதும் கணக்கிடப்பட வேண்டும்.

இப்போது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உள்ளடக்கிய ஒரு எளிய சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.
5A வகுப்பு படிக்கும் மாணவர் வாஸ்யா காய்ச்சலால் பாதிக்கப்பட்டார், ஆனால் தொடர்ந்து பள்ளிக்குச் செல்கிறார். ஒவ்வொரு நாளும் வாஸ்யா இரண்டு நபர்களை பாதிக்கிறது, அவர்கள் மேலும் இரண்டு நபர்களை பாதிக்கிறார்கள், மற்றும் பல. வகுப்பில் மக்கள் மட்டுமே உள்ளனர். எத்தனை நாட்களில் முழு வகுப்பினரும் காய்ச்சலால் பாதிக்கப்படுவார்கள்?

எனவே, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் வாஸ்யா, அதாவது ஒரு நபர். வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல், அவர் வந்த முதல் நாளில் அவர் தொற்றிய இருவர். மொத்த தொகைமுன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் 5A இல் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். அதன்படி, நாங்கள் ஒரு முன்னேற்றத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம்:

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தில் எங்கள் தரவை மாற்றுவோம்:

சில நாட்களில் முழு வகுப்பும் நோய்வாய்ப்படும். சூத்திரங்கள் மற்றும் எண்களை நம்பவில்லையா? மாணவர்களின் "தொற்று" உங்களை நீங்களே சித்தரிக்க முயற்சிக்கவும். நடந்ததா? இது எனக்கு எப்படி இருக்கிறது என்று பாருங்கள்:

ஒவ்வொருவரும் ஒருவருக்குத் தொற்றினால், வகுப்பில் ஒருவர் மட்டுமே இருந்தால், மாணவர்கள் காய்ச்சலால் பாதிக்கப்படுவதற்கு எத்தனை நாட்கள் ஆகும் என்பதை நீங்களே கணக்கிடுங்கள்.

உங்களுக்கு என்ன மதிப்பு கிடைத்தது? ஒரு நாள் கழித்து எல்லோரும் நோய்வாய்ப்பட ஆரம்பித்தனர்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அத்தகைய பணியும் அதற்கான வரைபடமும் ஒரு பிரமிட்டை ஒத்திருக்கிறது, அதில் ஒவ்வொன்றும் புதிய நபர்களை "கொண்டு வருகின்றன". இருப்பினும், விரைவில் அல்லது பின்னர் ஒரு கணம் வருகிறது, பிந்தையது யாரையும் ஈர்க்க முடியாது. எங்கள் விஷயத்தில், வகுப்பு தனிமைப்படுத்தப்பட்டதாக நாம் கற்பனை செய்தால், அந்த நபர் சங்கிலியை மூடுகிறார் (). இவ்வாறு, ஒரு நபர் ஈடுபட்டிருந்தால் நிதி பிரமிடு, இதில் நீங்கள் இரண்டு பங்கேற்பாளர்களைக் கொண்டு வந்தால் பணம் வழங்கப்பட்டது, பின்னர் நபர் (அல்லது பொது வழக்கு) யாரையும் கொண்டு வந்திருக்க மாட்டார்கள், எனவே அவர்கள் இந்த நிதி மோசடியில் முதலீடு செய்த அனைத்தையும் இழந்திருப்பார்கள்.

மேலே கூறப்பட்ட அனைத்தும் குறைந்து வரும் அல்லது அதிகரிக்கும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் குறிக்கிறது, ஆனால், நீங்கள் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, எங்களிடம் ஒரு சிறப்பு வகை உள்ளது - எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம். அதன் உறுப்பினர்களின் தொகையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? இந்த வகை முன்னேற்றம் ஏன் சில பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது? அதை ஒன்றாகக் கண்டுபிடிப்போம்.

எனவே, முதலில், நமது எடுத்துக்காட்டில் இருந்து வரம்பற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் இந்த வரைபடத்தை மீண்டும் பார்ப்போம்:

இப்போது சற்று முன்னர் பெறப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்:
அல்லது

நாம் எதற்காக பாடுபடுகிறோம்? அது சரி, வரைபடம் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது. அதாவது, at, முறையே கிட்டத்தட்ட சமமாக இருக்கும், வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிடும்போது நாம் கிட்டத்தட்ட பெறுவோம். இது சம்பந்தமாக, முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடும் போது, இந்த அடைப்புக்குறி சமமாக இருக்கும் என்பதால், புறக்கணிக்கப்படலாம் என்று நாங்கள் நம்புகிறோம்.

- சூத்திரம் என்பது எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்.

முக்கியமான!நாம் தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று நிபந்தனை வெளிப்படையாகக் கூறினால் மட்டுமே, எண்ணற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். எல்லையற்றஉறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கை.

ஒரு குறிப்பிட்ட எண் n குறிப்பிடப்பட்டால், அல்லது n சொற்களின் கூட்டுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

இப்போது பயிற்சி செய்வோம்.

மற்றும் உடன் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.
மற்றும் உடன் எண்ணற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

நீங்கள் மிகவும் கவனமாக இருந்தீர்கள் என்று நம்புகிறேன். எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:

இப்போது நீங்கள் வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி அனைத்தையும் அறிவீர்கள், மேலும் கோட்பாட்டிலிருந்து நடைமுறைக்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது. தேர்வில் எதிர்கொள்ளும் மிகவும் பொதுவான வடிவியல் முன்னேற்றச் சிக்கல்கள் கூட்டு வட்டியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்கள். இவைகளைத்தான் நாம் பேசுவோம்.

கூட்டு வட்டியைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல்கள்.

கூட்டு வட்டி சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பற்றி நீங்கள் கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். இதன் பொருள் என்னவென்று புரிகிறதா? இல்லையென்றால், அதைக் கண்டுபிடிப்போம், ஏனென்றால் நீங்கள் செயல்முறையைப் புரிந்துகொண்டால், வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும் அதற்கும் என்ன சம்பந்தம் என்பதை நீங்கள் உடனடியாக புரிந்துகொள்வீர்கள்.

நாங்கள் அனைவரும் வங்கிக்குச் சென்று அங்கு இருப்பதை அறிவோம் வெவ்வேறு நிலைமைகள்வைப்புகளில்: இது கால, மற்றும் கூடுதல் சேவை, மற்றும் வட்டி இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில்அதன் கணக்கீடுகள் - எளிய மற்றும் சிக்கலான.

உடன் எளிய ஆர்வம்எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளது: டெபாசிட் காலத்தின் முடிவில் ஒரு முறை வட்டி திரட்டப்படும். அதாவது, நாங்கள் ஒரு வருடத்திற்கு 100 ரூபிள் டெபாசிட் செய்கிறோம் என்று சொன்னால், அவை ஆண்டின் இறுதியில் மட்டுமே வரவு வைக்கப்படும். அதன்படி, வைப்புத்தொகையின் முடிவில் நாங்கள் ரூபிள் பெறுவோம்.

கூட்டு வட்டி- இது நிகழும் ஒரு விருப்பம் வட்டி மூலதனமாக்கல், அதாவது வைப்புத் தொகைக்கு அவை சேர்த்தல் மற்றும் வருமானத்தை ஆரம்பத்திலிருந்து அல்ல, ஆனால் திரட்டப்பட்ட வைப்புத் தொகையிலிருந்து கணக்கிடுதல். மூலதனமாக்கல் தொடர்ந்து நிகழாது, ஆனால் சில அதிர்வெண்களுடன். ஒரு விதியாக, அத்தகைய காலங்கள் சமமாக இருக்கும் மற்றும் பெரும்பாலும் வங்கிகள் ஒரு மாதம், காலாண்டு அல்லது வருடத்தைப் பயன்படுத்துகின்றன.

ஆண்டுதோறும் அதே ரூபிள்களை டெபாசிட் செய்கிறோம், ஆனால் வைப்புத்தொகையின் மாதாந்திர மூலதனத்துடன். நாம் என்ன செய்து கொண்டிருக்கின்றோம்?

இங்கே உங்களுக்கு எல்லாம் புரிகிறதா? இல்லையென்றால், அதை படிப்படியாகக் கண்டுபிடிப்போம்.

நாங்கள் வங்கிக்கு ரூபிள் கொண்டு வந்தோம். மாத இறுதிக்குள், எங்கள் கணக்கில் ரூபிள் மற்றும் வட்டியுடன் கூடிய ஒரு தொகை இருக்க வேண்டும், அதாவது:

ஒப்புக்கொள்கிறீர்களா?

நாம் அதை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து வெளியே எடுக்கலாம், பின்னர் நாம் பெறலாம்:

ஒப்புக்கொள், இந்த சூத்திரம் ஏற்கனவே நாம் ஆரம்பத்தில் எழுதியதைப் போலவே உள்ளது. எஞ்சியிருப்பது சதவீதங்களைக் கண்டுபிடிப்பதுதான்

பிரச்சனை அறிக்கையில் ஆண்டு விகிதங்கள் பற்றி கூறப்பட்டுள்ளது. உங்களுக்குத் தெரியும், நாங்கள் பெருக்குவதில்லை - சதவீதங்களை மாற்றுகிறோம் தசமங்கள், அது:

சரியா? இப்போது நீங்கள் கேட்கலாம், எண் எங்கிருந்து வந்தது? மிக எளிய!
நான் மீண்டும் சொல்கிறேன்: பிரச்சனை அறிக்கை பற்றி கூறுகிறது ஆண்டுதிரட்டப்படும் வட்டி மாதாந்திர. உங்களுக்குத் தெரியும், ஒரு வருடத்தில், அதன்படி, மாதத்திற்கு ஆண்டு வட்டியில் ஒரு பகுதியை வங்கி எங்களிடம் வசூலிக்கும்:

உணர்ந்ததா? வட்டி தினசரி கணக்கிடப்படுகிறது என்று நான் சொன்னால், சூத்திரத்தின் இந்த பகுதி எப்படி இருக்கும் என்பதை இப்போது எழுத முயற்சிக்கவும்.
சமாளித்தாயா? முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:

சபாஷ்! எங்கள் பணிக்குத் திரும்புவோம்: திரட்டப்பட்ட வைப்புத் தொகையில் வட்டி திரட்டப்பட்டதைக் கருத்தில் கொண்டு, இரண்டாவது மாதத்தில் எங்கள் கணக்கில் எவ்வளவு வரவு வைக்கப்படும் என்பதை எழுதுங்கள்.
எனக்கு கிடைத்தது இதோ:

அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால்:

நீங்கள் ஏற்கனவே ஒரு வடிவத்தை கவனித்திருக்கிறீர்கள் என்று நினைக்கிறேன், இவை அனைத்திலும் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தைக் கண்டீர்கள். அதன் உறுப்பினர் என்ன சமமாக இருப்பார், அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், மாத இறுதியில் நாம் எவ்வளவு பணம் பெறுவோம் என்பதை எழுதுங்கள்.
செய்தது? சரிபார்ப்போம்!

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நீங்கள் ஒரு வருடத்திற்கு ஒரு வங்கியில் எளிய வட்டி விகிதத்தில் பணத்தை வைத்தால், நீங்கள் ரூபிள் பெறுவீர்கள், மேலும் கூட்டு வட்டி விகிதத்தில் இருந்தால், நீங்கள் ரூபிள் பெறுவீர்கள். நன்மை சிறியது, ஆனால் இது வது ஆண்டில் மட்டுமே நடக்கும், ஆனால் இன்னும் அதிகமாக ஒரு நீண்ட காலம்மூலதனமாக்கல் மிகவும் இலாபகரமானது:

கூட்டு வட்டி சம்பந்தப்பட்ட மற்றொரு வகை சிக்கலைப் பார்ப்போம். நீங்கள் கண்டுபிடித்த பிறகு, அது உங்களுக்கு அடிப்படையாக இருக்கும். எனவே, பணி:

Zvezda நிறுவனம் 2000 ஆம் ஆண்டில் தொழிலில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, டாலர்களில் மூலதனத்துடன். 2001 முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும், முந்தைய ஆண்டு மூலதனத்திற்கு இணையான லாபத்தைப் பெற்றுள்ளது. புழக்கத்தில் இருந்து லாபம் திரும்பப் பெறப்படாவிட்டால், 2003 இன் இறுதியில் ஸ்வெஸ்டா நிறுவனம் எவ்வளவு லாபம் பெறும்?

2000 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் தலைநகரம்.
- 2001 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் மூலதனம்.
- 2002 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் மூலதனம்.
- 2003 இல் Zvezda நிறுவனத்தின் மூலதனம்.

அல்லது சுருக்கமாக எழுதலாம்:

எங்கள் விஷயத்தில்:

2000, 2001, 2002 மற்றும் 2003.

முறையே:
ரூபிள்
இந்தச் சிக்கலில், சதவிகிதம் ஆண்டுதோறும் கொடுக்கப்பட்டு, அது ஆண்டுதோறும் கணக்கிடப்படுவதால், எங்களிடம் ஒரு பிரிவு இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். அதாவது, கூட்டு வட்டியில் சிக்கலைப் படிக்கும்போது, எவ்வளவு சதவீதம் கொடுக்கப்படுகிறது, எந்தக் காலத்தில் கணக்கிடப்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள், அதன் பிறகுதான் கணக்கீடுகளுக்குச் செல்லுங்கள்.
இப்போது உங்களுக்கு வடிவியல் முன்னேற்றம் பற்றி எல்லாம் தெரியும்.

பயிற்சி.

அது தெரிந்தால் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் காலத்தைக் கண்டறியவும், மற்றும்
அது தெரிந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்
MDM Capital நிறுவனம் 2003 இல் தொழில்துறையில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, டாலர்களில் மூலதனத்துடன். 2004 முதல் ஒவ்வொரு ஆண்டும், முந்தைய ஆண்டு மூலதனத்திற்கு இணையான லாபம் கிடைத்து வருகிறது. MSK Cash Flows நிறுவனம் 2005 இல் $10,000 தொகையில் முதலீடு செய்யத் தொடங்கியது, 2006 இல் லாபம் ஈட்டத் தொடங்கியது. புழக்கத்தில் இருந்து லாபம் திரும்பப் பெறப்படாவிட்டால், 2007 ஆம் ஆண்டின் இறுதியில் ஒரு நிறுவனத்தின் மூலதனம் மற்றொன்றை விட எத்தனை டாலர்கள் அதிகமாகும்?

பதில்கள்:

சிக்கல் அறிக்கையானது முன்னேற்றம் எல்லையற்றது என்று கூறாததால், அதன் விதிமுறைகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், கணக்கீடு சூத்திரத்தின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது:
MDM மூலதன நிறுவனம்:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100% அதிகரிக்கிறது, அதாவது 2 மடங்கு.
முறையே:
ரூபிள்
எம்எஸ்கே கேஷ் ஃப்ளோஸ் நிறுவனம்:
2005, 2006, 2007.
- அதிகரிக்கிறது, அதாவது, நேரங்களில்.
முறையே:
ரூபிள்
ரூபிள்

சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

1) ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் ( ) என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

2) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சமன்பாடு .

3) மற்றும் தவிர எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம்.

என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளன - அவை நேர்மறையானவை;
என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் மாற்று அறிகுறிகள்;
எப்போது - முன்னேற்றம் எல்லையற்ற குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

4) , உடன் - வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொத்து (அருகிலுள்ள சொற்கள்)

அல்லது
, மணிக்கு (சமமான விதிமுறைகள்)

நீங்கள் அதைக் கண்டால், அதை மறந்துவிடாதீர்கள் இரண்டு பதில்கள் இருக்க வேண்டும்.

உதாரணத்திற்கு,

5) வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
அல்லது

முன்னேற்றம் முடிவில்லாமல் குறைந்துவிட்டால், பின்:
அல்லது

முக்கியமான!எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று நிபந்தனை வெளிப்படையாகக் கூறினால் மட்டுமே, எல்லையற்ற குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

6) கூட்டு வட்டி சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்களும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன. பணம்புழக்கத்தில் இருந்து விலக்கப்படவில்லை:

ஜியோமெட்ரிக் ப்ரோக்ரெஷன். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக

வடிவியல் முன்னேற்றம்( ) என்பது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் முதல் சொல் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, மேலும் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமமாக, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. இந்த எண் அழைக்கப்படுகிறது வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்தவிர எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம்.

முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளும் ஒரே அடையாளத்தைக் கொண்டிருந்தால் - அவை நேர்மறையானவை;
என்றால், முன்னேற்றத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களும் மாற்று அறிகுறிகள்;
எப்போது - முன்னேற்றம் எல்லையற்ற குறைதல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் சமன்பாடு - .

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
அல்லது

தலைப்பில் பாடம் "முடிவின்றி குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம்" (இயற்கணிதம், 10 ஆம் வகுப்பு)

பாடத்தின் நோக்கம்:ஒரு புதிய வகை வரிசைக்கு மாணவர்களை அறிமுகப்படுத்துதல் - எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றம்.

உபகரணங்கள்:ப்ரொஜெக்டர், திரை.

பாடம் வகை:பாடம் - ஒரு புதிய தலைப்பைக் கற்றல்.

வகுப்புகளின் போது

நான் . Org. கணம். பாடத்தின் தலைப்பு மற்றும் நோக்கத்தைக் குறிப்பிடவும்.

II . மாணவர்களின் அறிவைப் புதுப்பித்தல்.

கேள்விகள்

1. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வரையறை. (ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது, ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தைய உறுப்பினருக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வரிசையாகும்).

2. சூத்திரம் nஎண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் (
)

3. முதல் தொகைக்கான சூத்திரம் nஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள்.

(
அல்லது
)

4. வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறை. (ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் என்பது பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண்களின் வரிசையாகும், இதன் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, அதே எண்ணால் பெருக்கப்படும் முந்தைய சொல்லுக்கு சமம்).

5. சூத்திரம் nவடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வது சொல் (

)