வீடு குழந்தைகள் பல் மருத்துவம் எண்கணித முன்னேற்றத்தில் n ஐக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டறிவது: தீர்வுகளின் சூத்திரங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

குழந்தைகள் பல் மருத்துவம்

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் n ஐக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டறிவது: தீர்வுகளின் சூத்திரங்கள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

வரிசையின் பொதுவான சொல் $u_n=n^2$ ஆகும். $n=1$ ஐ மாற்றினால், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

$$ u_1=1^2=1. $$

இது வரிசையின் முதல் சொல். $n=2$ ஐ $u_n=n^2$ ஆக மாற்றினால், வரிசையின் இரண்டாவது சொல்லைப் பெறுகிறோம்:

$$ u_2=2^2=4. $$

நாம் $n=3$ ஐ மாற்றினால், வரிசையின் மூன்றாவது காலத்தைப் பெறுவோம்:

$$ u_3=3^2=9. $$

அதே வழியில், வரிசையின் நான்காவது, ஐந்தாவது, ஆறாவது மற்றும் பிற சொற்களைக் காண்கிறோம். தொடர்புடைய எண்களைப் பெறுவது இதுதான்:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

$u_n=n^3$ வரிசையின் விதிமுறைகளையும் மனதில் வைத்துக் கொள்வது மதிப்பு. அதன் முதல் உறுப்பினர்களில் சிலர் இங்கே:

\தொடங்கு(சமன்பாடு)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(சமன்பாடு)

கூடுதலாக, ஒரு தொடரின் பொதுவான சொல்லை உருவாக்க, $u_n=n!$ வரிசை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதன் முதல் சில சொற்கள் பின்வருமாறு:

\தொடங்கு(சமன்பாடு)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(சமன்பாடு)

பதிவு "n!" ("en factorial" என்பதைப் படிக்கவும்) என்பது அனைத்தின் விளைபொருளைக் குறிக்கிறது இயற்கை எண்கள் 1 முதல் n வரை, அதாவது.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

வரையறையின்படி, $0!=1!=1$ என்று கருதப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 5 ஐக் கண்டுபிடிப்போம்!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களும் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் $a_1$ க்கும், வேறுபாடு $d$ க்கும் சமமாக இருந்தால், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதப்படுகிறது:

\begin(சமன்பாடு)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(சமன்பாடு)

எண்கணித முன்னேற்றம் என்றால் என்ன? காட்டு\மறை

எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது எண்களின் வரிசையாகும், இதில் அடுத்த மற்றும் முந்தைய சொற்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு நிலையானது. இந்த நிலையான வேறுபாடு அழைக்கப்படுகிறது முன்னேற்ற வேறுபாடு

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

நாம் எந்த ஜோடி அண்டை உறுப்புகளை எடுத்துக் கொண்டாலும், அடுத்த மற்றும் முந்தைய உறுப்பினர்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு எப்போதும் நிலையானதாகவும் 7 க்கு சமமாகவும் இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்:

\begin(சீரமைக்கப்பட்டது) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(சீரமைக்கப்பட்டது)

இந்த எண், அதாவது. 7, மற்றும் ஒரு முன்னேற்ற வேறுபாடு உள்ளது. இது வழக்கமாக $d$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது. $d=7$. முன்னேற்றத்தின் முதல் உறுப்பு $a_1=3$ ஆகும். இந்த முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல்லை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதுகிறோம். அதில் $a_1=3$ மற்றும் $d=7$ ஆகியவற்றை மாற்றினால், எங்களிடம் இருக்கும்:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

தெளிவுக்காக, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சில சொற்களைக் கண்டறிய $a_n=7n-4$ சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

\begin(aligned) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)

$n$ எண்ணின் எந்த மதிப்பையும் $a_n=7n-4$ சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் நீங்கள் பெறலாம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தையும் குறிப்பிடுவது மதிப்பு. முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல் $b_1$ க்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் வகுத்தல் $q$ க்கு சமமாக இருந்தால், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல் பின்வரும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

\begin(சமன்பாடு)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(சமன்பாடு)

என்ன நடந்தது வடிவியல் முன்னேற்றம்? காட்டு\மறை

ஜியோமெட்ரிக் முன்னேற்றம் என்பது எண்களின் வரிசையாகும், இதில் அடுத்தடுத்த மற்றும் முந்தைய சொற்களுக்கு இடையிலான உறவு நிலையானது. இந்த நிலையான உறவு அழைக்கப்படுகிறது முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் வரிசையைக் கவனியுங்கள்:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

நாம் எந்த ஜோடி அண்டை உறுப்புகளை எடுத்துக் கொண்டாலும், முந்தையதைத் தொடர்ந்து இருக்கும் விகிதம் எப்போதும் நிலையானதாகவும் 3 க்கு சமமாகவும் இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்:

\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)

இந்த எண், அதாவது. 3 என்பது முன்னேற்றத்தின் வகுப்பாகும். இது வழக்கமாக $q$ என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது. $q=3$. முன்னேற்றத்தின் முதல் உறுப்பு $b_1=6$ ஆகும். இந்த முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல்லை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதுகிறோம். அதில் $b_1=6$ மற்றும் $q=3$ ஆகியவற்றை மாற்றினால், எங்களிடம் இருக்கும்:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

தெளிவுக்காக, வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் முதல் சில சொற்களைக் கண்டறிய $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

\begin(சீரமைக்கப்பட்டது) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)

$b_n=6\cdot 3^(n-1)$ என்ற சூத்திரத்தில் $n$ எண்ணின் எந்த மதிப்பையும் மாற்றுவதன் மூலம், வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்தச் சொல்லையும் நீங்கள் பெறலாம்.

கீழே உள்ள அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளிலும், $u_1$ (தொடரின் முதல் உறுப்பினர்), $u_2$ (தொடரின் இரண்டாவது உறுப்பினர்) மற்றும் பல எழுத்துக்களால் தொடரின் உறுப்பினர்களைக் குறிப்போம். $u_n$ என்ற குறியீடு தொடரின் பொதுவான சொல்லைக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1

$\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$ என்ற தொடரின் பொதுவான சொல்லைக் கண்டறியவும்.

அத்தகைய பணிகளின் சாராம்சம், தொடரின் முதல் உறுப்பினர்களில் உள்ளார்ந்த வடிவத்தைக் கவனிப்பதாகும். இந்த வடிவத்தின் அடிப்படையில், பொதுவான உறுப்பினர் வகையைப் பற்றி ஒரு முடிவை எடுக்கவும். "பொதுவான சொல்லைக் கண்டுபிடி" என்ற சொற்றொடர் எதைக் குறிக்கிறது? அதாவது $n=1$ க்கு பதிலீடு செய்து, தொடரின் முதல் சொல்லைப் பெறுவது, அதாவது. $\frac(1)(7)$; $n=2$ ஐ மாற்றினால், தொடரின் இரண்டாவது காலத்தைப் பெறுகிறோம், அதாவது. $\frac(2)(9)$; $n=3$ ஐ மாற்றினால், தொடரின் மூன்றாவது காலத்தைப் பெறுகிறோம், அதாவது. $\frac(3)(11)$ மற்றும் பல. தொடரின் முதல் நான்கு சொற்கள் எங்களுக்குத் தெரியும்:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

படிப்படியாக நகர்வோம். எங்களுக்குத் தெரிந்த தொடரின் அனைத்து உறுப்பினர்களும் பின்னங்கள், எனவே தொடரின் பொதுவான உறுப்பினரும் ஒரு பின்னத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறார் என்று கருதுவது நியாயமானது:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள கேள்விக் குறிகளின் கீழ் என்ன மறைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதே எங்கள் பணி. முதலில் எண்ணிக்கையைப் பார்ப்போம். நமக்குத் தெரிந்த தொடர் உறுப்பினர்களின் எண்கள் 1, 2, 3 மற்றும் 4 ஆகிய எண்களாகும். தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரின் எண்ணிக்கையும் எண்ணுக்கு சமமாக இருப்பதைக் கவனிக்கவும். முதல் பதத்தில் ஒரு எண் உள்ளது, இரண்டாவது இரண்டு உள்ளது, மூன்றாவது மூன்று உள்ளது, மற்றும் நான்காவது ஒரு நான்கு உள்ளது.

n வது சொல் அதன் எண்ணிக்கையில் $n$ இருக்கும் என்று கருதுவது தர்க்கரீதியானது:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

மூலம், இந்த முடிவுக்கு நாம் மற்றொரு வழியில், இன்னும் முறையாக வரலாம். வரிசை 1, 2, 3, 4 என்றால் என்ன? இந்த வரிசையின் ஒவ்வொரு அடுத்த உறுப்பினரும் முந்தையதை விட 1 அதிகம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் நான்கு சொற்களைக் கையாளுகிறோம், அதன் முதல் சொல் $a_1=1$, மற்றும் வேறுபாடு $d=1$. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, முன்னேற்றத்தின் பொதுவான காலத்திற்கான வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

எனவே, யூகிப்பது அல்லது முறையான கணக்கீடு என்பது ரசனைக்குரிய விஷயம். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், தொடரின் பொதுவான காலத்தின் எண்ணிக்கையை நாங்கள் எழுதினோம். வகுத்தலுக்கு செல்லலாம்.

வகுப்பில் 7, 9, 11, 13 என்ற வரிசை உள்ளது. இவை எண்கணித முன்னேற்றத்தின் நான்கு சொற்கள், இதன் முதல் சொல் $b_1=7$ க்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு $d=2$. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல்லைக் காண்கிறோம்:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

இதன் விளைவாக வெளிப்பாடு, அதாவது. $2n+5$, மற்றும் தொடரின் பொதுவான சொல்லின் வகுப்பாக இருக்கும். அதனால்:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

தொடரின் பொதுவான சொல் பெறப்பட்டது. நாங்கள் கண்டறிந்த $u_n=\frac(n)(2n+5)$ என்ற சூத்திரம் தொடரின் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட விதிமுறைகளைக் கணக்கிடுவதற்கு ஏற்றதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம். $u_n=\frac(n)(2n+5)$ என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி $u_1$, $u_2$, $u_3$ மற்றும் $u_4$ ஆகிய சொற்களைக் கண்டறியலாம். முடிவுகள், இயற்கையாகவே, நிபந்தனையின்படி எங்களுக்கு வழங்கப்பட்ட தொடரின் முதல் நான்கு சொற்களுடன் ஒத்துப்போக வேண்டும்.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

அது சரி, முடிவுகள் ஒன்றே. நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள தொடரை இப்போது பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதலாம்: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. தொடரின் பொதுவான சொல் $u_n=\frac(n)(2n+5)$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

இப்படி ஒரு தொடருக்கு உரிமை இல்லையா? அது இன்னும் உள்ளது. இந்த தொடருக்கு நாம் அதை எழுதலாம்

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

நீங்கள் மற்றொரு தொடர்ச்சியை எழுதலாம். உதாரணமாக, இது:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

அத்தகைய தொடர்ச்சி எதற்கும் முரணாக இல்லை. இந்த வழக்கில், நாம் அதை எழுதலாம்

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

முதல் இரண்டு விருப்பங்கள் உங்களுக்கு மிகவும் சாதாரணமாகத் தோன்றினால், மூன்றாவதாக நான் பரிந்துரைக்கிறேன். பொதுவான சொல்லை பின்வருமாறு எழுதுவோம்:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

முன்மொழியப்பட்ட பொதுச் சொல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடரின் முதல் நான்கு சொற்களைக் கணக்கிடுவோம்:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பொது வார்த்தைக்கான முன்மொழியப்பட்ட சூத்திரம் மிகவும் சரியானது. அத்தகைய மாறுபாடுகளின் எண்ணற்ற எண்ணிக்கையை நீங்கள் கொண்டு வரலாம், அவற்றின் எண்ணிக்கை வரம்பற்றது. IN நிலையான எடுத்துக்காட்டுகள், நிச்சயமாக, சில அறியப்பட்ட வரிசைகளின் (முன்னேற்றங்கள், அதிகாரங்கள், காரணிகள், முதலியன) நிலையான தொகுப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இருப்பினும், இதுபோன்ற பணிகளில் எப்போதும் நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது, இதை நினைவில் கொள்வது நல்லது.

அனைத்து அடுத்தடுத்த எடுத்துக்காட்டுகளிலும் இந்த தெளிவின்மை குறிப்பிடப்படாது. பெரும்பாலான சிக்கல் புத்தகங்களில் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட நிலையான முறைகளைப் பயன்படுத்தி நாங்கள் தீர்ப்போம்.

பதில்: தொடரின் பொதுவான சொல்: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

$\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) தொடரின் பொதுவான சொல்லை எழுதவும் (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

தொடரின் முதல் ஐந்து சொற்கள் எங்களுக்குத் தெரியும்:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

எங்களுக்குத் தெரிந்த தொடரின் அனைத்து விதிமுறைகளும் பின்னங்களாகும், அதாவது தொடரின் பொதுவான சொல்லை பின்னத்தின் வடிவத்தில் தேடுவோம்:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

உடனடியாக எண்ணில் கவனம் செலுத்துவோம். அனைத்து எண்களும் அலகுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன, எனவே தொடரின் பொதுவான காலத்தின் எண்ணிக்கையும் ஒன்றைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

இப்போது வகுத்தலைப் பார்ப்போம். எங்களுக்குத் தெரிந்த தொடரின் முதல் விதிமுறைகளின் பிரிவுகளில் எண்களின் தயாரிப்புகள் உள்ளன: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. இந்த எண்களில் முதல் எண்கள்: 1, 3, 5, 7, 9. இந்த வரிசையில் முதல் கால $a_1=1$ உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொன்றும் $d=2$ என்ற எண்ணைச் சேர்ப்பதன் மூலம் முந்தைய ஒன்றிலிருந்து பெறப்படும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இவை எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் ஐந்து சொற்கள் ஆகும், இதன் பொதுவான சொல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதப்படலாம்:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

தயாரிப்புகளில் $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ இரண்டாவது எண்கள்: 5, 8, 11, 14, 17. இவை எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கூறுகள், இதன் முதல் சொல் $b_1=5$, மற்றும் வகுத்தல் $d=3$. இதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த முன்னேற்றத்தின் பொதுவான சொல்லை எழுதுகிறோம்:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

முடிவுகளை ஒன்றாக வைப்போம். தொடரின் பொதுவான சொல்லின் வகுப்பில் உள்ள தயாரிப்பு: $(2n-1)(3n+2)$. தொடரின் பொதுவான சொல் பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

பெறப்பட்ட முடிவைச் சரிபார்க்க, எங்களுக்குத் தெரிந்த தொடரின் முதல் நான்கு சொற்களைக் கண்டறிய $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)

எனவே, $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ என்ற சூத்திரம், நிபந்தனையிலிருந்து அறியப்படும் தொடரின் விதிமுறைகளைத் துல்லியமாகக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது. விரும்பினால், கொடுக்கப்பட்ட தொடரை இப்படி எழுதலாம்:

$$ \sum\ limitits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

பதில்: தொடரின் பொதுவான சொல்: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

இந்த தலைப்பை இரண்டாம் மற்றும் மூன்றாம் பாகங்களில் தொடர்வோம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தைப் பற்றி பலர் கேள்விப்பட்டிருக்கிறார்கள், ஆனால் அது என்ன என்பது பற்றி அனைவருக்கும் நல்ல யோசனை இல்லை. இந்த கட்டுரையில் நாம் தொடர்புடைய வரையறையை வழங்குவோம், மேலும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்வியையும் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் பல எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுப்போம்.

கணித வரையறை

எனவே, நாம் ஒரு எண்கணிதம் அல்லது இயற்கணித முன்னேற்றத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்றால் (இந்த கருத்துக்கள் ஒரே விஷயத்தை வரையறுக்கின்றன), இதன் பொருள் பின்வரும் சட்டத்தை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண் தொடர் உள்ளது: தொடரில் உள்ள ஒவ்வொரு இரண்டு அடுத்தடுத்த எண்களும் ஒரே மதிப்பில் வேறுபடுகின்றன. கணித ரீதியாக இது இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

இங்கே n என்பது வரிசையில் உள்ள உறுப்பு a n இன் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, மேலும் d என்பது முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடாகும் (அதன் பெயர் வழங்கப்பட்ட சூத்திரத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது).

வித்தியாசத்தை தெரிந்துகொள்வது என்றால் என்ன? அண்டை எண்கள் ஒருவருக்கொருவர் எவ்வளவு தூரத்தில் உள்ளன என்பது பற்றி. இருப்பினும், டி பற்றிய அறிவு அவசியம், ஆனால் இல்லை போதுமான நிலைமுழு முன்னேற்றத்தையும் தீர்மானிக்க (மீட்டெடுக்க). நீங்கள் இன்னும் ஒரு எண்ணை அறிந்து கொள்ள வேண்டும், இது பரிசீலனையில் உள்ள தொடரின் எந்தவொரு உறுப்பாகவும் இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு 4, a10, ஆனால், ஒரு விதியாக, முதல் எண் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது 1.

முன்னேற்றக் கூறுகளைத் தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரங்கள்

பொதுவாக, குறிப்பிட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு மேலே உள்ள தகவல்கள் ஏற்கனவே போதுமானவை. ஆயினும்கூட, எண்கணித முன்னேற்றம் வழங்கப்படுவதற்கு முன்பு, அதன் வேறுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம், நாங்கள் ஒரு ஜோடியை முன்வைக்கிறோம் பயனுள்ள சூத்திரங்கள், அதன் மூலம் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடுத்தடுத்த செயல்முறையை எளிதாக்குகிறது.

எண் n உடன் வரிசையின் எந்த உறுப்பும் பின்வருமாறு காணலாம் என்பதைக் காண்பிப்பது எளிது:

a n = a 1 + (n - 1) * d

உண்மையில், எளிய தேடலின் மூலம் இந்த சூத்திரத்தை எவரும் சரிபார்க்கலாம்: நீங்கள் n = 1 ஐ மாற்றினால், முதல் உறுப்பு கிடைக்கும், நீங்கள் n = 2 ஐ மாற்றினால், வெளிப்பாடு முதல் எண் மற்றும் வேறுபாட்டின் கூட்டுத்தொகையை அளிக்கிறது, மேலும் பல.

பல சிக்கல்களின் நிபந்தனைகள், அறியப்பட்ட ஜோடி எண்களைக் கொடுத்தால், அவற்றின் எண்களும் வரிசையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, முழு எண் தொடரையும் (வேறுபாடு மற்றும் முதல் உறுப்பைக் கண்டறியவும்) மறுகட்டமைக்க வேண்டியது அவசியம். இப்போது இந்த சிக்கலை பொதுவான வடிவத்தில் தீர்ப்போம்.

எனவே, n மற்றும் m எண்களைக் கொண்ட இரண்டு தனிமங்களைக் கொடுக்கலாம். மேலே பெறப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கலாம்:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

அறியப்படாத அளவுகளைக் கண்டறிய, தெரிந்தவற்றைப் பயன்படுத்துகிறோம் எளிய தந்திரம்அத்தகைய அமைப்புக்கான தீர்வுகள்: இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஜோடிகளாக கழித்தால், சமத்துவம் செல்லுபடியாகும். எங்களிடம் உள்ளது:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

எனவே, அறியப்படாத ஒன்றைத் தவிர்த்துவிட்டோம் (a 1). இப்போது நாம் d ஐ தீர்மானிப்பதற்கான இறுதி வெளிப்பாட்டை எழுதலாம்:

d = (a n - a m) / (n - m), இங்கு n > m

எங்களுக்கு மிகவும் கிடைத்தது எளிய சூத்திரம்: பிரச்சனையின் நிலைமைகளுக்கு ஏற்ப வேறுபாடு d ஐக் கணக்கிட, நீங்கள் தனிமங்களுக்கும் அவற்றின் கூறுகளுக்கும் இடையிலான வேறுபாடுகளின் விகிதத்தை மட்டுமே எடுக்க வேண்டும். வரிசை எண்கள். ஒன்றில் கவனம் செலுத்த வேண்டும் முக்கியமான புள்ளிகவனம்: "மூத்த" மற்றும் "ஜூனியர்" உறுப்பினர்களுக்கு இடையே வேறுபாடுகள் எடுக்கப்படுகின்றன, அதாவது, n > m ("சீனியர்" என்பது வரிசையின் தொடக்கத்திலிருந்து மேலும் நிற்பது, அதன் துல்லியமான மதிப்பு"ஜூனியர்" உறுப்பை விட பெரியதாகவோ அல்லது சிறியதாகவோ இருக்கலாம்).

முதல் காலத்தின் மதிப்பைப் பெற, சிக்கலைத் தீர்க்கும் தொடக்கத்தில் உள்ள வேறுபாடு d முன்னேற்றத்திற்கான வெளிப்பாடு ஏதேனும் சமன்பாடுகளுக்குப் பதிலாக மாற்றப்பட வேண்டும்.

கணினி தொழில்நுட்ப வளர்ச்சியின் எங்கள் வயதில், பல பள்ளி குழந்தைகள் இணையத்தில் தங்கள் பணிகளுக்கு தீர்வுகளை கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள், எனவே இதுபோன்ற கேள்விகள் அடிக்கடி எழுகின்றன: ஆன்லைனில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும். அத்தகைய கோரிக்கைக்கு, தேடுபொறி பல வலைப்பக்கங்களை வழங்கும், அதற்குச் செல்வதன் மூலம் நீங்கள் நிபந்தனையிலிருந்து அறியப்பட்ட தரவை உள்ளிட வேண்டும் (இது முன்னேற்றத்தின் இரண்டு சொற்களாக இருக்கலாம் அல்லது அவற்றின் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கலாம். ) மற்றும் உடனடியாக ஒரு பதிலைப் பெறுங்கள். இருப்பினும், சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான இந்த அணுகுமுறை மாணவரின் வளர்ச்சி மற்றும் அவருக்கு ஒதுக்கப்பட்ட பணியின் சாரத்தைப் பற்றிய புரிதலின் அடிப்படையில் பயனற்றது.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தாமல் தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரங்கள் எதையும் பயன்படுத்தாமல் முதல் சிக்கலைத் தீர்ப்போம். தொடரின் கூறுகள் கொடுக்கப்படட்டும்: a6 = 3, a9 = 18. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

அறியப்பட்ட கூறுகள் ஒரு வரிசையில் ஒருவருக்கொருவர் நெருக்கமாக உள்ளன. பெரியதைப் பெற, சிறியவற்றுடன் d வித்தியாசத்தை எத்தனை முறை சேர்க்க வேண்டும்? மூன்று முறை (முதல் முறையாக d ஐச் சேர்த்தால், 7 வது உறுப்பு கிடைக்கும், இரண்டாவது முறை - எட்டாவது, இறுதியாக, மூன்றாவது முறை - ஒன்பதாவது). 18ஐப் பெற மூன்று முறை மூன்று முறை என்ன எண்ணைக் கூட்ட வேண்டும்? இது எண் ஐந்து. உண்மையில்:

எனவே, அறியப்படாத வேறுபாடு d = 5.

நிச்சயமாக, தீர்வு பொருத்தமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் இது வேண்டுமென்றே செய்யப்படவில்லை. விரிவான விளக்கம்பிரச்சனைக்கான தீர்வு தெளிவாக இருக்க வேண்டும் ஒரு பிரகாசமான உதாரணம்எண்கணித முன்னேற்றம் என்றால் என்ன?

முந்தையதைப் போன்ற ஒரு பணி

இப்போது இதேபோன்ற சிக்கலைத் தீர்ப்போம், ஆனால் உள்ளீட்டுத் தரவை மாற்றவும். எனவே, a3 = 2, a9 = 19 என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

நிச்சயமாக, நீங்கள் மீண்டும் "ஹெட்-ஆன்" தீர்வு முறையை நாடலாம். ஆனால் தொடரின் கூறுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அவை ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பீட்டளவில் தொலைவில் உள்ளன, இந்த முறை முற்றிலும் வசதியாக இருக்காது. ஆனால் இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது விரைவாக பதிலுக்கு நம்மை அழைத்துச் செல்லும்:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

இங்கே நாம் இறுதி எண்ணை வட்டமிட்டுள்ளோம். இந்த ரவுண்டிங் எந்த அளவிற்கு பிழைக்கு வழிவகுத்தது என்பதை முடிவைச் சரிபார்ப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்க முடியும்:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

இந்த முடிவு நிபந்தனையில் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து 0.1% மட்டுமே வேறுபடுகிறது. எனவே, அருகிலுள்ள நூறில் பயன்படுத்தப்படும் ரவுண்டிங் ஒரு வெற்றிகரமான தேர்வாகக் கருதப்படலாம்.

ஒரு காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதில் உள்ள சிக்கல்கள்

அறியப்படாத d ஐத் தீர்மானிக்க ஒரு சிக்கலின் சிறந்த உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்: a1 = 12, a5 = 40 எனில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

அறியப்படாத இயற்கணித வரிசையின் இரண்டு எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றில் ஒன்று உறுப்பு a 1 ஆகும், நீங்கள் நீண்ட நேரம் யோசிக்க வேண்டியதில்லை, ஆனால் உடனடியாக a n காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். IN இந்த வழக்கில்எங்களிடம் உள்ளது:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

பிரிக்கும் போது சரியான எண்ணைப் பெற்றோம், எனவே முந்தைய பத்தியில் செய்யப்பட்டதைப் போல கணக்கிடப்பட்ட முடிவின் துல்லியத்தை சரிபார்க்க எந்த அர்த்தமும் இல்லை.

இதேபோன்ற மற்றொரு சிக்கலைத் தீர்ப்போம்: a1 = 16, a8 = 37 எனில் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும்.

முந்தையதைப் போன்ற ஒரு அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் பெறுகிறோம்:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

எண்கணித முன்னேற்றம் பற்றி நீங்கள் வேறு என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்?

அறியப்படாத வேறுபாடு அல்லது தனிப்பட்ட கூறுகளைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்களுக்கு கூடுதலாக, ஒரு வரிசையின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது அவசியம். இந்த பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வது கட்டுரையின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது, இருப்பினும், நாங்கள் வழங்கும் தகவல்களின் முழுமைக்காக பொது சூத்திரம்ஒரு தொடரில் உள்ள n எண்களின் கூட்டுக்கு:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

வழிமுறைகள்

எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d வடிவத்தின் வரிசையாகும். எண் d படி முன்னேற்றம்.எண்கணிதத்தின் தன்னிச்சையான n-வது காலத்தின் பொது என்பது வெளிப்படையானது முன்னேற்றம்வடிவம் உள்ளது: An = A1+(n-1)d. பின்னர் உறுப்பினர்களில் ஒருவரை அறிவது முன்னேற்றம், உறுப்பினர் முன்னேற்றம்மற்றும் படி முன்னேற்றம், உங்களால் முடியும், அதாவது முன்னேற்ற உறுப்பினரின் எண்ணிக்கை. வெளிப்படையாக, இது n = (An-A1+d)/d சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படும்.

இப்போது mth காலத்தை அறியலாம் முன்னேற்றம்மற்றும் மற்றொரு உறுப்பினர் முன்னேற்றம்- n வது, ஆனால் n , முந்தைய வழக்கைப் போலவே, ஆனால் n மற்றும் m படி ஒத்துப்போவதில்லை முன்னேற்றம்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்: d = (An-Am)/(n-m). பிறகு n = (An-Am+md)/d.

எண்கணித சமன்பாட்டின் பல கூறுகளின் கூட்டுத்தொகை அறியப்பட்டால் முன்னேற்றம், அதே போல் அதன் முதல் மற்றும் கடைசி, பின்னர் இந்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையும் எண்கணிதத்தின் கூட்டுத்தொகையை தீர்மானிக்க முடியும் முன்னேற்றம்சமமாக இருக்கும்: S = ((A1+An)/2)n. பின்னர் n = 2S/(A1+An) - chdenov முன்னேற்றம். An = A1+(n-1)d என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தி, இந்த சூத்திரத்தை இவ்வாறு மாற்றி எழுதலாம்: n = 2S/(2A1+(n-1)d). இதிலிருந்து நாம் தீர்ப்பதன் மூலம் n ஐ வெளிப்படுத்தலாம் இருபடி சமன்பாடு.

எண்கணித வரிசை என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பாகும், இதில் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், முதல் தவிர, முந்தையவற்றிலிருந்து அதே அளவு வேறுபடும். இந்த நிலையான மதிப்பு முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு அல்லது அதன் படி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அறியப்பட்ட விதிமுறைகளிலிருந்து கணக்கிடலாம்.

வழிமுறைகள்

முதல் மற்றும் இரண்டாவது அல்லது வேறு ஏதேனும் அருகிலுள்ள சொற்களின் மதிப்புகள் சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து அறியப்பட்டால், வேறுபாட்டைக் கணக்கிட (d) முந்தையதை அடுத்த காலத்திலிருந்து கழிக்கவும். இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு நேர்மறையாக இருக்கலாம் அல்லது எதிர்மறை எண்- இது முன்னேற்றம் அதிகரித்து வருகிறதா என்பதைப் பொறுத்தது. IN பொது வடிவம்தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஜோடிக்கான தீர்வை (aᵢ மற்றும் aᵢ₊₁) பின்வருமாறு எழுதவும்: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

அத்தகைய முன்னேற்றத்தின் ஒரு ஜோடி விதிமுறைகளுக்கு, அவற்றில் ஒன்று முதல் (a₁), மற்றொன்று தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒன்று, வேறுபாட்டைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தை உருவாக்கவும் முடியும் (d). இருப்பினும், இந்த வழக்கில், வரிசையின் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உறுப்பினரின் வரிசை எண் (i) தெரிந்திருக்க வேண்டும். வேறுபாட்டைக் கணக்கிட, இரண்டு எண்களையும் சேர்த்து, அதன் விளைவாக வரும் முடிவை ஒன்றால் குறைக்கப்பட்ட தன்னிச்சையான காலத்தின் வரிசை எண்ணால் வகுக்கவும். பொதுவாக, இந்த சூத்திரத்தை பின்வருமாறு எழுதவும்: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

ஆர்டினல் எண் i உடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தன்னிச்சையான உறுப்பினருடன் கூடுதலாக, ஆர்டினல் எண் u உடன் மற்றொரு உறுப்பினர் தெரிந்தால், முந்தைய படியிலிருந்து சூத்திரத்தை அதற்கேற்ப மாற்றவும். இந்த வழக்கில், முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு (d) இந்த இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும், அவற்றின் வரிசை எண்களின் வேறுபாட்டால் வகுக்கப்படும்: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

சிக்கல் நிலைமைகள் அதன் முதல் காலத்தின் (a₁) மதிப்பையும், எண்கணித வரிசையின் முதல் சொற்களின் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் (i) கூட்டுத்தொகையையும் (Sᵢ) வழங்கினால், வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் (d) சற்று சிக்கலாகிவிடும். விரும்பிய மதிப்பைப் பெற, தொகையை அதை உருவாக்கும் சொற்களின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கவும், வரிசையில் முதல் எண்ணின் மதிப்பைக் கழித்து, முடிவை இரட்டிப்பாக்கவும். விளைந்த மதிப்பை ஒன்றால் குறைக்கப்பட்ட தொகையை உருவாக்கும் சொற்களின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கவும். பொதுவாக, பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை பின்வருமாறு எழுதவும்: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

இலக்குகள்:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துங்கள்.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களின் முக்கிய வகைகளைக் கவனியுங்கள்.
பாடத்தில் வளர்ச்சிக் கற்றலின் கூறுகளைப் பயன்படுத்தவும்.
மாணவர்களின் பகுப்பாய்வு சிந்தனையை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

வகுப்புகளின் போது

ஆசிரியர்.முந்தைய பாடத்தில், இயற்கை எண்களின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடாக எல்லையற்ற எண் வரிசையின் கருத்தை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்தினோம், மேலும் வரிசைகள் முடிவிலா மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டவை, அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் என்பதைக் கண்டறிந்தோம், மேலும் அவற்றை வரையறுக்கும் வழிகளைப் பற்றியும் கற்றுக்கொண்டோம். அவற்றை பட்டியலிடுங்கள்.

மாணவர்கள்.

பகுப்பாய்வு (ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி).
வாய்மொழி (ஒரு விளக்கத்துடன் ஒரு வரிசையை அமைத்தல்).
மறுநிகழ்வு (சிலரில் இருந்து தொடங்கி, வரிசையின் எந்த உறுப்பினரும் முந்தைய உறுப்பினர்கள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் போது).

உடற்பயிற்சி 1.முடிந்தால், ஒவ்வொரு வரிசையின் 7வது காலத்தையும் குறிக்கவும்.

(a n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(bn): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(cn): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3.8; -2.6; -1.4; -0.2; 1; 2.2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

ஆசிரியர். b n மற்றும் y n தொடர்களுக்கான கேள்விக்கு ஏன் பதிலளிக்க முடியாது?

மாணவர்கள். (b n) இயற்கை எண்களின் சதுரங்களைக் கொண்டிருந்தாலும், அவை தன்னிச்சையான வரிசையில் எடுக்கப்படுகின்றன, மேலும் (y n) குறிக்கும். தன்னிச்சையான தொடர்எண்கள், எனவே ஏழாவது இடம் எந்த எண்ணாகவும் இருக்கலாம்.

ஆசிரியர்.தொடர்களுக்கு (a n); (சிஎன்); (x n) நீங்கள் அனைவரும் 7வது காலத்தை சரியாகக் கண்டுபிடிக்க முடிந்தது.

பணி 2.அத்தகைய வரிசையின் உங்கள் சொந்த உதாரணத்துடன் வாருங்கள். அதன் முதல் 4 உறுப்பினர்களைக் குறிப்பிடவும். உங்கள் மேசை அண்டை வீட்டாருடன் குறிப்பேடுகளை பரிமாறி, இந்த வரிசையின் 5வது காலத்தை தீர்மானிக்கவும்.

ஆசிரியர்.அத்தகைய வரிசைகளுக்கு என்ன பொதுவான சொத்து உள்ளது?

மாணவர். ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த காலமும் முந்தைய காலத்திலிருந்து அதே எண்ணால் வேறுபடுகிறது.

ஆசிரியர்.இந்த வகை தொடர்கள் எண்கணித முன்னேற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை இன்று நமது ஆய்வுப் பொருளாக இருக்கும். பாடத்தின் தலைப்பை உருவாக்கவும்.

(மாணவர் தலைப்பின் முதல் பகுதியை எளிதாக உருவாக்க முடியும். ஆசிரியர் இரண்டாம் பகுதியை தானே உருவாக்க முடியும்)

ஆசிரியர். இந்த தலைப்பின் அடிப்படையில் பாடத்தின் நோக்கங்களை உருவாக்கவும்.

(மாணவர்கள் தங்கள் கற்றல் இலக்குகளை முடிந்தவரை முழுமையாகவும் துல்லியமாகவும் உருவாக்குவது முக்கியம், பின்னர் அவர்கள் அவற்றை ஏற்றுக்கொண்டு அவற்றை அடைய முயற்சி செய்கிறார்கள்)

மாணவர்கள்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தை வரையறுக்கவும்.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பெறவும்.
ஒரு தலைப்பில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள் (கருத்துக பல்வேறு வகைகள்பணிகள்).

மாணவர்களுக்கு பொதுவான இலக்குகள் இருப்பதை உறுதி செய்வதற்காக ஆசிரியர்களின் இலக்குகளை திரையில் காட்டுவது உதவியாக இருக்கும்.

ஆசிரியர்.ஒரு சிறிய வரலாறு. "முன்னேற்றம்" என்ற சொல் லத்தீன் முன்னேற்றத்திலிருந்து வந்தது, அதாவது "முன்னோக்கி நகர்தல்" என்று பொருள்படும், இது கி.பி 6 ஆம் நூற்றாண்டில் ரோமானிய எழுத்தாளரான போதியஸால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. மற்றும் பெற்றார் மேலும் வளர்ச்சி Fibonacci, Chuquet, Gauss மற்றும் பிற விஞ்ஞானிகளின் படைப்புகளில்.

வரையறை.எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தைய உறுப்பினருக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வரிசையாகும். இந்த எண் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது d எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

(a n): a 1 ; ஒரு 2 ; ஒரு 3 ; ... ஒரு n ... எண்கணித முன்னேற்றம்.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 - a n

பணி 3. a 1 = 7 ஆக இருக்கட்டும்; ஈ = 0.

வரிசையின் அடுத்த 3 சொற்களுக்கு பெயரிடவும்.

மாணவர்கள். 7; 7; 7

ஆசிரியர். இத்தகைய வரிசைகள் நிலையான அல்லது நிலையானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

a 1 = -12; d = 3. இந்த வரிசையின் 3 உறுப்பினர்களைக் குறிப்பிடவும்.

மாணவர். -9; -6; -3

ஆசிரியர். நான் எண்களை பெயரிட்டால் சரியாக இருக்கும்: -15; -18; -21?

ஒரு விதியாக, பெரும்பாலான மாணவர்கள் இது சரியானது என்று நினைக்கிறார்கள். ஒவ்வொரு உறுப்பினரின் எண்ணிக்கையையும் அடையாளம் காண நீங்கள் அவர்களிடம் கேட்க வேண்டும். வரிசையின் உறுப்பினரின் எண்ணிக்கை இயற்கை எண்ணாக வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும் என்பதால், பெயரிடப்பட்ட எண்கள் இந்த வரிசையில் இருக்க முடியாது.

பணி 4.எண்கணித முன்னேற்றத்தில் a 1 ; ஒரு 2 ; 6; 4; a 5 கண்டுபிடி a 1 ; ஒரு 2 ; ஒரு 5.

பணி ஜோடிகளாக செய்யப்படுகிறது, ஒரு மாணவர், விரும்பினால், அதை முடிக்கிறார் தலைகீழ் பக்கம்பலகைகள்.

தீர்வு:

d = 4 – 6 = -2
a 5 = a 4 + d = 4 – 2 = 2
a 2 = a 3 – d = 6 – (-2) = 8
a 1 = a 2 – d = 8 – (-2) = 10

இந்த வரிசைக்கு ஒரு 8 மற்றும் 126 ஐக் குறிப்பிடவும்

மாணவர்கள். a 8 = -4 மற்றும் 126 ஆகியவற்றைக் குறிப்பிடலாம், ஆனால் எண்ணுவதற்கு அதிக நேரம் எடுக்கும்.

ஆசிரியர்.இதன் பொருள், வரிசையின் எந்த உறுப்பினரையும் விரைவாகக் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்கும் வழியை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பெற முயற்சிக்கவும்.

நீங்கள் ஒரு வலிமையான மாணவரை குழுவிற்கு அழைக்கலாம் மற்றும் தெளிவாக எழுப்பப்பட்ட கேள்விகள் மற்றும் வகுப்பின் உதவியின் மூலம் சூத்திரத்தைப் பெறலாம்.

சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்:

a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d
முதலியன

ஏ n = a 1 + (n – 1) ஈ- சூத்திரம்ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nth term.

ஆசிரியர். எனவே, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் தீர்மானிக்க நீங்கள் என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்?

மாணவர்கள். a 1 மற்றும் d

ஆசிரியர்.இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, 126 ஐக் கண்டறியவும்.

மாணவர்கள். a 126 = a 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

பணி 5. Let (b n): ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் இதில் b 1 முதல் சொல் மற்றும் d என்பது வித்தியாசம். பிழைகளைக் கண்டறியவும்:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k - 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

பணி 6.எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி என்ன வகையான சிக்கல்களைத் தீர்க்கலாம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். ஒரு நேரடி சிக்கலை உருவாக்குங்கள்.

மாணவர்கள். 1 மற்றும் d இன் மதிப்புகள் கொடுக்கப்பட்டால், n ஐக் கண்டறியவும்.

ஆசிரியர்.என்ன தலைகீழ் சிக்கல்களை அமைக்கலாம்?

மாணவர்கள்.

ஒரு 1 மற்றும் n கொடுக்கப்பட்டது. டி கண்டுபிடிக்கவும்.
கொடுக்கப்பட்ட d மற்றும் a n. 1 ஐக் கண்டுபிடி.
ஒரு 1, d மற்றும் ஒரு n கொடுக்கப்பட்டது. கண்டுபிடி n.

பணி 7. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியவும் இதில் y 1 = 10; y 5 = 22

குழுவில் தீர்வு:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d=3

பணி 8. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் 2 உள்ளதா; 9; ... எண் 156?

பகுப்பாய்வு: பகுத்தறிவு மூலம் நாம் முடிவுக்கு வருகிறோம் வரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் அதன் சொந்த எண்ணைக் கொண்டுள்ளது, இது இயற்கை எண்ணாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, பின்னர் நீங்கள் வரிசையின் உறுப்பினரின் எண்ணைக் கண்டுபிடித்து அது இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைச் சேர்ந்ததா என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். சொந்தமானது என்றால், கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைக் கொண்டிருக்கும், இல்லையெனில் அது இல்லை.

குழுவில் தீர்வு:

a n = a 1 + (n – 1) d
156 = 2 + 7 (n - 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

பதில்: a 23 = 156

பணி 9.எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் மூன்று சொற்களைக் கண்டறியவும்

a 1 + a 5 = 24;
a 2 ∙a 3 =60

நாங்கள் பணியை பகுப்பாய்வு செய்கிறோம், வீட்டிலேயே தீர்க்க நாங்கள் முன்மொழிகின்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்.

a 1 + a 1 + 4d = 24;
(a 1 + d)∙(a 1 + 4d)= 60.

சுருக்கமாகக் மொத்தம் பாடம்.

இன்று வகுப்பில் புதிதாக என்ன கற்றுக்கொண்டீர்கள்? நீங்கள் என்ன கற்றுக்கொண்டீர்கள்?

வீட்டு பாடம். பாடப்புத்தகத்தின் 25 வது பத்தியில் உள்ள பொருளைப் படியுங்கள். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வரையறை மற்றும் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை அறியவும். அதில் உள்ள அனைத்து அளவுகளையும் ஒரு சூத்திரத்திலிருந்து வெளிப்படுத்த முடியும். பணி 9க்கான அமைப்பைத் தீர்க்கவும். பாடநூல் எண் 575 (a, b) ஐப் பின்பற்றவும்; 576; 578(a); 579(அ).

கூடுதல் மதிப்பீட்டு பணி: a 1 வை விடுங்கள்; ஒரு 2 ; ஒரு 3 ; ... ஒரு n ... எண்கணித முன்னேற்றம். a n+1 = (a n + a n+2) : 2 என்பதை நிரூபிக்கவும்

முதல் நிலை

எண்கணித முன்னேற்றம். எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விரிவான கோட்பாடு (2019)

எண் வரிசை

எனவே, உட்கார்ந்து சில எண்களை எழுத ஆரம்பிக்கலாம். உதாரணத்திற்கு:
நீங்கள் எந்த எண்களையும் எழுதலாம், மேலும் நீங்கள் விரும்பும் அளவுக்கு அவற்றில் பல இருக்கலாம் (எங்கள் விஷயத்தில், அவை உள்ளன). நாம் எத்தனை எண்களை எழுதினாலும், எது முதலில், எது இரண்டாவது என்று எப்போதும் சொல்லலாம், கடைசி வரை, அதாவது அவற்றை எண்ணலாம். எண் வரிசைக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு:

எண் வரிசை
எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் வரிசைக்கு:

ஒதுக்கப்பட்ட எண் வரிசையில் உள்ள ஒரு எண்ணுக்கு மட்டுமே குறிப்பிட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வரிசையில் மூன்று வினாடி எண்கள் இல்லை. இரண்டாவது எண் (வது எண் போன்றது) எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
எண்ணைக் கொண்ட எண் வரிசையின் வது சொல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் வழக்கமாக முழு வரிசையையும் ஏதேனும் ஒரு எழுத்து மூலம் அழைக்கிறோம் (உதாரணமாக,), இந்த வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் இந்த உறுப்பினரின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான குறியீட்டுடன் ஒரே கடிதம்: .

எங்கள் விஷயத்தில்:

நம்மிடம் ஒரு எண் வரிசை உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதில் அருகிலுள்ள எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரே மாதிரியாகவும் சமமாகவும் இருக்கும்.
உதாரணத்திற்கு:

முதலியன
இந்த எண் வரிசை எண்கணித முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
"முன்னேற்றம்" என்ற சொல் 6 ஆம் நூற்றாண்டில் ரோமானிய எழுத்தாளரான போதியஸால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது மற்றும் ஒரு எல்லையற்ற எண் வரிசையாக பரந்த பொருளில் புரிந்து கொள்ளப்பட்டது. "எண்கணிதம்" என்ற பெயர் தொடர்ச்சியான விகிதாச்சாரத்தின் கோட்பாட்டிலிருந்து மாற்றப்பட்டது, இது பண்டைய கிரேக்கர்களால் ஆய்வு செய்யப்பட்டது.

இது ஒரு எண் வரிசையாகும், இதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தையதைச் சமமாக இருக்கும். இந்த எண் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் நியமிக்கப்பட்டது.

எந்த எண் வரிசைகள் எண்கணித முன்னேற்றம் மற்றும் எது இல்லை என்பதை தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:

a)
b)
c)
ஈ)

அறிந்துகொண்டேன்? எங்கள் பதில்களை ஒப்பிடுவோம்:
இருக்கிறதுஎண்கணித முன்னேற்றம் - b, c.
இல்லைஎண்கணித முன்னேற்றம் - a, d.

கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்திற்கு () திரும்பி, அதன் வது காலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம். உள்ளது இரண்டுஅதை கண்டுபிடிக்க வழி.

1. முறை

முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தை அடையும் வரை, முந்தைய மதிப்பில் முன்னேற்ற எண்ணைச் சேர்க்கலாம். எங்களிடம் சுருக்கமாக எதுவும் இல்லை என்பது நல்லது - மூன்று மதிப்புகள் மட்டுமே:

எனவே, விவரிக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் சமம்.

2. முறை

முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தின் மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டுமானால் என்ன செய்வது? கூட்டுத்தொகை எங்களுக்கு ஒரு மணி நேரத்திற்கும் மேலாக எடுக்கும், மேலும் எண்களைச் சேர்க்கும்போது நாம் தவறு செய்ய மாட்டோம் என்பது உண்மையல்ல.
நிச்சயமாக, கணிதவியலாளர்கள் முந்தைய மதிப்புடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைச் சேர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லாத ஒரு வழியைக் கொண்டு வந்துள்ளனர். வரையப்பட்ட படத்தை உற்றுப் பாருங்கள்... நிச்சயமாக நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தை ஏற்கனவே கவனித்திருப்பீர்கள், அதாவது:

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தின் மதிப்பு என்ன என்பதை பார்ப்போம்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால்:

கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் மதிப்பை இந்த வழியில் நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும்.

நீங்கள் கணக்கிட்டீர்களா? பதிலுடன் உங்கள் குறிப்புகளை ஒப்பிடுக:

முந்தைய மதிப்பில் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளை நாங்கள் தொடர்ச்சியாகச் சேர்த்தபோது, முந்தைய முறையில் இருந்த அதே எண்ணைப் பெற்றுள்ளீர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
"தனிப்பயனாக்க" முயற்சிப்போம் இந்த சூத்திரம்- அவளை அழைத்து வருவோம் பொது வடிவம்மற்றும் நாம் பெறுகிறோம்:

எண்கணித முன்னேற்றச் சமன்பாடு.

எண்கணித முன்னேற்றங்கள் அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம்.

அதிகரித்து வருகிறது- விதிமுறைகளின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த மதிப்பும் முந்தையதை விட அதிகமாக இருக்கும் முன்னேற்றங்கள்.
உதாரணத்திற்கு:

இறங்குதல்- விதிமுறைகளின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த மதிப்பும் முந்தையதை விட குறைவாக இருக்கும் முன்னேற்றங்கள்.
உதாரணத்திற்கு:

பெறப்பட்ட சூத்திரம் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் சொற்களில் சொற்களின் கணக்கீட்டில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
இதை நடைமுறையில் பார்க்கலாம்.
பின்வரும் எண்களைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் நமக்குக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது எண்ணைக் கணக்கிடுவதற்கு எங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் அது என்னவாக இருக்கும் என்பதைச் சரிபார்ப்போம்:

அப்போதிருந்து:

எனவே, சூத்திரம் எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் குறைத்தல் மற்றும் அதிகரிப்பது ஆகிய இரண்டிலும் செயல்படுகிறது என்பதை நாங்கள் நம்புகிறோம்.
இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது மற்றும் வது விதிமுறைகளை நீங்களே கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும்.

முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்:

எண்கணித முன்னேற்ற பண்பு

சிக்கலை சிக்கலாக்குவோம் - எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொத்தைப் பெறுவோம்.
பின்வரும் நிபந்தனை எங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:
- எண்கணித முன்னேற்றம், மதிப்பைக் கண்டறியவும்.
எளிதானது, நீங்கள் ஏற்கனவே அறிந்த சூத்திரத்தின்படி எண்ணத் தொடங்குங்கள்:

சரி, பிறகு:

முற்றிலும் சரி. நாம் முதலில் கண்டுபிடித்து, அதை முதல் எண்ணுடன் சேர்த்து, நாம் தேடுவதைப் பெறுவோம். முன்னேற்றம் சிறிய மதிப்புகளால் குறிப்பிடப்பட்டால், அதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை, ஆனால் நிபந்தனையில் எண்கள் கொடுக்கப்பட்டால் என்ன செய்வது? ஒப்புக்கொள், கணக்கீடுகளில் தவறு செய்ய வாய்ப்பு உள்ளது.
எந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கலை ஒரே கட்டத்தில் தீர்க்க முடியுமா என்று இப்போது சிந்தியுங்கள்? நிச்சயமாக ஆம், அதைத்தான் இப்போது வெளியே கொண்டு வர முயற்சிப்போம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தேவையான காலத்தைக் குறிப்போம், அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரம் நமக்குத் தெரியும் - இது ஆரம்பத்தில் நாம் பெற்ற அதே சூத்திரம்:
, பிறகு:

முன்னேற்றத்தின் முந்தைய காலம்:
முன்னேற்றத்தின் அடுத்த காலம்:

முன்னேற்றத்தின் முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

முன்னேற்றத்தின் முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகை அவற்றுக்கிடையே அமைந்துள்ள முன்னேற்ற காலத்தின் இரட்டை மதிப்பு என்று மாறிவிடும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அறியப்பட்ட முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த மதிப்புகளுடன் ஒரு முன்னேற்றச் சொல்லின் மதிப்பைக் கண்டறிய, நீங்கள் அவற்றைச் சேர்த்து வகுக்க வேண்டும்.

அது சரி, எங்களுக்கு அதே எண் கிடைத்தது. பொருளைப் பாதுகாப்போம். முன்னேற்றத்திற்கான மதிப்பை நீங்களே கணக்கிடுங்கள், அது ஒன்றும் கடினம் அல்ல.

நல்லது! முன்னேற்றம் பற்றி உங்களுக்கு எல்லாம் தெரியும்! புராணத்தின் படி, எல்லா காலத்திலும் மிகப் பெரிய கணிதவியலாளர்களில் ஒருவரான "கணிதவாதிகளின் ராஜா" - கார்ல் காஸ்ஸால் எளிதாகக் கண்டறியப்பட்ட ஒரே ஒரு சூத்திரத்தை மட்டுமே கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

கார்ல் காஸ் 9 வயதாக இருந்தபோது, மற்ற வகுப்புகளில் மாணவர்களின் வேலையைச் சரிபார்ப்பதில் மும்முரமாக இருந்த ஒரு ஆசிரியர், வகுப்பில் பின்வரும் பணியை வழங்கினார்: "எல்லா இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகையை (மற்ற ஆதாரங்களின்படி) உள்ளடங்கலாகக் கணக்கிடவும்." அவரது மாணவர்களில் ஒருவர் (இது கார்ல் காஸ்) ஒரு நிமிடம் கழித்து பணிக்கு சரியான பதிலைக் கொடுத்தபோது ஆசிரியரின் ஆச்சரியத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள், அதே நேரத்தில் பெரும்பாலான டேர்டெவிலின் வகுப்பு தோழர்கள் நீண்ட கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு தவறான முடிவைப் பெற்றனர்.

இளம் கார்ல் காஸ் நீங்கள் எளிதாக கவனிக்கக்கூடிய ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்தை கவனித்தார்.
-வது சொற்களைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்: எண்கணித முன்னேற்றத்தின் இந்த சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நிச்சயமாக, எல்லா மதிப்புகளையும் நாம் கைமுறையாகத் தொகுக்கலாம், ஆனால் காஸ் தேடுவது போல, பணிக்கு அதன் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய வேண்டுமானால் என்ன செய்வது?

நமக்கு கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தை சித்தரிப்போம். தனிப்படுத்தப்பட்ட எண்களைக் கூர்ந்து கவனித்து, அவற்றைக் கொண்டு பல்வேறு கணிதச் செயல்பாடுகளைச் செய்ய முயற்சிக்கவும்.

நீங்கள் முயற்சித்தீர்களா? நீங்கள் என்ன கவனித்தீர்கள்? சரி! அவற்றின் தொகை சமம்

இப்போது சொல்லுங்கள், நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தில் மொத்தம் எத்தனை ஜோடிகள் உள்ளன? நிச்சயமாக, அனைத்து எண்களிலும் சரியாக பாதி, அதாவது.
ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் மற்றும் ஒத்த ஜோடிகள் சமம் என்ற உண்மையின் அடிப்படையில், நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம் மொத்த தொகைசமமானது:
.
எனவே, எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம்:

சில பிரச்சனைகளில் நமக்கு வது சொல் தெரியாது, ஆனால் முன்னேற்றத்தின் வித்தியாசம் தெரியும். தொகை சூத்திரத்தில் வது சொல்லின் சூத்திரத்தை மாற்ற முயற்சிக்கவும்.
உனக்கு என்ன கிடைத்தது?

நல்லது! இப்போது கார்ல் காஸிடம் கேட்கப்பட்ட பிரச்சனைக்கு வருவோம்: th இலிருந்து தொடங்கும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் th லிருந்து தொடங்கும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன என்பதை நீங்களே கணக்கிடுங்கள்.

உங்களுக்கு எவ்வளவு கிடைத்தது?
சொற்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் என்றும், சொற்களின் கூட்டுத்தொகை என்றும் காஸ் கண்டறிந்தார். நீங்கள் முடிவு செய்ததா?

உண்மையில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரம் 3 ஆம் நூற்றாண்டில் பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானி டியோபாண்டஸால் நிரூபிக்கப்பட்டது, மேலும் இந்த நேரத்தில், நகைச்சுவையான மக்கள் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பண்புகளை முழுமையாகப் பயன்படுத்தினர்.
உதாரணமாக, கற்பனை செய்து பாருங்கள் பழங்கால எகிப்துமற்றும் அந்தக் காலத்தின் மிகப்பெரிய கட்டுமானத் திட்டம் - ஒரு பிரமிடு கட்டுமானம்... படம் அதன் ஒரு பக்கத்தைக் காட்டுகிறது.

இங்கே முன்னேற்றம் எங்கே இருக்கிறது என்கிறீர்களா? கவனமாகப் பார்த்து, பிரமிட் சுவரின் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் உள்ள மணல் தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையில் ஒரு வடிவத்தைக் கண்டறியவும்.

ஏன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் இல்லை? அடிவாரத்தில் பிளாக் செங்கற்களை வைத்தால் ஒரு சுவர் கட்ட எத்தனை தொகுதிகள் தேவை என்று கணக்கிடுங்கள். மானிட்டரின் குறுக்கே உங்கள் விரலை நகர்த்தும்போது நீங்கள் எண்ண மாட்டீர்கள் என்று நம்புகிறேன், கடைசி சூத்திரம் மற்றும் எண்கணித முன்னேற்றம் பற்றி நாங்கள் சொன்ன அனைத்தும் உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா?

இந்த வழக்கில், முன்னேற்றம் இதுபோல் தெரிகிறது: .
எண்கணித முன்னேற்ற வேறுபாடு.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொற்களின் எண்ணிக்கை.
எங்கள் தரவை கடைசி சூத்திரங்களில் மாற்றுவோம் (2 வழிகளில் தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையை கணக்கிடுங்கள்).

முறை 1.

முறை 2.

இப்போது நீங்கள் மானிட்டரில் கணக்கிடலாம்: பெறப்பட்ட மதிப்புகளை எங்கள் பிரமிட்டில் உள்ள தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒப்பிடுங்கள். அறிந்துகொண்டேன்? சரி, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் தேர்ச்சி பெற்றுள்ளீர்கள்.
நிச்சயமாக, அடிவாரத்தில் உள்ள தொகுதிகளிலிருந்து நீங்கள் ஒரு பிரமிட்டை உருவாக்க முடியாது, ஆனால் இருந்து? இந்த நிலையில் ஒரு சுவரைக் கட்டுவதற்கு எத்தனை மணல் செங்கற்கள் தேவை என்பதைக் கணக்கிட முயற்சிக்கவும்.
சமாளித்தாயா?
சரியான பதில் தொகுதிகள்:

பயிற்சி

பணிகள்:

மாஷா கோடையில் வடிவம் பெறுகிறார். ஒவ்வொரு நாளும் அவள் குந்துகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்கிறாள். முதல் பயிற்சி அமர்வில் மாஷா ஒரு வாரத்தில் குந்துகைகளை எத்தனை முறை செய்வார்?
இதில் உள்ள அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன.
பதிவுகளை சேமிக்கும் போது, பதிவு செய்பவர்கள் அவற்றை ஒவ்வொன்றாக அடுக்கி வைக்கின்றனர் மேல் அடுக்குமுந்தையதை விட ஒரு குறைவான பதிவைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு கொத்து கட்டையின் அடித்தளம் மரக்கட்டைகள் என்றால், அதில் எத்தனை பதிவுகள் உள்ளன?

பதில்கள்:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அளவுருக்களை வரையறுப்போம். இந்த வழக்கில்
(வாரங்கள் = நாட்கள்).
பதில்:இரண்டு வாரங்களில், மாஷா ஒரு நாளைக்கு ஒரு முறை குந்துகைகள் செய்ய வேண்டும்.
முதல் ஒற்றைப்படை எண், கடைசி எண்.
எண்கணித முன்னேற்ற வேறுபாடு.
ஒற்றைப்படை எண்களின் எண்ணிக்கை பாதியாக உள்ளது, இருப்பினும், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல்லைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த உண்மையைச் சரிபார்ப்போம்:
எண்களில் ஒற்றைப்படை எண்கள் இருக்கும்.
கிடைக்கக்கூடிய தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:
பதில்:இதில் உள்ள அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் கூட்டுத்தொகை சமம்.
பிரமிடுகள் பற்றிய பிரச்சனையை நினைவில் கொள்வோம். எங்கள் விஷயத்தில், a , ஒவ்வொரு மேல் அடுக்கும் ஒரு பதிவால் குறைக்கப்படுவதால், மொத்தத்தில் ஒரு அடுக்குகள் உள்ளன, அதாவது.
தரவை சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:
பதில்:கல்தூண்களில் பதிவுகள் உள்ளன.

சுருக்கமாகச் சொல்லலாம்

- ஒரு எண் வரிசை, இதில் அருகிலுள்ள எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஒரே மாதிரியாகவும் சமமாகவும் இருக்கும். இது அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறையலாம்.
சூத்திரத்தைக் கண்டறிதல்எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வது சொல் சூத்திரத்தால் எழுதப்படுகிறது - , முன்னேற்றத்தில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் சொத்து- - முன்னேற்றத்தில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை எங்கே.
எண்கணித முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகைஇரண்டு வழிகளில் காணலாம்:

, மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எங்கே.

எண்கணித முன்னேற்றம். சராசரி நிலை

எண் வரிசை

உட்கார்ந்து சில எண்களை எழுத ஆரம்பிக்கலாம். உதாரணத்திற்கு:

நீங்கள் எந்த எண்களையும் எழுதலாம், அவற்றில் நீங்கள் விரும்பும் பல இருக்கலாம். ஆனால் எப்பொழுதும் எது முதலில், எது இரண்டாவது என்று சொல்லலாம், அதாவது, நாம் அவற்றை எண்ணலாம். எண் வரிசைக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

எண் வரிசைஎண்களின் தொகுப்பாகும், ஒவ்வொன்றும் ஒரு தனிப்பட்ட எண்ணை ஒதுக்கலாம்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒவ்வொரு எண்ணும் ஒரு குறிப்பிட்ட இயற்கை எண்ணுடன் தொடர்புடையது மற்றும் ஒரு தனித்துவமானது. மேலும் இந்த தொகுப்பிலிருந்து வேறு எந்த எண்ணுக்கும் இந்த எண்ணை ஒதுக்க மாட்டோம்.

எண்ணைக் கொண்ட எண் வரிசையின் வது உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரிசையின் வது காலத்தை ஏதேனும் சூத்திரத்தால் குறிப்பிட முடிந்தால் அது மிகவும் வசதியானது. உதாரணமாக, சூத்திரம்

வரிசையை அமைக்கிறது:

மற்றும் சூத்திரம் பின்வரும் வரிசை:

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு வரிசை (இங்கே முதல் சொல் சமம், மற்றும் வேறுபாடு). அல்லது (, வேறுபாடு).

n வது கால சூத்திரம்

நாங்கள் ஒரு சூத்திரத்தை மறுநிகழ்வு என்று அழைக்கிறோம், அதில் வது வார்த்தையைக் கண்டுபிடிக்க, முந்தைய அல்லது பல முந்தையவற்றை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்:

எடுத்துக்காட்டாக, இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முன்னேற்றத்தின் வது காலத்தைக் கண்டறிய, முந்தைய ஒன்பதைக் கணக்கிட வேண்டும். உதாரணமாக, அதை விடுங்கள். பிறகு:

சரி, பார்முலா என்னவென்று இப்போது புரிகிறதா?

ஒவ்வொரு வரியிலும் சில எண்ணால் பெருக்கப்படும். எந்த ஒன்று? மிகவும் எளிமையானது: இது தற்போதைய உறுப்பினரின் எண்ணிக்கையைக் கழித்தல்:

இப்போது மிகவும் வசதியானது, இல்லையா? நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

எண்கணித முன்னேற்றத்தில், nth termக்கான சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடித்து நூறாவது சொல்லைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

முதல் சொல் சமமானது. என்ன வேறுபாடு உள்ளது? இதோ என்ன:

(இதனால்தான் இது வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் இது முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான சொற்களின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்).

எனவே, சூத்திரம்:

பின்னர் நூறாவது சொல் இதற்கு சமம்:

முதல் வரையிலான அனைத்து இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன?

புராணத்தின் படி, சிறந்த கணிதவியலாளர் கார்ல் காஸ், 9 வயது சிறுவனாக, இந்த தொகையை சில நிமிடங்களில் கணக்கிட்டார். அவர் முதல் மற்றும் கூட்டுத்தொகை என்பதை கவனித்தார் கடைசி தேதிசமமானது, இரண்டாவது மற்றும் இறுதியின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுதான், முடிவில் இருந்து மூன்றாவது மற்றும் 3வது தொகை ஒன்றுதான், மற்றும் பல. இப்படி மொத்தம் எத்தனை ஜோடிகள் உள்ளன? அது சரி, அனைத்து எண்களின் பாதி எண்ணிக்கை, அதாவது. அதனால்,

எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான பொதுவான சூத்திரம்:

உதாரணமாக:
அனைத்தின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும் இரட்டை இலக்க எண்கள், மடங்குகள்.

தீர்வு:

அத்தகைய முதல் எண் இதுதான். ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த எண்ணும் முந்தைய எண்ணுடன் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. எனவே, நாம் ஆர்வமாக உள்ள எண்கள் முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாட்டுடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன.

இந்த முன்னேற்றத்திற்கான வது கால சூத்திரம்:

அவை அனைத்தும் இரண்டு இலக்கமாக இருக்க வேண்டும் என்றால், முன்னேற்றத்தில் எத்தனை விதிமுறைகள் உள்ளன?

மிக எளிதாக: .

முன்னேற்றத்தின் கடைசி காலம் சமமாக இருக்கும். பின்னர் தொகை:

பதில்: .

இப்போது நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

ஒவ்வொரு நாளும் தடகள வீரர் முந்தைய நாளை விட அதிக மீட்டர் ஓடுகிறார். முதல் நாளே கிமீ மீ ஓட்டினால், ஒரு வாரத்தில் மொத்தம் எத்தனை கிலோமீட்டர் ஓடுவார்?
ஒரு சைக்கிள் ஓட்டுபவர் முந்தைய நாளை விட ஒவ்வொரு நாளும் அதிக கிலோமீட்டர் பயணம் செய்கிறார். முதல் நாள் அவர் கி.மீ. ஒரு கிலோமீட்டரை கடக்க எத்தனை நாட்கள் பயணம் செய்ய வேண்டும்? பயணத்தின் கடைசி நாளில் அவர் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணம் செய்வார்?
ஒரு கடையில் குளிர்சாதன பெட்டியின் விலை ஒவ்வொரு ஆண்டும் அதே அளவு குறைகிறது. ஆறு ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு ரூபிளுக்கு விற்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு ஆண்டும் குளிர்சாதனப்பெட்டியின் விலை எவ்வளவு குறைந்துள்ளது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

பதில்கள்:

இங்கே மிக முக்கியமான விஷயம் எண்கணித முன்னேற்றத்தை அங்கீகரித்து அதன் அளவுருக்களை தீர்மானிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், (வாரங்கள் = நாட்கள்). இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல் விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்:
.
பதில்:
இங்கே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: , கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
வெளிப்படையாக, முந்தைய சிக்கலில் உள்ள அதே தொகை சூத்திரத்தை நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும்:
.
மதிப்புகளை மாற்றவும்:
ரூட் வெளிப்படையாக பொருந்தவில்லை, எனவே பதில்.
வது கால சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கடைசி நாளில் பயணித்த பாதையைக் கணக்கிடுவோம்:
(கிமீ)
பதில்:
கொடுக்கப்பட்டது: . கண்டுபிடி: .
இது எளிமையாக இருக்க முடியாது:
(தேய்த்தல்).
பதில்: